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Apuntes de Campos Electromagneticos

Curso 08-09

Jose Luis Vazquez RoyDpto. Teorıa de la Senal y Comunicaciones

Universidad Carlos III de Madrid

23 de marzo de 2009

Indice general

0. Introduccion y Revision de Electricidad y Magnetismo 7

0.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.1.1. Definiciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.1.2. Vectores unitarios y cosenos directores . . . . . . . . . 7

0.1.3. Lıneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.1.4. Flujo de ~A a traves de una superficie S . . . . . . . . 8

0.1.5. Radian y estereorradian . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.2. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2.2. Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas . . . 9

0.2.3. Cambios de coordenadas cilindricas-esfericas . . . . . 9

0.2.4. Cambios de coordenadas rectangulares-esfericas . . . . 10

0.3. Calculo diferencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.3.1. Gradiente de una funcion escalar de punto ψ . . . . . 10

0.3.2. Laplaciana de una funcion escalar de punto ψ . . . . . 10

0.3.3. Divergencia de una funcion vectorial de punto ~A . . . 11

0.3.4. Rotacional de una funcion vectorial de punto ~A . . . . 11

0.3.5. Laplaciana de una funcion vectorial de punto ~A . . . . 11

0.3.6. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . 11

0.3.7. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3.8. Operadores en coordenadas cilındricas . . . . . . . . . 12

0.3.9. Operadores en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . 12

0.3.10. Identidades vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones . 13

0.5. Electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.5.1. La carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.5.2. Ley de Coulomb y principio de superposicion . . . . . 16

0.5.3. Definicion de ~E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.5.4. Definicion de ~D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.5.5. Propiedades integrales y diferenciales de ~E y ~D . . . . 18

0.5.6. Potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 INDICE GENERAL

0.6. Magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.6.1. Corriente y conceptos relacionados . . . . . . . . . . . 19

0.6.2. Fuerzas entre conductores . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.6.3. Definicion del vector de intensidad de campo magneti-co ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0.6.4. Definicion del vector de induccion magnetica ~B . . . . 22

0.6.5. Propiedades diferenciales e integrales de ~B y ~H . . . . 22

0.6.6. El Potencial vector magnetico . . . . . . . . . . . . . . 22

0.7. Energıa en campos estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.7.1. Energıa electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.7.2. Energıa magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.8. Electrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.8.1. El problema de la variacion temporal . . . . . . . . . . 24

0.8.2. La Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.8.3. La corriente de desplazamiento y las ecuaciones deMaxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1. El modelo electromagnetico 31

1.1. El campo electromagnetico sobre el cuerpo real . . . . . . . . 31

1.1.1. Ecuaciones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.1.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.1.3. Medio material de conductividad infinita. Condicio-nes de contorno en la frontera de otro medio . . . . . 33

1.1.4. Medio material de conductividad nula . . . . . . . . . 34

1.1.5. Evolucion temporal de la densidad cubica de carga . . 34

1.2. El campo electromagnetico sobre el cuerpo complejo (domi-nio de la frecuencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2.1. Soluciones estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2.2. Medio material de conductividad infinita. Condicio-nes de contorno en la frontera con otro medio . . . . . 37

1.2.3. Medio material de conductividad nula (aislante per-fecto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2.4. Medio conductor no perfecto . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3. Energıa y potencia en los campos electromagneticos reales ycomplejos. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.2. Energıa y potencia en el campo electromagnetico real.Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.3.3. Energıa y potencia en el campo electromagnetico com-plejo. Vector de Poynting complejo . . . . . . . . . . . 43

1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2. Propagacion en medio indefinido 47

. 5

2.1. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.1. Velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.2. Impedancia intrınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2. Ondas planas en medios con perdidas . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1. Ondas planas en medio buen dielectrico . . . . . . . . 50

2.2.2. Ondas planas en medio buen conductor . . . . . . . . 50

2.3. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4. Ondas planas. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.1. Observaciones sobre las ondas planas . . . . . . . . . . 52

2.5. Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.1. Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5.2. Diagrama de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.1. Representacion de estados de polarizacion . . . . . . . 56

2.7. Ondas planas en cambios de medio . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.7.1. Incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.7.2. Incidencia normal con cambio de medio . . . . . . . . 62

2.7.3. Incidencia oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3. Ondas guiadas 77

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2. Guıas cilındricas homogeneas. Planteamiento teorico de lapropagacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.1. Analisis de la variacion con z . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.2. Condiciones de contorno laterales . . . . . . . . . . . . 82

3.2.3. Condiciones de contorno de conductor perfecto . . . . 82

3.2.4. Caracterısticas de los modos . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.5. Ortogonalidad de los modos . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.6. Flujo medio de potencia a traves de una seccion rectade la guıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.7. Estudio de la guıa rectangular . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.8. Estudio de la guıa circular . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2.9. Soluciones para medios dielectricos con perdidas . . . 91

3.2.10. Condiciones de contorno para conductor con perdidas 92

3.3. Los modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.1. Estudio de la guıa coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.2. La lınea como elemento circuital . . . . . . . . . . . . 96

3.3.3. Lınea de transmision con conductor no perfecto . . . . 99

3.3.4. Cierre de la lınea con una impedancia terminal. Im-pedancia transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.5. Voltaje, intensidad e impedancia relativas . . . . . . . 103

6 INDICE GENERAL

3.3.6. Lınea equivalente a un modo . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3.7. Discontinuidades en guıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3.8. Voltaje, intensidad e impedancia relativas . . . . . . . 107

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4. Radiacion electromagnetica 113

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2. Campo radiado en funcion de las corrientes . . . . . . . . . . 113

4.2.1. Campo radiado por un dipolo infinitesimal . . . . . . 117

4.3. Parametros caracterısticos de una antena . . . . . . . . . . . 119

4.3.1. Centro de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.2. Intensidad de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.3. Directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.4. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.5. Eficiencia de radiacion de una antena . . . . . . . . . 121

4.3.6. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3.7. Teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3.8. Apertura efectiva (o Area equivalente de absorcion) . 123

4.3.9. Relacion entre directividad y apertura efectiva maxima123

4.3.10. Ecuacion de Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4. Aproximacion de campo lejano para dipolos finitos . . . . . . 125

4.4.1. Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5. Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.1. Arrays lineales uniforme equiespaciado . . . . . . . . . 128

4.5.2. Arrays planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A. Deduccion de las condiciones de contorno del campo EM 133

B. Promedio de valores complejos 139

B.1. Valor medio de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

C. Corrientes magneticas equivalentes 141

D. Principio de equivalencia 143

D.1. Campo a partir de la distribucion en una apertura . . . . . . 143

CAPITULO 0

Introduccion y Revision deElectricidad y Magnetismo

I. Revision de elementos matematicos

En este apartado se introducen los elementos basicos del calculo vectorialque seran utiles en el desarrollo de los contenidos de los apuntes. Tambiense hace un repaso breve del problema de las magnitudes y unidades en lasleyes fısicas.

0.1 DEFINICIONES BASICAS

0.1.1

Definiciones de campo

Definimos un campo escalar ψ como:

ψ : D ⊂ R3 −→ R

funcion escalar y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unescalar ψ.

Definimos un campo vectorial ~A como:

~A : D ⊂ R3 −→ R3

funcion vectorial y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unvector ~A.

Las versiones complejas de los campos escalares y vectoriales se definen demanera analoga.

0.1.2

Vectores unitarios y cosenos directores

a= Vector unitario en la direccion de ~a:

a = ~a/|~a|

8 INTRODUCCION Y REVISION DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Si los vectores estan definidos en el cuerpo complejo se debe emplear:

a = ~a/√~a · ~a∗

Cuando empleemos el sistema de coordenadas cartesiano, podemos expresarcualquier vector unitario r en funcion de los cosenos de los angulos (α, β, γ)que forma con los ejes x, y, z:

r = cosαx+ cosβy + cos γz

conocidos como cosenos directores.

0.1.3

Lıneas de campo

Las lıneas de campo son lıneas tangentes al campo vectorial en cada punto.Indican direccion y sentido e intensidad, para lo cual se dibujan de formaque hay mayor densidad de lıneas en las zonas donde la intensidad de campoes mayor.

En dinamica de fluidos, una lınea de campo es precisamente una trayectoriarecorrida por una partıcula de fluido.

0.1.4

Flujo de ~A a traves de una superficie S

Dado un campo vectorial ~A decimos que su flujo a traves de una superficieS viene dado por: ¨

S

~A · d~s

En dinamica de fluidos, donde ~A representa un campo de velocidades, eldiferencial de flujo mide la cantidad de fluido que pasa por el paralelogramotangente por unidad de tiempo.

0.1.5

Radian y estereorradian

El radian es la medida de un angulo plano y se define como el angulo planocuyo vertice, en el centro de una circunferencia de radio r, subtiende unarco cuya longitud es r.

La medida del angulo solido es el estereorradian, que corresponde al angulosolido cuyo vertice, en el centro de una esfera de radio r, subtiende unasuperficie esferica cuyo area tiene como valor r2.

Dado que la superficie de una esfera es S = 4πr2, hay 4π estereorradianesen una esfera cerrada.

El elemento infinitesimal de area ds sobre la superficie de la esfera de radior viene dado por:

ds = r2 sin θdθdφ (m2)

por lo que el elemento diferencial de angulo solido sera:

dΩ =ds

r2= sin θdθdφ (sr)

0.2. Sistemas de coordenadas 9

y vemos que se cumple, efectivamente que:¨Ω

dΩ = 4π

0.2 SISTEMAS DECOORDENADAS

0.2.1

Definicion

Dependiendo del problema y de las simetrıas que presente, es convenienteelegir el sistema de coordenadas.

Coordenadas rectangulares (x, y, z).

Coordenadas cilındricas (ρ, φ, z).

Coordenadas esfericas (r, θ, φ). Notar que el angulo θ es de revolucioncon respecto al eje z y varıa entre 0 y π mientras que el φ se midesiempre en el plano xy y varıa en un margen de 0 a 2π.

0.2.2

Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas

Las coordenadas se relacionan segun:

x = ρ cosφy = ρ sinφz = z

y los vectores unitarios (que dependen de φ): AρAφAz

=

cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

AxAyAz

AxAyAz

=

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

AρAφAz

0.2.3

Cambios de coordenadas cilindricas-esfericas

ρ = r sin θz = r cos θ

y los vectores unitarios (que dependen de θ): ArAθAφ

=

sin θ 0 cos θcos θ 0 − sin θ

0 1 0

AρAφAz

AρAθAz

=

sin θ cos θ 00 0 1

cos θ − sin θ 0

ArAθAφ

0.2.4

Cambios de coordenadas rectangulares-esfericas

Las coordenadas se relacionan segun:

x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ

y los vectores unitarios (que dependen de θ y φ): ArAθAφ

=

sin θ cosφ sin θ sinφ cos θcos θ cosφ cos θ sinφ − sin θ− sinφ cosφ 0

AxAyAz

AxAyAz

=

sin θ cosφ cos θ cosφ − sinφsin θ sinφ cos θ sinφ cosφ

cos θ − sin θ 0

ArAθAφ

0.3 CALCULO DIFERENCIALVECTORIAL

0.3.1

Gradiente de una funcion escalar de punto ψ

Sea ψ(x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define el gradiente de ψ encoordenadas rectangulares como:

∇ψ(x, y, z) =∂ψ(x, y, z)

∂xx+

∂ψ(x, y, z)∂y

y +∂ψ(x, y, z)

∂zz

Interpretacion geometrica del gradiente

Se demuestra que si ∇ψ 6= 0, entonces ∇ψ apunta en la direccion en la cualψ esta creciendo mas rapidamente.

Propiedad

Sea S la superficie que consta de aquellos (x, y, z) tales que f(x, y, z) =k=cte. El plano tangente a S en un punto (xo, yo, zo) de S esta definido porla ecuacion:

< ∇ψ(xo, yo, zo), (x− xo, y − yo, z − zo) >= 0

si ∇ψ(xo, yo, zo) 6= 0, siendo < · > el producto escalar.

0.3.2

Laplaciana de una funcion escalar de punto ψ

Sea ψ(x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define la laplaciana de ψen coordenadas rectangulares como:

4ψ(x, y, z) = ∇2ψ(x, y, z) =∂2ψ(x, y, z)

∂x2+∂2ψ(x, y, z)

∂y2+∂2ψ(x, y, z)

∂z2

0.3. Calculo diferencial vectorial 11

0.3.3

Divergencia de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-rial y de punto. Se define la divergencia de ~A en coordenadas rectangularescomo:

∇ · ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

0.3.4

Rotacional de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A = Axx + Ay y + Az z una funcion escalar y de punto. Se define elrotacional de ~A en coordenadas rectangulares como:

∇× ~A =(∂Az∂y

− ∂Ay∂z

)x+

(∂Ax∂z

− ∂Az∂x

)y +

(∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

)z

que simbolicamente puede expresarse como:

∇× ~A =

∣∣∣∣∣∣x y z

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zAx Ay Az

∣∣∣∣∣∣0.3.5

Laplaciana de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-rial y de punto. Se define la laplaciana de ~A en coordenadas rectangularescomo:

4 ~A = 4Axx+4Ay y +4Az z

0.3.6

Teorema de la divergencia de Gauss

Sea V una region y S la superficie cerrada orientada que acota V . Sea ~A uncampo vectorial definido en V . Entonces:ˆ

V

∇ · ~Adv =‹S

~A · d~s

El significado fısico de la divergencia es que en un punto P , ∇· ~A es la razondel flujo neto que sale por P por unidad de volumen.

0.3.7

Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada definida por una funcion C2, z = f(x, y),(x, y) ∈ D y sea ~A un campo vectorial C1 en S. Entonces, si L denota unacurva frontera orientada de S, tenemos:¨

S

∇× ~A · d~s =˛L

~A · d~l


El significado fısico del rotacional en un punto P , ∇ × ~A es la circulacionde ~A por unidad de area en una superficie perpendicular a d~s.

0.3.8

Operadores en coordenadas cilındricas

∇ψ =∂ψ

∂ρρ+

1ρ

∂ψ

∂φφ+

∂ψ

∂zz

∇ · ~A =1ρ

∂(ρAρ)∂ρ

+1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

∇× ~A =[1ρ

∂Az∂φ

− ∂Aφ∂z

]ρ+

[∂Aρ∂z

− ∂Az∂ρ

]φ+

[1ρ

∂(ρAφ)∂ρ

− 1ρ

∂Aρ∂φ

]z

4ψ = ∇2ψ =1ρ

∂

∂ρ

[ρ∂ψ

∂ρ

]+

1ρ2

∂2ψ

∂φ2+∂2ψ

∂z2

4 ~A =[4Aρ −

2ρ2

∂Aφ∂φ

− Aρρ2

]ρ+

[4Aφ +

2ρ2

∂Aρ∂φ

− Aφρ2

]φ+4Az z

0.3.9

Operadores en coordenadas esfericas

∇ψ =∂ψ

∂rr +

1r

∂ψ

∂θθ +

1r sin θ

∂ψ

∂φφ

∇ · ~A =1r2∂(r2Ar)∂r

+1

r sin θ∂

∂θ(sin θAθ) +

1r sin θ

∂Aφ∂φ

∇× ~A =1

r sin θ

[∂

∂θ(Aφ sin θ)− ∂Aθ

∂φ

]r+

1r

[1

sin θ∂Ar∂φ

− ∂(rAφ)∂r

]θ+

1r

[∂(rAθ)∂r

− ∂Ar∂θ

]φ

4ψ = ∇2ψ =1r2

∂

∂r

[r2∂ψ

∂r

]+

1r2 sin θ

∂

∂θ

[sin θ

∂ψ

∂θ

]+

1r2 sin2 θ

∂2ψ

∂φ2

4 ~A =[4Ar −

2r2

(Ar + cotθAθ + cscθ

∂Aφ∂φ

+∂Aθ∂θ

)]r+[

4Aθ −1r2

(csc2θAθ − 2

∂Ar∂θ

+ 2cotθcscθ∂Aφ∂φ

)]θ+[

4Aφ −1r2

(csc2θAφ − 2cscθ

∂Ar∂φ

− 2cotθcscθ∂Aθ∂φ

)]φ

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones 13

0.3.10

Identidades vectoriales

Suma y multiplicacion

~A · ~A = |A|2~A · ~A∗ = |A|2~A+ ~B = ~B + ~A~A · ~B = ~B · ~A~A× ~B = − ~B × ~A

( ~A+ ~B) · ~C = ~A · ~C + ~B · ~C( ~A+ ~B)× ~C = ~A× ~C + ~B × ~C~A · ~B × ~C = ~B · ~C × ~A = ~C · ~A× ~B~A× ~B × ~C = ( ~A · ~C) ~B − ( ~A · ~B)× ~B

( ~A× ~B) · (~C × ~D) = ~A · ~B × (~C × ~D) = ~A( ~B · ~D ~C − ~B · ~C ~D)( ~A× ~B)× (~C × ~D) = ( ~A× ~B · ~D)~C − ( ~A× ~B · ~C) ~D

Diferenciacion

∇ · (∇× ~A) = 0∇×∇Ψ = 0∇(Φ + Ψ) = ∇Φ +∇Ψ∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ∇ · ( ~A+ ~B) = ∇ · ~A+∇ · ~B∇× ( ~A+ ~B) = ∇× ~A+∇× ~B

∇ · (Ψ ~A) = ~A · ∇Ψ + Ψ∇ · ~A∇× (Ψ ~A) = ∇Ψ× ~A+ Ψ∇× ~A

∇( ~A · ~B) = ( ~A · ∇) ~B + ( ~B · ∇) ~A+ ~A× (∇× ~B) + ~B × (∇× ~A)∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ∇ × ~A− ~A · ∇ × ~B

∇× ( ~A× ~B) = ~A∇ · ~B − ~B∇ · ~A+ ( ~B · ∇) ~A− ( ~A · ∇) ~B∇×∇× ~A = ∇(∇ · ~A)−4 ~A

0.4 UNIDADES, SISTEMASDE UNIDADES YECUACIONES DEDIMENSIONES

Para expresar una magnitud en un cierto espacio de referencia, se tomacomo patron la unidad U de forma que una magnitud X puede expresarsede la forma:

X = Ux = U ′x′

siendo x la medida de esta magnitud, que variara segun la unidad elegida.

Para comparar cantidades de la misma magnitud es necesario efectuar susmedidas con la misma unidad.

Las leyes fısicas relacionan entre sı medidas de magnitudes de distinta na-turaleza. Las leyes fısicas, en general, se expresan mediante relaciones de laforma:

x = Kxa11 · xa2

2 ... · xan1 (1)

donde K es una constante y a1, a2, ..., an son numeros racionales positivoso negativos, de manera que:

Las magnitudes relacionadas mediante una ley se dice que son cohe-rentes entre sı cuando la constante K es la unidad.


Las magnitudes fısicas se dicen fundamentales cuando son indepen-dientes entre sı, es decir, no hay ninguna ley fısica que las relacione.Las unidades que tomemos para la medida de estas, las denominare-mos unidades fundamentales.

Toda magnitud fısica relacionada con las fundamentales mediante unaley fısica se denomina magnitud derivada. Sus unidades se denomi-naran unidades derivadas y se obtendran mediante una relacion deltipo (1) entre las unidades de las magnitudes fundamentales.

Como magnitudes fundamentales comunes a todos los campos de la fısica,se han tomado la longitud y el tiempo; ellas son suficientes para desarrollarla cinematica; en los demas campos de la mecanica se hace necesario utilizaruna tercera magnitud fundamental, que puede ser la masa o la fuerza. En losrestantes campos de la fısica es necesaria una cuarta magnitud fundamen-tal, tomandose en termodinamica la temperatura; en optica la intensidadluminosa y en electricidad el amperio.

Un sistema de unidades queda definido cuando se han elegido sus magnitu-des fundamentales con sus respectivas unidades de medida. A partir de estasy mediante las correspondientes leyes fısicas se deduciran sus magnitudes yunidades derivadas.

En lo que sigue utilizaremos el sistema M.K.S.A que ha pasado a formarM.K.S.A.= metro, kilogramo, segundo,amperio parte del Sistema Internacional (S.I.), adoptado oficialmente en Espana

desde 1967.El sistema C.G.S. es una variante del an-terior que utiliza el centımetro, el gramoy el segundo. Cada magnitud fundamental se representa por un sımbolo que en el Sistema

Internacional y para las magnitudes mecanicas es:

L para la longitud

T para el tiempo

M para la masa

Si en la expresion de una ley fısica sustituimos cada magnitud fundamentalpor su sımbolo, obtendremos la llamada ecuacion de dimensiones de lamagnitud derivada de que se trate.

La ecuacion de dimensiones nos permite establecer la homogeneidad de lasformulas fısicas, diciendose que una expresion es homogenea cuando ambosmiembros tienen la misma ecuacion de dimensiones. Ademas facilita el esta-blecimiento de la coherencia entre unidades fısicas, diciendose que una seriede unidades son coherentes entre sı, cuando la ecuacion de dimensiones de laley fısica que las relaciona no contiene factor numerico multiplicativo salvola unidad.

un sistema de unidades U , U1, U2, ..., Un para el cual es X = Ux, X1 =U1x1, X2 = U2x2, ..., Xn = Unxn se dice que es acorde con una ley fısicacomo la (1) cuando verifica:

x = Kxa11 · xa2

2 ... · xann (2)

Un nuevo sistema de unidades U ′, U ′1, U

′2, ..., U ′

n para el cual es X = U ′x′,X1 = U ′

1x′1, X2 = U ′

2x′2, ..., Xn = U ′

nx′n se dice que es no acorde con una

ley fısica cuando cambia la cosntante de la misma, es decir, verifica:

x′ = K ′x′a11 · x′a2

2 ... · x′an

n (3)

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones 15

El cociente entre (2) y (3):

x

x′=

K

K ′

(x1

x′1

)a1(x2

x′2

)a2

...

(xnx′n

)an

en funcion de las unidades de los respectivos sistemas se expresa:

U

U ′ =K

K ′

(U1

U ′1

)a1(U2

U ′2

)a2

...

(UnU ′n

)an

expresion que nos permite cambiar de sistema de unidades en la expresionde una ley fısica, al darnos el coeficiente k′ de la expresion correspondienteal nuevo sistema de unidades:

K ′ = KU

U ′

(U1

U ′1

)a1(U2

U ′2

)a2

...

(UnU ′n

)an

(4)

Una misma ley fısica, tal como la (1), en un cierto sistema de unidades, seexpresa mediante una relacion como la (2), mientras que en otro sistema deunidades se expresa mediante la (3), estando dado el coeficiente K ′ por laecuacion (4).


II. Revision de Electricidad y Magnetismo

En este apartado se revisan los conceptos mas importantes de la electricidady magnetismo clasicos hasta llegar al planteamiento de las ecuaciones deMaxwell.

0.5 ELECTROSTATICA

0.5.1

La cargaElectricidad deriva de ηλεκτρoν que sig-nifica ambar en griego Introducimos la funcion ρ(~r) conocida como densidad de carga

ρ(~r) =dq

dv

La carga esta cuantizada, de forma que la carga total de un cuerpo esun multiplo entero de la carga de un electron. Las distribuciones de cargaque emplearemos son continuas. Por ello, consideraremos elementos de vo-lumen suficientemente grandes como para englobar un numero elevado departıculas cargadas, de forma que deje de manifestarse su caracter discretoy veamos efectos de promedio.La unidad de carga en el sistema MKSA

(SI) es el Coulombio (C). La carga de unelectron es de −1.602× 10−19C Se entiende por carga puntual situada en ~r1 la definida como:

ρ(~r) = qδ(~r − ~r1)

donde δ(·) es una funcion delta de Dirac. Una carga puntual tiene sentidoal considerar distribuciones de carga a distancias muy grandes respecto asu tamano.

0.5.2

Ley de Coulomb y principio de superposicion

Hay dos leyes fundamentales en la electrostatica: la Ley de Coulomb y elprincipio de superposicion. Supongamos dos cargas puntuales de valor q yq′ separadas una distancia r. La Ley de Coulomb establece que la fuerzaentre ellas responde a la expresion:

~F = Cqq′

r2r

donde C es una constante que depende del medio. En un sistema racionali-zado la ecuacion anterior resulta:

~F =qq′

4πεr2r

siendo ε una constante conocida como permitividad o constante dielectricadel medio.

Cuando las cargas se encuentran en el vacıo, decimos que ε = εo. El valorde esta constante en MKSA es (notar que tiene dimensiones):

ε0 =1

36π10−9(Faradios/m) = 8.854× 10−12(F/m)

0.5. Electrostatica 17

Para medios lineales, homogeneos e isotropos distintos al vacıo, la permiti-vidad se expresa como:

ε = εrεo

siendo εr la permitividad relativa del medio, que cumple siempre εr > 1. Masadelante comentaremos brevemente como se introducen los medios materia-les en la descripcion del fenomeno electromagnetico. En cuanto al principio Un medio es homogeneo cuando sus ca-

racterısticas no dependen de las coorde-nadas, e isotropo, cuando las propieda-des del mismo varıan igual en todas lasdirecciones en torno a un punto dado.

de superposicion, establece que la fuerza que experimenta una carga dadadebida a una distribucion de cargas es la suma vectorial de las fuerzas queproducirıan cada una de las cargas de la distribucion si estuvieran aisladasdel resto.

0.5.3

Definicion de ~E

Aunque las dos leyes anteriores son suficientes para resolver cualquier pro-blema de la electrostatica, es convieniente por razones practicas y concep-tuales introducir dos ideas secundarias que seran de gran utilidad: el campoelectrico y el potencial electrostatico.

Se define el campo electrico ~E creado por q′ en la posicion de la carga qcomo la fuerza que experimenta la unidad de carga:

~E =~Fq

de donde se sigue que:~E =

q′

4πεr2r (5)

Observamos que se trata de un campo de fuerzas centrales. Sus unidadesmas habituales en MKSA son N/C o V oltio/m = V/m.

El principio de superposicion se expresa como:

~E =N∑i=1

q′i4πεr2i

ri

0.5.4

Definicion de ~D

Resulta de interes introducir un nuevo vector mas relacionado con las cargasque ~E . Definimos:

~D = ε~E (6)

asumiendo una relacion lineal entre ~E y ~D. Este nuevo campo se denominavector desplazamiento electrico o vector de densidad electrica de flujo. Paracargas puntuales, este vector tiene la propiedad de que es radial e indepen-diente del material en cuyo seno se encuentran las cargas. Ademas su flujoa traves de una superficie cerrada que englobe a la carga es igual a la cargatotal: ‹

S

~D · d~s = Σqi

y esto es independiente de la superficie en cuestion.

Cuando se trabaja con medios materiales reales (no en el vacıo), la presen-cia de un campo electrico en dichos medios puede provocar que las cargas


de las moleculas (neutra en un principio) se desplacen de forma que dichasmoleculas se polarizan. Tambien puede ocurrir que la molecula inicialmen-te se encuentre polarizada (o lo que es lo mismo, que tenga un momentodipolar permanente), por lo que el campo hara que se oriente de determi-nada forma. Grosso modo, el campo final sera la suma del campo inicialmas las contribuciones de los distintos dipolos y la distribucion de campoen el interior del material sera difıcil de determinar y presentara grandesvariaciones a nivel microscopico. De acuerdo con la evidencia experimentalse verifica:

~D = εo~E + ~Pe (7)

El vector ~Pe es el vector adicional de polarizacion electrica.Recordamos que una distribucion con unmomento dipolar ~Pe crea un campo ex-terno equivalente al que producirıa unadistribucion volumetrica de carga ρp =

−∇ · ~Pe y una distribucion superficialρs = Pen

En medios lineales, homogeneos e isotropos (7) se convierte en:

~D = εo~E + ~Pe = εo~E + εoχe~E = εo(1 + χe)~E = ε~E

donde χe es una constante positiva que depende del material y se denominasusceptibilidad electrica

0.5.5

Propiedades integrales y diferenciales de ~E y ~D

Estudiamos las propiedades integrales y diferenciales de ~E a partir de laexpresion (5) utilizando resultados conocidos del calculo vectorial.Segun el teorema de Helmholtz, un cam-

po vectorial queda unıvocamente deter-minado si se conocen su divergencia y surotacional en todos los puntos del espa-cio

Se demuestra que se verifica la ecuacion:‹S

~D · d~s =ˆV

ρdv

donde S es la superficie cerrada que encierra el volumen V .

Esta expresion se conoce como Teorema de Gauss. Esto significa que el flujoneto a traves de una superficie cerrada que no encierra ninguna carga escero.

La version diferencial de este teorema es:

∇ · ~D = ρ

Por otra parte, es facil demostrar que

∇× ~E = 0

y aplicando el teorema de Stokes a esta integral, resulta:˛~E · d~l = 0 (8)

Un campo que verifica (8) se denominaconservativo.

0.5.6

Potencial electrostatico

Esta propiedad permite una simplificacion. Sabemos que un campo quecumpla esta propiedad se puede calcular como:

~E = −∇Φ (9)

0.6. Magnetostatica 19

siendo Φ una funcion escalar y de punto denominada potencial electrostaticoque tiene una propiedad muy util: la diferencia entre dos puntos es igual altrabajo que hay que realizar para trasladar una carga unidad entre ellos.

En efecto, el trabajo que hay que realizar para transportar una carga delpunto 1 al punto 2 contra el campo ~E sera:

W12 = −ˆ 2

1

~E · d~l = Φ2 − Φ1

Ası, la diferencia de potencial entre dos puntos es igual al trabajo que hayque realizar para trasladar una carga unidad entre los dos puntos. La ecua-cion Φ(~r) = cte. define una superficie equipotencial, siendo el campo per-pendicular a estas superficies en todo punto.

Si ahora tomamos la divergencia de (9), resulta:

4Φ = −ρε

se obtiene la conocida como Ecuacion de Poisson, que para puntos delespacio donde ρ = 0 se convierte en:

4Φ = 0

conocida como Ecuacion de Laplace.

Teniendo en cuenta que el potencial creado por una carga puntual es:

Φq =q′

4πεr

para un elemento de carga ρdv′ sera dΦ = ρdv′/|~r−~r′| por lo que el potencialtotal sera, por superposicion:

Φ(~r) =1

4πε

ˆV ′

ρ(~r′)|~r − ~r′|

dv′

que corresponde a la version integral de la ecuacion de Poisson. Esta ecua-cion plantea un problema de suma en contraste con los problemas de con-diciones de contorno, bastante mas complejos, en los que ρ(~r) no se conocede antemano.

0.6 MAGNETOSTATICA

0.6.1

Corriente y conceptos relacionadosLa palabra magnetismo deriva de Mag-nesia, region de Grecia donde se encon-traron las primeras piedras iman con es-tas propiedades

Supongamos una distribucion de carga que se mueve con velocidad ~v cons-tante. Definimos un vector densidad superficial de corriente electrica ~J encada punto como:

~J = ρ~v (10)

esto es, como la cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa unaunidad de area (A/m2 en MKSA).

Supongamos ahora una densidad de corriente dependiente del tiempo ~J (~r, t)y una superficie infinitesimal d~s situada en el seno de la corriente y sea


dI la carga que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. ClaramentedI = ~J · d~s por lo que se verificara:

I =¨S

~J · d~s

I se denomina corriente a traves de la superficie S.

