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Gobierno del Estado de Mxico Secretara de Educacin, Cultura y Bienestar Social

Subsecretara de Educacin Media Superior y Superior SUBDIRECCIN ACADMICA

Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de Mxico

APUNTES DE FSICA I INGENIERIA INDUSTRIAL (NUEVO PLAN) ELABORO: ING. VICENTE MARTEL GUZMAN

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TEMARIO TEMAS PAGINA.-4 UNIDAD 1 CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO. 1.1.-Sistema internacional de unidades. 1.1.1.-conversin de unidades 1.2.-Movimiento rectilneo. 1.2.1.-Desplazamiento, velocidad y aceleracin. 1.2.2.-Movimiento uniforme y uniformemente acelerado. 1.2.3.-Movimiento relativo. 1.2.4.-Cada libre de los cuerpos. 1.3.-Movimiento curvilneo. 1.3.1.-Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleracin. 1.3.2.-Movimiento de proyectiles. 1.3.3.-Componentes tangencial y normal de la velocidad y la aceleracin. 1.3.4.-Movimiento circular uniforme y no uniforme. 1.4.- Movimiento de cuerpo rgido. 1.4.1.-traslacin y rotacin. PAGINA.-30 UNIDAD 2 CINETICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO. 2.1.-Leyes de Newton. 2.1.1.-Enunciados y esquemas de visualizacin. 2.1.2.-Diagramas de cuerpo libre. 2.2.-Resolucin de ecuaciones. 2.2.1.-Fuerzas constantes. 2.2.2.-Fuerzas de resistencia y fuerzas de friccin. 2.3.-Aplicaciones a movimiento rectilneo. 2.4.-Aplicaciones a movimiento curvilneo. 2.5.-Momento de una fuerza. 2.5.1.-Centro de masa y momento de inercia de un cuerpo rgido. 2.5.2.-Movimiento de rotacin de un cuerpo rgido. UNIDAD 3 TRABAJO, ENERGIA CINTICA Y CONSERVACIN DE ENERGA. PAGINA.- 53 3.1.-Concepto de trabajo. 3.1.1.-Calculo del trabajo para diferentes fuerzas. 3.2.-Teorema del trabajo y la energa. 3.2.1.-Concepto de energa cintica. 3.2.2.-Aplicaciones. 3.3.-Potencia. 3.4.-Fuerzas conservativas y no conservativas. 3.4.1.-Concepto de energa potencial. 3.4.2.-Aplicaciones. 3.5.-Teorema de conservacin de la energa mecnica. 3.5.1.-Demostracin del teorema. 3.5.2.-Aplicaciones. 3.6.-Oscilaciones Armnicas.

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UNIDAD 4 INTRODUCCION A LA ESTATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RGIDO. PAGINA.- 88 4.1.-Fuerzas en el plano y en el espacio. 4.2.-Equilibrio de una partcula. 4.3.- Momento de una fuerza. 4.3.1.-Respecto a un punto. 4.3.2.-Respecto a un eje. 4.3.3.-Momento de un par. Pares equivalentes. Suma de pares. 4.4.-Reacciones en apoyos y conexiones. 4.5.-Equilibrio de cuerpos rgidos. INTRODUCCION ESTOS APUNTES DE FSICA SE REALIZO CON LA FINALIDAD DE PROPORCIONAR A LOS ALUMNOS DEL PRIMER SEMESTRE DE INGENIERIA UN APOYO , Y UN RECURSO AUXILIAR EN EL APRENDIZAJE DE ESTA MATERIA. TAMBIEN SE PRETENDE PROPICIAR EL ESTUDIO INDEPENDIENTE, DE TAL MANERA QUE CON EL AUXILIO DE ESTOS APUNTES.

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UNIDAD 1 CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO. 1.1.-Sistema internacional de unidades. 1.1.1.-Conversin de unidades. OBJETIVO.- El alumno aplicar las leyes que explican el movimiento de los cuerpos utilizando los modelos de la partcula y cuerpo rgido en la solucin de problemas de ingeniera. En este sistema, que ser de uso universal cuando los Estados Unidos completen su conversin actual, las unidades bsicas son las de longitud de masa y tiempo, y se les llama, respectivamente, metro(m), kilogramo(kg) y segundo(s), las tres estan definidas arbitriamente, la unidad de fuerza es una unidad derivada y se llama newton(N). Se define como la fuerza que comunica una aceleracin de 1 m/s. PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. Tab. 1.1 Los mltiplos y submltiplos de las unidades fundamentales del SI pueden obtenerse mediante el uso de los prefijos definidos en la tabla anterior: 1 km= 1000m 1mm= 0.0001m 1Mg = 1000kg 1g= 0.001kg. 1kN = 1000N. 1min= 60s 1h= 60min=3600s

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1ft=0.3048m 1mi=1.609km 1in=25.4mm 1lb=4.448 N 1.2.-Movimiento rectilneo. 1.2.1.-Desplazamiento, velocidad y aceleracin. 1.2.2.-Movimiento uniforme y uniformemente acelerado Para iniciar el estudio de este tema, se requiere primero conocer el comportamiento del movimiento dado. Este es exactamente el objetivo de esta materia(CINEMATICA), trataremos simplemente de la descripcin de los movimientos, sin preocuparnos de sus causas o de los cambios observados en tales movimientos. As en la cinemtica decimos que un automvil se estara moviendo por ejemplo a 60 Km, que a partir de un instante dado, su velocidad se aumento a hasta 80 Km. Y que recorri cierta distancia en determinado tiempo, que trato de describir una curva y patina etc., pero no nos preocuparemos por saber la causa de cada uno de estos hechos. El estudio de las causas de los cambio de un movimiento dado es objeto de la dinmica, y constituye el tema propio de la mecnica. Cuando observamos el movimiento de un objeto, notamos que es bastante complejo, y encontraramos dificultades para describirlo detalladamente. Se hace necesario entonces, hacer algunas simplificaciones que nos facilitan este estudio. As prcticamente analizaremos y estudiaremos solo el movimiento de un cuerpo como si fuera una partcula. Decimos que un cuerpo es una partcula cuando sus dimensiones son muy pequeas en comparacin con las dems. De esto se desprende que un mismo cuerpo puede, en ciertas situaciones, tratarse como una partcula, mientras en otras, esto no es posible. Por ejemplo si un automvil de 3m de longitud se desplaza 15m, no podemos considerar como una partcula, en dicho movimiento, pero, si el mismo automvil viaja de una ciudad a otra que esta a unos 200 Km., la longitud del automvil ser despreciable comparada con la distancia recorrida y se podr tratar como, una partcula. Otro ejemplo: a pesar de que normalmente consideramos a la tierra como un cuerpo de grandes dimensiones, esta podr tratarse como una partcula cuando estamos analizando el movimiento alrededor del sol, pues el tamao del radio de la tierra es despreciable frente a la distancia que hay de la tierra al sol. MOVIMIENTO UNIFORME RECTILNEO Este movimiento, en donde la palabra uniforme significa que el valor de la velocidad se mantiene invariable. Para aclarar las ideas, supongamos que un automvil viaja por una carretera plana y recta y que su medidor indica siempre una velocidad de 40 km/h, como sabemos esto significa que en I hora el automvil recorrer 40 Km, en dos horas 80 Km. y en tres horas 120 Km., observe que tenemos: 40 km/1h = 80 km/2 h= 120 lm/ 3h = constante = 40 km/ h.

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con este ejemplo tratamos de mostrar que cuando un cuerpo se desplaza con movimiento uniforme, el cociente entre la distancia d que dicho cuerpo recorre, y el tiempo t empleado para ello, es constante, y el valor de esta constante representa la velocidad del cuerpo, o en otros trminos, la distancia recorrer es proporcional al tiempo empleado, entonces podemos escribir: v = d / t as, en el movimiento de velocidad constante, para encontrar la distancia recorrida por el mvil, basta multiplicar el valor de su velocidad por el tiempo durante el cual se mueve. Hace mucho tiempo sabemos que un automvil a 75 km/h, en 3 horas recorre una distancia de 225 km/h. Es importante observar que la formula d = v t puede emplearse tambin para calcular d cuando la trayectoria es curva. Aprovechemos ahora la oportunidad para aplicar esta formula, construyamos una grafica velocidad x tiempo. Para una partcula que se mueve a velocidad constante v, el grafico v x t tendra la forma que aparece en la siguiente figura: Busquemos la informacin posible: en el instante inicial t = 0, esto es, cuando comenzamos a contar el tiempo( comienzo de la observacin del movimiento), el automvil posea ya una velocidad v. A medida que tiempo pasa, el grafico indica que la velocidad continua con el valor v, esto es, el cuerpo esta movimiento uniforme. Pasado un tiempo t de movimiento, observe que este producto corresponde al rea que se haya bajo el grafico(rea sombreada), entonces, en un movimiento de velocidad constante , podemos calcular d, a travs de la formula d = v t o sea, determinando el rea que queda bajo el grafico, podr utilizarse aun cuando el movimiento no sea uniforme.

