apuntes de probabilidad y estadc3adstica

8/17/2019 Apuntes de Probabilidad y Estadc3adstica

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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO

INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 50

PROBABILIDAD YESTADÍSTICA

abril 1

2015

Se sugiere al aspirante que trabaje arduamente en el desarrollo de las

actividades de aprendizaje, busque en otras fuentes de información, además

del presente material, busque la retroalimentación del profesor y recuerda

que para llegar a la meta necesitaras constancia y dedicación al 100% a tus

estudios de bachillerato.

CUADERNILLODE TRABAJO


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Cbtis No. 50 Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)

1

PROBABILIDAD

Competencia: Conocer y aplicar los axiomas y teoremas de probabilidad en lasolución de problemas.

INTRODUCCIÓN

Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, algo sí es seguro, en algúnmomento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia esto tendrá quehacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones. Por ejemplo,los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una acciónen particular, con base en sus expectativas sobre rendimientos futuros. Losempresarios al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbresobre la posibilidad de éxito. En cada caso, como sucede con la mayoría de losasuntos comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la informaciónpertinente.

Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma dedecisiones incrementa enormemente la probabilidad de que se tomendecisiones más inteligentes y bien informadas. El propósito de esta unidad esilustrar las formas en las cuales puede medirse la posibilidad o probabilidad deocurrencia de eventos futuros.

2.1 TÉCNICAS DE CONTEO

En este tema se presentarán cuatro métodos, combinaciones, permutaciones,

escogencia múltiple y multiplicación, para determinar sin enumeración directael número de resultados posibles de un experimento particular o el número deelementos de un conjunto particular.

2.1.1 Principio fundamental del conteo

Si un evento puede realizarse de1

n maneras diferentes, y si, continuando el

procedimiento, un segundo evento puede realizarse de 2

n maneras diferentes,y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de

3n maneras

diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los

eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

3 21

nnn (II.1)

Ejemplo 2.1 Supongamos que una placa de automóvil consta de dos letrasdistintas seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero.¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse?


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2

Solución: La primer letra puede colocarse de 26 maneras diferentes(supuesto el alfabeto de 26 letras), la segunda letra de 25 manerasdiferentes (puesto que la letra grabada en la primer posición no puedeescogerse como segunda letra), para el primer dígito, para el primerdígito hay nueve números, es decir nueve maneras, y para cada uno de

los otros dos dígitos 10 maneras. Por lo tanto pueden grabarse000 58510109 25 26 , ; por tanto se podrían formar 585,000 placas

diferentes.

2.1.2 Permutaciones

Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomadosde un conjunto de n objetos entonces se trata de permutaciones. Unapermutación de los n objetos tomados r a la vez se define como

! r n!n

P r n (II.2)

Donde n! se lee “n factorial” y significa el producto de todos los números de 1 an. Por tanto 1201 23 4 5 5 ! . Por definición 10 ! .

Ejemplo 2.1 Hallar el número de palabras de tres letras diferentes que puedenformarse con las letras: a, b, c, d, e, f.

Solución: Representemos las palabras de tres letras por tres cajas:

Ahora la primera letra puede escogerse de seis formas diferentes; enseguida, la segunda letra se puede escoger de cinco formas diferentes; ydespués de esto, la última letra se puede escoger de cuatro formasdiferentes. Escribamos cada número en su correspondiente caja comosigue:

Aplicando la expresión II.2 se tiene:

1206

720

36

636

!

!P


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Por tanto se pueden formar 120 posibles palabras de tres letras sinrepetición.

2.1.3 Escogencia Múltiple

Muchos problemas del análisis combinatorio y, en particular, de probabilidad serelacionan con la escogencia de una bola tomada de una urna que contienen bolas (o una carta de una baraja o una persona de una población). Cuandoescogemos una bola tras otra de una urna, r veces, definimos esta escogenciacomo una prueba ordenada de tamaño r . Se consideran dos casos:

1. Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a laurna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n manerasdiferentes para escoger cada bola, según el principio fundamental delconteo hay

r

veces r

nnnnn

(II.3)

pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución.

2. Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes deescoger la siguiente. Así no hay repeticiones en la prueba ordenada. Osea que, una prueba ordenada de tamaño r sin sustitución essimplemente una permutación r de objetos de la urna. Por consiguientehay

! r n!n

P r n

(II.4)

pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de ungrupo de n objetos.

Ejemplo 2.2 ¿De cuantas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas deuna baraja de 52 cartas, (1) con sustitución, (2) sin sustitución?

Solución: (1) si cada carta se regresa al naipe antes de escoger la

siguiente, entonces cada carta puede escogerse de 52 manerasdiferentes. Entonces hay 608140 52 52 52 52 3 , pruebas ordenadasdiferentes de tamaño tres con sustitución. (2) Por otra parte si no haysustitución, entonces la primera carta puede escogerse de 52 manerasdiferentes, la segunda carta tiene 51 maneras diferentes y la última cartatiene 50 maneras diferentes, por tanto hay 600132

3 52 ,P pruebas

ordenadas diferentes de tamaño tres sin sustitución.


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2.1.4 Combinaciones

Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación deestos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r , es un subconjunto de r

elementos. En otras palabras, una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.

! r n! r !n

C r n

(II.5)

Ejemplo 2.3 Considere que dados 10 productos, ¿cuántos subconjuntos de tresproductos podrían empacarse juntos y ofrecerse a los clientes? Si se consideraque el orden en el cual se ofrecen los tres productos no influirá en los clientes.

Solución: El número de combinaciones de 10 elementos tomados 3 a la vez es120

310 C . Por tanto hay 120 paquetes de tres artículos que se pueden ofrece a

los clientes.

2.2 ENFOQUES DE PROBABILIDAD

La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. Laprobabilidad de un evento es medida por valores comprendidos entre 0 y 1.Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidadasignada estará más próxima a 1, mientras que la probabilidad de unaimposibilidad es 0, ésta se expresa como:

10 EP (II.6)

El proceso que produce un evento es denominado experimento. Unexperimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado únicobien definido.

El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espaciomuestral representado por:

n x , , x , x S 21 (II.7)

La teoría de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos denegocios. Las pólizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad,las cuales a su vez se basan en probabilidades de muerte en edadesespecíficas. Otras tasas de seguros tales como seguro de bienes raíces y deautomóviles se determinan de manera similar. La probabilidad también juegaun papel importante en la estimación del número de unidades defectuosas en


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un proceso de fabricación, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas porcobrar y las ventas potenciales de un nuevo producto.

Existen sólo tres formas generalmente aceptadas para enfocar: (1) modelo defrecuencia relativa (o a posteriori), (2) modelo subjetivo y (3) modelo clásico (o a

priori).

El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observadoempíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en elpasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente conbase en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base almodelo de frecuencia relativa se determina mediante:

nesobservaciodetotalNúmero

pasadoeleneventoelocurridohaquevecesdeNúmeroEP (II.8)

El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento conbase en la mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser apenasuna conjetura hecha sobre cierta base. El modelo subjetivo se utiliza cuando sedesea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido. Por ejemplo laprobabilidad de que una mujer sea elegida como presidente de México,debido a que no hay datos sobre los cuales confiar, deben analizar lasopiniones y creencias para obtener una estimación subjetiva.

