b números y operaciones 1 aritméticas...

B

Tablilla babilónica BM 85194. Mesopotamia poseía un extraordinario nivel de las técnicas de cálculo, enlas que se encuentran ya los rasgosde un modo de proceder genuinamente algebraico. Museo Británico, Londres.

Números y operaciones aritméticas1

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10

IntroducciónEn este primer bloque estudiarás uno de los pilares de las Matemáticas: los números reales y las

propiedades de las operaciones que se pueden realizar con ellos. Su estudio y comprensión

son la base para todo lo que trabajarás en éste y los próximos semestres. Algunos tipos de

números reales ya los conoces y los has trabajado extensamente a lo largo de los ciclos esco-

lares anteriores. En principio, sentirás que estás trabajando con temas conocidos, pero verás

matices nuevos que quizá antes nadie te había develado. El mundo de los números reales

es vasto y no se agota con lo que verás aquí expuesto, pero si despierta en ti el interés por

conocer más sobre ellos, se habrá logrado uno de los principales objetivos de este bloque.

Números

reales

Operaciones con

números reales

Clasificación de

los números reales

Jerarquía

y propiedades

de las operaciones

Leyes de los signos

y los exponentes

Máximo común

divisor y mínimo

común múltiplo

Propiedades de

los números reales

Relaciones

de orden

Evaluación diagnóstica,

p. 3

Fig. 1.1 Esquema de temas del bloque 1.

Números reales

Fig. 1.2 Hueso de Ishango.Con una antigüedad aproximada

de 20 000 años y encontrado a la orilla del río Eduardo, en la actual

República Democrática del Congo, muestra el posible registro de cuentas lunares, Smithsonian

Institution, Washington.

El homo sapiens ha estado en la Tierra al menos durante los últimos 300 000 años. El

desarrollo del conocimiento a lo largo de la historia de la Humanidad es un proce-

so complejo en el que intervienen las personas y su capacidad de simbolizar, social

y culturalmente, el medio que las rodea. Es muy interesante preguntarnos, te-

niendo en cuenta este entramado en el que se dan los avances en el conocimiento,

¿cuándo y por qué comenzó en la Humanidad la necesidad y actividad de contar?

Hoy en día se conocen las evidencias arqueológicas de que, aproximadamente,

hace 40 000 años el ser humano comenzó a realizar cuentas complejas y a regis-

trarlas. Resulta más o menos claro que para el Paleolítico tardío los cazadores eu-

roasiáticos ya habían desarrollado una forma de notación que les permitía llevar

un registro de los ciclos lunares grabando muescas sobre huesos y piedras (fi gura

1.2). Sin embargo, hasta que las sociedades humanas hicieron la transición de la

caza, la pesca y la recolección a la agricultura y la ganadería, el ser humano entró

en una vorágine de desarrollo cultural sin precedentes. Sus condiciones de vida y

las conformaciones de los grupos y sociedades se transformaron radicalmente con

el paso del tiempo y condujo al ser humano por senderos originales y diversos,

todos ellos con una misma característica: una evolución hacia un concepto de

número cada vez más elaborado. En este camino surge el desarrollo del concepto

de números reales, que nos sirven más allá del mero propósito de contar, siendo

sin duda el resultado de una agitada y rápida evolución de la sociedad durante los

últimos 5 000 años.

Los números que utilizamos para contar y los sistemas de numeración se inventaron y desa-

rrollaron, de manera independiente, en diferentes partes del mundo, por ejemplo, en el antiguo

Egipto, en la cultura babilónica y la cultura maya (fi gura 1.3, página 11), por mencionar algunas.

1Números y operaciones aritméticas

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11

Las fracciones se introdujeron también desde hace

miles de años, como se muestra en la figura 1.4. Sin

embargo, en el siglo VI a. C., Pitágoras y sus seguidores

descubrieron que los números naturales y las fracciones

no eran suficientes para medir, a partir de una uni-

dad de medida, la longitud de cualquier segmento de

recta; por ejemplo, la diagonal de un cuadrado. A las

magnitudes de ese tipo las llamaron inconmensurables.

Años después, alrededor del año 300 a. C., Euclides de-

mostró que existe una infinidad de éstas. Con el paso

del tiempo se fueron encontrando más y más magnitu-

des inconmensurables; sin embargo, durante muchos

siglos no fue claro cómo tratarlas de manera general.

Llegar al concepto moderno de número real que

estudiaremos requirió del trabajo de investigación de

muchísima gente. No fue sino hasta el año 1858 cuan-

do el matemático alemán Richard Dedekind (1831-1916)

encontró una manera de definir todas esas magnitu-

des inconmensurables que hoy llamamos números irracionales. Habiéndose

inventado ya también los números negativos, quedó así perfectamen-

te definido el conjunto de los números reales. La historia del desarrollo

del concepto de número, desde hace unos 5 000 años hasta la clarificación del

concepto de número real en el siglo XIX, es una muestra concreta de que la

Matemática es un producto social en constante transformación.

Números decimalesRecordemos que en un número decimal primero se escribe la parte entera

del número seguida de un punto e inmediatamente después se escribe la

parte decimal. La parte entera puede ser cualquier número entero. La parte

decimal puede tener un número finito de dígitos, pero también puede te-

ner una infinidad de dígitos. Incluso podemos formar un número decimal

tomando un entero cualquiera como parte entera y, después del punto

decimal, podemos ir eligiendo uno a uno los dígitos de la parte decimal.

La elección de cada dígito puede ser arbitraria: podemos ir escribiendo

los que se nos ocurran. En otras palabras, estamos considerando todo tipo

de expresión decimal; ésta puede ser muy simple, como en el caso de los

enteros, ya que, por ejemplo, se tiene 4 = 4.0; puede ser una expresión deci-

mal con un número finito de dígitos en su parte decimal y también puede

ser una expresión decimal con un número infinito de dígitos en su parte

decimal. El conjunto de los números reales está formado por todos los números decimales.

En otras palabras, decir número real es equivalente a decir número decimal. Recordemos también

que el sistema decimal se llama de esa forma porque la base de ese sistema es el número 10.

Ejercicio 1, p. 4

Fig. 1.4 Papiro Rhind, que muestra el uso de números fraccionarios en el antiguo Egipto, escrito aproximadamente en el año 1650 a. C, Museo Británico, Londres.

Fig. 1.3 Números mayas. Son conocidos los avances de la cultura maya, que floreció en América siglos antes de nuestra era. Los mayas sabían tanto de astronomía que predecían eclipses, ciclos solares y movimientos planetarios. Tenían un sistema de numeración muy avanzado, el cual era vigesimal e ¡inventaron el número 0!

El conjunto de los números reales está formado por todos los números decimales.

Ejemplo. Expresa en forma desarrollada los números 4 327 y 73.521.

Solución. 4327 = 4 1000 + 3 100 + 2 10 + 7 y = × + + + +73.251 7 10 3210

5100

11 000

.

1

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Clasificación de los números realesNúmeros racionalesLos números racionales son aquellos números reales que se pueden expresar como fracciones.

Como sabes, una fracción es el cociente de un número entero cualquiera entre un número

entero distinto de 0; al primer número se le llama numerador, y al segundo, denominador.

Hay que tomar en cuenta que cualquier número entero se puede ex-

presar como una fracción; por ejemplo:

7 =142

, − = −18543

y =005

.

Entonces se puede afi rmar que los números enteros son también nú-

meros racionales.

Veamos ahora qué característica tienen los números racionales en

su expresión decimal. Para esto podemos ver que la expresión decimal

de una fracción se puede obtener simplemente efectuando la división del numerador entre

el denominador.

Ejemplo. Da la expresión decimal de 35

y 5233

.

Solución.

Los números racionales son aquellos números

reales que se pueden expresar como fracciones.

Al efectuar la división de 52 entre 33, el residuo que va quedando nunca es 0; sin em-

bargo, si continuamos realizando la división para obtener más dígitos, en algún momento

tendremos un residuo que ya había aparecido con anterioridad y, de ahí en adelante, en el

cociente se genera la misma secuencia de dígitos que obtuvimos antes. De manera especí-

fi ca, en el primer paso de la división se tiene 1 en el cociente y 19 en el residuo; después

de eso, obtenemos en el cociente los dígitos 57 y volvemos a tener 19 como residuo; de ma-

nera que, si continuamos la división, tendremos nuevamente en el cociente los dígitos 57.

Si queremos expresar con más decimales 5233

, únicamente hay que repetir 57:

=5233

1.5757575757

Con cualquier número racional va a ocurrir algo similar, a partir de algún paso en la

división, habrá un conjunto de dígitos que se repiten. Por esta razón, se dice que los números

racionales tienen una expresión decimal periódica.

Ejercicio 2,p. 4

1. 5 7 …3 3 5 2

1 9 02 5 0

1 9

0. 65 3

3 00

= ÷ =35

3 5 0.6 pues

pues .y5233

= 53 ÷ 33 = 1.57…

Números y operaciones aritméticas

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Observa que 35

tiene la misma propiedad; en este caso, el dígito que se repite es 0:

=35

0.600000

Ejemplo. Encuentra los dígitos que se repiten consecutivamente en

la expresión decimal de 475222

.

Solución. Al efectuar la división de 475 entre 222, se obtiene =475222

2.1396396396

Así que los dígitos que se repiten consecutivamente son 396.

