asintotak-jarrait(i) b. zientifikoa.pdf

7/25/2019 asintotak-jarrait(I) B. zientifikoa.pdf

1/23

ASINTOTAK

JARRAITUTASUNA (I)

ARRASATE BHI (ARRASATE)

Batxilergo Zientifiko-Teknikoa

1. maila


2/23

Asintota horizontalak

Behatu ondoko funtzioen adierazpen grafikoa:

X

1

Y

y

1 Grafikoa y = 1zuzenera hurbiltzendaxaldagaia rantz doanean. Hau da, 1)(lim x

fx

y = 1zuzena ffuntzioaren asintota horizontala

dela esaten da.

1 2 3 4 5

2y 2

Grafikoay = 2zuzenera hurbiltzen dax

aldagaia rantz doanean. Hau da, 2)(lim x

fx

y = 2zuzena ffuntzioaren asintota

horizontala dela esaten da.

f funtzioak infinituan dituen limieetako batLbada, y = L zuzena f

funtzioaren asintota horizontala da:

Lxfx )(lim


3/23

Funtzio arrazionalenkasuan, , asintota horizontalak lortzeko,nahikoa da frakzioko zenbakitzaileko eta izendatzaileko polinomioen mailak aztertzea.

)(

)()(

xQ

xPxf

Hain zuzen, P(x)-ren maila Q(x)-ren maila baino txikiagoa bada, edo biak maila

berekoakbadira, infinituko limitea zenbaki erreala da,L. Beraz,f(x)funtzioak

asintota horizontal bat izango du y = L ekuaziokoa.

Adibidea.

2

3)(eta

2

3)(Lortu

22

2

x

xxg

x

xxf funtzioen asintota horizontalak.

3)(lim)(lim) x

fxfaxx

Beraz, y = 3zuzenaf-ren asintota

horizontala da, alde bietatik.

0)(lim)(lim) x

fxfbxx

Beraz, y = 0zuzena (OX ardatza) f-ren

asintota horizontala da, alde bietatik.


4/23

Funtzio esponentzialenkasuan ere agertzen dira asintota horizontalak.

-1 1 2

1

0.367

7.39

y

ex

I) Demagun y = exfuntzioa

II) Demagun y = 3-xfuntzioa.

xaldagaia -rantz doanean, funtzioaren

balioa 0-rantz hurbiltzen da. Izan ere,

013133lim

x

x

y = 0zuzena (OX ardatza) da f-ren asintota horizontala,

eta hurbilketa eskuin aldetiksoilik egiten da.

Funtzio esponentzialetan, berretzailea egiten den

kasuetan, OX ardatza du asintota horizontaltzat.

011

lime

eex

x

y = 0zuzena (OX ardatza) da f-ren asintota horizontala, eta,

kasu honetan, hurbilketa ezker aldetiksoilik egiten da.

xaldagaia -rantz doanean, funtzioaren balioa0-rantz hurbiltzen da. Izan ere,

Ikus ditzagun bi adibide:

-2 -1 1 2

1

3

9

y

3 x


5/23

Ariketa 1

Lor itzazu ondoko funtzioen

asintota horizontalak:

x

yex

xxyd

xx

x

ycxybx

x

ya

3

2

24

3

3

2

2

2

1);

1

2)

65

1

);

2

);4

31

)


6/23

Asintota bertikalakBehatu ondoko funtzioen adierazpen grafikoa:

)(lim1

xfx

x = 1zuzena ffuntzioaren

asintota bertikala dela esaten da.

Funtzioak ra jotzen duxaldagaiak 1erantzhurbiltzean eskuinetik. Hau da:

Ezkerreko grafikoan, funtzioak jotzen dux

aldagaiak 2rantz hurbiltzean ezkerretik, eta -rantz

xaldagaia 2rantz hurbiltzean eskuinetik. Hau da:

)(limeta)(lim 22 xfxf xx

x = 2zuzena ffuntzioaren asintota

bertikala dela esaten da.

Funtzio batek asintota bertikala izango du x = a

puntuan, baldin eta bada.)(lim xfax

-2 -1 1 2

OX

OY

x 2

1 2 3 4 5

OX

OY

x 1


7/23

Funtzio arrazionalenkasuan, , asintota bertikala edukiko dute

Q(x)izendatzailea 0egiten dutenx-ren balioetan, baldin etax-ren balio horiek

P(x)zenbakitzailea ere anulatzen ez badu.