De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que serelaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La

probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:

resultados posiblesdetotalNúmero

eventounocurrir puedequelasenformasdeNúmeroEP (II.9)

2.3 Axiomas de Probabilidad

2.3.1 Uniones, intersecciones y relaciones entre eventos

Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Se asume que se hanidentificado dos conjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. Undiagrama de Venn es una herramienta útil para mostrar la relación entreconjuntos.

Intersección entre A y B B A : es el conjunto de todos los elementos que estántanto en A como en B. Los eventos A y B se les denomina eventos no disyuntos.La figura 2.1(a) muestra el correspondiente diagrama de Venn.


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Unión de A y B B A : es el conjunto de todos los elementos que están en A oen B. La figura 2.1(b) muestra el diagrama de Venn de la unión de dos eventos.

Figura II.1 Diagrama de Venn: (a) A intersección B y (b) A unión B

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de unoprohíbe la ocurrencia del otro.

Los eventos son independientes, si la ocurrencia de uno no tiene nada que vercon la ocurrencia del otro.

Cuando se saca de un conjunto finito, dos eventos son independientes si y sólosi se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplazaantes de sacar el segundo elemento, los dos eventos son dependientes.

2.3.2 Tablas de contingencia y tablas de probabilidad

Una tabla de contingencia permite examinar o comparar dos variables. De los500 empleados de King Dynamics, Inc. 170 están clasificados como miembrosde personal administrativo, 290 como trabajadores de línea y 40 son auxiliares.La tabla compara el género de los trabajadores y la clasificación que tienenéstos.

Tabla II.1 Tabla de contingencia para King Dynamics

Clasificación de los empleados

Género Administrativo Línea Auxiliar Total

Hombres 120 150 30 300

Mujeres 50 140 10 200

Total 170 290 40 500

Una tabla de probabilidad puede crearse dividiendo cada una de las entradasde la tabla anterior entre el total, 500 trabajadores. Los resultados se ven en latabla.


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Tabla II.2 Tabla de probabilidad para King Dynamics

Clasificación de los empleados

Género Administrativo S Línea L Auxiliar A Total

Hombres H 240 500

120 . 300 500

150 . 060 500

30 . 600 500

300 .

Mujeres M 100 500

50 . 280 500

140 . 020 500

10 . 400 500

200 .

Total 340 500

170 . 580 500

290 . 080 500

40 . 001 500

500 .

Los valores en las márgenes de la tabla se llaman probabilidades marginales.Por ejemplo, la probabilidad de seleccionar un trabajador de línea de manera

aleatoria es 580.LP

y la probabilidad de seleccionar un hombre es

600.MP

Las probabilidades conjuntas en las celdas de la estructura principal de la tablamuestran la probabilidad de la intersección entre dos eventos. Por ejemplo, laprobabilidad de seleccionar un trabajador que sea parte del personaladministrativo y que sea hombre, es

240. SHP Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidadesconjuntas correspondientes. Por tanto

600060300 240 .... AHPLHP SHPHP

2.3.3 Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que el evento B ya ocurrió.Se denota como B| AP y se lee la “probabilidad de A dado B”. La formula

general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:

BPB AP

B| AP (II.10)

Para ilustrar la aplicación de la expresión III.10, retomemos la tabla deprobabilidades de King Dynamics, se puede observar que la probabilidad deque un trabajador tomado aleatoriamente sea hombre es


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600.HP

sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador seahombre dado que es un miembro del personal administrativo S|HP se puedehallar así

710340 240 ...

SP SHP S|HP

2.3.4 Las dos reglas de la probabilidad

Para calcular la probabilidad de eventos más complejos utilizaremos la regla dela multiplicación y la regla de la adición. Cada una se utiliza para propósitosespecíficos.

2.3.4.1 Regla de la multiplicación

El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad delevento conjunto B AP . Es decir, que para encontrar la probabilidad de A y B,simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades. El procedimientoexacto depende de si A y B son dependientes o independientes.

Los eventos A y B son independientes si B| AP AP . Es decir, la probabilidadde A es la misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B sonindependientes, si A|BPBP

Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:

BP APB AP (II.11)

Si los eventos son dependientes, entonces, por definición, se debe considerar elprimer evento al determinar la probabilidad del segundo. Es decir, laprobabilidad del evento B depende de la condición que A ya haya ocurrido. Senecesita del principio de probabilidad condicional. La probabilidad de loseventos conjuntos A y B:

A|BP APB AP (II.12)

Retornando a la tabla de probabilidad para King Dynamics, tabla II.2, se

observa que la probabilidad marginal de la segunda fila muestra claramenteque

40.MP

sin considerar si el trabajador es miembro administrativo, línea o auxiliar. Sinembargo, la probabilidad conjunta de que sea mujer y miembro de línea

280.LMP


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También se puede calcular esta probabilidad utilizando la expresión II.12

M|LPMPLMP

el último término es probabilidad condicional, la cual se determinó

anteriormente como

70 40

280.

.

.

MP

MLPM|LP

entonces

28070 40 ...M|LPMPLMP

Aunque el uso de una tabla II.2 puede simplificar el cálculo de probabilidad,existen ejemplos en los cuales es muy difícil la creación de una tabla, por lotanto se requiere el uso de las fórmulas.

2.3.4.2 Regla de la adición

La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad del evento A oB, B AP .

La probabilidad de que ocurra el evento A o B para eventos que no sonmutuamente excluyentes, si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, sedetermina por medio de la siguiente expresión:

B APBP APB AP (II.13)

En el ejemplo de King Dynamics, la probabilidad de que un empleado seatrabajador hombre o un trabajador de línea es:

70 280 580 40 ....LMPLPMPLMP

La probabilidad del evento A o del evento B cuando los eventos sonmutuamente excluyentes se determina por:

BP APB AP (II.14)

De la tabla II.2 de King Dynamics, los eventos de que un empleado seatrabajador hombre o un trabajador mujer son mutuamente excluyentes.


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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. CUESTIONARIO

Calificación:

1. Utiliza la palabra, algunas se repiten, o enunciado que complete el espacio enblanco:

acción cero conjunto enfoque clásico evento experimento frecuencia

relativa probabilidad resultado resultados subjetivo uno

datos empíricamente enfoque frecuencia muestral número de formas en las

que puede ocurrir unevento

número de veces que haocurrido el evento en elpasado

número total deobservaciones

número total de posiblesresultados

pasado

afecta condiconal dependientes excluyentes independientes nada no ocurran ocurrencia otro

Históricamente se han desarrollado tres enfoques conceptuales para definir la probabilidad ydeterminar valores de probabilidad:

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

La _________________ es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La ______________ de

un evento es medida por valores comprendidos entre ____ y _____.

El proceso que produce un ____________ es denominado ____________. Un experimento es toda

_________ bien definida que conlleva a un ____________ único bien definido.


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El _____________ de todos los posibles ______________ para un _____________ es el espacio

___________ representado por: 1 2, , , n s x x x

El ____________ de ____________ relativa utiliza datos que se han observado ______________,

registra la frecuencia con que ha ocurrido algún _____________ en el _____________ y estima laprobabilidad de que el ________________ ocurra nuevamente con base en estos ____________

históricos. La probabilidad de un evento con base al modelo de _________________ relativa se

determina mediante:

( ) P E

De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se relaciona con

mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clásica de un evento E sedetermina mediante:

( ) P E

Se dice que dos o más eventos son mutuamente _________________ si la _________________ de

uno prohíbe la ocurrencia del _________________. Esto es, si no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Dos o más eventos son ___________ excluyentes cuando es posible que _________________ al

mismo tiempo.

