ióhax.

CAPÍTULO 1

LA CONSTRUCC IÓN SOCIAL DEL SIGNIFICADO: ¿ U N DESARROLLO SIGNIFICATIVO PARA

LA EDUCAC IÓN MATEMÁTICA? Quiero llamar la atención del lector hacia lo que considero es una nueva área significativa de investigación en educación matemática, y la mejor for­ma en que puedo hacerlo consiste en expl icar no sólo de qué se trata, sino también cómo llegué a darme cuenta de su valor. Portante, este escrito será una especie de recorr ido a través de algunas ¡deas y espero que aporte algo del sabor y también de la sustancia de esta nueva área.

Sin embargo, para facil itar la comprensión y evaluación de lo que voy a decir, debo informar que mi propio contexto de trabajo es la formación de profesores en un departamento de educación de una universidad dentro del sistema académico del Reino Un ido . Una consecuencia es que empecé mi investigación partiendo del supuesto de que el profesor es el agente más importante en toda la empresa educativa. En el Reino Un ido , buena parte de la práctica de la enseñanza y de la formación de profesores se basa en la idea del profesor autónomo. Esta idea naturalmente es un mito en el sentido de que cada profesor está sujeto a toda clase de presiones; pero es un mito que valoramos y preservamos. Aquf no me ocuparé con el d i lema de si se trata de un mito bueno o malo, pero concederé de buen grado que tiene sus peligros así como sus ventajas.

M is intereses en investigación siempre han tenido que ver con los misterios y las complej idades del escenario de la clase de matemáticas — e l contexto en el que los profesores tratan de inducir a sus alumnos a las formas que tienen los matemáticos de comprender el mundo. M i filosofía de investiga­ción es la del alternativismo constructivo (Kelly, 1 955), lo que quiere decir que busco formas alternativas de significar e interpretar los fenómenos de la clase, de manera que el proceso de inducción pueda lograrse con mayor éxito que el obtenido hasta ahora. Una de las primeras líneas de investiga­ción que desarrollé en este sentido fue mi trabajo sobre la toma de dec is io ­nes por parte de los profesores. La roma de decisiones del profesor fue un concepto diseñado para capturar el proceso por el cual el profesor aborda la mult ip l ic idad de elecciones que ocurren tanto antes de la enseñanza como durante el la . M e interesaban en particular las decisiones tomadas durante

ióhax.

CAPÍTULO 1

LA CONSTRUCC IÓN SOCIAL DEL SIGNIFICADO: ¿ U N DESARROLLO SIGNIFICATIVO PARA

LA EDUCAC IÓN MATEMÁTICA? Quiero llamar la atención del lector hacia lo que considero es una nueva área significativa de investigación en educación matemática, y la mejor for­ma en que puedo hacerlo consiste en expl icar no sólo de qué se trata, sino también cómo llegué a darme cuenta de su valor. Portante, este escrito será una especie de recorr ido a través de algunas ¡deas y espero que aporte algo del sabor y también de la sustancia de esta nueva área.

Sin embargo, para facil itar la comprensión y evaluación de lo que voy a decir, debo informar que mi propio contexto de trabajo es la formación de profesores en un departamento de educación de una universidad dentro del sistema académico del Reino Un ido . Una consecuencia es que empecé mi investigación partiendo del supuesto de que el profesor es el agente más importante en toda la empresa educativa. En el Reino Un ido , buena parte de la práctica de la enseñanza y de la formación de profesores se basa en la idea del profesor autónomo. Esta idea naturalmente es un mito en el sentido de que cada profesor está sujeto a toda clase de presiones; pero es un mito que valoramos y preservamos. Aquf no me ocuparé con el d i lema de si se trata de un mito bueno o malo, pero concederé de buen grado que tiene sus peligros así como sus ventajas.

M is intereses en investigación siempre han tenido que ver con los misterios y las complej idades del escenario de la clase de matemáticas — e l contexto en el que los profesores tratan de inducir a sus alumnos a las formas que tienen los matemáticos de comprender el mundo. M i filosofía de investiga­ción es la del alternativismo constructivo (Kelly, 1 955), lo que quiere decir que busco formas alternativas de significar e interpretar los fenómenos de la clase, de manera que el proceso de inducción pueda lograrse con mayor éxito que el obtenido hasta ahora. Una de las primeras líneas de investiga­ción que desarrollé en este sentido fue mi trabajo sobre la toma de dec is io ­nes por parte de los profesores. La roma de decisiones del profesor fue un concepto diseñado para capturar el proceso por el cual el profesor aborda la mult ip l ic idad de elecciones que ocurren tanto antes de la enseñanza como durante el la . M e interesaban en particular las decisiones tomadas durante

1 8 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

las interacciones de clase, a las que la literatura de investigación se refiere hoy con el término toma interactiva de decisiones (Shavelson, 1976). Es un constructo muy poderoso por cuanto v incu la el trabajo sobre el c o n o c i ­miento, la ideología, las actitudes, etc. de los profesores con el trabajo sobre su comportamiento en clase, sus métodos, su forma de hablar, etc. Se apren­dió acerca de varios aspectos de la toma de decisiones por parte de profeso­res de matemáticas (Bishop, 1976a), y muchos aspectos más están por explorarse. Por e jemplo, el manejo de las comprensiones equivocadas y los errores de los estudiantes const i tuyeUna gran parte de la actividad del pro­fesor, pero el~constructo toma de decis iones me forzaba a prestar~atención al hecho de que, en la situación de la clase, lo_que_es significativo es la percepción que tengaj^jgrofe ior de tales_error_es yj^omprensiones equ ivo ­cadas. Esto lo o lv idan a veces los investigadores que estudian los errores de los niños en una atmósfera c o m o de laboratorio, que se abstrae de la clase interactiva. Por tanto, examiné los errores percibidos por el profesor y me interesé en particular por las estrategias de los profesores para tratarlos (Bishop, 1976b). En esta investigación se desarrol laron actividades muy úti­les para la formación de profesores; por e jemplo, la de "congelar " una en ­cruci jada en una grabación de v ideo de una hora de clase y analizar las opciones y criterios al a lcance del profesor. En ese tratamiento es factible incorporar muchas concepc iones de la investigación psicológica que de otra manera parecerían muy alejadas del au la .

También es satisfactorio ver que este constructo ha sido tomado de una manera muy seria y a gran escala por el Institute for Research on Teaching de la Michigan State University. El trabajo del Institute se basa en el mode lo del profesor como pensador y el constructo toma de decisiones se incrusta bien en tal modelo . Esta concepción reconoce el hecho de que las tareas, las restricciones y problemas de la enseñanza desarrollan en los profesores ciertas formas características de pensar, lo que, por supuesto, tiene grandes impl icac iones para la formación de profesores —tanto la inicial como la que logran en el ejercic io de su profesión (Clark y Yinger, 1979).

I .i «.«•j.jund.i linca de investigación se desarrolló a partir de un antiguo interés <n l,i visuali/.K ion y, una vez más, se relacionó con la situación del escena-no < Ir l.i ( l.i'.r I li< r mis primeros intentos c o n diferentes métodos de ense-ii.ni.-.i y sus inlrr . i i < iones con varios aspectos de la habi l idad espacial , pero rnc ont i r qur .iiiilio-, ( onstructos (métodos de enseñanza y habi l idad espa-( l.il) r'.t.ili.in muy . i lr j . idos del escenario real de la clase. Por tanto, los i r r l . i b o i r y d r mili¡<A>.s do enseñanza pasé a actividades espaciales y de li.¡lnlitl,ul r-.p.u t.i/.i ¡¡un os.imiento visual.

I ii p i i n i r i luí;.ii, |>.!•..n d r métodos a actividades es altamente significativo. I ,i nlr . i d r mi ' i i x l i i i l r i ir .ri I . In/.i crea una distinción entre el método y el

L A C O N S T R U C C I Ó N S O C I A L D E L S I G N I F I C A D O : ¿ U N D E S A R R O L L O S I G N I F I C A T I V O . . .

contenido matemático. Esta separación me ha provocado un malestar cada vez mayor. Además, método de enseñanza es un constructo de los investi­gadores y no de los profesores en el sentido de que a ningún profesor le es posible abarcar la gama de enseñanza que el investigador abarca, y los pro­fesores con los que trabajé no estaban satisfechos con la dicotomía método/ contenido. Por otra parte, la idea de actividades espaciales se v incula m u ­cho mejor con el contenido y parece adecuarse mejor a las ideas de los profesores sobre la enseñanza, aunque también se puede extender mucho más allá de tales ideas (Bishop, 1974). Se puede incrustar en el constructo más general denominado actividades matemáticas v ésta es una noción que varios investigadores exploran en la actual idad. Desde mi punto de vista, la noción de act iv idad matemática se relaciona tanto con el tema como con el proceso y es un elemento tanto del método c o m o del currículo. Valoro, en particular, que se enfoca en lo que (en teoría) ocupa la mente de los a lum­nos y también que nos permite anal izar actividades de acuerdo con factores tales como el t ipo de act iv idad (abiertas, cerradas, de práctica, de explora­ción, de análisis, etc.) y el tamaño del grupo (toda la clase, grupos peque­ños, individual) . M e puedo ocupar de la elaboración de actividades espa­ciales significativas que sean pertinentes (Bishop, 1 982) y puedo enfocar la atención de profesores, a lumnos míos, en la puesta en marcha, organiza­ción y control de aquellas actividades. Considero entonces que la actividad espacial, entendida c o m o un subconjunto de las actividades matemáticas es un constructo muy rico e importante.

Pude reelaborar el constructo habi l idad espacial , gracias al análisis de la distinción entre habi l idad para interpretar información de figuras — i . e . , el conoc imiento , las convenciones y el " vocabu la r io " de las muchas formas de figuras que usamos en matemáticas— y la habi l idad para el procesa­miento visual (Bishop, 1 983). Gran parte de las pruebas que evalúan la ha­bi l idad espacial realmente sólo examinan lo que denomino la interpreta­ción de información de figuras y aunque esto es importante en matemáticas, necesitaba ver lo que el procesamiento visual puede ofrecer en el contexto del escenario de la clase. Por ejemplo, sabemos que los indiv iduos difieren notoriamente en su habi l idad para el procesamiento v isual . A lgunos tienen gran preferencia por él, pero a otros no Ies gusta para nada. Es claro que los "geómetras" de Krutetskü (1976) mostraron preferencia extrema por él. Sa­bemos también que las preferencias difieren de ind iv iduo a indiv iduo tanto entre los profesores c o m o entre los alumnos, y podemos explorar cómo se puede desarrollar esta habi l idad o cómo se puede estimular a una persona para que no confíe en d icha habi l idad. La habi l idad para el procesamiento visual tiene conexión con ideas sobre la intuición y las imágenes mentales y también se puede relacionar con el uso de la analogía y la metáfora.

Reviste un interés particular la manera como se pueden compartir las imá­genes mentales entre profesor y a lumno, y es ahí donde el uso de diagramas

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las interacciones de clase, a las que la literatura de investigación se refiere hoy con el término toma interactiva de decisiones (Shavelson, 1976). Es un constructo muy poderoso por cuanto v incu la el trabajo sobre el c o n o c i ­miento, la ideología, las actitudes, etc. de los profesores con el trabajo sobre su comportamiento en clase, sus métodos, su forma de hablar, etc. Se apren­dió acerca de varios aspectos de la toma de decisiones por parte de profeso­res de matemáticas (Bishop, 1976a), y muchos aspectos más están por explorarse. Por e jemplo, el manejo de las comprensiones equivocadas y los errores de los estudiantes const i tuyeUna gran parte de la actividad del pro­fesor, pero el~constructo toma de decis iones me forzaba a prestar~atención al hecho de que, en la situación de la clase, lo_que_es significativo es la percepción que tengaj^jgrofe ior de tales_error_es yj^omprensiones equ ivo ­cadas. Esto lo o lv idan a veces los investigadores que estudian los errores de los niños en una atmósfera c o m o de laboratorio, que se abstrae de la clase interactiva. Por tanto, examiné los errores percibidos por el profesor y me interesé en particular por las estrategias de los profesores para tratarlos (Bishop, 1976b). En esta investigación se desarrol laron actividades muy úti­les para la formación de profesores; por e jemplo, la de "congelar " una en ­cruci jada en una grabación de v ideo de una hora de clase y analizar las opciones y criterios al a lcance del profesor. En ese tratamiento es factible incorporar muchas concepc iones de la investigación psicológica que de otra manera parecerían muy alejadas del au la .

También es satisfactorio ver que este constructo ha sido tomado de una manera muy seria y a gran escala por el Institute for Research on Teaching de la Michigan State University. El trabajo del Institute se basa en el mode lo del profesor como pensador y el constructo toma de decisiones se incrusta bien en tal modelo . Esta concepción reconoce el hecho de que las tareas, las restricciones y problemas de la enseñanza desarrollan en los profesores ciertas formas características de pensar, lo que, por supuesto, tiene grandes impl icac iones para la formación de profesores —tanto la inicial como la que logran en el ejercic io de su profesión (Clark y Yinger, 1979).

I .i «.«•j.jund.i linca de investigación se desarrolló a partir de un antiguo interés <n l,i visuali/.K ion y, una vez más, se relacionó con la situación del escena-no < Ir l.i ( l.i'.r I li< r mis primeros intentos c o n diferentes métodos de ense-ii.ni.-.i y sus inlrr . i i < iones con varios aspectos de la habi l idad espacial , pero rnc ont i r qur .iiiilio-, ( onstructos (métodos de enseñanza y habi l idad espa-( l.il) r'.t.ili.in muy . i lr j . idos del escenario real de la clase. Por tanto, los i r r l . i b o i r y d r mili¡<A>.s do enseñanza pasé a actividades espaciales y de li.¡lnlitl,ul r-.p.u t.i/.i ¡¡un os.imiento visual.

I ii p i i n i r i luí;.ii, |>.!•..n d r métodos a actividades es altamente significativo. I ,i nlr . i d r mi ' i i x l i i i l r i ir .ri I . In/.i crea una distinción entre el método y el

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contenido matemático. Esta separación me ha provocado un malestar cada vez mayor. Además, método de enseñanza es un constructo de los investi­gadores y no de los profesores en el sentido de que a ningún profesor le es posible abarcar la gama de enseñanza que el investigador abarca, y los pro­fesores con los que trabajé no estaban satisfechos con la dicotomía método/ contenido. Por otra parte, la idea de actividades espaciales se v incula m u ­cho mejor con el contenido y parece adecuarse mejor a las ideas de los profesores sobre la enseñanza, aunque también se puede extender mucho más allá de tales ideas (Bishop, 1974). Se puede incrustar en el constructo más general denominado actividades matemáticas v ésta es una noción que varios investigadores exploran en la actual idad. Desde mi punto de vista, la noción de act iv idad matemática se relaciona tanto con el tema como con el proceso y es un elemento tanto del método c o m o del currículo. Valoro, en particular, que se enfoca en lo que (en teoría) ocupa la mente de los a lum­nos y también que nos permite anal izar actividades de acuerdo con factores tales como el t ipo de act iv idad (abiertas, cerradas, de práctica, de explora ­ción, de análisis, etc.) y el tamaño del grupo (toda la clase, grupos peque­ños, individual) . M e puedo ocupar de la elaboración de actividades espa­ciales significativas que sean pertinentes (Bishop, 1 982) y puedo enfocar la atención de profesores, a lumnos míos, en la puesta en marcha, organiza­ción y control de aquellas actividades. Considero entonces que la actividad espacial, entendida c o m o un subconjunto de las actividades matemáticas es un constructo muy rico e importante.

Pude reelaborar el constructo habi l idad espacial , gracias al análisis de la distinción entre habi l idad para interpretar información de figuras — i . e . , el conoc imiento , las convenciones y el " vocabu la r io " de las muchas formas de figuras que usamos en matemáticas— y la habi l idad para el procesa­miento visual (Bishop, 1 983). Gran parte de las pruebas que evalúan la ha­bi l idad espacial realmente sólo examinan lo que denomino la interpreta­ción de información de figuras y aunque esto es importante en matemáticas, necesitaba ver lo que el procesamiento visual puede ofrecer en el contexto del escenario de la clase. Por ejemplo, sabemos que los indiv iduos difieren notoriamente en su habi l idad para el procesamiento v isual . A lgunos tienen gran preferencia por él, pero a otros no Ies gusta para nada. Es claro que los "geómetras" de Krutetskü (1976) mostraron preferencia extrema por él. Sa­bemos también que las preferencias difieren de ind iv iduo a indiv iduo tanto entre los profesores c o m o entre los alumnos, y podemos explorar cómo se puede desarrollar esta habi l idad o cómo se puede estimular a una persona para que no confíe en d icha habi l idad. La habi l idad para el procesamiento visual tiene conexión con ideas sobre la intuición y las imágenes mentales y también se puede relacionar con el uso de la analogía y la metáfora.

Reviste un interés particular la manera como se pueden compartir las imá­genes mentales entre profesor y a lumno, y es ahí donde el uso de diagramas

2 0 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

y de figuras puede ser de tanta importancia . Las actividades espaciales t am­bién se pueden estudiar en términos de su valor para ayudar a external izar las imágenes mentales y para compart i r interpretaciones visuales. Por su ­puesto, el lenguaje juega aquí un papel fuerte porque muchas de las imáge­nes mentales se pueden evocar mediante expresiones lingüísticas y ejem-plos apropiados (Kent y Hedger, 1980).

En el transcurso del desarrollo de estas dos áreas de investigación me hice cada vez más consciente de la brecha entre gran parte de la investigación en educación matemática y la situación real del escenario de la clase. En un artículo (Bishop, 1980) concluí que desde el punto de vista de la mayoría de las teorías de aprendizaje, la clase de matemáticas con su atmósfera ru ido ­sa, sus múltiples objetivos, sus sesiones de t iempo l imitado, y su aire de evaluación mutua, ¡no era un buen lugar para aprender matemáticas! El problema que podía ver como formador de profesores era que la investiga-_ ción sobre el aprendizaje de las matemáticas se estaba vo lv iendo cada vez

"más sofisücaBáHñTentras que las clases se convertiaTPcaxTa vezlrTaTeñ~üna especie de reto imposible para la mayoría de los"profesores. C o m o conse­cuenc ia , mucha gente percibía que la ca l idad del aprendizaje estaba dec l i ­nando.

Por supuesto, yo no era el único en notar esto y podía darme cuenta de que aquí y allá surgían desarrollos orientados a hacer que la situación de clase fuera más controlable y más " ap rop i ada " para que el aprendizaje sucediera c o m o se pensaba que debía suceder. En los Estados Un idos y en cierta me ­dida en otros lugares, se desarrolló un gran esfuerzo por producir el texto " i dea l " . Se invirtió mucho t iempo, d inero y esfuerzo en lo que algunas per­sonas l laman, de manera injusta, textos " a prueba de profesores". Tales tex­tos están diseñados cuidadosamente para evitar sesgos de sexo o raza, y para incorporar motivaciones, repasos, ejemplos, citas históricas, pruebas de control , prácticas espaciadas, etc. El texto del profesor y el de los estu­diantes se entretejen de manera precisa y se le d ice al profesor exactamente lo que debe hacer. La autoridad del profesor da paso a la autoridad del autor del l ibro. En la investigación también se puede detectar una búsqueda de c omponentes didácticos que se pueden ensamblar para producir la lección " Ideal" (Good y Grouws , 1979). También en el Reino U n i d o se pueden en-< ontrar nuestras ideas de formación de profesores dominadas por la noción de la lección de matemáticas. Se enfatiza en la planeación de las lecciones, se anal izan los componentes de cada lección, y se l levan a cabo ejercicios en l.i Urea de parcelar el currículo por lecciones.

