Resistencia de MaterialesRoger A. Bustamante Plaza

Indice general1. Introduccin o 2. Introduccin a la esttica de estructuras y mecanismos o a 2.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Deniciones y conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2.1. Ecuaciones de equilibrio. Introduccin . . . . . . . o 2.2.2. Tipos de fuerzas. Momento Puro . . . . . . . . . . 2.3. Fuerzas equivalentes y clculo de reacciones . . . . . . . . a 2.3.1. Fuerzas distribu das . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Apoyos y reacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ejemplos y ejercicios para esttica de estructuras . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8 8 9 9 11 23 27 35 40 47

3. Esfuerzo y deformacin o 55 3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 o 3.2. Fuerzas internas en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1. Fuerzas internas en vigas para vigas sometidas a cargas distribu das . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3. Esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.1. Esfuerzos axial y de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.2. Principio de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.3. Esfuerzos caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.4. Esfuerzos caso bidimensional. Ecuaciones de equilibrio . 85 3.4. Deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 o 3.4.1. Deformacin axial y de corte . . . . . . . . . . . . . . . . 90 o 3.4.2. Deformacin problema bidimensional . . . . . . . . . . . 92 o 3.5. Relacin esfuerzos-deformaciones. Comportamiento mecnico del o a material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5.1. Mdulo de elasticidad y coeciente de Poisson. Ensayo o uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.5.2. Ecuaciones constitutivas. Caso general lineal elstico . . . 101 a 3.5.3. Relacin entre el mdulo de corte y el mdulo de elasticio o o dad y coeciente de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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3.6. Modelos simplicados en elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Esfuerzo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Deformacin plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.6.3. Simetr axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.7. Deformaciones trmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.8. Ejemplos y ejercicios para problemas con deformaciones y fuerzas axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Torsin o 4.1. Torsin en eje de seccin circular . . . . . o o 4.2. Torsin en eje de seccin rectngular . . . o o a 4.3. Torsin en eje de seccin delgada abierta . o o 4.4. Torsin en eje de seccin delgada cerrada o o 4.5. Ejemplos y ejercicios de torsin . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 107 108 109 110 113 120 120 126 127 129 133 138 139 139 141 145 150 157 157 157 159 161 171 172 175 177 182 184

5. Flexin y deexin en vigas o o 5.1. Flexin en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.1.1. Eje neutro, segundo momento de inercia y esfuerzos 5.1.2. Deformacin y deexin . . . . . . . . . . . . . . . o o 5.1.3. Observaciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Ejemplo de problema con esfuerzos por exin . . . o 5.2. Deexion en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Distribuciones o funciones especiales . . . . . . . . . 5.2.4. Ejemplos con el uso de distribuciones . . . . . . . . 6. Corte en vigas 6.1. Corte en vigas de seccin rectangular . . . . . . o 6.2. Corte en vigas de seccin arbitraria . . . . . . o 6.3. Corte en vigas de seccin delgada abierta . . . o 6.4. Centro de cortadura . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Ejemplos para clculo de centros de cortadura . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Energ de deformacin a o 193 7.1. Motivacin. Energ espec o a ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.2. Forma alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8. Teorema de Castigliano 202 8.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9. Esfuerzos combinados: Esfuerzos normales y de corte mximos a 9.1. Esfuerzos normales y de corte mximo . . . . . . . . . . . . . . . a 9.2. C rculo de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Problema con esfuerzos combinados . . . . . . . . . . . . . . . . 208 209 213 215

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9.3.1. Fuerzas internas para el caso de una viga o barra empotrada en un extremo y libre en el otro . . . . . . . . . . . 215 9.3.2. Ejemplo para un problema en donde se tiene exin, toro sin, corte y cargas axiales combinadas . . . . . . . . . . 217 o 10.Teor de falla: Criterios para la deformacin plstica a o a 10.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 10.2. Criterios de falla para deformacin plstica . . . . . . . o a 10.2.1. Criterio del esfuerzo normal mximo . . . . . . . a 10.2.2. Criterio del esfuerzo de corte mximo . . . . . . a 10.2.3. Criterio de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . 11.Inestabilidad elstica: Pandeo en vigas y columnas a 11.1. Introduccin a la inestabilidad elstica . . . . . . . . o a 11.2. Pandeo en columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Solucin para un caso particular . . . . . . . o 11.2.2. Columna con deexin inicial . . . . . . . . . o 11.2.3. Columna cargada de forma excntrica . . . . e 11.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.Fatiga 13.Introduccin a la teor lineal elstica o a a 13.1. Notacin. Notacin indicial . . . . . . . . . . . . . . . . o o 13.1.1. Notacin indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 13.1.2. S mbolos varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Tensor de esfuerzos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Desplazamientos. Deformacin. Ecuaciones constitutivas o 13.5. Problema de valor de frontera . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Esfuerzos principales 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 226 228 229 231 233 238 238 244 247 249 251 253 254 262 262 263 265 265 267 270 272 273

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Cap tulo 1

Introduccin oDos son las razones principales que motivan el estudio de la mecnica de a slidos: primero, en el dise o de elementos de mquinas o de cualquier otro tipo o n a de estructura, es de vital importancia escoger los materiales y/o las dimensiones adecuadas para evitar cualquier tipo de falla1 , y segundo, en el anlisis de a falla propiamente tal, es decir cuando una componente o cuerpo ha fallado, es necesario hacer un estudio de sus causa de manera tal de prevenir dichas situaciones en el futuro. Siempre ha habido una necesidad de poder cuanticar o de saber de forma anticipada si una estructura puede o no resistir las fuerzas u otras cargas a las que podr verse sometida. Originalmente los constructores usaban simplemente a la experiencia para determinar dimensiones y materiales para sus construcciones, con pruebas y errores acumulaban experiencia que les permit resolver casos a simples y conocidos. Es claro que un mtodo as no pod servir para el dise o de e a n nuevas estructuras, y una serie de conceptos fueron siendo elaborados de forma lenta hasta llegar a teor (o deber a amos decir mtodos) ms menos generales e a para predecir el comportamiento de cuerpos simples como cilindros o vigas de secciones rectangulares. No fue sino hasta el trabajo fundamental de Cauchy en la teor de esfuerzos, en que se dispuso de herramientas generales para poder a predecir el comportamiento de cuerpos slidos bajo el efecto de distintas cargas o externas2 . Desde el momento en que conceptos como fuerzas, esfuerzos y deformaciones fueron establecidos de forma ms menos clara a mediados del siglos XIX, a distintos mtodos han sido desarrollados para predecir (siguiendo ahora mtoe e dos ms racionals) el comportamiento de un slido frente a cargas o fuerzas a e o1 La palabra falla puede tener signicados muy diversos, quizs la imagen ms simple que a a se viene a la mente es la rotura de una pieza o elemento; pero podr amos tambin reconocer e como falla la formacin de deformacin plstica, la cual al producir cambios permanentes en o o a la forma de un cuerpo, podr producir problemas en el funcionamiento de un mecanismo. a 2 Este trabajo de Cauchy, basado en otras investigaciones, en las leyes formuladas por Euler, quien a su vez tomo como punto de partida las bien conocidas investigaciones de Newton, es la piedra angular de todos los desarrollos posteriores, y es frecuente no encontrar referencias claras a la importancia de dicho trabajo en la literatura.

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externas. En un principio solo algunas geometr sencillas fueron tratadas bajo as deformaciones o fuerzas simples. Es as como se desarrollaron mtodos para pre e decir el comportamiento de cilindros bajo torsin, vigas bajo exin, o barras o o bajo el efecto de fuerzas de compresin o traccin. Esta es la base principal de o o los cursos y textos tradicionales en resistencia de materiales, es decir se hace una revisin de algunos conceptos importantes, y el desarrollo de mtodos simples o e que nos permitan predecir el comportamiento de algunos cuerpos de geometr as sencillas. Sin embargo, el trabajo de Cauchy nos lleva nalmente a un sistema de ecuaciones en derivadas parciales, cuya solucin nos entregar (bajo ciertas o a simplicaciones) de forma ms precisa la forma como cuerpo (de geometr ms a as a generales) se comportar bajo la accin de cualquier tipo de fuerzas actuando a o sobre l. El desarrollo de estas ecuaciones en derivadas parciales as como de e mtodos de solucin anal e o ticas de las mismas es la parte central del rea de a estudios conocida como elasticidad. Es claro que el n mero de problemas para los cuales es posible encontrar u soluciones anal ticas para un sistema de ecuaciones en derivadas parciales es limitado, y por ese motivo desde ya varias dcadas se han desarrollado mtoe e dos de solucin numrica de las mismas, entre los que cabe destacar el mtodo o e e de elementos nitos. Dicho mtodo permite, con la potencia y versatilidad de e los computadores actuales, resolver problemas ms cercanos a la realidad, en a relacin al estudio del comportamiento de cuerpos slidos no solos frente a o o fuerzas, si no tambin frente a cambios de temperatura e incluso cargas electroe magnticas3. e Existiendo mtodos numricos y teniendo en cuenta la potencia cada vez e e mayor y el menor precio de los computadores, surge la duda del porqu en un e momento dado uno deber estar interesado en aprender los distintos tpicos a o usualmente vistos en resistencia de materiales. La respuesta a esta pregunta tiene que ver con las limitaciones de los mtodos numricos mencionados ane e teriormente. Lo usual cuando alguien conoce por primera vez los programas comerciales de elementos nitos en mecnica de slidos, es pensar que uno a o est en condiciones de resolver cualquier tipo de problema con dichos mtodos, a e en donde pudiese tener cuerpos con geometr tridimensionales muy complejas, as posiblemente tambin interactuando con otros cuerpos, todos ellos bajo cargas e externas. Si bien es cierto los computadores son cada vez ms potentes, aun hoy a en d es todav dif resolver problemas en tres dimensiones con geometr a a cil a muy complejas, por la cantidad de memoria y recursos computacionales que estos trabajos requieren. Peor es la situacin cuando uno desea modelar varias o componentes interactuando unas con otras, pues en dicho caso nos enfrentamos3 Respecto a los tipos de problemas que se pueden analisar, con los mtodos clsicos en e a resistencia de materiales, uno adquiere herramientas que posibilitan resolver sobre todo problemas en una dimensin, por ejemplo problemas con ejes o vigas en donde la longitud sea o mucho mayor que el dimetro u otra dimensin en la seccin. Por otra parte, con los mtodos a o o e anal ticos estudiados en elasticidad, el tipo de problema normal que puede ser resuelto corresponden a problemas planos (o ms general en donde se trabaja con dos dimensiones). Son a los mtodos numricos los que se aproximan mejor a situaciones reales con cuerpo tridimene e sionales.

