ESTADSTICA GENERAL

ESTADSTICA APLICADA

ProbabilidadesLa Estadstica, como un mtodo de toma de decisiones, debe evaluar la confiabilidad y riesgos existentes en todo proceso de estimacin. Esto es posible gracias a la teora de probabilidad, que permite generar indicadores de confiabilidad o riesgo.Revisin rpida de teora de conjuntos.

Sean los conjuntos A y B tal que , entonces se puede decir que A y B son subconjuntos de (en la teora de conjuntos a se le conoce como espacio universal)

El nmero de elementos que contiene el conjunto A se define como . El nmero de elementos que contiene el conjunto B se define como .

El nmero de elementos que es contenido por los conjuntos A y B se define como .

En probabilidades, Al conjunto se le conoce como Espacio Muestral, a los subconjuntos A y B se les conoce como Sucesos o Eventos, y a los elementos de los subconjuntos o conjuntos se les llama maneras de ocurrencia.Revisin de Anlisis Combinatorio.

Es un conjunto de procedimientos que permiten determinar el nmero de resultados de un suceso o experimento, sin utilizar una enumeracin directa de todos los posibles resultados de dicho suceso. El anlisis combinatorio est basado en los siguientes principios bsicos:1.1. Principio de adicin

Sean los conjuntos A y B provenientes de un conjunto , el nmero de resultados posibles en que puede ocurrir el suceso A o el suceso B (definido por ) es dado por:

donde:

Nmero de maneras en que puede ocurrir el suceso A. Tambin se puede ver como el nmero de elementos que contiene A

Nmero de maneras en que puede ocurrir el suceso B.

Nmero de maneras en que puede ocurrir el suceso A y B.Ejemplo.

En una reunin hay 100 estudiantes, donde 30 son estudiantes de la UPNORTE. Si se sabe que de los 100 estudiantes hay 25 estudiantes de la especialidad de Ing. Industrial. Adems, hay 5 estudiantes que son de la UPNORTE y de la especialidad de Ing. Industrial. Cuntos son estudiantes de Ing. Industrial o que sea un estudiante de la UPNORTE?

A = {Estudiante de la UPNORTE} B = {Estudiante de la especialidad de Ing. Industrial}

AB={El estudiante es de la especialidad de Ing. Industrial y sea de la UPNORTE}

Por lo tanto el nmero de estudiantes que sean de la UPNORTE o de la especialidad de Ing. Industrial son:

1.2. Principio de la multiplicacin

Dados los sucesos , si el suceso puede ocurrir de maneras diferentes, y luego ocurrir , puede ocurrir otro suceso de maneras diferentes, y luego de ocurrir , puede ocurrir el suceso de maneras diferentes, y as sucesivamente; entonces el nmero de maneras diferentes en que pueden ocurrir consecutivamente los sucesos es dado por:

Ejemplo:

Una persona desea comprar un televisor y un horno a microondas, ingresa a una tienda y el vendedor le muestra 3 marcas diferentes de televisores y 4 marcas distintas de hornos a microondas. De cuantas maneras diferentes esa persona puede efectuar su compra?Solucin:

={El cliente compra un televisor}

={El cliente compra un horno microondas}

1.3. Permutaciones. ( el orden es importante)Una permutacin de un conjunto de elementos es una disposicin de tales elementos de acuerdo a un origen establecido. El nmero de permutaciones de n elementos tomados r cada vez (de r en r) se define por:

Donde:

Ejemplo:

Luis, Paco y Hugo se encuentran esperando la atencin en una ventanilla y cerca existe una banca con 2 sillas. De cuantas maneras se pueden ubicar a esas personas en las sillas?

Solucin:

Se define el evento o suceso:A={Nmero de maneras de ubicarse en las dos sillas}

LPPLLHHLPHHP

1S2S1S2S1S2S1S2S1S2S1S2S

Ejemplo

Si en un concurso de belleza a Miss Per llegan a la final 6 candidatas de cuantas maneras pueden ganar los tres primeros puestos?.

Ejemplo

De cuantas maneras 3 mujeres y 2 hombres pueden sentarse en una fila? De cuantas maneras pueden sentarse si los hombres se sientan juntos y las mujeres tambin?

