balance y ajuste de datos

Por : Ing. Roger HuarsayaPor : Ing. Roger Huarsaya

BALANCE AJUSTADO DE MATERIALES EN SISTEMAS PARTICULADOS APLICADO

A PROCESAMIENTO DE MINERALES EN EXCEL

2000

Primera Sesión1. Introducción2. Importancia de Balances de Masa3. Definición de Conceptos

Nodos y Flujos4. Balances de Masa de Dos Productos

4.1 Formula de Dos productos4.2 El uso de Análisis Químico en el Balance de Masa4.3 El uso de Análisis de Tamaño en el Balance de Masa4.4 El uso de la Densidad en el Balance de Masa Ejemplos de Aplicación

Hecho por: Ing. Roger Huarsaya

5. Balances de Masa para Circuitos Complejos

5.1 Determinación del Numero Mínimo de Flujos para Muestreo

5.2 Método de Matriz ConexiónEjemplo de aplicación

5.3 Balance Ajustado de Materiales usando la técnica de Los Multiplicadores de Lagrange

Minimización de la Suma de los Cuadrados de los Residuos


5.4 Minimización de la suma de los 5.4 Minimización de la suma de los Cuadrados de los desajustesCuadrados de los desajustes5.5 Minimización de la suma de los 5.5 Minimización de la suma de los Cuadrados de los desajustes con Cuadrados de los desajustes con Factores de PonderaciónFactores de Ponderación


Primera Sesión

1. INTRODUCCIÓN: Para una buena perfomance y control de la operación de una

planta, se requiere ser evaluado los resultados obtenidos. Para ello es necesario cuantificar los productos en terminos de peso del material y componentes contenidos.

El balance de masa, es particularmente importante para cuantificar el mineral valioso o distribuciones de metales. La formula de Dos-Productos es de gran uso, como punto de partida.

El uso de las computadoras se ha generalizado, para aplicaciones de balances de masa, procesos de simulación y recientemente para sistemas expertos.


2. Importancia de Balances de Masa El balance ajustado de materiales, es uno de los cálculos mas

comunes realizados en la ingeniería de procesos de minerales. Los metalurgistas de planta necesitan hacer cálculos de inventarios

de producción y asegurar la eficiencia de procesos. Los ingenieros investigadores necesitan datos confiables de los

procesos antes de llevar a cabo estudios de modelamiento. Los ingenieros de diseño lo pueden usar para reajustar procesos,

usandolo como programas predictivos de balance de masa. El algoritmo para la solución general de mínimos cuadrados de los

problemas coherentes de balance de materiales en flowsheets de circuitos complejos usa la técnica de los Multiplicadores de Lagrange, probada y revisada suficientemente en diversas aplicaciones.

Se ha reportado que una interfase en linea de los Analizadores de Rayos X esta en progreso hacia una poderosa combinación de la tecnología del Sistema Experto.


3. DINICION DE CONCEPTOSNODO: Es una ubicación específica dentro del proceso en torno a la cual es posible establecer ecuaciones de balance del tipo:

ACUMULACIÓN = INPUT - OUTPUT

Como por ejemplo: una chancadora, un molino, el cajón de una bomba, un banco de flotacion, etc. Existe dos tipos de nodos, los cuales son:

1. NODO NORMAL: Es una unidad, atraves del cual todos los ensayos disponibles satisfacen las ecuaciones de conservación de masa. Hay dos tipos:NODO DE UNIÓN: Tiene 2 flujos de entrada y 1 flujo de salida.NODO DE SEPARACIÓN: Tiene 1 flujo de entrada y 2 flujos de salida.

2. NODO NO-NORMAL: Es una unidad, atraves del cual algunos ensayos no satisfacen las ecuaciones de conservación de masa (ej. Distribuciones de tamaño en un molino de bolas).FLUJO: Representa la cantidad de material alimentada al proceso, traspasada entre dos nodos del proceso u obtenida como producto del proceso. Como por ejemplo: la alimentación fresca a la molienda, el relave rougher, el rebalse de los hidrociclones, etc.


4. Balances de Masa de Dos Productos 4.1 FORMULA DE DOS PRODUCTOS

Se trata de un proceso donde se tiene una alimentación y dos productos. Tales como un banco de flotación, un hidrociclon, etc. 4.2 EL USO DEL ANALISIS QUIMICO EN EL BALANCE DE MASA

Un banco de flotación, es el ejemplo clásico, si los pesos de la alimentación, concentrado y relaves son: F, C y T respectivamente, y sus

correspondientes ensayes f, c y t, entonces:F = C + T

Es decir : Material de ingreso = Material de salidaBalance por metal valioso es: Ff = Cc + TtCombinando: Ff = Cc + (F-C)tResultando : C = (f - t) / (c - t)*F


4.3 EL USO DEL ANALISIS DE TAMAÑO EN EL BALANCE DE MASA

Muchas de las máquinas de procesos unitarios, tales como hidrociclones y ciertos separadores gravimétricos, producen un buen grado de separación de tamaños de partículas y los datos de análisis de tamaños pueden frecuentemente ser usados en forma efectiva en la formula de dos productos.

En un hidrociclon, si los pesos de la alimentación, underflow y overflow son: F, U y O respectivamente, y sus correspondientes tamaño de partículas f, u y o, entonces:

F = U + OEs decir : Material de ingreso = Material de salidaY el balance por tamaño de partícula es: Ff = Uu + OoCombinando: Ff = Uu + (F - U) oResultando : U = (f - o) / (u - o) * F


4.4 EL USO DE LA DENSIDAD EN EL BALANCE DE MASA

En un hidrociclon, si los pesos de la alimentación, underflow yoverflow son: MSf, MSu y MSo respectivamente, y sus correspondientes fracciones de sólidos son fsf, fsu y fso, entonces:

Por Balance : Material de ingreso = Material de salida

MPf = MPu. + Mpo y MSf = MSu + Mso

y sabiendo que : MPi = MSi / fsi

Donde : MPi = Masa de Pulpa en el flujo ifsi = Fracción de sólidos en el flujo i

Tenemos : MSf / fsf = MSu / fsu+ MSo / fso

Combinando : MSf / fsf = MSu / fsu+ (MSf - MSu ) / fso

MSu = (1/fsf - 1/ fso) / (1/fsu - 1/fso) * MSf ...... (1)


Usando densidades de pulpa (ζ ) :ζ = m / v

ζpi = MPi / (Vs + Va)i

Remplazando : ζpi = MPi / ((MSi / ζs) + (MPi-MSi) / 1)ζpi = (MSi / fsi) / ((MSi / ζs) + (MSi / fsi - MSi))ζpi = (1 / fsi) / ((1 / ζs) + (1 / fsi- 1))

Despejando 1/fsi :1 / fsi = ζpi * ( 1 / ζs - 1) / ( 1 – ζpi ) (2)

Remplazando (2) en (1)

MSu = ( 1 – ζpu) * ( ζpf – ζpo ) / ( 1 – ζpf ) * ( ζpu – ζpo ) * MSf (3)Donde :ζpi , es densidad de pulpa en el flujo i, en gr / cc ó TM / m3

ζs , es la densidad del sólido, o gravedad especificaζpf , ζpu , ζpo , es la densidad de pulpa en la alimentacion, undeflow y overflow


5.1 Determinación del Numero Mínimo de Flujos para Muestreo

Para calcular un balance de masa a estado estacionario para un circuito complejo, se requiere un método analítico superior, que genere n ecuaciones lineales para n incógnitas.

