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PREGUNTA ESENCIAL?
Vídeo de la vida real
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APRENDEEN LÍNEA
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¿Cómo puedes resolver problemas de la vida real con razones y tasas?
Aplicar razones y tasas 8MÓDULO
Los chefs preparan sus comidas con muchas medidas. Si un chef necesita más o menos de una receta, puede aumentar o reducir su receta usando razones. Con el razonamiento proporcional el chef mantiene constantes las razones de los ingredientes.
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Obtén comentarios y ayuda al instante a medida que trabajas en las prácticas.
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Explora interactivamente los conceptos clave para ver cómo funcionan las
matemáticas.
Matemáticas en acción
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libro del estudiante están disponibles en línea.
Escanea con tu celular para entrar directamente en la edición en línea del Video
tutorial y más.
LECCIÓN 8.1
Comparar relaciones aditivas y multiplicativas
6.4.A
LECCIÓN 8.2
Razones, tasas, tablas y gráficas
6.5.A
LECCIÓN 8.3
Resolver problemas con proporciones
6.5.A
LECCIÓN 8.4
Convertir medidas 6.4.H
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¿Estás listolisto?
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Evaluación eintervención en línea
Completa estos ejercicios para repasar las destrezas que necesitarás en este capítulo.
Representar pares ordenados (primer cuadrante)
EJEMPLO
Representa cada punto en la cuadrícula de coordenadas de arriba.
1. B(9, 6) 2. C(0, 2) 3. D(6, 10) 4. E(3, 4)
Escribir fracciones equivalentesEJEMPLO 14 __ 21 = 14 × 2 _____ 21 × 2 = 28 __ 42
14 __ 21 = 14 ÷ 7 _____ 21 ÷ 7 = 2 _ 3
Escribe la fracción equivalente.
5. 6 _ 8 = ______ 32 6. 4 _ 6 = ______ 12 7. 1 _ 8 = ______ 56 8. 9 __ 12 = ______ 4
9. 5 _ 9 = 25 ______ 10. 5 _ 6 = 20 ______ 11. 36 __ 45 = 12 ______ 12. 20 __ 36 = 10 ______
MúltiplosEJEMPLO Anota los cinco primeros múltiplos de 4.
4 × 1 = 44 × 2 = 84 × 3 = 124 × 4 = 164 × 5 = 20
Anota los cinco primeros múltiplos de cada número
13. 3 14. 7 15. 8
Para representar A(2, 7), comienza en el origen.Desplázate 2 unidades a la derecha.Luego desplázate 7 unidades hacia arriba.Dibuja el punto A(2, 7).
Multiplica 4 por los números 1, 2, 3, 4 y 5.
Multiplica el denominador y el numerador por el mismo número para hallar una fracción equivalente.Divide el numerador y el denominador entre el mismo número para hallar una fracción equivalente.
Unidad 3202
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Lectura con propósitoPlegable triple Crea un plegable triple para aprender
los conceptos y el vocabulario en este módulo. Dobla el
papel en tres secciones. Rotula una columna con “Tasa
y razones”, la segunda columna con “Proporciones” y la
tercera columna con “Convertir medidas”. Completa el
plegable triple con vocabulario importante, ejemplos y
notas a medida que lees el módulo.
Visualizar el vocabularioCompleta el cuadro con las palabras con ✔.
Comprender el vocabularioCompleta las oraciones con las palabras nuevas
1. Un es una tasa que compara dos
medidas equivalentes.
2. Los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo se
llaman . El lado opuesto al ángulo recto en un
triángulo rectángulo se llama .
Comparar tasas unitarias
Un elemento
Números que siguen una regla
Razón de dos cantidades con
unidades diferentes
Tasa donde la segunda
cantidad es una
unidad.
Práctica de vocabularioVocabularioPalabras de repaso factor (factor) gráfica (graph)✔ patrón (pattern) punto (point) razón (ratio) razones equivalentes
(equivalent ratios)✔ tasa (rate)✔ tasa unitaria (unit rate)✔ unidad (unit)
Palabras nuevas catetos (legs) dibujo a escala (scale
drawing) factor de conversión
(conversion factor) factor de escala (scale factor) hipotenusa (hypotenuse) proporción (proportion)
203Módulo 8
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Desglosar los TEKSSi comprendes los TEKS y los términos de vocabulario en los TEKS, sabrás exactamente lo que debes aprender en este módulo.
Lo que significa para tiConvertirás medidas usando tasas unitarias.
DESGLOSAR EL EJEMPLO 6.4.H
El monumento a Washington mide 185
yardas de altura. Esta altura es casi igual a la
longitud de dos campos de fútbol americano.
¿Aproximadamente cuántos pies es eso?
185 yd · 3 pies
_____ 1 yd
= 185 yd
_____ 1
· 3 pies
_____ 1 yd
= 555 pies
El monumento a Washington mide
aproximadamente 555 pies de altura.
Lo que significa para tiResolverás problemas de la vida real con razones y tasas, como por
ejemplo los que incluyen proporciones.
DESGLOSAR EL EJEMPLO 6.5.A
La distancia de Austin a Dallas es de unas 195 millas. ¿A qué distancia
estarán estas ciudades en un mapa a una escala de 1 pulg
_____ 50 mi
?
? ___
200 = 1 __
50
? = 4 pulgadas
MÓDULO 8
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6.4.H
Convertir medidas dentro de
un mismo sistema de medición,
incluyendo el uso de proporciones
y tasas unitarias.
Vocabulario clavetasa unitaria (unit rate)
Una tasa en la que la segunda
cantidad es una unidad.
6.5.A
Representar problemas
matemáticos y problemas del
mundo real que tienen que ver
con tasas y razones, usando
factores de escala, tablas, gráficas y
proporciones.