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Ejemplo: Un automvil se mueve por una carretera de tal modo que el grafico o grafica v x t es como la que se muestra a continuacin: Pag.42 a.- describa el movimiento del automvil. Segn la grafica, el movimiento se observo durante un tiempo total de 4 h, cuando se inicio la medicion del tiempo( t = 0), el automvil ya estaba en movimiento, a una velocidad de 10 km/h. Mantuvo esta velocidad durante 1 hora, en el instante t = 1 hora , el automvil apret el acelerador y aumento la velocidad bruscamente a 30 km/h , en realidad no es posible un cambio instantneo en la velocidad , como aqu se supone. Sin embargo si el cambio se hizo muy rpidamente, la situacin real difiere muy poco de lo que aparece en la grafica y no seria necesario tener en cuenta tal diferencia. A partir de este instante, la grafica indica que el automvil mantiene su velocidad de 30 km/h durante 2 horas, esto es, hasta el instante t = 3 h. En este instante, el automovilista uso el freno y la velocidad disminuyo rpidamente a 20 km/h, mantenindose esta velocidad durante 1 h ( hasta el instante t = 4 h). b.-cul fue la distancia recorrida por el automvil durante el tiempo de observacin? Es evidente que el automvil durante dicho movimiento no es uniforme, pues el valor de su velocidad experimenta variaciones durante el recorrido. Por lo tanto la formula d = vt no podra usarse para calcular d. Sin embargo, es evidente que el movimiento puede dividirse en partes que no variaron en velocidad, en cada una de las cuales se aplica la ecuacin d =vt, asi donde t=0 hasta t=1 h, en que la velocidad se mantuvo constante e igual a 10 km/h, tendramos una distancia recorrida d1, dada por: d1= 10 km/h x 1 h luego d1= 10 km

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De modo anlogo, encontraremos las distancias d2, recorrida entre t= 1h y t=3h y la distancia d3, recorrida entre t= 3h y t= 4 h: d2= 30km/h x 2h luego d2 = 60 km d3= 20km/h x 1 h luego d3= 20 km cada una de estas distancias recorridas corresponde a cierta area que se halla bajo la grafica v x t como puede verse en la grafica. La distancia total buscada sera dada por: d = d10+ d2 0+d3 o d= 90 km. Hasta ahora solo hemos considerado la grafica v x t. otra grafica importante es d x .t en el movimiento uniforme, la ecuacin d = v t, donde v= constante, indica que d t ( la ecuacin es del tipo Y = a X), esto es , la distancia recorrida por un cuerpo que esta en movimiento uniforme es directamente proporcional al tiempo del movimiento. Entonces la grafica d x t, para el movimiento uniforme es una recta que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Fig.iv-9 En el instante inicial tenemos d=0, y a medida que pasa el tiempo, la distancia recorrida d, aumenta proporcionalmente a t. hasta el instante t1, el cuerpo haba recorrido la distancia d1, y hasta el instante t2, la distancia d2, mayor que d1. Dado que el valor de v representa la constante de proporcionalidad entre d y t, concluimos que la pendiente del grafico d x t ser igual al valor de la velocidad del cuerpo, entonces, considerando los puntos A y B de la figura anterior podemos escribir: V= d/ t v= d2-d1/t2-t1

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donde el d es la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo t. VELOCIDAD INSTANTNEA Y VELOCIDAD MEDIA. Supongamos que el movimiento es variado de un automvil, que la aguja cambia constantemente de posicin , indicando as una velocidad diferente en cada instante. El valor de la velocidad del automvil , en un instante dado, se denomina velocidad instantnea. Indicaremos la manera de determinar matemticamente el valor de la velocidad en determinado tiempo. Para esto, consideremos que un automvil pasa por el punto A (ver la siguiente figura) Fig.iv-13 en el instante t, a una velocidad instantnea v (lectura instantanea del medidor de velocidad). Si dejamos correr un intervalo de tiempo t no muy pequeo, el vehculo se desplazara hacia B, recorriendo una distancia d. Si calculamos el cociente d/t , verificaremos que este valor no coincide, en general con el valor de la velocidad instantnea. Por lo tanto el cociente d/t nos da la velocidad instantnea slo cuando el movimiento es uniforme. Ahora bien, supongase que, a partir del punto a, dejmos transcurrir un intervalo de tiempo t, menor que el de la vez anterior, verificaramos que con un valor menor t, el cociente d/t estara ms prximo al valor de v. Considerando t cada vez menor, d/t se aproximaran cada vez ms a v, y concluimos: si vara el movimiento, podemos escribir que la velocidad instantnea es dada por v= d/t con la restriccin de que t debe ser lo menor posible (t debe tender a cero). Estas consideraciones se indican matemticamente, de la siguiente manera: v = lim d/t v= dr/dt v=ds/dt 0

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Cuando el movimiento es uniforme, la grafica d x t es rectilneo. En caso contrario el grafico d x t es curvo y su aspecto puede ser el mismo de la figura siguiente: iv-14 En la cual se representa la distancia de un automvil al comienzo de la carretera, en funcin del tiempo. De aqu se desprende que la distancia d vara con el tiempo y que la velocidad no es constante puesto que la grafica no es rectilnea. El valor de d alcanza su mximo y luego disminuye lo que significa que el vehculo se detiene y despus vuelve. Nuestro automvil no mantiene constante su velocidad y tiene un movimiento variado. Si quisiramos saber el valor de su velocidad en un instante dado T, podramos obtenerlo grficamente del siguiente modo( ver la figura anterior), localizaramos el punto en la grafica correspondiente al instante pedido(punto P en la figura); luego trazaramos la tangente en la grafica en P; al escoger dos puntos cualesquiera C y D sobre la tangente, calcularamos la pendiente de esta tangente, esto es, obtendramos el cociente DE/CE( fig. anterior), pues bien el valor obtenido para la pendiente de la tangente sera el valor de la velocidad del vehculo en el instante T. tenemos pues el un mtodo grfico para determinar la velocidad instantnea de un cuerpo cuando establecemos la grafica d x t. V= pendiente de la tangente en la grafica d x t. VELOCIDAD MEDIA Siendo d la distancia recorrida por el cuerpo, en un movimiento cualquiera, durante un tiempo t su velocidad media Vm, ser: Vm = d/t Si suponemos que se ha hecho un viaje de 560km en 8h, la velocidad media, en este viaje sera:

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Vm= d/t = 560km/8h= 70 km/h Podramos decir que: desarrollamos un promedio de 70km/h, esto significa que durante el recorrido, algunas veces se viajo a 70km/h, otras a una velocidad inferior a 70km/h. Ejemplo El vehculo se mueve en lnea recta de tal modo que durante un breve tiempo su velocidad est definida por v =( 9t + 2t)ft/s, estando t en segundos. Calcule su posicin y aceleracin cuando t= 3s. cuando t=0, s=0. pag 8

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Ejemplo: Un automvil recorre una distancia de 120 km y desarrolla en los primeros 60 km, una velocidad constante de 40km/h y, en los 60km/h, cul fue la velocidad promedio en el recorrido total? La distancia total recorrida fue de d=120km, necesitamos calcular el tiempo total del viaje. En la primera parte del recorrido, se gasto un tiempo t1 de : T1= d1/v1 = 60km/40 km/h = 1.5 h. El teimpo gastado en la segunda parte fue: T2= d2/v2= 60km/ 60km/h = 1 h De esta manera, el tiempo total del viaje fue: t = t1 + t2 = 1.5h + 1 h = 2.5h la velocidad media del vehculo en el recorrido total fue entonces: v = d/t = 120km/2.5h = 48 km/h. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO. Hasta ahora hemos encontrado, dos magnitudes relacionadas con el movimiento v y d, muy importantes, ahora vamos a analizar la ACELERACIN, Siempre que ocurre una variacin en la velocidad, decimos que el movimiento presenta aceleracin . por lo tanto el concepto de aceleracin se relaciona con los cambios de velocidad. Si un automvil se esta desplazando en lnea recta y en movimiento uniforme, su velocidad no esta variando y no presenta aceleracin. Consideremos por un momento, que el movimiento es rectilneo, como se observa en la siguiente figura:

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iv-17 En la figura anterior se representa la velocidad v1 del cuerpo, en el instante t1 y despus de un intervalo de tiempo t, en el instante t2, verificamos que la velocidad pas a un valor v2 diferente de v1. por lo tanto, el cuerpo ostenta una aceleracin pues su velocidad sufri una variacin v= v2 v1, el valor de la aceleracin del movimiento se define: a= v/t o a = v2 v1/ t2 t1 esto es, la aceleracin es el cociente entre la variacin de la velocidad y el tiempo empleado en experimentar esta variacin . luego la aceleracin es una medida de rapidez con que la velocidad esta variando: cuando decimos que un automvil tiene una gran aceleracin , se quiere decir que su velocidad vara mucho en un intervalo de tiempo corto. Supongamos que la figura anterior tuviramos v1 = 10m/s y v2 = 70 m/s. teniendo en cuenta que t=12s, la aceleracin habra sido: a= v/t = 70 m/s - 10 m/s / 12s = 60 m/s/s este resultado indica que en cada 1s, la velocidad del cuerpo aumenta 5m/s. generalmente estas unidades se expresan as:

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a= 5 m/s/s = 5 m/ s an si en la figura anterior el valor de v2 fuera menor que el de v1, tendramos que v

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La pendiente de esta grfica es v / t y representa, por lo tanto, el valor de la aceleracin(constante) del movimiento. Como durante el intervalo de tiempo t, la velocidad vari en v = V - Vo, tendremos: a = V Vo/ t despejando tendremos : V = Vo + at con esta formula nos permite calcular el valor de la velocidad v que el cuerpo tendr en cualquier instante t, es la suma Vo con el producto at, representado este producto el aumento que la velocidad experimento durante el tiempo t. Hasta el instante t, el vehculo habr recorrido una distancia d que podr determinarse si calculamos el rea bajo el grfico de la figura anterior, tendremos : d = Vot + at esta es en consecuencia la ecuacin que nos permite clacular la aceleracin del movimiento es constante: v = Vo + at y d= Vot + at son relaciones entre la velocidad y el tiempo y entre la distancia y el tiempo o, como se dice generalmente ellas nos dan v y d en funcin de t . Podemos obtener una relacin entre v y d ( que no contenga t). til en muchos casos, si sacamos el valor t=( v-vo)/ a en la primera ecuacin y lo sustituimos en la segunda. Efectuando los clculos algebraicos, obtenemos: v = vo + 2 ad. Esta formula nos permite calcular cul ser la velocidad y del cuerpo despus de haber recorrido una distancia d, en movimiento uniformemente variado, sin que se conozca el tiempo t transcurrido. En otras palabras, ella nps da v en funcin de d. Si el cuerpo partiera de reposo, esto es, si en el instante t=0 tuvieramos vo=0, las ecuaciones se simplificaran hacindose: v= at d= at y v= 2 ad. Ejemplo: Un automovilista fren en el instante en que llevaba una velocidad de 20m/s y observ que en 5 s, bajo a 10 m/s. suponiendo constante la aceleracin producida por la frenada: a.-cul fue la aceleracin del automvil?

