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7/17/2019 B 0 Algebramoderna.prof.LValdez

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- 1 - ÁLGEBRA MODERNA – Prof. Luis E. Valdez

INDICE

Prólogo – Algo de Historia – Bibliografía ……………………………………………… 4Capítulo I – Lógica Proposicional ……………………………………………………… 5La lógica, Conectivos lógicos………………………………………………………………… 6Las operaciones proposicionales …………………………………………………………… 6Tautología, contradicción y contingencia …………………………………………………… 9Leyes lógicas ………………………………………………………………………………… 10Circuitos lógicos ……………………………………………………………………………… 14Razonamientos Deductivos ………………………………………………………………… 17Leyes de inferencia …………………………………………………………………………… 17Teorema ……………………………………………………………………………………… 19Razonamiento Inductivo ……………………………………………………………………… 20Reducción al absurdo ……………………………………………………………………….. 20La función proposicional. Los cuantificadores …………………………………………… 21Negación de un cuantificador ……………………………………………………………… 21Trabajo Práctico Nº 1 ……………………………………………………………………… 23

Capítulo II – La Teoría Conjuntis ta ……………………………………………………… 25Simbolismo de la Teoría conjuntista ………………………………………………………… 24Conjunto, elemento y pertenencia ………………………………………………………… 24Formas de definir un conjunto ……………………………………………………………… 24Conjuntos especiales ……………………………………………………………………… 25Los conjuntos numéricos …………………………………………………………………… 25Los diagramas de Venn ……………………………………………………………………… 26Relaciones entre conjuntos – La inclusión ………………………………………………… 26Propiedades de inclusión ……………………………………………………………………. 27Igualdad de conjuntos ……………………………………………………………………… 27Propiedades de la igualdad ………………………………………………………………… 27Caracterización del conjunto vacío ………………………………………………………… 28Operaciones con conjunto – Propiedades ……………………………………………… 28

Otras propiedades de las operaciones con conjuntos …………………………………… 33La Diferencia Simétrica ……………………………………………………………………… 35Propiedades de la diferencia simétrica …………………………………………………… 36Conjunto de Partes ………………………………………………………………………….. 37Uniones disjuntas ……………………………………………………………………………. 37Par ordenado – Producto Cartesiano……………………………………………………….. 38Trabajo Práctico Nº 2 ………………………………………………………………………… 39Capítulo III – Relaciones Binarias ……………………………………………………….. 43Definición de relación binaria ………………………………………………………… 44Dominio, Imagen, Representaciones gráficas …………………………………………… 44Relación inversa …………………………………………………………………………….. 45Composición de relaciones ………………………………………………………………… 45Relaciones definidas en un conjunto ……………………………………………………… 47

Posibles propiedades de las relaciones definidas en un conjunto ……………………… 47Relación de equivalencia ……………………………………………………………………. 51Clases de equivalencia – Conjunto cociente ……………………………………………… 52Partición de un Conjunto no vacío ………………………………………………………….. 52Teorema Fundamental de las relaciones de equivalencias ……………………………… 53Partición y relación de equivalencia ……………………………………………………….. 54Relación de orden …………………………………………………………………………… 55Relación de orden amplio …………………………………………………………………… 55Relación de orden estricto …………………………………………………………………… 56Relación de orden parcial …………………………………………………………………… 56Relación de orden tota ……………………………………………………………………….. 56Elementos distinguidos en una relación de orden ………………………………………… 56Diagramas de Hasse ………………………………………………………………………… 58

Conjunto bien ordenado ……………………………………………………………………… 58Trabajo Práctico Nº 3 ………………………………………………………………………… 58Capítulo IV – Funciones …………………………………………………………………… 61Función: Definiciones- Dominio y Codominio, Imagen …………………………………… 62




Representaciones gráficas de una función ………………………………………………… 62Clasificación de las funciones ……………………………………………………………… 65Funciones especiales ……………………………………………………………………….. 67Composición de Funciones …………………………………………………………………. 68Propiedades de la composición de funciones ……………………………………………. 69

La función inversa: Definición ……………………………………………………………… 70Teorema Fundamental de las funciones inversas ………………………………………… 74Funciones algebraicas y trascendentes …………………………………………………… 74Trabajo Práctico Nº 4 ………………………………………………………………………… 82Capítulo V – Inducción Completa – Números y Congruencias …………………….. 86Teorema de Inducción Completa …………………………………………………………… 87Principio de Inducción Completa …………………………………………………………… 87El símbolo de sumatoria …………………………………………………………………….. 88Propiedades de las sumatorias ……………………………………………………………… 89Máximo Común Divisor ……………………………………………………………………… 90Divisores y múltiplos ………………………………………………………………………… 90Propiedades de los divisores y múltiplos …………………………………………………… 90Algoritmo de Euclides ………………………………………………………………………… 90

Propiedades …………………………………………………………………………………… 90Propiedades del Máximo Común Divisor …………………………………………………… 91Números relativamente primos o primos entre sí ………………………………………… 93Ecuaciones Diofánticas ……………………………………………………………………… 93Propiedades de las ecuaciones Diofánticas ……………………………………………… 93Congruencia en módulo “n” ………………………………………………………………… 96Propiedad ……………………………………………………………………………………. 96Ecuaciones con Congruencia en módulo “n” ……………………………………………… 96Trabajo Práctico Nº 5 ………………………………………………………………………… 98Capítulo VI – Análisis Combinatorio ……………………………………………………. 99Factorial de un número ……………………………………………………………………… 100Simplificación de factoriales …………………………………………………………………. 100Variaciones o arreglos sin repetición ………………………………………………………. 100

Variaciones o arreglos con repetición ……………………………………………………… 101Permutaciones simples o sin repetición …………………………………………………… 102Permutaciones con repetición ……………………………………………………………… 102Combinaciones simples o sin repetición …………………………………………………… 102Propiedades …………………………………………………………………………………… 103Combinaciones con repetición ……………………………………………………………… 104Binomio de Newton ………………………………………………………………………….. 104Triángulo de Tartaglia – Pascal ……………………………………………………………… 104Trabajo Práctico Nº 6 ………………………………………………………………………… 106Capítulo VII – Estructuras Algebraicas ………………………………………………….. 108Ley de Composición Interna ………………………………………………………………… 109Estructura de Grupo ………………………………………………………………………….. 109Propiedades de los grupos ………………………………………………………………….. 110

Subgrupos …………………………………………………………………………………….. 112Condición suficiente para la existencia de un subgrupo ………………………………….. 112Homomorfismo de Grupos …………………………………………………………………… 113Homomorfismos especiales …………………………………………………………………. 113Estructura de Anillo …………………………………………………………………………… 113Estructura de Cuerpo ………………………………………………………………………… 113Trabajo Práctico Nº 7 ………………………………………………………………………… 114Currículum Vitae ……………………………………………………………………………… 115




PRÓLOGO

tendiendo las necesidades de los alumnos del 1º año del Profesorado en Matemáticadel Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá de poder contar con un material

didáctico que le sirva como apoyo en el aprendizaje del Álgebra I (Álgebra Moderna),es que me dispuse a desarrollar este apunte como parte de un compendio de utilidadesofrecidas en el sitio Web http://algebramoderna.iespana.es, el desarrolla la mayoría de loscontenidos de este espacio curricular.

Indudablemente, es acorde a los lineamientos curriculares oficiales e inicia con loscontenidos de Lógica Proposicional, para seguir con la Teoría Conjuntista y continuar conRelaciones Binarias, Funciones, Inducción Completa y Divisibilidad, Análisis Combinatorio yEstructuras Algebraicas.

Espero que este elemento didáctico pueda llegar al alumno de la mejor forma posible yle sirva para el aprendizaje del Álgebra, base de otros espacios curriculares como Álgebra II,Análisis Matemático, Estadística, Probabilidad, Geometría, Elemento de ProgramaciónCientífica, etc.

UN POCO DE HISTORIA

El matemático británico George Boole (1815 – 1864) publicó en 1845 un libro titulado“Investigaciones sobre las leyes del pensamiento” quien contribuyó como base para eldesarrollo de la teoría conjuntista. Más tarde George Cantor (1843 – 1918) fundó la TeoríaConjuntista propiamente dicha.

Ahora, la teoría de números es una de las ramas más viejas de la matemática. Loslibros “Elementos” de Euclides. Este matemático vivió alrededor del año 300 años antes deCristo. A este autor se le debe el algoritmo de las divisiones sucesivas para obtener elmáximo común divisor de dos números.

Alrededor de 300 años después de Cristo, Diofanto de Alejandría escribió una obra de13 libros titulada “Aritmética” de las que sólo se conservan seis. En esta obra aparece porprimera vez la notación simbólica para describir incógnitas y las expresiones polinómicas.

Años más tarde Pierre Fermat (1601 – 1665), contribuyó al desarrollo de la teoría denúmeros y tuvo influencia en el análisis, como lo reconociera Newton 50 años más tarde,manejando la geometría analítica o de coordenadas que también fue estudiada porDescartes y Pascal.

Fueron numerosos los matemáticos que siguieron el desarrollo de los números entrelos que se puede nombrar Leonhard Euler (1707 – 1783), Adrien – Marie Legendre (1752 –1833), Kart Friedrich Gauss (1777 – 1855).

Por otro lado el estudio de las estructuras algebraicas se la debe en un inicio a Joseph

Louis Lagrange (1736 – 1813), a Paolo Ruffini (1765 – 1822), Niels Henrik Abel (1802 –1829) entre otros.Por último, Pascal, Fermat, Tartaglia (1500 – 1557), trabajó en las teoría de las

probabilidades donde se aplica la combinatoria. Pero fue Isaac Newton, nacido en lanavidad de 1642, quien tuvo su primer trabajo matemático en el desarrollo del binomio quelleva su nombre.

BIBLOGRAFÍA DE CONSULTA

• Álgebra I – Armando Rojo - Ed. El Ateneo - 1986• Número, Grupos y Anillos – Dorrosoro / Hernández - Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana España, 1996• Introducción al Análisis Matemático – Luis Osín - Kapelusz, 1966• Álgebra II – Armando Rojo - Ed. El Ateneo – 1973

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CAPÍTULO I

LÓGICA PROPOSICIONAL




LA LÓGICA

La Lógica es la ciencia que estudia los modos y formas de raciocinio. La lógica es una cienciaauxiliar de la Matemática, pues ayuda a comprenderla, razonarla, etc.

Para iniciar los estudios de la lógica, es necesario analizar oraciones particulares de lascuales se pueden decir que son VERDADERAS O FALSAS y reciben el nombre de proposiciones .-

Por ejemplo:El número 5 es un número natural

Toda proposición es representada por las últimas letras minúsculas del abecedario:

p, q, r, s, t, w

CONECTIVOS LOGICOS

Se denominan conectivos lógicos, a símbolos que permiten formar proposiciones con otrasproposiciones. Estos son:

Conectivo Nombre∼ ó - NO

∨ O INCLUYENTE

∧ Y

⇒ ENTONCES O IMPLICA

⇔ SÍ Y SOLO SÍ

∨ O EXCLUYENTE

Estos conectivos lógicos tienen una jerarquía en las operaciones, esta es: el NO en primer

lugar, luego el O INCLUYENTE y el Y, luego el IMPLICA, le sigue el SÍ Y SOLO SÍ y por último el OEXCLUYENTE.-

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Una proposición se dice que es simple si no está afectada por conectivos lógicos; casocontrario, se dice que es compuesta.

Proposición simple: pProposición compuesta: p⇔q

TABLA DE VALORES DE VERDAD

Una tabla de valores de verdad de una proposición compuesta, es una tabla que se arma conlos posibles valores de verdad de las proposiciones simples para determinar el valor de verdad de laproposición compuesta.

OPERACIONES PROPOSICIONALES

LA NEGACIÓN

La negación de la proposición p es ∼p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

p∼p

V F

F VEsta tabla proviene de hacer un análisis simple de una proposición cualquiera, por ejemplo:

p: el 2 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA.




Y negando la proposición p queda:

∼p: NO ES CIERTO que el 2 es un número natural . Esta proposición es FALSA

Ahora, busquemos una proposición falsa, por ejemplo:

p: el –3 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA.

Y negando la proposición p queda:

∼p: NO ES CIERTO QUE el 3 es un número natural . Lo cual es FALSA

DISYUNCIÓN O SUMA LOGICA

La disyunción o suma lógica de las proposiciones p y q, es p∨q, donde p y q se denominandisyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Antes de armar esta tabla de valores de verdad, debemos saber como se obtiene la cantidadde valores de verdad de la proposición dada: para ello se recurre al análisis combinatorio, yconcluimos que los valores de verdad se repiten y no interesa el orden, por lo tanto estamos enpresencia de un arreglo con repetición de n elementos tomados de 2 en 2, o sea:

En nuestro caso particular, tendríamos que la VALORES = 22 = 4

p q p∨qV V VV F V

F V VF F F

Esta tabla se explica con un ejemplo fácilmente:

P: estudio q: veo televisión

p∨q: estudio O veo televisión

Como este “o” es incluyente, lo que significa que LA VERDAD se dará cuando realice almenos una de las acciones. Se tiene que la primera línea es VERDADERA por que estoyESTUDIANDO Y VIENDO TV; la segunda línea es VERDADERA ya que si bien no veo TV pero estoyESTUDIANDO; la tercera línea es similar a la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY

REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOS ACCIONES, por lo tanto es FALSA.-Como conclusión se puede decir que la disyunción es verdadera si al menos unos de

los disyuntivos también lo es.-

CONJUNCIÓN O PRODUCTO LÓGICO

La conjunción o producto lógico de las proposiciones p y q, es p∧q, donde p y q sedenominan conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

p q p∧qV V VV F VF V VF F F

s proposione n

nes proposicio n Avalores n º2

º2'º

=




Esta tabla, al igual que la anterior, se explica con un ejemplo fácilmente:

p: estudio q: veo televisiónp∧q: estudio Y veo televisión

El “y” nos está indicando que la proposición será VERDADERA si ambas acciones secumplen. Se tiene que la primera línea es VERDADERA por que estoy ESTUDIANDO Y VIENDO TV;la segunda línea es FALSA ya que no veo TV aunque esté ESTUDIANDO; la tercera línea es similara la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOSACCIONES, por lo tanto es FALSA.-

Como conclusión se puede decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivostambién lo son.-

LA IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

La implicación o condicional de las proposiciones p y q, es p⇒q donde p se denominaantecedente, y q consecuente, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

p q p ⇒qV V VV F FF V VF F V

Esta tabla de valores de verdad se la puede interpretar con el siguiente ejemplo:

p: aprueboq: te presto el libro

O sea que la proposición será: Apruebo, ENTONCES te presto el libro

La VERDAD del condicional está basada en el cumplimiento del compromiso de aprobar. Osea que: en la primera línea aprobé y le presté el libro, por lo tanto es VERDADERA; en la segundalínea aprobé y no le presté el libro, lo que significa que no cumplí con el compromiso, por lo tanto esFALSA; el la tercera línea no aprobé y le presté el libro, pero el hecho de no aprobar no está insertoen el compromiso, por lo tanto cuando no apruebe, queda librado a prestar o no el libro, lo quesignifica que será VERDADERO al igual que la línea cuatro.

En conclusión, la implicación es FALSA cuando el antecedente es verdadero y elconsecuente es falso.

LA DOBLE IMPLICACIÓN O EL BICONDICIONAL

La doble implicación o el bicondicional de las proposiciones p y q es p⇔q cuya tabla devalores de verdad es la siguiente:

p q p⇔qV V VV F FF V FF F V

Esta operación proposicional se la puede entender con el siguiente ejemplo:

p: te presto el libroq: apruebo

Nuestra proposición será: te presto el libro SI Y SOLO SI apruebo

La VERDAD de esta proposición se basa en el compromiso doble que existe, o sea que elpréstamo del libro se basa en la aprobación solamente, lo que queda excluido el hecho de noaprobar, por lo tanto en la primera línea aprobé y le presté el libro, lo que es VERDADERA; en la




segunda línea aprobé y no le presté el libro, lo indica que rompí el compromiso, por lo tanto esFALSA, en la tercera fila no aprobé y le presté el libro, lo que es FALSA ya que el hecho de noaprobar también está en el compromiso; y la cuarta línea es VERDADERA, ya que no aprobé y no lepresté el libro.-

Como conclusión se puede decir que la bicondicional es VERDADERO cuando ambas

proposic iones que lo componen son de igual valor de verdad.

LA DIFERENCIA SIMÉTRICA

La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es p ∨ q cuya tabla de valores de verdades la siguiente:

p q p ∨ qV V FV F VF V VF F F

La explicación de esta tabla de valores de verdad se basa en que este “o” es en sentidoexcluyente, lo que significa que se puede dar “una o bien la otra” acción.-

Como conclusión se puede decir que la diferencia simétrica es VERDADERA, si ambasproposic iones que la componen tienen dist into valor de verdad.-

CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE

En la tabla de valores de verdad del condicional, existen tres líneas donde es VERDADERA(primera, segunda y tercera), pero de ellas, la tercera y la cuarta p es falsa y en la primera esverdadera, entonces se dice que el “antecedente p es condición suficiente para q”. Ahora, si elantecedente p es verdadero, el consecuente q debe ser necesariamente verdadero para que laimplicación lo sea, entonces se dice que el “consecuente q es condición necesaria para el

antecedente p”.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

Una proposición compuesta se dice que es una tautología si es VERDADERAindependientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-

Por ejemplo la siguiente proposición: ∼(p ∧ q) ⇔ ∼p v ∼q Para resolver esta tabla de valores de verdad, se debe comenzar por el paréntesis de la

izquierda de la doble implicación, teniendo en cuenta que es una conjunción, luego se sigue por sunegación. Luego seguimos con la parte derecha de la doble implicación, o sea con la negación de p yde q, luego con estos valores se resuelve la disyunción. Por último se resuelve la doble implicación(operación principal) con el último resultado de la derecha (la negación del paréntesis) y el último dela izquierda (la disyunción)

p q - (p ∧ q) ⇔ -p v -qV V F V V F F FV F V F V F V VF V V F V V V FF F V F V V V V

Una proposición es una contradicción si es FALSA independientemente de los valores deverdad de las proposiciones simples que la componen.-

Por ejemplo:

p q p ∧ q ⇔ -p v -q

V V V F F F FV F F F F V VF V F F V V FF F F F V V V




Una proposición es una contingencia si no es ni VERDADERA ni FALSA.-Por ejemplo:

p q p ∧ q ⇒ -p v -qV V V F F F FV F F V F V V

F V F V V V FF F F V V V V

LEYES LOGICAS

Se llaman leyes lógicas a todas aquellas proposiciones que son verdaderas.

1. INVOLUCIÓNLa negación de la negación de una proposición es equivalente a la misma proposición .

-(-p) ⇔ pDemostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad:

p - (-p) ⇔ pV F V V VF V F V F

2. LA IDEMPOTENCIADe la disyunción: La disyunción de una misma proposición, es equivalente a la mismaproposición, o sea:

p v p ⇔ p

Demostramos con una tabla de valores de verdad:

P (p v p) ⇔ pV V V V

F F V F

De la conjunción: La conjunción de una misma proposición, es equivalente a la mismaproposición, o sea:

p ∧ p ⇔ pDemostramos con una tabla de valores de verdad:

p (p ∧ p) ⇔ pV V V VF F V F

3. ASOCIATIVIDAD

La disyunción y la conjunción son asociativas. O sea que:

(p v q) v r ⇔ p v (q v r)

Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lotanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma:

p q r (p v q) v r ⇔ p v (q v r)V V V V V V V VV V F V V V V VV F V V V V V VV F F V V V V FF V V V V V V V

F V F V V V V VF F V F V V V VF F F F F V F F




(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lotanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma:

p q r (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)V V V V V V V VV V F V F V F FV F V F F V F FV F F F F V F FF V V F F V F VF V F F F V F FF F V F F V F FF F F F F V F F

4. CONMUTATIVIDAD

La disyunción y la conjunción son conmutativas

p v q ⇔ q v p

Se demuestra con una tabla de valores de verdad:

p q p v q ⇔ q v pV V V V VV F V V VF V V V VF F F V F

p ∧ q ⇔ q ∧ p


p q p ∧ q ⇔ q ∧ pV V V V VV F F V FF V F V FF F F V F

5. DISTRIBUTIVIDAD

De la conjunción con respecto a la disyunción: la conjunción es distributiva con respecto ala disyunción.

(p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) v (q ∧ r)

p q r (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) v (q ∧ r)V V V V V V V V V V V F V F V F F FV F V V V V V V FV F F V F V F F FF V V V V V F V VF V F V F V F F FF F V F F V F F F

F F F F F V F F F




De la disyunción con respecto a la conjunción: la disyunción es distributiva con respecto ala conjunción.

