apuntes fisica 1

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLGICOS Industrial y de servicios No. 17

APUNTES DE FSICA I

Aporta: M.C. Flix Vicente Jimnez Ros

mayo de 20122

Apuntes Fsica I

M.C. Flix Vicente Jimnez Ros

Febrero 2012

8. CONTENIDOS TEMTICOS DE LAS ASIGNATURAS DE FSICAFSICA I, COMPONENTE DE FORMACIN BSICA 4 SEMESTRE 4HORAS/SEMANA UNIDAD I 1.1 CONCEPTOS INTRODUCTORIOS 1.1.1 Definicin de fsica y ubicacin de la asignatura. 1.1.2 Fenmenos fsicos naturales. 1.1.3 Mtodo cientfico 1.1.4 Conversin de unidades 1.1.5 Despeje de variables 1.1.6 Suma de vectores 1.2 MECNICA 1.2.1 Tipos de movimiento 1.2.1.1 Movimiento lineal uniforme 1.2.1.2 Movimiento lineal uniformemente Acelerado 1.2.1.3 Movimiento Circular Uniforme 1.2.1.4 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado UNIDAD II 2.1 Segunda ley de Newton 2.2 Ley de la gravitacin universal 2.2.1 Campo gravitacional de la tierra 2.2.2 Cada libre 2.2.3 Movimiento de proyectiles 2.3 Tercera ley de Newton 2.3.1 Friccin 2.3.2 Fuerza centrpeta 2.4 Equilibrio traslacional 2.5 Momento de torsin 2.6 Equilibrio rotacional 2.7 Equilibrio total 2.8 Energa mecnica y trabajo 2.8.1 Energa potencial y energa cintica 2.8.2 Interconversin de energas cintica, potencial y trmica 2.9 Trabajo 2.10 Potencia mecnica 2.11 Primera Ley de Newton (inercia) 2.11.1 Impulso y cantidad de movimiento 2.11.2 Conservacin de la cantidad de movimiento y coeficiente de restitucin UNIDAD III 3.1 Hidrulica 3.1.1 Hidrosttica 3.1.1.1 Propiedades de los fluidos 3.1.1.2 Principios de Pascal y sus aplicaciones 3.1.1.3 Principio de Arqumedes y sus aplicaciones 3.1.2 Hidrodinmica 3.1.2.1 Principio de Venturi 3.1.2.2 Principio de Torricelli 3.1.2.3 Principio de Bernoulli y sus aplicaciones 3.2 Propiedades mecnicas de los materiales 3.2.1 Mdulo de Young 3.2.2 Ley de Hooke FSICA II COMPONENTE DE FORMACIN BSICA 5 SEMESTRE 4 HORAS/SEMANA UNIDAD I 1.1 ENERGA TRMICA, CALOR Y TEMPERATURA 1.1.1 Escalas de temperatura 1.1.2 Cambios provocados por el calor 1.1.3 Dilatacin 1.1.4 Formas de transmisin del calor 1.1.5 Cantidad de calor 1.1.6 Transferencia de calor 1.1.7 Leyes de los gases 1.1.8 Ley General de los Gases 1.1.9 Gases ideales 1.2 ELECTRICIDAD (electrosttica) 1.2.1 Carga elctrica 1.2.2 Conservacin de la carga elctrica 1.2.3 Formas de electrizacin 1.2.4 Ley de Coulomb UNIDAD II 2.1 Campo y potencial elctrico 2.1.1 Campo elctrico 2.1.2 Intensidad del Campo Elctrico 2.1.3 Potencial elctrico 2.2 Capacitancia 2.2.1 Limitaciones de carga en un conductor 2.2.2 El capacitor 2.2.3 Clculo de la capacitancia 2.2.4 Constante dielctrica 2.2.5 Capacitores en serie y en paralelo 2.2.6 Energa de un capacitor cargado 2.3 ELECTRICIDAD (electrodinmica; Corriente elctrica continua o directa) 2.3.1 Intensidad de corriente elctrica 2.3.2 Leyes y Circuitos elctricos 2.4 ELECTRICIDAD (electrodinmica; corriente elctrica alterna) 2.4.1 Solucin de circuitos UNIDAD III 3.1 MAGNETISMO 3.1.1 Campo magntico 3.1.2 Imanes 3.1.3 Propiedades de los materiales magnticos 3.1.4 Circuitos magnticos 3.1.5 Leyes magnticas. 3.2 Electromagnetismo 3.2.1 Electroimn 3.2.2 Aplicaciones 3.2.3 Motores 3.2.4 Generadores 3.2.5 Transformadores TEMAS DE FSICA COMPONENTE DE FORMACIN PROPEDUTICA 5 HORAS/SEMANA UNIDAD I 1.1 SISTEMA BIDIMENSIONAL 1.1.1 Tiro parablico. 1.1.2 Interpretacin grafica de tiro parablico 1.1.3 Movimiento circular 1.1.4 Velocidad angular 1.1.5 Periodo y frecuencia 1.1.6 Aceleracin angular 1.2 SISTEMA TRIDIMENSIONAL 1.2.1 Condiciones de equilibrio 1.2.2 Momento de fuerzas 1.2.3 Centro de masas 1.2.4 Centro de gravedad UNIDAD II 2.1 Procesos termodinmicos 2.1.1 Isotrmicos 2.1.2 Isobricos 2.1.3 Isocricos 2.1.4 Adiabticos 2.1.5 Diatrmicos 2.2 ptica 2.2.1 Electricidad de la luz 2.2.2 Caractersticas de la luz 2.2.3 Espejos y lentes 2.2.4 Interferencia 2.2.5 ELECTRICIDAD y Refraccin 2.2.6 Polarizacin UNIDAD III 3.1 ELECTRICIDAD 3.1.1 Circuitos elctricos de C.D. 3.1.2 Leyes de Kirchoff 3.1.3 Mallas y nodos 3.1.4 Circuitos elctricos de C. A. 3.1.5 Circuitos R-L 3.1.6 Circuitos R-C 3.1.7 Circuitos R-L-C 3.2 INTERACCIONES MATERIAENERGA FSICA MODERNA 3.2.1 Mecnica cuntica 3.2.2 Teora Atmica. 3.2.3 Teora Nuclear. 3.2.4 Mecnica relativista 3.2.5 Teora de la Relatividad. 3.2.6 Cosmologa.

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UNIDAD I 1.1.1 FSICA. Es la ciencia que estudia los conceptos fundamentales de la materia, la energa, el espacio y la relacin entre ellos, con lo que se pueden explicar los siguientes: Fenmenos fsicos naturales La cada de los objetos Las descargas atmosfricas Los colores del arco iris La lluvia Los tornados El sonido Y todo lo que ocurre a nuestro alrededor

1.1.2

Las reas de la fsica son: mecnica, calor, luz, sonido, electricidad y estructura atmica. Es importante especificar que la mecnica estudia la posicin (esttica) y el movimiento (dinmica) de la materia en el espacio. Relacin interdisciplinaria Una de las herramientas ms tiles de la fsica es la matemtica, porque gracias a ella se pueden justificar todos sus principios. Adems la fsica tiene un campo de aplicacin muy amplio, a tal grado que actualmente existen varias especialidades que la aplican, entre ellas estn la biofsica, la fisicoqumica, la astrofsica, la geofsica, y muchas otras. 1.1.3 MTODO CIENTFICO Por qu estudiar ciencia? Porque la ciencia es importante para todos los seres humanos, pues usada sabiamente puede mejorar nuestra calidad de vida. Pero debemos aprender a pensar de manera cientfica y sistemtica, para no aceptar ciegamente todo lo que se dice y as no emitir juicios apresurados de los hechos. El mtodo cientfico es una aproximacin sistemtica a la solucin de problemas. Es un plan para organizar una investigacin. Los pasos del mtodo cientfico varan dependiendo de la ciencia que se trate, pero bsicamente son los siguientes: 1. Determinar el problema o sistema a justificar 2. Observacin del problema o sistema en cuestin 3. Bsqueda y clasificacin de informacin 4. Medicin de parmetros significativos del problema o sistema 5. Formulacin o reformulacin de hiptesis 6. Comprobacin experimental de la hiptesis (si no se logra, repetir desde el paso 4) 7. Conclusin de resultados para llevarlos a su aplicacin Ejemplo. Se observa que un resorte helicoidal aumenta su longitud cuando se le aplica mas fuerza. De acuerdo a esta observacin se pretende obtener un modelo matemtico que relacione la fuerza aplicada al resorte con el estiramiento del mismo. Entonces los pasos son: 1.Determinar el modelo matemtico 2.La observacin es que al aumentar la fuerza aplicada al resorte, este cambia su longitud 3. Todos los resortes tienen una constante de elasticidad que depende de su dureza La elasticidad es una de las propiedades de los materiales, debido a la cual un material recobra su estado original cuando cesa la fuerza que lo deforma 4. Colgar el resorte en un soporte y medir su longitud sin carga Colgarle al resorte una masa que lo estire ligeramente. Observa y registra los datos (masa y longitud) en una tabla. Longitud Agregar al resorte otra carga igual a la anterior y registrar los datos Agregar sucesivamente hasta 5 masas similares y para cada incremento de (cm) 25 23 masa registrar los datos Masa total (g) 0 20 40 60 80 90 Longitud (cm) 15.1 17.2 18.8 20.9 23.1 25.221 19 17 15 13 0 20 40 60 80 90 100 Masa (g)

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5.

En la grfica se observa que prcticamente existe una variacin lineal entre el peso (masa) y la longitud del resorte. Para este caso se requiere informacin para determinar la razn de cambio masa-longitud. Esta se determina fcilmente mediante la razn incremento de longitud observando que esta razn prcticamente es la misma para cada incremento incremento de masaMasa (g) Peso total (N) Longitud (cm) Razn de incrementos ******

0 20 40 60 80 90

0 0.1962 0.3924 0.5886 0.7848 0.8829

15.1 17.2 19.1 20.9 23.1 24.9

19.1 17.2 = 0.095 40 200.09 0.11 0.09

17.2 15.1 = 0.105 20 0

El promedio de las razones de los incrementos con respecto a las masas es la constante de proporcionalidad del resorte: 0.105 + 0.095 + 0.09 + 0.11 + 0.09 = 0.098 , muy aproximada a 0.1. Entonces se puede definir la siguiente hiptesis: La longitud del 5 resorte aumentara una dcima de centmetro por cada gramo que se agregue al resorte (L = 0.1 m) o bien la longitud del resorte aumentara 10.2 cm por cada newton (peso) que se aplique al resorte (L = 10.21 peso). 6. a. Agregar tres masas diferentes de las indicadas en la tabla y tomar la lectura de Incremento de Incremento de longitud del resorte para cada masa agregada y comprobar el incremento de Masa Longitud Longitud medida (g) longitud mediante la frmula. Registre los datos y clculos en la siguiente tabla: calculada (cm) (cm) b. Repetir los pasos 4,5 y 6a para otro resorte diferente. 7. Conclusiones. La longitud de un resorte es directamente proporcional a la fuerza que se le aplique, siendo esto valido hasta un valor mximo de fuerza aplicada, porque despus de este lmite de fuerza el resorte pierde su propiedad elstica. 1.1.4 CONVERSIN DE UNIDADES

Sistemas de unidades de medidaSISTEMA INTERNACIONAL Cantidad Unidad Longitud metro Masa kilogramo Tiempo segundo Corriente elctrica Ampere Temperatura kelvin Intensidad luminosa Candela Cantidad de sustancia mol ngulo plano radian ngulo slido Estereorradin Smbolo M kg s A K cd Mol rad sr Cantidad Longitud Masa Tiempo Fuerza (peso) temperatura SISTEMA INGLES Unidad Pie Slug, libra masa segundo Libra fuerza Rankine Smbolo M Slug, lbm S lb R

1.1.4.1 CONVERSIN DE UNIDADES DE UN MISMO SISTEMA

1.1.4.1.1 Conversin de unidades lineales de un mismo sistemaEn la siguiente tabla estn en orden ascendente las unidades de medida de longitud o de desplazamiento. As se observa fcilmente que: 10 mm=1cm, 10 cm=1dm, 10dm=1m, 100 mm=1 dm, 1000 mm=1 m, 1000cm=Dm, 100dm=1Dm, 100,000 cm=1 km, 10Dm=10000cm, etctera.mm cm dm m Dm Hm km

10 100 1000 10000 1000000 100000

1 10 100 1000 100000 10000

0.1 1 10 100 10000 1000

0.01 0.1 1 10 1000 100

0.001 0.001 0.1 1 100 10

0.0001 0.0001 0.001 0.1 10 1

0.00001 0.00001 0.0001 0.001 1 0.1

Ejemplo. Convertir 10 metros a su equivalente en kilmetros Solucin 10 m = 0.01 km Lgica de la conversin

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De acuerdo a la tabla anterior, se observa que la unidad de medida kilometro es 1000 veces mayor que la unida metro, por lo que para establecer la igualdad el nmero que precede a km debe ser 1000 veces menor, que es lo mismo a recorrer el punto decimal 3 lugares a la izquierda. Si la unidad de medida a convertir es 10n mayor, su nmero debe ser 10n menor Lo anterior se puede visualizar mediante la grfica de una balanza la cual estar en equilibrio solamente si la cantidad depositada en unos de sus lados es igual a la cantidad depositada en el otroLa unidad g es mil veces menor a la unidad kg Por lo tanto el numero 2500 debe ser mil veces menor que 25000 25000g

La unidad kg es mil veces mayor a la unidad g Por lo tanto el numero 25 debe ser mil veces mayor que 25000 kg25

Observe que para conservar la igualdad (balanza equilibrada) se deben colocar la cantidad grande con la unidad pequea de un lado y la cantidad pequea con la unidad grande del otro lado.