Para indicar que estamos escribiendo un número decimal periódico, se pone una raya

encima de los dígitos que se repiten consecutivamente. Así, podemos escribir:

5233

= 1.57 y475222

= 2.1396 .

Observa que, por ejemplo, en =73.25173 2511 000

, el número decimal 73.251 puede escribirse

como una fracción.

Si consideras otros ejemplos de números decimales con un número finito de dígitos en su

parte decimal, verás que cualquiera de ellos se puede escribir como una fracción.

Nota que cualquier número decimal con un número finito de dígitos en su parte decimal

tiene una expresión decimal periódica (el dígito 0 es el que se repite):

=73.251 73.2510000000

Números irracionales¿Únicamente los números racionales tienen una expresión decimal periódica? Históricamen-

te, la respuesta a esta pregunta no se obtuvo con facilidad; llevó muchos años de trabajo llegar

a ella. Pero, al fin, se obtuvo que la respuesta es sí: únicamente los números racionales tienen

esa propiedad. Esto, se pudo concluir una vez que se demostró que cualquier número que

tenga una expresión decimal periódica es un número racional.

Ejemplo. Vamos a expresar el número decimal periódico 4.7171717171 como una fracción.

Solución. Démosle el nombre de x al número 0.7171717171 ; es decir:

= 0.717171717171x

Entonces, multiplicando por 100 se obtiene:

100 x = 71.717171717171…Además, tenemos:

100 x x = 99 x

− =71.717171717171 0.717171717171 71

Por lo tanto,

99 x = 71

Así que =7199

x ; pero como = 0.717171717171x , entonces =0.7171717171717199

.

Ejercicio 3, p. 4

Los números racionales tienen una expresión decimal periódica.

1

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Esto lo podemos verifi car efectuando la división de 71 entre 99:

Los números irracionales son aquellos que no tienen

una expresión decimal periódica; es decir, que no se pueden expresar como

fracciones.

Para convertir a fracción un número racional con expresión decimal infinita, consulta http://www.edutics.mx/UTe.

TIC

Ejercicio 4,p. 4

0. 7 1 …

9 9 7 17 1 0

1 7 07 1

Finalmente,

= + = + = + =4.717171717171 4 0.717171717171 47199

39699

7199

46799

Como antes, esto lo podemos verifi car efectuando la división de 467 entre 99:

÷ =467 99 4.717171717171

Por otra parte, hay números decimales que no son periódicos; por ejemplo, el número

2.01001000100001000001000000100000001

Aquí los tres puntos (…) signifi can que el número se sigue escribiendo con el

patrón que se observa: en la parte decimal se tiene un 0, un 1, dos 0, un 1, tres 0,

un 1, cuatro 0, un 1, etcétera. Este número, al no ser periódico, no es un número

racional; es decir, no se puede expresar como una fracción.

A los números reales que no son racionales, se les llama irracionales. En otras

palabras, los números irracionales son aquellos que no tienen una expresión deci-

mal periódica; es decir, que no se pueden expresar como fracciones.

La existencia de segmentos de recta cuya medida no se puede expresar como

una fracción es conocida desde la época de Pitágoras (siglo VI a. C.). De acuerdo

con el teorema de Pitágoras, si se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos

midan 1, el cuadrado de la longitud de la diagonal es 2; por lo tanto la longitud de

la diagonal es 2 , como se muestra en la fi gura 1.5. Pero no existe una fracción

cuyo cuadrado sea igual a 2; o sea, 2 es un número irracional. A continuación se muestran

los primeros 50 dígitos, después del punto decimal, de la expresión decimal de 2 :

=2 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694

En este caso, los tres puntos (…) signifi can que la expresión decimal continúa, pero no

repitiéndose periódicamente. La expresión decimal de 2 nunca terminaría de escribirse

y, así sea inmensamente grande el número de dígitos que se escriban, no hay un patrón que

nos diga cómo obtener los dígitos siguientes.

1

1

Fig. 1.5 Triángulo rectángulocon catetos igual a 1 e hipotenusa igual a 2 .

2

Resulta paradójico que los pitagóricos, que no admitían la existencia de los irracionales, tuvieran como símbolo emblemático al pentagrama. Este símbolo es un polígono estrellado de 5 puntas, que resulta de trazar todas las diagonales de un pentágono regular. La proporción entre un lado del pentágono y su diagonalse aproxima al número irracional conocido como razón áurea. Para ver una animación de este proceso entraa http://www.edutics.mx/UfU.

AVERIGUA MÁS


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Hay una infi nidad de números que, al igual que 2 , en su expresión decimal nunca

terminarían de escribirse. Es decir, hay una infi nidad de números irracionales.

Teodoro de Cirene (465-398 a. C.) demostró que 3, 5, 7, 11, 13, 15 y 17

3, 5, 7, 11, 13, 15 y 17 no se pueden expresar como fracciones y

construyó una espiral, la cual lleva su nombre, en la que se van

trazando segmentos cuyas longitudes son las raíces cuadradas

de los números naturales, como se muestra en la fi gura 1.6.

Algunos números irracionales son muy utilizados; por

ejemplo, el número π (pi). Este número, aunque no con este

nombre (se le comenzó a llamar π a partir del año 1706), era

conocido por lo menos desde el siglo III a. C. y durante cientos

de años se buscó encontrar su valor exacto, pensando que se

podía escribir como una fracción. Pero, en el año 1776, el ma-

temático alemán J. H. Lambert (1728-1777) demostró que π es

un número irracional.

Otro número irracional famoso es el que se conoce con el

nombre de razón áurea (fi gura 1.7 y fi gura 1.8), el cual también

era ya conocido por lo menos desde el siglo III a. C.

Propiedades de los números realesRecta numéricaPiensa en una línea recta y verás la sencilla imagen que se forma en

tu mente. ¿Le ves fi n?, ¿y principio? ¿Cuán gruesa es la rayita que te

imaginas?, ¿tendrá el grosor de un cabello o es infi nitamente delgada?,

¿tiene huecos?

Como objeto matemático, una línea recta no tiene principio ni fi n y no

tiene grosor, o si se quiere decir de otra manera, su grosor es 0.

Además, está formada de puntos que no tienen ni largo ni ancho ni

alto; esto es, cada punto de la recta tiene longitud, ancho y alto iguales a 0.

Es curioso porque esos puntos sin dimensión, al juntarse, forman algo que

tiene longitud infi nita.

Applicación 1,p. 5

Fig. 1.6 Espiral de Teodoro.

Fig. 1.8 Nautilus (sección transversal).

Fig. 1.7 Segmento dividido en proporción áurea. Si se divide un segmento en dos partes, una de longitud a y la otra de longitud b, de tal forma que ( )+ ÷ = ÷a b a a b, al cociente a ÷ b se le conoce como la razón áurea. El valor de la razón áurea resulta ser un número irracional con valor:

1 + 52

1.6180339887498948...,

1

1

1

1

1

11 1 1

1

1

1

111

11

234

5

6

7

8

9

1011 12 13

14

15

16

17

La razón áurea se encuentra en objetos geométricos y en la naturaleza. Aunque se conocía antes de Euclides (300-265 a. C.), fue él quien hizo un estudio formal de ella y demostró que no se puede expresar como una fracción; es decir, que es un número irracional.

Utilizando la razón áurea se define un rectángulo áureo como uno tal que la proporción entre sus lados es la razón áurea. El pintor Alberto Durero (1471-1528) demostró que si se traza un rectángulo áureo de lados a + b y a, y a ese rectángulo se le quita un cuadrado de lados a y un cuadrado de lados b, queda un rectángulo áureo. Repitiendo esto consecutivamente, obtenemos una sucesión de rectángulos áureos. Utilizando esos rectángulos trazó la llamada espiral de Durero, la cual se puede observar en la naturaleza; por ejemplo, en la concha de un nautilus.

INFORMACIÓN IMPORTANTE

Para ver una estimación animada del número pi, puedes consultar la página http://www.edutics.mx/UTh.

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b

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Representación de los números enterosen una recta numéricaLa convención para representar a los números enteros en una recta numérica consiste en

elegir primero el punto que corresponde al 0. Se elige una unidad de medida y con ella se

colocan consecutivamente, a la derecha del 0, los números enteros positivos. De manera

similar, con la misma unidad de medida, se colocan consecutivamente, a la izquierda del 0,

los números enteros negativos (fi gura 1.9).

Fig. 1.9 Recta numérica con enteros.

Fig. 1.10 Recta numérica con medios.

Ahora bien, hay una infi nidad de números enteros; sin embargo, al representarlos en

una recta numérica únicamente son unos cuantos de la totalidad de puntos que contiene la

recta. Además, quedan bastante separados unos de otros. La distancia entre dos enteros con-

secutivos es siempre igual a 1; esto implica que quedan huecos de tamaño 1 entre un número

entero y el que le sigue (que es su sucesor).

Representación de los números racionalesen una recta numéricaPara representar a las fracciones en una recta numérica, lo haremos por pasos a fi n de que

se vea claramente cómo quedan repartidos. Primero representaremos a los medios, después

a los tercios y así sucesivamente.

Ejemplo. Representa a los medios en la recta numérica en la cual representamos a los enteros.

