B

C

h

A

D

Guía de aprendizaje Nº2: Cuerpos redondos

Aprendizaje Esperado: Conocen y aplicar teoremas y propiedades de los cuerpos poliedros en la resolución de ejercicios.Encuentran el volumen de esferas, cilindros, conos y secciones cónicas.

Tiempo estimado: 90 minutos.

Los cuerpos redondos se pueden considerar volúmenes o cueros de revolución producidos al girar en torno a un eje una determinada figura geométrica.

1. Cilindro. El cilindro circular recto se genera por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Las bases son dos círculos paralelos

CD: Radio AD: Generatriz BC: Altura (eje)

AD = BC = h

Área lateral, área total y volumen del cilindro recto

Al extender un cilindro recto se obtiene dos círculos y una región rectangular cuyo largo es el perímetro de la base y por ancho la altura del cilindro.

Área lateral cilindro , donde h es la altura del cilindro y r, su radio

Área total cilindro , donde h es la altura del cilindro y r, su radio

Para el cálculo del volumen, son aplicables las propiedades de los prismas, luego se obtiene al multiplicar el área de la base por la altura.

Volumen del cilindro , donde h es la altura del cilindro y r, su radio

1. Hallar el área total de un cilindro recto si el diámetro de la base mide 20cm y la altura 20cm.(Resp: )

A B

C

g

2. Calcular el volumen de de un tubo cilíndrico de altura 12cm cuyos radios interior y exterior miden 4 y 6cm respectivamente. (Resp: )

2. Cono. El cono circular recto se genera por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su base es un círculo.

C: Vértice o cúspide AC: Generatriz (g) AB: Radio (r) BC: Altura (eje)

Área lateral, área total y volumen del cono recto

El área lateral de un cono es igual al producto entre , el radio de la base y la generatriz, es decir

Área lateral cono donde g es la generatriz del cono y r, su radio basal.

El área total se obtiene al sumar al área lateral el área de la base, luego

Área total cono , donde g es la generatriz del cono y r, su radio basal.

El volumen se obtiene al considerar al cono de altura h como una pirámide regular que tiene por base un polígono de una gran cantidad de lados.

Volumen cono ,

donde h es la altura del cono y r, su radio basal.

EJERCICIO 1. Resuelve los siguientes ejercicios

1. ¿Cuál es el radio de la base de un cono recto si su volumen es y su altura (Resp:

2. Calcular el área total de un cono de revolución sabiendo que su radio basal es 5cm y su altura 12cm. (Resp: )

3. Esfera. La superficie esférica es el conjunto de todos los puntos que equidistan de uno interior llamado centro. La esfera está constituida por todos los puntos de la superficie esférica y los interiores. Se genera por la revolución de un semicírculo en torno al diámetro.

Radio: segmento comprendido entre el centro de la esfera y cualquier punto de la superficie esférica.

Área de la esfera:

Volumen de la esfera:

EJERCICIO 2. Resuelve los siguientes ejercicios

1. Calcular el área y el volumen de una esfera de radio 9cm. (Resp: área = ; volumen = )

Área esfera , donde r es el radio de la esfera

Volumen esfera , donde r es el

radio de la esfera

12

2. Si en un cubo de arista 12cm se inscribe una esfera, ¿cuál será el volumen comprendido entre estos dos cuerpos geométricos? (Resp: 823,68 )

3. Determinar el área de una esfera circunscrita a un cubo de arista (Resp: ).

EJERCICIOS PSU

1. Un cilindro recto tiene un volumen de . Si el radio basal mide , entonces su altura mide:

A) B) C) D) E)

2. El área lateral de un cilindro recto de de radio y de altura es, en

A) B) C) D) E) 40

3. La medida de la generatriz de un cono es 12cm al igual que el diámetro basal. ¿Cuál es la medida del volumen?

A) B) C) D) E)