(p ∧ q) v r ⇔ (p v r) ∧ (q v r)

6. IMPLICACIONES ASOCIADAS

Si se tiene en cuenta la implicación y las posibilidades de negar o cambiar el antecedente por

el consecuente y/o viceversa, podemos concluir en lo siguiente:

p ⇒ q Implicación Directaq ⇒ p Implicación Recíproca-p ⇒ -q Implicación Contraria-q ⇒ -p Implicación Contra – recíproca

Con estas implicaciones podemos armar un cuadro visualmente entendible:

Las implicaciones contra - recíprocas son equivalentes; o sea que:

p ⇒ q ⇔ -q ⇒ -pDemostramos esta ley lógica usando una tabla de valores de verdad:

p q p ⇒ q ⇔ -q ⇒ -pV V V V F V FV F F V V F F

F V V V F V VF F V V V V V

p q r (p ∧ q) v r ⇔ (p v r) ∧ (q v r)

V V V V V V V V V V V F V V V V V VV F V F V V V V VV F F F F V V F FF V V F V V V V VF V F F F V F F VF F V F V V V V VF F F F F V F F F

RECÍPROCAS

C O

N TR A R IA S

C O

N T R A R I A S

-q ⇒ -p

q ⇒ p

RECÍPROCAS-p ⇒ -q

CONTRA - RECÍPROCAS

p ⇒ q




7. LA DOBLE IMPLICACIÓN Y LA IMPLICACIÓN

La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. O sea:

p ⇔ q ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Se demuestra usando una tabla de valores de verdad.

p q (p⇔q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)V V V V V V VV F F V F F VF V F V V F FF F V V V V V

8. LA DIFERENCIA SIMÉTRICA Y LA DOBLE IMPLICACIÓN

La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación. O sea que:

p ∨ q ⇔ -(p ⇔ q)


p q p ∨ q ⇔ - (p ⇔ q)V V F V F VV F V V V FF V V V V FF F F V F V

9. LEYES DE “ DE MORGAN”

De la conjunción: La negación de una conjunción, es equivalente a la disyunción de lasnegaciones. O sea que:

-(p ∧ q) ⇔ -p ∨ -q

Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad:

p q - (p ∧ q) ⇔ -p ∨ -qV V F V V F F FV F V F V F V VF V V F V V V FF F V F V V V V

De la disyunción: La negación de una disyunción, es equivalente a la conjunción de lasnegaciones. O sea que:

-(p ∨ q) ⇔ -p ∧ -q

p q - (p ∨ q) ⇔ -p ∧ -qV V F V V F F FV F F V V F F VF V F V V V F FF F V F V V V V

10. NEGACION DE UNA IMPLICACIÓN

La negación de una implicación es equivalente a negación de la disyunción de la negación delantecedente y el consecuente. O sea:-(p ⇒ q) ⇔ -(-p ∨q)




p q - (p ⇒ q) ⇔ - ( - p ∨q)V V F V V F F VV F V F V V F FF V F V V F V VF F F V V F V V

Ahora, aplicando la ley de De Morgan e Involución en la disyunción, queda:

-(p ⇒ q) ⇔ p ∧ -q

O sea que se puede decir que la negación de una implicación también es equivalente a laconjunción del antecedente y la negación de consecuente. Ahora negando la negación de la implicación queda:

-[-(p ⇒ q)] ⇔ -[ -(-p ∨ q)] ⇔ -p ∨ q

Pero la negación de la negación de la implicación queda:

p ⇒ q ⇔ -p ∨ q

O sea que la implicación también es equivalente a la disyunción de la negación deantecedente y el consecuente.- Ahora, partiendo de la negación de la negación de una implicación y aplicando involución yley de De Moran, queda:

-[-(p ⇒ q)] ⇔ -[ -(-p ∨ q)] ⇔ -(p ∧ -q) O sea que:

p ⇒ q ⇔ -(p ∧ -q)

Por lo tanto podemos decir que la implicación es equivalente a la negación de la conjuncióndel antecedente y la negación del consecuente.

CIRCUITOS LÓGICOS

Haciendo un análisis con las tablas de valores de verdad de la conjunción y de la disyunción,podemos compararlo con circuitos eléctricos, relacionando la VERDAD con la llegada de la corrienteal final de circuito. Cada proposición es un interruptor, y así tenemos:

CIRCUITO EN SERIE

Este circuito tiene la particularidad de que sobre una misma línea se encuentran losinterruptores, o sea que:

p q

Este circuito se relaciona con la conjunción:

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F




En la primera línea p y q son VERDADEROS, lo que significa los interruptores están cerrados o seaque pasa la corriente por los dos. O sea que:

p q

En la segunda línea p es VERDADERO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antesde q. O sea que:

p q

En la tercera línea p es FALSO y q VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa hasta antesde p. O sea que:

p q

En la cuarta línea p es FALSO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de p. Osea que:

p q

CIRCUITO EN PARALELO

Este está formado por dos líneas que tienen el mismo principio y el mismo fin y con uninterruptor en cada línea.

p

q

Este circuito se relaciona con la disyunción teniendo en cuenta que la VERDAD de esta proposiciónestá basada en la llegada de la corriente al final del mismo. O sea:

p q p∨qV V VV F VF V VF F F

V

F

F

F




En la primera línea p y q son VERDADEROS, o sea que las llaves están cerradas y pasa la corrientepor las dos líneas del circuito:

p

q

En la segunda línea, p es VERDADERO y q FALSO, o sea que solamente la llave p está cerrada, loque deja pasar la corriente, o sea que:

p

q

En la tercera línea, p es FALSO y q es VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa por q,entonces la disyunción es VERDADERA, o sea:

p

qEn la cuarta línea, p y q son FALSOS, por lo que tanto las llaves p y q están abiertas, entonces ladisyunción es FALSA ya que no llega la corriente hasta el final del circuito. O sea:

p

q

Ahora, el problema está cuando debemos armar un circuito lógico de proposiciones que noson disyunciones ni conjunciones ni negaciones. En estos casos, se deben aplicar propiedades hastala reducción a las mismas.-

V

V

V

F




Por ejemplo aplicando sucesivamente la equivalencia de la diferencia simétrica y la doble implicación,la ley de De Morgan y la equivalencia de la negación de una implicación:

p ∨ q ⇔ -(p⇔q) ⇔ -[(p⇒q) ∧ (q⇒p)] ⇔ -(p⇒q) ∨ -(q⇒p) ⇔ (p ∧-q)∨(q∧-p)

Esta última proposición está formada por negaciones en las proposiciones simples,conjunciones y disyunciones. Observamos que la operación principal es la disyunción, por lo tanto elcircuito será uno en paralelo, donde en cada una de las líneas de este último son conjunciones ocircuitos en serie. O sea que:

p -q

q -p

RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS

Se llama razonamiento al par ordenado ({p i},c), cuya primera componente es un conjuntofinito de proposiciones denominadas premisas , y la segunda componente es otra proposiciónllamada conclusión.

Un razonamiento se dice que es deductivo, si la conclusión es evidencia de los valores deverdad de las premisas .

Un razonamiento también se lo expresa como una implicación, cuyo antecedente es laconjunción de las premisas, y la conclusión es el consecuente. O sea:

p1 ∧ p2 ∧ p3∧ ... ∧ p4 ⇒ c

De un razonamiento no se dice que es verdadero o falso, sino, que ES VALIDO o NOVALIDO.

Teniendo en cuenta que la conjunción es verdadera cuando los conjuntivos también lo son, yademás, que la implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso,se tiene sólo tres posibilidades donde la conclusión es evidencia de la verdad de las premisas:

p1 ∧ p2 ∧ p3∧ ... ∧ p4 ⇒ cV V V

V F FF V VF V F

Entonces, un razonamiento deductivo se dice que es VÁLIDO, cuando no es posible que depremisas VERDADERAS, se obtenga una conclusión FALSA.

Un razonamiento se los coloca en columna, enumerando las premisas, o sea que:

p1 p2 p3

...........pn

________c




LEYES DE INFERENCIAS:

Se llaman reglas de inferencias, a todo razonamiento deductivo válido.-

Ley de Modus Ponens o Modus Ponendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y el

antecedente, se obtiene como conclusión el consecuente. O sea que:

p⇒qp

______q

Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad:

p q (p ⇒ q) ∧p ⇒ qV V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

Ley de Modus Tolens o Modus Tolendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y lanegación de consecuente, se concluye en la negación del antecedente. O sea que:

p⇒q-q

______-p


p q (p ⇒ q) ∧ -q ⇒ -p

V V V F F V FV F F F V V FF V V F F V VF F V V V V V

Ley del silogismo disyuntivo: si en un razonamiento se tiene una disyunción y la negación de unode los disyuntivos, se obtiene como conclusión el otro disyuntivo. O sea que:

p∨q p∨q-p -q

______ ______-q -p

Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad:p q (p ∨ q) ∧ -p ⇒ qV V V F F VV F V F F VF V V V V VF F F F V V

Ley del silogismo hipotético: si en un razonamiento se tiene dos implicaciones donde elconsecuente de una de ella, es antecedente de la otra, se obtiene como conclusión una terceraimplicación, cuyo antecedente es el antecedente de la primera, y cuyo consecuente es elconsecuente de la segunda. O sea:

p⇒q

q⇒r ______p⇒r





p q r (p ⇒ q) ∧ (q ⇒r) ⇒ (p⇒r)V V V V V V V VV V F V F F V F

V F V F F V V VV F F F F V V FF V V V V V V VF V F V F F V VF F V V V V V VF F F V V V V V

Para determinar la validez de una razonamiento, se deben enumerar las premisas, aplicarleyes a fin de reducir el razonamiento colocando a la derecha de la nueva estructura, la procedencia yla justificación. Cuando ya no se pueda reducir más, se debe tener en cuenta que un razonamientodeductivo es válido NO ES POSIBLES QUE DE PREMISAS VERDADERAS SE OBTENGA UNACONCLUSIÓN FALSA.-

Esto significa que se toman todas las premisas VERDADERAS, y se debe concluir en laconclusión VERDADERA. Por ejemplo:

1) p⇒q 1) p⇒q 1) p⇒r De 1 y 2 LSH 1) -p 1 y 4 MT2) -r ⇒-q 2) q⇒r De 2 por I.C.R. 2) p∨t 2) p∨t

3) -(-p∧-t) 3) p∨t 3) t⇒s 3) t⇒s_4) t⇒s 4) t⇒s 4) -r__ s5) -r__ 5) -r__ s

s s

1) t 1 y 4 LSD2) t⇒s

s

Este último da como conclusión “s” por la Ley de Modus Ponens. Pero de todas maneras,analizamos este razonamiento teniendo en cuenta que las premisas son verdaderas, y en particular t,y t⇒s. Entonces lo único que queda es que s también lo sea, por lo tanto de premisas verdaderas,obtuvimos conclusión verdadera, lo que significa que el Razonamiento Deductivo es VALIDO.-Nota: Se aclara que LSH es Ley del Silogismo Hipotético. LMT es Ley de Modus Tolens. Y LSD esLey del Silogismo Disyuntivo.

TEOREMA

Un teorema es un esquema válido de razonamiento. Todo teorema tiene tres partes:HIPÓTESIS, que está compuesta por proposiciones verdaderas o premisas, la TESIS o conclusión,que es lo que se quiere demostrar, y la DEMOSTRACIÓN que son pasos lógicos que se siguen parapoder demostrar la TESIS. En conclusión, un teorema es una verdad no evidente pero sidemostrable.-

El siguiente teorema lo vamos a demostrar utilizando el método deductivo, o sea queutilizaremos proposiciones verdaderas, y trataremos de llegar a una conclusión verdadera.

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º.

HIPÓTESIS

Sea el triánguloΔ

bca TESIS

º180=++ ∧∧∧

cba




DEMOSTRACIÓN

Analizando el dibujo, nos damos cuenta que º180'' =++ ∧∧∧

cba , pero como∧∧∧∧

== bbaa 'y' por ser

alternos internos entre las paralelas Aab y , entonces º180=++ ∧∧∧

cba

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Un razonamiento se dice que es inductivo, cuando partiendo de casos particulares, se puedellegar a la conclusión en forma general.-

La siguiente propiedad se demuestra usando el razonamiento inductivo:

La suma de números enteros es conmutativa

HIPÓTESIS

Sean a∈ ∧ b∈

TESIS

a+b=b+a

DEMOSTRACIÓN

Como a y b son números enteros, entonces particularizamos la demostración usando númerosenteros, y resolviendo:

-3+2=2-3-1=-1 5+2=2+57=7 100+8=8+100108=108 -10+38=38-1028=28

En general podemos decir que siendo a y b enteros, entonces a+b=b+a

REDUCCIÓN AL ABSURDO

Este método de demostración, se basa en que las implicaciones contra - recíprocas sonequivalentes; o sea que p⇒q ⇔ -q⇒-p, que sería lo mismo que H⇒T ⇔ -T⇒-H, lo que significa quepartiendo de la negación de la tesis y llegando a la negación de la hipótesis (absurdo, ya que lahipótesis siempre es verdadera) demuestra la verdad de hipótesis implica tesis. Podemos demostrarla propiedad de los ángulos interiores de un triángulo por este método:

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º.

a

b

c

A a’ c’




HIPÓTESIS

Sea el triánguloΔ

bca

TESISº180=++

∧∧∧

cba

DEMOSTRACIÓN

Negamos la tesis, o sea que º180ˆˆˆ ≠++ cba , y como∧∧∧∧

== bbaa 'y' por ser alternos internos

entre las paralelas Aab y , entonces º180'' ≠++ ∧∧∧

cba , lo que nos indica que A no es una recta,

entonces tampocoΔ

abc es un triángulo (lo contrario a la hipótesis) lo que es un absurdo.Y teniendo en cuenta las implicaciones contra - recíprocas, H⇒ T es verdadera.

LA FUNCIÓN PROPOSICIONALSe llama función proposicional, a todo predicado u objeto directo que está ligado a una

variable, y que para el un valor de dicha variable, la oración se transforma en una proposiciónPor ejemplo:

P(x)= “ x es azul” donde x es una variable o argumento

Ahora, si x = “el auto” , entonces queda:

P(el auto)= el auto es azul

LOS CUANTIFICADORES

Para poder trabajar con las funciones proposicionales se utilizan los cuantificadores, o seaque se cuantifica la función proposicional. Los cuantificadores son dos: el cuantificador universal y elcuantificador existencial:Cuantificador Universal: x: “para todo equis se verifica” Cuantificador Existencial: x/ “Existe equis tal que”

Una función proposicional que está afectada por un cuantificador se puede decir que es Verdadera oFalsa; por ejemplo

∀x:x∈N, de esta función proposicional ya se puede decir si es verdadera o falsa

a

b

c

A a’ c’




NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR

Dentro del trabajo de la lógica cuantificacional, lo importante es poder negar un cuantificador:

NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Para poder llegar a entender la negación del cuantificador universal, se debe recurrir a unejemplo:

Todos los números enteros son impares

.

2: ≠∀ x x x:P(x)

Negamos esta oración y nos queda:

No es cierto que todos los números enteros son impares

.2: ≠∀− x x - x:P(x)

Y esto es equivalente a decir que:

Existen enteros que no son impares

.

2/ =∃ x x x/-P(x)

En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador universal es equivalente acambiarlo por el existencial y negar la función proposicional.-

O sea:

- x:P(x) ⇔ x/-P(x)

NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Al igual que el anterior, para poder llegar a entender la negación del cuantificador existencial,se debe recurrir a un ejemplo:

Existen números enteros que son impares

.

2/ ≠∃ x x x/P(x)

Negamos esta oración y nos queda:

No es cierto que algunos números enteros son impares

.

2/ ≠∃− x x - x/P(x)

Y esto es equivalente a decir que:

Todos los números enteros no son impares

.

2: =∀ x x x:-P(x)

En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador existencial es equivalente acambiarlo por el universal y negar la función proposicional.-

O sea:




- x/P(x) ⇔ x:-P(x)

Por ejemplo:

Cualquiera que sea un entero, existe otro que sumado a él de cero

P(x,y)= x+y=0

x, y/x+y=0 Negando el cuantificador queda:

- x, y/x+y=0 ⇔ x/- y/x+y=0 ⇔ x/ y:x+y≠0

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

1) Construir la tabla de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones:

a) (p ∧ q) ∨ r ⇒ s b) (p∨ q)⇔ (r ∨ q)c) [(p ⇒ q) ∧ (s ⇔ q) ]∨ r d) p ∧ (q ∨ r)e) p ⇒ [q ∧ (s ∨ r)] f) [p ∧ (r ∨ s)] ⇒ (p ∧ q)

2) Reducir a negaciones, conjunciones y disyunciones las proposiciones del ejercicio anterior yconstruir el correspondiente circuito lógico.

3) Determinar la validez o invalidez de los siguientes razonamientos deductivos:

a) p ∧ q b) -pp r ∧ sp ⇒ s p ⇔ q-p ∨ q -q ∨ s-(p ∧ r) q ⇒ -ps ⇒ -r ______ ______ p

-r

d) -(p ∨ q) ∧ s e) (r ∧ s) ∨ pp ∨ s -p ∨ qp ⇒ q p ⇒ qr ∧ s (q ∧ s) ⇒ rp _________ ___________ rp

f) r ∨ s g) - q ⇒ -rp ⇒ r p ∧ ss ∧ q r- q ⇒ -r t ⇒ qr ________q ⇒ t q ____________t

h) -p⇒-q i) p ∨ qr ∧ s r ∧ sp⇒r r ∧ qq ∨ r q ⇒ p ___________ qr __________

q ⇔ s




4) Escribir en forma simbólica las siguientes proposiciones, negarlas y luego retraducirlas al lenguajecoloquial:

a) “Si apruebo, té presto el libro”b) “Ana es hermosa y buena”

c) “Estudio o bien, escucho música, y además lo hago con mis compañeros”d) “Los sábados estudio o me junto con mis amigos”

5) Negar lo siguientes cuantificadores:

a) ∀x: [P(x) ∧ Q(x)] b) ∃x/{P(x) ⇒ [Q(x) ∨ R(x)]} c) ∃X/[P(x) ⇔ Q(x)] d) ∀x:{[Q(x) ∧ R(x)] ∨ P(x)}

6) Dado los siguientes enunciados de teoremas, determinar la Hipótesis y la tesis:

a) Teorema de Pitágoras:“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de loscatetos”

b) Teorema fundamental de la semejanza de triángulos“Si a un triángulo se le traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina dos triángulossemejantes”

c) Propiedad de los cuadriláteros“En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual de cuatro rectos”

7) Reescriba las siguientes fórmulas lógicas en lenguaje natural, siendo:p: ’Juan vendrá en el tren de las 8:15 ’q: ’Juan vendrá en el tren de las 9:15 ’r: ’Juan tendrá tiempo de visitarnos ’

a) -p ⇒ q ∨rb) p ∧ q ⇒ rc) (p ⇒ q) ∧ (p ∨ r)d) p ∨ -q ⇒ re) (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r)

8) Reescriba los siguientes enunciados en lenguaje natural como fórmulas del cálculo proposicionalclásico:

a) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lotanto, si M es negativo o P es positivo, luego Q es negativo.

b) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lotanto, si M es negativo y P es positivo, luego Q es negativo.

c) Si miro al cielo y estoy alerta entonces o veré un plato volador o si no estoy alerta, no veré un

plato volador.9) Determine si las siguientes oraciones en lenguaje natural son equivalentes:

a) Llueve o está nublado. No llueve. Está nublado.b) Si me levanto temprano, estaré cansado. Me levanto temprano. No estoy cansado.c) Si hay sol, vamos al club. Si es sábado, vamos al club. Si hay sol y es sábado entonces

vamos al club.d) La venta de casas cae si el interés sube. Los rematadores no están contentos si la venta de

casas cae. El interés sube. Los rematadores están contentos.




CAPÍTULO II

LA TEORÍA CONJUNTISTA




SIMBOLISMO QUE SE UTILIZA EN LA TEORÍA CONJUNTISTA

Símbolo Significado∈ Pertenece

-(∈) ó ∉ No pertenece

⊂ Incluido en⊃ Incluye a∪ Unión∩ IntersecciónX Por (Producto cartesiano)- Menos

∅ Conjunto vacío∴ Luego

(a,b) Par ordenado “a” “b”> Mayor que≥ Mayor o igual que< Menor que

≤ Menor o igual quea⏐b “a” divide a “b”∀x: Para todo x se verifica∃x/ Existe x tal queU Conjunto universalΝ Conjunto de los números naturalesΖ Conjunto de los números enterosQ Conjunto de los números racionalesR Conjunto de los números realesC Conjunto de los números complejos

CONJUNTO, ELEMENTO Y PERTENENCIA

Para poder abordar la teoría conjuntista, debemos tener presente tres conceptosfundamentales: conjuntos elemento y pertenencia, los cuales son conceptos primitivos.

Todo conjunto se lo designa con una letra mayúscula, por ejemplo A, B, C, etc. Y loselementos con una letra minúscula, por ejemplo a, b, c, etc. Ahora, la relación que existe entreelemento y conjunto es el de pertenencia, y se usa el símbolo “∈”.

De un elemento a un conjunto se puede decir que pertenece, y se denota:

a∈ A “ el elemento a pertenece al conjunto A”

Por otro lado, se puede negar la pertenencia, y se denota:

-( a∈

A)⇔

a∉

A “ el elemento a no pertenece al conjunto A”FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO

Los conjuntos se pueden definir de dos formas: enumerando sus elementos (definido porextensión), o enunciando una propiedad que caracteriza solamente a esos elementos (definido porcomprensión). Por ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4} definido por extensiónA={x∈N/x ≤ 4} definido por comprensión (se lee “El conjunto A está formado por todos loselementos “x” que pertenecen a los números naturales, tal que “x” es menor o igual que cuatro” )




CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO VACÍO

El conjunto vacío es aquel que carece de elementos.

Definido por extensión sería:

φ={}Definido por comprensión:

φ = {x/x≠x} se elige esta forma ya que no existe ningún elemento que sea distinto consigomismo

CONJUNTO UNITARIO

El conjunto unitario es aquel que tiene sólo un elemento:

A={a} por extensiónA={x/x=a} por comprensión

CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto universal es el conjunto formado por todos los elementos de los cuales se estáhablando. Se lo simboliza con “U”.-

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Definición

Se llama cardinal de un conjunto a la cantidad de elementos que tiene el conjunto. El cardinal de unconjunto se lo representa con #.

Por ejemplo:

A={-1,0,1, 2, 3, 4,7,9} ⇒ #A = 8

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Los conjuntos numéricos se fueron creando por la necesidad de solucionar problemas con lasoperaciones algebraicas.

Los números Naturales NPrimero se planteó la necesidad de contar, y se crearon los números naturales (N), o sea

N = {1,2,3,4...}En este conjunto de números se puede sumar y restar cuando el minuendo es mayor o igual

que el sustraendo.-Los números Enteros Z

Con el uso de los números naturales se llegó a la conclusión de que no se podían resolverdiferencias donde el minuendo sea menor que el sustraendo, entonces ante el planteamiento de a – b donde a < b se crearon los números negativos que unidos con los naturales dieron origen a losnúmeros enteros.-

Por otro lado también con los enteros se podía multiplicar y dividir si el dividendo era múltiplodel divisor.

Los números racionales Q Para poder resolver las divisiones donde el dividendo no es múltiplo del divisor, se crearon las

expresiones fraccionarias y las expresiones decimales, que unidos con los enteros dieron origen a losnúmeros racionales.-




Racionales proviene de poder expresar un número como una razón.Por ejemplo:

2

72:7 =

Los números reales R

Pero no todos los números se los puede expresar como fracción, y así lo determinó Pitágorascuando al aplicar su teorema en un triángulo rectángulo de catetos igual a 1 se descubrió:

211 22 =+= H .Todo aquel número que no se los puede expresar como fracción se denominan irracionales

que unidos con los racionales dieron origen a los números reales.-

Los números complejos C

Pero no todas las operaciones se pueden resolver en los números reales, ya que no tienesolución las raíces de índice par y radicando negativo, entonces se crearon los números imaginarios,que unidos a los reales dieron origen a los números complejos.-

Para resolver estas raíces se llegó a una convención donde i=−1 , o sea que por ejemplo:

i.21.44 =−=−

Ahora, el valor de i.21.21.1616 444 =−=−=−

Pero, usando estos números y los reales podemos construir un nuevo conjunto numérico endonde cada uno de ellos se forma con una parte real más una imaginaria, o sea:

a+b.i Estos números se llaman números complejos, y el conjunto formado por ellos se denomina

conjunto de los complejos.-

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn es una forma de representar gráficamente los conjuntos usandofiguras cerradas como circunferencias, triángulos, elipses, rectángulos, etc.

