apuntes de geometria

APUNTES DE GEOMETRÍA

ANALÍTICA

MATEMÁTICAS IV

M.C. José Luís Pineda Serrano

Colegio Primitivo y Nacional de San Nicolás de Hidalgo

Contenido

INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 1

EL PLANO CARTESIANO ......................................................................................................... 1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ................................................................................................... 2

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN UNA RAZÓN DADA .................................................. 4

ÁREA DE UN POLÍGONO ................................................................................................................. 6

LA LÍNEA RECTA ..................................................................................................................... 8

PENDIENTE DE UNA RECTA ........................................................................................................... 8

ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA .................................................................................... 9

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA .................................................................................... 10

FORMA PUNTO-PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. .............................................................. 11

FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN ......................................................................................... 13

FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ............................................................................. 14

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ................................................................................ 15

FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ................................................................................. 18

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ..................................................................................... 18

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ................................................................................ 19

DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS ...................................................................................... 22

ANGULO ENTRE DOS RECTAS ..................................................................................................... 22

INTERSECCIÓN DE RECTAS ......................................................................................................... 23

CIRCUNFERENCIA ............................................................................................................... 26

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA ....................................................................... 27

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA ......................................................................... 28

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA CIRCUNFERENCIA .................................................... 30

PARÁBOLA ........................................................................................................................... 32

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA ................................................................................... 33

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA ..................................................................................... 35

ELIPSE ................................................................................................................................. 37

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA ELIPSE ......................................................................................... 38

HIPÉRBOLA .......................................................................................................................... 43

HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN ................................................................................... 44

HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN .......................................................................... 45

BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 48

HERRAMIENTAS EN MICROSOFT EXCEL ® ....................................................................... 49

PRESENTACIÓN

Quien escribe estos apuntes su servidor M.C. José Luis Pineda Serrano, Profesor de

Matemáticas en el Primitivo y Nacional Colegio de San Nicolás de Hidalgo desde hace más de

10 años, es egresado de la Facultad de Ingeniería Civil y con Maestría en Ciencias y Tecnología

de la Madera.

Con el transcurso de los años y a través de innumerables conversaciones con mis amigos

Profesores, he llegado a la conclusión de que cada vez es más difícil llegar a sembrar en el

alumno la necesidad de aprender, al parecer las distracciones que provoca la tecnología tan

revolucionada actualmente han rebasado la responsabilidad del alumno para con la

superación académica.

Estos apuntes no debe confundirse con los libros de texto que tan ampliamente se ocupan de

la materia, estos apuntes son como su nombre lo indica un breve asomo al extenso mundo de

la Geometría Analítica, sin embargo, al humilde juicio de su servidor es necesario reforzar los

cimientos para poder construir grandes cosas sobre ellos.

Los apuntes constan de una breve introducción en cada uno de los temas, se muestran las

formulas a utilizar sin profundizar en sus demostraciones y también se pueden encontrar

ejercicios resueltos, así como ejercicios complementarios para su solución en clase o por

propia cuenta.

Adicionalmente se provee la página WEB http://www.infinitumpage.mx/IUFYOIHPIHPJION/

donde es posible descargar hojas de cálculo en formato .xls de Microsoft Excel ® las cuales

contienen formularios para graficar las figuras geométricas vistas en estos apuntes, así como

encontrar los elementos más importantes en cada una de ellas (ver apéndice I).

Bienvenidos y disfruten de este maravilloso mundo de la Geometría.

Sinceramente

Prof. José Luis Pineda Serrano

http://www.infinitumpage.mx/IUFYOIHPIHPJION/

Colegio Primitivo y Nacional de San Nicolás de Hidalgo Geometría Analítica

1

INTRODUCCIÓN

Geometría Analítica: Es el estudio de las figuras geométricas por medio de un sistema de

coordenadas utilizando el análisis matemático y el álgebra. Su desarrollo histórico inicia con la

geometría cartesiana, continúa con la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más

tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

1.- Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2.- Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico

de los puntos que la cumplen.

Uno de los conceptos básicos de la geometría analítica es el de las coordenadas de un punto,

el cual fue introducido en el siglo XVII por Rene Descartes1. Mediante la comprensión de este

concepto se pudieron estudiar las propiedades de las figuras geométricas mediante relaciones

algebraicas, creando lo que hoy se conoce como el método analítico.

EL PLANO CARTESIANO

Si trazamos en un plano dos rectas perpendiculares entre sí, el plano quedara dividido en

cuatro regiones llamadas cuadrantes. A estas dos rectas perpendiculares se les llama ejes

coordenados y su punto de intersección se le llama origen. El eje que se traza horizontalmente,

se llama eje o eje de las abscisas y al eje perpendicular se le llama eje o eje de las

ordenadas. El plano, junto con sus ejes coordenados se llama plano cartesiano en honor a

Rene Descartes.

Estos ejes coordenados se utilizan para determinar la posición de cualquier punto en el plano.

La distancia dirigida del eje al punto se le llama abscisa del punto, y la distancia dirigida

desde el eje , ordenada. Ambas, abscisa y ordenada conforman las coordenadas del punto y

se escriben en el orden .

Ejemplo: Localizar en el plano cartesiano el punto .

1 René Descartes (1596-1650). También llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo, matemático y

físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como

uno de los nombres más destacados de la revolución científica.


2

Solución: Trazamos los ejes en el plano cartesiano y partiendo del origen recorremos dos

unidades a la izquierda (lado negativo de las abscisas), y posteriormente recorremos cuatro

unidades hacia arriba (lado positivo de las ordenadas), como se ve en la figura siguiente.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Para encontrar la distancia entre dos puntos ubicados en un plano cartesiano se utiliza el

teorema de Pitágoras2 que dice: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Este teorema lo podemos resumir en la siguiente formula:

√

Dónde:

Con esta ecuación es posible calcular la distancia entre 2 puntos cualesquiera en el plano.

