a1 matematica secundaria cb 5nuestraescuela.educacion.gov.ar/wp-content/uploads/2018/05/nivel... ·...

NIVEL SECUNDARIOCICLO BÁSICO

COORDINADOR

ENCUENTRO 1

ATENEO 1El caso de

la tira de colores

Área Matemática

Presidente de la NaciónIng. Mauricio Macri Ministro de EducaciónDr. Alejandro Oscar Finocchiaro Secretaria de Innovación y Calidad EducativaMaría de las Mercedes Miguel Instituto Nacional de Formación DocenteDirectora EjecutivaCecilia Veleda Vicedirectora EjecutivaFlorencia Mezzadra

Estimados directivos y docentes:

Tenemos por delante un nuevo año con el enorme desafío y responsabilidad de trabajar juntos en consolidar un sistema educativo inclusivo y de calidad que garantice los aprendizajes fundamentales y permita el máximo desarrollo de las potencialidades de todos los niños, jóvenes y adultos para su participación activa, responsable y comprometida en los distintos ámbitos de la vida.

El Plan Estratégico Nacional 2016-2021 “Argentina Enseña y Aprende” posee como eje fundamental el fortalecimiento de la formación docente; haciendo hincapié en el desarrollo profesional y en la enseñanza de calidad. De esta manera, el Ministerio de Educación de la Nación, ha asumido el com-promiso de acompañar a los docentes en su labor diaria y colaborar con la resolución de los desafíos concretos que se presentan en los distintos ámbitos de enseñanza. Esto conlleva la necesidad de gene-rar espacios y oportunidades para reflexionar sobre las prácticas de enseñanza más adecuadas para una educación que responda a las características de la sociedad contemporánea, que contribuya al trabajo colaborativo y a la conformación de comunidades de aprendizaje entre docentes.

A partir del Plan Nacional de Formación Docente se presentan líneas de trabajo para promover la formación inicial y continua de los equipos docentes en términos de innovación en la práctica, auto-nomía, creatividad, compromiso y capacidad crítica. En este sentido y con el propósito de alcanzar una mejora en los aprendizajes para todos, brindando materiales valiosos para la práctica docente, el Instituto Nacional de Formación Docente, propone líneas de trabajo que promuevan fortalecer el desarrollo de saberes y capacidades fundamentales, que faciliten poner en práctica los aprendizajes de una manera innovadora y prioricen al sujeto de aprendizaje como un sujeto activo, autónomo, creati-vo, comprometido y con capacidad crítica.

Esperamos que esta propuesta sea una experiencia transformadora para todos los equipos docentes del país y que encuentren en ella nuevas herramientas para potenciar su valiosa función en nuestra sociedad.

Muchas gracias por su compromiso y trabajo cotidiano.

María de las Mercedes MiguelSecretaria de Innovación

y Calidad Educativa

Cecilia VeledaDirectora Ejecutiva

Instituto Nacional de Formación Docente

Ministerio de Educación Ateneo Matemática: El caso de la tira de colores

Encuentro 1 - Año 2018 Nivel Secundario - Ciclo Básico - Coordinador

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Índice

Agenda del encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

El caso de la tira de colores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Contenidos y capacidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Propuesta de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

PRIMER MOMENTO Análisis y resolución de una secuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Actividad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Actividad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

SEGUNDO MOMENTO Análisis de un registro de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Actividad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

TERCER MOMENTO Cierre del encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Actividades y acuerdos para el próximo encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Consigna para la realización del Trabajo Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Recursos necesarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Materiales de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Anexo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Anexo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22



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Agenda

PRIMER MOMENTOAnálisis y resolución de una secuenciaAnálisis y resolución de una secuencia que involucra problemas para trabajar la transición de la aritmética al álgebra. Plenario y reflexión sobre las características de la secuencia 90 MIN

Actividad 1 EN PEQUEÑOS GRUPOS 45 MIN

Actividad 2 ENTRE TODOS 45 MIN

SEGUNDO MOMENTOAnálisis de un registro de claseCaracterización en términos de generalidad de los tratamientos involucrados en las resoluciones analizadas 30 MIN

Actividad 1EN PEQUEÑOS GRUPOS 30 MIN

TERCER MOMENTOCierre del encuentroElección de problemas de la secuencia estudiada y planificación de una clase a implementar en sus cursos 60 MIN

Actividades y acuerdos para el próximo encuentro INDIVIDUAL / EN PEQUEÑOS GRUPOS 60 MIN



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El caso de la tira de colores

PresentaciónEl presente ateneo se propone como un espacio de análisis y reflexión compartida sobre situa-ciones complejas de la práctica docente que conllevan el desafío de pensar propuestas didácti-cas que favorezcan la tarea concreta en el aula e impacten positivamente en los aprendizajes en el área de Matemática.

Este es el primero de una serie de tres encuentros dedicados al análisis de propuestas de ense-ñanza que posibilitan la entrada al álgebra desde la aritmética. En él se propone trabajar sobre el rol de los problemas como punto de partida de la producción de conocimiento matemático, su gestión dentro del aula y su planificación previa. Entre el primer y segundo encuentro se pro-pondrá implementar en el aula la propuesta analizada durante el primero. En el segundo se analizarán las producciones de los alumnos en base a lo implementado. Y por último, en el tercer encuentro, se trabajará en torno a cómo organizar y graduar los distintos tipos de problemas a lo largo del Ciclo Básico.

