apuntes sobre estadistica_junio 2010

Apuntes sobre Estadística

Elaborado por H. Medina Disla. Junio 2010. 1

APUNTES SOBRE ESTADISTICA (Borrador para corrección)

Héctor Medina Disla

Santo domingo, D. N. Junio 2010



I. INTRODUCCION Estadística: Es una metodología científica que permite recolectar, organizar y procesar datos que proporcionen información que sirvan de base para la toma de decisión. Por ejemplo aplicar una encuesta para conocer la preferencia del electorado, aplicar un tratamiento especial a un grupo de personas y observar el resultado, buscar datos sobre la matrícula estudiantil, u otro tema en particular. En cambio, cuando hablamos de Estadísticas nos referimos a un conjunto de medidas o indicadores que describen el comportamiento de un fenómeno de interés en un momento determinado. Por ejemplo, el porcentaje de lectores que prefieren a un candidato en particular, el tiempo necesario para realizar unas tarea, las unidades producidas diariamente por una empresa, las ventas de una empresa, etc. Es decir que las estadísticas representan el fin u objetivo que buscamos y la Estadística el medio para conseguirlo. 1.1 DIVISION DE LA ESTADISTICA La Estadística como metodología científica se divide en dos ramas, la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial Estadística Descriptiva: Es un conjunto de métodos y técnicas que permiten describir un conjunto específico de datos. La Estadística Descriptiva como su nombre lo indica, describe un grupo particular. Sus principales herramientas son.

1) Cálculo de porcentaje y tasas 2) Presentación tabular, (cuadros y tablas) 3) Presentación gráfica 4) Cálculo de medidas de Medidas de Tendencia Central, (promedios) 5) Cálculo de medidas de dispersión o variabilidad 6) Cálculo de números índice. 7) Otras técnicas descriptivas.

Estadística Inferencial: Se refiere a un conjunto de métodos y técnicas que permite obtener información acerca de una población completa, con solo estudiar una parte de ella (muestra). La Estadística Inferencial nos permite llevar los resultados obtenidos en una muestra a la población. Sus principales herramientas son: Cálculo de probabilidades, muestreo y distribución muestral, estimación, prueba de hipótesis, análisis de varianza, análisis de regresión y correlación, otras. 1.2. Conceptos y Definiciones



1. Población: Es un conjunto de elementos con características parecidas o similares y que son de interés para la realización de un estudio. En términos estadísticos una población se define de acuerdo a lo que se desea investigar o estudiar. Por ejemplo si queremos conocer el rendimiento escolar de los/as niños/as de la educación básica, entonces nuestra población va a estar definida por la cantidad de niños/as inscrito en los curso de la educación básica o si queremos evaluar la calidad de la producción de una empresa, nuestra población estará formada por todas las unidades producidas por la empresa durante el periodo de interés. Muestra: Es un subconjunto de la población que se toma para fines de desarrollar una investigación. Cuando un estudio se hace a partir de una muestra, esta debe ser representativa y significativa. Se dice que una muestra es representativa cuando los elementos que componen dicha muestra contienen las mismas características que los elementos en la población de la cual se tomó dicha muestra, el concepto de representatividad se refiere a los aspectos cualitativos de la muestra. Por ejemplo si quisiéramos conocer la preferencia política de los estudiantes de la UASD una muestra sería representativa si en la misma se incluyen estudiantes de todas las edades, de todas las carreras, de ambos sexo, de todos los centros regionales, etc. de forma tal que al observar la muestra es como si observáramos la población en miniatura. Por su parte el concepto de significación tiene que ver con la cantidad de elementos que conforma la muestra. En este sentido, no existe un número de elementos específico para que una muestra sea significativa, sino, que la cantidad de elementos necesarios para que la muestra sea significativa varía de acuerdo a la características de la población. Si la población a estudiar es muy variable, se requerirá de un mayor número de elementos para que la muestra sea significativa que si la población tiende a ser homogénea, en cuyo caso un muestra pequeña puede ser significativa. 2. Parámetro: Es una medida de referencia la cual se calcula a partir de datos de una población completa. El parámetro se refiere a la medida de una variable en la población. Por ejemplo, cuando se aplican las Pruebas Nacionales y se obtiene el promedio de las calificaciones, esta medida es un parámetro de las calificaciones de los estudiantes.

3. Estimador o Estadígrafo: Es una medida calculada a partir de los datos obtenidos en una muestra y se utiliza para estimar el valor del parámetro, ya que en la mayoría de los casos, se hace difícil y muy costoso conocer el valor real o verdadero de la variable. Por ejemplo cuando se toma una muestra para conocer la preferencia política de la población, los porcentajes que se obtienen a partir de la encuesta son estimadores del porcentaje de real de preferencia de todos/as las votantes.



1.3 FUENTES DE DATOS Ya se ha dicho que la Estadística es una metodología científica que permite obtener datos que al ser procesados se convierten en estadísticas o indicadores relacionados a una o múltiples variables. Podemos decir entonces que el quehacer de la Estadística se centra en dar respuestas a una serie de preguntas o interrogantes que surgen en un momento determinado sobre un tema en particular, por ejemplo, ¿Cuál es la bebida gaseosa preferida por la población?, ¿por qué las personas prefieren un banco en particular para depositar sus ahorros?, ¿qué porcentaje de la producción está saliendo defectuoso?, ¿cuál será el nivel de precios para el próximo semestre?, ¿Cómo podemos motivar a los/as estudiantes?, ¿cuál método de enseñanza es más efectivo para lograr el aprendizaje en los/as estudiantes? y así sucesivamente. Para dar respuestas a estas preguntas debemos recurrir a la búsqueda de datos y en tal sentido debemos de responder a las siguientes preguntas ¿cuáles son las fuentes para obtener datos? O ¿de donde obtendremos datos para dar respuesta a nuestra pregunta? En primer lugar vamos a clasificar las fuentes de datos atendiendo al origen de los datos y en este sentido las fuentes de datos pueden ser primarias y secundarias. Las fuentes de datos primarias son aquellas en las cuales los datos son generados por quien o quienes realizan la investigación, es decir que son datos de primera mano, hechos “a la medida” como lo señala Dillon1, es decir que las fuentes primarias se utilizan para cubrir una necesidad de información específica. 1.3.1 Fuentes primarias de datos Las principales fuentes primarias de datos son el Censo, La Encuesta o Estudios por Muestreo y Los Experimentos. 1. Censo: Es un tipo de investigación en la cual se estudian todos los elementos de una población determinada. El censo tiene las ventajas de que proporciona información sobre una población completa, con un bajo margen de error y además permite la ubicación física de cada uno de los miembros de la población. Tiene la desventaja de que resulta muy costoso en términos económicos, de tiempo y de materiales. 2. Estudios por Muestreo: Son estudios en los cuales solo se estudia una parte de la población, es decir una muestra. Los estudios por muestreo tienen las ventajas de que proporcionan información útil y confiable sobre una

1 William Dillon, Thomas J. Madden y Neil H. Firtle: “La Investigación de Mercados. Entornos de Marketing”



población en corto tiempo y además resultan menos costosos que un censo. Tienen las desventajas de que no proporcionan información sobre la ubicación física de de los elementos de una población y de que si no se diseña de manera adecuada puede proporcionar información distorsionada sobre el comportamiento del fenómeno que se está estudiando.

3. Experimentos: Son estudios especializados en los cuales un grupo de elementos de la población es sometido a un tratamiento o condición especial y los resultados obtenidos con dicho tratamiento se comparan con los resultados de otro grupo que no ha sido sometido al tratamiento o con los del mismo grupo cuando no ha sido sometido al tratamiento o condición especial. El grupo sometido al tratamiento recibe el nombre de grupo experimental y el grupo con el cual se comparan los resultados recibe el nombre de grupo de control. El objetivo principal de los diseños experimentales es conocer el efecto que tiene en la población estudiada la exposición de esta a un tratamiento o condición especial. 1.3.2 Fuentes secundarias de datos Las fuentes secundarias son aquellas en las cuales los datos se encuentran publicados en forma de reportes. Las fuentes de datos secundarias pueden ser externas o internas. Las fuentes secundarias internas son aquellas en las cuales los reportes son el resultado del registro de las actividades de quien lleva a cabo la investigación, en cambio las fuentes secundarias externas son aquellas en las cuales los datos se encuentran en reportes o publicaciones realizados por entidades ajenas a quien o quienes realizan la investigación. Las principales fuentes secundarias de datos son los registros internos de la empresa y los reportes de datos de otras organizaciones o externos.

