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ÁREA MATEMÁTICA

1. Fundamentación2. Propósitos de enseñanza3. Contenidos 4. Sugerencias metodológicas 5. Recomendaciones para el desarrollo curricular.Respecto del “corredor”, como trayecto integrado.Respecto de la resolución de problemas.6. Evaluación7. Expectativas de aprendizaje al finalizar el ciclo básico

1.- Fundamentación

Las diferentes concepciones inherentes a la naturaleza de la Matemática y en particular a las características del conocimiento que ofrece son objeto de estudio actual de la filosofía de la Matemática. Tal como lo señala Klimovsky1, cuatro preguntas medulares cuyas respuestas fundan la disciplina han sido respondidas de distinta manera: cuál es la entidad de los objetos de los que se ocupa (plano ontológico), por qué es verdadera una proposición matemática (plano epistemológico), cómo se avanza en el conocimiento (plano metodológico) y qué relación hay entre la Matemática y la realidad (plano del orden práctico).

Cambiantes y diversas - algunas en franca oposición- son las respuestas que provienen del formalismo, el logicismo y el neointuicionismo, entre otras corrientes del pensamiento matemático.

Las aserciones que responden al interrogante acerca de la relación entre la Matemática y la realidad gravitan notablemente sobre las propuestas curriculares y en consecuencia, en las finalidades de la enseñanza de la Matemática en el nivel secundario. En este sentido, señala Goñi2, pueden distinguirse quienes proponen que la finalidad de la enseñanza de la matemática se ubica en el plano de las capacidades cognitivas que genera en los sujetos y quienes lo hacen en el de la construcción del conocimiento disciplinar. Los primeros abonan la aplicación del conocimiento a contextos de uso, ligados al desarrollo personal y la integración social y profesional. Los segundos, centran las decisiones curriculares en la construcción del conocimiento disciplinar, siendo la lógica de la estructura epistemológica la que otorga orden para organizar el curriculum.

La unidad metodológica actual de la disciplina matemática resuelve este aparente antagonismo de los enfoques, al afirmar que los planos denotados son

1 KLIMOVSKY,G, BOIDO,G., Las desventuras del conocimiento mate-mático. Filosofía de la matemática: una introducción. Buenos Aires: AZ, 2005.2 GOÑI, J.; Didáctica de las Matemáticas. Barcelona: Graó, 2011.

distinguibles pero no separables y que cada uno es necesario, aunque no suficiente.

En Argentina, los lineamientos de la política educativa en términos curriculares enuncian la unidad metodológica disciplinar como formulación superadora de la dicotomía de los enfoques planteados:

[Los estudiantes accederán a una formación que:] “…habilite a los estudiantes para resolver matemáticamente problemas de diferente índole, en forma autónoma, a través de un tipo de trabajo matemático que permita a los alumnos interpretar información, establecer relaciones, elaborar conjeturas, elegir un modelo para resolver los problemas en cuestión, y argumentar acerca de la validez de los procedimientos utilizados y los resultados obtenidos. Esto implica incluir esta disciplina a lo largo de todos los años de la escolaridad”.3

Así, la lógica disciplinar opera sobre el desarrollo curricular, otorgando sentido a las opciones conceptuales en la resolución de problemas. De esta manera, el enfoque toma distancia del formalismo tanto como de la reducción instrumental.

Las concepciones de las que devienen los diversos enfoques responden de distintas maneras las cuatro preguntas centrales referidas más arriba, en tanto especifican el objeto propio de la Matemática. Delinear un objeto no estático, que evoluciona en múltiples direcciones, es tarea compleja que requiere reconocer hitos en la historia del conocimiento científico.

En el siglo XVII ya se señalaban los caminos que recorremos hoy. Precisamente Galileo Galilei afirmaba:

“… La Filosofía está escrita en este vasto libro que continuamente se abre ante nuestros ojos (me refiero al universo), que no puede entenderse si antes no se ha aprendido su lengua, el alfabeto en que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de la Matemática; sin cuyos caracteres geométricos es humanamente imposible comprender una sola palabra. Sin ellos, sólo se conseguirá vagar por un oscuro laberinto.”4

En este sentido y entendiendo que los contenidos son bienes culturales intrínsecamente valiosos, las razones que ponen en valor la inclusión se siguen del objeto propio y de los aspectos de la realidad en los que queda connotado.

