APRENDIENDO

JUNTOS

EDICIÓN: CONJUNTOS

2

Índice

Conjuntos ........................................................................................................................ 4

Clases de Conjuntos ....................................................................................................... 4

Conjunto Finito: ............................................................................................................ 4

Conjunto Infinito: .......................................................................................................... 4

Conjunto Unitario ......................................................................................................... 6

Conjunto Vacío: ........................................................................................................... 6

Conjunto Universal (Referencial) ................................................................................. 8

Conjuntos Disyuntos .................................................................................................... 8

Conjuntos Equivalentes ............................................................................................. 10

Conjuntos Iguales ...................................................................................................... 10

Conjuntos Homogéneos ............................................................................................ 12

Conjuntos Heterogéneos ........................................................................................... 12

Cardinalidad .................................................................................................................. 14

Pertenencia ................................................................................................................... 16

Operaciones entre conjuntos ........................................................................................ 18

Unión ......................................................................................................................... 18

Intersección ................................................................................................................ 20

Diferencia ................................................................................................................... 22

Diferencia Simétrica ................................................................................................... 24

Subconjuntos ................................................................................................................ 26

Complemento ................................................................................................................ 28

Producto Cartesiano...................................................................................................... 30

Hoja de Trabajo ............................................................................................................. 36

Summary ....................................................................................................................... 38

Conclusiones ................................................................................................................. 39

Recomendaciones......................................................................................................... 40

Bibliografía .................................................................................................................... 41

Egrafía ........................................................................................................................... 42

3

Introducción

Aprendiendo juntos, edición conjuntos, es una revista virtual que pretende

facilitar el proceso de enseñanza y aprendizaje de la teoría de conjuntos,

por lo que, se explica de un modo claro y entendible a alumnos que estén

cursando el sexto grado de primaria y/o los maestros que estén

impartiendo dicho grado.

El objetivo es que al terminar esta edición pueda definir qué es un conjunto

e identificar la cardinalidad, reconocer las características de cada conjunto,

y resolver las diferentes operaciones entre conjuntos.

Para ayudar al aprendizaje se agregó una hoja de trabajo, la cual abarca

todos los temas explicados en esta revista, que pueden servir como

prueba o para práctica del alumno.

4

Conjuntos

Un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en

sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas,

números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la

colección es un elemento o miembro del conjunto

Clases de Conjuntos

Conjunto Finito:

Cuando los elementos del conjunto se pueden contar.

A= {Todas las letras del alfabeto}

J= {partes del cuerpo}

Z= {Colores}

Conjunto Infinito:

Cuando los elementos de un conjunto no se pueden contar.

A= {Las estrellas del universo}

G= {Granos de arena}

S= {Granos de sal}

5

Sets

A set is a group of elements that are considered as an object by itself. The

set elements can be anything: people, numbers, colors, letters, figures, etc.

Each objects in a set is an element.

Kinds of sets

Finite sets

Is a set in which you can count all the elements.

A= {All the letters}

J= {body parts}

Z= {colors}

Infinite sets

Is a set whose elements cannot be counted.

A= {the stars}

G= {sand}

S= {salt}

6

Conjunto Unitario

El tipo de conjunto que consiste únicamente de un elemento.

A= {Sol}

A= {Luna} A= {Carro}

Conjunto Vacío:

El tipo de conjunto que no tiene elementos, o si los tiene son inexistentes.

A= {}

B= {Vaca Azul}

C= {Cerdo volador}

7

Singleton set

A singleton set is the one that contains exactly one element.

A= {the sun}

A= {the moon}

A= {a car}

Empty set

Is a set that has no elements or if it has them they will be not real.

A= {}

B= {the blue cow}

C= {flying pig}

8

Conjunto Universal (Referencial)

El conjunto formado por todos los miembros de los elementos que forman

un solo conjunto.

A= {0, 1, 2, 3, 4}, B= {5, 6, 7} C= {8 ,9}

U= {Números Dígitos}

A= {a, e}, B= {i, o, u}

U= {Vocales}

A= {-1,-2,-3}, C= {-4,-5,-6}

U= {Números negativos}

Conjunto Disyunto

El tipo de conjuntos que no tienen nada en común; la intersección de dos o

más conjuntos.

A= {0, 1, 2, 3}

B= {4, 5, 6, 7}

J= {Guatemala, México, Honduras}

K= {Japón, China, Tailandia}

Y= {50, 54 ,59}

Z= {9, 10, 11, 13}

9

Universal set (referential)

The set that contains all the elements of different sets.

