aprendiendo de las matemáticas

15/04/23M. C. J. Agustín Flores Avila 1


Medios, Métodos, Modelos y Sistemas Aplicados a la Educación Superior TecnológicaPensamiento Complejo y Metacognición Tecnológico Nacional de MéxicoInstituto Tecnológico de la LagunaForo Académico 2014Ciencias Básicas M. C. J. Agustín Flores Ávila c. e.: [email protected] [email protected] WWW.MATH-GYM.COM


1.- Profesores de Matemáticas que estamos formando Ingenieros.

2.- Conocimiento de Técnicas Matemáticas.

3.- Comprensión de Conceptos.

4.- Habilidad para realizar operaciones matemáticas.

5.- Uso del herramental matemático para resolver problemas “de aplicación”.


Esto nos lleva a ubicar a las Matemáticas en su justa dimensión: como una DISCIPLINA en el sentido de que la observancia de sus reglas propicia el desarrollo de capacidades y facultades que van más allá del conocimiento, la comprensión, la habilidad y la aplicación.


Como es la capacidad para:

1.- Analizar procesos y resultados matemáticos

2.- Obtener información de las Matemáticas.

3.- Evaluar los procesos y resultados Matemáticos.

4.- Criticar los procesos y resultados Matemáticos.

5.- Argumentar y defender una posición crítica.

Esto define una facultad intelectual que desemboca en lo que es la cultura matemática.


Y que finalmente nos permitiría alcanzar el ideal que señala Gastón Bachelard [10 ] como el deber ser del objetivo de la educación superior:

“Desarrollar en los jóvenes el Espíritu Científico caracterizado por una actitud crítica ante su circunstancia”.


Esta propuesta tiene como marco de referencia la Educación por Competencias entendida ésta como el proceso para alcanzar al desarrollo integral del ser humano.

Para este propósito nos apoyamos en la definición que hace la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (O. C. D. E.) junto con el Programa Internacional para le Evaluación de Estudiantes (P. I. S. A.) de lo que es la Competencia Matemática.


OCDE / PISA define de la siguiente manera la competencia matemática:

“La competencia matemática es la capacidad de un individuo para identificar y entender el rol que juegan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados y utilizar las matemáticas en formas que le permitan satisfacer sus necesidades como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo”.


Esto viene a definir un enfoque abarcativo en el que el estudio de las matemáticas no se agota con el conocimiento de técnicas matemáticas, la comprensión de conceptos ni con la habilidad para realizar operaciones.

Trasciende las aplicaciones de las matemáticas como una herramienta y alcanza la etapa de reflexión y crítica que define lo que es la cultura matemática.


Por desgracia, la parte constructiva y más motivante de esta disciplina, que es el de las APLICACIONES, se extravía en los objetivos del corto plazo o se enmascara mediante: “técnicas de solución de problemas catalogados de antemano, cuyos enunciados de manera predeterminada señalan al estudiante las recetas que debe aplicar” [1].


El problema fundamental de las aplicaciones, en cualquier curso de matemáticas, es que es prácticamente imposible abrigar esperanzas de éxito si dejamos de lado el significado de los conceptos y la representación de las operaciones matemáticas.

Nuestra hipótesis de partida es que el problema de la construcción del conocimiento matemático es un problema de representación y significado.


Partiendo de la premisa anterior, voy a presentar un problema que se puede abordar en cualquiera de las especialidades, puesto que implica conocimientos de Física (Cinemática) y Matemáticas (Ecuaciones Diferenciales) que forman parte del tronco común de las ingenierías.

En realidad es un ejemplo de una serie de problemas en los que el significado y la representación adquieren particular relevancia y nos permite Aprender de las Matemáticas.


Un Marco Teórico es el conjunto de Leyes, Principios, Teoremas, Postulados, etc. que posibilitan la resolución de un problema.

El Marco Teórico debe ser el adecuado para el problema en particular; si este no es el caso, el resultado obtenido no será correcto.