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a problemas muy complejos que tienen que ver con la forma como los distintos cuerpos interact an en sus supercies de contacto, que generalmente lleva a u problemas no lineales muy dif ciles de resolver. Lo que se quiere decir aqu es , que los mtodos numricos y los programa comerciales basados en ellos, si bien e e de gran utilidad y de una importancia cada vez mayor en diseo, no son una n panacea que puedan ser usados de forma apresurada en cualquier tipo de problema que se nos presente. Hay siempre aproximaciones, y en muchos casos un buen mtodo anal e tico y simplicado no solo nos permite obtener buenos resultados para modelar de forma aproximada el comportamiento de un slido, sino tamo bin a un costo en cuanto a tiempo de solucin mucho menor, sin mencionar que e o es mucho ms fcil determinar el efecto de los distintos parmetros que inuyen a a a en un problema por medio del anlisis de una expresin anal a o tica (por muchas simplicaciones que se hayan hecho para llegar a ellas) que tratar de obtener las mismas conclusiones estudiando una gran cantidad de datos numricos e expresados a travs de grcos y tablas. e a Se ha tratado de justicar el porqu de esta asignatura, quizs parezca algo e a extra o intentar hacer algo as pero es fundamental tener algunas ideas respecto n , al propsito nal de algo antes de intentar hacerlo. Siempre es bueno saber o porqu deber e amos gastar tiempo y energ en comprender conceptos y mtodos as e como los desarrollados en este curso, y ojala tambin saber en qu tipo de e e problemas podr amos usar dichos conocimientos. El objetivo nal de esta asignatura es entregar conceptos que nos permitan modelar de forma aproximada el comportamiento de cuerpos slidos bajo el efeco to en particular de fueras externas. El uso de dichos conocimientos se encuentra en particular en el rea de dise o, en donde en el momento de proponer una a n estructura o mecanismo, nos interesa dar dimensiones y/o tipo de materiales en los que pueden ser constru dos, de forma tal de evitar bajo ciertas condiciones que estos fallen. En concordancia con los objetivos anteriores, este texto est dividido en los a siguientes cap tulos. Primero hay una introduccin a la esttica, en donde nos o a interesa especialmente estudiar algunos mtodos prcticos para determinar de e a forma aproximada las fuerzas de reaccin o contacto cuando varios cuerpos o interact an unos con otros. A continuacin se explora el concepto de las fuerzas u o internas, partiendo con el caso simple en donde se estudia un modelo para dichas fuerzas aplicable al caso de vigas. El concepto de fuerzas internas es generalizado apareciendo el concepto del vector y del tensor de esfuerzos. Posteriormente se estudia el concepto de deformacin y su conexin con los esfuerzos a partir de o o algo que conoceremos como las ecuaciones constitutivas. Varios problemas simples son estudiados ahora, tales como el problema de torsin en ejes, el problema o de exin y de clculo de deexin en vigas, as como tambin el problema de o a o e clculo de esfuerzos de corte en vigas. Los cuerpos cuando se deforman acumua lan energ elstica, y dicha energ es usada en el mtodo de Castigliano para a a a e determinar deformaciones producto de fuerzas o torques externos. En el cap tulo siguiente los distintos mtodos estudiados en los cap e tulos anteriores ahora son usados para analizas problemas con geometr simples en las que ms de as a un tipo de esfuerzo est actuando sobre el cuerpo. En uno de los cap a tulos ms a 6

importantes se abordar el tema de falla en materiales, enfocado especialmente a a fallas relacionadas con formacin de deformacin plstica en un cuerpo. Dos o o a modos adicionales de falla son estudiados tambin, la falla por inestabilidad en e columnas esbeltas en compresin y la falla por fatiga. Finalmente, comprendieno do la importancia de los mtodos numricos de solucin en mecnica de slidos, e e o a o algunos conceptos de la teor de la elasticidad lineal en tres dimensiones son a entregados en el ultimo cap tulo. Al nal de cada cap tulo se darn algunas referencias a textos ms avanzados a a o bien textos cuyos ejemplos o ejercicios sean de utilidad al estudiante. Tambin e se darn algunas referencias histricas en donde sea necesario, no con toda la a o precisin que se podr desear, pero con el propsito ultimo de mostrar que o a o muchos de los conceptos y mtodos vistos aqu requirieron grandes esfuerzos y e , tiempo para ser desarrollados a la forma como los conocemos hoy, y que dicho esfuerzos requiere al menos un m nimo reconocimiento por todos quienes usan estos conocimientos tan importante en el desarrollo tecnolgico actual. o

Notacin oEn el texto se usar la siguiente notacin: a o a, b, ..., , , ..., F , f , w, ...., f , g , ..., F , G, ..., C , S , ..., Fi o F1 , F2 , F3 o Fx , Fy , Fz A , B, ..., , k o e1 , e2 , e3 , : : : : : : : : Escalares Vectores Vectores en el Cap tulo 13 Tensores de segundo orden en el Cap tulo 13 Tensores de cuarto orden en el Cap tulo 13 Componentes de un vector Cuerpos (su volumen en algunas ocasiones) Vectores unitarios

En las guras para facilitar su compresin, se usar en general el siguiente o a codigo de colores L neas de color negro: Representan los contornos de un cuerpo. L neas de color rojo: Fuerzas y momentos (torques) externos e internos. L neas de color verde: Cotas, dimensiones para las guras, echas que indican vectores de posicin o desplazamiento. o L neas de color cafe: Muro, suelo, soportes u otras partes que interact an u con el cuerpo. Los s mbolos, fuerzas, dimensiones, etc, se representan en color azul.

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Cap tulo 2

Introduccin a la esttica de o a estructuras y mecanismos2.1. Motivacin o

Cuando se piensa en mecanismos o estructuras y se desea determinar si las distintas componentes que los forman pueden o no fallar, una manera simplicada de hacer el anlisis es separar todas estas componentes o cuerpos y estudiarlos a por separado. Esto requiere modelar de alguna forma simple y al mismo tiempo realista la interaccin de las distintas piezas o componentes. Esto se puede o hacer si dicha interaccin se modela como fuerzas de interaccin o bien a travs o o e de restricciones al desplazamiento de esa parte de las supercies de contacto, debido a la interaccin con el medio o con otros cuerpos. o Es evidente que un modelo basado en fuerzas y/o restricciones para la interaccin es solo una aproximacin. Sabemos que si un cuerpo sufre fuerzas o o y deformaciones por la interaccin supercial con otro, este cuerpo tambin o e inuir en la forma como las otras componentes se deforman y comportan, o a sea, en una mejor aproximacin estas fuerzas de interaccin en realidad ser o o an funcin de la misma deformacin que causan. Tales modelos son en general o o no-lineales, y por tanto provocan grandes problemas al intentar resolverlos. En este cap tulo abordaremos el problema de determinar las fuerzas de reaccin en las distintas componentes de un mecanismo, haciendo una serie de o supuestos cuyo objetivo es obtener mtodos simples, rpidos, directos y claros e a en relacin a los resultados obtenidos. o Antes de analizar en detalle si un cuerpo va a fallar o no, o como un cuerpo se deforma o comporta bajo la accin de fuerzas externas, es natural primero o determinar de la forma ms precisa posible dichas fuerzas, y ese es el objetivo a de este primer cap tulo.

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2.2.

Deniciones y conceptos bsicos a

En este cap tulo la primera simplicacin que se har es asumir que el cuerpo o a es r gido, en particular para efecto de determinar algo que conoceremos como las reacciones. Considrese la Figura 2.1, en donde se ve un esquema simplicado e de una viga (vista de forma lateral) sometida a una fuerza F , la cual adems a estar interactuando en este caso con el suelo. La interaccin solo ocurre en los a o extremos derecho e izquierdo, y el medio mediante el cual la viga est interaca tuando se dibuja por medio de s mbolos estandarizados (que aparecen dibujados en color cafe), cuyo signicado preciso estudiaremos ms adelante. a F

A

B

Figura 2.1: Cuerpo r gido y fuerzas de reaccin. o En la Figura 2.1 podemos ver que los soportes (las guras en color cafe) van a generar fuerzas de reaccin, que hemos asumido como fuerzas puntuales y o que hemos simbolizado como A y B. El asumir que un cuerpo es r gido implica especialmente que dichas fuerzas no dependen de la forma como el cuerpo se deforma bajo la accin de estas fuerzas1 o

2.2.1.

Ecuaciones de equilibrio. Introduccin o

En este primer cap tulo, en donde estamos asumiendo que los cuerpos son r gidos, las reacciones con el entorno se obtendrn mediante el uso de las ecuaa ciones de equilibrio. De ahora en adelante asumiremos que los fenmenos dinmio a cos no sern tomados en cuenta en nuestros clculos, es decir asumiremos o a a trabajaremos solo con cuerpos o mecanismos en equilibrio esttico2 , luego las a ecuaciones que deben ser satisfechas son Fuerzas = 0, Momentos = 0,1 Es

(2.1) (2.2)

evidente que asumir que un cuerpo es r gido es solo una aproximacin de un caso real, o en donde sabemos que la interaccin de un cuerpo con otros provoca deformaciones, que a su o vez inuyen siempre en dicha interaccin. Sin embargo, el supuesto en realidad es muy util, y o entrega en la mayor parte de los problemas reales muy buenas aproximaciones. 2 Hay muchos problemas en los que la aceleracin juega un papel importante en la forma o como un cuerpo se deforma y comporta, pero dichos tpicos se encuentran fuera de los alcances o de este curso, y son parte de otros cursos avanzados en dinmica de mecanismo y en vibraciones a mecnicas. a

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es decir suma de fuerzas Fuerzas y suma de momentos (o torques3 ) Mmomentos debe ser igual a cero (vector). Las dos ecuaciones (2.1), (2.2) en realidad forman un sistema de 3 ecuaciones escalares cada una (en problemas tridimensionales), o sea en total tendr amos 6 ecuaciones que se podr usar para obtener las an reacciones o interacciones que mencionamos anteriormente. No todos los problemas en los que estemos interesados en determinar reacciones son suceptibles de ser resueltos de manera unica a traves del uso de (2.1) y (2.2). Existen casos en los que el n mero de fuerzas de reaccin o interaccin u o o es muy elevado y las 6 ecuaciones en (2.1) y (2.2) no son sucientes para obtenerlas. En problemas tridimensionales el caso clsico que se puede mencionar es a mostrado en la Figura 2.2. F F

A B

C A

B C D

Figura 2.2: Problema estticamente determinado y problema hiperesttico. a a En la gura del lado izquierdo se tiene un esquema de un taburete o banco de tres patas. Se asume no hay roce y que en el punto C hay un pasador que impedir el movimiento del taburete a lo largo y ancho del suelo. En un a problema como este se puede demostrar que las reacciones A, B y C se pueden encontrar todas solo por medio del uso de (2.1) y (2.2), bajo el supuesto que el taburete es un cuerpo r gido. Por otra parte, en la gura del lado derecho tenemos un esquema t pico de una mesa con cuatro patas, tambin apoyadas en un suelo, el que podemos en e una primera aproximacin asumir que no presenta roce. Nuevamente en C puede o haber un pasador que impedir el movimiento a lo largo y ancho del suelo (dado a que no hay roce). En un problema de esta naturaleza, en donde ahora tenemos que encontrar 4 fuerzas de reaccin, A, B, C y D, se puede demostrar que las o ecuaciones de equilibrio (2.1), (2.2) no son sucientes para encontrar de forma unica dichas fuerzas de reaccin4 . olo largo de este texto usaremos la palabra momento en lugar de torque, salvo en el caso del fenmeno de torsin (Cap o o tulo 4) en donde se usar la palabra torque para ese tipo a espec co de fenmeno. o 4 El hecho que no se pueda encontrar todas las fuerzas de reaccin en un problema como el o3A

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Un problema como el mostrado en el lado izquierdo de la Figura 2.2 es denominado un problema estticamente determinado, en tanto que un problema a como el mostrado en el lado derecho de la Figura 2.2 es conocido como un problema estticamente indeterminado o hiperesttico. a a

2.2.2.

