aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

Aplicaciones Geomtricas


TL

Y

NL

)(: xfY

A

),( yxP

C D EX

)(' xXyyY

I

TL

Y

NL

)(: xfY

A

),( yxP

C D EX

Ec. Recta Tangente:

22)'

(),( yy

yEPd

)('

1xX

yyY

'0 xyyYx Punto A:

Punto E:'

0y

yxXy

Ec. Recta Normal:

Punto C: '0 yyxXy

Long. Tg.

22)'(),( yyyCPd Long.Normal

'0)

'(),( 22

y

y

y

yEDd Sub. Tg.

'0)'(),( 22 yyyyCDd Sub. No.

Problema: Un triangulo formado por la tangente a una curva en un punto cualquiera de P de ellos ,el ejeY y OP (donde O es el origen de coordenadas) es issceles y tiene su base en el eje Y. Hallar la familia decurvas que cumplan lo requerido.

Solucin:DATOS: OP=AP

ADEMS POR SER ISSCELES: =+

2, PERO B=(0,Y)

A=(0,2Y)

ADEMS : Y=2

0= -

=

LNY=-LNX + LNC , DE DONDE.

XY=C

uuxuu

u

uxu

u

uxuu

uxx

uxxuu

xuuyuxy

yx

yyyx

y

y

yxy

y

1'

1'

1''

'' Sea

''

0y'

y Si a)

:casos 2Habrn

. tangenciade punto el es y)P(x, donde '

:Solucin

" tangenciade punto del scoordenada de suma la a igual es

esubtangent la de longitud la" :propiedad siguiente la satisfacen quexy

plano elen curvas de familia la deecuacin laHallar : 2 Ejemplo

2

c

yyLnxCyLn

y

x

CyLny

xCxLnxLnyLn

y

x

CxLnx

yLn

y

x

x

yuCxLnuLn

u

x

dxduuu

x

dxdu

u

u

1

11

1

1

12

2

:entonces Como .1

:obtenemos Integrando

1


2222222

2

2

2

22

1

2

2

2

21

11222

1

22

1

2

1

1

2'

1'

1''

'' Sea

''

0'

Si b)

cyxyxcyxx

c

x

yx

x

cu

x

cuu

x

cLnuuLn

CxLnuuLn

x

dxdu

uu

u

u

uuxu

uu

uxu

u

uxuu

uxx

uxxuu

xuuyuxy

yx

yyyx

y

y

y

y


TRAYECTORIAS ORTOGONALES

PROBLEMAHallar las trayectorias ortogonales de la familia de parbolas y = ax2.


En primer lugar planteamos la ecuacin diferencial del haz de parbolas:

Las pendientes de las curvas ortogonales a las parbolas consideradas son perpendiculares a las de estas parbolas; por consiguiente, tendremos:

Y esa es la ecuacin pedida.


El problema es un caso particular del de encontrar la ecuacin de las curvas que corten con ngulo cualquiera, w, aun haz cuya ecuacin se da.El problema en este caso se resuelve como sigue. Siendo C una curva representativa de la familia dada, en el puntoP se tendr:

Anlogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ngulo w, en el mismo punto P severificar la ecuacin:

Pero entre los ngulos implicados se tienen las siguientes relaciones:

Con lo que finalmente podemos escribir:


Problema:

Encontrar la ecuacin de la curva que pasa por el punto (1;3) para la cual: La ordenada PN de cualquier punto P(x ; y) corta a la recta 2x+y-10=0 en un punto Q y si sobre PN tomamos un punto M tal que PM = NQ entonces la recta OM resulta paralela a la recta tangente a la curva en P.


Solucin:Del Grfico, observamos: N(x;0), Q(x;y+2x-10)

Como PM = NQ entonces:

M (x; y +2x-10)

= y' = Entonces:

y'= y/x +2 -10/x

Despus :

y'- = 2 - ..(1)

Ecuacin diferencial lineal


F.I = = x-1 .(2)

Luego (1)x (2):

= - entonces

yx-1 =

Por tanto

Y = 2xlnx + 10 + cx .(3)

Condicin inicial: X=1 , y = 3

En (3)C = -7Por lo tanto en (3): Y = 2xlnx + 10 -7x


Problema:

Determinar la ecuacin de la familia de curvas que gozan de la siguientepropiedad: El rea del trapecio limitado por los ejes coordenados, latangente en un punto cualquiera de la curva y la ordenada del punto detangencia sea siempre igual a b unidades cuadradas.


Por dato:

(PB+OA) . OB/2 = b ..(1)

Sabemos que PB = y, OB =x, OA =?

Sea A = (0; y1) Entonces y'= ( y-y1)/x

Entonces y1 = y-x y' luego OA =y1 = y-x y'

Reemplazando en (1)

(y+ y-x y')x/2 = b (2xy-2b)-x2 = 0

(2xy 2b)dx x2dy = 0..(1)

M = 2xy 2b = 2x

N = -x2 = -2x

Son diferentes por ello buscamos el factor integrante


Si depende de X u(x)=

Donde g(x)= =

u(x) = x-4

X F.I: (2xy -2b)x-4dx x-2dy = 0

M* = 2x-3 -2bx-4, N* = x-2

Sea F(x;y) = c la solucin entonces


= M* y = N*

De = N* F(x; y) = dy + h(x) = -x-2y + h(x) (2)

De = M* 2x-3y + h'(x) = 2x-3y 2bx-4

h'(x) = 2bx-4 h(x) = bx-3

En (2):

F(x;y) = -x-2y + bx-3 = c


ProblemaHallar una curva que tenga lapropiedad de que la magnitud dela perpendicular bajada delorigen de coordenadas a latangente sea igual a la abscisa delpunto de contacto.

.


1d

d

0

Y

X

tL

00 , yxp

xfy

.0xd

0'| xymL pt

00: xxmLyyL tt

0: 01

000

1 xyyxyyxxyLt

1',0

2

0

0

1

00

xy

xyxyLd t

0,0 xLd t

Por dato del problema

Adems y la ecuacin de la tangente es:

Por condicin del problema se tiene:

02

0

0

1

00

1'

,x

xy

xyxy

generalizando en cualquier punto se tiene:

211

21

1

11

yxxyyxy

xyy

212221212 2 yxxYxxyyy

02 122 xyyxy de donde

,0222 xydydxxy es homognea

sea xduudxdyuxy

02 2222 xduudxuxdxxxu

0212 xduudxudxu

,0212 uxdudxu separando las variables.

01

22

duu

u

x

dx

Lncduu

u

x

dx

1

22

, integrando

cuxLncuLnLnx 11 22

x

yu de donde

por lo tanto: .22 cxyx



Hallar la curva para la cual,la razn del segmentointerceptado por latangente en el eje OY, alradio vector es unacantidad constante positiva

PROBLEMA

Por dato se tiene La ecuacin de la recta tangente es:

Lt : y0= y-M(x-xo) , de donde Lt :

Para x=0 se tiene

luego : , generalizando se tiene :

,


Sea :

Remplazando:

separando las variables:


Entonces:



PROBLEMA03:

Hallar la curva cuyas tangentes corten en los ejes coordenados

segmentos cuya suma se igual a 2a.

