apuntes geodesia fisica 2005

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  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    Apuntes de Geodesia Fsica

    Autora: Yolanda RubioModificado y actualizado por Martn Rodriguez ales

    !"gina #

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    ndice de contenido#$- %&'R()*CC%+& A ,A G().%A F/.%CA$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 6

    #$#$- )efinicin y o1eto de la Geodesia Fsica$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$6#$2$- )iferencia entre geodesia geo34trica y geodesia fsica:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#$$- Consideraciones 7istricas so1re la figura de la 'ierra y sus 34todos de estudio$$$$$$$$$$$$$$$$$$8

    2$- '(R/A ), !('&C%A,$ , CAM!( GRA%'A'(R%( 'RR.'R$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ##2$#$- ,ey de &e9ton de la Graitacin *niersal$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ##2$2$- Ca3po de fuerza ne9toniano$ %ntensidad de ca3po y potencial$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ##

    2$2$#$- Ca3po ne9toniano de1ido a una 3asa puntual:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ##2$2$2$- Ca3po ne9toniano de1ido a un siste3a de 3asas puntuales:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#2$2$$- Ca3po ne9toniano de1ido a un cuerpo e;tenso:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ #6$8$2$- - Moi3iento li1re si34trico Eeleacin y cada:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 0

    6$>$- Gra3etros$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$06$>$#$- Gra3etro lineal$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#6$>$2$- Gra3etros no lineales o ast"ticos$ Astatizacin$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 2

    6$>$2$#$- Correcciones a las 3edidas grai34tricas$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 6$>$2$2$- Correcciones:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 8

    $- .%.'MA. ) A,'%'*).$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$80$#$- %ntroduccin$ &I3eros o cota geopotencial$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$80$2$- Altitudes din"3icas$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 8#$$- Correccin din"3ica:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$82$

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    1.- INTRODUCCIN A LA GEODESIA FSICA

    1.1.- Definicin y obeto de !" Geode#i" F$#ic"

    l o1eto principal de la geodesia fsica es el estudio de la figura de la tierraH entendiendo por ello elestudio de su for3a y di3ensiones$ ste estudio puede considerarse 1ao dos aspectos:

    J Geomtrico: geodesia geo34trica$ A partir de 3edidas de ele3entos geo34tricos E"ngulos ydistancias so1re la superficie terrestre se 1usca deter3inar la superficie 3ate3"tica regular =uerepresente con suficiente precisin la figura de la tierra$ )esde el punto de ista pr"ctico lageo3etra de la tierra considera el elipsoide de reolucin =ue se define por dos par"3etrosgeo34tricos:

    aH1: se3iees 3ayor y 3enor a: se3iee 3ayor

    : aplanamiento geomtrico300

    1

    a

    ba

    =

    .o1re este elipsoide se realizan los c"lculos geod4sicos =ue llean al conoci3iento de lascoordenadas geod4sicas de puntos situados so1re la superficie terrestre =ue son:

    Cuando interienen las o1seraciones astron3icas tene3os las coordenadas astron3icas:

    ,a diferencia entre las dos altitudes es la ondulacin del geoide: 7KDL&J Dinmico: geodesia fsica$ l estudio de la figura de la tierra esta 1asado en el conoci3iento delca3po graitatorio terrestre lo =ue i3plica conocer gH la intensidad del $ca3po graitatorio terrestreHtanto en 3dulo co3o en direccin$ !odra3os deducir el potencial graitatorio terrestreH ya =ue:

    gradWg=

    $ l potencialH co3o 3agnitud escalarH es una funcin de un puntoH o ta31i4n pode3os

    utilizar las coordenadas esf4ricas:

    K E;HyHz KERH H - colatitud K 2

    Conociendo el potencial graitatorio pode3os definir las superficies e=uipotenciales o superficies

    !"gina 5

    g : latitud geodsica

    g : longitud geodsicah: altitud elipsoidal

    a : latitud astronmica

    a : longitud astronmica

    H: altitud ortomtrica (geoide)

    n- nor3al al geoiden- nor3al al elipsoide - desviacin de la vertical

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    12

    1 1s

    s

    =

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    de niel en las =ue E;HyHz K cte$ )el ca3po graitatorio terrestre tendre3os distintas superficiesde niel entre las =ue distingui3os K o correspondiente al geoide$,a lnea de la plo3ada es a=uella =ue corta perpendicular3ente a todas las superficiese=uipotenciales$ s una lnea cura y la longitud 3edida so1re ella desde el punto de la superficie al

    geoide es la deno3inada altitud orto34trica ED$ )os puntos so1re la 3is3a superficie de nieltienen el 3is3o potencial para distinta D$

    l o1eto de la geodesia fsica por tantoH es la deter3inacin del geoide Econocer su for3a y elconoci3iento de la funcin potencial del ca3po graitatorio terrestre $ ,a superficie li1re de losoc4anos idealizadaH =ue coincide con el niel 3edio de los 3ares en reposoH coincide con el geoide$

    1.%.- Dife&enci" ent&e 'eode#i" 'eo()t&ic" y 'eode#i" f$#ic"*

    n la geodesia geo34trica tene3os en cuenta las direcciones del ector graedadH ya =ue la

    3edicin del arco de grado se 1asa en la fr3ula ss 121 = donde las direcciones de la erticalen los e;tre3os del arco de 3eridiano s deter3inan el "ngulo 12 H =ue ta31i4n esta presenteen las fr3ulas necesarias para 7allarla en el 3dulo elipsdico:

    )(Rs 12 =

    1 1.Rs =

    n la geodesia fsica tene3os en cuenta los alores del 3dulo del ector graedad$ n este caso lafigura e;terior de la tierra de1e deter3inarse en funcin de la 3agnitud de la fuerza de graedadco3o resultante de las fuerzas de atraccin ne9toniana y centrfuga$,a fuerza centrfuga ara segIn la distancia del punto al ee de rotacinH ser" 3";i3a en puntos del

    cuadorH y nula en los polos$ 'a31i4n la fuerza de atraccin ne9toniana se e afectada por la for3ade dic7a superficie$ s decirH la for3a de la tierra influye so1re los alores de la graedadH por tantoHdel estudio de dic7os alores podr" deducirse la figura de la tierra$,a geofsica nace cuando &e9ton enuncia la ley de graitacin uniersal en #68$ A partir de a=use inicia el estudio e;peri3ental para deter3inar la fuerza de atraccin terrestre so1re la unidad de3asa =ue 7e3os lla3ado graedad terrestre y es la resultante de dos fuerzas coincidentes en3dulo pero no en di3ensiones Ereal3ente son intensidades de ca3po o aceleraciones:

    += C !!g

    ! - fuerza ne9toniana o graitacional

    C! - fuerza centrfuga

    !"gina 6

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    Galileo 3idi dic7a aceleracin o1teniendo un alor en gales: # galK # 2sg

    cmEC$G$.$

    ,os alores de la graedad so1re la superficie terrestre Ees decirH sin tener en cuenta las ariacionespor altitudH o lo =ue es lo 3is3o: considerando el alor de la graedad reducidos al geoide oscilan

    entre >8 y >8 gales$ sta ariacin de 5 gales es de1ida a la ariacin de la latitud$ Co3o alor

    3edio se utiliza >8# gales K >H8# 2sg

    m$

    ,a graedad ara dependiendo de la latitud y de la altura del punto$

    1.+.- Con#ide&"cione# ,i#t&ic"# #ob&e !" fi'&" de !" Tie&&" y ## ()todo# dee#tdio

    a3os a distinguir las distintas deter3inaciones de las di3ensiones de la tierra:1- Modelo esfrico:

    - !it"goras 7izo referencia so1re la redondez de la tierra$- ratstenes fue el pri3er gegrafo y geodesta =ue se 1as en o1seraciones astron3icas paradeter3inar las di3ensiones de la tierra$ n el solsticio de erano en .ienaH o1ser el 3o3ento en=ue la luz solar ilu3ina1a el fondo de un pozoH es decirH los rayos del sol incidanperpendicular3ente so1re la superficie terrestre$.e traslad a Aleandra Esituada apro;i3ada3ente so1re el 3is3o 3eridiano =ue .iena y a la3is3a 7ora del siguiente solsticio de erano o1ser y 3idi la proyeccin de la so31ra so1re elfondo de un pozoH de 3anera =ue conociendo la profundidad del pozoH y la longitud de la so31rapudo deter3inar de 3odo apro;i3ado el "ngulo con =ue los rayos del sol incidan so1re lasuperficie tg K p" H "ngulo e=uialente a la diferencia angularH con 4rtice en el centro de la

    tierraH entre .iena y Aleandra$ @ conociendo apro;i3ada3ente la distancia entre a31os lugaresdeter3in el radio de la tierra:

    =

    #R

    - )urante la dad Media se pierde todo inter4s por el conoci3iento de las di3ensiones de la tierra$ste inter4s resurge en el siglo N%$- n el siglo N%% se i3pulsan los 34todos de 3edida de las di3ensiones de la tierra 1asados en la3edicin de la longitud de un arco de un grado so1re un 3eridiano$ %ntentan de3ostrar laesfericidad de la tierra 1as"ndose en =ue si las 3edidas del arco de un grado realizadas a diferenteslatitudes son igualesH la tierra tendr" for3a esf4rica$Dolandeses y franceses realizan la pri3era 3edicin del arco de grado interesante$ ,a aplicacin de34todos de triangulacinH ta1las de logarit3os para c"lculos trigono34tricos y el desarrollo del

    anteoo para realizar o1seracionesH 3eoran e incre3entan la fia1ilidad de las 3ediciones$2- Modelo elipsdico:

    ,a idea surge despu4s de =ue &e9ton enunciara en #68 la ley de graitacin uniersal$ Duyggensy &e9ton tratan de encontrar en la fsica la e;plicacin y los 34todos para deter3inar la for3a dela tierra$&e9ton considera =ue en algIn 3o3ento la tierra fue fluidaH y de1ido al 3oi3iento de rotacin yla consiguiente fuerza centrfuga supone un alarga3iento del se3iee 3ayor correspondiente a laposicin ecuatorial$ !ropone el 3odelo de elipsoide de reolucin con ac7ata3iento polarH y llega aesta conclusin teniendo en cuenta sus conoci3ientos so1re la fuerza centrifugaH y la de atraccinentre las 3asas$ !resupone =ue la tierra es de densidad 7o3og4nea$ %ntent deter3inar las

    di3ensiones de los se3iees del elipsoideH y o1tuo un aplana3iento: 231

    1

    a

    ba

    =

    !"gina

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    m- masa

    v- velocidad radio de curvatura

    w- velocidad de rotacin terrestre = a

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    Duyggens consider toda la 3asa terrestre concentrada en su centro y calcul el aplana3ientoo1teniendo el alor de 2$%1 $.eguida3ente se intent co3pro1ar la alidez del 3odelo ne9toniano por el 34todo geo34tricoconsistente en la 3edicin del arco de un grado$ .i el 3odelo es correctoH de1en o1tenerse arcos de

    3ayor longitud a 3edida =ue au3enta la latitud$,a-fa3ilia Cassini en FranciaO E#00-##8H prolongan el arco de !icard E3edido so1re el3eridiano de !ars tanto 7acia el sur 7asta !olieu co3o 7acia el norte de !ars 7asta )un=uer=ueHrealizandoH por triangulacinH 3edida de su longitud$ ,os resultados o1tenidos contradicen el3odelo ne9tonianoH ya =ue la longitud del arco de #P en el sur es 3ayor =ue las o1tenidas paraposiciones de latitud superiorH y en 1ase a ello proponen un 3odelo con ac7ata3iento ecuatorial y$ensanc7ado por los polos$ !ara aclarar esta controersia organizan en el siglo s$N%%% dose;pediciones con el propsito de 3edir el arco de grado en latitudes e;tre3as:- #5-#

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    niel 3edio de los 3ares en reposo$- Aparecen otras figuras =ue contri1uyen al desarrollo de la grai3etria$ .toc?es a finales del siglo-N%N llega a una fr3ula integral =ue per3ite calcular la ondulacin del geoide por 34todosgrai34tricos$

    - ening Meinesz en #>2 co3o consecuencia de estudios tericos 1asados en la fr3ula de.toc?es propone calcular la desiacin de la ertical por 34todos grai34tricos$ Miden ano3alasde la graedad en 1ase a las cuales se pueden conocer tanto la ondulacin co3o la desiacin de laertical$- Molodens?y en #>

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    %.- TEORA DEL OTENCIAL. EL CA/O GRA0ITATORIOTERRESTRE

    %.1.- Ley de Neton de !" G&"2it"cin Uni2e"!