De cuantas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan juntas

Resp 120, 24, 36Ejemplo

Supngase que una urna contiene 8 bolas .Hallar el numero de pruebas ordenadas de tamao 3 ( i ) con sustitucin (ii) sin sustitucin 1.4. Permutaciones con elementos semejantes.Es el conjunto de disposiciones distinguibles que se puede formar cuando algunos elementos son semejantes. El nmero de permutaciones de n elementos, de los cuales son iguales entre s es dado por:

Ejemplo:Cuntas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra ESTADISTICA (aun cuando no tengan significado) ?

Solucin:Palabra: ESTADISTICA (11 letras)

Letras: E S T A D I C

Frecuencia: 1 2 2 2 1 2 1

1.5. Combinaciones.

Una combinacin de un conjunto de elementos de una seleccin de tales elementos sin tener en cuenta su orden. El nmero de combinaciones de n elementos tomados r cada vez (de r en r) es dado por:

Ejemplo:Luis, Paco y Hugo se encuentran esperando la atencin en una ventanilla y cerca existe una banca con 2 sillas. De cuantas maneras se pueden ocupar las 2 sillas?Solucin:

Se definen el evento o suceso:

A={Nmero de maneras de ocupar las dos sillas}

LuisPacoLuisHugoPacoHugo

1S2S1S2S1S2S

Ejemplo Un equipo de bsquet tiene 12 jugadores disponibles de cuantas maneras el entrenador puede escoger a sus jugadores (5)Si siempre excluye a los dos ms bajos

Si siempre incluye al ms alto

2. Probabilidad.

Es un nmero real que expresa la confianza o incertidumbre de la ocurrencia de un suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.Para definir formalmente el concepto de probabilidad es necesario tener en cuenta algunas definiciones.

2.1. Definiciones Previas.

a. Experimento Aleatorio (E)

Es una operacin o acto cuyo resultado no se puede predecir con certeza y que se realiza bajo lo siguientes criterios:

Puede ser repetido bajo las mismas condiciones

Se puede describir el nmero de resultados posibles.

Se puede establecer un modelo matemtico asociado a E.

Ejemplo:

E1={Extraer una esfera de una urna que contiene 5 esferas de color azul y 2 rojas}

E2={Contar el nmero de piezas defectuosas producidas por una mquina durante la produccin diaria}E3={Tiempo de vida de un foco de luz}

b. Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio E.

{Azul, rojo}

EMBED Equation.3

c. Punto muestral

Es cualquier elemento de . Si entonces tienen n puntos muestrales

Ejemplo:

los puntos muestrales son ,

d. Evento

Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Los eventos se identifican mediante maysculas.

Ejemplo:

Si se define el experimento aleatorio E={Resultado de un partido de ftbol}, su espacio muestral ser {ganar, empatar, perder} ; si se define el siguiente evento: A={Obtener al menos un punto como resultado}

A={ganar, empatar}Eventos mutuamente excluyentesDos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, es decir no pueden ocurrir simultneamente. Se cumple que .

Ejemplo:

Un experimento aleatorio consiste seleccionar un alumno al azar de la UPNORTE y anotar su facultad. Sean los eventos:A={El alumno seleccionado al azar pertenece a la Facultad de Ing. Industrial}

B={El alumno seleccionado al azar pertenece a la Facultad de Administracin}

Por lo tanto A y B son eventos mutuamente excluyentes dado que un alumno no puede pertenecer a dos facultades a la vez.Eventos colectivamente exhaustivos o Eventos complementarios:Dos eventos A y B son complementarios si son mutuamente excluyentes y su unin es el espacio muestral. Es decirse cumple que: y

Si A y B son complementarios entonces se puede expresar lo siguiente:

y

Tambin se puede decir B es el complemento de A por lo tanto B es todo lo que no le pertenece a A considerando que

Ejemplo:En un curso dictado por un profesor 5 alumnos tienen los siguientes promedios finales: 10, 12, 14, 18 y 16.