De la ecuacin de la pendiente tenemos:

- (X-x)*

Para el punto (0, y1)

Reemplazando en * tenemos: y1= -

Para el punto (X1,0)

Reemplazando en * tenemos: X1= -


Reemplazamos en el dato:

X1 +y1= 2 a

- + - =2 a

Ahora derivamos respecto a x:

1-( )- - =0

=

de ah tenemos dos soluciones:

=0 Y=CX+C1


x=


APLICACIONES FISICASUn cuerpo es dejado caer verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial Vo en un medioque ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuntrese una relacinentre la velocidad v y el tiempo t.


Solucin

Haciendo el D.C.L. del cuerpo


kvv

mg

1) Una pelota de masa m es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de latierra con una velocidad inicial V0. Supongamos que no actan fuerzas sobre la pelota

excepto la de gravitacin mg y la resistencia del aire de magnitud kv , donde v es la

velocidad escalar. Hallar el tiempo en el cual la pelota alcanza su altura mxima, as como

encontrar dicha altura mxima.

Kv

mg

V0

F=-mg-Kv=ma

-g-kv/m = a =dV/dt

-g = (k/m)V + dV/dt (ecuacion lineal)

dy/dx + P(x).y =Q(x)

=

(1)

Cuando t=0 .(2)


Altura mxima alcanzada V=0

Hemos hallado el valor del tiempo que demora en llegar a la altura mxima

..(3)

Descomponemos matemticamente la velocidad, para luego integrarlo

En t=0 el S=0

..(4)


Ahora hallamos la altura mxima ya que tenemos el tiempo en que demora en subir la altura

mxima y tenemos la ecuacion de la altura

Remplazando la ecuacion 3 en 4

Rpta:


PROBLEMA

Una bala se introduce en una tabla de h=10cm. De espesor con la velocidad de V0= 200m/s traspasndole con la velocidad V1= 80m/s. Suponiendo que la resistencia de latabla al movimiento de la bala esproporcional al cuadrado de la velocidad,hallar el tiempo del movimiento de la balapor la tabla.


V0 Vf

H=10

La tabla presenta una fuerza de resistencia por lo tanto planteamos lo siguiente :


F = ma = m

Por condicin del problema tenemos:

m

Integrando la expresin:

1ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

Adems :

Integrando

2ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

Finalmente, reemplazamos 2 en 1 teniendo de esta manera:

Reemplazando los datos el valor de t es:


Problema: Un paracaidista(y por supuesto suparacadas) cae desde el reposo. El peso combinadodel paracaidista y su paracadas es W. el paracadastiene una fuerza actuando sobre l(debido a laresistencia del aire) la cual es proporcional a lavelocidad en cualquier instante durante la cada.Asumiendo que le paracaidista cae verticalmente haciaabajo y que el paracadas ya esta abierto cuando elsalto ocurre, describa el movimiento resultante.


SABEMOS: Resistencia proporcional a v. R=a.v

Condiciones iniciales: v=0 en t=0

Problema:Si nos planteamos que al tratar delimpiar "una piscina, a la cual le hemosaadido el doble de la cantidad de sulfatospermitida, y queremos saber cunto tiempotenemos que mantener abierta una entradade 120 lits/min de agua sin sulfatos y lasalida de la piscina que responde a 60lits/min. La piscina en cuestin tiene 20 m delongitud, 10 m de ancho y 2 m deprofundidad. Tendremos que:


Donde el volumen es V = 400m3 = 400 (100cm) 3 = 4 x 108cm3 = 4 x 108 (10-3lit) = 4 x 105lit.Con lo cual el tiempo para que la cantidad final decaiga a la mitad de la inicial surge de:

PROBLEMA: Se lanza un cuerpo de masaconstante hacia arriba, desde la superficieterrestre con una velocidad inicial Vo.Suponiendo que no hay resistencia del airepero tomando en cuenta como vara elcampo gravitacional de la tierra con laaltura; encontrar la menor velocidad inicialque necesita tener el cuerpo para que noregrese a la tierra.



La gravedad va en sentido opuesto a la velocidad por lo tanto es negativa.

Por frmula:

2)( hR

GMt

dt

dvg

t

dt

dh

dh

dV

dt

dV

dh

dVV 2)( hR

GMt

t

2)( hR

dhGMVdV

t

ChR

GMtV

t

2

2

C.I V = Vo h= O

CRT

GMtVo

2

2

C=Rt

MtG

Vo 2

2

Si no queremos que regrese debe cumplirse que para h= V=0

2

)0( 2

Rt

GMtV

Rt

GMt o 2)(

2

=

Rt

GMtVo

2


Problema:Un proyectil de masa m se dispara verticalmente hacia arriba,desde la Tierra hasta la Luna, con velocidad inicial Vo, teniendo encuenta que las masas de la Tierra y de la Luna son Mt y ML , susradios son R y r, que la distancia entre ambos es 60R, que R = 4r(aproximadamente ); y que la influencia del Sol, otros planteas yla resistencia del aire se deprecian, hallar:a)La velocidad en cualquier instante Tb)La velocidad de salida para alcanzar el punto, entre la tierra y la

luna, donde la gravedad es nula tenga en cuenta que MT =81ML, gL =g/6

c) La velocidad que el proyectil debera tener para abandonar laTierra y nunca regresar (tambin llamada velocidad de escape).


Solucin:

Aplicando la ley de la gravitacin de Newton:ma = F1 - FT m = G - G .(1)

Ahora, sabemos que la atraccin de una masa m a la tierra es su peso W = mgLuego: = mg GMT = gR

2

Si gL es la gravedad en la luna, entonces :GML = gR2

En (1): = - (2)


Pero: = adems : t = 0 x = 0, v = v0

De (2): = -

= - + c

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales:

a) = - + - 2gR - .(3)


b) La gravedad es nula cuando (1) se anula, es decir:

G = G

Como = 81 entonces =

Resolviendo: x =

Adems en este punto (donde gravedad es nula) se tiene

que v = 0

En (3) tenemos:- -

= 2gR + - -

= 2gR + - ..(4)


Pero r = , en(4):

= 2gR + .(5)

Tambin: gL = en (5):

= 2gR +

= 2gR (1+0.0002-0.02)

=

c) Para encontrar la velocidad de escape, hacemos que la distancia 60R tienda a infinito, por ello de (4):

= 2gR =


Problema 5:


Problema 3:


Problema 1:


Solucin:La descripcin matemtica es

De donde al resolver la ecuacin se tiene

Para t = 0, v= 10 m/seg , se tiene

Para t = 5 seg , v=8 m/seg .


Solucin:

Para v = 1 m/seg .