Solución. Si tomamos en cuenta que a cualquier entero lo podemos expresar como una

fracción con denominador 2 0 = 02

, 1 = 22

, 2 = 42

, etc. ; entonces, ya tenemos representada

una parte de los medios. El resto lo representamos en los puntos medios de los segmentos

que unen un entero con su sucesor: 12 en el punto medio del segmento que une 0 con 1,

32 en

el punto medio del segmento que une 1 con 2, etcétera (fi gura 1.10). Los medios negativos los

representamos de manera similar, a la izquierda del 0.

5 5–4–5 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

5 5–4–5 –3 – 0 3 442

42

– 32

32

– 22

22

– 12

12

El protagonista de la película Flatland, un cuadrado, sueña que visita un mundo unidimensional y trata de convencer al rey de la existencia de un mundo bidimensional. Puedes verla en http://www.edutics.mx/UGy.

AVERIGUA MÁS

También suponemos que una línea recta no tiene huecos: se puede recorrer ininterrum-

pidamente sin que pasemos por algo que no pertenezca a la recta.

Una recta numérica es una línea recta sobre la cual representamos los números reales.


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Fig. 1.11 Recta numérica con medios y tercios.

Observamos que ha disminuido la mitad el tamaño del hueco entre cada dos elementos

consecutivos del conjunto, porque ahora distan 12 entre sí.

Ejemplo. Representa a los tercios en la recta numérica en la cual representamos a los enteros

y a los medios.

Solución. Los tercios los representamos partiendo cada segmento que une un entero con

su sucesor, en tres partes de la misma longitud. Por ejemplo, dividiendo en tres partes de

la misma longitud el segmento que une 1 con 2, colocamos 43 y

53 en los puntos que marcan

la división del segmento. Representando de esta manera a los tercios, obtenemos la recta

numérica de la fi gura 1.11.

Ahora, entre cada dos elementos consecutivos, hay huecos de dos tamaños, porque, por

ejemplo, el hueco que hay entre 0 y 13 es de longitud

13, mientras que el hueco que hay entre

13 y

12 es de longitud

16. Observamos que los más grandes son los de longitud

13.

Al agregar los cuartos, si los representamos en la recta numérica en la cual tenemos a los

enteros, a los medios y a los tercios, los huecos más grandes serán los de longitud 14.

Continuando de esta forma, podemos observar que, a medida que avanzamos en este

proceso, el tamaño de los huecos más grandes que se van obteniendo, se hace más y más

pequeño, acercándose a 0.

El proceso anterior no lo concluiríamos nunca ya que, aún si lo continuamos durante

mucho tiempo y observamos hasta donde hemos avanzado, nos daremos cuenta de que aún

no hemos terminado.

Pero aquí es uno de los lugares donde entra la imaginación. Imaginemos que ya tenemos

representadas, en una misma recta numérica, a todas las fracciones.

La representación de los números racionales en una recta numérica es bastante curiosa. No llenan la recta; es decir, quedan huecos (de longitud 0); sin embargo, entre cualquier par de puntos sobre la recta hay una infinidad de puntos que representan números racionales. Además, si consideramos un punto que represente a un número racional cualquiera, no existe un punto que represente a un número racional que le siga inmediatamente después, ya que cualquiera que sea el punto que tomemos, a la derecha del primero, el punto medio del segmento que une esos dos puntos representa un número racional. Dicho en otras palabras, en una recta numérica, los puntos que representan los números racionales no están “pegados” uno a otro.


5 5–4–5 –3 –2 –1 0 3 42– 32

– 53

– 43

– 23

– 13

32

– 12

12

13

23

1

43

53

Ejercicio 5,pp. 5 y 6

Si quieres practicar la representación de fracciones en la recta númerica, puedes ver un video y resolverlos ejercicios propuestos que se encuentran en http://www.edutics.mx/UNk.

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Ya teniendo esta representación, si tomamos el punto que representa

una fracción cualquiera, no existe una fracción tal que el punto que la re-

presenta le siga inmediatamente al punto que representa a la fracción que

tomamos; en efecto, al tomar otra fracción cualquiera, ésta no es la más

cercana a la fracción inicial ya que el punto medio entre los puntos que

representan a las dos fracciones, representa otra fracción y ese punto

está más cercano al punto que representa a la fracción original que el

punto que representa a la segunda fracción que tomamos. Así que el punto

que corresponde a la segunda fracción no sigue inmediatamente (ya sea

antes o después) al punto que representa a la primera fracción. Por lo tanto, no existe ningún

par de fracciones que se representen mediante puntos consecutivos en una recta numérica.

Como quiera que sea, toda fracción, es decir, todo número racional tiene una representa-

ción en la recta numérica y, ya representados todos, siguen quedando huecos (como se verá

más adelante), pero no quedan huecos de longitud positiva porque, como vimos, en cada paso

de la representación, la mayor longitud de los huecos que van quedando va haciéndose cada

vez más pequeña, acercándose a 0, ya que:

�1,12

,13

,14

,15

,

Representación de los números irracionalesen una recta numérica ¿Tendremos cubiertos todos los puntos sobre una recta numérica con los números racionales?

La respuesta es no, por lo siguiente:

Si tomamos como unidad de medida la longitud de los puntos que representan al 0 y al 1,

sabemos que hay segmentos de recta cuya longitud no se puede expresar como una fracción,

por ejemplo 2 y muchas otras raíces cuadradas (de hecho hay una infi nidad de segmentos

de recta cuya longitud no se puede expresar como una fracción). Así que, si tomamos un

punto sobre la recta numérica, a la derecha de 0 tal que la longitud del segmento que une a 0

con ese punto sea 2 , ese punto no representa a ningún número racional. Tendríamos la mis-

ma situación si tomamos cualquier punto a la izquierda de 0 tal que la longitud que une a 0

con ese punto no se pueda expresar como una fracción y, como lo mencionamos antes, hay

una infi nidad de esos puntos.

Por lo tanto, al tener representados todos los números racionales sobre una misma recta

numérica, queda una infi nidad de puntos sobre esa recta que no representan números racio-

nales. Cada uno de esos puntos es lo que estamos considerando como un hueco de longitud 0.

Todos los huecos que quedan, después de representar a los racionales, son ocupados por los

números irracionales.

Hasta el momento vimos cómo se pueden representar los números racionales en una rec-

ta. Pero recordemos que, entre los números reales, hay también irracionales. Veamos entonces

cómo se representa un número irracional en una recta numérica. Para esto consideremos

un número irracional arbitrario (con parte entera igual a 0 para facilitar el razonamiento,

pero se puede hacer lo mismo cualquiera que sea la parte entera). Inventemos entonces un

número irracional; recordemos que su expresión decimal debe contener una infi nidad de

dígitos, pero no debe ser periódica.

No existe ningún par de fracciones que se

representen mediante puntos consecutivos

en una recta numérica.

Para ver cómo representar números irracionales en una recta, puedes visitar http://www.edutics.mx/UT7.

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Ejemplo. Defi ne un número decimal no periódico, con parte entera 0, eligiendo en cada lugar

decimal el dígito que se te ocurra y representa el número así defi nido en una recta numérica.

Solución. Inventemos los primeros 10 dígitos de la parte decimal: 0.2537195745 Comenza-

mos partiendo el segmento que une el 0 con el 1 en 10 partes iguales; es decir, mediante los

puntos 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Como el número que vamos a representar tiene

el dígito 2 en el lugar de los décimos, tomamos el punto que corresponde a 0.2; el número

decimal que queremos representar es mayor que 0.2, porque al dígito 2 le siguen dígitos

distintos de 0, pero es menor que 0.3, porque de otra forma el dígito de los décimos sería 3 o

un dígito más grande. Así que el número 0.2537195745 se encuentra entre 0.2 y 0.3. Ahora

partamos en 10 partes iguales el segmento que une 0.2 con 0.3; es decir, mediante los puntos

0.21, 0.22, 0.23, 0.24, 0.25, 0.26, 0.27, 0.28, 0.29. Como el número que vamos a representar

tiene el dígito 5 en el lugar de los centésimos, tomamos el punto que corresponde a 0.25; con

el mismo razonamiento que en el paso anterior, vemos que el número 0.2537195745 se

encuentra entre 0.25 y 0.26 (fi gura 1.12).

En el primer paso, observamos que el número 0.2537195745 se encuentra en un seg-

mento de longitud 0.1; es decir, 110

; en el segundo paso vemos que se encuentra en un segmen-

to de longitud 0.01, o sea, 1

100. Continuando con este proceso, vamos encerrando el número

0.2537195745 entre dos puntos tales que el segmento que los une tiene una longitud cada

vez más pequeña acercándose a 0: 110

, 1

100,

11 000

, etc. Asumiendo que la recta no tiene aguje-

ros, mediante este proceso, nos iremos acercando a un punto sobre ella y ese punto es el que

representa al número 0.2537195745 .

Fig. 1.12 Recta numérica. El punto que representa a 0.2537195745… se encuentra entre 0.25 y 0.26.

Con lo anterior ya sabemos entonces que todo número real queda representado mediante

un punto sobre la recta numérica. También es cierto que cada punto sobre la recta representa

a un número real. Es decir, todo número real se puede representar como un punto sobre una

recta y todo punto sobre esa recta representa a un número real.

La idea de representar a los números en una línea recta viene de hace cientos de años; sin embargo, todavía en la primera mitad del siglo X I X no era claro que todo punto sobre una línea recta representaba un número. Esto se daba sobre todo porque no se tenía claro cómo definir de manera precisa lo que es un número irracional y tampoco era claro lo que se entendía por un continuo de puntos. En el año 1872, el matemático alemán Richard Dedekind logró aclarar esas dos cosas, definió de manera precisa lo que se entiende por un número real y mostró que hay una correspondencia uno a uno entre los puntos de una línea recta y los números reales. Para ampliar estas ideas, puedes consultar las secciones 1, 2 y 3 del artículo de Richard Dedekind en http://www.edutics.mx/UTL.