Vocabulario claverazón (ratio)
Comparación entre dos cantidades
mediante una división.
tasa (rate) Es una razón que compara dos
cantidades medidas en diferentes
unidades.
Visita my.hrw.com para ver todos los desglosados.
Unidad 3204
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR
PREGUNTA ESENCIAL¿Cómo puedes representar, describir y comparar relaciones aditivas y multiplicativas?
L ECC I Ó N
8.1Comparar relaciones aditivas y multiplicativas
Descubrir relaciones aditivas y multiplicativas
Cada estado tiene dos senadores. El número de votos electorales de
un estado es igual al número total de senadores y representantes.
El número de votos electorales es
el número de representantes.
Completa la tabla.
Representantes 1 2 5 25 41
Votos electorales 3 4
Describe la regla: El número de votos electorales es igual al número de
representantes más / por .
Frannie pide tres DVD al mes en su club de DVD.
Completa la tabla.
Meses 1 2 4 13 22
DVD pedidos 3 6
Describe la regla: El número de DVD pedidos es igual al número de
meses más / por .
Reflexiona1. Busca un patrón ¿Con qué operación completaste las tablas en A y B ?
A
B
6.4.A
Proportionality—6.4.A Compare two rules verbally, numerically, graphically, and symbolically in the form of y = ax or y = x + a in order to differentiate between additive and multiplicative relationships.
205Lección 8.1
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Mis notas
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Representar relaciones aditivas y multiplicativas en gráficasPara hallar el número de votos electorales en la parte A de la Actividad para explorar,
suma 2 al número de representantes. A esto lo llamamos relación aditiva.
Para hallar el número de DVD que ha pedido Frannie al cabo de cierto número de
meses, multiplica el número de meses por 3. A esto lo llamamos relación multiplicativa.
Jolene guarda su almuerzo en una lonchera. La lonchera vacía pesa cinco onzas. Representa en una gráfica la relación entre el peso del almuerzo de Jolene y el peso total de la lonchera con el almuerzo.
Haz una tabla que relacione el peso del almuerzo con el peso total.
Peso del almuerzo (oz) 1 2 3 4 5
Peso total (oz) 6 7 8 9 10
Para hallar el peso total, suma el peso del almuerzo y el peso de la
lonchera.
Peso
total=
Peso del
almuerzo+
Peso de la
lonchera
9 = 4 + 5
Haz una lista con los pares ordenados de la tabla.
Los pares ordenados son (1,6), (2,7), (3,8), (4,9) y (5,10).
Representa los pares ordenados en un plano de coordenadas.
EJEMPLO 1
A
PASO 1
PASO 2
PASO 3
6.4.A
El peso total es igual al peso del almuerzo más el peso de la lonchera. La relación es aditiva.
En una relación aditiva, los puntos en la gráfica forman una línea recta.
Si dibujas una línea a través de los puntos, esta no pasará por el origen.
Para representar (1,6), desplázate 1 unidad a la derecha desde el origen y luego 6 unidades hacia arriba.
206 Unidad 3
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Evaluación eintervención en línea
Entrenador personal
en matemáticas
Oscar vende pulseras a dos dólares cada una y dona el dinero que gana a una beneficencia. Representa en una gráfica la relación entre el número de pulseras vendidas y la donación total.
Completa la tabla.
Pulseras vendidas 1 2 3 4 5
Donación total ($) 2 4 6 8 10
Para hallar la donación total, multiplica el número de
pulseras vendidas por la donación por pulsera.
Donación
total=
Pulseras
vendidas ×
Donación por
pulsera
10 = 5 × 2
Haz una lista con los pares ordenados de la tabla.
Los pares ordenados son (1,2), (2,4), (3,6), (4,8) y (5,10).
Representa los pares ordenados en un plano de coordenadas.
B
PASO 1
PASO 2
PASO 3
2. Ky es siete años mayor que su hermana Lu.
Representa en una gráfica la relación entre la edad
de Ky y la edad de Lu. ¿Es la relación aditiva o
multiplicativa? Explica.
Edad de Lu 1 2 3 4 5
Edad de Ky
ES TU TURNO
Procesos matemáticos
Charlamatemática
¿En qué se parecen las gráficas de la parte
A y la parte B? ¿En qué se diferencian?
Su donación es igual al número de pulseras vendidas multiplicado por la donación obtenida por cada pulsera. La relación es multiplicativa.
En un patrón multiplicativo, los puntos en la gráfica forman una línea recta.
Si dibujas una línea a través de los puntos, esta pasará por el origen.
La línea es más empinada que la línea en la parte A.
207Lección 8.1
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Práctica con supervisión
1. La familia de Fred ya tiene dos perros. Adoptan más perros. Completa la tabla para hallar el número total de perros que tendrán. Luego describe la regla. (Actividad para explorar)
Perros adoptados 1 2 3 4
Número total de perros
2. Representa en la gráfica la relación entre el número de perros adoptados y el número total de perros. (Ejemplo 1)
3. La clase de karate de Frank se reúne tres días a la semana. Completa la tabla para hallar el número total de días que se reúne la clase. Luego describe la regla. (Actividad para explorar)
Semanas 1 2 3 4
Días de clase
4. Representa en la gráfica la relación entre el número de semanas y el número de días de clase. (Ejemplo 1)
5. Un cibercafé cobra diez centavos por cada página que imprimes. Representa en la gráfica la relación entre el número de páginas y el costo por imprimir. ¿Es la relación aditiva o multiplicativa? Explica. (Ejemplo 1)
6. ¿Cómo puedes representar, describir y comparar relaciones aditivas y multiplicativas?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL???