Ejemplos

1) Encontrar la distancia entre

Solución: Utilizando la ecuación y sabiendo que , , y

2 Pitágoras de Samos (580 a. C. – 495 a. C.). Filósofo y matemático griego considerado el primer

matemático puro. Contribuyó en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3

Abscisa O

rde

na

da


3

√

√

√

√

√

1) Encontrar la distancia entre Solución:

2) Encontrar las distancias entre los siguientes puntos:

a) Solución:

b) Solución:

c) Solución:

3) Que coordenadas tiene un punto sobre el eje que equidista de

4) Que coordenadas tiene el punto sobre el eje que equidista de

5) En los ejercicios siguientes localiza los puntos dados, dibuja el triángulo formado con

esos puntos y calcula la longitud de sus lados.

a)

Solución:

b)

Solución:

c)

Solución:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3


4

6) Probar que el cuadrilátero cuyos vértices son es

un rectángulo. Recuerda que en un rectángulo las diagonales son iguales

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN UNA RAZÓN DADA

Si ubicamos un punto cualquiera sobre un segmento de recta con extremos en

y puede ocurrir que las partes en que se divide el segmento sean

diferentes o del mismo tamaño.

Estas partes resultantes de la división se deben comparar y obtener un cociente mediante la

sencilla pregunta de cuanta distancia se recorrió y cuanta distancia falta por recorrer. En el

primer caso en el segmento ̅̅ ̅̅ ̅ se recorrió la misma distancia que en el segmento ̅̅ ̅̅ ̅ por lo

que el cociente de la relación será

, en el segundo caso en el segmento ̅̅ ̅̅ ̅ se recorrió 1

unidad y en el segmento ̅̅ ̅̅ ̅ falta por recorrer 2 unidades por lo que el cociente de la relación

será

.

Realizando esta sencilla comparación podemos obtener el dato de relación para calcular las

coordenadas de un punto intermedio sobre el segmento de recta conociendo las coordenadas

de sus extremos con las siguientes ecuaciones:

Dónde:

En el caso particular de las coordenadas del punto medio del segmento, como la relación

, la ecuación adopta una forma más sencilla:

Ejemplo: que coordenadas tendrá un punto M ubicado a una cuarta parte del segmento de

recta con extremos en .

A B

M

A B

M


5

Solución: En el segmento ̅̅ ̅̅ ̅ se recorrió una unidad y en el segmento ̅̅ ̅̅ ̅ faltan por recorrer

3 unidades por lo que el cociente de la relación será

.

Coordenada :

(

)

Coordenada :

(

)

Las coordenadas del punto M son:

(

)

Ejercicios: Encontrar las coordenadas del punto que divide al segmento en los

siguientes casos:

1)


6

a) M a

de A Solución: (

)

b) M a

de A Solución: (

)

c) M a la mitad de A y B Solución: (

)

d) M a

de B Solución: (

)

ÁREA DE UN POLÍGONO

Situando un triángulo mediante las coordenadas de sus vértices en el plano cartesiano, es

posible calcular su área calculando el valor absoluto de un determinante de la forma:

|

|

Dónde:

Ejemplo: Calcular el área del triángulo con vértices en

Solución: Sustituyendo valores en el determinante:

|

|

Para la solución de este determinante se repite al final la primera fila, y a la suma de la

multiplicación de las diagonales descendentes se les resta la suma de la multiplicación de las

diagonales ascendentes como sigue:

Las diagonales descendentes son:

3 6

0 3

-1 5

3 6


7

Total de diagonales descendentes:

Las diagonales ascendentes son:

Total de diagonales descendentes:

Deberemos de restar ambos valores

Por último el área será:

| |

En el caso de polígonos con mayor número de lados podemos descomponerlo en triángulos y

aplicar el procedimiento descrito, o bien realizar el acomodo de todos los vértices y repetir al

final la primera fila.

Ejemplo: Calcular el área del polígono con vértices en

sin triangular.

Solución: formamos el determinante respetando el orden de los vértices en la figura, en este

caso A, B, E, D y C:

Resolviendo el determinante:

1 6

2 3

-2 4

-3 8

-1 7

1 6


8

| |

Ejercicios: calcular el área en las figuras siguientes:

a) Solución:

b) Solución:

c) Solución:

LA LÍNEA RECTA

Definición: Es el lugar geométrico formado por los puntos que tienen entre si la

misma pendiente.

Las propiedades fundamentales de la recta, de acuerdo a los axiomas de Euclides son:

1. Por dos puntos distintos pasa una y solo una recta.

2. Dos rectas distintas se cortan en un solo punto o son paralelas.

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de cualquier recta no vertical es un valor que nos indica que tan

inclinada esta esa recta y hacia donde esta inclinada. Usualmente se conoce con la

letra a la pendiente de una recta.

Para calcular la pendiente de una recta no vertical, necesitamos dos puntos de ella y

utilizamos la ecuación:


9

Dónde:

Ejemplo: Encontrar el valor de la pendiente de una recta que pasa por el punto

y por el punto .

Solución: Sustituyendo valores en la ecuación de la pendiente:

Lo que debes recordar sobre la pendiente de una recta:

Si la recta esta inclinada hacia la derecha el valor de la pendiente es positivo.

El valor de la pendiente es negativo si la recta esta inclinada hacia la izquierda.

Si la recta es horizontal la pendiente vale cero.

Entre más grande sea el valor absoluto de la pendiente, la recta estará aún más

inclinada.

Las rectas verticales no tienen valor de la pendiente.

ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

ANGULO DE UNA RECTA CON EL EJE

Toda recta no horizontal cruza al eje formando un ángulo con la parte positiva de

dicho eje. Conociendo la pendiente de la recta es fácil saber el ángulo formado

utilizando la siguiente relación:

Así que α es el ángulo cuya tangente es la pendiente de la recta.

Ejemplo: Encontrar el ángulo que forma con el eje positivo la recta que pasa por los

puntos y .

