APUNTES DE REPASO DE MATEMTICASGEOMETRA. Diagonales de un polgono

Las diagonales son los segmentos que determinan dos vrtices no consecutivos Nmero de diagonales de un polgono Si n es el nmero de lados de un polgono: Nmero de diagonales = n (n 3) : 2 4 (4 3) : 2 = 2

5 (5 3) : 2 = 5 6 (6 3) : 2 = 9

Diagonal del cuadrado

Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.

Diagonal del rectngulo

Calcular la diagonal de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

Apotema

Definicin de apotema La apotema de un polgono regular es la distancia del centro al punto medio de un lado. Apotema de un tringulo equiltero

Lado de un tringulo equiltero inscrito

Ejemplo Calcular la apotema de un tringulo equiltero de 6 cm de lado.

Apotema de un cuadrado

Apotema de un pentgono regular

Esta frmula permite calcular la apotema de cualquier polgono regular.

Ejemplo Calcular la apotema de un pentgono regular de 6 cm de lado.

Apotema de un hexgono regular

Ejemplo Hallar la apotema de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

Permetro

Definicin de permetro El permetro de una figura plana es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Permetro de un triangulo

Tringulo Equiltero Tringulo Issceles Tringulo Escaleno

Permetro de un cuadrado

Ejemplo Calcular el permetro de un cuadrado de 5 cm de lado.

P = 4 5 = 20 cm Permetro de un rectngulo

Ejemplo Calcular el permetro de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

P = 2 (10 + 6) = 32 cm

Permetro de un rombo

Ejemplo Calcular el permetro de un rombo sabiendo que la diagonales miden 30 y 16 cm.

P = 4 17 = 68 cm Permetro del romboide

P = 2 (a + b) Ejemplo Calcular el permetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.

P = 2 (4.5 + 4) = 17 cm

Permetro de un pentgono regular

Permetro de un hexgono regular

Permetro de un polgono regular

n es el nmero de lados Permetro de un crculo

Longitud de una circunferencia

Ejemplo 1 Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de dimetro.

1 A partir del dimetro

2 A partir del radio

reas de las figuras geomtricas planas I

Definicin de rea Es la medida de la regin o superficie encerrada por de una figura geomtrica plana. rea de un tringulo

Ejemplo Hallar el rea del siguiente tringulo:

rea de un cuadrado

Ejemplo Calcular el rea de un cuadrado de 5 cm de lado.

A = 52 = 25 cm2 rea de un rectngulo

Ejemplo Calcular el rea de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

A = 10 6 = 60 cm2 rea de un rombo

Ejemplo Calcular el rea de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.

rea del romboide

A=bh Ejemplo Calcular el rea de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.

A = 4 4 = 16 cm2 rea del trapecio

Ejemplo Calcular el rea del siguiente trapecio:

rea de un polgono regular

Ejemplos Calcular el rea de un pentgono regular de 6 cm de lado.

P = 5 6 = 30cm

Calcular el rea de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

P = 6 4 = 24 cm rea de un polgono

El rea se obtiene triangulando el polgono y sumando el rea de dichos tringulos. A = T1+ T2+ T3+ T4

Ejemplo Calcular el rea del siguiente polgono:

AD = BC; AB = DC A = AR+ AT

Romboide A = 11 12 + (12 5 ) : 2 = 162 cm2

reas de las figuras geomtricas planas II Longitud de una circunferencia

Ejemplo Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de dimetro. rea de un crculo

Longitud de un arco de circunferencia

Ejemplo Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como mximo un ngulo de 146. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ngulo descrito en su balanceo es el mximo.

rea del sector circular

Ejemplo Hallar el rea del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

rea de un segmento circular

rea del segmento circular AB = rea del sector circular AOB rea del tringulo AOB Sobre un crculo de 4 cm se traza un ngulo central de 60. Calcular el rea del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

rea de una corona circular

El rea de una corona circular es igual al rea del crculo mayor menos el rea del crculo menor.

Ejemplo En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, tambin de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el rea de la zona de paseo.

rea de un trapecio circular

El rea del trapecio circular es igual al rea del sector circular mayor menos el rea del sector circular menor.

Ejemplo Dadas dos circunferencias concntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ngulo de 60. Calcular el rea del trapecio circular formado.