I n el Kelno l lu ido y en otros países también se estaba desarrol lando una secunda trmleni i.i orientada al control del aprendizaje en clase. Era la ten-(leni I.I h.u I.I esquemas indiv idual izados que se concretaron en materiales p.ir.i I.i enseñan/.i tales ( orno Sccondary Mathematics IndividualisedLearning

L A C O N S T R U C C I Ó N S O C I A L D E L S I G N I F I C A D O : ¿ U N D E S A R R O L L O S I G N I F I C A T I V O .

£xper/mení (SMILE) y Kent Mathematics Project (KMP), los cuales en cierta medida se basaban sobre investigaciones en instrucción programada, real i ­zadas anteriormente. Sin embargo, tenemos evidencia bien documentada de las formas en que tales esquemas transforman totalmente los roles del docente c o m o profesor, autor idad y auxiliar, en roles de administrador, evaluador y distribuidor de material (Morgan, 1977). El peligro aquí es que entre más sofisticados l leguen a ser los materiales individuales, más se inter­pondrán ellos entre el profesor y el a lumno. Una vez más el profesor cede su autoridad a unos pedazos anónimos de papel.

M i respuesta al reto de la comple j idad de la clase g i j o b u s c a r la salvación "en el l ibro de^.textoJleno"delecciones ideajgsnrenna~sofedad del materi a I ind iv idua l izado, sino buscar mejores formaTde comprender la d a s e T l s t a aparece c o m o un ente comple jo sólo porque somos ignorantes con respecto a lo que allí sucede. Pero si la pudiéramos comprender mejor, si la pudiéra­mos interpretar de manera más rica, entonces quizás podríamos aprender cómo manejarla mejor. Este me lleva al tercer esfuerzo de investigación que ha ocupado mi mente en los años recientes.

M e refiero a esta área de investigación como el marco de construcción so­cial y me gusta dist inguirlo de nuestro marco más tradicional de la lección de matemáticas que, c o m o ya lo indiqué, ha tendido a dominar nuestro pensamiento acerca de la educación matemática. Esta concepción de cons­trucción social ha surgido de la ampl ia gama de perspectivas de investiga­ción que han tenido impacto en la clase. Los etnógrafos o sociólogos del escenario de clase, aquel los que estudian las interacciones verbales, las decisiones de los profesores y las percepciones de los a lumnos o del profe­sor han abierto nuestros ojos a una rica variedad de fenómenos del aula. Ahora , por ejemplo, somos mucho más conscientes de aspectos tales c o m o la tensión del profesor, el miedo de los alumnos hacia las matemáticas, los efectos de las percepciones interpersonales, las interacciones entre a l um­nos, la posición de poder que ostenta el profesor en la clase, y las estrategias de los a lumnos para arreglárselas con su relativa falta de poder. D e los estu­dios de estos investigadores he tratado de extraer los aspectos que considero más significativos para nosotros en la educación matemática.

Fundamental para nuestra comprensión de la clase de matemáticas es el hecho de que se está tratando con gente. Puede parecer trivial dec i r lo , pero este hecho puede fácilmente pasarse por alto cuando se discuten detalles de los componentes de una lección, por ejemplo, o de la habi l idad del estu­diante, o de la motivación, o de cualquier otro constructo psicológico o matemático. Es cierto, naturalmente, que el escenario de clase, al ser parte de una institución, inst i tucional iza a los participantes. Pero cada grupo de estudiantes de un curso s igue s i endo una combinación única de gente — t i e n e su propia identidad, su propia atmósfera, sus propios eventos signi-

2 0 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

y de figuras puede ser de tanta importancia . Las actividades espaciales t am­bién se pueden estudiar en términos de su valor para ayudar a external izar las imágenes mentales y para compart i r interpretaciones visuales. Por su ­puesto, el lenguaje juega aquí un papel fuerte porque muchas de las imáge­nes mentales se pueden evocar mediante expresiones lingüísticas y ejem-plos apropiados (Kent y Hedger, 1980).

En el transcurso del desarrollo de estas dos áreas de investigación me hice cada vez más consciente de la brecha entre gran parte de la investigación en educación matemática y la situación real del escenario de la clase. En un artículo (Bishop, 1980) concluí que desde el punto de vista de la mayoría de las teorías de aprendizaje, la clase de matemáticas con su atmósfera ru ido ­sa, sus múltiples objetivos, sus sesiones de t iempo l imitado, y su aire de evaluación mutua, ¡no era un buen lugar para aprender matemáticas! El problema que podía ver como formador de profesores era que la investiga-_ ción sobre el aprendizaje de las matemáticas se estaba vo lv iendo cada vez

"más sofisücaBáHñTentras que las clases se convertiaTPcaxTa vezlrTaTeñ~üna especie de reto imposible para la mayoría de los"profesores. C o m o conse­cuenc ia , mucha gente percibía que la ca l idad del aprendizaje estaba dec l i ­nando.

Por supuesto, yo no era el único en notar esto y podía darme cuenta de que aquí y allá surgían desarrollos orientados a hacer que la situación de clase fuera más controlable y más " ap rop i ada " para que el aprendizaje sucediera c o m o se pensaba que debía suceder. En los Estados Un idos y en cierta me ­dida en otros lugares, se desarrolló un gran esfuerzo por producir el texto " i dea l " . Se invirtió mucho t iempo, d inero y esfuerzo en lo que algunas per­sonas l laman, de manera injusta, textos " a prueba de profesores". Tales tex­tos están diseñados cuidadosamente para evitar sesgos de sexo o raza, y para incorporar motivaciones, repasos, ejemplos, citas históricas, pruebas de control , prácticas espaciadas, etc. El texto del profesor y el de los estu­diantes se entretejen de manera precisa y se le d ice al profesor exactamente lo que debe hacer. La autoridad del profesor da paso a la autoridad del autor del l ibro. En la investigación también se puede detectar una búsqueda de c omponentes didácticos que se pueden ensamblar para producir la lección " Ideal" (Good y Grouws , 1979). También en el Reino U n i d o se pueden en-< ontrar nuestras ideas de formación de profesores dominadas por la noción de la lección de matemáticas. Se enfatiza en la planeación de las lecciones, se anal izan los componentes de cada lección, y se l levan a cabo ejercicios en l.i Urea de parcelar el currículo por lecciones.

I n el Kelno l lu ido y en otros países también se estaba desarrol lando una secunda trmleni i.i orientada al control del aprendizaje en clase. Era la ten-(leni I.I h.u I.I esquemas indiv idual izados que se concretaron en materiales p.ir.i I.i enseñan/.i tales ( orno Sccondary Mathematics IndividualisedLearning

L A C O N S T R U C C I Ó N S O C I A L D E L S I G N I F I C A D O : ¿ U N D E S A R R O L L O S I G N I F I C A T I V O .

£xper/mení (SMILE) y Kent Mathematics Project (KMP), los cuales en cierta medida se basaban sobre investigaciones en instrucción programada, real i ­zadas anteriormente. Sin embargo, tenemos evidencia bien documentada de las formas en que tales esquemas transforman totalmente los roles del docente c o m o profesor, autor idad y auxiliar, en roles de administrador, evaluador y distribuidor de material (Morgan, 1977). El peligro aquí es que entre más sofisticados l leguen a ser los materiales individuales, más se inter­pondrán ellos entre el profesor y el a lumno. Una vez más el profesor cede su autoridad a unos pedazos anónimos de papel.

M i respuesta al reto de la comple j idad de la clase g i j o b u s c a r la salvación "en el l ibro de^.textoJleno"delecciones ideajgsnrenna~sofedad del materi a I ind iv idua l izado, sino buscar mejores formaTde comprender la d a s e T l s t a aparece c o m o un ente comple jo sólo porque somos ignorantes con respecto a lo que allí sucede. Pero si la pudiéramos comprender mejor, si la pudiéra­mos interpretar de manera más rica, entonces quizás podríamos aprender cómo manejarla mejor. Este me lleva al tercer esfuerzo de investigación que ha ocupado mi mente en los años recientes.

M e refiero a esta área de investigación como el marco de construcción so­cial y me gusta dist inguirlo de nuestro marco más tradicional de la lección de matemáticas que, c o m o ya lo indiqué, ha tendido a dominar nuestro pensamiento acerca de la educación matemática. Esta concepción de cons­trucción social ha surgido de la ampl ia gama de perspectivas de investiga­ción que han tenido impacto en la clase. Los etnógrafos o sociólogos del escenario de clase, aquel los que estudian las interacciones verbales, las decisiones de los profesores y las percepciones de los a lumnos o del profe­sor han abierto nuestros ojos a una rica variedad de fenómenos del aula. Ahora , por ejemplo, somos mucho más conscientes de aspectos tales c o m o la tensión del profesor, el miedo de los alumnos hacia las matemáticas, los efectos de las percepciones interpersonales, las interacciones entre a l um­nos, la posición de poder que ostenta el profesor en la clase, y las estrategias de los a lumnos para arreglárselas con su relativa falta de poder. D e los estu­dios de estos investigadores he tratado de extraer los aspectos que considero más significativos para nosotros en la educación matemática.

Fundamental para nuestra comprensión de la clase de matemáticas es el hecho de que se está tratando con gente. Puede parecer trivial dec i r lo , pero este hecho puede fácilmente pasarse por alto cuando se discuten detalles de los componentes de una lección, por ejemplo, o de la habi l idad del estu­diante, o de la motivación, o de cualquier otro constructo psicológico o matemático. Es cierto, naturalmente, que el escenario de clase, al ser parte de una institución, inst i tucional iza a los participantes. Pero cada grupo de estudiantes de un curso s igue s i endo una combinación única de gente — t i e n e su propia identidad, su propia atmósfera, sus propios eventos signi-

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ficativos, sus propios placeres y sus propias crisis. C o m o resultado de e l lo , tiene su propia historia creada, compar t ida y recordada por la gente del grupo.

N=m corolar io de importancia para el profesor es que cada ind iv iduo de la clase crea su propia y única interpretación acerca del resto de participantes, de sus metas, de las interacciones entre él y los otros y de todos los eventos, tareas y contenidos matemáticos que ocurren en la clase. "Ob je tos " tales c o m o las habi l idades de ios estudiantes, el s igni f icado matemático, el c o n o ­c imiento del profesor y las reglas de comportamiento no existen c o m o he­chos objetivos sino que son los productos indiv iduales de la interpretación de cada persona.

El reconoc imiento de esta interpretación soc ia l de los fenómenos me l leva a proponer una nueva orientación para la educación matemática. Esta o r i en ­tación ve la enseñanza de matemáticas en la clase c o m o el control de la organización y la dinámica de la clase páralos propósitos de compartir y

: "desarrollar el significado matemático. Esta orientación tieneías siguientes características: 1) sitúa al profesor en relación con todo el grupo de la clase;

2) enfatiza la naturaleza dinámica e interactiva de la enseñanza;

3) da por sentado la naturaleza ¡nterpersona! de la enseñanza, i.e., parte del supuesto de que el profesor está trabajando con seres que aprenden, no meramente, est imulando que se dé el aprendizaje;

4) reconoce la semántica que comparten los términos " conoce r " y " c o n o c i ­miento" , con lo que refleja la importanc ia tanto del contenido c o m o del contexto;

5) toma en cuenta el conoc imiento , las habi l idades y sentimientos con que llega el estudiante, pon iendo énfasis en el desarrol lo más que en un enfo­que teórico del aprendizaje;

6) enfatiza el desarrol lo de s ignif icado matemático c o m o el propósito gene­ral de la enseñanza de las matemáticas, inc luyendo tanto metas cognit i-vas c o m o metas afectivas;

7) reconoce la existencia de muchos métodos y organizaciones de clase, i.e., no exc luye por definición n inguna técnica metodológica ya estable­c ida ;

B) es una concepción que permite el desarrol lo del profesor a través de la formación in ic ia l y la posterior a e l la .

I .i idea de signif icado matemático es cruc ia l para esta visión de la enseñan­za i n I.i i l.ise. Se trata de una noción que quizás merece clarificarse aquí.

L A C O N S T R U C C I Ó N S O C I A L D E L S I G N I F I C A D O : ¿ U N D E S A R R O L L O S I G N I F I C A T I V O , 2 3

Lo que busco enfatizar es la naturaleza personal del signif icado de cua l ­quier nueva idpa matemática. Una nueva idea es significativa en la medirla" en que se conecte con el conoc imiento presente del ind iv iduo. Puede co ­nectarse con el conoc imiento individual acerca de otros temas e ¡deas en matemáticas, pero también puede conectarse con el conoc imiento de otras materias distintas a las matemáticas. Bien puede relacionarse con imágenes mentales, analogías y metáforas, pero estas conexiones serán de diferente t ipo. La ¡dea puede ser un e jemplo de otra idea matemática (porque esa es la naturaleza de las matemáticas) y bien puede generar ejemplos por sí misma. Por último, y quizás más importante, puede conectarse con el conoc im ien ­to indiv idual de situaciones de la v ida real. Es obv io , por tanto, que no habrá dos personas con el mismo conjunto de conexiones_y_significados y. en particular, el profesor y el estudiante tendrán significados muy diferentes asociados con las matemáticas. El profesor conoceráTaTTdeal~qüe~está eñ-señando en términos de las conexiones que tienen con el resto de su cono ­c imiento matemático. El estudiante, sin embargo, es el constructor de signi­ficado (Postman y Weingartner, 1971) en la empresa educativa y debe esta­blecer las conexiones entre la nueva ¡dea y su conoc imiento previo, si se quiere que aprenda significativamente la ¡dea. C o m o dice T h o m (1 973), "El problema real que se le presenta a la enseñanza de las matemáticas no es el del rigor, s ino el de l desarrollo de significado, el de la existencia de los objetos matemáticos". La meta educativa que aquí nos preocupa es la de compartir y desarrollar s ignif icado matemático. ~7 " ' "~ _

Esta concepción me ha permit ido enfocar el análisis en tres aspectos funda­mentales:

1/ Actividades matemáticas. A s p e c t o con el que se b u s c a enfa t izar el involucramiento del estudiante con las matemáticas y no la presentación del contenido por parte del profesor.

tp Comunicación. Aspecto con el que se busca enfatizar el proceso y el pro­ducto de compart ir s ignif icados.

(fy Negociación. Aspecto con el que se busca enfatizar la asimetría de la rela­ción profesor/alumno en el desarrollo de significados compart idos.

Ya he ilustrado la importancia de la idea de las actividades matemáticas, pero aquí se requieren algunas otras consideraciones. D i c h a ¡dea es signif i ­cativa para las decisiones del profesor previas a la clase, por cuanto éste ya no piensa en cómo va a presentar el contenido durante la clase sino que tiene que hacer la conversión didáctica del contenido y del conoc imiento matemáticos a las actividades matemáticas adecuadas para los estudiantes. En el Reino U n i d o seguimos "pensando" demasiado acerca del contenido, el conoc imiento y los temas matemáticos y no mucho acerca de lo que será la actividad de los estudiantes en clase. Enfocar la atención en actividades

2 2 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

ficativos, sus propios placeres y sus propias crisis. C o m o resultado de e l lo , tiene su propia historia creada, compar t ida y recordada por la gente del grupo.

N=m corolar io de importancia para el profesor es que cada ind iv iduo de la clase crea su propia y única interpretación acerca del resto de participantes, de sus metas, de las interacciones entre él y los otros y de todos los eventos, tareas y contenidos matemáticos que ocurren en la clase. "Ob je tos " tales c o m o las habi l idades de ios estudiantes, el s igni f icado matemático, el c o n o ­c imiento del profesor y las reglas de comportamiento no existen c o m o he­chos objetivos sino que son los productos indiv iduales de la interpretación de cada persona.

El reconoc imiento de esta interpretación soc ia l de los fenómenos me l leva a proponer una nueva orientación para la educación matemática. Esta o r i en ­tación ve la enseñanza de matemáticas en la clase c o m o el control de la organización y la dinámica de la clase páralos propósitos de compartir y

: "desarrollar el significado matemático. Esta orientación tieneías siguientes características: 1) sitúa al profesor en relación con todo el grupo de la clase;

2) enfatiza la naturaleza dinámica e interactiva de la enseñanza;

3) da por sentado la naturaleza ¡nterpersona! de la enseñanza, i.e., parte del supuesto de que el profesor está trabajando con seres que aprenden, no meramente, est imulando que se dé el aprendizaje;

4) reconoce la semántica que comparten los términos " conoce r " y " c o n o c i ­miento" , con lo que refleja la importanc ia tanto del contenido c o m o del contexto;

5) toma en cuenta el conoc imiento , las habi l idades y sentimientos con que llega el estudiante, pon iendo énfasis en el desarrol lo más que en un enfo­que teórico del aprendizaje;

6) enfatiza el desarrol lo de s ignif icado matemático c o m o el propósito gene­ral de la enseñanza de las matemáticas, inc luyendo tanto metas cognit i-vas c o m o metas afectivas;

7) reconoce la existencia de muchos métodos y organizaciones de clase, i.e., no exc luye por definición n inguna técnica metodológica ya estable­c ida ;

B) es una concepción que permite el desarrol lo del profesor a través de la formación in ic ia l y la posterior a e l la .

I .i idea de signif icado matemático es cruc ia l para esta visión de la enseñan­za i n I.i i l.ise. Se trata de una noción que quizás merece clarificarse aquí.

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Lo que busco enfatizar es la naturaleza personal del signif icado de cua l ­quier nueva idpa matemática. Una nueva idea es significativa en la medirla" en que se conecte con el conoc imiento presente del ind iv iduo. Puede co ­nectarse con el conoc imiento individual acerca de otros temas e ¡deas en matemáticas, pero también puede conectarse con el conoc imiento de otras materias distintas a las matemáticas. Bien puede relacionarse con imágenes mentales, analogías y metáforas, pero estas conexiones serán de diferente t ipo. La ¡dea puede ser un e jemplo de otra idea matemática (porque esa es la naturaleza de las matemáticas) y bien puede generar ejemplos por sí misma. Por último, y quizás más importante, puede conectarse con el conoc im ien ­to indiv idual de situaciones de la v ida real. Es obv io , por tanto, que no habrá dos personas con el mismo conjunto de conexiones_y_significados y. en particular, el profesor y el estudiante tendrán significados muy diferentes asociados con las matemáticas. El profesor conoceráTaTTdeal~qüe~está eñ-señando en términos de las conexiones que tienen con el resto de su cono ­c imiento matemático. El estudiante, sin embargo, es el constructor de signi­ficado (Postman y Weingartner, 1971) en la empresa educativa y debe esta­blecer las conexiones entre la nueva ¡dea y su conoc imiento previo, si se quiere que aprenda significativamente la ¡dea. C o m o dice T h o m (1 973), "El problema real que se le presenta a la enseñanza de las matemáticas no es el del rigor, s ino el de l desarrollo de significado, el de la existencia de los objetos matemáticos". La meta educativa que aquí nos preocupa es la de compartir y desarrollar s ignif icado matemático. ~7 " ' "~ _

Esta concepción me ha permit ido enfocar el análisis en tres aspectos funda­mentales:

1/ Actividades matemáticas. A s p e c t o con el que se b u s c a enfa t izar el involucramiento del estudiante con las matemáticas y no la presentación del contenido por parte del profesor.

tp Comunicación. Aspecto con el que se busca enfatizar el proceso y el pro­ducto de compart ir s ignif icados.

