Elementos de Logica

1 Proposiciones Logicas

Una proposicion logica es un enunciado al cual se le puede asignar un valor de verdad,verdadero (V ) o falso (F ). Denotaremos a estas por letras minusculas p, q, r, . . . etc.

A partir de proposiciones podemos construir otras proposiciones mediante operacionesbasicas ( proposiciones compuestas). Estas operaciones son: la negacion, la conjunciono producto logico, la disyuncion o suma logica, la disyuncion excluyente, la implicaciono condicional y la doble implicacion o bicondicional.

2 Conectivos Logicos

Al operar con proposiciones y segun sean tales operaciones, se utilizan ciertos simbolos,llamados Conectivos Logicos

Conectivo Operacion Significado

p o p negacion no p o no es cierto que pp q conjuncion p y qp q disyuncion p o q (incluyente)p q disyuncion excluyente p o q (excluyente)p q implicacion p implica q o, si p entonces qp q doble implicacion p si y solo si q

3 Tablas de Verdad

Las operaciones basicas se definen mediante Tablas de Verdad. Para la negacion de una proposicion p, se tiene la tabla de verdad

p pV FF V

Dadas dos proposiciones p y q, las posibles combinaciones de sus valores de verdad Vo F son,

p q

V VV FF VF F

En este contexto las operaciones basicas quedan definidas en la siguiente tabla deverdad

p q p q p q p q p q p qV V V V F V VV F F V V F FF V F V V V FF F F F F V V

En la proposicion p q , p se llama el antecedente o Hipotesis y q el consecuente oTesis de la implicacion . Esta implicacion logica establece que p es condicion suficientepara q o que q es condicion necesaria para p .

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El bicondicional p q , conocida tambien como Equivalencia Logica establece quep es condicion necesaria y suficiente para q .

Dada dos o mas proposiciones, usando los conectivos logicos podemos construir nuevasproposiciones.

Una proposicion que contiene conectivos se llama proposicion compuesta.

El calculo proposicional se preocupa de la determinacion del valor logico de unaproposicion compuesta a partir de los valores logicos de las proposiciones basicas que lacomponen. A una proposicion compuesta se le asocia una tabla de valores logicos, con2n valores en cada columna, donde n es el numero de simbolos distintos que representana las componentes de la proposicion. El uso reiterado, de la tabla que describe losposibles valores logicos asociado a cada conectivo, permite determinar el valor logicode una proposicion compuesta.

A las proposiciones compuestas las denotaremos por letras mayusculas: P , Q, R, A;B; C; etc.

Ejemplo

Sea P: (p q) = r, donde p,q,r proposiciones basicas tales que:p es V; q es F y r es V determinar el valor logico de A.

Respuesta: El valor de P es V, en efecto:

como p es V y q es F entonces pq es F, luego si pq es F y r V, entonces obtenemosque

P: (pq)=r es V .Que ocurre si no conocemos los valores logicos de p,q y r? en tal caso no habriamospodido obtener el valor logico para P. Lo que si podemos hacer es considerar, todaslas combinaciones posibles de valores logicos para p, q, r y determinar el valor logicode p en cada caso, es decir, podemos asociar una tabla de valores a la proposicion Pobteniendo:Llamaremos proposicion compuesta a cualquier proposicion que contieneconectivos logicos. El valor de verdad de una proposicion compuesta depende del valorde verdad de las proposiciones que la componen y de los conectivos logicos que definena la proposicion. En caso de no conocer los valores de verdad de las proposicionescomponentes que define la Proposicion compuesta se construye la tabla de verdadasociada a la Proposicion compuesta

Ejemplo: Hallar la tabla de verdad asociada a (p q) (p r)p q r p q p q (p q) (p q)V V V V V VV V F V V VV F V V F FV F F V F FF V V V F FF V F V F FF F V F F VF F F F F V

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4 Tautologas

Una Tautologia o Teorema logico es una proposicion compuesta que es siempre ver-dadera independientemente del valor de verdad de las proposiciones componentes. Unaproposicion siempre falsa es una Contradiccion.