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A= v/t= 10m/s 20m/s/5s=-2m/s b.-Cul era la velocidad del vehculo 3 s despus que el automovilista fren? Como la aceleracin del vehculo es constante, tendremos: v= vo + at = 20m/s 2 m/s x 3s = 14 m/s c.-Cul sera la velocidad del vehculo despus de recorrer una distancia d= 64 m, contada desde el instante en que el automovilista aplic el freno? Se debe usar la relacin entre v y d, ya que no se dio el tiempo transcurrido. Entonces: v = vo + 2 ad = (20 m/s) - 2x(2 m/s) X 64m = 144 m/ s luego : v= 12m/s d.- cunto tiempo habr transcurrido desde el comienzo de la frenada, hasta que el vehculo par? La ecuacin v= vo + at nos dar este tiempo si hacemos v=0. as 0 = 20m/s 2 m/s x t donde3 t= 10s e.- cual es la distancia que recorrer el vehculo desde t=0 hasta parar? d = vot + at = 20 m/s x 10s 1/2x 2 m/sx 10s = 100m

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CAIDA LIBRE Cuando soltamos una piedra desde cierta altura, observamos que cae con velocidad creciente, esto es, que su movimiento es acelerado ( ver figura siguiente). iv-20

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Pero si lanzamos la misma piedra hacia arriba, su velocidad va disminuyendo hasta perderse en el punto ms alto o sea, que el movimiento de subida es retardado. La cada de los cuerpos llam la atencin de los antiguos filsofos quienes intentaron descubrir las caractersticas de este este movimiento. El gran filsofo Aristteles aproximadamente hace 300 aos a.d.c. estableci que al dejar caer simultneamente dos cuerpos de diferente peso desde la misma altura, el ms pesado llegara primero al suelo, esto es, que tendra mayor velocidad durante su cada, en virtud de la enorme influencia del pensamiento aristotlico durante la edad media , esta enseanza perdur durante casi dos mil aos como un principio bsico de la naturaleza. Refutaciones de peso en el campo de la fsica y la astronoma, solamente surgieron con GalileoGalilei quien, a pesar de que el principio fue orientado por su padre hacia el estudio de la medicina, termin por convertirse en uno de los mayores fsicos de su poca y el precursor de la gran evolucin de la evolucin de la fsica, a partir del siglo XVII. Galileo lleg a la conclusin de que un cuerpo pesado y el cuerpo liviano, deben de hacer iguales y llegar al suelo simultneamente al dejarlos caer desde una misma altura. Ejemplo una persona lanza una pelota hacia y la recoge cuando vuelve al punto de partida. cunto tiempo estuvo la pelota en el aire, sabiendo que alcanzo una altura de 20m. La solucin de este y otros problemas semejantes se simplifica grandemente si observamos que la pelota demora para subir el mismo tiempo que demora para descender. Esto ocurre porque la aceleracin tiene el mismo valor en la subida que en descenso y, en ambos casos, la velocidad es nula en el punto mas alto. El movimiento de descenso es exactamente al opuesto al de subida con la pelota que recupera la velocidad prdida en la subida( despus al volver al punto de partida, ella tendr la misma velocidad con que fue lanzada). Entonces, razonando slo con el movimiento de descenso, tenemos vo= 0(la pelota parte del reposo, pues su velocidad se anula en el punto mas alto) y la distancia d= 20m de cada ser dada por : d = g t donde t es el tiempo gastado en el descenso. As t = 2d/g = 2 x 20m/9.8 m/ s = 2s el tiempo t es el tiempo estuvo la pelota en el aire fue de 2 x 2s= 4s.

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VECTOR VELOCIDAD Y VECTOR ACELERACIN Al estudiar los movimientos curvilneos no podemos olvidar que la velocidad y la aceleracin son magnitudes vectoriales y por ello analizaremos los vectores v y a. Supongamos que una partcula describa una trayectoria curvilnea, como se muestra en la figura siguiente: iv-27 Sabemos calcular el mdulo de la velocidad de la partcula, que es dado por : v= lm d/t t0 donde d es la distancia recorrida, a lo largo de la curva, en el tiempo t. Para definir el vector v, es preciso indicar su direccin y sentido. La direccin de v es tangente a la trayectoria en cada punto de sta y su sentido es aqul en que la partcula se est moviendo. Por lo tanto, conociendo el vector v en un instante dado se conoce el valor de la velocidad instantnea, la direccin instantnea del movimiento(tangente de trayectoria) y el sentido del movimiento

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en ese instante. En la fig.anterior el vector v fue trazado en varios puntos de la trayectoria . En la figura siguiente: iv-28 Representa una partcula que describe una curva y el mdulo de su velocidad permanece constante. Imaginese un automvil que da una curva y cuyo medidor de velocidad permanece invariable. Al variar la direccin de la velocidad hay una aceleracin caracterstica as como hay una aceleracin caracterstica cuando vara el mdulo de la velocidad. En este orden de ideas podemos afirma que el movimiento de la figura anterior es acelerado. Se define por la variacin de la direccin del vector v, como aceleracin centrpeta, ac, porque ella est siempre dirigida hacia el centro de la curva( centrpeta significa que apunta hacia el centro). El vector ac es siempre perpendicular al vector v y generalmente tambin se llama aceleracin normal an(normal a la trayectoria). En la figura anterior se representa a el vector ac en el instante en que la partcula pasa por la posicin mostrada. Por lo tanto, siempre que vara la direccin de la velocidad(trayectoria curva), habr una aceleracin centrpeta de la partcula. En la figura siguiente:

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iv-29 Suponemos que el automvil entra en una curva con una velocidad cuyo mdulo est creciendo y por lo tanto se originar una aceleracin centrpeta ac, fuera de la aceleracin total del cuerpo ser la resultante de aT y ac. Esto es: a = aT + ac obsrvese el vector a en la figura, en conclusin tenemos: 1.- ac estar presente siempre que vare la direccin del vector v. 2.-aT estar presente siempre que vare el mdulo del vector v. Si un cuerpo se desplaza en movimiento rectilneo uniforme, no tendr aceleracin centrpeta, porque la direccin de la velocidad no vara , ni tampoco tendr aceleracin tangencial, puesto que tampoco lo cambia el valor de la velocidad, entonces en el movimiento rectilneo uniforme, la aceleracin total es nula, no posee ningn tipo de aceleracin. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Cuando una partcula describe una trayectoria circular como la piedra que gira en la punta de una cuerda, se dice que est en movimiento circular como se muestra en la siguiente figura:

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iv-30 Si adems de esto, el mdulo de la velocidad de la partcula permanece constante, el movimiento es circular uniforme. Conforme se vio en el tema anterior a pesar de que el mdulo de la velocidad no est variando, dicho movimiento presenta una aceleracin centrpeta, pues la direccin de v esta variando continuamente, como se observa en la figura anterior, solamente ser nula la aceleracin tangencial de la partcula, pues el mdulo de la velocidad no vara. Al describir su movimiento, la partcula gasta un tiempo T para completar la vuelta, este tiempo T se llama perodo del movimiento. Durante un perodo el espacio recorrido por la partcula es la longitud de la circunferencia o se 2R, donde R es el radio de la trayectoria. Por lo tanto, como el movimiento es uniforme, el valor de la velocidad estar dado por : V = 2R/T En la figura siguiente: Iv31

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Se muestra la partcula en un instante dado t1 y en el instante t2 posterior. Se observa que durante el intervalo de tiempo t = t2 t1 la recta que va de la partcula al centro de la circunferencia describe un ngulo o como se dice el radio R que acompaa a la partcula en movimiento barre un cierto ngulo . Se define la velocidad angular de la partcula, en su movimiento de rotacin, siendo: = / t esto es es el cociente entre el ngulo descrito y el intervalo de tiempo gastado es describir y el intervalo de velocidad angular es muy semejante a la de la velocidad comn v, si se considera slo el ngulo descrito en vez de la distancia recorrida. Para que no surja confusin entre v y la velocidad v se llama velocidad lineal. En la rotacin es ms acertado estudiar el movimiento empleando la velocidad angular en vez de la velocidad lineal de la partcula . analizando la figura siguiente: Iv32 Se puede entender esta afirmacin, en esta figura se muestra un cuerpo extenso que gira alrededor de un eje que pasa por 0, considerando los dos puntos A y B del cuerpo, notamos que mientras gira, esos puntos recorren distancias diferentes en el mismo tiempo, por lo tanto las velocidades lineales de A y B son diferentes ( vB > vA). Sin embargo, ambos describen el mismo angulo en el mismo tiempo y por lo tanto, ambos tienen una misma velocidad angular (A = B), en esta forma, la velocidad angular de un cuerpo extenso en rotacin, es la misma para todos los puntos del cuerpo, en tanto que las velocidades lineales de los puntos msa

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apartados del eje de rotacin son mayores que las de los puntos ms prximos al eje. De esta manera es preferible describir la rotacin en trminos de y no en trminos de v. Segn la difinicin , deducimos que se trata de una medida de la velocidad de rotacin del cuerpo. Si la velocidad angular es grande, la partcula debe describir un ngulo grande en un intervalo de tiempo reducido; entonces la partcula est girando rpidamente. En cuanto a la unidad de , los ngulos pueden medirse en grados o en radianes como debi observarlo en cursos anteriores, entonces la velocidad angular se miden en grado/s, o rad/s. decir que una partcula est girando con una velocidad angular = 1 rad/s, quiere decir que ella describe un angulo de 57.3 en cada segundo. Si esperamos a que la partcula completara una vuelta, el, ngulo descrito sera = 2rad y el tiempo transcurrido sera igual al perodo del movimiento; esto es, t=T, asi que la velocidad angular = /t, ser derivada de : = 2/T como la velocidad lineal viene de : v= 2R/T = 2R/T concluimos que: v= R observamos que esta formula slo es vlida si los ngulos han sido medidos en radianes. Esta ecuacin establece una relacin entre v, y el radio R de la trayectoria y nos demuestre que la figura anterior, el valor de v ser tanto mayor cuanto mayor fuera R, esto es, cuando ms alejada del eje de rotacin estuviera la partcula. Podemos decir que la aceleracin de una partcula que gira alrededor de un punto como se observa en la siguiente figura