En este material encontrarán sugerencias para trabajar dentro del aula con estudiantes con dis-capacidad y/o Dificultades Específicas de Aprendizaje (DEA), con el fin de promover el acceso, el aprendizaje y la participación de todos los alumnos. Estos aportes los encontrarán bajo el destacado Educación inclusiva.

Contenidos y capacidades

Contenidosuu La entrada al álgebra desde la aritmética a partir de situaciones problemáticas que requieran:

u¿ usar nociones vinculadas a la divisibilidad: múltiplos, divisores, criterios de divisibilidad, etcétera;

u¿ producir argumentos generales para formular relaciones y argumentar acerca de su validez.

uu Abordajes aritméticos versus algebraicos: identificación y análisis de similitudes, diferencias, continuidades y rupturas.

uu La gestión de clase: la importancia de desarrollar el análisis de distintas estrategias de resolu-ción como instancia que abona a la planificación y las instancias colectivas.

uu El rol de los problemas en la clase de Matemática.

uu Criterios de análisis didáctico.



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Capacidadesuu Cognitivas

u¿ Identificar problemáticas vinculadas con la enseñanza a partir del análisis de la resolución de un problema.

u¿ Incorporar herramientas teóricas, tanto matemáticas como didácticas, para potenciar el análisis y desarrollo de la tarea docente.

uu Intrapersonalesu¿ Tener una postura crítica que le permita reflexionar sobre la propia práctica.

u¿ Asumir el propio proceso de formación profesional.

u¿ Contar con una mirada estratégica en torno a la planificación de su propuesta de enseñanza.

uu Interpersonalesu¿ Trabajar en equipo con colegas, reflexionando sobre la práctica docente.



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Propuesta de trabajo

PRIMER MOMENTOAnálisis y resolución de una secuencia 90 MIN


Actividad 2ENTRE TODOS 45 MIN

Actividad 1

Les proponemos que resuelvan la siguiente secuencia de problemas, anticipando y plantean-do modos de resolución y estrategias que creen que podrían poner en juego sus estudiantes al resolverlos.

Compartan en plenario las estrategias y resoluciones que anticiparon.

Problema 1

La siguiente tira numerada está pintada de 4 colores, empezando con el color rojo y en cero. Los colores se repiten siempre en el mismo orden.

a. ¿Cuáles de los siguientes casilleros no están pintados de rojo?

400 418 675 128

b. ¿Es posible saber de qué color está pintado cada uno?

c. Encontrá un casillero entre 59 y 79 que esté pintado de rojo. ¿Cuántos es posible encontrar?

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Problema 2

En una tira numerada de 6 colores diferentes que empieza en 0, el casillero 13 es negro. ¿Es cierto que en esa tira el casillero 55 también es negro? ¿Y el 63?

Problema 3

a. Pintá esta tira con 3 colores distintos y ordenados de manera que el número 34 sea verde.

b. Pintá la tira con 4 colores distintos y ordenados de manera que el número 34 sea verde.

Problema 4

Una tira numerada tiene 6 colores diferentes y comienza en 0. Señalá qué casilleros entre 108 y 113 van a tener el mismo color que el 74.

Problema 5

Considerá la siguiente tira de colores ordenados numerada.

Si n representa cualquier número natural o cero:

a. ¿De qué color están pintados todos los casilleros de la forma 5n?

b. ¿Es verdad que todos los casilleros de la forma 2n están pintados de verde?

c. ¿Cómo se podrían expresar todos los números de los casilleros pintados de azul? ¿Y los pintados de amarillo?

d. ¿Es verdad que todos los casilleros cuyos números son de la forma 5n+4 están pintados de naranja? ¿Y los de la forma 10n+4 también?

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Problema 6

Una tira numerada comienza en 0 y está pintada de colores diferentes. Se sabe que todos los casilleros de la forma 7n + 2, donde n representa cualquier número natural o cero, están pintados de azul.

a. Escribí los números de 3 casilleros que sean azules.

b. ¿De cuántos colores está pintada la tira?

c. ¿Es verdad que el casillero 100 está pintado de azul? ¿Y el 107?

Actividad 2

De las estrategias y resoluciones anticipadas, ¿cuáles creen que ponen en juego un tratamiento aritmético y cuáles un tratamiento algebraico?

Orientaciones para el coordinadorUna vez presentada la propuesta general de cada uno de los encuentros corres-pondientes a este ateneo, estableciendo brevemente el marco que la sustenta, se propone el planteo de la consigna de trabajo.

Para organizar el plenario el coordinador podrá considerar tanto el análisis didáctico de los problemas (incluido en el Anexo 1) como los diferentes abordajes desplega-dos en el interior de cada uno de los grupos.