Para conocer más acerca de los números reales, visita http://www.edutics.mx/UTR.

TIC

0.20 0.25 10.26 0.3

Ejercicio 6,p. 6

1

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

20

Relaciones de orden

Relaciones de orden en los números enterosDe acuerdo con la convención, establecida con anterioridad, para representar a los números

enteros en la recta numérica, si un entero positivo es menor que otro entero positivo, el

primero queda colocado a la izquierda del segundo.

Para darnos cuenta de cuando un número negativo es menor que otro número negativo,

consideremos el siguiente problema:

Ejemplo. En un cierto día del año, la temperatura mínima en una ciudad fue de −5 ºC, mien-

tras que en una segunda ciudad la temperatura mínima fue de −8 ºC. ¿En cuál de las dos

ciudades fue menor la temperatura mínima?

Solución. Podemos darnos cuenta inmediatamente de que en la segunda ciudad la tempera-

tura mínima fue menor que la temperatura mínima en la primera porque −8 ºC es más frío

que −5 ºC. Así que tenemos la siguiente relación:

8 menor que 5

De esta manera podemos ver que, al comparar dos números enteros negativos, el menor

de ellos es el que sería el mayor si no tuvieran signo negativo.

Si comparamos un número entero negativo con un número entero positivo o con el nú-

mero 0, el número entero negativo es menor que el número entero positivo y también menor

que el número 0.

Una vez que sabemos lo anterior, podemos decir que si representamos los números ente-

ros en una recta numérica de la manera en que se mencionó con anterioridad, si un número

entero es menor que otro número entero, el primero queda colocado a la izquierda del se-

gundo.

Relaciones de orden en los números racionalesDados dos números racionales positivos, siempre es posible decir cuál de ellos es mayor que

otro.

Para indicar que una fracción es mayor o menor que otra, se utilizan los símbolos > y <;

el primero signifi ca mayor que, y el segundo, menor que. Por ejemplo:

>58

47

>617

518

<1935

47

=143187

169221

Veamos ahora cómo quedan representadas dos fracciones positivas en una recta numérica

cuando la primera es menor que la segunda.

Ejemplo. Considera las fracciones 1117

y 59. ¿Cuál de ellas es menor que la otra? Al representarlas

en una recta numérica, ¿cuál de ellas queda a la izquierda de la otra?

Solución. Multiplicando por 9 el numerador y el denominador de la primera fracción, y mul-

tiplicando por 17 el numerador y el denominador de la segunda fracción, obtenemos:

1117

= 99153

y59

= 85153

Ejercicio 7,p. 6


MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

21

Vemos entonces que 59 es menor que

1117

. Además, al representar en una recta numérica las

fracciones con denominador 153, la fracción 85153

queda colocada a la izquierda de la fracción

99153

. Por lo tanto, 59 queda colocada a la izquierda de

1117

.

Con este ejemplo podemos darnos cuenta de que si una fracción positi-

va es menor que otra también positiva, entonces, al representarlas en

una misma recta numérica, el punto que representa a la primera fracción

se encuentra a la izquierda del punto que representa a la segunda.

Considerando lo anterior acerca de los números negativos, podemos

ver que esa propiedad es válida para todas las fracciones; es decir, para

todos los números racionales. Así que podemos afi rmar que si un núme-

ro racional es menor que otro número racional, alrepresentarlos en una

misma recta numérica, el punto que representaal primer racional se en-

cuentra a la izquierda del que representa al segundo.

Relaciones de orden en los números realesConsiderando que ya tenemos una manera de representar cualquier número real en una recta

numérica y que esa representación es tal que si un racional queda representado a la izquier-

da de otro racional, el primer racional es menor que el segundo, podemos dar la siguiente

defi nición general:

Si un número racional es menor que otro número racional, entonces, al representarlos en una misma recta numérica,el punto que representa al primero se encuentra a la izquierda del punto que representa al segundo.

Se puede ver que esta defi nición nos lleva a la siguiente regla práctica para comparar dos

números reales:

Para comparar dos números reales, escritos en forma decimal, únicamente tenemos que

fi jarnos en el primer dígito en el que difi eren; si en el primer número ese dígito es menor

que el dígito correspondiente en el segundo, el primer número es menor que el segundo.

Ejemplo. Ordenemos del menor al mayor los siguientes números: π, ×94

2 ,

×2916

3 y 3.1416

Solución.

= 3.14159… , × =94

2 3.18198 y × =2916

3 3.13934

Así que:

π× < < < ×2916

3 3.141694

2 .

Defi nición. Dados dos números reales cualesquiera, diremos que el primero es menor que el segun-

do si, al representarlos en una misma recta numérica, el primero queda colocado a la izquierda del

segundo.

Ejercicio 8,p. 6

En matemáticas, la ley de la tricotomía dice que para cualesquiera a y b en los reales, se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades: a = b, a < b ó a > b.


1

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

22

Operaciones con números reales Jerarquía de las operacionesEn ocasiones, al escribir una expresión aritmética, es ambiguo el orden en que deben efec-

tuarse los cálculos. Por esta razón, se recurre con frecuencia al uso de paréntesis, ( ), de cor-

chetes, [ ] y de llaves, { }, los cuales son llamados signos de agrupación y contribuyen a establecer

un orden en las operaciones.

Ejemplo. Encuentra dos maneras en que, utilizando signos de agrupación, se obtengan dos

resultados distintos para la expresión ÷ × − + ×9 3 5 7 8 4.

Solución. La expresión dada se podría escribir como ÷ × − + ×[9 (3 5)] 7 (8 4).

Escrita de esta forma, primero se divide 9 entre el resultado del producto

×3 5; a lo que se obtiene, se le resta 7 y, por último, a esto se le suma el

resultado del producto ×8 4. El resultado fi nal es 25.6.

También se podría escribir como ÷ × − + ×9 [(3 5) 7 (8 4)]. En este caso,

primero, al resultado del producto ×3 5 se le resta 7 y, al resultado se le

suma el producto ×8 4; fi nalmente, se divide 9 entre el último resultado

que se obtuvo. El resultado fi nal es 0.225.

Con el objeto de disminuir el número de signos de agrupación que

se utilicen y que no haya ambigüedad en la expresión que se escribe, se

establecen las siguientes reglas:

En una expresión aritmética, primero se

realizan las operaciones de multiplicación

y división y despuéslas de suma y resta.

Reglas para las operaciones

• En una expresión aritmética, primero se realizan las operaciones de multiplicación y

división y después las de suma y resta.

• En una expresión aritmética donde únicamente haya multiplicaciones y divisiones, las

operaciones se realizan de izquierda a derecha, en el orden en que aparezcan.

• En una expresión aritmética donde únicamente haya sumas y restas, las operaciones se

realizan de izquierda a derecha, en el orden en que aparezcan.

Siguiendo estas convenciones, la expresión ÷ × − + ×9 3 5 7 8 4 da 40 como resultado ya

que las operaciones se realizan como sigue:

÷ × − + ×[(9 3) 5] 7 (8 4).

Si no queremos que se realicen de esa forma, es necesario utilizar signos de agrupación.

Por ejemplo, el resultado de ÷ × − + ×9 (3 5) 7 8 4, utilizando las convenciones mencionadas, es

25.6. Cuando utilizas una calculadora científi ca, las operaciones se realizan automaticamente

conforme a las convenciones establecidas.

Ejemplos. Siguiendo las convenciones establecidas, ¿cuál es el resultado que se obtiene en

las siguientes expresiones?

a) × + − ÷ + × − × −6 7 15 8 4 3 4 5 6 9

b) × + − ÷ + × − × −6 7 (15 8) 4 3 4 5 (6 9)

Soluciones.

a) × + − ÷ + × − × − = + − + − − =6 7 15 8 4 3 4 5 6 9 42 15 2 12 30 9 28

b) × + − ÷ + × − × − = + + + =6 7 (15 8) 4 3 4 5 (6 9) 4274

12 15 70.75

Ejercicio 9,pp. 6 y 7


MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

23

Propiedades de las operaciones entre números reales

• La suma y el producto son conmutativas.

• La suma y el producto son asociativas.

• El producto distribuye a la suma.

Propiedades de las operaciones entre números realesComo ya sabes, los números reales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. En este apar-

tado vamos a enunciar algunas propiedades que tienen estas operaciones entre números reales.

Ejemplo. Verifica que la suma es conmutativa sumando 0.275 y 5.1478 en diferente orden.

Solución. 5.14780 + 0.275 = 5.4228 y 0.275 + 5.14780 = 5.4228.

Ejemplo. Verifica que el producto es conmutativo multiplicando 36.289 y 41.1787 en diferente

orden.

Solución. 36.289 41.1786 = 1494.3302154 y 41.1786 36.289 = 1494.3302154 .

Ejemplo. Verifica que la suma es asociativa sumando 3.17, 15.438 y 7.21.

Solución. 3.17 + 15.438( ) + 7.21 = 25.818 y 3.17 + 15.438 + 7.21( ) = 25.818.

Ejemplo. Verifica que el producto es asociativo multiplicando 3.17, 15.438 y 7.21.

