PROBABILIDAD

Definiciones:- Experiencia Aleatoria: es aquella cuyo resultado depende del azar: ( lanzto de

un dado, una moneda, extraer una bola, una carta, etc.)- Espacio Muestral: E es el conjunto de todos los resultados posibles de una

experiencia aleatoria.En el lanzto de un dado . En el lanzto moneda

- Suceso. Es cualquier subconjunto de E.En el lanzto de un dado: “ sacar un nº par”, “sacar un múltiplo de 3”, “sacar un 1 ó 6 “ son sucesos.

o Los elementos de E son los Sucesos Elementales.o es el suceso imposible: Nunca ocurre.o E es el suceso seguro: Siempre ocurre.

- Operaciones con Sucesos:o UNIÓN: o INTERSECCIÓN:

o DIFERENCIA:

- Complementario de A es el suceso A’ =E-A , también se llama contrario de A y se verifica cuando no se verifica A.

- Sucesos Incompatibles: A y B se dicen incompatibles si .

Propiedades de las Operaciones con Sucesos:

DISTRIBUTIVAS:

DE SIMPLIFICACIÓN:

COMPLEMENTARIO: (A’)’ = A

Probabilidad:El resultado de una experiencia aleatoria depende del azar: no puede predecirse.

Sin embargo, si repetimos la experiencia N veces, cuando el número de repeticiones tiende a infinito ( ) , la frecuencia relativa de un suceso S se aproxima a un número al que llamaremos probabilidad de S.

(Ley de los Grandes Números)

La probabilidad es una función tal que a cada suceso le hace corresponder un número y que debe cumplir los siguientes :

AXIOMAS: para cualquier suceso S Si P(E)=1

1

Cualquier función P que cumpla estos axiomas se dice que es una función de probabilidad. Además, se cumplen los siguientes Teoremas:

1.2. P() = 03. Si 4. Si 5. Si son sucesos incompatibles dos a dos

6. En general, 7. Si E es un espacio muestral finito y un suceso entonces,

En la práctica, para asignar la probabilidad a un suceso:a) Se repite la experiencia un número elevado de veces y se toma un valor

aproximado de la frecuencia relativa o bien,a) Si todos los sucesos son equiprobables, puede aplicarse la Ley de

Laplace :

Experiencias compuestas: Son las formadas por varias experiencias simples:Ejemplos: - Lanzar una moneda y un dado

- Lanzar dos dados = lanzar uno y luego el otro.- extraer dos cartas de una baraja:

Con reemplazamiento: extraer una carta, devolverla y extraer otra.

Sin reemplazamiento: extraer una carta y, sin devolverla, extraer otra. Es igual que sacar dos cartas a la vez.

Pueden ser:Experiencias Independientes: El resultado de una no influye en la otra.

La probabilidad de que ocurra S1 en la primera y S2 en la segunda se calcula:P(S1 en 1ª y S2 en 2ª)=P(S1 en 1ª) . P(S2 en 2ª)

Ejemplos:o Probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga un 6 en el primero y

“par” en el segundo:

P(6 en 1º y par en 2º) = P(6 en 1º) . P(par en 2º) =

o Probabilidad de que al extraer con reemplazamiento dos cartas de una baraja sean dos ases:

P(As en 1ª y As en 2ª) = P(As en 1ª) . P(As en 2ª) =

Experiencias Dependientes: El resultado de una influye en la otra.La probabilidad de que ocurra S1 en la primera y S2 en la segunda se calcula:

2

P(S1 en 1ª y S2 en 2ª)=P(S1 en 1ª) . P(S2 en 2ª suponiendo que ocurrió S1 1ª)Ejemplo:

o Probabilidad de que al extraer, sin reemplazamiento, dos cartas de una baraja sean dos ases:

P(As en 1ª y As en 2ª) = P(As en 1ª) . P(As en 2ª suponiendo que la 1ª fue AS) =

Probabilidad condicionada:Dados dos sucesos A y C, se llama probabilidad de A condicionada a C y se

escribe P(A|C) a la probabilidad de que ocurra el suceso a sabiendo que ha ocurrido el suceso C. Mide la proporción de veces que ocurre A de entre las veces que ocurre C.

Es decir:

o bien

Def: Dos sucesos A y C son independientes si y .

Luego, para los sucesos independientes será:

Probabilidad total:

Dados n sucesos incompatibles dos a dos y tales que su unión sea el espacio muestral:Es decir: y

Para cualquier suceso S se cumple que :

3

A1A3

A4

A2

S

Probabilidad Total en el caso de pruebas sucesivas: consideramos dos etapas:

En la primera etapa pueden darse n posibilidades diferentes: A1, A2, .......An,

incompatibles dos a dos. Es decir, si ocurre una no ocurre la otra. El suceso S es una de las posibilidades de la segunda etapa.

1ª Etapa 2ª Etapa

Probabilidad a posteriori: Fórmula de Bayes.

En las mismas condiciones de pruebas sucesivas, como resulta:

4

An

P(S/An)

A2

P(S/A2

A1

P(S/A1)

P(A1)

P(A2)

P(An)S

S

S

P(S)