Por otro lado, el trabajo a propósito de la actividad 1 será una oportunidad para elaborar un marco interpretativo compartido acerca de qué se entiende por “pro-blema” y cómo puede intervenir el docente para favorecer el trabajo matemático en el aula. Tal como mencionamos en el ateneo “Los surtidores de nafta: Un escenario para producir modelos lineales. Parte 1”:

“Hacer Matemática implica mucho más que conocer definiciones, propieda-des o teoremas y saber en qué momentos aplicarlos. Hacer Matemática im-plica resolver problemas. Cuando decimos resolver problemas lo decimos en sentido amplio, pues la resolución en sí es solo una parte del trabajo. El conocimiento matemático no se construye como una consecuencia inme-diata de la resolución de uno o más problemas, sino que requiere que el alumno se haga preguntas, que pueda explicitar los conocimientos puestos en juego para resolverlos, que determine aquellos que pueden reutilizarse en otras situaciones, que pueda apoyarse en argumentos matemáticos para dar cuenta de cómo los resolvió, defender sus posturas en un espacio de intercambio con sus pares y con el docente, interpretar las estrategias utili-zadas por sus compañeros y – eventualmente- adoptarlas.”

(INFoD, 2017, p. 2)



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Respecto a la actividad 2, será importante que el coordinador destaque algunos ras-gos que permiten caracterizar el tratamiento de un problema como de tipo aritmé-tico o de tipo algebraico poniéndolos en relación con las resoluciones anticipadas en la actividad 1:

uu Es muy común que se suela asociar al álgebra con el uso de letras y símbolos. Sin embargo, las prácticas algebraicas y el pensamiento algebraico implican mucho más que la sola capacidad de operar con letras y símbolos. Por ejemplo, podría-mos definir al álgebra como el tratamiento de la generalidad, lo que supone la búsqueda de regularidades, la formulación de conjeturas y la producción de enun-ciados de tipo general, la validación de este tipo de enunciados, etc., observando que todas estas tareas pueden desarrollarse utilizando lenguaje verbal y escrito no simbólico. De esta manera se pone de manifiesto que es posible "hacer álgebra" sin que sea condición necesaria que se empleen y opere con símbolos y letras.

uu El pasaje de la aritmética al álgebra podría trabajarse a partir del estudio de pro-blemas aritméticos mediante un tratamiento algebraico: se trata de problemas que involucran las nociones de múltiplo y divisor y que se pueden abordar con un razonamiento de carácter general sobre un caso particular.

uu Las afirmaciones aritméticas son afirmaciones que hacen foco en “lo local”, es decir, valen para un caso particular. En cambio, las algebraicas implican un análi-sis de cierta generalidad.

uu El álgebra no se aprende rápidamente. El desarrollo del pensamiento algebraico y de la capacidad de tratar la generalidad (incluida la incorporación de herra-mientas, como el uso de lenguaje simbólico) es un proceso que puede llevar va-rios años. Por lo tanto debe ser escolarmente sostenido en el tiempo y empleado en distintos contextos matemáticos.

En el primer problema se pide decidir si el casillero número 400 está pintado de rojo o no. Una estrategia que podrían desplegar los alumnos es identificar que los casilleros rojos se encuentran cada cuatro casilleros, el primer casillero comienza en cero y van de cuatro en cuatro. Así podrían afirmar que todos los casilleros que sean múltiplos de 4 serán rojos. Esta formulación está más ligada a lo algebraico que a lo aritmético: es un tipo de razonamiento general y no local, pues analiza y hace referencia a todos los casilleros rojos, tomando al número 400 como un caso parti-cular de esa generalidad. Este ejemplo puede servir para analizar que el tratamiento algebraico no se reduce a la utilización de letras.

También sería relevante destacar el caso inverso, es decir que el uso de letras en una resolución no implica necesariamente que se esté realizando un razonamiento general. Por ejemplo, para resolver problemas de cálculo de áreas del estilo “calculá el área de un rectángulo que tiene una base de 20 cm de longitud y una altura de 3 cm”, se suele apelar a fórmulas como A = b x h1 que se utilizan reemplazando las letras por los valores correspondientes para luego operar con dichos valores: A = 20 cm x 3 cm = 60 cm2. En este caso, el uso de las letras es de tipo local e invo-lucra un tratamiento más ligado a lo aritmético.

1 A representa el valor del área del rectángulo, b representa el valor de la longitud de la base considerada y h representa el valor de la altura correspondiente a esa base.



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Como cierre de la actividad, sería importante destacar que muchos de los proble-mas de esta secuencia proponen poner en discusión los tratamientos locales pero además permiten generalizar, buscar razones de por qué valen ciertas propiedades, etc. Es tarea del docente traccionar para destacar los tratamientos de tipo general con el propósito de que los alumnos puedan expresar las regularidades y, en caso de necesitarlo, utilizar lenguaje simbólico.

SEGUNDO MOMENTOAnálisis de un registro de clase 30 MIN


Actividad 1

Los invitamos a escuchar el audio del episodio de una clase acompañándolo de la lectura de su transcripción (Ver Anexo 2). Luego, en grupos, analicen las estrategias desplegadas por los estudiantes en términos de su generalidad. Justifi quen su decisión a partir de lo discutido a pro-pósito de la actividad anterior. Compartan en plenario el análisis realizado.