De donde

seg. RPTA


Trayectorias ortogonales

Dada una familia de curvasuniparamtricas F(x,y,c) = 0, es posibleencontrar otra familia de curvasuniparamtricas H(x,y,c) = 0 de modoque cada curva de la segunda familiacorta perpendicularmente a cada curvade la primera familia


Obtencin de las trayectorias ortogonales

Dada la familia: F(x,y,c) = 0 , podemos obtener la

ecuacin diferencial:

Para obtener la ecuacin diferencial de las trayectorias

ortogonales, reemplazamos y por en (I) (ya que

en cada punto de interseccin de ambas familias, el

producto de las pendientes de las tangentes es -1). Nos

queda :

))......(,(' Iyxfy

'

1

y


),('

1yxf

y

Ejemplo 1: hallar las trayectorias ortogonales a la familia:

Solucin.- obtenemos la ecuacin diferencial de la familia dada:

0,1

cc

xy

c

11

1'1

cc

c

xy

c

xc

dx

dy


'

'

1

'

: doReemplazan

'

'

'11'

yy

xy

y

yy

yy

xyc

y

y

c

x

c

xyy

'1'

:As . '

1por ' doreemplazan

obtiene se sortogonale ias trayectorlas de ldiferenciaecuacin La

yy

x

yyy

yy


232

2

32

2

332

2

3232

32

2

3'

2

26'2

2

36'2

2

132'2

2

:Solucin

2

:curvas de familia la a sortogonale ias trayectorlasHallar :2 Ejemplo

xc

xcxyy

xc

xcxyy

xc

xxcxyy

xc

xxxcyy

xc

xy

xc

xy


3333

3

32

3

3

32

3

32

3

222

2

3

22

4

3

3

2

2

2

2

3

32

2

3

2

3

2

3

3

2'

3

2'

'' Sea

3

2'

2

3

'

1

:obtenemos

sortogonale curvas de familia la de ldiferenciaecuacion La

2

3'

2

3'

2

3'

12

3

2

3

'

2

12

uuxuu

xuux

xxuu

xuuyuxy

yx

xy

x

yyx

y

x

yyxy

x

yxyyy

y

x

yxyy

y

x

xy

x

y

x

xxxy

x

yy

xy

xc

y

xxc


Cxy

yx

x

yu

x

C

u

u

x

CLn

u

uLn

LnCLnxCxLnuLnuLn

x

dxdu

u

u

u

u

x

dxdu

uu

uu

uu

uuxuu

uuxu

22

22

2

2

2

2

1

22

2234

3

3

42

3

2

: Pero

2

1

2

1

122

1

1

2

223

3

3

32'

3

2'


xy

)(xf

)(xg


IS O G O N A L E S A ST R A Y E C T O R I

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

PROBLEMAHallar las trayectorias ortogonales de la familia de parbolas y = ax2.


En primer lugar planteamos la ecuacin diferencial del haz de parbolas:

Las pendientes de las curvas ortogonales a las parbolas consideradas son perpendiculares a las de estas parbolas; por consiguiente, tendremos:

Y esa es la ecuacin pedida.


El problema es un caso particular del de encontrar la ecuacin de las curvas que corten con ngulo cualquiera, w, aun haz cuya ecuacin se da.El problema en este caso se resuelve como sigue. Siendo C una curva representativa de la familia dada, en el puntoP se tendr:

Anlogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ngulo w, en el mismo punto P severificar la ecuacin:

Pero entre los ngulos implicados se tienen las siguientes relaciones:

Con lo que finalmente podemos escribir:


')('1)(')('tantan

ED la desolucin la es caso este

en y de sortogonale ias trayectorde familia

llama le se a,90 cuando, particularb).En

')('1

')('

)(')('1

)(')('

tantan1

tantan)tan(tan

ED. la de

solucin la es 0),,(y de isogonales

ias trayectorde familia llama le se familia

laA . anguloun bajo familia una a

corta que 0),,( familia otra existe

,0),,( curvas de familia una a).Dada

:isogonales asTrayectori

0

yxfxgxf

g

f

g

yxf

yxf

xgxf

xgxf

cyxgf

g

f

cyxg

cyxf



'1

11

'1

'1

'

1

0)()1())((

1')('1

')('45tan

:

.1)(

2

2

0

yy

yy

y

y

y

y

y

ycx

y

ycx

y

cx

y

dx

dy

dx

dycxy

dx

dcxy

dx

d

yxf

yxf

Solucin

cxy

familia la de 45 a lesiasisogona trayectorlasHallar

1 Ejemplo

0

:implcita derivacinpor

disminuya.

o aumente queser puede ra temperatula de variacinla como

0).cuerpo(t del inicial atemperatur

To ay circundate medio del ra temperatula Tm ay t tiempoel

en circundate medio dely cuerpo del ras temperatulas de diferencia la

a alproporcion es t,tiempocualquier en cuerpoun de ra temperatude

cambio de rapidez la que, estableceNewton de toenfriamien deley La

A._TEMPERATUR DE CAMBIO

LESDIFERENCIA ECUACIONES LAS DE ESAPLICACION

tan20),,(tan2

1

21

1

1

1

1'

1)1('''1

11

22

2

2

2

2222

KxyycyxgKxyy

dxdyydy

dx

y

y

y

yy

yyyyyyy


kt

m

kt

mm

ktkt

mm

mm

eTTTmT

AeTdondeTcdtkTeeT

kTkTdt

dTTTk

dt

dT

TTkdt

dTTTk

dt

dT

)(

Luego ToT0, tparacumplir debe se adems

:essolucin su y orden primer de ldiferenciaecuacin

una es Que )( Si

alidad.proporcion defactor el esk donde, disminuya o

aumente que sea ya )( )(

l.diferenciaecuacion la mediante expresa se

Newton de toemfriamien deLey la a acuerdo de Luego

0


Problema

Hallar las trayectorias ortogonales de la familiade curvas que satisface la siguiente propiedad;la recta tangente a las curvas en cualquier puntoP, es la bisectriz del ngulo determinado por larecta vertical que pasa por P y la recta que uneP con el origen de coordenadas.


SolucinGraficando tenemos:


Dadas las condiciones:


ProblemaLas curvas equipotenciales de un determinado campo electrosttico se puede aproximar por las elipses ; Encuentre las lneas de fuerza.


Solucin:Como sabemos las curvas equipotenciales y las lneas de fuerzas son curvas ortogonales entre si, por lo cual emplearemos propiedades sobre trayectorias ortogonales.

(I)

Derivando:


.Reemplazando:

Resolviendo la integral y remplazando t:

RPTA


problema4

Partiendo del origen de coordenadas un hombre se pasea

por el semieje y positivo con una velocidad de 100

metros/min.En el instante inicial silva a su perro que se

encuentra en el punto (900m,0)y este comienza a correr

con una velocidad de 200 mts/min , dirigida en todo

momento hacia su dueo. Hallar la ecuacin diferencial la

curva que describe el perro y el tiempo k tarda en

alcanzar a su amo.