Los eventos son _________________, si la ocurrencia de uno _____ tiene _________________ que ver

con la _________________ del otro. Dos eventos son _________________ cuando la ocurrencia o no

ocurrencia de un evento _________________ a la probabilidad de _________________ del otro

evento.


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Cuando dos eventos son dependientes, se emplea el concepto de probabilidad

_________________ para designar la probabilidad de ocurrencia del evento relacionado. La

expresión | P B A indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ha ocurrido

el evento A. La formula general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:

|

P P

P

Probabilidad de eventos

2. Para cada una de las siguientes situaciones, indique cuál de los enfoques de la

probabilidad (el clásico, el de frecuencias relativas o el subjetivo) sería más útil para

determinar el valor de probabilidad requerido.

a. La probabilidad de que haya un golpe de estado el próximo año.

______________________________

b. La probabilidad de obtener ya sea un 1 o un 6 en un solo lanzamiento de un

dado de seis caras. _________________________________

c. La probabilidad de que una persona aleatoriamente elegida entre las que

visitan una gran tienda departamental realice una compra en esa tienda.

_________________________________________

3. Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de la bolsa alazar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica azul?

4. Se escoge aleatoriamente una persona vestida de rojo de un grupo de 5 personasque visten de rojo y 4 personas que visten de azul.


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5. Se escoge una pelota de tenis verde de una bolsa que contiene 4 pelotas verdes, 7amarillas y 5 blancas.

6. Determine el valor de probabilidad aplicable a cada una de las siguientessituaciones.

a. La probabilidad de accidentes industriales en una industria en particular en unplazo anual. Una muestra aleatoria de 10 empresas, las cuales emplean a untotal de 8000 personas, reportó la ocurrencia de 400 accidentes industrialesdurante un periodo reciente de 12 meses.

b. La probabilidad de acertar a un número ganador en un juego de ruleta. Losnúmeros de la rueda incluyen un 0, 00 y del 1 al 36.

c. La probabilidad de que un establecimiento de franquicia de comida rápida seafinancieramente exitoso. El probable inversionista obtiene datos de otrasunidades del sistema de franquicias, estudia el desarrollo de la zona residencialen la que estará ubicado el establecimiento y considera el volumen de ventasrequerido para garantizar el éxito financiero con base en la inversión de capitalrequerida y los costos operativos. En general, el inversionista juzga que hay un80% de posibilidades de que el establecimiento sea financieramente exitoso y20% de que no lo sea.

7. La siguiente tabla muestra el número de computadoras vendidas diariamente poruna tienda minorista

Número decomputadoras

vendidas

Número de días Probabilidad

0 12

1 43

2 18

3 20

4 25


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Determine la probabilidad de que el número de computadoras que se vendan el día de hoysea:

a. 2

b. Menos de 3

c. Más de 1

d. Por lo menos 1

8. Un importador de cristal irlandés de Nueva York recibe envíos de cajas de tresartículos. La siguiente tabla muestra los datos para las últimas 100 cajas indicaron elnúmero de artículos dañados que había en cada caja.

Número de defectos Número de cajas Probabilidad

0 40

1 27

2 21

3 12

Determine la probabilidad de que el número de artículos defectuosos sea:

a. 2

b. Menos de 3

c. Más de 1

d. Ninguno


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Probabilidad con técnicas de conteo

Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomados de un conjuntode n objetos entonces se trata de permutaciones. Una permutación de los n objetos tomados r

a la vez se define como

!

!n r

n P

n r

9. Calcula las permutaciones para los siguientes valores de n y r :

6 34 2

10 4

n r n r

n r

Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetostomados r a la vez, o una combinación r , es un subconjunto de r elementos. En otras palabras,una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.

!

! !n r

nC

r n r

10. Calcula las combinaciones para los siguientes valores de n y r :

6 3

4 2

10 4

n r

n r

n r


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11. Un caso reciente en la corte del condado de Madison, Kentucky, sobre lasprácticas de contratación de una compañía de teléfonos local. La compañíaplaneó contratar 3 nuevos empleados. Había 8 candidatos para los cargos, 6 de loscuales eran hombres. Los 3 que fueron contratados eran hombres. Un cargo pordiscriminación de sexo se impuso contra la compañía. ¿Cómo decidiría usted?

12. Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres deestas 10 son defectuosas. Si deben sacar 5 de las 10, ¿cuál es la probabilidad deque 2 sean defectuosas?

13. Un representante de ventas debe visitar seis ciudades durante un viaje.

a. Si en la zona geográfica por visitar hay 10 ciudades, ¿cuántas diferentesagrupaciones de seis ciudades susceptibles de ser visitadas por el representantede ventas hay?

b. Supongamos que en la zona geográfica que visitará el representante de ventashay 10 ciudades y, además, que la secuencia en la que serán programadas lasvisitas a la seis ciudades elegidas también es de importancia. ¿Cuántassecuencias son posibles para las seis ciudades asignadas?

14. De las ciudades mencionadas en el problema anterior, supongamos que seis de

ellas son en realidad mercados primarios del producto en cuestión mientras que lasotras cuatro son mercados secundarios. Si el vendedor elige aleatoriamente las seisciudades por visitar, ¿cuál es la probabilidad de que:

a. Cuatro de ellas sean mercados primarios y dos mercados secundarios

b. Las seis resulten ser mercados primarios


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15. Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresamanufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determine la probabilidadde que el grupo de tres directivos elegido a partir de los cinco incluya a:

a. Un directivo en particular

b. Dos directivos en particular

c. Tres directivos en particular

Tablas de probabilidades conjuntas

16. La revista Forbes (febrero de 1997) clasificó las 120 ciudades de estados unidos de

acuerdo con la calidad de vida, con base en parte del porcentaje de empleadosque tenían título universitario. Los resultados se ven en la siguiente tabla decontingencia parcial, en donde A es menos del 15% con título universitario, B es del15 al 20% con título universitario y C es más del 20% con título universitario. Realiceuna tabla de probabilidad y responda las preguntas que se presentan en lasiguiente tabla.

Tabla 1. Clasificación de la revista Forbes para las 120 ciudades de EUCalidad de vida

Porcentajecon título

universitario

Pobre (P) Bueno (G) Excelente (E) Total

A 10 20 40B 20C 10 20

Total 20 60


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Tabla 2. Tabla de probabilidad para las 120 ciudades de EU

Porcentajecon título

universitario

Pobre (P) Bueno (G) Excelente (E) Total

A

B

C

Total

Los valores en las márgenes de la tabla se llaman _______________________. La probabilidad deseleccionar una ciudad con menos del 15% de empleados con título universitario es:

( ) ________ P A

y la probabilidad de seleccionar un empleado con nivel de vida excelente es:

( ) ________ P E

Las probabilidades conjuntas en las celdas de la estructura principal de la tabla muestran laprobabilidad de la ________________ entre dos eventos. Por ejemplo, la probabilidad deseleccionar una ciudad con calidad de vida pobre y del 15 al 20% de sus empleados con titulouniversitario, es:

( ) __________ P P B

Mientras que la notación ( ) P E C se lee como _______________________________

_____________________________________________________________________________y da:

( ) : _______________ P E C Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidades conjuntascorrespondientes.