Orientaciones para el coordinadorLa actividad 3 propone escuchar el audio del episodio de una clase acompañándolo de la lectura de su transcripción. En el Anexo 2 podrá encontrarse dicho texto y un código QR cuyo enlace permite acceder al archivo de audio. Dado que el acceso mediante código QR requiere de una conexión a internet, se recomienda al coordi-nador tener descargado este archivo en un dispositivo para poder compartirlo con los participantes que no puedan acceder mediante el código.



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En esta instancia la propuesta es que los docentes realicen un análisis similar al pro-ducido a propósito de la actividad 2 pero a partir de un registro de clase. Reconocer la generalidad en los tratamientos contribuye a la identifi cación y al análisis del es-tado de conocimiento de los estudiantes. Este reconocimiento permite contar con más información para la elaboración de intervenciones didácticas en pos de hacer avanzar dicho estado.

En plenario podrán retomarse algunas de las estrategias de los estudiantes, por ejemplo, las utilizadas por Gastón y Eliana: el abordaje que hace el grupo de Gastón al decir “el rojo es 4, hay 4 colores y el 60 es múltiplo de 4.” involucra una afi rmación general para validar que 60 es una respuesta correcta: todos los múltiplos de 4 se-rán de color rojo. La estrategia utilizada por el grupo de Eliana (“el número menor, que es 59, lo hago dividido 4, veo cuál sería el número por 4 más cercano a ese. Como lo busco más abajo, después le agrego 4 y me da uno más alto.”) involucra un tratamiento general (pues afi rma que vale siempre) pero que surge de mirar casos particulares, casos locales, pues es necesario partir de un número específi co, que luego será dividido por 4, para poder hallar una respuesta.

Como cierre de este momento de trabajo se puede proponer una instancia de re-fl exión compartida para identifi car las cuestiones centrales trabajadas.

TERCER MOMENTOCierre del encuentro 60 MIN

Actividades y acuerdos para el próximo encuentroINDIVIDUAL / EN PEQUEÑOS GRUPOS 60 MIN

Actividades y acuerdos para el próximo encuentro

1. A partir de sus experiencias profesionales, los invitamos a pensar cómo podrían adaptar al-gunos de los problemas de la secuencia analizada en el primer momento para ser implemen-tados en sus aulas.

u uElijan, considerando el nivel y las características de su grupo, uno o dos problemas de la se-cuencia y elaboren las consignas de trabajo a partir de ellos.



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uu ¿Cómo organizará la clase para la resolución de esos problemas?

uu ¿Qué intervenciones puede hacer durante la resolución?

uu ¿Cómo gestionará la puesta en común?

uu ¿A qué conclusiones quieren que se llegue al finalizar la clase?

uu ¿Qué creen que debería quedar registrado en las carpetas?

Orientaciones para el coordinadorSe propone a los docentes trabajar grupalmente de acuerdo al curso que tengan a cargo (1er, 2° o 3er año del Ciclo Básico) para elaborar la planificación de la clase a implementar, retomando la secuencia de problemas aquí trabajada. El rol del coordi-nador será el de acompañar las discusiones en el interior de cada uno de los grupos, haciendo sugerencias y observaciones.

Puede ocurrir que los profesores planteen dificultades relacionadas con el desafío de coordinar su planificación y la propuesta a implementar: “mis alumnos ya vieron múltiplos y divisores”, o bien, “mis alumnos nunca trabajaron con letras”, etcétera.

En el transcurso de este ateneo hemos discutido acerca de la importancia del modo de trabajo en el aula. En este sentido, la incorporación de un problema como el planteado permite abrir el juego para empezar a pensar en nuevas formas de hacer matemática en la escuela. Es una oportunidad para que los docentes se permitan probar propuestas que les brinden nuevas experiencias en relación al ingreso a las prácticas algebraicas, facilitando la exploración de nuevas dinámicas.

2. En esta actividad les proponemos orientar el registro y sistematización de la implementa-ción de lo acordado. Se realizará luego de llevar adelante la secuencia didáctica planificada durante este encuentro y se retomará en el segundo encuentro. Servirá además de insumo para continuar con el trayecto formativo propuesto por la Formación Docente Situada. Por lo tanto, se recomienda el registro escrito de la experiencia.

Luego de realizada la clase con sus alumnos, tómese unos minutos y responda las siguientes preguntas que deberá traer escritas para compartir en el siguiente encuentro.

a. ¿Qué procedimientos produjeron sus alumnos para resolver los problemas? Haga un lista-do y tome fotos o fotocopie los registros (incluya tanto los procedimientos que les permi-tieron a los alumnos llegar a la respuesta así como los procedimientos erróneos).

b. Identifique algún momento de su clase que recuerde como más destacado, más logrado. Explique por qué.

c. Identifique un momento “complicado”, que lo puso en una situación de enseñanza difícil de resolver. ¿Qué intervención le hubiera gustado realizar y no se dio cuenta o no pudo?

d. ¿Qué rescata concretamente como aprendizaje, resultado de su enseñanza, a nivel grupal/ individual? ¿A partir de qué evidencias puede afirmarlo?



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e. Relacione su clase con la planificación. ¿Qué obstáculos previstos inicialmente se presentaron en la clase? ¿Cuáles no? ¿Qué tendría en cuenta en el futuro al elaborar su plan de trabajo?