SIENDO EL PUNTO R(900.0)

Solucin:

En un tiempo t minutos , el hombre estar en P=(0,vht) y el

perro en el punto P(X,Y)

Luego :

= ..(0)

la distancia recorrida por el perro, en dicho instante es el arco AB

Luego AB=- dX=s(1)


Pero: Vpt=200t.(2)

(2) en un (1): - dX=200t

De (0) reemplazamos t: - - )

Derivando tenemos: =

= 2 =

u+ =c

Volviendo a la ecuacin :

+ =c ..(3)


=0

Reemplazando en (3) tenemos: c=1/30

De (3) pasamos el al otro miembro y elevamos al cuadrado:

Y= -30 +C1

En t=o x = 900 y=0

C1=600

Dea hi la ecuacin ser: Y= -30 +600

El perro dara alcance en X =0 Y=0 ; P(0,600)

Dado que el tiempo es igual para el hombre y el perro

600=Vht1=100 t1 t1= 6min


F-10aire del atemperaturT

:cuepo del atemperaturTSean

Solucin

p.m. 1.09 las a o termmetrdel lectura la es

Cual, F70 est aire el donde adentro nuevamente

lleva se o termmetrel p.m 1.05 las a F26 de es

a temreaturp.m.la 1.02 las a F10- de atemperatur

una tieneaire el dondeexterior al o trasladades

F70 marca que troun termme p.m 1 laA

:Ejemplo

0

m

0

0

0

0


FT

T

Te

K

eF

eTTTT

AeTT

tmTkdt

dT

tt

t

kt

mm

kt

m

0

2

5

220

9ln

2

1

20

00

88.0

20

98010 tienesemin 5tp.m., 1.05 las a

)20

9(8010decir es 80-10T Luego

)20/9ln(5.0

80102626t2, tp.m 1.02 la a

y 1.p.m la a es esto )( tienese TT

para :es ldiferenciaecuacion la desolucion La

alidadproporcion defactor k

),( es matematican descripci La


AAeScktsLnkdtdt

dS

kSdt

dS

kSdt

dSkS

dt

dS

kt

00 S0, tcuando ,SSdecir es

inicial cantidad la a representa So .si generalsolucin

la es )( integrando ,

:.Luego separablesson y t s variableslas, Como

alidad.proporcion defactor un esK dondeen o,crecimient el

para y cin descomposi la para por

dado esta, tocreciemien dey cin descomposi deLey La

QUIMICAS. REACCIONES

OCRECIMIENT, CIONDESCOMPOSI


material. del media vidala tambien Encuentre

. tiempodel

funcin como material ese de masa la paraexpresin

una tregrs.Encuen 80 a disminuido ha masasu , aos 20

de despes observa le se cuandogr.y 100 de masa una

nteoriginalme tienematerial ese de bloque.Un presente

material de cantidadsu a alproporcion velocidad

una a decae radiactivo material ciertoun que sabe Se

PROBLEMA


4

5ln

20

20

100)( :luego

4

5ln

20

18080)20(, aos 20 tpara

: tienede esto paraK constante la emosdeterminar 100)(

: tienese doreemplazan Luego ,100.100)(0, tPara

: tienese esto para ,A constante

la osdeterminam )( tieneseecuacin la oResolviend

)()(

es matemtica

ndescripci lat cualquier en sustancia de radiactiva)( Sea

SOLUCION

t

t

kt

kt

etx

kex

etx

Agrtx

Aetx

tkxdt

tdx

tx


V L

i

R


R

V

i

V

iC

L

E L E C T R IC O S C IR C U IT O SA E SA P L IC A C IO N

L

0RI

0 0

:anteriores figuras las de circuitos losEn

cero" es cerrado circuitoun en voltajede cadas las todasde

algebraica suma La." kirchoff de voltajeslos deley la es

circuitos estos gobierna que lfundamneta principio El

tiempo.delfuncin una o constanteser puede E

circuito del sespecfico scomponente los de esdependient

constantes tegeneralmenson CL,R, cantidades Las

EC

qERI

dt

dIL

EEEEEE cRLR


f.e.m la den desconexio dela .despues

0.01segr condensado del carga lay corriente la

.Encontrar circuito del f.e.m la desconecta se,

permanete estado el alcanzado ha se Cuando

. faradios 105 de es iacapacitanc cuya

cargado nor condensadoun y ohms 10 de

aresistenci una serieen contiene que circuito

un en introduce se voltios100 de fem Una

PROBLEMA

4-


RC

t

RC

ttq

q

RCRC

eRC

q

dt

dqi

eqqRCq

qdt

RCq

dq

qRCdt

dq

c

qRi

qq

iVCq

eR

VieVCq

0

0

00

0

11

1ln

1

donde de ,01

:decir es 0

:sera 0Vcon Kirchoff, deley segunda la a acuerdo de

circuito el paraecuacion lay coulomb. 05.0

0 tpara: tiene0)se(t circuito del V f.e.men

fuente la desconecta se cuando, parte segunda laEn

.0Coulomb. 05.0

) t(cuando permanente estado El

)(,1

SOLUCION

0


Problema de mezclas

Un tanque contiene un volumen de litros de salmuera con kg. de sal disuelta, luego se introduce salmuera con kg. de sal por litro a la rapidez de litros por minuto y la mezcla, bien agitada, sale del tanque con una rapidez de litros por minuto. Determinar en un instante t cualquiera:

a) El volumen en el tanque.

b)La concentracin de sal contenida en el recipiente.

c) La cantidad de sal contenida en el depsito en cualquier instante.


0V

0Q

ECEV

SV

0V 0Q

ECEV

SV SC

Esquema


SolucinEn un instante cualquiera t ,sean :

Q(t) = Cantidad de soluto presente en el depsito.

V(t) = Volumen en el depsito.

C(t) = Concentracin de soluto en el depsito.

