II

Aplicaciones de las EDO de Segundo orden

Introducción: En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos

lineales en los que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de

segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales

especificadas en un tiempo que tomaremos como:

Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada

del sistema. Una solución de la ecuación en un intervalo I que contiene a

que satisface las condiciones iniciales se llama salidao respuesta del

sistema.

LEY DE HOOKE

Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se

le fija una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o

elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el

resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una

fuerza restauradora opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la

cantidad de elongación y es expresada en forma simple como , donde es

una constante de proporcionalidad llamada

constante de resorte. El resorte se caracteriza

en esencia por el número . Por ejemplo, si

una masa que pesa 10 [libras] hace que un

resorte se alargue pie, entonces

implica que . Entonces

necesariamente una masa que pesa, digamos,

8 libras alarga el mismo resorte sólo pie .

SEGUNDA LEY DE NEWTON

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Después de quese une una masa a un resorte, ésta alarga el resorte una

cantidad y logra una posición de equilibrio en la cual su peso se define mediante

donde la masa se mide en slugs, kg o gramos y g es la gravedad tomada

como . La condición de equilibrio es Si

la masa es una cantidad de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del

resorte es entonces . Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que

actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas

externas «movimiento libre» se puede igualar la segunda ley de Newton con la

fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.

El signo negativo de esta ecuación indica que la fuerza restauradora que actúa

opuesta a la dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los

desplazamientos medios debajo de la posición de equilibrio son positivos.

ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Dividiendo la ecuación anterior para , se obtiene la ecuación diferencial de

segundo orden o,

Donde . Se dice que la ecuación describe el movimiento armónico

simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias

relacionadas con y , el desplazamiento inicial de la masa,

respectivamente. Por ejemplo, si la masa parte de un punto abajo

de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando

, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si y

, la masa se libera desde el reposo de un punto unidades arribade la

posición de equilibrio.

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

II

Para resolver la ecuación, se observa que la solución de su ecuación auxiliar

son los números complejos y . Así la solución

general bien dad por:

PERIODO

Es descrito por la ecuación es donde el número T representa el tiempo

[segundos] que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una

oscilación completa de la masa.

FRECUENCIA

Es y es el número de ciclos completado por segundo

Ejemplo “Movimiento libre no amortiguado”

1. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t = 0 se libera la

masa desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con

una velocidad ascendente de . Determinar la ecuación del Movimiento.

Solución:

Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones

dadas en términos de pulgadas se deben convertir:

El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) = 2/3 , x(0)=4/3, donde el

signo negativo en la última condición es un consecuencia del hecho de que la masa

se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.

Ahora , por lo que la solución general de la ecuación diferencial

es:

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Movimiento vibratorio con amortiguación

Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de

fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es

disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado,

salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que

cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio.

La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del

amortiguamiento, pudiéndose dar casos distintos: el sobre amortiguamiento y el

movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este

valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante

al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye

exponencialmente con el tiempo.

Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de recuperación proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según la ecuación F= -kx

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Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuación diferencial delmovimientoque describe un oscilador armónico simple.

En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente se considera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de movimiento

donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento, signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía disminuya. Introducido este término en la 2º ley de Newton obtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden. Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :

Si el sistema está sobre amortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)

Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.

Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o sub crítico)

OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo

que no hay oscilación):

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y

y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema

para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera

asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes

de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del

efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta

tendencia hacia la posición de equilibrio.

Recomendaciones

Manejar eficientemente las técnicas de derivación e integración

Repasar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de

primer orden u orden superior.