Es obvio que no habr igualdad (balanza desequilibrada) si se colocan unidad pequea con cantidad pequea de un lado y cantidad grande con unidad grande del otro. Ejemplo: convertir 35.2 cm a Hm Solucin. En la figura anterior se observa que el Hectmetro es 10,000 veces mayor que el centmetro, por lo que el nmero que precede a Hm debe ser 10,000 veces menor (lo que equivale a recorrer el punto 4 lugares a la izquierda) que el numero que precede a cm 35.2 cm = 0.000352 Hm Ejemplo: convertir 35.2 Hm a dm Solucin. En la figura anterior se observa que decmetros es 1000 veces menor que hectmetros, por lo que el nmero que precede a cm debe ser 1000 veces mayor (lo que equivale a recorrer el punto 3 lugares a la derecha) que el numero que precede a Hm 35.2 Hm = 35200 dm

Notacin cientfica de un nmero. Se forma con el primer digito significativo del nmero, un punto decimal y los otros dos o tres dgitos siguientes seguidos por la potencia de diez, con el exponente igual a los lugares que se debe recorrer el punto decimal para obtener el nmero original # . # # # x 10nEjemplo. La siguiente tabla muestra 6 nmeros y su representacin cientfica CORRECTA Una potencia negativa de diez recorre el punto decimal a la izquierda el mismo nmero de lugares que el valor del exponente. Una potencia positiva de diez recorre el punto decimal a la derecha el mismo nmero de lugares que el valor del exponente. Numero 0.00256 453629 23.236 0.01236 236.89x106 0.000235x10-9 Notacin cientfica 2.56x10-3 4.53629x105 2.3236x101 1.236x10-2 2.369x108 2.35x10-13

Ejemplo. Las filas de la siguiente tabla se llenaron a partir del dato indicado en negrita. Con la finalidad de practicar la notacin cientfica, Los nmeros estn en notacin decimal y cientfica, pero en la prctica solo los nmeros con varios dgitos (ms de 5) se representan con notacin cientfica.mm cm dm 0.5=5x10-1 0.05=5x10-2 5=5x100 0.012=1.2x10-2 0.00012=1.2x10-4 0.001=1.2x10-3 270=2.7x102 27=2.7x101 2.7=2.7x100 20=2x101 2=2x100 0.2=2x10-1 853000=8.53x105 85300=8.53x104 8530=8.53x103 235600000=2.356x108 23560000=2.356x107 2356000=2.356x106 6.32x1013 6.32x1012 6.32x1011 m 0.005=5x10-3 0.000012=1.2x10-5 0.27=2.7x10-1 0.02=2x10-2 853=8.53x102 235600=2.356x105 6.32x1010 Dm Hm km 0.0005=5x10-4 0.00005=5x10-5 0.000005=5x10-6 0.0000012=1.2x10-6 0.00000012=1.2x10-7 0.000000012=1.2x10-8 0.027=2.7x10-2 0.0027=2.7x10-3 0.00027=2.7x10-4 0.002=2x10-3 0.0002=2x10-4 0.00002=2x10-5 85.3=8.53x101 8.53=8.53x100 0.853=8.53x10-1 23560=2.356x104 2356=2.356x103 235.6=2.356x103 6.32x109 6.32x108 63200000=6.32x107

Ejercicio. Llenar la siguiente tabla desordenada, representando los nmeros en notacin normal y cientficaHg mg Dg cg kg g dg

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5=5x10

0.0012=1.2x10-3 2.7=2.7x100 0.02=2x10-2 85.3=8.53x10 2356=2.356x103 63200000=6.32x107

1.1.4.1.2 y 1.1.4.1.3 Conversin de unidades cuadrticas y cbicas de un mismo sistemaLos siguientes cuadrados tienen las mismas dimensiones y por lo tanto tienen la misma reaA=4 cm2 A=400 mm2 20 mm

De acuerdo a los ejercicios anteriores se determina fcilmente que 4 cm = 40 mm y de acuerdo a la figura de la izquierda se observa que 4cm2=400 mm2 Ahora se tienen dos cubos con las mismas dimensiones y por lo tanto tienen el mismo volumen De acuerdo a los ejercicios anteriores se determina que: 8 cm = 80 mm 8 cm2 = 800 mm2 y 8cm3 = 8000 mm3 (de acuerdo a la figura)

2 cm

2 cm

20 mm

20 mm

2 cm

V=8 cm3 2 cm 2 cm

V=8000 mm3 20 mm 20 mm

Entonces si nos apoyamos en la figura de la derecha donde aparecen ordenadas ascendentemente las unidades de masa, podemos hacer conversiones lineales, cuadrticas y cbicas. Submltiplos Mltiplos Ejemplo: Obtenga las siguientes conversiones mg cg dg g Dg Hg kg 1. 23.6 Hg a cg. 2 2 2. 23.6 Hg a cg 3. 23.6 Hg3 a cg3 Solucin. 1. Como la unidad de medida cg es 104 veces menor que la unidad de medida Hg (segn la figura hay que dar 4 pasos de Hg a cg ), entonces el nmero que precede a cg debe ser 104 veces mayor 23.6 Hg = 236000 cg = 2.36x105 cg 2. Como la unidad de medida cg2 es 108 veces menor que la unidad de medida Hg2, entonces el nmero que precede a cg2 debe ser 108 veces mayor 23.6 Hg2 = 2360000000 cg2 = 2.36x109 cg2 3. Como la unidad de medida cg3 es 1012 veces menor que la unidad de medida Hg3, entonces el nmero que precede a cg3 debe ser 1012 veces mayor 23.6 Hg3 = 23600000000000 cg3 Ejemplo. Las filas de la siguiente tabla se llenaron a partir del dato indicado en negrita en este caso solo se usara notacin cientfica si el dato consta de mas de cinco dgitosmm2 5 0.12 27000 20000 8.53x109 2.356x1013 6.32x1019 cm2 0.05 0.0012 270 200 8.53x107 2.356x1011 6.32x1017 dm2 0.0005 1.2x10-5 2.7 2 853000 2.356x109 6.32x1015 m2 5x10-6 1.2x10-7 0.027 0.02 8530 2.356x107 6.32x1013 Dm2 5x10-8 1.2x10-9 0.00027 0.0002 85.3 2.356x105 6.32x1011 Hm2 5x10-10 1.2x10-11 2.7x10-5 2x10-6 0.853 2356 6.32x109 Km2 5x10-12 1.2x10-13 2.7x10-7 2x10-8 0.00853 23.56 6.32x107

1.1.4.2 CONVERSIN DE UNIDADES DE SISTEMAS DIFERENTES Para realizar estas conversiones es necesario conocer las equivalencias entre unidades de diferentes sistemas. A continuacin se muestran las equivalencias entre las unidades ms usuales de los sistemas mtrico decimal e inglesmi= milla Medidas de longitud 1m = 1.094 yd = 3.2808 ft = 39.37 in = 0.000621372 mi = 0.5467469 bz yd=yarda bz=braza Medidas de superficie oz= onza mil=rea 1m2 = 1.196 yd2 = 10.764 ft2 = 1550 in2 = 3.86x10-7 mi2 = 0.298932 bz2 con dimetro de Medidas de volumen 1m3 = 1.308 yd3 =35.314 ft3 = 61023.38 in3 = 2.399x10-10 mi3 = 0.16344 bz3 = 1000 L = 264 gal = una milsima de pulgada 33814.628 oz ft= pie m=metro in=pulgada L = litro kg=kilogramo gal=galn lb=libra

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Medidas de masa 1 kg = 2.2046 lb = 35.27 oz

Para realizar conversiones de unidades de diferentes sistemas se usara el mtodo producto unitario Caractersticas de un producto unitario Al multiplicar una expresin matemtica por la unidad el resultado es la misma expresin matemtica Ejemplos: 4X(1)=4X 645XYZ2(1)=645XYZ245 X 3Y 45 X 3Y (1) = 3C D 3C D

Al dividir dos expresiones iguales o equivalentes el resultado es la unidad Ejemplos: 525.3 =1 525.3 35.314 ft 3 =1 264 gal 32 XYZ =1 32 XYZ 1.094 yd =1 3.2808 ft Para eliminar una unidad de medida empleando el producto unitario, esta debe colocarse en el lugar opuesto, esto es: Si la unidad de medida a eliminar esta arriba, en el producto unitario esta debe colocarse abajo y su equivalencia arriba Si la unidad de medida a eliminar esta abajo, en el producto unitario esta debe colocarse arriba y su equivalencia abajo Ejemplo. A cuantas libras equivalen 34.7 kg Solucin. 2.2046lb . Observar que como queremos quitar kg, entonces kg se coloca abajo en el producto unitario y entonces 34.7 kg 1kg = 76.5lb

kg entre kg es la unidad y esta se puede omitir, quedando el resultado en libras. Ejemplo. Cul es su equivalente de 65.23x105 kgm/s2 en lbft/h2? 2.2046 lb 3.2808 ft 3600 s 14 2 Solucin. 65.23x10 5 kg m / s 2 1kg 1m 1h = 6.1145 x10 lb ft / h Ejemplo. Obtener la equivalencia de 0.0231lbgal/ft3oz2 en kgl/cm3g22

Solucin.

1kg 1000l 3.2808 ft 0.0231 lb gal / ft 3 oz 2 2.2046lb 264 gal 100cm

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35.27oz 3 2 9 1000 g = 1.744 x10 kg l / cm g

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Ejercicios. Convertir las siguientes unidades: (Las unidades compuestas de los ejercicios siguientes no representan ninguna cantidad fsica, solo se usan para propsitos de prctica de conversin de unidades) a. 253.26 oz2lb/ftgalin3 en g2kg/ydLcm3 b. 3.23x10-4 kgLcm2/gms en ozgalyd2/lbfth c. 5263 gm4/kg2cm3 en ozin4/lb2ft3 d. 0.0236 ftoz2lb3/gal3inyd2 en cmg2kg3/cm9mcm2 1.1.5 DESPEJE DE VARIABLES

Despejar una variable es quitar todas la otras variables que le rodean de tal manera que quede sola en cualquier lado de la ecuacin. El principio para despejar una variable se fundamenta en la conservacin de la igualdad en una ecuacin Para conservar la igualdad en una ecuacin, se deben realizar las mismas operaciones matemticas en ambos miembros de la ecuacin. Por ejemplo en la siguiente igualdad 9 = 6+3

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Si al primer miembro le sumamos 2, (9+2), para que se conserve la igualdad, al segundo miembro tambin se le debe sumar 2, (6+3+2), de tal manera que 11=11 Si al segundo miembro lo multiplicamos por 4, (6+3)*4, para que se conserve la igualdad, al primer miembro tambin lo multiplicamos por 4, (9*4), de tal manera que 36=36. Si al segundo miembro lo elevamos al cuadrado, (6+3)2, para que se conserve la igualdad, al primer miembro tambin lo elevamos al cuadrado, (9)2, de tal manera que 81=81. Los trminos que se pueden eliminar ms fcilmente en una expresin matemtica son los que estn sumando o restando, despus los que estn multiplicando o dividiendo y al ltimo las potencias. Para realizar el despeje de una variable se deben seguir los siguientes pasos: Paso 1. Identificar la ubicacin de la variable a despejar (primero o segundo miembro), en el caso que este en ambos miembros, primero hay que trasladarlas a uno de los dos miembros y despus factorarla para que solo quede una sola variable Paso 2. Identificar la operacin general en dicho miembro, la cual si es: a. Suma o resta. Los trminos que no contienen la variable se eliminan del miembro, restando o sumando a ambos miembros de la ecuacin esos mismos trminos que estn sumando o restando. b. Multiplicacin o divisin. Los trminos que no contienen la variable se eliminan, multiplicando o dividiendo a ambos miembros de la ecuacin esos mismos trminos que estn dividiendo o multiplicando. c. Potencia o raz. Para quitar una potencia se saca su respectiva raz a ambos miembros de la ecuacin, o para quitar una raz, se eleva a su respectiva potencia ambos miembros de la ecuacin.