Tipos de fuerzas. Momento Puro

Tal como se ha indicado en la Seccin 2.2.1, la interaccin de distintos cuero o pos que componen una estructura o mecanismo se puede modelar de forma simplicada asumiendo que esta interaccin ocurre a travs de fuerzas de cono e tacto o bien a travs de restricciones al desplazamiento. Partamos estudiando e primero las fuerzas, para esto se necesitan algunas deniciones. Las fuerzas se clasicarn en dos tipos: a Fuerzas de supercie: son las fuerzas que requieren del contacto directo de la supercie de un cuerpo sobre otro para actuar. Se clasican (o deber amos decir se pueden modelar) de dos formas, como fuerzas puntuales, en puntos espec cos en los cuales el cuerpo est interactuando con el medio, tal como a se muestra en la Figura 2.3. O bien como una distribucin de fuerzas de o F

Interaccin con lo o que lo rodea Figura 2.3: Fuerzas de supercie concentradas. supercie, como la que se producir en el contacto de dos cuerpos A y B a mostrados en la Figura 2.4. En el lado derecho de dicha gura podemos ver un acercamiento a la zona del cuerpo B que estaba en contacto con A ; esa interaccin ha sido representada por medio de una distribucin o o de fuerza f , que en un problema tridimensional ser fuerza por unidad a de rea, en tanto en un modelo bidimensional ser fuerza por unidad de a a longitud.mostrado en la Figura 2.2 (derecha) tiene una curiosa implicancia desde el punto de vista de lo que uno observa en la realidad. Cualquier persona que haya constru una mesa o taburete do con tres patas reconocer que nunca esta muestra alguna pata coja, es decir las tres patas se a asientan de manera ms menos perfecta en el piso. Por otra parte, no importa cuan preciso a sea la fabricacin de una mesa con cuatro patas, siempre una pata estar coja, y para lograr o a que las cuatro patas esten todas tocando el suelo, se requiere deformar estas. En consecuensia las fuerzas de reaccin no podr encontrarse asumiendo que el cuerpo es r o an gido, en este caso las fuerzas depender de la deformacin. an o

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A

f B B

Figura 2.4: Fuerzas de supercie distribu das. Fuerzas de cuerpo: son aquellas fuerzas que act an a distancia y no necesitan u el contacto directo; ejemplo de las mismas son la fuerza de gravedad y las fuerzas debido a la aplicacin de campos electromagneticos. o Las fuerzas generan momentos (o torques) y estas cantidades tiene un papel importante en la determinacin de las reacciones o interacciones, de moo do que ahora se repasar aqu dichos conceptos. Primero necesitamos algunas a deniciones. En la Figura 2.5 tenemos un sistema de coordenadas Cartesianas x3 P P Q rP e3 e1 x1 x2 Figura 2.5: Vectores de inters. e x1 , x2 , x3 , en donse se pueden apreciar los tres vectores unitarios de la base e1 , e2 , e3 , y se tiene dos puntos P , Q. Los vectores que indican las posiciones de dichos puntos se denotarn como rP y rQ , respectivamente, en tanto que el a vector que va desde P a Q se denotar como P Q . a Vector momento de una fuerza Considrese la Figura 2.6, en donde se tiene un cuerpo bajo la accin de e o una fuerza F aplicada en el punto P . Se dene el vector momento de la fuerza 12 e2 rQ Q

MA A P

F

Figura 2.6: Vector momento de una fuerza. respecto al punto A como MA = AP F . (2.3) Se puede apreciar de la denicin que el vector MA es perpendicular al plano o formado por los vectores AP y F , y debido a lo anterior existe la siguiente propiedad para el vector MA . En la Figura 2.7 se tiene una vista superior de la Figura 2.6, es decir aqu se esta viendo el plano formado por los vectores AP y F y el vector MA estar apuntando hacia fuera de la gura. La l a nea que pasa MA A AP d P Recta colineal con F Figura 2.7: Vector momento de una fuerza. Vista superior. por P y tiene la direccin del vector F es llamada la l o nea de accin de la fuerza o F . La distancia entre el punto A y dicha l nea de accin es d y el ngulo entre o a el vector AP y esta l nea de accin lo denotamos como . Se sabe que o MA = AP F = AP F sin = d F , (2.4) F

luego la magnitud de MA no cambiar si movemos el punto de aplicacin de la a o fuerza F a lo largo de su l nea de accin; es ms, la direccin de dicho vector o a o tampoco cambiar al mover F a lo largo de su l a nea de accin, pues dicha l o nea se encuentra siempre en el plano formado por los vectores originales AP y F .

13

Vector momento de una fuerza respecto a un eje Considermos la situacin en la cual un eje gira impulsado por alg n tipo e o u de fuerza aplicado en l. Un esquema se dicho eje se muestra en la Figura e 2.8. Aqu se tiene un esquema muy simplicado de un eje (la l nea larga negra

eje d P FRM

F F

F//

Figura 2.8: Vector momento de una fuerza respecto a un eje. central), el que gira en dos apoyos, los cuales son mostrados como dos l neas paralelas en ambos extremos del eje. El eje en realidad puede tener una forma irregular, pero lo importante es notar que gira respecto a esos dos apoyos mostrados ah . En alg n punto P a una distancia d del eje se aplica una fuerza sobre l5 F . u e Ahora, esta fuerza F se puede descomponer de la siguiente forma F = FR + F// + F , (2.5)

donde FR ser la componente en la direccin radial de la fuerza F , en tanto a o que F// ser la componente de la fuerza en la direccin del eje, y nalmente a o F ser la componente normal a las otras dos, que llamaremos la componente a tangencial. La pregunta es: De estas tres componentes de la fuerza, cual es la unica importante en relacin al momento que genera en el eje desde el punto de vista o de su funcionamiento? Podemos ver que las tres componentes generan algun tipo de momento, pero de las tres, la unica que genera un momento cuya direccin o va en la direccin del eje es F . El momento generado por F es simbolizado o con las echas rojas puestas en el extremo inferior del esquema del eje. Si reconocemos entonces que F es la componente importante para efectos de calcular momento en el eje, dicho momento estar dado simplemente por6 a M = dF . (2.6)

5 La fuerza es est aplicando en alguna parte del eje, pero como lo estamos mostrando de a forma muy simplicada, no se muestra de forma grca en donde realmente se est aplicando a a dicha fuerza. 6 Para denotar la norma de un vector usaremos dos notaciones: en algunas ocasiones la norma del vector A se denotara como se hace usualmente A y a veces se usar una notacin a o mucho ms simplicada A. a

14

Vector momento puro Considrse la Figura 2.9 en donde se tiene un cuerpo sometido dos fuerzas e de magnitud F con igual direccin, apuntando en sentido contrario, y separadas o por una distancia d. En este caso el equilibrio de fuerzas (Ecuacin (2.1)) es o C F d F

Figura 2.9: Vector momento puro. satisfecho de forma automatica (si bien no hay equilibrio al momento). El momento (tambin llamado par de fuerzas) que generan estas dos fuerzas e F se denotar como C y es llamado un momento puro, debido a que el cuerpo a solo siente el efecto de este C, dado que (2.1) es satisfecha de forma automtica. a La norma se este vector se puede calcular como C =d F . (2.7)

En principio vamos a ubicar a este vector justo en medio de los puntos de aplicacin de las fuerzas F , es decir a una distancia d/2 de cada una de ellas. o Considermos la Figura 2.10, en donde tenemos el mismo cuerpo en dos e casos adicionales, en donde se sigue aplicando las mismas fuerzas F , siempre separadas una distancia d, pero con direcciones diferentes a las originalmente mostradas en la Figura 2.9. Imaginemos que los pares de fuerzas F empiezan C F d F F C F d

Figura 2.10: Vector momento puro. Situaciones en las que son equivalentes. a rotar, simpre manteniendose en el plano original en el que estaban. Podemos apreciar que en este caso C = dF va a tener el mismo valor que en la Figura 2.9, y si las fuerzas F estn simpre en el mismo plano, entonces la direccin y a o

15

orientacin de C va a ser siempre la misma, o sea podemos ver que el mismo C o se puede obtener de muchas formas distintas. En la Figura 2.11 se muestran los s mbolos que se usarn para representar a el vector momento puro. Normalmente en problemas planos se usar una echa a circular, y en problemas tridimensionales se usar una echa doble, la correa spondencia entre estas dos formas de representacin se muestra en la misma o Figura 2.11.

Figura 2.11: Vector momento puro. Representaciones. Teorema 1 Para cuerpos rgidos el vector momento puro es un vector libre es decir su punto de aplicacin se puede cambiar y el efecto que genera sobre el o cuerpo es el mismo. Demostracin La demostracin de este teorema la haremos de dos formas, o o primero entregaremos una demostracin ms general para problemas tridimeno a sionales y posteriormente para el caso particular de problemas planos. Considrese la Figura 2.12 en donde tenemos dos puntos A, B en donde e se est aplicando dos fuerzas F con la misma magnitud y direccin pero con a o sentidos opuestos. Estas fuerzas van a generar un momento puro sobre el cuerpo, z

z F A rA BA rB B F rA rB

O y

x O x y

Figura 2.12: Vector momento puro. Demostracin que es invariante. o el cual se puede ubicar en principio a media distancia entre los puntos A y 16

B. Hay varias formas de calcular dicho momento puro, si se escoge el sistema coordenado x, y, z con origen O, el momento puro C se puede calcular como C = BA F ,rA rB

(2.8)

en donde F en este caso corresponde a la fuerza aplicada en A. Podemos ver que en la expresin anterior el vector BA ha sido denido usando los vectores o posicin de A y B respecto a la referencia O. Pero o BA F = (rA rB ) F = (rA rB ) F = C ,

(2.9)

luego C = C , es decir el vector momento puro calculado desde las dos referencias es el mismo. Ahora como un cambio de referencia es en realidad equivalente a mantener al vector jo y mover en su lugar al cuerpo y por tanto esto signicar a que el cambiar de posicin el punto de aplicacin de C no afecta la forma o o como este vector act a sobre el cuerpo r u gido, con lo que la demostracin se ha o nalizado7 . Como resultado de la demostracin anterior para momentos puros tendrmos o e situaciones como las mostradas en la Figura 2.13.