3

4. ¿Cuál es el área lateral de un tronco de cono recto, si sus radios basales miden 5 y 4cm y su generatriz mide 6cm? (Área lateral tronco de cono )

A) B) C) D) E)

5. Una esfera de radio 3cm tiene un volumen de:A) B) C) D) E)

6. El volumen de un tronco de cono recto es . Si los radios basales miden 1 y 2

respectivamente, entonces su altura mide: (V tronco de cono = )

A) 1cm B) 2cmC) 3cmD) 4cmE) 5cm

7. Un recipiente para líquidos tiene forma cónica con una altura de 12cm y un radio de 6cm. ¿cuál es aproximadamente su capacidad?

A) un cuarto de litroB) medio litroC) tres cuartos de litroD) un litroE) dos litros

8. Si la generatriz de un cono circular recto mide el triple del radio, entonces la razón entre el área lateral y el área basal es:

A) 1 : 3B) 1 : 9C) 2 : 3D) 3 : 1E) 9 : 1

9. ¿Cuál es el radio de un cilindro circular recto, si su volumen es y su altura es 9?

A) 81

B) 27C) 9D) E) 3

10. La altura y el radio de un cilindro circular recto tienen la misma longitud. Si el área lateral (manto) del cilindro es . ¿Cuál es su volumen?

A) B) C) D) E)

RESPUESTAS1 A2 A3 B4 E5 B6 C7 B8 D9 C

10 A

Departamento de Matemática

Carmen Ibáñez – Daniela Cordovez

Autoevaluación 2: Cuerpos Redondos y de Revolución4to medio

Responde las siguientes preguntas. Recuerda anotar las respuestas en la pauta que se indica abajo.

1. Se rota el triángulo de vértices A (0,0); B (3,0) y C (3,2) entorno al eje de las abscisas. ¿Cuál es el volumen del cuerpo de revolución generado?

A) B) C) D) E)

2. Un cilindro se obtiene al girar:A) Una circunferencia alrededor de un diámetro.B) Un triángulo rectángulo alrededor de un cateto.C) Un rectángulo alrededor de un lado.D) Un pentágono alrededor de un ladoE) Ninguna de las anteriores.

3. Un recipiente cúbico contiene de agua. Si se introduce una esfera maciza de plomo, entonces el nivel de agua sube y repleta exactamente el recipiente. ¿Cuál es el volumen de la esfera?

A) 16 B) 24 C) 48 D) 54 E) 60

4. Si el radio de una esfera aumenta en un 20%, ¿en qué porcentaje aumenta su volumen?

A) 72,8%B) 66,6%C) 80%D) 60%E) 20%

5. Desenvolviendo la superficie lateral de un cilindro de revolución, se obtiene un cuadrado de lado . El volumen del cilindro es:

A) B) C) D) E)

6. La generatriz del cono:A) Es mayor que su altura.B) Es igual que su altura.C) Es menor que su altura.D) Es siempre igual al radio de la base.E) Es siempre igual a la suma de la altura y el radio de la base

7. El globo aerostático es utilizado para investigaciones de las capas bajas de la estratosfera, ¿Cuál es el volumen de gas que contiene un globo aerostático si A) 38,47 B) 30,521 C) 87,92 D) 33,493 E) 48,125

8. Calcula la altura de un cono si la generatriz mide 5 cm y el radio de la base es de 3 cm.

Rr

A) 4 cmB) 3 cmC) 8 cmD) 5 cmE) 10 cm

9. En la figura se representa un anillo circula, el volumen en generado al girar este anillo en torno al eje indicado es igual a: (R=6; r=2)

A)

B) C) D)

E)

10. Una esfera se introduce en un estanque de agua de 83 (m3) de volumen. Si el agua desplazada, equivale a un cilindro de base 9π (m2) y altura de 4m, ¿Cuál es el radio de la esfera introducida?

A) 3π mB) 3 mC) 4π mD) 4 mE) 2 m

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

AUTOEVALUACION N°

CUARTO MEDIO

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