1. Registros internos de la organización: son fuentes secundarias de

datos y se refieren al conjunto de datos que se origina como resultado del registro continuo y sistemático de las actividades de una organización.

2. Reportes de datos externos: es un conjunto de datos que pueden ser de interés para dar respuesta a nuestras interrogantes y que han sido generado por organizaciones o entidades externas a quien realiza la investigación.

Los registros externos como fuente de información tienen las ventajas de que son de fácil acceso, tienen un costo más bajo que las demás fuentes de datos y además están disponibles en el momento requerido. Tienen la desventaja de que quien realiza la investigación no dispone de los mecanismos de control para garantizar la calidad y la confiabilidad de los



datos incluidos en los reportes, así como el formato y la cantidad de datos existentes no siempre se corresponde con los requeridos por el investigador.

1.4 VARIABLES Y SU CLASIFICACIÓN Una Variable es una característica que puede variar de un elemento a otro en la población estudiada. Ejemplos: peso corporal de las personas, tamaño las aulas universitarias, estatura de las personas, número de asignaturas cursadas por los estudiantes por semestre, etc. Las variables se dividen en dos grupos: Cualitativas y Cuantitativas Variables cualitativas: son aquellas variables que describen una cualidad o atributo en el elemento estudiado, estas variables responden la pregunta ¿cuál?, ejemplos de estas variables pueden ser: religión que profesan los dominicanos, partido político preferido, color de la piel, sexo de los y las estudiantes, raza, carrera estudiada, etc. Variables cuantitativas: son aquellas variables que describen una cantidad en el elemento estudiado. Las variables cuantitativas responden la pregunta ¿cuánto?, por ejemplo: número de estudiante por aula, venta diaria de una empresa, número de hijos por familia, estatura de los estudiantes que cursan estadística en este semestre, etc. Las variables cuantitativas se dividen en dos categorías: Continuas y discontinuas o discretas. Variables cuantitativas continuas: son aquellas variables cuantitativas cuyos resultados pueden expresarse en números fraccionarios o decimales. Estas variables provienen de un proceso de medición, por ejemplo el nivel de ingreso de las personas, consumo familiar, estatura de las personas, gasto diario de los estudiantes, etc. Variables cuantitativas discontinuas o discretas: son aquellas variables cuantitativas cuyos resultados se expresan en números enteros, es decir que no admiten valores decimales. Las variables cuantitativas discontinuas o discretas provienen de un proceso de conteo, por ejemplo número de asignaturas por estudiante, número de estudiantes por aula, número de personas que llega a un restaurante de comida rápida, etc. Obsérvese que las variables cuantitativas continuas pueden expresarse en número fraccionarios y las discretas o discontinuas se expresan en números enteros, por lo que, aunque en muchas ocasiones expresamos una variable en número enteros, no significa que sea discreta, por ejemplo, el gasto en transporte, mayormente lo expresamos en número entero, sin embargo, es una



variable continua, pues el resultado admite valores fraccionarios, pero el número de asignaturas cursada por ejemplo solo se expresa en número enteros pues no admite valores fraccionarios. 1.5 MEDICION Y ESCALA DE MEDICIÓN Daniel2 señala “cuando la mayoría de las personas escuchan o leen la palabra medición piensan en actividades tales como usar cintas métricas para determinar la longitud, anchura o circunferencia de algún objeto, pesar un objeto o persona, y determinar el volumen de alguna sustancia como cuando un cocinero mezcla las cantidades de ingredientes específicas de una receta. A la palabra medición, sin embargo, puede dársele una definición más científica que la acostumbrada” En efecto la medición va más allá de determinar cantidad, longitud, volumen o cualquier otra medida de interés. En el ámbito de la Estadística cuando nos referimos a medición llegamos un poco más profundo, así por ejemplo hablamos de la medición de la personalidad, de la medición de los niveles de tolerancia, los niveles de preferencia por un servicio o un producto, etcétera. Para el desarrollo de este curso enteremos por Medición al proceso mediante el cual se le asigna un numeral (número, letra o símbolo) a una variable. Por ejemplo si estamos realizando una investigación sobre las características de la población estudiantil podremos incluir variables como la edad, el sexo, el número de asignaturas cursadas el gasto diario, percepción sobre los servicios de la biblioteca, las asignaturas más preferidas y muchas otras variables. En cada una de estas variables tendremos una medición en cada uno de los elementos estudiados, así por ejemplo, para la edad nos referiremos a los años cumplidos y por lo tanto tendremos medidas numéricas, (23, 21, 19, 35,…..), para la variable sexo podríamos asignarle un número por ejemplo uno para masculino y dos para femenino o viceversa, pero de igual forma podríamos asignarle una letra, M para los masculinos y F para las femeninas o un símbolo para diferenciar cada sexo, de la siguiente manera ♂ para los masculinos y ♀ para las femeninas De igual forma para la variable número de asignaturas de registraría el número que representa la cantidad de asignaturas inscrita, por ejemplo, 3, 6, 5, 4,…… y par la variable gasto también se registraría el número que representa el monto del gasto diario, 100, 150, 60, 180, ……. y la variable relacionada con la percepción sobre los servicios de la biblioteca podemos asignarle una calificación desde cero a cinco, tomando el cero como una percepción de los

2 Wayne W., Daniel & James C. Terrell: “Estadística para Administración y Economía” Tomo I. Editora McGraw-Hill. 7ª. Edición. Junio 2000.



servicios como muy malos y cinco una percepción de que los servicios son excelentes. Para la variable relacionada con las asignaturas más preferidas, podríamos establecer un registro en orden de importancia, para que la persona estudiada nos diga en orden de preferencia cuales son las asignaturas preferidas, en tal sentido podríamos establecer el primer lugar para la más preferida, el segundo para la segunda más preferida y así, sucesivamente. Lo que se quiere señalar es que hay diferente forma en como podemos establecer la medición para una variable, es decir que hay diferente tipo de escala para medir una o múltiples variables, pudiendo entonces establecer una definición para la escala de medición. Escala de Medición: Es la forma en como se mide una variable, es decir que la escala de medición es el proceso mediante el cual se le asigna un numeral a cada variable. Existen cuatro tipos de escala de medición: nominal, ordinal, de intervalo y de razón o proporción. Escala Nominal: Es aquella escala de medición en la cual los numerales asignados a cada valor o atributo no representa ningún orden de jerarquía, de importancia o preferencia. En este tipo de escala los numerales solo se utilizan para identificar los valores o atributos de cada variable. Ej.: los numerales o códigos asignados a las variables cualitativas, los números asignados a los integrantes de un equipo béisbol, la matrícula estudiantil, etc. Escala Ordinal: Es aquella escala en la cual los numerales se asignan a cada variable de acuerdo a un orden de jerarquía, importancia o de preferencia. En este tipo de escala, cada numeral representa un tramo jerárquico, de preferencia o de importancia. Ej.: los códigos asignados a los cargos en una empresa, preferencia de un producto según su orden de importancia, el número asignado a las placas de los vehículos oficiales, etc. Tanto la escala ordinal como la nominal se usan en la medición de variables cualitativas. Escala de Intervalo: Es una escala cuantitativa cuya característica principal, es que no parte de un cero absoluto, es decir que el punto a partir del cual se empieza a medir es arbitrario. En este tipo de escala la presencia del cero como de medida de la variable no representa ausencia de la variable. Ej.: Las escalas usadas para medir la temperatura, la intensidad de un temblor de tierra, coeficiente inteligente, etc.

Escala de Razón o Proporción: Es una escala cuantitativa cuya característica principal es que el proceso de medición de inicia a partir de un cero absoluto, es decir, que la presencia del cero como medida de la variable significa la



ausencia de esta. A este tipo de escala corresponden la mayoría de las variables con que trabajamos a diario, ejemplo, peso corporal, tamaño de las personas, consumo familiar, ventas de una empresa, distancia recorrida, unidades producidas, distancia recorrida diariamente, etc.

1.6 PASOS DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA Cuando nos planteamos una interrogante sobre un tema en particular, nos vemos en la necesidad de buscar datos que nos proporcionen las informaciones necesarias para dar respuesta a dicha interrogante, este proceso de búsqueda de datos conlleva la realización de una investigación la cual requiere de cinco pasos fundamentales3: planeación, diseño de la investigación, recolección de datos, procesamiento y análisis y presentación de resultados. Figura no. 1: Pasos de una investigación

Aunque estos pasos pueden y varían atendiendo a los criterios del investigador en términos generales estos pasos representan el proceso lógico de una investigación aunque reciban diferentes nombres. A continuación se hace una descripción breve de cada uno de estos. 1. Planeación: Es la fase en la cual se definen los aspectos administrativo y operativos de la investigación. Esta fase comprende entre otras actividades, el establecimiento de los objetivos: general y específicos, alcance de la investigación, población de estudio, presupuesto necesario, cronograma de actividades y plan de análisis o resultados esperados.