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Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que el evento B ya ocurrió. Para ilustrar laaplicación de la probabilidad condicional, retomemos la tabla 2 de probabilidades, se puede

observar que la probabilidad de que una ciudad tomada aleatoriamente tenga más del 20%de sus empleados con titulo universitario es:

P C

Sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que la ciudad cuente con más del 20% desus empleados con titulo universitario dado que su nivel de vida es excelente se puede hallarasí:

| P C E

Regla de la multiplicación

El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad del evento conjunto

P A B . Es decir, que para encontrar la probabilidad de A y B, simplemente se multiplicansus respectivas probabilidades. El procedimiento exacto depende de si A y B son dependienteso independientes.

Los eventos A y B son independientes si P A P A B . Es decir, la probabilidad de A es lamisma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son independientes, si

P B P B A

Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:


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P A B P A P B

Si los eventos son dependientes, entonces, por definición, se debe considerar el primer evento al

determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la probabilidad del evento B depende de lacondición que A ya haya ocurrido. Se necesita del principio de probabilidad condicional. Laprobabilidad de los eventos conjuntos A y B:

| P A B P A P B A

Regla de la adición

La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad del evento A o B, P A B .

La probabilidad de que ocurra el evento A o B para eventos que no son mutuamenteexcluyentes, si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, se determina por medio de la siguienteexpresión:

P A B P P P A B

En el ejemplo de Forbes, la probabilidad de que una ciudad tenga un nivel de vida bueno oque más del 20% de sus empleados tengan titulo universitarios es:

P P P P

La probabilidad del evento A o del evento B cuando los eventos son mutuamente excluyentesse determina por:

P A B P P

De la tabla 2 de Forbes, los eventos de que una ciudad tenga una calidad de vida pobre o una

calidad de vida excelente son mutuamente excluyentes.


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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Competencia: Conocer e identificar las diferentes funciones de distribución de

probabilidad, para su aplicación en la solución de problemas.

INTRODUCCIÓN

Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es el resultado de un eventoaleatorio. Se supone que se lanza una moneda tres veces y se anota el número decaras que se obtienen. Los posibles resultados son 0 caras, 1 cara, 2 caras, o 3 caras. Lavariable aleatoria es el número de caras que se obtienen, y los posibles resultados son

los valores de la variable aleatoria. Como segundo ejemplo, los pesos de envío delagua mineral en contenedores oscilaban aleatoriamente entre 10 a 25 libras. Los pesosreales de los contenedores, en libras, son los valores de la variable aleatoria "peso".

Tal y como lo sugieren estos dos ejemplos, las variables aleatorias pueden ser discretaso continuas. Una variable aleatoria discreta puede asumir sólo ciertos valores, confrecuencia números enteros, y resulta principalmente del conteo. El número de carasen el experimento del lanzamiento de la moneda es un ejemplo de una variable

aleatoria discreta. Los valores de la variable aleatoria se restringen sólo a ciertosnúmeros: 0, 1, 2, y 3. El resultado del lanzamiento de un dado, el número de camionesque llegan por hora al puerto de carga, y el número de clientes que están en fila parasacar sus libros favoritos, son otros ejemplos de variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria continua resulta principalmente de la medición y puede tomarcualquier valor, al menos dentro de un rango dado. Los pesos del agua mineral es unejemplo, debido a que los contenedores pueden tomar cualquier valor entre 10 y 25libras. Otros ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen la estatura de los

clientes en una tienda de ropa, los ingresos de los empleados en un centro comerciallocal y el tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente a la biblioteca. En cadacaso, la variable aleatoria puede medirse con cualquier valor, incluyendo fraccionesde la unidad. Aunque las unidades monetarias no pueden dividirse en un númerocontinuo o infinito de subdivisiones (el dólar puede subdividirse sólo 100 veces),comúnmente se tratan como distribuciones continuas de probabilidad.


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Una distribución de probabilidad es un despliegue de todos los posibles resultados deun experimento junto con las probabilidades de cada resultado. La probabilidad deque la variable aleatoria tome algún valor específico, ., se escribe ( = ). El valor

esperado de una variable aleatoria discreta es la media ponderada de todos losposibles resultados en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de talesresultados.

3.1 Distribuciones de probabilidad binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta quemide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoullicon una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

En las empresas se tienen situaciones donde se espera que ocurra o no un eventoespecífico. Éste puede ser de éxito o fracaso.

La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posiblesresultados. Ejemplos:

Al nacer un bebé puede ser varón o mujer. En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas. Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se

pueden clasificar como correcta o incorrecta.

Propiedades de un experimento de Bernoulli

En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos ofracasos.

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultadosobtenidos en pruebas anteriores.

La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y novaría de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y larepresentamos por q .


24/84


23

Función de probabilidad binomial se expresa como:

n X X

n X P X;n, p C p 1 p

donde:

P X;n, p probabilidad de X-éxitos, dadas n y p

n número de observaciones

p probabilidad de éxitos

1 p probabilidad de fracasos

X número de éxitos en la muestra X 1,2, ,n

La media y desviación estándar de la distribución se definen como:

E X n p

n p 1 p

1. Grafique la distribución binomial para los siguientes valores:

3 0.25 0,1, 2,3n p x

x P(X=x)

0123


25/84


24

2. La probabilidad de que cierta clase de componente pase con éxito unadeterminada prueba de impacto es 0.75. Encuentre la probabilidad de queexactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba.

3. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de lasangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad, ¿cuál esla probabilidad de que: a) sobrevivan entre 3 y 8 personas, b) sobrevivanexactamente 5 personas y c) al menos 10 sobrevivan.

4. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20%presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar laprobabilidad de que: a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite,c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos y d) determine el promedio y ladesviación estándar de amortiguadores con defectos.

x P( X=x)012345678910

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3

P ( X )

Número de éxitos (X)

Distribución binomial


26/84


25

1112131415

x P( X=x)01234567891011121314151617181920


27/84


26

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P ( X )



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

P ( X )




28/84


27

3.2 Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución deprobabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendoen un tiempo fijo, si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurrido desde el último evento. Se dice que existe unproceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad – un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si sereduce lo suficiente el área de oportunidad o el intervalo,

La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es constante. La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0. La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente

independiente de la de cualquier otro intervalo.

Utilidad:

La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos sonimpredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total deposibles resultados.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultadodiscreto.

Es muy útil cuando la muestra o segmento, n, es grande y la probabilidad deéxitos p es pequeña. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye

dentro de un segmento dado como por ejemplo distancia, área, volumen otiempo definido.

Esta distribución se aplica en situaciones como:

La llegada de un cliente al negocio durante una hora. Las llamadas telefónicas que se reciben en un día. Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido. Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto

terminado. El número de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital en

un intervalo de tiempo. El número de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada. El número de partos triples por año

http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.8334251320794376&pb=4defc36f427b5d64&fi=c45082f0d82d529f&kw=observarhttp://www.monografias.com/trabajos13/gaita/gaita.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.6912033142898976&pb=a28b0eafc928681b&fi=c45082f0d82d529f&kw=independientehttp://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.6912033142898976&pb=a28b0eafc928681b&fi=c45082f0d82d529f&kw=independientehttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/gaita/gaita.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.8334251320794376&pb=4defc36f427b5d64&fi=c45082f0d82d529f&kw=observarhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE


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28

La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener éxitos, dado que se espera 1éxito es:

X

e P X;

X !

P X; la probabilidad de X eventos en un área de oportunidad

número de eventos esperado (media)

X número de eventos

5. Grafique la distribución de Poisson para los siguientes valores:

1,4,10 0,1,2,3,...,20 x

X P(X=x) P(X=x) P(X=x)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18


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29

19

20

6. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja estádescompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre laprobabilidad de que: (a) las 4 estén descompuestas y (b) de 1 a 3 esténdescompuestas.

7. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la

probabilidad de que: (a) 4 salgan defectuosos, (b) más de 5 tengan fuga deaceite, y (c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.

8. Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad deque un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas,descubra que: (a) ninguna de las casas viola el código de construcción, (b) unaviola el código de construcción y (c) dos violan el código de construcción.

9. El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de Poisson. Siel número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en unminuto lleguen por lo menos 3 pacientes?

10. Se sabe que 10 es el número promedio de camiones tanque de aceite que lleganpor día a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atendercuando mucho a 15 camiones tanque en un día. ¿Cuál es la probabilidad de queen un determinado día se tengan que regresar los camiones tanque?

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

P ( X )

X

Distribución de Poisson


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30

11. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por unartículo en particular en una bodega era 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidadde que en un determinado día este artículo sea requerido: (a) más de 5 veces y (b)ni una sola vez?

12. El profesor Bradley anima a sus estudiantes de estadística a "actuar de formaprudente" consultando al tutor si tienen alguna pregunta mientras se preparan parael examen final. Parece que la llegada de los estudiantes a la oficina del tutor seajusta a una distribución de Poisson, con un promedio de 5.2 estudiantes cada 20minutos. El profesor Bradley está preocupado porque si muchos estudiantesnecesitan los servicios del tutor, puede resultar un problema de congestión.

a) El tutor debe determinar la probabilidad de que cuatro estudiantes lleguendurante cualquier intervalo de 20 minutos, lo cual podría causar el problema decongestión que teme el profesor Bradley. Si la probabilidad excede el 20%, secontratará un segundo tutor.

b) El tutor debe calcular la probabilidad de que más de cuatro estudianteslleguen durante algún período de 20 minutos. Si es mayor que el 50%, las horasde oficina del tutor se aumentarán, permitiendo a los estudiantes extender elhorario en las que vienen a ver al tutor.

c) Si la probabilidad de que más de siete estudiantes lleguen durante un períodocualquiera de 30 minutos excede 50%, el mismo profesor Bradley ofrecerá tutoríaadicional.

13. A un conmutador de la oficina principal de la compañía llegan llamadas a unpromedio de dos por minuto y se sabe que tienen distribución de Poisson. Si eloperador está distraído por un minuto, cuál es la probabilidad de que el número dellamadas no respondidas sea:

a. ¿Cero?

b. ¿Por lo menos una?

c. ¿Entre 3 y 5, inclusive?

14. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos Incas presentauna tasa de defectos de 5 por cada 100 unidades. Las unidades se envían a losdistribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que más de 3 salgandefectuosos supera el 30%, usted planea vender en su lugar, camisetas GratefulDead. ¿Cuál artículo agregará usted al inventario?


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31

15. Usted compra partes para bicicleta de un proveedor en Toledo que tiene 3defectos por cada 100 partes. Usted está en el mercado para comprar 150 partespero no aceptará una probabilidad de más del 50% de que más de dos partes seandefectuosas. ¿Usted le compraría a dicho proveedor?

3.3 Distribución normal

Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curvanormal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permitetomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización.

Utilidad:

Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos

naturales que siguen el modelo de la normal. Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una

especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco,

o de una misma cantidad de abono Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de

adaptación a un medio,...

La función de distribución:

Puede tomar cualquier valor (-∞ , +∞ ) Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media m Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo de igual forma

a derecha e izquierda (es simétrica). Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo dependiendo la

desviación típica


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32

La expresión matemática para la distribución normal:

16. Grafique la distribución normal para los siguientes valores: 50 5,10, 20

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 20 40 60 80 100 120

P ( X )

X

Distribución normal

2 X 1

21 f X ; , e

2

donde :

es la media

es la desviación

estándar

3.14159

X es cualquier valor

de la variable

continua

F(X)=P X k


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33

17. Dada una distribución normal, encuentre el área bajo la curva que cae

a. a la izquierda de 1.43 z

b. a la derecha de 0.89 z

c. entre 2.16 z y 0.65 z

d. a la izquierda de 1.39 z

e. a la derecha de 1.96 z

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

- 3

. 4

- 3

- 2

. 6

- 2

. 2

- 1

. 8

- 1

. 4

- 1

- 0

. 6

- 0

. 2

0 .

2

0 .

6 1

1 .

4

1 .

8

2 .

2

2 .

6 3

3 .

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

- 3

. 4

- 3

- 2

. 6

- 2

. 2

- 1

. 8

- 1

. 4

- 1

- 0

. 6

- 0

. 2

0 .

2

0 .

6 1

1 .

4

1 .

8

2 .

2

2 .

6 3

3 .

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

- 3

. 4 - 3

- 2

. 6

- 2

. 2

- 1

. 8

- 1

. 4 - 1 -

0 . 6

- 0

. 2 0

. 2

0 .

6 1

1 .

4

1 .

8

2 .

2

2 .

6 3

3 .

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

- 3

. 4

- 3

- 2

. 6

- 2

. 2

- 1

. 8

- 1

. 4

- 1

- 0

. 6

- 0

. 2

0 .

2

0 .

6 1

1 .

4

1 .

8

2 .

2

2 .

6 3

3 .

4


35/84


34

f. entre 0.48 z y 1.74 z

18. Dada una distribución normal con media igual a 50 y desviación estándar igual a10, encuentre la probabilidad de que X asuma un valor entre 45 y 62.

x z

19. Los siguientes datos representan la duración de vida en segundos de 50 moscas,sometidas a un nuevo atomizador en un experimento de laboratorio controlado:

17 20 10 19 23 13 12 19 18 24

12 14 6 9 13 6 7 10 13 716 18 8 13 3 32 9 7 10 1113 7 18 7 10 4 27 19 16 87 10 5 14 15 10 9 6 7 15

a) determine el porcentaje de vida de las moscas entre 10 y 20 segundos,b) más de 23 segundos,

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

- 3

. 4

- 3

- 2

. 6

- 2

. 2

- 1

. 8

- 1

. 4

- 1

- 0

. 6

- 0

. 2

0 .

2

0 .

6 1

1 .

4

1 .

8

2 .

2

2 .

6 3

3 .

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

- 3

. 4

- 3

- 2

. 6

- 2

. 2

- 1

. 8

- 1

. 4

- 1

- 0

. 6

- 0

. 2

0 .

2

0 .

6 1

1 .

4

1 .

8

2 .

2

2 .

6 3

3 .

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

- 3

. 4

- 3

- 2

. 6

- 2

. 2

- 1

. 8

- 1

. 4

- 1

- 0

. 6

- 0

. 2

0 .

2

0 .

6 1

1 .

4

1 .

8

2 .

2

2 .

6 3

3 .

4


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c) menos de 10 segundos.

20. TelCom Satellite presta servicios de comunicación a los negocios del áreametropolitana de Chicago. Los funcionarios de la compañía han aprendido que latransmisión satélite promedio es de 150 segundos, con una desviación estándar de

15 segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente.

Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente por sus servicios yestablecer una estructura de tarifas que maximice las utilidades corporativas,TelCom debe determinar qué tan probable es que algunas llamadas se presenten.El director de servicios desea que usted proporcione estimados de la probabilidadde que una llamada dure:

a. Entre 125 y 150 segundos.b. Menos de 125 segundos.

c. Entre 145 y 155 segundos.d. Entre 160 y 165 segundos.