Supongamos que la superficie S es cerrada y que admitimos el principio deque la carga no se crea ni se destruye. Entonces, la carga total en el volumenV sera

´Vρdv y su tasa de variacion con el tiempo ∂/∂t

´Vρdv. Por tanto,

el principio de conservacion de la carga se expresa como:‹S

~J · d~s+∂

∂t

ˆV

ρdv = 0

Si aplicamos el teorema de la divergencia al primer sumando podemos susti-tuirlo por

´V∇ · ~J d~s y dado que la expresion anterior debe verificarse para

cualquier volumen V , se sigue que:

∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0 (11)

expresion matematica de la Ley de conservacion de la carga o ecuacion decontinuidad de la carga.

Si la densidad de carga ρ es una funcion solo de ~r y no varıa con el tiempo,la ecuacion anterior se convierte en:

∇ · ~J = 0

que implica que las lıneas de flujo de corriente se cierran sobre sı mismas,esto es, forman lazos cerrados.

Cuando la corriente se produce dentro de un conductor y dentro del conocidocomo margen lineal, se verifica experimentalmente la conocida Ley de Ohm(generalizada):

~J = σ~E

siendo σ la conductividad del medio (Ω−1m−1 en MKSA). El valor σ per-mite clasificar a su vez a los medios como conductores, semiconductores yaislantes, si bien esta division es relativa, como veremos mas adelante.

A partir de la anterior se deriva la Ley de Joule:

dP

dv= ~J · ~E = σ|~E|2

0.6.2

Fuerzas entre conductores

Supongamos dos lazos por los que discurren las corrientes I1 y I2 respec-tivamente. Los experimentos de Ampere mostraron que la fuerza total ~F1

sobre el circuito 1 debida a su interaccion con el circuito 2 es proporcional alas dos corrientes I1 y I2 y a una integral que depende solo de la geometrıa(ver figura 1):

~F1 = CI1I2˛C1

˛C2

d~l1 × (d~l2 × ~r12)r312

La constante de proporcionalidad C depende del medio. En un sistema

0.6. Magnetostatica 21

I2

I1

r12

dl2

dl1

Figura 1: Ley de Ampere

racionalizado, la ecuacion anterior se escribe:

~F1 =µ

4πI1I2

˛C1

˛C2

d~l1 × (d~l2 × ~r12)r312

siendo µ una constante conocida como permeabilidad magnetica del medio,cuyas unidades son (Henrio/m)=H/m en MKSA. La permeabilidad delvacıo en este sistema es

µ0 = 4π × 10−7 (H/m)

Para cualquier otro medio lineal, homogeneo e isotropo, podemos escribir:

µ = µrµo

0.6.3

Definicion del vector de intensidad de campo magnetico ~H

Partimos de una situacion en la que tenemos corrientes electricas estaciona-rias, esto es ∂ ~J /∂t = 0. Tal y como hicimos en electrostatica, es convenientedefinir un nuevo campo, imaginando que una de las corrientes produce uncampo que actua sobre la otra.

Definimos el vector intensidad de campo magnetico ~H producido por I2como:

~H =I24π

˛d~l2 × ~r12r312

Entonces, postulamos que este campo ~H ejerce una fuerza ~F1 sobre lacorriente I1 dada por:

~F1 = µI1

˛d~l1 × ~H

siendo las unidades de ~H A/m en MKSA.

Es conveniente extender la definicion de ~H asumiendo que cada elementod~I de corriente produce un campo d ~H dado por:

d ~H =I

4πd~l × ~rr3

siendo ~r el vector que une el elemento y el punto en el que se calcula elcampo. Esta expresion recibe el nombre de Ley de Biot y Savart. Notar queimplıcitamente estamos utilizando el principio de superposicion de fuerzasmagneticas.


0.6.4

Definicion del vector de induccion magnetica ~B

De la misma forma que hicimos con el campo electrico en electrostatica, esnecesario introducir el efecto de lo microscopico en nuestro planteamientomacroscopico. A efectos de calcular el campo magnetico, los medios materia-les se caracterizan mediante momentos dipolares magneticos. Introducimosun vector vector de induccion magnetica ~B definido como:

~B = µ ~H (12)

que puede expresarse como

~B = µo ~H+ ~Pm (13)

siendo ~Pm el vector adicional de magnetizacion. En medios lineales, ho-mogeneos e isotropos (13) se convierte en:

~B = µo ~H+ ~Pm = µo ~H+ µoχm ~H

donde χm es una constante positiva o negativa que depende del material yse denomina susceptibilidad magnetica

0.6.5

Propiedades diferenciales e integrales de ~B y ~H

Operando a partir de las ecuaciones anteriores, se puede demostrar que:

∇× ~H = ~J (14)

∇ · ~B = 0 (15)

esto es, el campo ~B es rotacional puro. Empleando los teoremas de la diver-gencia y Stokes llegamos a las versiones integrales:Notar que el campo ~B no es conservativo

ˆC

~H · d~l = I

conocida como Ley de Ampere, junto con‹S

~B · d~s = 0

0.6.6

El Potencial vector magnetico

Dado que ∇ × ~B es distinto de cero, no puede existir un potencial realpara calcular el campo mediante una diferenciacion. No obstante, podemosintroducir un potencial generalizado de tipo vectorial que sı cumple estapropiedad. Ademas el resultado sera valido tambien para el interior de lascorrientes.

Introducimos un vector ~A al que llamaremos potencial vector de forma que:

~B = ∇× ~A

0.7. Energıa en campos estaticos 23

por lo que se cumplira automaticamente que:

∇ · ~B = 0

Entonces, la ecuacion (14) resulta:

∇× (∇× ~A) = µ ~J

que corresponde a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas y quese puede expresar como:

∇(∇ · ~A)−4 ~A = µ ~J

Por el teorema de Helmholtz, ~A queda determinado solo cuando definamos∇ · ~A. Como tenemos libertad para hacerlo como queramos, a la vista de laecuacion anterior, interesa imponer ∇ · ~A = 0 de forma que:

4 ~A = −µ ~J

Dado que esta ecuacion tiene la misma forma que la ecuacion de Poisson,su solucion sera analoga, de forma que podemos decir que:

~A(~r) =µ

4π

ˆV ′

~J (~r′)|~r − ~r′|

dv′

0.7 ENERGIA EN CAMPOS

ESTATICOS

0.7.1

Energıa electrostatica

Suponemos una distribucion arbitraria de cargas. Se demuestra que la energıapotencial del sistema conocida como energıa electrostatica viene dada por:

WE =12

ˆV

ˆV ′

ρ(~r)ρ(~r′)|~r − ~r′|

dvdv′

Una variante de esta expresion es:

WE =12

ˆV

ρ(~r)Φ(~r)dv

Aunque esta integral se extiende solo a los puntos donde existe densidad decarga, puede ser extendida a todo el volumen de espacio Vt de la siguienteforma:

WE =12

ˆV t

~E · ~Ddv

Esta formula expresa la energıa unicamente en terminos del campo elec-trostatico, concepto basico Maxwelliano (la energıa reside en el campo noen las fuentes).


0.7.2

Energıa magnetostatica

Se demuestra que la energıa necesaria para formar una distribucion decorriente viene dada por:

WM =12

ˆV

~A · ~J dv

Aunque la energıa parece residir en las corrientes, esta expresion puedemodificarse para que la energıa se exprese unicamente en funcion del campo:

WM =12

ˆV t

~B · ~Hdv

0.8 ELECTRODINAMICA

0.8.1

El problema de la variacion temporal

La electrostatica trata distribuciones de cargas estaticas, esto es, inmovilesen promedio. Por tanto, los campos electricos que se producen son indepen-dientes del tiempo. La magnetostatica estudia los campos creados por cargasen movimiento, con la particularidad de que estas corrientes son estaciona-rias, esto es, independientes del tiempo. Los campos electricos y magneticosson, por tanto, independientes del tiempo. Ahora vamos a calcular el efectodel movimiento de las cargas de manera arbitraria, por los que los camposseran variables con el tiempo.

En espacio libre, en presencia unicamente de cargas y distribuciones decorriente pero no de materia, hay cuatro ecuaciones basicas para los cam-pos estaticos, dos para definir la divergencia y el rotacional de ~E y otrasdos para ~B. Para el caso electrodinamico, las ecuaciones que definen losrotacionales deben completarse con terminos que dependen de la variaciontemporal. Uno de ellos fue encontrado experimentalmente por Faraday. Elotro, fue postulado por Maxwell. Este conjunto de 4 ecuaciones completasse denomina ecuaciones de Maxwell para espacio libre.

0.8.2

La Ley de Faraday

Faraday encontro, empleando corrientes en lazos, que la integral curvilıneadel campo electrico alrededor de un lazo es proporcional a la variacion tem-poral del flujo magnetico a traves de ese lazo:

˛~E · d~l = −

ˆS

∂ ~B∂t· d~s (16)

La evidencia empırica indica que esta relacion entre un campo magneticovariable y el campo electrico, es una propiedad de los campos en el espacio:los cables y las corrientes que fluyen en ellos sirve unicamente para que semanifieste (16).

0.8. Electrodinamica 25

Empleando el teorema de Stokes podemos escribir:

∇× ~E = −∂~B∂t

que es la generalizacion de la ley ∇× ~E = 0 de la electrostatica.

Si generalizamos lo anterior a lazos de forma variable se obtiene la conocidaLey de Lenz :

fem = −∂φ∂t

(17)

siendo φ el flujo a traves de la superficie que define el lazo y fem la fuerzaelectromotriz generada.

0.8.3

La corriente de desplazamiento y las ecuaciones de Maxwell

Discutimos ahora una generalizacion de las ecuaciones anteriores debidaa James C. Maxwell. Esta generalizacion es un postulado que se entiendemejor si miramos al contexto de la epoca en que se introdujo.

Consideremos la ecuacion de la magnetostatica ∇ × ~B = µ ~J . Si tomamosla divergencia de esta ecuacion obtenemos:

∇ · ~J = 0

Sabemos que el hecho de que la divergencia de un vector sea cero implicaque las lıneas de campo se cierran sobre sı mismas. Por lo tanto, la ecuacionanterior implica que la corriente fluye en lazos cerrados. Esto es lo queocurre con campos estaticos. Sin embargo ahora, nos encontramos ante unasituacion diferente.

Si p. ej. consideramos un condensador que se carga conectando las dos pla-cas a una baterıa, podemos decir que existe corriente en el cable pero nohabra corriente entre las placas del condensador. La concepcion de esteproceso por parte de Maxwell es diferente. Para entenderla acudimos a losdescubrimientos de Faraday sobre el fenomeno de la polarizacion o lo quees lo mismo, a la separacion de cargas en un medio material debido a lapresencia de un campo electrico. Las cargas deben moverse para separarsey, dado que las cargas en movimiento constituyen una corriente, el procesode polarizacion implica la existencia de una corriente que puede llamarsecorriente de polarizacion. En aquel momento se suponıa que las accioneselectromagneticas no se transmitıan a traves del vacıo sino a traves de uneter que no era distinto en nada a la materia dielectrica. Por lo tanto, noera raro que Maxwell extendiera el concepto de corriente de polarizacion aleter.

Maxwell considero que, en el proceso de carga de un condensador, los cablesdel condensador y el eter entre dichas placas formaban un circuito materialcontinuo. Para ello, modifico las ecuaciones anteriores como se indica acontinuacion.

A partir de ∇ · ~D = ρ se sigue:

∂ρ

∂t=

∂

∂t∇ · ~D


Si introducimos esto en la ecuacion de continuidad de carga (11) obtenemos:

∇ ·

[~J +

∂ ~D∂t

]= 0 (18)

El segundo sumando ∂ ~D/∂t tiene las dimensiones de una corriente y fuedenominado por Maxwell corriente de desplazamiento. Si consideramos quela corriente total consiste en una densidad de corriente mas una corriente dedesplazamiento, vemos que la corriente total siempre fluye en lazos cerrados.Sin embargo, debemos recordar que la corriente de desplazamiento no es unacorriente en el sentido ordinario, ya que no esta asociada a un flujo de carga.

A partir del resultado (18), Maxwell generalizo la Ley de Ampere diferencial∇ × ~H = ~J asumiendo que para los campos variables con el tiempo, lacorriente en esta formula deberıa ser la corriente total incluyendo la corrientede desplazamiento, de forma que esta ecuacion resulta:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

(19)

Esta ecuacion es un postulado que ha quedado contrastado ampliamentepor la experiencia. Entonces, las ecuaciones del modelo de Maxwell son:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

∇× ~E = −∂~B∂t

y si imponemos como postulado la ley de conservacion de carga:

∇ ~J +∂ρ

∂t= 0

se puede demostrar facilmente que se cumple:

∇ · ~D = ρ

∇ · ~B = 0

Ademas, en el sistema de ecuaciones planteado, hemos de considerar el tipode medio material (ε, µ, σ):

~J = σ~E~D = ε~E~B = µ ~H

conocidas como relaciones constitutivas del medio material

Las ecuaciones de Maxwell permiten calcular los campos ~E , ~D, ~B y ~H a partirde fuentes arbitrarias. Dado que estos campos son importantes debido a suaccion sobre las cargas, los fundamentos de la teorıa electromagnetica secompletan prescribiendo como es dicha accion. Para ello se utiliza la Ley dela densidad de fuerza de Lorentz : dada una distribucion de carga arbitrariacaracterizada por ρ(~r) que se mueve a una velocidad ~v(~r) con respecto a unsistema de referencia inercial en el cual hay campos ~E y ~B, la densidad defuerza (fuerza/unidad volumen) que actua sobre la distribucion ~f es:

~f = ρ(~E + ~v × ~B)

0.8. Electrodinamica 27

Observamos como el primer sumando es una extension del campo elec-trostatico al caso electrodinamico. El segundo sumando es la esencia delpostulado. Generaliza los resultados obtenidos en magnetostatica sobre lafuerza entre dos lazos con corrientes estacionarias. Por ultimo, la energıa al-macenada (electrica y magnetica) por el campo electromagnetico vendra da-da por:

WE =12

ˆV t

~E · ~Ddv

WM =12

ˆV t

~B · ~Hdv

Como veremos a lo largo del curso, los conceptos clave del planteamiento,ampliamente validado por la experiencia, son:

la introduccion de ~D y ~H

la simetrizacion del sistema ( ~J + ∂ ~D/∂t no tiene manantiales)

la inseparabilidad ~E ↔ ~B: observamos como estan acoplados en lasecuaciones y que, aunque se verifique ~J = 0 existiran fuentes de cam-po magnetico si ∂ ~D/∂t 6= 0, por lo que si existen campos electricosvariables, estos se convierten en fuentes de campo magnetico variabley lo mismo ocurre al contrario: aunque no existan distribuciones decargas, si existen campos magneticos variables ∂ ~B/∂t 6= 0, estos seconvierten en fuentes de campo electrico.


0.9 EJERCICIOS 0.2 Sean los vectores ~a = 3x+ 2y − z y ~b = −y + 3z. Calcule:

A. ~a ·~b

B. ~a×~b

C. Angulo que forman ~a y ~b

D. Vector unitario en la perpendicular del plano que forman ~a y ~b

Sol : A) −5; B) 5x− 9y − 3z; C) 115; D) ± 1√115

(5x− 9y − 3z)

0.3 Sean los vectores ~a = 3jx+ 2y − jz y ~b = −y + (1 + 2j)z. Calcule:

A. |~a| y |~b|

B. |~a ·~b∗|

C. 12Re[~a×~b

∗]

Sol : A) |~a| =√

14 ; |~b| =√

6; B) |~a ·~b∗| = 3; C) 1/2Re[~a×~b∗] = x+ 3y

0. 4 Indicar las coordenadas esfericas que definen:

A. La direccion z

B. El plano bisector de los ejes xy

C. La direccion ~r = −x+ y + z

Sol : A) θ = 0; B) φ = π/4; C) φ = 135 θ = 54.73

0. 5 Expresar la curva ρ = a(1 + cosφ) en coordenadas cartesianas.

Sol : x2 + y2 = a√x2 + y2 + ax

0. 6 Expresar en coordenadas cilındricas el vector ~r = x − y + 2z en ladireccion definida por φ = 3π/2

Sol : ~r = ρ+ φ+ 2z

0. 7 Calcule el gradiente de los campos escalares:

A. ψ =√x2 + y2 + z2

B. ψ = r

C. ψ = 1r

D. ψ = 3x2 + yz

Para el cuarto caso, calcule un vector unitario que apunte a la direccion demaxima variacion de ψ en el punto Po(1,−1, 0).

Sol : A) x√x2+y2+z2

x + y√x2+y2+z2

y + z√x2+y2+z2

z = r; B) r; C) − 1r2 r; D)

(6x+ y)x+ xy; v = 1√26

(5x+ y)

0.9. Ejercicios 29

0. 8 Sea ~A = 3x2yx+ (x3 + y3)y. Verificar que ~A es irrotacional.

Sol : ∇× ~A = 0

0. 9 Calcular 4( 1r ) para r 6= 0.

Sol : 4Ψ = 1/r2 ∂∂r [r

2 ∂ψ∂r ] con ψ = 1/r ⇒ 4( 1

r ) = 0

0. 10 Sea ~F = k Qr2 r un campo vectorial central, donde k y Q son cons-tantes. Calcular

´V∇ · ~Fdv siendo V el volumen definido por una esfera de

radio R centrada en el origen de coordenadas.

Sol : kQ4π

0. 11 Sea U(r, θ.φ) = Uo

r2 sin θ. Calcular cuanto vale¸SUds.

Sol : π2Uo

0. 12 Demostrar que cualquier solucion de la ecuacion∇×∇× ~A−k2 ~A = 0satisface automaticamente la ecuacion vectorial de Helmholtz 4 ~A+k2 ~A = 0y la condicion solenoidal ∇ · ~A = 0.

Sol : Aplicando ∇· a la ecuacion y simplificando ⇒ ∇· ~A = 0; Desarrollando∇×∇ y aplicando lo anterior ⇒ 4 ~A+ k2 ~A = 0

CAPITULO 1

El modelo electromagnetico

1.1 EL CAMPO

ELECTROMAGNETICOSOBRE EL CUERPO REAL1.1.1

Ecuaciones locales

Postulamos que las magnitudes que intervienen en el electromagnetismoestan ligadas por las ecuaciones locales:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

(1.1)

∇× ~E = −∂~B∂t

(1.2)

∇ ~J +∂ρ

∂t= 0 (1.3)

∇ · ~D = ρ (1.4)

∇ · ~B = 0 (1.5)~J = σ~E (1.6)~D = ε~E (1.7)~B = µ ~H (1.8)

Las dos primeras son igualdades vectoriales y se conocen habitualmente conla designacion de primera y segunda ecuacion de Maxwell, respectivamente.La tercera, escalar, traduce el postulado de la conservacion de la cargaelectrica y, unida a la cuarta y la quinta, tambien escalares, forma el bloquede las ecuaciones de la divergencia. Las tres ultimas, vectoriales, introducenlas constantes materiales σ, ε y µ que caracterizan electromagneticamenteel medio soporte del campo (relaciones constitutivas del medio material).

Ha de indicarse que, el sistema de ecuaciones ası establecido es compatiblea pesar de no ser independiente. Vemos que efectivamente no lo es ya que(1.4) es consecuencia de (1.1) y (1.3) y (1.5) lo es de (1.2).

Si tomamos la divergencia de los dos mimebros de (1.1) y tenemos en cuentaque el operador ∇ · (∇×) es identicamente nulo, llegamos a:

∇ · ~J +∇ · ∂~D∂t

= 0

32 EL MODELO ELECTROMAGNETICO

sustituyendo en esta igualdad ∇ · ~J , de acuerdo con (1.3) y conmutandoel orden de los operadores ∇· y ∂/∂t en el segundo termino del primermiembro, obtenemos:

− ∂ρ

∂t+∂

∂t∇ · ~D = 0

o lo que es lo mismo:∂

∂t(∇ · ~D − ρ) = 0

que nos dice que ∇ · ~D− ρ no varıa localmente en el transcurso del tiempo.Su valor actual en un punto del espacio debe ser igual al que tenıa en elmismo punto en cualquier instante anterior, p. ej. hace un millon de anos.Es natural admitir que este valor era cero y, en consecuencia:

∇ · ~D = ρ

Repitiendo el mismo razonamiento con (1.2) se llega a (1.5).

Por ultimo, hay que destacar las siguientes observaciones:

A. Los campos vectoriales y escalares que aparecen en las ecuacionesanteriores son reales, por su propia definicion.

B. En lo sucesivo, salvo indicacion expresa, consideraremos las tres cons-tantes materiales σ, ε y µ como magnitudes escalares independientesdel punto del espacio y del tiempo, consecuencia de admitir que elmedio es homogeneo e isotropo.

C. Todas las leyes integrales del electromagnetismo experimental se de-ducen con todo rigor de las ecuaciones postuladas.

1.1.2

Condiciones de contorno

Para resolver el sistema de ecuaciones en derivadas parciales (1.1)-(1.8) hayque anadir:

A. Condiciones de contorno

B. Condiciones lımite

C. Condiciones iniciales

que exige cualquiera de estos sistemas para su resolucion. Vamos a limitarnosa las primeras, pues las segundas, ademas de ser las habituales, no nos serannecesarias, y las ultimas, como veremos mas adelante, seran sustituidas porla busqueda de soluciones estacionarias (Fourier).

Las condiciones de contorno relacionan los valores que toman las magni-tudes del campo electromagnetico en dos puntos infinitamente proximos,situados a uno y otro lado de una superficie de discontinuidad del espaciosoporte del campo, superficie que sera la frontera de dos medios materialeselectricamente distintos, que no estan caracterizados por las mismas cons-tantes σ, ε y µ (habitualmente conocidos como medios 1 y 2 ).

Postulamos que las magnitudes que intervienen en cualquier problema decampo electromagnetico satisfacen las condiciones de contorno, sobre una

1.1. El campo electromagnetico sobre el cuerpo real 33

superficie de separacion S de dos medios distintos (anexo A):

n · ( ~D2 − ~D1) = ρs

n · ( ~B2 − ~B1) = 0

n · ( ~J2 − ~J1) = −∂ρs∂t

n× ( ~H2 − ~H1) = ~Jsn× (~E2 − ~E1) = 0

en que n es un vector unitario normal a S y dirigido del medio 1 hacia elmedio 2. Veamos ahora que ocurre en dos casos particulares.

1.1.3

Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en lafrontera de otro medio

Supongamos un medio conductor perfecto, en que σ →∞. La densidad decorriente ~J en un punto cualquiera de tal medio seguira valiendo:

~J = σ~E

y sera infinita si ~E es distinto de cero. Como es inadmisible fısicamente que~J valga infinito en ningun punto, ~E debe ser nulo en todos los puntos delmedio. Pero entonces, (1.2) nos dice que ~B no varıa en el transcurso deltiempo, y retrocediendo entonces en este como lo hicimos antes, deducimosque ~B debe ser tambien nulo.

Como ~D = ε~E y ~B = µ ~H, y tanto ε como µ no pueden ser infinitos, noson posibles la creacion ni la propagacion del campo electromagnetico enmedios de conductividad infinita.

El razonamiento parece impecable, pero no lo es si ~H y ~D son nulos en todoslos puntos del medio, lo que nos dice que ~J tambien debe ser cero, o seaque no pueden existir corrientes de conduccion en medios superconductores.Si queremos eliminar esta contradiccion, debemos aceptar que ∂ ~D/∂t y, enconsecuencia ~D, sean distintos de cero, lo que exige que ε sea infinita; ~Dqueda indeterminada, en consecuencia. Como no existen medios materialesde valor infinito de µ, si ~B es cero ~H sera nulo.

Consideremos ahora las condiciones de contorno en la frontera S de unmedio 1, de condictividad infinita, y un medio 2, de conductividad finita.Aceptando que ~J y ~D no sean nulos, quedan indeterminados, por lo quehabıa que prescindir de las ecuaciones en que intervienen. Por otra parte~E1 = ~B1 = ~H1 = 0, ~B2 = µ ~H2 y las condiciones (A.1)-(A.5) se reducen a:

n · ~B2 = 0 ⇐⇒ n · ~H2 = 0 (1.9)

n× ~H2 = ~Js (1.10)

n× ~E2 = 0 (1.11)

Observamos que:

(1.9) afirma que debe ser nula la componente de ~H2 segun la normala S

(1.11) establece que lo mismo debe ocurrir para la componente de ~E2

segun el plano tangente a S


(1.10) da explıcitamente la corriente superficial en funcion de ~H2

Podemos expresar estos resultados de modo sencillo diciendo que en lospuntos de un medio material de conductividad finita inmediatos a una su-perficie frontera con otro de conductividad infinita, el campo electrico debeser normal y el campo magnetico tangencial a dicha superficie. Ademas, lacorriente sobre este viene dada por (1.10), en que n es un vector unitarionormal dirigido en el sentido que va del medio conductor perfecto al otromedio.

1.1.4

Medio material de conductividad nula

Si un medio material es un aislante perfecto, σ es cero y (1.6) nos diceque no hay corrientes de conduccion ~J en ningun punto del medio. Peroentonces, (1.3) establece que la densidad cubica de carga no depende deltiempo, es decir, que se mantiene igual al valor inicial en todos los puntosdel medio. Es un resultado que fısicamente podıamos haber dado a priori,pues si el medio no es conductor, no permitira el desplazamiento de cargasen su interior y ρ se mantendra invariable.

En los problemas que trataremos a continuacion supondremos, salvo encasos excepcionales, que es un aislante perfecto el medio para el que plan-tearemos y resolveremos las ecuaciones de Maxwell y, en consecuencia, pres-cindiremos de ~J . A pesar de que esta hipotesis solo implica que ρ sea in-dependiente del tiempo, pero no identicamente nula, postularemos tambienesta anulacion, apoyandonos en el resultado a que llegaremos en el apartadosiguiente. Las ecuaciones locales para estos medios aislantes seran pues:

∇× ~H =∂ ~D∂t

∇× ~E = −∂~B∂t

∇ · ~D = 0

∇ · ~B = 0~D = ε~E~B = µ ~H

1.1.5

Evolucion temporal de la densidad cubica de carga

Sea un medio material homogeneo e isotropo cualquiera con σ finita y nonula, para el que son validas las ecuaciones (1.1)-(1.8). De (1.3) y (1.6),deducimos que:

∇ · ~J = ∇ · (σ~E) = σ∇ · ~E = −∂ρ∂t

por lo que

∇ · ~E = − 1σ

∂ρ

∂t

y de (1.4) y (1.7):∇ · ~D = ∇ · (ε~E) = ε∇ · ~E = ρ

1.2. El campo electromagnetico sobre el cuerpo complejo (dominio de la frecuencia) 35

se sigue que:∇ · ~E =

ρ

ε

Igualando los segundos miembros de estas ecuaciones, dado que el primermiembro es el mismo, llegamos a:

− 1σ

∂ρ

∂t=ρ

ε=⇒ ∂ρ

∂t= −σ

ερ

ecuacion que da la dependencia temporal de ρ y cuya integracion inmediataes:

ρ(x, y, z, t) = ρo(x, y, z, to)e−σε t = ρo(x, y, z, to)e−

tτ

siendo τ = ε/σ la constante de relajacion del medio, valor de t que corres-ponde a una caıda de 1/e (63%).

En esta solucion, ρo(x, y, z, t) es el valor de la densidad cubica de carga enel punto (x, y, z) en el instante inicial t = 0. Pero este resultado nos diceque, salvo el caso extremo de un aislante rigurosamente perfecto, en que σsea identicamente nulo, la densidad cubica de carga tiende a anularse en eltranscurso del tiempo, siendo tanto mas rapida esta tendencia cuanto menorsea la cte. τ . P. ej. para el Cobre (conductor), τ = 1.5 · 10−17 s y para elcuarzo (aislante) τ = 20 dıas.

En consecuencia, salvo si en un instante determinado creamos voluntaria-mente una densidad cubica de carga, su evolucion temporal sera continua-mente decreciente y esta disminucion sera un proceso que se habra iniciadoen el comienzo de los tiempos. Es pues natural suponer que, por pequenoque sea σ, la densidad cubica de carga es despreciable y admitir que estadensidad es cero.

1.2 EL CAMPO

ELECTROMAGNETICOSOBRE EL CUERPOCOMPLEJO (DOMINIO DELA FRECUENCIA)

1.2.1

Soluciones estacionarias

De la misma forma que se hace en la teorıa de circuitos, cuando se trabajaen regimen permanente (soluciones estacionarias) es conveniente imponervariaciones de tipo armonico en el tiempo. En ese caso, tal y como ocurreen cualquier sistema lineal, excitaciones de entrada con la forma:

x(t) = cosωt

proporcionan salidas del tipo:

y(t) = A cos(ωt+ φ)

Dado que el seno o el coseno no son mas que combinaciones de las expo-nenciales complejas ejωt y e−jωt, es mas sencillo suponer que la senal deentrada es directamente una de estas funciones:

X(ω) = ejωt

a la que corresponde una salida

Y (ω) = H(ω)X(ω) = Aejφ · ejωt


quedando el problema caracterizado por un numero complejo H = Aejφque depende de ω. Esta notacion se conoce como fasorial. Entonces, paratrasladar al dominio del tiempo cualquier fasor basta con multiplicar porejωt y tomar la parte real, p. ej. en el caso del fasor Y :

y(t) = Re[H · ejωt]

o la parte imaginaria si nuestra referencia es el seno. En cualquier caso, estono es una limitacion de cara a trabajar con senales de variacion arbitra-ria, ya que estas se pueden expresar como suma de senos y cosenos en ωt(transformada de Fourier).Las exponenciales ejωt son autofuncio-

nes de los sistemas lineales y los autova-lores asociados son los H Todo lo visto hasta ahora para senales de una dimension, es directamente

trasladable al calculo del campo EM en regimen permanente, ya que lasecuaciones de Maxwell son un sistema lineal, con la particularidad de quelas magnitudes que manejamos son vectoriales, de forma que los fasoresson tambien vectoriales. De esta forma podemos trabajar con campos decomponentes complejas ~E que se pueden trasladar al dominio del tiemposin mas que tomar:

~E = Re[ ~E · ejωt] (1.12)

Una ventaja de este planteamiento es que la variable t y las derivadas ent desaparecen, quedando la frecuencia ω como parametro que se conocede antemano (especificado en cada caso). P. ej. si imponemos este tipo desolucion a la ecuacion del rotacional de ~E y trabajamos en el cuerpo complejo(o dominio de la frecuencia), tendremos:

∇×Re[ ~Eejωt] = − ∂

∂t(Re[ ~Bejωt])

Re[∇× ~Eejωt] = Re[− ∂

∂t( ~Bejωt]) = Re[−jωt ~Bejωt]

que, de forma compacta, se enscribe en el cuerpo complejo como:

∇× ~E = −jω ~B

y tenemos una ecuacion que relaciona directamente los fasores complejos ~Ey ~B a partir de los cuales se pueden calcular los campos en el dominio deltiempo ~E y ~B aplicando ecuaciones del tipo (1.12).El planteamiento presentado es equiva-

lente a trabajar directamente con lastransformadas de Fourier de las ecuacio-nes y los campos

Entonces, el sistema de las ecuaciones de Maxwell junto con las relacionescostitutivas del medio y las condiciones de contorno expresado en el cuerpocomplejo es:

∇× ~H = ~J + jω ~D (1.13)

∇× ~E = −jωµ ~H (1.14)

∇ · ~D = 0 (1.15)

∇ · ~B = 0 (1.16)~J = σ ~E (1.17)~D = ε ~E (1.18)~B = µ ~H (1.19)

(1.20)

1.2. El campo electromagnetico sobre el cuerpo complejo (dominio de la frecuencia) 37

junto con las condiciones de contorno:

n · ( ~D2 − ~D1) = ρs (1.21)

n · ( ~B2 − ~B1) = 0 (1.22)

n · ( ~J2 − ~J1) = −jωρs (1.23)

n× ( ~H2 − ~H1) = ~Js (1.24)

n× ( ~E2 − ~E1) = 0 (1.25)

y resuelto el problema planteado por estas ecuaciones, se obtienen las versio-nes de los campos en el dominio del tiempo tomando la parte real o imagariade cada vector multiplicado por ejωt.