2. Diseño del estudio: En esta fase se define y se diseña el instrumento de recolección de datos (cuestionario, entrevistas, observación, entre otros) y se

3 Ver a Lincoln L. Chao: “Estadística para las Ciencias Administrativas.” Tercera Edición. Editora McGraw-Hill

Diseño del Estudio

Análisis y presentación

Planeación

Recolección de datos

Procesa- miento



define además, la metodología a seguir para la aplicación del instrumento de recolección de datos. 3. Recolección de datos: Es la fase que requiere de más tiempo y consiste en la aplicación del instrumento de recolección de datos definido en el diseño del estudio de acuerdo a la metodología establecida. En esta fase la persona a cargo de la investigación y su equipo de trabajo se lanzan al terreno para recolectar los datos que una vez procesados darán respuestas a los objetivos de la investigación.

4. Procesamiento de datos: Es la fase en la cual se obtienen los cuadros y tablas, así como las medidas o indicadores estadísticas que permiten describir el comportamiento de la población estudiada, así como dar respuestas a los objetivos planteados en la fase de planeación. La fase de procesamiento de los datos conlleva cuatro actividades esenciales previas: Limpieza y organización de los datos, codificación, digitación y edición. La limpieza y organización de los datos se refiera al proceso mediante el cual se verifican la calidad de los datos obtenidos, se enumeran los instrumentos de recolección de datos utilizados, verificación del cumplimiento de las metas en cuanto a la cantidad y calidad. La codificación por su parte es la actividad que permite asignar un código numérico a cada respuesta del instrumento de recolección de datos. Esto se hace con la finalidad de facilitar el proceso de digitación. La digitación es el proceso mediante el cual los datos son introducidos al computador con el fin de que el procesamiento sea más eficiente. La edición por su parte es un proceso de verificación, es decir, con la edición de los datos verificamos que se haya digitado lo que realmente se ha respondido en el instrumento de recolección de datos.

5. Análisis y presentación de resultados: Es la fase es la cual se analizan los resultados obtenidos, estableciendo descripción de la población estudiada, comparaciones y asociaciones entre variables, inferencias muestrales, entre otras. En la fase de procesamiento y además se dan a conocer los resultados obtenidos en la investigación. Veamos un ejemplo relacionado con el proceso de investigación. En el semestre 2006-1 de la UASD, el trabajo final de un grupo de estudiantes fue medir el rendimiento, (tomando para ello el promedio de las calificaciones) de un grupo de estudiantes tanto en las escuelas públicas como en las escuelas privadas. De esta forma la población estaba definida, así como los objetivos del trabajo de investigación.



Como se podrán imaginar, el presupuesto era pequeño y no predeterminado, pero tengan por seguro que aquellas personas que no pasaron de curso se lo encontraron más costoso, pero bueno, ese no es el caso ahora. El instrumento de recolección de datos fue un cuestionario, el cual se muestra en la figura número dos y la metodología consistió en tomar una muestra de estudiantes de las escuelas públicas y otra muestra en colegios privados. El cuestionario utilizado como instrumento de recolección de datos se muestra en la figura número dos de la página siguiente. Figura no. 2. Instrumento de recolección de datos utilizado en el estudio

Universidad Autónoma de Santo Domingo Estudio sobre el rendimiento escolar Formulario de recolección de datos

1. Nombre y apellidos del estudiante __________________________ 2. Edad ______ 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante _____________________________ 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas ______ 8. Calificación en Español ______ 9. Calificación en Sociales ______ 10. Calificación en Naturales _____ La metodología consistió en tomar una muestra de treinta estudiantes de la escuela pública y treinta de la escuela privada. La fuente de datos utilizada fue el registro de cada estudiante en la escuela, procediendo a completar el instrumento de recolección de datos diseñado A continuación se presenta una muestra del instrumento de recolección de datos completado durante la tercera fase del estudio. Por conveniencia las respuestas se han subrayado de forma que se puedan identificar fácilmente. Nótese que los cuestionarios no están numerados y si lo estuvieran no representan una jerarquía o importancia, sino que el numeral asignado es una escala nominal.



Figura no. 3: Instrumentos de recolección de datos completados


1. Nombre y apellidos del estudiante Rodolfo Peña 2. Edad 15 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante: Con padre y madre 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 69 8. Calificación en Español 75 9. Calificación en Sociales 72 10. Calificación en Naturales 71


1. Nombre y apellidos del estudiante Raúl Arias 2. Edad 12 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante: con ambos padres 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 67 8. Calificación en Español 69 9. Calificación en Sociales 64 10. Calificación en Naturales 69


1. Nombre y apellidos del estudiante Paola Moción 2. Edad 10 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante Tía 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 80 8. Calificación en Español 78 9. Calificación en Sociales 76 10. Calificación en Naturales 80


1. Nombre y apellidos del estudiante: Yordi González 2. Edad 11 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante: con la madre 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 70 8. Calificación en Español 68 9. Calificación en Sociales 65 10. Calificación en Naturales 65

Universidad Autónoma de Santo Domingo

Estudio sobre el rendimiento escolar Formulario de recolección de datos

1. Nombre y apellidos del estudiante Ashley Ciprián 2. Edad 9 años 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante ambos padres 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 85 8. Calificación en Español 80 9. Calificación en Sociales 82 10. Calificación en Naturales 78


1. Nombre y apellidos del estudiante Vicente Mejía 2. Edad 13 años 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante con la madre 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 65 8. Calificación en Español 70 9. Calificación en Sociales 78 10. Calificación en Naturales 70




1. Nombre y apellidos del estudiante Cándida Beatriz 2. Edad 11 años 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante ambos padres 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 83 8. Calificación en Español 90 9. Calificación en Sociales 89 10. Calificación en Naturales 91


1. Nombre y apellidos del estudiante Manuel Fontana 2. Edad 10 años 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante con una tía 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 88 8. Calificación en Español 90 9. Calificación en Sociales 89 10. Calificación en Naturales 85


1. Nombre y apellidos del estudiante Charly Cepeda 2. Edad 13 años 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante ambos padres 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 77 8. Calificación en Español 78 9. Calificación en Sociales 83 10. Calificación en Naturales 78


1. Nombre y apellidos del estudiante Helena Parache 2. Edad 11 años 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante con ambos padres 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 77 8. Calificación en Español 72 9. Calificación en Sociales 81 10. Calificación en Naturales 65

Una vez agotada la tercera fase, la recolección de datos, nos dedicamos a cuarta fase, el procesamiento de los datos, recordando que esta fase incluye la organización, codificación, digitación y edición, para luego obtener los cuadros y tablas, así como las medidas estadísticas que nos permitan dar respuestas a los objetivos planteados. En el caso que nos ocupa para la organización podemos por ejemplo asignar un número a cada instrumento completado. Para la codificación, el trabajo se reduce significativamente, ya que el instrumento diseñado tiene cada pregunta pre-codificada, por ejemplo, para el sexo se le asigna el número uno a los de sexo masculino y el dos a las de sexo femenino, de igual forma a los y las estudiantes de escuelas públicas se le asigna el número uno y los y las de colegios privados el número dos. Sin embargo, en el caso de la pregunta relacionada a con quien vive el o la estudiante, es recomendable establecer un código numérico para las posibles respuestas, ya que en el instrumento esta es una pregunta abierta. Los códigos



asignados son: el número uno para los y as que viven con ambos padres, (padre y madre), el dos para los y las que viven solo con la madre, el tres para los y las que viven solo con el padre y el cuatro para los y las que viven con otro familiar. La importancia de asignar un código numérico es que el proceso de digitación se hace más eficiente y se cometen menos errores. Un ejemplo se muestra a continuación con los dos primeros instrumentos Figura no. 4: instrumentos de datos completados y codificados


No. 1 1. Nombre y apellidos del estudiante Rodolfo Peña 2. Edad 15 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante: 1 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 69 8. Calificación en Español 75 9. Calificación en Sociales 72 10. Calificación en Naturales 71