    ,a enuncia 1as"ndose en o1seraciones astron3icas a planetas en su giro alrededor del solH

    aceptado ya el 3odelo 7elioc4ntrico Eno geoc4ntrico$,a for3a de atraccin entre dos partculas o puntos 3ateriales 3 y 3H situados a una distancia ,H esproporcional al producto de las 3asas e inersa3ente al cuadrado de la distancia =ue las separa:

    2

    m.m*!=

    s una fuerza atractiaH su direccin es la de la lnea i3aginaria =ue une las dos 3asas y su sentidodepende de la posicin de las partculas$G es la constante de la graitacin uniersal y representa la fuerza =ue se eercen dos 3asasunitarias situadas a la unidad de distancia$ 'iene di3ensin de 3agnitud fsica:GS K 23122 +..,,..! = 2+..,! =,a pri3era 3edida de G la realiz Caendis7 en #>8 y su alor es:

    G=6$6#0##&32

    Tg2

    H en unidades del siste3a internacional$

    Co3o #&=#Tg3s2 entoncesH

    G=6$6#0## 3

    Tgs2

    'a31i4n podre3os calcularlo para el siste3a cegesi3al:

    G=6$6#08 dyc3

    2

    gr2

    H e;presado en ucgs$

    Co3o sa1e3os =ue una dina e=uiale a #dy=#grc3s2 H por tanto:

    G=6$6#08c3

    grs2

    !ara conocer nu34rica3ente la fuerza es necesario conocer el alor de esta constante$'oda partcula =ue se desplaza alrededor de otra con una relacin inersa3ente proporcional alcuadrado de la distanciaH lo =ue a a descri1ir es una elipse o una 7ip4r1ola segIn la energa$

    %.%.- C"(3o de fe&4" netoni"no. Inten#id"d de c"(3o y 3otenci"!.

    %.%.1.- C"(3o netoni"no debido " n" ("#" 3nt"!*

    .uponga3os una 3asa 3 situada en un cierto punto (UE -- $ .itua3os una 3asa unidad en unpunto !E;HyHz:

    !"gina #0

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    )efini3os la 3agnitud intensidad de ca3pon

    en ! co3o la fuerza atractia =ue la 3asa 3

    Eatrayente eerce so1re dic7a 3asa unidad a la distancia l$.egIn la ley de graitacin uniersal:

    2 l

    m

    .* ==

    donde )/--(/

    4

    i

    gradu.

    l

    m.*

    2

    =

    +

    +

    === es funcin ectorial del punto y

    tiene di3ensiones de aceleracin: 22

    s.m5g

    s.m.5g

    5g

    ==

    sta 3agnitud tiene car"cter ectorial$ !ara descri1irla nos ale3os de un ector unitario en la

    direccin (U! y cuyo sentido nos deter3ina el signo adoptado para

    H en este caso negatio$

    l

    lu

    = donde

    ++== )/(4)(i)(67l222 )/()()(l ++=

    ,as co3ponentes

    +

    +

    = l

    /4

    l

    i

    l

    u son los cosenos directores

    l

    cos

    = H

    l

    cos

    = y

    l

    /cos

    = $

    ,as e;presiones cartesianas del ector intensidad de ca3po ser"n:

    ===

    cos).(l

    m.*cos

    l

    m.*)(

    32

    ===

    cos).(l

    m.*cos.

    l

    m.*)(

    32

    ===

    cos)/.(l

    m.*cos

    l

    m.*)(

    32/

    )e3ostrare3os =ue este ca3po de fuerzas es conseratio o irrotacionalH es decirH deria de una

    funcin potencial$ !or tantoH e;iste una funcin potencial Efuncin de punto )/--(l

    m.* ==

    de naturaleza tal =ue grad =

    $

    !ara ello co3pro1are3os la identidad de cada una de las co3ponentes del ector grad con las delector intensidad de ca3po$

    !"gina ##

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    .upondre3osH a la 7ora de deriarH =ue la 3asa puntual 3 per3anece fia en sus coordenadas -- H siendo aria1le la posicin del punto !E;HyHz:

    322 )(l

    .m.*l

    l2

    )(2

    .m.*l

    l.m.*

    )l

    1

    .(.m.*

    )grad( =

    =

    =

    =

    =

    =

    322 )(

    l

    .m.*

    l

    l2

    )(2

    .m.*l

    l.m.*

    )l

    1.(

    .m.*

    )grad( =

    =

    =

    =

    =

    =

    /322/ )(

    l

    /.m.*

    l

    l2

    )/(2

    .m.*l

    /

    l.m.*

    )l

    1.(

    /.m.*

    /

    )grad( =

    =

    =

    =

    =

    =

    .e erifica as =ue grad =

    y se dice entonces =ue es un ca3po de fuerzas conseratio o

    irrotacional$

    .i considera3os la 3asa atrayente situada en el origen de coordenadas: 0=== $

    %.%.%.- C"(3o netoni"no debido " n #i#te(" de ("#"# 3nt"!e#*

    n este caso se aplica el principio de superposicin =ue afecta a los ectores intensidad de ca3po ya los potencialesH de tal 3odo =ue:

    n

    1in21 ... =

    =+++= y estar" dirigido 7acia el centro de 3asas del siste3a$

    Co3o

    deria del potencial:

    11 grad =

    siendo1

    11

    l

    m.* =

    22 grad = siendo

    2

    22

    lm.* =

    nn grad =

    siendon

    nn

    l

    m.* =

    n 1ase a las propiedades de la funcin gradiente:

    grad)...(gradgrad...gradgrad n21n21 =+++=+++=

    donde ==+++= n

    1ii

    in21

    l

    m.*...

    !"gina #2

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    %.%.+.- C"(3o netoni"no debido " n ce&3o e5ten#o*

    .upone3os una 3asa distri1uida de for3a continua Eno necesaria3ente 7o3og4neaH sino Vsin7uecosV en un cuerpo de olu3en $Considera3os ele3entos de 3asa infinitesi3al Ed3 en torno a punto !E -- =ue distar" l delpunto !E;$yHz$

    Generalizando la fr3ula del potencial correspondiente a un ele3ento diferencial de 3asa:

    l

    dm.*= para todo olu3en:

    ==

    l

    d.*

    l

    dm* '

    )--('' = - funcin de punto deno3inada densidad cI1ica= d.d.dd - diferencial de olu3en

    s la fr3ula general del potencial en un cuerpo e;tenso$

    (1tene3os a7ora el ector intensidad de ca3po co3o gradiente de la funcin potencial:

    = u.! n

    =

    =

    =

    =

    = d'3

    l

    *dm

    3l

    *8 8 dml

    1

    *

    l

    dm

    *.

    (

    )

    =

    =

    =

    =

    = d'3

    l

    *dm

    3l

    *8 8 dml

    1

    *

    l

    dm

    *.

    )(

    =

    =

    =

    =

    = d'3

    l

    /*dm

    3l

    /*8 8 dml

    1

    /*

    l

    dm

    /*.

    /

    (

    /)

    .u3ando las co3ponentes o1tendre3os la funcin intensidad co3o:

    =

    ++

    = 123 ul

    dm

    *dml

    )/(4)(i)(

    *

    n este caso

    1uno es constante$ ara en direccin y sentido dependiendo de la posicin del

    diferencial de 3asa y del punto !$,as fr3ulas del potencial siguen inalteradas dado =ue a la 7ora de deriar considera3os =ue eldiferencial de 3asa no ara de posicinH ctes=== $ ,a ariacin de la posicin del diferencialde 3asa y por tanto de sus coordenadasH son consideradas a la 7ora de integrar so1re el olu3enpara 7allar la funcin intensidad$

    !"gina #

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    %.+.- Definicin y 3&o3ied"de# de !" #3e&ficie e6i3otenci"!* inten#id"d de c"(3oy 3otenci"!*

    )efini3os superficie e=uipotencial co3o el lugar geo34trico de los puntos en =ue el potencial esconstante$ !ara cada alor de tendre3os una superficie e=uipotencial$

    $: cte)--R()/--( ===l ector grad tiene la direccin de la nor3al a la superficie e=uipotencial en el puntoconsideradoH y dirigida en el sentido del creci3iento de la funcin$n el caso de la tierra la funcin crece con la profundidad$a3os a de3ostrar =ue en una superficie e=uipotencial no ara el potencial y =ue entre dossuperficies e=uipotenciales la 3";i3a ariacin est" en la perpendicular a a31as$!ara de3ostrar la perpendicularidad nos desplaza3os desde el punto !E;HyHz 7asta otroinfinita3ente pr;i3o E;Ld;H yLdyH zLdz:

    d//

    d

    d

    d

    +

    +

    = == l.!l.gradd

    donde ++= ./4.i.l y h/4

    i

    grad =

    +

    +

    =

    #$ Al pasar de ! a W situado en la 3is3a superficie e=uipotencialH lo 7are3os a lo largo del ector

    tl tangencial y la ariacin del potencial ser" nulaH por lo =ue: 0Kgrad$ tl $Al tratarse de un

    producto escalar entre dos ectores de 3dulos no nulosH el coseno del "ngulo =ue for3an 7a deser nuloX por tanto son perpendiculares$

    2$ .i nos desplaza3os al punto WU en la direccin del ector nor3al nl :

    0d dn.grad0cos.dn.gradl.gradd n ===

    n

    grad

    = es la deriada

    direccional de la funcin en la direccin de la nor3al siendo dnl n =

    $

    $ ,a circulacin del ector intensidad de ca3po a lo largo de un contorno cerrado es ceroX es decirH

    el tra1ao necesario para desplazar una 3asa 1ao la accin de la fuerza

    a lo largo de un

    contorno cerrado es nulo$ n el caso de la V3asa unidadH su e;presin ser":'ra1ao K

    ===

    0dl.gradl.