Si eliminado un termino aun no queda despejada la variable, se debe repetir el paso dos tantas veces sea necesarioCuando la variable a despejar este en ambos miembros, primero hay que trasladarla a un mismo miembro y repetir el paso No. 2 hasta que la variable quede completamente despejada. Para comprobar los despejes de variables iniciaremos con DESPEJES DE NMEROS Es indiscutible que 4+6-3+12 = (10+2)*2-5 es una ecuacin o igualacin, ya que simplificando ambos miembros se obtiene 19=19. De aqu que para conservar la igualacin o ecuacin, la operacin que se realice a uno de los miembros tambin debe realizarse al otro. Si al primer miembro se suman 6 entonces para conservar la igualdad al segundo miembro tambin se suman 6: 19+6=19+6 o sea 25=25 Si el segundo miembro se divide entre 5, para conservar la igualdad el primer miembro tambin se divide entre 5: 19/5=19/5 o sea 3.8=3.8, etctera, etctera, etctera. Ejemplo. De la ecuacin 4+6-3+12 = (10+2)*2-5 despejar el numero 6 Paso 1. El nmero a despejar est en el primer miembro Paso 2. La operacin general en el primer miembro son sumas. Por lo que para eliminar los trminos no requeridos se suman o restan estos en ambos miembros de la ecuacin:

4-4+6-3+3+12-12 = (10+2)*2-5-4+3-12, quedando el numero 6 despejado 6=(10+2)*2-5-4+3-12. Realizando las operaciones en el segundo termino se comprueba que 6 = 6, que indica que se realizo correctamente el despejeEjemplo. De la ecuacin 4+6-3+12 = (10+2)*2-5 despejar el numero 10 Paso 1. El nmero a despejar est en el segundo miembro Paso 2. La operacin general en el segundo miembro es una resta. Por lo que para eliminar el -5 hay que sumar 5 al segundo miembro y para conservar la igualacin, se suma 5 al primer miembro: 4+6-3+12+5 = (10+2)*2-5+5, simplificando la ecuacin 4+6-3+12+5 = (10+2)*2. Como an no est despejado el nmero 10, se repite el paso 2 Paso 2. La operacin general en el segundo miembro es una multiplicacin, para eliminar el 2 hay que dividir entre 2 a ambos 4 + 6 3 + 12 + 5 (10 + 2) * 2 = . Simplificando el segundo miembro se observa que 2 entre 2 es igual a miembros de la ecuacin: 2 2 1 por lo que en un trmino o producto el uno no se escribe, quedando la ecuacin de la siguiente forma 4 + 6 3 + 12 + 5 = (10 + 2) . Como an no est despejado el nmero 10, se repite el paso 2 2

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2. La operacin general en el segundo miembro es una suma; para eliminar el 2 hay que restar 2 en ambos miembros de la 4 + 6 3 + 12 + 5 ecuacin: 2 = 10 + 2 2 Simplificando el segundo miembro entonces el numero 10 queda despejado 2 4 + 6 3 + 12 + 5 2 = 10 . Realizando las operaciones en el primer miembro se obtiene 10=10. Lo que indoca que el despeje 2 es correcto Ejemplo. De la ecuacin 4 + 2 * 4 6 * 7 22 13 + 15 8 , despejar el numero 3 = 2 5 1 32 4

Paso 1. El nmero a despejar se encuentra en el primer miembro Paso 2. La operacin general en donde esta el 3 es una multiplicacin. En este caso para que la ecuacin no se vuelva muy compleja, para eliminar el factor 4 + 2 * 4 se multiplican ambos miembros de la ecuacin por su reciproco 5 1 , quedando 5 1 4 + 2*4

la ecuacin de la siguiente manera 5 1 4 + 2 * 4 6 * 7 22 = 13 + 15 5 1 8 5 1 . Simplificando el 2 2 4 + 2*4 4 + 2*4 4 + 2 * 4 5 1 3 4 primer miembro se tiene: Paso 2.

6 * 7 22 13 + 15 5 1 5 1 . Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2 8 = 2 2 4 + 2*4 4 + 2*4 3 4

La operacin general donde esta el

3 es una raz cuadrada. Para eliminar el radical y para conservar la igualdad, se 2 2

elevan ambos miembros al cuadrado: 6 * 7 22 = 13 + 15 5 1 8 5 1 . Simplificando el primer miembro: 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 32 4

6 * 7 22 32 4

13 + 15 5 1 5 1 . Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2. = 2 4 + 2 * 4 8 4 + 2 * 4 2

2

Paso 2 La operacin general es una divisin, para eliminar la expresin 6*7-22 hay que dividir ambos miembros de la ecuacin1 1 6 * 7 22 13 + 15 5 1 5 1 entre 6*7-22, obteniendo: = 8 simplificando el primer miembro: 2 6 * 7 22 3 4 6 * 7 22 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 1 13 + 15 5 1 5 1 = 8 . Para pasar el tres arriba se saca el reciproco a 2 3 4 6 * 7 22 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 12

13 + 15 5 1 5 1 ambos miembros: 3 2 4 = (6 * 7 22) 2 4 + 2 * 4 8 4 + 2 * 4 . Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2 Paso 2. La operacin general es una resta entonces hay que sumar 4 a ambos miembros de la ecuacin: 13 + 15 5 1 5 1 3 2 = (6 * 7 22 ) 2 4 + 2 * 4 8 4 + 2 * 4 + 4 . Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2 Paso 2. La operacin general es una potencia. Para despejar el 3 hay que sacar raz cuadrada a ambos miembros de la ecuacin:3= (6 * 7 22) 13 + 15 2 5 1 5 1 8 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 2

2

2

+ 4 . Observe que al sacar raz cuadrada al 3 , la potencia desaparece, quedando el

2

nmero 3 despejado. Al simplificar el segundo miembro se obtiene 3=3, lo cual indica que el despeje es correcto Ejemplo. De la ecuacin 6x-3y = 4x(2b-3c)-5, despejar la variable x Paso 1. La variable esta en ambos miembros, entonces primero hay que trasladar todas la x a un solo miembro Paso 2. Para este caso es ms fcil trasladar 6x al segundo miembro, restando a ambos miembros de la ecuacin 6x: 6x-6x-3y = 4x(2b-3c)-5-6x. Simplificando el primer miembro y desarrollando el segundo se tiene: -3y = 8xb-12xc-5-6x . Factorando x en el segundo miembro se tiene 3y = x(8b 12c 6) 5. Se repite el paso 2 Paso 2. La operacin general en el segundo miembro es una resta. Entonces para eliminar 5 y conservar la igualdad, se suman 5 a ambos miembros de la ecuacin: 3y+5 = x(8b 12c 6). Se repite el paso 2 Paso 2. La operacin general en el segundo miembro es una multiplicacin entonces se observa que para despejar x, y para conservar la igualdad hay que dividir ambos miembros de la ecuacin entre 8b-12c-6: Quedando x despejada. Se acostumbra ubicar la variable despejada en el primer miembro: x =

3y + 5 8b 12c 6

3y + 5 = x. 8b 12c 6

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Ejemplo. De la siguiente ecuacin3

6x 3y 2 z 4b2

6d =

4c 3d + h , despejar z 2a 5c

Paso 1. La variable esta en el primer miembro Paso 2. La operacin general es una resta. Por lo que hay que sumar a ambos miembros 6d, obteniendo: 6x 3 y 4c 3d = + h + 6d Se repite l paso 2 3 2 2 z 4b 2a 5c Paso 2. La operacin general es una divisin, por lo que se dividen ambos miembros por 6x-3y, obteniendo: 1 4c 3d h + 6d . Se repite el paso 2 = + 3 2 z 2 4b (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y Paso 2. La operacin general es una divisin pero, no se puede eliminar el uno sobre la lnea del quebrado. Entonces se procede a obtener el reciproco en ambos miembros: Paso 2.3

h + 6d . Se repite el paso 2 4c 3d 2 z 2 4b = (6 x 3 y )(2a 5c) + 6 x 3 y 3

1

La operacin general es una raz cbica. Para eliminarla y conservar la equivalencia hay que elevar al cubo ambosh + 6d 4c 3d + (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y 3

miembros: 2 z 2 4b =

. Se repite paso 2

Paso 2. La operacin general es una resta, por lo que hay que sumar 4b a ambos miembros: 4c 3d h + 6d 2z 2 = (6 x 3 y )(2a 5c) + 6 x 3 y z2 = 1 4c 3d h + 6d + 2 (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y

+ 4b . Se repite paso 2

Paso 2. La operacin general es multiplicacin, por lo que hay que dividir ambos miembros entre 2, obteniendo:3

+

4b . Se repite paso 2 23

Paso 2. Finalmente la operacin general es una potencia, la cual se elimina sacando raz cuadrada a ambos miembro de la ecuacin: z = 1 4c 3d h + 6d + 2 (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y + 2b

Ejercicios. 1. para la ecuacin (6 x 3 y )(4a 6b) = (2c d 2 )(8 x h) 3 x , despejar: a. x b. y c. d 2. Para la ecuacin 5x-4z3+4r=4x(3+n)-5y, despejar a. x b. y c. n d. r 1.1.6 SUMA DE VECTORESCANTIDADES FSICAS VECTORIALES ESCALARES Cantidades que tienen magnitud, Cantidades que solo tienen magnitud direccin y sentido Cantidad Unidad (smbolo) Cantidad Unidad (smbolo) Distancia s Metro (m) desplazamiento s Metro (m) Rapidez v Metro/segundo (m/s) Velocidad v Metro/segundo (m/s) Aceleracin a Metro/segundo2 (m/s2) Aceleracin a Metro/segundo2 (m/s2) Temperatura T Kelvin (K) Fuerza Newton (N) F Masa m Kilogramo (kg)

Nota. Observe en la tabla que la representacin de las cantidades vectoriales es con letras negritasMagnitud Sentido

Vector. Es la Direccin representacin de una cantidad vectorial, la cual tiene: magnitud, direccin y sentido. La magnitud se representa por la longitud de una flecha, la longitud es proporcional a la magnitud de la cantidad, la direccin se representa por ngulo de inclinacin de la lnea y el sentido mediante la punta de flecha. La figura a la derecha indica las partes de un vector.

UN VECTOR SE PUEDE REPRESENTAR DE DOS FORMAS:Forma Polar. Magnitud ngulo . Ejemplo 25 60 . Su representacin grafica es:

25 60

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Forma rectangular. Componente en X, componente en Y.21.65

Ejemplo. El mismo vector anterior en representacin rectangular es: 12.5, 21.65. Su representacin grfica es:

12.5

Representacin en forma polar. Se representa mediante la magnitud del vector y su ngulo. Magnitud ngulo. Por ejemplo 5 53.13 En la figura de la derecha el vector est representado por la flecha con lnea continua con un ngulo . Representacin de un vector Representacin en forma rectangular. Se representa mediante dos vectores ortogonales unidos (fin de flecha con inicio de flecha). En la figura de la derecha son los vectores representados con lnea punteada. El vector en su representacin polar: 5 53.13 equivale al vector 3X+4Y ( 3+4j) en su representacin rectangular

5 4=53.1

3

El ngulo es positivo Para sumar algebraicamente dos o ms cantidades vectoriales estas deben de ser si se mide en sentido colineales. La suma de vectores se puede aplicar para determinar: contrario de las + Qu equipo ganar en el juego de tiro de cuerda manecillas del reloj La tensin que soporta cada una de las cuerdas que sostienen un 0 determinado peso El ngulo es negativo La carga de cada uno de los soportes en una estructura si se mide en sentido La abscisa positiva es la de las manecillas del El desplazamiento efectivo de un mvil reloj

referencia para medir los ngulos

Suma de vectores colinealesLos vectores ms fciles de sumar con cualquier mtodo (grafico o analtico) son los vectores colineales (vectores que comparten una misma lnea), ya que la resultante se obtiene con solo sumar algebraicamente los vectores que estn en la misma lnea. Ejemplo. Sumar los 5 vectores colineales mostrados en el dibujo Solucin. Observar que la resultante es un solo vector con la direccin de los que ganan en la suma algebraica20 N 30 N 10 N 25 N 12 N 47 N 50 N Resultante 3N

Suma de vectores coplanares por el Mtodo grfico.Conservando todos los vectores: su magnitud, direccin y sentido, y todos a una misma escala apropiada: 1. 2. 3. 4. 5. Se inicia dibujando cualquiera de los vectores Se dibuja otro vector cualquiera a partir de la punta de flecha del anterior (uniendo inicio de flecha con punta de flecha) Se repite el paso anterior hasta unir todos los vectores El vector resultante es el que va del inicio de flecha del primer vector dibujado a la punta de flecha del ltimo vector dibujado La magnitud del vector resultante es la longitud de la flecha multiplicada por la escala empleada, su direccin es el ngulo medido con el transportador a partir de la abscisa positiva.