Si existieran densidades de corrientes debidas a fuerzas no electromagneti-cas, y por tanto independientes del campo, la ecuacion (1.13) se escribirıa:

∇× ~H = ~Jext + ~J + jω ~D

1.2.2

Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en lafrontera con otro medio

Las condiciones de contorno aplicables en este caso son:

n · ~B2 = 0 ⇐⇒ n · ~H2 = 0 (1.26)

n× ~E2 = 0 (1.27)

n× ~H2 = ~Js (1.28)

Puesto que las partes reales e imaginarias de ~E2 y ~H2 satisfacen a (1.26) y(1.27), podemos traducir en palabras tales ecuaciones diciendo que en lospuntos infinitamente proximos a un medio que sea conductor perfecto, loscampos complejos electrico y magnetico deben ser respectivamente normaly tangencial a la superficie que limita dicho medio.

1.2.3

Medio material de conductividad nula (aislante perfecto)

Las ecuaciones correspondientes a un medio material de tal caracterısticase deducen del sistema anterior sin mas que anular la conductividad σ delmedio en cuestion.

1.2.4

Medio conductor no perfecto

Es interesante hacer observar que si para un medio conductor, pero noperfecto, hacemos en el sistema de ecuaciones la sustitucion

σ + jωε = jωεc

las nuevas ecuaciones con esta nueva permitividad son las correspondientesa un medio aislante. En consecuencia, si el medio es conductor, podemostratarlo como aislante de permitividad compleja εc(εc ∈ C) mediante:


εc = ε− jσ

ωNotar que la parte imaginaria de εc esnegativa que se suele expresar como:

εc = ε[1− j

σ

ωε

]De esta forma, el sistema de las ecuaciones de Maxwell en medios ho-mogeneos, lineales y con perdidas se puede escribir tambien como:

∇× ~H = jωεc ~E

∇× ~E = −jωµ ~H

junto con las condiciones de contorno, que pueden reagruparse como:

n · [εc2 ~E2 − εc1 ~E1] = 0 (1.29)

n · [µ2~H2 − µ1

~H1] = 0 (1.30)

n× [ ~E2 − ~E1] = 0 (1.31)

en medios lineales y homogeneos.

Como puede observarse, la parte imaginaria de la permitividad complejaesta relacionada con la conductividad y por lo tanto, con las corrientes deconduccion y las perdidas por efecto Joule.

A frecuencias altas, por encima de los GHz, existe otro mecanismo por elcual pueden aparecer perdidas o lo que es lo mismo, parte imaginaria enεc. Este tiene que ver con calentamiento del material debido al amortigua-miento de las vibraciones de los dipolos e iones de que esta constituido(microscopico). Esto equivale a decir que los vectores ~D y ~E no son direc-tamente proporcionales (es decir, estan en fase), sino que aparece un ciertoretardo o desfasaje entre ellos que es mas sencillo de expresar en el dominiode la frecuencia mediante una parte imaginaria ε′′:

~D = (ε′ − jε′′) ~E = [ε′(f)− jε′′(f)] ~E =√ε′2 + ε′′2 e−jφ ~E

Para tener en cuenta este efecto se debe anadir un nuevo sumando a εc:

εc = ε′ − jε′′ − jσ

ω

En la practica, las perdidas debidas a σ y las debidas a ε′′ son indistinguibles.Por ello, una cantidad de interes y ademas medible, relacionada con estaexpresion, es la conocida como tangente de perdidas electricas del materialque se define como:

tan δ =ωε′′ + σ

ωε′

de forma que se verifica:Un material con perdidas es aquel en elque tan δ 6= 0

εc = ε(1− j tan δ)

que en funcion de la permitividad relativa εr resulta:

εc = εrεo(1− j tan δ)

donde εo es la permitividad del vacıo. Finalmente, hay que destacar que~D = (ε′ − jε′′) ~E 6= εc ~E.Un mismo medio material puede ser ais-

lante a unas frecuencias y conductor aotras

1.3. Energıa y potencia en los campos electromagneticos reales y complejos. Vector de Poynting 39

Por ultimo, hay que senalar que aunque con campos estaticos se puedendividir los materiales en conductores y aislantes dependiendo de la cte. derelajacion τ , no ocurre lo mismo en la electrodinamica. No obstante, esposible establecer un criterio, que dependera de la frecuencia, segun el cualse considera (analizando el termino jωεc ~E en la ecuacion del rotacional de~H):

Conductor: aquel medio en el cual predomina la corriente de conduc-cion sobre la de desplazamiento (predomina la parte imaginaria enεc):

σ + ωε′′(f) >> ωε′(f)

Aislante (dielectrico): aquel medio en el cual predomina la corrientede desplazamiento sobre la de conduccion (predomina la parte real enεc):

ωε′(f) >> σ + ωε′′(f)

1.3 ENERGIA Y POTENCIAEN LOS CAMPOSELECTROMAGNETICOSREALES Y COMPLEJOS.VECTOR DE POYNTING

1.3.1

Introduccion

El estudio electromagnetico se inicia con la electrostatica y sus definicio-nes de carga electrica y campo electrico, ligadas entre sı por el conceptomecanico de fuerza. Dada una distribucion estatica de cargas sobre conduc-tores, puede obtenerse energıa mecanica de esta distribucion por alteracionde la misma o por desplazamiento de los conductores. En consecuencia, ala configuracion estatica en cuestion le corresponde una energıa mecanicapotencial, de origen electrico, denominada energıa electrostatica.

Para evaluarla se extiende el principio de conservacion de la energıa, queincluıa ya las energıa mecanica y calorıfica, a este nuevo tipo y se calcula lacorrespondiente a una distribucion estatica de cargas, partiendo de la basede que sera igual a la energıa mecanica que hay que gastar para llegar aesa configuracion desde otra energıa nula, siempre que no hayan aparecidoenergıas de los tipos ya conocidos, mecanica y calorıfica.

Para hacer este calculo se elige arbitrariamente como configuracion de energıanula la que presenta ausencia total de cargas electricas a distancia finita delos conductores, estando tales cargas a distancia infinita. Esta afirmacionno es objetable, dado que solo estaremos interesados en conocer diferenciasde energıa y no sus valores absolutos.

Pero si es discutible la hipotesis posterior, en la que se afirma que la energıaalmacenada en el estado final, conseguido a base de traer las cargas desdeel infinito hasta los conductores, no depende del modo como se haga esteaporte de cargas, siempre que se tomen las precauciones necesarias para queno aparezcan energıas indeseadas.

Como no hay posibilidad matematica de demostrar esta hipotesis, hay queintroducirla en forma de postulado, que afirma en esencia que la energıaelectrostatica del sistema es una energıa potencial.

Para evitar la aparicion de energıas de otro tipo hay que traer las cargasen cantidades infinitamente pequenas, desplazandolas ademas de modo quepasen por una sucesion indefinida de estados de equilibrio, lo que requiere


un tiempo infinitamente grande y Se demuestra que esta energıa es iguala una integral de volumen extendida a todos los puntos del espacio en queexistan los vectores ~E y ~D ˆ

V

Udv

en la que aparece una densidad cubica de energıa U que vale

U =~E · ~D

2(1.32)

si el medio es homogeneo e isotropo.

La idea general de Maxwell consistio en postular que este resultado ma-tematico era la traduccion de una realidad fısica, la del almacenamiento dela energıa en el medio asilante exterior a los conductores, en los puntos delespacio donde existan ~E y ~D, en lugar de estar concentrada en donde eralogico suponer, en las cargas llevadas a los conductores.

Esta idea, de la que se desprendieron la definicion de campo, la sustitucionde la accion a distancia entre cargas por la de accion del campo sobre lacarga y la del retardo inherente al tiempo necesario para la propagacion deeste campo, demostro ser acertada al comprobarse dicho retardo.

Pero nada autoriza matematicamente a afirmar que si la energıa total es laintegral del volumen anterior, el elemento de volumen dv contribuye con lacantidad UdV , o, lo que es igual, que en el elemento dv esta almacenadala energıa UdV . Es la hipotesis mas sencilla, pero no la unica posible, yaque conocido el valor de una integral de volumen, hay infinitas cantidadessubintegrales que conducen al mismo valor. Basta, por ejemplo, agregar ala integral anterior otra, extendida al mismo volumen y que valga cero, sinque sea identicamente nula la cantidad subintegral, para que tuviesemosdistinta distribucion local de la densidad de energıa. Cumple esta condicionla divergencia de cualquier campo vectorial de flujo total nulo a traves delas superficies de los conductores y de la superficie que delimite el campo adistancia infinita.

Las mismas objecciones se presentan a proposito del razonamiento, analogoal anterior, que lleva a afirmar que la energıa magnetostatica esta almace-nada en el medio con una densidad:

W =~H · ~B

2(1.33)

si el medio es homogeneo e isotropo.

Dificultades parecidas se oponen al rigor de la deduccion de la formulaque establece la densidad de energıa por unidad de tiempo que se disipa enforma calorıfica en un medio material conductor recorrido por una corrienteestacionaria caracterizada por una densidad de corriente ~J

q = ~E · ~J (1.34)

1.3.2

Energıa y potencia en el campo electromagnetico real. Vector de Poyn-ting

A pesar de que como ya hemos dicho antes, los razonamientos seguidos paradeducir U , W y q se han hecho para fenomenos estacionarios y nada justifica


extenderlos a los variables, vamos a postular que tambien en este caso sonvalidos los resultados obtenidos. Es decir, supondremos que, cualquiera quesean el campo existente y su variacion temporal, la energıa electromagneticaesta almacenada en el medio, parte en forma de energıa electrostatica, condensidad (1.32) y el resto en magnetostatica, con densidad (1.33), teniendoademas lugar la disipacion calorıfica local (1.34) si el medio es conductor.

Con estos postulados previos, pasaremos a presentar la interpretacion energeti-ca de una ecuacion local y de su correspondiente forma integral, ambasdeducidas por Poynting a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Si de la igualdad deducida al multiplicar escalarmente (1.2) por ~H restamosmiembro a miembro el resultado de multiplicar (1.1) por ~E , obtenemos:

~H(·∇ × ~E)− ~E(·∇ × ~H) = − ~H · ∂~B∂t− ~E · ~J − ~E · ∂

~D∂t

Agrupando convenientemente los terminos y teniendo en cuenta la identidadvectorial:

∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ∇ × ~A− ~A · ∇ × ~B

llegamos a

∇ · (~E × ~H) + ~E · ~J = −~E · ∂~D∂t

− ~H · ∂~B∂t

(1.35)

Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por el elemento de volumende dv e integrando el resultado para un volumen cualquiera V , llegamos a :

ˆV

∇ · (~E × ~H)dv +ˆV

~E · ~J dv = −ˆV

~E · ∂~D∂tdv −

ˆV

~H · ∂~B∂tdv

Si el volumen V y su superficie exterior Σ cumplen las condiciones que per-miten aplicar el teorema de Gauss, podemos transformar la primera integralde volumen de la igualdad anterior en la integral sobre Σ del flhjo del vector(~E × ~H). Con esta transformacion:

˛Σ

∇ · (~E × ~H)d~s+ˆV

~E · ~J dv = −ˆV

~E · ∂~D∂tdv −

ˆV

~H · ∂~B∂tdv (1.36)

siendo d~s el vector normal a Σ correspondiente al area elemental ds y diri-gido hacia el exterior de V .

Debemos resaltar al llegar a este punto que (1.35) es rigurosamente validaen todos los puntos del espacio, si para ellos hemos postulado la validezde las ecuaciones de Maxwell, y que otro tanto le ocurre a (1.36), con laresticcion de que se satisfagan las condiciones necesarias para la aplicaciondel teorema de Gauss al volumen V .

Este rigor matematico va a desaparecer en la interpretacion energetica de(1.36) que vamos a hacer a continuacion. La energıa electromagnetica Wem

contenida en el interior de V en un instante cualquiera valdra, de acuerdocon la postulacion hecha:

Wem =ˆV

~E · ~D2

dv +ˆV

~H · ~B2

dv

y, asumiendo un medio homogeneo e isotropo, su incremento en un intervalo


de tiempo infinitamente pequeno ∆t sera:

∆Wem =∂Wem

∂t∆t =

∂

∂t

[ˆV

~E · ~D2

dv +ˆV

~H · ~B2

dv

]∆t =[ˆ

V

∂

∂t

(~E · ~D

2

)dv +

ˆV

∂

∂t

(~H · ~B

2

)dv+

]∆t

si suponemos que V no varıa en el transcurso del tiempo.

Puesto que:

∂

∂t

(~E · ~D

2

)=

∂

∂t

(ε~E · ~E2

)=ε

2

(~E · ∂

~E∂t

+∂~E∂t· ~E

)=

ε~E · ∂~E∂t

= ~E · ∂∂t

(ε~E) = ~E · ∂~D∂t

y, analogamente,

∂

∂t

(~H · ~B

2

)= ~H · ∂

~B∂t

resultando finalmente:

∆Wem =

[ˆV

~E · ∂~D∂tdv +

ˆV

~H · ∂~B∂tdv

]∆t

En consecuencia, el segundo miembro de (1.36) multiplicado por ∆t, esigual a la variacion en dicho intervalo de tiempo, cambiada de signo, dela energıa electromagnetica almacenada en el interior de V . Teniendo encuenta el signo, sera igual a la energıa que ha desaparecido del interior deV en el mencionado intervalo de tiempo.

Por otra parte, el segundo termino del primer miembro, tambien multiplica-do por ∆t, da la energıa disipada en forma de calor en el volumen V duranteel intervalo ∆t.

Ahora bien, si postulamos que en el caso de medios materiales en reposolas unicas formas posibles de energıa son la electromagnetica y la calorıfica,la diferencia entre la desaparecida en la segunda sera una energıa que hadebido salir de V hacia otras regiones del espacio, dado que aceptamosla validez del principio de conservacion de la misma, extendido al campoelectromagnetico:

∆Wem = −[∆t˛

Σ

(~E × ~H) · d~s+ ∆tˆV

~E · ~J dv]

Entonces, lo mas natural e intuitivo es suponer que tal energıa haya salido atraves de la superficie Σ que limita V y como (1.36) nos dice que la diferenciaen cuestion vale

∆t˛

Σ

(~E × ~H) · d~s

es decir, viene dada por una integral de superficie, es logico suponer queesta integral nos da el flujo de la energıa electromagnetica a traves de Σ porunidad de tiempo (notar que esta expresion es tanto mas aproximada a laverdad cuanto menor sea la unidad de tiempo elegida).

Puesto que la energıa que fluye a traves de Σ por unidad de tiempo es unaintegral de superficie, parece natural que el elemento ds de ella contribuyaal flujo total con el valor de la cantidad superficial

(~E × ~H) · d~s

que es el flujo a taves de ds del vector

~S = ~E × ~H (1.37)

llamado Vector de Poynting. Afirmar que el flujo de ~S a traves de ds es Hemos comprobado como la energıaelectromagnetica se propaga. Mas ade-lante estudiaremos de que forma y aque velocidad ocurre este fenomeno

igual a la energıa electromagnetica que pasa a traves de dicha superficie porunidad de tiempo (o, mas correctamente, a la potencia electromagneticaque pasa a traves de ds) implica que el flujo a traves de Σ sea la primeraintegral que aparece en (1.36). Pero a identico valor de esta intensidad sellega si en vez de tomar como vector de Poynting (1.37) tomamos:

~S ′ = (~E × ~H) +∇× ~A (1.38)

siendo ~A un campo vectorial cualquiera. En efecto˛Σ

~S ′ · d~s =˛

Σ

(~E × ~H) · d~s+˛

Σ

∇× ~A · d~s

=˛

Σ

(~E × ~H) · d~s+˛V

∇ · (∇× ~A)dv =˛

Σ

(~E × ~H) · d~s

Localmente, ~S ′ es distinto de ~S y dara lugar a diferente flujo de potenciapara una superficie no cerrada.

A pesar de todo, postularemos que el flujo de ~S = ~E× ~H a traves de cualquiersuperficie, abierta o cerrada, es igual al flujo de potencia electromagneticaa traves de la misma, apoyandonos en dos circunstancias:

es el vector mas sencillo

hasta ahora, no ha llevado a ninguna contradiccion con la experiencia

1.3.3

Energıa y potencia en el campo electromagnetico complejo. Vector dePoynting complejo

Aceptado el postulado anterior, si empleamos la formulacion compleja, elflujo instantaneo de potencia a traves de una superficie Σ valdra:˛

Σ

[Re( ~Eejωt)×Re( ~Hejωt)] · d~s

cantidad que varıa periodicamente con el tiempo.

En el estudio de las corrientes alternas se demuestra que no tiene interespractico, en general, el conocimiento del valor instantaneo de la potencia,siendo suficiente determinar su valor medio.

De acuerdo con lo desarrollado en el anexo B, el valor medio del vectorde Poynting real, correspondiente a una solucion compleja ~Ec, ~Hc de lasecuaciones de Maxwell, valdra:

< ~S >= Re( ~Eejωt)×Re( ~Hejωt) =12Re( ~Eejωt× ~H∗e−jωt) =

12Re( ~E× ~H∗)

(1.39)

El valor medio (1.39) es la parte real del llamado vector de Poynting com-plejo S:

S =12~E × ~H∗ (1.40)

Teniendo en cuenta la identidad vectorial compleja

∇ · ( ~A× ~B∗) = ~B∗ · ∇ × ~A− ~A∗ · ∇ × ~B

y recordando las dos primeras ecuaciones complejas de Maxwell

∇× ~H = σ ~E + jωε ~E =⇒ ∇× ~H∗ = σ ~E∗ − jωε ~E∗

obtenemos

∇ · S =12∇ · ( ~E × ~H∗) =

12[ ~H∗ · ∇ × ~E − ~E · ∇ × ~H∗] =

−12σ ~E · ~E∗ +

12jωε ~E · ~E∗ − 1

2jωµ ~H · ~H∗

(1.41)

Analicemos los terminos del segundo miembro. Recordemos que en el camporeal tenıamos:

q = ~E · ~J = σ~E · ~E= Densidad de disipacion de potencia en el medio

U = 1/2~E · ~D = 1/2ε~E · ~E= Densidad de energıa electrica almacenadaen el medio

W = 1/2 ~H · ~B = 1/2ε ~H · ~H= Densidad de energıa magnetica almace-nada en el medio

Si hemos hallado la solucion ~E, ~H compleja de las ecuaciones de Maxwell,los valores que tienen en la realidad fısica q, U , W seran

q =σRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt)

U =12εRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt)

W =12µRe( ~Hejωt) ·Re( ~Hejωt)

Y teniendo en cuenta (B.1) que σ, ε y µ son constantes en el tiempo y que~E · ~E∗ y ~H · ~H∗ son numeros reales, obtenemos los valores medios:

< q >= < σRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt) >=12σ ~E · ~E∗

= <12εRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt) >=

14ε ~E · ~E∗

< W >= <12µRe( ~Hejωt) ·Re( ~Hejωt) >=

14µ ~H · ~H∗

Sustituyendo estos resultados en (1.41)

∇ · S = − < q > +2jω[ − < W >] (1.42)

Como < q >, y < W > son numeros reales,

Re(∇ · S) =∇ ·Re(S) = − < q > (1.43)

Im(∇ · S) =∇ · Im(S) = 2jω[ − < W >] (1.44)

Si multiplicamos las ecuaciones (1.43) por el elemento de volumen dv, inte-gramos los resultados para un volumen V limitado por una superficie Σ yaplicamos a las integrales de divergencia el teorema de Gauss, deducimos

Re

[˛Σ

S · d~s]

=−ˆV

< q > dv (1.45)

Im

[˛Σ

S · d~s]

=2ω[ˆ

V

 dv −ˆV

< W > dv

](1.46)

Las igualdades (1.45) dan a S categorıa de vector de uso practico, si bienla interpretacion es un poco mas complicada que en la version equivalenteen el dominio del tiempo. Estas ecuaciones indican que:

A. La parte real, cambiada de signo, del flujo de S a traves de una super-ficie cerrada Σ cualquiera y hacia su exterior es igual al valor medio dela potencia disipada en efecto Joule dentro de Σ. Si no existen fuen-tes de campo, la potencia neta que entra en V se disipa en el mediomaterial.

B. La parte imaginaria del flujo de S a traves de una superficie cerradaΣ cualquiera y hacia su exterior es igual al doble del producto de lapulsacion del campo por la diferencia entre los valores medios de lasenergıas electrica y magnetica almacenadas en el interior de Σ

Resuelto ası en el campo complejo las cuestiones relativas a la energıa ypotencia en volumenes cerrados, queda todavıa pendiente la del flujo depotencia a traves de una superficie, abierta o cerrada. Puesto que hemospostulado que la potencia que pasa a traves de una superficie abierta es igualal flujo a traves de ella del vector de Poynting real, si queremos calcular lacitada potencia, cuando se ha planteado y resuelto un problema en el campocomplejo, tendremos que utilizar:

= Re[ˆ

Σ

S · d~s]

=12Re[ˆ

Σ

~E × ~H∗ · d~s]

Podemos resumir este resultado diciendo que, en el campo complejo, el valormedio de la potencia electromagnetica que pasa a traves de una superficieΣ, abierta o cerrada, es igual a la parte real del flujo del vector de Poyntingcomplejo, S, a traves de dicha superficie.

1.4 EJERCICIOS 1. 14 El plano z = 0 de un sistema cartesiano de referencia constitu-ye la frontera entre dos medios dielectricos de permitividades ε1 y ε2 res-pectivamente. Se mide el campo electrico sobre dicho plano en el lado 1obteniendose:

~E1 = E1(x+ y + z)

A. ¿Cuanto vale ~E2 en el plano al otro lado de la discontinuidad?

B. ¿Que densidad superficial de carga habrıa que depositar en la separa-cion de los dielectricos para que el campo tuviese el mismo valor enambos medios?

Sol : A) ~E2 = ~E1(x+ y + ε1ε2z); B) ρs = (ε2 − ε1)E1

1. 15 Expresar fasorialmente el campo ~E = 2 cos(ωt+ π/4)x.

Sol : ~A = 2ejπ/4x

1. 16 Calcular el vector ~D en el seno de un medio material con ε′r = 10 yε′′r = 0.1 sabiendo que ~E = x.

Sol : ~D = 10εo cos(ωt− 9.9 · 10−3)x

1. 17 Calcula el vector densidad de corriente lineal en la superficie de unconductor perfecto sobre la que incide de forma normal un campo electro-magnetico tal que ~H = Ho(x+ y).

Sol : ~Js = Ho(−x+ y)

1. 18 Calcular el vector de Poynting real y complejo del campo:

~E = Eo cos(ωt− kz)x

~H =√ε

µEo cos(ωt− kz)y

y la potencia que atravesara una superficie cuadrada de 1m de lado situadaen el plano z = 0.

Sol : A) ~S =√

εµE

2o [

12 + 1

2 cos 2(ωt − kz)]z; B) < ~S >=√

εµE2

o

2 z; C) S =√εµE2

o

2 z; D) P =√

εµE2

o

2

1. 19 Calcular el vector de Poynting correspondiente al campo:

~E = Eoe−jkr

rθ

~H =Eoηo

e−jkr

rφ

ası como la potencia que fluye a traves de una superficie de radio R centradaen el origen de coordenadas.

Sol : A) S = E2o

2ηo

1r2 r; B) P = 2π

ηo|Eo|2

CAPITULO 2

Propagacion en medio indefinido

2.1 ONDAS PLANASBuscamos soluciones de las ecuaciones de Maxwell para campo complejo enmedios sin fuentes, homogeneos, isotropos, sin perdidas y con variacionesdel tipo:

~E, ~H = f(~r)ejωt

Tomando rotacionales sobre las ecuaciones de Maxwell y simplificando, sellega a:

4 ~E + k2 ~E = 0; 4 ~H + k2 ~H = 0

donde k = ω√εµ se conoce como numero de ondas o constante de propaga-

cion.

Simplificamos el problema para el caso unidimensional (suponiendo que loscampos solo varıan con z y no con x e y). Tomamos arbitrariamente el ejex paralelo a ~E:

~E = Exx

aplicando la ecuacion ∇× ~E = −jω ~J se llega a:~H = Hy y

esto es, los campos estan en cuadratura espacial. Tambien se verifica que siEz = 0, entonces Hz = 0 y se cumple que:

~E × ~H × ~z = 0

Busquemos ahora soluciones de esta ecuacion de ondas, ecuacion que seconvierte en

d2 ~E

dz2+ k2 ~E = 0

cuya solucion es de la forma:~E = [Eie−jkz + Ere

+jkz]x~H = [Hie

−jkz +Hre+jkz]y

siendo Ei, Er, Hi y Hr constantes complejas por determinar dependientesde las condiciones iniciales y de contorno.

Si expresamos la solucion anterior en el dominio del tiempo resulta:~E = [Ei cos(ωt− kz) + Er cos(ωt+ kz)]x~H = [Hi cos(ωt− kz) +Hr cos(ωt+ kz)]y

48 PROPAGACION EN MEDIO INDEFINIDO

donde hemos considerado que Ei, Er, Hi y Hr son constantes reales.

El termino Ei cos(ωt−kz) corresponde a una onda viajera (travelling wave)que viaja hacia z+. El termino Er cos(ωt+kz) es una onda viajera hacia z−.La combinacion de las dos ondas viajeras se denomina onda estacionaria.En el dominio de la frecuencia podemos identificar:

e−jkz= Onda viajera positiva

ejkz= Onda viajera negativa

Recordamos que la solucion obtenida incluye todos los posibles terminos.Hasta que no fijemos las condiciones de contorno e iniciales, no quedaracompletamente determinada. Esto es equivalente a fijar el valor del campoen to y zo (o lo que es lo mismo, el argumento absoluto de los cosenos).

2.1.1

Velocidad de fase

Tomemos un solo sentido de propagacion. Un plano de fase constante es unplano movil perpendicular a la direccion de propagacion:

ωt− kz = cte.→⊥ ~z

La velocidad a la cual se mueve un punto de fase fija se denomina velocidadde fase, vf y viene dada por:

vf =dz

dt=

d

dt

(ωt− cte

k

)=ω

k=

1√µε

En el espacio libre:

vf = co =1

√εoµo

donde co es la velocidad de la luz en el vacıo y en cualquier otro medio:

vf =co√εrµr

Se define la longitud de onda λ como la distancia entre dos maximos oLa velocidad de fase en un medio mate-rial es siempre inferior a la velocidad dela luz en el vacıo

mınimos consecutivos. Para calcularla imponemos la condicion:

(ωt− kz)− [ωt− k(z + λ)] = 2π

de donde se sigue que:

λ =2πk

=vff

2.1.2

Impedancia intrınseca

Buscamos ahora una relacion entre las soluciones obtenidas para ~E y ~H.Aplicando la ecuacion del rotacional obtenemos:

− jkEx = −∂Ex∂z

= −jωµHy

2.2. Ondas planas en medios con perdidas 49


~H =1η[Eie−jkz − Ere

jkz]y (2.1)

siendo

η =√µ

ε

que se conoce como impedancia intrınseca del medio (tiene unidades de Ω)y en el vacıo es:

ηo =√µoεo≈ 120π (Ω)

y en cualquier otro medio homogeneo y sin perdidas se escribe:

η = ηo

√µrεr≈ 120π

√µrεr

(Ω)

Notar que el sumando que corresponde a ejkz en (2.1) lleva el signo cambiadocon respecto a la solucion de ~E.

2.2 ONDAS PLANAS EN

MEDIOS CON PERDIDAS

Cuando trabajemos en medios con perdidas, debemos emplear la permitivi-dad y la permeabilidad compleja con lo que la ecuacion de ondas resulta:

4 ~E − γ2 ~E; 4 ~H − γ2 ~H = 0

dondeγ = jω

√µcεc

se denomina constante de propagacion compleja que normalmente se escri- En la raız compleja que define γ nos que-damos con el valor principalbe:

γ = α+ jβ

En este caso, la solucion del campo tiene la forma:

~E = [Eie−γz + Ere+γz]x

~H = [Hie−γz +Hre

+γz]y

La onda viajera positiva tiene un factor de propagacion:

e−γz = e−αz · e−jβz

que en el dominio del tiempo tiene la forma:

e−αz cos(ωt− βz)

y observamos como, debido a las perdidas, aparece un factor de amorti-guamiento exponencial que afecta al modulo de la solucion. Por todo ello,denominamos:

α= constante de atenuacion (m−1)

β= constante de fase (m−1)Las unidades mas frecuentes de α sonNep/m o db/m y las de β, rad/m. Unneperio es equivalente a 8.68 dB

Por ultimo, el campo ~H expresado en terminos de ~E sera:

~H =1η[Eie−γz − Ere

γz]y

siendo:

η =√µcεc

=jωµcγ

la impedancia intrınseca compleja del medio con perdidas que podemos es-cribir como:

γ = jω√µcεc = jω

√µrµoεrεo

√1− j tan δ (2.2)

Estudiamos ahora dos casos particulares:

Medio real con bajas perdidas (buen dielectrico)

Medio real buen conductor

2.2.1

Ondas planas en medio buen dielectrico

Supongamos un medio buen dielectrico (aislante) con bajas perdidas. Sihacemos un desarrollo en serie de Taylor de (2.2) para el caso tan δ <<llegamos a:

γ ≈ jω√µεrεo

[1− 1

2j tan δ + ...

]de forma que:

β ≈ ω√µεrεo

α ≈ k tan δ2

resultado que podemos resumir diciendo que:

La constante de propagacion es aproximadamente la de un medio sinperdidas con la misma permitividad y permeabilidad relativa.

La constante de atenuacion depende directamente de las perdidas (detan δ).

2.2.2

Ondas planas en medio buen conductor

Un medio buen conductor es aquel en el que σ >> ωε esto es aquel en elque las corrientes de conduccion son mucho mayores que las corrientes dedesplazamiento.