Solución: Calculamos la pendiente:


10

Con este valor de la pendiente realizamos la siguiente igualdad:

Despejamos :

El valor obtenido es negativo, esto nos indica que el ángulo encontrado es el que

forma la recta con el eje , por lo que para conocer el valor con el eje

basta sumarle 180°.

Ejercicios:

1. Encontrar el ángulo que forma con el eje la recta que cruza

el eje en y el eje en – .

Solución:

2. Encontrar el ángulo que forma con el eje la recta que pasa

por y por .

Solución:

3. Encontrar la pendiente y dos puntos por donde pasa la recta que forma

un ángulo de con el eje .

Solución:

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Como se dijo anteriormente toda recta en un plano tiene asociada una ecuación. Esta

ecuación se puede escribir en diferentes formas y cada una de ellas nos sirve para conocer

determinadas características de esa recta en particular.

Las formas de la ecuación que veremos serán:


11

a) Forma Punto Pendiente.

b) Forma Pendiente Ordenada al Origen.

c) Forma simétrica.

d) Forma General.

e) Forma Normal.

FORMA PUNTO-PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

Conociendo la pendiente , así como un punto por donde pasa podemos

obtener la ecuación de una recta transformando la ecuación de la pendiente a la

siguiente manera:

Dónde:

A esta igualdad se le denomina forma punto pendiente de la ecuación de la recta, ya

que en ella podemos distinguir claramente los valores de la pendiente y un punto por

donde pasa la recta en cuestión.

Ejemplos:

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por y con pendiente

– .

Solución: Sustituimos valores en la ecuación punto pendiente.

Quitando paréntesis:

Realizando la multiplicación del lado derecho:

Ordenando y reduciendo términos e igualando a cero:


12

Esta es la ecuación de la recta que pasa por y tiene pendiente igual a – .

2. Dar un punto y la pendiente de la recta con ecuación

Solución: La ecuación ya está escrita en forma punto pendiente, por lo tanto la

pendiente será , y las coordenadas del punto por donde pasa la recta es

necesario cambiarlas de signo quedando .

La recta pasa por el punto y tiene pendiente igual a -7

3. Dar un punto por donde pasa la recta asi como su pendiente

Solución: Tendremos que convertir la ecuación a la forma punto pendiente como sigue:

Trasponemos términos, el valor de del lado izquierdo y los demás del lado derecho:

Sumamos un valor a ambos lados de la ecuación para convertir al 2 en múltiplo de 3

Simplificamos del lado derecho:

Factorizamos el lado derecho de la ecuación:

Esta ecuación está en la forma punto pendiente, por lo que el valor de la pendiente

será y la recta pasa por el punto .

Ejercicios Propuestos:

1. Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente y que cruza al eje

de las en el punto .

Solución:

2. Dar un punto por donde pasa la recta así como su pendiente.

Solución:

3. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos .

Solución:


13

4. Comprobar si los puntos son colineales y de ser así

encuentra la ecuación general de la recta que pasa por ellos.

Solución: Los puntos son colineales y la ecuación es

5. Los vértices de un triángulo están ubicados en ,

encontrar las ecuaciones generales de las rectas que forman sus lados.

Solución:

Lado 1:

Lado 2:

Lado 3:

6. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos medios de los

segmentos . Siendo .

Solución:

FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN

Si sabemos la pendiente de una recta y el valor donde cruza el eje de las

podemos escribir fácilmente la ecuación de una recta utilizando la siguiente igualdad:

Dónde:

Esta igualdad es comúnmente conocida como ecuación particular o forma pendiente

ordenada al origen de la ecuación de la recta.

Ejemplo: Encontrar el valor de la pendiente y la ordenada al origen de la recta:

Solución: Despejamos :

Así que la pendiente vale y la recta cruza el eje en es decir en el punto

.


14

Ejercicios propuestos: Escribir cada ecuación en la forma pendiente ordenada al

origen.

I. Recta con y .

Solución:

II. Recta con

y

Solución:

III. Recta que pasa por y (

)

Solución:

FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Conociendo los valores en los cuales la recta cruza tanto al eje como al eje

podemos encontrar la ecuación de una recta utilizando la siguiente ecuación:

Dónde:

Esta igualdad se le conoce como forma simétrica de la ecuación de la recta.

Ejemplos:

1. Encontrar la ecuación de la recta que corta a los ejes en .

Solución: Sustituimos los valores en la ecuación simétrica

Multiplicamos la ecuación por para suprimir los denominadores

Ordenamos los términos e igualamos a cero.

Multiplicamos por o simplemente cambiamos los signos en toda la ecuación.


15

2. Encontrar los puntos de intersección de la recta con los dos

ejes coordenados

Solución: Pasamos el termino constante al lado derecho

Dividimos por 6 para convertir el extremo derecho en 1.

Aislamos las variables y .

La recta cruza el eje en 3 unidades positivas y cruza el eje en

unidades positivas.

Ejercicios propuestos:

I. Encontrar la intersección con los ejes coordenados de las siguientes rectas.

1.

solución:

2. solución:

3.

solución:

4.

solución:

II. Encuentra la ecuación simétrica de la recta sabiendo que pasa por:

1. solución:

2. solución:

3. solución:

4. solución:

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Observemos que en todas las formas de la ecuación de la recta vistas hasta ahora, las

ecuaciones una vez simplificadas y ordenadas adoptan una forma en la cual todos los

términos quedan al lado izquierdo igualándolos a cero, es decir:


16

A esta igualdad comúnmente conocida como “Ecuación General de Primer Grado” nos permite

conocer algunas de las características fundamentales de la recta tales como la pendiente

y la ordenada al origen con las siguientes relaciones:

Así mismo teniendo la ecuación de la recta en forma general podemos identificar el tipo de

recta de acuerdo con las siguientes observaciones:

Si A, B y C son diferentes de 0, la recta es oblicua (inclinada) y no pasa por el origen.

Si C es igual a cero (no existe), la recta es inclinada y pasa por el origen.

Si B es igual a cero ( no existe), la recta es vertical.