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    .a1e3os =ue el potencial respecto a la 3asa to3ar" alores entre: G $M

    r#VG $

    M

    r2.i 3ultiplica3os a7ora por un ricual=uiera situado en la alineacin de la figura tendre3os:

    G $Mri

    r#VriG $

    Mri

    r2H to3ando l3ites:

    li3riG $

    Mri

    r# li3r

    iVrili3r

    iG $

    Mri

    r2GM#li3riVriGM#

    ,.*R. = cte,.*R.lim R ==> .e dice =ue la funcin potencial est" nor3alizado al infinito$

    %.7.- F!o 2ecto& inten#id"d de c"(3o. Teo&e(" de G"##

    'eore3a de Gauss: el fluo del ector intensidad de ca3po a tra4s de una superficie cerradaealuado alge1raica3ente respecto a la nor3al e;terior es negatio e igual al producto de laconstante *; por la 3asa encerrada en su interior$

    %.7.1.- C"#o de n" ("#" 3nt"! inte&io& (

    Considero una superficie cerrada de cual=uier for3a alrededor del punto ( donde se encuentra 3$'o3o un ele3ento de superficie infinitesi3al d. en torno al punto ! y lo represento 3ediante un

    ector< de 3dulo igual a d.H direccin perpendicular al ele3ento de superficie y sentido 7acia

    el e;terior de la superficie .$

    ere3os =ue slo influyen las 3asas interiores y no las e;teriores a la superficie:

    !"gina #5

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    eriorint< *m;d

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    ele3entales dos a dos se anulan$

    %.7.+.- C"#o 2"&i"# ("#"# inte&io&e#

    Caso de tener arias 3asas interiores == n

    1i iint mm y el fluo ser":

    +++==

    < n21 )m...mm(*;d

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    Considera3os un siste3a de ees cartesianos$ n una deter3inada posicin ! 7ay una 3asa unidadarrastrada por el 3oi3iento de rotacin del siste3a$ .o1re esta partcula actIa una fuerzacentrfuga en la direccin del radio de la circunferencia =ue descri1e dic7a partcula al girar elsiste3a y de sentido 7acia fuera$

    === u.r..mu.

    r

    '.mu.a.m! p

    22

    cc

    1m= Xpp

    p

    r

    4i

    r

    ru

    +

    == )4i(r

    r.r..1! 2

    p

    p

    p2

    c

    +==

    n el siste3a de ees cartesianos tiene las siguientes co3ponentes: )!( 2c = H )!( 2

    c = y

    0)!( /c = $ sta co3ponente es nula por=ue la

    c!es perpendicular al ee z$ 'rata3os

    c!co3o un

    ca3po ectorial funcin de punto$ )i3ensional3ente coincide con una aceleracin$ !ode3osco3pro1ar =ue es conseratio o =ue deria de un potencial:

    cc grad! =

    =

    == 0

    0

    /

    4i

    !!rot

    22

    cc

    )e1e3os encontrar la funcin =ue cu3ple las tres ecuaciones diferenciales:

    2

    = H

    2

    = y

    /0

    = $ )e la Ilti3a e3os =ue no a a depender de la aria1le z$ )e la 2 o1tene3os =ue

    +== )(21

    d. 2222

    y de la # =ue +== )(21

    d. 1222

    donde la constante deintegracin es una funcin =ue depender" del resto de las aria1les$ n este caso Inica3ente de yHdado =ue la tercera co3ponente de Fc nos indica =ue no depende de z$Busca3os los alores de las funciones =ue figuran co3o constantes de integracin$ .uelencorresponderse con los t4r3inos =ue aparecen en el resto de las soluciones correspondientes a sus

    aria1lesH as 221 2

    1)( = y 222

    2

    1)( = H de lo =ue deduci3os =ue la e;presin correcta para

    el potencial ser":

    )(2

    1

    2

    1

    2

    1 2222222 +=+=

    !"gina #8

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    += 4irp

    222p r +=

    2p

    2r2

    1= ==+=

    gradr.)4i(! p

    22c

    Calcula3os el operador laplaciano =ue co3o no es nulo no cu3ple la ecuacin de ,aplaceH luegono es ar3nica: 222

    2

    c2

    2

    c2

    c 2

    =+=

    +

    = $

    l potencial centrfugo en coordenadas esf4ricas es:

    = sen.Rrp == 2222p2

    c senR2

    1r

    2

    1

    %.:.- G&"2ed"d y 3otenci"! '&"2it"to&io te&&e#t&e#

    .e lla3a graedad terrestre o intensidad de ca3po graitatorio terrestre a la fuerza resultante so1re

    la unidad de 3asa de la fuerza ne9toniana de1ida al cuerpo de la tierra y de la fuerza centrfugade1ida a la rotacin terrestre:

    += c !g $

    *na 3asa unidad en reposo so1re la superficie de la tierra est" so3etida a estas dos fuerzas$ &otene3os en cuenta los efectos de atraccin lunisolares o de otros astros ni las fuerzas de Coriolis$,as ariaciones =ue se producen de1idas a estas otras causas son te3poralesH y 7a1r" =ue realizarlas correcciones necesarias a las o1seraciones e;peri3entales para 7allar la g correcta$M4todos para calcular la graedad g:

    #- ;peri3ento de Caendis7:2

    2

    +

    ;g

    =

    2- Medicin de longitudes recorridas por un cuerpo en cada li1re durante un interalo de tie3po:2

    0 t.g2

    1t.'< +=

    Co3o 7e3os isto a31as fuerzas derian de potenciales y 7aciendo uso de las propiedades delgradiente tendre3os =ue:

    )W(grad)(gradgradgradg cc =+=+=

    cW += - es el potencial graitatorio terrestre$

    ,as co3ponentes del ector intensidad son: +

    =

    = dml

    *

    Wg 2

    3 H

    +

    =

    = dm

    l

    *

    Wg 2

    3

    y

    =

    = dm

    l

    /*

    /

    Wg

    3/ $

    !"gina #>

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    !ropiedades de los potenciales:

    - Co3o = *; y 2c 2= 22*;W +=

    - .i esta3os fuera de las 3asas atrayentes: 0= H 0= [ 22W = H no ar3nica$

    - ;presin cartesiana del potencial graitatorio: ++= )(21

    l

    dm

    *W 222

    siendo = ldm

    * y )(2

    1 222c +=

    n esf4ricas: += 222 senR2

    1

    l

    dm*W

    %.;.- S3e&ficie# de ni2e! y !$ne"# de !" 3!o("d"*

    !arti3os de la e;presin cW += =ue igualada a una constante representa una superficie deniel o superficie e=uipotencial del ca3po graitatorio: cte)/---(W = o cte)--R(W = $)e todaslas superficies e=uipotencialesH distingui3os co3o geoide a=uella en la =ue el alor del potencialcoincide con el =ue to3a dic7o potencial en puntos correspondientes al niel 3edio de los 3ares enreposoH es decirH coincide en parte con el niel 3edio del 3ar: 0WW= $,a lnea de la plo3ada es una lnea geo34trica3ente curaH perpendicular a todas las superficies

    e=uipotenciales desde el punto considerado 7asta el geoide: gradWg=

    $

    l ectorg es tangente a la lnea de la plo3ada en cada punto$

    d//

    Wd

    Wd

    Wdl.gradWdW n

    +

    +

    ==

    co3o gradWg=

    = ndl.gdW

    !ode3os de3ostrar =ue gradW es perpendicular a la superficie de niel K cte dado =ue si nosdesplaza3os a lo largo del ector tangente a ella o1tene3os =ue 0cos.dl.gradWdW i ==

    ,a altitud orto34trica D es la distancia 3edida a lo largo de la lnea de la plo3ada desde el geoide osuperficie de referencia y el punto considerado: 066

    dndn

    dWgradW= d=dn =

    d=

    dWg =

    %.

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

    21/85

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    Cuando esto sucedeH dic7a funcin puede desarrollarse en t4r3inos de las funcionesar3onicoesf4ricas$ Al desarrollar la funcin l1 nos aparecer"n los polino3ios de ,egendreHta31i4n deno3inados ar3nicos esf4ricos de superficie zonales$

    #- )esarrolla3os por el teore3a del coseno:

    ==

    l

    d.*

    l

    dm*

    +=+= cos

    R

    r2

    R

    r1Rcos.Rr2rRl

    22222

    2

    12

    cosR

    r2

    R

    r1

    R

    1

    l

    1

    +=

    2- Mediante desarrollo de 'aylor y 7aciendo los ca31ios tcos = y hR

    r= o1tene3os co3o

    resultado =ue: [ ] 21

    2 ht2h1R

    1

    l

    1 +=

    -Aplica3os a nuestro desarrollo 3ediante 'aylor =ue: ...

    ;%

    1$

    %

    3

    2

    11)1(

    322

    1

    +=+

    y

    o1tendre3os lo siguiente:

    ++= ...)ht2h(

    ;%

    1$)ht2h(

    %

    3)ht2h(

    2

    11

    R

    1

    l

    1 32222

    co3o: 223;22 th;th;h)ht2h( +=33222;>32 th%th;h3ht2h3h)ht2h( +=

    ++++= ...)th%th;h3ht2h3h(

    ;%

    1$)th;th;h(

    %

    3)ht2h(

    2

    11

    R

    1

    l

    1 33222;>223;2

    1$

    t2

    3ht2

    3

    2

    1hhth1R

    1

    l

    1 ;33220

    ,os polino3ios de legendre son: 2t2

    3

    2

    1+ X 3t

    >

    1$t

    2

    3+ $$$

    5- .ustitui3os los alores de 7 y t:

    = +

    = =

    = 0n n1n

    n

    0n n

    n

    )(cos6R

    r)(cos6

    R

    r

    R

    1

    l

    1

    ,a e;presin general de los polino3ios de legendre es: n2n

    n

    nn )1t(dt

    d

    ?n.2

    1)t(6 =

    !ara los distintos grados de n los alores de los polino3ios son los siguientes:

    0n= 1)(cos60 =1n= == cost)(cos61

    2n= +=+= 222 cos2

    3

    2

    1t

    2

    3

    2

    1)(cos6

    3n= +=+= 333 cos2

    $cos

    2

    3t

    2

    $t

    2

    3)(cos6

    ,o introduci3os en la e;presin del potencial:

    =

    == dm)(cos6

    R

    r

    R

    1*

    l

    dm* 0n n

    n

    Calcula3os los dos pri3eros t4r3inos del potencial:

    !"gina 2#

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

    22/85

    R = cte

    R = variable

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    0n= == R,

    *dmR

    1*0

    1n= = dm.cos.rR

    1*

    21

    ... 10 ++=

    !ero =

    cos.r.Rr.R r.R

    @/AB

    r.R

    r.Rcos

    ++==

    ( ) [ ] ++=++=++

    = dm/@dmAdmBR

    1*dm@/AB

    R

    1*dm

    r.R

    @/ABr

    R

    1*

    332

    Recurriendo a la din"3ica del slidoH sa1e3os =ue las coordenadas del centro de 3asas de un

    cuerpo ienen dadas por las e;presiones:,

    dm. c

    = H,

    dm. c

    = y,

    dm.// c

    = $

    .i 7ace3os coincidir el origen del siste3a de referencia con el centro de 3asas del cuerpo =ue creael potencialH en este caso la tierra: 0/ c

    c

    c === === 0dm./dm.dm. $ !or lo =ue

    01= y dm2

    1cos

    2

    3r

    R

    1* 22

    32

    = $

    Co3o no sa1e3os la distri1ucin de densidadesH lo escri1ire3os en funcin de los 3o3entos y delos productos de inercia del cuerpo de la tierra respecto al siste3a de referencia con origen en elcentro de la 3is3a$

    ( )

    = dmr

    2

    1cos.r

    2

    3

    R

    1* 2

    2

    32H co3o

    R

    @/ABcos.r

    ++= y

    2

    222

    R

    r.Rr = [

    dmR

    rR21

    R@/AB

    23

    R1* 2

    222

    32

    ++=

    ( )[ ]dmrR@/AB3R2

    1* 22

    2

    32 ++= H pero 2222 @ABR ++= y2222 /r ++=

    ( ) ( )( )[ ]dm/@AB@/AB3R2

    1* 222222

    2

    32 ++++++=

    ( )22222222222222222222 /@@@@/AAA/BBB +++++++++ SAgrupando t4r3inos tendre3os los siguientes t4r3inos integrales:

    dm)/2(R2

    *B 222

    $

    2 = 0dm>R2

    *BA

    $

    dm)/2(R2

    *A 222

    $

    2 = 0dm/>R2

    *B@

    $

    dm)/2(R2

    *@ 222

    $

    2 = 0dm/>R2

    *A@

    $

    Aparecen en estos tres Ilti3os t4r3inos los productos de inercia respecto a dos planos delsiste3a de referencia aplicados al cuerpo de la tierra$ .i los ees est"n referidos son los eesprincipales de inercia del cuerpo$ )ic7os productos de inercia son nulos y por tanto las integrales enlas =ue interienen son nulos$

    !"gina 22

    ( ) +++++= /A@2/B@2BA2/@AB3R2

    1* 222222

    32

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

    23/85

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    = dm6 respecto a los planos E;K0H yK0= dm/6 / respecto a los planos E;K0H zK0= dm/6 / respecto a los planos EyK0H zK0

    .i los ees a los =ue est"n referidos son los ees principales de inercia del cuerpoH dic7os productosde inercia son nulos y por tanto las integrales en =ue interienen son nulas$ !or eso en Geodesiautiliza3os un elipsoide de reolucin para =ue tenga3os ees principales de inercia$