En este caso, despreciando el termino de la corriente de desplazamiento,podemos escribir:

γ ≈ jω√µεrεo

√σ

jωε= (1 + j)

√ωµσ

2

de forma que se cumple:

α = β =√ωµσ

2

Definimos δs= profundidad de penetracion o espesor de piel como:δs es la distancia que hay que recorrerpara que la amplitud del campo caiga1/e = 36.8%

δs =1α

=√

2ωµσ

2.4. Ondas planas. Planteamiento general 51

La impedancia intrınseca compleja en el seno de un buen conductor sera:

η =jωµ

γ≈ (1 + j)

√ωµ

2σ= (1 + j)

1σδs

Notar que la fase de η es 45, lo cual es caracterıstico de los buenos conduc-tores.

2.3 VECTOR DE POYNTINGResulta sencillo comprobar que el valor medio del vector de Poynting parauna onda viajera positiva es:

< ~S >=|Eo|2

2η∗· e−2αz z

siendo |Eo| el modulo del fasor del campo electrico. Se observa que:

< ~S > apunta segun la direccion de propagacion, como era de esperar

< ~S > se atenua segun un factor exponencial e−2αz

En el caso de un medio sin perdidas (con η ∈ R) esta expresion se convierteen:

< ~S >=|Eo|2

2ηz

vector que tiene solo parte real.

2.4 ONDAS PLANAS.PLANTEAMIENTOGENERAL

Generalizamos los resultados obtenidos para una direccion de propagacioncualquiera n. La ecuacion de ondas se escribe:

4 ~E + k2 ~E = 0 ⇒ ∂2 ~E

∂x2+∂2 ~E

∂y2+∂2 ~E

∂z2+ k2 ~E = 0

cuya solucion es:~E = ~Eoe

−j~k·~r

siendo:

~k = kn = kxx+ ky y + kz z

~r = xx+ yy + zz

el conocido como vector de propagacion cumpliendose ademas que: k = n es la direccion de propagacion

k · ~Eo = 0~E × ~H × k = 0

~H =1ηk × ~E =

1ηn× ~E

~E = ~Eo cos(ωt− ~k · ~r)

< ~S >=| ~Eo|2

2ηe−2αk·~rk

etc.


2.4.1

Observaciones sobre las ondas planas

Notar que:

En cualquier punto de fase constante las soluciones de ~E y ~H son lasmismas.

Es frecuente pintar rayos que siguen la direccion de propagacion, taly como se hace en optica geometrica.

Matematicamente, el conjunto ejkz es un conjunto completo de lassoluciones de las ecuaciones de Maxwell. En la tabla 2.1 se resumenlas soluciones de la ecuacion de ondas para un sistema de coordenadasrectangular.

Tipo Funcion de onda Ceros Infinitos

Viajera e−jβz para +z βz → −j∞ βz → j∞ejβz para −z βz → j∞ βz → −j∞

Estacionaria cos(βz) para ±z βz = ±(n+ 1/2)π βz → ±j∞sin(βz) para ±z βz = ±nπ βz → ±j∞

Evanescente e−αz para +z αz →∞ αz → −∞eαz para −z αz → −∞ αz → +∞cosh(αz) para ±z αz = ±j(n+ 1/2)π αz → ±∞sinh(αz) para ±z αz = ±jnπ αz → ±∞

Viajera e−jγz = e−αze−jβz para +z γz →∞ γz → −∞atenuada ejγz = eαzejβz para −z γz → −∞ γz →∞

Estacionaria cosh(γz) = γz = ±j(n+ 1/2)π γz → ±j∞atenuada cos(αz) cosh(βz)

-jsin(αz) sinh(βz) para ±zsinh(γz) = γz = ±jnπ γz → ±j∞sin(αz) cosh(βz)-jcos(αz) sinh(βz) para ±z

Cuadro 2.1: Funciones de onda, ceros e infinitos para funciones de onda planas encoordenadas rectangulares

Existen otros conjuntos completos de soluciones que se pueden em-plear dependiendo del sistema de coordenadas apropiado a las condi-ciones de simetrıa del problema. En los apendices ?? y ?? se describenlos correspondientes a las coordenadas cilındricas y esfericas.

2.5 DISPERSION

2.5.1

2.5. Dispersion 53

Velocidad de grupo

Tal y como hemos visto, la velocidad de fase viene dada por:

vf =dz

dt=ω

k

Supongamos una senal muy simple Ψ = Ψ1 + Ψ2 donde:

Ψ1 = cos(kz − ωt)Ψ2 = cos[(k + ∆k)z − (ω + ∆ω)t]

Entonces:

Ψ = 2 cosz∆k − t∆ω

2cos[(k +

∆k2

)z −

(ω +

∆ω2

)t

]Observamos que la amplitud de la senal A es variable y que tenemos unaconstante de propagacion efectiva de valor k+∆k/2 y una pulsacion efectivade valor ω + ∆ω/2.

Entonces, los puntos en los que tenemos una amplitud constante cumplenz∆k − t∆ω = cte. Podemos definir entonces una velocidad de grupo como:

vg =∆ω∆k

que en el lımite se expresa:

vg =dω

dk

Distinguimos dos tipos de medio:

A. Medio no dispersivo: cuando vf = vg, o lo que es lo mismo, β = k =ω√µε, esto es, la dependiencia es lineal. En este caso, las componentes

de distintas frecuencias viajaran a la misma velocidad por lo que seconservara la forma de onda y por lo tanto no existira distorsion.

B. Medio dispersivo: cuando vf 6= vg, y por lo tanto, exista distorsion

Normalmente se verifica vg < vf caso en el que diremos existe dispersionnormal y vg sera la velocidad a la que viaja la energıa. Cuando vg > vfdiremos que estamos ante dispersion anomala. Este tipo de dispersion ocurrecerca de las frecuencias de resonancia de las distribuciones dipolares queforman los medios materiales.

2.5.2

Diagrama de Brillouin

Para representar la dispersion de un medio se utiliza el Diagrama de Bri-llouin, que no es mas que una representacion de ω vs. β (figura 3.2).

En un medio dispersivo general tendremos que vf 6= vg, siendo:

vf = tanφ1

vg = tanφ2

β

φ2

ω

φ1

Figura 2.1: Diagrama de Brioullin

Si ε, µ 6= f(ω) la senal se propagara sin distorsion. Si el medio tiene perdidastendremos:

γ = jω√εµ√

1− j tan δ

y si δ <<:

β ≈ ω√ε′µ′

(1− tan2 δ

2

)y como se verifica:

δ = arctanσ

ωε′= f(ω)

se sigue que todos los medios reales son dispersivos. Si ademas δ >> lasenal experimentara distorsion y atenuacion, con lo cual sera irreconociblea una cierta distancia. No obstante, si el medio es de bajas perdidas, apenastendremos dispersion.

2.6 POLARIZACION La polarizacion de una onda plana se refiere a la orientacion del campoelectrico, que puede seguir una direccion fija o cambiar con el tiempo.

Si suponemos que la direccion de propagacion es z y fijamos un instante ttendremos:

~E = Exx+ Ey y

siendo

Ex = E1 cosωtEy = E2 cos(ωt+ δ)

Si fijamos un plano z=cte. y observamos lo que ocurre a lo largo del tiempo,en el caso mas general, el extremo del vector ~E describira una elipse (x, y)como la de la figura 2.2.

Buscamos la ecuacion de esta elipse. Si en el sistema de ecuaciones anterioreliminamos ωt se llega a:

E21y

2 + E22x

2 − 2E1E2 cos δxy − E21E2

2 sin2 δ = 0

ecuacion de la elipse de polarizacion.

Veamos varios casos particulares:

A. Si δ = 0 (componentes en fase):

y =E2

E1x

la polarizacion es lineal (rectilinea). Si δ = π entonces y = −E2E1x.

2.6. Polarizacion 55

xz

y

Figura 2.2: Elipse de polarizacion

B. Si δ = ±π/2 (componentes en cuadratura) y E1 = E2 = E :

y2 + x2 = E2

la polarizacion es circular.

C. En el resto de los casos, la polarizacion es elıptica.

Notar que las polarizaciones elıpticas y circulares pueden girar a derechas oa izquierdas, dependiendo del sentido del giro del extremo del vector ~E . Siel vector de propagacion apunta segun la perpendicular del plano del papelhacia arriba, hablaremos de:

Polarizacion a derechas o positiva: cuando el sentido de giro es anti-horario

Polarizacion a izquierdas o negativa: cuando el sentido de giro es elhorario

En lo visto hasta ahora, hemos expresado cualquier polarizacion como unacombinacion de dos polarizaciones lineales segun los ejes x e y. Dos polari-zaciones lineales ortogonales forman una base para expresar cualquier otrapolarizacion. De la misma forma, dos polarizaciones circulares de signoscontrarios tambien son base (ver figura 2.3). de forma que a:

xz

yEr

El

E

Figura 2.3: Base de polarizaciones circulares

Ex = E1 cosωtEy = E2 cos(ωt+ δ)

corresponde:

Ex =1√2

[El cosωt+ Er cos(ωt+ δ′)]

Ey =1√2

[−El sinωt+ Er sin(ωt+ δ′)]

siendo δ′ el desfasaje existente entre las dos polarizaciones circulares.

2.6.1

Representacion de estados de polarizacion

Supongamos que elegimos un sistema de coordenadas de forma que el campo~E se expresa como:

Ex = E1 cos(ωt)Ey = E1 cos(ωt+ δ)

campo al que corresponde la elipse de polarizacion es la de la figura 2.4.

x0

y

E2

E1

e

tg

A

B Eje mayor

Eje menor

Elipse depolarización

Figura 2.4: Elipse de polarizacion

Definimos:

R = Razon axial, siendo |R| = OA/OB, tomando R > 0 para la polariza-cion a derechas y R < 0 para la polarizacion a izquerdas

ε = Angulo de elipticidad (−π/4 ≤ ε ≤ π/4)

τ = Angulo de inclinacion (0 ≤ τ ≤ π)

γ = Angulo de aspecto (0 ≤ γ ≤ π/2)La razon axial cumple |R| ≥ 1

Las representaciones mas habituales de los estados de polarizacion y susprincipales ventajas son:

2.6. Polarizacion 57

Elipse de polarizacion: parametros (ε, τ) o (γ, δ). La elipse es facil-mente construible.

Vector complejo de polarizacion: Facil de calcular. Preserva la fase enla interaccion onda-antena.

Coeficiente (ratio) de polarizacion: ρL (complejo). Util para represen-tar medios depolarizantes.

Esfera de Poincare. Todos los estados de polarizacion se representanen una unica esfera.

Parametros de Stokes: s1, s2, s3 (reales). Facilita la evaluacion de lainteraccion onda-antena.

Nos centraremos en los cuatro primeros.

Parametros de la elipse de polarizacion

Para las representaciones basadas en la elipse de polarizacion, las relacionesentre los distintos parametros son: En las expresiones que relacionan (ε, τ) y

(γ, δ) aparecen funciones trigonometri-cas inversas en las cuales hay que respe-tar el signo del cuadrante de la solucion

ε =12

arcsin(sin 2γ sin δ) − π

4≤ ε ≤ π

4

τ =12

arctan(tan 2γ cos δ) 0 ≤ τ ≤ π

junto con:

γ =12

arc cos(cos 2ε cos 2τ) 0 ≤ γ ≤ π

2

δ = arctan[tan 2εsin 2τ

]

Vector de polarizacion

Supongamos un campo de la forma:

~E = E1 cosωtx+ E2 cos(ωt+ δ)y

que en el dominio de la frecuencia tiene como fasor complejo:

~E = E1x+ E2ejδ y

Definimos el vector de polarizacion como un vector unitario e que tiene ladireccion de ~E. Como ademas se cumple:

tan γ =E2

E1

resultara:e = cos γx+ sin γejδ y

Notar que e es un vector complejo uni-tario y que incluye toda la informacionde polarizacion

Coeficiente (ratio) de polarizacion ρL

Es un numero complejo que se define como:

ρL =EyEx

=E2

E1ejδ

2.7 ONDAS PLANAS ENCAMBIOS DE MEDIO

Suponemos dos medios homogeneos e isotropos caracterizados por (ε1, µ1, σ1)y (ε2, µ2, σ2) que tienen como superficie de separacion el plano S (dioptrio).Podemos plantear dos casos:

A. La superficie de separacion es infinita (o muy grande en comparacioncon λ). Postulamos una solucion que consiste en tres ondas planas:incidente, reflejada y transmitida

B. La superficie de separacion es del orden de λ: ocurre un fenomeno dedifraccion. Este fenomeno se estudiara posteriormente.

En este apartado estudiaremos el primero de los casos analizando dos situa-ciones:

A. El campo ~E incide normalmente a S (direccion de propagacion k per-pendicular a S)

B. El campo ~E incide de forma oblicua a S (direccion de propagacion koblıcua a S))

El procedimiento en ambos casos consiste en postular unas soluciones querelacionamos mediante las condiciones de contorno en la superficie de dis-continuidad.

2.7.1

Incidencia normal

Suponemos, sin perdida de generalidad, que el campo electrico incide sobreS orientado segun x. Postulamos la existencia de:

Una onda reflejada en el medio 1 (z < 0)

Una onda transmitida (o refractada) en el medio 2 (z > 0)

z

e s1 1m1

z=0

e s2 2m2

1 2

Ei E

t

Er

Figura 2.5: Incidencia normal

2.7. Ondas planas en cambios de medio 59

La onda que excitamos en el medio 1 sera:

~Ei = Eoe−γ1zx

~Hi =Eoη1e−γ1z y

y definimos las ondas reflejada:

~Er = EoΓeγ1zx

~Hr = −Eoη1

Γeγ1z y

y transmitida:

~Et = EoTe−γ2zx

~Ht =Eoη1Te−γ2z y

donde falta por encontrar los numeros complejos Γ y T conocidos como:

Γ= coeficiente de reflexion del campo electrico en la discontinuidad

T= coeficiente de transmision del campo electrico en la discontinuidadNotar que podıamos haber definido unoscoeficientes de reflexion y transmisionanalogos para el campo magnetico

Γ y T relacionan los fasores de las ondas reflejadas y transmitidas con el dela onda incidente en la discontinuidad.

Si ahora aplicamos las condiciones de contorno en dicha discontinuidad:n× ( ~E2 − ~E1) = 0 y n× ( ~H2 − ~H1) = 0 obtendremos:

Γ + 1 = T

1− Γη1

=T

η2


Γ =η2 − η1η2 + η1

(2.3)

T =2η2

η2 + η1(2.4)

Los campos en el medio 1 seran:

~E1 = ~Ei + ~Er = Eoe−γ1z(1 + Γe2γ1z)x

~H1 = ~Hi + ~Hr =Eoη1e−γ1z(1− Γe2γ1z)y

Podemos introducir un coeficiente de reflexion generalizado para cualquierpunto z, definido por:

Γ(z) = Γe2γ1z = Γ(0)e2γ1z

de forma que resulta: Se pueden definir unos coeficientes de re-flexion y transmision en potencia equi-valentes a los definidos para el campoelectrico

~E1 = Eoe−γ1z[1 + Γ(z)]x

~H1 =Eoη1e−γ1z[1− Γ(z)]y

expresiones correspondientes a una onda estacionaria. Pasamos a estudiardos casos particulares.

Medios 1 y 2 sin perdidas

Suponemos que σ1 = σ2 = 0. Entonces tendremos:

γ1 = jβ1 = jko√µr1εr1

γ2 = jβ2 = jko√µr2εr2

siendo ademas η1 y η2 ∈ R, por lo que Γ(0) sera tambien un numero real(con signo). El modulo del campo electrico sera:

|E1| = |Eo||1 + Γ(0)e2jk1z| = |Eo|√

1 + Γ(0)2 + 2Γ(0) cos 2k1z (2.5)

La figura 2.6 representa esta ecuacion, en lo que se conoce como diagramade onda estacionaria

|E|

Emax

Emin

zz=0

l1/2

l1/2

l1/4

Figura 2.6: Diagrama de onda estacionaria

Notar que la distancia entre maximos (omınimos) consecutivos es de λ1/2 y en-tre un maximo y un mınimo consecutivo,λ1/4

Es interesante introducir un nuevo parametro s, conocido como relacion deonda estacionaria o ROE, dado por el cociente entre el maximo y el mınimovalor del campo electrico:

ROE = s =EmaxEmin

=1 + |Γ|1− |Γ|

que se puede obtener facilmente a partir de (2.5) y que toma valores en elintervalo 1 < s <∞.

La ROE es un parametro facilmente medible (basta un medidor de campo)que proporciona directamente el modulo del coeficiente de reflexion en ladiscontinuidad:

|Γ(0)| = s− 1s+ 1

En el caso particular en que η1 = η2, obtendremos Γ(0) = 0, s = 1 y|E(z)| = Eo=cte. como corresponde a una onda viajera positiva en el medio1 (no existe onda viajera negativa ni, por tanto, onda estacionaria).

Calculamos ahora el vector de Poynting en los dos medios:

S1 =12~E1 × ~H∗

1 =|E0|2

2η1(e−jk1z + Γ(0)e−jk1z)(e−jk1z + Γ(0)e−jk1z)∗z

=|E0|2

2η1

(1− |Γ(0)|2 + 2jΓ(0) sin 2k1z

)z

S2 =12~E2 × ~H∗

2 =|E0|2

2η2|T |2z (2.6)


Observamos como S1 tiene parte real (energıa que se propaga) y parte ima-ginaria (elergıa reactiva almacenada) mientras que S2 tiene solo parte real.Se puede demostrar facilmente que las partes reales de los dos vectores cal-culados coinciden (lo cual es logico, ya que la energıa que se propaga en ladireccion z desde el medio 1 pasa al medio 2).

Medios 1 sin perdidas, medio 2 con perdidas

En este caso, el diagrama de onda estacionaria vendra dado por:

|E1| = |Eo||1 + Γ(0)e2jk1z| = |Eo|√

1 + |Γ(0)|2 + 2|Γ(0)| cos(2k1z + φ)

donde se ha tomado un Γ(0) complejo, dado por:

Γ(0) = |Γ(0)|ejφ

Se observa como aparece un desfasaje adicional φ en el coseno dado por lafase del coeficiente de reflexion en la discontinuidad. Senalar que el conceptode ROE sigue siendo perfectamente aplicable.

Medio 1 sin perdidas, medio 2 conductor perfecto

En este caso, no existe onda transmitida por lo que tendremos:

T = 0Γ = −1

El modulo del campo tiene la forma:

|E1| = |Eo|√

1 + (−1)2 − 2 cos 2k1z = 2|Eo|| sin k1z|

que corresponde a una onda estacionaria pura. En este caso los valoresmınimos del campo electrico son nulos, por lo que tendremos s→∞. Notarque el campo se debe anular en la discontinuidad (ver figura 2.7). En este

|E|

2|E |o

zz=0

l1/2

l1/2

l1/4

Nulo

Figura 2.7: Reflexion sobre conductor perfecto

caso, la parte real del vector de Poynting S1 es cero, como corresponde auna situacion en la cual no hay propagacion de energıa segun z.


Caso general: Medios 1 y 2 con perdidas

En este caso Γ(z) es un numero complejo cuyo modulo depende tambien dez:

Γ(z) = Γ(0)e2γ1z = Γ(0)e2α1ze2jβ1z

y tanto la onda incidente como la reflejada se ven atenuadas. En la figura2.8 se representa el ”diagrama de onda estacionaria”que corresponde a estasituacion. Se observa como ya no se puede hablar de una ROE ya que losvalores maximos y mınimo de campo electrico no se mantienen constantesal variar z.

|E|

zz=0

Figura 2.8: Reflexion (caso general)

2.7.2

Incidencia normal con cambio de medio

Suponemos una situacion en la cual tenemos presentes multiples medios,cuyas superficies de separacion son planos perpendiculares a la direccion depropagacion z.

zz

n

n-1 n n+1 n+2

Figura 2.9: Incidencia normal con multiples cambios de medio

Si tomamos la superficie que corresponde al cambio entre los medios n yn + 1 (donde ahora existira onda transmitida y reflejada procedente delinterfaz con el medio n + 2), podemos calcular el coeficiente de reflexionΓn(zn) aplicando las condiciones de contorno, de forma que se cumple:

Γn(zn) =ηn+1−ηn

ηn+1+ηn+ Γn+1(zn)

1 + ηn+1−ηn

ηn+1+ηnΓn+1(zn)


Como se puede ver, el planteamiento del problema es complicado cuando seusan coeficientes de reflexion y que en cada discontinuidad hay que recal-cular dicho coeficiente segun la formula anterior.

Para tratar este problema, es conveniente introducir una impedancia defi-nida como:

Zn(z) =z × ~En(z)~Hn(z)

conocida como impedancia en un plano de z constante que tiene dimensionesde Ω, siendo ~En(z) y ~Hn(z) los campos totales (incidente+reflejado). En La definicion de Zn(z) no es un cociente

de vectores, sino de sus medidas (com-plejas) ya que numerador y denominadorson dos vectores paralelos

la ecuacion anterior tomamos un signo positivo para la impedancia (querelacionamos con la direccion z+). Un signo negativo tambien hubiera sidovalido.

La ventaja de esta nueva impedancia estriba en que relaciona los ET y HT ,campos que son continuos (incluido en las discontinuidades), por lo quecualquier relacion entre ellos, tambien lo sera.

Operando en la definicion de la impedancia se sigue que:

Zn(zn) = ηn1 + Γn(z)1− Γn(z)

Γn(z) =Zn(z)− ηnZn(z) + ηn

Observamos que si Γn = 0 (ausencia de onda reflejada), entonces Zn(z) =ηn. Sustituyendo el valor de los coeficientes de reflexion,

Zn(z) = ηn1 + Γn(z′)e2γn(z−z′)

1− Γn(z′)e2γn(z−z′)

que puede expresarse como:

Zn(z) = ηnZn(z′)chγn(z − z′)− ηnshγn(z − z′)ηnchγn(z − z′)− Zn(z′)shγn(z − z′)

y en el caso de un medio sin perdidas:

Zn(z) = ηnZn(z′) cosβn(z − z′)− jηn sinβn(z − z′)ηn cosβn(z − z′)− jZn(z′) sinβn(z − z′)

Por ejemplo, para una incidencia normal con dos cambios de medio, taly como se indica en la figura 2.10, y aplicando la continuidad de Z(z),tendrıamos:

Γ1(0) =Z1(0)− η1Z1(0) + η1

Z1(0) = η2Z2(d) cosβ2d+ jη2 sinβ2d

η2 cosβ2d+ jZ2(d) sinβ2d

Z2(d) = Z3(d) = η3

2.7.3

Incidencia oblicua

Suponemos ahora un caso en el cual la direccion de propagacion de la ondaplana incidente no coincide con la perpendicular a la superficie S. Situamos


z

e s1 1m1

z=0

e s2 2m2

1 2

d

3

z=d

e s3 3m3

Figura 2.10: Incidencia normal con dos cambios de medio

Plano de incidencia

e s1 1m1 e s2 2m2

1 2

n

nr

^

nt

^

ni

^

qi

qt

qr

S

Figura 2.11: Incidencia oblıcua

el origen de coordenadas en cualquier punto de dicha superficie, cuya normalviene dada por el vector n. Al igual que hicimos en el caso de la incidencianormal, postulamos la existencia de tres ondas:

Una onda inidente: ~Ei segun la direccion ni

Una onda reflejada: ~Er segun la direccion nr

Una onda transmitida: ~Et segun la direccion nt

cuyas expresiones son:

~Ei = ~Eoe−γ1ni·~r

~Hi =1η1ni × ~Ei

y definimos las ondas reflejadas:

~Er = ~E2e−γ1nr·~r

~Hr =1η1nr × ~Er


y transmitida:

~Et = ~E1e−γ2nt·~r

~Ht =1η2nt × ~Et

Leyes de Snell

Imponemos que los exponentes de las ondas sean los mismos en la superficieS, definida por la ecuacion n · ~r = 0. Dado que podemos expresar ~r como(ver Stratton)

~r = (n · ~r)n− n× (n× ~r)

sobre la superficie S sera:

~r = −n× (n× ~r)

con lo que podremos escribir:

γ1ni · n× (n× ~r) = γ1nr · n× (n× ~r)γ1ni · n× (n× ~r) = γ2nr · n× (n× ~r)

y dado que:ni · n× (n× ~r) = (ni × n) · (n× ~r)

resulta:

(ni × n− nr × n) · n× ~r = 0(γ1ni × n− γ2nt × n) · n× ~r = 0

de donde podemos extraer las siguientes conclusiones:

Los vectores n, ni, nr y nt estan en el mismo plano, que denominare-mos plano de incidencia, que es perpendicular a S.

Primera Ley de Snell:

sin θr = sin θi ⇒ θr = θi

Segunda Ley de Snell:

γ1 sin θi = γ2 sin θt

que en un caso sin perdidas resulta:√µ1ε1 sin θi =

√µ2ε2 sin θt

Ecuaciones de Fresnel

Aplicamos ahora las condiciones de contorno para determinar la relacionentre los campos en cualquier punto de la superficie S:

n× ( ~Ei + ~Er) = n× ~Et; n× ( ~Hi + ~Hr) = n× ~Ht

En los visto hasta ahora, la orientacion de ~Ei era arbitraria. Distinguimosdos casos:


A. ~Ei es perpendicular al plano de incidencia, ~Ei = ~E⊥

B. ~Ei es paralelo al plano de incidencia, ~Ei = ~E‖

de forma, que cualquier campo puede descomponerse en esta nueva basecomo:

~E = ~E‖ + ~E⊥

Caso 1: ~Ei perpendicular al plano de incidencia ( ~Ei = ~E⊥) En estecaso se verifica n · ~E⊥ = 0. Tendremos ademas que n · ~Et = n · ~Er = 0. Siaplicamos las condiciones de contorno llegamos a:

Γ⊥ =Er⊥Ei⊥

=η2 cos θi − η1 cos θtη2 cos θi + η1 cos θt

T⊥ =Et⊥Ei⊥

=2η2 cos θi

η2 cos θi + η1 cos θt

Si aplicamos la segunda Ley de Snell, obtenemos que para el angulo θt secumple:

cos θt =

√1−

(γ1

γ2

)2

sin2 θi

que en un caso sin perdidas se convierte en:

cos θt =

√1−

(k1

k2

)2

sin2 θi

y vemos que este valor puede llegar a ser complejo, incluso aunque tratemoscon medios dielectricos sin perdidas. No obstante, si sustituimos este valoren las ecuaciones anteriores utilizando la segunda Ley de Snell, solventamosde momento el problema y obtenemos una version mas practica en funcionunicamente del angulo de incidencia θi:

Γ⊥ =Er⊥Ei⊥

=η2 cos θi − η1

√1−

(γ1γ2

)2

sin2 θi

η2 cos θi + η1

√1−

(γ1γ2

)2

sin2 θi

T⊥ =Et⊥Ei⊥

=2η2 cos θi

η2 cos θi + η1

√1−

(γ1γ2

)2

sin2 θi

y podemos decir que los coeficientes complejos que multiplican a ~Ei⊥ en cadacaso indican que ~Er⊥ y ~Et⊥ no estan en fase con ~Ei⊥.

Caso 2: ~Ei paralelo al plano de incidencia ( ~Ei = ~E‖) En este caso~H sera normal al plano de incidencia, esto es n · ~Hi = n · ~Hr = n · ~Ht = 0 yprocediendo analogamente llegamos a:

Γ‖ =Er‖

Ei‖=−η1 cos θi + η2 cos θtη1 cos θi + η2 cos θt

T‖ =Et‖

Ei‖=

2η2 cos θiη1 cos θi + η2 cos θt

con el mismo problema de antes, de forma que es conveniente escribir:

Γ‖ =Er‖

Ei‖=−η1 cos θi + η2

√1−

(γ1γ2

)2

sin2 θi

η1 cos θi + η2

√1−

(γ1γ2

)2

sin2 θi

T‖ =Et‖

Ei‖=

2η2 cos θi

η1 cos θi + η2

√1−

(γ1γ2

)2

sin2 θi

y observamos que ~Er‖ y ~Et‖ no estan en fase con ~Ei‖ y que (Γ⊥, T⊥) 6= (Γ‖, T‖)

Comentarios sobre los resultados obtenidos: A la vista de los re-sultados anteriores, podemos afirmar que una polarizacion lineal cualquiera(incidente) dara lugar a ondas reflejadas y transmitidas con polarizacionelıptica salvo en el caso de incidencia normal (θi = 0) en el cual no sedistingue ~E⊥ y ~E‖ y resultan las expresiones conocidas:

Γ1 = Γ⊥ = Γ(0) =η2 − η1η2 + η1

T1 = T⊥ = T (0) =2η2

η2 + η1

Medios dielectricos

Particularizamos los resultados obtenidos para el caso σ1 = σ2 = 0. Supo-nemos, ademas, que µ1 = µ2 = µo. Entonces, la segunda Ley de Snell seescribe:

sin θtsin θi

=sin θtsin θr

=√εr1√εr2

=n1

n2

donde hemos introducido el valor

n =√εr

conocido como ındice de refraccion del medio junto con:

n21 =n1

n2

ındice de refraccion relativo de 1 con respecto a 2

Observamos que:

Si ε2 > ε1 entonces θt < θi, esto es, el rayo se acerca a la normal a S

Si ε1 > ε2 hay dos posibilidades:

• ∀θi ≤ arcsin(n2/n1) sera θt > θi

• ∀θi > arcsin(n2/n1), θt sera complejo. Excluimos, de momentoesta posibilidad


Para valores de θt reales las formulas de Fresnel proporcionan coeficientesde reflexion y transmision tambien reales, por lo que las ondas transmitidasy reflejadas estaran en fase (0) o contrafase (180) con respecto a la ondaincidente.

Angulo de Brewster: Veamos ahora si existe algun angulo para el cualno existe onda reflejada. Es facil comprobar que para la polarizacion perpen-dicular al plano de incidencia no es posible anular el fasor Et⊥. Sin embargola ecuacion de Γ‖ se anula cuando se verifique:

−η1 cos θi + η2 cos θt = 0

que combinado con la primera la Ley de Snell conduce a un angulo deincidencia:

θi = θb = arcsin√

ε2ε1 + ε2

= arctan√ε2ε1

valor que se denomina angulo polarizante o de Brewster y que existe solopara la polarizacion paralela al plano de incidencia.

Reflexion total: Volvemos ahora al caso en el cual obtenemos angulos θtcomplejos. Esto ocurre a partir de un cierto angulo conocido como angulocrıtico dado por:

θc = arcsinn2

n1= arcsin

√ε2ε1

para el cual θt = π/2, esto es, la onda transmitida sigue una direccionparalela a la superficie S (y los planos de fase constante ya no progresanhacia la direccion z+).

El problema para angulos mayores al crıtico estriba en que los angulosobtenidos en el medio 2 pierden su significado fısico, si bien la solucion ma-tematica sigue siendo valida. El problema esta en la suposicion de ondaplana que postulamos al principio del apartado. Veamos esto con deteni-miento y estudiemos que tipo de soluciones obtenemos.

Cuando θt sea complejo tendremos:

sin θt =γ1

γ2sin θi =

α1 + jβ1

α2 + jβ2sin θi

y en el caso de medios sin perdidas, α1 = α2 = 0 por lo que sera:

cos θt = −jn21

√sin2 θt − n2

12 (2.7)

ecuacion en la cual la raız lleva el signo que corresponde a la condicion deque el campo nunca puede hacerse ∞.

