apuntes introducc resistencia de materiales

8/18/2019 apuntes introducc resistencia de materiales

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Apuntes para una breve introducción a la

RESISTENCIA DE MATERIALES

y temas relacionados.

Universidad de Valladolid

Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de estructuras

Reimpresión - Septiembre de 2014


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Prólogo y Licencia

Estos “Apuntes para una breve introducción a la Resistencia de Materiales y temas relacionados” han sido elabora-dos con la intención de que sirvan de guía al alumno en su primera (y segn el caso! nica" asignatura relacionada

con la Resistencia de Materiales y las estructuras! en las titulaciones de #rado que han comen$ado a impartirse el

curso %&&'-& en el )mbito del Espacio Europeo de Ense*an$a +uperior en la ,niversidad de alladolid.

+e abordan tantos aspectos relacionados con los sólidos resistentes y las estructuras como se ha considerado ra$ona-

blemente posible! sin pro/undi$ar demasiado en ninguno de ellos! sino m)s bien pretendiendo o/recer un panorama

general amplio sobre la materia. 0on ello se espera cubrir tanto las necesidades del estudiante que solamente cur-

sar) una asignatura relacionada con la Resistencia de Materiales! el cual adquirir) la deseable “cultura general” al

respecto para 1u$gar casos sencillos y para poder comunicarse e2ca$mente en el /uturo con un especialista! como

las del estudiante que cursar) (o tendr) oportunidad de cursar" otras asignaturas relacionadas! el cual podr) cons -

truirse un marco mental de re/erencia donde ir “colocando” los conocimientos en los que pro/undi$ar).

3ebido al car)cter introductorio del curso! cada uno de los contenidos abordados en estos apuntes se pueden encon-trar tratados con mayor amplitud y pro/undidad en muchos otros te4tos. 5recisamente! se ha considerado que la

oportunidad de este documento radica en o/recer al estudiante una re/erencia concisa y 1ustamente del nivel preten-

dido de la amplia diversidad de temas previstos! recomendando como complemento re/erencias e4istentes en las

que el nivel inevitablemente supera lo establecido para el curso.

6asta la /echa! las sucesivas reimpresiones incluyen la ampliación de uno de los ap7ndices! la corrección de las erra-

tas observadas! y algunas modi2caciones menores.

______________________

Este trabajo se publica bajo la licencia “Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0

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2ajo las si#uientes condiciones' – Atribuci%n “24”5- Ud. debe atribuir este trabajo a sus autores en la manera especi6cada por ellospero no de una manera ue su#iera ue los autores le respaldan a Ud. o al uso ue Ud. hace del trabajo deellos5. En este caso! debe atribuir la autor7a al “8rea de +ec9nica de +edios Continuos " :eor7a de estructu-ras de la Uniersidad de ,alladolid”! como orma #en;rica de reconocimiento a los proesores de dicho 8reaue han elaborado este trabajo.

– No comercial “NC”5- Ud. no debe usar este trabajo para 6nes comerciales.

– Compartir de la misma manera “SA”5- Si Ud. transorma! o hace una obra deriada de este trabajo!Ud. puede distribuir el resultado


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Índice de contenido1.- Introducción.........................................................................................................1

Algunos eno!ues de estudio del sólido real................................................................................."#ormas estructurales básicas........................................................................................................$

Materiales........................................................................................................................................%Acciones sobre la estructura..........................................................................................................&'b(etivos en el análisis de la estructura........................................................................................)

2.- Euili!rio y Ten"ión...........................................................................................#*!uilibrio estático............................................................................................................................+Concepto de Tensión....................................................................................................................",Tensor de Tensiones...................................................................................................................."-

Simetría del tensor de tensiones.................................................................................................15

irecciones y Tensiones /rincipales..........................................................................................")0epresentación de Mo1r.............................................................................................................."2

$.- El Sólido El%"tico..............................................................................................223ociones sobre la eormación...................................................................................................--*nsayo de Tracción......................................................................................................................-4*nsayo de Torsión........................................................................................................................-25ey de Comportamiento *lástica 5ineal......................................................................................$"Criterios de /lasti6cación.............................................................................................................$-

Líneas Lüder............................................................................................................................... 33 Ensayos de Lode........................................................................................................................ 33 Ensayos de Bridgman.................................................................................................................34 Criterio de Tresca....................................................................................................................... 35 Criterio de Von Mises..................................................................................................................38

&.- Tracción ' (le)ión de *arra" Recta"..........................................................&2

7ntroducción y Concepto de *suer8o.........................................................................................4-9ipótesis adoptadas.....................................................................................................................4)0elación entre cargas y esuer8os. *cuaciones de *!uilibrio...................................................%,Cálculo de Tensiones 3ormales en la :ección..........................................................................%-0elación entre ;iros y espla8amientos transversales............................................................%%Tra8ado de iagramas de *suer8os y espla8amientos........................................................%)

Traado a mano alada..............................................................................................................!" Traado mediante integraci#n e$%lícita de las ec&aciones.......................................................... !'

*stimación de las Tensiones Tangenciales en la :ección........................................................&+Secciones Macias..................................................................................................................... '" Secciones con (lma...................................................................................................................'1Secciones de )ared *elgada......................................................................................................'+

+.- Tor"ión ,niore en *arra" Recta"............................................................/&;eneralidades...............................................................................................................................)4Torsión en barras de sección circular.........................................................................................)%

Secci#n circ&lar ,&eca de %ared delgada...................................................................................'5 Secci#n circ&lar ,&eca de %ared gr&esa.....................................................................................'' )er-l circ&lar macio...................................................................................................................'8

3ociones sobre la torsión en barras de sección no circular......................................................)20.- Ine"ta!ilidad y Pandeo....................................................................................$

Concepto de 7nestabilidad Mecánica..........................................................................................2$Carga Crítica de *uler..................................................................................................................245ongitud de /andeo......................................................................................................................2&

*sbelte8 Mecánica........................................................................................................................2+M


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'tros enómenos de 7nestabilidad...............................................................................................+")andeo Lateral............................................................................................................................ 1(/ollad&ra.................................................................................................................................. +

/.- E"tructura" de *arra"......................................................................................#&Concepto de 9iperestaticidad.....................................................................................................+4

Armaduras isostáticas..................................................................................................................+)0n eem%lo............................................................................................................................... 1"" 2otas so/re la eec&ci#n..........................................................................................................1"3

*structuras 9iperestáticas de 3udos 0ígidos.........................................................................",%&ndamentos del Mtodo de Com%ati/ilidad............................................................................1"5 &ndamentos del Mtodo de E&ili/rio.....................................................................................1"'

.- Nocione" "o!re tea" relacionado"........................................................112*l 9ormigón.................................................................................................................................""-*l Terreno....................................................................................................................................""&

6esistencia y 7allo del terreno...................................................................................................11' Com%ortamiento en sericio del terreno....................................................................................1++

5a Cimentación..........................................................................................................................."-$

9a%atas.................................................................................................................................... 1+4 :tros elementos de cimentaci#n directa...................................................................................1+8 Cimentaciones %ro7&ndas..........................................................................................................13"

Uniones en *structura Metálica................................................................................................."$-Medios de &ni#n....................................................................................................................... 13+ 2&dos....................................................................................................................................... 135 )er-les com%&estos.................................................................................................................. 13

5a 3ave 7ndustrial......................................................................................................................."4"Las cerc,as y los %#rticos........................................................................................................141La c&/ierta................................................................................................................................ 14+ Los entramados laterales y la iga contraiento........................................................................144 El %&ente gr;a.......................................................................................................................... 14!

A3ndice A. 4lge!ra de 5ectore" De"li6ante".............................................1&;eneralidades............................................................................................................................."42'peraciones básicas.................................................................................................................."4+

(dici#n !?@

*B SEA(@ !.3.+.1...................................................................................................................... 1'1Ta/las de %resi#n de ,&ndimiento del terreno ,


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(lg&nas %ro%iedades de 7&nciones %olin#micas elementales....................................................1'4

*i!liogra7a.............................................................................................................1//


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1.- Introducción

Algunos enfoques de estudio del sólido real

*l comprender de manera completa la totalidad de los enómenos !ue ocurren en un procesoísico cual!uiera puede ser algo demasiado diícil= y en general resultar de dudosa utilidaddesde el punto de vista práctico.

#recuentemente es posible identi6car un con(unto de parámetros !ue representen de manerasu6ciente a!uellos aspectos del proceso !ue más nos interesan. 5as >leyes ísicas? e@presanrelaciones predecibles entre esos parámetros de inter


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1.- Introducción Pág. 2

*n este curso estamos interesados en los enómenos de deormación= daBo= y posible rotura=!ue pueden ocurrir en los sólidos reales. Centraremos el estudio en las condiciones estáticasFt


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*l estudio de las disciplinas básicas enumeradas permite abordar otras más especiali8adas.*ntre ellas= como continuación y aplicación de sus conocimientos= podemos citar las *structuras Metálicas= *structuras de 9ormigón= *structuras de Madera= etc. *l diseBo de los elemen

tos de Má!uinas y Mecanismos en su aspecto resistente tambisección? o >per6l? de la barra= aldespla8arse a lo largo de un segmento de recta perpendicular a ella= !ue llamamos >directri8?de la barra. *ntendemos por viga F6g "."aG a!uella barra !ue está su(eta en algunos FpocosGpuntos= y !ue soporta cargas transversales a ella= situadas en otros puntos. /or pilar F6g"."bG entendemos a!uella barra !ue soporta cargas undamentalmente longitudinales con su

e(e. #recuentemente se reserva el cali6cativo de pilar para las barras verticales de las construcciones de edi6cación= !ue suelen traba(ar de la manera indicada= en concreto a compresión Fno a tracciónG. 5as >armaduras? F6g "."eG son estructuras metálicas de barras muy lige ras y esbeltas= como las !ue suelen ormar el cuerpo de las grandes gras Fpara obra civil ourbana= portuarias= etcG= y los es!ueletos resistentes de las cubiertas de muc1as navesindustriales= polideportivos= etc. 5as barras de las armaduras= por cómo están diseBadas ymontadas= en general sólo admiten cargas longitudinales con la propia barra= siendo en esesentido parecidas a los pilares. /ero por una parte= estas barras para armaduras suelen sermuc1o más esbeltas= y por otra parte pueden traba(ar a tracción o a compresión. :u granesbelte8 las 1ace especialmente propensas a surir enómenos de inestabilidad= y su monta(ey puesta en servicio di6ere muc1o del de los pilares= por lo !ue se estudian por separado.