    [ ] +=++++= ):29C(R2

    *Bdm)/(2)/()(

    R2

    *Bdm)/2(

    R2

    *B$

    2222222

    $

    2222

    $

    2

    [ ] +=++++= )92:C(R2

    *Adm)/(2)/()(

    R2

    *Adm)/2(

    R2

    *A$

    2222222

    $

    2222

    $

    2

    [ ] +=++++= )C29:(R2

    *@dm)(2)/()/(

    R2

    *@dm)/2(

    R2

    *@$

    2222222

    $

    2222

    $

    2

    .a1e3os =ue el 3o3ento de inercia de un siste3a de partculas respecto a un ee es igual al

    su3atorio de los productos de sus 3asas por los cuadrados de las distancias =ue las separan dedic7o ee ==

    n1i

    2ii rmD H as para un cuerpo e;tenso tendre3os = c

    2dmrD $

    !or lo tantoH lla3ando:

    += dm)/(: 22 Mo3ento de inercia respecto del ee ;$

    += dm)/(9 22 Mo3ento de inercia respecto del ee y$

    += dm)(C 22 Mo3ento de inercia respecto del ee z$

    @a =ue )/( 22 + H )/( 22 + y )( 22 + son las respectias distancias de d3 a los ees ;H y y z$

    )e 3anera =ue el t4r3ino 23 nos =uedar":

    [ ])C29:(@)92C:(A):29C(BR2* 222

    $2 +++++=

    Recopilando estos tres t4r3inos:

    [ ])C29:(@)92C:(A):29C(BR2

    *0

    R

    ,* 222

    $210 +++++++=++=

    !ara calcular el potencial graitatorio terrestre con esta apro;i3acinH slo 7a1ra =ue aQadir a estae;presin la del potencial centrifugo:

    [ ] )AB(2

    1)C29:(@)92C:(A):29C(B

    R2

    *0

    R

    ,*W 222222

    $c +++++++++=+=

    n caso de =ue los ees del siste3a de referencia no sean los principales del cuerpoH 7a1ra =ue

    aQadir los t4r3inosH en este caso no nulosH correspondientes a los productos de inercia$De3os i3puesto tres condiciones:%- (rigen en el centro de 3asas de la tierra$&- es del siste3a son los principales de inercia del cuerpo$'- .i34trica en torno al \EA-B de inercia ta31i4n$

    A7ora i3pone3os una cuarta condicin:,a tierra tiene si3etra rotacional en torno al ee \H es decirH en los 3o3entos de inercia respecto alos ees ; e y son iguales C9: = $ !or otra parte 7are3os coincidir el ee \ con el ee 3edio derotacin terrestre$ )e 3odo =ue A ser" el 3o3ento de inercia respecto a un ee ecuatorial y Crespecto al ee de rotacin polar$ .ustituyendo por tanto B por A tene3os:

    [ ])C2:2(@):C(A):C(BR2*

    R

    ,

    *

    222

    $ +++=

    !"gina 2

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    [ ]222$

    @2AB):C(R2

    *

    R

    ,* +++=

    2222 @ABR ++= 2222 R@AB +=+ [ ]22$ @3R):C(R2*

    R

    ,* +=

    .a1e3os =ue e;iste un estrec7a3iento polar y un ensanc7a3iento ecuatorial$ ,os 3o3entos deinercia ser"n distintos de1ido a la irregular distri1ucin de las 3asas en el interior de la tierra$,gica3ente las 3asas estar"n 3"s aleadas del ee z =ue de los ees ; e y$,a e;presin de en coordenadas esf4ricas es:

    [ ]+= 222$

    cosR3R):C(R2

    *

    R

    ,* = cos.R@

    .acando factor co3In 2R y realizando un ca31io de signo e introduciendo #]2 en el par4ntesis:

    V=GM

    2G

    2R!" [2 cos2 #

    #

    2]co3o 2

    1

    cos2

    3

    )(cos6 2

    2 =

    = )(cos6R.,

    :C

    1R

    ,

    * 22

    ,a e;presin de )AB(2

    1 222c += en esf4ricas:

    = cos.sen.RB = sen.sen.RA = 222c senR2

    1

    A la e;presin 2a.,

    C $la lla3a3os 2E o factor de for3a din"3ica$ s un coeficiente ya =ue C-A

    tiene di3ensiones de 3o3ento de inerciaH y 2a., sera el 3o3ento de inercia de una 3asa M sitaa la distancia a del ee de rotacin$ a K cte y es el se3iee de la ecuatorial asignado a 3odelosesf4ricosH o el radio de la 3enor esfera =ue enuela toda la 3asa de la tierraX tangenteH por tantoH a4sta en el ecuador$ .i la tierra fuese esf4rica A K C 0E 2= $

    22 a.,

    :CE

    = 22aE

    ,

    :C=

    = )(cos6

    R

    aE1

    R

    ,* 22

    2

    2

    l coeficiente 2E se lla3a ta31i4n coeficiente del segundo ar3nico zonal en el desarrollo delpotencial o ta31i4n coeficiente de elipticidad geopotencial$ste potencial esta li3itado al coeficiente n K 2$ !ara 7allar la e;presin general del potencialne9toniano H 1usca3os a partir de la ecuacin de ,aplace en coordenadas esf4ricas$ n general:

    = = )(cos6E

    R

    a1

    R

    ,* nn2n

    n

    a3os a i3poner otra condicin:.upone3os la tierra si34trica respecto al plano ecuatorial$ e3os en tal caso =ue los t4r3inosi3pares del desarrollo son nulosH =uedando e;clusia3ente los t4r3inos pares$ Considerare3os a

    partir del t4r3ino n K 2H por=ue co3o 7e3os istoR

    ,.*0= y 01= $

    +=+

    =

    232

    22

    2

    2222

    1n n2n2

    n2

    sen,.*

    R

    2

    1)(cos6

    R

    aE1

    R

    ,*senR

    2

    1)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,*W

    )efini3os otra constante 3=2a

    GMdonde a

    a

    )a.(

    a

    ' 222

    =

    = es la aceleracin centrfuga en un

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    )-(An )m(sen)(cos6 mn

    )mcos()(cos6 mn

    )(cos6)(cos6 nmn =

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    punto del ecuador Eradio a y 2a

    ,* la aceleracin ne9toniana en dic7o punto$ !or tanto 3 es la

    razn entre la fuerza centrfuga y la atraccin ne9toniana so1re la unidad de 3asa en un punto delecuadorH y se deno3ina constante geodin"3ica si se aplica a la tierra$

    .i 3ultiplica3os y diidi3os por 3a tene3os:

    + 2

    3

    3

    22

    2

    2 sena

    Rm

    2

    1)(cos6

    R

    aE1

    R

    ,*W

    ;presin desarrollada de li3itada a t4r3inos 7asta n K 2$

    %.1=.- &ob!e("# de conto&no de !" teo&$" de! 3otenci"!. So!cin de !" ec"cinde L"3!"ce en "&(nico# e#f)&ico#

    %.1=.1.- Teo&e(" de Stoc>e#*

    *na funcin ar3nica en el e;terior de una superficie . =ueda deter3inada de for3a Inica por susalores de .H es decirH 7ay una sola funcin ar3nica =ue to3a so1re una superficie unos aloresde contorno dados$ ste teore3a es i3portante a la 7ora del c"lculo del potencial graitatorioterrestre$

    %.1=.%.- &i(e& 3&ob!e(" de conto&no de !" teo&$" de! 3otenci"! o 3&ob!e(" de Di&ic,!et*

    Consiste en deter3inar la funcin ar3nica a partir de los alores de contorno dados$.olucin de la ecuacin de ,aplace en coordenadas esf4ricas: K 0$!ara ello se re=uiere un ca31io de coordenadas de cartesianas a esf4ricas sa1iendo =ue:

    = sen.sen.RB = cos.sen.RA = cos.R@ =+ 2222 sen.RAB,a e;presin del laplaciano de ser":

    0

    senR

    1

    sensenR

    1

    R

    RRR

    1

    2

    2

    222

    2

    2 =

    +

    +

    =Al igualar a cero tene3os la ecuacin diferencial de ,aplace =ue intentare3os resoler para 7allarla funcin potencial H =ue depender" de las tres aria1les )--R( = $)adas las caractersticas de esta solucin de H pode3os considerarla co3puesta de una funcinradial fER y de otra funcin )-(An )-(A)R()--R( n = H y a su ez esta Ilti3afuncin )-(An pode3os ponerla co3o producto de otras dos funciones de tal 3anera =ue

    )(h)(g)R()--R( = $ De3os disgregado la ecuacin diferencial inicial en tres ecuacionesdiferencialesH cada una de ellas en funcin de una sola aria1le:

    )m(sen)(h = o )mcos()(h =

    )(cos6)(g mn =stos son los ar3nicos esf4ricos de superficie o funciones ar3nico-esf4ricas de superficie$ .onapropiadas para representar al potencial en superficie dado =ue no dependen del radio R$Multiplicadas por la funcin fER tene3os las funciones ar3nicas esf4ricas slidas$ ,as funcionesfH g y 7 son funciones ar3nico-esf4ricas por tanto$

    ,a funcin radial es del tipo: 1nR

    1)R(

    += siendo 0n $

    .egIn los alores de n y 3 tene3os:mn tene3os los ar3nicos esf4ricos de superficie teserales )-( $mn= tene3os los ar3nicos esf4ricos de superficie sectoriales )-( $0m= : 00sen)m(sen ==

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    10cos)mcos( ===ue son las funciones de ,egendre o ar3nicos de superficie zonales$ e3os =ue 4stas solodependen de H o seaH son los ceros del estudio de las funciones anterioresH o los puntos de ca31iode signo de dic7as funciones$

    .a1e3os =ue la co31inacin lineal de funciones ar3nicas es ta31i4n una funcin ar3nicaH portantoH la solucin es una co31inacin lineal de estas: n21 ...9: +++=donde las son las funciones y el resto son los coeficientes$ ntonces:

    = + == 0n n1nn )-(AR1

    5)--R(

    A=u los Tn son los coeficientes y las )-(AR

    1 n1nn

    =+ son las funciones ar3nicas$ 'a31i4n

    pode3os escri1irlo co3o: =+

    == 0n n

    1n

    )-(AR

    a)--R( $

    .i R^a 1Ra

    1n

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    ( )

    +

    = = =1n

    n0m

    mn

    mn

    mn

    n

    )(cos6)m(sen5)mcos(ER

    a1,.*)--R(

    5- .epara3os a7ora en una su3atoria aparte los t4r3inos en 3 K 0 en el =ue solo tendre3os los

    t4r3inos nE y los ar3nicos esf4ricos zonales o polino3ios de ,egendre por=ue)(cos6)(cos6 n

    mn = H 10cos)mcos( == y 00sen)m(sen == :

    ( )

    +

    = =

    = =1n 1n

    n1m

    mn

    mn

    mn

    n

    nn

    n

    )(cos6)m(sen5)mcos(ER

    a)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,.*)--R( .i el

    origen de coordenadas del siste3a de referencia lo centra3os en el centro de 3asas de la tierraH elsu3ando correspondiente a n K # de la e;presin del potencial es nulo Ede3ostrado por otro ladopor sustitucin del desarrollo del inerso de la distancia en la ecuacin integral del potencialne9tonianoH por lo =ue nuestro desarrollo e3pezar" en n K 2:

    ( )

    +

    = =

    = =2n 2nn

    1mm

    nmn

    mn

    n

    nn

    n

    )(cos6)m(sen5)mcos(E

    R

    a)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,.*)--R( sta

    es la e;presin general adecuada para representar el potencial ne9toniano en el e;terior de la 3enoresfera posi1le Ea=uella de radio a =ue encierre en su totalidad a la 3asa =ue genera dic7o potencialHdado =ue para la deduccin de esta e;presinH 7e3os supuesto =ue la funcin cu3pla la ecuacinde ,aplace y esto slo ocurre en el e;terior de dic7a esfera: por tanto en el caso de la 'ierraH el3";i3o alor de a corresponder" al se3iee ecuatorial$ !ara la deduccin de esta e;presinH no 7asido necesario tener en cuenta la$ )istri1ucin interna de 3asas$A 3edida =ue au3enta el grado nH el alor de los coeficientes dis3inuyeX as:

    3>2 100%2>-110>-10%2E

    == es del orden del aplana3iento 3103300

    1

    a

    ba =

    =

    >

    3 10$-2E

    = es decir es unas #000 eces 3enor>; 10>-1E

    =.i supone3os =ue el cuerpo tiene si3etra de reolucin en torno al ee \ todos los t4r3inos en los=ue interienen los ar3nicos esf4ricos de superficie sectoriales y teserales Ea=uellos 3ultiplicadospor los coeficientes _ y T no interendr"n en la e;presinH es decirH se eli3inan todos los t4r3inosdependientes de :

    == =2n nn

    n

    )(cos6ER

    a1

    R

    ,.*)-R(

    .i a7ora i3pone3os #a condicin de si3etra respecto al plano ecuatorialH slo nos aparecer"n lost4r3inos con n par$ !or tanto:

    - .i apro;i3a3os el potencial al pri3er t4r3inoX es decirHR

    *,= el cuerpo =ue lo genera ser" por

    tanto: una 3asa puntualH una esfera 7o3og4nea o una esfera con capas esf4ricas 7o3og4neas$- .i apro;i3a3os la e;presin al t4r3ino en n K 2H las superficies e=uipotencialescorrespondientes tendr"n las si3etras anterior3ente e;puestas Esi3etra de reolucin en torno alee z y respecto al plano ecuatorial$- .i inclui3os a7ora el t4r3ino en n K H desaparecen las si3etras respecto al plano ecuatorialHco3o es el caso de la 'ierra$Cuanto 3"s nos alee3os del cuerpoH 3enor ser" la influencia de los t4r3inos de 3ayor gradoX de7ec7oH 0lim R = H lo cual i3plica =ue los t4r3inos an decreciendo con la distanciaH por ello en

    din"3ica planetaria en =ue R no es infinitoH pero s 3uy grandeH se apro;i3a el potencial a su for3a

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    3"s sencilla del resto de los t4r3inosHR

    ,.*= H prescindiendo del resto de los t4r3inos$

    Cuanto 3"s cerca este3os del cuerpoH 3ayor influencia tienen los t4r3inos sectoriales y teseralesH4ste es el caso de los sat4litesH cuyas r1itas re=uieren de e;presiones 3"s co3pleas$ .i la tierra

    fuese puntualH sus r1itas cu3pliran las leyes de Tepler$ Gracias al segui3iento de las r1itasUrealesU de los sat4litesH se 7an deducido los alores de un gran nI3ero de estos t4r3inos$

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    +.- EL OTENCIAL ? LA GRA0EDAD NOR/AL. SISTE/ASGEOD@SICOS DE REFERENCIA

    +.1.- L" fncin 'eo3otenci"!

    .a1e3os =ue las superficies e=uipotenciales son a=uellas en las =ue el potencial graitatorio

    terrestre es constante: Kcte$Wuere3os deter3inar la e;presin de H paraH una ez conocida dic7a funcinH poder analizar lascaractersticas de las superficies de ese ca3po$ A 3edida =ue nos alea3os del cuerpoH la for3a delas superficies e=uipotenciales se a regularizandoH y a gran distancia se an ase3eando cada ez3"s a esferas$ !ero no e;iste una e;presin analtica para dar el potencial correspondiente al geoideH=ue se define co3o una superficieH lugar geo34tricoH en el =ue la constante es igual al alor =uetendra dic7o potencial al niel 3edio de los 3ares en cal3a$ se geoide tiene puntos fuera de las3asas atrayentes y ta31i4n puntos dentro de la tierraH en los =ue se producir"n discontinuidades enlas deriadas de los potencialesH por lo =ue en dic7os puntos no se cu3plir" la ecuacin de ,aplace$Funcin geopotencial o potencial graitatorio terrestre :

    ( ) c2n 2nn

    1mmn

    mn

    mn

    n

    nn

    n

    )(cos6)m(sen5)mcos(ER

    a

    )(cos6ER

    a

    1R

    ,.*

    W +

    +

    =

    =

    = =

    !eroH aun=ue conociese todos los t4r3inos correspondientes a esta e;presinH el geoide definidoutilizando esta funcin K oH contendra toda la 3asa del cuerpoH dado =ue la e;presin de escierta fuera de las 3asas atrayentesH por tanto al geoide definido de esta 3anera a3os a lla3arlegeoide geopotencial$istos estos inconenientesH no pode3os a1ordar el pro1le3a de definir el geoide utilizando unae;presin de con infinitos t4r3inos de los cuales no conoce3os los coeficientes$ !ara nuestroestudi a3os a suponer =ue:

    ,a tierra tiene si3etra de reolucin respecto al lla3ado ee 3edio de rotacin terrestre$ l origen de coordenadas est" en el centro de 3asas de la tierra$ e;iste si3etra respecto al plano ecuatorial$

    !or lo tantoH nos =ueda3os con la e;presin si3plificada del potencial ne9tonianoH en la =ueaparecen slo los t4r3inos zonales pares En K parH y la lla3a3os funcin esferopotencial opotencial nor3al capro)-R(F += donde:

    === =2n nn

    n

    apro )(cos6ER

    a1

    R

    ,.*)-R( y =+= 222222c senR

    2

    1)AB(

    2

    1

    =++

    = =

    2222222n nn

    n

    senR2

    1)AB(

    2

    1)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,.*)-R(F con n par$

    ,as superficies e=uipotenciales cteF= se apro;i3an a la esfera 3"s =ue al geoideH y son loslla3ados esferoides$ A la superficie 00 WFF == la lla3a3os esferoide de nielH y es la superficie

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    e=uipotencial =ue 3"s se apro;i3a al geoide cu3pliendo las condiciones i3puestas$ *o esnu34rica3ente el 3is3o alor =ue oH pero son superficies distintasH las funciones =uerepresentan son diferentes$

    l potencial graitatorio terrestre ser" por tanto: )--R(+)-R(F)--R(W += donde ' reci1e elno31re de potencial pertur1adorH y contiene los t4r3inos de )--R( $

    +.%.- E#fe&oide de &n#* teo&$" de! 3&i(e& o&den de "3&o5i("cin.

    .i de la e;presin de la funcin esfera potencial nos =ueda3os Inica3ente con los t4r3inos 7asta nK 2H o seaH nos li3ita3os al pri3er orden de apro;i3acinH o1tengo una funcin =ue representa allla3ado esferoide de Bruns:

    +

    = 222;;;

    22

    2

    senR2

    1...)(cos6E

    R

    a)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,.*)-R(F

    +

    = 22222

    2

    senR2

    1)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,.*)-R(F

    Analizare3os a7ora la for3a de la superficie e=uipotencial * K *o K o o esferoide de niel$)e3ostrare3os =ueH el esferoide de Bruns es un elipsoide de reolucin$ !ara ello deducire3os lae;presin del radio ector R en polares$

    .acando factor co3InR

    *,puedo introducir el t4r3ino centrfugo en el corc7ete:

    +

    = 232

    22

    2

    sen*,

    R

    2

    1)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,.*)-R(F

    %ntroduci3os a7ora la constante geodin"3ica 3=2a

    GM:

    +

    = 2

    3

    3

    22

    2

    sena

    Rm

    2

    1)(cos6E

    R

    a1

    R

    ,.*)-R(F

    +.+.- &i(e&" f&(!" de C!"i&"t en "3&o5i("cin de 3&i(e& o&den

    )eter3inacin de *o: pri3era fr3ula de Clairaut$

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    +.+.1.- 1B ()todo*

    ,a funcin )-R(F representa infinitas superficies e=uipotenciales$ .a1e3os =ue la funcin to3ar"el alor de *o K o Eesferoide de niel por ee3plo en los puntos ecuatorialesH es decirH para R K a

    y 2

    = en los puntos polares donde R K 1 y 0= H = $Dalle3os el alor *o en funcin de constantes en un punto polar ER K 1H 0= :

    .a1iendo =ue2

    1cos

    2

    3)(cos6 22 = 1

    2

    1

    2

    3)(cos62 == y =ue 0sen =

    = 2

    2

    0 Eb

    a1

    b

    ,.*F

    Dalla3os el alor *o en funcin de constantes en un punto ecuatorial ER K aH2

    =

    .a1iendo =ue

    2

    1cos

    2

    3)(cos6 22 =

    2

    1)

    2

    (cos62 =

    :

    ++=

    2

    m

    2

    E1

    a

    ,.*F 20 =ue depende de la 3asa del cuerpo EMH de la elocidad angular de rotacin

    Eincluida en 3 y de datos geo34tricos EaH 2E $

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    co3o )cos1(sen 22 = a=[#$2 2 cos2##2 mcos2#

    $2

    2

    $2

    2

    m

    2

    m

    2 ]

    a=#$

    2

    2cos

    2##

    2m cos2#=#cos2#

    2$

    2

    m

    2

    8- l radio ector de esferoide en polares es: =a[#cos2#

    2$

    2

    m

    2]

    )(R = Wueda de3ostrado =ue el esferoide de Bruns es un elipsoide de reolucin$

    +.+.%.- %B ()todo*

    #- ,a ecuacin del elipsoide de reolucin en cartesianas es 1b

    /

    a

    2

    2

    2

    22

    =++

    $

    a

    ba= )1(ab =

    *sa3os la relacin entre cartesianas y esf4ricas:;=rsencos H y=rsen sen y z=rcos

    ;2y2=r2sen2 sen2cos2=r2sen2

    r2sen

    2

    a2

    r2cos

    2

    12 =#

    r2sen2

    a2

    r2cos2

    a#2=# H Apro;i3a3os #2#2 :

    r2

    a2sen2 cos

    2

    #2=# #SH e;trayendo lo =ue tene3os entre par4ntesis:sen

    2

    cos2

    #2=#2sen

    2cos

    2

    #2

    sen2

    cos2

    #2=2sen2sen2cos2

    #2

    sen2

    cos2

    #2=2sen

    2##2

    # H =uitando el t4r3ino 2 y usando el desarrollo

    en serie #;n#n; en pri3era apro;i3acin tene3os:

    sen2

    cos2

    #22sen

    2#2

    sen2

    cos2

    #22#sen

    2#2cos

    2#

    sustituyendo en #S y 7allando su raz cuadrada:r

    a2cos2#=# r=a#2cos2

    #

    2

    Co3o #;n#n; en el desarrollo en serie en pri3era apro;i3acin

    r=a#cos2

    !or tanto por lo deducido en la # for3a tene3os =ue !