Supongamos que n = x de forma que todos los puntos del medio 2 tienenvalores positivos de x (ver figura 2.12). Entonces:

γ2n · ~r = jω√ε2µ2(x cos θt + z sin θt) =

= jω√ε1µ1(−jx

√sin2 θi − n2

12 + z sin θi)

y por tanto, el campo transmitido sera:

~Et = ~Etoe−γ2n·~r = ~Etoe

−α2x−jβz (2.8)


1

2

z

x

0S

Figura 2.12: Reflexion total en una superficie coincidente con el plano xy

donde ~Eto se obtiene de la Formula de Fresnel correspondiente y:

α2 =ω√ε1µ1

√sin2 θi − n2

12 =ω

vf1

√sin2 θi − n2

12

β =ω√ε1µ1 sin θi =

ω

vf1sin θi

y observamos como el campo definido por (2.8) incluye dos terminos:

Un factor e−α2x que depende de x y que decae exponencialmente segunx → ∞ lo cual confirma la eleccion del signo negativo de la raız de(2.7), y que define un conjunto de superficies equiamplitud en planosparalelos a la discontinuidad (ver figura 2.13)

Un factor e−jβz que depende de z y tiene aspecto de onda, a pesar deque su velocidad de fase:

vs =vf1

sin θi

depende del angulo θi y que define un conjunto de superficies equifaseperpendicular a las superficies equiamplitud y a la discontinuidad.

1

2

z

x

0S

Planosequiamplitud

Planosequifase

Figura 2.13: Onda de superficie en medios sin perdidas para reflexion total

El origen del problema de los anguloscomplejos esta en que la suposicion deondas planas (excepto para el caso deincidencia normal) es incompatible conla presencia del dioptrio

Mediante las ecuaciones de Fresnel se puede llegar a las expresiones de loscampos en los medios 1 y 2 y analizando el vector de Poynting en los dosmedios se puede llegar a las siguientes conclusiones:

A. El flujo de energıa de la onda reflejada coincide con el de la ondaincidente

B. El vector de campo ~Et no es nulo


C. No existe flujo medio de energıa en el medio 2 (el de menor ındice derefraccion) segun la componente normal a la discontinuidad, si bienexiste una componente normal instantanea de flujo de energıa no nula,dado que los campos no son nulos

D. Existe un flujo medio de energıa en el medio 2 en la direccion paralelaa la discontinuidad que cae muy rapidamente cuando nos alejamos deella.

Por lo tanto, podemos decir que la excitacion en el medio 2, en el casode reflexion total, es una onda no transversal (no plana) confinada en lavecindad de la superficie de discontinuidad. Las soluciones de este tipo seconocen como ondas de superficie. Estas soluciones van a tener componentestransversales y longitudinales con respecto a la direccion de propagacion (alo largo de la discontinuidad). Por todo ello, podemos decir que:

Los angulos complejos corresponden a ondas no planas, que presentancomponentes longitudinales de campo

Las componentes longitudinales estan relacionadas con la energıa re-activa almacenada en el medio

Existe propagacion por onda de superficie lo que da lugar a superficiesequiamplitud y superficies equifase

Los angulos complejos estan relaciona-dos con ondas no transversales (no pla-nas).

Medios con perdidas

En este caso, las leyes de Snell y Fresnel siguen siendo formalmente validas,pero nuevamente, el hecho de que θt sea compleja, conduce a una interpre-tacion distinta. Supongamos que el medio 2 es conductor. De acuerdo conla Ley de Snell, tendremos:

sin θt = (a− jb) sin θi


cos θt =√

1− (a2 − b2 − 2jab) sin2 θi = ρejγ

por lo que el campo sera:

~Et = ~Etoe−px−j(−qx+α1z sin θi)

siendo:

p = ρ(β2 cos γ + α2 sin γ)q = ρ(α2 cos γ − β2 sin γ)

y ahora:

Las superficies de amplitud constante son los planos px = cte

Las superficies de fase constante son los planos −qx+α1z sin θi = cte.

y observamos como las dos familias de planos no coinciden y nuevamente lasolucion no es una onda plana (ver figura 2.14).

2.8. Ejercicios 71

1

2

z

x

0S

Planos equifase

Planosequiamplitud

Y Y

Planos equiamplitudy equifase

Figura 2.14: Refraccion en un medio con perdidas

Podemos definir una Ley de Snell modificada, que ahora depende del angulode incidencia:

n(θi) =sin θisinΨ

=1α1

√α2

1 sin2 θi + q2

con lo cual la velocidad de fase sera:

v2(θi) =ω√

α21 sin2 θi + q2

=vf1

n(θi)

Se puede demostrar que en este caso,existe un angulo analogo al de Brewsterpara el cual el coeficiente de reflexion pa-ra la polarizacion de la onda paralela alplano de incidencia alcanza un mınimo(no un nulo)

Como caso particular, si el medio 2 es un buen conductor (σ2 >>), tendre-mos:

α2 = β2 ≈√ωσ2µ2

2

que implica:

p ≈ q ≈ α2 ⇒ Ψ → 0 n(θi) →∞ vf2 → 0

por lo que al aumentar σ2 (o disminuir f), los planos de fase constante sealinean con los de amplitud constante y la propagacion en el seno del conduc-tor ocurre practicamente segun la direccion a la normal a la discontinuidad(figura 2.15).

1

2

z

x

0

SY

Dieléctrico

Conductor

Figura 2.15: Refraccion en medio buen conductor

2.8 EJERCICIOS2. 21 Una onda plana con una frecuencia de f=3 GHz se propaga en unmedio material infinito con εr = 7 y µr = 3. Calcular λ, vf y η.

Sol : λ = 0.0218m; vp = 6.55 · 107 m/s; η = 246.8Ω

2. 22 Calcular la profundidad de penetracion, δs, en el Aluminio (σ =3.86 · 107 S/m) a f = 10 GHz.

Sol : δs(Al) = 8.14 · 10−7m

2. 23 Calcular la constante de atenuacion en tierra seca (ε′ = 4, σ = 10−3

S/m) y en mar (ε′ = 80, σ = 4 S/m).

Sol :

f α (dB/m) Tierra α (dB/m) Mar15 KHz 0.06 4.22

150 KHz 0.20 13.371.5 MHz 0.56 42.2415 MHz 0.80 132.6

150 MHz 16.83 389.1 !!!

2. 24 Determinar la polarizacion de una onda plana en los siguientes casos:

A. ~E = Eo(x+ y)e−jkoz

B. ~E = Eo(x+ jy)e−jkoz

Sol : A) Lineal; B) Circular a izquierdas

2. 25 Describir el estado de polarizacion de las siguientes ondas:

A. ~E = E0 cos(kz − ωt)x− E0 sin(kz − ωt)y

B. ~E = E0 cos(kz − ωt− π/2)x− E0 sin(kz − ωt)y

C. ~E = E0 cos(kz − ωt)x− E0 cos(kz − ωt)y

y determinar sus componentes magneticas y la energıa media transportadaen un periodo por unidad de superficie.

Sol :

A. Circular a derechas. ~H = E0120π [cos(ωt − kz)y − sen(ωt − kz)x] ; <

~S >= 1120π | E0 |2 z

B. Lineal con direccion: ~u = 1√2x− 1√

2y. ~H = E0

120π [x+ y]cos(ωt−kz+ π2 );

< ~S >= 1120π | E0 |2 z

C. Lineal con direccion: ~u = 1√2x − 1√

2y. ~H = E0

120π [x + y]cos(ωt − kz);

< ~S >= 1120π | E0 |2 z

2. 26 La amplitud compleja del campo electrico de una onda plana mo-nocromatica que se propaga en el vacıo esta dada por:

~E = [(√

3 + j)x+ 2jy]e−j20πz

3

Determinar la frecuencia de la onda, el vector unitario en la direccion depropagacion, la polarizacion, la expresion del campo magnetico, la razonaxial y la densidad de potencia media.

2.8. Ejercicios 73

Sol : f=1 GHz; k = z; Elıptica a izquierdas; ~H = 1120π (−2jx + (

√3 +

j)y)e−j20π/3z A/m; ra =√

3; 130π z W/m

2

2. 27 Dado el campo electrico:

~E =√

3x cos(ωt− 20π3z)e−

20π3 z − (x+ 2y) sin(ωt− 20π

3z)e−

20π3 z

que se propaga en un medio conductor, describa su polarizacion y calculela constante de atenuacion en dB/m.

Sol : Elıptica a izquierdas; α = 57, 86πdB/m

2. 28 El campo magnetico en una cierta region del espacio responde a lasiguiente expresion:

~H = H0(x+ jy)e−jkz

Calcular el campo electrico instantaneo, la curva descrita por el vector cam-po electrico en un punto fijo del espacio y la densidad de potencia media einstantanea.

Sol : ~E = −120πH0[cos(ωt− kz)y + sen(ωt− kz)x]; Polarizacion circular aizquierdas; < ~S >= 60πH2

0 z

2. 29 Una onda plana monocromatica se propaga en el vacıo segun zy esta constituida por la superposicion de dos componentes linealmentepolarizadas cuyos valores instantaneos en z = 0 estan dados por:

~E1(0, t) =3 cosωtx~E2(0, t) =2 cos(ωt+ π/2)y

Determinar la relacion entre los valores maximo y mınimo del campo total,la polarizacion y el vector de Poynting medio asociado a la onda y a cadauna de sus componentes por separado.

Sol : RA = 3/2: Elıptica a izquierdas; Pav = 13240π z W/m2 P1 = 9

240π zW/m2P2 = 4

240π z

2. 30 Determinar la amplitud compleja del campo electrico de una ondaplana monocromatica con polarizacion elıptica a izquierdas sabiendo quese propaga en el vacıo segun una direccion que se considera como eje z; larelacion entre el valor maximo y el valor mınimo del campo electrico es N ;la direccion segun la cual se mide el maximo valor del campo electrico setoma como eje y; el valor medio de la densidad de potencia que transmitela onda es P (W/m2) y el campo electrico en el plano z = 6 tiene direccionx en el instante t = 0.

Sol : ~E =√

2P120π1+N2 (x+Njy)e−jβz

2. 31 Encontrar el vector de polarizacion de una onda plana si ε = 30o yτ = 135o.

Sol : ~e =√

22 x+

√2

2 ej 2π

3 y

2. 32 Calcular el vector de polarizacion de un campo con polarizacion


elıptica a derechas cuya razon axial es 3 dB y su semieje mayor correspondeal eje x.

Sol : ~e = 0.816x− j0.577y

2. 33 Calcula el coeficiente de reflexion de una onda plana sobre un planoconductor infinito de Cu (σ = 5.813 · 107 S/m) para f=1 GHz.

Sol : Γ ≈ 1 6 179.9; T ≈ 6.181 · 10−5 6 45

2. 34 Una onda plana que se propaga en un medio de εr = 4, µr = 1 y cu-yo fasor de campo electrico es ~Ei = 2 · 10−3e−jkz yV/m incide normalmentesobre un medio igual al vacıo. Determinar el campo magnetico incidente,el coeficiente de reflexion y la ROE, los campos reflejados y transmitidos(electricos y magneticos) y las densidades de potencia media incidente, re-flejada y transmitida.

Sol :

A. ~Hi = − 0.00260π e

−jkzx(A/m) = − 0.00260π e

−j2kozx (A/m)

B. Γ1(z) = 13ej4k0z ROE=2

C. ~Er = 130.002ej2k0z y(V/m); ~Et = 4

30.002e−jk0z y(V/m);

~Hr = 13

0.00260π e

j2k0zx(A/m); ~Ht = − 43

0.002120π e

−jk0zx(A/m)

D. P iav = 10−6

30π z(W/m2) P rav = − 10−6

270π z(W/m2) P tav = 8·10−6

270π z(W/m2)

2. 35 Una onda plana que se propaga en el espacio libre incide normalmen-te sobre un material dielectrico sin perdidas. La reflexion producida originaen el espacio libre una onda estacionaria, y por medio de mediciones se de-termina que: la relacion de ondas estacionaria (ROE) es 2; la distancia entredos maximos consecutivos de campo electrico es 6 cm y el primer maximodel campo electrico esta situado a 3 cm del dielectrico. Calcular:

A. La frecuencia

B. La constante dielectrica relativa de la lamina

C. El porcentaje de energıa incidente que atraviesa la lamina

Sol : f = 2.5 GHz; εr = 4; 88.9 %

2. 36 Una onda plana de frecuencia 3 GHz se propaga en el vacıo e incidenormalmente sobre una superficie dielectrica de permitividad 16ε0 y espesor5/8cm, a la que sigue otra de permitividad ε0 y 5cm de espesor, tras la quese halla una nueva lamina de 4ε0 y 5/4cm de grosor a continuacion de lacual se tiene de nuevo el vacıo.

A. ¿Cual es el porcentaje de la potencia incidente en el primer medio quese transmite al ultimo?

B. ¿Que medio o medios podrıan eliminarse de la estructura dada man-teniendose el mismo porcentaje de potencia transmitida?

2.8. Ejercicios 75

Sol : 64 %; 2 y 3

2. 37 Una onda plana incide oblicuamente desde el vacıo sobre un conduc-tor perfecto como se indica en la figura. La amplitud compleja del campoincidente es:

~Ei = 5xe−j√

2π(y+z)

(1) (2)

Hi

Z

Y

A. Calculese la expresion de los campos totales en funcion del tiempo.

B. ¿Existe algun punto en el cual se anule el campo electrico para cual-quier valor del tiempo?

Sol : ~E(t) = 10sen(√

2πz)sen(ωt−√

2πy)x; Los planos z = n√2

CAPITULO 3

Ondas guiadas

3.1 INTRODUCCIONPlanteamos el problema de la transmision de energıa electromagnetica entredos puntos cumpliendo dos exigencias:

Debe llegar la totalidad o la mayor parte de la energıa enviada desdeel primer medio

El sistema debe permitir el paso de las potencias que sea necesariotransmitir en la practica

En el caso de las bajas frecuencias, el problema se resuelve empleando dosconductores paralelos separados entre si una distancia pequena comparadacon λ. Por este motivo, no se producen perdidas por radiacion.

Si se quiere mantener esta situacion al elevar la frecuencia, es necesariodisminuir dicha distancia, lo que limita la potencia maxima transmisible porla formacion de arcos electricos. Todo ello, limita la transmision por lıneasbifilares hasta frecuencias del orden de los MHz, lo que obliga a recurrir aotros artificios para suprimir la radiacion de los conductores paralelos.

Una primera solucion es el cable coaxial en el cual uno de los conductoresengloba completamente al otro. Para soportar el conductor central se puedeutilizar un medio dielectrico que rellene el espacio entre los conductores osimplemente rodajas de dicho material aislante.

Generalizando lo anterior, introducimos unos elementos nuevos, las guıasde ondas o guiaondas que, en general, consisten en un tubo cilındrico deparedes metalicas y lleno de aislante, aire o el vacıo en las cuales el soportede la energıa que se transmite es el campo electromagnetico que, para unadeterminada frecuencia, se propagara a lo largo del tubo si se han elegidoadecuadamente las dimensiones de la seccion recta de este ultimo.

La propagacion estara tanto mas confinada dentro de la guıa cuanto mas altasea la frecuencia de trabajo porque se reducira la profundidad de penetraciondel campo e.m. en el conductor metalico que lo constituye.

Las guıas se conocen segun la forma de la pared que constituye su seccion. Sien el interior de la guıa no hay mas que un aislante homogeneo e isotropo,se dice que la primera es homogenea. En caso contrario, se especifica lageometrıa con un calificativo especial como p. ej. guıa parcialmente rellenade dielectrico.

78 ONDAS GUIADAS

Existen otros mecanismos para conseguir la propagacion guiada basadosen la propagacion de ondas superficiales sobre un conductor metalico. Unejemplo son las lıneas microstrip, que consisten en un plano conductor infe-rior, una capa de sustrato dielectrico y una tira de conductor situada sobreeste, estructura que permite la propagacion guiada si las dimensiones sonlas adecuadas.

3.2 GUIAS CILINDRICAS

HOMOGENEAS.PLANTEAMIENTO TEORICO

DE LA PROPAGACION

En primera aproximacion hacemos la abstraccion matematica de considerarque el conductor que forma la guıa es perfecto. Como se ha mendionadoanteriormente, esto es tanto mas cierto cuanto mas alta sea la frecuencia yaque la profundidad de penetracion sera menor. En consecuencia, no existecampo e.m. en el metal que forma la guıa y el problema se reduce a hallarla propagacion en un medio homogeneo isotropo aislante (o conductor im-perfecto) y que llena la region del espacio interior a una superficie cilındricadonde esta en contacto con otro medio, conductor perfecto.

Para simplificar el calculo, suponemos que el dielectrico no tiene perdidas,por lo que se trata de un aislante perfecto.

Dada la simetrıa de traslacion, caracterizamos cualquier punto P del espaciomediante tres coordenadas (ξ1, ξ2, z) de forma que:

Los puntos situados en una recta paralela a las generatrices del cilindroen cuestion tienen las mismas coordenadas (ξ1, ξ2).

Todos los puntos situados en un plano perpendicular a dichas genera-trices tienen la misma z.

La diferencia entre las coordenadas z de dos puntos es igual a la dis-tancia geometrica que separa los planos que pasan por tales puntos yque son perpendiculares a las generatrices del cilindro.

En coordenadas cartesianas ξ1 = x,ξ2 = y; en coordenadas cilındricas ξ1 =ρ, ξ2 = φ;

Se trata entonces de resolver las ecuaciones de ondas:

4 ~E − γ2o~E = 0

4 ~H − γ2o~H = 0

siendo γ2o = −ω2µε = −k2 anadiendo las condiciones de contorno que impo-

ne la guıa a los campos ~E y ~H. Junto con el campo electromagnetico en elinterior de la estructura, podrıamos calcular la densidad lineal de corrientesegun:

~Js = n× ~H

Podemos escribir el campo ~E como (para el campo ~H el desarrollo es analo-go):

~E = ~Et + ~Ez

donde ~Et es la componente tangencial y ~Ez la componente longitudinal, conrespecto al eje de la guıa, por lo que resultara:

4 ~Et +4 ~Ez − γ2o~Et − γ2

o~Ez = 0

En sistemas que presenten simetrıa de traslacion, 4 ~Et es un vector trans-versal a z mientras que 4 ~Ez tiene la direccion de z, por lo que:

4 ~Et − γ2o~Et = 0

4 ~Ez − γ2o~Ez = 0

3.2. Guıas cilındricas homogeneas. Planteamiento teorico de la propagacion 79

Ademas se verificara:

4 ~Ez = (4Ez)z =(4tEz +

∂2Ez∂z2

)z

siendo 4t la parte de 4 que no contiene derivadas con respecto a z, luego:

4Ez = 4Et +∂2Ez∂z2

− γ2oEz

ecuacion a la que se le puede aplicar la tecnica de separacion de variablespara escribir:

Ez = Fe(ξ1, ξ2)Ae(z)

obteniendose:4tFeFe

+A′′

e

Ae− γ2

o = 0

lo que supone que:A′′

e

Ae= γ2

donde γ2 es una constante de separacion y la solucion para Ez es de laforma:

Ez = Fe(ξ1, ξ2)(Ae−γz +Beγz)

Siendo Fe(ξ1, ξ2) la solucion de la ecuacion:

4tFe − γ2cFe = 0

con:γ2c = γ2

o − γ2

Si se elige una de las dos exponenciales, tendremos:

~Ez = Fe(ξ1, ξ2)e−γz z

y operando de la misma manera para Hz:

~Hz = Fh(ξ1, ξ2)e−γz z

donde, como hemos dicho anteriormente, Fe y Fh son dos soluciones inde-pendientes de la ecuacion:

4tF − γ2cF = 0

cuyas constantes de separacion pueden ser distitintas y dependeran de lascondiciones de contorno que apliquemos a cada campo.

Atendiendo a las expresiones de los campos, podremos clasificar las solucio-nes en:

Modos Transversales electromagneticos o TEM: ~Ez = 0 y ~Hz = 0

Modos Transversales Magneticos o TM: ~Hz = 0

Modos Transversales Electricos o TE: ~Ez = 0

quedando justificados los calificativos de transversal magnetico, electro-magnetico y electrico dados a los modos en cuestion puesto que se anulanlas componentes longitudinales del campo o los campos correspondientes yestos son vectores transversales.

Pasamos a estudiar cada uno de los casos introduciendo una impedanciaque relacione los campos transversales ~E y ~H de cada modo de la mismaforma que hicimos con las ondas planas.

80 ONDAS GUIADAS

Modos TEM

Este caso corresponde a la solucion trivial de las ecuaciones para Fe y Fh.Los campos unicamente tienen componentes transversales, por lo que laecuacion a resolver es:

∂2 ~Et∂z2

− γ2o~Et = 0

cuya solucion se puede expresar como:

~E = ~Fe(ξ1, ξ2)e−γoz

siendo la funcion ~Fe la solucion de:

∇t × ~Fe = 0

junto con las condiciones de contorno correspondientes. Observamos como~Fe nos proporciona la variacion transversal del campo en cualquier seccionrecta de la guıa.

Se demuestra, ademas, que se verifica:

~H =1ηoz × ~E

ZTEM =z × ~Et~Ht

= ηo

que coincide con la impedancia intrınseca del medio material para una ondaplana.

Modos TM

En este caso, ~H esta contenido en planos perpendiculares a z. Los camposson:

~Ez = Fe(ξ1, ξ2)e−γz z

donde Fe cumple la ecuacion:

4tFe − γ2cFe = 0; γ2

c = γ2o − γ2

~Ht = −jωεγ2c

∇tEz × z

~Et =γ

γ2c

∇tEz

ZTM =z × ~Et~Ht

=γ

jωε

Modos TE

En este caso, ~E esta contenido en planos perpendiculares a z. Los camposson:

~Hz = Fh(ξ1, ξ2)e−γz z

donde Fh cumple la ecuacion:

4tFh − γ2cFh = 0; γ2

c = γ2o − γ2


~Et = −jωµγ2c

∇tHz × z

~Ht =γ

γ2c

∇tHz

ZTE =z × ~Et~Ht

=jωµ

γ

Notar que como ~Ez y ~Hz son independientes, las soluciones con ~Ez 6= 0y ~Hz 6= 0 tambien lo seran y podran obtenerse como superposicion delas anteriores, esto es, no se trata de una familia separada de solucionesdistitintas de las que ya se han descrito.

Comentarios sobre las soluciones

La solucion general del problema es combinacion lineal de las solucionesTEM, TE y TM, siendo las condiciones de contorno las que determinan lasconstantes de separacion γ y los coeficientes de la combinacion correspon-dientes a cada caso. De esta forma: Notar que la tecnica de separacion de la

variable z no funciona si la frontera dela guıa no es un cilindro recto o bien lascondiciones de contorno dependen de z,ya que en ese caso, F (ξ1, ξ2) dependerıatambien de z

Las condiciones de contorno laterales definen la forma especıfica devariacion de los modos con las coordenadas ξ1, ξ1 y z, esto es, las Fe,Fh y γ, cuya determinacion es un problema bidimensional en (ξ1, ξ2)

Las condiciones en los planos z = cte. correspondientes al generadory la carga determinan cuantos y cuales son los modo que se propagan

Las constantes γc son tambien incogni-tas del problema. Desde un punto de vis-ta matematico, las ecuaciones de los Fe

y Fh plantean el problema de la deter-minacion de las funciones propias F yde los valores propios γc del operador deLaplace bidimensional.

Para cada geometrıa de guıa, existe un sistema de coordenadas que facilitasu solucion, y que viene determinado por las simetrıas existentes en lascondiciones de contorno.

Ası, para el caso de una guıa con seccion rectangular, es apropiado emplearlas coordenadas cartesianas. Para el caso de la guıa cilındrica, es natural em-plear las coordenadas cilındricas, que pasamos a definir, suponiendo ademasla condicion de que el sistema obtenido sea ortogonal, por ser los unicos quepermiten hallar soluciones sencillas.

3.2.1

Analisis de la variacion con z

La constante de propagacion que hemos obtenido viene dada por:

γ =√γ2o − γ2

c

dependiendo γc de las condiciones de contorno que gobiernan Fe y Fh. De lamisma manera que hicimos con las ondas planas, denominamos a γ constantede propagacion, que dependera tambien de la frecuencia y que normalmenteexpresaremos como:

γ(ω) = α(ω) + jβ(ω)

siendo α la constante de atenuacion y β la constante de fase. De la mismaforma, podemos definir:

λ(ω)= ongitud de onda

vf (ω)= velocidad de fase

82 ONDAS GUIADAS

vg(ω) = dβ/dω= velocidad de grupo

Lo novedoso con respecto al planteamiento de las ondas planas es que soloel conocimiento de las condiciones de contorno que corresponden al modocuya solucion calculamos fija el valor de la constante de propagacion γ.

3.2.2

Condiciones de contorno laterales

Las condiciones de contorno en z=cte. determinan los modos que es nece-sario considerar para obtener la solucion completa del problema.

Las condiciones de contorno laterales en (ξ1, ξ2) determinan las caracterısti-cas de cada modo (a traves de γc) y la forma de los campos.

Las ecuaciones de Fe y Fh solo tienen solucion sencilla cuando se puedaaplicar la tecnica de separacion de variables y esto se puede hacer cuandolas condiciones de contornop se den sobre planos de ξi = cte.

Los tipos de condicion de contorno mas habituales son:

A. Conductor perfecto (σ →∞)

B. Conductor no perfecto (buen conductor)

C. Problemas abiertos (Ej. la lınea bifilar). Se supone un conductor en elinfinito que cierra el problema

D. Cualquiera de los anteriores cuando existan discontinuidades de medioen superficies distintas de z=cte. como p. ej. la lınea microstrip.

y unicamente el primero admite una solucion analıtica sencilla.

3.2.3

Condiciones de contorno de conductor perfecto

Supongamos una situacion como la de la figura 3.1. En este caso, el conduc-

s

z

n

t

m,e

Figura 3.1: Condicion de contorno de conductor perfecto

tor perfecto impone:

n× ~Et = 0Ez = 0

Modos TE

Aplicando las condiciones anteriores se llega a:

dFhdn

∣∣∣∣C

= 0

Modos TM

En este caso directamente:Fe|C = 0

Modos TEM

En este caso tendremos:

n× ~Et = 0 ⇒ n× ~FEt = 0

Como ademas se verifica:∇t × ~FEt = 0

podremos decir que:~FEt = −∇tφ

siendo φ = φ(ξ1, ξ2) una funcion escalar que verifica la ecuacion de Laplacebidimensional:

4tφ = 0

por lo que el problema coincide con el planteamiento de un problema elec-trostatico bidimensional, esto es, una vez encontrado φ, el campo electricovendra dado por:

~Et = −∇tφ · e−γoz

Por ello, y dado que ~FEt es normal a C, esta curva debe ser una lınea de φconstante, ası que en los conductores podremos imponer φ|c = cte.

Una primera conclusion importante es la siguiente. Si la frontera del con-ductor es simplemente conexa la unica solucion posible es φ = cte. en todala region y por tanto ~FEt = 0. Por tanto, en una region limitada por unconductor perfecto simplemente conexo no puede existir modo TEM.

3.2.4

Caracterısticas de los modos

Se puede demostrar que cuando las condiciones de contorno son las de unconductor perfecto, se cumple que

γ2c < 0

Por tanto, la expresion γ2 = γ2o − γ2

c sera positiva o negativa dependiendode la frecuencia, siempre y cuando el medio material no presente perdidas.

El valor de la pulsacion para el cual la expresion anterior cambia de signose conoce como pulsacion (frecuencia) de corte y viene dado por:

ωc =1√µε

√−γ2

c

y las dos posibilidades son:

84 ONDAS GUIADAS

Si ω < ωc (f < fc) ⇒ γ2 > 0 y por tanto γ = α por lo que elmodo no se propaga, esto es esta al corte.

Si ω > ωc (f > fc) ⇒ γ2 < 0 y por tanto γ = jβ por lo que elmodo se propagara.

En funcion de la frecuencia de corte, podemos escribir:Si f < fc las impedancias de modo sonimaginarias puras por lo que el flujo me-dio de potencia es nulo

γ = ±γo

√1− f2

c

f2

ZTE = ± η√1− f2

c

f2

ZTM = ±η

√1− f2

c

f2

correspondiendo el signo ’+’ al caso f > fc y el ’-’ a f < fc

Podemos representar esta situacion en un diagrama de Brillouin (figura 3.2)donde las curvas de α y β vienen definidas por las ecuaciones:

a,b

w

wc

TEMb

a

w=b/ me

Figura 3.2: Diagrama de Brillouin para un modo

ω2(√−γ2

c√µε

)2 −β2

(√−γ2

c )2= 1

ω2(√−γ2

c√µε

)2 +α2

(√−γ2

c )2= 1

Observamos que:

El modo TEM no posee frecuencia de corte

El diagrama representado corresponde a un unico modo. El diagramacompleto debe incluir todos los posibles modos que se pueden excitar(fig. 3.3)

A partir de este diagrama podemos calcular la velocidad de fase y de grupoque corresponde a cada modo en cualquier frecuencia. Notar que la velocidadde fase es siempre superior a la velocidad de grupo (salvo en el caso TEM)motivo por el que se conoce a estas ondas como ondas rapidas.

Algunos comentarios sobre las soluciones encontradas:


a,b

w

wc1

TEM

b1

a1

wc2

wc3

a2 a3

b2

b3

Figura 3.3: Diagrama de Brillouin para todos los modos

Si la frecuencia de trabajo es inferior a la frecuencia de corte del modocon menor

√−γ2

c ningun modo se propagara.

El modo con menor fc se denomina modo dominante y el resto modossuperiores.

En los sistemas capaces de soportar modos TEM, no existe frecuenciade corte absoluta.

Se puede demostrar que el modo de frecuencia de corte menor essiempre un TE.

Se puede demostrar que en un sistema capaz de soportar modos TEM,el primer modo superior es siempre un TE.

El ancho de banda en el cual tenemos un unico modo propagandosese denomina ancho de banda monomodo B (ver figura 3.4)

b

w

wc1

b1

B=w -wc2 c1

b2wc2

Figura 3.4: Ancho de banda monomodo B

3.2.5

Ortogonalidad de los modos

Dadas dos soluciones de las ecuaciones de Maxwell para una guıa de ondas,en que los campos electrico y magnetico sean ~E, ~H y ~E′, ~H ′ respectiva-mente, definimos como producto escalar de ambas soluciones los numeroscomplejos: ˆ

Σ

~E · ~E′dσ

86 ONDAS GUIADAS

ˆΣ

~H · ~H ′dσ

siendo Σ una seccion recta cualquiera de la guıa.

Se puede demostrar que estos productos escalares se anulan para dos cua-lesquiera de las soluciones particulares estudiadas, esto es, los modos TM,TEM y TE. Para ello se debe realizar un estudio de las autofunciones deloperador 4. Empleando el lenguaje habitual de calculo vectorial, diremosen consecuencia que los modos distintos son ortogonales.