Solución. × × =3.17 (15.438 7.21) 352.8462966 y × × =(3.17 15.438) 7.21 352.8462966.

Ejemplo. Verifica que el producto distribuye a la suma multiplicando 14.13 por la suma de

5.731 y 6.188.

Solución. × + =14.13 (5.731 6.188) 168.41547 y × + × =14.13 5.731 14.13 6.188 168.41547.

Leyes de los signosA un número negativo se le da también el nombre de inverso aditivo ya que al sumar el número

sin el signo negativo más el número con el signo negativo se obtiene 0 como resultado. Por

ejemplo, ( )+ − =2.8 2.8 0. Este resultado se puede justificar de diferentes maneras; una de ellas

consiste en considerar un número positivo como un avance, y uno negativo, como un retro-

ceso; entonces si avanzamos 2.8 unidades y luego retrocedemos 2.8 unidades, regresamos al

lugar de origen. Interpretándolo de esta manera, vemos que el inverso aditivo de un número

es único; es decir, dado un número real cualquiera hay únicamente un número real tal que

sumándolo al primero el resultado es 0.

Vamos a utilizar este hecho para mostrar algunas propiedades de los números con signo.

Ejemplo. Demuestra que − = − ×2.8 ( 1) 2.8.

Solución. − = − ×2.8 ( 1) 2.8 porque − ×( 1) 2.8 tiene la misma propiedad que el inverso aditivo

de 2.8; al sumar − ×( 1) 2.8 y 2.8, se obtiene:

− × + = − × + × = − + × = × =( 1) 2.8 2.8 ( 1) 2.8 1 2.8 ( 1 1) 2.8 0 2.8 0.

El ejemplo lo hicimos con −2.8, pero podemos hacerlo con cualquier número negativo.

Ejemplo. Demuestra que − − =( 2.8) 2.8.

Solución. Como el inverso aditivo de 2.8 es −2.8, entonces el inverso aditivo de −2.8 es 2.8 (al

sumarlos, el resultado es 0); pero el inverso aditivo de −2.8 es − −( 2.8).

Problema 1, p. 7

1

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

24

Tenemos entonces que el inverso aditivo de −2.8 es 2.8, pero también el inverso aditivo

de −2.8 es − −( 2.8). Por lo tanto, − − =( 2.8) 2.8.

Al igual que antes, esto lo hicimos para el número 2.8, pero podemos hacerlo con cual-

quier número positivo. Entonces tenemos las siguientes propiedades:

Propiedades de números con signo

Si a es un número real cualquiera, entonces:

• ( )− = −1a a • ( )− − =a a

Propiedades de la multiplicación entre números reales (leyes de los signos)

• El producto de dos números negativos es un número positivo.

• El producto de un número negativo por uno positivo es un número negativo.

Ejemplo. Encuentra el resultado de − × −( 1) ( 1).

Solución. Por la primera propiedad, podemos escribir − − = − × −( 1) ( 1) ( 1); pero por la segunda

propiedad, − − =( 1) 1 . Así que: − × − = − − =( 1) ( 1) ( 1) 1.

Con esto basta para poder calcular el producto de cualquier par de números con signo.

Ejemplos. Encuentra el producto de − ×( 5.83) 7.92 y ( ) ( )− × −3.57 4.19 .

Soluciones. − × = − × × = − × × = − × = −( 5.83) 7.92 ( 1) 5.83 7.92 ( 1) (5.83 7.92) (5.83 7.92) 46.1736

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− × − = − × × − × = − × − × × = × × =3.57 4.19 1 3.57 1 4.19 1 1 3.57 4.19 1 3.57 4.19 14.9583

De manera que tenemos las siguientes dos propiedades:

Estas dos propiedades son conocidas como las leyes de los signos para la multiplicación de

números reales.

Leyes de los exponentesCon el objeto de simplifi car la escritura de un producto de números reales, los factores que se

repiten se agrupan; por ejemplo, si en un producto el número 5 se presenta como factor en dos

lugares, esos dos factores se agrupan y se escribe 52, en lugar de ×5 5; si se presentara como

factor en tres lugares se escribiría 53, en lugar de × ×5 5 5, y así sucesivamente. Esta notación

se utiliza para cualquier número real. Al número que se escribe como superíndice se le llama

exponente y, por ejemplo, 4.375 se lee “4.37 elevado a la potencia 5”. También se utiliza una

terminología particular para cada exponente: 6.42 se lee “6.4 al cuadrado”, 6.43 se lee “6.4 al cubo”, 6.44 se lee “6.4 a la cuarta” y de ahí en adelante se dice “a la quinta”, “a la sexta”, etcétera.

También se consideran exponentes negativos, para lo cual se utiliza la siguiente defi nición:

Defi nición. Si a es un número real distinto de 0 y n es un número natural, se defi ne =− 1a

an

n .

Si se realiza el producto de un número distinto de 0, elevado a una potencia, por el mismo

número elevado a otra potencia, el resultado del producto es el mismo número, pero con

exponente igual a la suma de los exponentes.


MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

25

Leyes de los exponentes

Si a es un número real distinto de 0 y n y m son números enteros, entonces:

an am = an+m , ÷ = −a a an m n m y an( )m = an m

Ejemplo. Justifica que ( ) ( ) ( )× =2 2 23 6 9

.

Solución. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )× = × × × × × × × × =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 6 9

Si realizamos la división de un número distinto de 0 elevado a una potencia entre el

mismo número elevado a otra potencia, esta división se puede expresar como una fracción

y el resultado de la división es el mismo número, pero con exponente igual a la resta del

exponente del numerador menos el exponente del denominador.

Ejemplo. Justifica que ÷ =9 9 95 3 2 y que ÷ = −9 9 95 8 3.

Solución. ÷ = =× × × ×

× ×= × =9 9

99

9 9 9 9 99 9 9

9 9 95 35

32

y 95 ÷ 98 = 95

98 = 9 9 9 9 99 9 9 9 9 9 9 9

= 19 9 9

= 193 = 9 3.

Observemos que, por ejemplo, ÷ =9 9 15 5 , así que, con objeto de que se cumpla la regla

anterior, si a es un número real distinto de 0, se define = 10a .

Si se tiene un número distinto de 0 elevado a una potencia y esta potencia se eleva a

otra potencia, el resultado es el mismo número, pero con exponente igual al producto de los

exponentes.

Ejemplo. Justifica que =(6 ) 63 4 12.

Solución. = × × = × × × × × × × × × × × =(6 ) (6 6 6) (6 6 6) (6 6 6) (6 6 6) (6 6 6) 63 4 4 12

En el caso en que el número que se eleva a una potencia es el 0, las reglas anteriores se

cumplen siempre y cuando las operaciones estén bien definidas. Por ejemplo, −0 1 no está de-

finido, pero 0 elevado a una potencia positiva sí está definido y el resultado es 0.

Ejemplos. Encuentra el valor de:

a) ×(0.03) (0.003)3 2

b) − × − −( 2) ( 2)4 7

c) − × −−( 2.5) ( 2.5)5 2

d) 23

7

÷ 23

4

e) 45

3

÷ 45

2

Soluciones.

a) ( ) ( ) ( )× = =0.03 0.03 0.03 0.00000002433 2 5

b) ( ) ( ) ( )( )

− × − = − =−

= −− −2 2 2

1

2

18

4 7 3

3

c) −2.5( )−5 × −2.5( )2 = −2.5( )−3 = 1

−2.5( )3= − 1

15.625= −0.064

Ejercicio 10, p. 7

Ejercicio 11, p. 8

Problema 2, p. 8

d) 23

7

÷ 23

4

= 23

3

= 827

e) 45

3

÷ 45

2

= 45

5

= 10243125

1

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

26

Máximo común divisorDecimos que un número entero es divisor de otro número entero si al dividir el

segundo número entre el primero se obtiene un número entero.

Por ejemplo, 4 es divisor de 20 porque al dividir 20 entre 4 obtenemos un

número entero; 3 no es divisor de 20 porque al dividir 20 entre 3 no obtenemos

un número entero; 1 es divisor de cualquier número entero ya que al dividir ese

número entero entre 1, obtenemos un número entero.

Es posible que algún número natural tenga como divisores únicamente al

número 1 y al mismo número. Ese es el caso, por ejemplo, de los números 2, 3, 5

y 7, entre otros. A este tipo de números se les llama números primos.Decimos que un número natural es primo si sus únicos divisores son 1 y

él mismo. Por convención, el número 1 no se considera un número primo. Por

ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 son los números primos menores que 30.

Euclides (325-265 a.C, fi gura 1.13), en su obra Los Elementos, demostró que todo

número natural mayor que 1 se puede expresar como un producto de números

primos. Veamos eso con un ejemplo.

Ejemplo. Vamos a expresar el número 693 como un producto de números primos.