(fy Negociación. Aspecto con el que se busca enfatizar la asimetría de la rela­ción profesor/alumno en el desarrollo de significados compart idos.

Ya he ilustrado la importancia de la idea de las actividades matemáticas, pero aquí se requieren algunas otras consideraciones. D i c h a ¡dea es signif i ­cativa para las decisiones del profesor previas a la clase, por cuanto éste ya no piensa en cómo va a presentar el contenido durante la clase sino que tiene que hacer la conversión didáctica del contenido y del conoc imiento matemáticos a las actividades matemáticas adecuadas para los estudiantes. En el Reino U n i d o seguimos "pensando" demasiado acerca del contenido, el conoc imiento y los temas matemáticos y no mucho acerca de lo que será la actividad de los estudiantes en clase. Enfocar la atención en actividades

2 4 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

matemáticas para los estudiantes puede mejorar esta situación y puede ha­cer de la act iv idad de los estudiantes el centro de las preocupaciones de los profesores.

Esto no sólo afecta lo que sucede antes de la clase sino también la toma de decisiones interactiva del profesor. C o m o resultado, la enseñanza se ocupa más de la puesta en marcha, el control , la organización y el aprovecha­miento de la act iv idad de los a lumnos. Hay una mayor sensación de un crecimiento orgánico dinámico en la clase que de una lista compart imentada de conoc imiento específico o habi l idades que deben ser enseñados a partir de nada y en un determinado p lazo .

Otro aspecto que la act iv idad matemática nos obl iga a atender es el trabajo colaborat ivo. Los estudiantes valoran el trabajo colaborat ivo, pero los pro ­fesores de matemáticas en el Reino U n i d o tienen una actitud ambivalente hacia ese tipo de trabajo — l a mayoría parece preferir que los a lumnos tra­bajen por sí solos pero dirán cosas c o m o "puede trabajar con su amigo si no hace demasiado ru ido" . De hecho, en las clases de matemáticas del Reino Un ido existe mucho aprendizaje colaborat ivo, pero gran parte de él se c o n ­sidera secreto y con frecuencia "¡legal" en vez de ser planeado de forma del iberada y est imulado por los profesores. Si sólo se pudieran desarrollar más actividades matemáticas para pequeños grupos, se podría animar a los profesores a tener una actitud más positiva hacia el trabajo colaborat ivo e interdependiente de la que t ienen actualmente.

La comunicación no es un nuevo constructo en la educación, pero en mi opinión nunca ha s ido bien ana l izada ni puesta en juego en la educación matemática. En general, en el Reino Un ido , las clases de matemáticas son lugares donde se hace matemáticas; en tales espacios no se comun i can o discuten signif icados matemáticos. Los significados y la comprensión se re­fieren a las conexiones que uno establece entre ¡deas — u n a nueva idea será significativa para un estudiante en la medida en que se conecte bien con las ideas y significados previos del a lumno. Por tanto, la comunicación en una clase de matemáticas se ocupa de compartir significados y conexiones de índole matemática. Sólo podemos compartir ideas exponiéndolas, y la charla es claramente un vehículo de la mayor importancia para exponer conex io ­nes. También son importantes el s imbol ismo, el uso de diagramas para ex­presar imágenes, los ejemplos de diferentes contextos, las analogías y las metáforas, lo mismo que los recuentos y las descripciones escritas. De a lgu­nos de estos (símbolos, def inic iones. . . ) , sabemos relativamente más; de otros (analogías, metáforas, contextos), sabemos relativamente menos. Más aun, al al constructo comunicación se le añade la dimensión del compartir, en-ti es el proceso de tres vías, de a lumno a profesor, lo mismo que de profe-si >i a a lumno, y de a lumno a a lumno, nos muestra qué tan ignorantes somos ,i< ei< a de las analogías, metáforas, contextos, ejemplos, etc. de los estu-

L A C O N S T R U C C I Ó N S O C I A L D E L S I G N I F I C A D O : ¿ U N D E S A R R O L L O S I G N I F I C A T I V O , 2 5

diantes y acerca de los métodos que posibil itan que todo el lo se exponga y se comparta. Por e jemplo, se pueden desarrollar actividades que animen v legitimen el exponery el compartir, tales como investigaciones que involucren la creación de s imbol ismo, o proyectos que se basen en el conoc imiento del ambiente que rodea a los a lumnos, o presentaciones de ideas matemáticas y sus analogías diagramadas (rectas numéricas, etc.). Varios estudios de inves­tigación nos han mostrado que el profesor es quien más habla en la clase. M e gustaría ver desarrollos que muestren a los profesores cómo se puede animar a los estudiantes para que participen más en la act iv idad de compar­tir s ign i f i cado matemático. P ienso que explotar las ideas de la c o m u n i ­cación de dos y tres vías es una forma fructífera de avanzar en este sent ido.

Si se acepta que la comunicación tiene que ver con compartir significados, entonces la nepoci^cjón gira en torno al desarrollo de significados. Sin que­rer sugerir que el profesor sea la autoridad para las matemáticas en el esce­nario de la clase, es un hecho que la sociedad da poder y autoridad al profesor con relación a la educación específica de sus a lumnos. Esta autori­dad signif ica que el profesor establece para los estudiantes ciertas metas e intenciones que son diferentes de las metas e intenciones de los alumnos en la clase. La negociación es una interacción dir igida por metas, en la que los participantes buscan a lcanzar sus respectivas metas. Podemos incluir en esta ¡dea la elaboración de un modus vivendi en la clase, i.e., las reglas de procedimiento, de d isc ip l ina y comportamiento que los profesores conocen ya tanto. Lo que el constructo negociación también ofrece es una ¡dea de modus sciendi, una forma de saber, que es lo que el profesor está tratando de desarrollar mediante el uso de sus propios conoc imiento y comprensión matemáticos, necesariamente más ricos. Este constructo entonces captura el necesario desequil ibrio de poder implícito en la relación enseñanza/apren­dizaje, pero lo describe en forma tal que podemos ver alternativas a la s im­ple imposición del conoc imiento de parte del poderoso profesor.

Por lo tanto, esto nos lleva a considerar cómo estimular a los profesores para que usen su poder para no imponer su conoc imiento a los estudiantes. Nos hace pensar más acerca de cómo pueden los profesores impulsar el proceso de negociación, cómo pueden animar a los estudiantes a jugar un papel mayor en el desarrollo de sus propios significados matemáticos, cómo pue­den reconocer más posit ivamente el contexto y la estructura de metas de los a lumnos, lo mismo que cómo podrían los profesores evaluar mejor el desa­rrollo de signif icados.

En conclusión, permítaseme sugerir entonces que esta concepción de cons­trucción social y los tres constructos, a saber, actividades, comunicación y negociación nos ofrecen muchas avenidas ricas para explorar en la investi­gación. C o m o todo buen constructo, ellos remozan lo que sabemos al res-

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matemáticas para los estudiantes puede mejorar esta situación y puede ha­cer de la act iv idad de los estudiantes el centro de las preocupaciones de los profesores.

Esto no sólo afecta lo que sucede antes de la clase sino también la toma de decisiones interactiva del profesor. C o m o resultado, la enseñanza se ocupa más de la puesta en marcha, el control , la organización y el aprovecha­miento de la act iv idad de los a lumnos. Hay una mayor sensación de un crecimiento orgánico dinámico en la clase que de una lista compart imentada de conoc imiento específico o habi l idades que deben ser enseñados a partir de nada y en un determinado p lazo .

Otro aspecto que la act iv idad matemática nos obl iga a atender es el trabajo colaborat ivo. Los estudiantes valoran el trabajo colaborat ivo, pero los pro ­fesores de matemáticas en el Reino U n i d o tienen una actitud ambivalente hacia ese tipo de trabajo — l a mayoría parece preferir que los a lumnos tra­bajen por sí solos pero dirán cosas c o m o "puede trabajar con su amigo si no hace demasiado ru ido" . De hecho, en las clases de matemáticas del Reino Un ido existe mucho aprendizaje colaborat ivo, pero gran parte de él se c o n ­sidera secreto y con frecuencia "¡legal" en vez de ser planeado de forma del iberada y est imulado por los profesores. Si sólo se pudieran desarrollar más actividades matemáticas para pequeños grupos, se podría animar a los profesores a tener una actitud más positiva hacia el trabajo colaborat ivo e interdependiente de la que t ienen actualmente.

La comunicación no es un nuevo constructo en la educación, pero en mi opinión nunca ha s ido bien ana l izada ni puesta en juego en la educación matemática. En general, en el Reino Un ido , las clases de matemáticas son lugares donde se hace matemáticas; en tales espacios no se comun i can o discuten signif icados matemáticos. Los significados y la comprensión se re­fieren a las conexiones que uno establece entre ¡deas — u n a nueva idea será significativa para un estudiante en la medida en que se conecte bien con las ideas y significados previos del a lumno. Por tanto, la comunicación en una clase de matemáticas se ocupa de compartir significados y conexiones de índole matemática. Sólo podemos compartir ideas exponiéndolas, y la charla es claramente un vehículo de la mayor importancia para exponer conex io ­nes. También son importantes el s imbol ismo, el uso de diagramas para ex­presar imágenes, los ejemplos de diferentes contextos, las analogías y las metáforas, lo mismo que los recuentos y las descripciones escritas. De a lgu­nos de estos (símbolos, def inic iones. . . ) , sabemos relativamente más; de otros (analogías, metáforas, contextos), sabemos relativamente menos. Más aun, al al constructo comunicación se le añade la dimensión del compartir, en-ti es el proceso de tres vías, de a lumno a profesor, lo mismo que de profe-si >i a a lumno, y de a lumno a a lumno, nos muestra qué tan ignorantes somos ,i< ei< a de las analogías, metáforas, contextos, ejemplos, etc. de los estu-

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diantes y acerca de los métodos que posibil itan que todo el lo se exponga y se comparta. Por e jemplo, se pueden desarrollar actividades que animen v legitimen el exponery el compartir, tales como investigaciones que involucren la creación de s imbol ismo, o proyectos que se basen en el conoc imiento del ambiente que rodea a los a lumnos, o presentaciones de ideas matemáticas y sus analogías diagramadas (rectas numéricas, etc.). Varios estudios de inves­tigación nos han mostrado que el profesor es quien más habla en la clase. M e gustaría ver desarrollos que muestren a los profesores cómo se puede animar a los estudiantes para que participen más en la act iv idad de compar­tir s ign i f i cado matemático. P ienso que explotar las ideas de la c o m u n i ­cación de dos y tres vías es una forma fructífera de avanzar en este sent ido.

Si se acepta que la comunicación tiene que ver con compartir significados, entonces la nepoci^cjón gira en torno al desarrollo de significados. Sin que­rer sugerir que el profesor sea la autoridad para las matemáticas en el esce­nario de la clase, es un hecho que la sociedad da poder y autoridad al profesor con relación a la educación específica de sus a lumnos. Esta autori­dad signif ica que el profesor establece para los estudiantes ciertas metas e intenciones que son diferentes de las metas e intenciones de los alumnos en la clase. La negociación es una interacción dir igida por metas, en la que los participantes buscan a lcanzar sus respectivas metas. Podemos incluir en esta ¡dea la elaboración de un modus vivendi en la clase, i.e., las reglas de procedimiento, de d isc ip l ina y comportamiento que los profesores conocen ya tanto. Lo que el constructo negociación también ofrece es una ¡dea de modus sciendi, una forma de saber, que es lo que el profesor está tratando de desarrollar mediante el uso de sus propios conoc imiento y comprensión matemáticos, necesariamente más ricos. Este constructo entonces captura el necesario desequil ibrio de poder implícito en la relación enseñanza/apren­dizaje, pero lo describe en forma tal que podemos ver alternativas a la s im­ple imposición del conoc imiento de parte del poderoso profesor.

Por lo tanto, esto nos lleva a considerar cómo estimular a los profesores para que usen su poder para no imponer su conoc imiento a los estudiantes. Nos hace pensar más acerca de cómo pueden los profesores impulsar el proceso de negociación, cómo pueden animar a los estudiantes a jugar un papel mayor en el desarrollo de sus propios significados matemáticos, cómo pue­den reconocer más posit ivamente el contexto y la estructura de metas de los a lumnos, lo mismo que cómo podrían los profesores evaluar mejor el desa­rrollo de signif icados.

En conclusión, permítaseme sugerir entonces que esta concepción de cons­trucción social y los tres constructos, a saber, actividades, comunicación y negociación nos ofrecen muchas avenidas ricas para explorar en la investi­gación. C o m o todo buen constructo, ellos remozan lo que sabemos al res-

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pecto y nos dirigen hacia lo que necesitamos saber. C o m o resultado, cons i ­dero que urge prestar más atención a lo siguiente:

• el desarrollo de actividades, particularmente aquellas que explotan el contexto de los estudiantes y que se adecúan para trabajo en pequeños grupos;

• el análisis de las relaciones entre actividades y temas matemáticos;

• estudios acerca de las decisiones interactivas del profesor cuando los estudiantes están involucrados en actividades de diferentes t ipos;

• estudios de las técnicas de los profesores para estimular la act iv idad de compartir signif icados matemáticos;

• el análisis de las discusiones entre estudiantes, desde la perspectiva de compartir;

• estudios del proceso mediante el cual se pueden compart ir las imáge­nes visuales;

• el análisis de la toma de decisiones del profesor en lo que tiene que ver con la autoridad matemática;

• el análisis de las estrategias que los profesores tienen para facil itar la negociación de signif icados;

• el desarrollo de métodos de evaluación del desarrollo de signif icado.

CAP ÍTULO 2

LAS MATEMÁTICAS OCCIDENTALES: EL ARMA SECRETA DEL

IMPERIALISMO CULTURAL De todas las materias escolares impuestas a los alumnos aborígenes en las escuelas colonia les , las matemáticas fueron consideradas probablemente c o m o la materia con menor carga cultural ; esta creencia prevalece todavía. Si bien se han dado polémicas en el campo de la educación con respecto a qué lengua(s) debería(n) enseñarse, qué historia o religión, y si, por ejemplo, "Civilización francesa" es una materia escolar apropiada para a lumnos que viven a miles de kilómetros de Francia, las matemáticas se han percibido siempre c o m o algo universal y, portante , independiente de la cultura. Esta materia tuvo en los tiempos coloniales — y para mucha gente sigue tenién­do la h o y — la índole de fenómeno culturalmente neutro, ajeno a las aguas turbulentas en que se debaten educación e imperia l ismo.

Este artículo cuestiona tal mito y sitúa lo que muchos l laman hoy matemáti­cas occidentales en la posición que merece dentro de la polémica, a saber, c o m o una de las armas más poderosas en la imposición de la cultura o c c i ­dental .

Hasta hace más o menos qu ince años', el consenso convenc iona l era que Tas matemáticas const i tuyenun conoc imiento independiente de la cultura? El argumento popular era que, después de todo, dos y dos son cliatroTeT producto de dos números negativos es posit ivo, la suma de los ángulos inte­riores de cualquier triángulo mide 180 grados. Se trata de enunciados ver­daderos en cualquier parte del mundo ; tienen va l idez universal. Aceptado esto, ¿se deduce por consiguiente que las matemáticas deben estar libres de la inf luencia de cualquier cultura?

N o hay duda de que verdades matemáticas c o m o las enunciadas son un i ­versales. Son válidas en todas partes, debido a su naturaleza semánticamente abstracta y general. De modo que sin importar dónde se halle uno, si dibuja un triángulo p lano, mide todos los ángulos en grados con un transportador y suma esas medidas, el total se aproximará siempre a 180 grados. (Lo de la

1. Este a r t i c u l o f u e p u b l i c a d o e n 1 9 9 0 . [N.E.]

2 6 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

pecto y nos dirigen hacia lo que necesitamos saber. C o m o resultado, cons i ­dero que urge prestar más atención a lo siguiente:

• el desarrollo de actividades, particularmente aquellas que explotan el contexto de los estudiantes y que se adecúan para trabajo en pequeños grupos;

• el análisis de las relaciones entre actividades y temas matemáticos;

• estudios acerca de las decisiones interactivas del profesor cuando los estudiantes están involucrados en actividades de diferentes t ipos;

• estudios de las técnicas de los profesores para estimular la act iv idad de compartir signif icados matemáticos;

• el análisis de las discusiones entre estudiantes, desde la perspectiva de compartir;

• estudios del proceso mediante el cual se pueden compart ir las imáge­nes visuales;

• el análisis de la toma de decisiones del profesor en lo que tiene que ver con la autoridad matemática;

• el análisis de las estrategias que los profesores tienen para facil itar la negociación de signif icados;

• el desarrollo de métodos de evaluación del desarrollo de signif icado.

CAP ÍTULO 2

LAS MATEMÁTICAS OCCIDENTALES: EL ARMA SECRETA DEL

IMPERIALISMO CULTURAL De todas las materias escolares impuestas a los alumnos aborígenes en las escuelas colonia les , las matemáticas fueron consideradas probablemente c o m o la materia con menor carga cultural ; esta creencia prevalece todavía. Si bien se han dado polémicas en el campo de la educación con respecto a qué lengua(s) debería(n) enseñarse, qué historia o religión, y si, por ejemplo, "Civilización francesa" es una materia escolar apropiada para a lumnos que viven a miles de kilómetros de Francia, las matemáticas se han percibido siempre c o m o algo universal y, portante , independiente de la cultura. Esta materia tuvo en los tiempos coloniales — y para mucha gente sigue tenién­do la h o y — la índole de fenómeno culturalmente neutro, ajeno a las aguas turbulentas en que se debaten educación e imperia l ismo.

Este artículo cuestiona tal mito y sitúa lo que muchos l laman hoy matemáti­cas occidentales en la posición que merece dentro de la polémica, a saber, c o m o una de las armas más poderosas en la imposición de la cultura o c c i ­dental .

Hasta hace más o menos qu ince años', el consenso convenc iona l era que Tas matemáticas const i tuyenun conoc imiento independiente de la cultura? El argumento popular era que, después de todo, dos y dos son cliatroTeT producto de dos números negativos es posit ivo, la suma de los ángulos inte­riores de cualquier triángulo mide 180 grados. Se trata de enunciados ver­daderos en cualquier parte del mundo ; tienen va l idez universal. Aceptado esto, ¿se deduce por consiguiente que las matemáticas deben estar libres de la inf luencia de cualquier cultura?

N o hay duda de que verdades matemáticas c o m o las enunciadas son un i ­versales. Son válidas en todas partes, debido a su naturaleza semánticamente abstracta y general. De modo que sin importar dónde se halle uno, si dibuja un triángulo p lano, mide todos los ángulos en grados con un transportador y suma esas medidas, el total se aproximará siempre a 180 grados. (Lo de la

1. Este a r t i c u l o f u e p u b l i c a d o e n 1 9 9 0 . [N.E.]

A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

aproximación se debe solamente a las imperfecciones del dibujo y de la medición; si uno fuera capaz de trazar un triángulo ideal y perfecto, la suma daría exactamente 1 80 grados.) Dado que verdades matemáticas c o m o es­tas son abstracciones del mundo real, ellas son necesariamente indepen­dientes del contexto y son universales.