EJEMPLO DE SUMA DE VECTORES COPLANARES POR EL MTODO GRAFICO a. Representar los siguientes vectores de fuerzas concurrentes en el plano cartesiano: 30 20; -20 50 ; -40 -60 b. Sumarlos por el mtodo grafico Solucin. a.30 40 N 20 N 40 30 N 20

Solucin b. El material requerido para sumar vectores por el mtodo grafico es: regla, transportador y lpiz PROCEDIMIENTO PASO A PASO PARA SUMAR VECTORES POR EL MTODO GRAFICO, (los pasos descritos se indican tambin en los dibujos ms abajo) 1. Para dibujar un primer vector (cualquiera). Dibuje una marca de centro (una cruz) y coloque en esta, la marca de centro del transportador para medir el ngulo. Marque el ngulo medido 2. Retire el transportador y con una regla trace una lnea que pase por las dos marcas, remarque el vector que va desde la marca de centro y que tiene una longitud acorde a la magnitud y a una escala apropiada de tal manera que el vector no sea ni muy pequeo ni muy grande.

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3. Dibuje los otros vectores siguiendo los mismos pasos (1 y 2), solo que ahora la marca de centro es la punta de flecha del ltimo vector dibujado. 4. El vector resultante es el vector que va desde el inicio de flecha del primer vector dibujado hasta la punta de flecha del ltimo vector dibujado. La magnitud se obtiene multiplicando la longitud del vector por la escala elegida 5. Con el transportador colocado horizontalmente se mide el ngulo del vector resultante.

40 N

40 N

40 N

Paso 1

Paso 230 N

Paso 3,130 N

Paso 3,230 N 20 N 40 N

30 N

40 N

40 N

40 N

Vector resultante 29.5N

ngulo del Vector resultante 100

Paso 3,1

Paso 3,2

Paso 4

Paso 5Vector resultante 29.5 100

SUMA DE VECTORES COPLANARES POR EL MTODO ANALTICO1. Todos los vectores se descomponen en sus componentes rectangulares X y Y del plano cartesiano ya sea mediante las funciones coseno y seno La componente en X = magnitudcos La componente en Y = magnitudsen mediante la funcin REC i. REC(magnitud , ngulo = con esto obtenemos la componente en X , y si la calculadora no indica la componente Y, teclear ALPHA F para obtenerla. Se suman algebraicamente todos los vectores en X obteniendo uno solo Se hace lo mismo para los vectores en Y Se usa el teorema de Pitgoras para obtener la RESULTANTE= (X )2 + (Y )2 Se usa la funcin tangente inversa para obtener el ngulo del vector resultante: = tan 1

2. 3. 4. 5.

Y X

, pero cuando la resultante cae

en el II o III cuadrante, se debe corregir el ngulo obtenido por la funcin tan-1, sumando o restando 180 al ngulo NOTA: Los pasos 4 y 5 se pueden realizar mediante la funcin POLAR, en donde el ngulo ya no se tiene que corregir, ya que esta funcin opera los 360. El procedimiento es: POL(X,Y = , si la calculadora no indica el ngulo, teclear ALPHA F para obtenerlo. EJEMPLO DE SUMA DE VECTORES NO COLINEALES POR EL MTODO ANALTICO Sumar los mismos vectores anteriores del ejemplo para el mtodo grafico Se tabulan todos los vectores en su forma polar (Magnitud ngulo) El ngulo se mide a partir de la abscisa positiva, es negativo si se mide en el sentido de las manecillas del reloj y positivo si se mide en sentido opuesto. La siguiente tabla indica el procedimiento para pasar de representacin polar a rectangular. Para pasar de representacin rectangular a polar pulsar: POL(x,y) = para obtiene la magnitud del vector, inmediatamente despus con ALPHA F = se obtiene el ngulo

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Representacin polar Magnitud Angulo 30 20 40 120 20 -130 29.95 98.97

RESULTANTE

Representacin rectangular X=Magnitudcoseno Y=Magnitudseno 30 cos 20 = REC(30,20 = 28.19 30 sen 20 = ALPHA F = 10.26 40cos 120 = REC(40,120 = -20 40 sen 120 = ALPHA F = 34.64 20cos -130= REC(20,-130 = -12.86 20 sen-130 =ALPHA F = -15.32 X = - 4.67 X = 29.58

Resultante en polar: POL(-4.67,29.58

= 29.95 ALPHA F = 98.97

Mecnicaii. Tipos de movimiento

o o o o

Rectilneo uniforme. Movimiento en lnea recta con velocidad constante Rectilneo Uniformemente Acelerado. Movimiento en lnea recta con aceleracin constante Circular uniforme. Movimiento circular con velocidad angular constante Circular Uniformemente acelerado. Movimiento circular con aceleracin angular constante

1.2.1.1 Movimiento lineal uniforme . Se obtiene dividiendo el desplazamiento recorrido, entre el tiempo en que este se recorre, (1) independientemente si hubo o no cambios de velocidad. v = s t Siendo: s= desplazamiento; t= tiempo en que se recorre la distancia s Velocidad promedio Velocidad promedio

v

v para un movimiento uniformemente acelerado: v =

v f + v0 2

.

(2)

1.2.1.2 Movimiento lineal uniformemente acelerado v v0 . (3) Aceleracin promedio a = f t Con las tres formulas anteriores se pueden obtener todas las utilizadas en el movimiento uniformemente acelerado Combinando las formulas (1) y (2)

v f + v0 s v f + v0 t = ; despejando s = 2 t 2

..

(4)

Despejando de ecuacin (3) v f = at + v 0 y sustituirla en ecuacin (4) s = siguiente ecuacin: s = v0t +1 2

at + v0 + v0 t la cual al simplificar se obtiene la 2

at 2 (5)

Despejando de la ecuacin (3) t =

v f v0 a

y sustituirla en la ecuacin (4) s =

v f + v0 v f v0 ( ) que simplificado se obtiene: a 2

..(6) 2a 1.2.1.3 y 1.2.1.4 Movimiento circular uniforme y movimiento circular uniformemente acelerado Para el movimiento circular se emplean formulas similares a las del movimiento lineal. Ver tabla comparativa de formulasMovimiento lineal Movimiento circular Significado de literales

s=

2 v 2 v0 f

v=s t

= /t==2 0

v=a=

v f + v0

f + 0 2 f 0

2 v f v0t

2as =

v v2 f

t 2 2 = 2f 0

v f = v 0 + at

f = 0 + t = 0 t + 1 t 2 2

s = v 0 t + 1 at2 2

?????? ???????????? = ???????????? = ???????????? ; ?????? = ?????? ; ?????? = ??????????????????; ???????????? = ????????????; ?????? = ???????????? ??????

t Tiempo en segundos; (s) S Desplazamiento lineal en metros; (m) Desplazamiento angular en radianes; (rad) ?????? Velocidad lineal promedio en metros/segundo; (m/s) ?????? Velocidad angular promedio en radianes/segundo; (rad/s) vf, v0 Velocidades lineales final e inicial en metros/segundo; (m/s) f, 0 Velocidades angulares final e inicial en metros/segundo; (m/s) a Aceleracin lineal en metros/segundo2; (m/s2) Aceleracin angular en radianes/segundo2; (rad/s2) R Radio D Dimetro f frecuencia en ciclos por segundo o revoluciones por segundo T Periodo. Es el tiempo que tarda en realizarse un ciclo Nota. Los vectores se indican con letras en negrita

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Un Radian. Es el ngulo que se forma cuando la longitud (S) del arco es igual a la longitud (R) del radio. Ver figura. El ngulo en radianes se puede calcular mediante la formula Observe en la figura de la izquierda que 180 son un poco ms de 3 radianes (3.1416 aproximadamente) y porS

?????? =?????? =

lo tanto 360 son aproximadamente 6.28 radianes. 180 es equivalente a radianes??????180

=R

S

R

?????? =

Relacin entre velocidad tangencial y velocidad angular?????? ??????

Sustituyendo ecuacin (3) en ecuacin (2) se obtiene ?????? (3) ??????

?????? ?????? ??????

(1)(2)

Obtenindose la relacin entre velocidad lineal y velocidad angular: v=R

Relacin entre aceleracin lineal y aceleracin angular Si ambos miembros de la ecuacin v=R se dividen entre el tiempo, se obtiene: ?????? ???????????? Ejemplo. Un auto tarda 3.5 hrs en trasladarse de la ciudad A a la ciudad B. Si la distancia entre ciudades es de 200 km. Calcule la rapidez promedio a la que viajo. Solucin. v = s = 200 km = 57.14 km / h o bien 200000 m = 15.87 m / s t 12600 s 3.5 h Es obvio que el auto no viajo a velocidad constante (57.14 km/h) debido al trfico, a las curvas del camino o algn otro factor. Ejemplo. Un disco da 3 vueltas en 2 segundos. Calcule su velocidad angular promedio Solucin. 3 * 2 = = = 9.425 rad / s t 2 En este caso no se indica si las 3 vueltas se dieron a una misma velocidad Ejemplo. Un automvil transita por una curva en forma de U y recorre una distancia de 400 m en 30 s. Sin embargo su posicin final esta a solo 40 m de la posicin inicial. Cul fue su rapidez promedio y cual es la magnitud de su velocidad promedio? Solucin La rapidez promedio es v = s = 400 m = 13.3 m / s t 30 s La magnitud de la velocidad promedio es: v = s = 40 m = 1.3 m / s . t 30 s NOTA. Los vectores se indican con letras negritas Ejemplo. Una persona camina 4 min (0.066667 h) en direccin norte a una velocidad promedio de 6km/h; despus camina hacia el este a 4 km/h durante 10 min (0.166667 h) a. Cul es su rapidez promedio? 0.6667 km b. Cul es su velocidad promedio? Solucin a. La distancia total recorrida es: s=(6 km/h)(0.066667h)+(4 km/h)(0.166667 h) = 0.4 km+0.6667km = 1.066667 km 0.4 km Por lo tanto la rapidez promedio es v = 1.06666667 km = 4.57 km / h 0.23333 h Solucin b. 0.7775 km De acuerdo a la figura de la izquierda, la velocidad promedio es: v = s = = 3.332 km / h t 0.06667 h + 1.6667 h Observe la diferencia entre rapidez y velocidad ??????

=

= ????????????; o bien ???????????? = ????????????

??????

; o bien ?????? = ????????????