Luego, en un instante t, tenemos:

)1(..........SESE QQdt

dQdtQdtQdQ

tVVV

tQtC

tV

tQtC

SE )(

)()(

)(

)()(

0


Adems tenemos:

Reemplazando en (1):

S

SE

EESE VtVVV

tQVCQQdQ )

)(

)((

0

EE

SE

S VCQtVVV

V

dt

dQ

)(0


A partir de esta ecuacin diferencial podemos calcular la

cantidad Q de sal presente en el instante t, a partir de la

condicin inicial

proceso. el iniciado de minutos 60 de cabo alin concentrac La b)

litros. 500 tengamezcla la cuando sal de cantidad La a)

:Calcular .lt/min 8 derazn a hace

la salcon agua de mezcla la si lt/min; 4 derazn a mezcla nueva

lainferior partesu por saldr que vezla aKg./lt derazn a sal

contiene que agua entrar dadomoment un en pura; agua de litros

400 contiene capacidad de litros 3000 de depsito Un :1 Ejemplo

81


0

pura) (agua 0C

400V

000

0

0

CVQ

lt

ltKgC /81min/8lt

? Cs ,4lt/min Vs

.cualquiera instanteun en in concentrac es c(t) donde

)(

)()( : Sabemos ?.c(t) de Clculo

cc(t) :Luego

(c(t)). instante

mismo eseen sal dein concentrac la a igual es dado instanteun en

)(C mezcla la sale cual lacon sal, dein concentrac la que observa Se

?c Pero 4

18 :Pero

dt

dQ que Sabemos

:datos siguientes los Tenemos

t.instante elen depsito, elen presente sal, de cantidad la (t) Q Sea

:Solucin

S

S

S

81

tv

tQtc

ccvQ

xcvQ

QQ

SSSS

EEE

SE


tee

tLndtt

tP

t

tQ

dt

dQ

t

tQ

dt

dQ

t

tQ

t

tQQ

ct

tQtc

tttv

tvvvtv

tLntP

S

S

SE

100

:integrantefactor el sconstruimo

)100(100

1)(

t100

1p(t) Sea

lineal Ec. 1100

)(

100

)(1 :Entonces

100

)(

4400

)(4

4400

)()(

4400)48(400)(

cualquiera instanteun en volumen )()( Pero

)100()(

0


.5.22252

125100

125

1

minutos.254400500)(t

t tpara ,4t 400 v(t)que Sabemos

500 vcuando , ?QQ a)

2

1100

100

1)(

00Q0 tPara :c de Clculo

2

1100

100

1)(

2

1100)100)((100')100)((

:queda ,integrantefactor elpor ecuacin la mosMultiplica

2

1

111

1

1

2

0

2

2

KgxQ

ttv

ttt

tQ

c

cttt

tQ

cttttQtttQ


0.076kg/ltc(60)

640

48.75c(60)

48.75Q(60) Pero

640

)60(

)60(4400

)60(c(60) Para

60t ?c(60) b) 1

QQ


Problema 4:


PROBLEMA: Considere un tanque usado enexperimentos hidrodinmicos. Despus de unexperimento, el tanque contiene 200 litros de unasolucin entintada, con la concentracin de 1 g/litro.Para preparar el siguiente experimento, el tanque seenjuagar con agua no contaminada a una razn de 2litros/minuto, y la mezcla sale del tanque a la mismatasa. Considerando agitacin uniforme, halle el tiempoen que el tanque tendr una concentracin del 1% desu valor inicial.


Piden hallar el tiempo para el cual el tanque este con el 1% de concentracin . No entra tinte adicional, hay agitacin uniforme.


Tasa de salida del tinte: razn de salida del agua x concentracin entre capacidad del tanque

Condiciones iniciales

Reemplazando las condiciones del problema: 1% (2g)

Donde t est expresado en minutos

Problema5

Un deposito de 3,000 litros de capacidad contiene 400

litros de agua pura; en un momento dado entrara agua

que contiene sal a razn de 1/8 kg/litro ala vez que saldr

de su parte inferior la nueva mezcla a razn 4

litros/minutos; si la mezcla de agua con sal se hace a

razn de 6 litros/minutos, calcular:

-la cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros.


SIENDO: CI= 8lit/min; CII= Kg/Lit ;Vs=4lit/min

C0= o(agua pura); Xo= ;Vo=400

Solucin

Sea X la cantidad de sal presente en el depsito, en el

instante t tenemos lo siguiente:

=Xe-Xsecuacin

Pero : Xe=Ve.Ce=8*1/8=1(1)

Xs=Vs.Cs=4 Cs(2)

Se observar que la concentracin de sal de la cual sale

mezcla(Cs)en un instante dado es igual a la concentracin de sal

en ese mismo instante (C(t))

C(t)= Cs sabemos que :

C(t)= ..(3)concentracin en un instante t


V(t)= V0+( Ve- Vs)t..volumen en un instante t

V(t)=400+4t reemplazamos en (3) primero luego en (2) tenemos:

Xs= (4)

Reemplazando (4) y (1) en la ecuacin tenemos lo siguiente:

+ =1..ECUACION LINEAL

Hacemos: x +k

Resolviendo Tenemos: (100t+ )

Para t=0 X=0 C=0

(100t+ )

RESPUESTAS:-X=X1 cuando V=500

De la ecuacin V(t)=400+t

500=400+4tt=25 minutos

Reemplazando en la ecuacin general tenemos: X=22.5 Kg


Dos tanques contienen cada uno v galones de agua empezando en el tiempo t=0,una solucin a lb/gal de un solvente qumico fluye dentro del tanque I a la tasade b gal/min . La mezcla luego entra y sale del tanque II a la misma tasa.Asumiendo agitacin completa en ambos tanques muestre que lacantidad de qumico en el tanque II despus de un tiempo t>0 es


Considere un tanque usado enexperimentos hidrodinmicos. Despusde un experimento, el tanque contiene200 litros de una solucin entintada, conla concentracin de 1 g/litro. Parapreparar el siguiente experimento, eltanque se enjuagar con agua nocontaminada a una razn de 2litros/minuto, y la mezcla sale del tanquea la misma tasa. Considerando agitacinuniforme, halle el tiempo en que eltanque tendr una concentracin del 1%de su valor inicial.


Piden hallar el tiempo para el cual el tanque este con el 1% de concentracin . No entra tinte adicional, hay agitacin uniforme.


Tasa de salida del tinte: razn de salida del agua x concentracin entre capacidad del tanque


Reemplazando las condiciones del problema: 1% (2g)


Problema: Un tanque esta lleno con 10 galones(gal) de agua salada en la cual estan disueltas 5 lb de Sal. Agua salada conteniendo 3 lb de sal por gal entra al tanque a 2 gal por minuto, y laMezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Solucin: Su tasa de cambio es A/dt

Entra 2 gal/min conteniendo 3 lb/gal:

Inicialmente hay 10 gal en el tanque en A librasEn un tiempo t:

Luego tenemos:

Inicialmente A=5 en t=0


min. 20 de despes tanqueelen sal de cantidad la Determine

. rapidez misma lacon mezcla lasalir dejandolit/min 8

de rapidez la a tanqueqelen limpia agua viertesey proceso el

detiene se minutos 10 de .Despues rapidez misma lacon salga

mezcla la que deja sey lit/min 8 de velocidaduna alitro,por

sal de kg 0,050 contiene que agua len viertese entonces

limpia agua de litros 400 nteoriginalme contiene Un tanque

2 Ejemplo


kg )1(20)20(min 20 tpara )1(20)(

)1(20)1(200:inicialcondicin

)(50

050

050

0400

8

)1(20)(min 10 tpara

2020)(

20;00: inicialcondicin

20)(

4.0)(

4.050/1 0.4q400

8

SOLUCION

5050

1

5050

1

50

1

50

50

50

1

50

50

505050

tt

t

t

t

t

ttt

eeqeetq

eceqt

CetqLnCt

Lnqdt

q

dq

q

dt

dqq

dt

dq

exq

exq

cqt

cetq

cdteexqeu

dt

dq

dt

dq


Problema: Por un agujero circular de rea Ao, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la friccin y a la contraccin de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a , donde 0

PROBLEMA 1. Se cuelga un cable homogneo entre los soportes deuna estructura a una misma altura. Despreciando la velocidad delviento, determinar la ecuacin de la curva que contiene el cable(catenaria).