5as vigas curvas se utili8an generalmente debido a e@igencias de la uncionalidad !ue debeprestar el elemento resistente= aun!ue en ocasiones obedecen a criterios est


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semáoros de trá6co= cuyo soporte tiene directri8 curva= constituyen un e(emplo sencillo de vigacurva. 5a e@igencia de uncionalidad es= en este caso !ue las luces del semáoro cuelguen delcentro de la carretera sin !ue el soporte obstaculice el trá6co.

Una viga de sección variable se proyecta generalmente con la intención de aprovec1ar me(or elmaterial. 5a idea básica es poner sección más gruesa donde la solicitación va a ser mayor. 5ae(ecución de una viga de sección variable es más complicada y por lo tanto cara= !ue una desección constante. *ste es un actor !ue puede contrarrestar ácilmente el a1orro de material= y!ue debe ser sopesado al considerar elementos de este tipo.

Un arco tiene una geometría similar a la de una viga curva= por lo !ue conviene enati8ar la dierencia entre ambosE el arco tiene su curvatura y sus apoyos diseBados de modo !ue= para elestado de carga previsto= traba(e a compresión en todos sus puntos. *sto permite reali8ararcos en materiales !ue no resisten tracción= como pueden ser la piedra o el 1ormigón= eincluso ormar el arco con pie8as !ue no presenten co1esión entre sí FsilleríaG. /or el contrario=

en una viga curva se cuenta con !ue 1abrá tracción en muc1os de sus puntos. *s evidente !ueel diseBo de un arco debe ser especialmente cuidadoso= ya !ue la aparición indeseada de tracciones puede arruinar ácilmente el arco. Muc1as catedrales góticas y románicas tienen magní6cos e(emplos de arcos reali8ados en piedra.

5os cables F6g "."dG= al contrario !ue los arcos= no pueden soportar otra cosa !ue no sea tracción. :u geometría se adapta de orma natural a las cargas para !ue ello resulte así. *n estruc turas convencionales= el cable suele usarse en orma de tirante= es decir para intentar mantenerla distancia entre dos puntos de la estructura !ue de otro modo tenderían a separarse entre sí.*n esos casos el cable recibe las acciones por sus e@tremos= y adopta una geometría recta.

Una membrana puede entenderse como >un cable con una dimensión más?E no presenta resis

tencia a ser doblada y no puede soportar compresiones Fal igual !ue el cableG. Un e(emploamiliar de membrana es la tela !ue orma un globo aerostático. *n estructuras 1abituales= lasmembranas son escasamente usadas como elemento resistente.

Una placa F6g "."cG puede entenderse >como una viga recta con una dimensión más?. Al igual!ue las vigas= presenta resistencia a ser curvada= y típicamente está sustentada en algunospuntos mientras soporta acciones transversales a la placa en otros puntos. Un e(emplo amiliarde placa es el tablero de una mesa= o tambior(ado?G entre plantas de un edi6cio no es un buen e(emplo de placa= debido a su construcción con vigas y direcciones preerentes F>or(ado unidireccional?G. Un suelo construido a base de un emparrillado de vigas F>or(ado

bidireccional?G podría asimilarse más a una placa.

Una lámina puede entenderse >como una viga curva con una dimensión más?. Tiene en comncon las placas todas sus características= salvo !ue su geometría no es plana sino alabeada. *ltípico e(emplo de lámina lo constituye la c1apa de la carrocería de un automóvil ba(o la cargaaerodinámica= o ba(o la acción accidental de un peso Funa persona apoyada o sentada sobre lac1apa= etcG.


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:e 1an desarrollado modelos matemáticos especí6cos para el estudio de cada una de las tipologías resistentes anteriores. *stos modelos= más o menos comple(os= resultan en todo caso deaplicar simpli6caciones ra8onables al modelo elástico general. 5os sólidos resistentes de geometría general= es decir a!uellos cuya orma y condiciones de traba(o no permiten aplicar ra8onablemente apro@imaciones simpli6cadoras= deben ser anali8ados mediante tundición?= y presenta propiedades distintasG. *l acero para estructuras es >acero e@tradulce?= de ba(o contenido en carbono Fdel orden del ,.-KG.

5a norma vigente en *spaBa= llamada >Código T5ímite *lás

tico?= característica particular de la !ue 1ablaremos más tarde. 5a >:? esla inicial de >steel?= acero en ingl


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*l 1ormigón consiste en una me8cla de cemento con áridos Farena= grava...G= y agua= y recuentemente otros materiales FaditivosG adicionales. Tras un ciento tiempo de raguado y endurecimiento Ftípicamente -2 díasG= ad!uiere sus propiedades nominales de resistencia. 5as vigas y

pilares de 1ormigón para estructuras suelen e(ecutarse con barras de acero convenientementeembebidas en el interior= a modo de armado= debido a !ue el 1ormigón por sí mismo no tieneapenas capacidad de resistir tracciones. /or tanto= en condiciones normales de servicio= el 1ormigón y sus armaduras de acero constituyen un material uertemente no 1omog


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*l M


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5as comprobaciones anteriores= basadas en las predicciones orecidas por los modelosmatemáticos= se utili8an para validar un determinado diseBo estructural= o apreciar la necesidad de su modi6cación.

/or supuesto e@isten otros criterios aparte de los puramente uncionales y de resistencia. Típicamente= los condicionantes económicos y est


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2.- Euili!rio y Ten"ión

Equilibrio estático

Consideremos como ob(eto de análisis un sólido cual!uiera= !ue en principio podemos suponerrígido= o bien considerar !ue es deormable y !ue se encuentra en su estado deormado tras laaplicación de unas cargas.

9emos adoptado como 1ipótesis básica el !ue los despla8amientos y loscambios de orma del sólido son pe!ueBos. *llo permite plantear el e!uilibrio en la con6guración indeormada con e@celente apro@imación.

5as mencionadas cargas serán un con(unto de uer8as concentradas Fcargas puntualesG o distribuidas Fcomo la acción de la gravedadG= y en todo caso se representan matemáticamentemediante un sistema de vectores desli8antes. Como se indicó en el tema anterior= en ausenciade eectos dinámicos dic1o sistema de vectores debe cumplir las ecuaciones F".-GE

∑⃗#=& ∑⃗M=& F".- bisG

Hue e@presan !ue la resultante de las uer8as debe ser nula= y !ue su momento resultante res

pecto de un punto Fcual!uieraG del espacio debe ser tambi es la 1erramientamatemática oportuna para anali8ar las condiciones de e!uilibrio de un sólido= debido a !ue elestado de e!uilibrio no se ve aectado por la posición de las uer8as dentro de su recta deacción. A modo de resumen= en el Ap


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2.- Equilibrio y Tenión Pág. 1!

Concepto de Tensión

5a tensión es probablemente el concepto ísico más importante de toda la mecánica de medios

continuos en general= y de la mecánica de sólidos en particular.Considcargasaplicadas? o >acciones e@teriores? en el sólido.

5as acciones aplicadas sobre el sólido son esas uer8as concentradas odistribuidas en el contorno= y la posible uer8a en el dominio. Usualmenteson datos= y no se deben conundir con las tensiones internas en elsólido= concepto dierente !ue de6niremos a continuación= y !ue raramente es dato en un problema elástico

7maginemos nuestro sólido dividido en dos partes por una cierta super6cie : como indica la6gura -."a. Consideremos una de las partes del sólido para nuestro análisis Fla i8!uierda en la6guraG. e6nimos un vector n adimensional= de módulo unidad= dirección perpendicular a lasuper6cie : en cada uno de sus puntos= y sentido saliente de la parte del sólido considerada.Asumimos !ue : es tal !ue la evolución de n es continua F: no tiene >es!uinas?G.

5a porción del sólido !ue 1emos aislado debe estar= cómo no= en e!uilibrio. 5as acciones !ueactan sobre ella= y ba(o las !ue debe estar en e!uilibrio= serán las !ue ya actuaban en esaporción en el sólido original= más las acciones !ue la porción eliminada del sólido e(erce sobrela porción considerada a travvector tensión? Fo simplemente >tensión?= cuando el conte@to no da lugar a ambigJedadesG. Toda la mecánica de los medios continuos se apoya en este concepto.

Figura 2.1: Porción de un sólido en equilibrio y concepto de tensión.

dS

dF

S

nστ

Tn

dS

S

n

b)a)


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2.- Equilibrio y Tenión Pág. 11

5a distribución de uer8as transmitida a travdistribución de uer8as? !ue podía actuarcomo carga aplicada en una 8ona de la super6cie real del sólido. e 1ec1o= ambas tienen las

mismas dimensiones Fuer8a dividido por super6cieG= y en realidad tienen id


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#inalmente= consideremos por un momento la porción del sólido !ue ue descartada del análisis en la 6gura -." Fporción derec1aG. 5a misma está limitada por la misma super6cie := pero eneste caso la normal e@terior en un punto sería directamente opuesta a la normal n !ue obtenía

mos al aislar la porción i8!uierda. /or tanto= la normal e@terior en el punto al aislar la porciónderec1a= será n Fver 6gura -.-G.