Cuando en la resolución de un problema no se cuenta con un Marco Teórico, hay que desarrollar la teoría correspondiente contribuyendo así con conocimientos nuevos al cuerpo de la ciencia de que se trate.


La Teoría de la Representación y el Principio Didáctico conocido como Juego de Marcos definen el Marco Teórico en el que se apoya esta propuesta.


La Teoría de la Representación en palabras de D’Amore [10] nos dice que: “. . . la construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad de usar más registros de representaciones semióticas de esos conceptos:1.- de representarlos en un dado registro2.- de tratar tales representaciones al interior de un mismo registro3.- de convertir tales representaciones de un dado registro a otro”.


A tales representaciones Moreno Armella [11] les llama mediadores en el sentido de que constituyen el vehículo mediante el cual el alumno accede al conocimiento.

Recomienda utilizar diversos mediadores (representaciones) para evitar que los conceptos queden unidos en forma indeleble a cierta “idea”.


Por su parte el Juego de Marcos nos señala la pertinencia de presentar el objeto del conocimiento mediante diversos enfoques para, en función de aproximaciones diferentes y sucesivas al mismo, extraer el conocimiento en manera fraccionaria y englobarlo después en su totalidad.


El problema que vamos a resolver queda enunciado en los siguientes términos:

"Describa la posición x(t) de un cuerpo de masa “m” conocida ubicado en el vacío, si a partir del reposo se le aplica una fuerza impulsiva unitaria (t) en t = 0".

Gráfica

(t)

0



El Marco Teórico de la Física lo constituye el conjunto de Leyes y Principios que posibilitan la resolución del problema.

El Marco Teórico debe ser el adecuado para el problema en particular; si este no es el caso, el resultado obtenido no será correcto.

Cuando en la resolución de un problema no se cuenta con el correspondiente Marco Teórico, hay que desarrollar la teoría adecuada, contribuyendo así con conocimientos nuevos a la ciencia de la física.


En este problema, por ejemplo, no son aplicables las leyes de la Electrodinámica, o las de la Termodinámica.

Sería un despropósito que quisiéramos abordar su resolución utilizando la Mecánica Cuántica o la Teoría General de la Relatividad.

El Marco Teórico aplicable en la resolución de esta problema son las Leyes de Newton de la Mecánica Clásica y el Principio de D’Alambert para los Sistemas Mecánicos Traslacionales.


De acuerdo con el Principio de D'Alambert [3, en un Sistema Mecánico Traslacional, la(s) fuerza(s) externa(s) aplicada(s) se distribuye(n) en cada uno de sus componentes según las leyes correspondientes.

En este caso, como el sistema es un cuerpo que se mueve bajo el influjo de una fuerza externa, entonces, las Leyes de Newton [4, Pag.10 de la Mecánica Clásica son las aplicables. A saber:


1ª Ley:"Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que se vea obligado a alterar este estado por fuerzas aplicadas a él".

2ª Ley:"La variación del momento lineal con el tiempo es proporcional a la fuerza aplicada, y su dirección es la de esta fuerza".

3ª Ley."A cada acción se opone siempre una reacción igual y de sentido contrario".


El Modelo Matemático de una problema es la representación en Lenguaje Matemático de tal problema; dependiendo de la rama de las matemáticas involucrada en la resolución del problema, esta representación puede estar dada por:1.- Un Sistema de Ecuaciones2.- Una Matriz3.- Una Ecuación Diferencial, etc.El Modelo Matemático se obtiene a partir del Marco Teórico.


Por la naturaleza del problema, el Modelo Matemático que lo representa está determinado únicamente por la 2ª Ley de Newton, que usualmente se expresa como:

F = m a . . . (1).


Por el cálculo elemental sabemos que la aceleración a es la segunda derivada [x''(t)] del desplazamiento x(t) con respecto al tiempo t. Utilizando este conocimiento, y como la fuerza aplicada F es un Impulso Unitario (t), la mencionada ley (1) queda dada por:

(t) = m x''(t) . . . (2).