Por conveniencias se utiliza el rectángulo para graficar el conjunto universal, y las otrasfiguras para cualquier otro conjunto:




RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Comparando los conjuntos podremos obtener una conclusión; esto es lo que se denominarelaciones entre conjuntos.

INCLUSIÓN DE CONJUNTOS

Un conjunto está incluido en otro, sí y solo sí los elementos del primero también son delsegundo. Analíticamente:

A ⊂ B ⇔ x∈A ⇒ x∈ BPropiedades de la Inclusión

Propiedad Reflexiva

Todo conjunto está incluido en sí mismo.-

A ⊂ A ⇔ x∈A ⇒ x∈ A aplicando la definiciónV V V V V

Como x∈A es verdadero entonces A ⊂ A es verdadero, lo que significa que todo conjuntoestá incluido en sí mismo.-

Propiedad transitiva

Si un conjunto está incluido en otro, y este en un tercero, entonces el primero está incluido enel tercero.-

A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A⊂ CAplicando la definición de inclusión y la Ley del Silogismo Hipotético, se tiene:

A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ (x∈A ⇒ x∈B) ∧ (x∈B ⇒ x∈C) ⇒ x∈A ⇒ x∈C ⇒ A ⊂ C

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Definición

Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.

Ahora, para que dos conjuntos sean iguales es necesario que uno esté incluido en el otro yviceversa, por lo tanto se tienen:

A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

Teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, y que en la geometría se trabajacon conjuntos de puntos, dos figuras o cuerpos que tienen las mismas dimensiones no son igualespor que el lugar que ocupa cada uno de ellos en el espacio o en el plano, son distintos; en este casose habla de CONGRUENCIA.-

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD DE CONJUNTOS

La igualdad de conjuntos cumple con las tres propiedades de una relación, o sea que esREFLEXIVA, SIMÉTRICA Y TRANSITIVA.

Propiedad Reflexiva

Todo conjunto es igual a sí mismoH) Sea el conjunto AT) A = A




D) Como A ⊂ A ⇒ A ⊂ A ∧ A ⊂ A ⇒ A = A

Esto es por la idempotencia de la conjunción y por la definición de igualdad

Propiedad Simétrica

H) Sea A = BT) B = AD) Como A = B ⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ B ⊂ A ∧ A ⊂ B ⇒ B = A

Esto es aplicando la definición de igualdad y la conmutatividad de la conjunciónPropiedad Transitiva

Si un conjunto es igual a otro, y este es igual a un tercero, entonces el primero es igual altercero.

H) Sea A = B ∧ B = CT) A = CD) Como

A = B ∧ B = C ⇒ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ∧ (B ⊂ C ∧ C ⊂ B) ⇒ ⇒ (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ∧ (C ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇒ A ⊂ C ∧ C ⊂ A ⇒ A = C

Esto es aplicando definición de igualdad, conmutatividad y asociatividad de la conjunción, simetría dela igualdad e idempotencia de la conjunción.-

CARACTERIZACIÓN DEL CONJUNTO VACÍO

Al conjunto vacío lo caracterizan dos propiedades. Estas son:

1º) El conjunto vacío está incluido en cualquier otro conjunto

H) Sea el conjunto AT) ∅ ⊂ AD) Teniendo en cuenta la definición de inclusión y la definición de implicación, se tiene:

∅ ⊂ A ⇔ x∈∅ ⇒ x∈AV V F V V

Esto es dado que x∈∅ es falso y x∈A, por lo consiguiente la implicación es verdadera, por lo tanto lainclusión es verdadera.

2º) El conjunto vacío es único (unicidad)

H) Sean los conjuntos vacíos ∅ y ∅’T) ∅ = ∅’D) Como ∅ es un conjunto vacío y por la propiedad anterior se asegura que ∅⊂∅’

Ahora, como ∅’ también es un conjunto vacío, y por la propiedad anterior se tiene ∅’⊂∅.Y teniendo en cuenta la definición de igualdad se tiene:

∅ = ∅’

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Toda operación se caracteriza por tener un resultado. Las operaciones entre conjuntos dancomo resultado otros conjuntos.-




1. COMPLEMENTACIÓN

Sea el conjunto A. Se llama complemento del conjunto A, al conjunto formado por todos loselementos del universal que no son de A.-

Simbólicamente:

AC = {x ∈ U/x ∉ A}

Decir que:

x ∈ AC ⇔ x ∉ A

En diagramas de Venn es:

Todo lo rayado son los elementos del conjunto universal que no son de A

Propiedades de la Complementación

Involución

El complemento del complemento de un conjunto, es igual al mismo conjunto

H) Sea el conjunto AT) (AC)C = AD) Partiendo de la definición de inclusión, otras formas de negar, e involución en la lógica, setiene

x∈ (AC)C ⇔ x∉ AC ⇔ ∼(x∈ AC) ⇔ ∼(x∉ A) ⇔ ∼[∼(x∈ A)] ⇔ x∈ A

Pero con esta demostración no se demostró la igualdad, entonces:

x∈ (AC)C ⇔ x∈ A ⇔ [(x∈ (AC)C ⇒ x∈ A)] ∧ [x∈ A ⇒ x∈ (AC)C] ⇔ ⇔ (AC)C ⊂ A ∧ A ⊂ (AC)C ⇔ (AC)C = A

Esto es aplicando la equivalencia entre la doble implicación y la implicación y la definición deigualdad.-

Gráficamente se demuestra:

(AC)C A

A U

A U A U




Para el primer caso, lo que está rayado oblicuamente es el AC, y lo que está sombreado es(AC)C

2. LA INTERSECCIÓN

Sean los conjuntos A y B, se llama intersección entre los conjuntos A y B al conjunto A∩Bformado por los elementos comunes. Lógicamente, hablar de elementos comunes, es hablarde elementos que pertenecen a uno y al otro conjunto.-

O sea que:

A ∩ B = {x∈U/x∈A ∧ x∈B}Ahora, decir que:

x∈ A∩B ⇔ x∈A ∧ x∈B

Gráficamente se tiene:

Propiedades y elementos distingu idos de la intersección

Idempotencia

La intersección de un conjunto, es igual al mismo conjunto

H) Sea el conjunto AT) A ∩ A = AD) Aplicando la definición de intersección, la idempotencia de la conjunción y la definición deigualdad, se tiene:

x∈ A ∩ A ⇔ x∈A ∧ x∈A ⇔ x∈A

∴ A ∩ A = A

Asociatividad

La intersección es asociativa

H) Sean los conjuntos A, B y CT) A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B)∩ CD) Aplicando la definición de intersección, la asociatividad de la conjunción y la definición deigualdad, se tiene:

x∈ A ∩(B ∩ C) ⇔ x∈A ∧ x∈ (B ∩ C) ⇔ x∈A ∧ (x∈B ∧ x∈C) ⇔

⇔ (x∈A ∧ x∈B) ∧ x∈C ⇔ x∈(A ∩ B) ∧ x∈C ⇔ x∈(A ∩ B)∩ C∴ A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B)∩ C




Gráficamente es:

El primer gráfico es A ∩(B ∩ C), y el segundo (A ∩ B)∩ C

La conmutatividad

La intersección es conmutativa

H) Sean los conjuntos A y BT) A ∩ B = B ∩ AD) Aplicando la definición de intersección, la conmutatividad de la conjunción y la definiciónde igualdad, se tiene:

x∈ A ∩ B ⇔ x∈A ∧ x∈B ⇔ x∈B ∧ x∈A ⇔ x∈ B ∩ A∴ A ∩ B = B ∩ A

Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.-

Elemento neutro

El elemento neutro de la intersección es el conjunto universal

H) Sea el conjunto AT) A ∩ U = U ∩ A = AD) Dado que el conjunto A⊂U ⇒ A ∩ U = U ∩ A = A

Elemento absorbente

El elemento absorbente es el conjunto vacío

H) Sea el conjunto AT) A ∩ ∅ = A ∩ ∅= ∅ D) Dado que, por la caracterización del ∅, ∅⊂A ⇒ A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅

3. UNIÓN DE CONJUNTOS

Definición:La unión de los conjuntos A y B es el conjunto A∪B formado por los elementos de A o

de B o de ambos. O sea que:

A ∪ B = {x∈U/x∈A ∨ x∈B}

Decir que:

x∈ A ∪ B ⇔ x∈A ∨ x∈B




Gráficamente:

Propiedades de la unión de conjuntos

Idempotencia

La unión de un conjunto, es igual al mismo conjunto

H) Sea el conjunto AT) A ∪ A = AD) Aplicando la definición de unión, la idempotencia de la disyunción y la definición deigualdad, se tiene:

x∈ A ∪ A ⇔ x∈A ∨ x∈A ⇔ x∈A∴ A ∪ A = A

Asociatividad

La unión es asociativa

H) Sean los conjuntos A, B y C

T) A ∪(B ∪ C) = (A ∪ B)∪ CD) Aplicando la definición de unión, la asociatividad de la disyunción y la definición deigualdad, se tiene:

x∈ A ∪(B ∪ C) ⇔ x∈A ∨ x∈ (B ∪ C) ⇔ x∈A ∨ (x∈B ∨ x∈C) ⇔ ⇔ (x∈A ∨ x∈B) ∨ x∈C ⇔ x∈(A ∪ B) ∨ x∈C ⇔ x∈(A ∪ B)∪ C

∴ A ∪(B ∪ C) = (A ∪ B)∪ C

Gráficamente:

El primer gráfico es A ∪(B ∪ C), y el segundo (A ∪ B)∪ C

La conmutatividad

La unión es conmutativaH) Sean los conjuntos A y BT) A ∪ B = B ∪ A




D) Aplicando la definición de unión, la conmutatividad de la disyunción y la definición deigualdad, se tiene:

x∈ A ∪ B ⇔ x∈A ∨ x∈B ⇔ x∈B ∨ x∈A ⇔ x∈ B ∪ A∴ A ∪ B = B ∪ A

Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.-

Elemento neutro

El elemento neutro de la unión es el conjunto vacío

H) Sea el conjunto AT) A ∪ ∅ = A ∪ ∅= AD) Dado que, por la caracterización del ∅, ∅⊂A ⇒ A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A

Elemento absorbenteEl elemento neutro de la unión es el conjunto universal

H) Sea el conjunto AT) A ∪ U = U ∪ A = UD) Dado que el conjunto A⊂U ⇒ A ∪ U = U ∪ A = U

4. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS

Definición

La diferencia entre los conjuntos A y B, donde A se llama minuendo y B sustraendo, es elconjunto A– B formado por todos los elementos de A que no son de B. Simbólicamente:

A – B = {x∈U/x∈A ∧ x∉B}Ahora, si:

x∈ A – B ⇔ x∈A ∧ x∉B

Corolario

Teniendo en cuenta la definición de complemento, de intersección y de igualdad, se tiene:x∈ A – B ⇔ x∈A ∧ x∉B ⇔ x∈A ∧ x∈BC ⇔ x∈ A ∩ BC

∴ A – B = A ∩ BC Gráficamente es:




OTRAS PROPIEDADES

Leyes Distributivas

De la intersección con respecto a la unión

La intersección es distributiva con respecto a la unión

H) Sean los conjuntos A, B y CT) A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedaddistributiva de la conjunción con respecto a la disyunción se tiene:

x∈ A ∩(B ∪ C) ⇔ x∈ A ∧ x∈ (B ∪ C) ⇔ x∈ A ∧ (x∈B ∨ x∈C) ⇔ ⇔ (x∈ A ∧ x∈B) ∨ (x∈ A ∧ x∈C) ⇔ x∈ A ∩ B ∨ x∈ A ∩ C ⇔

⇔ x∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)∴ A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Gráficamente:

Lo que está con gris en el primer caso es la unión, luego la intersección es lo que está connegro.-Para el segundo caso, la unión de las dos intersecciones es lo que está con negro.-

De la unión con respecto a la intersección

La unión es distributiva con respecto a la intersección.

H) Sean los conjuntos A, B y CT) A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedaddistributiva de la disyunción con respecto a la conjunción, se tiene:

x∈ A ∪(B ∩ C) ⇔ x∈ A ∨ x∈ (B ∩ C) ⇔ x∈ A ∨ (x∈B ∧ x∈C) ⇔ ⇔ (x∈ A ∨ x∈B) ∧ (x∈ A ∨ x∈C) ⇔ x∈ A ∪ B ∧ x∈ A ∪ C ⇔ ⇔ x∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

∴ A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)Gráficamente:




En el primer gráfico, al conjunto A se lo une con la intersección de B con C.En el segundo al realizar la intersección de las uniones se observa que los elementoscomunes son todos los de A y los de B y C, o sea la parte negra.-

Leyes de De Morgan

De la intersección

El complemento de la intersección de dos conjuntos, es igual a la unión de los complementos.

H) Sean los conjuntos A y BT) (A ∩ B)C = AC ∪ BC D) Aplicando las definiciones de intersección, complemento, unión y de igualdad, y la ley deDe Morgan para la conjunción, se tiene:

x∈ (A ∩ B)C ⇔ x∉ (A ∩ B) ⇔ -[x∈(A ∩ B)] ⇔ -( x∈A ∧ x∈B) ⇔ ⇔ -(x∈A) ∨ -(x∈B) ⇔ x∉A ∨ x∉B ⇔ x∈AC ∨ x∈BC ⇔

⇔ x∈ AC ∪ BC

∴ (A ∩ B)C = AC ∪ BC Gráficamente:

En el primer gráfico, la intersección es lo que está de blanco, lo que lo rodea (gris) es elcomplemento.-En el segundo, hay que unir los dos complementos, y justamente la parte central no es ni deuno ni del otro, luego la unión son todos los elementos de cada complemento, o sea lo queestá de gris.-

De la unión

El complemento de la unión de dos conjuntos, es igual a la intersección de los complementos:

H) Sean los conjuntos A y BT) (A ∪ B)C = AC ∩ BC

D) Aplicando las definiciones de intersección, complemento, unión y de igualdad, y la ley deDe Morgan para la conjunción, se tiene:

x∈ (A ∪ B)C ⇔ x∉ (A ∪ B) ⇔ -[x∈(A ∪ B)] ⇔ -( x∈A ∨ x∈B) ⇔ ⇔ -(x∈A) ∧ -(x∈B) ⇔ x∉A ∧ x∉B ⇔ x∈AC ∧ x∈BC ⇔

⇔ x∈ AC ∩ BC ∴ (A ∪ B)C = AC ∩ BC




Gráficamente:

En el primer gráfico el complemento de la unión es lo de gris.En el segundo, el complemento de A son los elementos que están a fuera de A, lo mismo quelos de B, ahora la intersección son los comunes de afuera de A y de B, o sea lo que está degris.-

DIFERENCIA SIMÉTRICA

Definición

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es A Δ B, formado por los elementos de launión entre A – B y B – A.

Simbólicamente:

A Δ B = (A – B) ∪ (B – A)Ahora, teniendo en cuenta que A – B = A ∩ BC se tiene:

A Δ B = (A ∩ BC) ∪ (B ∩ AC)

Gráficamente:

Propiedades de la diferencia simétrica

Conmutatividad

La diferencia simétrica es conmutativa

H) Sean los conjuntos A y BT) A Δ B = B Δ AD) Aplicando la definición de diferencia simétrica y la propiedad conmutativa de la unión, setiene:

A Δ B = (A – B) ∪ (B – A) = (B – A) ∪ (A – B) = B Δ A

Asociatividad

La diferencia simétrica es asociativa

H) Sean los conjuntos A, B y C




T) A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ CD) Para demostrar esta propiedad se lo debe hacer desarrollando ambos miembros de laigualdad y comparar sus resultados.-

Comenzamos con el primero, aplicando sucesivamente y convenientemente las definiciones

de diferencia simétrica, las propiedades distributivas, conmutativas, elemento neutro

A Δ (B Δ C) = [A ∩ (B Δ C)C] ∪ [(B Δ C) ∩ AC]Por definición de diferencia simétrica

= {A ∩ [(B∩CC) ∪ (C∩BC)]C} ∪ {[(B∩CC) ∪ (C∩BC)] ∩ AC} Por definición de diferencia simétrica

={A∩[(B∩CC)C ∩ (C∩BC)C]}∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)Por De Morgan y Distributiva

={A∩[(BC∪C) ∩ (CC∪B)]} ∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)Por ley De Morgan e Involución

={A∩[(BC∩CC)∪(BC∩B)∪(C∩CC)∪(C∩B)]}∪ ∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)

Propiedad distributiva= {A∩[(BC∩CC)∪∅∪∅∪(C∩B)]} ∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)Por ser BC y B, C y CC conjuntos disjuntos

= {A∩[(BC∩CC)∪ (C∩B)]} ∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)Por ser el ∅ neutro para la unión

= (A∩B∩C)∪(A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪(AC∩BC∩C) (I)Propiedades distributivas y conmutativas

(A Δ B)Δ C = [(A Δ B) ∩ CC] ∪ [C ∩ (A Δ B)C]Por definición de diferencia simétrica

= {[(A∩BC) ∪ (B∩AC)]∩CC} ∪ {C∩[(A∩BC) ∪ (B∩AC)]C} Por definición de diferencia simétrica

=(A∩BC∩CC)∪ (AC∩B∩CC)∪{C∩[(A∩BC)C ∩ (B∩AC)C]}

Por De Morgan y Distributiva=(A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪{C∩[(AC∪B)∩(BC∪A)]}

Por ley De Morgan e Involución=(A∩BC∩CC)∪ (AC∩B∩CC)∪

∪{C∩[(AC∩BC)∪(AC∩A)∪(B∩BC)∪(B∩A)]} Propiedad distributiva

= (A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪{C∩[(AC∩BC)∪∅∪∅∪(B∩A)]} Por ser AC y A, B y BC conjuntos disjuntos

= (A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪{C∩[(AC∩BC)∪ (B∩A)]} Por ser el ∅ neutro para la unión

= (A∩B∩C)∪(A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪(AC∩BC∩C) (II) Propiedades distributivas y conmutativas

∴ de I y II y por propiedad transitiva de la igualdad, se tiene:A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ CCONJUNTO DE PARTES

Es importante poder formar conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos, es por eso, yvaliéndose de un conjunto y posibilidad que no dan sus elementos, podemos definir conjunto departes.

Definición

Sea el conjunto A, se llama conjunto de partes de A al conjunto P(A) formado por todos losconjuntos que se pueden armar con los elementos de A.-

Simbólicamente: P(A) ={X/X ⊂ A}Dicho de otra forma:

X ∈ P(A) ⇔ X ⊂ A




Por ejemplo:

Sea A = {1, 2, 3} ⇒ P(A) = {{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3},∅}Esto es dado que todo conjunto está incluido en sí mismo, y que el vacío está incluido en cualquier

otro conjunto.

UNIONES DISJUNTAS

Cuando tenemos conjuntos disjuntos, o sea que no tienen elementos comunes, y se trata derealizar una unión, estaremos en presencia de una unión disjunta.

Para ello designaremos de la siguiente forma con los conjuntos A y B

A ∪ B = A + B siempre que A ∩ B = ∅

Ahora el problema está en expresar como una unión disjunta a una unión de cualquierconjunto. Para ello recurriremos a un gráfico teniendo en cuenta los conjuntos A y B

Observando el gráfico, se obtuvo el conjunto A y lo grisáceo que son disjuntos. Ahora ¿cómoserá simbólicamente?

A ∪ B = A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ AC) = A ∪ (AC ∩ B)

Por lo tanto podemos expresarlo como una unión disjunta, o sea que:

A ∪ (AC ∩ B) = A + (AC ∩ B)

Y por la propiedad transitiva de la igualdad, se tiene:

A ∪ B = A + (AC ∩ B)

Que es lo que justamente se quería llegar, expresar cualquier unión como una unión disjunta.-

PAR ORDENADO

Sean los conjuntos {a} y {a, b}. Se llama par ordenado (a, b) al conjunto {{a}, {a,b}}

O sea que

(a, b) = {{a}, {a,b}}

Donde “a” se denomina primera componente, y “b”, segunda componente

PRODUCTO CARTESIANO

Definición

Sean los conjuntos A y B, se llama producto artesiano A X B al conjunto formado por todoslos pares ordenados cuyas primeras componentes son los elementos de A, y las segundascomponentes, los elementos de B.-




Simbólicamente es:

A X B = {(a,b)/a∈A ∧ b∈B}

Decir que:

(a,b)∈AXB ⇔ a∈A ∧ b∈B

Por ejemplo:

Sean los conjuntos:A={1,2,3} y B={5,6}

AXB = {(1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,5); (3,6)}

Como se puede observar, el número de elementos del producto cartesiano está dado por el productode la cantidad de elementos de A y de B.-

Ahora, también se puede trabajar con un solo conjunto, o sea hacer el producto

cartesiano (siendo “A” el conjunto) AXA=A2, por ejemplo:

A={1,2,3}

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}


1) Dado los siguientes conjuntos, y teniendo en cuenta el Universal que figura a la par, definir losmismos por comprensión:

a) A={0,1,2,3} U=Z b) B={-5,-4,-3,-2,-1,0, 1,2} U=Z c) C={0,1,6,7,8} U=N d) D={9,10,16,17,22,23,24} U=N

2) Teniendo en cuenta el conjunto de los números Reales, se llama intervalo a un subconjunto delmismo (Reales).-

El intervalo es abierto cuando no se encuentran en el subconjunto los extremos que figuranen él. O sea:

(a, b) intervalo abierto, a y b ∉ (a, b)El intervalo es cerrado si los extremos pertenecen a él. O sea:

[a, b] donde los extremos a y b ∈ [a, b] Y por supuesto, los intervalos pueden ser semiabiertos.-

Ahora, sea el conjunto de los números reales, Definir los siguientes conjuntos por comprensión y

graficarlos en la recta numérica:

a) A=(-8, 1) b) B=[-4, 4) c) C=[100, 200] d) D= (0, 100]

3) Hacer el producto cartesiano de los siguientes conjuntos:

a) A={1,2,3} B={8,9} b) A={x∈N/4<x≤8} B={x∈Z/-1≤x≤2}

4) Dadas las siguientes propiedades, demostrarlas en forma simbólica y gráfica, justificando losrazonamientos realizados:

a) A ∪ B = A ∪ (B - A) b) A - B = A - (A ∩ B)

c) (A ∪ B) - C = (A - C) ∪ (B - C) d) (A - B) - C = A - (B ∪ C)e) A ∪ (B - C) = (A ∪ B) - (C -A) f) [A ∪ (B ∩ C)] – B = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ BC




5) Demostrar justificando los razonamientos realizados:

a) (A ∩ B) X C = (A X C) ∩ (B X C)

b) Teniendo en cuenta que #(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B), demostrar que:

#(A ∪ B ∪ C) = #(A) + #(B) + #(C) - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C)6) expresar como uniones disjuntas la siguiente operación

A ∪ B ∪ C

7) Dado un conjunto cualquiera A. Se llama conjunto de partes de A, al conjunto formado por todosconjuntos que se pueden formar con los elementos del conjunto A. En símbolo:

P(A)={X/X⊂A}

En base a la definición anterior, determinar el conjunto de Partes de los siguientes conjuntos:

a) A = {1, 2, 3} b) B = {4,5,6,7,8}c) C = { 0,5 ; 1; 1,5; 2} d) D = {a, b, c}

8) Determinar la operación que corresponde a cada diagrama de Venn:

e) f)




g) h)




CAPÍTULO III

RELACIONES BINARIAS




RELACIONES BINARIAS

Al trabajar con conjuntos es imprescindible poder relacionarlos teniendo en cuanta laveracidad de una proposición. Estas relaciones son las que estudiaremos en este apunte.