Se define el experimento aleatorio E={Elegir un alumno al azar} y los eventos:

A={El alumno seleccionado aprob el curso}

B={El alumno seleccionado desaprob el curso}Por lo tanto A y B son eventos complementarios considerando que

La probabilidad que la secretaria del Departamento de estadistica reciba a lo mas 5 llamadas telefnicas al da es 0.20; y por lo menos 9 llamadas en un da es de 0.50 Cul es la probabilidad de que la secretaria reciba 6,7 u 8 llamadas en un da?Respuesta 0.3Una caja contiene 100 tubos de nen, la probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0.05 y de que haya al menos dos tubos es 0.01 Cul es la probabilidad de que la caja contenga :

Ningn tubo defectuoso

Exactamente un tubo defectuoso

A lo mas un tubo defectuoso

Resp 0.95, 0.04, 0.992.2. Definiciones de probabilidad de un evento.a. Definicin subjetiva (o personalista)

Las probabilidades subjetivas se basan en una combinacin de experiencias del individuo, la opinin personal y el anlisis de una situacin particular. La probabilidad subjetiva es muy utilizada en la toma de decisiones, donde la probabilidad de diversos eventos no puede determinarse empricamente.Ejemplo:

La probabilidad que el Per clasifique al Mundial de Brasil 2014 esb. Definicin Clsica de probabilidad (a priori)

Si un experimento aleatorio E tiene resultados mutuamente excluyentes e igualmente posibles, y si

De tales resultados estn a favor de un evento A; entonces, la probabilidad de ocurrencia del evento A es dada por:

Se dice que es a priori porque antes de realizarse el experimento ya se sabe cual es la probabilidad de que ocurra el evento A.

Ejemplo:

Del ejemplo anterior, calcular la probabilidad de seleccionar un alumno desaprobado (10, 12, 14, 8, 16):

Solucin:

A:{Elegir un alumno desaprobado}

EjemploDos personas se distribuyen al azar en tres oficinas numeradas con 1, 2 ,3 respectivamente, pudiendo estar ambos en una misma oficina

Cul es la probabilidad que la oficina dos quede vaca?

Cul es la probabilidad que dos oficinas queden vacas?

Resp 4/9 3/9c. Definicin de probabilidad a partir de frecuencias relativas (a posteriori)

Si un experimento aleatorio E se repite n veces bajo las mismas condiciones y n(A) resultados estn a favor de un evento A, la frecuencia relativa del evento es frA=nA/n y la probabilidad estimada se conoce despus de realizar el experimento

Ejemplo:

La siguiente tabla de frecuencias muestra los pesos de los rendimientos de maz (en Tn.) de 20 parcelas de un experimento llevado a cabo en el fundo de cultivo:

Rendimiento[1.3-2.3)[2.3-3.3)[3.3-4.3)[4.3-5.3)[5.3-6.3]

N de parcelas24653

Si se elige una parcela al azar:

Cul es la probabilidad de que se obtenga una parcela que tenga un rendimiento mayor o igual a las 2.3 Ton. Pero menor a las 4.3 Ton.?Solucin:A:{Elegir una parcela mayor o igual a las 2.3 Ton. Pero menor a las 4.3 Ton.}

Note que la probabilidad obtenida es despus de realizarse el experimento

d. Definicin axiomtica de probabilidadSea E un experimento aleatorio, su espacio muestral asociado y A un evento cualquiera de . Un nmero real es P(A) llamado probabilidad de ocurrencia del evento A, si satisface las siguientes condiciones:

Si los eventos son eventos mutuamente excluyentes, es decir se cumple que:

Propiedades bsicas de probabilidad:

Si es el conjunto vaco, entonces

Si es el conjunto vaco, entonces

2.3. Referencia de Teoremas.Teorema: Si A y B son dos eventos de un espacio muestral , entonces la probabilidad que ocurra el evento A o que ocurra el evento B es igual a:

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes entonces se cumple que:

Ejemplo: La probabilidad que un alumno apruebe el curso de Matemtica Bsica es de 0.4 y la probabilidad de que apruebe el curso de Qumica General es igual a 0.5 y la probabilidad de que apruebe ambas materias es 0.3. Calcular la probabilidad que apruebe al menos un curso.