)(

)()(

xQ

xPxf

Adibidea.

3)-1)(x-(x

1-xh(x)eta

4

5)(,

3

5)(

2x

xgx

xfLortu funtzioen asintota bertikalak.

I) 3 x = 0 ; x = 3 )(lim3xf

x)(lim

3xf

xBeraz, x = 3zuzenaf-ren

asintota bertikala da.

II) x2-4 = 0 ; x = +2 eta x = -2 Beraz, x = -2eta x = 2zuzenak dirag-

ren asintota bertikalak.

2

1

3

1lim)3)(1(

1lim)(lim

111 xxx

xxh

xxx

III) (x-1).(x-3) = 0 ; x = 1 eta x = 3

x =1 puntuan zenbakitzailea ere anulatzen da. Beraz, h

funtzioak ez du asintota bertikalik x = 1 puntuan. x =3puntuan badu asintota

bertikala.

0

2

)3)(1(

1lim)(lim13 xx

xxh

xx


8/23

Funtzio logaritmikoetanere agertzen dira asintota bertikalak.

Ikus ditzagun bi adibide:

I) Demagun y = ln (x-1)funtzioa.

II) Demagun y = ln (2-x)funtzioa.

Existentzia-eremua: ),1(

Horregatik, x = 1zuzenaffuntzioarenasintota bertikala da.

)(lim1

xfx

denez,xaldagaia 1rantz hurbiltzean

eskuinetik, funtzioak -rantz jotzen du; hau da:0ln

Existentzia-eremua: )2,(

0ln denez,xaldagaia 2rantz hurbiltzean

ezkerretik, funtzioak -rantz jotzen du; hau da:

)(lim2

xfx

Horregatik, x = 2zuzenaf funtzioaren

asintota bertikala da.

1 2 3 4 5OX

OY

x=1 y= ln x

-3 -2 -1 1 2OX

OY

x=2y= ln (2-x)


9/23

xydxx

xyc

xybxxya ln);

65

1);

2);2)

2

23

Ariketa 2

Lor itzazu ondoko funtzioen

asintota bertikalak:


10/23

Funtzio polinomikoek ez dute asintotarik

Funtzio batek infinitu asintota bertikal

eduki ditzake. Adibidez, y = tg xfuntzioak.

Funtzio batek gehienez asintota horizontal

bat eduki dezake; batzutan alde batetik, eta

beste batzuetan bi aldeetatik rantz).--etarantz-(


11/23

xyhxyg

xyf

xx

xe

xxyd

xyc

xybxya

4);)7(ln);1

1);

2

2)

42);

91);1);

31)

22

2

2

2

Ariketa 3

Lor itzazu ondoko funtzioen asintota

bertikalak eta horizontalak.


12/23


13/23

Ariketa 4

Lor itzazu ondoko funtzioen asintota

bertikalak eta horizontalak. Ondoren

irudikatu grafikoki.

2;

2

x

xy

xy

)3(ln;4 xyy x


14/23

-4 -2 2 4x

-20

-10

10

20xy 2

-3 -1 1 2 3 6OX

-1

1

3

9

y x

x 2

y 1

x 2

Existentzia- eremua: I = R0

Asintota bertikala: x=0 zuzena(OY ardatza)

Existentzia- eremua: I = R 2

Asintota bertikala: x=2 zuzena

)(lim2

xfx

)(lim2

xfx

)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

0)(lim xfx

x y

-0,5 4

-1 2

2 -1

x y

0 -1

2 1

-1 -0,5

x -0,1 -0,01 ...

y 20 200 ...

Asintota horizontala: y = 0 zuzena (OX)

x 0,1 0,001 ...

y -20 -2000 ...Asintota horizontala: y = 1 zuzena

1)(lim xfx

2x

xy

xy

2


15/23

-3 -2 -1OX

OY

x=3y=ln (3-x)

ln3

-1 1

1

1

2

4

y=4x

xy 4 )3(ln xy

Existentzia- eremua: D(f) = R

Asintota horizontala: y = 0 zuzena (OX)

01

4

144lim x

x

Kurba eta OX ardatzaren arteko

hurbilketa ezker aldetiksoilik egiten da.

x y

0 1

-1 0.25

1 4

x y

2 ln 1 = 0

0 Ln 3=1,1

-2 Ln 5

Existentzia- eremua: 3,

Asintota bertikala: x = 3 zuzena

)(lim3

xfx


16/23

Ariketa ebatzia

2

2

9

4)(

x

xxfDemangun ondoko funtzioa:

Asintotak kalkulatuko ditugu, eta, funtzioaren grafikoa eginda, kurbak eta

asintoten arteko hurbilketa ikusiko dugu.