C

C

Figura 2.13: Vector momento puro: Traslacin a un punto distinto del cuerpo o La demostracin basada en la Figura 2.12 si bien es bastante general, de too das formas no apela mucho a la intuicin de lo que uno esperar en un problema o a como este. Por dicho motivo aqu se agrega una segunda forma de demostrar este teorema, vlida eso s en este caso solo para problemas bidimensionales. a Como paso previo considrese la siguiente observacin basada en lo que se e o muestra en la Figura 2.14. En dicha gura tenemos dos sistemas de fuerzas paralelas (caso plano), en un caso de magnitud F y separadas una distancia d, y en el otro caso de magnitud 2F y separadas una distancia d/2. De (2.7) es fcil ver que la magnitud del vector momento puro en un caso ser dF y en el a a segundo caso ser 2F d/2 = dF , es decir en ambos casos obtendr a amos la misma magnitud para este vector, y adems podr a amos ubicar este vector en el mismo punto central entre estas dos fuerzas. Teniendo presente la observacin anterior, considermos ahora la Figura 2.15, o e en la parte superior tenemos un cuerpo el que est sometido a dos fuerzas a7 Es relativamente claro que para el caso de cuerpos deformables cambiar de posicin el o punto de aplicacin de C no genera los mismos efectos, pues de forma intuitiva se puede ver o que la deformacin no ser igual. A pesar de esto en varios problemas con cuerpos deformables o a seguiremos usando este teorema, claro est solo como una aproximacin. a o

17

2F F F 2F d/2 d

Figura 2.14: Vector momento puro: Distintas formas de clculo a opuestas de magnitud F separadas una distancia d, y que por tanto generan un momento puro C = dF . Imaginemos ahora que deseamos mover este momento puro a un punto ubicado hacia la derecha a una distancia L del punto original de aplicacin de C. o La traslacin se puede hacer de la siguiente forma. En la segundo cuerpo o mostrado en la Figura 2.15 dibujamos a una distancia L de las fuerzas originales dos pares de fuerzas opuestas F , tal como se aprecia en el lado derecho del segundo cuerpo. Podemos ver que en realidad aqu la suma nos da cero. Sin embargo, si juntamos ahora cada una de las fuerzas del lado izquierdo con un par de las fuerzas opuestas en el lado derecho, tal como se muestra con l neas punteadas en el segundo cuerpo de la Figura 2.15, tendremos que se forman momento puros y opuesto de magnitud F L, los cuales se ubican a una distancia d entre ellos, tal como lo muestra el tercer cuerpo de la Figura 2.15. En este tercer cuerpo mostrado en la Figura 2.15 tenemos ahora dos momentos puros y opuestos de magnitud F L, y adems ahora tenemos dos fuerzas a de magnitud F separadas una distancia d en el extremo izquierdo. Lo que se hace ahora es hacer F tender a innito y d tender a cero, de forma tal que la multiplicacin dF = C se mantenga constante, recordando lo o que se hab discutido respecto a la Figura 2.14. En ese caso podemos ver que a los dos momentos puros F L al nal se aplicar en el mismo punto, y que al an tener sentidos opuestos, esto signica que se anulan y por tanto nos queda el cuerpo con el momento puro C ahora aplicado en la derecha, a una distancia L del punto original de aplicacin, con lo que hemos terminado esta demostracin o o grca a

18

F C F d L

d F F

d F

F L

F

F

F FL FL F d L

d

C

L

Figura 2.15: Vector momento puro. Traslacin a un punto distinto del cuerpo o (caso 2D). 19

Ejemplos de clculo del momento causado por una fuerza a 1. Calcule el momento causado por F respecto al punto O para la rueda mostrada en la Figura 2.16. y P OP O x

F

Figura 2.16: Vector momento. Ejemplo de clculo. a En este problema tenemos que F = (Fx , Fy ) y que OP = (0, r) para el sistema de coordenadas mostrado en la gura, en donde r ser el radio a de la rueda. De la denicin (2.3) tenemos o MO = OP F = por lo que k 0 r 0 , Fx Fy 0 (2.10)

MO = Fx rk.

O sea como ya sabemos, en un problema plano los momentos solo tiene componente en la direccin normal al plano. Del resultado anterior adems o a podemos ver que la unica componente importante de F para el clculo del a momento es la que es normal al vector OP . 2. Determine el momento de la fuerza de 100lbf con respecto a los puntos A y B mostrados en la Figura 2.17 Usaremos la denicin (2.3), en este caso primero necesitamos expresar la o fuerza como vector, de la gura vemos que el vector fuerza se encuentra en el interior de un cubo de dimensiones 8 4 4, luego podemos expresar la fuerza aplicada en ese punto F como (el punto de aplicacin de F lo o podemos llamar P ) F = 100 8 4 4 + k , 82 + 2 42 82 + 2 42 82 + 2 42 100 F = (8 + 4 4 4). 96

simplicando tenemos (2.11)

20

8 y Barra pegada a la pared en A 4 A B 8 x 100 4 4

z

10

Figura 2.17: Vector momento. Ejemplo de clculo (dimensiones en pies). a Para calcular el momento hace falta el vector que va desde el punto respecto al que se quiere calcular dicho momento al punto en donde se aplica la fuerza, y de la gura podemos ver que AP = 10 + 4 8k, j BP = 4 8k. j (2.12)

Luego los momentos se calculan simplemente con los productos cruz MA = AP F , MB = BP F , (2.13)

usando (2.11) y (2.12). Se deja como ejercicio realizar dicho clculo. a 3. Calcular el momento causado por F respecto a D como se muestra en la Figura 2.18 para dos casos: En que la fuerza se aplique en P y que se aplique en Q, respectivamente. En este problema vericaremos directamente el principio enunciado con la Figura 2.7. Para ambos casos en que F se aplique en P y Q tenemos F = F . En el caso del momento calculado respecto al punto P , necesitamos el vector que va desde el origen del sistema (que llamaremos O) al punto en questin OP y se tiene que OP = r, por lo que o MO = OP k F = 0 r 0 = F rk. F 0 0

21

F

Q t

F

y P r

L nea paralela a x

x

Figura 2.18: Vector momento. Ejemplo de clculo. a En el caso del momento calculado respecto al punto Q usamos el vector OQ = t + r, luego tenemos k MO = OQ F = t r 0 = F rk, F 0 0 que es igual al resultado anterior, conrmando el hecho mencionado anteriormente respecto a la Figura 2.7, en donde indicamos que si se mueve la fuerza a lo largo de su l nea de accin, el momento que esta fuerza hace es o el mismo. En la Figura 2.18 podemos ver que los puntos P y Q se ubican ambos en la l nea de accin de F . o

22

2.3.

Fuerzas equivalentes y clculo de reacciones a

Nuestro propsito en esta seccin es desarrollar mtodos que nos permitan o o e reducir el numero de fuerzas actuando en un cuerpo, de modo que se tenga un sistema equivalente de fuerzas ms simple que genere el mismo efecto sobre a el cuerpo. Para entender esto considrese la Figura 2.19. En el lado izquierdo e f F1 C1 C2 Fn F2 FT Ct

Figura 2.19: Sistema de fuerzas equivalentes. Figura de la izquierda muestra la situacin inicial, la gura de la derecha mostrar la situacin nal equivalente. o a o tenemos un cuerpo bajo estudio en su situacin inicial con un cierto n mero de o u fuerzas puntuales, de fuerzas distribu das y de momentos puros actuando sobre l. La idea de esta seccin es desarrollar algunos mtodos que nos permitan e o e reemplazar el sistema de fuerzas y momento puros original, por uno ms simple, a que sea equivalente, en el sentido que el efecto que sienta el cuerpo sea el mismo. El sistema equivalente es mostrado de forma esquematica en el lado derecho de la Figura 2.19. Ahora veremos varios casos particulares: Si un conjunto de fuerza act a en un punto, tal como lo vemos en el lado u izquierdo de la Figura 2.20, la fuerza equivalente total es simplemente la suma de las fuerzas, como se ve en el lado derecho de la misma gura para el mismo punto. F3 F2 Fn F1 FT =n i=1

Fi Fi

Figura 2.20: Sistema de fuerzas equivalentes. Fuerzas aplicadas en un punto.

23

Para un cuerpo r gido la fuerza se puede trasladar a lo largo de su l nea de accin y el cuerpo sentir el mismo efecto, tal como se muestra en la o a Figura 2.21. F F

El momento que se genera en estos casos respecto a cualquier punto es el mismo Figura 2.21: Sistema de fuerzas equivalentes. Fuerzas se puede mover a lo largo de su l nea de accin. o Ya habiamos comentado este hecho importante en el contexto de la Figura 2.18. Al mover la fuerza a lo largo de su l nea de accin, el momento que o esta genera es el mismo para cualquier punto, y como el cuerpo es r gido, no importar si la deformacin no fuese la misma, como si ocurrir con a o a cuerpos deformables. En la Figura 2.22 en la parte superior izquierda tenemos un cuerpo con una fuerza F aplicada en un punto A. Lo que nos interesa ahora es ver cual ser un sistema de fuerzas y/o momentos puros equivalentes si quisieramos a mover esa fuerza de A a B. El resultado que mostraremos ahora en realidad ya fue usado en el contexto de la demostracin que se hizo respecto a que o el momento puro era un vector libre (Figura 2.15), pero de todas formas repetiremos el mtodo aqu e . Para trasladar la fuerza al punto B se dibuja en dicho punto dos fuerzas iguales pero opuestas con la misma direccin que la original, tal como se o muestra en la Figura 2.22 parte superior derecha. La fuerza original F en A puede usarse para formar un momento puro junto con la fuerza F aplicada en B. Luego tal como se muestra en la Figura 2.22 parte inferior central, tendremos la fuerza F ahora aplicada en B ms un vector momento puro C, que proviene del clculo anterior. a a Ejercicio : En la Figura 2.23, cual es el sistema de fuerzas y/o momentos equivalentes en el punto A?

24

Forman un par de fuerza que generan un momento puro C de magnitud C = dF A B F

F

d

F

A F B

Aqu la suma en B es cero

A B C

F

Figura 2.22: Sistema de fuerzas equivalentes. Fuerza que se mueve a una posicin o paralela a su l nea de accin. o

25

y

A

z

7 x

8

P7

8 7

F 8

Figura 2.23: Ejemplo de sistema de fuerzas equivalentes.

26

2.3.1.

Fuerzas distribu das

Al inicio de esta seccin se clasicaron las fuerzas de contacto en fuerzas o puntuales y distribu das (ver Figura 2.4). Es claro que en problemas reales las fuerzas distribu das son una mucho mejor representacin de las interacciones o reales entre cuerpos. Considrese por ejemplo la Figura 2.24. En el lado izquierdo e

Rueda

f Piso Fuerza por unidad de area Figura 2.24: Ejemplo de fuerzas distribu das de supercie. se tiene un esquema de la parte frontal de un auto, en particular de la rueda y del piso en la que esta est apoyada. Sabemos que las ruedas sufren algo de a deformacin (debido al peso del auto) y que por tanto el contacto con el piso o ocurre en un rea de tama o nito, tal como se muestra en el lado derecho de a n la misma gura. Luego la interaccin del piso sobre la rueda se puede modelar o como una fuerza distribu f por unidad de rea. da a Otro tipo de fuerza distribu corresponde a las fuerzas de cuerpo. Por da ejemplo la fuerza debido a la gravedad se puede considerar como una fuerza por unidad de volumen, tal como se muestra en la Figura 2.25.

df

Fuerza por unidad de volumen df = gdv Figura 2.25: Ejemplo de fuerzas distribu das de volumen.

