Probabilidad y Estadstica (Basado en la Reforma del Bachillerato Tecnolgico 2004)Junio de 2006Educacin humana y de calidadSAETA-Reforma del Bachillerato Tecnolgico 2004SUBSECRETARIA DE EDUCACIN MEDIA SUPERIORDIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN TECNOLGICA AGROPECUARIAG u ad i d c t i caCompiladores: Alejandro Acebo Gutirrez Rubn Henrquez Francisco Romo Romero Tirso Cuevas Nolasco Ral Arellano Ibarra Ernesto Zamora Hernndez DIRECTORIOLic. Reyes Tamez GuerraSecretario de Educacin PblicaYoloxochitl Bustamante DazSubsecretario de Educacin Media SuperiorIng. Ernesto Guajardo MaldonadoDirector General de Educacin Tecnolgica AgropecuariaProf. Sal Arellano Valadez Director TcnicoIng. Agustn Velzquez ServnDirector de Apoyo a la Operacin DesconcentradaM.C. Maria Elena Hernndez MejiaCoordinadora Nacional del Programa Sistema Abierto de Educacin Tecnolgica AgropecuariaASIGNATURA: Probabilidad y Estadstica REGISTRONo. IVSEP / SEMS / DGETAJOSE MARIA IBARRARAN No. 804COL. SAN JOSE INSURGENTES SUR.06720, MXICO, D.F.TEL. 01 5 328 10 00 y 01 5 328 10 97ISBN2Seautorizalareproduccindel contenidoconfineseducativosqueno impliquelucrodirectoindirecto, siempreycuandosecitelafuente, previa autorizacin por escrito de la DGETA.COMIT EDITORIALProf. Sal Arellano ValadezM. en C. Mara Elena Hernndez MejaEnel procesodeelaboracindeestaantologa, participaronlossiguientesdocentesdel estado de: Aguascalientes, Nayarit, Tabasco y VeracruzNOMBRE PLANTEL ESTADOAlejandro Acebo GutirrezCBTa No. 107 NayaritRubn Henrquez CBTa No. 107 NayaritFrancisco Romo Romero CBTa No. 88 Zacatecas Tirso Cuevas Nolasco CBTa No. 86 VeracruzRal Arellano Ibarra CBTa No. 61 AguascalientesErnesto Zamora HernndezCBTa No. 30 AguascalientesGUA DE CONTENIDOS3Pg.VARIABLES Y REPRESENTACIONES _______________________________9Introduccin ______________________________________________9Poblacin y muestras ______________________________________10Variable discreta y continua _________________________________11Redondeo de datos _______________________________________14Notacin sistematizada _____________________________________15Cifras significativas ________________________________________16Clculos ________________________________________________16DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ______________________________19Toma y ordenacin de datos ________________________________19Distribuciones de frecuencias ________________________________20Intervalos de clase ________________________________________20Lmites de clase __________________________________________21Lmites reales de clase _____________________________________21Tamao del intervalo de clase _______________________________21Marca de clase ___________________________________________22Histograma y polgono de frecuencia __________________________23Distribucin de frecuencia relativa ____________________________27Distribucin de frecuencia acumulada _________________________27Distribucin de frecuencias relativas acumuladas ________________30MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL _______________________________33Promedios _______________________________________________33Media __________________________________________________33Mediana ________________________________________________34Moda ___________________________________________________354Cuartiles, deciles, percentiles ________________________________50Regresin lneal __________________________________________53MEDIDAS DE DISPERSIN _______________________________________55Dispersin _______________________________________________55Rango __________________________________________________56Desviacin media _________________________________________60Varianza ________________________________________________61Desviacin tpica __________________________________________62Rango semi cuartlico ______________________________________63Rango entre percentiles ____________________________________63PROBABILIDAD ________________________________________________70Introduccin _____________________________________________70Conceptos bsicos ________________________________________70Modelos matemticos ______________________________________72Permutaciones y