    2(

    2

    m

    2

    l radio-ector de un elipsoide de reolucin en teora de 2` orden de apro;i3acin tiene pore;presin:

    )2sen%

    3cos1(aR 222

    =

    !"gina 2

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

    33/85

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    +.7.- G&"2ed"d no&("! en e! e#fe&oide de &n# o e!i3#oide de ni2e!*

    )efini3os la graedad nor3al gradF=

    co3o a=uella =ue deria del potencial nor3al *:

    +

    = 222

    22

    2

    senR2

    1

    )(cos6ER

    a

    1R

    ,.*

    )-R(F

    R

    F

    n

    F

    =

    donde el signo es de1ido a =ue la direccin del ector nor3al es contraria a la del

    ector graedad$

    sta apro;i3acin es "lida en teora de pri3er orden$ n realidad )cos(R

    F

    n

    F

    =

    pero

    el 3";i3o alor de >G11)( .= cuando ;$= $ l error =ue co3ete3os al 7acer dic7aapro;i3acin es el causado al apro;i3ar cos##H6 &=0$ >>>>>>5# $ 'a31i4n 7ay =ue tener encuenta =ue al realizar esta apro;i3acinH esta3os despreciando las diferencias entre la utilizacinde la latitud egoc4ntrica y la astron3ica en las e;presiones =ue a3os a deducir$Dalla3os cuanto ale la graedad nor3al partiendo de:

    ' ( #=G $M

    GM

    a2

    $

    2[

    2cos2#

    #

    2]#

    2)22sen% #

    )eriando respecto a R:

    +

    +=

    222

    2;

    2

    2 Rsen

    2

    1cos

    2

    3E

    R

    *,a3

    R

    *,

    R

    F

    *='

    =

    GM

    2 [# a

    2

    2

    $22 cos2#

    #

    2)2

    GMsen% #] X y co3o *,am

    32=

    = 2

    3

    32

    22

    2

    2 sen

    a

    Rm

    2

    1cos

    2

    3E

    R

    a31

    R

    *, X apro;i3ando 1

    R

    a-1

    R

    a3

    3

    2

    2

    )(msen2

    1cos

    2

    3E31

    R

    *, 2222

    =

    =

    !ara un punto en el ecuador R K a y2

    = H en 1ase a lo =ue resoli3os con anterioridad nos a3os

    a encontrar =ue la graedad nor3al en el ecuador es:

    += mE

    2

    31

    a

    *,22H

    $

    !ara un punto en el polo R K 1 y 0= H = H ser": *P=GM

    +2 [#_2] $

    )educcin de la e;presin del aplana3iento grai34trico )cos1( 2H += :

    !arti3os de la fr3ula:

    !"gina

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    = 2222 msen2

    1cos

    2

    3E31

    R

    *,

    Dace3os =a #,cos2#

    = 222222 msen21

    cos2

    3E31

    )cos1(a

    *,

    222222

    )cos1(msen2

    1cos

    2

    3E31

    a

    *,

    =

    Aplicando 'aylor 7ace3os =ue )cos21()cos1( 222 += :

    )cos21(msen2

    1cos

    2

    3E31

    a

    *, 22222

    +

    =

    )cos21(msenE2

    3cosE

    2

    I1

    a

    *, 222

    222

    +

    +=

    Al 7acer el producto desprecia3os todos a=uellos t4r3inos en -...m-E-mE- 222 :

    ++= 2222

    22 cos2msenE23cosE

    2I1

    a

    *,

    !oniendo el seno en funcin del coseno tendre3os:

    +++= 222

    222

    cos2cosmmE2

    3cosE

    2

    I1

    a

    *,

    ++++= 2222 cos2mE2

    ImE

    2

    31

    a

    *,

    1

    22

    22

    2

    222

    H

    mE

    2

    31cos2mE

    2

    ImE

    2

    31

    mE231

    cos2mE2

    ImE

    2

    31

    +

    ++++=

    +

    ++++

    =

    Mediante 'aylor: ( ) n1

    2 1mE2

    31 +=

    +

    1

    2

    1

    2 mE2

    31mE

    2

    31

    +

    +

    )esprecia3os todos a=uellos t4r3inos en -...m-E-mE- 222 :

    +

    ++++=

    mE2

    3cos2mE

    2

    ImE

    2

    31 2

    222

    H

    Daciendo ++= 2mE2

    I2 o1tene3os =ue +=

    2H

    cos1

    .egunda fr3ula de Clairaut o fr3ula de distri1ucin de la graedad nor3al:

    ++= 2mE2

    I2 siendo el aplana3iento grai34trico$

    .i 0= 6c = y )1(H6 += H

    H6

    = e;presin parecida a la del

    aplana3iento geo34trico$Co3o consecuencia de la # y 2 fr3ulas de Clairaut o1tene3os la tercera fr3ula de Clairaut oteore3a de Clairaut en teora de pri3er orden de apro;i3acin$:

    2

    mE

    2

    32+= m

    2

    3E

    2

    I3 2+= 2E

    2

    I3m

    2

    3=

    ++= 2mE

    2

    I

    2 =++= m

    2

    $m23m

    2

    3

    m

    2

    $

    =+

    !"gina

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    +.8.- E#fe&oide de e!(e&t*

    ,a superficie e=uipotencial correspondiente a este esferoide se o1tiene igualando la funcin delpotencial nor3al a la constante *o K oH pero considerando la funcin potencial en apro;i3acinde segundo ordenH es decirH to3ando 7asta el t4r3ino en _

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    =ue conertirlos$.o3iglianaH !izzetti y distintos geodestas desarrollaron toda la teora del elipsoide y dedueronterica3ente la fr3ula de la graedad nor3al so1re un elipsoide de niel$ ,a fr3ula del potencialnor3al es an"loga a la e3pleada para los esferoides$ ,a diferencia est" en =ue en el caso del

    elipsoideH los _ no pueden to3ar cual=uier alorH son consecuencia de desarrollar la teora delelipsoide Eson alores deducidos terica3enteX definidos en funcin de _ H y se conocen una ezfiado 4ste$ .on alores forzados para =ue * sea un elipsoide perfecto de reolucin$ .on aloresligera3ente distintos de los e3pricos o1tenidos a partir de conoci3iento de las pertur1aciones delas r1itas de los sat4litesH =ue eran los usados para los esferoides$!or tanto representa al geoideH y * representa al elipsoide de niel$ .i el alor de * es conocidoHel elipsoide estar" perfecta3ente deter3inado$ ste * depender" de GH de y de las di3ensionesgeo34tricas =ue tenga dic7o elipsoide$.on razones 7istricas y pr"cticas las =ue i3ponen la adopcin del elipsoide de reolucin co3osuperficie de referencia tanto geo34trica co3o fsica$ .e adopta el elipsoide co3o figura nor3al dela tierra$ ,a superficie de ese elipsoide es una superficie e=uipotencial del ca3po de la graedad

    nor3al$

    +.;.- 0ent""# de! #o de! e!i3#oide co(o fi'&" de &efe&enci"*

    l elipsoide se ena utilizando desde 7acia 3uc7os aQos E3"s de 00 co3o superficie dereferencia para todas las operaciones geod4sicas$

    ,a geo3etra del elipsoide y su trigono3etra 7an lleado a fr3ulas pr"cticas para lospro1le3as directo e inerso de ca31io de coordenadas$ )esde 7ace tie3po utilizadas por lossericios geod4sicos de todo el 3undo$

    A igualdad de se3ieesH las diferencias entre el elipsoide de reolucin y los diferentesesferoides de reolucin es 3uy pe=ueQa$

    ,a teora del ca3po graitatorio del elipsoide desarrollada por !izzetti y .o3igliana Eentreotros da la funcin * y el alor de la constante * en funcin de la 3asa del elipsoideH laelocidad angular de rotacinH y los dos par"3etros geo34tricos para definir su for3a$

    %gualando M a la 3asa de la tierraH y a la elocidad angular de rotacinH 7a1re3os de fiar lospar"3etros geo34tricos del elipsoide para =ue la diferencia entre y * sea 3ni3aX es decirH elpotencial pertur1ador ' K sea 3ni3o$

    +.

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    *=*E

    #ksen%

    #e2 sen%

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    *=*E

    #+*Pa*E

    a*E

    sen%

    #a 2+2

    a2sen%

    H

    H6

    a

    ab

    =

    2

    2

    2

    222

    a

    H

    a

    bae =

    =

    )esde el punto de ista pr"cticoH es costu31re utilizar fr3ulas desarrolladas deducidas

    3ate3"tica3ente E1as"ndonos en el desarrollo de la e;presin1

    1

    y a partir de la anterior en

    series conencionalesH con dos t4r3inos Efr3ula 1ino3ia en la apro;i3acin de pri3er ordenH contres t4r3inos Efr3ula trino3ia en apro;i3acin de 2` ordenH $$$

    ...)2sensen2sensen1( 2222

    12

    H +=

    siendo )2(%

    11 += H ...)3(

    %

    1 22 ++= e;presiones ya deducidas a partir de y de $

    +.1=.- Si#te(" Geod)#ico de Refe&enci"

    *n siste3a geod4sico de referencia est" for3ado por cuatro par"3etros por los =ue =uedadeter3inado el elipsoide e=uipotencial de referencia y su ca3po de graedad nor3alH istoanterior3enteH en el =ue operando adecuada3ente lleg"1a3os a la fr3ula cerrada de .o3igliana$l ca3po de este elipsoide e=uipotencial =ueda definido al fiar cuatro par"3etros$ stospar"3etros son diferentes para los distintos siste3as de referencia adoptados$

    +.1=.1.- Si#te(" Geod)#ico de Refe&enci" %7-+= 1H y fue adoptado en la Asa31leade Madrid de #>2< co3o oficial para los tra1aos geod4sicos geo34tricos$.e fiaron dos par"3etros para definir di3ensional3ente el elipsoide:a K 6888 3 .e3iee 3ayor del elipsoide$

    2IJ

    1= Aplana3iento geo34trico$

    @ otros dos par"3etros para deter3inar el ca3po de graedad nor3al asociado a dic7o elipsoide:

    H K >8H0 gales EDeis?anenH #>28$ Graedad nor3al en el ecuador$

    K H2>2##5l ;sgrad10 $ elocidad angular de rotacin terrestre$

    Co3o consecuenciaH la graedad nor3al en funcin de la latitudH li3itando el desarrollo 7asta

    t4r3inos de 2` orden: )2sensen1( 212

    H +=n la Asa31lea de stocol3o de l>0 de la *nin Geofsica y Geod4sica %nternacional se fiaronlos alores de y 1 H y se acord adoptar la siguiente fr3ula para el calculo de la graedadnor3alX fr3ula internacional de la graedad conocida ta31i4n co3o fr3ula de Cassini-.ila$ sel Inico siste3a en =ue se fia el alor de la graedad nor3alH en los de3"s se fia el GM$

    )2sen00000$I-0sen00$2%%;-01(0;I-IJ% 2230 +=.e fi el alor de la graedad en el ecuadorH =ue fue deducido 3ediante un proceso de auste apartir de 3edidas de graedad coneniente3ente reducidas y distri1uidas por distintos lugares de la

    !"gina

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    superficie terrestre$,os alores de y 1 fueron deducidos a partir del teore3a de Clairaut 3odificado por .o3iglianaal 2P orden de apro;i3acin en =ue:

    ( )=+ m2

    $ donde ...