Si A es igual a cero ( no existe), la recta es horizontal.

Ejemplos: Encontrar la ecuación en forma general de la recta que pasa por

.

Solución: Calculamos la pendiente de la recta:

Utilizamos la forma punto pendiente de la ecuación de la recta, utilizando la pendiente

ya calculada y uno de los dos puntos . En este caso utilizaremos .

Realizamos las operaciones indicadas y pasamos términos del lado izquierdo

simplificando los valores resultantes.

Multiplicamos por 4 para eliminar denominadores.


17

Cambiamos signos para dejar la variable independiente positiva.

Ejemplo 2: Convertir en forma general a la recta cuya ecuación es:

Reacomodando la fracción.

Multiplicamos toda la ecuación por el común denominador para eliminar

denominadores.

Ejercicios: Calcula los elementos y el tipo de recta que representa cada una de las

siguientes ecuaciones:

a) Solución:

recta inclinada a la derecha

b)

c) Solución: recta horizontal

d)

Encuentra la ecuación de cada recta en forma general.

a)

Solución:

b)

c) Solución:

d)


18

FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Esta forma de la ecuación de la recta es posible obtenerla dividiendo la forma general con la

variable despejada entre √ con igual signo que .

En la forma normal el término constante nos indica la distancia de la recta al origen y los

coeficientes de cada una de las variables , nos indican el seno y el coseno del ángulo

que forma esa distancia con la dirección positiva del eje .

Ejemplos:

I. Obtener la forma normal de la recta cuya ecuación es e indicar la

distancia al origen.

Solución: Dividimos la ecuación entre √ √

Distancia al origen

II. Obtener la forma normal de la recta cuya ecuación es e indicar la

distancia al origen.

Solución: Dividimos la ecuación entre √ √

√

√

√

Distancia al origen

√

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Para calcular la distancia entre un punto y una recta, consideraremos la distancia de

ese punto al punto de la recta que esté más cerca de él, y podemos calcular esa

distancia con la expresión siguiente:

√


19

A la distancia obtenida se le llama distancia dirigida y como todas las distancias deben

ser positivas el signo de la raíz se escoge para lograr ese propósito. La utilidad del

signo es saber la posición del punto con respecto a la recta. El signo negativo indica

que el punto queda por debajo de la recta.

Ejemplo: Encontrar la distancia entre el punto a la recta

Solución: Convertimos la ecuación de la recta a la forma general:

Sustituyendo valores en la ecuación:

√

√

Ejercicios:

Encontrar la distancia entre la recta

y el punto

Encontrar la distancia entre el origen y la recta

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

RECTAS PARALELAS: Son rectas que tienen el mismo ángulo de inclinación, es

decir, sus pendientes son iguales. Podemos verificar que dos rectas son

paralelas cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:


20

RECTAS PERPENDICULARES: Son rectas que tienen ángulos de inclinación que

difieren en 90°, es decir, sus pendientes son reciprocas y cambian de signo.

Para comprobar si dos rectas son perpendiculares se deben cumplir cualquiera

de las siguientes condiciones:

Ejemplos:

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es

perpendicular a la recta .


21

Solución: La pendiente de la recta es

por lo que la

pendiente de la recta perpendicular es

.

Utilizamos la forma punto pendiente.

Agrupando y simplificando

Suprimiendo denominadores

2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a

la recta

Solución: La pendiente de la recta es

por lo que la

pendiente de la recta paralela es la misma

.

Utilizamos la forma punto pendiente.

Agrupando y simplificando

Suprimiendo denominadores y dejando positiva

Ejercicios:

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es

perpendicular a la recta cuya ecuación es

Solución:


22

2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por y es paralela

a la recta

.

Solución:

3. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por y es paralela

a la recta que pasa por .

Solución:

4. Determinar si la recta

y la recta son

paralelas o perpendiculares.

5. Determinar si la recta

y la recta son

paralelas o perpendiculares.

DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS

Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, tomamos un punto en una de

ellas y encontramos la distancia de ahí a la otra recta

Ejemplo:

Encontrar la distancia entre las rectas y

Encontrar la distancia entre la recta y

ANGULO ENTRE DOS RECTAS

Considerando ahora 2 rectas que se cortan en un punto, para encontrar el ángulo

formado por ellas en la intersección podemos utilizar las siguientes relaciones:

O bien


23

Esta última ecuación nos permite calcular el ángulo aun cuando una de la rectas sea

vertical.

Ejemplos:

1. Encontrar el ángulo entre las rectas y –

Solución: 36.87°

2. Encontrar el ángulo formado por las rectas y


Solución: 18.43°


INTERSECCIÓN DE RECTAS

Con dos rectas en un plano, puede suceder solo uno de los siguientes casos:

Se intersectan en un solo punto.

Son paralelas y existe una distancia entre ellas.

Se trata de la misma recta.

Si queremos encontrar las coordenadas de intersección, lo que debemos hacer es

resolverlas las ecuaciones de ambas rectas de forma simultánea, aplicando este

procedimiento podemos obtener solo uno de los resultados siguientes:

Existe un par de valores que cumplen en ambas ecuaciones de la recta.

Estas serán las coordenadas del punto donde se cortan ambas rectas.

No existen valores que cumplan con las dos ecuaciones. Las rectas son

paralelas

Las dos ecuaciones son equivalentes y todos los puntos cumplen en las dos

ecuaciones, por lo tanto las dos ecuaciones representan a la misma recta.

Para resolver de forma simultanea dos ecuaciones de primer grado existe una gran

variedad de métodos, en este caso utilizaremos el método de Suma o Resta para la

solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Ejemplos:

1. Encontrar la intersección de las rectas:


24

Solución: Igualamos los coeficientes de la variable multiplicando la segunda

ecuación por 4.

Restamos ambas ecuaciones para eliminar la variable y obtenemos:

Resolvemos esta ecuación resultante

Sustituimos el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones principales

(

)

Las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas son:

2. Encontrar la intersección de las rectas:

Solución: Igualamos los coeficientes de la variable multiplicando la primer

ecuación por 6 y la segunda ecuación por 3.