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Ejemplo. Un disco de 20 cm de radio gira a una velocidad constante de 60 revoluciones por minuto (rev/min). Calcular: a. La velocidad angular en rad/s? b. La velocidad tangencial de un punto colocado a 5 cm del centro c. La velocidad tangencial de un punto colocado a 10 cm del centro Solucin Una revolucin es un giro completo o un ciclo (360) por lo que se puede expresar como 60 ciclos/min. Si se expresa en ciclos/s, a esta unidad se le suele llamar hertz la cual es la unidad de la frecuencia. a. La velocidad angular en rad/s se obtiene fcilmente mediante el producto unitario 60 rev/min

c A b. B Se observa en la figura que tanto el punto A como el B recorren simultneamente 500 rev/min, pero el punto A recorre una circunferencia menor que la recorrida por el punto B. La distancia recorrida por el punto A en su circunferencia es su permetro (D = 10 = 31.416 v cm). Por lo que la velocidad del punto A es: 20 cm s 31.416 cm 0.31416 m = = 0.005236 m / s = 0.5236 cm / s v= = 1 min 60 s t Pero como el punto est girando, el vector de velocidad cambia constantemente de direccin. La direccin del vector velocidad en un punto determinado es tangente a la circunferencia que recorre justo en ese punto (ver direccin de v en punto c) c. Similar al inciso b: v =

2 rad 1 min = 6.28 rad / s 1rev 60 s

10 cm 5 cm

s D 20cm = = = 62.83 cm / min = 0.01047 m / s t 1 min 1 min

Ejemplo. Un tren monorriel que viaja a 80 km/h tiene que detenerse en una distancia de 40 m a. Qu aceleracin promedio se requiere? b. Cul es el tiempo de frenado? Solucin a. primero convertimos 80 km/h 1000m 1h = 22.22 m / s 1km 3600 s

a=b.

2 v 2 v0 f

2sv f v0 a

==

0 (22.22 m / s ) 2 = 6.17 m / s 2 2(40m)

t=

0 22.22m / s = 3.6 s 6.17 m / s 2

Ejemplo Una ciclista parte del reposo y aumenta constantemente su velocidad alcanzando los 60 km/h justo a los 100 m de recorrido. Si el dimetro de las ruedas de la bicicleta es de 70 cm, calcule a. La aceleracin lineal b. La velocidad lineal a los 50 m del recorrido c. La velocidad tangencial en el borde de las ruedas a los 50 m del recorrido d. La velocidad tangencial en un punto que esta a 15 cm del centro de la rueda de la bicicleta, a los 50 m de recorrido e. La velocidad angular a los 50 m del recorrido f. La aceleracin angular g. La aceleracin tangencial al borde de la rueda y h. La aceleracin tangencial a 15 cm del centro de la rueda Solucin Primero se hace la conversin de todos los datos del problema a unidades del sistema internacional (SI) D = 70 cm = 0.7 m v = 60km/h 1000m 1h = 16.67 m / s ; 1km 3600 s a. La bicicleta tiene un movimiento uniforme acelerado, por lo que la aceleracin lineal es:

a=b.

2 v 2 v0 f

2s

=

(16.67 m / s ) 2 0 2 = 1.389m / s 2 2(100m)2 2as + v0 = 2(1.389m / s 2 )(50m) + 0 2 = 11.786m / s

2 La velocidad lineal a los 50 m es: v 2 = 2as + v0 v f = f

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Apuntes Fsica I


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c.

La velocidad tangencial tambin se puede definir como la rapidez con la que se recorre un permetro, o la rapidez con la que un punto recorre una circunferencia. Para este ejemplo, los metros de circunferencia recorridos en el borde de la llanta en un segundo son 11.786m, por lo que la velocidad tangencial en el borde de la llanta a los 50 m, es la misma que la velocidad lineal de la bicicleta es:

vt = 11.786 m / sd. Para calcular la velocidad tangencial a 15 cm del centro de la rueda, primero se calculan otros parmetros: A los 50 m de recorrido la bicicleta tiene una velocidad lineal de 11.786 m/s. Si los 11.786 m se dividen entre el permetro de la ruda se obtiene el numero de vueltas que la rueda da en un segundo la cual es 5.36 vueltas/s

El permetro de la circunferencia a 15 cm del centro de la llanta es 0.3 m = 0.942 m Cualquier punto dentro de la rueda dar 5.36 vueltas/s o 5.36 permetros por segundo. Entonces la circunferencia de 15 cm de radio recorre (5.36)(0.942) = 5.05 m/s la cual es la velocidad tangencial de un punto colocado a 15 cm del centro de la bicicleta. e. Con la velocidad tangencial a los 50 m de recorrido, se obtiene la velocidad =

vt 11.786m / s = = 33.674rad / s R 0.35m

Con la velocidad a 15 cm del centro se obtiene

=

vt 5.05rad / s = = 33.667 rad / s R 0.15m

Observe que prcticamente es la misma velocidad angular, la diferencia se debe al redondeo. A los 50 m de recorrido la rueda gira 22.736 vueltas, [50/permetro = 50/(0.7) ], y como cada vuelta es 2 radianes, entonces la r2ueda gira 142.857 radianes. Entonces la aceleracin angular es: 2 02 (33.667rad / s ) 2 0 2 f = 3.967 rad / s 2 a= = 2 2 142.857 rad g. La aceleracin tangencial al borde de la rueda la calculamos con el dato obtenido en el inciso c: f.

at =

2 vtf vt20

(11.786m / s ) 2 0 2 = 1.389m / s 2 o tambin se obtiene usando el dato del inciso f: 2s 2 50m at = R = (3.967rad / s 2 )(0.7m) = 1.388m / s 2 la pequea diferencia se debe al redondeo =at = R = (3.967rad / s 2 )(0.15m) = 0.595m / s 2

h. La aceleracin tangencial de un punto a 15 cm del centro de la rueda es: Observaciones: La velocidad y aceleracin angular NO dependen del radio de giro La velocidad y aceleracin tangencial SI depende del radio de giro UNIDAD II

2.1 Segunda ley de NewtonToda fuerza resultante diferente de cero aplicada a un objeto le provoca una aceleracin cuya magnitud es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del objeto. a = FR . m NOTA: La fuerza es un VECTOR y por tanto la aceleracin debe se en la MISMA direccin de la fuerza.

FR = ma , si m en kg y a en m/s2, entonces las unidades de la fuerza son kgm/s2 o Newtons (N)Ejemplo. Una fuerza horizontal de 200 N empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal sin friccin. Calcular la aceleracin de la caja. Solucin

a=

200 N 2.1.1 Aplicaciones de la segunda ley de Newton Ejemplo Fx 30 Una fuerza oblicua de 200 N empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal sin 50 kg friccin. Calcular la aceleracin de la caja. Ver figura Solucin. Como el bloque se desliza sobre una superficie horizontal, entones primero hay que identificar la componente horizontal (Fx) de la fuerza oblicua de 200 N, la cual se obtiene mediante trigonometra bsica: Fx = 200cos30 =173.21 N

FR 200 N = = 4m / s m 50kg

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Apuntes Fsica I


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Entonces la aceleracin de la caja es: a =

F 173.21N = = 3.46m / s 2 50kg m

Ejemplo. Dos botes remolcan una barcaza de 200 kg que estaba en reposos con fuerzas constantes mostradas en la siguiente figura. Si se desprecia la fuerza de oposicin del agua, calcular a. La aceleracin de la barcaza 100N b. La direccin de desplazamiento de la barcaza c. La distancia que la barcaza recorre en 5 minutos 30 Solucin 15 Primero se determina la fuerza resultante debida a las dos fuerzas: Fx = 100cos30+50cos15=134.9 N 50 N Fy = 100sen30-50sen15 =37.1 N FR =

134.9 2 + 37.12 = 139.9 N

2 a. La aceleracin de la barcaza es: a = F = 139.9m / s = 0.7 m / s 2 200kg m

b. La direccin de desplazamiento de la barcaza es: = tan-1

37.1 = 15.4 134.9

c. s=v0t+1/2at2 =(0)(300s)+1/2(0.7m/s2)(300 s)2=31,500 m o 31.5 km

2.2 Ley de la gravitacin universalLa fuerza de atraccin entre dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. F=

G m1 m2 d2

En donde: G Es la constante universal de la gravedad y su valor es: 6.6667x10-11 Nm2/kg2 m1, m2 Son las masas (kg) d Es la distancia entre los centros de las masas (m)La constante G se determino mediante la balanza de torsin de Cavendish Una versin inicial del experimento fue propuesta por John Michell, quien lleg a construir una balanza de torsin para estimar el valor de la constante de gravedad. Sin embargo, muri en 1783 sin poder completar su experimento y el instrumento que haba construido fue heredado por Francis John Hyde Wollaston, quien se lo entreg a Henry Cavendish. Cavendish se interes por la idea de Michell y reconstruy el aparato, realizando varios experimentos muy cuidadosos con el fin de determinar G. Sus informes aparecieron publicados en 1798 en la Philosophical Transactions de la Royal Society. El valor que obtuvo para la constante de gravitacin difera del actual en menos de un 1% El instrumento construido por Cavendish consista en una balanza de torsin con una vara horizontal de seis pies de longitud en cuyos extremos se encontraban dos esferas metlicas. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo. Cerca de las esferas Cavendish dispuso dos esferas de plomo de unos 175 kg cuya accin gravitatoria deba atraer las masas de la balanza produciendo un pequeo giro sobre esta. Para impedir perturbaciones causadas por corrientes de aire, Cavendish emplaz su balanza en una habitacin a prueba de viento y midi la pequea torsin de la balanza utilizando un telescopio. A partir de las fuerzas de torsin en el hilo y las masas de las esferas Cavendish fue capaz de calcular el valor de la constante de gravitacin universal. Dado que la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre cualquier objeto en su superficie puede ser medida directamente, la medida de la constante de gravitacin permiti determinar la masa de la Tierra por primera vez. La balanza de gravitacin es un instrumento muy sensible que permite demostrar la atraccin entre dos masas y determinar el valor de la Balanza de torsin de Cavendish constante G.

Ejemplo. Cul es la fuerza de atraccin entre una esfera de 200 g y otra de 400 g separadas 10 cm.? Solucin.F= (6.667 x10 11 Nm 2 / kg 2 )(0.2kg )(0.4kg ) = 5.334 N (0.1m) 2

200 g

400 g

10 cm

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PRACTICA DE LABORATORIO 1. Determinar experimentalmente el valor de la aceleracin debido a la fuerza de gravedad (g), empleando un pndulo hecho con una esfera de 200 g y un hilo NO elstico de 1 m de longitud. Ver figura Solucin.B 1m A h

Se ha comprobado que el tiempo que tarda un pndulo en recorrer el arco AB (en bajada o en subida) es igual al tiempo que tarda un objeto en recorrer la distancia vertical h en cada libre. Tiempo en Experimento que se De acuerdo a lo anterior realizan los 3 No.ciclos

1. Levante el pndulo una altura h = 0.5 m, sultelo y Tome el tiempo en que tarda en hacer 3 ciclos (recorrer doce veces h). Registre el dato en la tabla de la derecha 2. Repita 4 veces el punto anterior 3. Obtenga el promedio de los 4 tiempos:

t promedio =

t1 + t 2 + t 3 + t 4 4

1 2 3 4

tpromedio

4. Divida tpromedio entre 12 para obtener el tiempo en que se recorre h Con el tiempo en que se recorre h, h= 0.5 m y despejando g de la frmula s = v0 t + 1 gt 2 : 2g=

t=

t promedio 12

2 s 2h , se obtiene el valor de la aceleracin debido a la gravedad (g), la cual debe ser muy prxima a 9.81 m/s2 = t2 t2

Medicin del radio de la tierra En Aswan, algunos 800 km al sudeste de Alejandra en Egipto, los rayos del sol caen perpendicularmente al medioda durante el solsticio de verano. Erasttenes not que en Alejandra, el mismo da y a la misma hora, los rayos del sol formaban un ngulo de 7 grados con la vertical. Dada la distancia estimativa entre las dos ciudades, Eratstenes calcul la circunferencia de la Tierra usando simple geometra. Como existen dudas sobre la unidad de medida usada, la exactitud de su resultado es incierta pero podra haber variado entre un 5 y un 17 por ciento del valor aceptado actualmente El radio de la tierra calculado actualmente es de 6.38x106 m. Ejemplo. Calcular la masa de la tierra si su radio es de 6.38x106 m y la aceleracin debida a la gravedad es 9.81 m/s2 Solucin. La fuerza entre una masa m y la tierra se define por la formula F = GmmT y de acuerdo con la segunda ley de Newton (F=mg), 2 RT esta misma fuerza al actuar sobre la misma masa le produce una aceleracin g (ya determinada experimentalmente) Igualando ambas ecuaciones se tiene, en donde eliminando m y despejando mT

mT =

RT2 g (6.38 x10 6 m) 2 (9.81m / s 2 ) = = 5.99 x10 24 kg G 6.667 x10 11 Nm 2 kg 2