    1%%>$

    13

    2;$

    1

    3$

    1J1)( 32 = es la lla3ada funcin de Clairaut$

    Fiado el alor de tendre3os deter3inado el alor de ( ) $ ,i3itando al 2P orden de

    apro;i3acinH ( ) =3$

    1J1 H ya =ue del producto

    3$

    1J1m

    2

    $sale un t4r3ino en 3 H ya de 2P

    orden$ .e apro;i3aH en la pr"cticaH al segundo orden por=ue nos da la suficiente precisin para la3ayora de los tra1aos =ue necesite3os a1ordar$ stara de 3"s utilizar una fr3ula con precisindel 3iligal si a3os a 3edir y utilizar ano3alas de graedad de 3enor grado de precisin$

    l alor de 3 utilizado para calcular estos coeficientes es:H

    2am

    =

    !or tantoH fiados los alores de aH H H y o1tene3os los alores nu34ricos de y 1

    siguientes:( ) K 0$>>86

    n tercer orden de apro;i3acin:

    ...)2sensen2sensen1( 2222

    12

    H +=

    );3(32

    1)32(

    %

    1 222 ++= 2 K 0H000000022

    +.1=.%.- Si#te(" Geod)#ico de Refe&enci" 16$ .e fiaron los siguientes par"3etros:aK68#60 3etros

    2

    3I

    sg

    m103I%>03*, = Constante de graitacin egoc4ntrica

    J2 1010%2JE

    = Factor de elipticidad geopotencial o coeficiente del 2` ar3nico zonal

    sg

    rad102I211$1;>J-J $= elocidad angular de rotacin terrestre

    *na ez fiados estos aloresH y 1as"ndose en la teoraH se pueden deducir las aloresH tanto de lasconstantes geo34tricas y fsicasH co3o de los coeficientes de la fr3ula de la graedad nor3alHgraedad en el ecuadorH $$$,os alores de _

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    la 3is3a 3edida todos los alores de # graedad a1soluta deducidos por diferencias de graedad apartir de dic7o origenX es decirH arrastrados desde !ostda3$ sto afectar" a las ano3alasH y seutilizan fr3ulas de conersin$

    +.1=.+.- Si#te(" Geod)#ico de Refe&enci" de 1P Asa31lea cele1rada en Ga31erra en #>>H se acuerda ca31iar los alores de lospar"3etros aceptados en el 6H dado =ue no representa a la figura de la tierra con la precisinre=uerida$a K 68# 3etros

    2E K #0826 ; #08

    GM K >86005 23% sgm10

    K 2>2##5 ; sgrad10 11

    +.1=.7.- Si#te(" Geod)#ico de Refe&enci" GS;7*

    Consera e;acta3ente los alores anterioresH pero en este caso en lugar de _2 se da C2 K C2H0En K2H3 K 0 =ue es el coeficiente ar3nico zonal nor3alizado de 2` grado:

    !2=$2

    5

    +.1=.8.- Con2ein de "no("!$"# '&"2i()t&ic"# 3o& c"(bio de #i#te(" 'eod)#ico de&efe&enci"*

    Ano3ala grai34trica es K6gg = siendo 6g la graedad real reducida al geoide y K lagraedad nor3al correspondiente a la proyeccin de W en la direccin de la nor3al al elipsoide deniel del punto !$ s la diferencia entre la graedad real reducida al geoide 3enos la graedad

    nor3al en el elipsoide$De3os de deducir la graedad reducida al geoide =ue ser" igual a una graedad o1serada ensuperficie terrestre y corregida: escorrecciongg obser'adareducida +=

    !"gina >

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    n: nor3al al geoidenU: nor3al al elipsoideL : desiacin de la ertical&: ondulacin del geoide

    Ano3ala de la graedad:normalreducidagg =

    )e1ido a =ue la fr3ula de la graedad nor3al ara de un siste3a de referencia a otroH ta31i4nariar"n los alores de las ano3alas de graedad$,as graedades o1seradas no proceden de una o1seracin de graedad a1solutaH sino de un enlacepor incre3entos de graedad con la a1soluta conocida de un punto de la red grai34trica dereferencia Edatu3 !ostda3$

    !"gina

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    7.- EL CA/O DE LA GRA0EDAD AN/ALO. DETER/INACIN DELGEOIDE

    7.1.- otenci"! no&("! y 3otenci"! 3e&t&b"do&

    )--r(+)-r(F)--r(W +=

    )/--(+)/--(F)/--(W +=sta 3is3a fr3ula podra3os 7a1erla escrito en cartesianas refiri4ndonos a la dependencia de lostres tipos de potenciales a ;HyHz$ n cual=uier casoH e3os =ue son funciones de puntoX es decirHpode3os esta1lecer dic7a relacin particularizada para cada punto del espacio$

    7.%.- Conce3to# de "no("!$" de '&"2ed"d ond!"cin de! 'eoide y de#2i"cin de!" 2e&tic"!

    'a31i4n lla3adas 3agnitudes del ca3po an3alo:

    - )ector anomala de #ra*edad: = K6gg =ue difieren en el 3dulo y en direccin for3ando

    un "ngulo L $- Anomala de la #ra*edad: K6gg = estas cantidades escalares son las =ue a3os a tratar de

    deducir a partir de los alores de graedad o1serados$ s funcin de los 3dulos de 6g y K $ &o

    es el 3dulo delg H dado =ue 6g y K no est"n en la 3is3a direccinH pero la diferencia entre

    g y g es desprecia1le$ ,as ano3alas de graedad son de1idas a la Van3alaV distri1ucin de la

    3asa interna terrestreH principal3ente en la cortezaH dado =ue en capas 3as profundas la 3asa est"

    distri1uida de for3a 3"s regularH no 7o3og4neaH pero si en capas de diersas densidades$

    !"gina

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    -Des*iacin de la *ertical: L s la diferencia entre las direcciones de las nor3ales al geoide y alelipsoide en el punto !$ s el "ngulo =ue se desa la nor3al al geoide n respecto a la nor3alelipsdica n en ese puntoH y sus dos co3ponentes &. y nos deter3inan la orientacin delgeoide respecto al elipsoide en el punto !$ !uede ser conocido geo34trica3ente y a partir de

    ano3alas de graedad$- +ndulacin del #eoide: & s la distancia entre ! y W 3edida a lo largo de la nor3al elipsoidal$s la altitud 7 del geoide so1re el elipsoide en cada punto$ !uede ser-conocido a partir de ano3alasde graedad$!ara situar el geoide respecto al elipsoide necesitare3os conocer su separacin & y su orientacinrespecto a 4ste$ ,a prospeccin grai34trica E=ue unto con la prospeccin ss3ica y 3agn4ticafor3a parte de la geofsica aplicada consiste en calcular ano3alas para deducir estos par"3etros$!ero para la orientacin son necesarias una co3ponente ertical &. y una co3ponente 7orizontalH por ello la desiacin de la ertical L iene definida por dic7as co3ponentes:

    -S=.=>0G>0" =astronmicageod/sica

    == cos)(HW geodsicaaastronMmicb Aplicando el teore3a de los senos en el tri"ngulo * C@6 :

    sen

    = sen

    )(sen

    )I0(sen

    I0sen *:

    * *:*: )(sen **: cos)( =

    ** cos)I0(sen =

    Considera3os "=G

    !"gina

  • 8/10/2019 Apuntes Geodesia Fisica 2005

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    b Aplicando el teore3a de los senos en la anterior figura o1tene3os: *:*: )(sen

    )::(sen

    )(sen

    sen

    2sen

    *:

    *:

    *

    =

    *:*: ::)::(sen

    *:

    *:

    ::sen

    1

    =

    :* sensen

    )::(sen

    1*:*:

    =

    =sen

    cos)::( *: = gcot)::( *:

    l 34todo anterior es geo34trico$ A partir de coordenadas calcula3os las co3ponentes de ladesiacin de la ertical$!artiendo de ano3alas de graedad co3o datos o1sera1lesH las fr3ulas de ening Meinesz nosdan otro procedi3iento para calcular co3ponentes de la desiacin de la erticalH y la fr3ula de.to?es nos per3itir" conocer el alor de &$ sta es la finalidad de la grai3etra$

    7.+.- F&(!" de &n#.,a fr3ula de Bruns e;presa la relacin entre la ondulacin del geoide y el potencial pertur1ador$n el punto !: ppp +FW += ,a ariacin de la funcin * desde el punto W al ! ser"

    dnn

    FFF Kp

    += pero la separacin entre W y ! es dn K &H por tanto:

    n

    FFF Kp

    += $

    .a1e3os =ue: gradWg=

    y gradF=

    .us co3ponentes escalares en las direcciones nor3ales n y n respectia3ente son:

    n

    Wg

    = yn

    F

    =

    .ustituyendo:FF

    KKp = pKKp +FW

    +=

    Co3o op WW = y ooK WFF == pK00 +WW += pK +=

    K

    p+

    =

    Fr3ula de Bruns =ue nos per3ite calcular & una ez conocido el potencial pertur1ador ' en elpunto ! del geoide y calculada la graedad nor3al en su proyeccin W$

    7.7.- F&(!" o ec"cin fnd"(ent"! de !" 'eode#i" f$#ic"*

    ;presa la relacin entre la ano3ala y el potencial pertur1ador$,la3a3os:

    = ppgg ector pertur1acin de graedad$ st" definido slo en !$

    ppgg = !ertur1acin de graedad$ Cantidad escalar$

    grad+)FW(gradgradFgradWg ===

    grad+g=

    y su co3ponente escalar en la direccin de la nor3al ser":n

    +g

    = !rescindi3os de la

    pe=ueQa diferencia en direccin entre a31as nor3ales:nn

    $

    l alor de la graedad nor3al en ! ser" el alor de la graedad en W 3"s un incre3ento de lafuncin en la direccin W! =ue iene e;presada por la deriada de la funcin respecto a la nor3al nH

    3ultiplicado por la distancia entre W y ! Edada por &:

    !"gina

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    +n

    1g

    n

    +

    =

    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    n

    n

    KKp

    +

    +=

    .ustituyendo los alores de g y p o1tene3os:

    ppgg = n)g(ngn+

    KpKp

    =

    +=

    Kpgg =

    K

    p+

    =

    !ode3os transfor3ar la e;presin de la siguiente 3anera: 0+n

    1

    n

    +g =

    +

    sta e;presin se lla3a ecuacin funda3ental de la Geodesia FsicaH por=ue relaciona la cantidad3edida g con el potencial an3alo desconocido '$'iene la for3a de una ecuacin en deriadas parciales$ .i g fuera conocido en todo el espacioH

    entonces esta ecuacin podra ser discutida y resuelta co3o una aut4ntica ecuacin en deriadasparciales$ &o o1stanteH co3o g es conocida slo en la superficie Eel geoideH esta ecuacinfunda3ental slo puede usarse co3o una condicin de contorno =ue por s sola no es suficiente paracalcular '$ !or consiguiente el no31re de la ecuacin diferencial de la geodesia fsica =ue a ecesse da a esta ecuacin es errneo$ &o es una ecuacin diferencialH es una condicin de contorno$(rdinaria3ente se supone =ue no 7ay 3asas fuera del geoide$ st" claro =ue esto no es real3entecierto$ ,as o1seraciones no las 7ace3os directa3ente so1re el geoideH sino so1re la superficiefsica de la 'ierra$ l efecto de las 3asas fuera del geoide es eli3inado al reducir las 3edidas de lagraedad al geoide por c"lculoH de 3anera =ue pode3os suponer lgica3ente =ue todas las 3asas=uedan encerradas por el geoide$

    n este casoH puesto =ue la densidad

    es cero en todas partes fuera del geoideH el potencialan3alo ' es all ar3nico y satisface la ecuacin de ,aplace: ' K 0$

    0/

    +

    +

    ++

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    +

    =

    sta es clara3ente una erdadera ecuacin en deriadas parciales =ue si se suple3enta con lacondicin de contornoH 1asta para deter3inar ' en todo punto fuera del geoide$

    .i escri1i3os la condicin de contorno en la for3a: g+n

    1

    n

    +=

    +

    donde g se supone conocida en todo punto de geoideH e3os =ue so1re esta superficie se conoce

    una co31inacin lineal de ' yn

    +

    $ !or tanto la deter3inacin de ' es entonces un tercer pro1le3a

    de contorno de la teora del potencial$ .i se resuele en 'H la altitud del geoideH =ue es la cantidadgeo34trica 3"s i3portante en geodesia fsicaH puede calcularse por la fr3ula de Bruns$Aparente3ente es una ecuacin diferencial en deriadas parciales$ )eci3os aparente3ente por=ueto3ada co3o ecuacin diferencial i3plica =ue las g podran conocerse no solo en el geoide sinota31i4n fuera de 4l$ !ero el alor de g 7asta el 3o3ento solo lo conoce3os para puntos delgeoide$ ,uego no es una erdadera ecuacin diferencialH es lo =ue lla3a3os condicin de contornopor=ue es una condicin =ue cu3ple los alores de g so1re el geoide$)e la resolucin de una ecuacin diferencial o1tene3os una funcin del tipo y K fE;$ A partir deeste 3o3ento conocera3osH para cual=uier alor de una de las aria1lesH el de la otra en todopunto$ .in e31argoH en nuestro casoH al sustituir los alores discretos de las ano3alas de graedad

    3edidas so1re el geoide y resoliendo la ecuacin diferencial o1tene3os alores concretos =ue