Al eliminarse ambas variables y permanecer solamente el valor constante,

podemos asegurar que ambas rectas son paralelas y por lo tanto no existe

intersección entre ellas.

3. Encontrar la intersección de las rectas


25

Solución: Igualamos los coeficientes de la variable multiplicando la primer

ecuación por 8 y la segunda ecuación por 6.


Al eliminarse ambas variables , así como el valor constante, podemos decir

que ambas ecuaciones nos representan a la misma recta.

Ejercicios propuestos:

4. Encontrar la intersección de los siguientes pares de rectas:

{

Solución:

{

Solución:

{

Solución:

{

Solución:

6. Analiza los siguientes pares de rectas, si se intersectan encuentra el

punto y analiza si son perpendiculares. Si no se intersectan, di si son

paralelas o son la misma recta.

{

{

{

{

{

{

{

{

7. Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente de

y pasa por

la intersección de las rectas y


26

CIRCUNFERENCIA

Definición: Es el lugar geométrico formado por los puntos que equidistan de un punto

fijo llamado centro.

En una circunferencia se pueden encontrar elementos importantes asociados, tales

como:

Centro.

Radio: Distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia

Diámetro: Segmento que une 2 puntos de la circunferencia y que pasa por el

centro.

Cuerda: Segmento que une 2 puntos de la circunferencia y que no pasa por el

centro.

Secante: Recta que intersecta en 2 puntos a la circunferencia

Tangente: Recta que toca en un solo punto a la circunferencia.

C B A

D

E

F

G

H


27

Dónde:

Punto : Centro Segmento ̅̅ ̅̅ : Radio Segmento : Diámetro

Segmento : Cuerda Recta : Secante Recta : Tangente

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

La ecuación de una circunferencia queda determinada conociendo las coordenadas

del centro y el valor del radio utilizando la siguiente relación:

Dónde:

A esta igualdad se le conoce como ecuación estándar u ordinaria de la circunferencia.

Si la circunferencia tiene centro en el origen , como y valen , la ecuación de

la circunferencia adopta la forma:

Ejemplos:

1. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio

Solución: Sustituimos el valor del radio en la ecuación:

2. Calcular el radio de la circunferencia cuya ecuación es

Solución: Comparando la ecuación veremos que el valor equivale a , es decir:

Sacando raíz en ambos extremos tendremos:

Ejercicios:

1. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio √

Solución:

2. Calcular el radio de la circunferencia cuya ecuación es


28

Solución:

3. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es :

a. y

b.

y

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Desarrollando los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria, obtendremos una

ecuación de la forma:

La cual se le llama forma general de la ecuación de la circunferencia, y nos permite

que conociendo la ecuación general sea posible obtener las coordenadas del centro y

el valor del radio utilizando el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos:

1. Encontrar la ecuación general de la circunferencia con centro en y

radio .

Solución: Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria:

Desarrollando los binomios al cuadrado:

Reduciendo términos y acomodando:

2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

Solución: Trasponemos y agrupamos términos:

Completamos el Trinomio Cuadrado Perfecto en cada paréntesis:

Escribimos como binomios al cuadrado:

Con lo cual tendremos una circunferencia con centro en y radio igual a .


29

Ejercicios:

1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

Solución: (

)

2. Encontrar la ecuación general de cada circunferencia de acuerdo con las

condiciones siguientes:

a) Centro , radio igual a .

b) Centro , y la circunferencia pasa por .

Solución (b):

3. Encuentra la ecuación de la circunferencia con diámetro

.

4. Un cuadrado tiene sus vértices en , , y

. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita y la de la

circunferencia circunscrita.

5. Encuentra el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a.

Solución:

b.

c.

Solución:

d.

e.

Solución:

f.

6. Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el punto de

intersección de las rectas y y como

radio la distancia de dicho centro a la recta .

7. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en y que es

tangente a la recta .


30

8. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

en el punto .

9. Encontrar la ecuación de la recta que es tangente en el punto a la

circunferencia con centro en y √ .

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia y una recta en un plano solo pueden encontrarse en cualquiera de las

circunstancias siguientes:

1. La recta y la circunferencia se intersectan en dos puntos, es decir, la recta es secante

de la circunferencia.

2. La recta y la circunferencia se cortan en un solo punto, la recta es tangente en ese

punto a la circunferencia.

3. La circunferencia y la recta no se cortan, por lo tanto no existen puntos en común.

Para encontrar la intersección de una recta con una circunferencia conocidas sus ecuaciones,

será necesario resolver dichas ecuaciones en forma simultánea utilizando el procedimiento

siguiente:

I. Se despeja una de las variables en la ecuación de la recta.

II. Se sustituye el valor de la variable despejada en la ecuación de la recta en la ecuación


III. Se desarrollan los binomios al cuadrado y las multiplicaciones indicadas en la ecuación


IV. Se reducen los términos semejantes para obtener una ecuación cuadrática.

V. Se resuelve dicha ecuación preferentemente con la formula general para la ecuación

de segundo grado tomando en cuenta las siguientes recomendaciones:

a. Si el valor obtenido dentro del radical es mayor a cero la ecuación tiene dos

soluciones, por lo cual la recta y la circunferencia se cortan en dos puntos.

b. Si el valor del radical es cero, la ecuación tiene dos soluciones exactamente

iguales por lo cual las figuras se tocan en un solo punto.

c. Si el radical es menor de cero la ecuación no tiene resultado racional por lo

cual la recta y la circunferencia no se tocan.

VI. Encontrados los valores solución de la ecuación de segundo grado, utilizaremos

nuevamente la ecuación de la recta para encontrar su par ordenado.


31

Ejemplo: Encontrar los puntos de intersección si los hay de la circunferencia

con la recta .

Solución: Despejamos en la ecuación de la recta.