Definición

Sean los conjuntos A y B. Se llama relación binaria entre los conjuntos A y B a unsubconjunto del producto cartesiano AXB, cuyos pares cumplen con una determinada proposición.-

O sea que si R es la relación entre los conjuntos A y B, entonces R ⊂ AXB

Por ejemplo:

Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {5,6}(x, y) ∈ R⊂AXB ⇔ x|y

AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}

Teniendo en cuenta la definición de relación, debemos buscar en el producto cartesianoaquellos pares donde la primera componente divida a la segunda. O sea:

R = {(1,5), (1,6), (2,6), (3,6)}

Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y a B conjunto de llegada. Al conjuntoformado por todos los elementos de A que se relacionan con los elementos de B se denominaDominio, y al subconjunto de B que tienen antecedentes en A se llama Imagen.-

O sea que el Dominio de la relación es el conjunto formado por todas las primerascomponentes de los pares de la relación, y la Imagen es el conjunto formado por todas las segundascomponentes de los pares de la relación.-

En nuestro ejemplo, se tiene:

D(R) = {1, 2, 3} y I(R) = {5,6}

Para graficar una relación, se la puede hacer de tres formas:

En diagramas de Venn: se dibujan los dos conjuntos y se unen con flechas los elementos delconjunto de partida que se relacionan con el de llegada. En nuestro ejemplo será:

A B

La otra forma de graficar una relación es utilizando un sistema de ejes coordenadoscartesianos, poniendo en el eje de las abscisas el conjunto de partida, y en el de las ordenadas, elconjunto de llegada. Luego se trazan paralelas al otro eje por cada uno de los puntos de los ejes,siendo el conjunto de los puntos de corte el producto cartesiano. Ahora en esta gráfica, se encierrancon una curva cerrada los puntos que pertenecen a la relación.-

1.2.3.

5.

6.




En nuestro caso será:

Por último, también se puede graficar en el sistema matricial (de matrices), colocando alconjunto de partida en forma vertical y al de llegada en forma horizontal. Luego en las interseccionescuyos pares pertenezcan a la relación se coloca el 1 y donde no, el 0. En nuestro caso será:

B A

5 6

1 1 12 0 13 0 1

Relación inversa

Sea una relación R⊂ AXB. Se dice que la relación R-1 es la relación inversa de R, solamente

sí R-1⊂ BXA.-

O sea que R-1 = {(y,x)/(x,y) ∈ R}

En nuestro ejemplo, la relación inversa es:R-1 = {(5,1), (6,1), (6,2), (6,3)}

COMPOSICIÓN DE RELACIONES

Dada dos relaciones: R⊂AXB y S⊂BXC. Se llama relación compuesta a la relación SoR⊂AXC(R compuesto con S incluida en AXC) a la formada por los pares que tienen como primeracomponente a las primeras componentes de los pares de R y como segunda componente a lasegundas de los pares de S, siempre que las segundas componentes de los pares de R sean primerade los pares de S.

O sea que:SoR = {(x,z) / (x,y) ∈R ∧(y,z) ∈S}

Dicho de otra forma:

(x,z) ∈ SoR⊂AXC ⇔ (x,y) ∈R ∧ (y,z) ∈S




Gráficamente es:

Por ejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {1,2,4} y⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= 2,

41

,21

C

La relación R de AXB está formada por todos aquellos pares cuya segunda componente seanel cuadrado de la primera.

La relación S de BXC está formada por todos aquellos pares cuya segunda componente seanla mitad de la primera.

(x,y) ∈R⊂AXB ⇔ y=x2 2

),( y

z BXC S z y =⇔⊂∈

AXB = {(1,1)(1,2)(1,4)(2,1)(2,2)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)}R={(1,1)(2,4)}

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = 2,4

41

,421

,42,241

,221

,22,141

,121

,1 BXC

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = 2,4

2

1,1S

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = )2,2(

2

1,1SoR

Partiendo de las definiciones, se tiene que la relación SoR de AXC, está formada por todosaquellos pares cuya segunda componente sea la mitad del cuadrado de la primera.

2),(

2 x z AXC SoR z x =⇔⊂∈

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = 2,3

4

1,3

2

1,32,2

4

1,2

2

1,22,1

4

1,1

2

1,1 AXC

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = )2,2(

21

,1SoR




Gráficamente queda:

RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

Sea el conjunto A, se llama relación definida en un conjunto, al subconjunto del productocartesiano AXA o A2.

O sea que:

R es una relación definida en A ⇔ R⊂A2.

Por ejemplo:

Sea A={1,2,3}

(x,y)∈R⊂A

2

⇔ x ≤ yHacemos primero el producto cartesiano, o sea

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}La relación estará formada por todos aquellos pares de A2 cuyas primeras componentes seanmenores o iguales que las segundas. O sea:

R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)}

POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

Analizando una relación y sus pares ordenados, puede o no cumplir con las siguientespropiedades de las relaciones:

1. PROPIEDAD REFLEXIVA

La relación R⊂A2 es reflexiva, solamente sí todos los elementos de A tienen pares decomponentes iguales en la relación.-

R⊂A2 es reflexiva ⇔∀x: x∈A ⇒ (x,x)∈R

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x ≤ y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)}

Los elementos de A son 1, 2 y 3, y en la relación están (1,1) (2,2) y (3,3), o sea que todos loselementos de A determinan pares de componentes iguales en la relación, o sea que esREFLEXIVA.-




2. PROPIEDAD NO REFLEXIVA

La propiedad no reflexiva, es la negación de la reflexividad. Entonces, la relación R⊂A2 es noreflexiva si algunos elementos de A no tienen pares de componentes iguales en la relación.Esto se obtiene negando el cuantificador de la propiedad anterior, y aplicando la negación de

una implicación:

R⊂A2 es No reflexiva ⇔ ∼(∀x:x∈A ⇒ (x,x)∈R) ⇔ ∃x/∼( x∈A ⇒ (x,x)∈R) ⇔ ∃x/x∈A ∧ (x,x)∉R

EjemploSi A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x ≤ y ∧ y ≠ 2

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,1)(1,3)(2,3)(3,3)}

En esta relación tenemos los pares de componentes iguales (1,1) y (3,3); pero los elementosde A son el 1,2,3, lo que significa que algunos elementos de A determinan pares deelementos iguales en la relación. O sea que R de A2 es No Reflexiva.-

3. PROPIEDAD ARREFLEXIVA

Una relación R de A2 es Arreflexiva, si no tiene pares de componentes iguales en la relación.O sea que:

R⊂A2 es Arreflexiva ⇔ ∀x:x∈A ⇒ (x,x) ∉ R

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x < y

A

2

= {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}R = {(1,2)(1,3)(2,3)}

En este caso, ningún elemento de A determina pares de componentes iguales en la relación.Por lo tanto es Arreflexiva.-

4. PROPIEDAD SIMÉTRICA

Una relación definida en un conjunto es simétrica, si y sólo si todos los pares de la relacióndeterminan pares de componentes conmutadas en la relación. O sea:

R⊂A2

es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∈RPor ejemplo:

Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 2⏐x+y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)}

Observando esta relación, que todos los pares tienen pares de componentes conmutadas enla relación, por lo tanto es Simétrica.-




5. PROPIEDAD NO SIMÉTRICA

Una relación es no simétrica, si algunos de los pares de la relación no tienen pares decomponentes conmutadas en la relación. Esta propiedad es la negación de la simetría, o sea:

R⊂A2 es no simétrica ⇔ ∼(∀x,∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R) ⇔ ⇔ ∃x/∼(∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R) ⇔ ⇔ ∃x,∃ y/∼[(x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R)] ⇔

⇔ ∃x,∃ y/(x,y)∈R ∧ (y,x)∉R)

Esto es aplicando la negación de un cuantificador, y la negación de la implicación.-

Por ejemplo:

Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 2⏐x+y ∧ y≠1

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,3)(2,2) (3,3)}

Es no simétrica, pues está el (1,3) y no está el (3,1), lo que significa que es No simétrica.-

6. PROPIEDAD ASIMÉTRICA

Una relación es asimétrica si todos los pares de la relación no tienen pares de componentesconmutadas en la relación. O sea que:

R⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∉R

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x<y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,2)(1,3)(2,3)}

En esta relación, todos los pares ordenados no tienen pares de componentes conmutadas enla misma relación, por lo tanto es Asimétrica.-

7. PROPIEDAD TRANSITIVA

Una relación es transitiva solamente sí todos los pares cumplen que: eligiendo dos de ellos, lasegunda componente del primero, es primera componente del segundo, estos generan un tercer paren la relación, cuya primera componente es la primera del primero, y la segunda es la segunda delsegundo. O sea:

R⊂A2 es transitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R

Por ejemplo:

Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 2⏐x+y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)}

Tomamos dos pares que cumplan con el antecedente de la implicación:




(1,1) y el (1,3) estos generan el (1,3)(1,1) y el (1,1) estos generan el (1,1)(1,3) y el (3,1) estos generan el (1,1)(1,3) y el (3,3) estos generan el (1,3)(2,2) y el (2,2) estos generan el (2,2)

(3,1) y el (1,1) estos generan el (3,1)(3,1) y el (1,3) estos generan el (3,3)(3,3) y el (3,1) estos generan el (3,1)(3,3) y el (3,3) estos generan el (3,3)

8. PROPIEDAD NO TRANSITIVA

Como en las anteriores, la no transitividad es la negación de la transitividad, o sea que unarelación es no transitiva solamente sí algunos pares de la relación no cumplen con las condiciones dela transitividad. Simbólicamente:

R⊂A2 es no transitiva ⇔ ∼(∀x,∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R) ⇔ ⇔∃x/∼(∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R) ⇔

⇔∃x,∃y/∼(∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R) ⇔ ⇔∃x,∃y,∃z/ ∼[(x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R] ⇔

⇔∃x,∃y,∃z/ (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ∧ (x,z)∉R

Esto es aplicando la negación de un cuantificador y la negación de una implicación.-

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 3⏐x+y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,2)(2,1)(3,3)}

Observamos que con el par (3,3) cumple la condición de transitividad, pero con los pares (1,2)y (2,1) no, ya que el par (1,1) ∉R. Por lo tanto es No transitiva.-

9. PROPIEDAD ATRANSITIVA

Una relación es atransitiva, si ninguno de los pares de la relación cumplen con lascondiciones de la transitividad. O sea que:

R⊂A2 es atransitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∉R

Por ejemplo:

Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2

⇔ x+y=3

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,2)(2,1)}

Observamos esta relación que tiene sólo dos pares, y no existe el tercer par, por lo tantoninguno de los pares cumple con la condición de transitividad, o sea que es Atransi ti va.-

10. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA

Una relación es antisimétrica, si existen pares de componentes conmutadas en la relación,tienen que ser aquellos cuyas componentes son iguales. O sea:

R⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈R ∧ (y,x)∈R ⇔ x=y

Por ejemplo:




Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x≤y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(3,3)}

En esta relación, los únicos pares de componente conmutadas son aquellos que tienen lasmismas iguales, por lo tanto es Antisimétrica.-

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

La relación R⊂A2 se dice que es de equivalencia, si y sólo si es Reflexiva, Simétricay Transitiva.-

Una relación de equivalencia se la denota con ∼, y si (a,b)∈∼ entonces se dice que “aes equivalente con b” y se denota a∼b. Con esta notación, las propiedades quedarían denotadas:

Reflexiva:

∼⊂A2 es reflexiva ⇔∀x: x∈A ⇒ (x,x)∈∼ ∼⊂A2 es reflexiva ⇔∀x: x∈A ⇒ x∼x

Simétrica:

∼⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈∼ ⇒ (y,x)∈∼ ∼⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: x∼y ⇒ y∼x

Transitiva:

∼⊂A2 es transitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: (x,y)∈∼ ∧ (y,z)∈∼ ⇒ (x,z)∈∼ ∼⊂A2 es transitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: x∼y ∧ y∼z ⇒ x∼z

Por ejemplo:Probar que la siguiente relación es de equivalencia:

Si A = {1,2,3} y x∼y ∈∼⊂A2 ⇔ 2⏐x-y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

∼ = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)}

Es de equivalencia pues es:Reflexiva ya que:

1∼1, 2∼2 y 3∼3Simétrica ya que:

1∼1 ⇒1∼1 1∼3 ⇒ 3∼1 2∼2 ⇒ 2∼2 3∼1 ⇒ 1∼3 3∼3 ⇒ 3∼3

Transitiva ya que:

1∼1 ∧ 1∼1 ⇒ 1∼1 1∼1 ∧ 1∼3 ⇒ 1∼3 2∼2 ∧ 2∼2 ⇒ 2∼2 1∼3 ∧ 3∼1 ⇒ 1∼11∼3 ∧ 3∼3 ⇒ 1∼3 3∼1 ∧ 1∼1 ⇒ 3∼1 3∼1 ∧ 1∼3 ⇒ 3∼3 3∼3 ∧ 3∼3 ⇒ 3∼3




CLASES DE EQUIVALENCIA

Sea una relación de equivalencia definida en un conjunto A, se llama clase deequivalencia de m, al conjunto formado por todos los elementos de A que son equivalentes con m, yse denota con Km. O sea:

∼⊂A2, ⇒ Km ={x∈A/x∼m}Dicho de otra forma, x∈Km ⇔ x∼m

En el ejemplo que se ha dado anteriormente es:

K1 = {1,3} K2 = {2} y K3 = {1,3}, lo que significa que la K1 = K2

CONJUNTO COCIENTE

Se llama conjunto cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencias,

y se denota ∼ A

. O sea:

{ } I iK A

i ∈=∼

/ donde I se llama conjunto de índices

El conjunto de índices se forma con un representante de cada clase de equivalencia.

En el ejemplo anterior, el conjunto cociente es:

{ } { }{ }{ }23,1, 21 ==∼

K K A

y el conjunto de índices es: I = {1,2}

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO NO VACÍO

Sea el conjunto A ≠ ∅, se dice que {Ki/i∈I} es una partición de A, si y sólo si se cumplen lossiguientes axiomas:

A1) Todo elemento del conjunto de índice determina un subconjunto de partición no vacío. O sea:∀u: u∈I ⇒ Ku ≠ ∅ A2) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan subconjuntos de partición disjuntos. O sea:u≠v ⇒ Ku ∩ Kv = ∅ A3) Todos los elementos del conjunto A, pertenecen a algún subconjuntos de partición, lo que

significa que la partición cubre todo el conjunto. O sea:∀a∈A,∃u∈I/ a ∈ Ku

Por ejemplo:

Sea A = {-1,0,1,2,3,4}, y sea la partición {{-1}{0,1,2}{3,4}}En este caso el conjunto de índices será I={-1,0,3}, y si observamos en la partición se cumple A1 yaqueK-1≠∅, K0≠∅ y K3≠∅. La A2 también se cumple ya que: -1≠0 ⇒ K-1 ∩ K0 =∅; el -1≠3 ⇒ K-1∩K3=∅; y0≠3 ⇒ K0∩K3=∅. Por otro lado, todos los elementos de A pertenecen a algún subconjunto departición. En diagramas de Venn será:




TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIAS

Sea una∼ definida en un conjunto A

≠∅, entonces existe un conjunto de índices I

⊂ A, tal que todo u

∈Iexiste un Ku⊂A, siendo el conjunto de índices formado por un representante de cada clase, de tal

manera que cumpla con las siguientes proposiciones:

1º) Todo elemento del conjunto de índice, determina una clase no vacía.2º) Dos elementos de A son equivalentes si y sólo si pertenece a una misma clase.3º) Clases no disjuntas son iguales.4º) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan clases disjuntas.5º) Todo elemento del conjunto A pertenece a alguna clase de equivalencia. O sea que, todas lasclases de equivalencias cubren a todo el conjunto A como una partición.

HipótesisSea A≠∅,

Sea ∼⊂A2

⇒ ∃I⊂ A/ ∀u∈I,∃ Ku⊂A,Siendo I formado por un representante de cada clase,

Tesis1º) ∀u:u∈I ⇒ Ku ≠∅ 2º) a∼b ⇔ a∈Ku ∧ b∈Ku

3º) Ku ∩ Kv ≠ ∅ ⇒ Ku = Kv 4º) u≠v ⇒ Ku ∩ Kv = ∅ 5º) ∀a∈A,∃u∈I/a∈Ku

Demostración

1º) Como A≠∅ ⇒ ∃a∈A. Pero por hipótesis, en A se define una relación de equivalencia, y enparticular es reflexiva ⇒ a∼a, y por definición de clase de equivalencia se tiene que a∈Ka.Ahora, como I⊂A ⇒ u∈Ka ⇒ u∼a ⇒ a∼u ⇒ a∈Ku ⇒ Ku≠∅.

2º) Para poder demostrar esta proposición, debemos desdoblar la doble implicación. O sea:a) a∼b ⇒ a∈Ku ∧ b∈Ku

a∼b ⇒ a∈Kb por definición de clase de equivalencia.Ahora, supongamos que u∈Kb ⇒u∼b ⇒b∼u⇒b∈Ku por definición de clase.Pero a∼b ∧ b∼u ⇒ a∼u ⇒ a∈Ku.

b) a∈Ku ∧ b∈Ku ⇒ a∼b

Como a∈Ku ∧ b∈Ku ⇒ a∼u ∧ b∼u ⇒ a∼u ∧ u∼b ⇒ a∼b




3º) Esta proposición se demuestra teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, o seaKu = Kv ⇔ Ku ⊂ Kv ∧ Kv ⊂ Ku

Ku ∩ Kv ≠ ∅ ⇒ ∃ a∈ Ku ∩ Kv ⇒ a∈ Ku ∧ a∈ Kv ⇒ a∼u ∧ a∼v⇒ u∼a ∧ a∼vAhora:

Sea y∈Ku ⇒ y∼u ∧ u∼v ⇒ y∼v ⇒ y∈Kv ∴ y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión, se tiene: Ku ⊂ Kv (I)

Ahora, sea z∈Kv ⇒ z∼v ∧ v∼u ⇒ z∼v ⇒ z∈Kv

∴ y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión, se tiene: Kv ⊂ Ku (II)

Y teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos se tiene que siKu ⊂ Kv ∧ Kv ⊂ Ku ⇒ Kv = Ku

4º) Esta proposición la demostraremos utilizando el método de reducción al absurdo, o sea H⇒T ⇔ ⇔-T⇒-H, lo que nos lleva a negar la tesis, o sea:

Ku ∩ Kv ≠ ∅ ⇒ ∃ a∈Ku ∩ Kv ⇒ a∈Ku ∧ a∈ Kv ⇒ a∼u ∧ a∼v ⇒ u∼a ∧ a∼v ⇒ ⇒u∼v, ESTO CONTRADICE LA HIPÓTESIS, PUES LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE ÍNDICENO PUEDEN SER EQUIVALENTES YA QUE SE HA DICHO QUE ESTE CONJUNTO ESTÁFORMADO POR UN REPRESENTANTE DE CADA CLASE DE EQUIVALENCIA (ABSURDO).-∴ u≠v ⇒ Ku ∩ Kv = ∅ ES VERDADERO

5º) como A≠∅ ⇒ a∈ A ⇒ a∼a ⇒ a∈Ka Ahora, supongamos que u∈Ka ⇒ u∼a ⇒ a∼u ⇒ a∈Ku, y por la propiedad anterior, Ku=Ka, lo quesignifica que todo el conjunto A está cubierto por todas las clases de equivalencia.-

PARTICIÓN Y RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

Propiedad

Sea {Ku / u∈I} una partición del conjunto A. Entonces queda inducida una relación de equivalencia enA.-

Hipótesis

Sea A≠∅ Sea {Ku / u∈I} una partición de A

Tesis

Queda inducida ∼⊂A2

Demostración

Para poder demostrar esta propiedad, primero debemos definir una relación diciendo que “un parordenado pertenece a la relación, si ambas componentes pertenece a uno mismo conjunto departición. O sea:

(x,y) ∈ R ⇔ x∈ Ku ∧ y ∈ Ku (A)

Reflexividad

Supongamos que x ∈ Ku ⇒ x ∈ Ku ∧ x ∈ Ku por idempotencia de la conjunción, y por la definición (A)se tiene que (x,x) ∈ R⊂ A2

Simetría

Tomemos (x,y) ∈ R ⇒ x∈ Ku ∧ y ∈ Ku ⇒ y∈ Ku ∧ x ∈ Ku ⇒ (y,x) ∈ R




Transitividad

Tomemos (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R ⇒ x∈ Ku ∧ y∈ Ku ∧ y ∈ Ku ∧ z ∈ Ku, y en particular podemos decir quex ∈ Ku ∧ z ∈ Ku ⇒ (x,z) ∈ R.