27

Densidad de l nea En este texto nos concentraremos en particular en fuerzas por unidad de longitud, llamadas tambin por unidad de l e nea, las cuales tienen unidades en el sistema internacional N/m, tal como se muestra en la Figura 2.27. Nuestro inters ahora es encontrar una fuerza puntual equivalente que pueda reemplazar e estas distribuciones de l nea w, para ello necesitaremos algunos resultados preliminares concernientes al momento causado por una fuerza. En la Figura 2.26 (lado izquierdo) tenemos (para un problema plano) un esquema con una fuerza F en donde interesa determinar el momento causado respecto al punto A. En dicho caso (en donde los vectores son ortogonales) se F A AB B A F AB B F F//

Figura 2.26: Clculo simplicado del momento en problemas planos. a cumple que AB F = AB F. (2.14) Es fcil demostrar para un problema ms general como el mostrado en el lado a a derecho de la Figura 2.26 se tendr a AB F = AB F . (2.15)

El sentido del momento para problemas planos est apuntando fuera o hacia a dentro de la pizarra. Concentrmonos ahora en el esquema mostrado en la Figura 2.27, del resule tado anterior, para efectos del momento, la componente tangencial de la fuerza no es importante, de modo que aqu asumiremos que w solo tiene componente en la direccin del eje y. o y w

x O Viga

Figura 2.27: Fuerzas distribu das. Fuerza por unidad de l nea. La fuerza est siendo aplicada, por ejemplo, a una viga de longitud L, y a para un diferencial de longitud la magnitud de la fuerza actuando sobre dicho 28

elemento df se puede calcular como df = w(x) dx. (2.16) Ahora bien, queremos reemplazar la fuerza8 w(x) por una fuerza puntual equivalente (o resultante) que llamaremos FR . Una primera condicin que es o natural pedir es que FR sea igual a la fuerza total que w(x) estar generando a sobre la viga, o seaL

FR =o

w(x) dx.

(2.17)

Ahora necesitamos ver donde aplicar esta fuerza resultante, y para ello ahora podemos pedir que el momento causado por FR respecto a cualquier punto sea el mismo que causar w(x). Calcularemos el momento respecto al punto O a mostrado en la Figura 2.27 (extremo izquierdo de la viga). Debemos recordar que si el momento es cero respecto a un punto, lo es respecto a cualquier otro, como consecuencia de (2.9). Para calcular el momento causado por w considermos la e Figura auxiliar 2.28. Podemos ver en este caso que la fuerza en un diferencial w dx dx

x

Figura 2.28: Fuerzas distribu das. Momento causado por la fuerza. dx ser w(x) dx y que el momento causado respecto al extremo derecho (dado a que la fuerza ser ortogonal respecto al vector posicin) ser xw(x) dx, por lo a o a L que el momento total es o xw(x) dx. Ahora bien, asumamos que la fuerza FR se aplica a una distancia x desde el extremo izquierdo de la viga, el momento causado por FR ser igual a xFR , luego imponemos la condicin a oL

xw(x) dx = xFR , o

y de (2.17) tenemos9 x= L xw(x) dx o . L w(x) dx o

(2.18)

Veamos dos ejemplo simples de aplicacin de estos resultados. o8 Como w solo tiene componente en y de ahora en adelante en general usaremos el s mbolo w para hablar de estas fuerzas distribu das, a menos que de manera expl cita esta pueda tener las dos componentes en el caso plano en las direcciones x e y. 9 Ntese la similitud de esta expresin con las ecuaciones que se derivan usualmente en el o o clculo de centro de masa para distribuciones lineales de densidad. a

29

Distribucin constante: En este caso tal como se muestra en la Figura 2.29 o consideramos el caso w(x) = wo constante. De (2.17) en este caso tenemos y w = wo

x L

Figura 2.29: Fuerzas distribu das. Distribucin constante. oL L

FR =0

wo dx = wo L,0

xwo dx = wo

L2 , 2

(2.19)

luego de (2.18) wo L L 2 = , (2.20) x= wo L 2 y por tanto la fuerza equivalente se aplica en la mitad de la zona en la que se est aplicando wo , tal como se muestra en la Figura 2.30. a wL2

L/2

Figura 2.30: Fuerzas distribu das. Fuerza equivalente a una distribucin cono stante. Distribucin lineal: En este problema se considera una distribucin de fuerza o o por unidad de longitud lineal con un valor mximo en un extremo igual a a wo , tal como se muestra en la Figura 2.31. En este caso se tiene w(x) = y de (2.17) se llega aL

x wo , L

FR =0

x wo L wo dx = , L 2

(2.21)

30

y

wo

x L

Figura 2.31: Fuerzas distribu das: Distribucin lineal o que no es otra cosa que el rea del triangulo que forma esta distribucin a o lineal. Por otra parte0 L

x2 wo L2 w0 dx = , L 3

luego de (2.18) tenemos x= wo L 2L 3 = , L 3 wo 22

(2.22)

o sea la resultante se aplica a dos tercios de la distancia desde el inicio de la distribucin lineal original, tal como se muestra en la Figura 2.32. o FR = wo L/2

2L/3

Figura 2.32: Fuerzas distribu das. Fuerza equivalente a una distribucin lineal. o Ejemplo: Para el sistema de fuerzas mostrado en la Figura 2.33 determine la fuerza y momentos resultantes en el punto A y tambin determine el sistema e de fuerzas y momentos ms simple que sea equivalente a las fuerzas originales. a Las unidades de longitud son pie y las de fuerza estn en libras-fuerza. a Usando los resultados mostrados en (2.20) y (2.22) vamos primero a reemplazar las distribuciones de fuerza por unidad de l nea por fuerzas puntuales. La fuerza uniforme de 5lbf/pie se reemplazar por una puntual a 31

5lbf/pie

100lbf

A 15lbf/pie 15 18 20 10

Figura 2.33: Ejemplo. Fuerzas distribu das. de 5*18=90lbf, que se aplica en la mitad de los 18 pies originales, en tanto la distribucin lineal se reemplaza por una puntual de magnitud o de 15*20/2=150lbf que se aplicar a dos tercios de 20 desde el extremo a derecho de la viga, tal como se muestra en la Figura 2.34. 90lbf 100lbf

A 150lbf 9 21.667 25

Figura 2.34: Ejemplo. Fuerzas distribu das. Ahora para determinar las resultantes en el punto A dibujamos en dicho punto pares opuestos de las fuerzas de magnitud 90, 150 y 100lbf tal como se muestra en la Figura 2.35. Se usan pares opuestos de fuerzas tal como se muestra con l neas punteadas en la Figura 2.35 para generar con estas momentos puros tal como se muestra en la Figura 2.36. Las magnitudes de estos momentos son C1 = 909 = 810lbf-pie, C2 = 150 21,67lbf-pie y C3 = 10025 = 2500lbf-pie. El resultado nal de este proceso 32

150lbf 100lbf 90lbf A 100lbf 90lbf 150lbf

90lbf 100lbf

150lbf

Figura 2.35: Ejemplo. Fuerzas distribu das. 100lbf 150lbf C3 C1 A 90lbf C2

Figura 2.36: Ejemplo. Fuerzas distribu das. se muestra en la Figura 2.36. Podemos sumar todos los momentos y todas la fuerzas que aparecen en la Figura 2.36 y nalmente nos quedar una a fuerza resultante total que podemos llamar FR y un momento resultante total CR , tal como se muestra en la Figura 2.37, y este ser el resultante a en el punto A que se mencionaba en la pregunta original. FR A CR

Figura 2.37: Ejemplo. Fuerzas distribu das. Pero hay un sistema equivalente aun ms simple y para encontrarlo podea mos mirar la Figura 2.38, en donde trasladaremos la fuerza resultante FR hacia la derecha una distancia en principio desconosida d. Para encontrar dicha distancia asumimos que el momento puro generado al trasladar FR (que en este caso tendr un sentido opuesto al CR origa inal mostrado en la Figura 2.37) es el mismo en magnitud a CR , luego d = CR /FR . O sea llegamos nalmente a algo como lo mostrado en la Figura 2.39 en donde solo tenemos una fuerza resultante nal equivalente al sistema original de fuerzas mostrado en la Figura 2.33.

33

FR A CR

FR

FR d

Figura 2.38: Fuerzas distribu das: Ejemplo

FR A

Figura 2.39: Ejemplo. Fuerzas distribu das.

34

2.3.2.

Apoyos y reacciones

En las guras mostradas en las secciones anteriores pudimos apreciar esquemas de vigas en cuyos extremos se inclu algunos s an mbolos que indicamos representaban alg n tipo de interaccin con otros cuerpos o con el medio. Hemos u o discutido en detalle acerca de la interaccin de varios cuerpos que, por ejemplo, o forman un mecanismo, y que dicha interaccin se puede modelar a traves de o fuerzas y/o de restricciones a los posibles desplazamiento que esas supercies de interaccin pueden presentar. En el caso de vigas modelaremos estas intero acciones de forma simplicada a traves de apoyos, que generarn fuerzas de a reaccin puntuales de magnitud apropiada para lograr dichas restricciones a los o desplazamientos. Pasador: Este tipo de apoyo se representar de la forma como se muestra en a la Figura 2.40, en donde tenemos el extremo de una viga y dos formas equivalentes para representar este apoyo. y

x

Figura 2.40: Apoyos tipo Pasador. Se asumir que un apoyo tipo pasador impide el desplazamiento (del punto a en donde este se aplica) tanto en la direccin x como en la direccin y. Por o o otra parte no impide movimientos angulares para ese extremo de la viga, o sea la viga es libre de rotar en cualquier direccin. Por este motivo el o tipo de reaccin que este tipo de apoyo generar consistir de una fuerza o a a puntual R, que para el caso plano tiene dos componentes Rx , Ry , tal como se muestra en la Figura 2.41 Rx R Ry

Figura 2.41: Pasador. Fuerzas de reaccin. o Rodillo: Un apoyo tipo rodillo se simbolizar de tres formas equivalentes como a se muestra en la Figura 2.42. Un apoyo de esta naturaleza colocado en el extremo de una viga se asumir que a impide el movimiento de ese punto en la direccin normal a la supercie o 35

y

x

Figura 2.42: Apoyos tipo Rodillo. de apoyo, por tanto se generar una fuerza normal N de reaccin en dicho a o punto, tal como se muestra en la Figura 2.43

N Figura 2.43: Rodillo. Fuerza de reaccin. o El apoyo mostrado en la Figura 2.42 en realidad generar un efecto sima ilar a lo que se muestra en la Figura 2.44. En dicha gura se tiene un Se desplaza sin roce

Ranura

Figura 2.44: Rodillo. Equivalencia al efecto de una ranura. pasador conectado a una viga (que no se muestra en la gura) que puede desplazarse a traves de una ranura sin roce. La ranura impide el movimiento del pasador y por tanto de ese punto de la viga en la direccin normal a o la direccin tangente de la ranura, y si no hay roce el unico tipo de fuerza o de reaccin que se genera es normal a la direccin de esta ranura. o o Empotramiento: Una viga con un extremo empotrado se mostrar de forma a simblica como se indica en el lado izquierdo de la Figura 2.45. El empoo tramiento se asumir que impide todo tipo de movimiento en ese punto o a 36

y Rx R No permite desplazamiento en x, y y no permite rotacin o Figura 2.45: Apoyos tipo empotramiento. extremo de la viga, es decir no se puede mover ni en la direccin x, y (y o eventualmente z), ni tampoco puede girar libremente en dicho punto. En el lado derecho de la Figura 2.45 tendr amos los tipos de fuerzas y momentos de reaccin que este apoyo generar sobre la viga en ese punto. o a Tenemos una fuerza puntual R con dos componentes (en el caso plano) Rx y Ry , ms un momento puro de reaccin que denotamos Mz para el a o caso plano. Rotula 3D: Este es un apoyo que aparece en problemas tridimensionales, cuyo esquema se muestra en el lado izquierdo de la Figura 2.46. En esa gura Mz Ry z x