21. Como ingeniero constructor usted compra bolsas de cemento de un promedio de50 libras, con una desviación estándar de 5.2 libras. Debe que usted tuvo elaccidente escalando una montaña, el médico le dijo que no levantara nada quepesara más de 60 libras ¿debería usted cargar una bolsa?

CONTENIDO DE LA ESTADÍSTICA

Competencia: El estudiante determinará el contenido de la estadística dentro del áreade conocimiento de su profesión.

INTRODUCCIÓN

A medida que aumenta la complejidad de nuestro mundo, se hace cada vez másdifícil tomar decisiones inteligentes y bien documentadas. Con frecuencia talesdecisiones deben tomarse con mucho menos que un conocimiento adecuado yexperimentando una gran incertidumbre. Sin embargo, las soluciones a estosproblemas son esenciales para nuestro bienestar e incluso para nuestra supervivenciafinal. Continuamente estamos recibiendo presiones debido a problemas económicos


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como una inflación galopante, el sistema tributario engorroso, etc. Todo nuestro tejidoeconómico y social está amenazado por la contaminación ambiental, la deudapública onerosa, la tasa de criminalidad que siempre va en aumento y lasimpredecibles tasas de interés. Esta unidad aportara una visión general sobre lo que esla estadística y como puede utilizarse.

1.1 OBJETO DE LA ESTADÍSTICA

La Estadística se ocupa de la recolección, agrupación, presentación, análisis einterpretación de datos, por tanto, la estadística es un método científico que pretendesacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.

El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una poblaciónbasada en la información contenida en una muestra. Inferir significa predecir, suponer,asegurar. Es decir se pretende establecer inferencia acerca de una población.Entendiendo a la población como un conjunto de individuos, organismos o entesinanimados de los cuales queremos conocer alguna o algunas características paraque nos ayuden a tomar una decisión u obtener alguna conclusión de sumaimportancia.

La Estadística actual es el resultado de la unión de dos disciplinas que evolucionaronde forma independiente hasta confluir en el siglo XIX:

• el Cálculo de Probabilidades, que nació en el siglo XVII como la teoría matemáticade los juegos de azar,

• la “Estadística”, o ciencia del Estado, que estudia la descripción de datos, y que tieneunas raíces más antiguas, de hecho, tan antiguas como la humanidad (censos de

población). La interacción de ambas líneas de pensamiento da lugar a la ciencia queestudia cómo obtener conclusiones de la investigación empírica mediante el uso demodelos matemáticos.

Resumiendo la Estadística actúa como disciplina puente entre los modelosmatemáticos y los fenómenos reales. Un modelo matemático es una abstracciónsimplificada de una realidad más compleja y siempre existirá una cierta discrepancia


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entre lo que se observa y lo previsto por el modelo. La Estadística proporciona unametodología para evaluar y juzgar estas discrepancias entre la realidad y la teoría.

1.2 RAMAS DE LA ESTADÍSTICA

La estadística es la ciencia que tiene que ver con la (1) recolección, (2) organización,(3) presentación, (4) análisis, e (5) interpretación de datos. Las dos principales ramasdel análisis estadístico son:

Estadística descriptiva, es el proceso de recolectar, agrupar y presentar datosde una manera tal que describa fácil y rápidamente dichos datos.

Estadística inferencial involucra la utilización de una muestra para sacar algunainferencia o conclusión sobre la población de la cual hace parte la muestra.

1.3 ESTADÍSTICA EN LA INVESTIGACIÓN

Virtualmente cada área de la investigación científica seria puede beneficiarse delanálisis estadístico. Para quien formula las políticas económicas y para quien asesora alpresidente y otros funcionarios públicos sobre procedimientos económicos apropiados,la estadística ha demostrado ser una herramienta valiosa. Las decisiones sobre las tasastributarias, los programas sociales, el gasto de defensa y muchos otros asuntos puedenhacerse de manera inteligente tan sólo con la ayuda del análisis estadístico. Loshombres y mujeres de negocios en su eterna búsqueda de la rentabilidad, consideranque la estadística es esencial en el proceso de toma de decisiones. Los esfuerzos encontrol de calidad, minimización de costos, combinación de productos e inventarios, yuna gran cantidad de otros asuntos empresariales, pueden manejarse efectivamente através del uso de procedimientos estadísticos comprobados.

Para quienes están en el área de la investigación de mercados, la estadística es degran ayuda en el momento de determinar qué tan probable es que un productonuevo sea exitoso. La estadística también es muy útil para evaluar las oportunidades deinversión por parte de asesores financieros. Los contadores, los jefes de personal y losfabricantes encuentran oportunidades ilimitadas de beneficiarse con el uso del análisis


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estadístico. Incluso un investigador en el campo de la medicina, interesado en laefectividad de un nuevo medicamento, considera la estadística una aliadaimprescindible.

Recuerde su Jefe espera que usted haga dos cosas: (a) tomar decisiones y (b) solucionar problemas; estos dos cometidos pueden lograrse a través de la aplicaciónde procedimientos estadísticos.

1.3.1 La aplicación universal de la estadística

Los problemas complejos que enfrenta el mundo actual requieren soluciones

cuantitativas. Si usted no está en capacidad de aplicar la estadística y otros métodoscuantitativos a muchos de los problemas comunes que sin duda se le presentarán,estará en gran desventaja en el mercado laboral.

Casi todas las áreas del saber requieren del pensamiento estadístico. Las disciplinas deestudios que dependen ampliamente del análisis estadístico, incluyen – pero no selimitan a – , marketing, finanzas, economía e investigación de operaciones. Los principiosaprendidos en contabilidad y gerencia administrativa también se basan en la

preparación estadística.

Los analistas financieros y económicos con frecuencia se basan en sus habilidadescuantitativas para proporcionar soluciones a problemas difíciles. La compresión de losprincipios financieros y económicos permitirá aplicar las técnicas estadísticas parahallar soluciones viables y tomar decisiones.

Bien sea que las aspiraciones profesionales tiendan hacia la industria privada, el

servicio público, el gobierno, a hacia otra fuente de retribución remunerada, laexperiencia académica será más completa si se adquiere una sólida formación enfundamentos de análisis estadístico.

1.3.2 Gerencia de calidad total


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A medida que la competencia mundial se intensifica, surge, de parte de los negocios,un esfuerzo por promover la calidad de sus productos. Este esfuerzo, conocidoampliamente como Gerencia de Calidad Total (Total Quality Management, TQM), tiene

como propósito central la promoción de las cualidades del producto que elconsumidor considera importantes. Tales atributos van desde la ausencia de defectoshasta el servicio eficiente y la respuesta rápida a las posibles quejas del consumidor.Hoy día, la mayoría de los grandes negocios, así como también muchos negociospequeños, tienen departamentos de Control de Calidad (Quality Control, QC) cuyafunción es recolectar datos sobre el desempeño y solucionar problemas de calidad.Así, la TQM representa un área creciente de oportunidades para quienes tienenconocimientos en estadística.

La TQM involucra el uso de equipos integrados conformados por ingenieros, expertosen marketing, especialistas en diseño, estadísticos, y otros profesionales que puedencontribuir a la satisfacción del cliente. La formación de estos equipos, denominadaDespliegue de la Función de la Calidad (Quality Function Deployment, QFD), estádiseñada para reconocer y agenciar las inquietudes de los consumidores. Losespecialistas actúan conjuntamente para promover la calidad del producto y paraque supla de manera efectiva las necesidades y preferencias del consumidor.