A= {0, 1, 2, 3, 4}, B= {5,6,7} C= {8,9} U= {digit numbers}

A= {a, e}, B= {i, o, u}

U= {Vowels}

A= {-1,-2,-3}, C= {-4,-5,-6} U= {Negative numbers}

Disjoint sets

If two sets A and B should have no common elements we can say that it is a disjoint set

A= {0,1,2,3,} B= {4,5,6,7}

J= {Guatemala, México, Honduras}

K= {Japón, China, Tailandia}

Y= {50,54,59} Z= {9,10,11,13}

10

Conjuntos Equivalentes

Se refiere a los tipos de conjuntos que tienen la misma cantidad de

elementos.

A= {a, e, i ,o, u}

B= {perro, gato, pato, conejo, tortuga}

Conjuntos Iguales

Los conjuntos que tienen exactamente los mismos elementos.

F= {1, 2, 3, 4, 5} P= {5, 1, 3, 4, 2

11

Equality of sets

These are the sets that have the same amount of elements

A= {a, e, I, o, u}

B= { dog, cat, duck, rabbit, turtle}

Equal sets

These are the sets that have exactly the same elements

F= {1,2,3,4,5} P= {5,1,3,4,2}

12

Conjuntos Homogéneos

Los elementos de este tipo de conjuntos pertenecen a la misma

catalogación.

A= {sol, luna, estrellas, nubes}

(Pertenecen a la catalogación de elementos del cielo)

Conjuntos Heterogéneos

Los elementos de este tipo de conjuntos pertenecen a catalogaciones o

clasificaciones diferentes, no son del mismo tipo.

A= {nubes, casa, a, b, 0}

13

Homogeneous sets

The elements of these sets are part of the same category.

A= { sun, moon, stars, clouds}

(All are elements of the sky)

Heterogeneous sets

The elements are not from the same category even if they are in the same

set.

A= {clouds, house, a, b, 0}

14

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto corresponde al número de elementos que

tiene el conjunto. Se representa con una “(n)”.

W = { $, %, &, /, ª }

El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad

es 5

A= {x/x es un número dígito}

El conjunto A está integrado por 10 elementos, por lo tanto, su cardinalidad

es 10

D= { 2, 4, 6, 8, 10, 12}

El conjunto D está integrado por 6 elementos, por lo tanto, su cardinalidad

es 6

15

Cardinality of sets

Is the number of elements in a set. It’s represented by a “(n).”

W= {$, %, &, /, ª}

The set W contains 5 elements. The cardinality of this set is 5.

A= {x/x it is a digit number}

The set A contains 10 elements therefore the cardinality is 10.

D= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

The set D contains 6 elements therefore the cardinality is 6

16

Pertenencia

Relación que hay entre los elementos de un conjunto universal y otro

conjunto. El símbolo que indica pertenecía se escribe ∈ . Si un elemento

no pertenece al conjunto se escribe el símbolo .

U= (países de América)

S= (países de Sudamérica) C= (países de Centroamérica y El Caribe)

U= (animales salvajes)

E= (tigre, león, halcón) F= (águila, gorila, rinoceronte)

U= (frutas)

G= (manzana, banano, pera) T= (naranja, mandarina, guayaba)

17

Properties of a set

Is the relationship between the elements of a universal set and another set.

The symbol that indicates the property is ∈. If one of the elements do not

belong to the set we write ∉.

U= (countries of America) S= (Countries of South America) C= (Countries of Central America and

the Caribbean)

U= (wild animals) E= (tiger, lion, falcon) F= (eagle, gorilla, rhino)

U= (fruits)

G= (apple, banana, pear) T= (orange, mandarin, guava)

18

Operaciones entre conjuntos

Unión Se llama unión de conjuntos, al conjunto formado por todos los elementos que están en A o en

B o en ambos. La unión se representa con una U mayúscula.

AUB

Ejemplos:

1. Encuentra la AUB

A= {x/x números mayores que 4 y menores que 8}

A={5,6,7}

B= {x/x números positivos menores que 7}

B={ 1,2,3,4,5,6}

AUB= {1,2,3,4,5,6,7}

19

Operation between sets

Union

The union is the set that contains elements that belong to either a set A or

B or to both of the sets. The union it’s represented by U.

1. Find AUB

A= {x/x is a number bigger than 4 and smaller

than 8}

B= {x/x is a positive number smaller than 7}

A= {5,6,7}

B= {1,2,3,4,5,6}

AUB= {1,2,3,4,5,6,7}

20

Intersección

Es el conjunto formado por todos los elementos iguales que pertenecen a

A y pertenecen a B. la intersección se representa con una U mayúscula al

revés.