Ry Rz Rx Figura 2.46: Apoyos tipo rotula 3D. podemos ver una barra unida (pegada) a una esfera, la cual est parciala mente inserta en una cavidad de forma esfrica (el soporte dibujado en e color caf). Un apoyo de este tipo no permitir ning n tipo de desplazae a u miento pero por otra parte permitir cualquier tipo de rotacin, como lo a o muestran las echas verdes. El tipo de reacciones que este apoyo generar a si no hay roce se muestra en el lado derecho de la gura y consistir en a una fuerza puntual con tres componentes (3D) Rx , Ry , Rz . Dos barras conectadas por un pasador: Un caso adicional, que en realidad es una extensin del apoyo tipo pasador visto anteriormente, correo sponde al problema de dos o ms barras unidas a traves de un pasador. a 37

Como ejemplo veamos la Figura 2.47, en donde podemos apreciar dos barras o vigas unidas en un extremo por un pasador. Pasador

Figura 2.47: Pasador conectando dos barras. La pregunta, desde el punto de vista de las reacciones, es: Qu simplie cacin se podr hacer en ese caso? Para ello podemos apreciar la vista o a ampliada de la zona de interaccin mostrada en la Figura 2.48, en donde o tenemos diagramas de los extremos de las barras y un diagrama adicional del pasador. Ry Rx Rx Ry Ry Rx Rx Ry

Figura 2.48: Pasador conectando dos barras. Fuerzas de interaccin. o Si asumimos no hay roce, de la discucin del apoyo tipo pasador, la reaco cin que el pasador generar sobre cada barra ser solo una fuerza puno a a tual con dos componentes, por lo tanto en el caso de la barra del lado izquierdo el efecto del pasador sobre esa barra se manifestar por medio a de Rx y Ry , en tanto que en la barra del lado derecho se manifestar por a medio de reacciones Rx y Ry . Por accin y reaccin las mismas fuerzas o o actuar sobre el pasador mostrado en el medio, y como estamos en un an caso de equilibrio esttico tenemos pare este pasador que se debe cumplir a Fx = 0 Rx = Rx

y

Fy = 0

Ry = Ry ,

(2.23)

o sea en este caso el pasador simplemente transmitir la fuerza de una a barra a la otra10 .10 En

el caso de tres barras unidas en un punto por un pasador, si adems hay una fuerza a

38

externa actuando en dicho punto, entonces esta conclusin no es vlida, y necesitamos hacer o a diagramas de cuerpo libre de cada una de las barras y el pasador, pudiendo hacer la simplicacin adicional que la fuerza externa se estar aplicando solo en el pasador. o a

39

2.3.3.

Ecuaciones de equilibrio

En la Seccin 2.2.1 (y tambien en la Seccin 2.3) hemos mencionado las ecuao o ciones de equilibrio. Hemos indicado en extenso que en este texto en su mayor parte nos preocuparemos solo de problemas estticos, es decir como supuesto a consideraremos que cualquier efecto que pueda tener la velocidad o aceleracin o en el comportamiento de un slido no se tomar en cuenta. Ahora bien, en la o a seccin anterior hemos denidos algunos tipos de apoyos que no son otra cosa o que modelos de interaccin entre cuerpos que pueden componer un mecanismo. o Dichos apoyos generan restricciones al desplazamiento y de manera indirecta generan fuerzas de reaccin. Deber ser claro, al menos de manera intuitiva, o a que en el comportamiento mecnico de un cuerpo no solo ser importantes las a an fuerzas o momentos externo sino tambin estas fuerzas de reaccin o interace o cin. En esta seccin (la ultima de este cap o o tulo de esttica) veremos mtodos a e simplicados para calcular dichas reacciones. Primero que todo veamos un esquema general a estudiar del tipo de problema como se muestra en la Figura 2.49. Se tiene aqu un cuerpo con un cierto numero F2 F1 Cm C1 Fn Cj ri Fi O

Figura 2.49: Equaciones de equilibrio. de fuerzas y momentos puros actuando sobre l, junto con un punto de referencia e O. En un problema general de este tipo las fuerzas y momentos puros deben

40

satisfacer las ecuaciones de equilibrio11 Fi = 0,i

(2.24) ri Fi + Cj = 0.j

Mj = 0j

(2.25)

i

Estas ecuaciones son bien conocidas en f sica y nada nuevo se ha mostrado. Considerando ambas en problemas tridimensionales tenemos 6 ecuaciones escalares. Lo que nos interesa ahora es ver como resolverlas de forma rpida y a prctica, para ello veamos el siguiente listado de casos especiales: a Fuerzas coplanares (caso plano): En un problema de este tipo se asumir que a todas las fuerzas (tanto externas como de interaccin) pertenecen a un o plano (por ejemplo el plano x y), y que todos los momentos puros solo tienen componente en z, tal como se muestra en la Figura 2.50. Tenemos F2 F1 y Cj C1 Fn

x

Figura 2.50: Equaciones de equilibrio. Caso plano. entonces que las fuerzas son de la forma F = Fx + Fy y que los momen luego de (2.24), (2.25) solo tenemos tres tos puros son como C = Cz k, ecuaciones que satisfacer Fx = 0, Fy = 0, Mz = 0. (2.26) (2.27) (2.28)

Fuerzas coplanares: En este caso como ejemplo podemos asumir que todas las fuerzas aplicadas en un cuerpo tienen la direccin del eje z, tal como o se muestra en la Figura 2.51. Las fuerzas externas entonces tiene la forma11 La ecuacin (2.25) en realidad es equivalente a tomar todas las fuerzas sobre el cuerpo y o moverlas a un punto comn para sumarlas en dicho punto. El proceso de mover estas fuerzas u generan los momentos mostrados en el primer trmino de la segunda equacin en (2.25). e o

41

z F1 x F2 Fi Fn

y

Figura 2.51: Equaciones de equilibrio. Fuerzas paralelas. F = Fz k y los momentos puros (que no aparecen dibujados en la Figura 2.51) tendr la forma C = Cx + Cy, luego en un problema de esta an naturaleza de (2.24), (2.25) tenemos que resolver solo tres ecuaciones Fz = 0, Mx = 0, My = 0. (2.29) (2.30) (2.31)

Fuerzas concurrentes: Si en un cuerpo todas las fuerzas (o sus l neas de accin) pasan por un solo punto tal como se muestra en la Figura 2.52, y o si no se aplica ning n momento puro externo, entonces de (2.24), (2.25) u solo debemos resolver Fi = 0, (2.32) es decir aqu no es necesario vericar el equilibrio al momento. Fn Fi F2

F1

Figura 2.52: Equaciones de equilibrio. Fuerzas concurrentes. Cuerpo bajo la accin de una sola fuerza: En la Figura 2.53 se muestra o un cuerpo bajo la accin de una sola fuerza. Esquemas de esta forma se o han usado y mostrado en secciones anteriores, sin embargo en esttica a desde el punto de vista riguroso no estamos considerando aceleracin, y o por tanto es necesario que Fi = 0, y cuando hay solo una fuerza aplicada sobre un cuerpo, esto de manera inmediata implica que F = 0, o sea en 42

F Figura 2.53: Equaciones de equilibrio. Cuerpo bajo la accin de una sola fuerza. o

esttica no es posible tener solo una fuerza aplicada sobre un cuerpo para a que este est en equilibrio. e Cuerpo bajo la accin de solo dos fuerzas: Este es un caso muy imporo tante, el resultado mostrado aqu se aplica en la mayor parte de los ejem plos y ejercicios mostrados en la Seccin 2.4. Considrese la Figura 2.54 o e en donde tenemos un cuerpo bajo la accin de dos fuerzas. Estas fuerzas o FB A AB B FA Figura 2.54: Equaciones de equilibrio. Cuerpo bajo la accin de dos fuerzas. o pueden ser fuerzas externas o fuerzas externas de reaccin o interaccin o o con otros cuerpos. Tenemos pues una fuerza FA aplicada en un punto A y una fuerza FB aplicada en un punto B. Asumiremos que los puntos A, B son diferentes, pues en otro caso estar amos en la situacin de fuerzas o concurrentes visto en un punto anterior. En este caso especial las ecuaciones (2.24) deben tambin ser satisfechas, e luego (2.24) implica que FA + FB = 0, de modo que, por ejemplo, FA = FB . O sea las fuerzas deben ser iguales pero opuestas en sentido. Por otra parte de (2.25) tenemos que Mj = 0, que en este caso en donde hay solo fuerzas y no hay momento puro externo aplicado, de (2.25) es equivalente (si se calcula por ejemplo respecto al punto A) a AB FB = 0, 43

pues respecto a A la fuerza FA no hace momento. Ahora bien, la ecuacin o anterior nos dice nalmente que para que haya equilibrio al momento la fuerza FB deber ser paralela a AB , y como ten a amos que FA = FB esto nalmente implica que: Para que un cuerpo con solo dos fuerzas aplicadas sobre l est en equilibe e rio las fuerzas deben ser de igual magnitud, direccin y sentido opuesto, y o su direccin debe ser la misma direccin del vector que une los puntos de o o aplicacin. o Tenemos dos casos posibles entonces, tal como se muestra en al Figura 2.55. F A B F F A B F

Figura 2.55: Cuerpo bajo la accin de dos fuerzas. Dos situaciones posibles. o Cuerpo bajo la accin de solo tres fuerzas: En esta problema tenemos o dos dub-casos que detallaremos a continuacin. o Cuerpo bajo la accin de tres fuerzas y dos de ellas concurrentes. o En la Figura 2.56 tenemos una esquema de un cuerpo bajo la accin de tres fuerzas FA , FB y FC . Asumimos, por ejemplo, que FA o y FB (sus l neas de accin) se intersectan en un punto com n que o u llamaremos O. FC O FA C FB

Figura 2.56: Equaciones de equilibrio. Cuerpo bajo la accin de tres fuerzas. o Como FA y FB (sus l neas de accin) coinciden en un punto, podemos o trasladar estas fuerzas a dicho punto, y esto es posible pues al moverlas lo largo de sus l a neas de accin el efecto de cada una de estas o fuerzas en cuerpo r gidos es el mismo. Finalmente en O sumamos es-

44

tas dos fuerzas de modo que tenemos una situacin como la mostrada o en la Figura 2.57. FB FA + FB O FA CO C FC

Figura 2.57: Cuerpo bajo la accin de tres fuerzas. Dos fuerzas concurrentes. o Como ahora en la Figura 2.57 tenemos solo dos fuerzas actuando sobre el cuerpo, FA + FB en O y FC en C, podemos aplicar el principio visto en el punto anterior para un cuerpo con dos fuerzas, de donde conclu mos que FC debe necesariamente tener la direccin del vector o que va desde C a O, en consecuencia FC (su l nea de accin) tambin o e pasar por el punto O y tenemos que : a Cuando un cuerpo est sometido solo a tres fuerzas, con dos de ele las (sus lneas de accin) concurrentes a un punto, la tercera fuerza o tambin (su lnea de accin) intersectar dicho punto. e o Es decir en un caso como este tenemos algo como lo que se muestra en la Figura 2.58. O FA FB

C

FC

Figura 2.58: Cuerpo bajo la accin de tres fuerzas. Caso ms general. o a Cuerpo bajo la accin de tres fuerzas y dos de ellas paralelas. o En este caso nuevamente tenemos un cuerpo sobre el que act an u tres fuerzas FA , FB y FC en los puntos A, B, C, respectivamente. Asumimos ahora, por ejemplo, que FA y FB son paralelas, tal como se muestra en la Figura 2.59. Bajo al accin de estas tres fuerzas el cuerpo debe estar en equilibrio, o o sea (2.24) y (2.25) deben ser satisfechas. En el caso particular de

45

y x FC FA FB C

Figura 2.59: Cuerpo bajo la accin de tres fuerzas. Dos fuerzas paralelas. o (2.25) esto implicar que a Fx = 0, Fy = 0.