/or otra parte= el principio de acción y reacción de 3eQton indica !ue la uer8a d ( !ue la porción derec1a e(erce sobre la i8!uierda a trav


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e(es cartesianos coordenados= las componentes de los tensores cambian de acuerdo con unas>ecuaciones de cambio de base?= de las !ue las conocidas ecuaciones de cambio de basepara los vectores son un caso particular. *l lector interesado puede consultar bibliograía más

especí6ca S+=",=""="- al respecto de tensor?.

Vamos a indicar sin mayor (usti6cación !u< contienen las + componentes del tensor de tensiones. Considy?= y tiene

sólido a su i8!uierda. *n el punto /= y en el plano de corte indicado= el vector tensión es Tey =!ue puede e@presarse= como todo vector= por sus tres componentes cartesianas

T@ey = Ty

ey = T8ey segn los e(es @=y=8. Como indica la 6gura -.$= adoptamos para estas compo

nentes la denominación alternativa σy@= σyy= σy8= respectivamente. 3ótese cómo el primer subíndice indica el plano de corte Fmás precisamente= el e(e coordenado perpendicular al plano decorte= !ue es >y? en este casoG= y el segundo subíndice indica la dirección de la componente detensión.

*n un plano de corte !ue pase por el mismo punto /= y cuya normal e@terior coincidiese con e@=1abríamos obtenido otro vector tensión Fen general dierenteG= denotado como T

e) = de com

ponentes σ@@= σ@y= σ@8. Análogamente= si el plano de corte tuviese de normal e@terior e8 = 1abría

mos obtenido otro nuevo vector tensión Te6 = cuyas componentes llamaríamos σ8@= σ8y= σ88.

5as componentes de los tres vectores tensión considerados orman un con(unto de nuevenmeros reales= !ue son las nueve componentes del Tensor de Tensiones. /or conveniencia=es recuente escribir las componentes del tensor de tensiones en orma compacta como unamatri8= por e(emploE

Figura 2.!: "res de las componentes del tensor de tensiones.

Tey

@

y

8

n≡ey

eye

@

e8 /

yy

y8

y@


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[

@@ @y @8y@ yy y8

8@ 8y 88

]onde= segn lo e@puesto= cada t


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Como e(emplo= la 6gura -.4 muestra algunos valores de tensión en planos paralelos a los coordenados !ue pasan por el punto considerado= (unto con el signo de la componente del tensorde tensiones correspondiente. /uede entenderse indistintamente !ue los cubos se dibu(an sólopara visuali8ar tres planos con sólido a uno y otro lado de los mismos= o bien puede entenderse!ue se trata de cubos dierenciales materiales= obtenidos mediante seis cortes ideales por planos paralelos a los coordenados. *n este ltimo caso= los valores de una componente de ten

sión serían ligeramente distintos Fun dierencial de primer ordenG en caras paralelas= y deberíaentenderse !ue este dierencial se 1a despreciado en las 6guras. /or lo demás= es importante!ue se aprecie !ue el 1aber dibu(ado como dato una sola de las dos Pec1as en cada uno de losdibu(os= permitiría dibu(ar la otra Faplicando el principio de acción y reacción= ya !ue son prácticamente el mismo plano de corte= con normal opuestaG= así como conocer el signo de la componente del tensor correspondiente.

9emos dic1o !ue el conocer las + componentes del tensor de tensionespermite calcular el vector tensión en un plano de cual!uier orientación=pero no se 1a mencionado cómo. Aun!ue no usaremos Fni demostraremosG ese resultado en este curso= a título de curiosidad= las componentes

del vector tensión Tn

en el plano de normal e@terior n pueden obtenersedeE

[@@ y@ 8@@y yy 8y@8 y8 88

]n@nyn8

=T@

n

Tyn

T8n

Sietr7a del ten"or de ten"ione"

Consideremos esta ve8 un elemento dierencial material= limitado por & planos de corte paralelos a los planos coordenados= como muestra la 6gura -.%. ic1o elemento tendrá de dimensiones d@= dy= d8= en las direcciones correspondientes. Tomaremos momentos respecto de una

Figura 2.#: $jemplos de valores de componentes de tensión

y

zx

4

7

2

@@=4

@y=−)

yy=−-

Figura 2.%: &omento de las fuer'as sobre un diferencial( respecto de una recta

y

zx

@y=p @y≈p

y@≈!

y@=!


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recta paralela al e(e 8= como por e(emplo la !ue pasa por el centro del cubo elemental. 5as nicas uer8as !ue dan momento respecto de esta recta son las !ue derivan de las tensiones σ@y=y las σy@. 'bs


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cumplen esas componentes de tensión= prescindiendo de un sistema de e(es particular. ic1oenunciado es el /rincipio de 0eciprocidad de las Tensiones TangencialesE

*n dos planos perpendiculares entre sí !ue pasan por un punto considerado= las componentesde tensión perpendiculares a la arista !ue orman= tendrán ambas el sentido de apuntar 1aciala arista= o bien ambas el sentido de apuntar contrariamente a la arista.

3ótese !ue no es posible obtener ninguna conclusión acerca de las componentes de tensión paralelas a la arista en esos planos Fσ@y y σ8yG. 3o1emos obtenido ninguna relación entre ellas.

Un e(emplo típico de aplicación de este principio es la imposición de las condiciones de contorno en tensiones en es!uinas FrealesG !ue orman ángulo recto. :i es conocido el valor de latensión tangencial en uno de los planos en ese punto es!uina= en el otro plano debe ser tal !uese satisaga el principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales. *n particular= si como

supone la 6gura -.)= la tensión es nula en un plano= debe serlo tambi


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5a respuesta a la pregunta anterior es a6rmativa. *n un punto del sólido siempre e@isten ciertasdirecciones n para las !ue los planos correspondientes tienen sólo tensión normal. :e llamanirecciones /rincipales. 5os valores de la tensión σ en esos planos se llaman Tensiones /rinci

pales. /or tanto= cada dirección principal puede ser especi6cada mediante un vector unitarioadimensional= y cada valor de tensión principal es un escalar con signo.

*l problema matemático de encontrar las tensiones y las direcciones principales de tensiónresulta ser ormalmente iddirecciones principales? los conceptos correspondientes a los >valores propios? y>vectores propios?= respectivamente. Así= en el ámbito de la tensión tendremos !ueE

– *n cada punto del sólido 1ay tres direcciones principales Fn8= n88= n888G. – 5as tres direcciones principales son perpendiculares entre sí.

– :iempre podremos de6nir unos e(es coordenados !ue coincidan con las direcciones principales en el punto considerado.

– :e denomina tensión principal al valor de la tensión en cada plano principal Felperpendicular a una dirección principalG. :e denotarán como σ8= σ88= σ888.

Cuando se adoptan unos e(es coordenados !ue coinciden con las direcciones principales= seles llama e(es principales= siendo recuente la notación 8! 88! 888! para reerirse a ellos Fen lugarde los 1abituales @= y= 8G. Una consecuencia inmediata de adoptar e(es principales en el puntoconsiderado= es !ue el tensor de tensiones resultará diagonal en esos e(es= como se muestraen la 6gura -.+.

Como !ui8á se recuerde del estudio del álgebra= puede darse el caso de !ue e@istan más detres direcciones principales. :on los casos en !ue dos tensiones principales= o las tres= tienenel mismo valor. *n esos casos 1ay in6nitas direcciones principales. 3o se pretende entrar endetalle al respecto a!uí= pero en todo caso está asegurado !ue siempre podremos tomar unose(es coordenados en direcciones principales.

"epresentación de Mo#r

5a representación de Mo1r es una construcción grá6ca !ue sirve para visuali8ar de unamanera compacta las tensiones en los in6nitos planos de corte !ue pueden considerarse en un

Figura 2.: "ensor de tensiones cuando se adoptan ejes principales

=[ 7 , ,

, 77 ,

, , 777]888

888

σ88σ8

σ888


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2.- Equilibrio y Tenión Pág. 1"

punto del sólido. *n cierto sentido= esta representación nos ayudará a compensar el 1ec1o de!ue nuestros sentidos no están preparados naturalmente para apreciar un tensor Fun vector enel espacio tridimensional es el má@imo a ese respectoG. Tambi


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2.- Equilibrio y Tenión Pág. 2!

no 1abría ningn plano traba(ando a compresión= ya !ue todo el diagrama está en la 8ona de σpositiva.

:eguidamente presentaremos con algn detalle algunos resultados correspondientes al casobidimensional del diagrama de Mo1r. *n primer lugar vamos a dar una de6nición provisional de>caso bidimensional? Fdebe entenderse aplicable sólo en este ámbito de estudio de la tensiónen un puntoG. iremos !ue se trata de un >caso bidimensional?= o >problema plano? cuandoconcurran estas circunstanciasE

– Una dirección principal es conocida en el punto considerado.

– :ólo nos interesamos por planos de corte pertenecientes a la radiación de esadirección principal.

*n estas circunstancias= podemos observar el problema desde un punto de la dirección princi

pal conocida= y veremos los planos de corte como líneas rectas. *sta vista es la !ue usaremospara visuali8ar y anali8ar el problema= y es la representada en la 6gura -.""a.