Ademas, el conjunto de los modos obtenidos es completo. Esto significa quecualquier solucion de campos definida en un plano z = cte de la guıa sepuede escribir como una combinacion lineal de soluciones TE, TM y TEM:

~E = ΣTM,TEMmi~Ei + ΣTEnj ~Ej

3.2.6

Flujo medio de potencia a traves de una seccion recta de la guıa

El flujo medio de potencia sera igual a la parte real del flujo del vector dePoynting complejo:

S =12~E × ~H∗

a traves de tal seccion recta. Designandola como Σ y tomando en ella comosentido positivo de su normal el del vector unitario z, el flujo de S valdra:

ˆΣ

S · d~σ =ˆ

Σ

(S · z)dσ =12

ˆΣ

[ ~E × ~H∗]dσ

desarrollando los campos en sus componentes tangenciales y longitudinales,se llega a: ˆ

Σ

S · d~σ =12

ˆΣ

[ ~Et × ~H∗t ]d~σ

Ademas hay que destacar que:

En el vector de Poynting solo influyen las componentes transversalesde los campos

Solo existe propagacion de energıa cuando el modo no esta al corte.En caso contrario, existira energıa reactiva (energıa em. almacenadaen la guıa).

Cuando varios modos se propagan simultaneamente, no existe trasvasede energıa entre ellos. Esto se debe a las propiedades de ortogonalidad.

3.2.7

Estudio de la guıa rectangular

Se trata de un sistema invariante con z cuya seccion es:El convenio habitual es llamar a al ladolargo, que se coloca en el eje x

Dado que las condiciones de contorno se dan en planos x = cte y = cte esapropiado utilizar las coordenadas cartesianas. Entonces, en la resolucionde las ecuaciones de Fe y Fh:

∂2F

∂x2+∂2F

∂y2− γ2

cF = 0


z x

y

a

bm,e

Figura 3.5: Guıa rectangular

podremos aplicarle la tecnica de separacion de variables:

F (x.y) = X(x)Y (y)

que sustituida en la ecuacion da:

X ′′Y +XY ′′ − γ2cXY = 0

que descomponemos en:

X ′′

X= −k2

x

Y ′′

Y= −k2

y

junto con:γ2c = −k2

x − k2y

siendo kx y ky constantes de separacion. Las soluciones de esta ecuacionson:

X(x) = A sin kxx+B cos kxxY (y) = C sin kyy +D cos kyy

Ahora aplicamos las condiciones de contorno obtenidas en el apartado 3.2.3para cada modo.

Modos TE en una guıa rectangular

La condicion es:dFhdn

∣∣∣∣C

= 0

que en este caso se traduce en:

dXY

dx

∣∣∣∣y=0,b

= 0

dXY

dy

∣∣∣∣x=0,a

= 0

88 ONDAS GUIADAS

De la primera de ellas se extrae que:

C = 0

sin kyb = 0 =⇒ ky =nπ

b

y de la segunda:

A = 0

sin kxa = 0 =⇒ kx =mπ

a

por lo que la solucion para el campo magnetico longitudinal sera:

~Hz(mn) = P cosmπ

ax · cos

nπ

by · e−γmnz z

siendo la constante de propagacion:

γ =

√−ω2µε+

(mπa

)2

+(nπb

)2

Notar que:

Para cada pareja de valores m y n existe un modo TEmn solucion.

La solucion con n = m = 0 no esta permitida

La solucion completa es entonces:

Hz =Pmn cos(mπx

a

)cos(nπy

b

)e−γmnz

Hx =γmnmπ

k2ca

Pmn sin(mπx

a

)cos(nπy

b

)e−γmnz

Hy =γmnnπ

k2cb

Pmn cos(mπx

a

)sin(nπy

b

)e−γmnz

Ex =jωµnπ

k2cb

Pmn cos(mπx

a

)sin(nπy

b

)e−γmnz

Ey =−jωµmπk2ca

Pmn sin(mπx

a

)cos(nπy

b

)e−γmnz

donde:

kc =

√(mπa

)2

+(nπb

)2

; γmn =

√−ω2µε+

(mπa

)2

+(nπb

)2

=√−k2 + k2

c

Notar que la relacion entre las componentes transversales de E y H es laimpedancia de modo.

Modos TM en una guıa rectangular

La condicion es:Fe|C = 0

que en este caso se traduce en:

XYx=0,a;y=0,b = 0

De donde podemos extraer la solucion

~Ez(mn) = Q sinmπ

ax · sin nπ

by · e−γmnz z

siendo la constante de propagacion:

γ =

√−ω2µε+

(mπa

)2

+(nπb

)2

Notar que:

Para cada pareja de valores m y n existe un modo TMmn solucion.

Los ındices m y n deben ser ambos distintos de 0.

La solucion completa es entonces:

Ez =Pmn sin(mπx

a

)sin(nπy

b

)e−γmnz

Ex =−γmnmπak2c

Pmn cos(mπx

a

)sin(nπy

b

)e−γmnz

Ey =−γmnnπbk2c

Pmn sin(mπx

a

)cos(nπy

b

)e−γmnz

Hx =jωεnπ

bk2c

Pmn sin(mπx

a

)cos(nπy

b

)e−γmnz

Hy =−jωεmπak2c

Pmn cos(mπx

a

)sin(nπy

b

)e−γmnz

donde:

kc =

√(mπa

)2

+(nπb

)2

; γmn =

√−ω2µε+

(mπa

)2

+(nπb

)2

=√−k2 + k2

c

Notar que la relacion entre las componentes transversales de E y H es laimpedancia de modo.

La tabla siguiente representa los modos TE y TM con frecuencias de cortemas bajas para el caso a = 2b. Notar que existen modos degenerados, estoes, con la misma frecuencia de corte.

TE10 TE01, TE20 TE11, TM11 TE21, TM21

fc/fcTE10 1 2 2.24 2.82

Cuadro 3.1: Frecuancias de corte para a = 2b

En general, si a > b, tal y como venimos haciendo, el modo fundamental esel TE10 para el cual

fc|TE10=

1√µε

12a

o, en funcion de las longitudes de onda de corte:

f > fc =⇒ λ < λc

siendo λc:

λc =2√

1a2 + 1

b2

90 ONDAS GUIADAS

que para el modo fundamental resulta:

λc|TE10= 2a

Esta ecuacion podemos interpretarla en terminos de semilongitudes de ondaque caben en a. Ası, para saber si el modo fundamental se propaga, hay quecomprobar si una semilongitud de onda es inferior a a. Esto es aplicable aotros modos que tengan un ındice 0.

La expresion completa de los campos para el modo fundamental TE10 sera:A partir de la expresion de ~H pode-mos calcular las densidades lineales decorriente ~Js aplicando la condicion decontorno que los liga

Hz =P cos(πxa

)e−γz

Ey =−jωµaπ

P sin(πxa

)e−γz

Ex =0

Hx =γa

πP sin

(πxa

)e−γz

Hy =0

siendo:

γ =

√−ω2µε+

(πa

)2

3.2.8

Estudio de la guıa circular

En este caso es conveniente aplicar el sistema cilındrico de coordenadas. La

z r

f

a

m,e

Figura 3.6: Guıa circular

ecuacion a resolver es

1r

∂

∂r

(r∂F

∂r

)+

1r2∂2F

∂φ2− γ2

cF = 0

y podremos aplicarle la tecnica de separacion de variables segun:

F (r, φ) = R(r)H(φ)

que sustituida conduce aH ′′

H= −k2

φ


R′′ +1rR′ +

(−γ2

c −k2φ

r2

)R = 0

siendo kφ una constante de separacion. Las soluciones de estas ecuacionesson:

H(φ) = A sin kφφ+B cos kφφ

R(r) = CJkφ(√−γ2

c r) +DNkφ(√−γ2

c r)

y dado que la solucion es una funcion periodica en φ, kφ debe ser entero. J yN las funciones de Bessel de orden n de primera y segunda especie. Por otraparte, Nn presenta una impropiedad en el origen, ası que debe ser D = 0.Ahora aplicamos las condiciones de contorno obtenidas en el apartado 3.2.3 Las funciones de Bessel desempenan un

papel equivalente al de los senos y cose-nos del caso rectangular

para cada tipo de modos.

Modos TM en una guıa circular

Debe ser:Jn(√−γ2

ca) = 0 =⇒√−γ2

c =pnma

siendo pnm la raız n-esima de Jn=0. El campo longitudinal resultante es:

~Ez(nm) = PJn

(pnmar)

cosnφ · e−q−ω2µε+( pnm

a )2z z

y la frecuencia de corte esta dada por:

fc|TEnm=

12π√µε

pnma

Modos TE en una guıa circular

Procediendo de forma analoga:

~Hz(nm) = QJn

(p′nmar

)cosnφ · e−

r−ω2µε+

p′nm

a

2zz

siendo p′nm la raız n-esima de J ′n=0 (el valor m = 0 esta prohibido). y lafrecuencia de corte esta dada por:

fc|TMnm=

12π√µε

p′nma

siendo el modo dominante el TE11 (p′11 = 1.84). Un modo particularmente es el TE01,primer modo circular, para el cual loscampos no dependen de φ. Esto tieneaplicacion en la construccion de juntasrotatorias de antenas de exploracion.

3.2.9

Soluciones para medios dielectricos con perdidas

Cuando trabajamos con un dielectrico con perdidas, la constante de propa-gacion va a ser compleja a cualquier frecuencia. En efeto:

γ2 = γ2o − γ2

c = −ω2µ(ε′ − jε′′)− γ2c ) = (α+ jβ)2

Esto significa que ya no existen modos completamente al corte. Ademaslas impedancias de modo van a tener parte real e imaginaria a todas lasfrecuencias. En este caso se define la frecuencia de corte como aquella parala cual α = β (ver figura 3.7) Se demuestra que la frecuencia de corteobtenida de esta manera coincide con la que resultarıa de analizar la guıarellena de un dielectrico con el mismo ε′ y sin perdidas.

92 ONDAS GUIADAS

a,b

w

wc

TEM

b

a

Figura 3.7: Guıa rellena con dielectrico con perdidas

Soluciones para medios dielectricos con bajas perdidas

La constante de propagacion puede escribirse como:

γ =√γ2o − γ2

c =√−ω2µoεoεr(1− j tan δ)− γ2

c (3.1)

Si tan δ <<, podemos emplear el desarrollo en serie de Taylor:√a2 + x2 ≈ a+

x2

2a

de forma que (3.1) resulta:

γ =√−k2

o(1− j tan δ)− γ2c =

√−k2

o − γ2c + jk2

o tan δ

≈√−k2

o − γ2c +

jk2o tan δ

2√−k2

o − γ2c

k2o tan δ2β

+ jβ

siendo β la constante de fase correspondiente al caso sin perdidas. Por lotanto podremos escribir:

αd =k2o tan δ2β

(TE, TM)

αd =ko tan δ

2(TEM)

donde ko = ω√µεrεo

3.2.10

Condiciones de contorno para conductor con perdidas

Cuando la guıa este delimitada por un medio conductor real, existiran cam-pos en el seno de ese conductor (o al menos en una distancia tanto menorcuanto mejor conductor sea). En cualquier caso, los campos estaran confi-nados en una region pequena que dependera de δ (profundidad de penetra-cion). Esta situacion se indica en la siguiente figura para una guıa de seccionrectangular.

En estas circunstancias:

No es posible encontrar soluciones que cumplan las condiciones decontorno salvo para modos hıbridos (con Ez y Hz simultaneamente)

3.3. Los modos TEM 93

Campo en elconductor

Figura 3.8: Guıa rectangular con perdidas en el conductor

Las condiciones de ortogonalidad dejan de ser validas.

Existe propagacion a todas las frecuencias. Ademas, las frecuencias decorte ya no son las mismas.

Dado que la resolucion de este problema es muy compleja, se suele haceruna aproximacion de medio buen conductor para que sea tratable, de formaque tomamos:

α = αg + αc

β = βg

siendo αg y βg las que corresponden a una guıa con conductores perfectos yαc una constante de atenuacion relacionada con las perdidas por efecto Jouleen los conductores que se calcula en cada caso en funcion de la geometrıa. Sepuede demostrar, que para un buen conductor, una aproximacion aceptableviene dada por:

αc =Wc

2WT=

12

¸C

1σδ~H(0) · ~H(0)∗dl

Re˜S~Et(0)× ~Ht(0)∗ · ~ds

que depende del modo que estemos analizando. Ası, para el modo TE10 deuna guia rectangular, esta expresion se convierte en:

αc =Rs

a3bβgkη(2bπ2 + a3k2)

y para el modo TE11 de una guıa circular:

αc =Rs

aβgkη

(k2c +

k2

p′211 − 1

)siendo

Rs =√ωµ

2σ

la resistencia superficial del conductor.

3.3 LOS MODOS TEMLos modos TEM tienen dos propiedades interesantes:

A. Se propagan a cualquier frecuencia

B. La velocidad de fase es constante y coincide con la velocidad de grupo(si no hay perdidas)

94 ONDAS GUIADAS

Para este tipo de modos tendremos:

~Et = −∇tφe−γoz

donde:4φt = 0

junto con:φC1 = φ1; φC2 = φ2; ...

m,e

C1

C2

Figura 3.9: Analisis de los modos TEM

Si integramos ~Et a lo largo de una lınea cualquiera contenida en un planoz = cte que una los dos conductores, obtendremos:

−ˆ 2

1

~Et · d~l = −ˆ 2

1

−∇tφe−γoz · d~l = Voe−γoz

donde:

Vo = φ2 − φ1 =ˆ 2

1

∇tφ · d~l

que no dependera del camino elegido.

Por lo tanto, la expresion:

V (z) = Voe−γoz

define de forma unıvoca la diferencia de potencial entre conductores encualquier seccion recta de la guıa (notar que depende de z).

Por otra parte, la corriente total que recorre el conductor 2 en una seccionrecta vale:

˛C2

~Jc2 · d~l =˛C2

n× ~Ht · d~l = z

˛C2

n · ~Etη

· d~l = zIoe−γoz

dondeIo =

˛C2

∇tφ · nη

dl

Ademas, si aplicamos la Ley de Ampere al un contorno que envuelva alconductor exterior:

˛C

~H · d~l =˛C1

~Jc1dl +˛C2

~Jc2dl +¨S

∂ ~D

∂t· d~s

dado que el ultimo sumando es nulo, se verificara que la corriente en los dosconductores es la misma pero con sentidos opuestos. Entonces

I(z) = Ioe−γoz


define de manera unıvoca la corriente en cualquier seccion recta de la guıa.

La relacion entre la tension y la corriente calculadas sobre una misma seccionrecta vale:

Zo =V

I= η

´ 2

1∇tφ · d~l¸

C2−∇tφ · ndl

= η · cte.

donde cte., factor adimensional, depende de la geometrıa del problema. Zose denomina impedancia caracterıstica. Observamos que las formas V =

V (0)e−γz y I = I(0)e−γz correspon-den a ondas de tension y corriente quese propagan a lo largo de la estructura

Los parametros γo y Zo se demominan parametros primarios de una lıneade transmision ya que a una guıa capaz de soportar un modo TEM sele denomina linea de transmision. Como hemos visto, podemos utilizar elformalismo de tensiones y corrienes que se usa en teorıa de circuitos. Larepresentacion grafica mas frecuente, independientemente del tipo de lıneade transmision es:

ZoV

I

I

Figura 3.10: Lınea de transmision

La teorıa clasica de circuitos a partir deelementos concentrados deja de ser vali-da cuando el tamano de los elementosempieza a ser comparable a la longitudde onda

La potencia media transmitida por el modo TEM viene dada por:

WT =12Re

¨Σ

~Et × ~H∗t · d~s =

12Re

(1η∗

)¨Σ

~Et · ~E∗t · d~s =

12Re(η)

¨Σ

~Ht · ~H∗t · d~s

expresion equivalente a:

WT =12Re(V I∗) =

V V ∗

2Re

(1Z∗o

)=II∗

2Re(Zo)

que usaremos cuando utilicemos el modelo circuital y que depende de laimpedancia caracterıstica.

3.3.1

Estudio de la guıa coaxial

El modo TEM se calcula mediante la solucion electrostatica de 4Φ = 0(coordenadas cilındricas):

1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Φ∂ρ

)+

1ρ2

∂2Φ∂θ2

= 0

junto con la condicion de contorno:

Φ(a, φ) = Vo; Φ(b, φ) = 0

96 ONDAS GUIADAS

x

m,e

b

a

y

Figura 3.11: Lınea coaxial

cuya solucion es:

Φ(ρ, θ) = Voln b/ρln b/a

De aquı se sigue que:

Zo =η

2πln(b

a

)que junto con

β = ω√µεrεo

caracterizan completamente a la lınea sin perdidas.

Se demuestra que el primer modo superior es el TE11 cuya frecuencia decorte viene dada, de forma aproximada por:

fc =c

2π√εr

2a+ b

3.3.2

La lınea como elemento circuital

La lınea de transmision describe rigurosamente el comportamiento del mo-do TEM independientemente de las dimensiones del sistema y la frecuencia.Pero la lınea es tambien un elemento circuital. En este apartado caracte-rizaremos la lınea de transmision como cuadripolo simetrico con perdidas(ver figura 3.12)

g, ZoV1

I1

l

V2

I2

Figura 3.12: La lınea de transmision como cuadripolo simetrico

Segun teorıa de circuitos, la matriz ABCD tiene la forma:(a bc a

)siendo a2 − bc = 1. Imponiendo

V2

I2Zo =

√b

c

y teniendo en cuenta que:

V1

V2=√a2 +

√bc = eγol

se sigue que:

b = Zoshγol

c =shγol

Zoa = chγol

cuyo circuito equivalente en T es: siendo:

Z Z

Y

Figura 3.13: Equivalente en T de una lınea de transmision

Z =Zochγol − 1shγol

Y =shγol

Zo

Sin embargo, dado queγo =

√−ω2µε

tiene infinitas soluciones, no se puede establecer un circuito equivalentecon elementos concentrados. No obstante, si particularizamos para el casol << λ, podemos desarrollar en serie las funciones hiperbolicas para llegarl circuito de la figura 3.14 y dado que:

Zo = K

√µ

ε= cte.

√µ

ε

podemos escribir: Notar que la constante K introducida noes k = ω

√µε

Zs =Zoγol

2= jωµK

l

2

Yp =γol

Zo=(ωε′′

K+ jω

ε′

K

)l

por lo que para lıneas de pequeno tamano si es factible utilizar un modelode elementos concentrados como el representado en la figura 3.15.

Los parametros:

98 ONDAS GUIADAS

Z /2sl Z /2sl Zsl

Ypl Ypl

Figura 3.14: Circuito equivalente de una lınea de transmision (l << λ)

L /2l L /2l

GlCl

Figura 3.15: Circuito equivalente de una lınea de transmision (l << λ)

L= inductancia por unidad de longitud

G= conductancia por unidad de longitud

C= capacidad por unidad de longitud

dados por:

L = µK = µZoη

G = ωε′′

K= ωε′′

η

Zo

C =ε′

K= ε′

η

Zo

se denominan parametros secundarios de la lınea de transmision y la rela-cion con los parametros primarios de la lınea viene dada por:

Zo =

√jωL

G+ jωC=

√ZsYp

γo =√jωL(G+ jωC) =

√ZsYp

siendo Zs e Yp la impedancia serie y la admitancia paralelo por unidad delongitud, respectivamente. En el caso de bajas perdidas estas expresionesresultan:

Zo =

√L

C

γo = GZo2

+ jω√LC

Por otra parte, los parametros secundarios pueden relacionarse entre sı me-diante:

L = µε′

C

G = ωε′′

ε′C

donde C

C =

¸C2−ε′∇tφ · ndl´ 2

1∇tφ · d~l

=QtVo

es la capacidad estatica por unididad de longitud, parametro medible o cal-culable resolviendo la integral anterior. Por lo tanto, vemos como la carac-terizacion de una lınea de transmision se reduce a calcular la capacidad delproblema electrostatico asociado.

Como casos particulares interesantes, notar que:

si Zo >> predomina L

si Zo << predomina C

con lo que los circuitos equivalentes son: circunstancia que puede usarse al

Ll

Zo >>

Cl

Zo <<

Figura 3.16: Circuitos equivalentes de una lınea de transmision (l << λ) (casosparticulares)

fabricar circuitos de microondas.

3.3.3

Lınea de transmision con conductor no perfecto

Las perdidas dan lugar a una componente ~Ez en la superficie del conductordada, aproximadamente por (efecto pelicular):

Ez|C =1 + j

σδn× ~H(0)|C

por lo que la solucion se parece mas a un modo TM (por tanto, en rigor yano se trata de modos TEM). En tal caso, se habla de modo cuasi-TEM.

En este caso introducimos en el modelo circuital una resistencia serie porunidad de longitud R, que esta relacionada con las perdidas en los conduc-tores.

L /2l L /2l

GlCl

R /2l R /2l

Figura 3.17: Lınea de transmision con perdidas en dielectrico y conductores

100 ONDAS GUIADAS

Trabajando con las componentes transversales de campo, podemos definirlos parametros primarios como:

γo =√

(R+ jωL)(G+ jωC) =√ZsYp

Zo =

√R+ jωL

G+ jωC=

√ZsYp

y en el caso de bajas perdidas en dielectrico con buen conductor, se puederealizar la aproximacion:

γ =γo + αc

Zo =ηK(

1− jαc

ω√ωε

)esto es, para R << ωL y G << ωL, resulta:

γ = jω√LC ≈ jω

√LC

[1− j

2

(R

ωL+

G

ωL

)]o lo que es lo mismo:

α ≈ 12

(R

Zo+GZo

)β ≈ ω

√LC

Zo ≈√L

C

3.3.4

Cierre de la lınea con una impedancia terminal. Impedancia transformada

De momento no hemos especificado los valores de las tensiones V +o , V −

o y delas corrientes I+

o , I−o que corresponden a las ondas de tension y corriente.

Para determinarlas habra que anadir dos condiciones de contorno complejas,p. ej. los datos referentes a los dos extremos de la lınea.

Desde el punto de vista del empleo practico de una lınea de transmision, enuno de sus extremos estara colocado el generador, con la mision de enviarpotencia electrica (modulada por informacion o no) hacia el otro extremo,donde se captara en una impedancia terminal. Los valores de esta ultimay de la fuerza electromotriz y resistencia interna del primero, determinaranlas constantes anteriores.

Como se desprende de las deducciones posteriores, no estaremos, en general,interesados en obtener tanta precision y nos bastaran las consecuencias queimplican la consideracion exclusiva de la condicion de contorno relativa a laimpedancia terminal. Vamos pues a limitarnos a ella.

Supongamos que en OO′ (figura 3.18) termina la lınea y que hemos conec-tado entre sus extremos OO′ una impedancia terminal ZL. Si tomamos elorigen de la coordenada z en OO′, las de los puntos de la lınea seran negati-vos. Para evitar errores, vamos a introducir en lugar de la coordenada z otraque llamaremos l, igual a la z cambiada de signo, que sera siempre positivay nos dara la distancia de un punto de la lınea hasta su terminacion.

Podemos decir que V +o da lugar a una onda incidente sobre dicha termina-

cion y que V −o produce onda reflejada en la misma, con lo que se justifica


g, Zo

l 0 z

ZL

Figura 3.18: Lınea terminada

introduzcamos una nueva notacion Ai y Ar en vez de la anterior. Fijar laimpedancia de carga es equivalente a imponer el cociente V (0)/I(0) en z = 0

En el caso sin perdidas el voltaje total en la lınea sera:

V (z) = V +o e

−jβz + V −o e

+jβz

y la corriente total

I(z) =V +o

Zoe−jβz − V −

o

Zoejβz

y en z = 0 tendremos:

ZL =V (0)I(0)

=V +o + V −

o

V +o − V −

oZo

Introducimos un coeficiente de reflexion en tension Γ dado por:

Γ =V −o

V +o

=ZL − ZoZL + Zo

a partir del cual podemos escribir:

V (z) = V +o [e−jβz + Γe+jβz]

V (z) =V +o

Zo[e−jβz − Γe+jβz]

Notar que si ZL = Zo sera Γ = 0 por lo que no existira onda reflejada. Eneste caso se dice que hay adaptacion de impedancias.

La potencia media transmitida a lo largo de la lınea sera:

WT =12IV ∗ =

12(1− |Γ|2)

potencia que se entregara totalmente a la carga puesto que no hay perdidas.Observamos que:

Si Γ = 0 ⇒ hay adaptacion, no existe potencia reflejada y toda lapotencia incidente se transfiere a la carga.

Si |Γ| = 1 ⇒ no tendremos potencia transmitida a la carga (tendre-mos emergıa electromagnetica almacenada en la lınea pero no habraenergıa viajera). Esto ocurre en dos casos:

• Γ = −1 ⇒ cortocircuito

102 ONDAS GUIADAS

• Γ = 1 ⇒ circuito abierto

Es frecuente trabajar con el valor conocido como perdidas de retorno dadopor:

RL = −20 log |Γ|

En cuanto a la variacion del modulo de la tension a lo largo de la lıneatendremos:

|V (z)| = |V +o ||1 + Γe2jβz| = |V +

o ||1 + |Γ|ej(θ−2βl)|

de forma que podemos definir una relacion de onda estacionaria (ROE) dela misma forma que lo hicimos en las ondas planas:

ROE =VmaxVmin

=1 + |Γ|1− |Γ|

y tendremos dos casos extremos:

ROE = 1: carga adaptada

ROE = ∞: carga completamente desadaptada

El coeficiente de reflexion en cualquier punto de la linea sera:

Γ(l) = Γ(0)e−2jβl = Γ(0)e2jβz =

y la impedancia de entrada en cualquier punto de la lınea:

Zin =V (−l)I(−l)

=V +o e

−jβz + V −o e

+jβz

V +o e−jβz − V −

o e+jβzZo

que operando, resulta:

Zin(−l) = ZoZL cosβl + jZo sinβlZo cosβl + jZL sinβl

(3.2)

La impedancia de entrada Zin equivaleal tramo de lınea, cerrado con ZL quehemos suprimido. Por lo tanto, podemosdecir que es la impedancia equivalente ala parte eliminada o que es la impedanciatransformada de ZL por la longitud delınea l.

g, Zo

l

ZL

Zin

Figura 3.19: Impedancia de entrada Zin en cualquier punto de la lınea

Es de especial interes detallar los valores que toma Zin en los casos parti-culares de ZL correspondientes a cortocircuito, circuito abierto y Zo:

ZL = 0 =⇒ Zin = Zo tan(βl)

ZL →∞ =⇒ Zin → Zo cot(βl)


ZL = Zo =⇒ Zin = Zo

Este ultimo resultado nos dice que si una lınea de transmision se rematacon su impedancia caracterıstica, la impedancia transformada por cualquierlongitud de lınea es igual a dicha impedancia caracterıstica. Observamosademas, que las situaciones de impedancia 0 o ∞ se alternan con una pe-riodicidad de λ/4 para los casos en que |Γ| = 1

|V|

2|V |o

l/2

l/2

l/4

CORTO

|V|

2|V |o

l/2

l/2

l/4

ABIERTO

Figura 3.20: Lınea terminada en corto o abierto

Para completar este apartado, en el caso en que existan perdidas, la expre-sion (3.2) se convierte en:

Zin(−l) = ZoZLchγl + Zoshγl

Zochγl + ZLshγl

3.3.5

Voltaje, intensidad e impedancia relativas

El cierre de una lınea con ZL deja arbitraria V +o y tanto V (l) como I(l)

resultan proporcionales a esta constante. Es natural que refiramos entoncesV (l) e I(l) a V +

o , o mejor aun, a las ondas correspondientes a V +o . De-

fimimos los llamados voltaje e intensidad relativos en el lugar de la lıneade coordenada l, V ′(l) e I ′(l) por las correspondientes ondas incidentes, esdecir:

V ′(l) =V (l)V +o eγl

=V −o

V +oe−2γl + 1

I ′(l) =I(l)

V +o eγl/Zo

= −V−o

V +oe−2γl + 1

De las definiciones se deduce inmediatamente:

V ′(l)I ′(l)

=1Zo

V (l)I(l)

=Zin(l)Zo

resultando logico que introduzcamos la impedancia relativa en el punto l,Z ′in(l) cociente de Zin(l) y Zo, que valdra:

Z ′in(l) =

ZL cosh(γl) + Zo sinh(γl)ZL sinh(γl) + Zo cosh(γl)

(3.3)

Si tomamos la impedancia relativa correspondiente a ZL:

Z ′L =

ZLZo

104 ONDAS GUIADAS

(3.6) se escribira:

Z ′in(l) =

Z ′L cosh(γl) + sinh(γl)

Z ′L sinh(γl) + cosh(γl)

Los casos particulares tratados al final del apartado anterior, se expresanentonces como:

Z ′L = 0 =⇒ Z ′

in(l) = tanh(γl)

Z ′L →∞ =⇒ Z ′

in(l) → Zo coth(γl)

ZL = Zo → Zin(l) = Zo

3.3.6

Lınea equivalente a un modo

Para un modo arbitrario la solucion de los campos en sus componentestransversales viene dada por:

~Et = ~e(x, y)(A+e−jβz +A−ejβz)

~Ht = ~h(x, y)(A+e−jβz −A−ejβz)

donde ~e y ~h expresan la variacion transversal del modo en cuestion. Ademas,se cumple que:

~h(x, y) =z × ~e(x, y)

Zm

dado que ~Et y ~Ht estan relacionadas por la impedancia de modo Zm.

Si nos fijamos unicamente en la onda progresiva tendremos:

~Et = ~e(x, y)A+e−jβz

~Ht = ~h(x, y)A+e−jβz

Buscamos ahora introducir una lınea de transmision equivalente a un modode manera que en una seccion dada por la coordenada z, se cumpla:

P+ =ˆ

Σ

S · d~σ =12V (z)I(z)∗ =

12V I∗ (3.4)

y para ello, expresamos los campos transversales como:

~Et =~e(x, y)C1

V +e−jβz

~Ht =~h(x, y)C2

I+e−jβz

Sustituyendo en la expresion (3.4):

P+ =V +I+∗

2· 1C1C∗

2

ˆΣ

~e× ~h∗ · zds

Dado que pretendemos calcular la potencia segun (3.4), tendra que ser:

C1C∗2 =ˆ

Σ

~e× ~h∗ · zds (3.5)


Dado que tenemos dos constantes y una sola ligadura, debemos especificaruna condicion mas para que queden completamente determinadas. Veamosque ocurre con la impedancia caracterıstica de la lınea equivalente:

Zo =V +

I+=V −

I−=A+C1

A−C2=C1

C2

Por lo tanto, si damos valor a esta ultima expresion, el problema estara ce-rrado. Las dos opciones mas comunes consisten en tomar:

Zo =C1

C2= Zm

o bien:Zo =

C1

C2= 1

Notar que la impedancia no queda determinada de forma absoluta, pues simultiplicamos las ondas de tension y corriente por a y 1/a respectivamente(a ∈ R por simplificar), esto no afectarıa a la condicion (3.4) impuestainicialmente, mientras que Zo se verıa alterada segun:

Zo =aV +

1/aI+= a2Zm

Esto no hace sino reafirmar que la Zo no queda determinada y podemosfijarla segun nos convenga. Una vez que fijemos Zo, dado que la constantede propagacion γ es la que corresponde al modo, podemos calcular el circuitoequivalente de la guıa segun:

Zs = γZo

Yp =γ

Zo

impedancia serie y admitancia paralelo, respectivamente (ambas por unidadde longitud).