Cualquier flowsheet de planta puede ser reducido a una serie de nodos. Se ha demostrado que conocido un flujo de masa, llamado flujo de

referencia (usualmente la alimentación), el numero mínimo de flujos N, que deben ser muestreados para un balance de masa de un circuito complejo es:

N = 2 ( F + S ) – 1Donde : F = numero de flujos de alimentación

S = numero de nodos separadores simples

5. BALANCES DE MASA PARA CIRCUITOS COMPLEJOS

Representacion de nodos normales en la Figura 1:

Los nodos de separación que producen mas de dos productos, o los nodos de unión que son alimentados por mas de dos flujos, pueden ser divididos a nodos simples conectandolos por flujos que fisicamente no existen.

En la figura (2a), se muestra un banco de flotación, que puede ser reducido a forma de nodo (2b), y dividido a nodos simples (2c).

El numero minimo de flujos que deben ser muestreados es:N = 2 ( 1 + 3 ) – 1 = 7

Y como solo se puede muestrear 5 flujos, 2 pesos mas son requeridos para complementar el peso de referencia.

De las figuras 2b y 2c se puede ver que un nodo produce dos productos que puede ser dividido a tres nodos simples de separación, y, en general, si un nodo de separación produce n productos, entonces este puede ser dividido a n-1 nodos simples. Es decir de la fig. 2b, se tiene un nodo de separación con 4 productos, el cual se reduce a 4 - 1 = 3 nodos simples.


5.2 METODO MATRIZ – CONEXIÓN Frew ha desarrollado un procedimiento el cual permite una facil automatización y proporciona un chequeo y conteo de los nodos desde el flowsheet.El método requiere el uso de la matriz conexión Cij, donde cada elemento de la matriz es:

Los contenidos de cada columna representan los flujos individuales y sumados debe ser igual a +1, -1 ó 0, cualquier otro resultado indica un error en el ingreso de los datos. Es decir :

+1 para el flujo j que ingresa al nodo i

C ij = 0

-1 para el flujo j que sale del nodo i

para el flujo j que no aparece en el nodo i

Suma de Columna =

+1 , el flujo es una alimentación

0 ,

-1, el flujo es un producto

el flujo es un flujo interno


Los elementos de cada fila representan los nodos individuales, y si el número “+1” entradas (np) y el número de “-1” salidas (nn) son contados, entonces np y nn pueden ser usados para determinar el número de nodos simples, entonces tenemos:Número de nodos simples de unión ( J ) = np - 1Número de nodos simples de separación ( S ) = nn-1

Como se indicó que la Matriz – Conexión puede ser usado para proporcionar el set de ecuaciones lineales que deben ser resueltos para producir los flujos de masa.

Una Matriz material, M puede ser definida, donde cada elemento en la Matriz es:

Mij = Cij Bj

donde Bj representa el flujo de masa de solidos en el flujo j.Un componente matricial, A, puede tambien ser definido, donde cada

elemento de la matriz es: Aij = Cij Bjaj = Mij aj

aj , representa el valor del componente (ensayo, % en la fraccion del

tamaño, radio de dilución, etc.) en el flujo j .


En cualquier nodo particular, es importante que el mismo componente sea usado para fijar cada flujo, y el componente debe ser escogido para producir una ecuación con la menor sensitividad de error. El componente puede ser seleccionado por el análisis de sensitividad, y que proporcione que el mismo componente sea usado en cualquier nodo particular, otros componentes pueden ser usados para balancear otros nodos en el circuito. Esto significa que en un balance de circuito complejo, los componentes tales como: el contenido metalico, radios de dilución, y análisis de tamaño pueden ser utilizados en varias partes del circuito.Combinando Mij y Aij dentro de una matriz produce:

M11 M12 ……………………..M1s

M21 M22 ……………………..M2s

.

.Mn1 Mn2 …………………….Mns

A11 A12 ………………………A1s

.

.

An1 An2 ……………………..Ans

donde, s = numero de flujos, y n = numero de nodos. Hecho por: Ing. Roger Huarsaya

Si el flujo s es el flujo de referencia (preferentemente una aliimentación), y Bs = 1 entonces Bj, representa la fracción del flujo de referencia que reporta al flujo j. Como: Bs = 1, M1s = C1s y A1s = C1s as.

El set de ecuaciones lineales en forma matricial que deben ser resueltos es:

Una ecuación adicional puede ser incluida en el set. La planta puede ser representado como un solo nodo, tal que el peso del componente contenido en la alimentación es igual al peso del componente en los productos. Esta ecuación deberá ser usada si es posible, ya que usualmente hay muy buena separación del componente en este nodo.


EJEMPLO DE APLICACIÓN DE MATRIZ CONEXIONSe tomaron 7 muestras de los 9 flujos de un circuito de flotación, los análisis se muestran a continuación

Flujos Ensayes (96)

f1 Sin muestra

f2 0.51

f3 0.12

f4 16.10

f5 4.20

f6 25.00

f7 Sin muestra

f8 2.10

f9 1.50

DATOS DEL CIRCUITO

Diagrama de Nodos y Flujos


Se forma la Matriz Conexión, teniendo en cuenta lo siguiente:

+ 1 Para los flujos que ingresan a un nodo.

0 Para los flujos que no intervienen en ese nodo.

- 1 Para los flujos que salen de ese nodo.

Flujos f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9

Nodos

N1 -1 0 0 0 0 0 1 0 1

N2 1 -1 0 -1 0 0 0 0 0

N3 0 1 -1 0 -1 0 0 0 0

N4 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0

N5 0 0 0 0 1 0 1 1 0

SOLUCION :


Como F9 = 1 debido a que éste es el único flujo de entrada y dato dado, para poder resolver ésta matriz necesitamos hacerla cuadrada, por éste motivo se requiere de 3 ecuaciones mas que deben salir de los nodos de separacion, en nuestro ejemplo de los nodos 3 y 4.