POLGONO

Definicin de polgono Un polgono es la regin del plano limitada por tres o ms segmentos. Elementos de un polgono

Lados

Son los segmentos que lo limitan. Vrtices

Son los puntos donde concurren dos lados. ngulos interiores de un polgono

Son los determinados por dos lados consecutivos. Suma de ngulos interiores de un polgono Si n es el nmero de lados de un polgono: Suma de ngulos de un polgono = (n 2) 180 Diagonal Son los segmentos que determinan dos vrtices no consecutivos Nmero de diagonales de un polgono Si n es el nmero de lados de un polgono: Nmero de diagonales = n (n 3) : 2 4 (4 3) : 2 = 2

5 (5 3) : 2 = 5 6 (6 3) : 2 = 9

Permetro de un polgono Es la suma de las longitudes de los lados de un polgono rea de un polgono

Es la medida de la regin o superficie encerrada por de un polgono. Clases de polgonos segn sus ngulos Convexos

Todos sus ngulos menores que 180. Todas sus diagonales son interiores.

Cncavos

Si un ngulo mide ms de 180. Si una de sus diagonales es exterior.

Clases de polgonos segn sus lados Tringulos

Tienen 3 lados.

Cuadrilteros

Tienen 4 lados.

Pentgonos

Tienen 5 lados.

Hexgonos

Tienen 6 lados.

Heptgonos

Tienen 7 lados.

Octgonos

Tienen 8 lados.

Enegono

Tiene los 9 lados.

Decgono

Tiene 10 lados.

Endecgono

Tiene 11 lados.

Dodecgono

Tiene 12 lados.

Tridecgono

Tienen 13 lados.

Tetradecgono

Tiene 14 lados.

Pentadecgono

Tiene 15 lados.

Polgonos regulares Definicin de polgono regular Un polgono regular es el que tiene sus ngulos iguales y sus lados iguales. Los vrtices de un polgono regular estn circunscritos en una circunferencia

Elementos de un polgono regular

Centro Punto interior que equidista de cada vrtice Radio Es el segmento que va del centro a cada vrtice. Apotema Distancia del centro al punto medio de un lado. ngulos de un polgono regular

ngulo central de un polgono regular

Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el nmero de lados de un polgono: ngulo central = 360 : n ngulo central del pentgono regular= 360 : 5 = 72 ngulo interior de un polgono regular Es el formado por dos lados consecutivos. ngulo interior =180 ngulo central ngulo interior del pentgono regular = 180 72 = 108 ngulo exterior de un polgono regular Es el formado por un lado y la prolongacin de un lado consecutivo. Los ngulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180. ngulo exterior = ngulo central ngulo exterior del pentgono regular = 72 Permetro de un polgono regular El permetro es igual al nmero de lados por la longitud del lado. P=nl rea de un polgono regular

Polgonos inscritos y circunscritos Polgonos inscritos Un polgono est inscrito en una circunferencia si todos sus vrtices estn contenidos en ella.

Todo polgono inscrito es regular. El centro de un polgono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en l. El radio del polgono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en l. Polgonos circunscritos Un polgono est circunscrito en una circunferencia, si todos los sus lados son tangentes a la circunferencia.

El polgono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita. El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polgono circunscrito. La apotema del polgono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.

Lado de un tringulo equiltero inscrito

Calcular el lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.

Lado de un cuadrado inscrito

Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

Apotema del hexgono inscrito

Calcular la apotema de un hexgono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

Tringulos Defincin de tringulo Un tringulo es un polgono de tres lados. Un tringulo est determinado por:

1. Tres segmentos de recta que se denominan lados.

2. Tres puntos no alineados que se llaman vrtices.

Los vrtices se escriben con letras maysculas. Los lados se escriben en minscula, con la mismas letras de los vrtices opuestos.

Los ngulos se escriben igual que los vrtices.

Propiedades de los tringulos 1 Un lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. ab-c

2La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180. A + B + C =180

3 El valor de un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. =A+B = 180 - C

4En un tringulo a mayor lado se opone mayor ngulo.

5 Si un tringulo tiene dos lados iguales, sus ngulos opuestos tambin son iguales. Tringulos iguales 1Dos tringulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ngulos adyacentes. 2Dos tringulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ngulo comprendido. 3Dos tringulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.

Clases de tringulos segn sus lados Tringulo equiltero

Tres lados iguales.

Tringulo issceles

Dos lados iguales.

Tringulo escaleno

Tres lados desiguales

Clases de tringulos segn sus ngulos Tringulo acutngulo

Tres ngulos agudos

Tringulo rectngulo

Un ngulo recto El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Tringulo obtusngulo

Un ngulo obtuso.

Permetro de un triangulo

Tringulo Equiltero Tringulo Issceles Tringulo Escaleno

rea de un tringulo

Ejemplo Hallar el rea del siguiente tringulo:

rea de un tringulo rectngulo El rea de un tringulo rectngulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Ejemplo Hallar el rea del tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

Semipermetro El semipermetro de un tringulo es igual a la suma de sus lados partido por 2. Se denota con la letra p.