Ejemplo: Modo TE10

Para este modo la cte. de propagacion vale:

γ = jω√µε√

1− (f/fc)2

Supongamos que elegimos:

Zo = Zm(TE10) =η√

1− (f/fc)2

Se demuestra que las constantes C1 y C2 valen:

C1 =

√ab

2C2 =

1ZTE

√ab

2

Por lo que se refiere al circuito equivalente, tendremos:

Zs = jωµ

Yp = jωε− jεω2c

ω

y el circuito equivalente que resulta es (por unidad de longitud):

106 ONDAS GUIADAS

m

e 1/ewc

2

f >fc

f < fc

Propagante

Al corte

Figura 3.21: Linea equivalente al modo TE10

3.3.7

Discontinuidades en guıa

De manera muy resumida podemos comentar:

Siempre que tengamos una discontinuidad debida a un cambio de geo-metrıa se excitaran los infinitos modos que la estructura es capaz desoportar.

Cuando tengamos un cambio de dielectrico no aparecen modos dis-tintos del incidente. El problema de la onda reflejada puede tratarsemediante la lınea de transmision equivalente. Esto es aplicable tam-bien a una terminacion en cortocircuito.

Si sobre un obstaculo inciden dos modos que se propagan puede produ-cirse un intercambio energetico entre ellos (a pesar de las propiedadesde ortogonalidad) debido a que cada modo es capaz de generar el otro.


3.3.8

Voltaje, intensidad e impedancia relativas

El cierre de una lınea con ZL deja arbitraria V +o y tanto V (l) como I(l)

resultan proporcionales a esta constante. Es natural que refiramos entoncesV (l) e I(l) a V +

o , o mejor aun, a las ondas correspondientes a V +o . De-

fimimos los llamados voltaje e intensidad relativos en el lugar de la lıneade coordenada l, V ′(l) e I ′(l) por las correspondientes ondas incidentes, esdecir:

V ′(l) =V (l)V +o eγl

=V −o

V +oe−2γl + 1

I ′(l) =I(l)

V +o eγl/Zo

= −V−o

V +oe−2γl + 1

De las definiciones se deduce inmediatamente:

V ′(l)I ′(l)

=1Zo

V (l)I(l)

=Zin(l)Zo

resultando logico que introduzcamos la impedancia relativa en el punto l,Z ′in(l) cociente de Zin(l) y Zo, que valdra:

Z ′in(l) =

ZL cosh(γl) + Zo sinh(γl)ZL sinh(γl) + Zo cosh(γl)

(3.6)

Si tomamos la impedancia relativa correspondiente a ZL:

Z ′L =

ZLZo

(3.6) se escribira:

Z ′in(l) =

Z ′L cosh(γl) + sinh(γl)

Z ′L sinh(γl) + cosh(γl)

Los casos particulares tratados al final del apartado anterior, se expresanentonces como:

Z ′L = 0 =⇒ Z ′

in(l) = tanh(γl)

Z ′L →∞ =⇒ Z ′

in(l) → coth(γl)

ZL = Zo → Zin(l) = Zo

108 ONDAS GUIADAS

3.4 EJERCICIOS 3. 39 Sea una guıa rectangular rellena de aire en banda X cuyas dimen-siones son a=2.286 cm y b =1.016 cm:

A. Calcular las frecuencias de corte de los cuatro primeros modos propa-gantes.

B. ¿Cual es la atenuacion en dB que corresponde a 1m de guıa cuandotrabajamos a una frecuencia f=10 GHz? (suponga que las paredes sonde cobre)

Sol :

Modo m n fc (GHz)TE 1 0 6.562TE 2 0 13.123TE 0 1 14.764

TE, TM 1 1 16.156

A. αc= 0.11 dB/m; αd= 1.2 dB/m

siendo α = αc + αd

3. 40 Sea una guıa de seccion cuadrada de lado a:

A. Calcular las frecuencias de corte de los modos

B. Comprobar que existen dos modos dominantes

Sol :

A. fc =√m2+n2

2a√µε

B. TE10 y TE01

C. WTE10 = ωµβa2

2π2 P 2 a2

2 para Hz = P cosπ/ax

3. 41 Se pretende transmitir un tono puro de frecuencia 11875 MHz poruna guıa rectangular de conductor perfecto y dimensiones 10x6mm rellenade un determinado dielectrico. Calcular la permitividad relativa de estedielectrico para que nuestra frecuencia de trabajo este un 5 % por debajode la frecuencia de corte del primer modo superior.

Sol :

A. εr = 4

3. 42 Sea una guıa rectangular de dimensiones a× b:

A. Calcular los valores de x para los que las amplitudes de Hx y Hz delmodo dominante son iguales.

B. Calcular para que frecuencias dicho valor de x es a/4

Sol :

3.4. Ejercicios 109

A. x = aπ arctan π

βa y cualquier valor de y siendo β =√ω2µε− (π/a)2

B. f =√

2fc

3. 43 Considere un cable coaxial de tipo RG-142 con a = 0.035” y b=0.116”y dielectrico con εr = 2.2. ¿A partir de que frecuencia aparece el primer mo-do superior TE11?

Sol :

A. fc = 17 GHz

3. 44 Sea un cable coaxial de radios a y b (a < b). Calcular:

A. La impedancia caracterıstica

B. La potencia transmitida

Sol :

A. Zo = η2π ln b

a

B. WT = πV 2o

η ln b/a para una onda incidente

3. 45 Calcular:

A. Las frecuencias de corte de los dos primeros modos propagantes enuna guıa circular con a=0.5 cm y εr=2.25

B. Si la guıa es de plata y el dielectrico tiene perdidas (tan δ = 0.001)calcular la atenuacion en dB correspondiente a un tramo de lınea de50cm operando a f=13.0 GHz.

Nota: Para el modo dominante:

αc =Rsαkηβ

(k2c +

k2

p′211 − 1

)(m−1)

Sol :

A. fc(TE11) = 11.72GHz; fc(TM01) = 15.31GHz;

B. αd = 0.47 Nep/m; αc = 0.066 Nep/m; α = 2.38 dB

3. 46 Sea una guıa rectangular de plata (σ = 6.17107S/m) de dimensio-nes a=0.86 mm y b=0.43 mm. Calcular la potencia maxima que se puedetransmitir trabajando dentro del ancho de banda monomodo si el maximocampo admisible es 30 KV/m

Sol :

A. Pmax = 2.08 KW

110 ONDAS GUIADAS

3. 47 Una lınea de transmision de Z0 = 50Ω se termina con una impe-dancia de valor ZL = 50− 10j Ω:

A. Calcular el coeficiente de reflexion en el plano de la carga

B. Calcular la ROE

C. Calcular el coeficiente de reflexion en cualquier punto de la lınea

D. Calcular la impedancia vista en cualquier punto de la lınea.

E. Calcular la potencia que fluye por la lınea.

F. Calcular cuanto hay que desplazar la impedancia de carga hacia elgenerador para conseguir una situacion de adaptacion de impedancias

Sol :

A. |Γ(0)|=0.0995; 6 Γ(0) = −84, 2; RL= 20 dB

B. ROE=1.22

C. Γ(l) = Γ(0)e−j80πl

D. Zin(l) = ZoZL+jZo tan βlZo+jZL tan βl

E. P = |V 2o |

2Zo(1− |Γ(0)|2)

F. No es posible

3. 48 Una impedancia de carga de valor ZL = 130 + j90 Ω termina unalınea de transmision de 50Ω de 0.3λ. Calcular:

A. El coeficiente de reflexion en la carga

B. El coeficiente de reflexion a la entrada de la lınea

C. La impedancia de entrada

D. La ROE de la lınea

E. Las perdidas de retorno

Sol :

A. Γ(0) = 0.598b21.8

B. Γ(l) = 0.598b165.8

C. Zin(l) = 12.7 + j5.82Ω

D. ROE=3.9

E. RL= 4.46 dB

3. 49 Una lınea de transmision sin perdidas esta teminada por una cargade 100Ω. Si la ROE de la lınea es 1.5, determinar los dos posibles valoresde la impedancia caracterıstica de la lınea.

Sol :

3.4. Ejercicios 111

A. Zo = 66.7Ω o Zo = 150Ω

3. 50 Una lınea de transmision de impedancia caracterıstica Zc = 50Ωesta terminada en una carga de impedancia ZL = 25jΩ. Calcular a que dis-tancias l1 y l2 el coeficiente de reflexion vale:

A. Γ(l1) = 1

B. Γ(l2) = −1

Sol :

A. l1 = 0.125λ+ nλ2

B. l2 = 0.375λ+ nλ2

3. 51 Una ımpedancia de carga de valor ZL = 80 + j20 debe adaptarse auna lınea con Zo = 100Ω usando un tramo de lınea sin perdidas de tamanol e impedancia caracterıstica Z1. Calcular Z1 (real) y l.

Sol :

A. Z1 =√

60Ω; l = arctan√

602π λ

112 ONDAS GUIADAS

CAPITULO 4

Radiacion electromagnetica

4.1 INTRODUCCIONEl problema basico consiste en determinar el campo electromagnetico pro-ducido (radiado) por una estructura (antena) en cualquier punto del espaciopartiendo de los parametros geometricos de la antena y de las condicionesradioelectricas de emision y recepcion (potencia y frecuencia).

Basicamente, se utilizan dos procedimientos:

Se calculan los potenciales electrodinamicos a partir de la distribucionde corrientes en la antena emisora (conocida o postulada).

Se calcula el campo a partir de la distribucion de campo em conocidade antemano sobre una superficie cerrada S que encierra en su interiora todo el sistema radiante (ver apendice).

4.2 CAMPO RADIADO EN

FUNCION DE LASCORRIENTES

Supongamos una distribucion conocida de cargas ρ y corrientes ~J en unvolumen V ′ tal y como se indica en la figura 4.1

R=r r’-

rr'

P

o

V'

dv'

x

y

z

Figura 4.1: Distribucion de cargas y corrientes

Deseamos calcular los campos ~E = ~E(~r) y ~H = ~H(~r). Para ello es conve-niente introducir unas funciones vectoriales nuevas que nos serviran parasimplificar estos calculos.

De la misma forma que hicimos en magnetostatica, dado que ∇ · ~B = 0podemos introducir un nuevo vector ~A conocido como potencial vector (po-

114 RADIACION ELECTROMAGNETICA

tencial vector generalizado, potencial vector retardado o potencial de Lorenz )de forma que se cumpla:

~B = ∇× ~A

Dado que ~A no queda determinado de forma unica, poseemos un grado delibertad, de manera que el ~A′ definido como:

~A′ = ~A+∇ψ

tambien verificara la ecuacion. Este grado de libertad lo emplearemos cuan-do nos convenga.

Sustituyendo en la ecuacion del rotacional de ~E se obtiene:

∇× ~E = −jω ~B = −jω(∇× ~A) ⇒ ∇×(~E + jω ~A

)= 0

Por lo tanto, podremos escribir:

~E + jω ~A = −∇Φ

Al valor Φ se le conoce como potencial electrodinamico (o potencial generali-zado o retardado). Notar que las cantidades ~A y Φ son funciones del tiempo.Entonces, ~E y ~H pueden obtenerse facilmente mediante una diferenciacionpor lo que los campos buscados se calcularıan como:

~E = −∇Φ− jω ~A~B = ∇× ~A

(4.1)

El siguiente paso es relacionar los potenciales electrodinamicos con las fuen-tes de los campos ρ y ~J . Operando sobre las ecuaciones de Maxwell, se llegaa:

4 ~A+ ω2µε ~A = −µ~J +∇(µεjωΦ +∇ · ~A

)(4.2)

4Φ +∇ · jω ~A = −ρε

(4.3)

ecuaciones diferenciales locales que relacionan los potenciales electrodinami-cos con las fuentes de los campos, pero son enormemente complicadas.Ademas, en ellas aparecen los dos potenciales entremezclados. Para sim-plificarlas, podemos imponer una condicion de separabilidad aprovechandoque ~A no esta unıvocamente definido:

jωµεΦ +∇ · ~A = 0La ventaja de los potenciales electro-dinamicos es que sirven para obtener loscampos mediante una simple derivacion

Esta condicion se conoce como condicion de Lorentz. Aplicandola se llega a:

4 ~A+ ω2µε ~A = −µ~J (4.4)

4Φ + ω2µεΦ = −ρε

(4.5)

Notar que en el caso estatico, las ecua-ciones se reducen a 4 ~A − µ ~J , ecua-cion del potencial vector magnetostaticoy 4Φ = − ρ

ε, ecuacion de Poisson de la

electrostatica

de manera que basta con solucionar la ecuacion correspondiente a ~A ya quese puede despejar Φ de la condicion de Lorentz, calculandose entonces elcampo electrico como:

~E = −jω ~A− j∇(∇ · ~A)ωµε

(4.6)

4.2. Campo radiado en funcion de las corrientes 115

Por lo tanto, hemos llegado a un conjunto de ecuaciones que relacionan deforma implıcita, ~A y Φ con ~J y ρ (ecuaciones diferenciales). Buscamos ahorauna relacion explıcita entre estas cantidades, esto es, dos expresiones quenos proporcionen ~A y Φ en funcion de ~J y ρ (ecuaciones integrales).

La ecuacion vectorial (4.4) se puede resolver formando tres ecuaciones es-calares. Para ello, descomponemos ~A en componentes rectangulares:

4 ~A = 4Axx+4Ay y +4Az z (4.7)

Las coordenadas rectangulares se em-plean porque los vectores unitarios car-tesianos no son funcion de las coordena-das, por lo que el laplaciano puede serfactorizado

Por consiguiente, tendremos que resolver:

4Ax + k2Ax = −µJx4Ay + k2Ay = −µJy4Az + k2Az = −µJz

(4.8)

donde k = ω√µε.

Las ecuaciones anteriores son identicas en su forma. Si resolvemos una deellas las otras se pueden resolver de forma muy sencilla. En primer lugarbuscamos la solucion correspondiente al impulso unidad para, posteriormen-te, buscar la solucion correspondiente a una fuente arbitraria formada poruna coleccion de infinitas fuentes puntuales.

La ecuacion diferencial para una fuente puntual se convierte en:

4Ψ + k2Ψ = −δ(x)δ(y)δ(z) (4.9)

donde Ψ es la respuesta a una excitacion puntual en el origen de coordena-das. Notar que, a pesar de que la corriente tiene un caracter puntual, tienecaracter vectorial, por lo que lleva asociados una cierta direccion y sentido.Si suponemos que la corriente esta dirigida segun el eje z, esto es:

Ψ = Az (4.10)

para los puntos que no sean el origen de coordenadas, la ecuacion diferencialresultara:

4Ψ + k2Ψ = 0 (4.11)

Esta ecuacion se conoce como Ecuacion Escalar Homogenea de Helmholtz ycorresponde a la ecuacion escalar de ondas. Dado que nos encontramos anteun problema de simetrıa esferica, Ψ tendra unicamente dependencia radialy las soluciones tendran la forma e±jkr

r . Si nos quedamos unicamente conla solucion que se aleja del origen de coordenadas (la interpretacion en eldominio del tiempo se realizara mas adelante) sera:

Ψ =e−jkr

4πr(4.12)

Si la fuente se encuentra localizada en otro punto distinto al origen decoordenadas, la ecuacion anterior se transforma en:

Ψ =e−jkR

4πR(4.13)

siendo R = |~r − ~r′| la distancia entre el punto donde se localiza la fuente,~r′, y el punto de observacion P , ~r, tal y como se muestra en la figura 4.1.

Para una corriente arbitraria que tenga direccion segun z, el potencial vec-tor estara tambien dirigido segun z. Si consideramos que la fuente como


una coleccion de fuentes puntuales en un volumen V ′ ponderadas por ladistribucion Jz, la respuesta Az sera la suma de las respuestas puntualesdadas por (4.13):

Az =µ

4π

ˆV ′Jze−jkR

Rdv′ (4.14)

que junto con las ecuaciones analogas asociadas a las coordenadas x e y,dan la solucion total:

~A =µ

4π

ˆV ′

~J(~r′)e−jkR

Rdv′ (4.15)

En el dominio del tiempo, estas expresiones tienen la forma:

Φ(~r, t) =1

4πε

ˆV ′

ρ(~r′, t±R/c)R

dv′

~A(~r, t) =µ

4π

ˆV ′

~J(~r′, t±R/c)R

dv′

donde:c =

1√µε

tiene dimensiones de velocidad y corresponde a la velocidad de propagacionde la perturbacion electromagnetica en el medio en cuestion y R = |~r − ~r′|corresponde a la distancia del elemento radiante al punto bajo estudio P .

La solucion que corresponde al signo menos, (t−R/c) se denomina solucionretardada y la del signo mas, solucion adelantada. Normalmente se eligela solucion retardada ya que los potenciales en un instante t dependen delcomportamiento de las cargas en instantes de tiempo previos a t (lo con-trario no tiene sentido fısico). Tenemos entonces, dos expresiones para lospotenciales retardados:

Φ(~r, t) =1

4πε

ˆV ′

ρ(~r′, t−R/c)R

dv′ (4.16)

~A(~r, t) =µ

4π

ˆV ′

~J(~r′, t−R/c)R

dv′ (4.17)

Estas ecuaciones resuelven el problema de encontrar los campos producidospor una distribucion arbitraria de carga y corriente.

Observamos dos conclusiones importantes:

A. la contribucion de un elemento dv′ al campo en un punto P dependede la excitacion en el instante t − R/c. Por lo tanto, la perturbacionse propaga con una velocidad c que depende del medio.

B. Para un elemento de corriente o carga centrado en el origen de coorde-nadas, por simplificar, la contribucion a la integral total tiene la forma~J(t− r/c)/r o ρ(t− r/c)/r. Esto significa que el valor del modulo delos campos sera el mismo para todos los puntos situados a la mismadistancia del origen r, o lo que es lo mismo, que existe simetrıa esferi-ca. Matematicamente, este tipo de expresion corresponde a una ondaesferica, de tipo vectorial o escalar.

Resumiendo, para calcular los campos generados por una distribucion decorriente ~J se debe calcular ~A a partir de (4.14) y posteriormente aplicar:Indicamos con un subındice A que los

campos E y H se han obtenido a partirdel potencial vector ~A

4.2. Campo radiado en funcion de las corrientes 117

~H =1µ∇× ~A (4.18)

y calcular ~E mediante (4.6), aunque suele ser mas simple emplear:

~E =1jωε

(∇× ~H − ~J) (4.19)

en la region de las fuentes, y:

~E =1jωε

∇× ~H (4.20)

en cualquier otro punto.

Es habitual introducir un planteamiento paralelo utilizando corrientes magneti-cas (sin existencia fısica) como fuentes del campo radiado. Esto es ası ya queen algunas situaciones simplificadas pueden encontrarse corrientes magneti-cas ficticias que sirven para modelar un problema de una forma mas senci-lla. En el anexo A se indica el planteamiento completo del campo electro-magnetico radiado por una antena con corrientes electricas y magneticas.

4.2.1

Campo radiado por un dipolo infinitesimal

Supongamos un dipolo infinitesimal de tamano l muy pequeno comparadocon λ recorrido por una corriente Io (fasor) y de grosor despreciable (verfigura 4.2). En este caso no existen corrientes magneticas por lo que el pro-blema se simplifica. Calculamos el campo em radiado segun el procedimiento

z

x

y

P(r, , )q f

I

q

f

l

r

Figura 4.2: Dipolo infinitesimal

expuesto. En primer lugar el potencial vector vendra dado por:

~A =µ

4π

ˆV ′

~Je−jkR

Rdv′ =

µ

4π

ˆC

~Ie−jkR

Rdl′ = z

µIo4πr

ˆ l/2

−l/2dz′ = z

µIol

4πre−jkr

Ahora calculamos el campo em a partir de las formulas vistas en el aparta-do anterior. Es conveniente realizar previamente un cambio a coordenadas

esfericas. Entonces:

Ar = Az cos θ =µIole

−jkr

4πrcos θ

Aθ = −Az sin θ = −µIole−jkr

4πrsin θ

Aφ = 0

y observamos que no existe dependencia con φ por lo que tambien se veri-ficara que ∂/∂φ = 0 esto es, tendremos simetrıa de revolucion con respectoa Φ. Se dice entonces que el campo obtenido es omnidireccional u omniaci-mutal. Entonces:

~H = φ1µr

[∂

∂r(rAθ)−

∂Ar∂θ

]de donde se sigue que:

Hr = Hθ = 0

Hφ = jkIol sin θ

4πr

[1 +

1jkr

]e−jkr

y aplicando ahora (C.1):

Er = ηIol cos θ

2πr2

[1 +

1jkr

]e−jkr

Eθ = jηkIol sin θ

4πr

[1 +

1jkr

− 1(kr)2

]e−jkr

Eφ = 0

Notar que en la solucion completa existen componentes longitudinales de~E.

Estudiemos ahora dos casos particulares en funcion del valor del productokr.

Si r << λ (campo cercano) despreciamos los terminos en r/λ:

Er = −jη Iol cos θe−jkr

2πkr3

Eθ = −jη Iole−jkr sin θ4πkr3

Eφ = 0

Hr = Hθ = 0

Hφ =Iole

−jkr sin θ4πr2

Observamos que los campos no incluyen el factor de propagacion (lasolucion del campo magnetico coincide con el creado por una corrienterectilınea)

Si r >> λ (campo lejano) predomina 1/r frente al resto:

Er = 0

Eθ = jηkIol sin θe−jkr

4πrEφ = 0

4.3. Parametros caracterısticos de una antena 119

Hr = 0Hθ = 0

Hφ = jkIol sin θe−jkr

4πr

y vemos que:

A. El campo es transversal a la direccion de propagacion

B. ~E esta en fase con ~H

C. ~E es perpendicular a ~H

D. Localmente la onda esferica es asimilable a una onda plana. Ademasse verifica que:

~H =r × ~E

η

donde η es la impedancia intrınseca del medio.

Por ultimo, la densidad de potencia radiada se calculara a partir del vectorde Poynting:

~W =12Re( ~E × ~H∗) = r

12η|E|2 = r

η

2

∣∣∣∣kIol4π

∣∣∣∣2 sin2 θ

r2

4.3 PARAMETROS

CARACTERISTICOS DE UNAANTENA

Introducimos una serie de parametros que se emplean para caracterizar lasantenas como elementos radiantes.

4.3.1

Centro de fase

Es el centro de las superficies equifase (esferas) a que pueden ser asimiladasa gran distancia los frentes de ondas de la radiacion emitida por la antena.

4.3.2

Intensidad de radiacion

Es la potencia radiada por una antena en una determinada direccion porunidad de angulo solido:

U = r2Wrad

siendo: La intensiadad de radiacion puede serdistinto para cada tipo de polarizacion,esto es se puede dar por separado paracada una de las componentes que cons-tituyen la base de polarizaciones

~W =12Re( ~E × ~H∗)

Para campo lejano se cumple:

U ≈ r2

2η[|Eθ|2 + |Eφ|2]

La potencia total radiada por la antena sera:

Prad =˛

Ω

UdΩ =ˆ 2π

0

ˆ π

0

U(θ, φ) sin θdθdφ


y para una fuente puntual isotropica (que radia igual en todas direcciones):

Prad =˛

Ω

Uodω = Uo4π


Uo =Prad4π

Prad =˛

Ω

UdΩ =ˆ 2π

0

ˆ π

0

U sin θdθdφ

Se conoce como diagrama de radiacion (en potencia) a la version normali-zada de la intensidad de radiacion:

r(θ, φ) =U

Umax

4.3.3

Directividad

Se define la funcion directividad como el cociente entre la intensidad deradiacion en una direccion con respecto a la intensidad de radiacion de unaantena de referencia:

Dg =U

Uosiendo Uo la intensidad de radiacion de una antena de diferencia que sueleser una fuente isotropica, si bien en ocasiones es comun utilizar un dipoloo una antena tipo bocina. Para una antena isotropica resulta:Cuando la antena de referencia es

isotropica, los decibelios empleados sedenominan dBi Dg = 4π

U

Prad

Al valor maximo de esta funcion se le conoce como directividad :

D =UmaxUo

= 4πUmaxPrad

Es frecuente expresar este valor como:

D =4πΩA

siendo:

ΩA =ˆ 2π

0

ˆ π

0

r(θ, φ) sin θdθdφ

en funcion del diagrama de radiacion normalizado.

Cuando el haz es suficientemente estrecho, el angulo solido ΩA se puedeexpresar de forma aproximada:

Do =4πΩA

≈ 4πθ1θ2

≈ 25000θ1()θ2()

donde θ1 y θ2 son angulos planos que corresponden a la anchura del hazprincipal a -3 dB.

Notar que:

La directividad da informacion de como se distribuye la energıa radia-da por el espacio (en cada direccion)

La directividad no aporta informacion sobre la potencia real que esta en-trando a la antena


4.3.4

Ganancia

La directividad solo tiene en cuenta la distribucion espacial de la energıaradiada pero no aporta informacion sobre la energıa que entra en la antena.Definimos la funcion ganancia como:

G = 4πU

Pin

siendo Pin la potencia en bornas de la antena (concepto circuital). Al valormaximo de esta funcion se le denomina ganancia.

4.3.5

Eficiencia de radiacion de una antena

Podemos relacionar Pin con Prad mediante una eficiencia de radiacion de laantena:

Prad = etPin

Esta eficiencia debe incluir perdidas ohmicas y desadaptaciones:

et = eceder = ecd(1− |Γ|2)

siendo:

ec= perdidas debidas a los conductores

ed= perdidas debidas a los dielectricos

(1− |Γ|2)= Perdidas debidas a desadaptaciones

ecd= perdidas debidas a los dielectricos y los conductores (globalmen-te)

donde Γ es el coeficiente de reflexion que se calcula segun:

Γ =Zin − ZoZin + Zo

siendo Zin la impedancia equivalente a la antena (vista circuitalmente):

Zin = RA + jXA

conRA = Rr +RL

suma de:

RA: Resistencia de radiacion.

RL: Resitencia asociada a las perdidas

La potencia que se disipa (de forma ficticia) en RA es la potencia que seradia.

Si consideramos que la antena esta recorrida por una corriente I, tendremos:

Pr = I2Rr

PJ = I2RL

por lo que:

ecd =Pr

Pr + PJ=

RrRL +Rr


RL

jXA

Rr

Figura 4.3: Circuito equivalente a una antena

4.3.6

Polarizacion

Son aplicables directamente los conceptos vistos en ondas planas.

4.3.7

Teorema de reciprocidad

En lo visto anteriormente considerabamos la antena unicamente como trans-misor de energıa. Sin embargo, la antena tambien puede captar energıa em.La relacion entre las propiedades de una antena receptora con las de unaemisora vienen dadas por el teorema de reciprocidad.

Supongamos una camara anecoica (sin eco) en la cual situamos dos antenasque pueden transmitir y recibir y que operan a la misma frecuencia (verfigura 4.4). Suponemos tambien que cada uno de los sistemas esta adpatado.

S

Cámara

anecoica

S’

A A’

Figura 4.4: Teorema de reciprocidad

En estas condiciones:

Si A emite P1, A’ recibe p1.

Si A’ emite P2, A’ recibe p2.

El sistema formado por ambos conjuntos equivale a un cuadripolo (determi-nado por los planos de referencia S y S’). Como el cuadripolo es recıproco,el coeficiente de transmision de A a A’ es el mismo que de A’ a A:

p1

P1= |t|2 =

p2

P2


Entonces, si las antenas estan ligadas a sistemas respectivamente adaptadosen los que no existe mas que un tipo de ondas, la relacion entre la poten-cia recibida por el receptor y la emitida por el transmisor es constante eindependiente de cual sea el sistema emisor o receptor.

Por tanto, se pueden intercambiar en todo momento los papeles de emi-sor y receptor manteniendose sus caracterısticas con independencia de laoperacion que este realizando. Ası, p. ej., los diagramas de radiacion entransmision y recepcion coinciden.

4.3.8

Apertura efectiva (o Area equivalente de absorcion)

Una antena se utiliza en recepcion para capturar energıa electromagneticade una onda.

Se puede definir una apertura equivalente a la antena independientementede la forma de esta:

Aef =Potencia entregada a la carga

Densidad de potencia incidente=PTWi

=|IT |2RT /2

Wi

La apertura efectiva no tiene por que coincidir con la apertura (superficie)fısica.

Cuando la antena es plana, la relacion entre la apertura fısica (Af ) y la aper-tura efectiva (Aef ) se conoce como eficiencia de apertura εap, verificandoseque:

Aef = εapAf

Se demuestra que:0 ≤ εap ≤ 1

dependiendo εap de como sea la distribucion de campo (en amplitud y fase)en la apertura que define la antena. El valor εap = 1 se consigue para una

distribucion de campo constante en am-plitud y fase a lo largo de la apertura

4.3.9

Relacion entre directividad y apertura efectiva maxima

Supongamos una situacion como la de la figura 4.5.

Tx Rx

At, Dt Ar, Dr

r

Figura 4.5: Directividad y apertura efectiva maxima

Para la antena 1, a una distancia una distancia r tendrıamos:

Wt = WoDt =PtDt

4πr2

La potencia entregada a la carga en el receptor sera:

Pr = WtAr =PtDtAr

4πr2


entonces:DtAr =

PrPt

(4πr2)

Si usamos 1 como transmisor y 2 como receptor y el medio es lineal, pasivoe isotropico:

DrAt =PrPt

(4πr2)

de donde se sigue que:Dt

At=Dr

Ar

y para los valores maximos sera:

Dt

Atm=

Dr

Arm

y esto es valido para cualquier par de antenas que consideremos. Se demues-tra que, para un dipolo infinitesimal se verifica:

Aem =3λ2

8π


Aem =λ2

4πDo

ecuacion que liga los parametros Do (caracterıstico de la transmision) y Aem(de la recepcion).

Si hay perdidas asociadas a la antena, la apertura efectiva maxima sera:

Aem = etλ2

4πDo = ecd(1− |Γ|2)

λ2

4πDo =

λ2

4πGo

4.3.10

Ecuacion de Friis

Supongamos dos antenas separadas una distancia r:

Antena transmisora con potencia P y ganancia Gt

Antena receptora con ganancia Gt

A la distancia r, la densidad de potencia sera:

W =PtGt4πr2

La potencia capturada por la antena receptora sera:

Pr = WAe = Wλ2

4πGr =

PtGtGrλ2

(4πr)2

conocida como Formula de Friis. Esta ecuacion puede expresarse como:

PrPt

= ecdtecdr(1− |Γt|2)(1− |Γr|2)(

λ

4πR

)2

DtDr|et · e∗r |2

siendo:PLF = |et · e∗r |2

4.4. Aproximacion de campo lejano para dipolos finitos 125

el conocido como factor de perdidas de polarizacion que tiene en cuenta eldesacoplo debido a la diferencia de polarizaciones entre las antenas trans-misora y receptora (se demuestra por reciprocidad) obtenida a partir de losvectores de polarizacion de las antenas emisora y receptora.