    !"gina

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    to3a la funcin y K fE;H pero no o1tene3os la e;presin de la funcin en sH por ello deci3os =ueno se trata de una erdadera ecuacin diferencialH sino de una condicin de contorno$.a1e3os =ue ' K -*H es la diferencia entre el potencial real y e potencial nor3alH por tanto para7allar los potenciales nor3ales y para calcular las ano3alas de graedad se reducen al geoide las

    graedades o1seradas en superficieH eli3inando as los efectos de cual=uier 3asa e;terior al geoide=ue influya so1re el alor de la graedad co3o pueden ser las interpuestas entre el punto ensuperficie y 4ste$ s decirH esta3os suponiendo todas las 3asas en el interior del geoide por lo =uela funcin del potencial pertur1ador cu3ple la cuacin de ,aplaceH por tanto es una funcinar3nicaH =ue puede desarrollarse 3ediante ar3nicos esf4ricos$'eniendo en cuenta la condicin de contornoH y sa1iendo =ue ' es ar3nicaH podra lucirse lae;presin gracias a la cual conocera3os el alor del potencial pertur1ador para todo punto so1re yfuera del geoide$Conociendo ' en puntos so1re la superficie del geoideH y teniendo en cuenta la fr3ula de BrunsHpodra3os calculada la graedad nor3al en cada puntoH conocer la ondulacin en cada punto$.e puede desarrollar en funcin de los ar3nicos esf4ricos$ !ode3os deducir la e;presin del '

    para puntos en el interior y en el e;terior del geoide$ Conocido este alor o1tene3os la ondulacindel geoide por la fr3ula de Bruns$,a fr3ula de .to?es trata de dar a la funcin del potencial pertur1adorH considerada co3o unafuncin ar3nicaH una e;presin en funcin de ano3alas de graedadH para poder conocer losalores de '$

    7.8.- A3&o5i("cin e#f)&ic" de !" ec"cin Fnd"(ent"! de !" Geode#i" F$#ic"*

    .i la tierra fuese una esfera de radio 3edio y la en un punto cual=uieraH tanto en la superficie

    co3o en el e;teriorH sera: 2r

    m*= $

    ea3os el error =ue co3ete3os al aceptar esta apro;i3acin esf4rica$ Al considerar la superficieco3o esferaH se prescinde del aplana3iento geo34trico H =ue es del orden de O#0-H luego este esel error relatio =ue a3os a co3eter en el c"lculo de la ondulacin$ l error a1soluto ser" delorden O#0- O& donde los alores de &H respecto a elipsoides generales Ecentrados en el centro de3asas de la$ tierra: & en spaQa positias$ l de Dayford es tangente en !ostda3 & K 0H pero noest" centrado en el centro de 3asas de la tierra: & en spaQa es negatiaX son pe=ueQosH no superanlos #00 3etrosH por tanto el error 3";i3o de & seria de O#0-O#00 K 0H3$ Aun aceptando =ue elerror en la pr"ctica fuese 3ayorH nunca supera el alor de # 3etro$'o3are3os co3o radio 3edio terrestre el de a=uella esfera =ue tenga el 3is3o olu3en =ue elelipsoide de referencia:

    m

    2 R3

    ;ba

    3

    ;=

    m>3J1baR

    3 2

    m =

    ,a graedad nor3al 3edia so1re esa esfera ser": gales%-IJIR

    ,*

    2m

    m = o c3]sg

    n este casorn

    =

    por lo =ue la ecuacin ser" a7ora: 0+r

    1

    r

    +g =

    +

    Co3o 2r

    m*= y 3r

    ,*2

    r=

    r

    2

    r

    1=

    .ustituyendo en la ecuacin funda3ental o1tene3os la ecuacin funda3ental de la geodesia fsica

    en apro;i3acin esf4rica: 0+r

    2

    r

    +g =+

    +

    .lo ser" una ecuacin diferencial si conoce3os g en cual=uier punto fuera de la superficie$

    !"gina

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    .i r K R3K R 0+r

    2

    r

    +g =+

    + H tendre3os la condicin de contorno de la superficie de g

    conocida$

    7.9.- Ano("!$" de !" '&"2ed"d fe&" de! 'eoide*Al igual =ue la ondulacin & era la distancia 3edida so1re la nor3al al elipsoide de niel entre elpunto so1re el geoide !oy su proyeccin Woso1re el elipsoideH a7ora lla3are3os ano3ala enaltitud pa la distancia 3edida so1re la nor3al elipsdica entre el punto ! situado en la superficiegeopotencial py su proyeccin W so1re la esferopotencial pK WF = $

    Ano3ala en el geoide:00 Kpp

    gg =

    Ano3ala fuera del geoide: Kpp gg =

    Cuasigeoide es la superficie o1tenida al llear so1re cada punto W del elipsoide de nielH laano3ala en altitud &pen la direccin de la nor3al al elipsoide$ s una superficie 3uy parecida algeoide$ Coincidira con 4ste en los puntos situados en el niel 3edio de los 3ares en reposo$

    !ara el c"lculo de las ano3alas de graedad fuera de la 'ierra a partir de las ano3alas de lagraedad en superficieH e;iste la lla3ada fr3ula:

    = d.gcosr

    R3

    r

    1

    l

    Rr

    r;

    Rg

    23

    222

    p

    -distancia angular desde donde conozco la ano3ala en el geoide 7asta donde lo =uiero conocer$.i una funcin ar3nica D est" dada en la superficie de la 'ierraH co3o apro;i3acin esf4ricaH losalores de D fuera de la 'ierra pueden calcularse por la fr3ula integral de !oisson:

    = d.=l

    Rr

    ;

    R=

    3

    22

    p

    l s31olo es la a1reiatura usual de una integral e;tendida so1re toda la esfera unidadH oso1re el "ngulo slido co3pleto$ d designa el ele3ento de "ngulo slido definido co3o elele3ento da superficie de la esfera unidad$ !or eso el ele3ento de superficie de la esfera terrestre rK R es R2 d $ l alor de la funcin ar3nica en el ele3ento aria1le de superficie R2 d sedesigna si3ple3ente por D 3ientras =ue Dpse refiere al punto fio !$ (1ia3enteH entonces:

    ++= cosRr2Rrl 22 $

    ,a funcin ar3nica D puede desarrollarse en serie de ar3nicos esf4ricos:

    n

    1n

    2n1

    2

    0 =r

    R=

    r

    R=

    r

    R=

    +

    =

    +

    +

    =

    n

    1n

    2n1

    2

    0 =rR=

    rR=

    rR==

    +

    =

    =

    =

    siendo: = d.=

    ;

    1= 0 y

    = d.cos.=;

    3=1

    .ustituyendo Doy D#por sus aloresH y e;presando D por la integral de !oisson:

    = d.=cosr

    R3

    r

    1

    l

    Rr

    ;

    R=

    23

    22

    p

    sta es la lla3ada %ntegral de !oisson 3odificada$ Aplicando esta fr3ula a r g Efuncinar3nica en todo el espacioH tene3os:

    !"gina

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    = d.g.Rcosr

    R3

    r

    1

    l

    Rr

    ;

    Rg.r

    23

    22

    p

    = d.gcosr

    R3

    r

    1

    l

    Rr

    r;

    Rg

    23

    222

    p

    7.:.- F&(!" de Sto>e#

    ,a ecuacin 0+r

    2

    r

    +g =+

    + +r

    2

    r

    +g

    = puede considerarse co3o una condicin de

    contorno sola3ente en tanto =u4 las ano3alas de la graedad g son conocidas slo en lasuperficie de la tierra$ .in e31argoH por la integral de prolongacin ascendenteH pode3os calcularlas ano3alas de la graedad fuera de la tierra$ ,a ecuacin ca31ia de significado radical3enteconirti4ndose en una aut4ntica ecuacin diferencial =ue puede integrarse con respecto a r$l potencial pertur1ador es una funcin de punto )--r(++ = =ue particularizada para puntos de la

    esfera de radio R se conertir" en )--R(++ = $ Con estas condiciones pode3os tener ' en puntosde la superficie del geoideH y fuera de 4l:

    = d.)(

    2sen

    1)(< 2 la funcin de .to?es =ue

    se o1tiene 7aciendo r K R y2

    sen.R2l

    = $ iene ta1ulada en funcin de la distancia angular $

    !or el teore3a de Bruns tendre3os la ondulacin del geoide:m

    +

    = y con ella o1tene3os la

    fr3ula integral de .to?es: = d.)(

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    n cada co3parti3ento las ano3alas de la graedad se ree3plazan por un alor 3edio de dic7oco3parti3entoH de 3odo =ue la ecuacin integral ser":

    = d.)(

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    7.

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    =

    d.

    )(0sen>0 UcosUcos=sensenUcoscosUcos U

    )eria3os a7ora esta e;presin respecto a :

    sen

    =cossen Usencos UcosU #S

    sen a cos BK cos 1 sen c- sen 1 cos c cos Asencos=senUcoscosUsencos U 2S

    )iidiendo #S entre 2S:

    cos

    )e3ostracin 2:cos=cos>0cos>0 Usen>0sen>0 UcosU

    cos=sensenUcoscosUcos U

    )eria3os a7ora esta e;presin respecto a :

    sen

    =coscos UsenU S

    !or el teore3a del seno:sensen=cos Usen U

    cossensen=coscos Usen U

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    cos sen

    .ustituyendo los alores de = cos y = sen.cos tene3os las e;presiones finales de las

    fr3ulas de ening-Meinesz:

    &.:

    = d.cosd

    dJ.2==

    y de un espesor constante e igual a la altitud orto34trica D de laestacin$Al aplicar es la reduccin se eli3ina el efecto =ue 7a tenidoH so1re el alor de la graedado1serado en la estacinH la atraccin eercida por dic7a 3asa la3inar indefinida: es decirH se tieneen cuenta el efecto de las 3asas interpuestas entre el niel de la estacin y el Geoide$Graedad de Bouguer .i3ple 9

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    Apuntes de Geodesia Fsica Curso 2005-2006

    correspondiente a cada 1lo=ue endr" deter3inado porn

    2

    = $ ,a altura D#EDAHDBH$$$ es la

    altura 3edia correspondiente al 1lo=ue consideradoH deducida en funcin de las curas de niel =ueaparecen en el sector de la zona ocupado por dic7o 1lo=ue$

    n la pr"ctica 7e3os construir a la escala del 3apa topogr"fico Econ curas de niel a utilizarH unaplantilla so1re 3aterial transparente en la =ue est4n representadas las zonas y los correspondientesco3parti3entos$n el 3odelo de Dayford e3os =ue e;isten:

    \onas ,iterales EAHBH$$$ - nos dan los alores del radio e;terior de cada zona 7asta #66H5T3s alrededor de la estacin$

    \onas &u34ricas E#8H #H $$$$ # - nos dan el alor del radio e;terior en for3a angularH de3odo =ue = .Rr met siendo R3el radio 3edio terrestre$

    Cuando se 7ace la correccin topogr"fica e;clusia3ente para calcular correcciones BouguerHnor3al3ente slo se tienen en cuenta las zonas literales$ .i ade3"s an a aplicarse correccionesisost"ticasH 7a1r" =ue calcular la correccin topogr"fica teniendo en cuenta ta31i4n las zonas

    nu34ricasX es decirH se tiene en cuenta toda la superficie de la tierra ya =ue el alor angularcorrespondiente a la Ilti3a zona nu34rica Ezona # es de #80`$.i el terreno es 3uy accidentadoH =uiz"s conendra au3entar el nI3ero de co3parti3entosHy podra dis3inuirse en caso de =ue el terreno sea llano$,a fr3ula 1"sica =ue nos per3ite el c"lculo de dic7as correcciones corresponde a la co3ponenteertical de la fuerza eercida por un anillo cilndrico o zona so1re un punto de su ee$

    Fz=2"G#r#27

    2r#

    27#

    2r2

    27

    2r2

    27#

    2

    Ds- Altura de estacinD!- Altura del co3parti3ento7- distancia del punto ! a la 1ase inferior del cilindro7#- distancia del punto ! a la 1ase superior del cilindro.e sustituye aire por corteza por tanto #=#a