2.2.1 Campo gravitacional de la tierra. Es una regin del espacio en donde una masa muy pequea experimenta una fuerza de atraccin. Todas las masas estn rodeadas por un campo gravitacional cuyo valor es la aceleracin debido a la fuerza de atraccin que estas producen sobre una masa muy pequea. Para el caso de la tierra el valor del campo gravitacional (g) en un determinado punto se obtiene mediante la igualacin de las fuerzas de las ecuaciones de fuerza gravitacional y de la segunda ley de Newton GmmT = mg , en donde la masa m es una 2 dT masa muy pequea comparada con mT (masa de la tierra). Despejando g = FG = GmT m d T2 En donde m=Es una masa muy pequea dentro del campo gravitacional mT=Es la masa de la tierra d=Es la distancia del centro de la tierra al punto donde se desea calcular el campo gravitacional Fg=Es la fuerza gravitacional g=Es el campo gravitacional o aceleracin debido a la gravedad El valor del campo gravitacional de la tierra a nivel del mar es: g = 9.81 m/s2 PESO: Es la fuerza de atraccin de entre masas 2.2.2 Cada libre. Es el movimiento de los objetos debidos nicamente al campo gravitacional de la tierra (g),

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Apuntes Fsica I


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Para la solucin de problemas de cada libre se emplean las frmulas de movimiento uniformemente acelerado: No 1 2 3 4 5 Movimiento En cada libre Significado de literales

v=s t v f + v0 v= 2 v f v0 g= t 2 2 2gs = v f v 0

t s

Tiempo en segundos; (s) Desplazamiento lineal en metros; (m) Velocidad lineal promedio en metros/segundo; (m/s) Velocidad final en metros/segundo; (m/s) Velocidad inicial en metros/segundo; (m/s) Aceleracin debido a la gravedad en metros/segundo2; (m/s2)

vvf v0g

s = v 0 t + 1 gt2 2

Nota. Los vectores se indican con letras en negrita

CONVENCIN DE SIGNOS DE LOS VECTORES La fuerza del campo gravitacional de la tierra es hacia el centro de la misma, y para nuestras referencias es hacia abajo, por lo que le asignaremos signo negativo La aceleracin debido a la gravedad (g) tiene la misma direccin de la fuerza que la produce por lo tanto es tambin hacia el centro de la tierra, o hacia abajo en nuestras referencias, por lo que tambin tiene signo negativo El desplazamiento es positivo hacia arriba o negativo hacia abajo Ejemplo. Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de 30 g con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular: a. La altura mxima que alcanza b. El tiempo en que tarda en llegar al punto de lanzamiento Solucin Los datos que se tienen son: v0 = 20 m/s m = 30 g (dato no requerido) g = -9.81 m/s2 a. Para obtener la altura mxima se considera la velocidad de la pelota a la altura mxima, la cual es vf = 0 m/s Despejando s de la frmula 4 de la tabla y sustituyendo datos se obtiene la

altura

mxima:

s=

v v2 f

2 0

2g

=

0 (20m / s ) = 20.39 m 2(9.81 m / s 2 )2 2

b. La velocidad cuando la pelota regresa al punto de lanzamiento es igual a la velocidad con la que se lanzo (v0) pero negativa porque va hacia abajo v v0 (20m / s ) (20m / s ) Despejando t de la frmula 3 de la tabla y sustituyendo datos: t = f = = 4.08 s g 9.81m / s 2 Tambin se puede calcular t con la frmula 5 de la tabla, en donde el desplazamiento vertical s es cero cuando la pelota regresa a la altura del punto de lanzamiento: 0 = v0t + gt2. Dividiendo todo entre t : 0 = v0 + gt Despejando y sustituyendo datos: t = 2v0 = 2(20m / s) = 4.08 sg 9.81m / s 2

Ejemplo Se dispara verticalmente hacia arriba una flecha con una velocidad de 40 m/s. tres segundos despus, otra flecha es disparada hacia arriba con una velocidad de 60 m/s. En que tiempo y posicin se encontraran ambas flechas? Solucin Datos: Velocidad inicial de la flecha que se lanza primero: v01 = 40 m/s Velocidad inicial de la flecha que se lanza despus: v02 = 60 m/s El desplazamiento de la flecha 1 es: s1 = v01t + 1 gt 2 = 40t + 1 (9.81)t 2 = 40t 4.905t 2 2 2 El desplazamiento de la flecha 2 es: s2 = v02t + 1 gt 2 = 60(t 3) + 1 (9.81)(t 3) 2 = 60(t 3) 4.905(t 3) 2 . El -3 en la formula se 2 2 debe a que esta flecha se lanz 3 segundos despus de la primera Cuando las flechas se encuentran, ambas tienen el mismo desplazamiento (s1 = s2)

40t 4.905t 2 = 60(t 3) 4.905(t 3) 2 40t 4.905t 2 = 60t 180 4.905t 2 + 29.43t 44.145

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Apuntes Fsica I


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Simplificando la ecuacin: 49.43t = 224.145 Despejando t =

224.145 = 4.5346 s . A los 4.53 segundos despus de lanzar la primera flecha, ambas flechas se encuentran. 49.43

Esto se comprueba al sustituir este valor de tiempo en las ecuaciones de s1 y s2 s1 = 40(4.5346) 4.905(4.5346) 2 = 80.5245 m

s2 = 60(4.5346 3) 4.905(4.5346 3) 2 = 80.5247 m Las flechas se encuentran a una altura aproximada de 80.5245 m. El pequeo error se debe al redondeo de datos

2.2.3

Movimiento de proyectiles

Proyectil: Es un objeto que se mueve debido a un impulso ya que carece de fuerza propia de propulsin El movimiento de proyectiles se puede dividir en dos grupos: Proyectiles lanzados en direccin vertical Proyectiles lanzados en direccin NO vertical Caractersticas de movimiento y posicin de los proyectiles lanzados NO verticalmente: La componente horizontal de velocidad del proyectil se mantiene constante o ??????0?????? = ???????????? o ?????? = ??????0?????? ?????? La componente vertical de velocidad de un proyectil cambia debido a la fuerza de gravedad, de igual forma en que cambia la velocidad de un objeto en cada libre. En la siguiente figura se observa los cambios de magnitud de la componente vertical de velocidad de un objeto lanzado con un ngulo , y los cambios de magnitud de la velocidad vertical de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial igual a la componente vertical del objeto lanzado con un ngulo . Se observa que son los mismos cambios en ambos movimientos. ???????????? = ?????? ???????????? = ?????? o ???????????? = ??????0?????? + ???????????? o

o

?????? = ??????0?????? + ???????????? 2 2 2 2 2???????????? = ???????????? ??????0??????1

???????????? ?????????????????? ??????????????????

??????????????????

????????????

??????????????????

??????????????????

????????????

?????????????????? ?????? ????????????

Ejemplo. Un esquiador realiza un salto horizontalmente con una velocidad inicial de 25 m/s, como se muestra en la siguiente figura. La altura de la rampa con respecto al punto donde hace contacto al caer es de 80 m. a. Cunto tiempo permanece en el aire el esquiador? b. Cul es la distancia horizontal recorrida? c. Cules son las componentes horizontal y vertical de la velocidad al tocar la nieve? d. El ngulo del vector velocidad al tocar la nieve Solucin a. El tiempo que permanece en el aire es el mismo en que tarda en caer los 80 m, y como se lanza horizontalmente, la velocidad vertical inicial es ??????0?????? = 0 ??????/?????? Usando la frmula: ???????????? ??????

?????????????????? = ??????????????????/?????? ???????????? = ???????????? ?????? ?????? =?

??????????????????

?????????????????? ????????????

????????????

????????????

????????????

????????????

Despejamos el tiempo: ?????? = = = 4.0406 ?????? ?????? 9.8 ??????/??????2 b. Como la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante, entonces la distancia recorrida en 4.0406 s es: c. La componente horizontal de la velocidad al tocar la nieve es: 25 m/s La componente vertical de la velocidad al tocar la nieve se puede calcular usando la formula: 2 2 2???????????? = ???????????? ??????0?????? , como el lanzamiento es horizontal, ??????0?????? = 0 ??????/?????? entonces:?????? ??????????????????1 ???????????? ??????

?????? = ??????0?????? ?????? = 25 (4.0406) = 101.015 ?????? =39.6 ??????/?????? ??????????????????1 25 ??????/??????

= ??????0?????? + 2 ???????????? 22??????

1

?????????????????? = ??????????????????/?????? ???????????? =?

2(80 ??????)

d. ?????? =

???????????? = 2???????????? = 2(9.8 ??????/?????? 2 )(80??????) = 39.6 ??????/??????

= 57.74

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Apuntes Fsica I


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2.3 Tercera ley de Newton. A toda accin le corresponde una reaccin de la misma magnitud pero con sentido

opuesto

2.3.1 Friccin. Es la fuerza de debida al rozamiento entre dos superficies, cuya magnitud est en funcin de la naturaleza de dichas superficies y de la fuerza de contacto entre ellas. La friccin entre dos superficies sin deslizamiento entre ellas (friccin esttica) es diferente a la friccin de las mismas cuando se deslizan (friccin dinmica). La fuerza de friccin para cada caso se determina por las siguientes formulas: fk = k N fs = s N En donde: fs =Fuerza debido a la friccin esttica. Fuerza que se opone al movimiento relativo de dos objetos en contacto que no se mueven fk = Fuerza debido a la friccin dinmica. Fuerza que se opone al movimiento relativo de dos objetos en contacto que se mueven s = Coeficiente de friccin esttico (depende de la naturaleza de las superficies en contacto que tratan de deslizarse). s puede valer desde 0 hasta 1 valer k = Coeficiente de friccin dinmico (depende de la naturaleza de las superficies en contacto que se deslizan). k puede desde 0 hasta 1 N = Fuerza normal (perpendicular) de contacto (fuerza con la que hacen contacto las superficies que se deslizan o tratan de) s > k y por consecuencia fs > fk LA FUERZAS DE FRICCIN ESTTICA Y DINAMICA SON FUERZAS DE REACCIN, DEBIDO A QUE SE OPONEN A UNA FUERZA DE ACCION. Ejemplo. Calcular la fuerza de friccin esttica mxima entre el bloque y la superficie horizontal que se muestran en la figura10kg Solucin. s = 0.3 fs = sN Como la superficie sobre la que esta la caja es horizontal, el peso (mg) de la caja es la fuerza normal a las superficies en contacto, entonces: N = mg = (10kg)(9.81 m/s2) = 98.1 kg m/s2 o Newtons (N) . Entonces: fs = sN = (0.3)(98.1 N) = 29.43 N F 10kg

Ejemplo Llenar la tabla con los valores correctos de la fuerza de friccin esttica fs y la fuerza de friccin dinmica fk, segn el valor de la fuerza de accin F que acta sobre el bloque de la figura fs fk Solucin. F (N) (N) (N) Primero se determina el valor mximo de la fuerza de friccin, el cual ya se determino en el ejemplo 10 10 No existe anterior fs = 29.43 N 15.5 15.5 No existe Entonces ya se puede llenar la columna fs de la tabla 20 20 No existe 30 No existe 19.62 Para llenar la columna de fuerza de friccin dinmica fk primero hay que calcular: 40 No existe 19.62 fk = k N = 0.2 (98.1 N) = 19.62 N Ejemplo. Calcular la velocidad y el desplazamiento despus de 5 segundos de aplicar continuamente una fuerza de 40 N al bloque del ejemplo anterior. La fuerza se aplica cuando el bloque esta en reposo Solucin Del ejemplo anterior se observa que la fuerza de friccin esttica mxima es de 29.43 N, pero como la fuerza aplicada es de 40 N, entonces el bloque se mueve y por lo tanto la friccin que afecta al movimiento es la fuerza de friccin dinmica (19.62 N) La fuerza resultante que mueve el bloque es la suma de los vectores en la direccin del movimiento FR = 40-19.62 = 20.38 N Con esta fuerza resultante se puede calcular la aceleracin del bloque: a = fk = 19.62 N

s = 0.3 k = 0.2

10 kg

F = 40 N

F 20.38 N = = 2.038 m / s 2 m 10kg La velocidad despus de 5 s es: v f = v0 + at = (0m / s ) + (2.038m / s 2 )(5 s ) = 10.19 m / sEl desplazamiento despus de 5 s es: s = v0t + 1 at 2 = (0m / s )(5 s ) + 1 (2.038m / s 2 )(5 s ) 2 = 25.475 m 2 2200 N 100 N 3010 kg

Ejemplo Dos bloques en reposo distan 200 m uno del otro. Si se aplican simultneamente las fuerzas indicadas en la figura calcule:

20 kg

45

20

k=0.3 A

200 m

k=0.4 B

Apuntes Fsica I


Febrero 2012

a. b.

