conjuntos y sus operaciones. funciones eeb - res

7/25/2019 Conjuntos y Sus Operaciones. Funciones EEB - Res.

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UNIDAD I: CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES.

I. CONJUNTO

1) Concepto

En matemticas, un conjuntoes una agrupacin de objetosconsiderada como

un objeto en s. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas,

nmeros, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la coleccin es

un elementoo miembodel conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores

del arcorises:

A !"ojo, #aranja, $marillo, %erde, $&ul, $'il, %ioleta(

Los conjuntos pueden ser finitoso infinitos. El conjunto de los nmeros naturales

es infinito, pero el conjunto de los planetasen el )istema )olares finito. $dems, los

conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las

operaciones con nmeros.

Los conjuntos se denotan *abitualmente por letras ma+sculas. Los objetos que

componen el conjunto se llaman elementoso miembros.

!)SU"CONJUNTOS:

n subconjunto es un conjunto que se forma con algunos elementos de un conjunto.

Ejemplo#:

-

- /ilfono 0 clarinete

Elaborado por:

Prof. Cristian Paredes - Cel. (0971) 832.526 - (0982) 921.1
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Objetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Personashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Colorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Letrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arco%C3%ADrishttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Planetahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Solarhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica#Operaciones_b.C3.A1sicashttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Objetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Personashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Colorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Letrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arco%C3%ADrishttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Planetahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Solarhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica#Operaciones_b.C3.A1sicashttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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$) CARDINA% DE UN CONJUNTO:

El cardinal de un conjunto es el nmero de elementos del conjunto.

Ejemplo#:

Elaborado por:



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&) E'UI(A%ENCIA ENTRE CONJUNTOS

!) E%EENTOSLos conjuntos se pueden definir de dos maneras:

Por Comprensin:Cuando se e/presa una caracterstica comn que poseen

sus elementos. Puede e/presarse de dos maneras:Ejemplos: ! los departamentos del Paragua+( ! /1/ es departamentos del Paragua+(

Por Extensin:si se nombra cada uno de los elementos del conjuntos.

Ejemplos:

$ ! a, e, i, o, u ( 2 ! rojo, blanco, a&ul (

$) Rel*ci+n ,e Petenenci*.

Entre los elementos + los conjuntos se establece una relacin que puede ser de

pertenencia o de no pertenencia. Cuando un elemento forma parte de un conjunto, es

decir pertenece al conjunto, la relacin se simboli&a con el signo + cuando no

pertenece al conjunto , la relacin se simboli&a con el signo

$ $lto Paran A

3eembuc $

&) I-u*l,*, ,e conjunto#

Conjunto ,e pe#on*#.El conjunto de 4personas5 mostrado en la imagen, A,

tiene 6 miembros. Este conjunto puede representarse mediante lla7eso mediante

un diagrama de %enn. El orden de las personas en Aes irrele7ante.

Elaborado por:


)an Pedro

Concepcin

$lto Paran
http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A9ntesishttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Vennhttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A9ntesishttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn


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3.1 Conjuntos.

Dentro de la teora se consideran como primitivos o trminos no definidos los conjuntos y los

elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas maysculas y los elementos

con letras minsculas.

Intuitivamente, un conjunto es una coleccin o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se

llaman elementos o miembros del conjunto.

Si un objeto es elemento de un conjunto !, se escribe"

x A.

#ue se puede leer tambin $ pertenece a !$ o $ est% en !$. Si por el contrario, un objeto no es

elemento de un conjunto !, se escribe"

x A.

&n conjunto se puede definir 'aciendo la presentacin efectiva de cada uno de sus elementos, as el

conjunto ! cuyos elementos son (, ), *, se escribe"

A = { 2, 3, 5}

Esto se conoce como expresin por extensindel conjunto.

+tra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad #ue permita seleccionar de un

conjunto ya formado, a#uellos #ue verifi#uen dic'a propiedad. or ejemplo, dentro del conjunto de los

nmeros podemos seleccionar el conjunto - de los nmeros pares, en este caso se emplea una letra,

por lo general , para representar un elemento cual#uiera y se escribe"

B = { x / x es par}

lo #ue se lee" $- es el conjunto de los nmeros tales #ue es par$. Esta forma de definir un

conjunto de llamapor comprensin.