208 Unidad 3
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Evaluación eintervención en línea
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Nombre Clase Fecha
8.1 Práctica independiente
Las tablas muestran el precio del alquiler de kayaks en dos compañías.
Kayaks Río Salvaje
Horas 1 3 6 8
Precio ($) 9 27 54 72
Remeros
Horas 2 4 5 10
Precio ($) 42 44 45 50
7. ¿Es la relación que se muestra en las tablas
multiplicativa o aditiva? Explica.
8. Yvonne quiere alquilar un kayak por 7 horas.
¿Cuánto costaría en cada compañía? ¿Cuál
debe elegir?
9. ¿Después de cuántas horas el precio es igual
en ambas compañías? Explica cómo hallaste
la respuesta.
La gráfica representa la distancia recorrida por un carro y el número de horas que tarda.
10. Persevera en la resolución de problemas Según la gráfica, ¿iba el coche a
una velocidad constante? ¿A qué velocidad iba
el coche?
11. Haz una predicción Si el patrón que se
muestra en la gráfica continúa, ¿qué distancia
recorrerá el coche en 6 horas? Explica cómo
hallaste tu respuesta.
12. ¿Qué pasa si...? Si el coche viajara a 40 millas
por hora, ¿cómo cambiaría la gráfica?
6.4.A
209Lección 8.1
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Área de trabajo
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Usa la gráfica para los ejercicios 13 a 15.
13. ¿Qué conjunto de puntos representa una relación aditiva? ¿Qué conjunto de
puntos representa una relación multiplicativa?
14. Representa problemas de la vida real Nombra una relación de la vida real que
se podría representar con los puntos rojos.
15. Representa problemas de la vida real Nombra una relación de la vida real que
se podría representar con los puntos negros.
16. Explica el error Un ascensor sale
de la planta baja y sube a tres pies
por segundo. Lili prepara la tabla
a continuación para analizar la
relación. ¿Qué error cometió?
17. Analiza las relaciones Completa las tablas. Representa una
relación aditiva en la primera tabla y una relación multiplicativa
en la segunda.
A 1 2 3 A 1 2 3
B B 16 32
Usa dos columnas para cada tabla. ¿Qué tabla muestra razones equivalentes?
Nombra dos razones que aparezcan en la tabla y sean equivalentes.
18. Representa problemas de la vida real Describe una situación de la vida
real que represente una relación aditiva y una que represente una relación
multiplicativa.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Tiempo (s) 1 2 3 4
Distancia (pies) 4 5 6 7
210 Unidad 3
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1
PREGUNTA ESENCIAL
L ECC I Ó N
8.2Razones, tasas, tablas y gráficas
Hallar razones con tablasLos estudiantes de la clase de ciencias del señor Webster hacen un experimento que
requiere 250 mililitros de agua destilada por cada 5 mililitros de solvente. La tabla
muestra la cantidad de agua destilada necesaria para varias cantidades de solvente.
Solvente (mL) 2 3 3.5 5
Agua destilada (mL) 100 200 250
Escribe una razón de agua destilada a solvente con los números en la
primera columna de la tabla.
¿Cuánta agua destilada se usa para 1 mililitro de solvente?
Escribe otra razón de agua destilada a solvente con los datos de tu respuesta.
Las razones en A y B son equivalentes/no equivalentes.
¿Cómo puedes hallar la cantidad de agua destilada que debes añadir a una
cantidad dada de solvente usando tu respuesta a B ?
Completa la tabla. ¿Cuáles son las razones equivalentes que
aparecen en la tabla?
100 ____ 2
= ______ 3
= ______ 3.5
= 200 ______ = 250 ____ 5
Reflexiona1. Busca un patrón Cuando aumenta la cantidad de solvente 1 mililitro, la
cantidad de agua destilada aumenta mililitros. Entonces,
6 mililitros de solvente requieren mililitros de agua destilada.
A
B
C
D
E
¿Cómo puedes usar tablas y gráficas para representar problemas de la vida real que implican razones?
Procesos matemáticos
Charlamatemática
6.5.A
Proportionality—6.5.A Represent mathematical and real-world problems involving ratios and rates using … tables, graphs, …
¿Es aditiva o multiplicativa la relación entre la cantidad de agua y la cantidad de
solvente? Explica.
211Lección 8.2
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100
200
2 4Solvente (mL)
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2
Hacer gráficas con razones Copia la tabla de la Actividad para explorar 1 que muestra las cantidades de
solvente y agua destilada.
Solvente (mL) 2 3 3.5 5
Agua destilada (mL)
100 200 250
Escribe la información de la tabla como pares ordenados. Usa la
cantidad de solvente como coordenada x y la cantidad de agua
destilada como coordenada y .
(2, ), (3, ), (3.5, ), ( , 200), (5, 250)
Representa los pares ordenados en la gráfica y conecta los puntos.
Describe tu gráfica.
Para cada par ordenado que representaste, escribe la razón de la coordenada
y a la coordenada x .
La razón de agua destilada a solvente es _____ 1
. ¿Qué relación hay entre las
razones en C y esta razón?
El punto (2.5, 125) está en la gráfica pero no en la tabla. La razón de la
coordenada y a la coordenada x es . ¿Qué relación hay entre esta razón
y las razones en C y D ?
2.5 mililitros de solvente requieren mililitros de agua destilada.
Haz una conjetura ¿Qué crees que es verdad para todos los puntos en la gráfica?
Reflexiona2. Comunica ideas matemáticas ¿Cómo puedes hallar en la gráfica la cantidad
de agua destilada que debes usar con 4.5 mililitros de solvente?