Pero, ¿de dónde v ienen los grados?, ¿por qué el total es 180?, ¿por qué no 200 o 100? Más aun, ¿por qué siquiera estamos interesados en los triángulos y sus propiedades? La respuesta a todas estas preguntas es en esencia "por ­que algunas personas determinaron que así debería ser". Las ideas matemá-ticas, c o m o toda idea, son construidas por humanos; tienen una historia

La literatura antropológica demuestra, a todos los que quieran verlo, que las matemáticas enseñadas en la mayoría de las escuelas actuales no son las -únicas que existen. Por ejemplo, ahora somos conscientes del hecho de que existen muchos sistemas de conteo diferentes en el mundo. En Papua Nue ­va Gu inea , Lean ha documentado cerca de 600 (allí hay más de 750 len ­guas) que contienen varios c ic los de números, no todos en base d iez (Lean, 1986; Zaslavsky, 1973; Closs, 1986). Además del conteo digital (con los dedos), hay documentación sobre uso de conteo corporal en el que se seña­la una parte del cuerpo y se emplea el respectivo nombre como un número. Los números se registran también en cuerdas anudadas, se graban en table­tas de madera o en rocas, se usan cuentas de collar, lo mismo que muchos sistemas escritos de símbolos numéricos (Menninger, 1969). La r iqueza exis­tente es ai mismo t iempo fascinante y provocadora para cualquiera que imagine, inic ia lmente, que el suyo es el sistema de conteo y de registro numérico.

Pero no sólo en la numeración se encuentran diferencias interesantes. La concepción de espacio que subyace a la geometría eucl¡diana es también sólo una — q u e se basa en particular sobre las ideas atomísticas y reificantes de puntos, rectas, planos y sólidos. Existen otras concepciones, c o m o la de los navajos, en la que el espacio no se subdiv ide ni se objet iv iza y en la que todo se encuentra en movimiento (Pinxten, van Dooren y Harvey, 1983). Quizás en niveles aun más fundamentales, tenemos hoy más consc ienc ia de la existencia de formas de clasificación diferentes a las de los sistemas jerárquicos occidentales. De nuevo, Lancy identificó en Papua Nueva G u i ­nea, lo que llamó un sistema de clasificación por bordes que es más lineal que jerárquica (Lancy, 1983; Phi lp, 1973). El lenguaje y la lógica del grupo indoeuropeo han desarrollado capas de términos abstractos dentro de la matriz de clasificación jerárquica, pero esto no ha ocurr ido en todos los pupo ' , lingüísticos, lo que da c o m o resultado lógicas diferentes y maneras dileienles <!«• relacionar los fenómenos.

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

Hechos c o m o los anotados anteriormente cuestionan supuestos fundamen­tales y antiguas creencias acerca de las matemáticas. El reconocimiento de s imbol izac iones de aritméticas, geometrías y lógicas alternativas impl ica por lo tanto que deberíamos formularnos la pregunta acerca de la existencia de sistemas matemáticos alternativos. A lgunos podrían argumentar que he­chos c o m o los menc ionados demuestran ya la existencia de lo que ellos l laman etnomatemáticas, un conjunto de ideas matemáticas más loca l i za ­das y específicas que pueden no apuntar hacia unas matemáticas tan gene­rales ni tan sistematizadas c o m o las de la "corriente predominante" (cf. D 'Ambros io , 1985; Gerdes, 1986). Claramente, es posible ahora proponer la tesis de que todas las culturas han generado ideas matemáticas, del rñTs^ mo modo que han generado el lenguajeTTa religToñT la moral , loTslsIerñas Be parentescóT 6~las costumbres^LasTmalemáticas comienzan a entenderse ahora c o m o un fenómeno pancultural.^ ~~ " ~~—

Por consiguiente, debemos tener mayor cu idado en adelante con las deno­minaciones; no podemos referirnos escuetamente a las matemáticas a me­nos que nos refiramos a la forma genérica (como el lenguaje, la religión, etc.). La clase particular de matemáticas, que actualmente es la materia internacional izada que la mayoría de nosotros reconoce, es un producto de una historia cultural ; y durante los tres últimos siglos de esa historia se fue desarrol lando c o m o una parte de la cultura europea occidental (si es que acaso este es un término bien definido). Por eso el título de este artículo menc iona las matemáticas occidentales. En cierto sentido, tal término tam­bién es inapropiado, ya que muchas culturas han contr ibuido a este conoc i ­miento y en el mundo hay muchos matemáticos profesionales que objeta­rían el ser considerados c o m o investigadores culturales occidentales que desarrollan una parte de la cultura occ identa l . En real idad, la historia de las matemáticas occidentales está siendo reescrita en el presente a medida que sale a la luz más ev idenc ia ; pero volveré sobre esto luego. N o obstante, a mi modo de ver, sí cabe con propiedad identificar las matemáticas occ identa ­les ya que fue la cultura occ identa l , más específicamente la cultura europea occ identa l , la que desempeñó un papel poderoso en lograr las metas del imper ia l ismo. 3

A l parecer hubo tres agentes principales mediadores en el proceso de inva­sión cultural en los países co lon izados por las matemáticas occidentales: la act iv idad económica, la administración y la educación. 4 En relación con la

2 . El término pancultural se u t i l i z a p a r a i n d i c a r e l s e n t i d o d e q u e t o d a s las c u l t u r a s se i n v o l u c r a n e n a c t i v i d a d e s matemát icas . 3 . A f í na l e s d e l s i g l o X IX y c o m i e n z o s d e l X X también se p u e d e r e c o n o c e r l a contr ibuc ión c r e c i e n t e d e las i n f l u e n c i a s n o r t e a m e r i c a n a s y a u s t r a l i a n a s q u e , s i n e m b a r g o , d e r i v a n d e la t radic ión c u l t u r a l d e l a E u r o p a O c c i d e n t a l . 4 . U n c u a r t o c a n d i d a t o podría ser la tecnología . Su i n f l u e n c i a es c l a r a (ver, p o r e j e m p l o , H e a d r i c k (1981 ) ) ; p e r o es m e n o s e v i d e n t e l a re lac ión q u e p u e d a t ene r l a tecnología c o n las matemát icas . A m e d i d a q u e las c i e n c i a s y las matemát icas d e s a r r o l l a r o n p o d e r y c o n t r o l , s i n d u d a , i n f l u y e r o n la tecnología, p a r t i c u l a r m e n t e e n los últ imos t i e m p o s d e la e r a i m p e r i a l i s t a .

A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

aproximación se debe solamente a las imperfecciones del dibujo y de la medición; si uno fuera capaz de trazar un triángulo ideal y perfecto, la suma daría exactamente 1 80 grados.) Dado que verdades matemáticas c o m o es­tas son abstracciones del mundo real, ellas son necesariamente indepen­dientes del contexto y son universales.

Pero, ¿de dónde v ienen los grados?, ¿por qué el total es 180?, ¿por qué no 200 o 100? Más aun, ¿por qué siquiera estamos interesados en los triángulos y sus propiedades? La respuesta a todas estas preguntas es en esencia "por ­que algunas personas determinaron que así debería ser". Las ideas matemá-ticas, c o m o toda idea, son construidas por humanos; tienen una historia

La literatura antropológica demuestra, a todos los que quieran verlo, que las matemáticas enseñadas en la mayoría de las escuelas actuales no son las -únicas que existen. Por ejemplo, ahora somos conscientes del hecho de que existen muchos sistemas de conteo diferentes en el mundo. En Papua Nue ­va Gu inea , Lean ha documentado cerca de 600 (allí hay más de 750 len ­guas) que contienen varios c ic los de números, no todos en base d iez (Lean, 1986; Zaslavsky, 1973; Closs, 1986). Además del conteo digital (con los dedos), hay documentación sobre uso de conteo corporal en el que se seña­la una parte del cuerpo y se emplea el respectivo nombre como un número. Los números se registran también en cuerdas anudadas, se graban en table­tas de madera o en rocas, se usan cuentas de collar, lo mismo que muchos sistemas escritos de símbolos numéricos (Menninger, 1969). La r iqueza exis­tente es ai mismo t iempo fascinante y provocadora para cualquiera que imagine, inic ia lmente, que el suyo es el sistema de conteo y de registro numérico.

Pero no sólo en la numeración se encuentran diferencias interesantes. La concepción de espacio que subyace a la geometría eucl¡diana es también sólo una — q u e se basa en particular sobre las ideas atomísticas y reificantes de puntos, rectas, planos y sólidos. Existen otras concepciones, c o m o la de los navajos, en la que el espacio no se subdiv ide ni se objet iv iza y en la que todo se encuentra en movimiento (Pinxten, van Dooren y Harvey, 1983). Quizás en niveles aun más fundamentales, tenemos hoy más consc ienc ia de la existencia de formas de clasificación diferentes a las de los sistemas jerárquicos occidentales. De nuevo, Lancy identificó en Papua Nueva G u i ­nea, lo que llamó un sistema de clasificación por bordes que es más lineal que jerárquica (Lancy, 1983; Phi lp, 1973). El lenguaje y la lógica del grupo indoeuropeo han desarrollado capas de términos abstractos dentro de la matriz de clasificación jerárquica, pero esto no ha ocurr ido en todos los pupo ' , lingüísticos, lo que da c o m o resultado lógicas diferentes y maneras dileienles <!«• relacionar los fenómenos.

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Hechos c o m o los anotados anteriormente cuestionan supuestos fundamen­tales y antiguas creencias acerca de las matemáticas. El reconocimiento de s imbol izac iones de aritméticas, geometrías y lógicas alternativas impl ica por lo tanto que deberíamos formularnos la pregunta acerca de la existencia de sistemas matemáticos alternativos. A lgunos podrían argumentar que he­chos c o m o los menc ionados demuestran ya la existencia de lo que ellos l laman etnomatemáticas, un conjunto de ideas matemáticas más loca l i za ­das y específicas que pueden no apuntar hacia unas matemáticas tan gene­rales ni tan sistematizadas c o m o las de la "corriente predominante" (cf. D 'Ambros io , 1985; Gerdes, 1986). Claramente, es posible ahora proponer la tesis de que todas las culturas han generado ideas matemáticas, del rñTs^ mo modo que han generado el lenguajeTTa religToñT la moral , loTslsIerñas Be parentescóT 6~las costumbres^LasTmalemáticas comienzan a entenderse ahora c o m o un fenómeno pancultural.^ ~~ " ~~—

Por consiguiente, debemos tener mayor cu idado en adelante con las deno­minaciones; no podemos referirnos escuetamente a las matemáticas a me­nos que nos refiramos a la forma genérica (como el lenguaje, la religión, etc.). La clase particular de matemáticas, que actualmente es la materia internacional izada que la mayoría de nosotros reconoce, es un producto de una historia cultural ; y durante los tres últimos siglos de esa historia se fue desarrol lando c o m o una parte de la cultura europea occidental (si es que acaso este es un término bien definido). Por eso el título de este artículo menc iona las matemáticas occidentales. En cierto sentido, tal término tam­bién es inapropiado, ya que muchas culturas han contr ibuido a este conoc i ­miento y en el mundo hay muchos matemáticos profesionales que objeta­rían el ser considerados c o m o investigadores culturales occidentales que desarrollan una parte de la cultura occ identa l . En real idad, la historia de las matemáticas occidentales está siendo reescrita en el presente a medida que sale a la luz más ev idenc ia ; pero volveré sobre esto luego. N o obstante, a mi modo de ver, sí cabe con propiedad identificar las matemáticas occ identa ­les ya que fue la cultura occ identa l , más específicamente la cultura europea occ identa l , la que desempeñó un papel poderoso en lograr las metas del imper ia l ismo. 3

A l parecer hubo tres agentes principales mediadores en el proceso de inva­sión cultural en los países co lon izados por las matemáticas occidentales: la act iv idad económica, la administración y la educación. 4 En relación con la

2 . El término pancultural se u t i l i z a p a r a i n d i c a r e l s e n t i d o d e q u e t o d a s las c u l t u r a s se i n v o l u c r a n e n a c t i v i d a d e s matemát icas . 3 . A f í na l e s d e l s i g l o X IX y c o m i e n z o s d e l X X también se p u e d e r e c o n o c e r l a contr ibuc ión c r e c i e n t e d e las i n f l u e n c i a s n o r t e a m e r i c a n a s y a u s t r a l i a n a s q u e , s i n e m b a r g o , d e r i v a n d e la t radic ión c u l t u r a l d e l a E u r o p a O c c i d e n t a l . 4 . U n c u a r t o c a n d i d a t o podría ser la tecnología . Su i n f l u e n c i a es c l a r a (ver, p o r e j e m p l o , H e a d r i c k (1981 ) ) ; p e r o es m e n o s e v i d e n t e l a re lac ión q u e p u e d a t ene r l a tecnología c o n las matemát icas . A m e d i d a q u e las c i e n c i a s y las matemát icas d e s a r r o l l a r o n p o d e r y c o n t r o l , s i n d u d a , i n f l u y e r o n la tecnología, p a r t i c u l a r m e n t e e n los últ imos t i e m p o s d e la e r a i m p e r i a l i s t a .

3 0 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

actividad económica y el c ampo comerc ia l en general, esta es claramente el área donde se empleaban las medidas, las unidades, los números, la deno ­minación monetaria y algunas nociones geométricas. Más específicamente, las ideas occidentales de longitud, área, vo lumen , peso, t iempo y moneda podrían haberse impuesto a las sociedades aborígenes.

En caso de que hubiera exist ido conoc imiento alguno de los sistemas aborí­genes de medida o de unidades monetarias, hay poca referencia a el los en la literatura. Los investigadores han comenzado a documentar esta área, sólo en los últimos t iempos y es perfectamente claro que muchos sistemas aborígenes existieron y existen (Zaslavsky, 1973 ; Menninger, 1969). N o obs ­tante, las unidades usadas para la act iv idad económica fueron (y son to ­davía) casi por completo occidentales; las unidades locales que han sobre­v iv ido se están occ identa l izando más y más, o están en proceso de desapa­recer. En algunos casos, s implemente no había unidades locales para medir las clases de cantidades necesarias para el uso de los comerciantes o c c i d e n ­tales. Según lo mostró un informante de Jones en una investigación, en Papua Nueva Gu inea "podría decirse que [dos huertas tienen igual área] pero s i em­pre debería debatirse" y " no hay manera de comparar el vo lumen de una piedra con un vo lumen de agua, si no hay razón para e l l o " (Jones, 1 974).

La segunda manera en la que las matemáticas occidentales podrían haber afectado a otras culturas, es a través de mecanismos de administración y gobierno. En particular, los números y los cálculos necesarios para registrar grandes cantidades de personas y mercancías pudieron requerir p roced i ­mientos numéricos occidentales en la mayor parte de los casos. De acuerdo con la ev idenc ia investigativa, la gran mayoría de sistemas de conteo en el mundo fueron y son de naturaleza l imitada y finita, con varias bases numé­ricas diferentes. Es claro que hay ev idenc ia de algunos sistemas adecuados para manejar grandes números de maneras sofisticadas, si las necesidades sociales lo hubiesen requerido —v .g . , el caso de los igbos y los i n c a s — (Ascher, 1984), pero aunque existieron estos y presumiblemente otros, hay poca ev idenc ia de que fueran siquiera conoc idos y, mucho menos, de que fueran estimulados o usados por los administradores colonia les. La única excepción podría haber sido el uso del abaco por parte de los chinos y otros pueblos en ciertas colonias, por considerar lo un sistema suficientemente sofisticado para propósitos administrat ivos. 5

El otro aspecto impuesto a través de la administración podría haber sido el lenguaje de la jerarquía, mediante la organización de la gente y sus func io ­nes. Puede parecer un ejemplo relativamente insignificante pero vale la pena < onsiderar lo difícil que resulta imaginar la existencia de otras maneras de

', I IH l i i ' . i i Imy, v\n ha s o b r e v i v i d o a l a invas ión d e la c a l c u l a d o r a y se usa p r o f u s a m e n t e e n l os I I.I i ' i " , i Ir A ' . i . i

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

conceptual izar y de usar el lenguaje, cuando se tiene la obsesión occidental de denominar y clasificar. La investigación de Lancy y la de Philp nos ad ­vierten sobre esto. Por ejemplo, Lancy dice:

En la G r a n Bretaña, los padres les enseñan a sus h i jos q u e la función más i m p o r t a n t e de l l engua je es la r e fe renc i a . P repa ran a sus h i jos pa ra una s o c i e ­d a d q u e p r e m i a el c o n o c i m i e n t o d e n o m b r e s y c lases de cosas . Los ka lu l i s de las mesetas sureñas de P a p u a N u e v a G u i n e a inv ie r ten más t i e m p o q u e los británicos en enseñarles la l e n g u a a sus h i jos , p e r o su propósito es m u y d i f e ­rente . El niño ka lu l i a p r e n d e q u e las f u n c i o n e s más impor tan tes de l l engua je s o n las exp res i v a s ; específ icamente, q u e el u s u a r i o c o m p e t e n t e de l lenguaje es el q u e p u e d e usar lo pa ra m a n i p u l a r y con t ro l a r e l c o m p o r t a m i e n t o de otros.

Cualquier uso forzado de estructuras lingüísticas distintas de las propias tiende por tanto a causar dificultades y confusión;6 pero más que eso, en una co lo ­nia de Europa Occ identa l , cualquier act iv idad gubernamental y administra­tiva concerniente al sistema, estructura y papel del personal podría haber impuesto de forma inevitable y quizás, inconsciente, un modo europeo oc ­cidental de clasificación lingüística y lógica.

El tercer y más importante medio de invasión cultural fue la educación que jugó un papel crítico en la promoción de ¡deas matemáticas occidentales y, por consiguiente, de la cultura occ identa l . En la mayor parte de las socieda­des colonia les, la educación impuesta funcionó a dos niveles, reflejando lo existente en el país europeo involucrado. El primer nivel , el de la educación elemental , a duras penas se desarrolló en el período colonia l- in ic ia l . En la India, por ejemplo, fue pr imordial el pr inc ip io de " f i l t rado" mediante el cual se suponía que era necesario educar sólo a los pocos de la élite y que el conoc imiento de algún modo se "colaría a las masas". En algunas de las escuelas misioneras y en los años finales del co lon ia l i smo, cuando la escue­la elemental comenzó a considerarse con mayor seriedad, fue el contenido europeo el que predominó, naturalmente. Se sintió la necesidad de educar a la población aborigen sólo para capacitarla para funcionar adecuadamente en las estructuras comerciales y administrativas, dominadas por europeos establecidos allí. El único contenido matemático de alguna significación fue la aritmética con sus correspondientes apl icac iones. 7

De interés mucho mayor para el tema de este ensayo es la educación secun­daria proporc ionada a la élite en los países co lon izados . En la India y en

6 . V e r B r i d g m a n ( 1 9 5 8 ) y D a w e (1 9 8 2 ) . C o m o l o señala A w o n i y i ( 1 9 7 5 ) : " U n a l e n g u a ex t r an j e r a es más q u e u n c o n j u n t o d i f e r e n t e d e p a l a b r a s p a r a las m i s m a s i deas ; es u n a f o r m a n u e v a y extraña d e m i r a r las c o s a s , u n a g r u p a m i e n t o n o h a b i t u a l d e ¡deas" . 7. En lo p r i n c i p a l , p o r s u p u e s t o , se sentía p o c a n e c e s i d a d d e ir más allá d e la l e c tu ra p a r a c o m p r e n d e r y a f u e r a l a B i b l i a t r a d u c i d a a la l e n g u a l o c a l o " s i m p l e s " i n s t r u c c i o n e s d e t r a b a j o . En la Ind ia , después d e la fase o r i e n t a l i s t a , e l inglés f u e la l e n g u a q u e se usó p r e d o m i n a n t e m e n t e e n las e s c u e l a s y la adquis ic ión d e l inglés llegó a ser l a m e t a d e la educac i ón , c o n exclus ión d e c u a l q u i e r o t r a c o s a .