Solución. Lo que vamos a hacer es ir tomando cada número primo, desde el 2,

hasta llegar a un número primo que sea divisor de 693. Vemos inmediatamen-

te que 2 no es divisor de 693, pero 3 sí lo es y se tiene que = ×693 3 231; ahora

tomamos el número 231 y vamos a repetir el procedimiento, pero comenzando con el nú-

mero primo 3 porque ya sabemos que 2 no es divisor de 693, así que tampoco es divisor de

231; vemos que 3 es divisor de 231 y se tiene que = ×231 3 77. Ahora tomamos el número 77

y consideramos los números primos, a partir del 3, hasta llegar a uno que sea su divisor; ve-

mos que 3 no lo es, 5 tampoco, pero 7 sí lo es y se tiene = ×77 7 11; ahora observamos que 11

es un número primo, así que ya terminamos. La expresión de 693 como producto de números

primos es la siguiente:

= × × × = × ×693 3 3 7 11 3 7 112

El procedimiento que seguimos lo podemos escribir de manera sintética en una tabla:

Cantidad

por dividir

Divisores

primos

693

231

77

11

1

3

3

7

11

El número 1 al fi nal de la tabla indica que al dividir 11 entre 11, el cociente es 1.

En la película El hombre que conocía el infinito (2015) puedes emocionarte con la vida de Srinivasa Ramanujan (1887-1920), un matemático de la India que hizo grandes aportaciones a la teoría de números. Una anécdota cuenta que en una visita que recibió del matemático inglés G. H. Hardy, Ramanujan observó que 1 729 es el número natural más pequeño que se puede expresar de dos maneras distintas como la suma de dos números naturales al cubo: 1 729 = 93 + 103 = 13 + 123.

AVERIGUA MÁS

Fig. 1.13 Retrato de Euclides de Justo de Gante. Euclides ha pasado a la historia del pensamiento como

el gran compilador de los resultados matemáticos de la Antigüedad

reunidos en sus Elementos. Galería Nacional de las Marcas.

Palacio Ducal. Urbino, Italia.

Ejercicio 12,pp. 9-10

Actividad 1,p. 9


MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

27

Al procedimiento que seguimos en el ejemplo anterior se le llama el algoritmo de la división

sin residuos o división sintética.

Ejemplo. Vamos a expresar el número 2 585 como un producto de números primos y vamos

a encontrar todos sus divisores.

Solución. Apliquemos el algoritmo de la división sin residuos al número 2 585:

Cantidad

por dividir

Divisores

primos

2 585

517

47

1

5

11

47

Así que, = × ×2585 5 11 47.

Los divisores de 2 585 los obtenemos considerando todos los posibles productos que se

pueden realizar utilizando los tres factores en los que está expresado el número 2 585:

× =5 11 55 × =5 47 235 × =11 47 517 × × =5 11 47 2585

Así que, todos los divisores de 2 585 son: 1, 5, 11, 47, 55, 235, 517 y 2 585.

Definición. Dados dos números naturales, a y b, al mayor número natural que sea divisor

de a y divisor de b se le llama el máximo común divisor de a y b, y se le denota por mcd (a, b).

Definición. Dados dos números naturales, a y b, al menor número natural que sea múltiplo

de a y múltiplo de b se le llama el mínimo común múltiplo de a y b, y se le denota por mcm (a, b).

Ejemplo. Encuentra el mcd (30, 48).

Solución. Los divisores de 30 son 1, 3, 5, 6, 10, 15 y 30; los divisores de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8,

12, 16, 24 y 48. Podemos ver que 1, 3 y 6 son divisores de ambos números. Por lo tanto, mcd

(30, 48) = 6.

Mínimo común múltiploLos múltiplos de un número natural dado son todos los productos que

se obtengan de multiplicar el número dado por un número natural. Por

ejemplo, los múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, etcétera.

Dados dos números naturales, cada uno de ellos tiene un conjunto

de múltiplos; algunos múltiplos del primer número podrían también ser

múltiplos del segundo. Por ejemplo, los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30,

36, 42, 48, etcétera; los múltiplos de 8 son 8, 16, 24, 32, 40, 48, etcétera. De

esos múltiplos, 24 y 48 son múltiplos de ambos números. Al menor de los

múltiplos, de ambos números, se le llama el mínimo común múltiplo de esos

números. En este caso, el mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24.

Los múltiplos de un número natural dado son todos los productos que se obtengan de multiplicar el número dado por un número natural.

Ejercicio 13, p. 10

Problema 3, p. 10

Actividad 2, p. 10

1

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

28

Ejemplo. Encuentra el mcm (540, 369).

Solución. Los múltiplos de 540 son 540, 1080, 1620, etcétera. Los múltiplos de 360 son 360,

720, 1 080, 1 440, etcétera. Por lo tanto, mcm (540, 369) = 1080.

Un método que nos permite encontrar tanto el máximo común divisor como el mínimo

común múltiplo de dos números parte de expresar cada número como un producto de nú-

meros primos, escribiendo como potencias los factores que se repiten.

Ejemplo. Expresa los números 2772 y 5880 como productos de números primos, escribiendo

como una potencia el producto de factores que se repiten. Después, utiliza esas representa-

ciones para encontrar el mcd (2772, 5880) y mcm (2772, 5880).

Solución. Se tiene que 2772 = 22 32 7 11 y 5880 = 23 3 5 72.

De ambas expresiones seleccionamos los números primos comunes

que tengan la menor potencia y calculamos su producto. Nota que dicho

producto es divisor de 2772 y 5880 y no hay ningún divisor común que sea

mayor que él. Por lo tanto, mcdMCD(2772, 5880) = 22 3 7 = 84 .

Tomando en cuenta que 2772 y 5880 se pueden expresar también

como:

2772 = 22 32 50 7 11 y 5880 = 23 3 5 72 110,

donde 50 y 110 son iguales a 1, entonces ambos números quedan expresados como productos de

los mismos factores primos. De esta manera, al tomar de ambas expresiones los números

primos con la mayor potencia nos aseguramos que el producto de éstos sea múltiplo de 2772

y 5880 y que no haya ningún múltiplo común que sea menor que dicho producto. Por lo tanto,

mcmMCM(2772, 5880) = 23 32 5 7 11 = 194040.

Este método para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de

dos números naturales tiene como consecuencia un resultado interesante:

Si multiplicamos el máximo común divisor por el mínimo común múltiplo, estaremos

multiplicando todos los factores que se encuentran en el producto que representa al primer

número y todos los factores que se encuentran en el producto que representa al segundo. Pero

al efectuar este producto lo que obtenemos es el producto de los dos números. Así que se tiene

el siguiente resultado:

El producto del máximo común divisor y el mínimo

común múltiplo de dos números naturales

es igual al producto de esos números naturales.

Propiedad. Dados dos números naturales a y b, se tiene la siguiente relación:

mcdMCD(a, b) MCM(a, b) = a bmcmMCD(a, b) MCM(a, b) = a b

Si se explica con palabras, el producto del máximo común divisor y el mínimo común

múltiplo de dos números naturales es igual al producto de esos números naturales.

Para conocer más acerca de los números primos, ve el siguiente video: http://www.edutics.mx/UTa.

AVERIGUA MÁS

Ejercicio 15,p. 11

Ejercicio 14,p. 11

Actividad HSE,p. 12

Actividadde integración,

p. 13

Evaluación final,p. 14

Problema 4,p. 11


MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

Matemáticas 1CUADERNO DE TRABAJO

Miguel Ángel García Álvarez / Maricela Esperanza Alonso Quiroz

Daniela Pérez Olguín / Saúl Arce Rocha

Daniel Antonio Márquez Vázquez / Julio César Cedillo Sánchez

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

Números y operaciones aritméticas 3

Razones y proporciones 15

Sucesiones y series 21

Modelos de probabilidady estadística 31

Operaciones algebraicas 49

Ecuaciones lineales 69

Ecuaciones cuadráticas 85

1234

567

Índice

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MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

Evaluación diagnóstica 1B


I. Responde.

1. ¿La suma de números reales se puede realizar en cualquier orden? Justifi ca tu respuesta.

2. ¿La jerarquía de operaciones se puede alterar usando signos de asociación? ¿Por qué?

II. Resuelve las operaciones de números reales.

1. ÷ ÷ =12

34

32

2. ×

=2

18

218

3. − + − − − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

4. 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− 412

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

III. Aplica la jerarquía de operaciones e inserta paréntesis que asocien los términos de las expresio-

nes aritméticas para obtener los resultados propuestos.

1. − ÷ + × − ÷ + =12 8 4 3 2 18 6 3 8

2. − ÷ + × − ÷ + =12 8 4 3 2 18 6 3 16

3. − ÷ + × − ÷ + =12 8 4 3 2 18 6 3 2

IV. Resuelve el problema.

1. En una función de teatro ambulante de solidaridad para los damnifi cados de Oaxaca y Chiapas

por los sismos recientes, se han recaudado en tres días $5 068, $3 388 y $4 032, respectivamente.

¿Cuál es el mínimo número de personas que pudieron haber asistido, sabiendo que el precio de

entrada oscila entre los $10 y $20?, ¿y el máximo?

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4

B 1Números y operaciones aritméticas

EXPRESAR NÚMEROS REALES EN NOTACIÓN DESARROLLADA

I. Escribe en forma desarrollada los siguientes números reales.

1. 4.343

2. 0.4343

3. 434.3

4. 4.030403

5. 403.430

6. 4 034.30

II. Encuentra el valor de las siguientes expresiones.

1. × + × + × + =1 10 9 10 6 10 83 2

2. × + + + =1 10910

610

8102 3

3. × + + + =1 10 9610

810

23

4. × + + + =1 10 9610

810

02

ESCRIBIR LA EXPANSIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN

I. Encuentra la expansión decimal de los números racionales y, en su caso, utiliza la notación

para escribir su periodo.