Frmula de Hern La frmula de Hern se utiliza para hallar el rea de un tringulo conociendo sus tres lados.

Ejemplo Hallar el rea del tringulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.

Pentgono regular El pentgono regular es una figura geomtrica plana cuyos cinco lados y ngulos son iguales.

ngulos de un pentgono Suma de ngulos interiores de un pentgono = (5 2) 180 = 540 El valor de un ngulo interior del pentgono regular es: 540 : 5 = 108 El ngulo central del pentgono regular mide: 360 : 5 = 72 Diagonales de un pentgono Nmero de diagonales = 5 (5 3) : 2 = 5

Apotema de un pentgono regular

Permetro de un pentgono regular Permetro = 5 l

rea de un pentgono regular

Ejemplo Calcular la apotema, el permetro y el rea de un pentgono regular de 6 cm de lado y cuyo radio mide 5 cm.

P = 5 6 = 30 cm

Hexgono regular El hexgono regular es un polgono de seis lados y seis ngulos iguales. Los tringulos formados, al unir el centro con todos los vrtices, son equilteros.

ngulos de un hexgono Suma de ngulos interiores de un hexgono = (6 2) 180 = 720 El valor de un ngulo interior del hexgono regular es 720/6 = 120 El ngulo central mide: 360 : 6 = 60 Diagonales de un hexgono Nmero de diagonales = 6 (6 3) : 2 = 9

Apotema del hexgono regular

Permetro de un hexgono regular Permetro = 6 l

rea de un hexgono regular

Ejemplos Calcular la apotema, el permetro y el rea de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

P = 6 4 = 24 cm

El rea de un cuadrado es 2304 cm. Calcular el rea del hexgono regular que tiene su mismo permetro.

Tipos de cuadrilteros Los cuadrilteros son polgonos de cuatro lados. La suma de sus ngulos interiores es igual a 360.

Clases de cuadrilteros Paralelogramos Los paralelogramos son los cuadrilteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Tipos de paralelogramos Cuadrado

Tiene los 4 lados iguales y los 4 ngulos rectos.

Rectngulo

Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ngulos rectos.

Rombo

Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos.

Trapecios Los trapecios son los cuadrilteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Tipos de trapecios Trapecio rectngulo

Tiene un ngulo recto.

Trapecio issceles

Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

No tiene ningn lado igual ni ngulo recto.

Trapezoides

Cuadrilteros que no tiene ningn lado igual ni paralelo. Cuadrado Definicin de cuadrado

El cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4 lados iguales y los 4 ngulos rectos.

Diagonal del cuadrado

Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.

rea de un cuadrado

Permetro del cuadrado

Ejercicios de cuadrados Calcular el rea y el permetro de un cuadrado de 5 cm de lado.

P = 4 5 = 20 cm A = 52 = 25 cm2

Calcula el rea sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del crculo mide 3 cm.

Calcular el rea del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

Rectngulo Definicin de rectngulo

El rectngulo es un paralelogramo que tiene los lados iguales dos a dos y los 4 ngulos rectos.

Diagonal del rectngulo

Ejemplo Calcular la diagonal de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

rea del rectngulo

Permetro del rectngulo

Ejemplo Calcular el rea y el permetro de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

P = 2 (10 + 6) = 32 cm A = 10 6 = 60 cm2 Rombo Definicin de rombo

El rombo es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y ngulos iguales dos a dos. rea de un rombo

Permetro de un rombo

Ejercicios de rombos Calcular el rea y el permetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.

Calcular el lado de un rombo sabiendo que la diagonales miden 30 y 16 cm.

Romboide Definicin de romboide

El romboide es un paralelogramo que tiene los lados y ngulos iguales dos a dos.

rea del romboide

A=bh Permetro del romboide P = 2 (a + b) Ejemplo Calcular el rea y el permetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.

P = 2 (4.5 + 4) = 17 cm A = 4 4 = 16 cm2 Trapecios Definicin de trapecio Los trapecios son los cuadrilteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Clases de trapecios Trapecio rectngulo

Tiene un ngulo recto.

Trapecio issceles

Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

No tiene ningn lado igual ni ngulo recto.

Lado oblicuo del trapecio rectngulo

Altura del trapecio issceles

rea del trapecio

Ejercicios de trapecios Calcular el rea del siguiente trapecio:

Calcular el lado oblicuo del siguiente trapecio rectngulo:

Calcular la altura del siguiente trapecio issceles:

El permetro de un trapecio issceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el rea.

