aplic1-area entre curvas(4)
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Areas de regiones planas
(a)Def.- Si f es una función que asume valores positivos y negativos en [a,b], se define el área de la región R entre la curva y = f(x) y la recta ���y 0 , entre ���x a y ���x b, mediante
���AR d���
a
b
( )f x x
Ejemplo.- Calcular el área de la región entre la curva ���y x ���9 x2 y la recta ���y 0 entre x = -3 y x = 3.
Ejercicio: Calcular el área de la región entre la curva ���y ��� ��� ���x3 2 x2 5 x 6y la recta ���y 0 entre x = -3 y x = 4.
(b) Área entre curvas
(i) f(x) y g(x) positivos
Def.- Si f y g son funciones continuas definidas para x en [a,b]; y pongamos , además, que
��0 ��( )g x ( )f x , ��a x �� bentonces el área de la región R limitada superiormente por y = f(x), inferiormente por y = g(x) y lateralmente por las rectas���x a y ���x b , esta dada por
���AR d���
a
b
[ ]���( )f x ( )g x x (*)
Ejemplo.-
Encontrar el área de la región entre las curvas���y x2 e ���y ���x 6 .
(ii) f(x) y g(x) positivos y negativos
La fórmula (*) sigue siendo válida para situaciones en quef(x) y g(x) asuman valores negativos y positivos en [a,b] con tal que ��0 [ ]���( )f x ( )g x en [a,b].
Def.- Si f y g son funciones continuas definidas para x en [a,b]; y supongamos , además, que
��( )g x ( )f x , ��a x �� bentonces el área de la región R limitada superiormente por ���y ( )f x , inferiormente por y = g(x) y lateralmente por las
rectas ���x a y ���x b , esta dada por
���AR d���
a
b
[ ]���( )f x ( )g x x
Ejemplos.-
1. Encontrar el área de la región encerrada por ���y ���6 x x2 e���y ���x2 2 x .
2. Encontrar el área de la región encerrada por���y ��� ���x4 2 x3 1 e ���y ���x 1 entre ���x �2 y ���x 4
Ejercicios.1.- Encontrar el área de la región encerrada por ���y x e ���y x3.2.- Encontrar el área de la región encerrada por ���y x , ���y � ���x 6 e���y �1.
3.- Encontrar el área de la región encerrada por la curva ���y2 x y la recta���x 4.
4.- Encontrar el área de la región encerrada por la curva ���y2 x y la recta���y ���x 2.
5.- Encontrar el área de la región encerrada por ���y2 ���x 8 e ���y2 x.