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Modelacin Ambiental para Ingeniera Ambiental Centro EULA, Chile Pgina 1
Apunte: Ecuaciones para el flujo y el transporte " Modelacin Ambiental, Cdigo: 999.038
Dr. Diego Caamao A. Dr. Alejandra Stehr G.
Introduccin
Las ecuaciones bsicas para caracterizar el movimiento y el transporte en el fluido se obtienen de:
Conservacin de masa del fluido Conservacin de momento Conservacin de energa calrica Conservacin de masa del soluto
Por lo tanto, para representar el fenmeno flujo-transporte es necesario construir una ecuacin de balance para cada una de las cuatro caractersticas mencionadas.
Las ecuaciones de conservacin de masa de agua y de momento son la base para simular los cambios hidrodinmicos en el cuerpo de agua (i.e. velocidades y alturas de agua), y es la hidrodinmica del flujo la encargada de conducir consigo al soluto (i.e. sustancias contaminantes). Por lo tanto, la caracterizacin del flujo es fundamental para determinar el destino final del soluto. Dichas ecuaciones hidrodinmicas se conocen como las Ecuaciones de Saint-Venant.
De igual forma las ecuaciones de conservacin de energa calrica y del soluto, dan origen a las ecuaciones que definen el transporte, ya sea de temperatura o de algn compuesto en particular soluto. Estas ecuaciones se denominan como Ecuaciones de Adveccin-Dispersin-Reaccin, y relacionan las propiedades de dispersin y decaimiento del soluto con la hidrodinmica del flujo.
Es importante notar que existe una retroalimentacin entre la hidrodinmica y las caractersticas del soluto. Por lo tanto, ambas ecuaciones deben ser resueltas en forma simultnea, a menos que el flujo se encuentre en estado estacionario, vale decir, no cambie con el tiempo (aceleracin nula para todo el periodo estudiado).
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Ecuaciones fundamentales de conservacin
La forma fundamental de las ecuaciones de conservacin puede derivarse del anlisis a un pequeo volumen de control cbico de dimensiones dx, dy , dz a lo largo de los ejes coordenados x, y , z (Figura 1).
Figura 1 Volumen de Control Cbico
La Figura 1 muestra la entrada y salida de flujo (F) en un cierto volumen de control, donde el transporte de una cierta concentracin de soluto por unidad de volumen, Ca, se expresa como dxdydzCa. . La tasa de cambio o acumulacin del soluto en el volumen de control es igual a la suma de los flujos a travs de todas las superficies, lo que se traduce en la expresin siguiente:
( ) dxdydzRFit
dxdydzCai
=
=
6
1
.
(1)
En la expresin 1 la derivada con respecto al tiempo simula la acumulacin, la sumatoria de los flujos representa el transporte, y R indica las fuentes o sumideros asociados al soluto (i.e. reacciones).
El flujo neto a travs de cualquier eje coordenado es igual al flujo de entrada menos el flujo de salida, entonces la ecuacin 1 se puede escribir como:
( ) Rdxdydzdzz
FzFzFzdyy
FyFyFydxx
FxFxFxt
dxdydzCa
++
++
+=
.
(2)
o bien, de una manera simplificada
Fy Fz
Fx
+ dzz
FzFz
+ dyy
FyFy
+ dxx
FxFx z
y
x
dx
dy
dz
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( ) Rdxdydzdzz
Fzdyy
Fydxx
Fxt
dxdydzCa
=
.
(3)
donde los flujos Fx, Fy, Fz son el resultado de dos procesos: la adveccin y la dispersin.
Adveccin
Cuando ocurre adveccin la concentracin por unidad de volumen Ca se traslada a travs del volumen de control sin afectar la distribucin de las propiedades del cuerpo de agua. El flujo de agua tiene las dimensiones L3T-1 y es igual al producto entre la velocidad (LT-1) y la superficie perpendicular al flujo (L2). Entonces la concentracin Ca por unidad de tiempo, para cada uno de los ejes coordenados, est dada por:
udydzCaFx = (4) vdxdzCaFy = (5) wdxdyCaFz = (6)
donde u, v, w son las velocidades a lo largo de los ejes x, y, z respectivamente.