Nodos

N3 0 0.51B2 -0.12B3 0 -4.2B5 0 0 0 0

N4 0 0 0 16.1B5 0 -2.5B6 0 -2.1B8 0

y del circuito global, la cual la obtendremos trabajando todo el circuito como un nodo general, obteniendo:B3.f3 + B6.f6 = B9.f9B3*0.12 + B6*25.0 – B9*1.5 = 0Recordando que B9 = 1B3*0.12 + B6*25.0 - 1.5 = 0



Nodos

N1 -1 0 0 0 0 0 1 0 1

N2 1 -1 0 -1 0 0 0 0 0

N3 0 1 -1 0 -1 0 0 0 0

N4 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0

N5 0 0 0 0 1 0 1 1 0

N6 0 0.51 -0.12 0 -4.2 0 0 0 0

N7 0 0 0 16.1 0 -25.0 0 -2.1 0

N8 0 0 -0.12 0 0 -25.0 0 0 1.5

Con lo cual se forma una matriz cuadrada de 8 x 8, separando la última columna, la cual será la matriz vector.


A * B = F-1 0 0 0 0 0 1 0

**

B1

=

-1

1 -1 0 -1 0 0 0 0 B2 0

0 1 -1 0 -1 0 0 0 B3 0

0 0 0 1 0 -1 0 -1 B4 0

0 0 0 0 1 0 1 1 B5 0

0 0.51 -0.12 0 -4.2 0 0 0 B6 0

0 0 0 16.1 0 -25.0 0 -2.1 B7 0

0 0 -0.12 0 0 -25.0 0 0 B8 -1.5

Si A * B = F entonces B = A-1 * FResolviendo se obtiene:

B1 = 1.135

B 2 = 1.044

B 3 = 0.945

B 4 = 0.091

B 5 = 0.100

B 6 = 0.055

B 7 = 0.135

B 8 = 0.035

B 9 = 1.000

5.3 Balance Ajustado de Materiales usando la técnica de Los Multiplicadores de Lagrange

MINIMIZACIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS DE LOS RESIDUOSEn este método, el mejor valor se calcula a partir de datos experimentales, después de los cuales los datos se ajustan para acomodarse a estos estimados, como los flujos son separados y ensayados por “n” componentes, por tanto.Reemplazados los valores de F, C y T con los valores asignados obtenemos:

(1) Donde:

.exp

lim

...1

kcomponentedelmedicioneslasenserimentale

erroreslosporgeneradaecuaciónlaenresiduoelEsr

relavedeflujoelenkcomponentedelValort

oconcentraddeflujoelenkcomponentedelValorc

entaciónadeflujoelenkcomponentedelValorf

nk

K

k

k

k

KKKK rtCCcf 1


Ecuación 1 puede escribirse como:

2

1

)(

n

KKrS

n

KKKKKKK

n

KKK tctfCtcCtfS

1

222

1

))((2)()( ( 4 )

El valor de S no puede ser cero para cualquier valor de C, a no ser que las medidas de los experimentos sean perfectos. Sin embargo, tiene un mínimo valor cuando dS/dC =0

KKKKK rtcCtf (2)

Luego el objetivo de este método es escoger un valor de C, tal que minimice la suma de los cuadrados de los errores, es decir “S” (suma), donde:

(3)

Y por sustitución de la ecuación 2:


(rk)2

C

C

Fig. 3 Ploteo de la suma de los cuadrados de los errores de los componentes vs. los valores de C


Donde Ĉ es el mejor valor ajustado de C.Por consiguiente:

Una vez que hemos determinado Ĉ , la siguiente etapa es ajustar los valores de componentes para hacerlos consistentes con los flujos calculados. Los errores de la ecuación (1) debe ser distribuida entre los valores de los componentes, tal que:

derivando la ecuación (4) con respecto a se obtiene :

n

KKKKK

n

KKK tctftcC

1

2

1

0))((2)(2

2

11

)(/)()(C

n

KKKKK

n

KKK tctctf (5)

C


(6)

Donde : son los valores ajustados del componente K en los tres flujos.

y sabiendo que :

0))(1(

KaKKaKKaK ttCccCff (7)

tyc,f

Donde , son los ajustes de los valores de los elementos K en los tres flujos.La ecuación (1) puede ser escrito como:

KaKaKa tycf ,

(8)kkkk rtCcCf

1

kaKK fff


Y haciendo la diferencia de las ecuaciónes (8) –(7), da:

KaKaKaK tcfr CC

1 (9)

Luego aplicando mínimos cuadrados; la suma de los cuadrados a ser minimizado es Sa :

)(2

1

22

KaKaKaSa tcfn

K

(10)

Sujeta a la ecuación 9 condicionada.

Este problema de minimización puede ser resuelto mas convenientemente por el método de los Multiplicadores de Lagrange. En este método, la ecuacion condicionada es igualada a cero.Es decir la ecuacion 9 es :

01

KaKaKaK tcfr CC (11)


Este problema de minimización requiere que todos los ajustes sean tan pequeños como sea posible, y el método Lagrange involucra minimización de la funcion “L” definida como:

n

K

n

KKKaKaKa KcondicióntcfL

1 1|

222 2

Donde : es el multiplicador de Lagrange para la ecuacion condiciónada k.Asi :

K2

n

KKaKaKaKKa tCcCfrSL

1

^^

12 (12)

Luego L es derivado parcialmente con respecto a cada uno de las incógnitas (ajustes y multiplicadores) y las derivadas son igualadas a cero.

Asi :Hecho por: Ing. Roger Huarsaya

022

KKaKa

ff

L

022^

Ccc

LKKa

Ka

(14)

^

: CcdecirEs KKa

0)1(22^

Ctt

LKKa

Ka

(15)

^

1: CtdecirEs KKa

0))1((2^^

KaKaKaKK

tCcCfrL

(16)


:,,: KaKaKa tcfdevaloreslosdoSustituyen

2^2^

11 CCr KK

,KK hr

Donde hacemos que : .112^2^

CCh (17)

Finalmente obtenemos :

h

rf KKa

(18)

h

rCc KKa

^

(19)

h

rCt

K

Ka

^

1(20)


Como Ĉ ya fue determinado, h es calculado con la ecuacion 17, y rk es calculado de la ecuacion 8. Los valores ajustados de los componentes son calculados con las ecuaciones 18 al 20. Ver ejemplo de aplicación en Excel.


5.4 MINIMIZACIÓN DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS DESAJUSTES

Descripción de la Metodología de Ajuste

Dado el problema de optimización se trata de hacer mínima (minimización) la función : f(x,y,z)Sujeta a la condición adicional (restricción)

g (x,y,z)=0

Frente a ala inconsistencia natural de las distintas mediciones. Lagrange corrige cada una de ellas, minimizando el total de las correcciones, a fin de obtener un nuevo conjunto de valores

consistentes entre si y representativos del alance global de la operación.