Los círculos de control de calidad constan de un grupo pequeño de empleados(generalmente entre 5 y 12) que se reúnen regularmente para solucionar problemasrelacionados con el trabajo. Con frecuencia se conforman tanto con trabajadores enlínea como con representantes de la gerencia; los miembros de estos círculos decalidad son todos de la misma área de trabajo y reciben capacitación formal encontrol estadístico de calidad y en planeación de grupos. A través de discusionesabiertas y del análisis estadístico, los círculos pueden lograr mejoras significativas endiversas áreas que van desde el mejoramiento de la calidad, el diseño del producto, laproductividad y los métodos de producción, hasta la reducción de costos y seguridad.

Uno de los elementos más importantes del TQM es un conjunto de herramientas ymétodos estadísticos utilizados para promover el Control Estadístico de Calidad(Statistical Quality Control, SQC). Tales herramientas ayudan a organizar y analizardatos para efectos de solucionar problemas.


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Hablando en términos generales, el SQC está diseñado para asegurar que losproductos cumplan con unas normas y especificaciones mínimas de producción. Esteobjetivo con frecuencia se promueve a través del uso del muestreo de aceptación, elcual es parte integral del SQC. El muestreo de aceptación implica probar una muestraaleatoria de productos existentes para determinar si se debe aceptar o rechazar todo

el envío, o el lote. Esta decisión se basa en parte de un nivel de calidad aceptable(Aceptable Quality Level, AQL), o número máximo de defectos que una empresa estádispuesta a tolerar.

1.4 CONCEPTOS BÁSICOS

Toda rama de la investigación científica tiene su vocabulario propio y la estadística no

es la excepción, las definiciones y expresiones que siguen son esenciales para lacompresión de cómo se realizan las pruebas estadísticas.

1.4.1 Población y parámetros

Población: Es la recolección completa de todas las observaciones de interés para elinvestigador. Una población puede ser finita o infinita.

Población finita: Es aquella que posee o incluye un número limitado de medidas yobservaciones. Se pueden listar los elementos en algún orden y en consecuenciacontarlos uno a uno hasta alcanzar el último.

Población infinita: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y observacionesque no pueden alcanzarse en el conteo. Hipotéticamente no existe límite en cuanto alnúmero de observaciones que cada uno de ellos puede generar. Es conveniente

referirse a una población infinita cuando se habla de una población que no puede sernumerada en un periodo razonable.

Parámetro: Es una medida descriptiva de la población total de todas las observacionesde interés para el investigador.


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1.4.2 Muestras y estadísticos

Muestra: Es una parte representativa de la población que se selecciona para serestudiada ya que la población es demasiado grande como para analizarla en sutotalidad.

Estadístico: Elemento que describe una muestra y sirve como una estimación delparámetro de la población correspondiente.

1.4.3 Variables

Variable: Es una característica de la población que se está analizando en un estudioestadístico.

Tipos de variables:

Cualitativas, categóricas (o alfanuméricas): Pueden tomar valores nocuantificables numéricamente. Se denomina categoría a cada uno de losvalores que toma la variable.

Nominales: si no existe ningún orden entre las categorías de la variable.Ejemplos, el grupo sanguíneo (A ,B ,AB, O); el color de los ojos (azules,verdes, marrones, negros).

Binarias: aquéllas que sólo toman dos valores posibles (sí/no,presencia/ausencia de cierto carácter), dentro de las nominales. Ejemplo:el sexo, ser fumador, tener carné de conducir, ser daltónico.

Ordinales: cuando existe un cierto orden entre las categorías de lavariable. Ejemplo: el nivel de estudios (sin estudios, básicos, medios,superiores), el grado de miopía (ausencia, bajo, medio, alto).


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Cuantitativas (o numéricas): Pueden tomar valores cuantificablesnuméricamente.

Discretas: si solamente toman valores aislados (generalmente enteros).Suelen corresponder a conteos. Ejemplos, el número de hermanos, el númerode cafés/día, el número de multas/año.

Continuas: potencialmente puede tomar cualquier valor numérico dentro deun intervalo o de una unión de intervalos. Ejemplos, el tiempo de reacción aun cierto medicamento, el peso de un individuo, la longitud del caparazónde una tortuga.

1.4.4 Métodos de muestreo

Gran parte del trabajo de un estadístico se realiza con muestras. En la práctica no va aser posible estudiar todos los elementos de la población, por varias razones:

El estudio puede implicar la destrucción del elemento (estudio de la vida mediade una partida de bombillas, estudio de la tensión de rotura de unos cables).

Los elementos pueden existir conceptualmente, pero no en realidad (poblaciónde piezas defectuosas que producirá una máquina en su vida útil).

Puede ser inviable económicamente (muy costoso) estudiar a toda lapoblación.

El estudio llevaría tanto tiempo que sería impracticable e incluso las propiedadesde la población podrían variar con el tiempo.

Por tanto debe seleccionarse una muestra de la población, calcular el estadístico de lamuestra, y utilizarlo para estimar el parámetro correspondiente de la población.

1.4.4.1 Muestreo aleatorio simple

Una muestra es aleatoria simple cuando:

1. cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido enforma individual,

2. las observaciones se realizan con reposición, de manera que la población esidéntica en todas las extracciones.


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Comentarios:

La condición (1) asegura la representatividad. La condición (2) se impone por simplicidad: si el tamaño de la población N es

grande con respecto al tamaño muestral n, es prácticamente indiferente realizarel muestreo con o sin reposición.

¿Cómo se realiza? Se utilizan las tablas de números aleatorios: se enumeran loselementos de la población del 1 al N y se toman números aleatorios de tantas cifrascomo tenga N. El valor del número aleatorio indicará el elemento a seleccionar.

1.4.4.2 Muestreo Estratificado

Los elementos de la población se dividen en grupos homogéneos o estratos según lacaracterística más importante (por ejemplo, según el sexo, la edad, la profesión, etc.).Para esto:

se asigna un número de elementos a cada estrato, dentro de cada estrato se seleccionan los elementos por muestreo aleatorio

simple.

Si hay k estratos de tamaños k 1 N , ,N , de manera que k 1 NNN , la

composición de la muestra será k 1 nnn , donde el número de elementos se

pueden determinar de dos formas distintas:

1. proporcionalmente al tamaño de cada estrato:

N

Nnn ii (I.1)

2. proporcionalmente a la variabilidad de cada estrato:


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k

1iii

iii

N

Nnn

(I.2)

donde σi es una medida de la variabilidad del estrato i-ésimo.

1.4.4.3 Muestreo por conglomerados

Hay situaciones en que ni el muestreo aleatorio simple ni el estratificado son aplicables.En estos casos es habitual que los elementos de la población se encuentren agrupados

en conglomerados, de los cuales sí que se sabe cuántos hay. (Por ejemplo, lapoblación se distribuye en provincias, los habitantes de una ciudad se distribuyen enbarrios, etc.).

Si puede suponerse que cada conglomerado es una muestra representativa de lapoblación total respecto de la variable de estudio, podemos:

seleccionar al azar algunos de estos conglomerados, dentro de cada conglomerado, analizar:

a) todos sus elementos,b) una muestra aleatoria simple de sus elementos.

Inconveniente, si los conglomerados son heterogéneos entre ellos, puesto que sólo seanalizan algunos de ellos, la muestra final puede ser no representativa de la población.