Figura 2 Adveccin
Figura 3 Adveccin en la confluencia ros Biobo-Laja
u(z)
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Por lo tanto, el aporte del flujo advectivo se transforma en las ecuaciones siguientes:
( ) dxx
udydzCaFxadveccin
=
(7)
( ) dyy
vdxdzCaFyadveccin
=
(8)
( ) dzz
wdxdyCaFzadveccin
=
(9)
Dispersin
La dispersin se relaciona a la primera ley de Fick1, la que plantea que el transporte es proporcional al gradiente en las tres direcciones de flujo del volumen de control, es decir:
( )x
dydzCaFx
=
(10)
( )y
dxdzCaFy
=
(11)
( )z
dxdyCaFz
=
(12)
Figura 4 Dispersin longitudinal
donde es una constante de proporcionalidad.
1
dxdCADqx = donde, qx: Flujo neto de partculas; C: Concentracin masa por unidad de volumen; A:
rea perpendicular a x
u(z)
El trazador es inyectado uniformemente
La difusin longitudinal ha homogenizado el gradiente vertical
El trazador es extendido por el perfil de corte
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Figura 5 Mezcla lateral y dispersin longitudinal (rojo). Imagen extrada del manual del USGS: TWRI-A9, pgina 2
Entonces, debido a la dispersin, en cada una de las direcciones se obtienen las ecuaciones siguientes:
( ) dxx
dydzCax
Fxdispersin
=
(13)
( ) dyy
dxdzCay
Fydispersin
=
(14)
( ) dzz
dxdyCaz
Fzdispersin
=
(15)
Ecuacin General de Conservacin
Finalmente reemplazando las ecuaciones 7, 8, 9 y 13, 14, 15 en la ecuacin 3, se logra la ecuacin general de conservacin:
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( ) ( ) ( ) ( )
Rdxdydzdzz
dxdyCaz
dyy
dxdzCay
dxx
dydzCax
dzz
wCadxdydyy
vCadxdzdxx
uCadydzt
Cadxdydz
+
+
+
=
(16)
O bien,
( ) ( ) ( ) ( ) Rz
Cazy
Cayx
Caxz
wCay
vCax
uCat
Ca
+
+
+
=
(17)
Conservacin de la masa de agua
La Ca de agua est dada por la densidad, , y recordemos que la densidad por el volumen entrega la masa de agua existente en dicho volumen. Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
+
=
zzyyxxzw
yv
x
u
t
(18)
El trmino reactivo no aparece en la ecuacin 18, debido a que la masa de agua no sufre reacciones cinticas (no hay degradacin). Por otra parte, en el transporte del agua los efectos dispersivos no son relevantes por lo que dichos gradientes pueden ser eliminados de la ecuacin 18.
( ) ( ) ( ) ( ) dzz
wdyy
vdxx
u
t
=
(19)
Al considerar un problema bidimensional con densidad constante, se tiene:
( ) ( ) ( ) 0=
+
+
yvh
x
uht
h
(20)
De igual manera para el caso unidimensional, se logra:
( ) ( ) 0=
+
x
uhbt
hb
(21)
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Conservacin del momento
En este caso la Ca de momento est dada por el producto entre la densidad, , y la velocidad respecto al eje coordenado respectivo. La constante de proporcionalidad, , se representa por la viscosidad cinemtica del agua, .
La diferencia ms relevante entre el momento y los otros fenmenos, es que el momento es un vector, por lo tanto, posee magnitud y direccin. Por esto se requiere una expresin por separado para cada uno de los ejes coordenados.
( ) ( ) ( ) ( )xR
z
u
zyu
yxu
xz
uw
yuv
x
uu
t
u
+
+
+
=
(22)
( ) ( ) ( ) ( )yR
z
v
zyv
yxv
xz
vw
yvv
x
vu
t
v
+
+
+
=
(23)
( ) ( ) ( ) ( )zR
z
w
zyw
yxw
xz
ww
ywv
x
wu
t
w
+
+
+
=
(24)
Al considerar un problema bidimensional, sin los efectos dispersivos, y con densidad constante, el sistema toma la forma:
( ) ( ) ( )xRy
vuhx
uuht
uh'+
=
(25)
( ) ( ) ( )yRy
vvhx
uvht
vh'+
=
(26)
donde xR' y yR' son las fuerzas que actan en el sistema.