LA METODOLOGIA DE AJUSTEPLANTEAMOS LA FUNCION OBJETIVO

NiikFSa Fik

n

K

........2,1;

2

1

Usando el método de mínimos cuadrados, la suma de los cuadrados de los errores residuales de valores ajustados deberan ser minimizados.

Estos errores residuales deben ser mínimos para cada flujo que contienen los tonelajes indicados.

Ademas satisfaga el balance de materiales del sistema.

PLANTEAMOS LA SEGUNDA FUNCION OBJETIVO

nmsmrniDonde

FaFaFL sisririikik

n

KF

.1.....1,1:

22

1


5.5 MINIMIZACIÓN DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS DESAJUSTES CON

FACTORES DE PONDERACIONDescripción de la Metodología de Ajuste

Dado el problema de optimización se trata de hacer mínima (minimización) la función : f(x,y,z)Sujeta a la condición adicional (restricción)

g (x,y,z)=0 Lagrange considera todas las mediciones disponibles ponderando su influencia en el balance según sea el error asociado a ellos. Frente a ala inconsistencia natural de las distintas

mediciones. Lagrange corrige cada una de ellas, minimizando el total de las correcciones, a fin de obtener un nuevo conjunto de valores

consistentes entre si y representativos del alance global de la operación.


LA METODOLOGIA DE AJUSTEPLANTEAMOS LA FUNCION OBJETIVO

Usando el método de mínimos cuadrados, la suma de los cuadrados de los errores residuales de valores ajustados deberan ser minimizados.

Estos errores residuales deben ser mínimos para cada flujo que contienen los tonelajes indicados.

Ademas satisfaga el balance de materiales del sistema.

NiikFWSa Fik

n

Kik ........2,1;

2

1

nmsmrniDonde

FaFaFWL sisririikik

n

Kik F

.1.....1,1:

22

1

, es factor de ponderacion de la malla i en el flujo k, definido por: WikHecho por: Ing. Roger Huarsaya

Balance Ajustado de Materiales por Multiplicadores de Lagrange Circuito

Cerrado Inverso


Considérese el sistema de molienda clasificación cuyos resultados operacionales se resumen en la Tabla A.1. Se dispone de mediciones de granulometrías y % de sólidos en los flujos de alimentación fresca, descarga de molino, descarga de ciclones y rebose de ciclones. Se dispone además del tonelaje seco alimentado a al sección (441.4 TPH) y los caudales de agua alimentado al molino (25 m3 hr) y al cajon de la bomba (360 m3hr).

Balance de solidos:MS1 =dado ó medidoMS1+ MS2 = MS3MS3 = MS4 + MS5 (1)MS5 = MS6 = MS2MS5 = CC.MS1 = MS6Resolviendo el sistema obtenemos:MS2 = MS5 = MS6 = CC.MS1MS3 = MS1+MS2 = MS1+CC.MS1 = (1 + CC)MS1 (2)MS4 = MS3 – MS5 = (1+CC).MS1 - CC.MS1 = MS1


Balance de Pulpas:MP1 + MP2 + MP7 = MP3MP3 = MP4 + MP5MP5 + MP8 = MP6 (3)MP6 = MP2Ademas:MP1 = MS1 / fs1MP4 = MS4 / fs4MP5 = MS5 / fs5MP6 = MS6 / fs6 = MS2 / fs2Resolviendo:MP1 = MS1 / fs1MP2 = MP6 = MS6 / fs6MP3 = MP4 + MP5MP4 = MS4 / fs4 = MS1 / fs4 (4)MP5 = MS5 / fs5MP7 = MP3 –MP1 – MP2MP8= MP6 –MP5


Balance en granulometria:FJ1.MS1 + FJ2.MS2 = FJ4.MS4 +FJ5.MS5 (5)

FJ1.MS1 + FJ2.CC.MS1 = FJ4.MS1 +FJ5..CC.MS1FJ1 + FJ2.CC = FJ4. +FJ1.CCFJ2.CC - FJ5.CC = FJ4. - FJ1

CC(FJ2 - FJ5) = FJ4. - FJ1 (6)

CC = (FJ4. - FJ1) / (FJ2 - FJ5) (7)

Donde:FJk = % pasante de la malla j en el flujo kMSk = Tonelaje seco en el flujo kMPk = Tonelaje pulpa en el flujo k


Luego la carga circulante es obtenida como un promedio

n

J JJ

JJ

FF

FF

nCC

1 52

141(8)

Conociendo la CC y el tonelaje de alimentación fresca MS1, es facil calcular los demas tonelajes.

Sin embargo los calculos anteriores no resuelven los problemas de inconsistencia de los datos, al hacer el Balance por mallas, particularmente la ec. (6).

En estos casos donde es preferible buscar un nuevo set de valores ajustados , tales que la función objetivo:

KF

Sea minima para cada malla y se cumple el Balance de materiales del sistema, para nuestro caso que se cumpla:

2

1JKJK

K

KJKJ FFW

(9)


1452 JJJJ FFFFCC (10)

21002 JKJK

KJK

FF

uW

(11)

Donde:uK=Factor de calidad correspondiente a la muestra obtenida en el

flujo K.Este problema es resuelto por el método de los Multiplicadores de Lagrange, para lo cual es necesario plantear la nueva

función objetivo.

1

45

2

2

1

' 2minJ

JJ

JJJk

Jk

K

KJkJ FFF FFCCFWimo

Donde:J Es el Multiplicador de Lagrange en la malla J

JKF Es los valores ajustados, hallados al resolver el

sistema lineal de ecuaciones constituido por:

(12)

kk Erroru 2)(%

100

0'

JK

J

F0

'

J

J

1452

1452

'

02

JJJJ

JJJJJ

J

FFFF

FFFF

CC

CC

11

111

111

1

'

1

0122

J

JJ

JJJJ

JJJ

J

J

WFJ

W

WF

F

FF

FF

22

222

222

2

'

.2

.

022

J

JJ

JJJJ

JJJJ

J

J

W

CCFJ

CCW

CCWF

F

FF

FF

(13)

(14)

(15)


44

444

444

4

'

4

0122

J

JJ

JJJJ

JJJJ

J

J

WFJ

W

WF

F

FF

FF

55

555

555

5

'

.5

.

0122

J

JJ

JJJJ

JJJJ

J

J

W

CCFJ

CCW

CCWF

F

FF

FF

(17)

(16)

Reemplazando las ecuaciones (14,15,16,17) en 13 tenemos:

11

44

55

22

..

J

JJ

J

JJ

J

JJ

J

JJ W

FW

FW

CCF

W

CCFCC

1452145

2

2

2 ..JJJJ

J

J

J

J

J

J

J

J FFCCFCCFWWW

CC

W

CC


1452145

2

2

2 11JJJJ

JJJJJ FFFFCC

WWW

CC

W

CC

Suponiendo igual factor de calidad uK en cada flujo:

21

21

1100 JJ

JFF

uW

22

22

2100 JJ

JFF

uW

24

24

4100 JJ

JFF

uW

25

25

5100 JJ

JFF

uW

Reemplazando estos valores tenemos:

1452

21

21

24

24

25

25

222

22

2 100100100.100.