Una sencilla Ecuación Diferencial de Primer Grado y Segundo Orden cuya solución es relativamente fácil.


El Marco Teórico de la Matemática lo constituye la técnica matemática que posibilita la resolución del problema.

La técnica matemática debe ser la adecuada para el problema en particular; si este no es el caso, el resultado obtenido no será correcto.

Cuando en la resolución de un problema no se cuenta con la técnica matemática adecuada, hay que desarrollarla, contribuyendo así con conocimientos nuevos al cuerpo de la ciencia matemática.


Dado que este problema está modelado mediante una ecuación diferencial, si queremos conocer el comportamiento del sistema, tendremos que resolver una ecuación diferencial, por lo tanto, la técnica matemática aplicable será la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales.


Por la teoría elemental de las Ecuaciones Diferencial sabemos que existen diferentes técnicas para resolver una ecuación diferencial, como son, entre otras:

1.- Integración Sucesiva,

2.- Métodos Numéricos,

3.- Transformada de Laplace,

4.- Transformada de Fourier, etc..


Aparentemente -en realidad así lo es-, por lo antes dicho, obtener la solución de (2) viene a ser trivial. Sin embargo, dependiendo del método empleado se llega a obtener información adicional que mucho enriquece la enseñanza de la Ciencia Matemática. Para el objetivo que nos hemos fijado, vamos a resolver (2) utilizando la técnica clásica de la Transformada de Laplace [3 y 5 y la de Fourier [3 y 6. Una vez obtenida la solución compararemos resultados y enunciaremos algunas observaciones.


Transformada de Laplace.Por la Teoría de la Transformada de Laplace sabemos que:a).- La Transformada del Impulso Unitario (t) es 1.b).- También sabemos que la Transformada de x(t) (Desconocida) es X(s) (A conocer).c).- Y que la transformada de x''(t) es S2 X(s). (Recordar que estamos considerando que las condiciones iniciales son cero).


Por lo tanto, si le aplicamos a (2) la transformada de Laplace obtenemos que:

(t) = m x''(t) se transforma en

1 = m S2 X(s) . . . (3). Es un conocimiento elemental para nuestros estudiantes de Ingeniería, que el Método de la Transformada de Laplace transforma una ecuación diferencial en una expresión algebraica de fácil resolución.


Así, despejando X(s) de (3), obtenemos que:

. . . (4)

Ahora, si obtenemos la Transformada Inversa de (4) llegaremos a la función buscada, que queda dada por:

. . . (5).x t( )

1

mt u t( )

X s( )1

m s2


Donde u(t) representa la función escalón unitario utilizada para definir funciones con dominios en tiempos positivos.Este resultado nos indica que la posición x(t) del cuerpo es inversamente proporcional a su masa m y directamente proporcional al tiempo t. El cuerpo se mueve con una velocidad constante de (primera derivada de x(t) con

respecto a t) y se aleja indefinidamente del origen.¡Nunca se detiene!. Se desplaza ad infinitum obedeciendo la 1ª Ley de Newton.

v t( )1

mu t( )


Gráfica de la posición del cuerpo donde se muestra como el movimiento es indefinido pero solo en sentido positivo


Este resultado ya había sido anticipado por la primera Ley de Newton. Como nada se opone a su desplazamiento, puesto que nos encontramos en el vacío, el cuerpo tiende a conservar su estado de movimiento rectilíneo uniforme. Por lo demás, los viajes espaciales confirman este mismo resultado. La matemática de acuerdo con la realidad o la realidad de acuerdo con la matemática, que no por secundario [7 pierde relevancia en su enseñanza


Transformada de Fourier.Este método conserva tantas semejanzas con el de Laplace, que la transformada de algunas funciones es idéntica en ambos, con el simple intercambio de la variable s por la compleja j. a).- En particular, la transformada del Impulso Unitario (t) es 1 en ambos casos.b).- La transformada de x(t) en Fourier se define como X().c).- La transformada de x''(t) en Fourier está dada por (j)2 X() suponiendo condiciones iniciales cero.