Si revisamos la historia de la Matemática, la cronología de los avances muestra cómo la disciplina ha ido tomando forma. Desde tiempos inmemoriales, el hombre ha observado la naturaleza y ha operado sobre ella, dando cuenta de que algunos fenómenos evolucionaban respondiendo a ciertas causas y lo

3 Lineamientos Políticos y Estratégicos de la Educación Secundaria Obligatoria, 87.b. CFE, 20094 Citado por HEMPEL, C.; Sobre la naturaleza de la verdad mate-mática. En NEWMAN, J; El mundo de la Matemática, Barcelona: Grijalbo, 1984, pp 1347

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hacían bajo la forma de regularidades inteligibles que como tales se conservaban y hacían posible la predicción; la existencia de un orden en la naturaleza daba muestras de evidencia.

Con el transcurso de los siglos, la Matemática fue constituyéndose en lenguaje capaz de expresar ese orden en forma cuantitativa (Aristóteles señalaba la medida como objeto de la Matemática) y, con el desarrollo del álgebra (primero retórica, luego sincopada y finalmente simbólica) las relaciones de variación y dependencia entre magnitudes variables. Con el devenir de los siglos, además del álgebra, el cálculo, la geometría, la topología y la estadística aporta a la ciencia un modelo matemático no determinista.

Al respecto Klimovsky (2005), señala:“…A propósito de ciencias como la Física, la Química,

parte de la Biología, la Economía o la Sociología, no podrían entenderse las leyes y correlaciones que existen en la realidad natural y social (y en rigor ni siquiera podrían ser establecidas) si no se dispusiera de formulismos matemáticos para expresarlas. En este sentido, la Matemática es la llave que abre las puertas de la realidad.(…) tal como se la concibe hoy, la Matemática pone su atención en lo que llamamos estructuras, o sea, conjuntos de elementos relacionados de determinada manera, y el estudio del matemático remite a las propiedades que tienen tales conjuntos. Sin embargo, no puede decirse simplemente que la Matemática estudia estructuras, ya que, por ejemplo, el físico también lo hace. ¿Cuál es la diferencia? El físico quiere conocer las estructuras reales, es decir, cuáles son los conjuntos y relaciones que caracterizan a las familias de entidades existentes a las cuales dirige su atención; el matemático más bien estudia, como el lógico, estructuras posibles, es decir, aquellas que no son contradictorias ”5

A partir de estas ideas es posible afirmar que la Física interpreta estructuras y sistemas formales que se constituyen en modelos de la realidad. Luego, adoptados por la Física, los caracteres del lenguaje matemático se convierten en páginas de la naturaleza.La Matemática es la ciencia de los “patrones” (patterns); su lenguaje puede expresar el orden.

Es decir, considerando que en la unidad del saber, la disciplina es una categoría organizadora en ciencia (cuya delimitación es histórica y, por tanto, no inmutable) actualmente se concibe a la Matemática como lenguaje capaz de expresar orden, más allá de sus propias fronteras. Como señala Patricia Sadovsky (2005)6“Además de contribuir –como ya se ha señalado- a tener una visión más integrada de la actividad matemática, la idea de modelización realza el valor educativo que tiene la enseñanza de esta disciplina: ofrece la posibilidad de actuar sobre una porción de la realidad a través de un aparato teórico”.

5 KLIMOVSKY,G. et al. Op.Cit.; pp 226 SADOVSKY, P., Enseñar Matemática hoy. Buenos Aires: del Zorzal, 2005. Pp 31-32

Muchos otros autores -Chevallard, (1989)7 y Gascón, (2000)8- describen el quehacer matemático como actividad de modelización. En particular, Morten Blomhøj,(2004)9 puntualiza tres de los argumentos más importantes a favor de la modelización matemática:

1. “La modelización matemática tien-de puentes entre la experiencia de la vida diaria de los alumnos y la matemática. Esto motiva el aprendizaje de la matemática, provee de directo apoyo cognitivo a las conceptualizaciones de los alumnos y coloca a la matemática en la cultura, como medio de describir y entender situaciones de la vida diaria.