Dadas las proposiciones p, q y r , algunas Tautologias importantes que son dobleimplicacion son

A Leyes Logicas

1. Conmutatividadp q q pp q q p

2. Asociatividadp (q r) (p q) rp (q r) (p q) r

3. Distributividad

p (q r) (p q) (p r) , ( respecto a )p (q r) (p q) (p r) , ( respecto a )

4. Doble negacion o Involucionp p

5. Principio de Contradiccion

(p p) 1 (Tautologia)

6. Principio del tercero excluidop p V

7. Idempotencia(p p) p(p p) p

8. Leyes de Morgan(p q) p q(p q) p q

9. Contrareciproca (p q) (q p)

10. Absorcionp (p q) pp (p q) p

11. Identidad(p 1) p (p 1) 1

( p 0) 0 (Contradiccion ) (p 0) p

Definicion Sean A y B son dos proposiciones compuestas,

Diremos que: A y B son equivalentes (A B ), Si y solo si, ellas tienen losmismos valores de verdad

Ejemplo : Sean A : p q y B : p = q dos proposiciones compuestas.

p q p q p p = qV V V F VV F V F VF V V V VF F F V F

* *

Es evidente que: AB si y solo si A B es una tautologia.Todas las tautologias anteriores definen Proposiciones equivalentes

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B.- Algunas Equivalencias Fundamentales

E.1 (p q) p qE.2 p (p q) p qE.3 p (p q) p qE.4 p q q pE.5 p q [(p q) 0]E.6 (p q) r p (q r)E.7 (p q) r (p r) qE.8 p (q r) (p q) (p r)E.9 p (q r) (p q) (p r)E.10 (p q) r (p r) (q r)E.11 (p q) r (p r) (q r)E.12 (p q) p q p q

C.- Tautologias importantes que son implicaciones:

T.1 p = pT.2 p = (p q)T.3 (p q) = pT.4 [(p = q) p] = qT.5 (p = q) = [p = (q r)]T.6 (p = q) = [(p r) = q)]T.7 [(p r) = q] = (p = q)T.8 [p = (q r)] = (p = q)T.9 (p = q) = [(p r) = (q r)]T.10 (p = q) = [(p r) = (q r)]T.11 [(p = q) (q = r)] = (p = r)Observacion

Un buen ejercicio es verificar que cada una de estas leyes, equivalencias implicaciones sontautologias, para ello basta construir las tablas de verdad correspondientes y verificar quesolo se obtiene V.

Demostrar un teorema, en un contexto dado, significa hacer inferencia logica apartir de otros enunciados, aceptados como verdaderos o previamente demostrados (llamadas premisas) .

La inferencia es el proceso que permite obtener una una conclusion q a partir deun conjunto de premisas p1, p2, . . . , pk .

La inferencia es una implicacion de la forma

( p1 p2, . . . pk) q,esta implicacion se llama el argumento logico que permite obtener la conclusion qa partir de las premisas p1,p2,. . . ,pk

Definicion

Diremos que el argumento logico ( implicacion) ( p1 p2, . . . pk) q es un argu-mento valido

Si solo si ( p1 p2, . . . pk) q es una tautologia entonces diremos que:el argumento que permite obtener la conclusion q a partir de las premisas p1,p2,. . . ,pk.

Utilizando las tautologias que son implicaciones y las leyes las leyes logicas podemosestablecer una serie de esquemas mediante los cuales es posible demostrar nuevos teore-mas logicos a partir de teoremas logicos ya establecidos. En estos esquemas, llamadosEsquemas Deductivos o Reglas Deductivas, se basa el razonamiento matematico medi-ante el cual se establecen nuevas proposiciones a partir de proposiciones ya demostradas(o admitidas ).

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Algunos argumentos validos:

1. Principio de Inferencia o Separacion (modus ponens) T.4

Si p = q es verdadera y p es verdadera, entonces concluimos que q esverdadera

Ejemplo Dados a, b IN .

Si a b > 0, entonces a > b es valido y , a b > 0 es valido, entonces concluimosque a > b.

La validez de un principio se puede verificar mediante una tabla , para el principio deseparacion, se tiene que:

p q p = q (p = q) p [(p = q) p] = qV V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

es una Tautologia ( T.4)

El esquema deductivo asociado al principio anterior se representa por:

c (A = B) y c A entonces c B

y se lee Si A=B es Valido y A es Valido entonces concluimos que B es valido.

2. Principio de Inferencia equivalente

Si p q es verdadera y p es verdadera, entonces concluimos que q esverdadera

Ejemplo

Si A2 = B2 (AB = 0 A+B = 0) es valido y A2 = B2 es valido ,entonces (AB = 0 A+B = 0) es valido

3. Principio de Silogismo

Si p = q es verdadera y q = r es verdadera, entonces concluimos quep = r es verdadera

Ejemplo

Sea x IR, si x2 9 = 0 = (x 3)(x+ 3) = 0 y(x 3)(x+ 3) = 0 = (x = 3 x = 3), entonces para x IR se tiene que:( x2 9 = 0)=(x = 3 x = 3).