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Iv33 El movimiento uniforme de la partcula no posee aceleracin tangencial, pues el mdulo de la velocidad no vara, sin embargo como la direccin del vector v vara continuamente, la partcula posee una aceleracin centrpeta ac, en la figura anterior se indica que los vectores v y ac en cuatro posiciones diferentes de la partcula(observe que ac apunta siempre hacia el centro de la circunferencia ), podemos decir que el valor de ac en el movimiento circular es dado por : ac = v/R entonces, tenemos ac v y ac 1/R. Ejemplo. Una persona est situada en el ecuador terrestre; al considerar el movimiento de rotacin de la tierra esa persona estar en movimiento circular alrededor del centro de la tierra( ver figura siguiente) Iv34

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a.-cul es la velocidad angular de la persona? Ella da una vuelta comp.`leta alrededor del eje de la tierra 24 h es decir que el perodo de rotacin es T = 24 h, luego: = 2 / T = 2rad/24h = rad/12h esta sera la velocidad angular en cualquier punto de la tierra, pues todos giran en un ngulo de 2rad en 24h . b.- cul es el valor de la velocidad lineal de la persona en el ecuador?. La longitud del ecuador de la tierra es de 40000 km., por lo tanto, la persona recorre esta distancia en 24 hr.entonces: V= 40000/24h= 1.66 x 10 km/h. El valor v podra tambin encontrarse a partir de v= R = rad/12hx6.37x10=1.66 x 10 km/h. c.-cul es el valor de la aceleracin centrpeta de la persona en el ecuador? El valor de ac, ser ac= v/R, conviene expresar v en m/s y R en m, para que la respuesta se de en m/s, tenemos: V= 1.66 x 10 km/h= 463m/s R=6.37 x 10km= 6.37 x 10x10m. As: ac = v/ R = (463m/s)/6.37x 10x10 de donde ac= 0.034 m/s. a pesar del valor de v, resulta un valor pequeo para ac, por cuanto el radio de trayectoria es muy grande ( radio de la tierra). COMPOSICIN DE VELOCIDADES Cuando un avin vuela a 500lm/h y no hay aire, esa ser la velocidad del avin, un observador en la tierra medira exactamente dicha velocidad. Pero si comienza a soplar viento a cierta velocidad la situacin se modifica. En este caso, el avin tendra dos movimientos simultaneos: el que en relacin con el aire, le proporcionan sus motores y otro debido al movimiento del propio aire que impulsa al avin. Situaciones como esta, que denotan simultneamente dos o mas velocidades en relacin con el observador, se presentan

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frecuentemente. Imagnese ahora un barco arrastrado por la corriente de un ro o a una persona que camina en un autobs que est en movimiento. Ambos casos son semejantes al del avin en movimiento. La pregunta bsica en situaciones como stas es la siguiente: para el observador cul es la velocidad con que se mueve el cuerpo que recibe varias velocidades? teniendo en cuenta que la velocidad es una magnitud vectorial, para el observador sera correcto pensar que el cuerpo se mueve con una velocidad igual a la resultante de las diversas velocidades que lo impulsan. Por lo tanto, para hallar la velocidad del avin en relacin a la tierra, basta sumar vectorialmente la velocidad del avin en el aire con la velocidad del aire con relacin a la tierra. Esta composicin de velocidades podr hacerse usando cualquiera de los mtodos ya estudiados. Para hacer un anlisis ms detallado, consideremos el caso del barco que se mueve en un ro con una velocidad vB. Para una persona que estuviera en la orilla, esta sera la velocidad con que el barco se mueve en la orilla, esta sera la velocidad con que el barco se mueve si no hubiese corriente o en otras palabras, la velocidad del barco con relacin al agua, si vc es la velocidad de la corriente, la velocidad del barco con relacin a la tierra sera en cualquier caso. Suma vectorial V = VB + Vc En esta forma, si el barco est en posicin perpendicular a la orilla y va cruzar el ro, seguira la trayectoria mostrada en la figura siguiente : Iv35 Y el valor de su velocidad ser: V = vB + vc Si el barco estuviera navegando ro abajo su velocidad seria :

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V = vB + vc Es decir que sumando el valor de la velocidad del barco con el de la velocidad de la corriente llegara a su destino ms pronto que si no hubiera habido corriente.( ver figura siguiente). Iv36 Si el barco estuviera navegando ro arriba( ver la siguiente figura). Iv36b

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Tendremos v = VB - Vc que en este caso la velocidad del barco estara reducida por la corriente y el barco demorara ms tiempo para subir que para bajar. Ejemplo Suponga que la figura siguiente: Iv35 La velocidad del barco sea vB = 4m/s y que la velocidad de la corriente sea vc= 2 m/s,suponiendo que el ro tenga un ancho de L=100m: a.-cunto tiempo gastar el barco para atravesar el ro? El tiempo de la travesa estara determinado slo por vB, no habiendo influencia de vc, entonces: T= L/vB = 100m/4m/s= 25s Si no hubiese corriente, el barco demorara tambin 25s para atravesar el ro. b.-cul es la distancia, rio abajo, que recorrer el barco arrastrado por la corriente? El movimiento ro abajo no es efectuado por vB, sino que se determina por vc, como el barco se mueve durante 25s, ser arratstrado por el ro durante este tiempo con una velocidad de vc=2m/s, entonces la distancia pedida ser: d = vct= 2m/s x 25s = 50 m. ejercicios

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UNIDAD 2 CINETICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO. 2.1.-Leyes de Newton. 2.1.1.-Enunciados y esquemas de visualizacin. OBJETIVO.- El alumno aplicara las leyes de Newton en la solucin de problemas de ingeniera. Aproximadamente hace tres siglos, Isaac Newton, basado en sus propias observaciones y las de otros formul tres principios que son fundamentales en las soluciones a las preguntas, de cmo se produce un movimiento que parmetros intervienen en el movimiento, y en la solucin de otros problemas relacionados con los movimientos que se llaman leyes del Movimiento, estas fuern establecidas de idealizaciones y abstracciones propias de los procesos cientficos en la descripcin de la naturaleza, estas son las leyes de Newton: PRIMERA LEY DE NEWTON, CONCEPTO DE FUERZA. La primera de ley de Newton establece: En ausencia de una fuerza, un cuerpo en reposos permanece en reposo y un cuerpo en movimiento contina movindose en lnea recta y una velocidad constante. Se nota perfectamente, en este enunciado, la presencia de una palabra importante: fuerza. Todos nosotros tenemos una idea del significado de fuerza. Si, con nuestro esfuerza muscular, empujamos o arrastramos un objeto, le estamos comunicando una fuerza; un resorte en el cual colgamos un objeto, ejerce una fuerza sobre ste, el aire comprimido en un neumtico ejerce fuerza sobre el tren, etc. la unidad escogida convencionalmente entre los fsicos es el peso de un cuerpo patrn denominado kilogramo, considerado en un lugar a 45 de latitud y al nivel de mar. La restriccin exigida para el lugar es necesaria porque el peso de un cuerpo vara ligeramente con la altura y latitud de los lugares considerados, esta unidad se llama kilogramo- fuerza y su smbolo es kgf. Tambin se usa, en la medicin de fuerza, una unidad denominada newton, nombre dado en homenaje a Newton. 1 kgf = 9.8 N. VECTOR FUERZA-EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA. Si alguien le dice que ejerci una fuerza sobre un cuerpo y slo la da el valor o modulo de la fuerza, no alcanzar a saber todo sobre la fuerza ejercida, para una especificacin completa de una fuerza dada, estas tres caractersticas son inherentes al concepto de fuerza. As, la fuerza ejercida sobre un cuerpo podr representarse por un vector como se muestra en la siguiente figura:

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Fig.v-7 Por lo pronto, para que las fuerzas puedan ser consideradas como magnitudes vectoriales es necesario verificar si ellas se suman del mismo modo que los desplazamientos, es decir si obedecen las reglas de suma de vectores. La experiencia muestra que esto es verdadero pues, como lo muestra la siguiente figura: V8 Si dos fuerzas F1 y F2 estuvieron actuando sobre una aprticula se puede concluir que tales fuerzas pueden sustituirse por una fuerza nica la resultante R, que se obtiene precisamente por la regla del paralelogramo, en otras palabras, la experiencia demuestra que la fuerza R de la figura anterior ,al actuar sola es equivalente a las fuerzas F1 y F2 cuando actan en conjunto, ellas podrn reemplazarse por su resultante, que se sacar mediante la suma vectorial siguiente: R = F1 + F2 +F3+..o R = F Una fuerza R, al actuar sola, produce en la partcula el mismo efecto y la misma modificacin en su movimiento igual a la del sistema de fuerzas que est representado, si ocurre que la resultante R es nula, es decir no existe fuerza alguna que acte sobre la partcula(1. Ley de newton),la que est en

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reposo continuar en ese estado, y la que est en movimiento continuar su movimiento rectilneo uniforme. Cuando una partcula est en reposo o en movimiento rectilneo uniforme decimos que est en equilibrio. Entonces es evidente que si queremos tener una partcula en equilibrio, como se muestra en la siguiente figura: V9 Debemos hacer que la resultante de las fuerzas que actuan sobre la partcula sea nula. Esto es una consecuencia directa de la 1. Ley de Newton , analticamente, esta condicin de equilibrio se expresa de la manera siguiente: R=0 F=0 Consideremos un sistema de fuerzas en dos dimensiones, como el que se muestra en la figura anterior y trazando los ejes Ox y Oy , sabemos que la componente de la resultante en la direccin Ox y Rx, ser dada por la suma algebraica de las proyecciones de los vectores sumados sobre este eje ser: Rx = F1x + F2x + F3x +.. Rx = Fx Del mismo modo tendremos para Ry Ry = F1y + F2y + F3y +.. Ry = Fy