2. En el desarrollo de sociedades altamente tecnológicas, las competencias para establecer, analizar y criticar modelos matemáticos son de crucial importancia. Este es el caso tanto desde una perspectiva individual en relación a las oportunidades y desafíos educativos y en el mundo laboral, como desde una perspectiva social en relación a las necesidades de una fuerza laboral adecuadamente educada.

3. Los modelos matemáticos de distinto tipo y complejidad están jugando roles importantes en el funcionamiento y formateado de sociedades basadas en la alta tecnología. Por lo tanto, el desarrollo de competencias expertas y seculares en criticar modelos matemáticos y la forma en que son usados para la toma de decisiones se está convirtiendo en un imperativo para el mantenimiento y futuro desarrollo democrático”.

Pero, ¿cuáles son las situaciones en las que el trabajo matemático de modelización convoca a los estudiantes? ¿Cómo precisar esos contextos de trabajo?

Para comenzar y continuando con las ideas de Morten Blomhøj,(2004) coincidimos con él al afirmar que:

“En los primeros años de la escuela media, los alumnos usan la matemática para describir situaciones de su vida diaria, aún sin darse cuenta, en un principio,

7 CHEVALLARD, Y.; Le passage de l´artithmètical´algèbriquedansl´enseignement des mathèmatiques au college. Deuxièmepartie, Petit X, nro. 198 GASCÓN, J.; Incidencia del modelo epistemológico de las mate-máticas sobre las prácticas docentes. Universitat Autónoma de Barcelona: 2000.9 BLOMHØJ, M. Mathematicalmodelling - A theory for practice. En Clarke, B.; Clarke, D. Emanuelsson, G.; Johnansson, B.;Lambdin, D.; Lester, F. Walby, A. &Walby, K. (Eds.) International Perspectives on Learningand Teaching Mathematics. National Center for Mathema-tics Education.Suecia, p. 145-159. Traducido por Mina, M.Colegio Gabriel Taborín. Integrante del equipo de investigación del proyecto Indagacionessobre la formación de docentes en matemática. Pers-pectivas, tendencias y desafíos, subsidiadopor ACC y SeCyT-UNC bajo la dirección de Mónica Villarreal (CONICET-FaMAF) y DilmaFre-gona (FaMAF). 2004.

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de que están trabajando con la modelización matemática. Habitualmente, la enseñanza puede conducir a la consecución del argumento. Sin embargo, ya en los primeros años de la escuela media es posible desafiar a los alumnos a llevar a cabo proyectos de modelización completos y a reflexionar sobre sus resultados.”

El conocimiento, el saber humano del que se pueden dar razones, avanza movido por interrogantes, por preguntas que no tienen respuesta inmediata. El ámbito en el que surge la pregunta circunscribe un contexto en el que hallar las respuestas adquiere sentido; de tal modo que buscarlas se constituye en un problema para alguien. Luego, el sentido del potencial hallazgo dota de significatividad a la búsqueda.

Al contexto, a la situación en la que se suscita un interrogante que no tiene respuesta inmediata pero hallarla tiene sentido para alguien, lo llamamos problema.

Polya, (1981)10 aportó la siguiente noción de pro-blema: “tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de manera inmediata”. Krulik & Rudnik, (1987) 11 indican que “un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma”.

Desde estas perspectivas, el problema genera preguntas significativas inherentes al contexto, mueve a la actualización de conocimientos previos y ofrece resistencia revelando inadecuación o insuficiencia de esos saberes previos. Por lo tanto, la situación induce a modificar o readecuar el conocimiento existente (el problema como fuente de aprendizaje), a construir y validar nuevos conocimientos (el problema como lugar en el que se produce el aprendizaje), que serán reinvertidos en otras situaciones de resolución (el problema como criterio de control del aprendizaje).