Luego la relación R es de equivalencia.-

Por ejemplo:Determinar la relación de equivalencia definida en A={1,2,3,4} teniendo en cuenta la partición de A{{1}{2,3}{4}}.-

Cada uno de los elementos de la partición es una clase de equivalencia, o sea:

K1 = {1} K2 = {2,3} K4 = {4}Y por definición de clase de equivalencia, todo elemento que pertenece a una clase es equivalentecon el índice, o sea que:

1∼1 ∧ 2∼2 ∧ 2∼3 ∧ 3∼2 ∧ 3∼3 ∧ 4∼4, lo que nos da la relación de equivalencia como:

∼ = {(1,1)(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)(4,4)}y el conjunto de índices es:

I={1,2,4}

RELACIÓN DE ORDEN

Al tener un conjunto numérico, es importante analizar si está ordenado o no. Para eso setrabaja con una relación denominada de orden. Antes de poder definir esta relación, definiremospreceder teniendo en cuenta que:Un número precede a otro si y sólo si, el par formado por esos elementos pertenecen a la relación. Osea:

x ⟨ y ⇔ (x,y) ∈ R ⊂ A2

⟨ : signo preceder

Ahora, las relaciones pueden ser de orden amplio o estricto, y en cada una de estas se dividen enorden amplio parcial o total, y de orden estricto parcial o total. O sea:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧⎩⎨⎧

Total

ParcialEstricto

Total

ParcialAmplio

OrdendeRelación

Relación de orden amplio

Una relación es de orden amplio si es reflexiva, asimétrica y transitiva. O sea que sea R ⊂A2 es deorden amplio si es:

Reflexiva:∀x:x∈A ⇒ x ⟨ x

Antisimetría:

∀x, ∀y: x ⟨ y ∧ y ⟨ x ⇒ x = y

Transitividad:

∀x,∀y,∀z: x ⟨ y ∧ y ⟨ z ⇒ x ⟨ z




Relación de orden estricto

Una relación es de orden estricto si es Arreflexiva, Asimétrica y Transitiva. O sea:

Arreflexividad:

∀x:x∈A ⇒ ∼(y ⟨ x)

Asimetría

∀x,∀y: x ⟨ y ⇒ ∼(y ⟨ x)

Transitividad:

∀x,∀y,∀z: x ⟨ y ∧ y ⟨ z ⇒ x ⟨ z

Relación de orden parcial

Una relación de orden es parcial, si algunos elementos del conjunto no preceden a otro del mismoconjunto. O sea:

R⊂A2 es de orden parcial ⇔ ∃x∈A, ∃y ∈A/-(x ⟨ y) ∧ -(y ⟨ x)

Relación de orden total

Una relación es de orden total si todos los elementos del conjunto se ordenan por la relación definidaen él. O sea:

R⊂A

2

es de orden total ⇔ ∀x∈A, ∀y: x≠y ⇒ x ⟨ y ∨ y ⟨ xELEMENTOS DISTINGUIDOS DE UNA RELACIÓN DE ORDEN

Sea el conjunto A ordenado por una relación de orden ⟨ Primer elemento

El elemento a ∈ A es primer elemento si y sólo si precede a todos los demás.

a∈A es primer elemento ⇔ ∀x:x∈A ⇒ a⟨ x

Último elemento

El elemento b ∈ A se llama último elemento, si y sólo si todo elemento de A precede a b.-b∈A es último elemento ⇔ ∀x:x∈A ⇒ x⟨bElementos minimales

El objeto m ∈ A es un elemento minimal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo siga.m ∈ A es un minimal ⇔ ∀x∈A: x⟨ m ⇒ m = x

Elementos maximales

El objeto n ∈ A es un elemento maximal si y sólo si no existe un elemento distinto que loanteceda.

n ∈ A es un maximal ⇔ ∀x∈A: n⟨ x ⇒ n = x




Cotas inferiores

El objeto a ∈ A es una cota inferior del subconjunto X⊂A, si y sólo si precede a todo elementode X

a∈A es una cota inferior de X⊂A ⇔ x∈X ⇒ a⟨xCotas superiores

El objeto b ∈ A es una cota superior del subconjunto X⊂A, si y sólo si sigue a todo elementode X

b∈A es una cota superior de X⊂A ⇔ x∈X ⇒ x⟨b

Supremo o cota superior mínima

El elemento s ∈ A es un supremo del subconjunto X⊂A, si y sólo si es el primer elemento delconjunto de cotas superiores.-

Ínfimo o cota inferior máxima

El elemento i ∈ A es un ínfimo del subconjunto X⊂A, si y sólo si es el último elemento delconjunto de cotas inferiores.-

De estas definiciones se deduce que:a) Que en todo conjunto ordenado puede o no tener primer y/o último elemento.b) Que en todo conjunto ordenado pueda que no existan elementos minimales y/o maximales, y

en el caso de que existen, pueden no ser únicosc) Que en todo conjunto ordenado pueden existir o no cotas superiores o inferiores, y por otro

lado, pueden no ser únicas.-d) Si existen cotas, pueden tener o no ínfimos y/o supremos, ya que en todo conjunto ordenado,no necesariamente debe tener primer y/o último elemento.-

Por ejemplo:

Sea el intervalo abierto (-1, 1) donde se define la relación de menor o igual

Es reflexiva, puesto que:a∈(-1,1) ⇒ a≤a

Es antisimétrica ya que:a≤b ∧ b≤a ⇒ a=b

Es transitiva ya que:

a≤b ∧ b≤c ⇒ a≤cAhora si:a≠b ⇒ a≤b ∨ b≤a

Las tres primeras nos están indicando que esta relación es de orden amplio y la última nosindica que es de orden total.-

Como el intervalo es abierto, entonces no tiene primer ni último elemento. Por otro lado noexisten elementos minimales ni maximales, pero hay infinitas cotas inferiores ya que son todosaquellos reales menores o iguales a –1. de igual forma, existen infinitas cotas superiores, y sonaquellos reales mayores o iguales a 1. No tiene ni ínfimo ni supremo, ya que tendrían que ser el –1 yel 1 respectivamente, pero no pertenecen al intervalo.-

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {2, 3, 6, 9, 12, 36} ordenado por la relación de divisibilidad.-

a) Es reflexiva ya que todo número es divisible por si mismo.-




b) Es antisimétrica un número divide a otro y este al primero, solamente se da en el caso de queellos sean iguales.-

c) Es transitiva ya que si un número divide a otro y este a un tercero, entonces el primero divideal tercero.-

d) Por último existen elementos que no dividen al siguiente como es el caso del 2 y el 3.-

De a), b) y c) deducimos que esta relación es de orden amplio; y de c) que es de orden parcial.-

Ahora, como no existe en A un elemento que sea divisor de todos los de más entoncescarece de primer elemento, pero tiene último elemento y es el 36 ya que es divisible por todos losanteriores. Este también es el elemento maximal, y como el 2 y el 3 dividen a los que los siguen, sonlos elementos minimales. Con respecto a las cotas inferiores, no existen, pero la superior es el 36 ytambién es el supremo.-

DIAGRAMAS DE HASSE

El diagrama de Hasse se construye partiendo de los elementos ordenados de un conjunto yteniendo en cuenta la relación que lo ordenó y utilizando flechas. En nuestro caso anterior es:

En este diagrama, la flecha indica quien divide a quien: el 2 divide al 6 al 12 y al 36 comoindica el sentido de la flecha. El 3 divide al 9 y al 36 por un lado, y al 6, al 12 y al 36 por el otro, comoindica el sentido de la flecha.-

CONJUNTO BIEN ORDENADO

Un conjunto está bien ordenado por una relación de orden, si y solo si está totalmenteordenado, y además todo subconjunto no vacío tiene primer elemento.-


1.) Dada los conjuntos siguientes, realizar la relación correspondiente, determinar el dominio eimagen de dicha relación, relación inversa y graficarlas en sus tres tipos:

a) A={1, 2, 3} B={x∈N/2≤x≤5}

(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ x|y

b) A= {x∈Z/ -1≤x< 6} B={x∈N/ x<3}

(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ 2|x + y

c) A= {a, b, c, d, e} B={1, 2, 3}

(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ x es vocal

d) A={-1, 0, 1, 2} B={x∈N/ x<5}

(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ y = x2

2.) Considerado los conjuntos:

A={1, 2, 3, 4, 5} B={1, 4, 6, 16} C={2, 3, 8, 10}




y sean las relaciones:

(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ y= x2 (y,z) ∈ S ⊂ B X C ⇔ z = y

2

Se pide:

• Determinar R y S por extensión.-• Definir la composición S ο R ⊂ A X C por extensión y determinar que forma tiene.-• Determinar el dominio e imagen de cada relación.-

3. Sea los siguientes conjuntos, determinar la relación, clasificarla, determinar el dominio e imagen ygraficarla en las tres formas:

a) A= {1, 2, 3} (x,y) ∈ R ⊂ A2 ⇔ x < yb) B= {x ∈ Z/ -2 ≤ x < 4} (x,y) ∈ R ⊂ B2 ⇔ |x| = yc) C= {x ∈ N/ 4< x <8} (x,y) ∈ R ⊂ C2 ⇔ x = y + 2

d) D= {x ∈ Z/ -4 ≤ x <2} (x,y) ∈ R ⊂ D2

⇔ y = x + 1

4. En R2 se define la relación “∼“ mediante

(x,y) ∼ (x’,y’) ⇔ y = y’Probar que es de equivalencia, determinar las clases de equivalencia, un conjunto de índices yel conjunto cociente.-

5. Dado los siguientes conjuntos, probar la relación de equivalencia, determinar las clases deequivalencias y el conjunto cociente:

a) A= {1, 2, 3} x∼y ⇔ x≤ y

b) A= {4, 5, 6, 7} a∼b ⇔2|a - bc) C= {x ∈ Z/ 2|x ∧ -4≤ x ≤7} x∼y ⇔ 2|x + y

6. El conjunto {{a},{b,c}{d}} es una partición de A={a, b, c, d}. Obtener la relación de equivalenciaasociada.-

7. En R se define:

x∼y ⇔ |x - 1| = |y - 1| probar que es de equivalencia

8. En R se define:

x∼y ⇔ x2 - x = y2 - yprobar que es de equivalencia

9. En [-1, 1] ⊂ R se define:

x∼y ⇔ x2 = y2 probar que es de equivalencia.-

10. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y se considera la relación menor o igual. Obtener los elementosmaximales y minimales, como así también las cotas superiores e inferiores del subconjunto {2, 3}.-

11. En R, ordenado por la relación de menor o igual, se considera

A = {x ∈ R/n

x1

= ∧ n ∈ N}




investigar si A tiene primero y último elemento, si está bien ordenado y si admite cotas, ínfimoy/o supremo.-

12. Determinar de qué orden es la relación del ejercicio 10.-




CAPÍTULO IV

FUNCIONES




FUNCIONES

Definición

Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento

del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto B.-Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H, etc.

Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una función, entoncesf ⊂ AXB, y se denota:

f: A→ B se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B”

Por conveniencia, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al B conjunto dellegada o codominio.-

Ahora como la función es una relación donde todos los elementos de A tienen imagen única,entonces el dominio de la función es el conjunto A, y la imagen de la función está incluida en elconjunto B. O sea:

A: conjunto de partidaB: conjunto de llegada o codominio.-D(f)=A “dominio de la función f”I(f)⊂ B “Imagen de la función f”

Utilizando los diagramas de Venn se puede representar una función de la siguiente forma:

Analizando la anterior definición, podemos formular la siguiente:

Definición

La relación f ⊂AXB es una función si cumple con las siguientes condiciones de existencia yunicidad:ExistenciaTodo elemento de A se relaciona con algún elemento de B

∀x∈A,∃y∈B/(x,y)∈fUnicidadLos elementos de A tienen una sola imagen en B

(x,y)∈f ∧ (x,z)∈f ⇒ y = z

Definición

Se llama función a toda relación entre dos variables, en la a todo valor de la primera, lo relacionacon uno y solo un valor de la segunda. A la primera variable se la denomina "variable independiente"

y a la segunda "variable dependiente" Si la función es y = f(x), la variable "x" es la independiente y la "y" es la dependiente (los valores

de "y" dependen de los valores de "x").-




REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES

Toda función, al ser una relación especial, se la puede representar gráficamente en un sistema deejes coordenados cartesianos. Pero para ello se debe tener en cuenta fundamentalmente los

conjuntos numéricos donde están definidas y el método a usar para su gráfica.-

El método de la tabla de valoresEste método se lo usa para graficar cualquier tipo de funciones, aunque en algunos casos noes preciso.Por ejemplo:

Graficar las siguientes funciones:12)(/: −=ℜ→ℜ x x f f

Armamos una tabla con valores tentativos y centrales de las abscisas, y de la siguiente forma:x f(x)=2x – 1-2 f(-2)=2.(-2).2-1 = -5

-1 f(-3)=2.(-1)-1= -30 f(0)=2.0-1=-11 f(1)=2.1-1=12 f(2)=2.2-1=3

1. El método de los puntos:Este método tiene distintas formas de trabajarlo según el tipo de función:Para la función linealSe basa fundamentalmente en ubicar la pendiente de la función. Para ello se utiliza suconcepto. Por ejemplo:Sea la función:

14

3)(/: −=ℜ→ℜ x x f f

Como se observa, la pendiente es43

, y como se sabe que ésta está dada por43

tg == α m ,

entonces se concluye que el cateto opuesto es 3 y el cateto adyacente es 4. Por otro lado

también se sabe que –1 es la ordenada al origen, lo que lo marcamos, ahora, a partir de allíse debe correr 4 lugares hacia la derecha (cateto adyacente), y como 3 es positivo subimosestos lugares (cateto opuesto), este es el último punto, y como dos puntos pertenecen a una ysólo una recta, entonces, por estos se la traza, o sea:




Ahora si la pendiente fuera negativa, la tangente también lo sería, por lo tanto el catetoopuesto se lo trazaría hacia abajo.-

Para la función cuadrática

La función cuadrática tiene la forma:

c xb xa x f B A f ++=→ ..)(/: 2

Donde2. xa se llama término cuadrático, “a” coeficiente cuadrático, xb. término lineal, “b”

coeficiente lineal y c término independiente u ordenada al origen.-La gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica respecto a el eje paralelo a lasordenadas y que pasa por el vértice.-Para poderla graficarla se deben trazar tres puntos. Este es principalmente el vértice que lodenotaremos V(xv , yv), lo que se reduce el problema en determinar xv primero y luegoreemplazarlo en la función para el yv.-Usando la fórmula para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado, o sea:

a

cabb x

.2..42

2,1

−±−=

Haciendo un razonamiento básico, concluimos que:

ab

ab xv .2.2

0 −=±−=

Como ya se dijo, basta reemplazar este valor en la función para obtener la otra coordenada.-Teniendo en cuenta que es simétrica, y sabiendo que la parábola corta a las ordenadas en“c”, entonces otro de los puntos es P1(0,c), el otro punto será P2(2.xv, c).-Si la función tiene la ordenada al origen nula, se deben tomar dos valores cualesquiera de lasabscisas para calcular las ordenadas correspondientes.-Por ejemplo:

1.2.3)( 2 +−= x x x f Determinamos primero el vértice, o sea:

3

1

3.2

)2(

.2 =

−−

=

−

= a

b

xv




Reemplazamos este valor en la función para obtener la otra coordenada, o sea:

3

21

3

2

3

11

3

1.2

3

1.3

2

=+−=+−⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =v y

Lo que significa que:

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

32,

31V

Ahora, el punto P1(0,1) por ser 1 la ordenada al origen, y el otro será:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⇒⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 1,

32

1,31

.2 22 PP

Ahora con estos tres puntos se puede graficar:

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Analizando la definición de funciones, se puede llegar a concluir que para clasificarlas a las mismasse debe tener en cuenta el codominio, así tenemos:

FUNCIÓN INYECTIVA

f:A→ B es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O sea:

)()(:,inyectivaes: 212121 x f x f x x x x B A f ≠⇒≠∀∀⇔→ Ahora, por implicaciones contrarrecíprocas se tiene:

212121 )()(:,inyectivaes: x x x f x f x x B A f =⇒=∀∀⇔→

Esto significa que para poder probar que una función es inyectiva, basta igualar la ecuación de lamisma para x1 y x2 y a través de procedimientos, el que sea necesario, llegar a la igualdad de ellos.-

Ejemplo:Sea la función:

21

31

)(/:3

+=ℜ→ℜ x x f f

Hacemos:




)()( 21 x f x f =

2

1

3

1

2

1

3

1 32

31 +=+ x x

y cancelando, queda:

32

31 3

131 x x =

y simplificando queda:32

31 x x =

3 321 x x =

21 x x = Esta función es inyectiva.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA

f:A→ B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea: y x f A x B y B A f =∈∃∈∀⇔→ )(/,vasobreyecties:

Esto significa que para determinar si una función es sobreyectiva se deben estudiar los elementos deldominio en lo que respecta al conjunto, despejando de la función dada x y valuando luego en lafunción para determinar si realmente f(x)=y.-Por ejemplo sea:

2

1

3

1)(/: 3 +=ℜ→ℜ x x f f

Esta función es lo mismo que:

333

2

1.3

2

1

3

1

2

1

3

1⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⇒−=⇒+= y x y x x y

Ahora: ¿este valor es un número real? Sí ya que y es un real y los otros números también lo son, porlo tanto x∈ℜ, entonces:

⇒+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −∈⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=∃∈∀

21

21

.331

21

.3/21

.3,

3

333 y y f R y x R y

⇒+⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −/

/=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⇒

21

21

.3.31

21

.33 y y f

⇒+−=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⇒ 2

121

21.33 y y f

⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⇒ y y f 3

21

.3

y x f =⇒ )(

Todo esto es aplicando la propiedad cancelativa y reemplazando “x” . Esta función es Sobreyectiva.-

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.

CONCLUSIÓN:

Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos concluir que:




1. Una función puede ser inyectiva, solamente2. Una función puede ser sobreyectiva, solamente3. Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)4. Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE

La función f:A→ B se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder comoimagen un único elemento “K” del codominio.O sea que:

k x f B A f =⇔→ )(constantees:

Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas. Osea:

Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida odominio tienen siempre la misma imagen k, por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos loselementos del codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto no es sobreyectiva.-Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x=k, su gráfica cortará al eje de las abscisaen k y será paralela a las ordenadas.-

LA FUNCIÓN IDENTIDAD

La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder comoimagen ese mismo elemento, o sea:

x xi A Ai =→ )(/: Esta se lee “identidad de x”O sea que si a∈ A⇒ i(a)=a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será:

A

a

b

c

d




Haciendo un estudio de esta función se tiene que:• La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, y

ellos son distintos.• La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen.-• Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva.-

LA FUNCIÓN PROYECCIÓN

Sea el conjunto R, sean los conjuntos A⊂R y B⊂R. Sea el producto cartesiano AxB, en donde unpunto cualquiera P(a,b) pueden determinarse dos funciones llamadas proyecciones de la siguientemanera:

bbaP B AxBP

abaP B AxBP

=→=→

),(/:

),(/:

22

11

Gráficamente:

yb

0 a x

LA FUNCIÓN CANÓNICA

Sea una relación de equivalencia “∼” definida en un conjunto A, por supuesto a partir de ella segeneran las clases de equivalencias y el conjunto cociente.Se llama función canónica a aquella definida desde el conjunto A hasta el conjunto cociente, de talmanera que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder la clase a la que pertenece. O sea:

Ku xKu x A x A

A ∈∧=∈∀∼

→ )(:/: ϕ ϕ

Esta función es sobreyectiva, ya que todos los elementos del conjunto cociente (clases deequivalencias), tienen algún antecedente en el conjunto A, pero no es inyectiva ya que varioselementos de A tienen la misma imagen en el conjunto cociente.-

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Sean dos funciones, f:A→ B ∧ g:B→ C, se llama composición de las funciones f y g a la funcióngof:A→ C/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un elemento y∈ B tal que y=f(x), y z=g(y), con z∈ C y x∈ A,o sea:

A f B g C

gof

P(a,b)

x y=f(x) z=g[f(x)]




PROPIEDADES

ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La composición de funciones es asociativa.