Ejemplos:

∩B∩C

A={ 1,2,3,4}

B={ 2,3,5,7}

C= { 1,2,3,8,9}

A∩B∩C = { 2, 3}

2. A∩B

A∩B= {c, d}

3. B ∩C

B= {a, b, c, d, u}

C= {c, d, j, k, l}

B∩C = { c, d}

21

Intersection of sets

Is defined as the group of common elements of two or more sets. It is

denoted by the symbol ∩.

Examples:

1) A∩B∩C

A={ 1,2,3,4}

B={ 2,3,5,7}

C= { 1,2,3,8,9}

A∩B∩C = { 2, 3}

2. A∩B

A∩B= {c, d}

3. B ∩C

B= {a, b, c, d, u}

C= {c, d, j, k, l}

B∩C = { c, d}

22

Diferencia

Se llama diferencia al conjunto formado por todos los elementos de están

en el primer conjunto que no se encuentran en el segundo. Se representa

con un signo (-) menos.

Ejemplos:

1) A-B

A= {a, b, c,

d}

B={b,d,f,g}

2. A-B

A= {1, 2, 4}

B= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}

A-B ={3, 6, 7, 8, 9}

3.

23

Set difference

Is the set of elements that are in one but not in the other one. We represent

the difference with -.

Examples

1) A-B

A= {a, b, c,

d}

B={b,d,f,g}

3.

2. A-B

A= {1, 2, 4}

B= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}

A-B ={3, 6, 7, 8, 9}

24

Diferencia Simétrica

Se le llama así al conjunto formado por todos los elementos de ambos

conjuntos, excepto los que están en la intersección de ambos.

Ejemplos:

1. A ΔB 2.

A= {1, 2, 3, 4}

B= {1, 4, 5}

A ΔB= {2, 3, 5}

3.

25

Symmetric Difference

We call symmetric difference to the set in which we find all the elements of

both sets, except the ones that are in the intersection.

Examples:

1. A ΔB 2.

A= {1, 2, 3, 4}

B= {1, 4, 5}

A ΔB= {2, 3, 5}

3.

26

Subconjuntos

Un conjunto X es un subconjunto cuando este está dentro de otro conjunto.

(En este ejemplo, el conjunto con líneas punteadas es el subconjunto del

conjunto más grande)

27

Subsets

It is when a set is inside another set.

28

Complemento

Se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos

de U que no pertenecen a A.

Ejemplos

U= {números del 0 al 10}

A= {números pares del 0 al 10}

U= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A= {2, 4, 6, 8, 10}

El complemento de A = {0, 1, 3, 5, 7, 9}

29

Complement of a set

All the elements in the universal set U, but not in A.

Examples:

1. U= {numbers from 0 to 10}

A= {pairs numbers from 0 to 10}

U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A= {2, 4, 6, 8, 10}

The complement of A will be= {0, 1, 3, 5, 7, 9}

30

Producto Cartesiano

El producto cartesiano es una operación entre dos conjuntos, de modo

que se forma otro conjunto con todos los pares ordenados posibles.

A = {1, 2, 3, 4}

B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con

un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el

nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis,

separados por coma. El orden para representarlo siempre lo determinará la

primera letra.

A = {1, 2, 3, 4}

B = {a, b}, su producto cartesiano es:

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}

El producto cartesiano de dos conjuntos, será un nuevo conjunto,

identificado como A x B, y consistirá de un conjunto de parejas ordenadas,

(x, y), donde x pertenece al conjunto A y Y pertenece al conjunto B.

31

Cartesian product of a set

It is an operation between two sets in which you form another set with all

the possible ordered pairs.

A= { 1, 2, 3, 4}

B= {a, b} the Cartesian product will be:

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

The elements of A x B are ordered pairs. Every pair that is made has one element of A and one of B in that order, that is why we call it, ordered pairs. The elements are written in parenthesis and separated by a coma. The order of how we will represent it will depend of the first letter.

A = {1, 2, 3, 4}

B = {a, b}, the Cartesian product will be:

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}

The Cartesian product of the sets will be a new set that will be called AxB, this one will have the ordered pairs, (x,y), where x are part of the set A and Y are part of the set B.