Si el ámbito se especifica en la Educación Matemá-tica, la modelización adquiere centralidad en la resolu-ción de problemas, toda vez que las soluciones devie-nen de la identificación del modelo matemático que resuelve.

La modelización tiene lugar en la resolución; cuan-do resolver implica encontrar y expresar el modelo matemático que permite recortar una parte de la rea-

10 Cfr:…to have a problem means: to search consciously for some action appropriate to attain a clearly conceived, but not immediately attainable, aim (sic). En POLYA, G.; Mathematical Discovery: on understanding, learning and teaching problem solving.New York: Wiley, 1981. Pp 117. Citado y traducido en RODRÍGUEZ, M. et al. (Comps.), Educación Matemática. Aportes a la formación docente desde distintos enfoques teóricos. Villa María: Eduvim, UNVM y UNGS, 2012. Pp. 154.11 KRULIK, S., RUDNICK, J.; Problem solving: A handbook for teach-ers (2nd. Ed.). Boston: Allyn and Bacon, 1987. Citado en RODRÍGUEZ, M; op. cit. pp 155

lidad y operar sobre ella.

Las aserciones precedentes fundamentan la opción de este enfoque didáctico, que tiene por arco de bóve-da la resolución de problemas.

Sostenemos que otorgar centralidad no implica ex-clusividad. Santaló, (1994)12 precisa al respecto: “De ninguna manera hay que pensar que la matemática actual descuida el cálculo. Todo lo contrario. Lo que se trata es, por un lado, huir del cálculo rutinario sin com-prensión de lo que se está haciendo y, por otro lado, tratar problemas realmente prácticos y menos ideali-zados.

“(…) se ha dicho mucho que con la matemática actual, con el uso de las computadoras el alumno no aprende a calcular. Puede ser que eso haya sido cierto alguna vez, por ineficacia del maestro o por una mala interpretación. Pero en ningún caso los matemáticos han pretendido dejar el cálculo de lado. Saben muy bien que hacer matemática es resolver problemas y que nunca será matemática, ni clásica ni moderna, un conjunto de definiciones y axiomas aprendidas en for-ma descriptiva, como quien aprende la anatomía de un insecto”.

Otorgar centralidad al enfoque de resolución de problemas no nos releva de la tarea de enseñar. Enseñar axiomas, definiciones, teoremas, métodos y técnicas sigue siendo imprescindible.

2.- Propósitos de enseñanza

Diseñar propuestas de enseñanza que respondan a los siguientes propósitos:

· constituir el aula en un espacio de construcción del conocimiento matemático dando lugar al desarrollo de habilidades para resolver problemas y modelizar situaciones en diferentes contextos (intra y extra matemáticos);

· realizar intervenciones que permitan al alumno reconocer el error como un instrumento de aprendizaje, superar las dificultades que se le presenten y lograr un aprendizaje significativo y relevante;

· enunciar criterios pertinentes respecto de lo objetivos propuestos para garantizar que la evaluación de los procesos permita la toma de decisiones respecto de la enseñanza y del aprendizaje;

· promover una actitud crítica y constructiva sobre las producciones propias y ajenas, estimulando el razonamiento lógico para producir resultados y analizar su razonabilidad;

· estimular el uso de la tecnología para analizar y generar información, procesándola y

12 SANTALÓ, L., Enfoques. Hacia una didáctica humanista de la Matemática. Buenos Aires: Troquel, 1997. Pp.28 - 30

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representando según la naturaleza de los contenidos a tratar;

· articular los ejes curriculares disciplinares (número y operaciones; lenguaje gráfico y algebraico; geometría y medida, estadística y probabilidad) en contextos de problemas;

· propiciar construcciones y validación de conjeturas sobre relaciones y propiedades geométricas y numéricas, avanzando de argumentaciones empíricas hacia la generalización;

· promover la búsqueda de regularidades, variaciones y dependencias funcionales en lenguaje algebraico;

· propiciar el reconocimiento y uso de la probabilidad para la toma de decisiones, en relación con la incertidumbre.