Educación Inclusiva

Si cuenta con alumnos con discapacidad o dificultades específicas del aprendizaje (DEA) en su clase, ¿Ha utilizado adaptaciones para la implementación de los problemas presentados? ¿Cuál/es ha/n sido?

Consigna para la realización del Trabajo Final El trabajo final se realizará luego del Encuentro 3 y consta de cuatro partes.

1. La implementación de una clase, considerando la secuencia didáctica propuesta en el ate-neo. En su trabajo deberán incluir, entonces, a) una copia de la clase elegida con las notas sobre las modificaciones que hayan realizado para la adaptación a su grupo de alumnos o b) la planificación de dicha clase (en el formato que consideren más conveniente) en caso de haber optado por desarrollar una clase propia.

2. El registro de evidencias de la implementación en el aula. Podrán incluir producciones indi-viduales de los alumnos (en ese caso, incluyan tres ejemplos que den cuenta de la diversidad de producciones realizadas), producciones colectivas (por ejemplo, afiches elaborados gru-palmente o por toda la clase) o un fragmento en video o un audio de la clase (de un máximo de 3 minutos).

3. Una reflexión sobre los resultados de la implementación de la clase. Deberán agregar un texto de, máximo, una carilla en el que describan sus impresiones y análisis personal, que incluya cuáles fueron los objetivos de aprendizaje que se proponían para la clase y señalen en qué medida dichos objetivos, y cuáles consideran que se cumplieron y por qué. Analicen, también, cuáles fueron las dificultades que se presentaron en la clase y a qué las atribuyen, y qué modificaciones harían si implementaran la clase en el futuro.

4. Una reflexión final sobre los aportes del ateneo didáctico para su fortalecimiento profesional, considerando tanto los aportes teóricos como las estrategias que les hayan resultado más valiosas para el enriquecimiento de su tarea docente. Se dedicará un tiempo durante el tercer encuentro para la elaboración de este texto de, máximo, una carilla.

Presentación del trabajouu Debe ser entregado al coordinador del ateneo didáctico en la fecha que se acordará

oportunamente.

uu Deberá entregarse impreso en formato Word y vía mail, y podrá incluir anexos como archivos de audio, video, o fotocopias de la secuencia implementada y producciones individuales y colectivas de alumnos.



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Recursos necesariosuu Audio del episodio de clase (en pendrive y con enlace a un servidor de internet)

uu Dispositivos y suministros para reproducir el audio y realizar las actividades propuestas.

uu Software libre con sus correspondientes tutoriales y secuencias didácticas según tipo de dis-capacidad y disciplina, pueden encontrarse en: http://conectareducacion.educ.ar/educacio-nespecial/mod/page/view.php?id=492

Materiales de Referenciauu INFoD. (2017). Ateneo Matemática. Encuentro 1. Los surtidores de nafta: un escenario para pro-

ducir modelos lineales. Nivel Secundario-Ciclo Básico. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

uu Itzcovich, H. y Novembre, A. (2007). Diferentes aspectos del trabajo algebraico. Curso a distan-cia. Buenos Aires. CePA, Ministerio de Educación de la Ciudad de Buenos Aires.



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Anexo 1

Análisis didáctico de la secuencia de problemas

Problema 1

La siguiente tira numerada está pintada de 4 colores, empezando con el color rojo y en cero. Los colores se repiten siempre en el mismo orden.

a. ¿Cuáles de los siguientes casilleros no están pintados de rojo?

400 418 675 128

b. ¿Es posible saber de qué color está pintado cada uno?

c. Encontrá un casillero entre 59 y 79 que esté pintado de rojo. ¿Cuántos es posible encontrar?

Breve análisis del Problema 1

El color de cada casillero dependerá del resto que tenga al dividir el número correspondiente por 4.

Rojo: resto 0, múltiplos de 4 (esto es lo primero que puede decirse, a partir de inspeccionar los números pintados de rojo).

Verde: resto 1.

Naranja: resto 2.

Amarillo: resto 3.

En este problema resulta relativamente simple darse cuenta que los números rojos corres-ponden a múltiplos de 4. Entonces, tanto el 400 como el 128 (100 + 28 o 120 + 8) estarán pintados de rojo.

Para ver de qué color están pintados los demás números hay distintas estrategias, entre ellas:

uu 418 = 400 + 16 + 2, por lo que tiene resto 2 al dividirlo por 4. También puede pensarse que va a estar 2 lugares a la derecha de un casillero rojo, por lo que tiene que ser NARANJA;

uu 675 = 600 + 40 + 28 + 4 + 3 (o 600 + 60 + 12 + 3). Tiene resto 3 pues se encuentra 3 lugares a la derecha de un casillero rojo, entonces es AMARILLO;

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uu También podría pensarse de la siguiente forma: 600 + 60 + 16 = 676. Si el 676 es rojo, entonces el 675 será del color anterior, o sea, AMARILLO;

uu También puede hacerse la división del número de casillero por 4, pero en este caso, solo nos interesa el resto. Por ejemplo, 675 : 4 da cociente 168 y resto 3. Es decir, se encuentra a 3 casilleros a la derecha del ROJO.

uu Para el ítem c) los estudiantes podrán utilizar distintas maneras para encontrar un múltiplo de 4 que se encuentre en el intervalo especificado. Algunas de ellas pueden ser:

uu realizar multiplicaciones de diferentes números por 4 hasta obtener un resultado entre 59 y 79;

uu buscar el múltiplo de cuatro más cercano a 59 y “recrear” la tira desde allí;

uu usar algún criterio de divisibilidad por 4 para determinar qué números entre 59 y 79 son divisibles por 4.