Las ideas de estratificación y conglomerado son opuestas:

La estratificación funciona mejor cuánto mayor sean las diferencias entreestratos, pero es necesario que los estratos sean homogéneos internamente.

Los conglomerados funcionan mejor cuánto menores sean las diferencias entreellos, pero deben ser muy heterogéneos internamente, es decir, dentro de cadaconglomerado debe estar incluida toda la variabilidad de la población.


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La regla general que se aplica a todos los procedimientos de muestreo es quecualquier información previa tiene que utilizarse para subdividir la población y aseguraruna mayor representatividad de la muestra. Una vez que los grupos homogéneos hansido definidos, la selección dentro de ellos debe realizarse por muestreo aleatoriosimple.

La exactitud de toda estimación es de enorme importancia. Esta exactitud dependeen gran parte de la forma como se tomó la muestra, y del cuidado que se tenga paragarantizar que la muestra proporcione una imagen confiable de la población. Sinembargo, con mucha frecuencia se comprueba que la muestra no es del todorepresentativa de la población y resultara un error de muestreo.

Existen dos causas posibles del error de muestreo. La primera fuente del error demuestreo es el azar en el proceso del muestreo. Debido al factor azar en la selecciónde elementos de la muestra, es posible seleccionar sin darse cuenta, elementos quesean anormalmente grandes o inusualmente pequeños, produciendo unasubestimación del parámetro. En cualquiera de los dos casos, ha ocurrido un error demuestreo.

Una forma más seria de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo muestral ocurrecuando hay alguna tendencia a seleccionar determinados elementos de muestra en

lugar de otros. Si el proceso de muestreo se diseña de manera incorrecta y tiende apromover la selección de demasiadas unidades con una característica en especial, aexpensas de las unidades que no tienen dicha característica, se dice que la muestraestá sesgada.

El sesgo, es el grado de asimetría que presenta un histograma o polígono defrecuencias. Si el histograma está cargado a la izquierda, el sesgo tiene un valornegativo. En cambio cuando esta más cargado a la derecha, el sesgo toma un valor

positivo. Si el sesgo adquiere un valor nulo, significa que el histograma es simétrico.

1.4.5 Escalas de medida


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Las variables pueden clasificarse con base en su escala de medida. La manera en quese clasifican las variables afecta en gran parte la forma como se utilizan en el análisis.Las variables pueden ser (1) nominales, (2) ordinales, (3) de intervalo, o (4) de razón.

1.4.5.1 Mediciones en escala nominal

Una medida nominal se crea cuando se utilizan nombres para establecer categoríasdentro de las cuales las variables pueden registrarse exclusivamente.

Por ejemplo, el sexo puede clasificarse como “hombre” o “mujer”. Se podría codificar

también con un “1” o “2”, pero los números servirían tan sólo para indicar las categorías

y no tendría significado numérico. Es importante recordar que una medida en escalanominal no indica ningún orden de preferencia, sino que simplemente establece unadisposición categórica en la cual se puede ubicar cada observación.

Existen escalas nominales tanto para datos cuantitativos como cualitativos. Una escalanominal para datos numéricos asigna números a las categorías para distinguirlas.

1.4.5.2 Medidas en escalas ordinales

Son las que clasifican las observaciones en categorías con un orden significativo.

A diferencia de una medida en escala nominal, una medida en escala ordinal simuestra un ordenamiento o secuencia de los datos. Es decir, que las observaciones seclasifican con base en algunos criterios. Hay quien clasifica sus productos como

“buenos”, “mejores” y “los mejores”. Las encuestas de opinión con frecuencia utilizanuna medida en escala ordinal como “totalmente de acuerdo”, “de acuerdo”, “sinopinión”, “en desacuerdo”, y “en total desacuerdo”.

Al igual que con los datos nominales, los números pueden utilizarse para ordenar losrangos. Y al igual que con los datos nominales, la magnitud de los números no es


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importante; el rango depende sólo del orden de los valores. Por ejemplo se puedenutilizar los rangos de “1”, “2” y “3”, o “1”, “3” y “12” para este asunto. Las diferenciasaritméticas entre valores carecen de sentido. Un producto con rango “2” no es dosveces mejor que uno de rango “1”.

1.4.5.3 Medidas en escala de intervalo

Medidas en una escala numérica en la cual el valor de cero es arbitrario pero ladiferencia entre valores es importante. Los datos de intervalo son cuantitativos pornecesidad; una escala de intervalo no siempre tiene un punto cero.

En una escala de intervalo las variables se miden de manera numérica, y al igual quelos datos ordinales, llevan inherente un rango u ordenamiento. Sin embargo, adiferencia de los rangos ordinales, la diferencia entre los valores es importante. Por eso,las operaciones aritméticas de suma y resta, son significativas.

1.4.5.4 Medidas en escala de razón

Medidas numéricas en las cuales cero es un valor fijo en cualquier escala y ladiferencia entre valores es importante. Con datos medidos en una escala de razón, sepuede determinar cuantas veces es mayor una medida que otra.

La escala de razón se basa en un sistema numérico en el cual el cero es significativo.Por tanto las operaciones de multiplicación y división también toman unainterpretación racional. Una escala de razón se utiliza para medir muchos tipos dedatos que se encuentran en el análisis empresarial. Variables tales como costos,rentabilidad y niveles de inventario se expresan como medidas de razón. Por ejemplo,

una firma con una participación en el mercado del 40% tiene dos veces másparticipación que una firma con una participación en el mercado del 20%. Lasmedidas tales como peso, tiempo y distancia también se miden en una escala derazón, ya que cero es significativo y un artículo que pesa 100 libras tiene la mitad delpeso de un artículo que pesa 200 libras.


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Batería 1 de ejercicios:

1. Describa en sus propios términos la diferencia entre una población y una muestra;entre un parámetro y un estadístico.

2. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa y una variable cualitativa. Déejemplos.

3. Diferencie entre una variable continua y una variable discreta. Dé ejemplos decada una.

4. Seleccione una población cualquiera que sea de su interés. Identifique variables

cuantitativas y cualitativas de esa población que puedan seleccionarse para serestudiadas.

5. Analice si las siguientes variables son discretas o continuas:

a. Número de cursos que los estudiantes de su colegio están cursando estesemestre.

b. Número de pases atrapados por el beisbolista Tim brown, receptor de los LARaiders.

c. Peso de los compañeros de equipo de Tim Brown.

d. Peso del contenido de las cajas de cereal.e. Número de libros que usted leyó el año pasado.

6. ¿En cuál escala de medida puede expresarse cada una de estas variables?Explique sus respuestas.

a. Los estudiantes clasifican a su profesor de estadística sobre una escala de“terrible”, “no tan malo”, “bueno”, “maravilloso” y “dios griego”.

b. Los estudiantes en una universidad están clasificados por profesión, tales comomarketing, administración y contaduría.

c. Los estudiantes están clasificados por cursos utilizando los valores 1, 2 , 3, 4 y 5.d. Agrupar mediciones de líquidos en octavo, cuarto y galón.e. Edades de los clientes.


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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

COMPETENCIA: El estudiante aplicará las técnicas de estadística descriptiva a unconjunto de datos mediante el uso de modelos tabulares y gráficos, con el fin dedescribir dicho conjunto y utilizar dicha información en el proceso de toma dedecisiones.

Organización y representación de datos

Distribución de frecuencias tabulares y gráficas

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis

Medidas de posición


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Cbtis No. 50 Probabilidad y est

apuntes de probabilidad y estadc3adstica

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