H) Sean las funciones

DC h

C Bg

B A f

→→→

:

:

:

T) of hoggof ho )()( =

D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos funciones,debemos trabajar estas para poder aplicar dicha definición para las tres funciones. Para ellohacemos:

[ ]{ } [ ]{ } )( )()())((:

:a x f gh x f gho xgof ho DC h

C Agof

==⇒⎭⎬⎫

→→

Esto es aplicado la definición de composición de funciones a gof, y luego a ho{ g[f(x)]}

Ahora:

[ ] [ ]{ } (b) )()()()()(:

: x f gh x f hog xof hog

D Bhog

B A f ==⇒

⎭⎬⎫

→→

Esto es aplicando la definición de composición en la operación principal y luego en la secundaria.- Ahora, de (a) y (b), y por transitividad se tiene:

ho(gof)=(hog)of

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVAS

La composición de funciones inyectivas es inyectiva

H) Sea f:A→ B ∧ g:B→ C inyectivasT) gof:A→ C es inyectiva

D) Teniendo en cuenta que y=f(x) es inyectiva, entonces:

212121 )()(:, x x x f x f x x =⇒=∀∀

Pero por otro lado z=g(y) también es inyectiva, entonces:

212121 )()(:, y y yg yg y y =⇒=∀∀ Ahora:

)()( 21 xgof xgof = Pero por definición de composición se tiene:

[ ] [ ])()( 21 x f g x f g = Pero g es inyectiva, entonces las variables de g son iguales, entonces:

)()( 21 x f x f =

Pero f es inyectiva, entonces:

21 x x =

∴ gof:A→ C es inyectiva (por definición de inyectividad).-




COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVAS

La composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva

H) Sea f:A→ B ∧ g:B→ C sobreyectivasT) gof:A→ C es sobreyectiva

D) Como y=f(x) es sobreyectiva, entonces: y x f A x B y =∈∃∈∀ )(/,

Además z=g(y) es sobreyectiva, entonces: z yg B yC z =∈∃∈∀ )(/,

Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y por las aseveracioneshechas anteriormente, tenemos:

[ ] z yg x f g A xC z ==∈∃∈∀ )()(/,

Pero, [ ] )()( xgof x f g = por definición de composición de funciones, lo que se tiene que

z xgof =)( Luegogof:A→ C es sobreyectiva

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVAS

La composición de funciones biyectivas, es biyectiva

H) Sea f:A→ B ∧ g:B→ C biyectivasT) gof:A→ C es biyectiva

D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y sobreyectiva, y teniendo encuenta las demostraciones de composición de funciones inyectivas y composición de funcionessobreyectivas, se demuestra esta propiedad.-

FUNCIÓN INVERSA

Definición:

Una función f: A→ B, admite inversa si y sólo si existe una función g:B→ A de modo que gof=i A ∧ fog=iB, y la función g es la inversa de la función f .-

Si f es la función, la inversa de f se denota con f -1.-

Por ejemplo:

Sea 1.3)(/: −=ℜ→ℜ x x f f Como y=f(x) entonces despejamos x, y se tiene:

1.3 += y x

)(3

1 yg

y x =

+= (1)

Esta es la función inversa, que cambiando la variable x por f -1(x) e y por x queda:

31

)(1 +=− x

x f

Ahora, si ésta es la función inversa tiene que cumplir con las condiciones establecidas por ladefinición. Para ello partamos de la expresión (1), o sea:

[ ])()( x f g xgof =




[ ]3

1)()(

+=

x f x f g

Reemplazando a f(x) se tiene:

[ ] 3

11.3

)(

/+/−

=

x x f g

[ ]3.3

)(/

/=

x x f g

[ ] )()( xi x x f g ℜ==

)()( xi xgof ℜ=

Por otro lado se tiene:

[ ])()( yg f y fog =

[ ] 1)(.3)( −= yg yg f Y reemplazando g(y) se tiene:

[ ] 13

1.3)( −/+/=

y yg f

[ ] 11)( /−/+= y yg f

[ ] )()( yi y yg f ℜ==

)()( yi y fog R= Lo que significa que la función inversa de f es:

3

1)(1 +

=− x x f

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS

Con este teorema se pretende simplificar la determinación si una función admite inversa, utilizando laclasificación de funciones.-

TEOREMA

Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva

f:A→ B admite inversa ⇔ es biyectiva

Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o sea

H) f:A→ B admite inversaT) f es biyectiva

D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos hacerlo teniendo en cuenta que si lafunción es biyectiva, entonces es inyectiva y sobreyectivaPor otro lado, como la función admite inversa (hipótesis), entonces:gof(x)=i A(x)=x además fog(y)=iB(y)=y

Hacemos:

)()( 21 xgof xgof =

Pero como admite inversa, entonces:

)()( 21 xi xi A A =

Y por definición de identidad, se tiene:21 x x =

Lo que significa que es INYECTIVA (2)




Ahora:

[ ]⇒=∈==∃∈==∀ )()(/)()(,)()( xgof f x f A xgof xi x B y fog yi y A B

( )[ ] )()( xgof fo x f =⇒

Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda:[ ] )()()( xof fog x f =

Y aplicando la definición de composición, se tiene:

[ ])()()( x f fog x f =

Pero f(x)=y, entonces:))(()( y fog x f =

Y por hipótesis esta última composición es la iB, lo que significa: y x f =)(

Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVA (3)

Luego, de (2) y (3), la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva)

Demostremos ahora la segunda parte:

H) f:A→ B es biyectivaT) f admite inversa

D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una función g:B→ A, siempreque exista f:A→ B de tal forma que x=g(y), si y=f(x).-

Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad.-

Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y en particular sobreyectiva,entonces todos los elementos de B tienen antecedente en A por f, lo que significa que todos loselementos de B tienen imagen en A por g (existencia).Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienen imagen distinta en B porf, lo que significa que por g, los elementos de B tienen una y sólo una imagen (unicidad).Luego g:A→ B es función

Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y obtener una conclusión:

[ ])()( x f g xgof =

Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces:)()( yg xgof =

Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces

)()( xi x xgof A==

Por otro lado se tiene:

[ ])()( yg f y fog =

Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces:)()( x f y fog =

Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces

)()( yi y y fog B==

Luego la función f admite inversa, y es la función g

Habiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.-




Con este teorema, dada una función, con tan sólo estudiar si es que es biyectiva, sabremosque admite inversa, por ejemplo:

2

2

1)(/: 3 +=ℜ→ℜ x x f f

Probemos que esta función es inyectiva, o sea:

)()( 21 x f x f =

22

12

2

1 32

3

1/+=/+ x x

32

3

21

21

1 x x =

32

3

1 x x =

3 321

x x =

21 x x =

Ahora probemos que es sobreyectiva:Para demostrar, debemos despejar x de la función, o sea:

2.2 −= y x

Aplicando la definición de función sobreyectiva, se tiene:

12

1)(/2.2, +=ℜ∈−=∃∈∀ x x f y x B y

1)2.2(21

)( +−= y x f

12.2

1

.2.2

1

)( +//−//= y x f 11)( /+/−= y x f

y x f =)(

Hemos probado que esta función es biyectiva, por lo tanto admite inversa (atento al teoremafundamental de las funciones inversas). Pero ahora debemos determinar esta función inversa, o sea:

De acuerdo a lo que se trabajó:)1.(22.2 −=−= y y x

Siendo ésta la función inversa, o sea:

)1.(2)(1 −=− x x f

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

Definición:

Una función es ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión son algebraicas, casocontrario se llaman TRASCENDENTES (trascienden el campo del álgebra)

FUNCIONES ALGEBRAICAS

LA FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO

La función f:A→B es lineal o de primer grado, si su expresión algebraica de una sola variablees de primer grado, y tiene la forma:

b xm y x f B fA +==→ .)(/




Donde:y se llama variable dependientex se denomina variable independientem se denomina pendientemx se denomina término lineal

b se denomina término independiente

La gráfica de esta función es una recta que donde el punto P(0,b) pertenece a ella, por ello b sedenomina también ordenada al origen. O sea:

y

y

b

0x x

De acuerdo a la gráfica de la función podemos concluir que

b xtg y xtgb y x

b ytg +=⇒=−⇒

−= .. α α α

Lo que significa que la pendiente m es la tangente trigonométrica del ángulo que forma larecta con la horizontal o el eje de las abscisas, o sea:

m=tg α

Ahora, haciendo un estudio de la tangente, observamos que ésta es positiva si el ángulo estácomprendido en el primer cuadrante, o sea cuando la recta va desde el 3º al 1º cuadrante, o seacuando los valores de la función crecen al crecer los valor de la variable. La tangente es negativacuando el ángulo es mayor que 2

π y menor que 2π, que es en el caso en el que la gráfica de la

función va desde el 2º al 4º cuadrante, o sea cuando los valores de que la función decrecen si crecenlos de la variable. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones lineales.

131

−= x y




245

+−= x y

Si se está trabajando con los números Reales, El dominio de esta función son los reales y laimagen también los reales, o sea que la función lineal está definida de los reales a los reales:

D(f)=R I(f)=R

Esta función es inyectiva, ya que para valores distinto del conjunto de los reales, la funcióntoma valores distintos, y es sobreyectiva ya que todos los números reales tienen preimágen por estafunción, lo que significa que esta función es Biyectiva.

Ahora, teniendo en cuenta el teorema fundamental de las funciones inversas, la función linealadmite inversa, y se la determina despejando la variable x, o sea:

m

b y x xmb yb xm y

−=⇒=−⇒+= ..

y cambiando las variables tenemos la forma de la función inversa de la lineal:

m

b x x f

−=− )(1

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO

Se llama función cuadrática a aquella cuya expresión algebraica en una sola variable es degado dos.




La función cuadrática tiene la forma:

c xb xa y x f B A f ++==→ ..)(/: 2

Con a≠0

Donde:y es la variable dependientex la variable independientea.x2 es el término cuadráticoa es el coeficiente cuadráticob.x es el término linealb es el coeficiente linealc es el término independiente

Dado que el cuadrado de números opuestos es siempre positivo, la gráfica de esta función esuna parábola, cuyas ramas estarán para el lado positivo del eje de las ordenadas si a es positivo,caso contrario si a es negativo.-

O sea:Función positiva ⇒ las ramas de la parábola hacia arribaFunción negativa ⇒ las ramas de la parábola hacia abajo

Para pode graficar la función cuadrática, es imprescindible determinar el vértice de la misma,que es el punto donde cambiará de signo la función. Este tema ya fue visto anteriormente.-

La siguiente gráfica es de la función:

1.4.2)( 2 −+= x x x f

Ahora, el:

12.24

.2 −=⇒−

=⇒−

= V V V x xa

b x

La recta roja es el “eje de simetría” que pasa por el xV, esto significa que los puntos de laparábola que se encuentran a la misma altura y opuestos con respecto a este eje son simétricosaxialmente.-

Ahora, como el xv es punto del eje de simetría, observamos que el corriemiento de laparábola en forma horizontal depende de los signos de loa valores de los coeficientes cuadrático ylineal, sabiendo que si xv>0, la parábola se corre hacia la derecha con respecto a las ordenadas, sixv=0, el eje de simetría son las ordenadas, y si xv<0, la parábola se corre hacia la izquierda respectoal eje de las ordenadas. O sea:

O sea que:

⎩⎨⎧

>∧<<∧>>

0000

0siderechalaHaciaba

ba xv

Eje y es el eje de simetría si x=0, solamente se da si b=0

⎩⎨⎧

<∧<>∧>

<00

000siizquierdalaHacia

ba

ba xv




Además la parábola corta a las ordenada en c, ya que P(0,c) pertenece a la parábolaLa gráfica de la función dada es la siguiente:

Estudiemos ahora la función:

2.6.3)( 2 −−= x x x f

De antemano podemos asegurar que la parábola está corrida hacia la derecha, corta al eje de las

ordenadas en –2 y1

3.2

)6(

.2 =

−−=

−=

a

b xv

521.61.3 2 −=−−=v y

Esto significa que V(1, -5)La gráfica de esta función es:




Ahora, el dominio de esta función son todos los reales, y la imagen son los reales partiendo del yv inclusive.-

Ya que esta función no es biyectiva, entonces no admite inversa, solamente en algunos casos y bajoalgunas condiciones.-

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llama función exponencial a la función:

X a x f B A f =→ )(/:

Con a>0 ∧ a≠1

Dada las condiciones anteriormente mencionadas, tenemos dos casos posibles:

1. Que a>1, por ejemplo f(x)=2x, cuya gráfica es la siguiente:

La característica de esta función es que es creciente, corta a las ordenadas en 1 y el eje de las

abscisas es asíntota a la curva. El dominio son los reales, y la imagen los reales positivos.-

2. Cuando 0<a<1, por ejemplo:

X

x f ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

2

1)(




Cuya gráfica es:

La función es decreciente, corta al eje de las ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota a lacurva, el Dominio son los reales y la Imagen lo reales positivos.-Si clasificamos la función exponencial observamos que bajo las condiciones planteadas ésta esbiyectiva ya que es inyectiva por que para valores distintos de los reales, la función tiene imágenesdistintas; y es sobreyectiva por que todos los elementos del conjunto de llegada, o sea los reales

positivos, tienen preimagenes distintas.-

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Como la función exponencial es biyectiva, entonces admite inversa.-

Recordemos primero qué es el logaritmo de un número: c

a abcb =⇔=log

Lo que significa que calcular el logaritmo en base de un número de otro, es encontrar un exponentepara la base cuyo resultado será el segundo número.

Así por ejemplo, log3 81= 4, ya que 34=81.-

Con esta idea, y partiendo de la función exponencial se tiene:

)(log/:)(/: 1 x f x R R f a x f R R f a

x =→⇔=→ +−+

O sea que la función logarítmica está dada por:

x x f R R f alog)(/: =→+




Como esta función es la inversa de la exponencial y la base a es también la base de la exponencial,entonces se dan los siguientes casos:Para a>1, por ejemplo: f(x)=log2 x tiene la siguiente gráfica:

Observamos que la gráfica es creciente, corta a las abscisas en 1 y el eje de las ordenadas esasíntota de la curva. Por otro lado el dominio son los reales positivos, y la imagen todos los reales y laconcavidad es hacia abajo.-

Probemos para el caso de que 0<a<1, por ejemplo: x x f

2

1log)( =

La gráfica de esta función es:




La función es decreciente, corta al eje de las abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota dela curva. Por otro lado, el dominio son los reales positivos, y la imagen todos los reales, y laconcavidad es hacia arriba.-

Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida la función logarítmica.-

COMPARACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA LOGARÍTMICA

Construiremos las gráficas de las siguientes funciones:

X x f 3)( = x x f 3log)( =

En estos casos, la gráfica azul es para la primera, y la verde para la segunda, lo que a simple vistaobservamos que son gráficas simétricas respecto a la diagonal que pasa por el origen decoordenadas, lo que nos indica que estas son funciones inversas.-

Haremos el mismo razonamiento para el caso de:

X

x f ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = 21)( x x f 2

1log)( =



1. D

i

j

l

2.

3.

4.

da las sigui

. : R f

. R f :

. : R f

. : R f

. : R f

. R f :

. : Z f

. : N f

. : Z f

. : R f

. R f :

. : − R f

ean lo B A f ×:

ado A={1,2

n los siguie.

:

:

g

R f

Á

T

ntes funcio

)(/ x f R

x f R )//

)(/ = x f R

)(/ x f R

)(/ = x f R

x f R )(/+

)(/0

+

x f Z

)(/ x f R

{ }/1,0,1−

)(/ x f R =

x f R )(/ =

{ } /2 → f R

conjunba f Z ),(/

,3} y B={2,3

ntes casos,

/

)(/

→+

+

g R

x f R

LGEBRA M

ABAJ

es, clasific

3

54 2

+

+

x

x x

x cos.sen

33 2+− x x

22− x

3 35 + x

x.2log=

1+= x

22 −+ x x

()( sig x =

)( xsig

x x ln+

3)(−

+=

x

x x

tos A={ba −= 3

, definir por

determinar

1)

32

+=

−+=

x x

x x

DERNA –

O PR

rlas:

2

6

)

2

3

,2,3} y

tabla y clasi

of :5

rof. Luis E

CTIC

B={2,3},

icar f:P(A)

. Valdez

Nº 4

repres

P(B)/f(X)=B

ntar y

– X.

- 82 -

clasifica




b.2

2

)(/:5

2)(/:

x xg Z Z g

x x f Z Z f

=→

+=→

c.9)(/:6)(/:

+=→+=→

x xg R N g x x f N N f

d.

x xg R Rg

x x f R R f

sen)(/:58

)(/:

=→

+=→

5. Las funciones f:A→ B y g:B→ C son tales que gof es sobreyectiva. Demostrar que g essobreyectiva.

6. Clasificar las siguientes funciones:

a.23

5)(/: +=→ x x f R R f

b. 13)(/: 2 −+=→ x x x f R R f

c. 122

1)(/: 23 −+−=→ + x x x x f R R f

d. x x f R R f 24)(/: =→ +

e. 22)(/: x x f R R f −=→ −+

f. 32)(/: +=→ x x f Z Z f

g. 1)(/: +=→ x x f R R f

h. 3 2)(/: −=→ x x f R R f

i. [ ] x x f R f cos)(/1,1: =−→

7. Sean las funciones f:Z→ Q y g:Q→ Z, tales que:

2)(

2 x x f = y )()( xent xg =

Encontrar fog y gof y calcular gof(-2) y fog(-0,5)

8. Graficar las siguientes funciones realizando el estudio correspondiente:

a. x x f R R f 2log)(/: =→

b. x

xg R Rg ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =→

2

3)(/:

c. x xh R Rh .3log)(/:3

1=→

d. x x j R R j 3)(/: =→ 9. Determinar el dominio dentro de los reales de las siguientes funciones:

a. 23)( −= x x f

b. 1)( −= x xg

c.21

)(2

+−

= x

x xh

d. 3 5

2

)( += x x j




e.

4

1)(

2

3

−=

x

x xk

f. 3cos)( += x xl g. 2tg)( −= x xm

h. )12(sen)( −= x x p

10. Dada las graficas de las siguientes funciones, determinar con que dominio son inyectivas:

a.

c.

d.




e.




CAPÍTULO V

INDUCCIÓN COMPLETA

NÚMEROS Y CONGRUENCIAS




LA INDUCCIÓN COMPLETA

TEOREMA DE INDUCCIÓN COMPLETA

Todo subconjunto de N que incluya al 1, a h y al siguiente de h, es igual a N.-

HipótesisSea S⊂N, 1∈SSi h∈S ⇒ h+1∈STesisS = N

DemostraciónComo por hipótesis S⊂N, tendremos que demostrar que N⊂S para que sean iguales.-

Ahora, supongamos ∅≠S’⊂N y distinto de S, de acuerdo con el principio de conjunto bien ordenado,S’ tiene que tener un mínimo “m”, pero por hipótesis 1∈S, entonces m≠1. Pero por otra parte, como m es natural, tiene que ser:

m>1 ⇒ m – 1>0

Ahora, como m – 1 < m por ser m el mínimo de S’ ⇒ m – 1 ∈ S.-

Pero de acuerdo a la hipótesis tenemos:m – 1 ∈ S ⇒ (m – 1) + 1 ∈ S ⇒ m ∈ S

Pero esta proposición contradice lo estipulado, donde m es el mínimo de S’ ⇒ N⊂S (1)

Luego, por hipótesis y (1) N = S

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA

Sea la función proposicional P(n), donde n ∈ N. Si ocurre que P(1) es verdadera, y además P(h) esverdadera, y de aquí se deduce que P(h+1) es verdadera, entonces P(n) es verdadera

HipótesisP(1) es verdadera∀h:P(h) ⇒ P(h+1)

Tesis∀n:P(n) es Verdadera

Demostración

Teniendo en cuenta el teorema anterior, si P(n) es verdadera para un número finito de naturales deS⊂N. Y como por hipótesis P(1) es verdadera, entonces 1∈S, y h∈S ⇒ h+1∈S, entonces N⊂S, lo quesignifica P(n) es verdadera para todos los n de N

Por ejemplo:

Demostrar que los n primeros números naturales es2

)1( +nn

Para ello hacemos:

Para n=111

2

21

2

)11.(11 =⇒=⇒

+=




Esto significa que P(1) es verdadero

Planteamos una hipótesis donde n=h (P(h) verdadera), entonces

2

)1.(...54321

+

=+++++

hh

h

Ahora la tesis para n=h+1

2

)11).(1()1(...4321

+++=+++++++

hhhh

Demostración

Por hipótesis, y teniendo en cuenta los h primeros términos tenemos:

2

)2).(1()1(

2

)1.( ++=++

+ hhh

hh

Y sacando común denominador, tenemos:

2

)2).(1(

2

)1.(2)1.( ++=

+++ hhhhh

Y sacando factor común (h+1) queda:

2

)2).(1(

2

)2).(1( ++=

++ hhhh

Esto indica que P(h+1) es verdadera, lo que significa que esta se cumple para todos los naturales.-

EL SÍMBOLO DE SUMATORIA

En más de una oportunidad debemos resumir una suma de términos ya sea infinita o finita, para ellorecurrimos a un símbolo llamado de sumatoria (∑). Por ejemplo sea:

54321 aaaaa ++++ la que la escribimos resumida de la siguiente forma: ∑=

5

1i

ia

Donde {1,2,3,4,5}∈I (conjunto de índices), i=1 se denomina extremo inferior, 5 extremo superior.-

Sea por ejemplo:

n

n

i

i aaaaa ++++=∑

=

...321

1

, o sea la suma de los términos desde a1 hasta an variando de 1 en 1.

Ahora, sea por ejemplo:

22222 54321 ++++ , el problema es encontrar una expresión que nos permita expresar estafórmula como sumatoria, y aquí observamos que el que aumente de 1 en 1 es la base de la potencia,

o sea que es i2, lo que significa que la sumatoria queda: ∑=

5

1

2

i

i

Para desarrollar la sumatoria hacemos:

6.215.214.213.212.21121021.21

6

0+++++⋅+⋅=∑=i

i




y se resolvemos obtenemos el valor de la sumatoria.-PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

1) La sumatoria de la suma es igual a la suma de las sumatorias

∑ ∑∑ = == +=+

n

i

n

i

ii

n

i

ii baba1 11 )(

Demostración:

Desarrollando la sumatoria se tiene:

)(...)()()( 22111

nn

n

i

ii babababa ++++++=+∑

=

Agrupando las “a” y las “b” tenemos

)...()...()( 21211

nn

n

i

ii bbbaaaba +++++++=+∑=

Y transformando cada uno de los paréntesis en sumatoria queda:

∑ ∑∑= ==

+=+n

i

n

i

ii

n

i

ii baba1 11

)(

2) La sumatoria de una constante por término genérico, es igual a la constante por la sumatoria

∑∑==

=n

i

i

n

i

i ak ak

11

.

Demostración:

Sea:

n

n

i

i ak ak ak ak ak ........ 321

1

++++=∑=

Sacando factor común K, queda:

)....(. 3211

n

n

i

i aaaak ak ++++=∑=

Y transformando el paréntesis en sumatoria, se tiene:

∑∑==

=n

i

i

n

i

i ak ak 11

.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

DIVISORES Y MÚLTIPLOS

Sean los números enteros “a” y “b”, se dice que “a” divide a “b” sí y solo si existe otro entero“c” tal que b=axc. En símbolos:

cab Z cba Z b Z a ×=∈∃⇔⇒∈∧∈ /Sean

a|b: se lee “a divide a b”




Ahora, si “a” divide a “b”, entonces se dice “b” es múltiplo de “a”, y se denota•

= ab

PROPIEDADES

Propiedad 1Si un número divide a otro, entonces divide al producto de este por otro número, o sea:

a|b ⇒ a|b.n

Demostración

Si a|b ⇒ ∃c/b=a.c Ahora, multiplicamos ambos miembros por el número “n”, entonces se tiene:

b.n=a.(c.n) pero c.n es un número entero, lo que significa que b.n=a.c1 ⇒ a|b.n

Propiedad 2Si un número divide a otro, entonces divide a su opuesto, o sea:

a|b ⇒ a|-b

Demostración

Teniendo en cuenta la propiedad 1 se tiene que si a|b ⇒ a|b.(-1) ⇒ a|-b

Propiedad 3Si un número divide a otros dos, entonces divide a su suma o a su diferencia, o sea:

a|b ∧ a|c ⇒ a|(b ± c)

Demostración

Como a|b ∧ a|c ⇒ ∃d,∃e/b=a.d ∧ c=a.e, y sumando y restando miembro a miembro, se tiene:

b ± c = a.d ± a.e = a.(d ± e) pero d±e es un número entero, lo que significa que a|(b ± c)

ALGORITMO DE EUCLIDES

El máximo común divisor de dos números, es el divisor mayor de ambos números.El Algoritmo de Euclides es un procedimiento paso a paso que nos permite determinar el

máximo común divisor de los números a y b, denotándose MCD(a,b). Las siguientes propiedades justifican este algoritmo.