3.- Contenidos

A continuación se incluye un cuadro que presenta los contenidos organizados en cuatro niveles. El Nivel metadisciplinar que expresa en enfoque epistemológico y didáctico (la resolución de problemas), está incluido en la primera línea vertical.En la segunda se indicanlos ejes articuladores disciplinares (Número y operaciones, Geometría y medida, Lenguaje gráfico y algebraico o Tratamiento de la información). En la horizontal, arriba, el nivel de los campos conceptuales que devienen de los ejes (Ejemplo:Los conjuntos numéricos: propiedades y uso). En el mismo nivel –a la izquierda- la expectativa general que corresponde a los campos conceptuales y más abajo los objetivos de cada concepto estructurante. En este caso es “la resolución de problemas”.

Las expectativas de aprendizaje corresponden a lo que se espera que los alumnos aprendan en la finalización del ciclo.

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4.- Sugerencias metodológicas.

Acerca de cómo pensar la clase:Hay momentos de la clase en que el docente

tiene que enseñar; definiciones, axiomas, teoremas. La propuesta no reduce la dinámica áulica al trabajo autónomo de los estudiantes pero indica que los actores principales del quehacer matemático tienen que ser los estudiantes.

Si la clase comienza con un interrogante, todo lo que sigue adquiere algún sentido; en la intervención del que enseña y en el trabajo de los que aprenden.

Al trabajo de los estudiantes, sobre cualquier tipo de actividad que se plantee, debe seguir la puesta en común. Siempre. En ella, los actores deben comunicar los modos empleados en resolver, los argumentos que sostienen las opciones, los criterios y las razones que fundan resultados y conclusiones. El docente, en esta instancia, guía la comunicación hacia la producción de pruebas que validan –o no- las conclusiones. Es el momento en el que “cristaliza” el aprendizaje.

Entonces, se trata de pensar la enseñanza de modo que la intervención propicie:

· El hábito intelectual de la abstracción que lleva a la modelización; entendiendo que, centralmente, resolver un problema es encontrar el modelo que resuelve.· La comunicación de los modos de

producción en Matemática, reorientando las formas de aproximación al objeto propio.· La evolución de las habilidades

para producir [re-producir] pruebas hacia la validación.

Y no olvidar que la primera motivación se cifra en el vínculo de los estudiantes con un adulto que valora lo que enseña y está empeñado en que ellos aprendan. Un docente que cree en lo que sabe, que dice lo que cree y que actúa con acuerdo a lo que dice.

5.- Recomendaciones para el desarrollo curricular.

Respecto del“corredor”, como trayecto integrado.“Corredor” se corresponde con la idea de un espacio

areal que recorre todo el ciclo básico. Es un proyecto integral con tres etapas anuales, en el que las acciones se ordenan a los propósitos generales del ciclo.

La unidad del proyecto y la condición de trayecto integrado son esencialmente sustentadas por el sentido del abordaje en forma de “helicoide” o “espiral”. El abordaje espiralado consiste, por un lado, en promover sucesivas aproximaciones a los núcleos conceptuales disciplinares en cada año, enlazando los cuatro ejes articuladores. Por otro, ir ampliando los contextos de resolución de problemas con la inclusión de las nuevas adquisiciones conceptuales, otorgando más consistencia a la articulación entre los ejes.

Vayamos a un ejemplo.

En el eje “Lenguaje gráfico y algebraico” se propone el abordaje de sucesiones numéricas. La selección del contenido responde al propósito de analizar y construir expresiones algebraicas que representen regularidades numéricas.

¿Qué es una sucesión numérica? En términos formales, es una función de los naturales en los reales. ¿Por qué se propone su estudio? Porque definen regularidades, modelizan fenómenos (la sucesión de Bode, la de Fibonacci, hay multiplicidad de ejemplos). ¿hasta dónde queremos llegar en el abordaje de sucesiones? A expresarla mediante el término n-simo, estudiar crecimiento y convergencia y comprender que su límite es el único punto de acumulación de la imagen. Claro; esto se logrará al finalizar el secundario. La pregunta que sigue, es: ¿no será ir demasiado lejos? La respuesta es no. No sólo puede hacerse sino que ya se está haciendo en algunas escuelas.