*n los planos de corte= la tensión tangencial es perpendicular a la dirección principal conocida=y por tanto se verá en su magnitud real en nuestro dibu(o. 5o mismo ocurre con la tensión normal. :abemos !ue esas componentes intrínsecas del vector tensión estarán representadas enalgn punto de la circunerencia de Mo1r correspondiente al e(e principal conocido. *n la 6gura-.""a=


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ibu(amos la mitad inerior de los diagramas bidimensionales de Mo1r=ya !ue τ tiene signo. *n los tridimensionales= la mitad inerior no aportainormación= y puede omitirse.

#inalmente indicaremos= nuevamente sin demostración= cuál es el el punto del diagrama !uerepresenta la tensión en nuestro plano. *n la 6gura -.""b= se indica dónde encontrar el ánguloα en el diagrama. Dste es el mismo ángulo !ue orma nuestra normal n con el e(e principal 8.Con el convenio de signos adoptado para τ= el sentido de giro de n a partir de la dirección 8 esel mismo sentido de giro !ue debe seguirse en el diagrama= desde la posición de σ8 1astaencontrar el punto buscado. Dste punto tiene unas coordenadas Fσ=τG= !ue son las componentes intrínsecas de tensión en nuestro plano Fel de la 6g. -.""aG.

ebido a las propiedades geom


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$.- El Sólido El%"tico

$ociones sobre la Deformación

Como su nombre indica= la deormación 1ace reerencia a los cambios de orma del sólido. :innecesidad de pensar en las causas o acciones !ue provocaron la deormación= resulta claro!ue si conociTensor de Cauc1y?.

5a caracteri8ación de la deormación como tensor cae uera del ámbito de este curso. :imple

mente presentaremos sin mayor (usti6cación algunos resultados relativos a la deormación= !ueserán tiles en el desarrollo de los epígraes siguientes.

*l tensor de deormaciones guarda muc1as analogías ormales con el tensor de tensiones. 5lamaremos εi( a sus + componentes= de las !ue sólo & son independientes debido a !ue es sim


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3.- El #ólido Elático Pág. 23

3ótese !ue los tpe!ueBas deormaciones?.

5a 6gura $." ilustra los signi6cados ísicos de los t


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Ensao de Tracción *l ensayo de tracción consiste en estirar de orma controlada una pe!ueBa probeta del materialcon orma de barra esbelta= generalmente 1asta su rotura. :e trata de un ensayo muy comn=probablemente el más comn de los !ue cabe reali8ar a un material !ue se pretenda usar con6nes resistentes. /or ello= este ensayo está contemplado y regulado en la normativa FnormaU3**3 7:' &2+-"E-,",G. *l resultado del ensayo es una grá6ca en la !ue se representa enabcisas el incremento de longitud de la probeta en cada instante= dividido entre su longitud inicial= y en ordenadas la uer8a aplicada en cada instante= dividida entre el área de la sección dela probeta.

*n el ensayo de tracciónE { @@≈# /A \ @y= @8= yy=y8= 88=,@@≈ 5/5 \ yy = 88≠, \ @y= @8= y8=,} F$.$GTanto las soluciones analíticas conocidas como una amplia evidencia e@perimental muestran!ue= salvo en una pe!ueBa 8ona cercana a las morda8as u otros dispositivos !ue se empleenpara su(etar la probeta por sus e@tremos y aplicar la uer8a= la distribución de tensiones y deormaciones es prácticamente uniorme en la probeta. 5o anterior es más cierto cuanto másesbelta sea la probeta= pero en todo caso en la práctica del ensayo se opera de orma !ue lamedición se vea aectada lo menos posible por los eectos de borde. *n concreto= para unaprobeta como la es!uemati8ada en la 6gura $.-= es buena apro@imación suponer !ueE

– :olamente e@iste componente de tensión σ@@ en la barra= la cual tiene un valorconstante en todos los puntos. Un sencillo ra8onamiento de e!uilibrio conduce a !ue suvalor debe ser σ@@#ZA= !ue se representa en la grá6ca del ensayo. *l resto de compo

nentes σ@y= σ@8= σyy= σy8= σ88= son nulas. – :olamente e@isten las componentes normales de deormación ε@@= εyy= ε88= en labarra= teniendo cada una un valor constante en los puntos de la barra. Al ser constante=ε@@ debe coincidir con el incremento de longitud unitario de toda la barra= ∆5Z5= !ue serepresenta en la grá6ca del ensayo. 5as componentes transversales de deormación= ε@y=ε@8= εy8= son nulas.

5as ecuaciones F$.$G resumen lo indicado anteriormente. 5a 6gura $.$ muestra es!uemáticamente el resultado de un ensayo de tracción para un acero de ba(o contenido en carbono. *lensayo comien8a en el origen de e(es Ftensión nula= y deormación nulaG= y evoluciona en principio linealmente= 1asta llegar a la tensión denominada >5ímite *lástico?= denotado como σe.Dsta es la notación usual en la literatura= aun!ue las normas suelen llamarlo y. 5a pendiente deesta recta es una característica importante del material= !ue se denomina >Módulo de *lasti

Figura !.2: &agnitudes que intervienen en el tra'ado de la gr7fica del ensayo de tracción

5 ∆5

((

@

y

8

A


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cidad?= o >Módulo de oung?= y se denota como >*?= de orma !ue *tg α. :iendo el cocientede un incremento de tensión entre uno de deormación F!ue es adimensionalG= >*? tiene dimensiones de tensión.

/or= tanto= en esta 8ona líneal inicial Fen la !ue estaremos interesados undamentalmente elresto del cursoG= se satisace

@@=*

@@ F$.4G

Al llegar a la tensión del límite elástico= ocurre un enómeno particular llamado >Puencia? delmaterial. Como se aprecia= se trata de un aumento de la deormación a un valor de la tensiónsensiblemente constante= !ue es el propio valor σe. *l ensayo se suele reali8ar de orma !ue se

impone a la probeta el incremento de longitud deseado en cada instante= gracias a lo cual esposible detener el ensayo en un punto como el I= si se desea. *n ese caso= se desciende alnivel de tensión cero por una recta !ue es paralela a la de subida inicial= y la probeta descargada termina con la deormación correspondiente al punto IY indicado en la 6gura. :e llamandeormaciones plásticas a estas deormaciones !ue no se recuperan tras la descarga.

:i en lugar de interrumpir el ensayo en I= continuamos= no tarda en llegar un valor de la deormación para el !ue vuelve a ser preciso aumentar la tensión para obtener más deormación. :ellama etapa de ortalecimiento a esta ase del comportamiento del material. *l punto marcado>C? se encuentra en esta 8ona. 3uevamente= si decidimos interrumpir el ensayo en este punto=descendemos al nivel de tensión cero por una recta de la misma pendiente !ue la recta inicial=y la probeta descargada termina con la deormación plástica correspondiente al punto CY.

#inalmente= si no se interrumpe el ensayo= se llega a una tensión σ0= !ue se denomina >tensiónde rotura>. 5a misma corresponde al má@imo indicado de la grá6ca del ensayo. *n la 8ona 6naldescendente de la grá6ca ocurren enómenos de gran estrec1amiento local de la sección de laprobeta= !ue 1acen !ue el parámetro #ZA !ue se representa Fsiendo A el área inicial de laprobetaG= no es ya= ni si!uiera apro@imadamente= el valor real de la tensión σ@@ en la 8ona delestrec1amiento. *n todo caso= en condiciones normales de traba(o= un material resistentesoporta unas cargas dadas Fno unos despla8amientos dados= como ocurre en el ensayoG. *nestas circunstancias= una 8ona descendente de la grá6ca se recorre de manera incontrolada1asta la rotura eectiva de la probeta= por lo !ue el má@imo antes citado es el !ue se tomacomo valor de la tensión de rotura.

Figura !.!: *esultado t-pico de un ensayo de tracción para un acero 8ota: noest7 a escala para mostrar los detalles)

ε@@

σ@@σ0

σe

α

I

IY

α

C

CY

α


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3otasE *l acero tiene un comportamiento muy similar a tracción y acompresión= como muestra es!uemáticamente la 6gura $.4a. Un ensayode compresión tendría prácticamente la misma orma !ue uno de trac

ción= al menos 1asta superar el escalón de Puencia.:e 1an omitido algunos detalles considerados poco relevantes por brevedad. *ntre ellos= la dierenciación entre una tensión de Puencia superior yuna inerior= y la dierenciación entre tensiones muy cercanas a σe= !uedelimitan ciertos enómenos (usto antes de la Puencia Fun pe!ueBo tramono lineal pero elástico antes de σe= y otro pe!ueBo tramo no elásticoantes de llegar la PuenciaG. 3o es usual distinguir entre ellas en las aplicaciones de 0esistencia de Materiales.

5a 6gura $.$ está distorsionada para poder apreciar algunos detalles.ibu(ando el e(e de abcisas a escala= el tramo recto inicial aparecería

muy cercano al e(e de ordenadas. Asimismo= el escalón de Puencia esmuc1o más corto de lo !ue se 1a dibu(ado.

/or otra parte= las deormaciones en las direcciones y= 8= pueden medirse con instrumentaciónadicional= observándose !ue εyyε88. e 1ec1o= cual!uier segmento orientado perpendicularmente al e(e @ e@perimenta la misma deormación relativa !ue el orientado segn esas direcciones >y? o >8?. *n la 8ona lineal= el valor de esta deormación esE

*n el ensayo de tracciónE yy= 88=− @@ F$.%G

onde ν es un parámetro característico del material= llamado Coe6ciente de /oisson. *l signomenos de la ecuación anterior indica !ue si en la dirección @ e@iste alargamiento= en las perpendiculares e@iste un acortamiento Fo viceversaG. *ste acortamiento unitario es una racción νdel alargamiento unitario e@istente en la dirección @. Como veremos más adelante= la 5ey deComportamiento del acero en la 8ona elástica inicial puede e@presarse en unción de las dosconstantes *= ν= del material. *s curioso !ue dic1as constantes apenas dependen de la calidaddel acero= o incluso de si el mismo está aleado o no. e 1ec1o= la norma CT* indica !ue susvalores para todos los tipos de acero !ue contempla F!ue son aceros para construcción= no aleados y de ba(o contenido en carbonoG= son los siguientesE

/ara el aceroE *=-."×",% M/a ν=,.$ F$.&G

Como se adelantó en el Tema "= el CT* establece cuatro calidades de acero para estructuras.