3.1.1 Definiciones.

3.1.1.1 Igua!a! !e Conjuntos.El conjunto ! es igual al conjunto - si ambos tienen los mismos

elementos, es decir, si cada elemento de ! es tambin elemento de - y recprocamente. uego,

podemos escribir"

"A = B# " x#"x A x B#.

3.1.1.2 $u%conjuntos.Si todo elemento de un conjunto ! es tambin elemento de un conjunto -,entonces se dice #ue ! es un subconjunto de -. Esta relacin se denomina relacin de inclusiny se

denota como" ! -.

Simblicamente esto se puede epresar as"

A B

"

x#"x

A

x

B#

Elaborado por:



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Esta relacin tambin se puede leer" $! est% contenido en -$, $! es una parte de -$. ara epresar

#ue ! no est% contenido en -, escribimos" ! -.

/on esta definicin de subconjunto se puede dar de otra manera la definicin de igualdad de dos

conjuntos, as"

"A = B# "A B# "B A#

uesto #ue todo conjunto ! es subconjuto de si mismo, se dir% #ue ! es un subconjunto propio de -0

si ! es subconjuto de - y ! no es igual a -. 1%s brevemente, ! es subconjuto propio de - si ! - y

! -. Esta situacin puede representarse mediante un diagrama as"

3.1.1.3 Conjunto &ni'ersa.Es el conjunto de todos los elementos en discusin. 2ambin se le

llama dominio de discusino referencial.

El conjunto universal se designa con el smbolo 3.

Ejemplos

3. En geometra plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.

(. En los estudios de poblacin 'umana el conjunto universal estar% formado por todos los seres

'umanos del mundo.

3.1.1.( Conjunto )ac*o.Es el conjunto #ue carece de elementos. Este conjunto se denotar% por 4.

&n conjunto vaco se puede definir mediante una propiedad #ue sea contradictoria, por ejemplo"

Sea ! 5 6 7 (5 8 es impar9.

3.1.1.5 Conjunto !e +artes !e un Conjunto.El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto

!, se denomina conjunto de partes de Ay se denota P:!;.

En consecuencia,

P8$ / $

P8$ !/ 1 / !9

3.1.2 peraciones -un!aentaes con Conjuntos.

3.1.2.1 &nin.a unin de los conjuntos ! y -, es el conjunto de todos los elementos #ue

pertenecen a ! o a - o a ambos. Se denota la unin de ! y - por ! +- y se llama unin de A y B.

En consecuencia,/ 8 $ +2 / $ / 2.

Entonces se puede epresar por comprensin este conjunto as"

$ +2 !/ 1 / $ / 2 (

Elaborado por:



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&na interpretacin gr%fica de la unin de ! y - es la siguiente"

En la gr%fica la regin rayada corresponde a la unin de ! y -. Se presentan los conjuntos dentro de

un rect%ngulo #ue representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos ! y -.

3.1.2.2 Interseccin.a interseccin de dos conjuntos ! y - es el conjunto de los elementos #ue

son comunes a ! y a -, esto es, a#uellos #ue pertenecen a ! y #ue tambin pertenecen a -. Se

denota la interseccin de ! y - por ! - y se lee $! interseccin -$.

En consecuencia,

/ $2 / $ / 2.

El conjunto !- est% dado por"$2 ! / 1 / $ / 2 (.


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$9 !/ 1 / - / $ (.

3.1.3 0ees !e ge%ra !e Conjuntos.

Si 3 designa al conjunto universal y 4 al conjunto vaco, las siguientes identidades son v%lidas en el

%lgebra de conjuntos para conjuntos arbitrarios >, ?, @.

eyes conmutativas

; ; +; ; +.

eyes asociativas

8;


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- += . = = +- -.

=9 - -9 =.

ey de complemento doble

:>=;= 5 >.