En terminos de ganancias, esta ecuacion se escribe:

PrPt

=(

λ

4πR

)2

GtGr|et · e∗r |2

4.4 APROXIMACION DECAMPO LEJANO PARADIPOLOS FINITOS

Cuando nos encontremos suficientemente lejos de la antena podemos cal-cular el campo total debido a una estructura radiante como la suma delas contribuciones de elementos infinitesimales individuales (en virtud de lalinealidad de las ecuaciones de Maxwell), realizando las siguientes aproxi-maciones:

R ≈ r (modulo)R ≈ r − z′ cos θ (fase)

de forma que sustituiremos (en las ecuaciones donde corresponda)

z

x

y

P

z’q

r

dz’R

q’

z

x

y

z’q

r

dz’R

q

Figura 4.6: Aproximaciones para campo lejano

e−jkR

R

por: Notar que el termino ejkz′ cos θ introdu-ce un cambio de fase relacionado con ladiferencia de caminos.

e−jk(r−z′ cos θ)

r

que, de forma mas general puede escribirse como:

e−jkr

rejkr~ri

siendo ~ri el vector que apunta al elemento que crea el campo (Ver figura4.7):

El procedimiento es entonces:

A. Dividir el problema

B. Aplicar a cada elemento individual el factor corrector de fase

C. Sumar (integrar) todas las contribuciones

r

ri

Figura 4.7: Aproximaciones para campo lejano (2)

Si los elementos individuales son dipolos infinitesimales, tendremos (para elcampo lejano):

dEθ = jηkI(z′)e−jkR

4πRsin θejkz

′ cos θdz′

de forma que el campo total sera:

Eθ =ˆ l/2

−l/2dEθ = jη

ke−jkr

4πRsin θ[

ˆ l/2

−l/2I(z′)ejkz

′ cos θdz′] (4.21)

y observamos que el campo tiene la forma: E=Campo elemento individual× [Factor funcion de geometria y excitacion]

4.4.1

Aplicacion

Aplicando todo lo anterior, se demuestra que para un dipolo corto (λ/50 <l ≤ λ/10)

~A = z12

[µIole

−jkr

4πr

]cuya solucion de campo lejano es:

Eθ ≈ jηkIole

−jkr

8πrsin θ

Er ≈ Eφ ≈ Hr ≈ Hθ ≈ 0

Hφ ≈ jkIole

−jkr

8πrsin θ

Eθ/Hφ ≈ η

y la resistencia de radiacion:

Rr = 20π2

(l

λ

)2

y para un dipolo finito recorrido por una corriente senoidal:

Ie = z sin[k(l/2± z′)]

4.5. Arrays 127

se obtiene:

Eθ = jηke−jkr

4πrsin θ

[ˆ l/2

−l/2Iee

jkz′ cos θ

]

Eθ ≈ jηIoe

−jkr

2πr

[cos(kl/2 cos θ)− cos(kl/2)

sin θ

]Hφ ≈

Eθη≈ j

Ioe−jkr

2πr


sin θ

]

siendo la intensidad de radiacion:

U = η|Io|2

8π2


sin θ

]2

4.5 ARRAYSTodo lo anterior es aplicable a los casos en los que tengamos multiplesfuentes iguales. A estas estructuras se las conoce como arrays. Los arrayspueden ser:

Lineales

Planos

Conformes

Lineal

Plano

Conformado

Figura 4.8: Tipos de arrays

En todos los casos se trata de modificar las caracterısticas del campo radiadovariando la geometrıa del array y la excitacion de los elementos individualesIi (fasores). El campo radiado sera:

~ET = ~A1I1ejk~r1r + ~A2I2e

jk~r2r + ...+ ~ANINejk~rN r

siendo ~Ai el campo radiado por cada elemento individual para una excita-cion unidad.

Si todos los elementos radiantes son iguales, resultara:

~ET = ~A1[I1ejk~r1r + I2ejk~r2r + ...+ INe

jk~rN r]


donde FA se conoce como factor de array y depende de la geometrıa yla excitacion (analogo al corchete de la ecuacion 4.21), de forma que eldiagrama de radiacion completo sera:

r(θ, φ) = ri(θ, φ)|fa(θ, φ)|2

donde ri es el diagrama de radiacion del elemento y fa el factor de arraynormalizado.

Atendiendo al tipo de excitacion (iluminacion), un array puede ser:

De iluminacion uniforme: los mismos Ii

De fase uniforme: los mismos φi

De fase progresiva (rampa de fase): φi = i∆φ

4.5.1

Arrays lineales uniforme equiespaciado

Supongamos un array lineal de elementos isotropos equiespaciados. Fijamosla fase en el origen a 0

Z

o

q

Figura 4.9: Array lineal equiespaciado

El factor de array vendra dado por:

FA = Io + I1ejkd cos θ + I2e

j2kd cos θ + ... =N−1∑n=0

Inejknd cos θ

Supongamos una excitacion uniforme en amplitud y progresiva en fase: In =Ane

jnα. En tal caso tendremos:

FA =N−1∑n=0

Anejn(kd cos θ+α) (4.22)

Introducimos una nueva variable Ψ:

Ψ = kd cos θ + α

Entonces:

FA =N−1∑n=0

AnejnΨ

funcion compleja que depende de θ. Observamos que:

FA es una funcion periodica 2π en Ψ.

FA es una funcion de θ pero no de φ (hay simetrıa de revolucion)

Su estructura queda fijada en el intervalo θ ∈ [0, π]

4.5. Arrays 129

Caso particular: Array de amplitud uniforme y fase progresiva

Supongamos que Ao = A1 = A2 = ... y que existe un desfasaje linealprogresivo α entre los elementos. En este caso, la suma de la serie (4.22) es:

FA = Aoej(N−1)Ψ

2sin(NΨ/2)

sinΨ/2

y prescindiendo del factor que afecta a la fase y normalizando se sigue:

f(Ψ) =1N

sin(NΨ/2)sinΨ/2

que se puede interpretar a partir de la figura siguiente, donde se representaun caso correspondiente a N = 4 elementos (con simetrıa de revolucionen φ): de forma que variando N , d y α podemos disenar el diagrama de

z

q

Y2p

0

1

FA

a kd

0

Margen de visibilidad

Figura 4.10: Margen de visibilidad

radiacion que queramos.

Al intervalo de variacion de ψ (valores barridos al movernos en la circunfe-rencia inferior) se le llama margen de visibilidad.

Cuando el margen de visibilidad incluya mas de un lobulo del diagrama enΨ diremos que aparecen grating lobes (multiples lobulos principales), tal ycomo se muestra en la figura 4.11.

Distinguimos dos casos:

Array broadside: el maximo apunta a la direccion θ = 90

Array endfire: el maximo apunta a la direccion θ = 0 o θ = 180 (elhaz es de tipo pincel)


Figura 4.11: Grating lobes

Exploracion del haz principal

El maximo del factor de array ocurre cuando Ψ = 0. Si queremos que el hazapunte a una direccion θo tendremos que aplicar:

α = −kd cos θo

4.5.2

Arrays planos

En este caso, el factor de array viene dado por:

FA =N∑n=0

−1Anejφnejk~rn×n

que se puede expresar como:

FA = FAxFAy

ya que el array plano es equivalente a un array lineal cuyos elementos indi-viduales son arrays lineales.

4.6. Ejercicios 131

4.6 EJERCICIOS4. 53 Calcular la directividad, la potencia radiada y la resistencia de ra-diacion de un dipolo infinitesimal (l >> λ)

Sol :

A. U = Ao sin2 θ

B. Prad = A08π/3

C. Rr = 80(πl/λ)2; Do = 3/2

4. 54 Calcular la directividad de una antena cuya intensidad de radiacionviene dada por:

U = Uo sin θ

Sol : D = 4/π = 1.27

4. 55 Encontrar la ganancia de una antena resonante cuya impedanciade entrada es 73Ω cuando se alimenta con una lınea de transmision deimpedancia caracterıstica 50 Ω suponiendo que el diagrama de radiacion dela antena es:

U(θ, φ) = Bo sin3 θ

Sol : G = 2.14dB

4. 56 Estimar la directividad de una antena cuyos anchos de banda a -3dBen dos planos perpendiculares son θ1 = 15 y θ2 = 20. Calcular la eficienciade apertura si la antena tiene un area fısica de 0.1m2 si f = 3GHz.

Sol : D ≈ 19dB; εap ≈ 0.6

4. 57 El campo electrico de una onda incidente viene dado por el fasor:

~Ei = xEoe−jkz

y se recibe con una antena cuya polarizacion es lineal en esa direccion segun:

~Ea = (x+ y)E(r, θ, φ)

Calcular las perdidas por desacoplo de polarizacion (en unidades naturalesy dB)

Sol : l = 0.5 (L = 3dB)

4. 58 Calcular la potencia recibida por un dipolo λ/2 cuando se transmitenP=10 W a f=150 MHz con otro dipolo λ/2 si R= 1Km en los siguientescasos:

A. Cuando ambos estan alineados

B. Cuando el dipolo receptor esta girado 45

C. Cuando son perpendiculares

Sol :


A. Pr = 6.83 · 10−7 W (-31.6 dBm)

B. Pr = 3.41 · 10−7 W (-34.6 dBm)

C. Pr = 0 W

4. 59 Calcular el diagrama de radiacion correspondiente a los siguientesarrays:

A. Dos fuentes isotropicas con amplitud identica y misma fase, separadasd = λ/2

B. Dos fuentes isotropicas con amplitud identica y fase opuesta, separa-das d = λ/2

C. Dos fuentes isotropicas con amplitud identica y desfase 90, separadasd = λ/4

D. Dos fuentes isotropicas con amplitud identica y en fase separadas,d = λ

Sol :

A.f1(θ) = cos

(π2

cos θ)

B.f2(θ) = sin

(π2

cos θ)

C.f3(θ) = cos

[π4

(cos θ − 1)]

D.f4(θ) = cos(π cos θ)

APENDICE A

Deduccion de las condiciones decontorno del campo EM

Sean dos medios materiales, que llamaremos medio1 y medio 2, de constan-tes σ1, ε1 y µ1 y σ2, ε2 y µ2 respectivamente, separados por una superficieS (figura A.1). Imaginativamente, tracemos las normales a S en todos los

S

Medio 2 ( )s , e , m2 2 2

Medio 1 ( )s , e , m1 1 1

Figura A.1: Discontinuidad de medios materiales

puntos de una lınea cerrada situada sobre S y que delimite un area infini-tesimal ∆S. Estas normales definen una superficie reglada que en primeraaproximacion sera un cilindro de generatrices perpendiculares a S. Conside-remos ahora el volumen infinitesimal interior a este cilindro y comprendidoentre dos secciones rectas infinitamente proximas a S, una situada en elmedio 1 y la otra en el 2. Supongamos, ademas, que la distancia entre estassecciones es tal que el area lateral del cilindro ası formado es un infinitesimode orden superior al de ∆S.

Si designamos con ~D1 y ~D2 los valores que toma ~D en las dos secciones rectascitadas, valores que corresponderan a puntos infinitamente proximos entresı y situados en los medios 2 y 1, respectivamente, el flujo total a traves delcilindro en cuestion valdra:

( ~D2 · n− ~D1 · n)∆S = ( ~D2 − ~D1) · n∆S

si n es un vector unitario normal a S en un punto cualquiera de ∆S. Hemosprescindido del flujo a traves de la superficie lateral por ser un infinitesimode orden superior al escrito.

Aplicando el teorema de Gauss (si es que puede aplicarse), este flujo sera iguala la integral de la divergencia de ~D extendida al volumen del cilindro en

134 DEDUCCION DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO DEL CAMPO EM

cuestion. Pero como (1.5) nos dice que, para cualquier volumen V :ˆV

∇ · ~Ddv =ˆV

ρdv = Q

esto es, igual a la carga contenida en el interior de V , llegamos a:

( ~D2 − ~D1) · n∆S = Q

Si existe una distribucion volumetrica de carga, con una densidad cubica ρfinita, el segundo miembro de la igualdad anterior es un infinitesimo des-preciable frente al primer miembro, y entonces:

( ~D2 − ~D1) · n∆S = 0 =⇒ ( ~D2 − ~D1) · n = 0

Pero si sobre S′ existe una distribucion superficial de carga, de densidad ρs,

( ~D2 − ~D1) · n∆S′ = ρs∆S′


n · ( ~D2 − ~D1) = ρs (A.1)

alterando para mayor simetrıa del conjunto de formulas el orden de losfactores del producto escalar.

Procediendo identicamente con el vector ~B y haciendo uso de (1.5) se ob-tiene:

n · ( ~B2 − ~B1) = 0 (A.2)

Repitiendo el razonamiento para ~J empleando (1.3), se deduce que:

( ~J2 − ~J1) · n∆S = −∂(∆Q)∂t

donde ∆Q es la carga contenida en el interior del cilindro.

Si la distribucion de carga es volumetrica, el segundo miembro es despre-ciable frente al primero, pero si es superficial, ∆Q = ρs∆S, y la igualdadanterior se expresa:

n · ( ~J2 − ~J1) = −∂ρs∂t

(A.3)

S

no

no

n

t

t

Figura A.2: Condiciones de contorno

Para deducir las restantes condiciones de contorno, consideremos un rectangu-lo infinitesimal, situado en un plano ortogonal a S y formado por dos ladosde longitud ∆l, paralelos a S uno en el medio 1 y otro en el medio 2, ypor dos lados normales a S y cuya longitud sea un infinitesimo de ordensuperior a ∆l.

. 135

Tomemos un sentido de circulacion de este rectangulo, que caracterizamoscon el vector unitario τ , dirigido segun uno de los lados de longitud ∆l,segun muestra la figura A.2. A este sentido le corresponde un sentido posi-tivo de la normal al rectangulo, que definimos con el vector no. Las posiblesorientaciones del rectangulo estan en correspondencia biunıvoca con los po-sibles vectores τ , unitarios paralelos a S o con los vectores no. Ademas lostres vectores τ , no y n forman un triedro trirrectangulo, siendo:

τ = no × n

La circulacion de ~H a lo largo de dicho rectangulo valdra:

~H2 · τ∆l − ~H1 · τ∆l = τ · ( ~H2 − ~H1)∆l

siendo ~H1 y ~H1 los valores de ~H en los lados del citado rectangulo paralo-los a S y situados en el medio 1 y en el medio 2 respectivamente. Hemosprescindido de la circulacion a lo largo de los lados normales a S por ser uninfinitesimo de orden superior.

Si es aplicable a este area abierta el teorema de Stokes, dicha circulacionsera igual al flujo del rotacional de ~H a traves del rectangulo, flujo que, deacuerdo con (1.1) consta de dos terminos:

A. flujo de ~J= Intensidad de la corriente que pasa a traves del rectangulo

B. flujo de ∂ ~D/∂t= Variacion temporal del flujo de ~D a traves del mismo

El segundo siempre sera un infinitesimo de orden superior a ∆l, por serproporcional al area del rectangulo. En cuanto al primero, si las cargaselectricas en movimiento dan lugar a una densidad superficial de corriente,~Js, tambien sera un infenitesimo de orden superior a ∆l, pero si hemosadmitido la posibilidad de una distribucion superficial de carga sobre S,tenemos que aceptar la de su movimiento, que dara lugar a una corrientea lo largo de S. Para cartacterizar esta corriente sera necesario un vectordensidad de corriente lineal ~Js tangente a S y tal que la intensidad quepasa a traves de un elemento de lınea ds en el sentido del vector unitario a,normal a ds, valdra ~Js · ads.En consecuencia, el flujo de corriente producido por ~Js a traves del areadel rectangulo y en el sentido de no valdra ~Js · no∆l, que igualado a lacirculacion de ~H a lo largo del contorno conduce a:

τ · ( ~H2 − ~H1) = ~Js · no

Sustituyendo τ por no × n y alternado cıclicamente el orden de los tresvectores que aparecen en el producto mixto obtenido, llegamos a:

(no × n) · ( ~H2 − ~H1) = [n× ( ~H2 − ~H1)] · no = ~Js · no

Pero esta igualdad es valida para cualquier orientacion del rectangulo, esdecir, para cualquier vector no. Como tanto no como n × ( ~H2 − ~H1) y ~Jsson vectores tangenciales a S, para que la igualdad anterior sea valida paracualquier no, es condicion necesaria y suficiente que:

n× ( ~H2 − ~H1) = ~Js (A.4)


El mismo razonamiento, aplicado a ~E y (1.2) lleva a:

n× (~E2 − ~E1) = 0 (A.5)

El sistema de ecuaciones (A.1)-(A.5) da las condiciones de contorno bus-cadas. Veamos que, como consecuencia de ellas, S es una superficie de dis-continuidad para los vectores del campo electromagnetico ~E , ~D, ~B y ~H.Tomamos, p. ej. (A.1) y (A.5), particularizando la primera para ρs = 0:

n · ( ~D2 − ~D1) = 0

n× (~E2 − ~E1) = 0

Notar que:

la primera expresa la continuidad de la componente normal de ~D alatravesar S, lo que esta justificado puesto que n · ~D2 es igual a laproyeccion de ~D2 sobre la direccion del vector unitario n.

la segunda afirma que la continuidad de la componente tangencial de~E ; en efecto, si n es un vector unitario normal en un punto a unasuperficie S, (n × ~A) es la componente de ~A segun el plano tangentea S en el mismo punto, cualquiera que sea ~A. En consecuencia, lacomponente tangencial de ~E1 coincide en valor, direccion y sentidocon la de ~E2, lo que implica que ~E1, ~E2 y la normal a S estan en unmismo plano.

Llamando E2n y E2t, E1n y E1t, a las componentes normales y tangenciales de~E2 y ~E1, respectivamente, y teniendo en cuenta que ~D = ε ~D, las condicionesanteriores pueden escribirse:

ε2E2n = ε1E1n

E2t = E1t

Los angulos θ2 y θ1 que ~E2y ~E1 forman con la normal seran tales que (figuraA.3):

tan θ2 =E2t

E2n

tan θ1 =E1t

E1n

por lo que se cumplira:tan θ2tan θ1

=ε2ε1

E2n

E2t

E2q

2

Figura A.3: Componentes del campo electrico

. 137

Por lo tanto, salvo si ε2 = ε1, sera θ1 6= θ2 y las lıneas del campo electricose refractan al pasar de un medio a otro. Como, ademas:

|~E2|2 = |E22n|+ |E2t|2 =

ε21ε22E21n + |E1t|2

Es evidente que |E2| 6= |E1|. La superficie S es una superficie de disconti-nuidad para ~E , discontinuidad que afecta tanto al valor de las componentesde ~E como al de las derivadas primeras. No ofrece dificultad repetir el ra-zonamiento para los restantes vectores , ~D, ~H y ~B, llegandose al mismoresultado.

Pero si S es una superficie de discontinuidad no se puede aplicar el teoremade Gauss al cilindro empleado para obtener (A.1), (A.2) y (A.3) ni el de Sto-kes al rectangulo introducido para (A.4) y (A.5). Los resultados deducidosinvalidan el metodo de deduccion.

Desde el punto de vista del rigor, por lo tanto, es preferible postular lascondiciones de contorno (A.1)-(A.5), como lo era tambien postular el sistema(1.1)-(1.8).

APENDICE B

Promedio de valores complejos

B.1 VALOR MEDIO DE UNPRODUCTO

Recordemos que si A es una magnitud escalar o vectorial compleja, quevarıa periodicamente con el tiempo, su valor medio < A > en un perıodo τvale

< A >=1τ

ˆ τ

0

Adt

y que

Re(A) =A+A∗

2

simbolizando con A∗ el complejo conjugado de A.

Sean ahora A1 y A2 dos campos complejos variables en el tiempo segun laley

A1(x, y, z, t) = A′1(x, y, z)e

jωt; ω =2πτ

y pasamos a calcular el valor medio del producto

Re(A1)Re(A2)

en que simbolizamos con el producto en el campo complejo si A1 y A2 sonmagnitudes escalares y los productos escalar y vectorial si son vectoriales.

Puesto que, en virtud de la propiedad distributiva de tales productos conrelacion a la suma

Re(A1)Re(A2) =A1 +A∗

1

2 A2 +A∗

2

2=

14(A1 A2 +A1 A∗

2 +A∗1 A2 +A∗

1 A∗2)

sera

< Re(A1)Re(A2) >=<14(A1 A2 +A1 A∗

2 +A∗1 A2 +A∗

1 A∗2) >=

14

(< A1 A2 > + < A1 A∗2 > + < A∗

1 A2 > + < A∗1 A∗

2 >)

ya que el valor medio de una suma es la suma de los valores medios de lossumandos.

140 PROMEDIO DE VALORES COMPLEJOS

Pero,

< A1 A2 > =< A′1 A′

2e2jωt >=

ω

2π

ˆ 2π/ω

0

A′1 A′

2e2jωtdt =

ω

2πA′

1 A′2

[e2jωt

2jω

]2π/ω0

= 0

< A∗1 A∗

2 > =< A′∗1 A

′∗2 e

−2jωt >= 0

< A1 A∗2 > =< A∗

1 A2 >=ω

2π

ˆ 2π/ω

0

A′1 A

′∗2 dt =

ω

2πA′

1 A′∗2

ˆ 2π/ω

0

dt = A′1 A

′∗2 = A1 A∗

2

En consecuencia

Re(A1)Re(A2) =14(A1 A∗

2 +A∗1 A2) =

12Re(A1 A∗

2) (B.1)

en virtud de ser

12Re(A1)Re(A2) =

12A1 A∗

2 + (A1 A∗2)∗

2=

14(A1 A∗

2 +A∗1 A2)

APENDICE C

Corrientes magneticasequivalentes

Aunque las corrientes magneticas no existen, es conveniente introducirlasya que, matematicamente son utiles para tratar el problema (aparecen alhacer uso de ciertos teoremas de equivalencia, como se explica en el anexosiguiente).

Por ello, introducimos un nuevo vector ~M= Densidad de corriente magneti-ca. De esta manera simetrizamos las ecuaciones de Maxwell:

∇× ~E = − ~M − jωµ ~H

Entonces, podemos definir un nuevo potencial vector ~F de manera que:

~EF = −1ε∇× ~F

que por un procedimiento analogo al anterior conduce a:

~HF = −∇φm − jω ~F

donde φm es el potencial electrodinamico magnetico, verificandose:

4~F + k2 ~F = −ε ~M

Si imponemos:

φm = − 1jωεµ

∇ · ~F

resulta finalmente:

~HF = −jω ~F − j

ωµε∇(∇ · ~F )

por lo que la solucion completa del problema viene dada por (indicando elsubındice A o F si la fuente de campo es una corriente electrica o magnetica):

~E = ~EA + ~EF = −jω ~A− j

ωµε∇(∇ · ~A)− 1

ε∇× ~F (C.1)

~H = ~HA + ~HF = −jω ~F − j

ωµε∇(∇ · ~F )− 1

µ∇× ~A (C.2)

142 CORRIENTES MAGNETICAS EQUIVALENTES

que se pueden expresar tambien como:

~E = ~EA + ~EF =1jωε

∇× ~HA −1ε∇× ~F (C.3)

~H = ~HA + ~HF = − 1jωµ

∇× ~EF +1µ∇× ~A (C.4)

como funcion de ~HA y ~EF , siendo ~A y ~F las soluciones de:

~A =µ

4π

ˆV ′

~Je−jkR

Rdv′

~F =ε

4π

ˆV ′

~Me−jkR

Rdv′

APENDICE D

Principio de equivalencia

D.1 CAMPO A PARTIR DE

LA DISTRIBUCION EN UNAAPERTURA

Veamos otra forma de calcular el campo radiado por una apertura con unadistribucion de campo conocida.

Segun el principio de equivalencia, es posible reemplazar una antena de aper-tura con corrientes equivalentes que producen campos radiados identicos alos de la antena original. El principio de equivalencia se deriva del hecho deque una solucion de las ecuaciones de Maxwell junto con unas determinadascondiciones de contorno, es la unica solucion posible.

En el problema original, los campos que satisfacen las ecuaciones de Maxwellen la region exterior al volumen V y los que satisfacen las condiciones decontorno en la superficie S son unicos. Mientras las fuentes exteriores a Vy las condiciones de contorno en S, superficie que engloba a V , no cambien,no cambiara la solucion ( ~E, ~H).

En el problema equivalente, las fuentes exteriores a V no cambian, dado queno existen. En cuanto a las condiciones de contorno, se trata de introducirlos cambios adecuados en el problema inicial para que tampoco cambien.

Supongamos que en el problema original, los campos en la superficie S son~E(S) y ~H(S). En el problema equivalente eliminamos las fuentes originales(dentro del volumen V ) e introducimos en la superficie S las corrientes apro-piadas para que se sigan cumpliendo las condiciones de contorno originales.Si los campos internos a S son ~E1 y ~H1, y los externos ~E y ~H, las corrientesequivalentes se pueden obtener a partir de las condiciones de contorno sobreS son:

~JS1 = n× [ ~H − ~H1] (D.1)

~MS1 = [ ~E − ~E1]× n (D.2)

Estas corrientes equivalentes, que se obtienen unicamente a partir de lascomponentes tangenciales de los campos, se pueden emplear para calcularlos campos fuera de la superficie S. Sin embargo, es necesario conocer loscampos sobre S para poder determinar dichas corrientes equivalentes. Tam-poco sabemos todavıa como calcular los campos externos a partir de lascorrientes equivalentes.

Dado que los campos ~E1 y ~H1 son arbitrarios, podemos hacerlos cero porsimplicidad. Entonces las ecuaciones anteriores se convierten en:

~JS = n× ~H(S) (D.3)

144 PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

~MS = ~E(S)× n (D.4)

donde ~E(S) y ~H(S) son los campos sobre la superficie S. Esta formulacionse conoce como Principio de Equivalencia de Love.

Dado que los campos en el interior de S son cero, en el problema equivalen-te podemos introducir materiales dentro de S. Si colocamos un conductorelectrico perfecto a lo largo de S, ~JS desaparecera y unicamente tendremosla densidad de corriente magnetica ~MS en presencia de un plano conductorperfecto generando los campos. De manera analoga, si situamos un conduc-tor magnetico perfecto, ~MS se anulara.

En cualquier caso, los problemas mencionados son difıciles de resolver siem-pre que S sea una superficie arbitraria. Notar que si la antena contiene zonasconductoras, ~JS debe ser igual a la densidad de corriente sobre tal porcion,que contendra ~JS y ~MS antes de que se introduzca ningun conductor ficticio.

Si la superficie S es grande en terminos de λ y la curvatura de S es pequena,se puede aplicar localmente la teorıa de las imagenes sobre la superficiepara encontrar las corrientes que operan en presencia de los conductoresintroducidos. Sin embargo, dado que la superficie S la hemos introducidopor conveniencia y estamos interesados en problemas de radiacion, podemosextenderla hasta ∞ y como S debe ser una superficie cerrada, suponemosque S se encuentra en z = 0 y todas las fuentes en z < 0. En este caso,podemos aplicar teorıa de imagenes de forma exacta y resolver facilmentemuchos problemas practicos relacionados con las aperturas planares.

A partir de las corrientes ~JS y ~MS en z = 0 aplicamos la teorıa de imagenespara reducir la formulacion al semiespacio z > 0. Tendremos tres posibili-dades:

Espacio libre: ~JS y ~MS

Conductor electrico perfecto: ~JS = 0 y 2 ~MS

Conductor magnetico perfecto: 2 ~JS y 2 ~MS = 0

Los campos ( ~E, ~H) en la region z > 0 se calcularan evaluando previamente~A y el resultado sera exacto en z > 0. No obstante, si restringimos nuestrasolucion a la zona lejana, el procedimiento se simplifica considerablemente:

A. Obtener ~A

B. Calcular ~EA

C. Obtener ~F

D. Calcular ~HF

E. Calcular ~EF = η ~HF × r

F. Sumar los dos resultados: ~E = ~EA + ~EF

En el caso en que trabajemos con conductores perfectos, los calculos sereducen considerablemente. Resumiendo, las posibilidades son:

~JS y ~MS : ~E = ~EA + ~EF

2 ~JS : ~E = 2 ~EA

2 ~MS : ~E = 2 ~EF

D.1. Campo a partir de la distribucion en una apertura 145

Una vez que ha quedado aclarado el procedimiento, falta por ver comodeterminar las corrientes en la apertura. Hasta ahora, no se ha introducidoninguna aproximacion en el desarrollo, salfo las relativas al campo lejano.Sin embargo, es muy difıcil disponer de la distribucion de campos ~E(S)y ~H(S). Lo normal es disponer de informacion aproximada sobre dichoscampos en una porcion finita del plano de la apertura. Tal aproximacion seconoce como Aproximacion de Optica Fısica, en la cual, se asume que loscampos en la apertura ~Ea y ~Ha son los de la onda incidente y se supone queestpos solo existen en una porcion finita de la apertura Sa siendo cero enel resto de S. En la mayorıa de los casos, Sa coincide con la apertura fısicade la antena. Esta aproximacion mejora a medida que las dimensiones de laantena con relacion a λ aumentan.

El procedimiento completo se resume a continuacion. Supongamos que cono-cemos los campos ~Ea y ~Ha que exiten en Sa y son tangentes a dicha superfi-cie, porcion de la superficie infinita S. Estos campo han podido determinar-se, p. ej. mediante la aproximacion de optica fısica. Las corrientes linealesen las superficie equivalentes son:

~JS = n× ~Ha (D.5)

~MS = ~Ea × n (D.6)

sobre Sa y cero en el resto. Entonces los potenciales vectores son:

~A = µe−jkr

4πrn×¨Sa

~Haejkr·~r′ds′ (D.7)

~F = εe−jkr

4πrn×¨Sa

~Eaejkr·~r′ds′ (D.8)

y dado que el campo lejano responde a:

~E = −jω ~A− jωη ~F × r (D.9)

tras ciertas manipulaciones se sigue que:

~E = −jkr ×¨Sa

[n× ~Ea − ηr × (n× ~Ha)]e−jkr·~r′ds′ (D.10)

analoga a la formula de Goudet.

Las integrales que aparecen en estas expresiones de ~A y ~F son transformadasde Fourier bidimensionales. Si definimos:

~P =¨Sa

~Eaejkr·~r′ds′ (D.11)

~Q =¨Sa

~Haejkr·~r′ds′ (D.12)

podemos escribir:

Px =¨Sa

Eax(x′, y′)ejk(x′ sin θ cosφ+y′ sin θ sinφ)dx′dy′ (D.13)

Py =¨Sa

Eay(x′, y′)ejk(x′ sin θ cosφ+y′ sin θ sinφ)dx′dy′ (D.14)

Qx =¨Sa

Hax(x′, y′)ejk(x′ sin θ cosφ+y′ sin θ sinφ)dx′dy′ (D.15)

146 PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Qy =¨Sa

Eay(x′, y′)ejk(x′ sin θ cosφ+y′ sin θ sinφ)dx′dy′ (D.16)

que junto con n = z conducen a:

~A = µe−jkr

4πr(−Qyx+Qxy) (D.17)

~F = −εe−jkr

4πr(−Pyx+ Pxy) (D.18)

Para aperturas montadas sobre un planoconductor se prefiere utilizar un planoconductor electrico infinito, ya que ası secumple la condicion de campo electricotangencial nulo en el conductor

Notar que si se conocen exactamente los campos en la apertura, las tres for-mulaciones proporcionan el mismo resultado. En la practica, dado que solose dispone de informacion aproximada sobre los campos en la apertura, lastres formulaciones proporcionan resultados distintos, si bien, las diferenciasno suelen ser significativas.

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