:u denominación consiste en una >:?= seguido de una cira !ue coincide con su límite elásticoen M/a Flímite elástico nominal para espesores menores de "&mm\ para espesores mayoresse especi6can valores menores del límite elásticoG. *stos tipos sonE

:-$% :-)% :$%% :4%,

σey FM/aG -$% -)% $%% 4%,

σ0u FM/aG $&, 4", 4), %%,


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5a 6gura $.4b muestra es!uemáticamente las grá6cas de los ensayos de tracción para tresaceros típicos= de muy dierente calidadE un acero para estructuras= un acero de ba(a aleación=y un acero para 1erramientas= o para tornillos de alta resistencia. /uede observarse una grandierencia entre sus límites elásticos= así como entre sus tensiones de rotura. 3ótese sinembargo como todos comparten la inclinación de la 8ona lineal inicial= ya !ue el valor de * escomn a todos.

*n ciertas aplicaciones= la e@istencia del periodo de Puencia no es deseable. /or e(emplo= nodeseamos !ue la cadena cinemática de una má!uina de mecani8ado suriese deormacionesplásticas una ve8 puesta en servicio= estropeando los delicados a(ustes reali8ados. *n su lugardeseamos un límite elástico lo más alto posible. Como e(emplo= el acero para 1erramientasmostrado en la 6gura no presenta escalón de Puencia. *sto se consigue generalmentemediante tratamientos previos en río= !ue llevan el material 1asta la 8ona de ortalecimientoantes de su puesta en servicio.

/or el contrario= en las aplicaciones estructurales 1abituales= la Puencia es un enómeno deseable= ya !ue los despla8amientos apreciables >avisan? de la presencia de tensiones altas= y porotra parte= en determinadas circunstancias= dota a las estructuras de una reserva de resistencia importante más allá de la plasti6cación del primer punto del material. *sta reserva de resis

tencia es debida a !ue el aumento de deormación en una 8ona sin aumento de tensión= 1ace!ue otras 8onas menos cargadas ad!uieran tensiones mayores.

3o debe sorprender !ue los aceros para estructuras sean los de peorcalidad. *llo es una consecuencia del necesario compromiso entrecaracterísticas del material y coste económico= en un campo de aplicación en !ue la cantidad de acero necesaria para un proyecto= inclusomodesto= se mide por decenas de toneladas.

#inalmente= nótese !ue en la 8ona elástica lineal inicial= en la !ue 1abitualmente desearemos!ue el acero traba(e= las deormaciones son muy pe!ueBas. /or ello es de esperar !ue los análisis !ue realicemos ba(o las 1ipótesis de pe!ueBos despla8amientos y deormaciones tengan

muy poco error debido a este eecto.

Figura !.#: a) 9omportamiento ideali'ado del acero a tracción y a compresión.b) 9omparación de tres aceros de muy distinta calidad y finalidad

9erramientas

Ia(a aleación

*structuras

-,K 4,K

σe

−σe

σ@@

ε@@

σe Z*

aG bG


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Ensao de Torsión *n este momento del curso solamente necesitamos mostrar el eecto de una tensión tangencial= del tipo σ@y= sobre un elemento dierencial del material. Aun!ue este detalle podría presentarse sin (usti6cación por brevedad= se 1a considerado preerible dar noticia del ensayo real!ue típicamente permite aplicar a un elemento dierencial del material un estado de tensión !uesolamente tenga la reerida componente de tensión. Dste es el ensayo de torsión.

*l ensayo de torsión se reali8a usualmente sobre una probeta maci8a de geometría cilíndrica=aplicando un momento colineal con la directri8 de la barra= !ue llamamos >momento torsor? ydenotamos como >T?= y cuyo eecto es retorcer la barra en torno a su e(e. /ara los ob(etivosilustrativos !ue perseguimos a!uí= es más conveniente considerar una probeta cilíndrica 1ueca

de pared delgada= sobre la !ue es igualmente posible reali8ar el ensayo. Teóricamente losresultados debieran ser análogos para ambas geometrías= pero debe tenerse noticia de !ue enla práctica= en el caso de sección de pared delgada= pueden aparecer enómenos de inestabili dad Fabolladura de la pared del tuboG para cierto nivel del par torsor. :i la pared del tubo esmuy delgada en comparación con el diámetro= dic1os enómenos pueden aparecer antes de laplasti6cación del material. /ara !ue esto no suceda= la relación diámetro >? a espesor >e?debe ser menor !ue %,= orientativamente. /or otra parte= a los eectos del ensayo puede considerarse >de pared delgada? a los tubos con relación Ze mayor !ue -,= orientativamente. Asumimos !ue nuestro ensayo estará reali8ado sobre una probeta cuya relación Ze está entreesos valores= de orma !ue se alcance= al menos= la plasti6cación sin !ue apare8can enómenos de inestabilidad.

5a 6gura $.%a muestra un tubo de pared delgada sometido a un momento torsor T. 5a distribución de tensiones !ue se genera en una sección de la barra perpendicular a su e(e= consta deun sistema de tensiones tangenciales !ue tienen la dirección circunerencial en el per6l= como(usti6caremos enseguida. :i de6nimos unos e(es !ue varíen de orientación con el punto de labarra considerado= de orma !ue @ sea paralelo al e(e de la misma= r tenga la dirección radial= yθ tenga la dirección circunerencial= entonces estas tensiones serían de componente σ@θ encada punto. :e asume como apro@imación !ue dic1as tensiones son constantes en el espesorpor ser


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3.- El #ólido Elático Pág. 2"

*s claro !ue las tensiones σ@@ serán nulasE /or una parte= su resultantedebe ser nula en la sección= para !ue la porción de barra !ue consideremos est< en e!uilibrio. /or otra parte debe tener un valor constante

debido a la simetría a@ial del problema. Ambas cosas sólo son posiblessimultáneamente si σ@@, en todos los puntos.

5as 6guras $.%b y $.%c muestran la (usti6cación de !ue la tensión tangencial debe tener apro@imadamente la dirección tangente a la línea media del per6l= es decir la dirección θ. 5a 6gura$.%b muestra ampliado el elemento dierencial de la pared del tubo indicado en la 6gura $.%a.*ste elemento tiene dimensiones dierenciales en las direcciones @= θ= y abarca el pe!ueBoespesor del tubo en la dirección r. Como se indica= la tensión σr@ es evidentemente nula en lasparedes interior y e@terior del tubo= ya !ue no e@iste ninguna acción aplicada sobre dic1assuper6cies F!ue son super6cies e@teriores del sólidoG. *stos dos puntos están muy pró@imos enel sólido= ya !ue el espesor es pe!ueBo. ada la evolución continua !ue se espera para las

variables del problema= es ra8onable asumir !ue entre esos dos puntos pró@imos de valor nulo=σr@ no puede crecer signi6cativamente= y puede despreciarse. /ero siendo σr@ σ@r=


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3.- El #ólido Elático Pág. 3!

5a 6gura $.&b muestra el elemento dierencial con la tensión σ@θ aplicada en el plano paralelo ala sección de la barra Fla cual se vuelve a mostrar en la 6gura $.&a por comodidadG. *l principiode reciprocidad de las tensiones tangenciales e@ige !ue e@ista esa misma tensión en las otras

caras del elemento dierencial= como muestra la 6gura $.&c. *n ella= además se muestra eleecto de estas tensiones. 5a primera observación e@perimental anterior= implica !ue los ladosdel elemento dierencial no e@perimentan cambios de longitud. :olamente 1ay cambio de ángulos.

5a segunda observación e@perimental anterior conduce a !ue e@iste proporcionalidad entre latensión σ@θ y el ángulo γ @θ. *sto es debido a !ue σ@θ es proporcional a T= y el ángulo girado entredos secciones es proporcional a γ @θ. A continuación (usti6camos las mencionadas proporcionalidades.

:i consideramos un elemento dierencial de área en la sección= de dimensiones 0Nd θ en sentido circunerencial F0 es el radio e@terior del tubo= apro@imadamente igual al radio medioG= y el

espesor e en sentido radial= como muestra la 6gura $.)a= vemos !ue el momento de la uer8a!ue acta sobre el dierencial es Fσ@θe0dθGN0= y el momento total seráE

∫,-

@ e0-d = @ e0

-⋅- =T ⇒ @ =T

- 0- eF$.)G

Hue e@presa la proporcionalidad σ@θ [ T. /or otra parte= considerando una longitud de barrad@= y llamando Θ al ángulo girado entre secciones por unidad de longitud de barra= ángulo !uese mide en el ensayo= la 6gura $.)b pone de mani6esto !ue el despla8amiento circunerencialde un punto e@terior de la sección derec1a= suponiendo Fsin p


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"@#

$@#=

"

-%0$e⋅

T

&

5a constante de proporcionalidad entre estas magnitudes es una característica del material=!ue se llama >Módulo de Cortadura? y es denotada como ;E

@

@=; F$.+G

:e puede demostrar !ue la constante ; no es independiente de las otras constantes elásticasdel material. :u valor en unción de las ya conocidas *= ν= esE

;=*

-- F$.",G

Aun!ue a!uí omitimos esa demostración por brevedad= tmódulo global?= a título inormativoG= pero siempre seráposible e@presar cual!uiera de ellas en unción de dos elegidas= no siendo >preerente? ninguna pare(a de ellas desde el punto de vista conceptual. *n todo caso= F$.",G implica !ue paraun acero será ; -."@",% Z F-,.&G ,.2"@",% M/a.