Problema 2

En una tira numerada de 6 colores diferentes que empieza en 0, el casillero 13 es negro. ¿Es cierto que en esa tira el casillero 55 también es negro? ¿Y el 63?


En este problema se reinvierte y profundiza lo trabajado a propósito del Problema 1. En el 1, la observación de la tira coloreada alcanza para determinar ciertas regularidades que en el caso de la tira del Problema 2 no están disponibles.

Saber que son 6 colores permite afirmar que el color del casillero del 0 será el mismo que el del 6, 12 y los múltiplos de 6. También serán del mismo color los que tienen el mismo resto al dividir por 6. Como 13 tiene resto 1, entonces todos los que tengan el mismo resto serán negros. Como 55 = 54 + 1 = 6 x 9 + 1, también tiene resto 1 y será negro.

Para el caso de 63, es 63 = 60 + 3, que tiene resto 3. No es negro y no podemos saber cuál es su color.

Problema 3

a. Pintá esta tira con 3 colores distintos y ordenados de manera que el número 34 sea verde.

b. Pintá la tira con 4 colores distintos y ordenados de manera que el número 34 sea verde.

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En los problemas anteriores las tiras ya estaban pintadas, por lo que la tarea consistía en determinar el color de algún casillero a partir de una configuración dada. En estos problemas los colores y sus posiciones no están dados, por lo que los alumnos deberán determinar una configuración que cumpla con lo pedido.

La cantidad de colores y el número de casillero planteado en los enunciados permite a los alumnos realizar un trabajo exploratorio. Por ejemplo, podrían establecer alguna configura-ción inicial a partir de la cual determinar el color del casillero 34, utilizando las estrategias construidas durante el trabajo con los problemas anteriores. Luego, sobre la base de sus exploraciones, podrían determinar las características de la configuración inicial que cumplen con lo pedido.

En el primer caso, el casillero 1 es el que debe estar pintado de verde. Los casilleros 0, 3, 6, 9, …, 33 (y todos los múltiplos de 3) estarán pintados del mismo color, al igual que los casille-ros 1, 4, 7, 10, …, 34 (y todos los que “son uno más que los múltiplos de 3”, los que tienen resto 1 al dividirlos por 3). Por lo tanto, si el casillero 1 está pintado de verde, el casillero 34 también estará pintado de verde.

En el segundo caso, el casillero que debe estar pintado de verde es el 2, ya que 34 tiene resto 2 al ser dividido por 4. El número de casillero no cambia, pero sí la cantidad de colores. El objetivo de este segundo caso es que los alumnos puedan poner en juego las estrategias utilizadas en el caso anterior. Algunos podrían poner a prueba conjeturas que hayan formulado sobre las regularidades de las tiras: los casilleros que tienen el mismo color tienen el mismo resto al ser divididos por el número que determina la cantidad de colores (posiblemente no logren explicarlo con estas palabras ni en estos términos). Otros alumnos podrían realizar ex-ploraciones análogas a las que hicieron en el caso anterior, pero esta vez con cuatro colores. La comparación entre las exploraciones y las conclusiones formuladas en ambos caso es un buen insumo, tanto para los alumnos como para el docente, para trabajar en pos de realizar generalizaciones sobre las regularidades de las tiras.

Problema 4

Una tira numerada tiene 6 colores diferentes y comienza en 0. Señalá qué casilleros entre 108 y 113 van a tener el mismo color que el 74.


Se trata de hallar el resto de dividir a 74 por 6 y buscar qué números del intervalo dado tienen el mismo resto.



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Problema 5

Considerá la siguiente tira de colores ordenados numerada.

Si n representa cualquier número natural o cero:

a. ¿De qué color están pintados todos los casilleros de la forma 5n?

b. ¿Es verdad que todos los casilleros de la forma 2n están pintados de verde?

c. ¿Cómo se podrían expresar todos los números de los casilleros pintados de azul? ¿Y los pintados de amarillo?

d. ¿Es verdad que todos los casilleros cuyos números son de la forma 5n+4 están pintados de naranja? ¿Y los de la forma 10n+4 también?


a. Por inspección se puede determinar que si n vale 0 o 1 se obtienen los casilleros 0 y 5, que se pueden visualizar en la tira con el color rojo. Se espera que el docente realice intervenciones para que los estudiantes puedan leer a la expresión 5n como los múltiplos de 5 y determinar que TODOS esos casilleros están pintados de rojo, pese a que no puedan visualizarlos.