Volvamos al ciclo básico, pero sabiendo cuál es el propósito final. Para el 1er año se indica descripción, extensión, análisis y formulación mediante la explicitación de sus términos. Se trata de identificar regularidades sencillas y completar términos que faltan. Por ejemplo:

1 ; 1/2 ; ¼ ; 1/8; … ; 1/32 ; … ; … ; 1/256 … Y analizar la ley de formación registrando en tablas

y en un sistema cartesiano. Nótese que el objeto es sucesiones numéricas, pero se incluyen el lenguaje gráfico, ordenamiento de la información, expresiones fraccionarias, múltiplos, etc.

En otro caso puede tomarse, por ejemplo, la sucesión de las áreas de cuadrados en los que los lados miden 1, 2, 3,… la sucesión resultante: 1; 4; 9 ; 16; … ; 32; … ,…; … y estamos incluyendo potenciación, área, variación cuadrática, lenguaje gráfico, organización en tablas…

En el próximo podría plantearse que la sucesión 1; ¼; 1/16; 1/64; … representa áreas de cuadrados y la pregunta es acerca de la medida del lado. Y en la propuesta que sigue se analiza la variación de los perímetros y ya tenemos área, perímetro, potenciación de expresiones fraccionarias, variación proporcional, cuadrática, lenguaje gráfico, información organizada en tablas…

Para el 2do año, la propuesta es descripción, extensión, análisis y formulación conociendo el término n-simo. Se trata de revisar [re-visitar] situaciones resueltas en 1er año, “mostrar” el razonamiento inductivo que lleva a la construcción del término general y cómo éste genera los términos enumerados.

Se sigue la situación de hallar términos a partir de la “fórmula”. Sea, por ejemplo, el caso de los 10 primeros términos de 12

1+= nna , y 1005020 ;; aaa ; organizándolos en

una tabla y representando en un sistema cartesiano.La resolución implica ya el uso de la calculadora y

su sintaxis de imputación, la confección de una tabla, la representación con lápiz y papel y la elección de la escala, la representación en el GeoGebra con otra sintaxis de imputación y el uso del zoom y elección de la escala rectangular, y las conjeturas respecto del comportamiento de la sucesión a medida que la

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variable crece.En otro caso podrían analizarse y compararse

;11n

an +=n

nbn1+

= ; 21nncn += , hallando

términos y analizando por qué éstos coinciden. Y ya estamos operando con expresiones algebraicas y su equivalencia, además de lo que ya se había incluido. En el “¿por qué coinciden los términos”, se da lugar a la formulación de conjeturas que se validan operando sobre las expresiones.

En 3ero., se actualizan planteos resueltos en 2do., proponiendo el análisis de la regularidad, y expresándola algebraicamente (término general). Se siguen propuestas en contextos más inclusivos en cuanto a saberes previos, por ejemplo:

Construir la “fórmula” que determina la suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un polígono regular, en función del número de vértices.

Seguramente, la resolución comenzará buscando los primeros términos de la sucesión; en tanto ya es un heurístico disponible. Luego, la dificultad de expresar algebraicamente la regularidad dada la no existencia de los dos primeros términos y las conjeturas acerca de qué hacer y la decisión acerca de cómo considerar la variable (se fija la condición “n mayor que 2”o la variable es n+2). La representación cartesiana habrá de haberse constituido en herramienta usual cuando en 1er año fue un problema. Estaremos incluyendo conocimientos de Geometría; polígonos regulares, descomposición en mínimo número de triángulos, unidades de amplitud angular, números y operaciones, operaciones con expresiones algebraicas, formulación y validación de conjeturas, análisis de resultados obtenidos y más.

En síntesis; comenzamos en 1er año hallando términos de sucesiones elementales con regularidades intuitivas y concluimos el 3ero expresando algebraicamente regularidades complejas.