3 0 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

actividad económica y el c ampo comerc ia l en general, esta es claramente el área donde se empleaban las medidas, las unidades, los números, la deno ­minación monetaria y algunas nociones geométricas. Más específicamente, las ideas occidentales de longitud, área, vo lumen , peso, t iempo y moneda podrían haberse impuesto a las sociedades aborígenes.

En caso de que hubiera exist ido conoc imiento alguno de los sistemas aborí­genes de medida o de unidades monetarias, hay poca referencia a el los en la literatura. Los investigadores han comenzado a documentar esta área, sólo en los últimos t iempos y es perfectamente claro que muchos sistemas aborígenes existieron y existen (Zaslavsky, 1973 ; Menninger, 1969). N o obs ­tante, las unidades usadas para la act iv idad económica fueron (y son to ­davía) casi por completo occidentales; las unidades locales que han sobre­v iv ido se están occ identa l izando más y más, o están en proceso de desapa­recer. En algunos casos, s implemente no había unidades locales para medir las clases de cantidades necesarias para el uso de los comerciantes o c c i d e n ­tales. Según lo mostró un informante de Jones en una investigación, en Papua Nueva Gu inea "podría decirse que [dos huertas tienen igual área] pero s i em­pre debería debatirse" y " no hay manera de comparar el vo lumen de una piedra con un vo lumen de agua, si no hay razón para e l l o " (Jones, 1 974).

La segunda manera en la que las matemáticas occidentales podrían haber afectado a otras culturas, es a través de mecanismos de administración y gobierno. En particular, los números y los cálculos necesarios para registrar grandes cantidades de personas y mercancías pudieron requerir p roced i ­mientos numéricos occidentales en la mayor parte de los casos. De acuerdo con la ev idenc ia investigativa, la gran mayoría de sistemas de conteo en el mundo fueron y son de naturaleza l imitada y finita, con varias bases numé­ricas diferentes. Es claro que hay ev idenc ia de algunos sistemas adecuados para manejar grandes números de maneras sofisticadas, si las necesidades sociales lo hubiesen requerido —v .g . , el caso de los igbos y los i n c a s — (Ascher, 1984), pero aunque existieron estos y presumiblemente otros, hay poca ev idenc ia de que fueran siquiera conoc idos y, mucho menos, de que fueran estimulados o usados por los administradores colonia les. La única excepción podría haber sido el uso del abaco por parte de los chinos y otros pueblos en ciertas colonias, por considerar lo un sistema suficientemente sofisticado para propósitos administrat ivos. 5

El otro aspecto impuesto a través de la administración podría haber sido el lenguaje de la jerarquía, mediante la organización de la gente y sus func io ­nes. Puede parecer un ejemplo relativamente insignificante pero vale la pena < onsiderar lo difícil que resulta imaginar la existencia de otras maneras de

', I IH l i i ' . i i Imy, v\n ha s o b r e v i v i d o a l a invas ión d e la c a l c u l a d o r a y se usa p r o f u s a m e n t e e n l os I I.I i ' i " , i Ir A ' . i . i

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

conceptual izar y de usar el lenguaje, cuando se tiene la obsesión occidental de denominar y clasificar. La investigación de Lancy y la de Philp nos ad ­vierten sobre esto. Por ejemplo, Lancy dice:

En la G r a n Bretaña, los padres les enseñan a sus h i jos q u e la función más i m p o r t a n t e de l l engua je es la r e fe renc i a . P repa ran a sus h i jos pa ra una s o c i e ­d a d q u e p r e m i a el c o n o c i m i e n t o d e n o m b r e s y c lases de cosas . Los ka lu l i s de las mesetas sureñas de P a p u a N u e v a G u i n e a inv ie r ten más t i e m p o q u e los británicos en enseñarles la l e n g u a a sus h i jos , p e r o su propósito es m u y d i f e ­rente . El niño ka lu l i a p r e n d e q u e las f u n c i o n e s más impor tan tes de l l engua je s o n las exp res i v a s ; específ icamente, q u e el u s u a r i o c o m p e t e n t e de l lenguaje es el q u e p u e d e usar lo pa ra m a n i p u l a r y con t ro l a r e l c o m p o r t a m i e n t o de otros.

Cualquier uso forzado de estructuras lingüísticas distintas de las propias tiende por tanto a causar dificultades y confusión;6 pero más que eso, en una co lo ­nia de Europa Occ identa l , cualquier act iv idad gubernamental y administra­tiva concerniente al sistema, estructura y papel del personal podría haber impuesto de forma inevitable y quizás, inconsciente, un modo europeo oc ­cidental de clasificación lingüística y lógica.

El tercer y más importante medio de invasión cultural fue la educación que jugó un papel crítico en la promoción de ¡deas matemáticas occidentales y, por consiguiente, de la cultura occ identa l . En la mayor parte de las socieda­des colonia les, la educación impuesta funcionó a dos niveles, reflejando lo existente en el país europeo involucrado. El primer nivel , el de la educación elemental , a duras penas se desarrolló en el período colonia l- in ic ia l . En la India, por ejemplo, fue pr imordial el pr inc ip io de " f i l t rado" mediante el cual se suponía que era necesario educar sólo a los pocos de la élite y que el conoc imiento de algún modo se "colaría a las masas". En algunas de las escuelas misioneras y en los años finales del co lon ia l i smo, cuando la escue­la elemental comenzó a considerarse con mayor seriedad, fue el contenido europeo el que predominó, naturalmente. Se sintió la necesidad de educar a la población aborigen sólo para capacitarla para funcionar adecuadamente en las estructuras comerciales y administrativas, dominadas por europeos establecidos allí. El único contenido matemático de alguna significación fue la aritmética con sus correspondientes apl icac iones. 7

De interés mucho mayor para el tema de este ensayo es la educación secun­daria proporc ionada a la élite en los países co lon izados . En la India y en

6 . V e r B r i d g m a n ( 1 9 5 8 ) y D a w e (1 9 8 2 ) . C o m o l o señala A w o n i y i ( 1 9 7 5 ) : " U n a l e n g u a ex t r an j e r a es más q u e u n c o n j u n t o d i f e r e n t e d e p a l a b r a s p a r a las m i s m a s i deas ; es u n a f o r m a n u e v a y extraña d e m i r a r las c o s a s , u n a g r u p a m i e n t o n o h a b i t u a l d e ¡deas" . 7. En lo p r i n c i p a l , p o r s u p u e s t o , se sentía p o c a n e c e s i d a d d e ir más allá d e la l e c tu ra p a r a c o m p r e n d e r y a f u e r a l a B i b l i a t r a d u c i d a a la l e n g u a l o c a l o " s i m p l e s " i n s t r u c c i o n e s d e t r a b a j o . En la Ind ia , después d e la fase o r i e n t a l i s t a , e l inglés f u e la l e n g u a q u e se usó p r e d o m i n a n t e m e n t e e n las e s c u e l a s y la adquis ic ión d e l inglés llegó a ser l a m e t a d e la educac i ón , c o n exclus ión d e c u a l q u i e r o t r a c o s a .

3 2 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

África se establecieron escuelas y colegios que, en su educación, reflejaban instituciones comparables con las de la "madre patr ia" . 8 El hecho de que hubiera diferencias en la educación controlada por franceses y por las c o n ­trapartes inglesas reflejaba solamente las diferencias existentes entre la f i lo ­sofía francesa de la educación y la inglesa.

En el mejor de los casos, el currículo de matemáticas de algunas de las escuelas era risible y patéticamente inapropiado. Mmar i (1978) cita algunos problemas típicos de los textos colonia les de Tanzania (recomendados para el uso en las escuelas, por los funcionar ios colonia les del sector educativo): 9

Si u n j u g a d o r de c r i c k e t regist ra r c a r r e r a s e n x tu rnos , n v e ces , s in i n cu r r i r e n

descal i f icación, su p r o m e d i o es - [ car reras . H a l l e su p r o m e d i o si a n o t a

2 0 4 car reras en 1 5 t u r n o s , 3 v e c e s , s in i n cu r r i r e n descal i f icación.

R e d u z c a a l ib ras es te r l i nas e n s i s t ema d e c i m a l 2 0 7 , 0 4 2 cua r tos d e p e n i q u e ; 8 9 , 7 6 1 m e d i o s d e p e n i q u e ; 5 , 7 0 8 1/2 c h e l i n e s .

El f u n i c u l a r d e la estación H o l b o r n t i ene 1 5 6 p ies d e l a rgo y efectúa e l a s c e n ­so en 6 5 s e g u n d o s . H a l l e l a r a p i d e z e n m i l l a s p o r h o r a .

Pero entonces, lo " ap rop i ado " se juzgaba completamente en términos de la trasmisión cultural .

En el peor de los casos, el currículo de matemáticas era abstracto, no pert i ­nente, d iscr iminador y elitista — c o m o lo era en Eu ropa— gobernado por estructuras como el Cambridge Overseas Certifícate y cargado culturalmente en alto grado. 1 0 H i z o parte de una estrategia del iberada para imponer una cultura, con esfuerzos intencionales por impartir " l o mejor de occ idente " y la convicción de su super ior idad con respecto a todo otro sistema matemá­t ico y cultura aborigen. C o m o era esencialmente una educación preparato­ria para la universidad, las aspiraciones de los estudiantes se dirigían a i n ­gresar a universidades occ identa les; se les educaba fuera de su cultura y de su sociedad. Por e jemplo , Watson cita a W i lk inson cr i t icando la educación malaya al final del siglo, en los siguientes términos: "impráctica, orientada a hacer de la gente tinteri l los, a inspirar desagrado por el trabajo manual y técnico, y a crear una clase de resentidos literarios, inútiles para sus comu-

B. Po r e j e m p l o , Budo Collegeen U g a n d a , AlHance High School e n K e n y a , Elphinstone Collegeen I.i I nd ia (ver C a r n o y ( 1 9 7 4 ) y N j o r o g e y B e n n a a r s (1986 ) ) . 9 . Este au to r señala t amb ién q u e : " L o s t e x t o s d e l per íodo e n cuest ión i n d i c a n e l u s o d e u n i d a d e s i-xt t .mjcras d e m e d i d a s d e l o n g i t u d , p e s o , c a p a c i d a d , v o l u m e n y m o n e d a , l o q u e s u s t e n t a es ta trnrí i i d i- l a interacc ión d i r e c t a e n t r e l a s práct icas d e los o f i c i o s y e l b a g a j e c u l t u r a l d e l a c o m u n i d a d i ' i o i i i ' i m K . i e n t o n c e s d o m i n a n t e " . 10 I ).imcrow ( 1 9 8 6 ) , a f i r m a q u e " L a s a d m i n i s t r a c i o n e s c o l o n i a l e s a s o c i a b a n e s t r e c h a m e n t e l a iMiiOririM i.i d e l c u r r í c u l o d e l a s m a t e m á t i c a s e u r o p e a s a l o s pa íses e n d e s a r r o l l o con e l r«l.il >li'( I m l r n t o d e e s c u e l a s p a r a él i tes. B a j o estas c i r c u n s t a n c i a s parecía n a t u r a l c o p i a r s i m p l e m e n t e lii>. n t i tm iH ' s r u m p r o s .

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

nidades y fuente de problemas para el imper io" (Watson, 1982). Las mate­máticas y la c ienc ia , materias que de hecho se habrían pod ido conectar tan fácilmente con la cultura y el ambiente aborígenes y que habrían pod ido ser pertinentes para las necesidades de la sociedad indígena, s implemente no se veían en esos términos, a pesar de las buenas intenciones de muchos de los profesores. Se consideraban solamente c o m o dos pilares de la cultura occ identa l , significativos c o m o parte de la educación de una persona cu l t i ­vada en el siglo diecinueve y comienzos del veinte. 1 1

Es claro entonces que mediante la act iv idad económica, la administración y la educación podrían haber impues to a las cul turas aborígenes las s imbol izac iones y las estructuras de las matemáticas occidentales,.en forma tan significativa c o m o sucedió con las s imbol izac iones lingüísticas y las estructuras del inglés, el francés, el alemán, o cualquier otra lengua europea de la potencia co lon ia l dominante en el país.

Sin embargo, así como ocurrió con la lengua, las s imbol izac iones part icula­res que se usaron fueron en cierto modo el aspecto menos significativo de las matemáticas. De importancia mucho mayor, especialmente en términos culturales, fueron los valores asociados con tales s imbol izac iones. Sobra decir que era también sabiduría convenc iona l que las matemáticas eran independientes de los valores. ¿Cómo podían tener valores si eran universa­les e independientes de la cultura? Ahora somos menos ciegos y un análisis de los estudios antropológicos, históricos e interculturales sugiere que hay cuatro grupos de valores que están asociados con las matemáticas europeas occidentales y que deben haber tenido un impacto tremendo sobre las c u l ­turas aborígenes.

En primer lugar está el área del rac ional ismo que se encuentra en el corazón mismo de las matemáticas occidentales. Si se tuviera que escoger un único valor y atributo que garantizara el poder y la autoridad de las matemáticas dentro de la cultura occ identa l , este sería el racional ismo. C o m o d ice Kl ine (1972): "En su aspecto más ampl io , las matemáticas son un espíritu, el espí­ritu de la rac ional idad. Este espíritu desafía, estimula, v igor iza y dirige las mentes humanas para que den lo máximo de sí". Dado su foco en el razona­miento deduct ivo y la lógica, el racional ismo destila desprecio por las prác­ticas de ensayo y error, el saber tradicional y la brujería. Considérese la siguiente cita de Gay y Colé (1967) en Liberia:

U n es tud i an te d e s e c u n d a r i a en K p e l l e a c e p t a b a todos los e n u n c i a d o s s i ­gu i en tes : (1) la B i b l i a es l i t e ra lmente v e rdade ra , así q u e todas las cosas v i ­v ientes f ue ron c readas e n los seis días descr i tos en el Génesis; (2 ) la B i b l i a es

1 1 . En e f e c t o , t a m p o c o e n las m a d r e s pa t r i a s h u b o u n g r a n i n t en to p o r h a c e r q u e l a c i e n c i a y las matemát icas f u e r a n p e r t i n e n t e s .

3 2 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

África se establecieron escuelas y colegios que, en su educación, reflejaban instituciones comparables con las de la "madre patr ia" . 8 El hecho de que hubiera diferencias en la educación controlada por franceses y por las c o n ­trapartes inglesas reflejaba solamente las diferencias existentes entre la f i lo ­sofía francesa de la educación y la inglesa.

En el mejor de los casos, el currículo de matemáticas de algunas de las escuelas era risible y patéticamente inapropiado. Mmar i (1978) cita algunos problemas típicos de los textos colonia les de Tanzania (recomendados para el uso en las escuelas, por los funcionar ios colonia les del sector educativo): 9

Si u n j u g a d o r de c r i c k e t regist ra r c a r r e r a s e n x tu rnos , n v e ces , s in i n cu r r i r e n

descal i f icación, su p r o m e d i o es - [ car reras . H a l l e su p r o m e d i o si a n o t a

2 0 4 car reras en 1 5 t u r n o s , 3 v e c e s , s in i n cu r r i r e n descal i f icación.

R e d u z c a a l ib ras es te r l i nas e n s i s t ema d e c i m a l 2 0 7 , 0 4 2 cua r tos d e p e n i q u e ; 8 9 , 7 6 1 m e d i o s d e p e n i q u e ; 5 , 7 0 8 1/2 c h e l i n e s .

El f u n i c u l a r d e la estación H o l b o r n t i ene 1 5 6 p ies d e l a rgo y efectúa e l a s c e n ­so en 6 5 s e g u n d o s . H a l l e l a r a p i d e z e n m i l l a s p o r h o r a .

Pero entonces, lo " ap rop i ado " se juzgaba completamente en términos de la trasmisión cultural .

En el peor de los casos, el currículo de matemáticas era abstracto, no pert i ­nente, d iscr iminador y elitista — c o m o lo era en Eu ropa— gobernado por estructuras como el Cambridge Overseas Certifícate y cargado culturalmente en alto grado. 1 0 H i z o parte de una estrategia del iberada para imponer una cultura, con esfuerzos intencionales por impartir " l o mejor de occ idente " y la convicción de su super ior idad con respecto a todo otro sistema matemá­t ico y cultura aborigen. C o m o era esencialmente una educación preparato­ria para la universidad, las aspiraciones de los estudiantes se dirigían a i n ­gresar a universidades occ identa les; se les educaba fuera de su cultura y de su sociedad. Por e jemplo , Watson cita a W i lk inson cr i t icando la educación malaya al final del siglo, en los siguientes términos: "impráctica, orientada a hacer de la gente tinteri l los, a inspirar desagrado por el trabajo manual y técnico, y a crear una clase de resentidos literarios, inútiles para sus comu-

B. Po r e j e m p l o , Budo Collegeen U g a n d a , AlHance High School e n K e n y a , Elphinstone Collegeen I.i I nd ia (ver C a r n o y ( 1 9 7 4 ) y N j o r o g e y B e n n a a r s (1986 ) ) . 9 . Este au to r señala t amb ién q u e : " L o s t e x t o s d e l per íodo e n cuest ión i n d i c a n e l u s o d e u n i d a d e s i-xt t .mjcras d e m e d i d a s d e l o n g i t u d , p e s o , c a p a c i d a d , v o l u m e n y m o n e d a , l o q u e s u s t e n t a es ta trnrí i i d i- l a interacc ión d i r e c t a e n t r e l a s práct icas d e los o f i c i o s y e l b a g a j e c u l t u r a l d e l a c o m u n i d a d i ' i o i i i ' i m K . i e n t o n c e s d o m i n a n t e " . 10 I ).imcrow ( 1 9 8 6 ) , a f i r m a q u e " L a s a d m i n i s t r a c i o n e s c o l o n i a l e s a s o c i a b a n e s t r e c h a m e n t e l a iMiiOririM i.i d e l c u r r í c u l o d e l a s m a t e m á t i c a s e u r o p e a s a l o s pa íses e n d e s a r r o l l o con e l r«l.il >li'( I m l r n t o d e e s c u e l a s p a r a él i tes. B a j o estas c i r c u n s t a n c i a s parecía n a t u r a l c o p i a r s i m p l e m e n t e lii>. n t i tm iH ' s r u m p r o s .