Solucin:

Sean los eventos:

A: {El alumno apruebe el curso de Matemtica Bsica}

B: {El alumno apruebe el curso de Qumica General}

Teorema: Si A es un evento de un espacio muestral , y su complemento, entonces se cumple:

Ejemplo:Del ejemplo anterior, calcule la probabilidad de que el alumno desapruebe el curso de Matemtica Bsica:

Solucin:

A: {El alumno no apruebe el curso de Matemtica Bsica}

2.4. Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos de un espacio muestral , entonces, la probabilidad condicional que ocurra el evento A dado B es igual a:

siendo que

Si A y B son dos eventos de un espacio muestral , entonces, la probabilidad condicional que ocurra el evento B dado A es igual a:

siendo que

Ejemplo:La Oficina de Estudios, realiz una investigacin en la cual clasific a los alumnos del ciclo bsico por sexo y algunos de los cursos que estaban llevando por segunda vez, obteniendo los siguientes resultados (se asume que se matriculan en un solo curso):

CursosSexo

HombresMujeresTotal

Matemtica Bsica121729

Qumica General 141327

Castellano131326

Total394382

Si se elige un alumno al azar:

a) Cul es la probabilidad de elegir un alumno que se encuentre matriculado en Castellano, si se sabe que es mujer?A:{El alumno se encuentre matriculado en Castellano}

B:{El alumno es mujer}

b) Cul es la probabilidad de elegir a una alumna, si se sabe que se encuentre matriculado en Qumica?c) Cul es la probabilidad de elegir un alumna que no se encuentre matriculado en Castellano, si se sabe que el mujer? 30/43d) Cul es la probabilidad de elegir un alumno que se encuentre matriculado en Castellano o Matemtica Bsica, si se sabe que es hombre? 25/39e) Cul es la probabilidad de elegir una alumna que se encuentre matriculado en Matemtica si se sabe que es mujer?

f) Cul es la probabilidad de elegir un estudiante que no se encuentre matriculado en Castellano y se encuentre matriculado en Qumica General, si se sabe que es hombre?En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30 % son de letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y de los de letras el 40% son varones. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad de que:Sea un estudiante varn

Sea un estudiante varn, si es de ciencias

Sea un estudiante de ciencias, si es varn

Sea un estudiante de ciencias y varn

Resp 0.54, 0.6, 0.778 y 0.42Un hombre tiene dos carros viejos A y B; ellos tienen problemas parar arrancar en las maanas fras. La probabilidad de que ambos arranquen es 0.1; la probabilidad que arranque B y A no, es 0.2; la probabilidad que ninguno de ellos arranque es 0.4.

Hallar la probabilidad que el carro A arranqueHallar la probabilidad que arranque A, dado que arranc B

Hallar la probabilidad que arranque B , dado que A no arrancResp 0.4,1/3,1/3

Propiedades de probabilidad condicional.

Si los eventos son k eventos de mutuamente excluyentes, es decir se cumple que:

2.5 Regla de multiplicacin de probabilidades.Si A y B son dos eventos en el espacio muestral ; por la definicin de probabilidad condicional se sabe que:

Ejemplo:

Se hizo un estudio y se encontr que el 60% son hombres y el 40% son mujeres. Se sabe adems que el 30% de los hombres y el 10% de las mujeres fuma. Determine la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea hombre y fume.

Solucin:

Se definen los eventos:

H: {EL estudiante seleccionado es hombre}

M: {El estudiante seleccionado es mujer}

F: {El estudiante seleccionado fuma}

; ; ;

Diagrama de rbol

F

HFC

F

M

FC

La probabilidad de elegir al azar un alumno que sea hombre y fume:

2.6. Ley de probabilidad totalSean los eventos que cumplen las siguientes condiciones:

(Eventos mutuamente excluyentes) (Eventos colectivamente exhaustivos)

Luego cualquier otro evento B se puede obtener mediante la siguiente igualdad:

Ejemplo:Suponga que solo los candidatos K y F compiten a la alcalda de Lima y las probabilidades de que estos candidatos ganen son 0.4 y 0.6 respectivamente. La probabilidad de que se realice un nuevo intercambio vial en el distrito es de 0.2 si gana K y 0.3 si gana F. Calcule la probabilidad de que se construya el intercambio vial.

Solucin:Se definen los eventos:

R={El candidato K gana las elecciones}

F={La candidata F gana las elecciones}

I={El intercambio vial es construido}

; ; ; ;

2.7 Teorema de Bayes.Sean los eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos con para ; para cualquier otro evento B (no nulo)

Ejemplo:

Del ejemplo anterior, hallar la probabilidad que la candidata F haya ganado si se sabe que despus de las elecciones el intercambio vial fue construido.