A
B
C
D
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6.5.A
Unidad 3212
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Matemáticas al instante
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Evaluación eintervención en línea
Entrenador personal
en matemáticas
Representar tasas usando tablas y gráficasPuedes usar tablas y gráficas para representar problemas de la vida real que implican tasas equivalentes.
La familia Webster viaja en un tren expreso a Washington, D.C. El tren viaja a una velocidad constante y hace el viaje en 2 horas.
Crea una tabla para mostrar la distancia que recorre el tren en varios lapsos de tiempo.
Escribe una razón de distancia a tiempo para hallar la tasa.
distancia _______ tiempo = 120 millas ________ 2 horas = 60 millas _______ 1 hora = 60 millas por hora
Crea una tabla con la tasa unitaria.
Tiempo (h) 2 3 3.5 4 5
Distancia (mi) 120 180 210 240 300
Representa en una gráfica la información de la tabla.
Escribe los pares ordenados. Usa el tiempo como coordenada x y la distancia como coordenada y.
(2, 120), (3, 180), (3.5, 210), (4, 240), (5, 300)
Representa los pares ordenados en la gráfica y conecta los puntos.
En elmundoEJEMPLO EJEMPLO 1
A
PASO 1
PASO 2
B
PASO 1
PASO 2
Matemáticas en acciónmy.hrw.com
3. Una ducha consume 12 galones de agua en 3 minutos. Completa la tabla y la gráfica.
Tiempo (min) 2 3 3.5 6.5
Agua consumida (gal) 20
ES TU TURNO
6.5.A
213Lección 8.2
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4
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2 4Ancho (pulg)
Long
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O
Práctica con supervisión
6. ¿Cómo puedes representar problemas de la vida real que implican razones y tasas usando tablas y gráficas?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL???
1. Todas las moléculas de trióxido de azufre tienen la misma razón de átomos de oxígeno a átomos de azufre. En cierto número de moléculas de dióxido sulfúrico hay 18 átomos de oxígeno y 6 átomos de azufre. Completa la tabla. (Actividad para explorar 1)
Átomos de azufre 6 9 21
Átomos de oxígeno 81
¿Cuáles son las razones equivalentes que aparecen en la tabla?
2. Representa en la gráfica la relación entre átomos de azufre y átomos de oxígeno. (Actividad para explorar 2)
3. Los adhesivos se fabrican con la misma razón de ancho a longitud. Un adhesivo de 2 pulgadas de ancho tiene una longitud de 4 pulgadas. Completa la tabla. (Actividad para explorar 1)
Ancho (pulg) 2 4 7
Longitud (pulg) 16
¿Cuáles son las razones equivalentes que aparecen en la tabla?
4. Representa en la gráfica la relación entre el ancho y la longitud de los adhesivos. (Actividad para explorar 2)
5. Cinco cajas de velas contienen un total de 60 velas. Todas las cajas tienen igual número de velas. Completa la tabla y representa en la gráfica la relación. (Ejemplo 1)
Cajas 5 8
Velas 120
Unidad 3214
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Entrenador personal en matemáticas
Evaluación eintervención en línea
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120
160
200
240
280
Sudaderas vendidas
Din
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reca
udad
o ($
)
O
Nombre Clase Fecha
Práctica independiente8.2
La tabla muestra información sobre el número de sudaderas vendidas y el dinero recaudado en una venta para reunir fondos para los programas atléticos de la escuela. Usa la tabla con los ejercicios 7 a 12.
Sudaderas vendidas 3 5 8 12
Dinero recaudado ($) 60 180
7. Halla la tasa de dinero recaudado por cada sudadera vendida. Muestra tu trabajo.
8. Usa la tasa unitaria para completar la tabla.
9. Explica cómo representar la información de la tabla en una gráfica.
10. Escribe la información en la tabla como pares ordenados. Haz una gráfica de la relación de la tabla.
11. ¿Qué pasa si...? ¿Cuánto dinero recaudarían si vendieran 24 sudaderas? Muestra tu trabajo.
12. Analiza las relaciones ¿Tendría sentido el punto (5.5, 110) en este contexto? Explica.
6.5.A
215Lección 8.2
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2 4Tiempo (semanas)
Tiem
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6 8 10
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70
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Área de trabajo
13. Comunica ideas matemáticas La tabla muestra la distancia que Randy recorrió en carro durante un día de sus vacaciones. Halla la distancia que habría recorrido Randy si hubiese manejado una hora más a la misma tasa. Explica cómo resolviste el problema.
Usa la gráfica para los ejercicios 14 y 15.
14. Analiza las relaciones ¿La relación muestra una razón o una tasa? Explica.
15. Representa problemas de la vida real ¿Qué relación de la vida real podría describirse con la gráfica?
16. Haz una conjetura Completa la tabla. Luego halla las tasas distancia ______ tiempo y tiempo
______ distancia .
Tiempo (min) 1 2 5
Distancia (m) 25 100
a. ¿Son las tasas tiempo
_______ distancia equivalentes? Explica.
b. Supón que tú representas los puntos (tiempo, distancia) y tu amigo representa (distancia, tiempo). ¿En qué se diferenciarán las gráficas?
17. Comunica ideas matemáticas Para representar una tasa o razón a partir de una tabla, ¿cómo determinas las escalas que debes usar en cada eje?
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Tiempo (h) 1 2 3 4 5
Distancia (mi) 55 110 165 220 275
distancia _______ tiempo =
tiempo
_______ distancia =
Unidad 3216
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PREGUNTA ESENCIAL
L E C C IÓN
8.3Resolver problemas con proporciones
¿Cómo puedes resolver problemas con proporciones?
Resolver proporciones usando razones equivalentesUna proporción es un enunciado en el que dos razones o tasas son equivalentes.