Propiedad 1

Si a, b y r son números enteros tales que a=c.b+r, entonces MCD(a,b)=MCD(b,r)

Demostración:

Partimos de la suposición de que el MCD(a,b)=p ⇒ b pa p ∧ , y teniendo en cuenta la definición de

divisores, se tiene que s pbt pa Z s Z t ../, =∧=∈∃∈∃

Ahora, despejando de la hipótesis el número r, y reemplazando por lo demostrado anteriormente yoperando, se tiene:

)..(.... cst pcs pt pcbar −=−=−=

Esto significa que r p pcst r ⇒−= )..( , lo que concluimos que r pb p ∧ ⇒ MCD(b,r)=p.




Luego por propiedad transitiva de la igualdad, tenemos que:

MCD(a,b)=MCD(b,r)

Propiedad 2

Si a y b son dos números enteros no nulos tales que b|a, entonces MCD(a,b)=b

Indudablemente, si b|a ∧ b|b ⇒ MCD(a,b)=b

Basándonos en estas dos propiedades desarrollaremos el Algoritmo de Euclides, y para estorecordaremos la definición de cociente:

Dividendo = divisor x Cociente + Resto.

Ahora, sean a∈ Z ∧ b∈ Z, a≠ 0 ∧ b≠ 0, el algoritmo de la división implica la existencia de dos númerosnaturales c0 y r 1, tales que podamos hacer el cociente entre a y b:

br r bca ≤≤+= 110 0 ,.

Si r 1=0, entonces el MCD(a,b)=b, esto justificándolo con la Propiedad 2, caso contrario hacemosnuevamente la división entre b y r 1, obteniendo c1 y r 2, y teniendo en cuenta que la Propiedad 1 nosdice que MCD(a,b)=MCD(b,r 1), entonces:

12211 0 ,. r r r r cb ≤≤+=

Si r 2 = 0, entonces el MCD(a,b)=c1, caso contrario seguimos con el mismo razonamiento y llegamos alpaso i, donde:

1112 0 ,. −−−− ≤≤+= iiiiii r r r r cr

Ahora, como 0...21 ≥>>> r r b , es evidente que en un número finito “n” de pasos con bn ≤ ,

llegaremos a un resto r n=0, es decir que 112 . −−− = nnn r cr , esto implica que 21 −− nn r r , y por la

Propiedad 2 112 ),( −−− = nnn r r r MCD , y teniendo en cuenta la Propiedad 1, queda:

112211 ),(...),(),(),( −−− ===== nnn r r r MCDr r MCDr b MCDba MCD

Ahora, para determinar el máximo común divisor por este algoritmo hacemos el siguiente cuadro:c1 c2 c3 …………………. cn cn+1

a b r 1 r 2 …………………. r n-1 r nr 1 r 2 r 3 r 4 …………………. 0

MCD(a,b)=|r n-1|

Por ejemplo: Obtener en MCD(441,24)

Hacemos el cociente entre 441 y 24

18

009

20124441

1890 ,91824441 <≤+×=





206

924

960 ,62924 <≤+×=

Hacemos el cociente entre 9 y 6:

13

69

630 ,3169 <≤+×=


20

36

300 ,0236 <≤+×=

De acuerdo a lo que establece el algoritmo, tenemos:

3)3,6()6,9()9,24()24,441( ==== MCD MCD MCD MCD

Haciendo el cuadro expuesto anteriormente, se tiene:

18 2 1 2441 24 9 6 39 6 3 0

MCD(441, 24) = 3

PROPIEDAD LINEAL DEL MÁXIMO COMÚN DIVISORSi a y b son dos números enteros no nulos y MCD(a,b)=p, existen dos números enteros u y v, talesque p=a.u+v.b

DemostraciónSupongamos que p=r n-1. Puesto que para todo i, r i-2=ci-1.r i-1+r i, y de acuerdo con las fórmulasobtenidas en la descripción del Algoritmo de Euclides, se tiene que:

( ) =−+=+=−= −−−−−−−−−−−−−− 33413121312231 ...... nnnnnnnnnnnnnn r cr vr ur vr ur cr r

bvaur vr unnnn

....... 113242 +==+= −−−−

Donde ui y vi son números enteros.

Ejemplo:En nuestro ejemplo anterior, el MCD(441,24)=3. Para ello se hizo uso de las siguientes igualdades:

441=18.24+924=2.9+69=1.6+3

Teniendo en cuenta estas igualdades, al 3 se lo puede expresar como:

3=9-6=9-(24 - 2.9)=-24+3.9.(441-18.24)=3.441-55.24

De esto deducimos que u=3, y que v=-55

NÚMEROS RELATIVAMENTE PRIMOS O PRIMOS ENTRE SÍDos números enteros no nulos a y b son relativamente primos, si el MCD(a,b)=1




ECUACIONES DIOFANTICAS

Una ecuación de variable “x” e “y” se llama diofántica si y sólo si ),(.. ba MCD yb xa =+

Propiedades de las ecuaciones diofánticas

Propiedad 1

Sean a, b y c tres números enteros con MCD(a,b)=d, la ecuación a.x + b.y = c tiene solución entera síy sólo si d|c.

DemostraciónSi la ecuación a.x + b.y = c tiene soluciones enteras, existen u∈ Z y v∈ Z tales que a.u + b.v = c. ComoMCD(a,b)=d, entonces a=p.d y b=q.d con p, q números enteros, entonces:

c=a.u + b.v = p.d.u + q.d.v = (p.u + q.v).d

Lo que está en el paréntesis es un número entero, entonces c=k.d ⇒ d|c Propiedad 2

Sean a, b y c números enteros; si x0∈ Z, y0∈ Z es una solución particular de la ecuación diofántica a.x+ b.y =c, todas las soluciones enteras de esta ecuación son de la forma:

nd

b x x ·0 += , n

d

a y y ·0 −= , con n∈ Z, y donde MCD(a,b)=d

Demostración

Como x0 e y0 es una solución de a.x + b.y =c, entonces a.x0 + b.y0 = c.

Ahora hacemos:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +=+ n

d

a ybn

d

b xa yb xa ·.·... 00

Y aplicando la propiedad distributiva, se tiene:

nd

ab ybn

d

ab xa yb xa ·

..·

.... 00 −++=+

Y cancelando queda:

00 .... yb xa yb xa +=+

Lo que significa que nd

b x ·0 + e n

d

a y ·0 − es solución de a.x + b.y = c.

Pero como (x0, y0) es solución de la ecuación, entonces x – x0 = 0 e y – y0 = 0, por lo tanto:

0).().( 00 =−+− y yb x xa

Haciendo un pasaje de términos se tiene:

).().( 00 y yb x xa −−=−




Que es lo mismo que:

).().( 00 y yb x xa −=− (1)

Dividiendo ambos miembros por “d”, queda:

)()( 00 y yd

b x x

d

a−=− (2)

Como el MCD(a, b)=d ⇒ 1, =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

d

b

d

a MDC ya que

d

a y

d

b son primos entre sí

Por otro lado, y de acuerdo a la igualdad 2, nd

a y y Z n y y

d

a·/)( 00 =−∈∃⇒− , lo que significa

que:

nd

a y y ·0 −= (I)

Sustituyendo el valor de “y” en la igualdad 1 se tiene:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−=− n

d

a y yb x xa ·.).( 000

Cancelando queda:

nd

ab x xa ·

.).( 0 =−

Despejando, se tiene:

nd a

ab x x ·

.

.0

//=−

Despejando “x” se tiene:

nd

b

x x ·0 += (II)

De I y II, queda demostrado el teorema.-

Ejemplo:Determinar las soluciones positivas de la siguiente ecuación diofántica:

20.x + 50.y = 430

Observamos que el MCD(20, 50)=10 y como 10|430, entonces se asegura que la ecuación tienesoluciones enteras.-

Ahora busquemos una solución particular, y lo haremos teniendo en cuenta el algoritmo de Euclides,donde 50 = 2.20 + 10 ⇒ 10 = 50 – 20.2, por lo tanto:

430 = 43.10 = 43.(50 – 2.20) = 43.50 – 86.20




Lo que significa que x0 = -86 y que y0 = 43.

Ahora, aplicando el teorema anterior, se tiene:

Z nnd

b x x ∈+= con·0

Z nnd

a y y ∈−= con·0

Reemplazando queda:

n x ·1050

86 +−=

n y ·

10

2043 −=

Pero las soluciones deben ser positivas, entonces “n” puede tomar los valores 18, 19, 20 y 21solamente, lo que significa que las soluciones son:

( )7,418·1020

43,18·1050

86 ⇒⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+−

( )5,919·1020

43,19·1050

86 ⇒⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+−

( )3,1420·

10

2043,20·

10

5086 ⇒⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+−

( )1,1921·1020

43,21·1050

86 ⇒⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+−

CONGRUENCIA EN MÓDULO “n”

Los números “a” y “b” son congruentes en módulo “n” si “n” divide a su diferencia, o sea:

bann Z b Z a −⇔∈∧∈ móduloenscongruenteson

Para denotar que los números “a” y “b” son congruentes en módulo “n”, usamos a ≡ b(n)

PropiedadLa congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia

DemostraciónAntes de todo, definimos la relación:

ban Z Rba −⇔⊂∈ 2),(

Para demostrar que la congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia, se debe demostrarque es reflexiva, simétrica y transitiva:




Reflexiva

Todo número divide al cero, por lo tanto:

Raaaann ∈⇒−⇒ ),(0

Simétrica

De acuerdo a lo definido se tiene:

Rababnbanban Rba ∈⇒−⇒−−⇒−⇒∈ ),(|)1).((||),(

Esto es teniendo en cuenta las propiedades 1, 2 y 3 de divisores y múltiplos

Transitiva

Supongamos que:

Rcacanabbancbnban Rcb Rba ∈⇒−⇒−/+/−⇒−∧−⇒∈∧∈ ),(||||),(),(

Lo que queda demostrada que la congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia.

ECUACIONES CON CONGRUENCIAS EN MÓDULO “ n”

Sea la ecuación

)(nbax ≡

Donde a y b son números enteros y “n” es un entero positivo. Usando la congruencia en módulo “n”

se deduce que la ecuación anterior se satisface cuando existe y∈Z tal que:

n ybax .=−

Lo que significa que esta ecuación queda:

bn y xa =− .. Ejemplo:Encontrar las soluciones de la ecuación )6(2.4 ≡ x .

Si x es una solución entera de la ecuación, entonces existe un entero “y” tal que y x .62.2 =− , es

decir que 2.6.2 =− y x , y como el MCD(6,2) = 2. Y teniendo en cuenta la propiedad 1 de lasecuaciones diofánticas, tiene infinitas soluciones, y la Propiedad 2 nos explica como calcularas:

Teniendo en cuenta el Algoritmo de Euclides, decimos que 6 = 1.4 + 2, y -4 –(-6)=2. Por lo tanto x0=-1, y0=-1 y es una solución particular.El resto de las soluciones tienen la forma:

n yn x .21 .31 −−=−−= con n∈Z





Escribir como sumatoria:1) =++++++ 151197531

2) =++++n

x x x x n...321

3) =+++++++81

1

64

1

49

1

36

1

25

1

16

1

9

1

4

1

4) =+++++ 2186...26820 5) =++++++ 29...1411852 6) =+++++ 727241792671

7) =+−+−100

1

64

1

36

1

16

1

4

1

8) Demostrar por el método de inducción completa

a) ∑=

+

−=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ n

in

ni

1

1

3

22

3

2

b) ∑=

++=

n

i

nnni

1

2

6)12)(1(

c) ∑=

−=−n

i

nn

ini1

2 )1(6

)(

d)nn 2

11

2

1...

8

1

4

1

2

1−=++++

e) 110103 1 +++ nn

f) nn +22

g) ∑=

−+=n

i

nii1

1)!1(!.

h) ∑ ∑= =

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

n

i

n

i

ii1

2

1

3

i) nn 583 −

j) ∑

−

= −

−

=

1

1 1

1n

i

ni

x

x

x si x≠ 1

k) ∑=

+−=

n

ini

ni

1 2

22

2

9) Determinar el MCD usando el algoritmo de Euclides dea) 63 y 49b) 619 y 93c) 521 y 2187d) 1253 y 436e) 472 y 34

10) Probar que si a, b y m son números enteros positivos, MCD(m.a, m.b)=m.MCD(a, b)11) Probar que si c=MCD(a, b) entonces 1, =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

c

b

c

a MDC




12) Si p y q son dos números primos entre sí, demostrar que si p|q.m ⇒ p|m13) Si MCD(a,b,c), probar que MCD(MCD(a,b),c)=MCD(a,MCD(b,c))14) Si MCD(a, b)=1, probar que MCD(a+b, a – b)=1 ó MCD(a+b, a – b)=215) Hallar todas las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas:

a) 2.x + 3.y = 7

b) 21.x – 35.y =-14c) 6.x + 9.y = 36d) 20.x + 30.y =500

16) ¿De cuantas formas posibles se pueden tener $330 repartidas en billetes de $10 y $20?17) Si a>0, b>0 y MCD(a, b)=1, probar que todo x>a.b puede escribirse como a.u + b.v = x, con u y v

positivos.18) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x ≡ 13(91)b) x ≡ -5(77)c) x ≡ -3(12)




CAPÍTULO VI

ANÁLISIS COMBINATORIO




INTRODUCCIÓN

El Análisis Combinatorio es una parte de la matemática que se ocupa de resolver losproblemas de ordenación de conjuntos y sus elementos.. Para resolver se deben definirprincipalmente factorial, Arreglos o Variaciones, Permutaciones y Combinaciones.-

FACTORIAL

Se llama factorial a la función f:N0→ N tal que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

)1(.)(

1)1(

1)0(

n f nn f

f

f

El factorial de un número cualquiera n, se lo simboliza n! ., o sea que la definición de factorial queda:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

)!1.(!

1!1

1!0

nnn

Aplicando la definición en forma sucesiva, se tiene:n! = n.(n-1)!

=n.(n-1).(n-2)!=n.(n-1).(n-2).(n-3)!=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1!

Así por ejemplo:2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24

SIMPLIFICACIÓN DE FACTORIALES

Para simplificar un factorial con otro factorial, se deben descomponer según su desarrollo, osea por ejemplo:

4.5.6.7.81.2.3

1.2.3.4.5.6.7.8

!3

!8==

Pero 3.2.1 = 3!, entonces:

4.5.6.7.8!3

!3.4.5.6.7.8!3!8 ==

VARIACIONES O ARREGLOS SIN REPETICIÓN

Se denomina arreglo o variación sin repetición de un conjunto de m elementos tomados de nen n, al número de conjuntos distintos formado por n elementos de los m dados, teniendo en cuentaque dos conjuntos son distintos si difieren en sus elementos o en el orden en que fueron colocados.-

Por ejemplo el conjunto formado por las siguientes letras, queriendo formar conjuntos de ados letras, o sea un arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2:

A, B, C, D




AB AC ADBA BC BDCA CB CDDA DB DC

O sea que el arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2, es 12

Todo arreglo se lo denota como m

n A y se lee “arreglo sin repetición o simple de m elementos tomados

de n en n”, o bien m

nV y se lee “variación sin repetición o simple de m elementos tomados de n en n”

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, podemos hacer:

)!24(!4

!2!4

224

1242 −

==== A que generalizando queda:

)!(!nm

m Am

n −=

VARIACIONES O ARREGLOS CON REPETICIÓN

En el caso de que de un conjunto se pueda escoger un elemento más de una vez para formaruna variación o un arreglo, estamos en presencia de un “arreglo con repetición”. Por ejemplo:

Sea el conjunto formado por A, B, C, D y se quieren formar conjuntos de dos letras, pudiendoser ellos formados por las mismas, y dos conjuntos son distintos si difieren en su orden o en suselementos. Esto será:

AA AB AC ADBA BB BC BDCA CB CC CD

DA DB DC DD

Esto es un arreglo con repetición (se pueden repetir los elementos en un mismo conjunto) de4 elementos tomados de 2 en 2, y su resultado es 16.

Ahora realicemos en mismo trabajo, pero aumentando al conjunto un elementos más ytomemos de a tres elementos. O sea

A, B, C, D, EAAA AAB AAC AAD AAE BEA BEB BEC BED BEE DDA DDC DDE EADABA ABB ABC ABD ABE CAA CAB CAC CAD CAE DEA DEC DEE EBDACA ACB ACC ACD ACE CBA CBB CBC CBD CBE EAA EAC EAE ECDADA ADB ADC ADD ADE CCA CCB CCC CCD CCE EBA EBC EBE EDD

AEA AEB AEC AED AEE CDA CDB CDC CDD CDE ECA ECC ECE EEDBAA BAB BAC BAD BAE CEA CEB CEC CED CEE EDA EDC EDE ECBBBA BBB BBC BBD BBE DAA DAB DAC DAD DAE EEA EEC EEE EDBBCA BCB BCC BCD BCE DBA DBB DBC DBD DBE DDB DDD EAB EEBBDA BDB BDC BDD BDE DCA DCB DCC DCD DCE DEB DED EBB

O sea que el total de conjuntos posibles de formar con los 5 elementos tomados de 3 en 3 yque se pueden repetir sus elementos, es 125

El arreglo con repetición de m elementos tomados de n en n se denota como m

n A' . Ahora:

242 416' == A y 353 5125' == A




O sea que en definitiva:nm

n m A ='

PERMUTACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN

Las permutaciones simples o sin repetición de m elementos se define como la cantidad deconjuntos que se pueden formar con los m elementos tomados de m en m, siendo distintos dos deellos si su orden es distinto. La denotación de permutación de m elementos es Pm. Atendiendo ladefinición, la permutación de m elementos es un arreglo de m elementos tomados de m en m. O sea:

!1

!

!0

!

)!(

!m

mm

mm

m AP m

mm ===−

==

Por ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante?P5 = 5! = 120

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Supongamos que se tienen 10 bolas de las cuales 3 son blancas, 2 son azueles y 5 rojas conlas cuales se las quiere determinar la cantidad de formas que se las puede ordenar. No se podríaaplicar la P10 ya que se repiten las blancas (3), las azueles (2) y las rojas (5). O sea que por estoscasos se tendría:P3 =3! = 6 (para las blancas), P2=2 (para las azules) y P5 = 5! = 120 (para las rojas), y estosconjuntos son iguales ya que no se diferencian por el color. Estamos en presencia de unapermutación con repetición de 10 elementos en grupos de 3, 2 y 5, y esto será:

25206.2.120

3628800!5!.2!.3

!10..

'523

105,2,310 ====

PPP

PP

La fórmula general será:

!!...!.!.!

.....' ,...,,,

ε δ β α ε δ β α

ε δ β α mPPPP

PP m

m ==

Donde m es el total de elementos, α es el número del primer grupo de elementos iguales, β elsegundo, δ el tercero, etc.

COMBINACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN

Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n es la cantidad de conjuntosde n elementos que se pueden formar con los m elementos, teniendo en cuenta que dos conjuntosson diferentes si difieren únicamente en sus elementos.-

Por ejemplo: Sea el conjunto formado por A, B, C, D, ¿Cuántos conjuntos de tres elementosdistintos se pueden formar con ellos?

ABC ABD ACD BCDObservamos que la respuesta es 4.-Ahora la combinación de m elementos tomados de n en n se denota con m

nC , y en nuestro

caso particular, será:

)!34!.(3

!4

6

24

4

4

3 −===C

Para el caso de m y n, se tiene:




)!!.(!

nmn

mC m

n −=

PROPIEDADES

1º) 10 =mC

Demostración:

1!.1

!)!0!.(0

!0 ==

−=

m

m

m

mC m

Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

2º) 1=m

mC

Demostración:

1

!0!.

!

)!!.(

!==

−

=

m

m

mmm

mC mm

Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

3º) m

nm

m

n C C −=

Demostración:

m

n

m

nm C nnm

m

nmmnm

mC =

−=

+−−=− !)!.(

!

)!)!.((

!

Esto es aplicando la definición y cancelando m.-

4º) 111

−−− += m

n

m

n

m

n C C C

Demostración:Partiendo del segundo miembro, y aplicando la definición, sacando común denominador ysacando factor común, se tiene:

)!1!.()!1(

)!11)!.(1()!1(11

1nmn

m

nmn

mC C m

n

m

n −−−

++−−−

−=+ −−

−

)1)!.(1.()!1(

)!1).()!.(1()!1(11

1 −−−−

+−−−−

−=+ −−

−nmnn

m

nmnmn

mC C m

n

m

n

)!1)!.(1).(.()!1).(()!1.(11

1 −−−−−−+−

=+ −−−

nmnnmn

mnmmnC C m

n

m

n

)!1)!.(1).(.(

))!.(1(11

1 −−−−

−+−=+ −−

− nmnnmn

nmnmC C m

n

m

n

)!1)!.(1).(.()!.1(11

1 −−−−−

=+ −−−

nmnnmn

mmC C m

n

m

n

)!1)()!.(1.()!.1(11

1 −−−−−

=+ −−−

nmnmnn

mmC C

m

n

m

n

)!!.(!.11

1nmn

mC C m

n

m

n −=+ −−

−

m

n

m

n

m

n C C C =+ −−−

111




5º) 111+

++ =+ m

n

m

n

m

n C C C

Demostración:Partiendo de la demostración anterior, y haciendo k=m+1⇒ m=k-1 y

s=n+1⇒ n=s-1, se tiene:1

111

11+

+−−

−+ ==+=+ m

n

k

s

k

s

k

s

m

n

m

n C C C C C C

COMBINACIONES CON REPETICIÓN

Para el caso de las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n,simplemente diremos que es igual a la combinación simple de m+n-1, tomados de n en n, y siendo sudenotación m

nC ' . En fórmulas será:

1' −+= nmn

mn C C

BINOMIO DE NEWTON

Desde nuestros estudios en la escuela media o EGB o Polimodal es que conocemos que:(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 y que (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

Esto es lo que se denomina el cuadrado y el cubo de un binomio. Estos son casosparticulares de lo que conoce con el nombre de binomio de Newton, y que se generaliza en losiguiente:

( ) ∑=

−

=+

n

i

iinn

i

n

baC ba 0 ..