( )x
px
hghFR afxwxxx
+= 1
''
(27)
( )y
pyhghFR afywyyy
+= 1
''
(28)
De igual manera un sistema unidimensional queda dado por:
( ) ( ) ( )
++
=
x
px
hghbFx
uuhbt
uhb afxwxx
1'
(29)
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Conservacin de masa del soluto
Si se considera una sustancia cualquiera, con una concentracin C, y que la constante de proporcionalidad, , se representa por el coeficiente de dispersin E, la ecuacin de transporte adquiere la forma
( ) ( ) ( ) ( ) Rz
CEzy
CEyx
CExz
wCy
vCx
uCt
Czyx
+
+
+
=
(30)
Para el caso bidimensional con decaimiento de primer orden, se tiene:
( ) ( ) ( ) [ ]Chy
vChx
uChyChE
yxChE
xtCh
yx +
+
=
(31)
De igual manera para el caso unidimensional
( ) ( ) [ ]Chbx
uChbx
ChbExt
Chbx +
=
(32)
Conservacin de la energa calrica
La energa calrica se utiliza para representar el comportamiento de la temperatura, la relacin existente entre ambas es que Ca de energa calrica se representa por
TcCa p= (cp es el calor especfico). Entonces se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )
Rz
TcE
zyTc
Eyx
TcE
x
z
Tcwy
Tcvx
Tcut
Tc
pz
py
px
pppp
+
+
+
=
(33)
Por lo tanto, para dos dimensiones con densidad constante y decaimiento de primer orden, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]Tch
yThvc
x
ThucyTc
hEyx
TchE
xt
Thcp
pppy
px
p +
+
=
(34)
Para una dimensin: ( ) ( ) ( ) [ ]Tchb
x
Thbucx
TchbE
xt
Thbcp
ppx
p +
=
(35)
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Caso Particular
El caso del oxgeno disuelto (OD) y la demanda bioqumica de oxgeno (DBO) presenta un caso especial en el fenmeno de transporte. Ambos compuestos dependen el uno del otro, y por consiguiente, la caracterizacin del problema debe hacerse por medio de un sistema de 2 ecuaciones diferenciales, tanto para el caso bidimensional como para el unidimensional.
Otra diferencia con las ecuaciones anteriores radica en la cintica de degradacin, esto porque aqu aparecen algunos trminos extras que deben ser considerados, sin embargo, stos no cambian la condicin de primer orden de la cintica de degradacin.
Por lo tanto, un fenmeno bidimensional se representa por medio del siguiente sistema de ecuaciones:
[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )
[ ]( ) [ ] [ ]{ }DBOkDOSFotsODODkhy
hODvx
hODuy
ODhEyx
ODhExt
hOD
csa
yx
+
+
=
Re
(36)
[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )
[ ]{ }DBOkhy
hDBOvx
hDBOuy
DBOhEyx
DBOhExt
hDBO
c
yx
+
=
(37)
Para el caso unidimensional
[ ]( ) [ ] [ ]( )
[ ]( ) [ ] [ ]{ }DBOkDOSFotsODODkhbx
hbODux
ODhbExt
hbOD
csa
x
+
=
Re
(38)
[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]{ }DBOkhbx
hbDBOux
DBOhbExt
hbDBOcx
=
(39)
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Nomenclatura
Fi Flujos de entrada y salida al volumen de control en cada una de las direcciones.
Ca Concentracin de una sustancia cualquiera por unidad de volumen. R Reacciones fsicas, qumicas y biolgicas en el volumen de control.
h(x,y,t) Altura del agua sobre el punto (x,y) en el instante t. b(x,t) Ancho superficial en el punto x para un instante t. u, v Velocidades en las direcciones x, y respectivamente.
Constante de decaimiento de primer orden.
pa Presin atmosfrica
F Efecto Coriolis
( )[ ]hvwFx sen2= ( )[ ]huwFy sen2= f Roce con el fondo
22
.
vuuChezyC
gfx +=
22
.
vuvChezyC
gfy +=
w Tensin tangencial por el viento 22vvvwx vugu += 22 vvvwy vugv +=
El subndice v se refiere a la velocidad. ka Constante de reaireacin.
kc Constante total de decaimiento de DBO. ODs Oxgeno Disuelto de saturacin.
Res Tasa de respiracin de los diferentes organismos. Fot Tasa de produccin de oxgeno por fotosntesis. DOS Demanda de oxgeno por los sedimentos.