32

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

Su producto cartesiano es:

A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3,6)}

A = {a, b, c}

B = {a, 2, 3, 4},

Su producto cartesiano es:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1) (c, 2),

(c, 3) (c,4)}

33

A= {1, 2, 3}

B= {4, 5, 6}

The Cartesian product will be:

A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3,6)}

A = {a, b, c}

B = {a, 2, 3, 4},

The Cartesian product will be:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1) (c, 2)

(c, 3), (c, 4) }

34

A = {1, 2}

B = {a, b, c},

Su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

35

A = {1, 2}

B = {a, b, c},

The Cartesian product will be:

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

36

Hoja de Trabajo

PARTE I: Resuelva el siguiente crucigrama

HORIZONTAL VERTICAL

4. Elementos de un conjunto que 1. Conjunto formado por todos los elementos

pertenecen a otro conjunto de dos o más conjuntos

5. Número de elementos que tiene 2. Agrupación de objetos encerrados

un conjunto entre llaves o en un diagrama de Venn

6. Conjunto formado por todos los 3. Conjunto formado por todos los elementos

elementos de un conjunto universo iguales de dos o más conjuntos

universo que no pertenecen al otro conjunto

7. Relación que hay entre los elementos de un conjunto universal y otro conjunto

8. conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto que no

se encuentran en el segundo

37

PARTE II: Escriba por extensión o por comprensión según corresponda

1. N= (el conjunto de números naturales consecutivos desde 10 hasta

20)

2. L= (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3)

PARTE III: Dados los conjuntos:

U= (x/x Z ≤-14 y ≥14)

A= (números dígitos)

B= (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)

C= (x/x Enteros negativos ≤ -1y ≥-14)

Resuelva:

3. A U B

4. B ∩ A

5. (A U C) ∩ B

6. A U B U C

7. C - A

8. U ∆ C

9. A C U

10. A x B

38

Summary

Our experience during the time we made this magazine was full of

knowledge, creativity and fun. We learn a little more of the sets and how

teachers can explain them in an easy way. Sets are a really important topic

for every student no matter in which grade are you; this will help you at any

time. But this magazine is not only about math; also you can see that we

practice our shorthand and taquigrafía abilities. As the same time, we try to

make our magazine creative, and we add pictures that will help students to

understand the topics that are in our magazine. Finally, doing this

magazine was funny because we learn in an easy way and we have fun

during the creation.

39

Conclusiones

Gracias a la realización de este proyecto, somos capaces de entender los conjuntos, y la manera de trabajar con ellos, y así poder aplicarlos a problemas de la vida real.

María Fernanda Escobar

Aprendimos a expresar de una forma sencilla las operaciones y clases de conjuntos de una forma activa para alguien que cursa el sexto grado de primaria.

Patricia Loarca

Al terminar este proyecto, podemos definir la teoría de conjuntos, así como resolver correctamente las diferentes operaciones entre conjuntos. También tendremos una base que podemos aplicar en las diferentes ramas de la matemática.

Ana Lucía López Thanks to this project we are capable of understand sets and the way

we have to work with them and of course how to apply them in real life.

We learned how to express the sets operations and the types of sets in an easy and active way for someone who is in sixth grade.

At the end of this project we can define the theory of sets and how to resolve the different type of operations between sets. Also we have a base that we can apply for others parts of math.

40

Recomendaciones

Recomendamos tener una actitud positiva hacia el aprendizaje del

tema, ya que, esto ayudara a una rápida y fácil comprensión.

María Fernanda Escobar

Recomendamos practicar los diferentes temas de la revista usando

la hoja de trabajo adjunta para comprobar si domina los temas.

Patricia Loarca

Recomendamos conocer y entender cada definición sobre la teoría

de conjuntos, ya que, esto hará más sencillo analizar las

operaciones.

Ana Lucía López

We recommend you to have a positive attitude during the time you learn this, in that way you will understand easily.

We recommend you to practice the different topics using the worksheet that this magazine includes so you can practice your knowledge about this subject.

We recommend you to learned and understand every definition about

set, so you will able to analyze better the operations.

41

Bibliografía

Suárez, A., Pompilio, L., y Rodríguez, B. (2010). Mi aventura

matemática 6. Colombia: Editorial Educativa.

42

Egrafía

Matematica1 (1999) Consultado el 3 de febrero de 2014.

www.matematica1.com

Wikipedia, Inc. (2014) Consultado el 3 de febrero de 2014.

es.wikipedia.org

Basic-mathematics (2008) Consultado el 30 de enero de 2014.

www.basic-mathematics.com

I coah Math (1999) Consultado el 30 de enero de 2014.

www.icoachmath.com

Querelle y Cía. Ltda. Consultado el 3 de febrero del 2014.

www.profesorenlinea.cl

Chicos Siglo XXI. Consultado el 5 de febrero del 2014.

www.chicossigloxxisexto.blogspot.com