A que distancia del punto A se encuentran los bloques En que tiempo se encuentran ambos bloques

Solucin. La condicin de solucin cuando los bloque se encuentran es: SA - SB = 200 m. El signo menos se debe a que es una suma de vectores De la formula S = v0t + at2 se aplica para el desplazamiento de cada bloque: SA = v0At + aA t2 SB = v0Bt + aB t2 Si SA - SB = 200m, entonces: v0At + aA t2 - v0Bt + aB t2= 200 m ............................................................. (1) La aceleracin para cada bloque se determina mediante la segunda ley de Newton F 100 cos 30 f A 100cos30 es la fuerza sobre el bloque A en direccin del desplazamiento a A = RA = mA 10kg F 200 cos 45 + f B -200cos45 es la fuerza sobre el bloque B en direccin del desplazamiento a B = RB = mB 20kg Para calcular fA y fB se aplica la formula f = N para cada bloque Como la superficie es horizontal entonces la fuerza normal de contacto N para ambos bloques es el peso mg de cada bloque NA = mAg = (10kg)(9.81 m/s2) = 98.1 N NB = mBg = (20kg)(9.81m/s2) = 196.2 m/s2 Entonces: fA = NA = (0.3)(98.1N) = 29.43 N fB = NB = (0.4)(196.2N) = 78.48 N

aA =aB =

FRA 100 cos 30 f A 100 cos 30 29.43 = = = 5.72m / s 2 mA 10kg 10kgFRB 200 cos 45 + f B 200 cos 45 +78.48 = = = 3.15m / s 2 mB 20kg 20kg

Sustituyendo valores en la formula (1) (0m/s)t +(5.72m/s2)t2 - (0m/s)(-3.15m/s2)t2 = 200 m Una ves que se observa que las unidades son homogneas, se pueden suprimir 2.86t2 + 1.575t2 = 200 4.435t2 = 200 200 En 6.72 s ambos bloques se encuentran t= = 6.72 s4.435

SA = v0At + aA t2 = 0t+(5.72)(6.72)2 = 129.15 m SB = v0Bt + aB t2 = 0t + (-3.15)(6.72)2 = 71.12 m 2.3.2 FUERZA CENTRPETA. Es una fuerza dirigida hacia el centro de rotacin de un objeto que gira, y se produce debido al cambio de direccin del vector velocidad de dicho objeto. La fuerza centrfuga es opuesta a la fuerza centrpeta y apunta radialmente hacia afuera Direccin de la aceleracin centrpeta ???????????? ???????????? De la formula ?????? = se observa que la direccin de la aceleracin es la misma que obtenida por la ?????? diferencia de velocidades v = vf v0. Si el punto B est cerca del punto A, la direccin del vector aceleracin se aproxima al centro. ?????? ?????? Cuando el punto B est muy prximo al punto A , pero s=vt al centro entonces se dice que es aceleracin centrpeta ???????????? = ordenando la ecuacin de la siguiente forma?????? ??????

-v0

vfv0

vf-v0R

BS

A

???????????? , ??????

??????

??????

?????? ??????

?????? ???????????? ??????

?????? 2

y sabiendo que

?????? ??????

= ?????? , pero como el vector aceleracin se dirige

Ejemplo. Se coloca un bloque de plstico de 50 g sobre un disco de plstico horizontal a 20 cm del eje de giro. Cul es la velocidad mxima en revoluciones por minuto (RPM) a al que puede girar el disco sin que el bloque se mueva? Considerar s = 0.5 Solucin La fuerza de friccin f=Ns = mgs = 0.05kg(9.81m/s2)(0.5) = 0.24525 N, el cual es el valor lmite de la fuerza centrifuga ?????? 0.24525 ?????? De la segunda ley de Newton F=ma; . ?????? = = = 4.905 ??????/?????? 2 De la ecuacin ac = 2R, ?????? = ???????????? ??????

se sustituyen valores ?????? =

??????

0.05 ????????????

4.905 ??????/?????? 2 0.2 ??????

21

= 4.9523 ??????????????????/??????

Apuntes Fsica I


Se usa el producto unitario para pasar rad/s a rev/min o RPM 4.9523 rad/s

1 ?????????????????? 2??????

Ejemplo. Una cuerda de 0.5 m de longitud tiene atada en su extremo una esfera de 0.5 kg. Si la cuerda soporta una tensin de 50 N Cul es la velocidad angular mnima a la que se que rompe? Solucin. ?????? 50 ?????? De la segunda ley de Newton F=ma; ?????? = = = 100 ??????/?????? 2 De la ecuacin ac = 2R, ?????? = Ejemplo. Calcular la velocidad angular de la luna alrededor de la tierra en vueltas por da. Si se sabe que la distancia entre la luna y la tierra es 384,400 km, la masa de la tierra es 5.9736x1024 kg y la masa de la luna es 7.349x1022 kg Solucin. De la ley universal de gravitacin ?????? = De la ecuacin ac = 2R, ?????? = De la segunda ley de Newton F=ma; ?????? =????????????1 ??????2 ?????? 2?????? ??????

1 ??????????????????

60 ??????

= 47.291 ??????????????????/ min ?????? ??????????????????

Febrero 2012

?????? ????????????

, se sustituyen valores ?????? =

??????

0.5 ????????????

100 ??????/??????2 0.5 ??????

= 14.142 ??????????????????/??????

2.64796x10-6 rad/s = 0.03641 ??????????????????/?????????????????? . Si sacamos el reciproco obtenemos 27.463 dias/rev. O sea que la 2?????? ?????????????????? 1 1 ?????????????????? luna tarda 27.463 dias en dar una vuelta a la tierra.1 ?????????????????? 3600 ?????? 24

?????? =

2.6953??????103 ??????/??????2 384.4??????106 ??????

= 2.64796??????106 ??????????????????/??????. Se usa el producto unitario para pasar a revoluciones por da

???????????? ??????

, se sustituyen valores

=

7.349??????1022 ????????????

1.981??????1020 ??????

=

6.6667??????1011 ????????????2 /????????????2 (5.9736??????1024 ????????????)(7.349 ??????1022 ????????????) (384.4??????106 ??????)2

= 2.6953??????102 ??????/?????? 3

= 1.981 ??????1020 ??????

2.4 EQUILIBRIO TRASLACIONAL Para lograr el equilibrio traslacional en un plano se deben cumplir las dos reglas siguientes: 1. Fx = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje X es cero, por lo que el objeto no se mueve horizontalmente o se mueve a velocidad constante 2. Fy = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje Y es cero, por lo que el objeto no se mueve verticalmente o se mueve a velocidad constante Para facilitar la solucin de sistemas se siguiere: Trazar su correspondiente diagrama de cuerpo libre (solo los vectores del sistema). En donde la direccin de los vectores es a consideracin personal. o Si el resultado es positivo la direccin del vector es correcta A o Si el resultado es negativo, el sentido del vector es opuesto 8N Descomponer los vectores oblicuos en sus componentes X y Y B Aplicar las condiciones de equilibrio traslacional Fx = 0, Fy = 08N

Ejemplo. C 3 bloques idnticos cada uno de un peso de 8 N estn atados con cuerdas y cuelgan como se muestra en la figura. 8N Calcular el peso en cada tramo de cuerda Solucin Para la cuerda C, la fuerza de gravedad sobre el bloque inferior es de 8 N. Entonces si el sistema est en equilibrio la Fy = 0, por lo que Fg + Fc = 0. Asignando valores: -8 N + Fc = 0. La cuerda C ejerce una fuerza Fc = 8 N hacia arriba Para la cuerda B, Fg + FB = 0. Asignando valores: -16 N + FB = 0. Entonces la cuerda B ejerce una fuerza FB = 16 N hacia arriba. Para la cuerda B, Fg + FA = 0. Asignando valores: -24 N + FA = 0. Entonces la cuerda A ejerce una fuerza FA = 24 N hacia arriba. Ejemplo Para el sistema esttico mostrado en figura siguiente, calcule las tensiones de las cuerdas A y B30

30 A

Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio Fx = 0; FB FAsen30 = 0.(1) Fy = 0; FA cos30 - 100 = 0(2) La ecuacin (2) solo tiene una incgnita y de esta se despeja FA 100 ???????????? = = 115.47 ??????cos 30

A B 100 N

B 100 N

22

Apuntes Fsica I


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Se sustituye FA en ecuacin (1) FB = FAsen30 = (115.47)sen30 = 57.74 N Ejemplo 1 Para el sistema esttico mostrado en figura siguiente, calcule las tensiones de las cuerdas A y B Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio Fx = 0; -FAcos30 + FBcos60 = 0..(1) Fy = 0; FAsen30 + FBsen60 - 200 = 0(2) Emplearemos el mtodo de suma y resta para determinar las fuerzas Dividiendo la ecuacin (1) entre cos 30; ???????????? + ???????????? Dividiendo la ecuacin (2) entre sen30; ???????????? + ???????????? Sumar las ecuaciones (3) y (4); ???????????? Simplificando 2.31FB 400 = 0 Sustituyendo el valor de FB en la?????????????????? 60 ??????????????????30 ??????????????????30 ??????????????????30 ??????????????????60 200 ??????????????????30 ??????????????????60 200 ??????????????????60 30 60 30 60

A A 200 N B 200 N

B

Ejemplo 2 Un bloque de 200 lb sobre un plano inclinado sin friccin, que tiene una pendiente de 30. El bloque est atado a una cuerda que pasa por una polea sin friccin colocada en el extremo superior del plano inclinado y atada a otro bloque suspendido. Cul es el peso del bloque suspendido si el sistema se encuentra esttico?. Despreciar el peso de la cuerda Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio Nota. Considerar el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al mismo Fx = 0; P 200sen30 = 0..(1) Fy = 0; N 200cos30 = 0..(2) De la ecuacin (1) se puede obtener el peso del bloque suspendido (P) P = 200sen30; P = 100 N Ejemplo 3 Un bloque de 100 N esta en reposo en un plano inclinado de 30 . Si el coeficiente de friccin dinmico d = 0.1, que fuerza paralela al plano hacia arriba se requiere para que el bloque se mueva a velocidad constante: a) Hacia arriba b) Hacia abajo Solucin Nota. Considerar el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al mismo a) Se dibuja diagrama de cuerpo libre en donde la fuerza de friccin dinmica fd va hacia abajo debido a que el bloque se mueve hacia arriba Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se define la ecuacion de equilibrio en X Primero se calcula fd = dN = (0.1) (100cos30) = 8.66 N Fx = 0; F 100sen30 -8.66 = 0..(1) Despejando F = 100sen30 + 8.66; F = 58.66 N b) Se dibuja diagrama de cuerpo libre en donde la fuerza de friccin dinmica fd va hacia arriba debido a que el bloque se mueve hacia abajo Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se define la ecuacin de equilibrio en X Fx = 0; F 100sen30 + 8.66 = 0..(1) Despejando F = 100sen30 - 8.66; F = 41.34 N Ejemplo 4 Para el sistema mostrado en la siguiente figura, si el sistema debe permanecer esttico a. Cunto es el peso mximo P? b. Cunto es el peso mnimo P? Solucin

??????????????????30 ??????????????????30 400 de donde ???????????? = = ??????????????????. ???????????? ?????? 2.31 ??????????????????60 ecuacin (3): ???????????? = ???????????? = (173.16)(0.577) ??????????????????30

+

= 0(3) =0

= 0 ..(4)

= ????????????. ?????????????????? ??????