%e de Comportamiento Elástica %ineal eseamos encontrar la relación e@istente ente las componentes de deormación y las componentes de tensión. 3os reerimos a las ecuaciones !ue e@presan dic1as relaciones como >5eyde Comportamiento? del material. *stamos interesados en el comportamiento lineal elástico!ue el acero y otros materiales presentan antes de plasti6car.

Consideremos un elemento dierencial del material con orma de cubo como el mostrado en la6gura $.2a. /retendemos calcular las deormaciones !ue se producen en el elemento ante unestado general de tensión= !ue pueda contener todas las componentes σ@@= σyy= σ88= σ@y= σ@8= σy8.

*mpe8aremos por calcular la componente de deormación ε@@. ada la linealidad del problema=procederemos aplicando el principio de superposición de eectosE

– ebido a σ@@= la deormación es σ@@ Z* Fsegn el ensayo de tracción= ec. F$.4GG.

Figura !.0: a) $lemento diferencial con un estado general de carga. b) $fecto de una tensiónnormal. c) $fecto de una tensión tangencial.

y

zx

σ@@

σ8@

σyy

σy@

σy8

σ8y

σ88

σ@@

=> ε@@

= εyy

= ε88

σ@y

=> ε@y

= solamente

a) b) c)


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– ebido a σyy= la deormación es νσyy Z* Feecto de /oisson en un ensayo de tracción de dirección >y?G.

– ebido a σ88= la deormación es νσ88 Z* Feecto de /oisson en un ensayo de trac

ción de dirección >8?G. – 5as tensiones cortantes no aectan a ε@@= ya !ue segn lo visto en el ensayo detorsión esas tensiones no producen variación de longitud de un segmento !ue tengadirección @.

5a deormación ε@@ será la suma de las aportaciones de los distintos eectos= es decirE

@@=

"

*

@@−

*

yy−

*

88 F$.""G

Un ra8onamiento análogo permite concluir !ue los valores de las otras componentes normales

de deormación seránE

yy="

* yy−

*@@−

*88 F$."-G

88="

*88−

* @@−

* yy F$."$G

/or otra parte= como se mostró en el ensayo de torsión= cada componente de tensión cortanteestá relacionada nicamente con su correspondiente componente de deormación= es decirE

@y= @y

-

=@y

-;

="

*

@y F$."4G

@8=

@8

-=

@8

-;=

"

* @8 F$."%G

y8=

y8

-=

y8

-;=

"

* y8 F$."&G

*l con(unto de ecuaciones F$.""G a F$."&G e@presan la relación entre todas las componentes detensión y todas las componentes de deormación= y constituyen la 5ey de Comportamiento delmaterial !ue pretendíamos obtener en este epígrae.

Criterios de !lastificación

*n un estado tridimensional de tensiones= se observa !ue llegado un cierto nivel de solicitacióndel material= se produce tambiCriterio de /lasti6cación? a una e@presión particular de las antedic1as condiciones!ue= de alcan8arse= implican la plasti6cación del material. esaortunadamente= no se 1a


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encontrado un con(unto de condiciones precisas !ue permitan predecir con total e@actitud laplasti6cación del material en todos los casos= y muc1o menos para todos los materiales. *n sulugar e@isten >criterios? Fo >teorías?G= !ue en base a las observaciones e@perimentales y a ra8o

namientos más o menos plausibles elaborados a partir de ellas= consiguen predecir con su6ciente apro@imación a eectos prácticos la llegada de la plasti6cación. *n primer lugar= daremosuna breve noticia de algunas de las evidencias e@perimentales !ue sustentan algunos criteriosde plasti6cación aplicables a materiales dctiles= como el acero.

L7nea" L>der

/ara la mayoría de los aceros dulces y e@tradulces Fde ba(o contenido en carbono= entre los!ue se encuentran los aceros de construcciónG= al reali8ar el ensayo de tracción= aparecen enla super6cie de la probeta al llegar la plasti6cación unas líneas !ue orman apro@imadamente4%W con el e(e de la misma F6g. $.+aG= y !ue pueden ser visibles incluso a simple vista. :on laslíneas 5Jder= !ue se observaron ya en "2&,. :e interpreta !ue son el resultado de la plasti6cación no 1omog


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– 5a presión interior produce undamentalmente σθθ= y tambiapro@imadamente la τma@ e@istente enun punto es la !ue determina su plasti6cación o no?= la discrepancia !ue implica la dispersiónde las observaciones F,.% ] ,.%&G sería asumible en las aplicaciones de ingeniería. 3o obstante= dic1a dispersión supone un "-K en el valor de la tensión tangencial má@ima= lo !ueimpide a6rmar lo anterior desde un punto de vista estricto.

En"ayo" de *ridgan

*l ísico /.^. Iridgman ue conocido por por sus estudios sobre el comportamiento de losmateriales sometidos a grandes compresiones= recibiendo el premio 3obel por su traba(o en"+4&. :us ensayos de inter


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Una >compresión 1idrostática? es a!uel estado de tensión en !ue las tres tensiones principalesson de igual valor= σ8σ88σ888= y negativas. /or tanto= su diagrama de Mo1r se reduce a unpunto del plano σ−τ. *sto ltimo indica !ue cual!uier plano de corte ideal !ue se considere

pasando por el punto del sólido= tendrá la misma tensión normal σ F!ue será negativaG= y tensión tangencial τ nula. 0ecibe su nombre del 1ec1o de !ue estado de presión 1idrostática?. /ara el estudio del comportamiento de un punto !ue contemplamos a!uí= es su6cientepensar !ue el estado de presión 1idrostática se aplica en el punto considerado.

Una consecuencia inmediata de las observaciones de Iridgman es !ue si superponemos unestado de presión 1idrostática a un estado de tensión cual!uiera en el !ue no 1ubiese plasti6

cación= seguirá sin ocurrir plasti6cación. ic1a superposición se ilustra en la 6gura $.",= (untocon los tensores de cada estado y un e(emplo de sus diagramas de Mo1r correspondientes.3ótese !ue como el estado de presión 1idrostática tiene la misma tensión en todos los planos=en particular la tiene en los planos principales del estado inicial. /or ello es evidente !ue losplanos !ue eran principales en el estado inicial lo seguirán siendo en la superposición Fya !uesigue sin 1aber tensión tangencial en ellosG. 5a conclusión es !ue el diagrama de Mo1r inicialsólo e@perimenta un traslación 1acia la i8!uierda tras la superposición= no cambios de tamaBode sus circunerencias. *sto se ilustra en la ltima de las 6guras $.",.

*l !ue el estado superposición anterior nunca sura plasti6cación independientemente de logrande !ue sea la presión p= conduce a la consecuencia= ciertamente sorprendente= de !uepueden e@istir tensiones arbitrariamente grandes de compresión en el punto del sólido sin !ue


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un punto del material alcan8a la plasti6cación cuando su tensión tangencial má@ima llega acierto valor crítico.

/ara establecer ese valor= se ra8ona !ue si el criterio uese absolutamente cierto= sería indierente el ensayo utili8ado para encontrar dic1o límite= para cada material. :e usa el ensayo mássencillo disponible= !ue es el ensayo de tracción. Como muestra la 6gura $.+b= al llegar la plasti6cación en este ensayo= la τma@ vale σe Z-= luego etapa de ortalecimiento?G. 5lamamos :uper6cie de/lasti6cación segn el Criterio de Tresca a la super6cie de este prisma 1e@agonal en el espacio

de tensiones principales. *n general= la :uper6cie de /lasti6cación es el lugar geom


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puntos de este espacio !ue representan estados de tensión para los !ue se (ustamente se pro duce plasti6cación= o se espera !ue ocurra segn un criterio de plasti6cación particular.

Aun!ue se 1a dibu(ado solamente una porción del prisma para visuali8arlo= evidentemente elmismo se e@tiende inde6nidamente en ambos sentidos. *n lo !ue respecta al cuadrante en !uelas tres tensiones principales son de compresión= el !ue el prisma se e@tienda inde6nidamentees co1erente con las observaciones de Iridgman= pudiendo e@istir tensiones de compresiónarbitrariamente grandes sin !ue el sólido plasti6!ue= con tal !ue el estado de tensión no seale(e muc1o de un estado de presión 1idrostática.

5os estados de presión 1idrosática= así como los de e!uitracción= cumplen σ8σ88σ888= y por tanto están representados por la trisectri8 en elespacio de tensiones principales.

*n el cuadrante en !ue las tensiones principales son de tracción= no cabe dar por bueno !ue la

super6cie de plasti6cación se e@tienda inde6nidamente= ya !ue como se apuntó= en este casosobreviene la rotura rágil. Al 6nal de este epígrae volveremos a 1ablar sobre este enómeno.

*stablecido el criterio= nos preguntamos por su concordancia con los ensayos e@perimentales.*videntemente= la concordancia con el ensayo de tracción es total= ya !ue 1emos usado precisamente este ensayo para >calibrar? el criterio. *ectivamente= un punto de la probeta delensayo de tracción estaría sometido a un estado de tensión !ue partiría de cero Fel origen en elespacio de tensiones principalesG= y evolucionaría de orma !ue una de las tensiones principales creciese mientras las otras se mantienen nulas Fse recorrería el sentido positivo de uno delos e(es en el e.t.p.G. 5a plasti6cación llega cuando nos topemos con la super6cie de plasti6cación= lo !ue ocurre e@actamente a la tensión σe= ya !ue el prisma 1e@agonal corta a los e(esprecisamente en σe = como muestra la 6gura $.""b.