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

Solucin:

De la figura:

Desarrollando:

Hallando la segunda derivada:

Cambio de variable:

Pero:

Del sistema de ecuaciones:


Tenemos:

Hallando la ecuacin:

Por lo tanto obtenemos: {solucin}


PROBLEMA 2. Antes del medioda el cuerpo de una aparente victimade homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva atemperatura constante a 70F. Al medioda, la temperatura del cuerpoes 80F y a la 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F.Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento delasesinato era 98,6F Cul fue la hora del asesinato?


Solucin:

Sabemos por la Ley de enfriamiento de Newton:

Para

Para

Para

Hacemos: (1)/(2)

Reemplazamos en la ecuacin:

Ahora, para

Por lo tanto, la hora del asesinato fue:


VACIADO DE TANQUES

.


PROBLEMASuponga que el agua sale de un depsito por un orificiocircular de rea Ak en su fondo. Cuando el agua sale por elorificio, la friccin y la contraccin de la corriente cerca delorificio reducen el volumen de agua que sale del depsito..Determine la ecuacin diferencial para la altura h del aguaen el instante t para el depsito que se muestra acontinuacin. El radio del orificio es de 2 pulg y g= 32


SolucinEl volumen del agua en el tanque en el instante t es V w = Ah

Con esa ecuacin podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en el recipiente:

Hemos conseguido una ecuacin diferencial en base a los parmetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuacin


Usando

sustituyendo estos valores para las condiciones establecidas:


Hallar el tiempo en vaciar el cono de Radio R en la base con 3 agujeros de area a como se muestra en la figura


Finalmente hallamos el tiempo total=Tt=t1+t2+t3


Problema: Se tiene un recipiente recto cuya seccin transversal es como semielse de semiejes a y b (a>b). Su altura en H. tendido en posicin l recipiente en posicin horizontal y base rectangular hacia arriba ) , se le llena de agua. Si en esa posicin, en el fondo presenta un orificio de salida de seccin transversal A, calcule el tiempo de vaciado, sabiendo que su coeficiente de gasto es c.


Sean V(t) y h(t) el volumen y la altura de agua en el recipiente

Por Torricelli: dV = -cA dt ..(1)

Adems: dV = -A(h)dh = -2xHdh ..(2)

Pero (x;h )E elipse que tiene ecuacin. + = 1

Entonces x =

En (2): dV = -2 dh = cA dt


- t = + k (3)

Para t = 0 h= b, en (3): k = -

En (3): t = -

Para h = 0 -


PROBLEMA 3. Una esfera con radio R est llena de agua. Se hacendos agujeros de rea A en sus puntos ms alto y ms bajo para queentre el aire y salga el agua. Usando c=0.6, encontrar los valores deT1 y T2 en segundos, necesarios para que salga la mitad y la totalidaddel agua, respectivamente.


Solucin:Datos: V(t) = volumen del agua en un instante t

h(t) = altura del nivel de agua en un instante t Sabemos: (para vaciado de tanques)

Condiciones iniciales: t=0 h=2R

Para que salga la mitad del agua (T1), hacemos h = R

Para que salga la totalidad del agua (T2), hacemos h = 0


PROBLEMA 4. Una lancha se desplaza a la velocidad de v = 10km/h, estando las aguas tranquilas. En plena marcha su motorfue desconectado. Al cabo de t=20 segundos, la velocidad de lalancha bajo hasta v1 = 6 km/h. Considerando que la fuerza deresistencia del agua al movimiento de la lancha es proporcionala la velocidad de sta, hallar la velocidad de la lancha a los 2minutos de para el motor. Hallar tambin la distancia recorridapor la lancha durante un minuto despus de parar el motor.

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

Solucin:De la segunda ley de Newton:

Tenemos: Es la ecuacin de la velocidad para cualquier instante.

Condiciones iniciales: t = 0 v = v0 = 10 km/h 25/9 m/s

Para t = 20 seg v = 6 km/h 5/3 m/s

Para t = 2 min = 120 seg

Ahora:

La longitud recorrida se expresa de esta forma:

Para t = 1 min = 60 seg

Longitud recorrida por la lancha al minuto de apagar su motor: Velocidad de la lancha a los 2 minutos de apagar su motor:

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

PROBLEMA 5 . Halle el nmero de caloras/hora que pasa a travs de 1m2de la pared de una habitacin frigorfica de 125 cm de espesor y K=0,0025,la temperatura en la cara interior es -5C y en la cara exterior es 30Csegn:

100 cm.

100 cm.

125 cm.


dx

dTKAQ

5

30

125

0 dx

dTKAQ

De la ecuacin:

Reemplazando:

Solucin:

100 cm.

100 cm.

x=0

x=125 cm.

210000cmA

0025,0K

hcalscalQ

Q

/25200/7

)35.(25)125(


Problema: Se tiene un recipiente recto cuya seccin transversal es como semielipse de semiejes a y b (a>b). Su altura en H. tendido en posicin horizontal ( eje del recipiente en posicin horizontal y base rectangular hacia arriba ) , se le llena de agua. Si en esa posicin, en el fondo presenta un orificio de salida de seccin transversal A, calcule el tiempo de vaciado, sabiendo que su coeficiente de gasto es c.


Sean V(t) y h(t) el volumen y la altura de agua en el recipiente

Por Torricelli: dV = -cA dt ..(1)

Adems: dV = -A(h)dh = -2xHdh ..(2)

Pero (x;h )E elipse que tiene ecuacin. + = 1

Entonces x =

En (2): dV = -2 dh = cA dt


- t = + k (3)

Para t = 0 h= b, en (3): k = -

En (3): t = -

Para h = 0 -


PROBLEMA 6. Cierto producto qumico se disuelve en agua a unavelocidad proporcional a la cantidad an no disuelta y la diferenciaentre la concentracin en una solucin saturada y la concentracin enuna solucin real. Se sabe que en 100g de una solucin saturada,estn disueltos 50 g de sustancia. Si se agitan 30 g de un productoqumico con 100 gr. de agua, en 2 horas se disuelven 10 gr.

Solucin:

Concentracin saturada =50/100

30 gr.

t=0


t=t

x gr.

30-x gr.

Cantidad no disuelta

Cantidad disuelta

Del enunciado:)).(.( rsat CCxk

dt

dx

100

20)..(

xxk

dt

dx

dt

k

xx

dx.