Entonces, aplicando el Método de la Transformada de Fourier a la Ecuación Diferencial (2), obtenemos que:

(t) = m x''(t) se transforma en

1 = m (j)2 X() . . . (6).Que al desarrollarla queda dada por:

1 = - m 2 X() . . . (6.a)Ya que (j)2 = -1)


Resolviendo para X() tenemos la expresión:

. . . (7). Vemos que hasta esta etapa de la solución las diferencias no existen. Las expresiones (4) y (7) son idénticas, intercambiando, como ya se indicó, la variable s por la compleja j.

X ( )1

m 2


Sin embargo, al momento de obtener la Transformada Inversa de la expresión (7), aparece una pequeña diferencia que es de suma importancia. Esta Transformada Inversa está dada por:

. . . (8).

Que al desarrollarla nos queda dada por: . . . (9)

x t( )1

mt u t( )

t

2

x t( )1

mt u t( )

1

2mt


Esta es la solución buscada, y para efectos de resultados aquí terminaría nuestro problema.

Sin embargo, como no deseamos quedarnos solamente con los resultados, sino que aspiramos a ir "más allá" a partir del significado de los resultados y "realmente ver" las Enseñanzas de las Matemáticas, son válidos los siguientes comentarios.


El resultado obtenido mediante Fourier tiene el término - t/(2m) adicional con respecto a Laplace.

Este término tan simple implica una gran variante, ya que representa una función cuyo dominio son todos los reales. Es decir, está definida desde - hasta + . Para clarificar su importancia expresemos (8 - 9) de la siguiente manera:


x t( )12m

t

t 0if

1

2mt

t 0if


50 0 50

5

5

10

1515

5

x t( )

6060 t

Gráfica de la posición del cuerpo donde se muestra como el movimiento se da en sentido positivo y también en sentido negativo ¿?.


¿Ahora sí vemos realmente una de las Enseñanzas de Las Matemáticas?. Lo que nos está diciendo Fourier con su resultado, es que un cuerpo que se mueva en el vacío bajo los efectos de una simple fuerza Impulsiva Unitaria (t), es un sistema lineal que proporciona una respuesta incluso antes de que se aplique la señal de excitación, que se aplica en el instante t = 0 y que viene a ser esta componente negativa.


En el resultado tenemos una respuesta de para tiempos negativos (¿?). ¿Es esto posible?. ¡Por supuesto que no!. ¿Qué explicación podemos dar a este resultado a todas luces absurdo?.Existen tres posibles según el análisis de A. Beisser [8.

1

2m t


Explicación A

El resultado es incorrecto.

Estamos estudiando un problema utilizando Leyes Físicas y Técnicas Matemáticas en un contexto en el que no son válidas.


Comentario:Sabemos que las Leyes de Newton son aplicables a fenómenos que ocurren en el vacío y en condiciones semejantes a las del problema planteado. (Como sabemos, las Leyes de Newton fueron la base para desarrollar la Mecánica Celeste). Por otro lado, el Análisis de Fourier es el Lenguaje Matemático de la Teoría de las Comunicaciones cuyo medio natural es el vacío y, por lo tanto, es aplicable al problema.


Conclusión:

El problema está bien abordado desde el punto de vista Teórico.

Esta explicación no es válida


Explicación B

El resultado es correcto.

El problema planteado define un Sistema Lineal NO CAUSAL, es decir, uno que no puede existir en la realidad o que no se puede construir, según menciona Hwei P. Hsu [6.


ComentarioLas sondas espaciales Voyager 1 y 2 que hacia 1989 traspasaron las fronteras de nuestro sistema solar alejándose a razón de 520 y 470 millones de Kms. por año y los satélites geoestacionarios que orbitan la tierra sin necesidad de una fuerza motriz propia, sino solamente obedeciendo la 1ª Ley de Newton, desmiente la explicación anterior.


Comentario:

Esta explicación no es válida.


