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Apuntes de Cálculo Integral
Segundo Parcial
SEP 2020 – ENE 2021
TAREA No. 11
LEYES DE LOS EXPONENTES
Expresamos como factores:
64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1,000,000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
Los factores del 64 se pueden escribir de forma abreviada como 26 y los de un millón como 106.
64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26. 1,000,000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106.
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En esta forma exponencial el 6 indica el número de veces que 2 o 10 es usado como factor. Por ejemplo: 22 = 2 x 2 23 = 2 x 2 x 2 24 = 2 x 2 x 2 x 2 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
I. Escribe en forma exponencial
3 x 3 x 3 x 3 x 3 =
6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 =
a x a x a x a x a x a =
Multiplica los factores 43 =
a5 =
34 =
Respuestas:
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243
6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 67 = 279,936
a x a x a x a x a x a = a6.
43 = 4 x 4 x 4 = 64
a5 = a x a x a x a x a
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
II. Escribe en forma exponencial, la base y el exponente
base
exponente 35
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III. Escribe como el producto de factores y multiplica
Respuestas:
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Casos especiales:
Cualquier potencia de 1 es igual a 1.
12 = 1 x 1 = 1
13 = 1 x 1 x 1 = 1
14 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1
Cuando la base es 10, el producto tiene tantos ceros como indica el exponente:
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000
105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100,000
Calcula 100 y 101.
100 =
101 =
Ocurre lo mismo, el producto tiene tantos ceros
como indica el exponente:
100 = 1
101 = 10
Por lo tanto:
80 = 1
90 = 1
a0 = 1
41 = 4
a1 = a
31 = 3
Cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, … son llamados cuadrados perfectos. Estos
números son sencillos para calcular la raíz cuadrada:
Cuadrados perfectos
12 = 1 62 = 36 112 = 121
22 = 4 72 = 49 122 = 144
32 = 9 82 = 64 132 = 169
42 = 16 92 = 81 142 = 196
52 = 25 102 = 100 152 = 225
Raíz cuadrada
√1 = 1 √36 = 6 √121 = 11
√4 = 2 √49 = 7 √144 = 12
√9 = 3 √64 = 8 √169 = 13
√16 = 4 √81 = 9 √196 = 14
√25 = 5 √100 = 10 √225 = 15
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IV. Completa los cuadrados perfectos y las raíces
Cuadrados perfectos
162 =
172 =
182 =
192 =
202 =
Raíz cuadrada
V. Ejercicios
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Formulario:
Fuente: Jiménez, René (2008). Cálculo integral. Pearson Educación: México.
VI. Ejercicios de repaso
1. − (3
5)
2
= 2. − (−5
6)
2
=
3. 32 + 23 = 4. (1
4)
3
=
5. 28 * 25 * 23 = 6. x * x17 * x5 =
7. 𝑥
𝑥5
7= 8.
𝑎
𝑎3
6=
9. ( xy )10 = 10. (𝑥
𝑧)
11
=
11. (3𝑥
4𝑦)
2
= 12. (4𝑏
3)
−2
=
aman = an+m
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13. ( x10 y5 z2 )2 = 14. (𝑥3
𝑦2)
5
=
15. 4 * 2–1 + 40 = 16. (6𝑥2𝑦
3𝑥𝑦)
−3
=
17. 3 [ 4 + ( –2 ) ( 8 )] + 33 = 18. 10 / [ ( 3 + 22 ) – ( 24 – 8 ) ] =
19. (5( √27
3+ √16
4)
√100
2
) = 20. { 3 + [ 42 – 3 (2 – 7) ] – 3 }2 =
Obtén el resultado con calculadora:
21. 59 =
22. 2100 =
23. 9π =
24. 12015 =
25. 3√2 =
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TAREA No. 12
DERIVADAS I
y = xn 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1
Calcula la derivada de las siguientes funciones
1. y = x
2. 𝑦 =1
2
3. f(x) = x2 – x
4. y = –10x
5. f(x) = x3 – 1
6. y = – 3x2 + 4x –5
7. 𝑦 = 𝑥
2
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8. f(x) = x-2 + x-1
9. f(x) = 4x
10. f(x) = 6x2 + 7x – 8
Formulas:
Fuente fórmulas: https://image.slidesharecdn.com/formulariodederivacin-110831225107-phpapp02/95/formulario-de-derivacin-1-728.jpg?cb=1314831715
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TAREA No. 13
DERIVADAS II
