Operaciones de conjuntos1- Operaciones de conjuntos

En los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones básicas, que parten de algunos conjuntos dados y se obtienen nuevos conjuntos.

Sean dos conjuntos, A y B del conjunto universal U.

Las operaciones básicas que podemos definir entre conjuntos son;

Nota: El resultado de las operaciones representado en un diagrama de Venn lo pintaremos del siguiente color;

1.1- Unión de conjuntos:

La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.

Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la siguiente forma;

 

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión se representa;

Propiedades de la unión de conjuntos;

1° (A U A) = A

2° (A U B) = B U A

3° A U (B U C) = (A U B) U C

4° A U ᴓ = A

5° A U U = U

Ejemplo:

Sean los conjuntos;

Representar  A U B en un diagrama de Venn.

Para poder resolver este ejercicio, como los conjuntos A y B están definidos por comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para poder ver todos sus elementos; 

 Y luego, representamos la unión en diagrama de Venn;

1.2- Intersección de conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B pero. 

Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la siguiente forma;

 

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto vacío (ᴓ) y se representa;

 

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A, y se representa;

 

Propiedades de la intersección de conjuntos;

1° (A ∩ A) = A  Idempotencia

2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa

3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa

4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad

5° A ∩ U = A Identidad

Nota: La idempotencia es la propiedad para realizar la operación varias veces, y siempre obtener el mismo resultado que se obtendría si se realizara solo una vez.

Ejemplo:

Determina dos conjuntos que puedan dar origen a la intersección;

Para determinar dos conjuntos que den origen a esta intersección debemos buscar conjuntos que contengan estas letras, nosotros haremos los siguientes conjuntos, pero tú puedes formar otros;

 

Si representamos la intersección en un diagrama de Venn quedaría de la siguiente forma;

 

1.3- Diferencia de conjuntos:

La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.

 

La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia se representa de la siguiente forma;

 

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ), y se representa;

 

d) Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, la diferencia se representa;

Propiedades de diferencia de conjuntos;

1° (A - B) ≠ B - A 

2° A - B = A ∩ B’

3° A - ᴓ = A

4° A - U = ᴓ

5° ᴓ - A = ᴓ

6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5} .

¿Cuál es la diferencia de A - B?

 

1.4- Conjunto complementario:

Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe Ac, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

Es decir, también podemos interpretarlo como;

Propiedades de conjunto complementario;

1° A U AC = U

2° A ∩ AC = ᴓ

3° UC = ᴓ

4° ᴓC = U

5° (AC)C = A

Ejemplo:

Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u } ¿cuál es el complemento de A?

Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos Ac.

1.5- Diferencia simétrica de conjuntos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B y A ∩ B.

 

La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B y se representa;

 

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A, y se representa;

 

Propiedades de conjunto complementario;

1° A Δ B = B Δ A

2° (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

3° A Δ A = ᴓ

4° A Δ ᴓ = A

5° A Δ U = U - A 

Ejemplo:

Sean dos conjuntos A = { a, b, c } y { a, b, c, d, e, f } ¿Cuál es la diferencia simétrica de A y B? 

Recuerda: Para poder resolver un  ejercicio con conjuntos definidos por comprensión, primero es conviene escribir  estos conjuntos por extensión, para que sea más fácil resolver los ejercicios.