Sustituimos el valor de en la ecuación de la circunferencia.

Desarrollamos el binomio al cuadrado y quitamos paréntesis.

Reduciendo términos semejantes:

Resolviendo la ecuación por formula general.

√

√

El valor dentro del radical es mayor a cero, la ecuación tiene dos valores solución

los cuales serán:

√

√

Sustituimos estos valores encontrados en la ecuación de la recta y obtenemos dos valores

de x.


32

Los puntos de intersección de la recta con la circunferencia serán:

Ejercicios:

1. Encontrar la intersección de la recta cuya ecuación es y el

circulo


circulo

Solución:


circulo con centro en y .


circulo

Solución:

PARÁBOLA

DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico formado por los puntos que equidistan de una recta

y un punto fijos distantes entre sí. A esta recta se le conoce como la directriz y al punto

como el foco.


33

Una de las propiedades de la parábola que se utiliza en la vida cotidiana es la reflexión.

Utilizando esta propiedad se han construido desde hace mucho tiempo faros, antenas y

espejos con forma de parábola.

Los elementos asociados a una parábola son:

Foco: Punto fijo de referencia que está ubicado dentro de la parábola.

Directriz: Recta que sirve como referencia pero que no forma parte de la parábola.

Eje Focal: Recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

Vértice: Punto donde el eje focal corta a la parábola.

Parámetro: Distancia entre el foco y la directriz.

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos de la parábola.

Ancho focal: Cuerda que pasa por el foco que es perpendicular al eje focal.

Distancia focal: Distancia entre el vértice y el foco, o entre el vértice y la directriz.

Para objeto de nuestro estudio consideraremos únicamente parábolas con eje focal paralelo a

los dos ejes del plano cartesiano, clasificándolas en parábolas verticales y parábolas

horizontales.

PARÁBOLAS VERTICALES: Son parábolas cuyo eje focal es paralelo al eje , y pueden abrir

hacia arriba o hacia abajo

PARÁBOLAS HORIZONTALES: Son parábolas cuyo eje focal es paralelo al eje , y pueden abrir

hacia la derecha o a la izquierda.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA

Toda ecuación de una parábola quedara determinada conociendo las coordenadas de su

vértice, así como su distancia focal. Conociendo estos elementos utilizaremos las siguientes

relaciones:

Para parábolas verticales

Para parábolas horizontales.

Dónde:


34

A estas ecuaciones se les conoce como la forma estándar de la ecuación de la parábola.

Resumiendo en la siguiente tabla:

Parábola Abre hacia Ecuación Directriz Vértice Foco

Vertical Arriba

Vertical Abajo

horizontal Derecha

horizontal Izquierda

En el caso de que la parábola tenga su vértice en el origen la ecuación adopta una forma más

sencilla como se ve en la siguiente tabla:

Parábola Abre hacia Ecuación Directriz Vértice Foco

Vertical Arriba

Vertical Abajo

horizontal Derecha

horizontal Izquierda

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es la

recta

.

Como la directriz es una recta horizontal y el vértice es , la parábola es vertical y abre

hacia arriba, por lo que la formula a utilizar es:

La distancia focal es de

por lo que la ecuación quedaría:

(

)

Es decir:


35

Resumiendo los datos en la siguiente tabla:

Directriz Foco Vértice Posición Abre hacia

(

) Vertical Arriba

Ejercicios: encontrar los elementos de las siguientes parábolas con vértice en el origen:

(–

)

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Desarrollando el binomio al cuadrado de las ecuaciones ordinarias obtenemos ecuaciones de

la siguiente forma:

A estas ecuaciones se les llama la forma general de la ecuación de la parábola.

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice está en y cuyo

foco está en .

Solución: La parábola es horizontal y su directriz es la recta . Como el foco está a la

derecha del vértice, la parábola abre hacia la derecha y la distancia focal es , con lo cual

podemos escribir su ecuación de la siguiente forma:

Es decir:

Desarrollando el binomio y ordenando podemos obtener la ecuación general:

Ejemplo 2: Encontrar los elementos de la parábola con ecuación es


36

Solución: Como es la variable que esta al cuadrado la parábola es horizontal.

Agrupamos términos y trasponemos:

Dividimos entre 2 para eliminar el coeficiente de la variable al cuadrado.

Completamos el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo:

Escribimos el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado

Factorizamos el lado derecho

El vértice es:

La distancia focal es:

Por el signo de la distancia la parábola abre a la izquierda, así que el foco estará ubicado en:

(

) (

)

La Directriz es la recta:

Ejercicios: Encontrar la ecuación de la parábola con los siguientes datos:

1. ; 2. ;


37

3. ; Directriz 4. ; Directriz

Encontrar los elementos de las siguientes parábolas:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Ejercicios: Encontrar la intersección de la parábola y la recta en los siguientes casos:

I. Recta ; Parabola

II. Recta ; Parabola

III. Recta ; Parábola

IV. Recta ; Parabola

ELIPSE

Definición: Es el lugar geométrico formado por los puntos en el plano en los cuales es

constante la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos.

Los elementos asociados a una elipse son:

Focos: Puntos fijos que sirven como referencia y no pertenecen a la elipse.

Centro de la elipse.

Eje Mayor o eje Focal: Diámetro más largo entre los vértices.

Eje Menor o eje no focal: Diámetro más corto entre los vértices.

Eje Focal: Recta que pasa por los focos.

A

Foco 1 Foco 2

d1

d2


38

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA ELIPSE

En el plano la elipse es horizontal o vertical dependiendo de la posición de su eje mayor.

La ecuación y los elementos de cualquier elipse con eje focal paralelo a los ejes coordenados

y con centro en cualquier punto del plano se obtienen utilizando las relaciones siguientes:

Posición Ecuación Centro Vértices (Eje

Focal) Focos

Vértices

(Diámetro

menor)

Horizontal

Vertical

Dónde:

La distancia entre los dos focos se llama y se representa como .

La distancia entre los dos vértices del diámetro mayor se representa como .