JJJJ

JJJJJJJJJ

FFFFCC

uFF

uFF

uFFCC

uFFCC


J

JJJJJJJJ

JJJJJ AFFCCFFCCFFCCFFCC

FFFFCC

u

2

12

122

42

422

52

522

22

22

1452

100.100.100.100.

(18)

Calculo de :JKF

21

211

21

21

11

11100.

100JJJJ

JJJJ

J

JJJ

FFAFu

FFF

WFF

22

222

22

22

22

22100.

100..JJJJ

JJJJ

J

JJJ

FFCCAFu

FCCFF

W

CCFF

24

244

24

24

44

44100.

100JJJJ

JJJJ

J

JJJ

FFAFu

FFF

WFF

25

255

25

25

55

55100.

100..JJJJ

JJJJ

J

JJJ

FFCCAFu

FCCFF

W

CCFF

(19)

(20)

(21)

(22)


Segunda Sesión

6.6. Ejemplo de aplicación a circuitos de Ejemplo de aplicación a circuitos de ChancadoChancado/Zarandeo, Zarandeo, MoliendaMolienda/Clasificación Clasificación y Flotacióny Flotación7.7. Análisis critico a los métodos y su Aplicación Análisis critico a los métodos y su Aplicación

a casos Realesa casos Reales


6.6. EJEMPLO DE APLICACIÓN A CIRCUITOS DE EJEMPLO DE APLICACIÓN A CIRCUITOS DE CHANCADOCHANCADO/ZARANDEO,MOLIENDAZARANDEO,MOLIENDA/CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN

Y FLOTACIÓNY FLOTACIÓN

6.1 CIRCUITO PRIMARIO SAG/CLASIFICACION Y CIRCUITO INVERSO REMOLIENDA/CLASIFICACION


I. RESUMENEl circuito de molienda/clasificacion de una Planta, consta de un circuito primario constituido por el molino SAG en circuito cerrado directo con una zaranda; y el circuito de remolienda constituido por el el molino de Bolas de 9’x13’ en circuito cerradoinverso con un nido de ciclones. Debido a la inestabilidad del circuito primario por el flujo de alimentacion del mineral (no constante) es que se ha realizado el balance en forma ceparada el circuito primario y el de remolienda.

II.FUNDAMENTO TEORICO PARA EL BALANCE AJUSTADO DE MATERIALES

A. CIRCUITO PRIMARIO:De la fig. anterior podemos definir la carga circulante CC1 al molino SAG (grueso de la zaranda), como la razon del tonelaje de retorno al SAG al tonelaje de alimentacion fresca.Así CC1 = MS5/MS1 (1)Donde:

Msk = Tonelaje de mineral seco enel flujo k.Por balance podemos plantear las siguientes ecuaciones de masa:MS1=MS4 = dado ó medido. (2)

MS5 =dado ó medidoMS2 = MS1 + MS5 = MS3MS3 = MS4 + MS5Resolviendo el sistema obtenemos:MS1 = MS4 = dadoMS5 = dadoMS2 = MS3 = (1 + CC1)MS1 (3)MS5 = CC1.MS1También se puede establecer las siguientes ecuaciones por mallas:MS1.Fj1 + MS5.Fj5 = MS2.Fj2 (4)De donde podemos despejar Fj2 : (alimentación al SAG)Fj2 = MS1.Fj1 + MS5.Fj5 / MS2 (5)donde:Fjk = %Passing en la malla j del flujo kTambién por balance:MS3.Fj3 = MS4.Fj4 + MS5.Fj5 (6)Podemos despejar Fj3, (descarga del SAG):Fj3 = MS4.Fj4 + MS5.F J5 / MS3 (7)


De las ecuaciones (4) y (6) obtenemos:Reemplazamos MS5.Fj5 de(4) en (6)MS3.Fj3 = MS4.Fj4 + MS2.Fj3 – MS1.Fj1MS3.Fj3 + MS1.Fj1 = MS4.Fj4 + MS2.Fj2Reemplazando los valores de las ec. (3)obtenemos:MS3 = (1 + CC1)MS1(1 + CC1)MS1.Fj3 + MS1.Fj1 = MS1.Fj4 + (1 +CC1).MS1.F j2Simplificando obtenemos la ecuacion del circuito primario (MS1) (1 +CC1).Fj3 + Fj1 = Fj4 + (1 +CC1).Fj2 (8) (1 +CC1).Fj3 + (1 +CC1).Fj2 + Fj1 – Fj4 Ø En cualquier malla:CALCULO DE LA CARGA CIRCULANTE CC1.Reordenando la ecuacion (8) obtenemos:

Fj4 - Fj1 Fj2) - CC1).(Fj3 (1

donde:

= residuo generado por las mediciones.

Planteamos la siguiente funcion objetivo, tal que la suma de loscuadradosde los residuos sea un minino. Así:

(9)

2

1

n

j

S

(10)

j

j

FjFjFjFjCCS1

2)41()23)(11(

Resolviendo se tiene: 222 )41()41()23()11(2)23()11( FjFjFjFjFjFjCCFjFjCCS

Derivando e igualando a cero para hallar el minimo:

0)41()23(2)23()11(21

2

FjFjFjFjFjFjCCCC

S

Finalmente obtenemos:

j

j

j

j

FjFj

FjFjFjFj

CC

1

2

1

)23(

)41)(23(

11

CALCULO DE LA GRANULOMETRIA AJUSTADADe la ecuacion (9) se debe cumplir:

04123)11(

jFjFjFjFCC

Donde:

jkF

% passing ajustado de la malla j en el flujo k

(11)


Para hallar jkF

, es preciso plantear la siguiente funcion objetivo, diferencia

Al cuadrado de los desajustes:

j

jimo kFkFWjk

1

2min )(

Sujeto a :

04123)11(

jFjFjFjFCC

Donde: Wjk , es factor de ponderacion de la malla j en el flujo k, definido por:

Donde:

22 )100( FjkFjk

µWjk jk

jkµ = factor de calidad a determinar

Par resolver el sistema de ecuacione(12) se aplica el metodo de los Multiplicadores de Lagrange. Para lo cual se plantea la nueva funcion objetivo. Así:

)41()23)(11(2)('1

2min jFjFjFjFCCkFkFWjk j

j

jimo

(12)

(13)

(14)


Es decir es igual a la funcion objetivo original + 2 veces la ecuacion del circuito igualada a cero.