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Si queremos tener la condicion en que una partcula est en equilibrio, como R=0, deberemos tener Rx=0 y Ry=0, entonces, la condicin de equilibrio de la partcula puede expresarse por las relaciones: Fx=0 y Fy=0 recprocamente, si tenemos una partcula en equilibrio podemos afirma que las fuerzas actuantes tienen tales valores y direcciones que R=0, o que se han cumplido las dos ecuaciones dadas, este hecho nos permite disponer de dos ecuaciones para las fuerzas que actan sobre la partcula y dterminar las dos incgnitas del problema. Ejemplo 1 El bloque de la figura siguiente V10 Pesa 50 kgf y est sujeto al punto O, unido a las cuerdas oA(atada a la pared) y OB(atada al techo). Determinar las tensiones de las cuerdas OA y OB sabiendo que el conjunto est en equilibrio. Cuando una cuerda o un cabo est estirado por la accin de esfuerzos aplicados en sus extremidades ,decimos que est en tensin o compresin, el valor de la tensin en la cuerda representa el valor de la fuerza que la estira o del esfuerzo que hace para sostener algn peso, en la anterior la cuerda OA tira del punto O hacia la izquierda y esta fuerza se representa por una tensin T en dicha figura, en esta misma figura mostramos la tensin T ejercida por OB sobre O, por otra parte, acta en O el peso de 50kgf hacia abajo, como la partcula O est en equilibrio concluimos que la resultante de las fuerzas que actan sobre ella es nula o si consideramos los ejes Ox y Oy sabemos que: Fx =0 Fy =0

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descomponiendo las fuerzas sobre Ox y Oy, obtenemos las dos ecuaciones siguientes Fx =0 T2cos30 T1 = 0 Fy =0 T2 seno30-50kgf=0 es muy interesante que observemos que la primera ecuacin nos muestra que la fuerza T1 tira el punto O hacia la izquierda, pero es equilibrada por la componente de T2 en direccin Ox(T2 cos30), la segunda ecuacin nos muestra que es la componente T2 seno30 la que est equilibrando al peso del cuerpo suspendido. Al resolver el sistema de ecuaciones encontramos que: T1= 86.6 kgf. Y T2= 100kgf. Ejemplo 2 En la figura siguiente:

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Un cuerpo cuyo p4eso es 10 kgf est sujeto al eje de una polea mvil(el eje es mvil), esto es , puede subir o bajar libremente),la otra polea es fija(el eje esta fijo en el techo)cul es el valor de la fuerza Fque debemos ejercer para sostener el peso en equilibrio?. Podemos verificar experimentalmente que para equilibrar el peso de un objeto con una polea fija, deber ejercer, en la cuerda que pasa por la polea, una fuerza igual al peso del objeto, generalmente una polea fija no altera el avlor de la fuerza aplicada y slo modifica su direccin o su sentido, entonces, la fuerza que acta en el hilo AB tiene el mismo valor de la fuerza aplicada por la mano de la persona, as, en la polea mvil tenemos dos fuerzas que equilibran el peso suspendido: las tensiones en los hilos AB y CD, estando ste sujeto al techo. Por simetra, estas fuerzas deben tener el mismo valor F y para que exista equilibrio debemos tener: 2F = 100kgf de donde F = 50 kgf. TERCERA LEY DE NEWTON Siempre que aparece una fuerza hay una interacin de dos cuerpos y la fuerza es solamente un aspecto de dicha interaccin, si observamos que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro el segundo ejerce sobre el primero una fuerza que tiene la misma direccin, el mismo mdulo y sentido contrario a la primera, es imposible, por consiguiente, la existencia de una fuerza nica, aislada, las dos fuerzas que aparecen en cada interacin de dos cuerpos se llama accin y reaccin, pero no debe suponer que exista una diferencia en su naturaleza o que una sea obligatoriamente la causa y que la otra sea el efecto. Cualquiera de ellas podra considerarse indistintamente como la accin o la reaccin, esta propiedad fue estudiada por Newton, quien a raz de esto enunci su tercera ley : Para cada accin existe una reaccin igual y opuesta. En otras palabras podramos decir: si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, ste ejerce sobre A una fuerza del mismo mdulo, de la misma direccin y sentido contrario. Para ilustrar la ley de accin y reaccin, consideremos algunos ejemplos muy comunes en nuestra vida diaria: 1.-si una persona empuja con su dedo verticalmente hacia abajo, la superficie de una mesa, con una fuerza F la superficie de la mesa, con una fuerza F,la superficie de la mesa empujar su dedo con una fuerza F hacia arriba, la fuerza F se denominara reaccin normal de la mesa. 2.-si un gancho est en una pared y una persona lo tira con una fuerza F, sentir que su brazo lo estn tirando con una fuerza F hacia la pared. 2.1.2.-Diagramas de cuerpo libre.

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Es la representacin mediante vectores a las fuerzas que intervienen en un sistema equilibrado. Por ejemplo para representar o ilustrar a la primera de Newton o tercera de Newton. 2.2.-Resolucin de ecuaciones. 2.2.1.-Fuerzas constantes. 2.2.2.-Fuerzas de resistencia y fuerzas de friccin. Al empujar un objeto con una fuerza pequea, muchas veces no se mueve, esto hecho es muy corriente y se puede concluir que si no sale del reposo, es porque la resultante de las fuerzas que actan sobre l es nula. Aparentemente, nuestro empujn es la nica fuerza que acta sobre l, pero es la nica fuerza no podra producir el resultado que observamos y nos vemos obligados a afirma que la superficie donde el objeto se apoya debe ejercer una fuerza igual y opuesta a nuestro empujn, entonces decimos que la fuerza se debe al roce, podramos empujar el objeto ms fuertemente y producir la salida de la posicin de reposo, durante el movimiento, si dejamos de empujar el objeto vuelve al reposo, lo que nos muestra que la fuerza de roce continuaba actuando en sentido contrario al movimiento, pues si as no fuese, sin que acte una fuerza sobre el aparato, debera continuar el movimiento con velocidad constante. Et trmino roce, sin embargo, se refiere a fuerzas reales que se oponen a las fuerzas aplicada, para entender mas claramente las caractersticas de las fuerzas de roce, observamos lo que sucede cuando intentamos mover una caja sobre una superficie horizontal. Al principio la caja esta quieta, luego una fuerza horizontal acta sobre ella y cuando se empieza a empujar la caja sigue detenida porque el suelo ejerce una sobre ella una fuerza de roce que equilibrada el empujn, al aumentarse ligeramente el empujn la fuerza de roce crece y la caja permanece quieta, por lo tanto la fuerza es variable y cuando la caja est quieta es igual al empujn, finalmente con un mayor esfuerzo, la caja comienza a moverse, lo que indica que el esfuerzo sobrepas la fuerza de roce, entonces la fuerza de roce crece hasta un valor mximo que no sobrepasa. Se observa que para mantener el movimiento uniforme despus de iniciado, debemos aplicar una fuerza un menor que aqulla con que se inici el movimiento. Entonces, como es necesario aplicar cierta fuerza para que se mantenga uniforme el movimiento concluimos que las fuerzas de roce se manifiestan incluso durante el proceso de movimiento. Las fuerzas de roce que actan cuando el cuerpo est quieto se llaman fuerzas de roce esttico fe,la mayor fuerza de roce esttico o la fuerza de roce esttico mxima feMAX es aquella que acta en el instante en que el movimiento est casi empezando. Si empujamos el cuerpo con una fuerza un poco mayor que el roce mximo, el movimiento se llama fuerza de roce cintico fc, siendo posible concluir segn el ejemplo citado que sta es un poco menor que la fuerza de roce esttica mximo. Para dos superficies cualesquiera, se demuestra experimentalmente que la fuerza de roce esttica mxima entre ellas es prcticamente independiente del rea de contacto y es proporcional a la fuerza normal que tiende a juntar las dos superficies;es decir, cuando mayor es la compresin del cuerpo sobre la superficie, mayor ser feMAX, entonces,

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siendo N el valor de la reaccin normal de la superficie sobre el bloque(que de acuerdo a la 3 ley de Newton , es igual a la compresin citada), tenemos FeMAX N feMAX = eN Siendo la constante de proporcionalidad e denominada coeficiente de roce estatico. Las mismas verificaciones pueden efectuarse experimentalmente para el roce cintico, se observa que las fuerzas de roce cintico son prcticamente independiente de la velocidad. Si fc es la fuerza de roce cintico y N es la fuerza normal, podemos escribir. fc = cN donde c se llama coeficiente de roce cintico: ec son relaciones entre dos magnitudes de la misma especie y decimos que son constantes sin dimensin. Usualmente para un par de superficies dadas, e >c. Los valores tanto de e como de c dependen de la naturaleza de ambas superficies en contacto, siendo mayores cuando las superficies son speras y menores cuando las superficies son pulidas. La lubricacin disminuye los valores de e y cpara dos superficies dadas. Cuando un objeto bajo la accin de una fuerza horizontal, se mueve sobre un plano horizontal, la fuerza normal que lo comprime contra el plano es su peso, ver la figura siguiente: V17 FeMAX = eP fc=cP

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Ejemplo. Ver la siguiente figura: V18 El bloque de la figura anterior pesa 20kgf. Los coeficientes de roce entre las superficies valen e = 0.40 c=0.20 a.- ejerciendo sobre el bloque de la figura anterior una fuerza F de 5 kgf, verifiquemos que permanecen en reposo.cul es la fuerza de roce esttico fe que est actuando sobre el bloque? Como el bloque permaneci en equilibrio, conclumos que fe anul a la fuerza F y por lo tanto tenemos fe= 5 kgf. b.-cul debe ser el valor mnimo de F para que el bloque salga del reposo? La fuerza de roce estatico mximo vale feMAX =eN y como en este caso N=P=20 kgf, tenemos. FeMAX = eN = 0.40 X 20kgf de donde feMAX = 8kgf Para que se inicie el movimiento debemos vencer la fuerza feMAX. Por lo tanto debemos ejercer la fuerza F de 8kgf( o un poco un poco mayor de 8 kgf) c.-una vez que se inici el movimiento.cul debe ser el valor de F para mantener el bloque en movimiento uniforme? Durante el movimiento, est actuando la fuerza de roce cintico que vale Fc=cN = 0.20 x 20kgf =4 kgf. Por lo tanto, para que el movimiento sea rectilneo y uniforme, la fuerza F deber ser exactamente igual y contraria a fc(1. Ley de Newton), esto es, la fuerza debe ser de 4 kgf. Ejemplo