No. 2 1. Nombre y apellidos del estudiante Raúl Arias 2. Edad 12 3. Sexo: 1. Masculino 2. Femenino 4. Con quien vive el estudiante: 1 5. Tipo de escuela: 1. Pública 2. Privada 6. Condición del estudiante: 1. Promovido 2. Repitiente 7. Calificación en Matemáticas 67 8. Calificación en Español 69 9. Calificación en Sociales 64 10. Calificación en Naturales 69

Como se muestra en la figura anterior, a la derecha aparece el número asignado al instrumento y en la pregunta de con quien vive el o la estudiante se ha asignado como respuesta el número uno ya que en ambos casos los estudiantes viven con ambos padres. Para la digitación se podría colocar los datos en una matriz, colocando cada variable en las columnas y cada fila para los elementos estudiados. En este caso vamos a utilizar la hoja de cálculo de Excel para la digitación como se muestra en la figura número cinco. (Es preciso aclarar que existen numerosos programas en los que se puede hace la digitación, se ha elegido el Excel por la disponibilidad y facilidad del mismo)



Figura no. 5: Ilustración de la digitación en Excel

El proceso de edición de los datos sería imprimir los datos digitados y luego verificar si el proceso de digitación se ha hecho correctamente. Una vez que se ha realizado el proceso de digitación y edición de los datos, se procede a obtener los cuadros y tablas, así como las medidas estadísticas que nos permitan dar respuesta a los objetivos del trabajo de investigación, pero sobre este particular volveremos a tratarlo en los capítulos siguientes. 1.7 PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Una vez que se ha completado el proceso de investigación con el análisis de los resultados, el paso siguiente consiste en presentar dichos resultados a la entidad interesada. Para hacerlo existen cinco formas que describiremos brevemente a continuación:



1. Presentación oral: Cuando los resultados de la investigación se presentan en forma de discurso. Por ejemplo, muchas organizaciones, (empresas, partidos políticos, ONG`s, entre otras) convocan a una rueda de prensa o a un encuentro con el objetivo de dar a conocer los resultados de una investigación determinada. La presentación oral tiene la ventaja de que es fácil de preparar y su costo es bajo, sin embargo, presenta la desventaja de que quien recibe la información va olvidando los primeros datos en la medida en que se avanza con el suministro de información. 2. Presentación escrita: Es aquella en la cual los resultados de una investigación se presentan en un informe en forma de texto. La presentación de los resultados de una investigación presentados en un informe, requieren de una mayor formalidad y de un esfuerzo mayor. Un informe con los resultados de una investigación consta de seis partes esenciales.

2.1 Hoja y/o carta de presentación: en esta parte se presenta de manera

formal los resultados de la investigación.

2.2 Índice de contenido: en esta parte del informe se establece o describe la ubicación física de cada una de las partes contenidas en el informe.

2.3 Resumen ejecutivo: como lo indica su nombre, es un resumen que contiene los principales resultados de la investigación. Su objetivo fundamental es describir el comportamiento de la población estudiada de manera rápida y precisa sin adentrarse en detalles.

2.4 Cuerpo del trabajo: En esta parte se describen de manera detallada

todos los resultados de la investigación, incluye la presentación de cuadros, tablas, gráfico, descripción textual, así como el cálculo de medidas estadísticas.

2.5 Conclusiones: las conclusiones representan el juicio extraído de los

resultados de la investigación. Se refieren a los puntos a los cuales llega quien o quienes realizan el estudio después de analizar de manera detallada los resultados obtenidos. Las conclusiones dan respuestas a las interrogantes establecidas y a los objetivos planteados en la fase de planeación.

2.6 Recomendaciones: se refiere al conjunto de sugerencias o curso de

acción que se sugieren seguir a partir de los resultados de la investigación.



2.7 Anexos: en esta parte del informe se incluye toda información que sea relevante para el estudio que se realiza y que por alguna razón no se incluyó en el cuerpo del trabajo, por ejemplo cuadros, copia del o los instrumentos de recolección de datos utilizados, cronograma de actividades, fotografías, copias de artículos, de leyes, entre otros. 3) Presentación tabular: es aquella es la que los resultados de una investigación se presentan en forma de cuadros o tablas. Un cuadro o tabla estadística se compone de tres partes esenciales y una opcional. 3.1 Título: en este se detalla de manera clara, precisa y lo más corto

posible los datos incluidos en el cuadro. El título es de vital importancia a fin de edificar a la persona interesada sobre la información que se presenta en el cuadro o la tabla de que se trate.

3.2 Cuerpo o armazón: es un arreglo matricial, (arreglo de filas y

columnas) en el cual se detallan los datos especificados en el título. El cuerpo o armazón está compuesto de dos partes:

3.2.1 La columna principal, en la cual se describe la variable o las variables a presentar en el cuadro. 3.2.2 Las columnas secundarias, es las cuales se describen los valores relacionados a cada valor o atributo de la variable.

3.3 Fuente: es la parte del cuadro en la cual se específica el origen de los

datos presentados en dicho cuadro. La importancia de la fuente es que al informar sobre el origen de los datos descrito en la tabla, permite, de alguna manera, evaluar la calidad y confiabilidad de los mismos.

Nota aclaratoria: se utiliza para especificar cualquier detalle o aclaración referente a los datos incluidos en el cuadro. Por ejemplo, en el cuadro que se muestra a continuación se podría incluir una nota aclaratoria para indicar que solo se incluyen a los estudiantes que asistieron ese día a la clase o que incluye a otros “colados” de otra sección de la que se trate.

4) Presentación gráfica: es aquella en la cual los resultados de una investigación se presentan en forma de gráfico. La importancia de la presentación gráfica es que permite observar el comportamiento de una variable sin entrar en detalles, solo con observar el cuadro.

Cuadro No: Sexo de los estudiantes de Est-XXX, sección XX

SEXO No. % MASCULINO FEMENINO

9 25

26.5 73.5

TOTAL 34 100.0 Fuente: Clase 17/01/2004



Sex o de lo s e s tu d ia n tes de Es t-x x x , s e cc ión 0 0

26.5%

73.5%MASCULINO FEMENINO

Comparación mensual de su consumo

0

100

200

300

400

500

600

700

Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abr

Por ejemplo, al observar un recibo de la facturación de la electricidad, se muestra un gráfico como el que vemos a nuestra derecha, observamos como ha variado el consumo, si se ha consumido más o se ha consumido menos. Una presentación gráfica contiene los mismos elementos que un cuadro o tabla, es decir: título, cuerpo, fuente y nota aclaratoria. 5) Presentación Mixta: es aquella en la cual quien o quienes realizan la investigación utilizan para la presentación de los resultados del estudio dos o más formas de presentación de datos.

Fuente: clase del 7/01/2004



II. ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS 2.1 ORGANIZACIÓN SIMPLE El objetivo fundamental de la organización de los datos es conocer el comportamiento y las características de las variables estudiadas, sin una organización de los datos se hace un tanto difícil el análisis de los mismos. Supongamos que tenemos los datos relacionados con el rendimiento académico de 133 estudiantes y los mismos se muestran en el recuadro siguiente:

82.5 73.8 73.0 76.8 81.5 79.5 67.8 88.5 68.3 60.5 71.0 77.5 63.0 70.5 70.8 85.5 60.0 81.3 82.0 81.0 61.0 80.3 70.8 69.5 61.3 78.8 62.8 61.8 81.0 81.8 64.8 71.5 71.0 75.0 68.8 86.3 77.0 67.5 82.0 84.5 82.3 71.8 77.8 79.5 72.3 71.5 69.5 84.8 67.3 85.0 87.8 67.0 81.3 72.8 69.8 71.0 79.0 78.8 67.0 76.0 72.8 67.0 69.0 91.3 87.3 62.0 83.5 78.5 68.8 91.8 88.8 73.8 66.5 84.0 69.3 65.3 67.8 88.5 84.5 69.0 68.5 72.0 58.0 61.5 88.5 83.3 66.0 84.3 67.8 66.8 63.0 93.0 71.8 71.3 82.8 70.3 56.5 83.5 85.0 81.3 65.8 92.5 70.3 63.8 81.8 95.3 80.8 69.8 72.5 89.8 70.0 66.8 88.0 90.8 72.8 70.5 70.5 72.0 77.8 82.0 71.0 61.3 78.5 77.8 56.8 64.5 85.0 70.5 64.8 67.0 90.8 84.3 63.5

Como se puede observar, tenemos datos suficientes como para dar un diagnóstico sobre el rendimiento de los y las estudiantes, sin embargo, sin una organización esto se hace poco aplicable. Una forma sencilla de iniciar una exploración de los datos, para conocer sus características es organizando los mismos en orden ascendente como se ilustra a continuación. Este procedimiento no nos proporcionará mucha información sobre las características relevantes de la variable, nos permite conocer por ejemplo cual es el rendimiento mayor y el menor y permite además observar si existe un valor que se repita con una frecuencia mayor que los demás, etc.