1 _ 3
y 2
_ 6
son razones equivalentes. 1 _ 3
= 2
_ 6
es una proporción.
Sheldon y Leonard son socios en un negocio. Sheldon gana $2 por cada $5 que gana Leonard. Si Leonard gana $20 en el primer artículo que venden, ¿cuánto gana Sheldon?
Escribe una proporción.
ganancia de Sheldon
__________________ ganancia de Leonard
$2
___ $5
= ____ $20
ganancia de Sheldon
__________________ ganancia de Leonard
Escribe razones equivalentes con denominadores comunes.
$2 × 4 ______ $5 × 4
= ____ $20
$8
____ $20
= ____ $20
= $8
Si Leonard gana $20, Sheldon gana $8.
EJEMPLO EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
1. Para una reunión de padres y maestros quieren pedir pizzas. Piensan pedir
2 pizzas de queso por cada 3 pizzas de pepperoni. ¿Cuántas pizzas de
queso pedirán si piden 15 pizzas de pepperoni?
ES TU TURNO
Procesos matemáticos
Charlamatemática
Proportionality— 6.5.A Represent mathematical and real-world problems involving ratios and rates using … proportions.
6.5.A
¿Cómo sabes que
8 __ 20
= 2 _ 5 es una proporción?
La ganancia de Sheldon es desconocida.
Las razones equivalentes con los mismos denominadores tienen los mismos numeradores.
20 es un denominador común.
217Lección 8.3
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intervención en línea
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Resolver proporciones usando tasas unitariasTambién puedes resolver proporciones con tasas equivalentes. Posiblemente sea
necesario hallar una tasa unitaria para poder escribir las tasas equivalentes.
En el podómetro se muestra la distancia que Ali corre en 36 minutos. A esta tasa, ¿qué distancia correrá en 60 minutos?
Escribe una proporción.
tiempo
________ distancia
36 minutos __________ 3 millas
= 60 minutos __________
millas
tiempo ________
distancia
60 no es un múltiplo de 36.
Halla la tasa unitaria de la tasa que conoces.
36 ÷ 3 ______ 3 ÷ 3
= 12 ___ 1
12 minutos __________ 1 milla
= 60 minutos __________
millas
Escribe tasas equivalentes.
Piensa: Puedes multiplicar 12 × 5 = 60. Entonces multiplica el denominador por el mismo número.
12 × 5 ______ 1 × 5 = 60 ___
60 ___ 5
= 60 ___
= 5 millas
A esta tasa, Ali puede correr 5 millas en 60 minutos.
EJEMPLO 2
PASO 1
PASO 2
PASO 3
2. El sistema de riego de la señora Reynolds tiene 9 estaciones que riegan
todo su jardín. Cada estación riega durante la misma cantidad de tiempo.
Si se necesitan 48 minutos para que las 4 primeras estaciones rieguen,
¿cuánto tiempo se necesitará para regar todo el jardín?
ES TU TURNO
Procesos matemáticos
Charlamatemática
6.5.A
Compara las fracciones
36 __
3 y
60 __
5 con <, >
o =. Explica. Las tasas equivalentes con los mismos numeradores tienen los mismos denominadores.
Sabes que Ali corre 3 millas en 36 minutos.
Unidad 3218
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Sandville
Lewiston
Traymoor
2.5 pulg
Baymont
Escala: 1 pulgada = 20 millas
Sloneham
Escala: 1 pulgada = 2 millas
Avda. Parque
Calle
Bro
ad
Calle
Nor
te
Calle
Och
o
Avda. Lehigh
3 pulgR T
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Hallar distancias en un mapa usando relaciones proporcionalesUn dibujo a escala es un dibujo de un objeto real que es proporcionalmente
más pequeño o grande que el objeto real. El factor de escala es una razón
que describe cuánto más pequeño o más grande es el dibujo a escala que el
objeto real.
Un mapa es un dibujo a escala. Las medidas en un mapa están en proporción con
la distancia real. Si 1 pulgada en un mapa equivale a 2 millas de distancia real, la
proporción de la escala es de 2 millas ________
1 pulgada .
En el mapa se muestra la distancia entre dos escuelas en la avenida Lehigh. ¿Cuál es la distancia real entre las escuelas?
Escribe una proporción.
2 millas _________ 1 pulgada
= millas __________ 3 pulgadas
Escribe razones equivalentes con denominadores comunes.
2 × 3 _____ 1 × 3
= ___ 3
6 millas __________ 3 pulgadas
= __________ 3 pulgadas
= 6 millas
La distancia real entre las dos escuelas es de 6 millas.
EJEMPLO EJEMPLO 3
PASO 1
PASO 2
3. El mapa muestra la
distancia entre Sandville
y Lewiston. ¿Cuál es la
distancia real entre las
ciudades?
ES TU TURNO
6.5.A
Las razones equivalentes con los mismos denominadores tienen los mismos numeradores.
3 es un denominador común.
El factor de la escala es una tasa unitaria.
219Lección 8.3
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Gendet Grava
1.5 cm
Montrose
Escala: 1 centímetro = 16 kilómetros
1. 3 __ 5
= ___ 30
3 × _________
5 ×
= ______ 30
2. 4 ___ 10
= ___ 5
4 ÷ __________
10 ÷
= ______ 5
Halla el valor desconocido en cada proporción. (Ejemplo 1)
9. ¿Cuál es la distancia real entre Gendet y
Montrose? (Ejemplo 3)
Resuelve con razones equivalentes. (Ejemplo 1)
3. Leila y Jo son dos de los socios en un
negocio. Leila obtiene $3 en ganancias por
cada $4 que obtiene Jo. Si Jo obtiene $60 de
ganancia en el primer artículo que venden,
¿qué ganancia obtiene Leila?