Circunferencia Definicin de circunferencia

Es una lnea curva cerrada cuyos puntos estn todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Centro de la circunferencia Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la circunferencia Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Partes de la circunferencia Cuerda

Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Dimetro

Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita. Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un dimetro.

Longitud de una circunferencia

Ejemplo Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de dimetro.

Crculo

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia. Semicrculo

Porcin del crculo limitada por un dimetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del crculo. Zona circular

Porcin de crculo limitada por dos cuerdas. rea de un crculo

Ejercicios del crculo La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. Cul es el rea del crculo?

La superficie de una mesa est formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicrculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el rea.

Calcula el rea de la parte sombreada, si el radio del crculo mayor mide 6 cm y el radio de los crculos pequeos miden 2 cm.

En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son crculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar csped. Calcula el rea del csped.

En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el rea del crculo.

Diagonales de un poliedro Las diagonales de un poliedro son segmentos que unen dos vrtices no pertenecientes a la misma cara. Diagonal del cubo

Diagonal del ortoedro

Ejercicios Calcular la diagonal de un cubo de 5 cm de arista.

Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

Generatriz La generatriz es la lnea exterior de una superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a un cuerpo de revolucin como el cilindro o el cono.

Generatriz del cilindro

El cilindro es un cuerpo de revolucin engendrado por un rectngulo al girar en torno a uno de sus lados, que ser la altura del cilidro y el lado opuesto ser la generatriz. Por tanto la altura del cilindro ser igual a la generatriz. h=g Generatriz del cono

El cono es un cuerpo de revolucin engendrado por un tringulo rectngulo al girar en torno a uno de sus catetos, que ser la altura del cono y lal hipotenusa ser la generatriz. Por el teorema de Pitgoras la generatriz del cono ser igual a:

Generatriz del tronco de cono

El tronco de cono es un cuerpo de revolucin engendrado por un trapecio rectngulo al girar en torno al lado perpendicular a las bases, que ser la altura del cono y el otro lado ser la generatriz.

Obtenemos la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

Apotema de la pirmide

La apotema lateral de una pirmide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clculo de la apotema lateral de una pirmide

Calculamos la apotema lateral de la pirmide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

Clculo de la apotema lateral de un tronco de pirmide

Calculamos la apotema lateral del tronco pirmide, conociendo la altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

Clculo de la arista lateral de una pirmide

Calculamos la arista lateral de la pirmide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la circunferencia circunscrita, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

reas de cuerpos geomtricos Poliedros regulares

rea del tetraedro

rea del cubo

rea del octaedro

rea del dodecaedro

rea del icosaedro

rea del prisma

rea del ortoedro

rea de la pirmide

rea del tronco de pirmide

rea del cilindro

rea del cono

rea del tronco de cono

rea de la esfera

rea de la semiesfera

Volmenes de cuerpos geomtricos Poliedros regulares Volumen del Tetraedro

Volumen del cubo

Volumen del octaedro

Volumen del dodecaedro

Volumen del icosaedro

Volumen del prisma

Volumen del ortoedro

Volumen de la pirmide

Volumen del tronco de pirmide

Volumen del cilindro

Volumen del cono

Volumen del tronco de cono

Volumen de la esfera

Volumen de la semiesfera

Poliedros Definicin de poliedro Un poliedro es la regin del espacio limitada por polgonos.

Elementos de un poliedro

Caras Las caras de un poliedro son cada uno de los polgonos que limitan al poliedro. Aristas Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en comn. Vrtices Los vrtices de un poliedro son los vrtices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vrtice. ngulos diedros Los ngulos diedros estn formados por cada dos caras y tienen una arista en comn. ngulos polidricos Los ngulos polidricos estn formados por tres o ms caras del poliedro y tienen un vrtice comn. Diagonales Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vrtices no pertenecientes a la misma cara. Relacin de Euler En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:

N de caras + N de vrtices = N de aristas + 2. Cubo o hexaedro Definicin de cubo

Un cubo o hexaedro es un poliedro regular formado por 6 cuadrados iguales. Desarrollo del Cubo

Propiedades del cubo Nmero de caras: 6. Nmero de vrtices: 8. Nmero de aristas: 12. N de aristas concurrentes en un vrtice: 3. rea del cubo

Volumen del cubo

Diagonal del cubo

Octaedro Definicin de octaedro

Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 tringulos equilteros iguales. Se puede considerar formado por la unin, desde sus bases, de dos pirmides cuadrangulares regulares iguales.