Solucin:

Se definen los siguientes eventos:

R:{El candidato K gana las elecciones}

F:{La candidata F gana las elecciones}

I: {El intercambio vial es construido}

; ; ; ;

Ejercicio.1. El propietario de una tienda de discos clasifica a las personas que entran en su tienda en clientes muy jvenes, clientes de edad universitaria y clientes mayores; se sabe que el 30%, 50% y 20% pertenecen a esas categoras respectivamente. El propietario tambin comprueba que el 20% de los clientes muy jvenes, el 60% de los clientes universitarios y el 80% de los clientes mayores realizan alguna compra.a. Cul es la probabilidad de que un cliente elegido al azar haga alguna compra?

b. Si un cliente elegido al azar realiza una compra, Cul es la probabilidad que sea muy joven?

c. Si un cliente elegido al azar realiza una compra, cul es la probabilidad de que sea muy joven?d. Si un cliente elegido al azar no hace una compra, cul es la probabilidad de que sea muy joven?

2. Un banco ha estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un prstamo personal es de 0.2. Tambin ha estimado que el 30% de los prstamos no pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones. Calcular.

a. La probabilidad de que un prstamo que se haya hecho para financiar un viaje de vacaciones no se pague.

b. La probabilidad de que si el prstamo para propsitos distintos a viajes de vacaciones sea pagado a tiempo.Martn M, gerente del departamento de crdito del BCP, sabe que el banco utiliza tres mtodos para conminar a pagar a sus clientes morosos. De los datos se tiene registrado, el sabe que el 70% de los deudores son visitados personalmente , el 20% se le sugiere que paguen por va telefnica y al restante 10 % se le enva una carta .Las probabilidades de recibir algn pago como consecuencia de tres metidos son 0.75,0.60 y 0.65, respectivamente. Martn acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. Cul es la probabilidad de que la peticin de pago se haya hecho hecho a. personalmente

b. por correoTodas las noches el seor Porras llega tarde a su casa. La seora Porras ,le deja encendida la luz de la entrada de la casa. La probabilidad que Porras llegue borracho es 0.60. si llega borracho, hay una probabilidad de 0.90 que se olvide de apagar la luz en tanto es solo de 0.05 si llega sobrio

Cul es la probabilidad de que el seor Porras apague la luz una noche cualquiera?

Dado que el seor Porras apago la luz una cierta noche. Cul es la probabilidad de que haya llegado borracho?

El profesor Lpez dicta un curso de estadstica y quiere tomar una prueba en cada clase. Sabedor que a veces se olvida de ir a hacer su clase, a dado instrucciones a su jefe de practicas que se haga cargo de la clase cuando el esta ausente. Si el profesor Lpez hace la clase , la probabilidad es de 0.70 de que tome la prueba en tanto que si el jefe de practica hace la clase ,esta probabilidad es solo de 0.10si el profesor Lpez falta el 80% de las clases.Cul es la probabilidad de que haya prueba en una clase dada ?Suponiendo que hubo prueba en una clase determinada Cul es la probabilidad de que el seor Lpez haya estado ausente ?

Tres maquinas I, II y III manufacturan el 30%, 30% y 4% de la produccin total de cierto articulo. Las maquinas producen un 4%, 3% y 2% de productos defectuosos , respectivamente .Se toma un articulo al azar , se prueba y resulta ser defectuoso. Cul es la probabilidad de que haya sido manufacturado por la maquina

De los alumnos del primer ao de un determinado programa acadmico, se sabe que el 40% asisti a centros secundarios privados y el 60% asisti a centros estatales. El registro de matricula seala que al final del curso alcanzaron una nota media A el 30% de los alumnos que asistieron a centros secundario privados y solo el 20% de los que asistieron a centros estatales. Al final del ciclo, se elige al azar a un alumno de dicho curso y tiene nota media A. Cul es la probabilidad de que el alumno hubiera asistido a un centro estatal?Una estacin meteorolgica suele acertar el 60 % de las veces que pronostico da lluvioso, tambin la probabilidad de acertar en su pronostico dado que indica tiempo no lluvioso es de 0.8. Se sabe que la probabilidad de que llueva en un da cualquiera es de 0.25 Cul es la probabilidad que la estacin de un pronostico correcto en un da cualquiera ?Cul es la probabilidad de que llueva dado que se sabe que el pronostico esta correcto?