Esta igualdad se demuestra con el método de inducción completa. O sea que:

Para n = 0

11

..)( 00000

0

==+ − baC ba

HipótesisPara n=k

( ) ∑=

−=+k

i

iik k

i

k baC ba

0

..

TesisPara n=k+1

( ) ∑+

=

−+++ =+1

0

111 ..k

i

iik k

i

k baC ba

Demostración

Partiendo del primer miembro, aplicando producto de potencias de igual base, y lo estipulado por lahipótesis y luego distribuyendo, se tiene:

( ) ( ) ( )bababa k k ++=+ + .1

( ) ∑=

−+

+=+

k

i

iik k

i

k

baC baba 0

1

..).(




( ) ∑∑=

−

=

−+ +=+k

i

iik k

i

k

i

iik k

i

k baC bbaC aba

00

1 ......

Ahora, introduciendo a en la primera sumatoria, y b en la segunda, queda:

( ) ∑∑ =

−

=

−+

+=+

k

i

iik k

i

k

i

iik k

i

k

bbaC baaC ba00

1

......

Aplicando producto de potencia de igual base, se tiene:

( ) ∑∑=

+−

=

+−+ +=+k

i

iik k

i

k

i

iik k

i

k baC baC ba

0

1

0

11 ....

Ahora extraemos el primer término de la primera sumatoria, y el último de la segunda sumatoria. Osea:

( ) ∑∑ −

=

+−+−

=

+−+−+ +++=+1

0

11

1

1010

1 ........k

i

k k k k

k

iik k

i

k

i

iik k

i

ik k k baC baC baC baC ba

Pero, haciendo j=i+1, entonces i=j-1, y si i=0 ⇒ j-1=0 ⇒ j=1 y reemplazando en la segunda sumatoria,queda:

( ) ∑∑ −

=

++−−

=

+−++ +++=+1

1

1011

1

1010

1 ........k

j

k k

k

j jk k

j

k

i

iik k

i

k k k baC baC baC baC ba

Pero cambiando j por i, se tiene:

( ) ∑∑ −

=

++−−

=

+−++ +++=+1

1

1011

1

1010

1 ........k

i

k k

k

iik k

i

k

i

iik k

i

k k k baC baC baC baC ba

Y si una sumatoria llega hasta k y la otra llega hasta k-1, tomamos una sola sumatoria hasta k, y setiene:

( ) 10

1

11

010

1 ...).(.. +

=

+−−

++ +++=+ ∑ k k

k

k

i

iik k

i

k

i

k k k baC baC C baC ba

Y por la propiedad 4º aplicada a las suma de las combinatorias, que:

( ) 10

1

11010

1 ...... +

=

+−+++ ++=+ ∑ k k

k

k

i

iik k

i

k k k baC baC baC ba

Y haciendo 111 == +

+k

k

k

k C C y 1100 == +k k

C C , teniendo en cuenta una propiedad de las

combinaciones, queda:

( ) 1011

1

110110

1 ...... +++

=

+−++++ ++=+ ∑ k k

k

k

i

iik k

i

k k k baC baC baC ba

Introduciendo el primer término y el último término en la sumatoria, queda:

( ) ∑+

=

+−++ =+1

0

111 ..k

i

iik k

i

k baC ba

Por ejemplo:Desarrollar el siguiente binomio:

( ) ∑=

−=+5

0

555 ..i

ii

i baC ba

( ) 55555

44554

33553

22552

11551

00550

5 ............ baC baC baC baC baC baC ba −−−−−− +++++=+

( ) 543223455 ..5..10..10..5 bbabababaaba +++++=+




TRIÁNGULO DE TARTAGLIA – PASCAL

Utilizando la propiedad 4º) de combinaciones, se puede construir un triángulo con los valoresque serán los coeficientes de un binomio de Newton. Este es:

00C

11

10 C C

22

21

20 C C C

33

32

31

30 C C C C

44

43

42

41

40 C C C C C

55

54

53

52

51

50 C C C C C C

66

65

64

63

62

61

60 C C C C C C C

O sea que:1

1 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

¿Cómo se arma el triángulo de Pascal?1) se Comienza con el 1 en el medio.2) En todos los casos, los extremos son 13) Los otros se forman sumando los elementos de a la par de la línea anterior.


1) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante?2) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si tres de ellos deben estar

juntos?3) ¿De cuántas maneras se pueden alinear 10 personas, sabiendo que dos de ellos no pueden estar

juntas?4) ¿Cuántas comisiones de 6 personas se pueden formar con 8 varones y 9 mujeres sabiendo que

al menos un varón integra cada comisión?5) Ocho puntos del plano son tales que 3 cualesquiera no están alineados, salvo 4 de ellos sí lo

están. ¿Cuántas rectas determinan?

6) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con 0, 1, 2, 3, 4 y 5?7) Entre 36 cartas hay 4 ases. Se retiran tres cartas sin reposición. ¿Cuántas colecciones de trescartas contienen exactamente 2 ases?

8) Determinar el número de pronósticos posibles que corresponden a una fecha de los 13 partidosdel juego llamado PRODE. En cada partido pueden apostarse a LOCAL, VISITANTE o EMPATE.¿Cuántos de tales pronósticos tienen k aciertos?

9) ¿De cuántas maneras se pueden alinearse 5 varones y 5 mujeres de tal manera que aparezcanalternados?

10) ¿Cuántos polígonos determinan 10 puntos del plano, sabiendo que 3 cualesquiera no estánalineados?.-

11) Desarrollar los siguientes binomios:

a) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +5

.5

1

3

1cba




b) =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

932.

3

4 z y x

c) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −10

3232 .5,04

5ba z y x

d) ( ) =−532 ..1,8.2,1 d cab

e) =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

72

3

2.

8

9ba




CAPÍTULO VII

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS




LEY DE COMPOSICIÓN INTERNASea el conjunto G ≠ ∅, se llama Ley de Composición Interna a la función:

babaGG *),(/*:* 2 =→

Esto significa que si operamos mediante * entre dos elementos de G, se obtiene otroelemento de G

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURA DE GRUPO

El par (G,*) es una estructura de grupo si y sólo si cumple con los siguientes axiomas:

A1) * es una ley de composición interna, o sea:

babaGG *),(/*:* 2 =→

A2) * es asociativa, o sea:

)*(**)*(:,, cbacbaGcGbGa =∈∀∈∀∈∀

A3) Existe un elemento “e” neutro, o sea:

aeaaeGaGe ==∈∀∈∃ **:/

A4) Existencia del electo inverso para todo elemento de G, o sea:

eaaaaGaGa ==∈∃∈∀ '*'*/',

Ahora, si además de estas propiedades cumple con la propiedad conmutativa el grupo se denominaconmutativo o abeliano, o sea:

A5) * es conmutativa, o sea:

abbaGbGa **:, =∈∀∈∀

Por ejemplo:

(Z,+) con Z es el conjunto de números enteros y + la operación adición ordinaria, y es un grupoabeliano.

(Q, ·) siendo Q el conjunto de números racionales y · el producto ordinario, no es un grupo, ya que el0 no posee inverso.

(Q-{0}, ·) es un grupo abeliano.

Ejemplo:

Sea (Z, *) donde a*b =a+b+b2, probar que es un grupo abeliano:

A1) * es una ley de composición interna en Z

Z bbababa Z Z ∈++==→ 22 *),(/*:*

Esto lo justifica que la adición y la potenciación de números enteros es otro entero.




A2) * es asociativo en Z

cbacbcabacbacbabacbabacbacbacba .....)..(.).*()*(*)*( ++++++=++++++=++=

cbacabacbcbacbcbacbcbacbacbacba.....)..(.)*.()*()*(*

++++++=++++++=++= Como los segundos miembros son iguales, entonces los primeros también lo son, luego:

)*(**)*( cbacba =

A3) Existencia del elemento neutro (e):

00)1.(0..*:/ =⇒=+⇒=+⇒=++=∈∀∈∃ eaeeaeaeaeaea Z a Z e

Ahora, hacemos:

aaaae =++= .00* Por lo tanto el elemento neutro es e=0

A4) Existencia del elemento inverso para cualquier elemento de Z, o sea:

a

aaaaaaaaaaaaaeaaaa

+−

=⇒−=+⇒−=+⇒=++⇒=∃∀1

')1(''.'0'.''*/',

Ahora probamos con:

ea

aaaa

a

aaaa

a

a

aaa

a

aa ==+

−++−

=+

−++−

=+

−

+++

−

= 011

)1.(

1'·1'*

222

Por lo tanto el elemento inverso esa

aa

+−

=1

'

Con estas cuatro demostraciones aseguramos que (Z,*) es un grupo

Ahora hacemos:

A5) Probamos la conmutatividad

abababbababa Z b Z a *..*:, =++=++=∈∀∈∀

Esto es aplicando la propiedad conmutativa de la adición y del producto.

PROPIEDADES DE LOS GRUPOS

Propiedad 1: Propiedad cancelativa de los grupos

Sea (G,*) un grupo, entonces se verificaa) a * c = b * c ⇒ a = bb) c * a = c * b ⇒ a = b

Demostración

Teniendo en cuenta la existencia del inverso en el grupo, aplicamos la composición al inverso de “c”,o sea c’ y además la propiedad asociativa, y se tiene:a) baebeaccbccaccbcca =⇒=⇒=⇒= **)'*(*)'*(*'*)*('*)*(




b) babeaebccaccbccacc =⇒=⇒=⇒= ***)'*(*)'*()*'*()*'*(

Propiedad 2El elemento neutro en una estructura de grupo es único, o sea:Sean e y e’ neutros en (G,*) ⇒ e = e’

DemostraciónComo e’ es neutro ⇒ e * e’ = e’Como e es neutro ⇒ e * e’ = eY por transitividad, se tiene que e = e’

Propiedad 3El elemento inverso de un elemento de (G, *) es únicoSean a’ y a” inversos de a ⇒ a’ = a”

Demostración:Como a’ es inverso de a ⇒ a * a’ = e

Como a” es inverso de a ⇒ a * a”= eLuego a * a’ = a * a” y aplicando la propiedad cancelativa queda a’ = a”

Propiedad 4El inverso del inverso de un elemento de (G, *) es el mismo elemento(a’)’=a

Demostración:Sea a∈G ⇒ a * a’ = ePor otro lado (a’)’ * a’=eO sea que a * a’ = (a’)’ * a’ y aplicando la propiedad cancelativa, queda a = (a’)’

Propiedad 5

El inverso de una composición es igual a la composición de los inversos.(a * b)’ =a’ * b’

Demostración:Se sabe que a’ * b’ * a * b =eY por otro lado que (a * b)’ * (a * b) = eLuego se tiene: a’ * b’ * (a * b) = (a * b)’ * (a * b) y cancelado se llega a: a’ * b’ = (a * b)’

Propiedad 6Sea (G, *) un grupo. Las siguientes propiedades son equivalentes:

a) (G, *) es un grupo abelianob) (a * b)’ = a’ * b’ ∀a, b ∈ G

O sea que:

(G, *) es grupo abeliano ⇔ (a * b)’ = a’ * b’Demostración:Si se cumple la primera, o sea que si (G, *) es un grupo abeliano, por la propiedad anterior se cumpleque (a * b)’ = a’ * b’ = b’ * a’Ahora si:

ababbaba *)'')'*('()'')'*('(* === Con lo que se demuestra que (G, *) es un grupo abeliano.

SUBGRUPOS

Sea el grupo (G, *) y sea un subconjunto H de G, se dice que H es un subgrupo de (G, *) si y sólo si

(H, *) es grupo.




Por ejemplo:

Sea (Z, +) es un subgrupo de (Q, +) siendo + la adición ordinaria.

CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UN SUBGRUPO

HipótesisSea (G, *) un grupoSea ∅≠H⊂GSea x∈H ∧ y∈H ⇒ x * y’ ∈H

Tesis(H, *) es subgrupo de (G, *)

Demostración:

Para demostrar que (H, *) es subgrupo, debemos demostrar que es grupo, entonces:

A3) Existencia del elemento neutro

H e H x x H x H x ∈⇒∈⇒∈∧∈ '*

Esto es teniendo en cuenta la hipótesis y que x * x’ =e

A4) Existencia del elemento inverso

H x H xe H x H e ∈⇒∈⇒∈∧∈ ''* Esto es teniendo en cuenta la hipótesis y la demostración anterior

A1) La ley es cerrada para H

H y x H y x H y H x H y H x ∈⇒∈⇒∈∧∈⇒∈∧∈ *)''(*' Esto es teniendo en cuenta lo que expresa la hipótesis, una de las propiedades de los gruposy las demostraciones anteriores

A2) La asociatividadEste axioma se demuestra teniendo en cuenta todas las demostraciones anteriores.

Esto significa que si se tiene un grupo (G, *) y H⊂G, basta demostrar que x∈H ∧ y∈H ⇒ x * y’ ∈Hpara que (H, *) sea subgrupo de (G, *)

HOMOMORFISMO DE GRUPOS

DefiniciónSean (G1, *) y (G2, º) dos grupos, y f:G1→G2, la función f se llama homomorfismo de grupos, si paratodo x, y ∈ G1, se verifica que:

)()º()*( y f x f y x f =




En diagrama de Venn se observa:G1 f G2

HOMOMORFISMOS ESPECIALES

Sea f:G1 → G2 un homomorfismo, se dice que:

1. f es un monomorfismo si f es inyectiva2. f es un epimorfismo si f es sobreyectiva3. f es un isomorfismo si f es biyectiva4. f es un automorfismo si f es un isomorfismo entre un mismo grupo

Ejemplos1. f(x)=ex es un monomorfismo de (R, +) en (R, ·) donde f(x + y) =ex+y =ex.ey=f(x).f(y)2. La función f:(Z, +) →({-1, 1}, ·) dada por f(n)=(-1)n es un epimorfismo ya que

)().()1()( m f n f mn f mn =−=+ +

ESTRUCTURA DE ANILLO

DefiniciónUn conjunto A con dos operaciones binarias cerradas que denotaremos con + (suma) y · (producto),se llama anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

P1) (A, +) es un Grupo abelianoP2) el producto es asociativo, o sea )..()..( cbacba = para todo a, b y c de A.P3) El producto es doblemente distributivo con respecto a la suma:

cabacba ..).( +=+ y acabacb ..).( +=+ para todo a, b y c de A

Si el producto es conmutativo, entonces el anillo se llama conmutativoAhora, si existe un elemento que lo simbolizaremos con 1, tal que para todo a∈A: a.1=1.a=a, se diceque el anillo es con unidad y el elemento 1 recibe el nombre de unidad.-

Ejemplos:(Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad

ESTRUCTURA DE CUERPO

DefiniciónUn anillo conmutativo con unidad (A, +, ·) es un cuerpo si (A – {0}, ·) es un grupo.

Por ejemplo:

(Q,+,·) es un cuerpo

x

y

x*y

f(x)

f(y)

f(x)°f(y)





1. Determinar si los siguientes pares son Grupos:a. (G, *) tal que G ={x/x=2.k+1 ∧ k ∈Z} y * es el producto ordinariob. (G, *) tal que G={x/x=3.k ∧ k∈Z} y * es la adición ordinaria

c. (G, *) tal que QbQabaG ∈∧∈+= /2. y * es el producto ordinario

d. (G, *) tal que { } Z k x xG k ∈∧== 2/ y * es el producto ordinario2. Sea (R, +)/a*b=2.a.b, demostrar que (R, +) es un grupo abeliano.3. En Q2 se considera * definida por:

( ) ( ) ( )d cbcad cba += .,.,*, Demostrar que (Q2, *) es un grupo

4. Sean los grupos (Z, +) y (G, *), y la función f:Z→G tal que f(n) = an con a ∈ G. Demostrar que f esun morfismo.

5. Sea (R, *) tal que 2.* baba += . Demostrar que (R, *) es un grupo.

6. Sea un homomorfismo del grupo G en el grupo G’, y H un subgrupo de G’. Demostrar que supreimagen f -1(H) es un subgrupo de G.7. Si (G, *) es un subgrupo que verifica que x * x =e, para todo x ∈ G, demostrar que (G, *) es un

grupo conmutativo.8. En Z2 se define la adición y el producto mediante:

)','()','(),( y y x x y x y x ++=+

)0,'.()',').(,( x x y x y x = Demostrar que (Z2, +, ·) es un anillo.

9. Si (A, +) es un grupo abeliano y se define ·:A2→A tal que a.b=0. Demostrar que (A, +, ·) es unanillo.

10. Se considera la suma habitual de pares ordenados en Z2 y el producto definido por:)'.'.,'.()',').(,( abbaaababa +=

Demostrar que (Z2, +, ·) es un anillo.



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19. Asistencia a las IVº Jornadas de "Articulación entre los Niveles Medio y Universitario en laDisciplina Matemática" - Taller "El uso del ordenador como Recurso Didáctico" 27 al 29 deoctubre de 1993

20. Asitencia al Curso "Capacitación para la Incorporación de Contenidos Innovadores en el Medioen la asignatura Matemática" - 30, 31 de mayo y 01 de junio de 1994

21. Asistencia y aprobación del Curso "Los caminos hacia el aprendizaje: una propuestainterdisciplinaria" - 24 y 25 de mayo 1994.22. Asistencia al Curso "Capacitación para la Incorporación de Contenidos Innovadores en el Medio

en la asignatura Física" - 02 de junio de 199423. Asitencia al Curso "Capacitación para la Incorporación de Contenidos Innovadores en el Medio

en la asignatura Matemática" - 3 al 5 de octubre de 199424. Asistencia a las Vº "Jornadas de Articulación entre los Niveles Medios y Universitarios en la

Disciplina Matemática" - 17 al 19 de agosto de 1994.25. Asistencia a las Jornadas "Unión de Matemática Argentina" curso "Disección de Figuras Planas y

Simetría" - 16 al 20 de octubre de 1995.26. Participante en al "1º Congreso Docente La Educación del Tercer Milenio" - 21, 22 y 23 de abril

de 199727. Participante como Colaborador en el Comité Ejecutivo Andalgalá en el IIIº Congreso de Ciudades

y Pueblos del Interior - 8 de noviembre de 199728. Participante como Miembro Activo en el Taller "Demanda Educativa" - 8 de noviembre de 199729. Autor y Desarrollador del Software Educativo "MatFinanciera" - 20 de mayo de 199830. Asistencia al Taller "La Computadora en la Enseñanza de la Matemática" - 21 y 22 de noviembre

de 199731. Asistencia al "Seminario Tecnología Educativa Apropiada" - julio de 199832. Participante como Docente Asesor en la Feria de Ciencias del Trabajo "Como se arma una PC" -

18 de septiembre de 1998.33. Asistencia al Curso "Investigación Educativa" - noviembre de 199834. Asistencia al Curso "Actualización en Gestión de la Tecnología Informática y Comunicación.

Tecnología de la Gestión de Grupos Humanos en Educación" - Febrero de 1999.35. Asistencia al Curso "Metodología de la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática en el 3º

ciclo de la Enseñanza General Básica y Polimodal" - mayo de 1999.

36. Asistencia al Curso "Formación Docente en Unidad de Cultura Tecnológica" - 10 al 14 de mayode 1999

37. Asistencia al Curso "Actividades Educativas en Electricidad" - 3 de septiembre de 199938. Coordinador en las "Ferias de Ciencias - Muestras de Actividades Pedagógicas Nivel Medio" - 25

de septiembre de 2000.39. Autor y Desarrollador del Software "Alumnos" para los C.E.P. - octubre de 200040. Participante en las Jornadas "Las Relaciones Humanas y su Influencia en la Institución. Antiguos

y Nuevos Paradigmas" - mayo de 2001.41. Participación en la Elaboración del Proyecto Innovador "Los Recursos en el Aula" - Marzo de

199742. Asistencia y aprobación del Seminario de Postítulo sobre "El Problema de la disciplina escolar" -

junio - agosto y septiembre de 2002.-43. Asistencia y aprobación del Curso de 90 horas cátedras "Números, operaciones y relaciones" -

septiembre de 2002.-44. Asistencia y aprobación del Curso de 90 horas cátedra "Funciones en el EGB3" octubre de

2002.-45. IIIº Congreso "Tesoros del Catamarqueñismo" - junio 2003.-46. Asistencia y aprobación del Curso de 40 hs. cátedras “El diseño curricular una ecuación de la

enseñanza de la Geometría en la EGB 2 y 3 y hacia una gestión curricular” – 27 de abril de2004.-

47. Curso aprobado de 40 hs. cátedras “El diseño curricular una ecuación de la enseñanza de laGeometría en la EGB 2 y 3 y hacia una gestión curricular” – 14 de mayo de 2004.-

48. Coautor y Coordinador en “Matemática: Taller de consenso para su enseñanza en el NivelPolimodal” – Marzo 2005.-

49. Autor y disertante del Taller “Uso del Software Matemática Financiera” en el 1° CongresoProvincial en Didáctica de la Matemática – 8 al 10 de noviembre de 2006.-

50. Docente Asistente al 1° Congreso Provincial en Didáctica de la Matemática – 8 al 10 denoviembre de 2006 (24 hs. cátedras).-




51. Docente Coordinador del 1° Congreso Provincial en Didáctica de la Matemática 8 al 10 denoviembre de 2006 (24 hs. cátedras).-

Participación en Tribunales de calificación en el Nivel Superior1. Integrante del Tribunal de Oposición en la Cátedra Sistema de Información en el Profesorado en

Economía del I.E.S. Andalgalá – 23 de agosto de 2002.-2. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Procedimientos Administrativos en elProfesorado en Economía del I.E.S. Andalgalá – 23 de agosto de 2002.-

3. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Sistema Educativo en el Profesorado enLengua y Literatura del I.E.S. Andalgalá – 11 de Febrero de 2003.-

4. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Institución Educativa en el Profesorado enLengua y Literatura del I.E.S. Andalgalá – 11 de Febrero de 2003.-

5. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Sistema Educativo en el Profesorado en Físicadel I.E.S. Andalgalá – 10 de Febrero de 2003.-

6. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Sistema Educativo en el Profesorado enMatemática del I.E.S. Andalgalá – 10 de Febrero de 2003.-

7. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Institución Educativa en el Profesorado enFísica del I.E.S. Andalgalá – 11 de Febrero de 2003.-

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