Y

X

P 200 lb P30 Y X

P

30

N 200 N

Y

X

F 100 N d=0.130 Y

F fd30

X

N

100 NY X

F fd30

N

100 N

45 40 lb

300 lb

30 P

s=0.3

40 lb fs 45

P N30

23

300 lb

Apuntes Fsica I


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a) Se dibuja el diagrama de cuerpo libre y en base a este se establecen las ecuaciones de equilibrio Fx = Pcos30 40cos 45 fs = 0 Fy = 40sen45 + Psen30 -300 + N = 0 De la ecuacin anterior N = 300 - 40sen45 - Psen30 fs = s N = (0.3)( 300 40sen45 Psen30) = 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 Pcos30-40cos 45 90 + 12sen45 + 0.3Psen30 = 0 1.016P = 109.8 P = 108.071 lb b) Se dibuja el diagrama de cuerpo libre y en base a este se establecen las ecuaciones de equilibrio 40 lb P N Fx = Pcos30 + fs - 40cos 45 = 0 30 45 Fy = 40sen45 + Psen30 -300 + N = 0 fs De la ecuacin anterior N = 300 - 40sen45 - Psen30 300 lb fs = s N = (0.3)( 300 40sen45 Psen30) = 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 Fx = Pcos30 + 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 - 40cos 45 = 0 0.716P = -53.23 P = -74.344 lb Esto significa que aunque P=0 el bloque no se mueve porque fs es mayor que la componente horizontal de 40 lb. Entonces el signo negativo indica que hay que empujar con 74.344 libras al bloque con una inclinacin de 30 2.5 MOMENTO DE TORSIN El Momento de torsin o torque es producido por una fuerza que gira o tratar de girar un objeto con respecto a un eje. Su magnitud se determina mediante la frmula: = Fd El smbolo indica que la fuerza y el brazo de palanca son perpendiculares entre s. Momento de torsin o torque F Fuerza d Brazo de palanca (Distancia del eje de giro a la lnea de accin de la fuerza) Momento de torsin positivo. Cuando la fuerza gira o trata de girar un objeto en el sentido de las manecillas del reloj Momento de torsin negativo. Cuando la fuerza gira o trata de girar un objeto en el sentido contrario de las manecillas del reloj Nota. Si la lnea de accin de la fuerza toca el eje de giro el momento de torsin es cero Ejemplo 1 Calcular el momento de torsin que se produce en el tornillo de la figura de la derecha. = Fd = (100 N)(0.2 m) = 20 Nm Ejemplo 2 Calcular el momento de torsin que se produce en el tornillo de la siguiente de la derecha Este ejemplo se puede resolver de dos formas 1. Obtener la componente de la fuerza perpendicular al brazo de palanca 2. Obtener la componente del brazo de palanca perpendicular a la fuerza100 N 20 cm

100 N 35 20 cm 100 sen 35 100 N 35 20 cm 100 N 35

Primero vamos a resolverlo obteniendo la fuerza perpendicular al brazo de palanca. Ver figura a la derecha. La fuerza perpendicular al brazo de palanca es 100sen 35, entonces el torque es: = (100sen35 N)(0.2 m) = 11.472 Nm70 N 60 A 150 N B

E

40

C

D

20 cm

20 cm Ahora se va a resolver el mismo problema obteniendo el brazo de palanca perpendicular a la fuerza, Ver figura a la derecha. El brazo perpendicular a la fuerza es 20sen35, entonces el torque es; = 20 sen35 (100 N)(0.2sen35 m) = 11.472 Nm

40 cm 80 N

30 100 N

Ejemplo 3 Para la placa mostrada en la figura de la izquierda, calcular el momento de torsin resultante en: a. Punto A

b. c. d. e.

Punto B Punto C Punto D Punto E

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Apuntes Fsica I


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Solucin (se obtienen las fuerzas perpendiculares a los brazos de palanca) a. A = (70)(0) - (150sen40)(0.4) (100sen30)(0.2) + (100cos30)(0.4) + (80)(0) = 0-38.567-10+36.641+0 = -13.926 Nm b. B = (70sen60)(0.2) - (150sen40)(0.2) + (100cos30)(0.2) - (100sen30)(0.2) - (80)(0.2) = 12.124 19.284 + 17.321-10-16= -15.839 Nm c. C=70cos60(0.1)+150cos40(0.1)150sen40(0.4)+100cos30(0.4)100sen30(0.1)=3.5+11.49138.567+34.641-5=0.936 Nm d. D=70sin(60)(0.2)-70cos(60)(0.1)+150cos(40)(0.1)-150sin(40)(0.2)+100cos(30)(0.2)100sin(30)(0.1)-80(0.2) = -2.848 Nm e. E = 70sin(60)(0.4)-70cos(60)(0.2)+150cos(40)(0.2)-80(0.4) = 8.230 Nm Ejemplo 4 Una pieza angular de hierro articulada sobre un gozne es afectada por dos fuerzas, como se muestra en la figura de la derecha. Determine el momento de torsin en la articulacin (punto A). Solucin (se obtienen las componentes de los brazos de palanca perpendiculares a las fuerzas) 12 cm E = -0.12sin 50(60)+0.1cos20(80) = 2.002 Nm50

2.6

Para que un objeto este en equilibrio rotacional se debe cumplir la regla siguiente: = 010 cm

60 N A20

80 N 2.7 EQUILIBRIO TOTAL Un objeto o sistema est en equilibrio total si cumple las reglas siguientes: 1. Fx = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje X es cero, por lo que el objeto no se mueve horizontalmente, o se mueve con velocidad lineal constante 2. Fy = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje Y es cero, por lo que el objeto no se mueve verticalmente, o se mueve con velocidad lineal constante 3. = 0. Esto indica que la sumatoria de los momentos con respecto a un punto de giro es cero, por lo que el objeto no gira, o gira con velocidad angular constante

Ejemplo1 La figura a la derecha muestra una viga uniforme que pesa 200 N la cual est sostenida por dos soportes. Cul es el peso que carga cada soporte?

10 m 300 N A 12 m

4m 400 N B

Solucin Iniciamos dibujando el diagrama de cuerpo libre Observemos que con las condiciones de equilibrio traslacional es imposible resolver este 300 N 400 N problema, pero con las condiciones de equilibrio rotacional se facilita. 2m 6m 4m 4m A = -300(2)-200(8)+B(12)-400(16) = 0. Despejando BA300(10)+200(4)400(4)

B 200 N

B=

A= = 183.333 N 12 Estos dos resultados se debe comprobar mediante la condicin de equilibrio vertical Fy = 183.333-300-200+716.667-400 = 0 Ejemplo 2 Una viga de 200 lb est articulada en su extremo izquierdo (punto A), y en el derecho (punto B) soporta una carga de 500 lb. Si el sistema permanece esttico calcular: a. tensin de la cuerda y b. Magnitud y direccin de la fuerza ejercida por el perno en el punto A T Solucin R a. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre en donde A 30 B 200 lb 500 lb se obtiene A = -200(12)-500(24) + Tsin(30)(24) = 0 200(12)+500(24) 24 ft Despejando T = = 1200 lb b.24??????????????????(30)

A = -A(12)+300(10)+200(4)-400(4) = 0. Despejando A

300(2)+200(8)+400(16) 12

= 716.667 N

A

30 200 lb 24 ft

B 500 lb

Para este caso se obtienen las componentes rectangulares y despus se obtiene la magnitud F con su respectivo ngulo. Si las direcciones supuestas de los vectores no son las correctas, los resultados de estos tendrn signo negativo, lo que significa que solo hay que cambiar el sentido del vector Fx = Rx 1200cos(30) = 0; Rx = 1039.23 Fy = Ry +1200sin(30) 200 500 = 0 ; Ry = 100 R = 1039.232 + 1002 = 1044.03 lb = ??????????????????1 1039.23 100

= 5.496

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Apuntes Fsica I


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Ejemplo 3 Determinar el punto de equilibrio para el sistema formado por dos esferas unidas por una varilla de peso despreciable. Ver figura a la derecha. Solucin Para que el sistema este en equilibrio se requiere que la suma de momentos con respecto al punto de equilibrio sea igual a cero ( = 0) Si se considera la esfera de 8lb el punto de referencia, entonces: x = 8x 16(40+30cos(30)-x) = 0 8x 1055.692 +16x = 0 24x = 1055.692 x = 43.987 cm Si se ata o se apoya el sistema a 43.987 de la masa de 8 lb, el sistema permanecer en equilibrio

40 cm 8 lb 30 16 lb 30 cm 40 cm x 30 8 lb 30 cm 16 lb

2.8 Energa mecnica y trabajo Energa. Es todo aquello que se puede convertir en trabajo o en calor y se calcula con la formula E = Fs E Energa en Joules (J), unidad trmica britnica (Btu), caloras (Btu) F Fuerza en Newton (N) s Desplazamiento, en metros (m) 2.8.1 Energa potencial y energa cintica Energa `potencial. Es la energa que posee un objeto de acuerdo a su posicin o su estado La energa potencial de posicin o gravitacional se presenta solo si existe un campo gravitacional. Cuando se levanta un objeto, aumenta su energa potencial y disminuye cuando decrece su altura La energa potencial se calcula mediante la frmula EP = mgh = Ph EP energa potencial en Joules (J) m Masa del objeto en kilogramos (kg) g Aceleracin debida a la gravedad en metros por segundos cuadrados (m/s2) h Altura con respecto a un punto de referencia, en metros (m) P Peso en Newtons (N) La energa potencial de estado se presenta de acuerdo al estado del objeto. Por ejemplo un resorte sin ser comprimido o estirado tiene una energa potencial nula, pero si se estira o comprime su energa potencial es mayor que cero. En trminos generales un objeto aumenta su energa potencial si consume energa y disminuye si libera energa Ejemplo 1 Para la caja de 50 N mostrada en la figura de la derecha, calcule su energa potencial 50 N gravitacional con respecto al: a. Piso 80 cm b. Asiento de la silla c. Meza 90 cm 50 cm Solucin Nota. Si no se especifica la aceleracin gravitacional, se debe considerar el valor 9.81 m/s2 a. EP = (50 N)(1.7 m) = 85 Nm o J b. EP = (50 N)(1.2 m) = 60 Nm o J c. EP = (50 N)(0.8 m) = 40 Nm o J Ejemplo 2 Un resorte se comprime 5 cm con una fuerza promedio de 30 N. Cunto aumenta su energa potencial? Solucin EP = (30 N)(0.05 m) = 1.5 J Ejemplo 3 Se deja deposita una caja de 50 kg sobre un contenedor que contiene un resorte amortiguador. Si el contenedor disminuye 15 cm debido al peso, Cul es la energa potencial en el resorte? Solucin EP = (50 kg)(9.81 m/s2)(0.15 m) = 73.575 J Energa cintica. Es la energa que posee un objeto de acuerdo a su movimiento, la cual se calcula mediante la frmula: EC = mv2; sus unidades son tambin son: Joule (J), unidad trmica britnica (Btu), o caloras (cal) Se obtiene = , de donde ???????????? = 2?????? ?????? 2 Esto significa que la energa o el trabajo aplicado a un objeto, le cambia su energa cintica??????2 2 ???????????? ??????0 2 2 ??????(???????????? ??????0 )

Relacionando las ecuaciones de la segunda ley de Newton a = , y del de movimiento uniformemente acelerado a =

2 Fs= ?????????????????? 2 1

m 1

F

2 ????????????0 2

v2 -v2 f 0 2S

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Apuntes Fsica I


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Ejemplo 1 Calcular la energa cintica de un automvil de 350 kg que se mueve a 60 km/h Solucin Primero convertimos todas las unidades en el sistema internacional (60 km/h)(1h/3600s)(1000 m/1km) = 16.667 m/s EC = mv2 = (350 kg)(16.667 m/s)2 = 48,613.056 J Ejemplo 2 Qu fuerza promedio se requiere para detener una bala de 16 g que viaja a 260 m/s y que penetra una madera una distancia de 12 cm? Solucin EC = (0.016 kg)(260 m/s)2 = 540.8 J. Se sabe que Fs = ECfinal ECinicial. Al detenerse la bala ECfinal = 0. Por lo que Fs = ECinicial ; F(0.12 m) = -540.8 J 540.8 ?????? F= = - 4506.667 N. El signo negativo indica que la fuerza es en sentido contrario al movimiento Ejemplo 3 Una esfera de 5 kg se deja caer desde una altura de 2m. Calcular su energa cintica a. a la mitad de su recorrido b. cuando toca el suelo Solucin Primero se calculan las velocidades de la esfera a la mitad del recorrido y cuando toca el suelo 2 2 2 Las velocidades se calculan con la formula 2???????????? = ???????????? ??????0 , como se deja caer v0 = 0, entonces 2as = vf , por lo que ???????????? = 2???????????? a. b. Velocidad a la mitad del recorrido v =2(9.81 ??????/?????? 2 )(1 ??????) EC = (5 kg)(4.429)2 = 49.04 J Velocidad cuando toca el suelo v = 2(9.81 ??????/?????? 2 )(2??????) EC = (5kg)(6.264)2 = 98.094 J = 4.429 m/s = 6.264 m/s0.12 ??????

5 kg 1m

1m

2.8.2 Interconversin entre energas cintica, potencial y trmica Ley de la conservacin de la energa. La energa no se crea ni se destruye solamente se transforma De acuerdo a esta ley se puede de

apuntes fisica 1

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