j Es el multiplicador de Lagrange en la malla j

Para resolver la ec. (14), se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones constituidos por

flujocaaarespctoconparcialesderivadasjjkF

0'

,0'

111

012)11(121

'

WjjFjjF

jFjjFWjjF

2)11(22

0)1)(11(2)22(222

'

WjCCjFjjF

CCjFjjFWjjF

3)11(33

0)11(2)33(323

'

WjCCjFjjF

CCjFjjFWjjF

444

012)44(424

'

WjjFjjF

jFjjFWjjF

(15)


0)41()23)(11(

0)41()23()11(2'

jFjFjFjFCC

jFjFjFjFCCj

4,3,2,1 jFjFjFjF

Reemplazando:

En esta ultima ecuacion se obtiene:

04

41

12

)11(2

3

)11(3)11(

Wj

jFj

Wj

jFj

Wj

CCjFj

Wj

CCjFjCC

412

)11(

3

)11(41)23)(11(

22

Wj

j

Wj

j

Wj

CCj

Wj

CCjFjFjFjFjCC

Suponiendo igual factor dse calidad µ en todos los flujos, lo que esta de acuerdo con la operación, Wjk, será:

22 )100( FjkFjk

µWjk jk

µ factor de calidad igual para todos

Reemplazando en la ecuacion anterior tenemos:

41)23)(11(

)4100(4)1100(1)2100(2.)11()3100(3)11(. 2222222222

FjFjFjFjCC

FjFjFjFjFjFjCCFjFjCCµ

j

AjYj

Xj

µ

j

XjYj

(16)

Reemplazando (16) en (15) obtenemos:22 )1100.(1.1

111 FjFjAjFjWj

jFjjF

22 )2100.(2)11.(22

)11(22 FjFjCCAjFj

WjCCj

FjjF

22 )3100.(3)11.(33

)11(33 FjFjCCAjFj

Wj

CCjFjjF

22 )4100.(4.44

44 FjFjAjFjWjj

FjjF

5jF

es calculado de la ecuacion (6): Asi

5

4.4.3.35

MS

jFMSjFMSjF

(17)


B. CIRCUITO DE REMOLIENDADe la fig. 1 definimos laCC2:

111

2MSMS

CC

Por balance podemos plantear las siguientes ecuaciones de masa:

MS4 = MS1 =dadoMS4 + MS9 = MS10MS10 = MS11 + MS12Resolviendo obtenemos:MS11 = MS14 =MS9 = CC2.MS1MS10 = ( 1 +CC2)MS1MS4 = MS12 = MS1

También se puede establecer las siguientes ecuaciones por mallas:

MS4.Fj4 + MS9.Fj9 = MS10.Fj10MS10.Fj10 + MS11.Fj11 = MS12.Fj12Combinando, obtenemos:

MS4.Fj4 + MS9.Fj9 = MS11.Fj11 + MS12.Fj12Reemplazando la ec. (20), tenemos:MS1.Fj4 + CC2MS1.Fj9 =CC2. MS1.Fj11 + MS1.Fj12

(18)

(19)

(20)

(21)(22)


Obtenemos la ecuacion del circuito:Fj4 + CC2.Fj9 =CC2.Fj11 +Fj12

CALCULO DE LA CARGA CIRCULANTE CC2Reordenando la ec. (23) tenemos:

2

1

124)119(2

j

j

S

FjFjFjFjCC

j

j

FjFjFjFjCCS1

2)124()119(2

0)124()119()119(222

2

FFjFjFjFjFjCCCC

S

j

j

j

j

FjFj

FjFjFjFj

CC

1

2

1

119

)124)(119(

2

CALCULO DE LA GRANULOMETRIA AJUSTADADe la ec. (24) se debe cumplir:

objetivofuncionlaFormamos

jFjFjFjFCC 0)124()119(2

(23)

(24)

(25)


:

)( 2

aSujeto

jkFjkFWjk

0)124()119(2

jFjFjFjFCC

Resolvemos por Multiplicadores de Lagrange formando la nueva Funcion Objetivo:

444

012)44(424

'

WjjFjjF

jFjjFWjjF

9299

022)99(929

'

WjjCCFjjF

CCjFjjFWjjF

112.1111

0)1(22)1111(11211

'

WjCCjFjjF

CCjFjjFWjjF

(26)

(27)


121212

0)1(2)1212(12212

'

WjjFjjF

jFjjFWjjF

0)124()119(2

0)124()119(22'

^^

jFjFjFjFCC

jFjFjFjFCCj

.12,11,9,4:Re ecuacionestaenjFjFjFjFemplazando

012

124

411

2.11

9

2.92

Wj

jFj

Wj

jFj

Wj

CCjFj

Wj

CCjFjCC

:

12411

.2

9

.2124)114(2

22

calidaddefactorigualSuponiendo

Wj

j

Wj

j

Wj

jCC

Wj

jCCFjFjFjFjCC

124)119(2

)12100(12)4100(4)11100(11.2)9100(9.2 2222222222

FjFjFjFjCC

FjFjFjFjFjFjCCFjFjCCµ

j

AjYj

Xj

µ

j

YjXj

(28)

Reemplazando el las ecuaciones(27):22 )4100(4.44 FjFjAjFjjF

22 )9100(9.2.99 FjFjCCAjFjjF

22 )11100(11.2.1111 FjFjCCAjFjjF

:)21(,10

)12100(12.1212 22

ecuacionladecalculadoesjF

FjFjAjFjjF

10

9.94.410

MS

jFMSjFMSjF

CALCULO DE LA CC2 POR DENSIDADES DE PULPADe la Fg. (1) en el circuito de remolienda:MP10 = MP11 + MP12Donde:MPk = Tonelaje de pulpa en el flujo k.Ademas se sabe que:MSk = MPk.fsk.

(29)

(30)

(31)


:)30()31(Re

/./

//

:

)1(,

)1(

)1.(

33

33

enemplazando

cmgrómTMenkflujoelenpulpadeDensidadDp

cmgrómTMenespecificaGravedadGe

Donde

GefsGe

GeDp

GeDp

DpGesf

k

kk

k

kk

:)30()20(.

12

12

11

11

10

10

eneclaDe

fs

MS

fs

MS

fs

MS

:)33()20(.