Explicación C

El resultado es correcto (nunca debimos dudar de esto). Lo que necesitamos, en el Marco Teórico de las Leyes de Newton, es reinterpretarlo y encontrarle algún sentido a la respuesta en el "tiempo negativo” para seguir "aprendiendo" de las matemáticas.


Comentario:Recordemos lo que nos dice la 3ª Ley de Newton: “A cada acción se opone siempre una reacción igual y de sentido contrario".[4] En el problema usted se encuentra, junto con el cuerpo, en algún punto imaginario situado en el vacío y que define nuestro origen x = 0.En el instante t = 0 le aplica un Impulso Unitario (t) (por ejemplo un martillazo) poniéndolo en movimiento en el sentido "positivo" con una velocidad constante v = (1/2m) y una cantidad de movimiento p = ½ .Esta es la acción.


¿Cual es la reacción?.

3ª Ley de Newton: Usted recibe un “martillazo” del objeto obligándolo a moverse en sentido contrario, es decir, en la dirección negativa con una cantidad de movimiento p = ½ idéntica.

La componente positiva proporciona la posición, la velocidad y el sentido del movimiento del cuerpo y la componente negativa proporciona la misma información pero . . . ¡de usted! . . . y ambas medidas con respecto al origen imaginario.


Esto significa que el cuerpo no puede estar aislado, sino que debe existir "alguien" que le aplique el impulso: si no ¿Cómo se mueve?.

Fourier resuelve "todo" el problema no obstante que no se había especificado el otro componente oculto ante nosotros.

¡Enseñanzas de Las Matemáticas!.


Conclusión:En este sencillo ejemplo hemos resaltado una de las ventajas que se obtienen al construir problemas en los que el significado esté presente, pero, sobre todo, que se haga hincapié en él. La matemática no se queda solamente en un conjunto de algoritmos -impresión que permea el conocimiento de muchos de nuestros egresados- sino que da un paso más allá y en forma inmediata hacia las aplicaciones, lo que realmente nos permite conocerla, apreciarla, disfrutarla, y concederle su justo valor.

Aprendiendo de las MatemáticasBibliografía

• 1. Quintero R., Ursini, S: Desde el enfoque tutorial hacia el uso constructivista de la computadora en el aula; Reporte de investigación; Cinvestav, México. 1988.

• 2. Koyré, Alexandre: Estudios de Historia del Pensamiento Científico. México: Edit. Siglo XXI.

• 3. Cheng, K. D: Analysis of Linear System. Tokio, Japan: Edit. Addison-Wesley, 1959.

• 4. Symon, R. Keith: Mecánica. Madrid, España: Edit. Aguilar, 1968.



• 5. Zill, Dennis G: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. México: Gpo. Edit. Iberoamérica,1982.

• 6. Hsu, Hwei P: Análisis de Fourier. México: Edit. Addison-Wesley Iberoamericana., 1987. 4ª Edición, 1973.

• 7. Courant, R. & Robbins, R: ¿Qué es la Matemática?. New Rochelle, N. Y. Aguilar Ediciones. 1979.

• 8. Beisser, A. Conceptos de Física Moderna. Madrid, España. Ediciones del Castillo, S. A., 1965.

• 9. Polya, George: Mathematical Methods In Science. New York: Leon Bowden Edit., 1976.



• 10. Bachelard, Gastón: La Formación del Espíritu Científico: Siglo veintiuno editores, 2000.

• 11. D’Amore, Bruno: Conceptualización, registros de representación semióticas y noéticas. Revista uno No. 35 Pags. 90-106. Universidad de Bolonia, 2004.

• 12. Moreno, Luis. (2001) Cognición, mediación y tecnología. Cometarios al libro: Origins of the Modern Mind” de M. Donald. En Avance y Perspectiva Vol.20


DATOS DEL AUTOR

• Nombre.- J. Agustín Flores Avila

• Dirección.- Brezo No. 119 Col. Bellavista

• Población.- Gómez Palacio, Dgo. C:P: 35050

• Tel. 01 – 871 – 267 – 23 - 21

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• Instituto Tecnológico de la Laguna

• Torreón, Coah.


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