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

nidades y fuente de problemas para el imper io" (Watson, 1982). Las mate­máticas y la c ienc ia , materias que de hecho se habrían pod ido conectar tan fácilmente con la cultura y el ambiente aborígenes y que habrían pod ido ser pertinentes para las necesidades de la sociedad indígena, s implemente no se veían en esos términos, a pesar de las buenas intenciones de muchos de los profesores. Se consideraban solamente c o m o dos pilares de la cultura occ identa l , significativos c o m o parte de la educación de una persona cu l t i ­vada en el siglo diecinueve y comienzos del veinte. 1 1

Es claro entonces que mediante la act iv idad económica, la administración y la educación podrían haber impues to a las cul turas aborígenes las s imbol izac iones y las estructuras de las matemáticas occidentales,.en forma tan significativa c o m o sucedió con las s imbol izac iones lingüísticas y las estructuras del inglés, el francés, el alemán, o cualquier otra lengua europea de la potencia co lon ia l dominante en el país.

Sin embargo, así como ocurrió con la lengua, las s imbol izac iones part icula­res que se usaron fueron en cierto modo el aspecto menos significativo de las matemáticas. De importancia mucho mayor, especialmente en términos culturales, fueron los valores asociados con tales s imbol izac iones. Sobra decir que era también sabiduría convenc iona l que las matemáticas eran independientes de los valores. ¿Cómo podían tener valores si eran universa­les e independientes de la cultura? Ahora somos menos ciegos y un análisis de los estudios antropológicos, históricos e interculturales sugiere que hay cuatro grupos de valores que están asociados con las matemáticas europeas occidentales y que deben haber tenido un impacto tremendo sobre las c u l ­turas aborígenes.

En primer lugar está el área del rac ional ismo que se encuentra en el corazón mismo de las matemáticas occidentales. Si se tuviera que escoger un único valor y atributo que garantizara el poder y la autoridad de las matemáticas dentro de la cultura occ identa l , este sería el racional ismo. C o m o d ice Kl ine (1972): "En su aspecto más ampl io , las matemáticas son un espíritu, el espí­ritu de la rac ional idad. Este espíritu desafía, estimula, v igor iza y dirige las mentes humanas para que den lo máximo de sí". Dado su foco en el razona­miento deduct ivo y la lógica, el racional ismo destila desprecio por las prác­ticas de ensayo y error, el saber tradicional y la brujería. Considérese la siguiente cita de Gay y Colé (1967) en Liberia:

U n es tud i an te d e s e c u n d a r i a en K p e l l e a c e p t a b a todos los e n u n c i a d o s s i ­gu i en tes : (1) la B i b l i a es l i t e ra lmente v e rdade ra , así q u e todas las cosas v i ­v ientes f ue ron c readas e n los seis días descr i tos en el Génesis; (2 ) la B i b l i a es

1 1 . En e f e c t o , t a m p o c o e n las m a d r e s pa t r i a s h u b o u n g r a n i n t en to p o r h a c e r q u e l a c i e n c i a y las matemát icas f u e r a n p e r t i n e n t e s .

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un l i b r o c o m o c u a l q u i e r o t ro , esc r i to p o r gentes r e l a t i v a m e n t e p r im i t i v a s a lo largo d e un período r e l a t i v amen te ex t enso , y c o n t i e n e contradicc ión y er ror ; (3) todas las cosas v i v i en tes han e v o l u c i o n a d o g r a d u a l m e n t e du ran te m i l l o ­nes d e años a par t i r de u n a mate r i a p r i m i t i v a ; (4 ) u n árbol 'espíritu' de u n a población c e r c a n a , q u e fue t a l a d o , se reintegró p o r sí m i s m o y vo lv ió a c r e c e r al máximo e n u n día. Estos e n u n c i a d o s los había e s c u c h a d o de su pas tor f u n d a m e n t a l i s t a , d e su c l a s e de religión, d e su c l a s e d e zoología y de l a c u l t u ­ra a n i m i s t a aún v i gen t e . Los a c e p t a b a t o d o s , p o r q u e tenían la aprobación d e au to r i dades a las q u e sentía debe r l e s respeto .

Se puede comprender la i ncomod idad de Gay y Colé ante esta revelación, pero se puede también entender cuánta más confusión debe haber sufrido el estudiante al aprender que no se debía confiar en a lgo que no fuera racio­nal en el sentido occ identa l .

En segundo lugar, un conjunto complementar io de valores asociados con las matemáticas occidentales se puede referir c o m o objet ismo, una manera de percibir el mundo c o m o si estuviera compuesto de objetos di ferencia­dos, susceptibles de ser extraídos y abstraídos, por así dec i r lo , de sus c o n ­textos. Para poder generalizar, la descontextualización está en el corazón de las matemáticas y la c ienc ia occidentales; pero s i , en lugar de esto, la cultura incitara a pensar que cada cosa pertenece y existe en su relación con cualquier otra, entonces, extraer las matemáticas de su contexto las haría literalmente carentes de signif icado. En la temprana civilización grie­ga también se sostuvo una profunda controversia sobre objeto o proceso como el núcleo fundamental del ser. Entre los años 600 y 500 antes de nuestra era, Heráclito af irmaba que la característica esencia l de los fenóme­nos es que siempre están en flujo, siempre moviéndose y siempre camb ian ­do. Demócrito y los pitagóricos prefirieron ver un mundo de átomos, visión que eventualmente prevalecería y daría lugar a! desarrol lo de las matemáti­cas y la c ienc ia occ identa les . 1 2

I ior lon ve el objet ismo bajo otra luz . Compara este punto de vista con lo que él ve c o m o el uso afr icano preferido de la expresión personal c o m o BXplIcac'lón. Argumenta que esto ha desarrol lado para el afr icano t radic io ­nal el sentido de que el mundo de lo personal y lo socia l es conoc ib le , mientras que el mundo de las cosas y de lo impersonal es esencialmente inconoc ib le . La tendenc ia opuesta vale para el occ identa l . El argumento de Horton (1967) es c o m o sigue:

En las s o c i e d a d e s i ndus t r i a l e s c o m p l e j a s y q u e c a m b i a n c o n r a p i d e z , e l m u n ­d o h u m a n o está e n c o n s t a n t e f l u j o . El o r d e n , l a r e g u l a r i d a d , la p r e v i s i b i l i d a d y la s e n c i l l e z , l a m e n t a b l e m e n t e , p a r e c e n estar ausen tes . Es en e l m u n d o d e l.is cosas i n a n i m a d a s d o n d e ta les c u a l i d a d e s se v e n d e m a n e r a más d i r e c t a . I'IM <••.() m u c h a gente p u e d e sent i rse m e n o s a gus to c o n otras pe rsonas q u e

I ) Ca ta un ,HI, I I IM>. IIM l en te , ver R o ñ a n ( 1 9 8 3 ) y W a d d i n g t o n ( 1 9 7 7 ) .

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : E L A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

c o n las cosas . Y sug i e ro q u e esta también es la razón po r la c u a l la m e n t e en b u s c a de analogías e x p l i c a t i v a s se i n c l i n a más p o r lo i n a n i m a d o . En las s o c i e ­d a d e s t r a d i c i o n a l e s de África, h a l l a m o s la situación opues t a . El m u n d o h u m a ­n o es el lugar por excelencia de l o r d e n , la p r e v i s i b i l i d a d , la r e g u l a r i d a d . En el m u n d o de lo i n a n i m a d o [ en t end ido po r tal lo " n a t u r a l " más q u e lo art i f ic ia l ] estas c u a l i d a d e s s o n m u c h o m e n o s ev iden tes . Aqu í es i n i m a g i n a b l e sent irse m e n o s a gusto c o n " l a gente q u e c o n las cosas . Aquí, la m e n t e en b u s c a de analogías e x p l i c a t i v a s se i n c l i n a de m a n e r a natura l h a c i a las gentes y sus r e l a c i o n e s .

Podemos ver, por consiguiente, que con el racional ismo y el objetismo como valores centrales de las matemáticas occidentales, éstas presentan una v i ­sión del mundo deshumanizada, reif icada, ideológica que por necesidad se manifestará en toda educación matemática de tipo co lonia l t radic ional .

U n tercer conjunto de valores tiene que ver con los aspectos de poder y control de las matemáticas occidentales. Las ideas matemáticas se usan bien sea c o m o conceptos y técnicas directamente aplicables, o, indirectamente a través de la c ienc ia y la tecnología, como medios de control del entorno físico y soc ia l . C o m o lo afirma Schaaf (1963) en relación con la historia de las matemáticas: "El domin io cada vez mayor que ejerce el hombre sobre su entorno físico t ipi f ica el espíritu de los siglos diecinueve y veinte" . Así que, es posible que el uso de números y medidas en la act iv idad económica, la industria, el comerc io y la administración haya enfatizado los valores de poder y control de las matemáticas. Éstas son y han sido un conoc imiento claramente útil y poderoso que ha seducido a la mayoría de las personas que han tenido contacto con él.

Sin embargo, para lograr mayor control del entorno se ha desarrol lado un conjunto complementar io de valores que tiene que ver con el progreso y con el camb io . Una consc ienc ia de los valores de control , a l iada con el análisis racional de problemas, al imenta un valor complementar io de pro­greso racional y, por tanto, hay una preocupación por el cuest ionamiento, la duda y la búsqueda de alternativas. Horton (1967) señala de nuevo este valor cuando contrasta las ¡deas científicas occidentales con los valores afri­canos tradicionales: "En las culturas tradicionales no existe una consc ienc ia desarrol lada de alternativas al sistema establecido de creencias teóricas, mientras que en las culturas científicamente orientadas tal consc ienc ia está muy desarrol lada" . Sea que esa conclusión tenga va l idez o no, no se duda del efecto perturbador de una educación elitista que predicaba el " con t ro l " y el "progreso" en las sociedades tradicionales, ni puede uno entender cómo es que eran justo esos valores lo que requería la población aborigen de los países involucrados.

Ciertamente, aun si la población aborigen buscaba el progreso, lo que en sí mismo no es necesariamente obv io , lo que se le ofreció fue una versión de

3 4 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

un l i b r o c o m o c u a l q u i e r o t ro , esc r i to p o r gentes r e l a t i v a m e n t e p r im i t i v a s a lo largo d e un período r e l a t i v amen te ex t enso , y c o n t i e n e contradicc ión y er ror ; (3) todas las cosas v i v i en tes han e v o l u c i o n a d o g r a d u a l m e n t e du ran te m i l l o ­nes d e años a par t i r de u n a mate r i a p r i m i t i v a ; (4 ) u n árbol 'espíritu' de u n a población c e r c a n a , q u e fue t a l a d o , se reintegró p o r sí m i s m o y vo lv ió a c r e c e r al máximo e n u n día. Estos e n u n c i a d o s los había e s c u c h a d o de su pas tor f u n d a m e n t a l i s t a , d e su c l a s e de religión, d e su c l a s e d e zoología y de l a c u l t u ­ra a n i m i s t a aún v i gen t e . Los a c e p t a b a t o d o s , p o r q u e tenían la aprobación d e au to r i dades a las q u e sentía debe r l e s respeto .

Se puede comprender la i ncomod idad de Gay y Colé ante esta revelación, pero se puede también entender cuánta más confusión debe haber sufrido el estudiante al aprender que no se debía confiar en a lgo que no fuera racio­nal en el sentido occ identa l .

En segundo lugar, un conjunto complementar io de valores asociados con las matemáticas occidentales se puede referir c o m o objet ismo, una manera de percibir el mundo c o m o si estuviera compuesto de objetos di ferencia­dos, susceptibles de ser extraídos y abstraídos, por así dec i r lo , de sus c o n ­textos. Para poder generalizar, la descontextualización está en el corazón de las matemáticas y la c ienc ia occidentales; pero s i , en lugar de esto, la cultura incitara a pensar que cada cosa pertenece y existe en su relación con cualquier otra, entonces, extraer las matemáticas de su contexto las haría literalmente carentes de signif icado. En la temprana civilización grie­ga también se sostuvo una profunda controversia sobre objeto o proceso como el núcleo fundamental del ser. Entre los años 600 y 500 antes de nuestra era, Heráclito af irmaba que la característica esencia l de los fenóme­nos es que siempre están en flujo, siempre moviéndose y siempre camb ian ­do. Demócrito y los pitagóricos prefirieron ver un mundo de átomos, visión que eventualmente prevalecería y daría lugar a! desarrol lo de las matemáti­cas y la c ienc ia occ identa les . 1 2

I ior lon ve el objet ismo bajo otra luz . Compara este punto de vista con lo que él ve c o m o el uso afr icano preferido de la expresión personal c o m o BXplIcac'lón. Argumenta que esto ha desarrol lado para el afr icano t radic io ­nal el sentido de que el mundo de lo personal y lo socia l es conoc ib le , mientras que el mundo de las cosas y de lo impersonal es esencialmente inconoc ib le . La tendenc ia opuesta vale para el occ identa l . El argumento de Horton (1967) es c o m o sigue:

En las s o c i e d a d e s i ndus t r i a l e s c o m p l e j a s y q u e c a m b i a n c o n r a p i d e z , e l m u n ­d o h u m a n o está e n c o n s t a n t e f l u j o . El o r d e n , l a r e g u l a r i d a d , la p r e v i s i b i l i d a d y la s e n c i l l e z , l a m e n t a b l e m e n t e , p a r e c e n estar ausen tes . Es en e l m u n d o d e l.is cosas i n a n i m a d a s d o n d e ta les c u a l i d a d e s se v e n d e m a n e r a más d i r e c t a . I'IM <••.() m u c h a gente p u e d e sent i rse m e n o s a gus to c o n otras pe rsonas q u e

I ) Ca ta un ,HI, I I IM>. IIM l en te , ver R o ñ a n ( 1 9 8 3 ) y W a d d i n g t o n ( 1 9 7 7 ) .

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : E L A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

c o n las cosas . Y sug i e ro q u e esta también es la razón po r la c u a l la m e n t e en b u s c a de analogías e x p l i c a t i v a s se i n c l i n a más p o r lo i n a n i m a d o . En las s o c i e ­d a d e s t r a d i c i o n a l e s de África, h a l l a m o s la situación opues t a . El m u n d o h u m a ­n o es el lugar por excelencia de l o r d e n , la p r e v i s i b i l i d a d , la r e g u l a r i d a d . En el m u n d o de lo i n a n i m a d o [ en t end ido po r tal lo " n a t u r a l " más q u e lo art i f ic ia l ] estas c u a l i d a d e s s o n m u c h o m e n o s ev iden tes . Aqu í es i n i m a g i n a b l e sent irse m e n o s a gusto c o n " l a gente q u e c o n las cosas . Aquí, la m e n t e en b u s c a de analogías e x p l i c a t i v a s se i n c l i n a de m a n e r a natura l h a c i a las gentes y sus r e l a c i o n e s .

Podemos ver, por consiguiente, que con el racional ismo y el objetismo como valores centrales de las matemáticas occidentales, éstas presentan una v i ­sión del mundo deshumanizada, reif icada, ideológica que por necesidad se manifestará en toda educación matemática de tipo co lonia l t radic ional .

U n tercer conjunto de valores tiene que ver con los aspectos de poder y control de las matemáticas occidentales. Las ideas matemáticas se usan bien sea c o m o conceptos y técnicas directamente aplicables, o, indirectamente a través de la c ienc ia y la tecnología, como medios de control del entorno físico y soc ia l . C o m o lo afirma Schaaf (1963) en relación con la historia de las matemáticas: "El domin io cada vez mayor que ejerce el hombre sobre su entorno físico t ipi f ica el espíritu de los siglos diecinueve y veinte" . Así que, es posible que el uso de números y medidas en la act iv idad económica, la industria, el comerc io y la administración haya enfatizado los valores de poder y control de las matemáticas. Éstas son y han sido un conoc imiento claramente útil y poderoso que ha seducido a la mayoría de las personas que han tenido contacto con él.

Sin embargo, para lograr mayor control del entorno se ha desarrol lado un conjunto complementar io de valores que tiene que ver con el progreso y con el camb io . Una consc ienc ia de los valores de control , a l iada con el análisis racional de problemas, al imenta un valor complementar io de pro­greso racional y, por tanto, hay una preocupación por el cuest ionamiento, la duda y la búsqueda de alternativas. Horton (1967) señala de nuevo este valor cuando contrasta las ¡deas científicas occidentales con los valores afri­canos tradicionales: "En las culturas tradicionales no existe una consc ienc ia desarrol lada de alternativas al sistema establecido de creencias teóricas, mientras que en las culturas científicamente orientadas tal consc ienc ia está muy desarrol lada" . Sea que esa conclusión tenga va l idez o no, no se duda del efecto perturbador de una educación elitista que predicaba el " con t ro l " y el "progreso" en las sociedades tradicionales, ni puede uno entender cómo es que eran justo esos valores lo que requería la población aborigen de los países involucrados.

Ciertamente, aun si la población aborigen buscaba el progreso, lo que en sí mismo no es necesariamente obv io , lo que se le ofreció fue una versión de

36 APROXIMACIÓN S O C I O C U L T U R A L A LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

p rog re so o c c i d e n t a l i z a d a , i n d u s t r i a l i z a d a y o r i e n t a d a h a c i a e l p r o d u c t o , q u e parecía s o l a m e n t e r e fo rza r la d i s p a r i d a d en t re los i m p e r i a l i s t a s e u r o p e o s o c c i d e n t a l e s , p rogres i s tas , d inámicos y ag r e s i vos , y los p u e b l o s c o l o n i z a ­d o s , t r a d i c i o n a l e s , es tab les y n o p rose l i t i s t as . El p r o g r e s o i n s p i r a d o p o r las matemáticas a través d e la tecnología y l a c i e n c i a f u e c l a r a m e n t e u n a d e las r a z o n e s po r las q u e los p o d e r e s c o l o n i a l e s p r o g r e s a r o n t an to y es p o r e l l o q u e las matemáticas f u e r o n u n a h e r r a m i e n t a tan s i g n i f i c a t i v a e n e l pe ta te c u l t u r a l d e los i m p e r i a l i s t a s .

En to ta l , e n t o n c e s estos v a l o r e s c o n s t i t u y e n u n a f u e r z a c u l t u r a l matemát ica y tecnológ ica q u e es lo q u e v e r d a d e r a m e n t e r e p r e s e n t a b a n las f u e r z a s imper i a l i s t a s . Las matemáticas, c o n su r a c i o n a l i s m o c l a r o y lógica fría, su precisión, sus l l a m a d o s h e c h o s " o b j e t i v o s " ( a p a r e n t e m e n t e i n d e p e n d i e n t e s de la c u l t u r a y d e los va lo res ) , su a u s e n c i a d e d e b i l i d a d e s h u m a n a s , su p o ­der de predicc ión y c o n t r o l , su est ímulo a los retos y a las p r e g u n t a s y su e m p u j e h a c i a u n c o n o c i m i e n t o más s e g u r o , f ue u n a r m a r e a l m e n t e m u y p o d e r o s a . A l a l i a r se c o n el uso d e la tecnología, c o n el d e s a r r o l l o d e la indus t r i a y de l c o m e r c i o a través d e a p l i c a c i o n e s científ icas y c o n l a u t i l i d a d c a d a v e z m a y o r d e p r o d u c t o s c o m e r c i a l e s t a n g i b l e s , e l estatus de las m a t e ­máticas se percibió c o m o i n d i s p u t a b l e .