y = xn 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1
𝑦 = √𝑥 𝑛
= 𝑥1/𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑛𝑥
1
𝑛 − 1
Calcula la derivada de las siguientes funciones
1. 𝑦 = √𝑥5
2. 𝑓(𝑥) =1
4𝑥2
3. 𝑦 = 1
𝑥√𝑥
4. 𝑦 = 1
3𝑥2
5. y = (x + 7) =
6. f(x) = (x5 + 1) =
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7. y = (x3/2 + 2x + 1) =
8. 𝑓(𝑥) = √𝑥23
9. 𝑦 = 1
𝑥5
10. 𝑦 = 𝑥+6
√𝑥
Formulas:
Fuente fórmulas: https://image.slidesharecdn.com/formulariodederivacin-110831225107-phpapp02/95/formulario-de-derivacin-1-728.jpg?cb=1314831715
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TAREA No. 14
INTEGRALES I
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶
Calcula la integral de las siguientes funciones
1. ∫ x dx =
2. ∫ 3 dx = 3. ∫ x2 dx =
4. ∫−5
7 𝑑𝑥 =
5. ∫ 3x2dx = 6. ∫ 2x dx =
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7. ∫ 7x dx =
8. ∫ x5dx = 9. ∫ dx =
10. ∫ x3 dx =
Fuente: https://i.ytimg.com/vi/cwHBi12MLCI/maxresdefault.jpg
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TAREA No. 15
INTEGRALES II
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶
𝑦 = √𝑥 𝑛
= 𝑥1/𝑛 ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥1
𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
1𝑛⁄ +1
1
𝑛+1
𝑦 = 1
𝑥𝑛= 𝑥−𝑛 ∫
1
𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =
𝑥−2+1
−2+1=
𝑥−1
−1= −𝑥−1
Calcula la integral de las siguientes funciones
1. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 =
2. ∫ √𝑥5 𝑑𝑥 =
3. ∫1
4𝑥2 𝑑𝑥 =
4. ∫1
𝑥√𝑥 𝑑𝑥 =
5. ∫1
(3𝑥)2 𝑑𝑥 =
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6. ∫(𝑥 + 7) 𝑑𝑥 =
7. ∫(𝑥5 + 1) 𝑑𝑥 =
8. ∫ (𝑥3
2 + 2𝑥 + 9) 𝑑𝑥 =
9. ∫ √𝑥2 3
𝑑𝑥 =
10. ∫1
𝑥5𝑑𝑥 =
Fuente: https://sites.google.com/site/ittcalculointegrallogisticas2/home/pendientes-10-dic-16/formul
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TAREA No. 16
ÁREA BAJO LA CURVA
∫ 𝑥𝑏
𝑎𝑑𝑥 =
𝑥
2
2
𝑎
𝑏
= 1
2 (𝑏2 − 𝑎2)
Fuente: https://www.slideshare.net/ElizabetCr/area-bajo-la-curva-15421322?from_action=save
A
b a
f(x)
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1. ∫ 𝑥1
−3𝑑𝑥 =
2. ∫ (𝑥2 + 𝑥)2
1𝑑𝑥 =
3. ∫ (𝑥3 − 1)1
0𝑑𝑥 =
4. ∫ (−3𝑥2 + 4𝑥 − 5)3
−1𝑑𝑥 =
5. ∫ 𝑥𝑛
𝑚𝑑𝑥 =
6. ∫ 𝑥20
−1𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
3
0𝑑𝑥 =
7. ∫1
2 𝑑𝑥 =
−2
4
8. − ∫ 10𝑥−1
3𝑑𝑥 =
9. ∫ 46
3𝑑𝑥 =
10. ∫ (6𝑥2 + 7𝑥 − 8)2
0𝑑𝑥 =
Fuente: https://www.ecured.cu/images/f/f1/Integral_como_Area_DEBAJO_de_una_Curva.JPG
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Guía Segundo Parcial
CÁLCULO INTEGRAL
CECYTEQ – 2020
Fuente de las imágenes: https://pixabay.com
I. Exponentes 13. (x2) (x4) =
14. (y3) (y2) =
15. 𝑋4
𝑋4=
16. 𝑋3
𝑋5=
17. (5 + 12)0 =
18. (√𝑎2𝑏3𝑐4
)20
= 19. (x4)2 =
20. (–27)5/3 =
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21. (–32) –6/5 =
22. (( 6y )5)1/15 = II. Derivadas Calcula la derivada de las siguientes funciones.
38. y = (x – 1)2 + 2 39. f (x) = x + 2
40. f (x) = (x + 1)3
41. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
42. 𝑦 = 𝑥
3+ 2
43. 𝑦 =𝑥2
2− 3
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III. Integrales indefinidas Calcula la integral de las siguientes funciones.
1. ∫ x5 dx =
2. ∫ 3 dx =
3. ∫1
√𝑥3 𝑑𝑥 =
4. ∫1
𝑥5𝑑𝑥 =
5. ∫ (3x2 + 2x – 1) dx =
6. ∫ (4x + 1)2 dx =
7. ∫6𝑥3−5𝑥2
𝑥 𝑑𝑥 =
8. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 =
9. ∫ (3x2 – 3) dx = 10. ∫ 4x dx =
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IV. Área bajo la curva Dibuja la gráfica de la función y calcula el área bajo la curva con fórmulas de geometría. Después, evalúa la integral definida y compara las áreas: 1. y = x (de 1 a 3) Área de la figura: rectángulo A = Triángulo A = Área total =
∫ 𝑥3
1𝑑𝑥 =
2. y = 2 (de 2 a 4) Área de la figura:
∫ 24
2𝑑𝑥 =
3. y = 4x (de 1 a 3) Área de la figura:
∫ 4𝑥3
1𝑑𝑥 = =
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4. y = 2x + 3 (de 0 a 2) Área de la figura:
∫ (2𝑥 + 3)2
0𝑑𝑥 =
5. y = x2 (de 0 a 2) Área de la figura:
∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 2
0
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