Add hace planes para un da de campo de la compaa. Lo nico que podra cancelarlo seria una tormenta .El servicio de informacin del clima ha pronosticado condiciones seca con una probabilidad de 0.2, condiciones hmedas con una probabilidad de 0.45 y condiciones lluviosas con probabilidad de 0.35.Si la probabilidad de una tormenta elctrica dadas las condiciones secas es 0.3 , dadas las condiciones hmedas es 0.6 y dadas las condiciones de agua es 0.8 Cul es la probabilidad de una tormenta elctrica ?

Si supiramos que el da de campo de hecho se cancelo, Cul es la probabilidad de que las condiciones hayan sido de humedad?

2.7. Independencia de eventos.Dos eventos A y B son independientes si:

Dos eventos se consideran independientes si la ocurrencia de ellos no afecta la ocurrencia del otro evento. Es decir si son independientes, entonces:

Ejemplo:

La probabilidad de que Miguel apruebe Qumica General es de 0.3 y la probabilidad de que Jessica apruebe Fsica General es 0.6. Hallar la probabilidad de que ambos aprueben sus cursos.

Solucin:

A:{Miguel apruebe Qumica General}

B:{Jessica apruebe Fsica General}

Ambos eventos son independientes dado que la probabilidad de que Miguel apruebe su curso no depende de si Jessica apruebe su curso, entonces:

Teorema: Sean A y B dos eventos independientes, entonces tambin sern independientes:

Ejercicio:Una compaa de seguros estima que el 30% de los accidentes de automvil son debidos a las condiciones climatolgicas y que el 20% provocan heridos. Adems el 40% de los accidentes que dan lugar a heridos son debido a condiciones climatolgicas.a. Cul es la probabilidad de que un accidente elegido al azar haya sido causado por condiciones climatolgicas y haya dado lugar a heridos.

b. Son lo sucesos debido a las condiciones climatolgicas y da lugar a heridos independientes.c. Si un accidente elegido al azar es causado por las condiciones climatolgicas, cual es la probabilidad de que haya dado lugar a heridos?

d. Cul es la probabilidad de que un accidente elegido al azar haya sido provocado por las condiciones climatolgicas y no haya causados heridos?

1. En cierta poblacin la probabilidad de que un individuo sea de color moreno es 0.30 y que tenga ojos verdes es 0.15. Ambas caractersticas son independientes.

a) Cul es la probabilidad de que un individuo al nacer presente slo una de estas caractersticas?

b) Si nacen 3 individuos, cual es la probabilidad de que slo uno tenga ojos verdes.

2. En una cierta facultad el 25% de los estudiantes desaprueban Matemtica, el 15% Qumica y el 10% ambas materias. Se selecciona un estudiante al azar.

a) Si ha desaprobado Qumica, cul es la probabilidad de que desapruebe Matemtica?

b) Si tiene Qumica aprobada, cul es la probabilidad de que tenga tambin Matemtica aprobada?1. Si se escoge al azar tres lamparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas .hallar la probabilidad de que: Ninguna sea defectuosa

Exactamente una sea defectuosa

Una por lo menos defectuosa

2. a probabilidad que un hombre viva 10 aos mas es 1/4, y la probabilidad de que su esposa viva 10 aos mas es 1/3. Suponiendo que estos eventos son independientes, hallar la probabilidad que:

a) Por lo menos uno de ellos est vivo entre los 10 aos

b) Ninguno est vivo entre los 10 aos

c) Solamente la esposa est viva entre los 10 aos

3. Jaime se presenta a un examen de manejo varias veces hasta que lo aprueba. Suponga que la probabilidad que lo apruebe en cualquier examen sea de 0.1 y que las pruebas son independientes. Calcular la probabilidad que le tome cuatro intentos. Calcular la probabilidad que le tome por lo menos cuatro intentos.

De un grupo de personas , el 30% practica ftbol y el 40% practica ajedrez. De los futbolistas el 50% juega ajedrez. Si se elige al azar una persona. Cul es la probabilidad de que:

Juegue ftbol o ajedrez

Practique uno de estos deportes

No practique ni ftbol ni ajedrez

Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que P(A)=0.20 P(B)= 0.30 y P(AB)=0.10

Calcular

EMBED Equation.3

5

25

30

Fuente: recopilado y editado de diversos materiales (UNALM y otros)

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