b. No es verdad, porque aunque para n = 1 se cumple la afirmación, pues el casillero 2 está pintado de verde, no es cierto para todos los valores de n. Por ejemplo cuando n vale 2 se hace referencia al casillero 4 que es color naranja y este ejemplo sirve para decidir que no es cierto que todos los casilleros de la forma 2n están pintado de verde. Es importante discutir que para poder afirmar que todos los casilleros de la forma 2n tengan color verde es necesario que los casilleros, 2, 4, 6, 8 y todos los casilleros pares tengan color verde.

c. Son los que se pasan 1 unidad de los múltiplos de 5, por lo que tiene resto 1 al dividirlos por 5. Una manera de expresar con letras esta relación es 5k+1, con k natural o cero. Los que están pintado de amarillo son los que tienen resto 3 al dividirlo por 5, es decir, los de la forma 5k+3 con k un número natural o cero.

d. Es verdad, ya que son los que se pasan 4 unidades de un múltiplo de 5. Los que tienen la forma 10n + 4 tienen resto 4 al dividirlos por 10. Pero como 10n + 4 = 5 x 2 n + 4, también tienen resto 4 al dividirlos por 5.

Problema 6

Una tira numerada comienza en 0 y está pintada de colores diferentes. Se sabe que todos los casilleros de la forma 7n + 2, donde n representa cualquier número natural o cero, están pintados de azul.

a. Escribí los números de 3 casilleros que sean azules.

b. ¿De cuántos colores está pintada la tira?

c. ¿Es verdad que el casillero 100 está pintado de azul? ¿Y el 107?

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a. Al reemplazar n por un número natural se encuentran algunos de los casilleros que están pintados de azul, por ejemplo 2, 9, 16, etc.

b. La fórmula indica que los colores se repiten cada 7 casilleros, por lo que hay 7 colores diferentes.

c. Será necesario determinar si 100 y 107 tienen o no resto 2 al dividirlos por 7. Es interesante notar que ambos tendrán el mismo color, porque difieren en 7 unidades.



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Anexo 2

Docente: —El grupito de ahí que me iba a contar. Dale.

NICOLE. —Puse 60.

DOCENTE. —¿60?

NICOLE. —Sí.

DOCENTE. —A ver, pongo. 60. ¿Qué opinan los demás? ¿Está bien 60?

GASTÓN —Sí, porque el 4 entra...

Todos hablan al mismo tiempo.

DOCENTE. —No, no. No los puedo escuchar, si no... a ver. ¿Qué decías Gastón?

GASTÓN. —Que el rojo es 4, hay 4 colores y el 60 es múltiplo de 4.

DOCENTE. —¿Está bien eso? ¿Y por qué tengo que pensar en múltiplos de 4?

Todos hablan al mismo tiempo.

DOCENTE. —A ver... Levantan la mano, si no... A ver, Nico.

NICO. —Porque los de los casilleros rojos son múltiplos de 4. Están en la tabla del 4.

DOCENTE. —Ah. Y, ¿cómo se dieron cuenta que los de los casilleros rojos eran múltiplos de 4?

NICO. —Porque decía 0, 4, 8…

VALENTINA. —Estaban cada cuatro números.

DOCENTE. —Estaban cada cuatro números, ¿sí? Eso es algo que habían estudiado ustedes en años anteriores, ¿no? Todos los múltiplos de un número van cada esa cantidad de números. Entonces, ¿cómo sé que 60 es múltiplo de 4?

GASTÓN. —Porque está en la tabla y dividido 4 da 0.

DOCENTE. —¿Y cómo saben...? ¿Cómo? (Volviendo hacia la respuesta del alumno)

GASTÓN. —60 dividido 4 da 0.



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DOCENTE. —Hago 60 dividido 4 y da 0. Podría usar la calculadora... ¿Y qué cosa da 0?

URIEL. —El resto.

DOCENTE. —El resto. ¿Y podría haber puesto otro número que no sea 60?

VARIOS ALUMNOS. —¡Sí!

DOCENTE. —A ver... Sí, ¿cuál?

URIEL. —64.

DOCENTE. —¿64 me hubiera servido también?

VARIOS ALUMNOS. —¡Sí!

VALENTINA. —68, 72, 76...

DOCENTE. —Bien. ¿Cuántos números puedo poner acá?

MARTÍN. —¡Cinco!

DOCENTE. —Cinco, ¿no? El más chiquito es 60. Y después puedo poner 64, 68, 72...

URIEL. —76.

IVO. —¿Podemos decir nuestro grupo?

DOCENTE. —¿Quieren leer lo que escribieron?

IVO. —Sí.

DOCENTE. —Ellos escribieron una explicación.

ELIANA. —Nosotras también.

DOCENTE. —Y ustedes también. Vamos a escuchar las dos.

MARTÍN —Nosotros primero.

DOCENTE. —El grupo de Ivo. Dale.

IVO. —Para ver si hay uno hay que pensar en la tabla de 4, ya que los casilleros rojos aparecen cada cuatro números. Hay que pensar un número de la tabla del 4 que esté entre los números que te pide.

DOCENTE. —¡Excelente! ¡Muy bien! ¿Ustedes qué escribieron? El grupo... ¿Cómo?

ELIANA. —Nosotros no escribimos. Hicimos... como mostramos en una cuenta.