12

12

11

11

10

10

eneclaDe

fs

MS

fs

MS

fs

MS

:)34()32(.Re

12

1

11

1.2

10

)21(1

enecemplazando

fs

MS

fs

MSCC

fs

CCMS

(32)

(33)

(34)

)110).(112).(1011()111).(110).(1210(

2

:Re

11212

11111.2

11010)21(

DpDpDpDpDpDpDpDp

CC

tieneseemplazando

DpDp

DpDpCC

DpDpCC

NOTATodo estas relaciones matemáticas ha sido programado en el

computador.Los datos de ingrese están con letra azul y los de negro son

reservadas para el calculo


6.2 BALANCE AJUSTADO DE MATERIA EN UN BANCO DE FLOTACION METODO RESIDUAL


A1 = 1 = 1B1 = A1 – A2A1 = A2 + B1A1a1 = A2a2 + B1b1 A1a1 = A2a2 + (A1 – A2)b1A1a1 = A2a2 + A1b1 – A2b1A1(a1 – b1)= A2(a2 – b1)= 1

1 (a1 – b1) - 2 (a2 – b1)= 1

A2 = A3 + B2A2a2 = A3a3 + B2b2A2a2 = A3a3 + (A2 – A3)b2A2a2 = A3a3 + A2b2- A2b2A2(a2 – b2)= A3(a3 – b2)= 2

2 (a2 – b2) - 3 (a3 – b2)= 2

A3 = A4 + B3A3a3 = A4a4 + B3b3A3a3 = A4a4 + (A3 – A4)b3A3(a3 – b3)= A4(a4 – b3)= 3

3 (a3 – b3) - 4 (a4 – b3)= 2

DESARROLLO:



4 (a4 – b4) - 5 (a5 – b4)= 4


1 (a1 – b5) - 5 (a5 – b5)= 5Si = (12 + 22

+ 32 + 42 + 52)Si = [1 (a1 – b1) - 2 (a2 – b1)]

2 +………………Si = [12(a1 – b1)

2 - 212 (a1– b1) (a2 – b1)+ 22 (a2-b1)2 +22(a2 – b2)

2 - 223 (a2– b2) (a3 – b2)+ 32 (a3-b2)2 +32(a3 – b3)

2 - 234 (a3– b3) (a4 – b3)+ 42 (a4-b3)2 +42(a4 – b4)

2 - 245 (a4– b4) (a5 – b4)+ 52 (a5-b4)2 +12(a5 – b5)

2 - 215 (a1– b5) (a5 – b5)+ 52 (a5-b5)2 ]

-2 1 (a1 – b1) (a2 – b1) + 22(a2 –b1)2 +22(a2 –b2)2 -23 (a2 – b2) (a3 – b2) = 0

2 [(a2 – b1)2 +(a2 – b2)2 ] -3(a2 –b2)(a3 – b2) = 1 (a1 – b1) (a2 – b1)

-2 2 (a2 – b2) (a3 – b2) + 23(a3 –b2)2 +23(a3 –b3)2 -24 (a3 – b3) (a4 – b3) = 0

3 [(a3 – b2)2 +(a3 – b3)2 ] -4(a3 –b3)(a4 – b3) = 2 (a2 – b2) (a3 – b2)

-2 3 (a3 – b3) (a4 – b3) + 24(a4 –b3)2 +24(a4 –b4)2 -25 (a4 – b4) (a5 – b4) = 0

4 [(a4 – b3)2 +(a4 – b4)2 ] -5(a4 –b4)(a5 – b4) = 3 (a3 – b3) (a4 – b3)

2

JS

3JS

4JS

-2 4 (a4 – b4) (a5 – b4) + 25(a5 –b4)2 +21(a1 –b5)(a5 –b5) +-25 (a5 – b5)2 = 0

-4 [(a4 – b4)2 +(a5 – b4)2 ] -5(a5 –b4)+(a5 – b5)] = 1 (a1 – b5) (a5 – b5)

5JS


1 (a1 – b1) - 2 (a2 – b1)= 1

a1 - 1b1 - 2a2 + 2a2 = 1

a1 – b1(1 - 2) - 2a2 = 1

a1 - (1 - 2) b1 - 2 a2 = 1

2 (a2 – b2) - 3 (a3 – b2)= 2

2a2 - 2b2 - 3a3 + 3b2 = 2

2a2 - b2(2-3)- 3a3 = 2

2a2 - (2 - 3) b2 - 3 a3 = 2

3 (a3 – b3) - 4 (a4 – b3)= 3

3a3 - 3b3 - 4a4 + 4b3 = 3

3a3 – b3(3-4)- 4a4 = 3

3a3 - (3 - 4) b3 - 4 a4 = 34 (a4 – b4) - 5(a5 – b4)= 4

4a4 - 4b4 - 5a5 + 5b4 = 4

4a4 – b4(4-5)- 5a5 = 4

4a4 - (4 - 5) b4 - 5 a5 = 4

1 (a1 – b5) - 5 (a5 – b5)= 5

1a1 - 1b5 - 5a5 + 5b5 = 5

1a1 – b5(1-5)- 5a5 = 5

1a1 - (1 - 5) b5 - 5 a5 = 5 Hecho por: Ing. Roger Huarsaya

SJ = ai2 + bi

2 + 21[1 a1- (1 - 2) b1 - 2 a2 - 1] ...

+ 22 [2 a2- (2 - 3) b2 - 3 a3 - 2] ...

+ 23 [3 a3- (3 - 4) b3 - 4 a4 - 3] ...

+ 24 [4 a4- (4 - 5) b4 - 5 a5 - 4] ...

+ 25 [1 a1- (1 - 5) b5 - 5 a5 - 5]

2 a1 + 21 [1] + 25 [1] = 0 ==> a1 = -1 1 - 251 = -1 (1 + 5)

2 a2 + 21 [-2] + 22 [2] = 0 ==> a2 = 1 2 - 22 = 2 (1 - 2)

2 a3 + 22 [-3] + 23 [3] = 0 ==> a3 = 2 3 - 33 = 3 (2 - 3)

2 a4 + 23 [-4] + 24 [4] = 0 ==> a4 = 3 4 - 44 = 4 (3 - 4)

2 a5 + 24 [-5] + 25 [-5] = 0 ==> a5 = 4 5 + 55 = 5 (4 + 5)

1aSJ

2a

S J

3a

S J

4a

S J

5a

S J

2 b1 + 21 [-(1-2)] = 0 ==> b1 = 1 (1-2)

2 b2 + 22 [-(2-3)] = 0 ==> b2 = 2 (2-3)

2 b3 + 23 [-(3-4)] = 0 ==> b3 = 3 (3-4)

2 b4 + 24 [-(4-5)] = 0 ==> b4 = 4 (4-5)

2 b5 + 25 [-(1-5)] = 0 ==> b5 = 5 (1-5)

1b

S J

2b

S J

3b

S J

4b

S J

5b

S J


REEEMPLAZANDO: 1a1 + (1 - 2)b1 - 2a2 = 1

1[-11 - 51] - (1 - 2)[1((1 - 2)]- 2[12 - 22] = 1

-112 - 51

2 - 1(1 - 2)2- 12

2 - 222 = 1

1[-12 - (1 - 2)