En un sentido nos aproximamos al concepto de sucesión; con la expresión algebraica y los otros registros funcionales, con la identificación de variables y la ley de dependencia. En otro, ampliamos la articulación, incluyendo en el contexto el eje de números y operaciones, Geometría y medida, lenguaje gráfico y algebraico y organización y representación de la información. Esta es la forma de “abordaje en espiral”.

Respecto de la resolución de problemas.

La opción central se inscribe en la línea didáctica de la “Resolución de problemas”. Esta opción supone mucho más que sugerir formas de proponer actividades o la simple sugerencia de no hacer ejercicios rutinarios que nada resuelven. Implica dejar de hacer foco en los contenidos para centrar la mirada en los problemas que los estudiantes tienen que poder resolver.

En los ejemplos precedentes, “proponer” o “poner en situación de” refiere a proponer un problema cuya resolución requiera del análisis que se describe.

En la Fundamentación se han dado algunas

precisiones acerca de lo que se entiende por “problema”. En sentido lato, si un sujeto tiene intención de ir de un punto “a” a un punto “b” y no sabe cómo, está frente a un problema. Y lo está porque es un problema para él y porque quiere resolverlo; un problema es un problema sólo si es un problema para alguien.

Si la situación planteada tiene una respuesta inmediata, no es un problema. El problema ofrece resistencia; si un sujeto quiere ir de un punto “a” a un punto “b” y sabe cómo, no está frente a un problema. Esta resistencia hace que una situación propuesta sea un problema para los estudiantes en un momento y ya no lo sea más adelante. Ejemplo: “A una fotografía rectangular de 10 cm x 15 cm se le hace una ampliación del 100%. ¿Qué superficie tiene la foto ampliada? Será un problema en 1er año y no lo será en 3ero. En cambio: ¿En cuánto deben incrementarse los lados de una fotografía rectangular de 10 x 15 para que el área se duplique conservando las proporciones de la imagen? Sí será un problema en 3ero.

Nótese que el problema propuesto en 3ero, planteado a los estudiantes de 1ero, transforma la resistencia en un obstáculo; no puede ser resuelto.

Entonces, la resistencia que ofrece un problema puede no ser tal en algunos casos y redundar en obstáculo insalvable en otros.

Al respecto, Rodríguez (2012)13 señala:“Mencionamos aquí algunas características [de

problemas]que no forman parte de lo común a las definiciones pero que algunos autores suman:

· La motivación (que el estudiante se sienta motivado a resolver la actividad).· Las herramientas matemáticas

(explícitamente se pide que el estudiante disponga de las herramientas necesarias para resolver).· El desafío (que resulte un desafío

para quien resuelve)”.· Comprender el problema· Concebir un plan· Ejecutar el plan· Verificar la solución obtenida.

Rodríguez (2012)14 amplía: “su planteo [el de Polya]está acompañado por una serie de preguntas que permiten entender a qué se refiere con cada etapa:

13 RODRÍGUEZ, M. et al. (Comps.), Educación Matemática. Aportes a la formación docente desde distintos enfoques teóricos. Villa María: Eduvim, UNVM y UNGS, 2012. Pp.156.

14 RODRÍGUEZ, M. Op cit.pp.158 -160

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6.- Evaluación

La evaluación es concebida como proceso para la toma de decisiones en el que la asignación de valor opera bajo criterios explícitos, acordados con anterioridad en contrato pedagógico.

El juicio del docente concomita con el que surge de la auto-evaluación, que se propicia desde la atribución metacognitiva.

Respecto de los instrumentos, en etapa procesual se proponen situaciones-problema de complejidad creciente, resolubles con predominancia de la analogía –los más simples- y abducción (los más complejos). En esta etapa procesual se considera central la producción para la re-orientación por parte del docente, a partir del error quién registra el avance de las habilidades en el plano de la cognición y la manifestación de actitudes.

En etapa de evaluación de cierre, los instrumentos se diseñan, en general, con base semi-estructurada. La secuencia de los ítems que se van proponiendo deberá mostrar una complejidad creciente. El nivel de corte se asigna a la resolución de problemas que pueden ser resueltos por analogía con los trabajados hechos y corregidos en clase. De allí en más, los planteos requieren estrategias complejas.