56.5 65.3 69.0 71.0 76.8 81.3 84.8 56.8 65.8 69.0 71.3 77.0 81.3 85.0 58.0 66.0 69.3 71.5 77.5 81.5 85.0 60.0 66.5 69.5 71.5 77.8 81.8 85.0 60.5 66.8 69.5 71.8 77.8 81.8 85.5 61.0 66.8 69.8 71.8 77.8 82.0 86.3 61.3 67.0 69.8 72.0 78.0 82.0 87.3 61.3 67.0 70.0 72.0 78.5 82.0 87.8 61.5 67.0 70.3 72.3 78.5 82.3 88.0 61.8 67.0 70.3 72.5 78.8 82.5 88.5 62.0 67.3 70.5 72.8 78.8 82.8 88.5 62.8 67.5 70.5 72.8 79.0 83.3 88.5 63.0 67.8 70.5 72.8 79.5 83.5 88.8 63.0 67.8 70.5 73.0 79.5 83.5 89.8 63.5 67.8 70.8 73.8 80.3 84.0 90.8 63.8 68.3 70.8 73.8 80.8 84.3 90.8 64.5 68.5 71.0 75.0 81.0 84.3 91.3 64.8 68.8 71.0 75.0 81.0 84.5 91.8 64.8 68.8 71.0 76.0 81.3 84.5 92.5

Ahora podemos fijarnos una idea más acabada sobre el rendimiento de los y las estudiantes de las escuelas públicas y privadas, por ejemplo, observamos que más de un tercio tiene un rendimiento promedio inferior a los 70.0 puntos, que solo cinco de los 133 estudiantes estudiados tienen un rendimiento superior a 90.0 puntos y así sucesivamente. 2.2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Los datos que provienen de un censo, una encuesta por muestreo, diseño experimental y aquellos que provienen de fuente secundarias que no han sido agrupados o condensados, como por ejemplo la revisión de un expediente clínico, se presentan en la mayoría de los casos en una Distribución de frecuencia, ya sea para una o para múltiples variables. Una distribución de frecuencia es un arreglo matricial, (arreglo de filas y columnas) donde se presenta los valores o atributos de una variable y su respectivas frecuencias. Antes de entrar en detalles sobre los diferentes tipos de distribuciones de frecuencias, vamos a definir el concepto de frecuencia y los diferentes tipos de frecuencias. La Frecuencia, en términos estadísticos, se define como el número de veces que se repite un dato u observación. Por ejemplo, al observar el sexo de 50 estudiantes de un curso de Estadística, se observaron los datos que se presentan en la tabla siguiente



Tabla 1: Sexo de 50 estudiantes de un curso de Estadística

M F F F M F F M F F F F F M F F F F F M M F F F M M F M F F F F F F F F F F F F F F M F F F F F F M

Para estos datos, el dato masculino, (M) se repite 11 veces por lo tanto esa es su frecuencia y el dato femenino, (F) se repite 39 veces, que es su frecuencia. 2.3 TIPOS DE FRECUENCIA Existen cuatro tipos de frecuencias: la absoluta simple, la relativa simple, la absoluta acumulada y la absoluta relativa acumulada.

2.3.1 Frecuencia absoluta simple, (fi): se define como el número de veces que se repite un dato u observación. Comúnmente se le denomina con el nombre de frecuencia. Por ejemplo, en el cuadro anterior el dato masculino tiene una frecuencia absoluta simple de 11, mientras que el dato femenino presenta una frecuencia absoluta simple de 39.

2.3.2 Frecuencia absoluta acumulada, (FA): consiste en la suma continua y subsecuente de la frecuencia absoluta simple. La frecuencia absoluta acumulada expresa la cantidad de elementos que se encuentra por debajo de un valor específico. 2.3.3 Frecuencia relativa simple, (fr o %): consiste en expresar la frecuencia absoluta simple, (fi) como una proporción con aspecto al total de frecuencia. 2.3.4 Frecuencia relativa acumulada, (FRA o % acumulado): Expresa la frecuencia absoluta acumulada, (FA) como un porcentaje con respecto al total de frecuencia y representa la proporción de elementos que se encuentran por debajo de un valor determinado. La FRA se puede obtener de dos formas: a) Sumando de manera continua y subsecuente la frecuencia relativa simple. b) Dividiendo cada frecuencia absoluta acumulada entre el total de frecuencia. 2.4 Clase: Es un rango de valor en el cual se incluye un conjunto de datos que para fines de análisis se consideras homogéneos. Veamos un ejemplo sobre como se obtienen las diferentes frecuencias que conforma una distribución de frecuencia. Para la ilustración vamos a tomar la calificación obtenida por 50 estudiantes en una prueba parcial de Estadística, los datos se ilustran en la tabla número dos a continuación.



Tabla 2: Calificación obtenida por 50 estudiantes de Estadística en una prueba parcial

14 14 19 15 10 12 13 14 9 12 13 14 8 16 14 16 16 12 18 15 17 18 10 14 16 10 19 19 13 15 16 16 13 17 16 9 13 17 11 11 12 12 19 10 8 17 6 18 14 16

Para ordenar estos datos, lo primero que vamos a hacer es colocar en la primera columna la variable, en este caso la calificación obtenida, pero como puede tomar múltiple valores, se clasifica en cinco categorías, la primer, los/as que obtuvieron menos de 12 puntos, la segunda los/as estudiantes que obtuvieron entre 12 y menos de 14 puntos, la tercera los/as estudiantes que obtuvieron entre 14 y menos de 16 puntos, la cuarta clase está compuesta por los/as estudiantes que obtuvieron entre 16 y menos de 18 puntos y la quinta clase, está formada por aquellos/as estudiantes que obtuvieron entre 18 y 20 puntos. De esta forma, la primera columna queda como se ilustra a continuación:

Calificación ≤ 12.0

12.0 – 13.9

14.0 – 15.9

16.0 – 17.9

18.0 – 20.0

TOTAL El segundo paso es determinar la cantidad de estudiantes que cae dentro de cada una de estas categorías o clases. Para esto, sencillamente se cuenta en la tabla dos, la cantidad de calificaciones que está dentro de cada uno de los límites de cada categoría o clase. Para determinar la cantidad de datos en cada categoría o clase se puede hacer contando de manera directa cada valor o a partir de un proceso de conteo detallado, colocando una raya, un punto o un símbolo en cada categoría cada vez que aparece un valor que se corresponda con esta. Al observar los datos sueltos de la tabla dos, en la primera categoría, las calificaciones menores de 12 puntos, hay 11 estudiantes, con calificación



menor a 12 puntos. De igual forma se observa que hay 10 estudiantes con calificación entre 12 y menos de 14 puntos, igual cantidad, 10 estudiantes con calificación entre 14 y menos de 16 puntos. De igual forma se observa que hay 12 estudiantes con calificación entre 16 y menos de 18 puntos y finalmente, siete estudiantes con calificación entre 18 y 20 puntos. En la segunda columna de la distribución se coloca la frecuencia de cada clase o categoría, por lo que la tabla quedaría como se ilustra a continuación:

Calificación fi

≤ 12.0

12.0 – 13.9

14.0 – 15.9

16.0 – 17.9

18.0 – 20.0

11

10

10

12

7

TOTAL 50 A partir de esta frecuencia absoluta simple, se obtienen las demás frecuencias. La frecuencia relativa, por ejemplo se obtiene al dividir cada frecuencia absoluta entre el total de frecuencia. Si esta frecuencia se desea expresar como un porcentaje, entonces se multiplica por 100. La primera frecuencia relativa es [(11/50) x 100]= 22.0%, la segunda frecuencia relativa es [(10/50) x 100]= 20.0% y así sucesivamente, la tercera frecuencia relativa es [(10/50) x 100]= 20.0%, la cuarta frecuencia relativa es [(12/50) x 100]= 24.0% y la quinta y última frecuencia relativa de esta distribución es [(17/50) x 100]= 14.0% El resultado de calcular cada una de la frecuencia relativa se muestra en la tabla siguiente:

Calificación fi %

≤ 12.0

12.0 – 13.9

14.0 – 15.9

16.0 – 17.9

18.0 – 20.0

11

10

10

12

7

22.0

20.0

20.0

24.0

14.0

TOTAL 50 100.0

FRANKLYIN

Highlight



De igual forma, a partir de la frecuencia absoluta simple se obtiene la frecuencia absoluta acumulada. Esta frecuencia es el resultado de sumar las frecuencias absoluta simple de cada clase. En términos generales, la frecuencia absoluta acumulada de una clase o categoría en particular es igual a la frecuencia acumulada hasta la clase anterior más la frecuencia absoluta simple de la clase o categoría de que se trate. Así, la frecuencia absoluta acumulada de la primera clase o categoría es igual a frecuencia absoluta simple, para nuestro ejemplo, la frecuencia absoluta acumulada de la primera clase es igual a 12. La frecuencia absoluta acumulada en la segunda clase o categoría es la suma de la frecuencia acumulada en la primera clase más la frecuencia absoluta simple de la segunda clase, es decir (11 + 10)= 21. El procedimiento se sigue de manera similar hasta determinar la frecuencia acumulada para cada clase o categoría. De esta forma la frecuencia acumulada de la tercera clase es igual a la frecuencia acumulada de la segunda clase más la frecuencia absoluta simple de la tercera clase, en este caso (21 + 10)= 31, la frecuencia acumulada de la cuarta clase es igual a la frecuencia acumulada hasta la tercera clase más la frecuencia absoluta simple de la cuarta, esto es (31 + 12)= 43 y la frecuencia acumulada de la quinta clase o es igual a la frecuencia acumulada hasta la cuarta clase más la frecuencia simple de la quinta clase, es decir (43 + 7)= 50. El resultado de las sumas se muestra en la tabla siguiente:

Calificación fi % FA

≤ 12.0

12.0 – 13.9

14.0 – 15.9

16.0 – 17.9

18.0 – 20.0

11

10

10

12

7

22.0

20.0

20.0

24.0

14.0

11

21

31

43

50

TOTAL 50 100.0 Una vez que se ha determinado la frecuencia absoluta acumulada el siguiente paso es calcular la frecuencia relativa acumulada o porcentaje acumulado. Este porcentaje puede obtenerse de dos formas, o se acumula la el porcentaje simple o se divide cada frecuencia absoluta acumulada entre el total. El procedimiento de acumular el porcentaje simple, simplifica los cálculos. El porcentaje acumulado de la primera clase es igual porcentaje simple de la misma. Para nuestro ejemplo, el porcentaje acumulado de la primera clase o

FRANKLYIN

Highlight



categoría es igual a 22.0%. El porcentaje acumulado en la segunda clase o categoría es la suma del porcentaje acumulado en la primera clase más el porcentaje simple de la segunda clase, es decir (22.0 + 20.0)= 42.0%. Al igual que en la frecuencia absoluta acumula, procedimiento se sigue de manera similar hasta determinar la porcentaje acumulado para cada clase o categoría. De esta forma la porcentaje acumulado de la tercera clase es igual al porcentaje acumulado de la segunda clase más el porcentaje simple de la tercera clase, en este caso es (42.0 + 20.0)= 62.0%, el porcentaje acumulado de la cuarta clase es igual al porcentaje acumulado hasta la tercera clase más el porcentaje simple de la cuarta, esto es (62.0 + 24.0)= 86.0% y el porcentaje acumulado de la quinta clase o es igual al porcentaje acumulado hasta la cuarta clase más el porcentaje simple de la quinta clase, es decir (86.0 + 14.0)= 100.0%. El resultado de las sumas se muestra en la tabla siguiente:

Calificación fi % FA FRA

≤ 12.0

12.0 – 13.9

14.0 – 15.9

16.0 – 17.9

18.0 – 20.0

11

10

10

12

7

22.0

20.0

20.0

24.0

14.0

11

21

31

43

50

22.0

42.0

62.0

86.0

100.0

TOTAL 50 100.0

Una vez que han calculado las frecuencias se procede a completar el cuadro de manera adecuada, es decir, poner el título, se elimina la columna del conteo, (si se ha incluido), y se coloca la fuente de los datos.

Cuadro No : Calificación de 50 estudiantes de un curso de estadística en una prueba parcial Calificación fi % FA FRA

≤ 12.0

12.0 – 13.9

14.0 – 15.9

16.0 – 17.9

18.0 – 20.0

11

10

10

12

7

22.0

20.0

20.0

24.0

14.0

11

21

31

43

50

22.0

42.0

62.0

86.0

100.0

TOTAL 50 100.0 Fuente: Tabla 2



2.5 TIPOS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA Para agrupar los datos existen tres tipos de distribución de frecuencia, la cuales se utilizarán de acuerdo al tipo de datos que estemos tratando. 2.5.1 Distribución de frecuencia para datos cualitativos: cuando se tienen datos cualitativos, el procedimiento se simplifica, pues solo se requiere colocar las diferentes categorías de la variable y la frecuencia asociada con dada una de ellas, como se muestra en el ejemplo siguiente:

Cuadro No.: Personas con quienes viven los/as estudiantes de las escuelas públicas y de la privadas

Con quien vive fi % Ambos padres 106 79.7 Con la madre 15 11.3 Con el padre 5 3.8 Otro familiar 7 5.3 Total 133 100.0 Fuente: Estudio de mayo del 2006

2.5.2 Distribución Frecuencia Simple o Tipo I: es un tipo de distribución de frecuencia que se utiliza para presentar una variable cuantitativa discreta, cuyo rango de valor sea menor o igual de diez. Es decir se utiliza para variables cuantitativas discretas que toman pocos valores diferentes. Ejemplos de estas variables son número de hijos/as por familia, número de asignaturas cursadas por los estudiantes de la UASD, número de cursos realizados por los empleados y empleadas de una empresa, entre otros. Ejemplo: Se les preguntó a cincuenta profesores sobre el número de estudiantes reprobados que tenía en su curso, los datos son: Tabla 3: Número de estudiantes reprobados/as por curso

3 1 4 5 3 2 2 4 2 2 5 4 2 4 5 3 2 3 3 1 3 5 3 1 2 2 4 2 1 0 2 4 4 5 4 3 1 2 3 1

El dato menor que aparece en los datos es el valor cero y el mayor es el cinco de forma tal que esta variable en esta muestra toma seis valores diferentes: cero, uno, dos, tres, cuatro y cinco. Para organizar los datos en una distribución de frecuencia simple o tipo I colocamos los diferentes valores de



la variable en la primera columna y luego se cuenta el número de veces que se repite cada dato, como se muestra en la distribución de frecuencia siguiente:

Cuadro No.: Cantidad de estudiantes reprobados/as por curso # de estudiantes fi. % FA % Acum.

0 1 2.5 1 2.5 1 6 15.0 7 17.5 2 11 27.5 18 45.0 3 9 22.5 27 67.5 4 8 20.0 35 87.5 5 5 12.5 40 100.0

Total 40 100.0 Fuente: Encuesta a 40 profesores noviembre 2006

2.5.3 Distribución Frecuencia con Clase o Tipo II: Este tipo de distribución se utiliza para variables cuantitativas continuas y para aquellas variables cuantitativas discretas, cuyo rango de valor sea mayor de diez. Siempre que se trate de datos cuantitativos continuos se hace necesario el uso de este tipo de distribución. La razón para ello es que los datos cuantitativos continuos pueden diferir uno del otro por milésima de datos, lo que, de tener los diferentes valores con sus respectivas frecuencias se podría tener tantas clases como valores individuales se tenga, perdiéndose de esta manera la esencia de la agrupación de los datos, “proporcionar información sobre las características de las variables estudiadas” Un ejemplo de este tipo de distribución de frecuencia se muestra a continuación

Cuadro No : Calificación de 50 estudiantes de un curso de estadística en una prueba parcial Calificación fi % FA FRA

≤ 12.0

12.0 – 13.9

14.0 – 15.9

16.0 – 17.9

18.0 – 20.0

11

10

10

12

7

22.0

20.0

20.0

24.0

14.0

11

21

31

43

50

22.0

42.0

62.0

86.0

100.0

TOTAL 50 100.0 Fuente: Tabla 2

2.6 Pasos para construir una distribución de frecuencia con clase.



Los pasos que se presentan a continuación son solo una guía de cómo organizar los datos en una distribución de frecuencia con clase, puesto que la forma de presentar los datos muchas veces depende de lo que se quiera mostrar en la distribución. Pero cuando no se tiene una idea de cómo agrupar los datos, los siguientes pasos son una buena guía y estos pasos son: 1. Calcular el rango de la variable: El rango de una variable se define como la

diferencia entre dato mayor y el dato menor y el mismo indica los diferentes valores posibles que puede tomar la variable