Es importante destacar la dualidad dada en estas leyes, es decir, si en cual#uiera de las identidades,

cada unin se reemplaAa por una interseccin, cada interseccin por una unin, cada 4 por 3 y cada 3

por 4, la epresin resultante es tambin una identidad.

jercicios 3.1

3; Sean !, -, /, los siguientes conjuntos"

! 5 6 63,)9, 6(,8,B9, 6C,99

- 5 6 3,(,),8,B,C,9

/ 5 6 639, 6)9, 6(9, 689, 6B9, 6C9, 699

Es correcto decir #ue ! 5 - 5 / F. Epli#ue.

ara cada una de las siguientes epresiones0 diga si es correcto ono.

63,)9 ! 63,)9 - 639 ! 639 !

63,)9 ! 63,)9 C !-( 2 !-( 2

63,)9 - 63,)9 C !-( C !-( C

!!-(, !0(( 2 !!-(, !0(( C !!-,>( ( $.

(;Si ! 5 690 - 5 66990 G /u%les de las siguientes epresiones son correctasF

! 69 ! 69 - ! - 6!9 -

/ - 69 - 6699 ! ! 2 !$( 2.

); Dados los siguientes conjuntos"

H" El conjunto de los nmeros de cuatro cifras, donde dos al menosde dic'as cifras son cero.


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Determine todas las posibles relaciones de inclusin #ue se pueden establecer entre los conjuntos H, 5 6a, b, c, e, u, J, m, n, t, 6a9, 69, 6y9, 6c99, considerado como conjunto referencial,

! 5 669, 6y9, a, b, u, 6a9, t9 y - 5 6c, 6a9, 69, 6y9, m, t9.

Determinar != y -=.

K; Sea ! 5 64, 9. En el espacio en blanco colo#ue los signos apropiados entre , , , .

4 LLLLP8$ !=, 9 LLLLP8$ !!9,9 LLLLP:!;

649 LLLL ! 69 LLLLP:!; 669,49____P8$

LLLLP8$ !!99 LLLLP:!; 6649,699 LLLLP:!;

LLLL ! 64, 9 LLLL !

69 LLLL ! 6649, 49 LLLLP:!;.

C; Sean ! 5 64,6 3,(990 - 5 6 3,(90 / 5 63, 699.

DeterminarP:!;,P8P82,P8C.

; si ! es el conjunto de nmeros de dos cifras tales #ue la primera cifra es mayor #ue la segunda y -

el conjunto de nmeros de dos cifras tales #ue la primera cifra es menor #ue la segunda, epresar

! +- y !-.

34; Suponga #ue el conjunto universal es el conjunto de los nmeros enteros positivos. Defina S, E y

1 as"

S" /onjunto de todos los enteros positivos menores o iguales a B.

E" /onjunto de todos los enteros positivos pares.

Elaborado por:



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1" /onjunto de todos los enteros positivos mltiplos de tres.

Escriba epresiones algebraicas simples en trminos de S, E y 1 para los siguientes conjuntos"

6),B9, 63,),*9..

2odos los enteros positivos mltiplos de B.

2odos los enteros pares mayores #ue B.

El conjunto #ue contiene todos los mltiplos de ) y todos los

enteros impares.

33; Dar contraejemplos para los recprocos de cada uno de los siguientes teoremas"

! - - / ! /.

> ! > - > ! +-.

- ! - +/ ! +/.

- ! -/ !C.

3(; !plicando leyes fundamentales para el %lgebra de conjuntos simplifi#ue las siguientes epresiones.

:/ada epresin se reduce a un slo smbolo;.

!-=!=-=.

!- +!-= +!=- +!=-=.

!/= +!-/ +!/.

!-/ +!= +-= +/=.

:! +-;: != +-;.

vv

:! +!- +!-/; :! +- +/;.

: !-= +!=- ;= : !- +!=-= ;=.

!-/ +!-C9 +!-=/ +!=-/ +!-=/= +!=-/= +!=-=/ +!=-=/=.

3); Simplificar las siguientes epresiones, justificando cada paso.

:!- +!C +!=>=?;: !-=/ +!=>=?= +!=-?;=.

>;8@= +>? +>?@;.

Elaborado por:



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:>? +>=;9 +>?= ;= ::>= +?= ;: > +?= ;;=.

