Área entre curvas
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Área entre curvas
Ejercicios resueltos
1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 − 5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites
de integración.
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De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
2. Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x
2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con
los ejes.
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Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de
integración.
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4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x
2 + 4x.
Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
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5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0.
En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de
integración.
Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas
1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x
= 8.
Solución
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
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2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
Solución
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y
conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área
comprendida entre x = 0 y x = 3.
3. Calcular el área del triángulo de vértices A (3, 0), B (6, 3), C (8, 0).
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Solución
Calcular el área del triángulo de vértices A (3, 0), B (6, 3), C (8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x
2.
Solución
Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x
2.
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5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
Solución
Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
·
6. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
Solución
Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
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7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa
por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
Solución
Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los
puntos (−1, 0) y (1, 4).
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8. Hallar el área limitada por la recta
, el eje de abscisas y las ordenadas
correspondientes a x = 0 y x = 4.
Solución
Hallar el área limitada por la recta
, el eje de abscisas y las ordenadas
correspondientes a x = 0 y x = 4.
9) Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x
3 y el eje de abscisas.
Solución
Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x
3 y el eje de abscisas.
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10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes
coordenados.
Solución
Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.
El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.
El área de rectángulo es base por altura.
El área bajo la curva y = ln x es:
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11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y
2 = 9.
Solución
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de
coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
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12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
Solución
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el
primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
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13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje
OX.
Solución
14. 7. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
Solución
Puntos de corte de la parábola y la recta
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De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a
la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Solución
Puntos de intersección:
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):
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LONGITUD DE ARCO
La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene
dado por la integral definida:
Ejemplo
Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo [0, 1].
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