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Un bloque se coloca sobre un plano de inclinacin variable , ver figura siguiente: V19 Si se hace crecer continuamente a partir de cero, se verifica que para cierto valor de , en bloque que estaba en reposo comienza a descender. Demostrar que el valor en que esto sucede es tal que tg = e. Las fuerzas que actan sobre el bloque son: su peso P, la reaccin normal N del plano y la fuerza de roce esttico fe, hagamos pasar los ejes Ox y Oy representados en la figura por el bloque y proyectamos las fuerzas sobre estos ejes. Para un ngulo un poco menor que , el cuerpo estar todava en equilibrio y como el movimiento se est casi iniciando, la fuerza fe habr alcanzado su valor mximo feMAX, entonces, como el sistema est en equilibrio, podemos escribir: Fx = 0 eN Psen = 0 esta ecuacin nos dice que la fuerza de roce est equilibrado la componente Psen, del peso. Tambin Fy = 0 N - Psen =0 Observe que, en este caso,la reaccin norma no es igual al peso del cuerpo, pues N=Pcos Entonces eN = P sen y N = P cos Luego: e = tg

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En conclusin, el bloque, independientemente de su peso, comienza a descender en el plano inclinado cuando el ngulo de inclinacin es tal que su tangente es prcticamente igual al coeficiente de roce esttico entre el bloque y el plano. . 2.4.-Aplicaciones a movimiento curvilneo. Anteriomente se analiz la cinemtica del movimiento circular uniforme, esto es, aunque el vector velocidad tuviera mdulo constante, su direccin est variando constantemente, pues la trayectoria es circular. Esta variacin en la direccin del vector velocidad implica la aparicin de una aceleracin que se denomina aceleracin que se denomina aceleracin normal, aN o centripeta ac, cuya direccin en cada punto, es la del radio de la trayectoria y apuntando siempre de la curva siguiente: vi-17 Su mdulo: ac = v/R donde v representa el valor de la velocidad del cuerpo y R es el radio de la circunferencia que el mvil describe. Para que el cuerpo tenga aceleracin centrpeta, es necesario que acte sobre l una fuerza que produzca esta aceleracin, esta fuerza, responsable de la aceleracin. Esta fuerza, responsable de la aceleracin centrpeta Fc. Por la 2. Ley de Newton, sabemos que una fuerza tiene la misma direccin y sentido que la aceleracin que produce. Entonces Fc, tal como ac, tiene direccin radial y apunta al centro de la trayectoria, ver figura b:

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vi-18 Siendo m la masa del cuerpo en movimiento, el mdulo de Fc es : Fc=mac o Fc= m v/R Entonces, en todo movimiento circular acta sobre el cuerpo una fuerza con las caractersticas dadas arriba. Es esta fuerza centrpeta la que obliga al cuerpo a cambiar continuamente la direccin de su velocidad dando origen a l a aceleracin centrpeta. La fuerza centrpeta podr ser ejercida sobre el cuerpo por medio de una cuerda estirada o a travs de la atraccin gravitacional entre la tierra y el cuerpo(en l caso de satlites artificiales) o podr ejercerse por un campo magntico sobre una partcula cargada, como se ver cuando se estudie electromagnetismo. Si esta fuerza dejase de actuar sobre el cuerpo, su velocidad permanecera constante en direccin y el movimiento pasara a ser rectilneo. Probablemente ya noto esto cuando una piedra que gira sujeta a un hilo, se sigue moviendo segn la tangente de la curva al romperse el filo v-19

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Es importante reconocer en cada problema, que fuerzas representan la fuerza centrpeta que actan sobre el cuerpo, esto es qu fuerzas son responsable por el cambio de direccin de la velocidad. Para ello analicemos algunos ejemplos : Suponga que un cuerpo gira sobre una mesa horizontal lisa, sujeto a un clavo por medio de un hilo(ver figura). vi-20 Sobre el cuerpo actan la tensin T del hilo la reaccin N de la mesa y el peso mg del cuerpo. Como N y mg son verticales, no tienen componentes en la direccin radial, de modo que la resultante de las fuerzas en esa direccin se representan por la tensin T. esta representa por lo tanto, la fuerza centrpeta la tensin ser determinada por la relacin: T = mv/R

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Si la masa del cuerpo es de 0.5 kg. Su velocidad de 5 m/s y el radio de la trayectoria de 1m, la tensin en el hilo ser: T=0.5kg(5m/s)/1m= 12.5N El hilo estar ejerciendo constantemente sobre el cuerpo una fuerza de 12.5N, perpendicular a su velocidad. Ejemplo Consideremos un cuerpo que gira en la cara interna de un aro vertical, de forma circular, la siguiente figura: vi-21 Muestra el cuerpo cuya masa es m, en varias posiciones, durante su movimiento. En cualquiera caso, actan sobre el cuerpo su peso mg y la reaccin normal N del aro(estamos suponiendo despreciable el roce), consideramos siempre el sentido hacia dentro como positivo, en el punto (1), mg y n son ambas verticales y del mismo sentido. Luego la resultante en la direccin del radio(normal a la trayectoria) es N +mg, esta representa por la fuerza centrpeta en el punto (1).tendramos entonces para este punto: N + mg= Fc o N + mg = mv/R

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En los punto (2) y (5) la fuerza centrpeta se represnta slo por la reaccin normal N, ya que en estos puntos el peso del cuerpo no tienen componente radial. Tendramos entonces en (2) y (5): N = m v/R Donde v representa la velocidad del cuerpo en estos puntos. En el punto (3), la resultante(fuerza centrpeta) es Fc = N mg, de donde concluimos que: N mg = mv/R Donde v es la velocidad del cuerpo en el punto (3), creemos que al entender bien estos ejemplos, podr recocerse siempre la fuerza o las fuerzas que representan la fuerza centrpeta, esto es aquellas fuerzas que son responsables por el cambio en la direccin de la velocidad del cuerpo.ud. est de acuerdo que en la posicin(4) la fuerza centrpeta se representa por N-mgcos?. 2.5.-Momento de una fuerza. Que es el momento? Sabemos que las fuerzas transfieren energa y momento lineal , tofos hemos tratado en alguna ocasin de abrir con cierta prisa una puesta pesada y sabemos, intuitivamente, la forma en que las fuerzas transfieren momento angular. Si se aplica una fuerza moderada F1 a la puerta de un almacen, ver figura 9.17

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Como siempre, en la orilla opuesta a sus goznes, la puerta acelera rpidamente y se puede pasar de inmediato. Si equvocamente, se aplica una fuerza F2 cerca de los goznes, la experiencia es dolorosa, aunque la fuerza F se aplique en el lado correcto de la puerta, no esperamos que suceda algo, excepto comprimir la puerta contra sus goznes, la estrategia es ejercer la fuerza en direccin perpendicular a la puerta, a la distancia mxima de los gones. El momento es el producto de la componente perpendicular de la fuerza por la distancia, y es lo que hace que la puerta gire y nos deje el paso libre.la fomula que no da esto es: M = Fx d f.- fuerza aplicada en N d.- distancia en m. Ejemplo: Un pndulo est formado por una bola de masa M=0.50 kg. Colgada de una varilla de longitud l= 0.5m y cuya masa es despreciable, cuando el pndulo forma un ngulo con la vertical, cul es el momento que se ejerce alrededor de punto de pivoteo?

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Diagrama de cuerpo libre: O

Mg

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M= l Mg seno = 0.50x0.50 x 9.8 x seno30 = 1.2 N.m 2.5.1.-Centro de masa y momento de inercia de un cuerpo rgido. Centro de gravedad y centro de masa. Si alguien nos pide mantener en equilibrio un palo de golf horizontal sobre un dedo, ya sabemos qu hacer. El palo no estar en equilibrio si el dedo se coloca en el centro, as que recorremos el dedo hacia el extremo ms pesado. Al final se consigue ubicar el punto donde se equilibra el palo, su centro de gravedad(CG), es relativamente fcil sostenerlo. Todo objeto tiene un solo centro de gravedad, aunque en algunos casos se requiere mucha destreza para localizarlo, como por ejemplo en una calabaza, esta se puede soportarla teniendo cualquier orientacin : con el rabo hacia arriba , horizontal o con el dedo en el rabo etc. en este punto(CG) es donde se centra el peso de la calabaza. El centro de gravedad de un objeto es el punto nico respecto al cual las fuerzas de peso que actan sobre el objeto causan momento cero, independientemente de cmo est orientado el objeto. Centro de masa. Cuando determinamos el centro de gravedad de la varilla aplicando el equilibrio de pares, se elimin de la ecuacin el factor de g y qued una relacin entre masas y distancias. As, el centro de gravedad es la versin intuitiva de un concepto ms fundamental: CENTRO DE MASA(CM), podemos considerar que el centro de gravedad de un objeto es la ubicacin promedio de su peso. Su centro de masa es la ubicacin promedio de su masa. CON EL CENTRO DE MASA EN EL ORIGEN,LA SUMA DE LA MASAS m DE LAS PARTICULAS MULTIPLICADA POR SUS VECTORES DE POSICIN 0= m rCM ejemplo cuatro nadadores, cuyas masa son 35kg., 41kg., 54kh., y 63kg se sientan en las esquinas de una balsa cuadrada de 2 de ladodnde est el centro de masa de ese grupo?(ver figura)

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9.26 Modelo.- las partculas en este sistema son las cuatro personas. Como se proporcionan sus posiciones en el plano hrozontal sin informarnos sus tamaos, no podemos decir nada acerca de las posicin vertical(z) de su CM. Planteamiento.-trabajamos por separado con las componentes x y y de rCM usando el sistema de coordenadas que vemos en la figura anterior. xCM = m x/m = 54kg(0m) +63kg(0m) + 35kg(2m) + 41kg(2m)/35+41+54+63=0.79m yCM=54(0)+41(0)+63(2)+35(2)/193=1 anlisis.- an cuando los datos tenan dos cifras significativas, debemos dar las respuestas slo con una : xCM= 0.8 m, yCM= 1m. Los tamaos de las personas y la exactitud con la que pueden sentarse en las esquinas de la balsa hacen que carezca de sentido una segunda cifra significativa. 2.5.2.-Movimiento de rotacin de un cuerpo rgido. Por el momento analizaremos en esta seccin el equilibrio de un cuerpo extenso, que no puede considerarse como una partcula, este cuerpo ser rgido, esto es, que no experimenta deformaciones, como una barra de heirro, un pedazo de madera o una piedra. En realidad, ninguno de estos cuerpos es perfectamente rgido, pero las deformaciones que ellos experimentan son en general muy pequeas y pueden despreciarse. Estamos pues idealizando una situacin y, como ya dijimos, es justamente estudiando el comportamiento simple de cuerpos ideales como se logra comprender el comportamiento ms complejo de cuerpos reales(deformables). Al analizar el caso de una partcula, obtenemos la condicin de equilibrio siguiente: R=0 Fx=0 Fy=0