/ara comprobar el grado de concordancia con otros ensayos= elegimos los ensayos de 5ode.*n particular elegimos el ensayo de torsión del tubo= para el !ue se obtenía el otro e@tremo delos valores observados para la τma@ al llegar la plasti6cación Fτma@,.%&σe G. Como sabemos= enel ensayo de torsión= un elemento de la super6cie del tubo está sometido a unas tensionescomo las mostradas en la 6gura $."-a. *l diagrama de Mo1r para este estado= !ue an no1abíamos dibu(ado= se muestra en la misma 6gura. Como se aprecia= el mismo está centradoen los e(es= por lo !ue la tensión tangencial aplicada es de igual valor absoluto !ue las tensiones principales.

Figura !.11: 9riterio de "resca en el espacio de tensiones principales.

σ8σ88

σ

888

σ8 σ88

σ888

σe

σeσe

aG bG


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*ste ensayo= al igual !ue el resto de los de 5ode= transcurren con una de las tensiones principales nula= así !ue empe8amos cortando la super6cie de plasti6cación por el plano σ888, Fpore(emploG. 5os seis planos F$."+G se convierten así en las seis rectas !ue muestra la 6gura

$."-b= y !ue orman un 1e@ágono distorsionado. 3uestro estado de tensión es tal !ue σ8σ88=así !ue evolucionará por los puntos de esta recta= representada tambivia(e? por el espacio de tensiones principales= partiendo del origen ysiguiendo la recta σ8σ88= nos topamos con la super6cie de plasti6cación de Tresca cuandoσ8,.%σe= σ88,.%σe Fo viceversaG= donde >damos por terminado el via(e?. *s decir= consideramos !ue el punto del sólido 1abría plasti6cado y no !ueremos ir más allá. /ero sabemos !ueeste >6n de via(e? es algo prematuro= por!ue an podríamos avan8ar un poco más F1astaσ8,.%&σe= σ88,.%&σe o viceversaG sin !ue ocurriese plasti6cación.

:i postulamos como super6cie de plasti6cación el cilindro !ue circunscribe al prisma 1e@agonalde Tresca= como muestran las 6guras $."$a y b= la co1erencia con las observaciones e@perimentales es mayor. *n eecto= puede obtenerse sin di6cultad !ue la ecuación de este cilindroesE

)" 8−" 88+--)" 8−" 888+--)" 88−" 888 +-=-"e-

F$.-,G

si particulari8amos la ecuación anterior para los valores del ensayo de torsión de 5ode= en el

cual es σ8σ88= σ888,= tendremos !ue )-"8+--)" 8+--)−"8 +-=-"e

- ⇒ " 8=,.%))"e como

indica la 6gura $."$c. *ste valor es muc1o más pró@imo al observado e@perimentalmente= deσ8σ88,.%& σe Fsi bien nos de(a ligeramente uera del lado de la seguridadG.

Figura !.12: Aplicación del 9riterio de "resca a un ensayo de ode ensayo de torsión)

σ8

σ88

σe

σe

−σe

−σe

σe:%

σ

τ

σ8tA

I

AI

t

t

tσ88t

aG bG cG

"e

2

.ma


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3.- El #ólido Elático Pág. 3"

*n realidad= el adoptar como super6cie de plasti6cación el cilindro indicado= tiene (usti6caciones me(or undamentadas !ue el mero argumento de conveniencia presentado a!uí. *n parti

cular= este criterio e!uivale a postular !ue la plasti6cación del material en un punto llegacuando la >densidad de energía de distorsión?= concepto !ue no presentamos en este curso=alcan8a cierto valor crítico. /or ello se conoce tambide la energía dedistorsión?= de la misma orma !ue el criterio de Tresca es reerido en ocasiones como >de latensión tangencial má@ima?. ;eneralmente se atribuye este criterio a Von Mises= !uien lo propuso en "+"-= si bien e@isten reerencias muy anteriores al mismo FMa@Qell "2&%= 9uber"+,4G= y aun!ue el criterio no !uedó (usti6cado en su orma de6nitiva 1asta algunos aBos mástarde F9encRy "+-4G.

*s muy usual aplicar el Criterio de Von Mises en una orma elaborada a partir de la ecuaciónF$.-,G. :e trata de conseguir una magnitud !ue sea directamente comparable con el límiteelástico= lo !ue desde el punto de vista mnemotTensión de Von Mises?. *s una cantidaddirectamente comparable con el límite elástico= como se pretendía.

Aun!ue no es un concepto usual en la literatura= puede pensarse igual

mente en una >Tensión de Tresca?. A la vista de F$.")G= el escalar dependiente de la solución de tensiones en el punto= directamente comparablecon σe= sería -τma@.

*@isten algunos criterios más para predecir el allo o la plasti6cación de materiales isótropos=como el Criterio de Mo1rCoulomb= apropiado para materiales !ue presentan dierentes propiedades a tracción !ue a compresión= o el Criterio de la Tensión 3ormal Má@ima= utili8ado comosimpli6cación para materiales !ue presentan rotura rágil en condiciones 1abituales de traba(o=como es el caso de la undición. 5os criterios de Tresca y de Von Mises presentados a!uí sonespecialmente adecuados para el acero y otros metales dctiles como las aleaciones de alumi nio y las aleaciones de cobre.

ebido a su mayor precisión= la normativa viene presentando predilección por el criterio de VonMises= el cual recomienda para todas las comprobaciones de los cálculos !ue se realicen ba(o

Figura !.1!: a)( b)( 9riterio de on &ises ? ,enc@y. c) Predicción para el ensayo de torsión.

σ8σ88

σ888aG bG

σ8σ88

σ888

σe

σeσeσ8

σ88

σe

σe

−σe

−σe

0,577σe

cG


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3.- El #ólido Elático Pág. 4!

1ipótesis de rel e@acto?= o !ue está me(or undamentado por el 1ec1ode obtenerse de consideraciones energtensión normalmá@ima? parece un indicador aceptable\ el criterio de Mo1rCoulomb !ue presentaremos en eltema 2 tambi


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5a actual norma CT* S& no 1ace ninguna indicación acerca de este enómeno= !ui8á por!ue esimprobable !ue en estructuras de edi6cación apare8can estados de e!uitracción Flas barras

metálicas utili8adas están ormadas geom


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&.- Tracción ' (le)ión de *arra" Recta"

&ntroducción Concepto de Esfuer'o

5a geometría de barra recta es= con muc1o= la más utili8ada como elemento resistente. Comparativamente= combina una relativa sencille8 de transporte y monta(e con la posibilidad deconseguir las características re!ueridas de rigide8 y uncionalidad en un gran nmero de situaciones. /odría decirse !ue cuando se necesita un dispositivo resistente= lo primero en lo !ue

1abitualmente se piensa= es en materiali8arlo a base de barras rectas.e6nimos la geometría de barra recta como el cuerpo obtenido al desarrollar una super6cieplana a lo largo de un segmento de recta perpendicular a ella= !ue llamamos directri8. 5asuper6cie plana recibe el nombre de sección de la barra= y suele ser constante= aun!ue tambisección?= !ue puedeemplearse indistintamente para indicar un corte ideal reali8ado a la barra perpendicularmente asu directri8= o bien para indicar la orma de la barra obtenida en dic1o corte Fel >per6l?G.

*n base a las particularidades de esta geometría= se reali8arán un con(unto de simpli6caciones./ara !ue las mismas no introdu8can errores e@cesivos= es necesario !ue la barra sea esbelta.*s decir= !ue 5 sea grande en relación a la mayor dimensión de la sección= !ue 1emos llamadob en la 6gura 4.". /ara para !ue podamos considerar una barra como esbelta debe cumplir=orientativamente= 5 Z b X",= aun!ue se obtienen resultados más acordes a la realidad si esarelación es del orden de -, o superior.

5as cargas sobre la barra podrán ser concentradas Factan en un punto= y tienen unidades deuer8aG o distribuidas Factan en una porción de la longitud de la barra= y tienen unidades de

uer8a dividida por longitudG. :u orientación puede ser cual!uiera= longitudinal= transversal oinclinada respecto de la directri8 de la barra. 5a 6gura 4.- muestra un e(emplo de barra con los

Figura #.1: Barra recta de sección A y longitud

A

5

b

Figura #.2: $jemplo de cargas concentradas y distribuidas en una barra


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4.- Tr$cción % &le'ión de ($rr$ )ect$ Pág. 43

tipos de carga indicados. /ueden tambi


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– A las componentes de la resultante contenidas en el plano de la sección= V y y V8 =se les denomina esuer8os cortantes. *n la práctica no se dan casos de sólo esuer8ocortante en barras completas.

– A las componentes del momento en el plano de la sección= My y M8 = se les llamamomentos Pectores. :i una barra presenta sólo esuer8os de este tipo= decimos !ue traba(a a Pe@ión pura. *ste caso se presenta raramente en la práctica= ya !ue los momentosPectores suelen ir acompaBados de esuer8os cortantes.

– A la componente T del momento segn el e(e de la barra= se le denominamomento torsor. ecimos !ue una barra traba(a a torsión si sólo presenta este esuer8o.*n estructuras 1abituales= la torsión suele ser una solicitación indeseable !ue trata deevitarse desde la propia concepción y diseBo de la estructura.