De esta manera, el instrumento adquiere fidelidad, en tanto comprehende la adquisición diversa, suministra información confiable por medio de múltiples indicadores y se constituye en instancia de aprendizaje.

En todas las instancias el estudiante tiene acceso a fuentes de su elección (carpeta de trabajo en clase, libros de texto) y calculador.

7.- Expectativas de aprendizaje al finalizar el ciclo básico

En relación con: Los conjuntos numéricos. Propiedades y usos de los

números.Resolver problemas en contextos diversos,

mediante el uso de los números pertenecientes a distintos campos numéricos.

· Reconocer las propiedades de los conjuntos numéricos.· Seleccionar la representación

más adecuada de los números racionales, comunicando argumentos que fundamentan la opción en función del problema a resolver.

Operaciones y sus propiedades.

Seleccionar la operación que resuelve y obtener

resultados aplicando las propiedades pertinentes al problema planteado.

· Seleccionar el tipo de cálculo (mental, escrito, exacto y aproximado, con o sin calculadora) y las formas de representación que consideren más adecuadas, aplicando las propiedades y argumentando las decisiones.· Argumentar la validez de

procedimientos mediante las propiedades de las operaciones.

Análisis de variaciones

Resolver problemas, en diferentes contextos, mediante el análisis de las relaciones entre variables en tablas, gráficos y expresiones algebraicas

· -Analizar y construir expresiones algebraicas que representen regularidades numéricas.· Interpretar gráficos y expresiones

algebraicas que modelicen variaciones lineales y no lineales.· Modelizar y analizar variaciones

lineales expresadas mediante gráficos y/o expresiones algebraicas a partir de diferentes datos.

Expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuacionesResolver problemas en los que el modelo queda

expresado algebraicamente, operando sobre la expresión.

· Expresar relaciones entre variables y operar con las expresiones algebraicas.· Analizar las estructuras de

expresiones algebraicas y transformarlas, obteniendo expresiones equivalentes y argumentando su validez.· Elaborar conjeturas, anticipar

y verificar soluciones en ecuaciones, inecuaciones y sistemas lineales a partir del análisis de gráficos y fórmulas.

Figuras y cuerpos

Resolver problemas mediante el análisis y construcción de figuras, formulando conjeturas y validando

· Construir figuras y sus homólogas semejantes, analizando propiedades y condiciones necesarias y suficientes.· Justificar construcciones mediante la

noción de lugar geométrico.· Generalizar y producir pruebas

formales sencillas.

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Transformaciones del plano en sí mismo.

Operar con transformaciones que fundamentan la congruencia y la semejanza.

· Representar movimientos rígidos y reconocer figuras homólogas.· Representar homotecias,

conjeturando propiedades invariantes y la proporcionalidad

La Medida

Estimar y calcular longitudes, amplitudes angulares, perímetros y áreas de figuras y áreas y volúmenes de cuerpos, reconociendo y expresando relaciones de proporcionalidad en la semejanza.

· Estimar y medir, reconociendo y acotando el error, utilizando unidades convencionales (SI.ME.L.A).· Construir fórmulas para calcular

áreas y volúmenes.· -Determinar coordenadas y

representar puntos que cumplan condiciones referidas a distancias

La Estadística

Resolver situaciones problemáticas que impliquen el uso e interpretación de nociones básicas de la estadística descriptiva para estudiar fenómenos, comunicar resultados y tomar decisiones.

· Recolectar, organizar, procesar e interpretarla información.· Representar la información,

construyendo gráficos que se adecuen al tipo de información que se quiere comunicar.· Analizar e interpretar parámetros

estadísticos.

La Probabilidad

Evaluar la razonabilidad de las inferencias mediante el análisis de casos posibles y casos favorables

· Determinar la probabilidad simple en sucesos aleatorios, dado el cardinal de la población.· Determinar el cardinal de la

población usando combinatoria y calcular probabilidades simples