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Trataremos ahora de determinar cules son las condiciones de equilibrio de un cuerpo rgido. Podra suponerse desprevenidamente que un cuerpo rgido estara en equilibrio al tener Fx=0 y Fy=0, como el caso de partculas. Sin embargo, estas condiciones son necesarias, pero no son suficientes. La razn es que, para una partcula el nico movimiento posible es el movimiento de translacin, ver siguiente figura: v-20 Pues el concepto de partcula implica que no es posible pensar en una partcula que gire alrededor de un eje que pase por ella misma o, en otras palabras teniendo en cuenta sus dimensiones insignificantes, prcticamente Se desprecia su movimiento de rotacin.adems para un cuerpo rgido, tenemos que considerar el movimiento de traslacin y el movimiento de rotacin, ver la siguiente figura. V20b Observe que, si el cuerpo rgido tiene las condiciones : Fx=0 Fy=0

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estamos asegurando slo su equilibrio de translacin, es necesario tambin asegurar el equilibrio de rotacin. Para ello hay que analizar el concepto de momento de una fuerza(o, torque) y se descubrir el equilibrio de rotacin. La siguiente figura muestra un cuerpo rgido que puede girar alrededor de un eje por O. V21 Suponga que una fuerza F sea aplicada en el punto A. Como punto O est fijo, dicha fuerza har que el cuerpo gire alrededor de O. Si llamamos d a la distancia(perpendicular) entre O y F de la figura o sea entre el eje de rotacin y la lnea de accin de la fuerza F el momento(torque) de la fuerza F en relacin con el eje O ser: M=F.d El concepto de momento es de gran importancia porque es una medida del efecto de rotacin que una fuerza producira al ser aplicada sobre un cuerpo rgido. de hecho por su experiencia diaria ud. sabe que el efecto de rotacin de una fuerza depende del valor de la fuerza y de la distancia de su lnea de accin al eje de rotacin, recuerde por ejemplo que cuando cierra una puerta: si ud. aplica una fuerza F en el punto medio de ella.ver la siguiente figura V22

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Le imprime cierta rotacin, pero, si aplica la misma fuerza en un extremo(ms distante del eje de rotacin),la puerta se cerrar con ms facilidad pues ha adquirido una rotacin mayor. Para tratar de describir el fenmeno note que en el segundo caso la distancia de la fuerza al eje de rotacin en mayor, es decir era mayor el momento aplicado a la puerta. Otro ejemplo:cuando se cambia la rueda de un automvil con una llave corta,ver la siguiente figura. V23a Y no puede soltar fcilmente las tuercas, sencillamente alargando el brazo de la llave, o sea aumentando la distancia d de llave de la figura anterior, puede lograrlo. La fuerza aplicada por la persona fue la misma en los dos casos, pero al aumentar d lo que aumenta es el momento de la fuerza, esto es su momento o torque o poder de rotacin. Supongamos, que una fuerza se aplique a un cuerpo rgido como la fuerza F1, aplicada a la barra rigida de la siguiente figura: V25 Tal fuerza posee un cierto momento que producir una rotacin de la barra en sentido contrario a las manecillas del reloj, bajo, la accin solamente de F, la barra tendra una rotacin acelerada y no estara en equilibrio de rotacin. Si

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deseamos dejar la barra en equilibrio de rotacin habra que anular el momento de F1 aplicando una fuerza F2 que tenga un momento del mismo valor que F1 y que produzca rotacin contraria o sea el sentido de las manecillas del reloj, generalmente se considera un momento positivo cuando tiende a producir rotacin en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo viceversa, en conclusin, para colocar a la barra de la figura anterior en equilibrio d rotacin, es preciso que la suma algebraica de los momentos de las fuerzas que actan en la barra sea nula, esto es, debemos hacer que M=0. en estas condiciones el cuerpo rgido no est girando o gira en rotacin uniforme y por lo tanto, est en equilibrio de rotacin. Llegamos as a las condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rgido: Fx=0 Fy=0 M=0 Recprocamente, si tenemos un cuerpo rgido en equilibrio sabemos que las fuerzas que sobre l actuan(ver la siguiente figura): V26 Tienen valores y direcciones tales que se cumplen las tres ecuaciones arriba indicadas. Como tenemos tres ecuaciones con las fuerzas actuantes, podemos determinar el valor de tres incgnitas del problema(mdulo o direcciones de las fuerzas).

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UNIDAD 3 TRABAJO, ENERGIA CINTICA Y CONSERVACIN DE ENERGA. 3.1.-Concepto de trabajo. 3.1.1.-Calculo del trabajo para diferentes fuerzas. 3.2.-Teorema del trabajo y la energa. OBJETIVO.- El alumno aplicara los conceptos de trabajo y energa en la solucin de problemas de movimiento de los cuerpos. Supongamos que un cuerpo se desplaza en lnea recta sobre una mesa horizontal sometido a la accin de una fuerza F aplicada al cuerpo de la siguiente figura viii-1 Se puede observar varias situaciones que la fuerza acta en la direccin de la velocidad o no, que la velocidad del cuerpo aumente, que se mantenga constante o disminuya, lo cual depende de la direccin y del sentido de F y de la existencia o no de otras fuerzas que actan sobre el cuerpo, etc. En todas estas situaciones sin embargo, si la fuerza F desplaza un cuerpo en una distancia d decimos que la fuerza F realiza un trabajo, el cual vamos a designar por W y que est definido por la relacin. W=F cos . d

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Donde F representa el mdulo de la fuerza, es el ngulo que la direccin de la fuerza F forma con la direccin del desplazamiento(fig b) y d es el mdulo del desplazamiento del cuerpo. Observe que hasta ahora hemos usado en la definicin magnitudes qye ya conocemos como magnitudes vectoriales(la fuerza y el desplazamiento) y solo hacemos referencia a sus mdulos, de modo que el trabajo es por definicin, una magnitud escalar. El concepto vulgar que se tiene de trabajo es muy diferente de la definicin de trabajo que acabamos de dar, esto es, no coincide con el significado fsico de esta palabra. Es corriente escuchar a una persona decir que he trabajado mucho, pero desde el punto de vista fsico no ha realizado ningn trabajo. En fsica para que se realice un trabajo sobre un cuerpo es necesario que este cuerpo se desplace en la direccin de la fuerza que acta sobre l o en la direccin de una componente de esta fuerza. Si una persona sostiene un objeto pesado haciendo una fuerza igual al peso del objeto para equilibrarlo y se mantiene en esta posicin por mucho tiempo, aunque se canse mucho n o estar realizando trabajo, puesto que la fuerza ejercida por la persona no est desplazando el objeto. Volvamos a la expresin: W = F(cos)d Que define el trabajo. El producto F cos , ver la siguiente figura. viii-3

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Es el valor de la componente Fd, de la fuerza F, en la direccin del desplazamiento. Por lo tanto la ecuacin que defina el trabajo, podr, ser escrita en la forma: W = Fd.d Esto es, el trabajo de una fuerza puede ser el producto de la componente de la fuerza en la direccin del desplazamiento por el mdulo de este desplazamiento. As, si una fuerza F acta sobre un objeto que experimenta un desplazamiento d, el trabajo de F depender de la direccin de F( o sea, del valor de la componente de F en la direccin del desplazamiento) como se muestra la expresin : W = F(cos )d. si es nulo(figura a), esto es, si la fuerza acta en la direccin y sentido del desplazamiento, la expresin se simplifica: W=Fd, si es igual a 90, es decir, si la fuerza acta perpendicular a la direccin del desplazamiento, su trabajo es nulo puesto que cos 90 =0. an, si est comprendido entre 0 y 90( 0 menor o igual menor 90), W ser un nmero positivo( puesto que en este caso, cos es positivo)en tanto que, si fuera mayor que 90, el trabajo realizado por la fuerza F sera negativo(fig. c), tenemos =180 y por lo tanto, el trabajo all es negativo. Si el mdulo de F fuera medido en newtons y el desplazamiento en metros, el trabajo ser expresao en joules. Una fuerza de 1N que hiciera deslizar un cuerpo i m en la direccin y sentido de la propia fuerza, ver la siguiente figura viii-4 Se realizara un trabajo de 1 joule esto es:

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W = 1N X 1m = 1Nm = 1 loule = 1J. El joule representa por lo tanto, la unidad de trabajo en el sistema MKS. El trabajo de una fuerza slo podr ser calculado mediante la ecuacin W=Fd.d, si la fuerza que realiza el trabajo fuera constante. S a medida que un cuerpo se desplaza, la fuerza F variara en mdulo o en direccin, la componente Fd sufrir variaciones. Suponga entonces, que Fd vara de acuerdo con el grafico indicado en la siguiente figura: viii-5 Mientras el cuerpo se desplaza de A hasta pequeos desplazamientos durante los cuales Fd permanece prcticamente constante. Cuando el cuerpo experimenta uno de estos pequeos desplazamientos representado en la figura anterior por d, el trabajo vale Fd.d. este trabajo, en la grafica anterior, est representado por el rea rayada. El trabajo total realizado por la fuerza F desde este punto A hasta punto B, ser calculado por la suma de los trabajos realizados en cada desplazamiento d. Estar entonces, representado en la grafica anterior por el rea total bajo la curva, desde el punto A hasta el punto B. El trabajo de una fuerza variable ser calculado a travs del rea bajo la curva Fd X d. Onserve que en la definicin de trabajo no se ha tenido en cuenta el tiempo transcurrido durante la realizacin del trabajo. As, al arrastrar un cuerpo sobre una superficie horizontal con una fuerza tambin horizontal de un mdulo igual a 10N, dando al cuerpo un desplazamiento de 7.5 m, habremos realizado un trabajo: W= 10N X 7.5m = 75 J. Usted puede imaginar que una misma fuerza se puede aplicar a un cuerpo de masa mayor en tal forma que adquiera una aceleracin menor, gastando ms