RV = Xmayor - Xmenor

2. Calcular el intervalo o ancho de la clase: El intervalo o ancho de la clase es la diferencia que existe entre el límite inferior y el límite superior de cada clase y el mismo se puede obtener por tanteo o se puede establecer de acuerdo a los objetivos de quien está presentado la información. Una forma de obtener el intervalo de cada clase es a partir de la regla sugerida por Sturges4 la cual establece que el ancho o intervalos de clases en una distribución de frecuencia puede aproximarse a partir de la siguiente fórmula:

)log322.3(1 nxRVÏ

, n representa el total de datos o tamaño de la muestra

A partir de esta fórmula se obtiene un intervalo de igual dimensión para todas las clases lo que facilita el análisis. 3. Establecer los límites de cada clase: para establecer los límites de cada clase o intervalo, se inicia con el dato menor y se le suma el intervalo y así se continúa hasta llegar al dato mayor observado. Es importante tener en consideración que los límites se deben establecer de forma excluyentes, esto es, que los valores en los límites no deben ser iguales, por ejemplo, si una clase va de 30 a 40, como el 40 no va incluido en esa clase lo aconsejable es establecer como limite superior el resultado de la suma disminuido en una unidad, lo que nos daría una clase con los siguientes límites; 30 a 39, así, la siguiente clase iniciaría con 40 y de esta forma los valores del límite superior de una clase y el inferior de la siguiente no van a ser iguales. Este procedimiento ayuda a que quien lea u organice la información no tenga dudas sobre donde colocar por ejemplo el 40, además de que este procedimiento facilita un mayor entendimiento del comportamiento de los datos.

4 Herbert A. Sturges: “The Choice of a Class Interval”, Journal of the American Statistical Association. Marzo 1926



4. Realizar el conteo y establecer las frecuencias: El conteo consiste es determinar cuantos valores de la variable pertenecen a cada clase o intervalo

Ejemplo: 1. Los datos que se muestran a continuación representan las edades de un grupo de 40 personas que asistieron al estreno de una película

21 24 33 29 35 26 26 25 44 32

40 21 31 28 20 26 21 33 32 41

22 20 22 23 43 50 47 45 26 38

26 22 24 39 38 35 20 46 20 25

A partir de los datos desarrolle las siguientes preguntas:

a) Construir una distribución de frecuencia b) Determinar el porcentaje de personas que tiene menos de 30 años c) Interprete el resultado de la frecuencia relativa simple de la tercera clase d) Interprete el resultado de la frecuencia relativa acumulada de la quinta

clase. e) ¿Qué porcentaje de las personas que asistieron al curso de estadística

tiene menos de 38 años? Iniciamos con los cinco pasos para construir una distribución de frecuencia con clase: 1. Rango de la variable:

RV = Xmayor - Xmenor

RV = 50 – 20 RV = 30

2. )log322.3(1 n

RVÏ

575.43221.630

3221.5130

)6021.1322.3(130

)40log322.3(130

Ï

3. Establecer los límites de cada clase: recordemos que para la primera

clase se suma el intervalo al dato menor y así sucesivamente, como se muestra a continuación:



EDAD 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-50

Obsérvese que la primera clase inicia con el 20 que es el dato menor y termina en 24 ya que el intervalo de la distribución es de cinco. El lector podrá preguntarse porque la primera la clase no termina en 25 que es resultado de sumar el intervalo al dato menor y la respuesta es que el 20 como dato menor va incluido en el intervalo de la clase y si contamos teneos 20, 21, 22, 23 y 24 que son los cinco valores del intervalo. 4. Por último establecemos la frecuencia de cada de una de las clases. Un procedimiento recomendado es hacer un conteo, tomando en consideración los límites de cada clase. Así por ejemplo, si tomamos los valores de la primera columna observamos que estos son: 21, 40, 22 y 26 por lo que el primer valor corresponde a la primera clase porque es un valor que esta entre 20 y 24, el segundo valor corresponde es el 40 y corresponde la quinta clase que va de 40 a 44, el tercer valor es 22 y corresponde a la primera clase porque este valor está entre 20 y 24 y el cuarto valor es el 26 y pertenece a la segunda claro porque este valor esta entre 25 y 29 que son los límites de esta clase. Este procedimiento se sigue hasta incluir todos los valores de la variable en la clase o intervalo correspondiente. El resultado de dicho proceso se muestra a continuación: Cuadro No.: Edad de las personas que asistieron al estreno de la película.

EDAD fi % FA % Acum. 20-24 13 32.5 13 32.5

25-29 9 22.5 22 55.0

30-34 5 12.5 27 67.5

35-39 5 12.5 32 80.0

40-44 4 10.0 36 90.0

45-50 4 10.0 40 100.0

Total 40 100.0 Fuente: Encuesta hecha a los/as asistentes al cine



b) Determinar el porcentaje de personas que tiene menos de 30 años: Como se muestra en la tabla anterior menor a 30 años hay un 55.0% que son las personas que tienen entre 20 y 24 años y las que tienen entre 25 y 29 años. c) Interprete el resultado de la frecuencia relativa simple de la tercera clase: La tercera clase es la que va de 30 a 34 y el resultado indica que el 12.5% de las personas que asistieron al estreno de la película tienen entre 30 y 34 años. d) Interprete el resultado de la frecuencia relativa acumulada de la quinta clase. El resultado de la frecuencia relativa acumulada de la quinta clase es 90.0% y el mismo indica que el 90.0% de las personas que asistieron al estreno de la película tienen 44 años o menos. También se puede decir, que el 90.0% de las personas que asistieron al estreno de la película tienen menos de 45 años. e) ¿Qué porcentaje de las personas que asistieron al estreno de la película tiene menos de 38 años? Como el 38 no aparece en ninguno de los límites, se hace necesario determinar en los datos sueltos cuantas personas tienen menos de 38 años y esta cantidad la dividimos entre el total y se multiplica por 100 para determinar el porcentaje. Para este caso tenemos un total de 29 personas con menos de 38 años, luego el porcentaje de persona con menos de 38 años es de (29/40)*100, es decir 72.5% Ejercicios para el aula 1. El tamaño de un grupo de viviendas, expresado en ciento de m2, se muestra en la tabla siguiente. 26 36 33 19 28 26 20 22 8 30 30 20 5 34 20 25 29 40 17 32 20 6 18 31 19 4 19 32 20 17 6 28 a) Construir una distribución de frecuencia. b) ¿Qué por ciento de las viviendas tienes un tamaño inferior a los 25 m2? c) ¿Qué por ciento de las viviendas tiene un espacio mayor a 30 m2? d) Interpretar el resultado de la cuarta clase de la frecuencia relativa

acumulada. e) Interpretar el resultado de la frecuencia relativa simple de la tercera clase.



2. Los datos que se presentan a continuación representan el índice de calificación de un grupo de estudiantes de preparatoria. 2.75 3.53 2.42 3.00 3.85 3.71 2.25 2.96 3.00 3.00 3.50 3.06 3.09 2.22 2.47 3.20 3.02 2.00 2.05 3.60 a) Construir una distribución de frecuencia con cinco clases. b) Interpretar el resultado de la frecuencia relativa simple de la tercera clase. c) Interpretar el resultado de la frecuencia absoluta acumulada de la cuarta

clase. d) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene un índice de calificación menor a 3.00

puntos? 3. La escolaridad de 35 padres de familia (expresado en años de educación) se presenta como sigue. 14 16 13 14 16 12 12 13 12 15 16 14 16 17 16 16 13 12 15 12 16 14 12 12 15 14 13 17 13 14 16 12 15 16 18 a) Organice los datos en una distribución de frecuencia. b) ¿Qué porcentaje de padres de familia, tiene menos de 15 años de

educación? c) ¿Qué porcentaje de padres de familia tiene 12 años de educación? 4. El ingreso quincenal, en cientos de RD$ de un grupo de empleados de la empresa K.G. se muestra en los datos siguientes. 24 44 38 22 29 27 48 31 30 27 21 37 42 39 38 16 32 28 60 10 23 12 17 24 18

a) Organice los datos en una distribución de frecuencia con un intervalo de

RD$10. b) ¿Qué porcentaje de los empleados ganan menos de $20? c) ¿Qué porcentaje gana entre 30 y 40? d) Interpretar el resultado de la frecuencia relativa simple de la segunda clase. 5) El área de estudio de un grupo de 30 estudiantes se presenta a continuación. 1. Administración 11. Indeciso 21. Administración 2. Economía 12. Indeciso 22. Computación 3. Contabilidad 13. Economía 23. Mercadeo 4. Contabilidad 14. Mercadeo 24. Economía 5. Mercadeo 15. Indeciso 25. Indeciso 6. Economía 16. Administración 26. Administración 7. Mercadeo 17. Economía 27. Computación



8. Administración 18. Mercadeo 28. Mercadeo 9. Mercadeo 19. Indeciso 29. Economía 10. Economía 20. Computación 30. Mercadeo

a. Construir una distribución de frecuencia. b. Calcular el porcentaje de estudiante por área de estudio.