La distancia entre los dos vértices del diámetro menor se representa como .

A Foco Foco

B

B’

A

2b

2a

2c


39

En el caso de la elipse con centro en el origen las ecuaciones adoptan una forma más sencilla,

las cuales podemos ver en la siguiente tabla:


Focal) Focos

Vértices

(Diámetro

menor)

Horizontal

Vertical

Dónde:

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Desarrollando los binomios al cuadrado de la ecuación simétrica de la elipse, simplificando

términos e igualando a cero obtendremos una ecuación de la forma:

Con A y C distintas de cero y del mismo signo.

Esta forma se conoce como forma general de la ecuación de la elipse.

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación simétrica de la elipse con focos en , de

tal forma que la suma de las distancias de cada punto de ella a los focos sea 8.

Solución: El punto medio entre los focos es por lo que estamos hablando de una elipse

con centro en el origen y observemos que los focos están sobre el eje , por lo que la ecuación

es la de una elipse horizontal.

La distancia entre los focos es igual a , por lo que podemos decir

La distancia entre los vértices será:

Calculemos b:

Con estos datos la ecuación de la elipse será:


40

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la elipse con focos en , y vértices en

.

Solución: Estamos ante una elipse con centro en el origen y observemos que los focos están

sobre el eje , por lo que la ecuación es la de una elipse vertical.

La distancia entre los focos es igual a , por lo que podemos decir

La distancia entre los vértices será:

Calculemos b:

Con estos datos la ecuación de la elipse será:

Ejemplo 3: Encontrar las coordenadas de los focos y de los vértices de la elipse:

Solución: Observemos que el denominador mayor está bajo por lo que deducimos que es

una elipse vertical y tiene centro en el origen.

Como:

Entonces:

Los focos estarán ubicados en y los vértices en y

los extremos del diámetro menor estarán en .

Ejemplo 4: Encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen si está delimitada por el

rectángulo con base de y altura de .

Solución: La elipse es horizontal con y sabiendo que la longitud del diámetro mayor es y el

diámetro menor , tendremos:

Sustituimos valores:

Ejemplo 5: Encontrar la longitud de los ejes o diámetros de la elipse


41

Solución: El valor mayor está bajo por lo que es una elipse vertical. Calculando

tendremos:

√ √

Ejemplo 6: Encontrar la ecuación simétrica de la elipse cuyos focos son si

el diámetro focal es de 8 unidades.

Solución: El centro de la elipse es , el diámetro focal vale 8 por lo que la

distancia focal es de 6 por lo que , y por lo tanto √ . La elipse es

horizontal ya que el eje focal esta paralelo al eje , por lo que la formula a utilizar es:

Sustituyendo:

Ejemplo 7: Escribir la ecuación en forma simétrica.

Solución: Agrupamos términos:

( ) ( )

Factorizamos:

( ) ( )

Completamos los trinomios cuadrados perfectos:

( ) ( )

Escribimos binomios al cuadrado:


42

Dividimos por 12

Como el número mayor está bajo la elipse es vertical y su centro es

Las coordenadas de los focos son:

( √ ) √

Las coordenadas de los vértices del eje focal son:

( √ ) √

Las coordenadas de los vértices del eje menor son:

( √ ) √

Ejercicios:

1. Encontrar las coordenadas de los vértices, focos y el centro así como la ecuación en

forma simétrica de las elipses siguientes:

a.

b.

c.

2. Encuentra la ecuación general de la elipse cuyos ejes mayor y menor son:

a.

b.

3. Encuentra la ecuación de la elipse en forma simétrica y general de acuerdo a los

siguientes datos:

a. Vértices del eje focal en y pasa por .

b. Vértice , centro y foco

4. Encuentra los puntos de intersección de la elipse con la recta dada.

a. con la recta

b. con la recta

5. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el centro de la elipse

y por el punto .


43

Excentricidad de la elipse: Se define como la relación entre la distancia focal y el eje focal, es

decir:

La excentricidad mide que tan alargada esta la elipse, si la excentricidad se aproxima a cero, la

elipse parecerá más una circunferencia y mientras la excentricidad se acerca a uno más

alargada será la elipse.

Conociendo la excentricidad de una cónica es posible conocer qué tipo de cónica es.

HIPÉRBOLA

Definición: Es el lugar geométrico formado por los puntos en el plano para los cuales es

constante la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos.

Los elementos importantes que se deben considerar en una parábola son:

d

1 d

2 F

F’

F F’

V’ V C


44

Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos.

Vértices: Puntos donde el eje focal corta la hipérbola

Centro: Punto medio entre los focos

Normal: Recta que pasa por el centro y que es perpendicular al eje focal

Refiriendo la hipérbola a un sistema de ejes coordenados, estudiaremos únicamente las

hipérbolas horizontales o verticales dependiendo de la posición de su eje focal.

HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN

En el caso de las hipérbolas horizontales (eje focal sobre el eje ) o hipérbolas verticales (eje

focal sobre el eje y) cuyo centro esté ubicado en el origen de un sistema de ejes coordenados,

las ecuaciones que las representan serán:

Posición Ecuación Centro Vértices (eje

focal) Focos

Vértices (Eje no

focal)

Horizontal

Vertical

Dónde:

Estas ecuaciones se conocen como ecuación simétrica de la hipérbola con centro en el origen.

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la hipérbola con focos ubicados en y , en

la cual la diferencia de las distancias de cualquier punto a los focos es de 4.

Solución: La hipérbola tiene centro en el origen ya que el punto medio entre los focos es

, y como los focos están sobre el eje la hipérbola es horizontal.

La distancia entre los focos es y la distancia entre los vértices es , con esto

calculamos :


45

La ecuación de la hipérbola será:

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están ubicados en y

y los vértices están en y .

Solución: Observemos que los focos están ubicados sobre el eje y (la hipérbola es vertical) y el

centro coincide con el origen.

La distancia del centro a los focos es y la distancia del centro a los vértices es .