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Cuantificadores

5 Funcion Proposicional

Una funcion proposicional (f.p.) es una expresion o afirmacion que contiene unao mas variables, la expresion se convierte en una proposicion. en una proposicion alsustituir dicha(s) variable(s) por un (o algunos) elemento (s) de un conjunto referencial(Universo) A.

En otros terminos, una funcion proposicional es un enunciado abierto con una variable( tambien puede ser con mas variables) del tipo p(x) ( o p(x, y) , p(x, y, z) ,...)que al ser referido a un determinado conjunto referencial A , puede ser siempre,parcialmente o nunca verdadero.

Notemos que una f.p. p(x), no es una proposicion, pero si genera proposiciones alsustituir la variable x por un elemento a A ,esta proposiicon se denota por p(a)Si p(a) es verdadera entonces se dice que el valor x=a, satiface a la f.p. p(x)

Ejemplo: Sea p(x) : x es divisible por 3 con A=Zp(20) : 20 es divisible por 3 ( Falso ) P(174) es Verdadero

6 Cuantificador Universal

Si queremos afirmar que todos los elementos x A cumplen p(x) ,entonces simbolizaremos

x A, p (x)

esta expresion es una Proposicion.,donde se lee para todo, o para cada opara cualquier y se denomina cuantificador universal.

x A, p (x) se lee para todo x en A, p(x) es verdadero o para todo xen A, p(x) se cumple

En consecuencia :

U1) x A, p (x) es verdadero si y solo si p (a) es verdadero para cada a A .U2) x A, p (x) es falso si y solo si existe al menos un elemento de a A para

el cual p (a) es Falso.

Con nuestro ejemplo: p(x) : x es divisible por 3 con A=Ztenemos que x A, p (x) x Z, x es divisible por 3es Falso porque p(-5) : -5 es divisible por 3 es Falso

Sin embargo x R, x2 0 es Verdadero por que ? ;n N, n(n+ 1) es par es Verdadero por que ?

7 Cuantificador Existencial

Si queremos afirmar que para algunos elementos de a A se cumple p(x) . Esto essi p(x) no se cumple para todos los elementos de A , solo se cumple para algunos,escribimos

x A, p(x)

donde se lee existe ,o para algun o hay y se denomina cuantificadorexistencial.

Se tiene en consecuencia :

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E1) x A, p (x) es verdadero si y solo si existe a lo menos un elemento a Apara el cual p (a) es verdadero.

E2) x A, p (x) es falso si y solo no existe a A para el cual p (a) sea ver-dadera, es decir p(a) es Falsa para cada a ACon nuestro ejemplo:

p(x) : x es divisible por 3 con A=Z.tenemos que x A, p (x) x Z, x es divisible por 3es Verdadero porque p(-15) : -15 es divisible por 3 es Verdadero

Sin embargo x Z, 3 < x < 4 es Falso por que ? ;n N, n(n+ 1) = 35 es Falso por que ?

8 Cuantificador Existencial Estricto

Si p(x) se cumple para uno y solo un elemento del conjunto de referencial A . Estoes si p(a) es Verdadero para un a A y p(b) es Falso para cada b A con b 9= a ,escribimos

! x A , p(x)

donde ! se lee existe uno y solo uno ,o para un unico ,o existe un unico yse denomina cuantificador existencial estricto.

9 Negacion de Cuantificadores

Como los cuantificadores universal y existencial son proposiciones por lo tanto susnegaciones son proposiciones y se relacionan mediante el conectivo de la negacion.Lanegacion de cuantificadores se atiene a las siguientes leyes :

Si F(x) es una f.p. con referencia A, las negaciones de las proposiciones x A, p (x) ; x A, p (x) estan dadas por las siguientes equivalencias:

Negacion del Cuantificador Universal, Para todos

[x A, p (x)] [x A, p(x)]

Ejemplo[(n IN)(n+ 1 > 5)] [(n IN)(n+ 1 5)]

Esto sugiere el metodo del contraejemplo, ya que mostrar que una proposicion:

x, F (x) es falsa, significa mostrar que x, F (x) verdadera.

Ejemplo [n N, n(n+1) es par] [n N, n(n+ 1) es impar] es Falso Negacion del Cuantificador Existencial, Existe por lo menos uno

[x A, p (x)] [x A, p(x)]

Ejemplo: [n N, n(n+ 1) = 35] [x N, n(n+ 1) 9= 35] es V erdadero

=================================================curso : algebra i - ingenieria

UTA - i semestre 2009

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