4. Hendrick quiere ampliar una foto que mide
4 pulgadas de ancho y 6 de alto. La foto
ampliada mantiene la misma razón. ¿Qué
altura tiene la foto ampliada si mide 12
pulgadas de ancho?
Resuelve con tasas unitarias. (Ejemplo 2)
5. Una persona en una pasarela mecánica se
desplaza 21 pies en 7 segundos. La pasarela
tiene una longitud de 180 pies. ¿Cuánto
tardará en llegar de un extremo al otro?
6. En un patrón musical que se repite, hay 56
pulsos en 7 compases. ¿Cuántos compases
hay al cabo de 104 pulsos?
7. Los participantes en un maratón de baile
descansan la misma cantidad de tiempo
cada hora. Una pareja descansa 25 minutos
en 5 horas. ¿Cuánto descansaron en 8 horas?
8. Francis recibe 6 cheques de salario en 12
semanas. ¿Cuántos cheques recibirá en 52
semanas?
10. ¿Cómo puedes resolver problemas con proporciones?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Práctica con supervisión
Unidad 3220
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Abbeville
Foston
West Quall
MayneLiberty
Nombre Clase Fecha
Práctica independiente8.3
11. En un avión hay dos asientos en cada fila del
lado izquierdo y tres asientos del lado derecho.
En el lado derecho del avión hay 90 asientos.
a. ¿Cuántos asientos hay del lado izquierdo
del avión?
b. ¿Cuántos asientos hay en
total?
12. Este mapa no tiene escala. La distancia real
desde Liberty a West Quall es de 72 millas y en
el mapa es de 6 pulgadas.
a. ¿Cuál es la escala del mapa?
b. Foston está directamente entre Liberty y
West Quall, y está a 4 pulgadas de Liberty
en el mapa. ¿A qué distancia está Foston
de West Quall? Explica.
13. Wendell hace un ponche para una fiesta. La
receta que usa requiere mezclar 4 tazas de jugo
de piña, 8 tazas de jugo de naranja y
12 tazas de gaseosa de lima-limón para hacer
18 porciones de jugo.
a. ¿Cuántas tazas de ponche se pueden hacer
con esta receta?
b. Si Wendell hace 108 tazas de ponche,
¿cuántas tazas necesitará de cada
ingrediente?
tazas de jugo de piña
tazas de jugo de naranja
tazas de gaseosa de lima-
limón
c. ¿Cuántas porciones se pueden hacer con
108 tazas de ponche?
14. Carlos y Krystal hacen un viaje en carro de
Greenville a North Valley. Cada uno tiene su
mapa con escalas diferentes.
a. En el mapa de Carlos, Greenville y North
Valley están a 4.5 pulgadas de distancia.
La escala en su mapa es de 1 pulgada =
20 millas. ¿A qué distancia está Greenville
de North Valley?
b. La escala en el mapa de Krystal es de 1
pulgada = 18 millas. ¿A qué distancia está
Greenville de North Valley en el mapa de
Krystal?
15. Varios pasos Una máquina puede producir
27 pulgadas de cinta cada 3 minutos. ¿Cuántos
pies de cinta puede hacer la máquina en una
hora? Explica.
6.5.A
221Lección 8.3
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20
2
4
6
8
10
60 100O
Área de trabajo
Marta, Loribeth e Isabel tienen bicicletas. La tabla muestra el número de millas del último paseo en bicicleta de cada una, además del tiempo que tardaron en completarlo.
16. ¿Cuál es la tasa unitaria de Marta en
minutos por milla?
17. ¿Quién anduvo más rápido en el último paseo?
18. Si las tres amigas pasean durante 3.5 horas a la misma velocidad que en el
último paseo, ¿cuántas millas recorrerán las 3 en total? Explica.
19. Critica el razonamiento Jason observó que una oruga andaba 10 pies en 2
minutos. Jason dice que la tasa unitaria de la oruga es de 0.2 pies por minuto.
¿Tiene razón? Explica.
20. Analiza las relaciones Si el número en el numerador de una tasa unitaria es 1,
¿qué indica esto sobre las tasas unitarias equivalentes? Da un ejemplo.
21. Representaciones múltiples Un barco navega a velocidad constante. Al cabo
de 20 minutos ha recorrido 2.5 millas. El barco navega un total de 10 millas hasta
un puente.
a. Representa en una gráfica la relación entre
la distancia que recorre el barco y el tiempo
que tarda.
b. ¿Cuánto tarda el barco en llegar al puente?
Explica cómo lo hallaste.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Distancia del último paseo (en
millas)
Tiempo que tardó el último paseo (en
minutos)
Marta 8 80
Loribeth 6 42
Isabel 15 75
Unidad 3222
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3 6 9 12
1
pies
yardas
2 3 4
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR
PREGUNTA ESENCIAL
L E C C IÓN
8.4 Convertir medidas
Convertir unidades usando un modeloLos dos sistemas de medición más comunes son el sistema usual y el sistema métrico.
Puedes convertir de una unidad a otra dentro del mismo sistema utilizando un modelo.
Completa los enunciados a
continuación con el modelo.
1 yarda = 3 pies
2 yardas = pies
3 yardas = pies
4 yardas = pies
Escribe las tasas que hallaste en el paso 1 en su mínima expresión.
Como 1 yarda = 3 pies, la tasa de pies a yardas en cualquier medida es
siempre 3 _
1 . Esto significa que cualquier tasa que forme una proporción
con 3 _
1 puede representar una tasa de pies a yardas.
3 _
1 =
12 __
4 , entonces 12 pies = yardas.
3 _
1 =
54 __
18 , entonces pies =
18 yardas.