1. 34

2. 3952

3. 199

4. 10033

5. 33100

CONVERTIR NÚMEROS DECIMALES A FRACCIONES

I. Encuentra la fracción que representa a cada una de las expansiones decimales.

1. 7.7 2. 0.7 3. 7.7 4. 7.77 5. 7.07

IDENTIFICAR DISTINTOS CONJUNTOS DE NÚMEROS

I. Completa cada una de las siguientes oraciones.

1. Los números están conformados por todos los números decimales.

2. Los números causaron difi cultades a lo largo de la historia de las Matemáticas

ya que no era fácil darles una interpretación.

3. Los números se utilizan para contar objetos o personas; comienzan con la uni-

dad y los demás números se obtienen a partir de su antecesor.

4. Los números se pueden escribir como el cociente de un número entero entre un

número natural diferente de cero; también son llamados fracciones.

5. El número π (pi), el cual es el cociente entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro,

es un número que pertenece al conjunto de los números .

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

EJERCICIO 4

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5


CONSTRUIR GEOMÉTRICAMENTE LA RAÍZ CUADRADADE 2, 3, 5 Y 7

En algunas actividades del cuaderno de trabajo vamos a utilizar GeoGebra, el cual es un programa gratuito

para computadora que puedes descargar de http://edutics.mx/UMk. Es fácil de usar: lo instalas e inicias

sesión. Puedes consultar algunos tutoriales en http://edutics.mx/UMZ.

I. Representa gráfi camente la raíz cuadrada de 2.

1. Traza una recta numérica y sobre ella marca los números 0, 1 y 2.

2. Traza una circunferencia con centro en 1 y radio 1.

3. Traza una perpendicular a la recta numérica que pase por el 1.

4. Une el 0 al punto de intersección de la recta perpendicular y la circunferencia; es decir, el punto

donde se unen.

5. La longitud del segmento que va del 0 al punto de intersección de la perpendicular y la circunfe-

rencia mide, ni más ni menos que, 2 .

6. Traza una circunferencia con centro en 0 y radio 2 .

7. El punto donde se interseca la circunferencia que acabas de trazar y la recta numérica es la repre-

sentación de 2 en la recta numérica.

II. Representa gráfi camente la raíz cuadrada de 3.

1. Traza una recta numérica y sobre ella marca los números 0, 1, 2 y 3.

2. Traza una circunferencia con centro en 1 y radio 1.5 (la mitad de 3).

3. Traza una perpendicular a la recta numérica, que pase por el 1.

4. Une el 0 al punto de intersección de la recta perpendicular y la circunferencia; es decir, el punto

donde se unen.

5. La longitud del segmento que va del 0 al punto de intersección de la perpendicular y la circunfe-

rencia mide, ni más ni menos que, 3 .

6. Traza una circunferencia con centro en 0 y radio 3 .

7. El punto dónde se intersecan la circunferencia que acabas de trazar y la recta numérica es la re-

presentación de 3 sobre la recta numérica.

III. Usa GeoGebra y aplica el método descrito en I y II, para representar 5 y 7 en la recta numérica.

UBICAR NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

I. Haz lo que se pide.

1. Representa los cuartos en una recta numérica en la cual estén ubicados los números enteros, los

medios y los tercios que se encuentran entre 0 y 2.

APPLICACIÓN 1

EJERCICIO 5

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2. A partir de lo anterior observa qué ocurre con las distancias entre cualquier par de puntos que

representaste. Escribe al menos dos conclusiones con tus propias palabras a partir de la discusión

desarrollada en la teoría y compara tus respuestas.

a) ¿Qué ocurre si lo hacemos en cualquier segmento de la recta numérica? Argumenta tu respuesta.

CONSTRUIR Y UBICAR NÚMEROS IRRACIONALES

I. Dados los números decimales: 0.2020020002… y 1.01011011101111… explica el proceso de cómo

se van obteniendo más dígitos en su expansión decimal.

II. A partir del ejemplo expuesto en la teoría, ubica números irracionales entre los números del

inciso anterior explicando a detalle cómo se van ubicando en la recta numérica.

OPERAR CON NÚMEROS NEGATIVOS EN LA VIDA COTIDIANA

I. Investiga situaciones cotidianas donde hay necesidad de utilizar números con signo, principal-

mente números negativos, para plantear un ejemplo donde se pueda analizar la comparación de

dos números con signo. Explica tu respuesta.

ORDENAR NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

I. Ordena de manera ascendente los números racionales: 34

, 3952

, 199

, 10033

y 33100

.

II. Obtén una aproximación a las expansiones decimales de los siguientes números reales: π , 2, 5

y e. Emplea una calculadora científi ca. Después, ordénalos de manera descendente.

APLICAR JERARQUÍA DE OPERACIONES Y LEYES DE LOS SIGNOS

I. Encuentra el valor de cada una de las expresiones aritméticas.

1. × + ÷ − × =6 2 10 5 7 9

2. ÷ × + ÷ × − × =14 2 5 27 9 8 5 6

3. + × − ÷ − + − × + ÷ − =(8 2) (9 5) (4 2) (12 6) (7 3) (6 2)

EJERCICIO 6

EJERCICIO 7

EJERCICIO 8

EJERCICIO 9

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4. − ÷ − + × − × − × =(16 5) 2 {[6 3 (2 4)] 7 2 9}

5. × ÷ + ÷ × − × =9 2 3 64 4 8 5 9

6. ÷ × + + × ÷ =7 49 5 (8 3) 4 23

7. × + ÷ − + − × + ÷ − =7 (10 5) (7 2) ( 36 2) (9 5) (9 7)

8. 1 − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

12− 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

13− 14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

14− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

9. 1 + 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

12− 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

13− 14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

14− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

10. 523÷ 8

12

÷ 929

11

832

321

=

APLICAR JERARQUÍA DE OPERACIONES Y SIGNOSDE ASOCIACIÓN

I. Expresa los primeros 15 números naturales usando sólo 4 cuatros y algunas de las operaciones

con números enteros (suma, resta, multiplicación, división, raíces, potencias, etcétera).

A manera de ejemplo hemos expresado al cero siguiendo las reglas del problema; en algunos casos,

la solución no es única. No olvides verifi car tu respuesta.

Número Expresión usando cuatro 4

0 4 × 4 − 4 × 4

1

2

3

4

5

6

7

Número Expresión usando cuatro 4

8

9

10

11

12

13

14

15

PROBLEMA 1

APLICAR LAS LEYES DE LOS EXPONENTES Y DE LOS SIGNOS

I. Encuentra el valor de las siguientes expresiones aritméticas.

1. − − − − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

2. − + − − − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

3. − − − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

4. − ÷ − + − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

5. − + − ÷ − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

6. − − ÷ − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

7. − − − − − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

8. − + − + − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

9. − ÷ − ÷ − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

10. − + − − =( 1) ( 1) ( 1)1999 1968 2018

EJERCICIO 10

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APLICAR LEYES DE LOS EXPONENTES

I. Simplifi ca hasta su mínima expresión usando la ley de los exponentes adecuada.

1. × × × =−2 10 3 102 5 2 4

2. ×

×=

4 102 10

6 7

4 11

3. × ×

× ×=

2 3 42 3 4

4 5 3

5 6 2

4. × × × =− − −(2 10 ) (2 10 )4 5 2 3 4 3

APLICAR OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

I. Resuelve los siguientes problemas.

1. En una región, la temperatura ambiente se elevó 2 ºC entre las 5:00 y las 6:00; después, entre las

6:00 y las 14:00 se elevó 8 ºC. Si la temperatura a las 5:00 era de −4 ºC, ¿cuáles fueron las tempera-

turas a las 6:00 y a las 14:00 horas, respectivamente?

2. Dos automóviles A y B a velocidades de 75.6 km/h y 86.2 km/h, respectivamente, van en sentido

contrario.

a) ¿Cuánto tiempo después de haberse cruzado estarán a 809 km de distancia uno de otro?

b) Si ahora los automóviles parten al mismo tiempo del mismo punto y en la misma dirección,

¿cuál es la distancia que ha recorrido cada uno 5 horas después?

3. En una bodega cuadrangular de 2.8 m de altura y cuyo piso tiene un área de 4 m², se quiere guar-

dar una varilla de acero que no se puede doblar y que mide 3 m de largo. La bodega tiene una

puerta en uno de los costados, como se muestra en la fi gura.

EJERCICIO 11

PROBLEMA 2

a) ¿Es posible colocar la varilla a lo largo del piso del cuarto? Justifi ca.

b) ¿Es posible colocar de alguna manera la varilla dentro del cuarto? Justifi ca.

Fig. 1.1 Bodega.

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ENCONTRAR NÚMEROS PRIMOS (CRIBA DE ERATÓSTENES)

I. Analiza la información acerca de cómo construir la criba de Eratóstenes y haz lo que se pide.

Se comienza con una tabla (como la que se muestra abajo) en la que están colocados los números natu-

rales a partir del número 1. Como el número 1 no se considera primo, lo tachamos. Comenzamos por

el número 2, el cual dejamos, pero a partir de él tachamos todos los múltiplos de 2. El siguiente nú-

mero entero de los que quedan es el 3, lo dejamos y eliminamos los números que sean múltiplos de 3.

El siguiente número de los que quedan es el 5, lo dejamos y después eliminamos los múltiplos de 5.

Así vamos avanzando. Cuando llegamos a un número que no ha sido eliminado lo dejamos, pero a

partir de él eliminamos sus múltiplos. Finalmente, quedarán sin tachar sólo números primos.