100)20.(

Concentracin real:

100

30 x


Dato t = 2horas

Cantidad disuelta =10 .20gr

2

0

20

30

20

30.

5.

20

1.

1dt

kdx

xdx

x

Calculando k

5.2

50

30ln

40

20ln

.5

20lnln

2

0

20

30

20

30

k

tk

xx

6

5ln.

2

5k

2769,12

6

5ln.

2

5

20.

3

5ln

5

3ln

20ln

.520

ln

5

030

x

x

x

kx

x

tk

x

xx

Cantidad disuelta=30-x =17.723 gramos


PROBLEMA 7. Hallar la curva cuya tangente forma con los ejescoordenados un tringulo de rea constante S =2a

Solucin:

(0,h)

(b,0)

h

b

Y=f(x)

(x,y)


Nos dicen:

aSbxh

A 22

Es decir bxh=4a ..(1)

Peroxyyh

x

hyy ''

Tambin:'

'y

yxb

bx

yy

Reemplazando en (1)

2.....'4''4

'4'4'

'4'.

'

'

4''

22

ayxyyayxyy

ayxyyay

xyyaxyy

y

yxy

axyyy

yx


Sea:

)3....(4' apxpypy

Derivando (3)

0'4

2

'442

1'' 2

1

pap

ax

apapxppy

Si p=0

generalsolucinacxcy

En

ctecp

4

:3

.


Clculo de la solucin singular del sistema del sistema:

04

2

4

ap

ax

acxcy

Eliminado p obtenemos: x

ay

Rpta: curva

x

ay


PROBLEMA 8. Despus de permanecer abierto por un tiempo largo elconmutador en el circuito de la figura se cierra para t=0 En qumomento despus de t=0 la magnitud de i(t) es mxima?

+

-

1 F80 mH

200

300

200

30v

t=0

i(t)


Solucin:

i1 i2

1 F80 mH

200

300

200

30 v

t=0

i(t)

+

-

18

+

-

Al inicio:


i(t)= i2-i1

En el inductor la corriente es igual a 30/(200+300)=0,06 A

En el capacitor la corriente es igual a (30-18)/200=0,06 A

vl80 mH

200i1

vR

Para i1:

ctekeki

idt

di

idt

di

vv

t

Rl

,.

02500

020008,0

0

2500

1

11

11

k: corriente inicial (t=0)

Del sistema la corriente inicial (inductor) es 0,06

)...(.06,0 25001 Ieit


Para i2:

200

1 F

i2vR

vc

.,.

05000

010

1200

01

200

0

5000

2

22

26

2

22

ctememi

idt

di

idt

di

dtic

i

vv

t

cR

Del sistema la corriente inicial (capacitor) es 0,06

m: corriente inicial (t=0)

IIei t ....06,0 50002


tttt

eeti

eeiii

25005000

25005000

12

.06,0

.06,0.06,0 =(t)

.277,0 mst

Tiempo necesario=0,277 ms.

tt eedt

di 25005000 25005000.06,00

2ln.2500

12

50002500

2500

50002500

te

ee

t

tt


PROBLEMA 9. Segn la ley de newton de enfriamiento la velocidad ala que se enfra una sustancia al aire libre, es proporcional a ladiferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si latemperatura del aire 30C y la sustancia se enfra de 100C a 70C en15 min. Al cabo de qu tiempo la temperatura de la sustancia ser40C?

Solucin:

).( mTTkdt

dT mT :Temp. del medio (aire libre) :30CmT

CTt

CTt

70min15

100min0

kTkdt

dT30. k: cte. real

fija

30.)( 1 kteCtT


7030:1000 11 CCTt

Nos piden el tiempo si T=40

30.7040 157

4ln

t

e

Al cabo de 52,128 min. la temperatura de la sustancia ser 40C

15

7

4ln

30.70:7015 15

keTt t

158,52.7

4ln.

15

1

7

1ln

tt


PROBLEMA 11. Bajo ciertas condiciones, la cantidad cte Q cal/s decalor que pasa a travs de una pared esta dado por

Donde K conductividad trmica del material A (cm2) es la superficie deuna cara de la pared perpendicular a la direccin del flujo, T es latemperatura a una distancia x (cm)Halle la prdida de calor por hora a travs de una longitud de un metrode la tubera mostrada si la superficie interior es 200C y la exterior30C, adems el conducto de vapor de 20 cm. de dimetro estprotegido por un recubrimiento de 6 cm. de espesor y K=0,0003.

dx

dTkAQ


Solucin:

K=0,0003 LxA ..2

dtLKxQdx

dtAKQdx

....2

..

)170.(...210

16ln

....230

200

16

10

LKxQ

dtLKxx

dxQ

Prdida de calor: 245,44 kcal/h

hkcalQ

scalQ

scalQ

/44,245

/178,68

/)6,1ln(

)170).(100).(0003,0.(2


PROBLEMA 12. Un cuerpo de peso W cae partiendo del reposo. Si laresistencia del aire es proporcional a la velocidad y la velocidad lmite es de52 m/s, hallar la distancia recorrida en la cada en un tiempo de 5 segundos(g = 10 m/s2).

Solucin:


Segn la segunda ley de Newton:

Obtenemos la ecuacin diferencial lineal: {e. d. lineal}

Factor integrante:

Condiciones iniciales: t=0 v=0

Velocidad limite (t ):

Para: t=0 x=0

Para t=5 seg.


PROBLEMA 13. Considere una poblacin de peces P(t). Supongamos quela poblacin inicial es de 100 peces, estos peces son una combinacinde truchas maduras hembras y machos. Para bajos niveles depoblacin y considerando los factores ambientales se sugiere que lasfunciones que normalizan la tasa de crecimiento y prdidapoblacional son inversamente proporcionales a la raz cuadrada de lapoblacin presente en el instante t.

Sobre la base de la descripcin anterior, obtener un modelomatemtico para la poblacin de peces y encontrar una solucingeneral para P(t). Dado que la poblacin despus de 6 meses ser de169peces, estimar cuntos peces estarn en el estanque despus delprimer ao. Utilizando el mismo modelo, cul ser el tamao del lapoblacin despus de cinco aos?, y luego qu puedes decir acercade la exactitud del modelo matemtico para los grandes tamaos depoblacin?


Por lo tanto, la ecuacin de balance de poblacin se convierte en

Donde k es constante. De este modo, el modelo matemtico de estesistema es simplemente.

Esta es una ecuacin separable, cuya solucin se pueden desarrollarde la siguiente manera. En primer lugar rescribir la ecuacin debalance como

Solucin:

Dado que las tasas de mortalidad y las de natalidad se normalizan,podemos escribir la ecuacin de balance como

Donde B y D son las funciones que normalizan las tasas respectivas.Segn el problema las funciones que normalizan las tasas delnacimiento y mortalidad son inversamente proporcionales a la razcuadrada del tamao de la poblacin, o


La integracin de ambos lados da

Y despejando la solucin general para la poblacin de peces seconvierte en

Ahora, aplicando la condicin inicial da por lo que

y la solucin es

La tasa de crecimiento constante, k, se puede determinar a partir de losdatos que figuran en el problema. Sabemos que despus de 6 meses,

Evaluando en (3) para t=6.