Reflexiona1. Comunica ideas matemáticas ¿Cómo puedes dibujar un modelo que
represente la relación entre pies y pulgadas?
PASO 1
PASO 2
6 pies ______
2 yardas =
3 pies _______
1 yarda(s)
9 pies ______
3 yardas =
3 pies _______
1 yarda(s)
12 pies ______
4 yardas =
3 pies _______
1 yarda(s)
¿Cómo puedes convertir unidades dentro de un sistema de medición?
Proportionality— 6.4.H Convert units within a measurement system, including the use of proportions and unit rates.
6.4.H
223Lección 8.4
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Convertir unidades con proporciones y tasas unitariasPuedes usar tasas y proporciones para convertir unidades usuales y métricas. Utiliza la siguiente tabla para convertir unidades dentro del mismo sistema de medición.
Medidas usuales
Longitud Peso Capacidad
1 pie = 12 pulg 1 yd = 36 pulg 1 yd = 3 pies 1 mi = 5,280 pies 1 mi = 1,760 yd
1 libra = 16 oz 1 tonelada = 2,000 lb
1 taza = 8 oz fl1 pt = 2 tz1 ct = 2 pt1 ct = 4 tz1 gal = 4 c
Medidas métricas
Longitud Masa Capacidad
1 km = 1,000 m1 m = 100 cm1 cm = 10 mm
1 kg = 1,000 g1 g = 1,000 mg 1 L = 1,000 mL
¿Cuál es el peso en onzas de un cerebro humano de 3 libras?
Convierte 3 libras a onzas con una proporción.
Convierte libras a onzas con 16 onzas ______
1 libra .
Escribe una proporción.
Escribe razones equivalentes con denominadores comunes.
= 48 onzas
El peso es 48 onzas.
Una cantidad moderada de consumo diario de sodio es 2,000 miligramos. ¿Cuánto es esta masa en gramos?
Convierte 2,000 miligramos a gramos con una proporción.
En elmundoEJEMPLO 1
A
PASO 1
16 onzas ________ 1 libra
= onzas ________ 3 libras
PASO 2
16 × 3 ______ 1 × 3 = ___ 3 3 es un denominador común.
48 ___ 3 = ___ 3 Las razones equivalentes con los mismos denominadores tienen los mismos numeradores.
B
Convierte miligramos a gramos con 1,000 mg
_______ 1 g
.
6.4.H
Unidad 3224
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Escribe una proporción.
Escribe razones equivalentes.
Piensa: Puedes multiplicar 1,000 × 2 = 2,000. Entonces multiplica el denominador por el mismo número.
= 2 gramos
La masa es de 2 gramos.
2. La altura de una puerta es de 2 yardas. ¿Cuál es la altura de la
puerta en pulgadas?
PASO 1
1,000 mg ________
1 g =
2,000 mg ________
g
PASO 2
1,000 × 2 _________
1 × 2 =
2,000 _____
2,000
_____ 2
= 2,000
_____
ES TU TURNO
Convertir unidades utilizando factores de conversiónOtra forma de convertir medidas es utilizar un factor de conversión. Un factor de conversión es una tasa que compara dos medidas equivalentes.
Elena quiere comprar 2 galones de leche pero solo encuentra envases de cuartos. ¿Cuántos cuartos necesita?
Halla el factor de conversión.
Escribe 4 cuartos = 1 galón como una tasa: 4 cuartos ________ 1 galón
Multiplica la medida dada por el factor de conversión.
Elena necesita 8 cuartos de leche.
EJEMPLO EJEMPLO 2
PASO 1
PASO 2
2 galones · 4 cuartos ________ 1 galón
= cuartos
2 galones · 4 cuartos ________ 1 galón
= 8 cuartos
Procesos matemáticos
Charlamatemática
6.4.H
¿Cómo puedes convertir 3 litros a mililitros?
Las razones equivalentes con los mismos numeradores tienen los mismos denominadores.
Cancela la unidad en común.
Conviertes de galones a cuartos.
225Lección 8.4
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4 8 12 16
1
tazas
curtos
32 4
Práctica con supervisión
3. Un roble se planta cuando mide 250 centímetros. ¿Cuál es su altura en metros?
ES TU TURNO
Completa los enunciados con ayuda del modelo a continuación. (Actividad para explorar 1)
Resuelve con tasas unitarias. (Ejemplo 1)
1. 4 _
1 = 12
__ 3
, entonces 12 tazas = cuartos 2. 4 _ 1
= 48 __
12 , entonces tazas = 12 cuartos
3. Mary Catherine hace 2 galones de ponche para
una fiesta. ¿Cuántas tazas de ponche hizo?
4. Un elefante africano pesa 6 toneladas. ¿Cuál es el
peso del elefante en libras?
5. La distancia de la casa de Jason a la escuela
es de 0.5 kilómetros. ¿Cuál es la distancia en
metros?
6. La masa de una roca lunar es de 3.5 kilogramos.
¿Cuál es la masa de la roca en gramos?
Resuelve con un factor de conversión. (Ejemplo 2)
7. 1.75 gramos · 1,000 mg
_______ 1 g
= 8. 27 milímetros · 1 cm ______
10 mm =
9. Un paquete pesa 96 onzas. ¿Cuál es el peso del
paquete en libras?
10. Un jet vuela a una altura de 52,800 pies. ¿A qué
altura en millas vuela el jet?
11. ¿Cómo puedes convertir unidades dentro de un sistema de medición?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Unidad 3226
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Nombre Clase Fecha
Práctica independiente8.4
12. ¿Cuál es un factor de conversión que puedes usar para convertir galones a
pintas? ¿Cómo lo hallaste?