Desarrollo del octaedro

Propiedades del octaedro Nmero de caras: 8. Nmero de vrtices: 6. Nmero de aristas: 12. N de aristas concurrentes en un vrtice: 4. rea del octaedro

Volumen del octaedro

Prismas Definicin de prisma Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Desarrollo de un prisma

Elementos de un prisma

Altura de un prisma es la distancia entre las bases. Los lados de las bases constituyen las aristas bsicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, stas son iguales y paralelas entre s. rea lateral de un prisma

rea total de un prisma

Volumen de un prisma

Ortoedro Definicin de ortoedro

Los ortoedros son paraleleppedos que tienen todas sus caras rectangulares. Desarrollo de un ortoedro

Diagonal de un ortoedro

rea de un ortoedro

Volumen de un ortoedro

Ejercicios de ortoedros Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

Calcula el volumen, en centmetros cbicos, de una habitacin que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razn de 6 el metro cuadrado. 1 Cunto costar pintarla. 2 Cuntos litros de agua sern necesarios para llenarla.

En un almacn de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. Cuantas cajas podremos almacenar?

Cuntas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?

Pirmide Definicin de pirmide Una pirmide es un poliedro, cuya base es un polgono cualquiera y cuyas caras laterales son tringulos con un vrtice comn, que es el vrtice de la pirmide. Desarrollo de una pirmide

Elementos de una pirmide

La altura de la pirmide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vrtice. Las aristas de la base se llaman aristas bsicas y las aristas que concurren en el vrtice, aristas laterales. La apotema lateral de una pirmide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clculo de la apotema lateral de una pirmide

Calculamos la apotema lateral de la pirmide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

Clculo de la arista lateral de una pirmide

Calculamos la arista lateral de la pirmide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la circunferencia circunscrita, aplicando el

teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

rea lateral de una pirmide

rea de una pirmide

Volumen de una pirmide

Tronco de pirmide Definicin de tronco de pirmide El tronco de pirmide es el cuerpo geomtrico que resulta al cortar una pirmide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vrtice. Desarrollo de un tronco de pirmide

Elementos de un tronco de pirmide

La seccin determinada por al corte es la base menor. Las caras laterales son trapecios. La altura del tronco de pirmide es la distancia entre las bases. Pirmide deficiente es la parte de la pirmide determinada por la base menor y el vrtice. La apotema lateral es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clculo de la apotema lateral de un tronco de pirmide

Calculamos la apotema lateral del tronco de pirmide, conociendo la

altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

rea y volumen del tronco de pirmide

Ejercicio de tronco de pirmide Calcular el rea lateral, el rea total y el volumen del tronco de la pirmide cuadrangular de aristas bsicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

Cilindro Definicin de cilindro Un cilindro es un cuerpo geomtrico engendrado por un rectngulo que gira alrededor de uno de sus lados. Desarrollo del cilindro

Elementos del cilindro

Eje Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectngulo. Bases Son los crculos que engendran los lados perpendiculares al eje. Altura Es la distancia entre las dos bases. Generatriz Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro. La generatriz del cilindro es igual a la altura. h=g

rea lateral del cilindro

rea del cilindro

Volumen del cilindro

Cono Definicin de cono Es el cuerpo de revolucin obtenido al hacer girar un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos. Desarrollo del cono

Elementos del cono

Eje Es el cateto fijo alrededor del cual gira el tringulo. Base Es el crculo que forma el otro cateto. Altura Es la distancia del vrtice a la base. Generatriz Es la hipotenusa del tringulo rectngulo.

Por el teorema de Pitgoras la generatriz del cono ser igual a:

rea lateral de un cono

rea de un cono

Volumen de un cono

Tronco de cono Definicin de tronco de cono El tronco de cono o cono truncado es el cuerpo geomtrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vrtice. Desarrollo de un tronco de cono

Elementos del tronco de cono

La seccin determinada por al corte es la base menor. La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases Los radios son los radios de sus bases. La generatriz es el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.

Obtenemos la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

rea lateral de un tronco de cono

rea de un tronco de cono

Volumen de un tronco de cono

Esfera

Definicin de superficie esfrica Una superficie esfrica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su dimetro. Definicin de esfera Una esfera es la regin del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esfrica. Elementos de la esfera

Centro Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera. Radio Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera. Cuerda Segmento que une dos puntos de la superficie esfrica. Dimetro Cuerda que pasa por el centro. Polos Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esfrica. Clculo del radio de una esfera

Calculamos la radio de la esfera, conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y el radio de la seccin, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:

rea de la superficie esfrica

Volumen de la esfera

Ejercicios de esferas

Calcular el rea del crculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

Semiesfera

Parte de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el dimetro de aquella. rea de la semiesfera

Volumen de la semiesfera