Ahora bien, la ecuacin (2.24) debe ser vlida para cualquier sistema o a de coordenadas, no solo para el sistema x y mostrado en la Figura 2.59, luego en lugar de resolver (2.24) con ese sistema podemos escoger un sistema de coordenadas alternativo x y tal como se muestra en la Figura 2.60. En dicha gura escogemos ahora la direcy x FA FB C FC

Figura 2.60: Dos fuerzas paralelas. Sistema alternativo de ejes coordenados. cin del eje y de forma que sea paralelo a las fuerzas FA y FB . En este o sistema alternativo de coordenadas las fuerzas FA y FB solo tendr an componente en y en tanto que FC tendr tanto una componente en a x como en y , o sea FC = FCx + FCy , luego en particular de (2.24) para este sistema de coordenadas tenemos que Fx = 0 FCx = 0,

o sea FC solo deber tener componente en y , luego tenemos que: a Si un cuerpo est sometido solo a tres fuerzas y dos de ellas son a paralelas, la tercera fuerza tambin es paralela. e

46

2.4.

Ejemplos y ejercicios para esttica de esa tructuras

En esta seccin se resolvern algunos problemas en donde estemos interesao a dos en determinar fuerzas de reaccin o interaccin, algunos ejercicios aparecen o o al nal de la seccin. o 1. Para la viga doblada mostrada en la Figura 2.61 determine las fuerzas de reaccin en los apoyos A, B. La viga est siendo sometida a una fuerza o a uniforme w = 50N/m. A w

L

b

B a

Figura 2.61: Ejemplo de clculo de reacciones. a Datos: L = 4m, a = 2m, b = 1,5m. Solucin: Si se hace un diagrama de cuerpo libre de la viga, es decir si se o dibuja solo la viga reemplazando los apoyos por las fuerzas de reaccin o que estos generar an, tenemos un esquema como el mostrado en la Figura 2.62. El apoyo tipo pasador en A se reemplaza por una fuerza puntual y Rx A Ry F x AF AB FB

Figura 2.62: Ejemplo de clculo de reacciones. a

47

con dos componentes Rx , Ry en tanto que el apoyo tipo rodillo en B se reemplazar por una fuerza normal, en este caso a la supercie en donde a este rodillo se ubica, esta fuerza la denotamos como FB y su direccin o es conocida donde = arctan(2/1,5). En la Figura 2.62 la fuerza uniforme por unidad de l nea w ha sido reemplazada por una puntual equivalente F y de (2.19)1 F = 50 2,5N justo en la mitad de la zona de aplicacin de w. o Tenemos pues tres incgnitas para este problema, en A nos interesa conoo cer Rx , Ry y en C queremos conocer la magnitud de FB (puesto que su direccin es ya conocida). Si observamos bien este es un problema de o fuerzas coplanares por tanto usaremos Fx = 0, Fy = 0, Mz = 0 (2.33)

para encontrar estas incgnitas. Podemos ver tenemos tres incgnitas y o o tres ecuaciones. Un problema de este tipo es llamado un problema estticaa mente determinado. Para resolver este sistema de ecuaciones de la Figura 2.62 podemos ver que FB = FB cos + FB sin , F = F cos F sin , Ry + FB sin F sin = 0. (2.34)

de modo que (2.33)1 , (2.33)2 queda como Rx + FB cos F cos = 0, (2.35)

Respecto a (2.33)3 , haremos el balance de momento respecto al punto A, de la Figura 2.62 es fcil ver que a AF = 5 0,75 AB = 6 1,5. i Y (2.33)3 queda como AF F + AB FB = 0, que usando las expresiones anteriores para AF y AB , despus de algunas e manipulaciones, nos queda como k(5F sin 0,75F cos ) + k(6FB sin + 1,5FB cos ) = 0. Como esta ecuacin vectorial solo tiene una componente (en z lo que o est correcto para problemas de fuerzas coplanares), esta ecuacin es a o equivalente nalmente a F (5 sin + 0,75 cos ) + FB (6 sin + 1,5 cos ) = 0. (2.36)

En (2.36) conocemos F y por lo que podemos despejar FB . Este valor para FB se puede reemplazar en el sistema de dos ecuaciones (2.35) para despejar Rx y Ry 48

L Apriete a b F

c 3 4 2

1

F

Figura 2.63: Ejemplo de clculo de reacciones. a 2. Para la llave mostrada en la Figura 2.63 calcule la fuerza de apriete si se aplica una fuerza F = 50lbf. Datos: L = 10, a = 1, b = 1/2, c = 1/2 (las dimensiones estn en pula gadas). Solucin: En la Figura 2.63 indenticamos con un n mero las piezas o o u partes ms importantes de la llave y a continuacin se dibujan diagramas a o de cuerpo libre para cada una de estas partes. En relacin a barra 2, de la Figura 2.63 podemos notar que est conectada o a por medio de pasadores solo a dos puntos, luego estamos en la situacin o de un cuerpo sometido solo a dos fuerzas (en los pasadores) y por tanto dichas fuerzas deben ser igual y tener la direccin del vector que une dichos o pasadores como se muestra en la Figura 2.64. B B

Figura 2.64: Ejemplo de clculo de reacciones. Diagrama de cuerpo libre de 2. a La fuerza sobre la barra 2 se asume de magnitud (por el momento desconocida) B, el ngulo es conocido e igual a = arctan[c/(a + b)]. El a sentido de B todav no se conoce, hemos asumido que est en traccin, a a o pero de los resultados numricos el signo de B nos dir si ese supuesto es e a 49

correcto o no. Con el resultado anterior ahora nos preocupamos de la barra 1 como se muestra en la Figura 2.65. Ya sabemos la direccin de la fuerza B y luego o F

B Ax Ay

AB A

Figura 2.65: Ejemplo de clculo de reacciones. Diagrama de cuerpo libre de 1. a por accin y reaccin la dibujamos en la barra 1 en el sentido opuesto pero o o con la misma direccin . o Adems en la barra 1 tenemos la fuerza externa F y la fuerza en el pasador a que se conecta con el cuerpo 3. El cuerpo 3 est sometido a ms de dos a a fuerzas, de modo que no sabemos la direccin de dichas reacciones, y o por tanto el efecto del cuerpo 3 sobre la barra 1 en ese pasador se debe manifestar en general por medio de una fuerza que llamaremos A con dos componentes Ax , Ay . No conocemos el sentido de estas reacciones, pero los clculos con las ecuaciones de equilibrio nos deber indicar esto. a an En el problema mostrado en la Figura 2.65 tenemos tres incgnitas Ax , Ay o y B, luego este es un problema plano, por tanto tenemos tres ecuaciones de equilibrio (2.26)-(2.28) para obtenerlas, lo que hacemos ahora. Partimos con el equilibrio al momento escogiendo el punto A, luego12 A Mz = 0 es equivalente a AB (B cos B sin ) + 50 9k = 0, donde AB = b + c. Despus de algunas manipulaciones esta ecuacin e o nos da 450 B= . (2.37) b sin c cos De (2.26) tenemos Fx = 0 para la barra 1 es equivalente a Ax B cos = 0, de donde tenemos Ax = B cos ,12 De

(2.38)

ahora en adelante el sub ndice en la suma indicar el punto respecto al cual se est haa a ciendo el equilibrio al momento agular.

50

como B se conoce de (2.37) ahora tenemos Ax . No necesitamos determinar Ay por motivos veremos ahora a continuacin. o Ahora nos concentramos en el cuerpo 3 cuyo diagrama de cuerpo libre se muestra en la Figura 2.66. Se asume que entre el cuerpo 3 y 4 no hay Ay Ax P Ax Sin roce Ay

Figura 2.66: Ejemplo de clculo de reacciones. Diagrama de cuerpo libre de 3. a roce, y debido a que la barra 1 y la barra inferior son simtricas tanto e en forma como en relacin a las fuerzas que se aplican, vemos entonces o que no hay interaccin entre 3 y 4, y por tanto las unicas fuerzas que se o aplican sobre 3 vienen del cuerpo 1 y la fuerza de apriete que llamamos P . Sobre 3 tenemos Ax y Ay por accin y reaccin, que por simetr act an o o a u en el pasador superior e inferior de la misma forma. De Fx = 0 aplicada al cuerpo 3 nos da P 2Ax = 0 P = 900 cos . b sin c cos (2.39)

3. Para la Figura 2.67 determine la fuerza en E que se produce como funcin o de P , no hay roce en todo el sistema y tampoco se considera el peso de las distintas componentes.1 Datos: a = 4, b = 7, c = 3, d = 2, e = 2 2 y f = 5, las dimensiones estn a en pulgadas.

Solucin: Una forma simple de resolver el problema es partiendo con el o diagrama de cuerpo libre del cuerpo 1, que se muestra en la Figura 2.68. En ese gura podemos ver la fuerza externa P , y las fuerzas de interaccin o en B y C. En C el cuerpo 1 est interactuando con la barra 2, pero la a barra dos solo est bajo el efecto de dos fuerzas en los pasadores C y D, a de modo que estas fuerzas en C y D son iguales y sus direcciones siguen la l nea que va de C a D, luego la fuerza en C proveniente de la barra 2 actuando sobre el cuerpo 1 tiene una direccin conocida, pero su magnitud o debe todav calcularse. a En la Figura 2.68 tenemos la direccin de la fuerza C con ngulo = o a arctan(d/e) = 51,34 . El cuerpo 3 est sometido a fuerzas en tres puntos, a 51

a

b

3

B

1 C

P

E

c

d A e f

2 D

Figura 2.67: Ejemplo de clculo de reacciones. a Bx P By C L nea de accin de fuerza en C o

Figura 2.68: Ejemplo de clculo de reacciones. Diagrama cuerpo libre 1. a en A, B y E, y por ese motivo la fuerza que se transmite a traves del pasador en B tiene en general dos componentes que no se conocen. Este nuevamente es un problema plano, luego tenemos solo tres ecuaciones de equilibrio para determinar Bx , By y C en la Figura 2.68, y por conveniencia partimos con (2.28), de modo que si BC = (f e) (c d) tenemos Mz = 0B

P bk + C( cos + sin ) BC = 0,

de donde podemos obtener C en funcin de P . Queda como ejercicio reo solver la ecuacin anterior. o Conociendo C ahora podemos obtener Bx y By de resolver (2.26), (2.27),

52

de donde tenemos Bx = C cos , By = P C sin .