D e s d e esos t i e m p o s c o l o n i a l e s has t a nues t ros días, e l p o d e r d e esta c u l t u r a matemática-tecnológica h a c r e c i d o r áp idamente—tan to , q u e las matemát i ­cas o c c i d e n t a l e s se enseñan a c t u a l m e n t e e n t o d o s los países d e l m u n d o . S igue enseñándose s o b r e t o d o b a j o l a hipótesis d e u n i v e r s a l i d a d y d e n e u ­t r a l i dad c u l t u r a l . P a r t i e n d o d e l c o l o n i a l i s m o has ta l l egar a l n e o c o l o n i a l i s m o , e l i m p e r i a l i s m o c u l t u r a l d e las matemát icas o c c i d e n t a l e s está todavía p o r adver t i r se y c o m p r e n d e r s e d e m a n e r a p l e n a . G r a d u a l m e n t e , se h a a d q u i r i ­d o u n a m a y o r comprens ión d e su i m p a c t o , p e r o u n o d e b e p r e g u n t a r s e si esta i n f l u e n c i a q u e l o i m p r e g n a t o d o está a h o r a f u e r a d e c o n t r o l .

A m e d i d a q u e se e x t i e n d e y d e s a r r o l l a l a c o n s c i e n c i a d e la n a t u r a l e z a c u l t u ­ral y de la i n f l u e n c i a d e las matemát icas o c c i d e n t a l e s , se p u e d e n v e r v a r i o s n i ve l e s d e r e spues ta . En u n p r i m e r n i v e l , se d e t e c t a u n interés c r e c i e n t e e n e l e s t u d i o d e las etnomatemát icas , a través t an to d e l análisis d e l a l i t e ra tura antropológica c o m o d e i n v e s t i g a c i o n e s e n s i t u a c i o n e s d e la v i d a r ea l . A u n ­q u e se r e c o n o c e q u e m u c h a s i d e a s q u e s o n i m p o r t a n t e s a h o r a p u e d e n n o h a b e r l o s i d o p a r a g e n e r a c i o n e s a n t e r i o r e s d e antropólogos, hay , n o o b s t a n ­te, g ran c a n t i d a d d e información q u e se p u e d e ex t rae r de l a l i t e ra tu ra e x i s ­tente.

Este t i p o d e análisis d e la l i t e r a tu ra se a p o y a , c l a r o está, e n es t ruc tu ras teór i ­cas q u e nos a y u d a n a c o n c e p t u a l i z a r q u é e x a c t a m e n t e podrían ser las m a t e ­máticas v istas c o m o f enómeno p a n c u l t u r a l . Se re i te ra q u e las matemáticas s o n u n p r o d u c t o c u l t u r a l — u n a tecno log ía s imból ica d e s a r r o l l a d a e n el p ro-

LAS MATEMÁTICAS OCCIDENTALES : EL A R M A SECRETA DEL IMPERIALISMO CULTURAL

c e s o d e i n v o l u c r a r s e e n va r i as a c t i v i d a d e s de l e n t o r n o . 1 3 Se p u e d e n i d e n t i f i ­c a r se is a c t i v i d a d e s q u e s o n un i v e r s a l e s , c o n l o c u a l q u i e r o d e c i r q u e n o se h a d o c u m e n t a d o la e x i s t e n c i a d e g r u p o c u l t u r a l a l g u n o q u e n o p a r e z c a l l e ­v a r a c a b o a l g u n a f o r m a d e ta les a c t i v i d a d e s . 1 4 Éstas s o n :

Contar. U s o d e u n a m a n e r a sistemática d e c o m p a r a r y o r d e n a r ob je tos d i f e ­r e n c i a d o s . P u e d e i n v o l u c r a r c o n t e o c o r p o r a i o d i g i t a l , c o n m a r c a s , u s o d e c u e r d a s u o t ros ob j e t o s p a r a e l reg is t ro , o n o m b r e s e s p e c i a l e s pa r a los n ú ­m e r o s . También se p u e d e n h a c e r cá lcu los c o n los números, c o n p r o p i e d a ­des p r e d i c t i v a s o mágicas a s o c i a d a s c o n a l g u n o s d e e l l o s .

Localizar. E x p l o r a c i ó n d e l e n t o r n o e s p a c i a l , c o n c e p t u a l i z a c i ó n y s imbol izac ión d e tal e n t o r n o c o n m o d e l o s , m a p a s , d i b u j o s y o t ros r e cu r sos . Este es e l a s p e c t o d e la geometría e n e l q u e j u e g a n u n p a p e l i m p o r t a n t e tópicos r e l a c i o n a d o s c o n la or ientac ión, l a navegac ión, la astronomía y In geografía.

Medir. Cuant i f icac ión d e c u a l i d a d e s c o m o la l o n g i t u d y e l p e s o , pa r a p ropó ­s i tos d e comparac ión y ordenac ión de ob j e tos . En fenómenos q u e n o están su je tos a l c o n t e o (v.g., a g u a , a r roz ) , es u s u a l m e d i r l o s . En e l c a s o d e la m o ­n e d a , ésta también es u n a u n i d a d d e m e d i d a d e v a l o r e conómico .

Diseñar. C reac ión de u n a f o r m a o diseño p a r a u n ob j e to o p a r a u n a par te d e l e n t o r n o e s p a c i a l . P u e d e i n v o l u c r a r la construcción d e l o b j e t o c o m o u n a p l a n t i l l a c o p i a b l e o c o m o un d i b u j o c o n v e n c i o n a l . El o b j e t o se p u e d e d i s e ­ñar p a r a usos tecnológicos o e sp i r i t ua l e s y la forma es un c o n c e p t o geomé ­t r i c o f u n d a m e n t a l .

Jugar. D iseño y part ic ipación e n j u e g o s y p a s a t i e m p o s c o n reglas más o m e n o s f o r m a l i z a d a s a las q u e t o d o s los j u g a d o r e s d e b e n some te r se . Los j u e g o s , c o n f r e c u e n c i a , m o d e l a n u n a s p e c t o s i g n i f i c a t i v o de la r e a l i d a d s o ­c i a l e i n v o l u c r a n r a z o n a m i e n t o hipotético.

Explicar. Determinac ión d e m a n e r a s d e rep resen ta r las r e l a c i o n e s ent re los fenómenos . En pa r t i cu l a r , la explorac ión d e p a r r o n e s d e números, d e l o c a l i ­zac ión , d e m e d i d a y d e diseño, q u e c r e a n u n mundo interior de r e l a c i o n e s matemát icas q u e m o d e l a n y, p o r e l l o , e x p l i c a n e l m u n d o ex t e r i o r d e la r e a ­l i d a d . 1 5

13. Para un examen más completo de estas ¡deas, ver Bishop (1988). 14. Quizás la advertencia puede parecer innecesaria, pero a un matemático, la palabra "universal " le causa ciertos problemas. Para una discusión adic ional acerca de este asunto general, ver Murdoch (1945). 15. Para que el conocimiento matemático se desarrolle es necesario que estas actividades se integren e interactúen. Sin esta integración, se puede afirmar que el conjunto de actividades es prematemático.

36 APROXIMACIÓN S O C I O C U L T U R A L A LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

p rog re so o c c i d e n t a l i z a d a , i n d u s t r i a l i z a d a y o r i e n t a d a h a c i a e l p r o d u c t o , q u e parecía s o l a m e n t e r e fo rza r la d i s p a r i d a d en t re los i m p e r i a l i s t a s e u r o p e o s o c c i d e n t a l e s , p rogres i s tas , d inámicos y ag r e s i vos , y los p u e b l o s c o l o n i z a ­d o s , t r a d i c i o n a l e s , es tab les y n o p rose l i t i s t as . El p r o g r e s o i n s p i r a d o p o r las matemáticas a través d e la tecnología y l a c i e n c i a f u e c l a r a m e n t e u n a d e las r a z o n e s po r las q u e los p o d e r e s c o l o n i a l e s p r o g r e s a r o n t an to y es p o r e l l o q u e las matemáticas f u e r o n u n a h e r r a m i e n t a tan s i g n i f i c a t i v a e n e l pe ta te c u l t u r a l d e los i m p e r i a l i s t a s .

En to ta l , e n t o n c e s estos v a l o r e s c o n s t i t u y e n u n a f u e r z a c u l t u r a l matemát ica y tecnológ ica q u e es lo q u e v e r d a d e r a m e n t e r e p r e s e n t a b a n las f u e r z a s imper i a l i s t a s . Las matemáticas, c o n su r a c i o n a l i s m o c l a r o y lógica fría, su precisión, sus l l a m a d o s h e c h o s " o b j e t i v o s " ( a p a r e n t e m e n t e i n d e p e n d i e n t e s de la c u l t u r a y d e los va lo res ) , su a u s e n c i a d e d e b i l i d a d e s h u m a n a s , su p o ­der de predicc ión y c o n t r o l , su est ímulo a los retos y a las p r e g u n t a s y su e m p u j e h a c i a u n c o n o c i m i e n t o más s e g u r o , f ue u n a r m a r e a l m e n t e m u y p o d e r o s a . A l a l i a r se c o n el uso d e la tecnología, c o n el d e s a r r o l l o d e la indus t r i a y de l c o m e r c i o a través d e a p l i c a c i o n e s científ icas y c o n l a u t i l i d a d c a d a v e z m a y o r d e p r o d u c t o s c o m e r c i a l e s t a n g i b l e s , e l estatus de las m a t e ­máticas se percibió c o m o i n d i s p u t a b l e .

D e s d e esos t i e m p o s c o l o n i a l e s has t a nues t ros días, e l p o d e r d e esta c u l t u r a matemática-tecnológica h a c r e c i d o r áp idamente—tan to , q u e las matemát i ­cas o c c i d e n t a l e s se enseñan a c t u a l m e n t e e n t o d o s los países d e l m u n d o . S igue enseñándose s o b r e t o d o b a j o l a hipótesis d e u n i v e r s a l i d a d y d e n e u ­t r a l i dad c u l t u r a l . P a r t i e n d o d e l c o l o n i a l i s m o has ta l l egar a l n e o c o l o n i a l i s m o , e l i m p e r i a l i s m o c u l t u r a l d e las matemát icas o c c i d e n t a l e s está todavía p o r adver t i r se y c o m p r e n d e r s e d e m a n e r a p l e n a . G r a d u a l m e n t e , se h a a d q u i r i ­d o u n a m a y o r comprens ión d e su i m p a c t o , p e r o u n o d e b e p r e g u n t a r s e si esta i n f l u e n c i a q u e l o i m p r e g n a t o d o está a h o r a f u e r a d e c o n t r o l .

A m e d i d a q u e se e x t i e n d e y d e s a r r o l l a l a c o n s c i e n c i a d e la n a t u r a l e z a c u l t u ­ral y de la i n f l u e n c i a d e las matemát icas o c c i d e n t a l e s , se p u e d e n v e r v a r i o s n i ve l e s d e r e spues ta . En u n p r i m e r n i v e l , se d e t e c t a u n interés c r e c i e n t e e n e l e s t u d i o d e las etnomatemát icas , a través t an to d e l análisis d e l a l i t e ra tura antropológica c o m o d e i n v e s t i g a c i o n e s e n s i t u a c i o n e s d e la v i d a r ea l . A u n ­q u e se r e c o n o c e q u e m u c h a s i d e a s q u e s o n i m p o r t a n t e s a h o r a p u e d e n n o h a b e r l o s i d o p a r a g e n e r a c i o n e s a n t e r i o r e s d e antropólogos, hay , n o o b s t a n ­te, g ran c a n t i d a d d e información q u e se p u e d e ex t rae r de l a l i t e ra tu ra e x i s ­tente.

Este t i p o d e análisis d e la l i t e r a tu ra se a p o y a , c l a r o está, e n es t ruc tu ras teór i ­cas q u e nos a y u d a n a c o n c e p t u a l i z a r q u é e x a c t a m e n t e podrían ser las m a t e ­máticas v istas c o m o f enómeno p a n c u l t u r a l . Se re i te ra q u e las matemáticas s o n u n p r o d u c t o c u l t u r a l — u n a tecno log ía s imból ica d e s a r r o l l a d a e n el p ro-

LAS MATEMÁTICAS OCCIDENTALES : EL A R M A SECRETA DEL IMPERIALISMO CULTURAL

c e s o d e i n v o l u c r a r s e e n va r i as a c t i v i d a d e s de l e n t o r n o . 1 3 Se p u e d e n i d e n t i f i ­c a r se is a c t i v i d a d e s q u e s o n un i v e r s a l e s , c o n l o c u a l q u i e r o d e c i r q u e n o se h a d o c u m e n t a d o la e x i s t e n c i a d e g r u p o c u l t u r a l a l g u n o q u e n o p a r e z c a l l e ­v a r a c a b o a l g u n a f o r m a d e ta les a c t i v i d a d e s . 1 4 Éstas s o n :

Contar. U s o d e u n a m a n e r a sistemática d e c o m p a r a r y o r d e n a r ob je tos d i f e ­r e n c i a d o s . P u e d e i n v o l u c r a r c o n t e o c o r p o r a i o d i g i t a l , c o n m a r c a s , u s o d e c u e r d a s u o t ros ob j e t o s p a r a e l reg is t ro , o n o m b r e s e s p e c i a l e s pa r a los n ú ­m e r o s . También se p u e d e n h a c e r cá lcu los c o n los números, c o n p r o p i e d a ­des p r e d i c t i v a s o mágicas a s o c i a d a s c o n a l g u n o s d e e l l o s .

Localizar. E x p l o r a c i ó n d e l e n t o r n o e s p a c i a l , c o n c e p t u a l i z a c i ó n y s imbol izac ión d e tal e n t o r n o c o n m o d e l o s , m a p a s , d i b u j o s y o t ros r e cu r sos . Este es e l a s p e c t o d e la geometría e n e l q u e j u e g a n u n p a p e l i m p o r t a n t e tópicos r e l a c i o n a d o s c o n la or ientac ión, l a navegac ión, la astronomía y In geografía.

Medir. Cuant i f icac ión d e c u a l i d a d e s c o m o la l o n g i t u d y e l p e s o , pa r a p ropó ­s i tos d e comparac ión y ordenac ión de ob j e tos . En fenómenos q u e n o están su je tos a l c o n t e o (v.g., a g u a , a r roz ) , es u s u a l m e d i r l o s . En e l c a s o d e la m o ­n e d a , ésta también es u n a u n i d a d d e m e d i d a d e v a l o r e conómico .

Diseñar. C reac ión de u n a f o r m a o diseño p a r a u n ob j e to o p a r a u n a par te d e l e n t o r n o e s p a c i a l . P u e d e i n v o l u c r a r la construcción d e l o b j e t o c o m o u n a p l a n t i l l a c o p i a b l e o c o m o un d i b u j o c o n v e n c i o n a l . El o b j e t o se p u e d e d i s e ­ñar p a r a usos tecnológicos o e sp i r i t ua l e s y la forma es un c o n c e p t o geomé ­t r i c o f u n d a m e n t a l .

Jugar. D iseño y part ic ipación e n j u e g o s y p a s a t i e m p o s c o n reglas más o m e n o s f o r m a l i z a d a s a las q u e t o d o s los j u g a d o r e s d e b e n some te r se . Los j u e g o s , c o n f r e c u e n c i a , m o d e l a n u n a s p e c t o s i g n i f i c a t i v o de la r e a l i d a d s o ­c i a l e i n v o l u c r a n r a z o n a m i e n t o hipotético.

Explicar. Determinac ión d e m a n e r a s d e rep resen ta r las r e l a c i o n e s ent re los fenómenos . En pa r t i cu l a r , la explorac ión d e p a r r o n e s d e números, d e l o c a l i ­zac ión , d e m e d i d a y d e diseño, q u e c r e a n u n mundo interior de r e l a c i o n e s matemát icas q u e m o d e l a n y, p o r e l l o , e x p l i c a n e l m u n d o ex t e r i o r d e la r e a ­l i d a d . 1 5

13. Para un examen más completo de estas ¡deas, ver Bishop (1988). 14. Quizás la advertencia puede parecer innecesaria, pero a un matemático, la palabra "universal " le causa ciertos problemas. Para una discusión adic ional acerca de este asunto general, ver Murdoch (1945). 15. Para que el conocimiento matemático se desarrolle es necesario que estas actividades se integren e interactúen. Sin esta integración, se puede afirmar que el conjunto de actividades es prematemático.

38 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

Poseemos actualmente una ev idenc ia documenta l extensa proveniente de muchas culturas diferentes que conf i rma la existencia de todas estas act iv i ­dades y esta estructura sí nos posibi l i ta emprender búsquedas más detal la­das en la literatura de investigación. Sin embargo, el término etnomatemáticas no está todavía bien de f i n ido 1 6 y, en efecto, a la luz de las ideas y datos que poseemos, quizás sería mejor no usarlo, s ino más bien precisar a qué clase de matemáticas —cuáles y las de quién— se está uno refiriendo en un c o n ­texto dado. Más aun, la búsqueda debería enfocarse por igual en el aspecto de los valores. A l considerar los problemas y los asuntos de conf l ic to cu l tu ­ral en la educac ión , es d e m a s i a d o fácil c o n f i n a r s e a l n i v e l de las s imbol izac iones y del lenguaje, mientras que son de una significación m u ­cho mayor las diferencias en valores culturales que puedan existir. En la investigación por venir se requerirá dedicarles atención con toda seriedad.

En el segundo n ive l , hay una respuesta en muchos países en desarrollo y antiguas colonias que se orienta a crear una mayor consc ienc ia de la propia ( ultura. El renacimiento o redespertar cultural es una meta reconoc ida del proceso educat ivo en varios países. Paulus Gerdes, en M o z a m b i q u e , es un educador matemático que ha real izado gran cant idad de trabajo en esta área, Él intenta no solamente demostrar aspectos importantes de las mate­máticas de la soc iedad mozambicana , sino también desarrollar el proceso de "descongelar" las matemáticas "conge ladas" que está descubr iendo. Por ejemplo, con los métodos de trenzado que usan los pescadores para hacer sus redes, él muestra cómo func ionan algunas ideas geométricas signif icat i ­vas que podrían ser fácilmente incorporadas en el currículo de las matemá­ticas para crear lo que considera una educación matemática genuinamente mozambicana para los jóvenes de allí (Gerdes, 1986, 1988).

Es claro que las ideas del pr imer nivel informarán y estimularán el trabajo en este segundo nivel —o t r a razón por la cual se necesita actual izar la investi ­gación etnomatemática. Esta act iv idad no está restringida a los países en desarrollo. En Austral ia con los aborígenes, en América del Norte con los navajos y otros grupos amerindios y en otros países, donde existen minorías c ulturales y étnicas, hay mucho interés en el descubr imiento y desarrol lo de las matemáticas locales, populares o aborígenes, que pueden haber perma­necido adormecidas durante siglos (Harris, 1980; Closs, 1986). Estas ideas pueden ayudar entonces a darle forma a un currículo más pertinente y culturalmente signif icat ivo en las escuelas locales.