Con la tasa de crecimiento constante conocida, podemos utilizar la ecuacin (3) como un modelo predictivo. La evaluacin de esta expresin en t = 1 ao (12 meses) y de nuevo a los 5 aos (60 meses) da


As, vemos que la poblacin de pecescrece con bastante rapidez, sobre todo amayores valores de P (ya que la tasa decambio de P es proporcional a ). Estemodelo, sin embargo, predice que en untiempo ilimitado el crecimientopoblacional ser excesivo, y esto no esfsicamente posible para un estanque detamao finito y limitados suministros dealimentos. El modelo puede seradecuado en un perodo de varios aos,pero finalmente su naturaleza sin lmitesdara lugar a grandes errores en unentorno real limitado. De la comparacindel modelo predictivo y la capacidad realperidica de poblacin de peces sealerta al usuario de la necesidad demodificar el modelo matemtico paraeste ecosistema. A la derecha tenemosla grfica de la estimacin del modelopara distintos valores de k. En este casosu valor fue de 1.

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

PROBLEMA 14. .- La fuerza de marea es un efecto secundario de la fuerza degravedad que es responsable de la existencia de las mareas. Es el resultado de ladiferencia de potencial gravitacional que existe a lo largo del dimetro de un cuerpo.Suponiendo que inicialmente la forma del cuerpo ms grande era una esfera, lafuerza de marea que tender a convertirla en un elipsoide. El Lmite de Roche es ladistancia mnima que puede soportar un cuerpo, que mantiene su estructuranicamente por su propia gravedad y que orbita un cuerpo masivo, sin comenzar adesintegrarse debido a las fuerzas de marea que genera el objeto principal. Esto es loque sucede con la tierra y la luna. Por ltimo el ritmo de recesin es la velocidad conla que los cuerpos celestes o las galaxias se alejan entre si, y es inversamenteproporcional a la sexta potencia de la distancia. Calcular el tiempo que le tomo a laluna llegar a su posicin actual respecto de la tierra. Datos:

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

Reemplazando en (1) e integrando sera

sera la distancia actual a la que se encuentran y sera la distancia inicial mnimaa la que pudieron estar o en otras palabras el Lmite de Roche. Entoncesreemplazando valores en (2)

Solucin:

Hallando el valor de k

Resolviendo tenemos

Donde


PROBLEMA 15. En mayo de 1993 la poblacin mundial alcanz los 5.5 mil millones y a partir de entonces aument a la tasa de 250 mil personas por da. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes. Para cuando se esperara una poblacin mundial de 11 mil millones?

SOLUCIN

Partimos de esta ecuacin diferencial denominada ecuacin de crecimiento natural o exponencial:

xkdt

dx.

Integrando se obtiene: ktktc eAee .. x(t)x

En nuestro problema:kteP0 P(t) ..(1)

Donde:P (t)=: Poblacin mundial en miles de millones t : en aos


Datos:

5.5OP

0913.0)25.365(00025.0' OP

En t = 0 (1993)

El aumento significa:

De la ecuacin kPt

PLim

dt

dP

t

k

Donde: P: Nmero de individuos

: Tasa de natalidad : Tasa de mortalidad

Entonces obtenemos: 0166.05.5

0913.0.

1

0

'

0

0

P

P

dt

dP

Pk

t

De esto deducimos que la poblacin en 1993 estaba creciendo a la tasa de 1.66 por ciento

De la Ec (1): TetP 0166.05.5)(11 )(420166.0

.)5/11(aos

LnT

Corresponde al ao 2035, suponiendo que las tasa de natalidad y mortalidad se mantuviesen constantes, la poblacin mundial se estara duplicando cada 42 aos


PROBLEMA 16. Un espcimen de carbn vegetal encontrado en Stonehenge result contener 63% de que una muestra de carbn vegetal actual de igual masa Cul es la edad de la muestra?

14C

SOLUCIN

Tomamos:

t = 0 el instante de la muerte del rbol del cual el carbn de Stonehenge fue hechoN0: # de tomos de C14 que la muestra de Sstonehenge contenia

Ahora:

063.0 NN k= 0.0001216

De la Ec:kteNN 00 0.63

)(38000001216.0

)63.0(aos

LnT


PROBLEMA 17. Una tina hemisfrica tiene un radio superior de 4 pies y en el instante t= 0 est completamente llena de agua. En ese momento, en el fondo de la tina se abre un agujero circular con dimetro de 1 pulg. Cunto tiempo tardar en salir toda el agua del tanque?

SOLUCIN

Datos: g = 32.2 pies/s2

st 215015

448.72 Ahora, y(0) = 4, asi que

esto es, casi 35 min 50s De esta manera el tanque se vaciar en un poco

menos de 36 minING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

La ley de Newton del enfriamiento dice que latemperatura de un objeto cambia a una tasaproporcional a la diferencia de temperaturas entre elobjeto y su entorno. Suponga que la temperatura deuna taza de agua caliente obedece la ley deenfriamiento. Si la taza tiene una temperatura de200 F cuando le acaban de verter el agua y unminuto ms tarde la temperatura de la taza habajado hasta 190F, en un cuarto de donde latemperatura es de 70F, determine t para cuando latemperatura de la taza es de 150F.


Siguiendo las indicaciones del problema, la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperaturas.



Segundo juego de condiciones

Resolviendo para T=150



PROBLEMA

Antes del medioda el cuerpo de una aparentevictima de homicidio se encuentra en un cuartoque se conserva a temperatura constante a 70F, amedioda la temperatura del cuerpo es de 80F yala 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F.Considerando que la temperatura del cuerpo enel momento del asesinato era de 98.6FCal fuela hora del asesinato?


Para resolver este problema haremos con LA LEY DE

ENFRIAMIENTO DE NEWTON:

Siendo: T: Temperatura de la sustancia que generalmente el

que hay que hallar.

: Temperatura del medio circundante.

K: Constante de proporcionalidad.

RESOLUCIN:

=- dt

ahora pasamos a la respectiva integracin en ambas partes :

Ln(T- )=-kt+Ln(C)

T= C.


Sabemos que: por dato del problema.* Para t =0 T=98.6 F

C=28.6 F** Para t =t T=80 F

80=28.6.*** Para t =t+60 T=75 F

75=28.6.De la ecuacin **: -1.0508=-ktAhora en la ecuacin ***: -1.7439=-k(t+60)De la cual obtenemos: k=0.01155De ah reemplazamos en ** lo que nos da: t=90.9783minEntonces la hora del asesinato tenemos como tomamos el tiempot para el medio da lo restamos los 90.9783 minutos lo que nos dara como resultado que el asesinato fue: 10:29 a.m


aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

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