Área Medios de Representación

Curvas cicloideas

Ing. Guillermo Ferrario

Objetivos

Conceptuales. Conocer el sistema de generación de las curvas cicloidales.

Diferenciar las curvas cicloides, hipocicloides y epicicloides, junto a sus características principales.

Destrezas.El alumno reconozca y trace una cicloide normal, corta y larga.

Reconozca una epicicloide y hipocicloide. Trace una curva epicicloide.

Actitudinales.El alumno tendrá iniciativa en el planteamiento de propuestas de resolución de casos

prácticos.

Defenderá y justificará las propuestas planteadas en un marco de respeto a otros planteamientos y preocupación por la calidad del resultado final.

La construcción del conocimiento se desarrolla relacionándolo con aquello que ya hemos adquiridos.

Veamos con que podemos relacionar este tema.

Curvas planas

Construcciones GeométricasCinemática

Curva cicloide natural o normal

Una cicloide es el lugar geométrico generado por un punto de una circunferencia al rodar sobre una línea recta; es la curva que describe un punto perteneciente a una rueda que gira sin deslizarse

Sea P (x,y) un punto genérico de la cicloide y r el radio del círculo generador

Tomamos como parámetro el ángulo t que forma el radio CP con la vertical ACEl arco AP es rt e igual al segmento OA, y de la figura podemos deducir:

x=OQ=OA-QA=rt-r sen t=r (t-sent)

y=AB=AC-BC=r-r cos t=r (1-cost).

Por tanto las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:

x=r (t- sen t)

y=r (1- cos t).

Descomposición del movimiento

La cicloide puede verse como la suma de dos trayectoriasDonde b es el radio de la ruleta y t el ángulo

Cicloide Acortada

Es el lugar geométrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta fija

Es el lugar geométrico descrito por un punto P situado sobre la prolongación del radio de una circunferencia, cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre una recta fija

Cicloide Alargada

Tipos de cicloide

• Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:

• cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (R < r),

• cicloide común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (R = r),

• cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (R > r).

• Donde la circunferencia tiene radio r, y la distancia del centro al punto P es R.

Cicloides

Ecuaciones paramétricas

Las constantes r y d corresponden, respectivamente, al radio de la circunferencia y a la distancia CP. El parámetro   es el ángulo formado por los segmentos CP y CJ. - Si d>r obtenemos la cicloide alargada - Si d<r obtenemos la cicloide acortada

Ejemplo de Cicloide

• Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia la izquierda, la parte inferior de su reborde se mueve hacia la derecha, es decir, en dirección contraria

• Arriba se representa la curva («cicloide») que describe al girar cada uno de los puntos de la llanta de una rueda del carro de ferrocarril.

• Abajo, la curva que describe cada punto exterior del reborde de una rueda de ferrocarril.

Trazado de curvas cicloides

Trazado de las tangentes

Para trazar la tangente en un punto cualquiera P

1. Trazar la recta vertical que pasa por el centro C, obteniéndose el punto de contacto de la circunferencia A

2. Unir los puntos P y A, lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide.

3. Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente

Cicloide Normal

Cicloide Larga

Cicloide Corta

Curva Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

con γ = α + β − π / 2 y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales,

Considerando la figura podemos escribir:                                                                                                                    

                                                                                                                  

Epicicloide

Ecuaciones de la Epicicloide

Ecuación Paramétrica

Considerando la figura podemos escribir:

tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide:

Casos particulares

Cuando r1/r2 es un número racional,

i.e., , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=r2, i.e, k = 1 tenemos el cardioide

Si es irracional, la curva es trascendente y cubre completamente la región entre los radios r1 y r2.

ejemplos de epicicloides

                  k=1

                  k=2

                  k=3

                  k=4

                  k=2.1=21/10

                  k=3.8=19/5

                  k=5.5=11/2

                  

Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relación de radios R= 4 r (R= radio base, r= radio ruleta)

• Dividir la rodante en un número de partes iguales , por ejemplo 8

• Siendo “a” el punto generador de la epicicloide se sitúa coincidente con A al cabo de una vuelta completa, por la relación de radios.

• 8 es la posición del centro de la ruleta

• Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante, obteniéndose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador.

• Para media vuelta de la ruleta , la posición de “a” es E, su normal se obtiene uniendo la posición correspondiente con el centro de la ruleta, la tangente es la perpendicular a esta en ese punto

• La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D

Hipocicloide

Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parámetros: R = 3, r = 1, k = 3.

Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia

directriz, sin deslizamiento.

Es un tipo de ruleta cicloidal.La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito)

Las constantes R y r corresponden a los radios de las circunferencias fija y móvil, respectivamente, y el parámetro    es el ángulo que forma el segmento OC con la dirección positiva del eje de las abscisas

Casos particulares

• Cuando K = r1/r2 es un número racional, es decir,

siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.

• Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)

• Si es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2,

Ejemplos]

                  k=3

                  k=4

                  k=5

                  k=6

                  k=2.1

                  k=3.8

                  k=5.5

                  k=7.2

La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas. Se obtiene cuando R=4r.

R=2; r=0,5

Algunos ejemplos de Epicicloides

Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija.

R=4r 

Epicicloide Natural

La Nefroide, una epicicloide con R=2r:

R=1,6; r=0,8 

- La cardioide, una epicicloide con R=r:

Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre el radio de la rodante C, a una distancia d del centro, describe una curva llamada epicicloide acortada.

R=8; r=2; h=1.5     

Epicicloide Acortada

Epicicloide Alargada

Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre la prolongación del radio de la rodante C, a una distancia d del centro C, describe una curva llamada epicicloide alargada.

Algunos ejemplos de Hipocicloides

La Deltoide. Se obtiene cuando R=3r.

Hipocicloide Natural

Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda interiormente sobre otra circunferencia fija.

R=1,40; r=0,4

Hipocicloide Acortada

Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre el radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C, describe una curva llamada hipocicloide acortada.

R=5; r=2; h=1

Caso particular

La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse:

R=6; r=3; h=1

Hipocicloide Alargada

Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre la prolongación del radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C, describe una curva llamada hipocicloide alargada

R=5; r=2; h=2.5

Clasificación de Curvas Cicloidales

Curvas Cicloidales

Epicicloides

Cicloides

Hipocicloides

Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga

Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga

Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga

TRANSMISIÓN del movimiento POR ENGRANAJES • Los primeros datos que

existen sobre la transmisión de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes, corresponden al año 1674, Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide.

• Robert Willis, profesor de Cambridge, fue el que obtuvo la primera aplicación práctica de la epicicloide al emplearla en la construcción de una serie de engranajes intercambiables.

PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES

• Para la transmisión de una relación constante de velocidades con engranajes cicloidales los círculos primitivos tienen que permanecer tangentes.

• En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectúa entre superficies convexas y cóncavas

• El diente con perfil de evolvente es más sólido, a igualdad de paso, que el cicloidal.

• para la transmisión de una relación constante de velocidades con engranajes cicloidales los círculos primitivos tienen que permanecer tangentes

• La lubricación de los dientes cicloidales es algo más eficaz que la de los dientes de evolvente, y esta propiedad es útil en las transmisiones por tornillo sin fin que transmiten cargas importantes.

porción de dos ruedas con dientes cicloidales

Fin del desarrollo temático

Muchas gracias por su atención