DOCENTE. —Ah, hicieron un ejemplo. De cómo darse cuenta.

Varios alumnos hablan y no dejan escuchar.

DOCENTE. —A ver. Perdón. Eliana está hablando y necesito silencio para poder escucharla. Sea-mos buenos compañeros. ¿Sí? A ver. Sí.

ELIANA. —El número menor que está ahí para poner, que es 59, lo hago dividido 4 y veo cuál sería el número por 4 más cercano a ese. Pero como lo busco más abajo después le agrego 4 y te da uno más arriba.

DOCENTE. —¿Entendieron? Ella usó una estrategia completamente distinta a los que usaron mu-chos de ustedes. A ver, hagámoslo.

DOCENTE. — Escribiendo en el pizarrón y resolviendo las cuentas con calculadora. —Dijeron que el 59 ustedes lo...



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ELIANA. —Dividimos por 4.

DOCENTE. —Dividieron por 4. 59 dividido 4. Y me da 14,75. Sí.

ELIANA. —Entonces como no te pasabas... 15, porque 14,75. Entonces sería uno más para que me dé un número que pueda dividir por 4 y me quede sin coma.

DOCENTE. —¿Está bien lo que dice Eli? ¿Qué piensan?

VARIOS ALUMNOS. —No. Sí.

DOCENTE. —A ver. Hace 15 por... ¿cuánto era?

ELIANA. —4.

DOCENTE. —Por 4. ¿Y me va a dar con coma si lo hago dividido por 4?

MARTÍN. —Da 60.

DOCENTE. —Da 60. Y ahí busco el más chiquito. ¿Y siempre sirve esta estrategia?

VARIOS ALUMNOS. —Eh... Sí. No, depende.

DOCENTE. —¿Por qué 15 y no... 14, por ejemplo?

ELIANA. —¿Porque si lo hacés por 14 te va a dar un número menor al que tendría que ir?

DOCENTE. —¿A ver? Hagámoslo.

ELIANA. —14 por 4.

DOCENTE. — Por 4 da 56.

URIEL. —Y necesito 59.

DOCENTE. —Y necesito que sea más grande que 59.

GASTÓN. —Igual se puede hacer. Le sumás 4.

DOCENTE. —O sea, yo sé que... si yo hacía 59 dividido 4 daba entonces 14,75. Eso significa... ¿qué cosa? Que 14,75 por 4, ¿cuánto me va a dar?

Varias voces dudan.

MATEO. —59.

DOCENTE. —59. Chicos, paren de hablar. Lo que dije recién fue: “si hago 59 dividido 4 me da 14,75. Eso significa que 14,75 por 4... ¿cuánto me da?”.

Varias voces dudan.

MARTÍN. —59.

DOCENTE. —¿Cómo?

MATEO. —59.

DOCENTE. —59. Última vez que lo repito y los demás se callan. A ver... (Señalando en el pizarrón) Yo acá... ¿cómo llegué al 14,75? Haciendo 59 dividido 4. Entonces si yo hago 14,75 por 4, ¿cuánto me va a dar? 59. Si hago un número más grande que 14,75 por 4, ¿me va a dar más o me va a dar menos?

VARIAS VOCES. —Más.



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DOCENTE. —Más. Entonces, como yo quiero que esté entre 59 y 79, tiene que ser más grande que 14,75. ¿No? ¿Se entiende por qué tomé el 15? ¿Sí? Era una de las preguntas que había surgido.

MARTÍN. —¿Podemos ver si está bien?

DOCENTE. —¿Cómo? ¿Y si yo quisiera el más grande que está en este intervalo, entre el 59 y el 79? Con una cuenta como la que propuso Eliana.

MATEO. —No sé.

DOCENTE. —Con un dividido.

GASTÓN —79 dividido 4 y ahí el número menor.

DOCENTE. —¿A ver? Lo hago. —Escribiendo en el pizarrón y resolviendo las cuentas con calcula-dora— 59.

VARIAS VOCES. No, 79.

DOCENTE. —Ah, 79 porque es límite, ¿no? 79 dividido 4 me da 19,75.

GASTÓN. —Hacés 19 por 4.

DOCENTE. —¿Tomo el 19 porque es más chico?

VARIAS VOCES. —¡Sí!

DOCENTE. —19 por 4... A ver si da... 76.

VARIAS VOCES. —¡Uh!

DOCENTE. —Igual creo que lo habían mencionado. ¡Muy bien!

Formación Docente Situada

Coordinadora GeneralMaría Rocío Guimerans

Equipo de trabajoValeria Sagarzazu

Miriam López

MatemáticaCoordinadoras

Andrea NovembreAdriana DíazAutores

Martín ChaufanGuillermo KaplanGloria RodríguezGladys Tedesco

Equipo de producción gráfico/editorial de la DNPS

Coordinación general gráfico/editorial Edición

Laura Gonzalez

Diseño colección

Nicolás Del Colle

Diagramación y armadoNatalia Suárez Fontana

Producción generalVerónica Gonzalez

Correción de estilos (INFD)Iván Gordin

Documento generado por medios digitales, en formato PDF, para ser utilizado electrónicamente.

Colaboración: Coordinación de Educación Inclusiva

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