1. Ubica en la tabla los números primos menores que 100. Aplica el procedimiento de Eratóstenes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

DESCOMPONER NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS

I. Escribe cada uno de los siguientes números como producto de números primos.

1. 85

2. 143

3. 169

4. 75

5. 756

6. 1 617

II. Utiliza la información del inciso anterior, para simplifi car las siguientes fracciones.

1. =7585

2. =169143

3. =7561 617

ACTIVIDAD 1

EJERCICIO 12

Eratóstenes (276 - 194 a. C.) fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego que desarrolló un algoritmo,

conocido como criba de Eratóstenes en su honor, para poder obtener los números primos menores que un

número natural dado.

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III. Encuentra todos los divisores de 85, 169 y 756.

ENCONTRAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

I. Encuentra el mcd de las siguientes parejas de números: (16, 36), (50, 36), (50, 13), (19, 16).

APLICAR EL CÁLCULO DEL MCD

I. Resuelve las situaciones.

1. Una mamá le organiza una fi esta a su hijo. Se dirige a la dulcería y compra 16 chocolates y 24 pa-

letas. ¿Cuál es el número máximo de bolsitas de dulces que puede hacer de manera que cada una

tenga la misma cantidad de chocolates y paletas?

2. Otra mamá, días después, también organizó una fi esta para su hijo. Compró 16 chocolates, 12 chicles

y 24 paletas. ¿Cuál es el número máximo de bolsitas de dulces que puede hacer de manera que cada

una tenga el mismo número de chocolates, chicles y paletas?

REPARTIR ÓPTIMA Y EQUITATIVAMENTE UNA CANTIDADDE OBJETOS

I. Analiza la situación y responde.

1. ¿Entre cuántas personas es posible repartirnos los $120?

2. ¿Cuál es el número máximo de personas que pueden participar en dicha repartición?

EJERCICIO 13

PROBLEMA 3

ACTIVIDAD 2

Supongamos que somos “afortunados” y participamos en la repartición de $120 y nadie quiere recibir frac-

ciones de pesos, es decir, centavos, por lo que sólo aceptamos repartirlo entre una cantidad de personas de

manera que a todos nos toque la misma cantidad de pesos completos.

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ENCONTRAR MÚLTIPLOS COMÚNES

I. Forma todas las parejas posibles con los números enteros: 12, 15, 18, 24 y 36, y haz lo que se pide.

1. Para cada pareja, encuentra al menos un entero positivo que sea factor común de los números que

la forman, o lo que es lo mismo, que ambos números en la pareja sean múltiplos del entero que des.

Explica tu procedimiento y argumenta.

2. Ahora, encuentra los múltiplos comunes de cada pareja de números.

ENCONTRAR FACTORES POR DIVISIÓN SINTÉTICA

I. Aplica el algoritmo de la división sin residuos a 12, 18, 24 y 36 para expresarlos como productos

de números primos. Completa la solución encontrando los factores faltantes.

a) c)

PROBLEMA 4

EJERCICIO 14

b) d)

ENCONTRAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

I. Encuentra el mínimo común múltiplo de las parejas que se forman con 12, 15, 18, 24 y 36.

1. mcm (12, 15) =

2. mcm (12, 18) =

3. mcm (12, 24) = 4. mcm (18, 24) = 5. mcm (18, 36) =

6. mcm (12, 36) =

7. mcm (15, 18) =

8. mcm (15, 24) = 9. mcm (15, 36) = 10. mcm (24, 36) =

EJERCICIO 15

12

6

3

1

2

3

18

9

3

1

3

3

36

18

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2

3

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Actividad HSE

Efecto de los premios y de los castigosEfecto de los premios y de los castigosHabilidad general: determinación

Habilidad específi ca: motivación del logro

I. Lee el siguiente texto.

II. Haz lo que se pide basándote en el texto leído.

1. Identifi ca dos experiencias de tu vida académica: una en la que hayas recibido un premio y otra

en la que hayas recibido un castigo.

a) ¿Cómo te sentías al hacer lo que te permitía obtener un premio o evitar un castigo?

b) ¿Consideras que el recurso de premio-castigo tuvo algún efecto en tu vida?

c) Del 1 al 5, donde 1 es muy negativo y 5, muy positivo, ¿cómo califi cas cada experiencia?

III. Reúnanse en equipos y contesten con base en lo leído en el texto.

1. ¿Están de acuerdo con lo que expresa el autor?, ¿por qué?

2. Escriban sugerencias para propiciar su desarrollo como estudiantes que no incluyan premios o

castigos como métodos.

Los premios y los castigos son motivaciones externas “extrínsecas”, ajenas a la tarea o al comporta-

miento que se está buscando; por ejemplo, una golosina nada tiene que ver con hacer los ejercicios de

la tarea de matemáticas. Estas motivaciones externas, dice Kohn, no cambian las cargas emocionales

y los conocimientos que originan el comportamiento de los niños. En consecuencia, “a un niño al

que se le promete un regalo por aprender, o por actuar responsablemente, se le están dando todas las

razones para dejar de hacerlo cuando ya no pueda obtener la recompensa”.

La investigación y la lógica –dice el autor– nos hacen ver que los castigos y los premios realmente no

son procedimientos opuestos, son los dos lados de una misma moneda. “Ambas estrategias signifi can

también formas de tratar de manipular el comportamiento de alguien; en un caso, apuntando a la

pregunta ‘¿Qué quieren ellos que haga, y qué me pasa si no lo hago?’ y en el otro caso orillando al

niño a preguntar: ‘¿Qué quieren ellos que haga, y qué obtengo si lo hago?’. Ninguna de esas estrategias

ayuda a los niños a enfrentar la pregunta: ‘¿Qué clase de persona quiero ser?’”.

Manuel Pérez Rocha, Los garrotes y las zanahorias (Glosa de un ensayo de Alfi e Kohn),

México, Universidad Autónoma de la Ciudad de México, 2005, p. 12.

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Actividad de integración

I. En equipos de tres integrantes, ingresen a http://edutics.mx/UM4

y lean acerca de los planetas y sus características.

1. Respondan lo que se pide.

a) ¿Cuál de los planetas puede alcanzar la menor temperatura?

b) ¿Cuál puede alcanzar la mayor temperatura?

c) ¿Cuántos grados de diferencia hay entre las temperaturas

más bajas que registran el planeta del inciso a) y la Tierra?

2. De acuerdo con la información que se proporciona en la página web, completen la tabla.

PlanetaDiámetro

(con respecto al radio dado)

Periodode traslación

Temperatura en la zona

oscura

Temperatura en la cara iluminadapor el Sol

Diferencia de temperaturas

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

Júpiter

Saturno

Urano

Neptuno

a) En el año 2012 se presentó la alineación de la Tierra, Venus y el Sol. Con base en los periodos

de traslación de estos planetas, calculen cuánto tiempo pasará para que ambos planetas se

vuelvan a alinear con el Sol.

b) Investiguen cuándo sucederá nuevamente este fenómeno y compárenlo con la respuesta que

obtuvieron en el inciso anterior. Comenten y lleguen a conclusiones.

Lista de verificaciónLista de verificaciónAspectos a evaluar Sí No

Comparo y ordeno números reales.

Realizo operaciones aritméticas con números reales.

Resuelvo problemas de situaciones reales que impliquen operaciones aritméticas.

Entiendo el concepto del máximo común divisor (MCD) y lo aplico de manera correcta.

Entiendo el concepto del mínimo común múltiplo (MCM) y lo aplico de manera correcta.

Fig. 1.2 Sistema solar.

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

Evaluación finalB1

© T

odos

los

dere

chos

res

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dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.


I. Expresa en formato: decenas + unidades + décimos + centésimos + milésimos, los números reales.

1. 12.354 2. 9.34 3. 23.078

II. Usa las palabras periódica, números racionales, números enteros, números irracionales para comple-

tar los enunciados.

1. Los números enteros también son .

2. Los números reales contienen a los .

3. Un número decimal que no es racional pertenece a .

4. Un número real es racional si y sólo si su expansión decimal es .

III. Calcula la expresión decimal de los números racionales 37

,25

,5 5614 950

. Denota el periodo de cada

expresión.

IV. Represnta sobre la recta numérica los números reales: 12

,23

,35

,58

y83

.

1. Escribe la expresión decimal de los números que ubicaste.

2. Localiza en la recta otros 10 cocientes a partir de los que localizaste.

3. Ordena de menor a mayor la lista de fracciones que ubicaste.

V. Simplifi ca las expresiones con radicales.

1. =27 =

2. × =12 3 =

3. =45

5 =

4. + =12 27 =

5. − =90 45 =

6. =8

6 =

VI. Completa el enunciado. Usa la palabra divisible, divisor, múltiplo y factor según sea caso.

1. Si b es un entero y A es un número natural, entonces decimos que b divide a a si:

a) b es un de a.

b) b es de a, esto es, a = b × c para algún entero c.

c) a es de b.

d) a es entre b.

¡Todos los enunciados anteriores son equivalentes!

VII. Calcula la descomposición en factores primos de 420 y 150. Luego, encuentra el mcd (420, 150)

y el mcm (420, 150).

1. Multiplica el mcd (420, 150) por mcm (420, 150). ¿Qué resultado obtienes?

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

b números y operaciones 1 aritméticas...

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