Una de las ironías más grandes en todo este c ampo es que muchas culturas y sociedades diferentes han contr ibuido al desarrol lo de lo que se denomina

I (, l ' . irn tener d i f e r e n t e s p e r s p e c t i v a s , v e r D ' A m b r o s i o ( 1 9 8 5 ) y A s c h e r y A s c h e r ( 1 9 8 6 ) . Los A s c h e r M m i n i e n r \ | i e ( í f icnmente q u e las e tnomatemát icas s o n la p r o v i n c i a d e " g e n t e s ágrafas" m i e n t r a s i| i ie I.i VIMIIII .1.-1 V A m h r o s i o c o m p r e n d e t o d a s las i d e a s matemát icas n o e x p u e s t a s p o r l a " c o r r i e n t e | i i e i l i i i i i i i i . i i i l i ' i l e I.i*. ma temát i cas " .

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

matemáticas occidentales: los egipcios, los chinos, los hindúes, los árabes los griegos, tanto c o m o los europeos occidentales. Sin embargo, cuando eí imper ia l ismo cultural occidental impuso su versión de las matemáticas a las sociedades co lon izadas , d icha versión era escasamente reconocib le c o m o algo a lo que estas sociedades pudieran haber contr ibuido. En Irán, al c o ­mienzo de la década de T970, por ejemplo, parecía haber poca consc ien ­c ia , por parte de los educadores matemáticos locales, del aporte masivo del imperio musulmán al desarrollo de las matemáticas que ellos estaban lu ­chando por enseñar a sus jóvenes. En la actual idad, con el surgimiento del fundamental ismo, está incrementándose la consc ienc ia tanto de este aporte c o m o de una filosofía esencialmente islámica de la educación, que dará forma a ¡os currículos matemático y científico en las escuelas fundamentalistas (Nasr, 1976; Al-Faruqi y Naseef, 1981). Estamos comenzando , por tanto, a ver que otras culturas asimi lan las matemáticas occidentales en lugar de sufrir su imposición. Este es un desarrollo de carácter mundia l y no puede menos que estimular el resurgimiento cultural .

El tercer nivel de respuesta al imperia l ismo cultural de las matemáticas o c c i ­dentales es, paradójicamente, el reexamen de toda la historia de las mate­máticas occidentales. No es un accidente que esta historia haya sido escrita predominantemente por investigadores blancos, varones, europeos occ iden ­tales o norteamericanos, y hay una preocupación de que, por e jemplo, se haya subvalorado la contribución del África negra. El l ibro de van Sertima, Blacks in Science, es un ataque del iberado a esta visión prejuic iada del de­sarrollo matemático (van Sertima, 1 986). Varios colaboradores de este l ibro señalan las ideas e invenciones científicas, tecnológicas y matemáticas de­sarrolladas en África hace siglos, a las que sin embargo rara vez se hace referencia. Otros colaboradores afirman que la contribución de los griegos a las matemáticas se ha enfaíizado en exceso; que ellos solamente conso l i ­daron y estructuraron lo que había sido desarro l lado a fondo por los babi lonios y los egipcios previamente; que Euclides trabajó en Alejandría y probablemente fue africano y no griego; y que la ev idencia arqueológica no ha sido tenida en cuenta o ha sido tergiversada (Lumpkin c i tado en van Sertima, 1986).

Joseph (1 987) enfatiza el papel importante que jugó el imperio musulmán al traer a la atención de un público más ampl io , no sólo de Europa, las ¡deas matemáticas de Oriente. El trabajo de Needham (Roñan, 1981) demuestra muy bien las contr ibuciones que comenzaron en Ch ina y crecieron a través de la India, donde los musulmanes hicieron contacto con ellas. Ciertamente no hay razón para afirmar que lo que conocemos como matemáticas o c c i ­dentales haya sido por completo el producto de la cultura europea occidental .

Desde mi punto de vista, sin embargo, se ha subestimado hasta ahora el signif icado de los valores culturales en gran parte de este análisis histórico,

38 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

Poseemos actualmente una ev idenc ia documenta l extensa proveniente de muchas culturas diferentes que conf i rma la existencia de todas estas act iv i ­dades y esta estructura sí nos posibi l i ta emprender búsquedas más detal la­das en la literatura de investigación. Sin embargo, el término etnomatemáticas no está todavía bien de f i n ido 1 6 y, en efecto, a la luz de las ideas y datos que poseemos, quizás sería mejor no usarlo, s ino más bien precisar a qué clase de matemáticas —cuáles y las de quién— se está uno refiriendo en un c o n ­texto dado. Más aun, la búsqueda debería enfocarse por igual en el aspecto de los valores. A l considerar los problemas y los asuntos de conf l ic to cu l tu ­ral en la educac ión , es d e m a s i a d o fácil c o n f i n a r s e a l n i v e l de las s imbol izac iones y del lenguaje, mientras que son de una significación m u ­cho mayor las diferencias en valores culturales que puedan existir. En la investigación por venir se requerirá dedicarles atención con toda seriedad.

En el segundo n ive l , hay una respuesta en muchos países en desarrollo y antiguas colonias que se orienta a crear una mayor consc ienc ia de la propia ( ultura. El renacimiento o redespertar cultural es una meta reconoc ida del proceso educat ivo en varios países. Paulus Gerdes, en M o z a m b i q u e , es un educador matemático que ha real izado gran cant idad de trabajo en esta área, Él intenta no solamente demostrar aspectos importantes de las mate­máticas de la soc iedad mozambicana , sino también desarrollar el proceso de "descongelar" las matemáticas "conge ladas" que está descubr iendo. Por ejemplo, con los métodos de trenzado que usan los pescadores para hacer sus redes, él muestra cómo func ionan algunas ideas geométricas signif icat i ­vas que podrían ser fácilmente incorporadas en el currículo de las matemá­ticas para crear lo que considera una educación matemática genuinamente mozambicana para los jóvenes de allí (Gerdes, 1986, 1988).

Es claro que las ideas del pr imer nivel informarán y estimularán el trabajo en este segundo nivel —o t r a razón por la cual se necesita actual izar la investi ­gación etnomatemática. Esta act iv idad no está restringida a los países en desarrollo. En Austral ia con los aborígenes, en América del Norte con los navajos y otros grupos amerindios y en otros países, donde existen minorías c ulturales y étnicas, hay mucho interés en el descubr imiento y desarrol lo de las matemáticas locales, populares o aborígenes, que pueden haber perma­necido adormecidas durante siglos (Harris, 1980; Closs, 1986). Estas ideas pueden ayudar entonces a darle forma a un currículo más pertinente y culturalmente signif icat ivo en las escuelas locales.

Una de las ironías más grandes en todo este c ampo es que muchas culturas y sociedades diferentes han contr ibuido al desarrol lo de lo que se denomina

I (, l ' . irn tener d i f e r e n t e s p e r s p e c t i v a s , v e r D ' A m b r o s i o ( 1 9 8 5 ) y A s c h e r y A s c h e r ( 1 9 8 6 ) . Los A s c h e r M m i n i e n r \ | i e ( í f icnmente q u e las e tnomatemát icas s o n la p r o v i n c i a d e " g e n t e s ágrafas" m i e n t r a s i| i ie I.i VIMIIII .1.-1 V A m h r o s i o c o m p r e n d e t o d a s las i d e a s matemát icas n o e x p u e s t a s p o r l a " c o r r i e n t e | i i e i l i i i i i i i i . i i i l i ' i l e I.i*. ma temát i cas " .

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L I M P E R I A L I S M O C U L T U R A L

matemáticas occidentales: los egipcios, los chinos, los hindúes, los árabes los griegos, tanto c o m o los europeos occidentales. Sin embargo, cuando eí imper ia l ismo cultural occidental impuso su versión de las matemáticas a las sociedades co lon izadas , d icha versión era escasamente reconocib le c o m o algo a lo que estas sociedades pudieran haber contr ibuido. En Irán, al c o ­mienzo de la década de T970, por ejemplo, parecía haber poca consc ien ­c ia , por parte de los educadores matemáticos locales, del aporte masivo del imperio musulmán al desarrollo de las matemáticas que ellos estaban lu ­chando por enseñar a sus jóvenes. En la actual idad, con el surgimiento del fundamental ismo, está incrementándose la consc ienc ia tanto de este aporte c o m o de una filosofía esencialmente islámica de la educación, que dará forma a ¡os currículos matemático y científico en las escuelas fundamentalistas (Nasr, 1976; Al-Faruqi y Naseef, 1981). Estamos comenzando , por tanto, a ver que otras culturas asimi lan las matemáticas occidentales en lugar de sufrir su imposición. Este es un desarrollo de carácter mundia l y no puede menos que estimular el resurgimiento cultural .

El tercer nivel de respuesta al imperia l ismo cultural de las matemáticas o c c i ­dentales es, paradójicamente, el reexamen de toda la historia de las mate­máticas occidentales. No es un accidente que esta historia haya sido escrita predominantemente por investigadores blancos, varones, europeos occ iden ­tales o norteamericanos, y hay una preocupación de que, por e jemplo, se haya subvalorado la contribución del África negra. El l ibro de van Sertima, Blacks in Science, es un ataque del iberado a esta visión prejuic iada del de­sarrollo matemático (van Sertima, 1 986). Varios colaboradores de este l ibro señalan las ideas e invenciones científicas, tecnológicas y matemáticas de­sarrolladas en África hace siglos, a las que sin embargo rara vez se hace referencia. Otros colaboradores afirman que la contribución de los griegos a las matemáticas se ha enfaíizado en exceso; que ellos solamente conso l i ­daron y estructuraron lo que había sido desarro l lado a fondo por los babi lonios y los egipcios previamente; que Euclides trabajó en Alejandría y probablemente fue africano y no griego; y que la ev idencia arqueológica no ha sido tenida en cuenta o ha sido tergiversada (Lumpkin c i tado en van Sertima, 1986).

Joseph (1 987) enfatiza el papel importante que jugó el imperio musulmán al traer a la atención de un público más ampl io , no sólo de Europa, las ¡deas matemáticas de Oriente. El trabajo de Needham (Roñan, 1981) demuestra muy bien las contr ibuciones que comenzaron en Ch ina y crecieron a través de la India, donde los musulmanes hicieron contacto con ellas. Ciertamente no hay razón para afirmar que lo que conocemos como matemáticas o c c i ­dentales haya sido por completo el producto de la cultura europea occidental .

Desde mi punto de vista, sin embargo, se ha subestimado hasta ahora el signif icado de los valores culturales en gran parte de este análisis histórico,

4 0 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

y cuando esa dimensión se reconozca plenamente, habrá una gran cantidad de replanteamientos por hacer. La separación entre s imbol izac iones y va lo ­res culturales es difícil de realizar, pero sabemos cómo aún la lengua inglesa lleva diferentes mensajes a cada lado del Atlántico, por razón de los diferen­tes valores culturales existentes allí. Las mismas s imbol izac iones de las ma ­temáticas bien pueden haber l levado con ellas diferentes clases de valores en diferentes culturas del pasado. Quizás el mejor e jemplo de esto se da en la India. Las matemáticas de la India, junto con las de otros grupos cultura­les orientales, estuvieron asociadas con valores religiosos y espirituales fuer­tes. I ,is matemáticas occidentales, por otra parte, se identif icaban fuerte­mente con la c ienc ia occ identa l , con el conoc imiento deshumanizado, l la ­mado "objet ivo" y con las interpretaciones empíricas y racionales de los fenómenos naturales. Sin embargo, hoy en la mayor parte de las escuelas de I.i India se enseñan las matemáticas occidentales y se adoptan los valores oc c ¡dentales. Desde luego, muchas de las s imbol izac iones (números, etc.) sobre las que se basan nuestras propias s imbol izac iones y muchas de las ¡deas de la aritmética fueron desarrolladas por los hindúes. Los valores, sin embargo, son marcadamente diferentes. A lgunos educadores matemáticos de la India (Kothari, 1 9 7 8 ) , en la actual idad están propendiendo por c o m ­pensar la balanza, aunque irónicamente bien puede haber un mayor interés en esta clase de desarrol lo educat ivo para la comun idad de la India, en, por ejemplo, Inglaterra que en la India misma, donde parecen percibirse con menor intensidad los confl ictos educat ivos. N o obstante, la relación entre valores y simbolización tiende a ser un área promisor ia para una investiga­ción ulterior.

Comencé por describir el mito de la neutral idad cultural de las matemáticas occidentales. La ev idenc ia moderna sirve cada vez más para destruir esta creencia ingenua. N o obstante, la creencia en ese mito ha tenido y continúa teniendo impl icaciones importantes. Dichas impl icaciones se relacionan con l l educación, los desarrollos nacionales y con una continuación del impe­rial ismo cultural . En efecto, no es demasiado radical afirmar que la mayor parte del mundo moderno ha aceptado las matemáticas occidentales, in-c luidos los valores asociados a el las, c o m o una parte fundamental de su educ .ic ¡ón. En Hungría, en 1 9 8 8 , alrededor de tres mi l educadores matemá-ticos asistieron al sexto International Congress on Mathematical Education (K M D que se realiza cada cuatro años. Los participantes provenían de aque­llos países que podían sufragar los costos de la participación. Los que no MtUVleron allí habrán adquir ido copias de las memorias e informes. Tal es el magnetismo de las matemáticas occidentales y de su acólito pr inc ipa l , la educ ación matemática. Es claro que muchas sociedades han reconocido los beneficios de adoptar las matemáticas, la c iencia y la tecnología occidentales.

Sin embargo, desde un punto de vista más ampl io , uno se puede preguntar: ¿no debería haber una mayor resistencia a esta hegemonía cultural? De he-

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L IMPER IA I I S M o r ^ n ^ , ^

cho hay alguna consc ienc ia de la cual partir. Además de las tres respuestas principales que se expusieron antes, en los últimos años, a medida que cier­tas evidencias y asuntos c o m o los mencionados en este artículo han l legado a diseminarse y a discutirse más seriamente, se ha incrementado un recono­c imiento de la necesidad de reflejar estas preocupaciones en tales congre­sos. En la conferencia de Hungría se dedicó.un día entero al tema "matemá­ticas, educación y soc iedad" sobre el cual se presentaron varios documen ­tos, se estimuló la discusión y se suscitó la toma de consc ienc ia . En ese programa de un día se incluyeron tópicos de gran importancia para los asuntos discutidos aquí (Bishop, Damerow, Gerdes y Keitel, 1 9 8 8 ) . 1 7

La resistencia crece, el debate crítico informa los desarrollos teóricos y la investigación aumenta de manera particular en situaciones educativas en las que se reconoce algún conf l ic to cultural . El arma secreta, ya no es tan secreta.

1 7 . También hay u n a publ icac ión e s p e c i a l d e la U N E S C O q u e i n c l u y e todas las p o n e n c i a s p resen tadas d u r a n t e e l e v e n t o (Ke i t e l , B i s h o p , D a m e r o w y G e r d e s , 1 9 8 9 ) .

4 0 A P R O X I M A C I Ó N S O C I O C U L T U R A L A L A E D U C A C I Ó N M A T E M Á T I C A

y cuando esa dimensión se reconozca plenamente, habrá una gran cantidad de replanteamientos por hacer. La separación entre s imbol izac iones y va lo ­res culturales es difícil de realizar, pero sabemos cómo aún la lengua inglesa lleva diferentes mensajes a cada lado del Atlántico, por razón de los diferen­tes valores culturales existentes allí. Las mismas s imbol izac iones de las ma ­temáticas bien pueden haber l levado con ellas diferentes clases de valores en diferentes culturas del pasado. Quizás el mejor e jemplo de esto se da en la India. Las matemáticas de la India, junto con las de otros grupos cultura­les orientales, estuvieron asociadas con valores religiosos y espirituales fuer­tes. I ,is matemáticas occidentales, por otra parte, se identif icaban fuerte­mente con la c ienc ia occ identa l , con el conoc imiento deshumanizado, l la ­mado "objet ivo" y con las interpretaciones empíricas y racionales de los fenómenos naturales. Sin embargo, hoy en la mayor parte de las escuelas de I.i India se enseñan las matemáticas occidentales y se adoptan los valores oc c ¡dentales. Desde luego, muchas de las s imbol izac iones (números, etc.) sobre las que se basan nuestras propias s imbol izac iones y muchas de las ¡deas de la aritmética fueron desarrolladas por los hindúes. Los valores, sin embargo, son marcadamente diferentes. A lgunos educadores matemáticos de la India (Kothari, 1 9 7 8 ) , en la actual idad están propendiendo por c o m ­pensar la balanza, aunque irónicamente bien puede haber un mayor interés en esta clase de desarrol lo educat ivo para la comun idad de la India, en, por ejemplo, Inglaterra que en la India misma, donde parecen percibirse con menor intensidad los confl ictos educat ivos. N o obstante, la relación entre valores y simbolización tiende a ser un área promisor ia para una investiga­ción ulterior.

Comencé por describir el mito de la neutral idad cultural de las matemáticas occidentales. La ev idenc ia moderna sirve cada vez más para destruir esta creencia ingenua. N o obstante, la creencia en ese mito ha tenido y continúa teniendo impl icaciones importantes. Dichas impl icaciones se relacionan con l l educación, los desarrollos nacionales y con una continuación del impe­rial ismo cultural . En efecto, no es demasiado radical afirmar que la mayor parte del mundo moderno ha aceptado las matemáticas occidentales, in-c luidos los valores asociados a el las, c o m o una parte fundamental de su educ .ic ¡ón. En Hungría, en 1 9 8 8 , alrededor de tres mi l educadores matemá-ticos asistieron al sexto International Congress on Mathematical Education (K M D que se realiza cada cuatro años. Los participantes provenían de aque­llos países que podían sufragar los costos de la participación. Los que no MtUVleron allí habrán adquir ido copias de las memorias e informes. Tal es el magnetismo de las matemáticas occidentales y de su acólito pr inc ipa l , la educ ación matemática. Es claro que muchas sociedades han reconocido los beneficios de adoptar las matemáticas, la c iencia y la tecnología occidentales.

Sin embargo, desde un punto de vista más ampl io , uno se puede preguntar: ¿no debería haber una mayor resistencia a esta hegemonía cultural? De he-

L A S M A T E M Á T I C A S O C C I D E N T A L E S : EL A R M A S E C R E T A D E L IMPER IA I I S M o r ^ n ^ , ^

cho hay alguna consc ienc ia de la cual partir. Además de las tres respuestas principales que se expusieron antes, en los últimos años, a medida que cier­tas evidencias y asuntos c o m o los mencionados en este artículo han l legado a diseminarse y a discutirse más seriamente, se ha incrementado un recono­c imiento de la necesidad de reflejar estas preocupaciones en tales congre­sos. En la conferencia de Hungría se dedicó.un día entero al tema "matemá­ticas, educación y soc iedad" sobre el cual se presentaron varios documen ­tos, se estimuló la discusión y se suscitó la toma de consc ienc ia . En ese programa de un día se incluyeron tópicos de gran importancia para los asuntos discutidos aquí (Bishop, Damerow, Gerdes y Keitel, 1 9 8 8 ) . 1 7

La resistencia crece, el debate crítico informa los desarrollos teóricos y la investigación aumenta de manera particular en situaciones educativas en las que se reconoce algún conf l ic to cultural . El arma secreta, ya no es tan secreta.

1 7 . También hay u n a publ icac ión e s p e c i a l d e la U N E S C O q u e i n c l u y e todas las p o n e n c i a s p resen tadas d u r a n t e e l e v e n t o (Ke i t e l , B i s h o p , D a m e r o w y G e r d e s , 1 9 8 9 ) .