2.7 TABULACIÓN CRUZADA También se le llama tabla de doble entrada y se utiliza para presentar dos o más variables en un solo cuadro. La Tabulación Cruzada proporciona una descripción básica de la interrelación que hay entre las variables que se tabulan en el cuadro, de igual forma ayuda a buscar patrones de interacción siempre que la frecuencia de cada celda represente un número significativo con respecto al total. Para realizar un cuadro de doble entrada se sigue el mismo procedimiento que para construir una distribución de frecuencia con una variable. Es decir que se debe tomar en consideración las variables a incluir en el cuadro de doble entrada, (cualitativa o cuantitativa y en el caso de las variables cuantitativas, se debe tomar en cuenta si estas son continuas o discontinuas). 2.7.1 TABULACIÓN CRUZADA PARA DOS VARIABLES Para la construcción de un cuadro de doble entrada con dos variable, se coloca una de las variables en la primera columna o columna principal y la otra variable en la primera fila, de forma tal que se forme una celda común para cada una de las categorías de las variables incluidas. La variable que se coloca en la primera fila generalmente es aquella que tienen un mayor número de categorías. Para ilustrar lo que se ha dicho, suponga que estamos interesados en conocer la relación que existe entre dos variables, digamos X e Y. Suponga además que la variable X tiene cinco categorías, X1, X2, X3, X4 y X5 y que la variable Y tiene tres categorías, Y1, Y2, Y3, si queremos presentar estas dos variables en un solo cuadro, el cuadro tendría la forma siguiente:

Yi Xi Y1 Y2 Y3

TOTAL

X1 C11 C12 C13 Total X1 X2 C21 C22 C23 Total X2 X3 . . . . X4 . . . . X5 C51 C52 C53 Total X5

TOTAL Total Y1 Total Y2 Total Y3 Total

general El cuadro indica dos renglones para el total, esto es debido a que estamos presentando solo dos variables, así, en el total de la última fila representa el



total de cada columna, mientras que el total de la última columna representa el total de cada fila del cuadro. En las celdas que se forman, se colocarán los datos que tienen las dos características del cuadro. Por ejemplo, en la celda C11, se colocan los elementos que son comunes a X1 y a Y1, en la columna C12 se colocan los elementos que son comunes a X1 y a Y2 y así sucesivamente. Ejemplo: Se evaluó el sexo y la calificación final de treinta estudiantes de una escuela primaria para conocer la relación entre la calificación en matemáticas y el sexo de los/as estudiantes. Los datos se muestran en la tabla siguiente.

No. Sexo Calif. No. Sexo Calif. No. Sexo Calif. 1 Masc. 68 11 Masc. 70 21 Fem 87 2 Fem 86 12 Fem 91 22 Masc. 76 3 Masc. 74 13 Masc. 72 23 Masc. 81 4 Masc. 72 14 Fem 70 24 Masc. 77 5 Masc. 72 15 Masc. 65 25 Fem 77 6 Fem 85 16 Fem 82 26 Masc. 73 7 Fem 66 17 Fem 68 27 Fem 60 8 Fem 79 18 Masc. 86 28 Masc. 60 9 Masc. 70 19 Masc. 71 29 Masc. 71

10 Masc. 72 20 Fem 82 30 Masc. 73 Para este caso tenemos dos variables, una variable cuantitativa, (calificación matemática) y una cualitativa, (sexo de los/as estudiantes). La variable sexo tiene dos categorías, masculino y femenino, y la calificación en matemática es continua y su rango es mayor de 10 por lo tanto hay que hacer una distribución con clases. Para ello vamos a dividir esta variable en cuatro categorías, los estudiantes con menos de 70 puntos, los que tienen entre 70 y 80 puntos, los que tienen entre 80 y 90 y los que tienen 90 o más puntos. Luego de esta clasificación el cuadro queda como se ilustra a continuación: Como se muestra en el cuadro siguiente, el primer alumno es de sexo masculino y tiene una calificación de 68 puntos, por lo tanto se coloca en la columna de masculino y en la primera fila, ya que aquí de colocan los que tienen calificación entre 60 y 69 puntos. El segundo estudiante es una estudiante y tiene una calificación de 86 puntos, por lo tanto se coloca en la columna de sexo femenino y en la tercera fila, ya que aquí se deben colocar los estudiantes que tienen entre 80 y 89 puntos. El tercer estudiante es sexo masculino y tiene una calificación de 72 puntos, por lo que se coloca en la columna de masculino y en la segunda fila, ya que en



esta se colocan los estudiantes con calificación entre 70 y 79 puntos. El procedimiento se continúa hasta tabular los datos de la tabla como se ilustra a continuación

Sexo Calificación Masculino Femenino

Total

60 - 69 /// /// 70 - 79 ///////////// /// 80 - 89 // /////

90 - 100 / Total

Luego del conteo de las frecuencias, los datos son

Cuadro No. Calificación en matemáticas y sexo de los estudiantes

Sexo Calificación

Masculino Femenino Total

60 - 69 3 3 6 70 - 79 13 3 16 80 - 89 2 5 7

90 - 100 0 1 1 Total 18 12 30

Fuente: Registro de la escuela

Preguntas

1. Determinar el porcentaje de estudiante por sexo 2. Calcular el porcentaje de estudiantes con menos de 80 puntos 3. De los que tienen menos de 90 puntos, ¿qué porcentaje es femenino? 4. Del grupo femenino ¿qué porcentaje tiene menos de 90 puntos? 5. Que porcentaje de estudiantes tiene entre 80 y 89 puntos

Ejercicio: Con los datos que se presentan en la tabla siguiente crear un pequeño reporte indicando la relación entre el rendimiento académico y el sexo de los estudiantes, entre el número de asignatura por sexo, así como el gasto en transporte por sexo y número de asignaturas cursadas. Finalmente incluya un pequeño análisis de la relación entre la edad de los estudiantes y el número de asignaturas cursadas.



Para el índice académico divida esta variable en tres categorías, los que tienen menos de 75 puntos, los que tienen entre 75 y 80 puntos y los que tienen más de 80 puntos. En el caso del número de asignaturas, divídala en tres categorías, los que cursan menos de cuatro asignaturas, los que están cursando cuatro asignaturas y los que cursan más de cuatro. Para la edad divida esta variable en tres categorías, los que tienen entre 20 y 23 años, los que están entre 24 y 27 años y los que tienen de 28 y más años. En el caso del gasto en transporte haga una división en categorías, si lo considera necesario y ser así, divida la variable a su conveniencia.

Datos personales de 30 estudiantes de Informática

No. EDAD SEXO # DE ASIG.

INDICE ACAD.

GASTO EN TRANSP.

1 22 M 3 80.0 20 2 24 F 3 77.8 50 3 23 M 4 75.6 60 4 25 M 5 74.6 30 5 21 M 3 82.1 30 6 25 F 3 74.3 50 7 22 M 3 77.7 40 8 21 F 6 80.1 40 9 28 F 3 70.3 40

10 28 F 4 70.3 40 11 29 M 5 73.5 40 12 25 F 3 74.3 20 13 20 M 4 79.8 40 14 30 F 2 73.3 20 15 28 F 3 81.5 40 16 24 F 4 74.4 40 17 28 F 3 78.6 40 18 24 F 6 76.7 40 19 21 F 4 77.7 20 20 24 M 3 79.4 20 21 35 M 2 75.7 40 22 21 F 4 83.0 40 23 24 M 3 81.2 50 24 22 F 3 76.8 60 25 21 F 4 80.7 30 26 26 F 3 70.8 50 27 25 F 4 71.3 20 28 24 M 5 74.9 80 29 29 M 3 82.6 30 30 25 F 5 80.6 20

FUENTE: ENCUESTA EN EL AULA EST-211 SEC-01. 24/02/2007.

apuntes sobre estadistica_junio 2010

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