Adicionalmente= e@isten unas pocas denominaciones especiales para el modo de traba(o deuna barra= en unción la combinación de esuer8os !ue soporta= o las deormaciones !ue

ad!uiere. Algunas de ellas se comentan a continuación.5a Pe@ión simple= es el modo de traba(o= muy recuente= en el !ue 1ay momento Pector yesuer8o cortante.

5a Pe@ión compuesta es el modo de traba(o de la barra en el !ue la compresión es importante=e@istiendo un cierto momento Pector= y !ui8á esuer8o cortante. :uele aplicarse esta denominación principalmente al caso de pilares= en los !ue la compresión es dominante. *l momentoPector en estos casos se considera algo a reducir todo lo posible= ya !ue suele ser ruto de ine @actitudes Fo imperativosG del monta(e= como por e(emplo cierta e@centricidad en la aplicaciónde la uer8a de compresión.

:e dice !ue un problema es de Pe@ión plana Fo Pe@ión rectaG= cuando las cargas están contenidas en un plano y los despla8amientos de la línea de centros de áreas de la barra son paralelosa ese plano. *s el caso recuente de problemas en !ue el plano de las cargas contiene a unode los momentos principales de inercia de la sección. *n oposición= se dice !ue el problema esde Pe@ión esviada cuando la barra >se sale? del plano de las cargas al deormarse= si tal planoes nico. *sto ocurrirá por e(emplo si el plano de las cargas no es paralelo a un e(e principal deinercia de la sección.

#inalmente= la denominación de problema de tracciónPe@ión se utili8a recuentemente paradescribir de manera gen


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elemental asociada a una tensión tangencial= siempre tendrá la dirección de @. /or tanto= σ@y=σ@8= sólo pueden producir resultante en el plano de la sección Fes decir= V y= V8G= y eventualmente momento de dirección @ Ftorsor TG. *llo se ilustra en la 6gura 4.%b mediante un e(emplo

bidimensional sencillo.

Una ve8 establecido el concepto de esuer8o= vamos a de6nir ormalmente las componentes de

esuer8o a partir de las componentes del tensor de tensiones !ue actan sobre la sección. 5asecuaciones F4."G contienen esta de6nición ormal.

3=∫A

@@ dA

Vy=∫

A

@y

dA

M8=∫

A

@@

Ny NdA

V8=∫

A

@8

dA

My=∫

A

@@

N8 NdAF4."G

onde A es el área de la sección. 5a de6nición ormal F4."G de los esuer8os= lleva tambi


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magnitud !ue altaba= será el positivo Fa(ustado con eventuales signosmenos= si los 1ayG.

5a 6gura 4.&a muestra un elemento dierencial de área en la sección= con y= 8= positivos Fya !ueestas variables aparecen en las órmulas 4."G= y una tensión σ@@ tambi


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3o debe pensarse !ue lo anterior es una complicación innecesaria introducida por el modelo

matemático. *l !ue el esuer8o cambie de sentido en una misma sección al considerar sólido auno u otro lado de la misma es consecuencia directa del >principio de acción y reacción?= y el!ue en ambos casos tenga el mismo valor Fincluido el signoG es algo til y pretendido= !ue pore(emplo 1ace !ue e@ista un sólo valor de un esuer8o para cada valor de @. *sto es muy conveniente para 1acer intervenir los esuer8os como variables en un modelo matemático.

(ipótesis adoptadas

*n el estudio de la barra a tracciónPe@ión se parte de las premisas básicas asumidas en elestudio inicial de la Teoría de la *lasticidad= las cuales se e@pusieron en el tema ". :e reproducen a continuación como recordatorioE

– Material 1omoge@actas? FanalíticasG

obtenidas de la Teoría de la *lasticidad. *@iste asimismo una amplia evidencia de !ue estasapro@imaciones serán tanto más acordes con el comportamiento real cuanto más esbelta seala barra. /or ello se indicó al principio de este tema !ue consideraríamos barras cuya relaciónde longitud partido por mayor dimensión de la sección uese al menos de ",E". 5as apro@imaciones a las !ue nos estamos re6riendo= y !ue a!uí presentaremos de una orma a@iomáticapor brevedad= son las siguientesE

– 5as componentes de tensión σyy= σ88= σy8= son muy pe!ueBas en la barra. *s decir=despreciaremos estas componentes !ue no tienen subíndice @.

– 5a componente de tensión σ@@= tiene valores má@imos muc1o mayores !ue cual!uier otra componente de tensión= y tiene un eecto ampliamente dominante sobre la

deormación de la barra.

Figura #.+: a) $sfuer'os positivos en una sección con sólido a la derec/a b) $sfuer'os positivosdibujados en una rebanada diferencial de barra

@

y

8

V8Vy

aG

3

M8

My

M8

@

y

Vy

3

bG


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– 5as componentes de tensión σ@y= σ@8= aun teniendo valores má@imos pe!ueBos encomparación con σ@@= pueden tener algn eecto en la aplicación de un criterio de plasti6cación= y en caso de duda deben ser consideradas a tales eectos. 3o obstante= se

puede despreciar el eecto !ue estas componentes tangenciales de tensión en la seccióntienen sobre la deormación de la barra F1ipótesis de 3avierIernoulliG.

– 5as secciones inicialmente planas de la barra= permanecen planas tras la deormación.

Adicionalmente cabe recordar !ue estamos suponiendo nulo el momento torsor como 1ipótesisde traba(o.

*l !ue las secciones permane8can planas nos permite pensar en el movimiento de una seccióncomo unos ciertos movimientos de los puntos en el plano de la sección= más un movimiento desólido rígido de la misma. 5a 6gura 4.2 muestra solamente


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4.- Tr$cción % &le'ión de ($rr$ )ect$ Pág. 4"

u@)@ = y = 8+=u

o@)@+- 0

8)@+⋅y- 0

y)@+⋅8 F4.-G

en donde uo@ es el movimiento 1ori8ontal del centro de áreas de la sección= !ue es nico para la

sección de coordenada @= y por tanto depende sólo de esta coordenada. *ste sumando corresponde a la traslación !ue lleva el centro de áreas a su posición 6nal. 5os giros Φ y= Φ 8= de lasección respecto de los e(es y=8 respectivamente= son una característica de la sección= y porid


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4.- Tr$cción % &le'ión de ($rr$ )ect$ Pág. 5!

mentos dierenciales !ue pasan por el punto= y !ue eran paralelos a @= y= antes de la deormación. /or tanto= la 1ipótesis de 3avierIernoulli e!uivale a asumir !ue cual!uier ángulo recto delados inicialmente paralelos a @= y= seguirá siendo recto tras la deormación. *n particular= la

línea de centros de área de las secciones Fdirectri8 de la barraG permanecerá perpendicular alas secciones tras la deormación Fver 6gura 4.",G= característica de la !ue nos serviremos másadelante en el cálculo de despla8amientos.

"elación entre cargas esfuer'os) Ecuaciones de Equilibrio)

Como se indicó= las cargas sobre la barra pueden ser uer8as concentradas o distribuciones deuer8a por unidad de longitud= !ue pueden tener cual!uier orientación respecto de la barra.

*n principio vamos a considerar solamente una distribución vectorial de uer8a por unidad delongitud de la barra F@G= !ue en general tendrá sus tres componentes espaciales p @F@G= pyF@G=p8F@G. Asumiremos como buena apro@imación !ue cada dierencial de uer8a= F@GNd@= actasobre la línea directri8 de la barra. 5a 6gura 4."" muestra un e(emplo de carga de evoluciónlineal en la barra= !ue solamente tiene componente py.

Vamos a aislar una rebanada dierencial de barra= de longitud d@= !ue debe estar en e!uilibrioba(o las acciones !ue actan sobre ella= !ue en el caso general sonE

– 5as !ue resultan de las tensiones σ@@= σ@y= σ@8= en sus dos secciones

– 5as !ue resultan de la carga !ue acte en el dierencial

*n realidad puede e@istir tambi


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más un dierencial?G= como muestra la 6gura. Consideraciones análogas se aplican a las demáscomponentes de esuer8o F3= My= Vy= V8G.

5as cargas p@= py= p8= pueden suponerse constantes en el pe!ueBo d@= y pueden reducirse asus resultantes p@d@= pyd@= p8d@= aplicadas en centro de áreas de la sección central del dierencial. Vamos a plantear el e!uilibrio del dierencial de barra anterior. *l e!uilibrio de uer8as 1ori8ontales re!uiereE

3@=3@ d3@p@ d@ ⇒ ,=d3@p@ d@ ⇒ d3@d@

=−p@ @ F4.$G

*l de uer8as verticales re!uiereE

Vy=V

ydV

yp

yd@ ⇒ ,=dV

yp

yd@ ⇒ dV y

d@=−p

y@ F4.4G

el e!uilibrio de momentos en dirección 8 Ftomamos momentos respecto del centro de áreasde la sección central del dierencial= por e(emploG= re!uiere

M8Vyd@

- VydVy

d@

- =M8dM8 ⇒ V y d@dVy

d@

- =dM8

espreciando el dierencial segundo rente a los dierenciales primeros presentes en la ecuación= se tieneE

dM8d@

=V y F4.%G

5as ecuaciones F4.$G= F4.4G= y F4.%G= son las ecuaciones de e!uilibrio !ue aectan a los esuer8os presentes en los problemas más usuales. Adicionalmente= si se observa el problema en elplano @8= se obtienen otras dos ecuaciones de e!uilibrio similares Fcorrespondientes a uer8asde dirección >8?= y a momentos de dirección >y?G. *stas ecuaciones sonE

dV8d@

=−p8 dMyd@

=V8 F4.&G

Figura #.12: 3iferencial de barra visto en el plano


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4.- Tr$cci�

apuntes introducc resistencia de materiales

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