Calculamos b:

HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

Las ecuaciones de las hipérbolas con centro en cualquier punto del plano cartesiano y con eje

focal paralelo a los ejes coordenados podemos resumirlos en la tabla siguiente:


Focal) Focos

Vértices

(Diámetro

menor)

Horizontal

Vertical

En las ecuaciones anteriores desarrollando los binomios al cuadrado, simplificando e

igualando a cero obtendremos una ecuación de la forma:

Esta ecuación se le conoce como la forma general de la ecuación de la hipérbola.

Ejemplo 1: Escribir la ecuación en la forma simétrica y

encontrar las coordenadas de los vértices y de los focos.


46

Solución: Agrupamos términos:

( ) ( )

Factorizamos los paréntesis:

( ) ( )

Completamos el trinomio cuadrado perfecto:

( ) ( )

Escribimos como binomios al cuadrado:

Dividimos entre el término independiente:

Dado que el signo del paréntesis para es positivo podemos asegurar que la hipérbola es

horizontal con centro en: , .

Los focos están ubicados en y

Los vértices con coordenadas √ √

Ejemplo 2: Encuentra la ecuación general de la hipérbola con vértices en y

con focos ubicados en y .

Solución: La hipérbola es horizontal, el centro está ubicado en , la distancia del centro a

los vértices es , la distancia del centro a los focos es , por lo que √

Escribimos la ecuación simétrica:

Desarrollamos los binomios al cuadrado:

Multiplicamos por 80 (M.C.D) para eliminar denominadores

( ) ( )


47

Efectuando multiplicaciones e igualando a cero:

Ejercicios:

I. Encuentra la ecuación de la hipérbola con los datos que se te proporcionan:

a) Focos en y vértices en .

b) Focos en y vértices en .

II. Encuentra las coordenadas de los focos, los vértices y el centro de las siguientes

hipérbolas.

III. Encuentra la ecuación de la circunferencia con radio igual a 6 y cuyo centro coincide

con el de la hipérbola .

IV. Encuentra la ecuación de la hipérbola con vértices en y que pasa por

el punto .


48

BIBLIOGRAFÍA

Bastos, J. r. (2002). Geometría Analítica. México, D.F.: GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.V.

De Oteyza, E. e. (2011). Geometría Analítica. México: PEARSON EDUCACION.

de Oteyza, E., Lam Osnaya, E., Gómez Ortega, J. A., Ramírez Flores, A., & Hernández

Garciadiego, C. (1994). Geometría Analítica. México, D.F.: PRENTICE-HALL

HISPANOAMERICANA, S.A.

es.wikipedia.org. (2013). Recuperado el 20 de 08 de 2013, de

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica

JOSEPH H. KINDLE, P. D. (s.f.). Teoría y Problemas de Geometría Analítica. McGRAW-HILL.

SWOKOWSKY, E. W. (1979). INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA.

México, D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica.


49

HERRAMIENTAS EN MICROSOFT EXCEL ®

Los archivos que se pueden descargar de www.infinitumpage.mx/IUFYOIHPIHPJION/ son

herramientas pensadas no como un sustituto de los procedimientos analíticos explicados

en clase por el profesor, sino más bien como un complemento para la comprobación de

dichos procesos.

Inicialmente quiero argumentar que se usó una herramienta tan común como Microsoft

Excel, simple y sencillamente porque en mi largo andar en el campo de la computación he

comprobado que la gran mayoría de las computadoras cuentan con dicho programa y no

será necesario instalar programas adicionales, lo cual inevitablemente nos provocaría

algunos problemas de compatibilidad. También se buscó evitar el uso de programación

(macros) por las advertencias que ello generaría y posiblemente el no funcionamiento si se

ignoraran dichas advertencias.

Estas hojas de cálculo fueron diseñadas para que el usuario final logre manipularlas aun

sin conocimientos generales sobre Excel, es decir, únicamente se dejaron habilitadas las

celdas sombreadas en rojo para evitar que se modifique accidentalmente alguna fórmula y

con ello se pierda la secuencia en los cálculos lo cual ocasionaría errores.

Las recomendaciones son muy simples, utilizar números (enteros, fraccionarios, positivos,

negativos) y en el caso particular del archivo de la línea recta se habilitaron dos espacios

para cada coeficiente, esto con la finalidad de poder escribir fracciones diferenciando el

numerador y el denominador. Con esto podremos obtener números enteros en la ecuación

de forma general únicamente se pide que si la fracción es negativa el signo se ponga en el

numerador, y en caso de ser numero entero, el denominador puede quedar en blanco o

bien poner un 0 o un 1.

Adicional a modificar datos en los espacios marcados con rojo, es posible cambiar el

tamaño del grafico, ya que debido a las escalas automaticas en ocasiones la figura

geometrica se vea deformada, pueden estirar o acortar teniendo el cuidado de no eliminar

el grafico.

Tambien pueden cambiar el tamaño de las columnas por si ocurriera que con cantidades

demasiado grandes la celda muestre ####, modificar el ancho de columnas no afecta en

lo absoluto a la funcionalidad.

Numeradores (positivos

o negativos) Denominadores

(solamente positivos)

Cualquier número (enteroso

fracciones, positivos y negativos)

http://www.infinitumpage.mx/IUFYOIHPIHPJION/


50

Espero sinceramente que estas aplicaciones tan largamente pensadas y trabajadas

puedan aportar algo en el complicado entendimiento de la Geometría Analítica, y todos los

errores que puedan observar estaria enormemente agradecido si me los hacen saber para

corregirlos a la brevedad.

Gracias de antemano por el tiempo que puedan dedicar a leer estos apuntes y al manejo

de las herramientas, lo que haga falta se intentara hacer a través de sus respetables

observaciones, quedo a sus ordenes en el correo [email protected] y

personalmente en el Colegio Primitivo y Nacional de San Nicolás de Hidalgo.

mailto:[email protected]

apuntes de geometria

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