Asint. bertikalak:

x29 = 0 ; x = 3 eta x = -3

2

2

3

2

2

3 9

4)(

9

4)( limlim

x

xxf

x

xxf

xx

Beraz, x = -3eta x = 3zuzenak,f

funtzioaren asintota bertikalak dira.

Asint. horizontalak.

49

4)(

9

4)(

2

2

2

2

limlimx

xxf

x

xxf

xx

y = -4zuzena asintota horizontala da.

Zenbakitzaileak eta izendatzaileak maila

bera dute. Beraz:

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

20

X

Y

y = -4


17/23

Hona hemen funtzioaren grafikoa:2

2

9

4)(

x

xxf

-6 - 4 -2 0 2 4 6

-15

-10

- 5

0

5

10

15

20

X

Y

y = -4


18/23

JarraitutasunaBehatu ondoko lau funtzioen grafikoak:

f(x)funtzioaren grafikoa lapitza paperetik jaso gabe marraz daiteke. Funtzio jarraitua

dela esango dugu.

Ordea, g, heta ifuntzioak ezin daitezke marraztu lapitza paperetik jaso gabe. Guztiek dute

etenax = 1puntuan. Horregatik diogu funtzio etenakdirela x = 1puntuan.

Ikus dezagun zein den etenaren arrazoia kasu bakoitzean:

g funtzioa ez da existitzenx = 1puntuan; hau da, ez dago g(1)baliorik.

hfuntzioa eten egiten dax = 1puntuan, ezkeraldeko eta eskuinaldeko

limiteak desberdinak direlako; hots, ez da existitzen )(lim1

xhx

ifuntzioa eten egiten dax = 1puntuan, zeren existitzen den

arren,horren balioa ez da i(1)balioaren berdina.

)(lim1

xix


19/23

Jarraitutasuna. Definizioa.

f funtzioa jarraitua da x = apuntuan, baldin

hiru baldintza hauek betetzen badira:

f(a)existitzen da.

)(lim xfax

existitzen da eta finitua da.

da.)()(lim afxfax


20/23

1. adibidea

Aztertu ondoko funtzioaren jarraitutasuna:

2;2

2;3

xx

xy

ez da existitzen .

Azter dezagun x = 2 puntua:

f(2) = 2-2 = 0

3)(lim2

xfx

022)(lim2

xfx

)(lim2 xfx

Beraz, etena da x = 2

puntuan.


21/23

2. adibidea

0;1

01;1

1;1 2

xx

x

xx

yAztertu ondoko funtzioaren jarraitutasuna:

Azter dezagun x = -1 puntua:

f(-1) = 1 + (-1)2= 2

2)1(1)(lim 21

xfx

1)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

ez da existitzen .

Beraz, etena da x = -1 puntuan.

Azter dezagun x = 0 puntua:

f(0) = 0 + 1 = 1

1)(lim0

xfx

110)(lim0

xfx

)0()(lim0 fxfx denez,jarraitua da x=0 puntuan.


22/23

3. adibidea

Aztertu ondoko funtzioaren jarraitutasuna:3

2

xy

f(3) ez da existitzen, x = 3 puntua ez baitaf-ren existentzia-

eremukoa. Beraz, ez da jarraitua x = 3an.

Zein motatako etena duen determinatzeko, x = 3

puntuko albo-limiteak kalkulatu behar ditugu.

3

2lim;

3

2lim

33 xx xx

Kasu honetan,ffuntzioak asintota bertikala dueta

jauzi infinituko etena du x = 3 puntuan.


23/23

4. adibidea

Aurkitu k-ren balioa, funtzioa jarraitua izan

dadin x = 1 puntuan. 1;

1;1

12

xk

xx

x

y

f(1) = k

f(1) = bete behar denez, k = 2izan beharko du.)(lim1

xfx

211)1(lim1

)1()1(lim

1

1lim

11

2

1x

x

xx

x

x

xxxBestalde,

asintotak-jarrait(i) b. zientifikoa.pdf

Documents