13. Tres amigos tienen un trozo de cinta cada uno. Carol tiene 42 pulgadas de cinta,
Tino tiene 2.5 pies y Baxter tiene 1.5 yardas de cinta. Expresa la longitud total de
cinta que tienen los tres amigos en pulgadas, pies y yardas.
pulgadas = pies = yardas
14. Suzanna quiere medir una tabla, pero no tiene regla. Sin embargo tiene varios
ejemplares de un libro que ella sabe que mide 17 centímetros de altura.
a. Suzanna extiende libros uno detrás de otro y descubre que la tabla tiene la
misma longitud que 21 libros. ¿Cuál es la longitud de la tabla en centímetros?
b. Suzanna necesita una tabla que mida por lo menos 3.5 metros de largo. ¿Es
esta tabla lo suficientemente larga? Explica.
Sheldon debe comprar 8 galones de helado para una reunión familiar. La tabla muestra los precios de los diferentes tamaños de dos marcas de helado.
Precio del tamaño pequeño
Precio del tamaño grande
Granjas Heladas $2.50 por 1 pinta $4.50 por 1 cuarto
Dulces Sueños $4.25 por 1 cuarto $9.50 por 1 galón
15. ¿Qué tamaño de envase de helado Granjas Heladas es más económico para
Sheldon? Explica.
16. Varios pasos ¿Qué tamaño de envase y marca de helado es más económico?
6.4.H
227Lección 8.4
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Área de trabajo
17. En 2008, en Beijing, la carrera femenina de 3,000 metros con obstáculos
se convirtió en un evento olímpico. ¿Cuál es la distancia en kilómetros?
18. ¿Cómo convertirías 5 pies 6 pulgadas a pulgadas?
19. Analiza las relaciones Un camión de clase 4 pesa entre 14,000 y 16,000 libras.
a. ¿Cuál es el rango del peso en toneladas?
b. Si el peso de un camión de clase 4 aumenta en 2 toneladas, ¿seguirá siendo
un camión de clase 4? Explica.
20. Persevera en la resolución de problemas A la derecha se muestra un campo
de fútbol americano.
a. ¿Qué dimensiones tiene el campo de
fútbol en pies?
b. Alrededor del perímetro del campo de fútbol se traza una línea con tiza.
¿Cuál es la longitud de esta línea en pies?
c. ¿Aproximadamente cuántas vueltas al campo de fútbol equivalen a 1 milla?
Explica.
21. Busca un patrón ¿Cuál es el resultado si multiplicas un número de tazas por 8 onzas
_____ 1 taza
y luego multiplicas el resultado por 1 taza _____
8 onzas ? Da un ejemplo.
22. Haz una conjetura 1 hora = 3,600 segundos y 1 milla = 5,280 pies. Haz una
conjetura sobre cómo puedes convertir una velocidad de 15 millas por hora a
pies por segundo. Luego conviértela.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
120 yd
53 yd13
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Horario de comida 12:00 12:30 1:00
Horario de natación 12:45 2:15
Conjunto de lápices 2 3 4 5
Número de lápices 9 15
Número de vueltas 2 4 6 8 10
Tiempo (min) 10 20 30 40 50
PRUEBA DEL MÓDULO
8.1 Comparar relaciones aditivas y multiplicativasCompleta las tablas y describe la regla de la relación.
1.
2.
8.2 Razones, tasas, tablas y gráficas
3. Charlie corre alrededor de una pista. La tabla muestra cuánto tarda en correr
diferentes números de vueltas. ¿Cuánto tardará en correr 5 vueltas?
8.3 Resolver problemas con proporciones
4. Emily participa en una carrera de bicicletas para beneficencia. Su madre dona
$0.40 por cada 0.25 millas que ella recorre. Si Emily recorre 15 millas, ¿cuánto
donará su madre?
8.4 Convertir medidasConvierte las medidas.
5. 18 metros = centímetros 6. 5 libras = onzas
7. 6 cuartos = onzas fluidas 8. 9 litros = mililitros
9. Escribe un problema de la vida real que puedas resolver con una proporción.
PREGUNTA ESENCIAL
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Módulo 8
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Bebés 8 12 16 20
Adultos 2 3 4 5
10
Dis
tan
cia
(m
i)
Tiempo (h)
4
6
8
2
64 1082O
Pétalos 5 10 15 20
Hojas 2 4 6 8
MÓDULO 8 REPASO MIXTO
Respuesta seleccionada
1. La tabla a continuación muestra el número de
bebés y adultos en una guardería.
¿Cuál representa el número de bebés?
A adultos × 6
B adultos × 4
C adultos + 4
D adultos + 6
2. La gráfica representa la distancia que Miguel
camina durante varias horas.
¿Cuál es un par ordenado de la línea?
A (2.5, 14) C (2.25, 12)
B (1.25, 5) D (1.5, 9)
3. En el mapa de una ciudad, 1 pulgada
representa 1.5 millas. ¿Qué distancia en el
mapa representaría 12 millas?
A 6 pulgadas
B 8 pulgadas
C 12 pulgadas
D 18 pulgadas
4. La tabla a continuación muestra el número de
pétalos y hojas para diferentes números de
flores.
¿Cuántos pétalos hay cuando hay 12 hojas?
A 25 pétalos
B 30 pétalos
C 35 pétalos
D 36 pétalos
5. Una receta requiere 3 tazas de azúcar y 9 tazas
de agua. Si reduces la receta, ¿cuántas tazas de
agua debes usar con 2 tazas de azúcar?
A 3 tazas
B 4 tazas
C 6 tazas
D 8 tazas
Respuesta gráfica
6. Janice compró 4 naranjas por $3.40. ¿Cuál es el
precio unitario?
B
.0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9
Preparación para la prueba Texas
D
B
C
B
0
5
8
230
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