38; Escriba cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos >, ? y @, sin 'acer uso del

smbolo $?.

>=? @

> +?= @.

>?= +>=; @ +?=> ?= @.

3*; Encuentre una proposicin e#uivalente en trminos de inclusinpara cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos >, ?, @ y M.

: >= +; 8 < +M= ;= 5 4: >= +? ;: @ +M= ; 5 4.

> +?= +@= +M= 5 3

>;9 +@=M 5 4.

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) Conjunto Uni/e#*l

El conjunto que contiene todos los elementos a considerar.

0) Conjunto inito:

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar

ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que e/presado por

comprensin es:

$ !/1/ son las letras del alfabeto castellano(

2) Conjunto In3inito:

Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar o contar, se

considera como conjunto infinito ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo.

Los conjuntos infinitos siempre debern determinarse por comprensin@ para el

ejemplo:

2 !/1/ son las estrellas del uni7erso(

4) Conjunto Unit*io:

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. n ejemplo:

C !luna(

5) Conjunto (*c6o:

)e trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son ine/istentes,

ejemplos:

A !/1/ son perros con alas(

)e considera el conjunto 7aco como subconjunto de cualquier conjunto.

17) Conjunto# ,i#8unto# o ,i#junto#

Aos conjuntos son dis+untos cuando no tienen elementos comunes.

$ !-,0,>,B (

OPERACI9N CON CONJUNTOS

UNI9N

Elaborado por:



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Aados dos o ms conjuntos, se define la unin de conjuntos, como el conjunto

formado por los elementos de todos los conjuntos. Ejemplo: )ean los conjuntos $ !a,

b, c, d, e, f( + 2 !a, *, j(. La unin de $ + 2 es $ 2 !a, b, c, d, e, f, *, j(

DIERENCIA

Aados dos conjuntos $ + 2, su diferencia, $ 2, es los elementos de $ que no

pertenecen a 2. Ejemplo: a )ean los conjuntos $ !a, b, c, d, e, f( + 2 !a, *, j(.

La diferencia $ 2 es !b, c, d, e, f(. La diferencia 2 $ es !*, j(

$ 2

$ 2 !b, c, d, e, f(.

INTERSECCI9N

Aados dos o ms conjuntos, se define la interseccin de conjuntos, es un nue7o

conjunto que se forman con los elementos que son comunes a ambos conjuntos.

Ejemplo: a )ean los conjuntos $ !a, b, c, d, e, f( + 2 !a, *, j(. La interseccin de $ +

2 es !a(

$ 2

$ 2 !a(

b $ ! -, >, D, ( + 2 !D, F, --, (. Gallar $ 2

Ejecicio#

*) Pl*nte*miento# ue e#uel/en *plic*n,o Di*-*m*# ,e (enn 8 Ope*cione#

Conjuntit*#.

- En una clase de BD alumnos, a -D de ellos le gusta Hatemtica, a -> la Ieografa, a

J alumnos les gustan las dos materias. K$ cuntos alumnos no le gustan ni lo uno ni lootro

Elaborado por:


a

h jb c d

e f

h

a j

b c d

e f


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0 En un *otel, -6 personas comen *ue7os en el almuer&os, 6 comen panes, B comen

a la 7e& *ue7os + panes + D no comen nada. KCuntas personas comen en este *otel

> En un estacin de ser7icios *a+ -J empleados: -= es pla+ero, de entre ellos *a+ B

empleados que tambiMn la7an autos. En la seccin de la7ado *a+ 6 empleados en total.

KCuntos empleados que no la7an autos, solo es pla+ero KCuntos la7an autos + no

es pla+ero KCuntos no *acen ninguna de las dos cosas

B Cierto nmeros de personas trabajan en una agencia de 7iajes, -= saben *ablar en

alemn, -0 *ablan francMs + D saben a la 7e& *ablar francMs + alemn, B solamente

otra lengua. KCuntos personas trabajan en esta agencia

Elaborado por:



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15Elaborado por:

Prof Cristian Paredes - Cel (0971) 832 526 - (0982) 921 1

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