2 - 22] + 22

2 + 5[-12] = 1

2a2 - (2 - 3)b2 - 3a3 = 2

2[12 - 22] - (2 - 3)[2(2 - 3)]- 3[223- 33] = 2

122 - 22

2 - 2(2 - 3)2- 23

2 + 332 = 2

122 +2 [-2

2 - (2 - 3)2 - 3

2] + 332 = 2

3a3 - (3 - 4)b3 - 4a4 = 3

3[23 - 33] - (3 - 4)[3(3 - 4)]- 4[34- 44] = 3

232 - 33

2 - 3(3 - 4)2- 34

2 + 442 = 3

232 +3 [-3

2 - (3 - 4)2 - 4

2] + 4(42) = 3

4a4 - (4 - 5)b4 - 5a5 = 4

4[34 - 44] - (4 - 5)[4(4 - 5)]- 5[45+ 55] = 4

342 - 44

2 - 4(4 - 5)2- 45

2 + 552 = 4

342 +4 [-4

2 - (4 - 5)2 - 5

2] + 5(-52) = 4

1a1 - (1 - 5)b5 - 5a5 = 5

1[11 - 51] - (1 - 5)[5(1 - 5)]- 5[45 + 55] = 5

-112 - 51

2 - 5(1 - 5)2- 45

2 + 552 = 5

1(-12) +5 [-1

2 - (1 - 5)2 - 5

2] + 4(-52) = 5 Hecho por: Ing. Roger Huarsaya

6.3 BALANCE DEL CIRCUITO DE CHANCADO MOSA


BALANCE DE SOLIDOS:MS1 = MS2 = MS6MS4 = U.MS1MS3 = MS2 – MS4 = MS1 – UMS1 = (1 - U)MS1MS5 = MS3MS6 = MS4 + MS5 = U MS1 + (1 - U)MS1 = MS1CALCULO DE U:MS2.FJ2 = MS3.FJ3 + MS4.FJ4

1

.1.

1

.1)1(

1

.1 432

MS

FMSU

MS

FMSU

MS

FMS JJJ

FJ2 = (1 - U).FJ3 + U.FJ4

FJ2 = FJ3 + U.FJ3 + U.FJ4 = FJ3 + U(FJ4 - U.FJ3 )U(FJ4 - FJ3 ) = .FJ2 - FJ3 U(FJ4 - U.FJ3 ) = (FJ2 - FJ3) ) = S= ()2

S= [U(FJ4 - U.FJ3 ) - (FJ2 - FJ3) ]2

S= [U2(FJ4 - U.FJ3 )2 – 2U(FJ4 - FJ3) (FJ2 - FJ3) + (FJ2 - FJ3)2 ]0)()()(2 3234

2

34 JJJJJJ FFFFFFUU

S


2

34

3234

)(

)()(

JJ

JJJJ

FF

FFFFU

CALCULO DE FJ5:MS5.FJ5 = -MS4.FJ4 + MS6.FJ6

(1 - U) MS1.FJ5 = -UMS1.FJ4 + MS1.FJ6 (1 - U) .FJ5 = -U.FJ4 + .FJ6

UFUF

F JJJ

1

645

CALCULO DE LOS VALORES AJUSTADOS:MS2.FJ2 = MS3.FJ3 + MS4.FJ4

MS4.FJ4 + MS5.FJ5 = MS6.FJ6

MS4.FJ4 = MS6.FJ6 - MS5.FJ5

MS2.FJ2 = MS3.FJ3 + MS6.FJ6 – MS5.FJ5

MS1.FJ2 = (1 - U).MS1.FJ4 + MS1.FJ6 - (1 - U).MS1.FJ5 FJ2 – FJ6 = (1 – U)(FJ3 + U.FJ5)Es decir Hallar el mínimo de:

flujosnk

mallanJFFWSK

KJKJKJK

...2,1

...3,2,12

1

Y que se cumpla:


6253)1( JJJJ FFFFU

6253

2

122 1 JJJJJ

K

KJJKJ FFFFUFFWL

222

222

2

2/

012

JJJJ

JJJJ

J

WFF

FFWF

L

32/)1(

012

33

333

3

WUFF

UFFWF

L

JJJ

JJJJ

J

555

555

5

2/)1(

0)1)(1(2

JJJJ

JJJJ

J

WUFF

UFFWF

L

666

666

6

2/

0)1(2

JJJJ

JJJJ

J

WFF

FFWF

L

5353

55

3353

11

2).1(

2

)1(

2

)1(

JJ

JJJ

J

JJ

J

JJJJ

WWUFF

W

UF

W

UFFF


6253

6253

)1(

0)1(

JJJJ

JJJJ

J

FFFFU

FFFFUL

6262

66

2

6262

11

222 JJ

JJJ

J

JJ

J

JJJJJ

WWFF

WF

W

FFFF

Reemplazando tenemos :

6262

5353

11

2

111

2)()1(

JJ

JJJ

JJ

JJJ WW

FFWW

UFFU

6262

53

253

11

2

111

2))(1(

JJ

JJJ

JJ

JJJ WW

FFWW

UFFU

53

2

626253

111

2

11

2)())(1(

JJ

J

JJJJJJ WW

UWW

JFFFFU

Suponiendo igual factor de calidad :

22 )100( JKJK

JJK

FFW


Reemplazando tenemos :

)())(1()100()100()1()100()100(2 6253

25

25

23

23

226

26

22

22 JJJJJJJJJJJJ

J

J FFFFUFFFFUFFFF

JJJ

JJJJJJJJ

JJJJJ

J

A

FFFFUFFFF

FFFFU

.2

)100()100()1()100()100(

)())(1(

2 25

25

23

23

226

26

22

22

6253

22

222

22

22

22

22 )100(.)100(..

2 JJJJJ

JJJJJ

J

JJJ FFAF

FFAF

WFF

25

255

25

25

55

55 )100().1()100().1(.

2

)1(JJJJ

J

JJJJJ

J

JJJ FFUAF

FFUAF

W

UFF

26

266

26

26

66

66 )100(.)100(..

2 JJJJJ

JJJJJ

J

JJJ FFAF

FFAF

WFF

23

233

23

23

33

33 )100().1()100()1.(.

2

)1(JJJJ

J

JJJJJ

J

JJJ FFUAF

FFUAF

W

UFF


Resumiendo :

22

2222 )100(. JJJJJ FFAFF

23

2333 )100().1( JJJJJ FFUAFF

25

2555 )100().1( JJJJJ FFUAFF

26

2666 )100(. JJJJJ FFAFF

U

FUFF

JJ

J

32

4

)1(

Eficiencia de chancado :

100*%

%%100*

%.

.%%..%

fx

dxfx

fxF

dxFfxFxEfic

100*lim

Pr.%.%

xmallalaenretenidoentadoaPeso

xmallalaAbandonaqueoducidoPesoxEficxAberturalaenEfic

GRACIASGRACIAS


balance y ajuste de datos

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