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tiempo para desplazarse, o sea los mismos 7.5 m. A pesar de esto el trabajo realizado por la fuerza aplicada ser todava 75J. En la vida prctica sin embargo, la rapidez con que se realiza un trabajo puede ser de gran importancia. Entre dos mquinas que realizan el mismo trabajo con la misma perfeccin, preferimos siempre la ms rpida. Para medir esta rapidez en la realizacin de un trabajo, se define una magnitud de potencia P. P=W/t Donde W es el trabajo realizado por una fuerza y de t el intervalo de tiempo en el cual se realiza el trabajo. La unidad de potencia en el sistema MKS es el Watt, que representa 1joule/segundo, as si un trabajo W = 75J se realiza en un tiempo t= 5s, tendremos una potencia P=75j/5s= 15 watts. Cuando decimos que una mquina tiene una potencia de 15 watts, estamos indicando que en cada segundo, puede realizar un trabajo de 15 joules. Probablemente usted ha odo decir que cierta mquina hidroelctrica es capaza de generar 300 mil kilowatts.qu significado tiene esta expresin?. Ejemplo: cul es el trabajo que debemos realizar para elevar con velocidad constante, un cuerpo de masa m=10kg.hasta una altura h=3m. Tenga en cuenta que: 1.-el cuerpo es elevado verticalmente. 2.-el cuerpo es arrastrado sobre un plano inclinado, cuya longitud es de 5 m sin roce, por una fuerza paralela al plano. En el primer caso, ver figura a,debemos aplicar una fuerza F igual y contraria al peso del cuerpo, luego: F=mg= 10kg X 9.8 m/s = 98N. Fig.viii-6

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Como el ngulo ebntre F y el desplazamiento es nulo, el trabajo que debemos realizar ser: W= F X h = 98N X 3m = 294J. En el Segundo caso(ver figura b) para arrastrar el cuerpo sobre el plano con velocidad constante, ser necesario aplicar una fuerza igual y contraria a la componente mg( sen) del peso del cuerpo, esto es, debemos aploicar una fuerza F= mg(sen) Pero: Sen= h/AB= 3m/5m = 0.6 Entonces: F= 10kg X 9.8 m/s X 0.60 = 58.8N Observe que para elevar verticalmente el cuerpo debamos ejercer una fuerza de 98 N, en tanto que usando el plano inclinado conseguimos elevarlo

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empleando una fuerza de apenas 58.8 N el trabaj que debemos realizar ahora. W= F X AB Pues nuevamente es nulo el ngulo de la fuerza con el desplazamiento del cuerpo: As: W= 58.8 N X 5 m= 294J. Se trata del mismo trabajo que realizamos para elevar el cuerpo verticalmente. El plano inclinado nos permite aplicar una fuerza menor, pero debemos recorrer una distancia mayor hasta alcanzar la altura h. De esta manera, se deber realizar el mismo trabajo en ascenso vertical que a lo largo de un plano inclinado. . 3.2.1.-Concepto de energa cintica. 3.2.2.-Aplicaciones. Dentro de los conceptos que hemos tocado en el estudio de la Fsica, el de energa es uno de los ms importantes, aunque es difcil de definir, en pocas palabras, su concepto es bastante familiar y con frecuencia lo empleamos en el lenguaje cotidiano. Es corriente escuchar frases como stas:va a faltar energa elctrica, dentro de algunos aos estaremos consumiendo energa atmica, el enfermo est recuperando sus energas, etc. frases que usted comprende, a pesar de no saber a fondo el significado de la palabra energa. Algunas personas acostumbran a introducir el concepto diciendo que la energa representa la capacidad para realizar un trabajo. Estamos de acuerdo en que esto constituye por lo menos, un principio en el estudio de la energa, como estamos haciendo ahora, un cuerpo o un sistema cualquiera tendra energa cuando pudiera realizar un trabajo. La energa que encierra el sistema seria medida por el trabajo que el sistema es capaza de realizar. Si por ejemplo ud. dispone de una batera de automvil puede conectarla a un motor elctrico y ste podra levantar cierto peso.. una batera por lo tanto es un sistema que posee energa, pues realizar un trabajo al levantar el peso. Si la batera se usara continuamente hasta descargarla en su totalidad. Es evidente que si la energa de un sistema se mide por el trabajo que l pueda realizar, tambin debe ser una magnitud escalar y como el trabajo, medirse por el sistema MKS, en joules. Suponga ahora, que un cuerpo de masa m, se estuviera moviendo con velocidad v, como se indica en la figura siguiente(a)

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viii-8 si este cuerpo en movimiento estuviese ligado con una polea y una cuerda a otro cuerpo(ver figura b). viii-8b Aqul podr levantarlo a cierta altura hasta que su velocidad se anule. El cuerpo en movimiento capaz de realizar un trabajo, posee por lo tanto cierta cantidad de energa. Esta energa, que un cuerpo posee en virtud de su movimiento se denomina energa cintica. Representaremos la energa cintica de un cuerpo por Ec. La energa cintica, estando ntimamente relacionada con el movimiento del cuerpo, es una forma de energa mecnica. Procuraremos analizar ms detalladamente la energa cintica de un cuerpo y de obtener una expresin matemtica que nos permita calcular su valor Para llegar a este resultado, analizaremos primero algunos hechos importantes relacionados con la figura siguiente: viii-9

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En esta figura representamos una partcula de masa m, que pasa por el punto A con la velocidad VA. Supongamos que la partcula est bajo la accin de varias fuerzas que combinadas, forman una resultante R, constante, que acta paralelamente a la direccin del movimiento. Sobre la partcula pueden actuar su peso, la reaccin normal de la superficie, fuerzas de roce o fuerzas ejercidas por cuerdas que jala una persona. Estas fuerzas son las que originan la resultante R. Bajo la accin de R , la partcula tendr un movimiento variado desplazndose una distancia d y alcanzar el punto B con una velocidad VB. Durante este desplazamiento el trabajo realizado por la resultante R, que representamos por WAB sera: WAB= R . d Si designamos por a a la aceleracin que R imprime a la partcula, tendremos R = ma, y como usted ya se enter, la velocidades VB y VA estn relacionadas por la eceuacin: VB = VA + 2ad. De donde concluimos que : d= VB - VA/2 al uasar este valor de d y la expresin para R dada por la segunda ley de Newton, se usarn en la relacion WAB= R . d, obtendremos: WAB = mvB - mvA La relacion anterior nos permite calcular el trabajo total realizado sobre la partcula desde el punto A hasta el punto B, si conocemos la masa de la partcula y sus velocidades en A y B. Aunque se haya obtenidos esta relacin, suponiendo que R fuese constante y el movimiento fuese rectilneo resulta verdadera en cualquier caso, aun cuando las fuerzas que actan sobre la partcula varan a lo largo de la trayectoria y esta trayectoria forma una curva complicada, la ecuacin: WAB = mvB - mvA

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Es una consecuencia importante de la segunda ley de Newton, observe que el trabajo total WAB, slo depende de las velocidades vA y vB( y evidente el valor de m), aunque nada sepamos de la resultante R o de la trayectoria de la partcula. Veamos ahora cmo estos resultados se relacionan con la energa cintica de un cuerpo. Imaginemos que un cuerpo de masa m se mueve con la velocidad v , como se muestra en la siguiente figura: viii-10 Este cuerpo posee por lo tanto, cierta energa cintica Ec, suponga que mediante un proceso cualquiera, el cuerpo llegue al reposo. Imagnese, por ejemplo que sujetamos a l un segundo cuerpo como se muestra en la siguiente figura: viii-10b O que choc con un resorte y lo comprimi. En ambos casos, el cuerpo en movimiento realiza trabajo y termina por alcanzar el reposo. El trabajo se realiza en virtud de la energa cintica Ec que el cuerpo posea y como alcanza el reposo, toda su energa cintica es utilizada en la realizacin del trabajo. Por lo tanto, si conseguimos calcular este trabajo realizado por el cuerpo, estaremos calculando la energa cintica que posea en el instante en que estaba movindose con velocidad v. Considerando el punto donde el cuerpo alcanz el reposo como el punto B, podemos calcular el trabajo total efectuado por el cuerpo. Tendremos evidentemente, la expresin obtenida anteriormente:

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WAB = mvB - mvA = 0 - mv donde WAB = - mv. Este es el trabajo total realizado sobre el cuerpo hasta que se detiene. Podra representar el trabajo hecho, por la fuerza ejercida por el cuerpo suspendido y atado a l o por la fuerza ejercida por el resorte que lo fren. Si tenemos en mente ahora la tercera ley de Newton, notaremos que en cuanto el cuerpo era frenado, reaccionaba sobre el agente retardador( el resorte por ejemplo) con una fuerza igual y contraria. Entonces a medida que iba detenindose, el cuerpo realizba un trabajo del mismo valor, pero de signo contrario al trabajo realizado sobre l, esto es, el cuerpo realiz un trabajo hasta detenerse: WAB = mv Siendo ste el trabajo que el cuerpo puede realizar en virtud de su movimiento, representa exactamente su energa cintica. Concluimos que si un cuerpo de masa m se est moviendo con la velocidad v, posee una energa cintica Ec, dada por: Wc = mv En consecuencia la energa cintica del cuerpo depende slo de su masa y del mdulo de su velocidad. Si por ejemplo, la masa de un cuerpo en moviento es m= 2 kg y se mueve con la velocidad V= 8 m/s, su energa cintica vale : Wc = mv = 2kg(8m/s) Esto significa que el cuerpo sera capaz de realizar un trabajo de 64 J, si por un motivo cualquiera, fuera llevado a reposo. Una vez encontrada la expresin para la energa cintica de un cuerpo, volvamos a la relacion: WAB = mvB - mvA Uno se da cuenta entonces, de que mvA representa la energa cintica que el cuerpo posea al pasar por el punto A y mvB es la enera cintica con la que alcanza el punto B. Si representamos por EcB y EcA esas energas, podemos escribir: WAB = EcB - EcA Esta expresin que relaciona el trabajo realizado sobre un cuerpo con su energa cintica, es muy importante y usualmente se denomina teorema del

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trabajo-energa , que significa propiamente: el trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una particula. La variacin de la energa cintica de la partcula, ser representada por Ec= EcB EcA, de modo que : WAB=