Conociendo ahora Bx y By ahora hacemos un diagrama de cuerpo libre de 3 tal como se muestra en la Figura 2.69. En el diagrama de cuerpo libre Bx By

E

Ax Ay

Figura 2.69: Ejemplo de clculo de reacciones. Diagrama cuerpo libre 3. a de 3 tenemos la fuerza E (que es la que se quiere calcular), las fuerzas en B que ya se conocen, y las componentes de la fuerza en el pasador A, que denotamos como Ax y Ay . Para obtener E podemos simplemente usar (2.28) haciendo equilibrio de momento respecto al punto A, en cuyo caso tenemos Mz = 0A

Bx c = Ea,

luego E = Bx c/a y hemos resuelto el problema. 4. Para el mecanismo mostrado en la Figura 2.70 dibuje los diagramas de cuerpo libre de cada una de las partes del sistema. Desprecie el peso y sustituya la carga distribu por su resultante. da

53

Cable

D

w B Polea Peso A C a b

E

Figura 2.70: Ejemplo de clculo de reacciones. a

54

Cap tulo 3

Esfuerzo y deformacin o3.1. Introduccin o

Sabemos que las fuerzas no solo pueden generar movimiento en un cuerpo sino que adems pueden deformarlo. Este cap a tulo es el ms importante de este a curso, pues en l entregraremos los conceptos y supuestos bsicos para modelar e a el fenmeno de deformacin. o o Si pensamos de forma detenida respecto de como podr amos modelar la deformacin causada por fuerzas externas, quizs en un primer intento trabao a jar amos con alg n cuerpo de geometr simple, como por ejemplo una viga u a empotrada en un extremo y con una fuerza externa en el otro; luego podr amos, por ejemplo, estudiar la deexin (el desplazamiento vertical de la viga) como o funcin de la fuerza externa, y a partir de dichas observaciones experimentales o proponer alg n tipo de ley o relacin entre ambas cantidades. Este fue el esqueu o ma seguido por mucho tiempo antes de los trabajos de Euler y de Cauchy. Es claro que el mtodo anterior solo servir para problemas espec e a cos, y nada nos podr decir para casos generales con cuerpos de geometr arbitrarias a as y fuerzas generales aplicados sobre ellos. La teor mostrada aqu es el producto a de muchas investigaciones, respaldadas por diversos resultados experimentales, sin embargo como toda teor siempre es posible extenderla o eventualmente a reemplazarla por algo ms general y mejor. a Este cap tulo est basado en cuatro conceptos fundamentales: a Las fuerzas externas. Las fuerzas internas (esfuerzos). Las deformaciones. Los desplazamientos. Las ecuaciones constitutivas.

55

Los desplazamientos son las cantidades que realmente se pueden medir de forma directa en un experimento, basta establecer una referencia y a partir es esta se puede determinar facilmente los desplazamientos que sufren los puntos de un cuerpo bajo la accin de una fuerza externa. En general en slidos solo podemos o o ver los desplazamientos en la supercie, en el interior solo a travs de la teor e a podemos determinar de forma indirecta dichos desplazamientos. Un cuerpo puede rotar como cuerpo r gido o solo desplazarse sin cambio en su forma. En ambos casos podemos ver que la fuerza solo cambiar la posicin a o del cuerpo completo y/o solo lo rotar No nos interesaremos por ese tipo de a. problemas, en su lugar nos preocupar cuando un cuerpo bajo la accin de a o fuerzas externas sufre un cambio en su forma, en otras palabras cuando puntos en el mismo cuerpo sufren un cambio relativo de posicin. Este cambio relativo o nos servir para introducir el concepto de deformacin, que no es otra cosa que a o una medida de cuanto se distorsiona o cambia la forma de un cuerpo bajo la accin de fuerzas externas. o Se ver que las fuerzas externas no se relacionan de forma directa con las a deformaciones. Es necesario primero denir algo que conoceremos como fuerzas internas (esfuerzos), los cuales se generan por la accin de las fuerzas externas, o pero que estn ahora relacionados de forma directa a la deformacin en el interior a o de un cuerpo. El concepto de fuerza en realidad no se puede denir, solo podemos a partir de l proponer otras deniciones y teor pero las fuerzas propiamente e as, tal no se pueden denir1 . Todos los conceptos anteriores son generales, en el sentido que se pueden aplicar a cualquier tipo de material (en nuestro caso un slido). Sin embargo o es bien sabido que cuerpos de la misma forma inicial pero hechos de materiales distintos se comportan (deforman) de forma diferente. Esta diferencia la introduciremos por medio de las ecuaciones constitutivas, que sern relaciones entre a los esfuerzos (fuerzas internas) y las deformaciones.

3.2.

Fuerzas internas en vigas

Consideremos un cuerpo sometido a fuerzas externas y con algunos apoyos aplicados en su supercie tal como se muestra en la Figura 3.1. Este cuerpo est en equilibrio, es decir incluyendo las fuerzas de interaccin por los apoyos a o tenemos que Fi = 0, Mj = 0.i j

Imaginemos que el cuerpo sufre un corte como el que se muestra en la Figura 3.2, de modo que ahora tenemos dos cuerpos. Es necesario indicar ahora que este corte es un corte imaginario, es decir no es un corte real el que se est haciendo, a1 En f sica no existen realmente deniciones de lo que son las fuerzas, solo de los efectos que estas generan. Ya hemos visto en el cap tulo anterior que las fuerzas se usaban para, de forma simplicada, estudiar la interaccin de un cuerpo con su entorno o con otros cuerpos o en un mecanismo. En mecnica racional se dice que las fuerzas son un concepto primitivo. a

56

solo se est asumiendo que suceder si de manera repentina el cuerpo fuese a a separado en dos partes. Fi F3 Fj

F1 F2 Figura 3.1: Cuerpo bajo la accin de fuerzas externas. o Fi F3 Fj

F1 F2 Figura 3.2: Cuerpo con corte imaginario y distribucin de fuerzas internas en la o zona de corte. Ahora establecemos un principio que es la base de todos los cap tulos posteriores: Si un cuerpo como el mostrado en la Figura 3.1 est sometido a fuerzas exa ternas y est en equilibrio, cualquier parte de l que se extraiga por medio de a e un corte imaginario deber tambin estar en equilibrio, es decir para cada parte a e por separado i Fi = 0, j Mj = 0 tambin deben ser satisfechas. e Este es un principio, es decir no lo probaremos sino que simplemente lo asumiremos como cierto y a partir de esto (que se podr considerar como axioma) a desarrollaremos nuestra teor a. Si el principio es vlido, luego es posible ver que si tomamos la parte del a cuerpo en el lado derecho despus del corte (Figura 3.2), solo con el efecto de e las fuerzas externas que quedan sobre l (y de los soportes) no es posible en e general que el cuerpo est en equilibrio. Hace falta algo ms, y esto extra se e a 57

asumir es una distribucin de fuerzas internas que aparecen en la supercie a o de corte tal como se muestra en la misma Figura 3.2. En la supercie de corte opuesta podemos ver la misma distribucin de fuerza interna pero con sentido o opuesto, de modo tal que si estos dos cuerpos se unen nuevamente, tenemos que estas fuerzas se cancelan y recobrar amos el problema original mostrado en la Figura 3.1. Es natural pedir que las fuerzas internas sean igual pero opuestas en las supercies de corte imaginario opuestas, pues es una forma de que el principio de accin y reaccin se cumpla. o o Lo que nos interesar ahora es determinar este tipo de distribuciones de a fuerzas internas, pues son ellas las que asociaremos no solo a la deformacin o sino que como veremos ms adelante a la falla que pueda sufrir un cuerpo bajo a las fuerzas externas. Partiremos con un tipo de problema sencillo y un modelo aproximado para dichas fuerzas. Considrese la Figura 3.3 en donde tenemos una viga, que asumiree mos es larga en relacin a cualquier dimensin en su seccin. La viga est sometio o o a da a fuerzas externas y est sobre dos apoyos, que podemos asumir de rodillo a y de pasador. Imaginemos que se hace un corte imaginario tal como lo muestra Fj Seccin o Fn

Fi Figura 3.3: Viga bajo la accin de fuerzas externas. o la l nea punteada en la misma gura. Asumiremos para simplicar el problema que este corte imaginario es recto y vertical. En la Figura 3.4 tenemos la parte de la viga que quedar en el lado izquierdo a despus de realizar el corte imaginario. El modelo aproximado que asumiremos e para las fuerzas internas consistir en dos fuerzas puntuales H (horizontal) y a V vertical (o de corte) ms un momento puro interno que denotaremos simplea mente como M . Fj V H M Fi Figura 3.4: Modelo para fuerzas internas en vigas. En general H, V y M dependeran de la posicin en la que se hace el corte, y o 58

en los ejemplos que se muestran a continuacin veremos como determinar estas o cantidades. 1. Para la viga de la Figura 3.5 que est sometida solo a una fuerza puntual a P determine H, V y M y graque en funcin de la posicin a la que se o o hace el corte. L/2 P

L

Figura 3.5: Ejemplo de clculo para fuerzas internas en vigas. a En la Figura 3.6 tenemos un diagrama de cuerpo libre de la viga completa en donde el efecto de los apoyos (queda como ejercicio) se maniesta como fuerzas puntuales de magnitud P/2. y P x P/2 x P/2

Figura 3.6: Ejemplo de clculo para fuerzas internas en vigas. Cortes necesarios a para calcular dichas fuerzas. Vamos a escoger dos zonas en las que se realizar el corte imaginario a como se muestra con l neas segmentadas en la misma gura. La distancia a la que se realizar este corte ser x. a a En el primer caso asumiremos que 0 < x < L/2 tal como se muestra en la Figura 3.7, como el corte imaginario se hace en ese intervalo, al dibujar el diagrama de cuerpo libre de este trozo de viga, solo inclu mos la fuerza en al apoyo derecho P/2 y las cargas internas que aparecen all dibujadas. Siguiendo el principio, si la viga completa estaba en equilibrio, tambin e el trozo mostrado en la Figura 3.7 debe estar en equilibrio, de modo que

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V O M P/2 x H

Figura 3.7: Ejemplo de clculo para fuerzas internas en vigas. Primer corte. a para esa gura tenemos Fx = 0 y Mz = 0O

H = 0,

Fy = 0

P x, 2

V =

P 2

(3.1)

M=

(3.2)

en donde en esta ultima ecuacin el balance de momento se realiza respecto o al punto O (como lo indica el sub ndice en la suma) que se muestra en el lado derecho de la Figura 3.7. Ahora procedemos a estudiar el caso en el que el corte se realiza L/2 < x < L. Es necesario hacer notar que el corte se realiza en un punto en ese intervalo, pero la viga se considera o dibuja desde el origen en el extremo izquierdo. En la Figura 3.8 tenemos una representacin de la parte de la o viga que queda si se hace un corte imaginario entre L/2 y L, podemos ver que ahora es necesario agregar al diagrama de cuerpo libre no solo la fuerza P/2 en el extremo izquierdo sino adems la fuerza externa original a P aplicada en L/2, junto con las cargas internas. L/2 P O P/2 x M

V H

Figura 3.8: Ejemplo de clculo para fuerzas internas en vigas. Segundo corte. a La parte de la viga mostrada en la Figura 3.8 debe tambin estar en e

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equilibrio si