combinaciones _____________________________73Diagrama de rbol ________________________________________73Proceso de contar _________________________________________74Combinaciones ___________________________________________85Teorema del Binomio ______________________________________91PROBABILIDAD AXIOMTICA _____________________________________93Simbologa bsica ________________________________________93Probabilidad para eventos _________________________________104Probabilidad condicional ___________________________________104Eventos independientes ___________________________________104Eventos dependientes ____________________________________106Teorema de Bayes _______________________________________1105GLOSARIO ___________________________________________________111BIBLIOGRAFA CONSULTADA ___________________________________115BIBLIOGRAFA RECOMENDADA _________________________________116INTRODUCCINEl presente trabajo esta dirigido a los estudiantes del SAETA que cursan el Bachillerato Tecnolgico bajo elenfoque de estrategias educativas centradas en elaprendizaje, con la 6firme intencin de que sirva de gua y que con las actividades que desarrollaras te permitirn adquirir losconocimientosquecompetena loscontenidos delprograma deestudiosde la asignatura de Probabilidad y Estadstica que se imparte en el quinto semestre y que estas a punto de iniciar.Conel desarrollo deloscontenidosprogramticosdentro yfueradel aula, tcomo participante entusiasta y responsable de tu propio aprendizaje, te permitir comprender los conceptos analizados y la aplicacin significativa para resolver problemas de la vida cotidiana.Lametaselograrcontvaliosaparticipacinporqueeresel principal actordetu propio aprendizaje y que con el apoyo de tu facilitador determinars el xito en t desempeo escolar, familiar y laboral. MENSAJEYasabesquenopuedesgozar del juegodelavidaa menos que conozcas sus reglas, sea de convivencia de juego de pelota, de uso de computadora o tan slo de saln.7Igualmente no puedes cuantificar o cualificar tu entorno, sinohastaquecomprendaslasreglasdelaprobabilidady estadstica, que te harn comprender las formas de presentar las ocurrencias de un fenmeno social, fsico o biolgico que te llevarn a ampliar tu horizonte de conocimientos en donde vers laestructuramatemticaennumerosas ecuaciones, pero ms que recetas de clculo, vers ecuaciones y ordenamientos como guas para pensar.Yo disfruto de la probabilidad y la estadstica, y t tambin lo hars, porque la comprenders. Si te tomas la idea de enfocarte hacia esta disciplina.Yresolver losproblemasmatemticos. Ahoratratade comprender los conceptos, si despus vienen los clculos los hars comprendindolos. Disfruta de la probabilidad de que ocurra tu felicidad.Y sers parte de la estadstica de los estudiantes felices.INTRODUCCINVARIABLES Y REPRESENTACIONES8Estadstica:Es un mtodo cientfico que recopila, organiza, analiza e interpretalos datos obtenidos para tener conocimiento de los hechos pasados, para prever situaciones futuras y tomar decisiones en base a la experiencia.En el estudio de la estadstica, se diferencian dos tipos de estadsticas:Estadstica descriptiva o deductiva y Estadstica inferencial o inductiva.EstadsticaDescriptiva: Esaquellacuyoobjetivoesdescribircuantitativamenteuna seriedepersonas, animalesocosas, suestudioincluyelastcnicasdecolectar, presentar, analizar e interpretar datos.Esta parte de la estadstica es la que estudiaremos en el presente curso de probabilidad y estadstica1, serlaquenosauxiliearesolver preguntasdeinvestigacionescomolas siguientes: Cmo ordenar los datos y analizarlos adecuadamente? Qu tipo de representacingrficaesmsconvenienteutilizar parapresentar losdatos?Cul esla media aritmtica o promedio de los datos obtenidos? Qu tan dispersos estn los datos con respecto a otra muestra?EstadsticaInferencial: Esaquellacuyoobjetivoesobtener informacinsobreuna poblacin o grupo grande de personas o cosas, mediante un metdico procedimiento de los datos de una muestra tomada de l. Este ltimo tipo de estadstica no la utilizaremos en ste curso, pero hagamos un ejercicio para analizar cul es la diferencia entre estos dos tipos de estadstica:Aungrupode50alumnosdel CBTA107extensinXaliscolepreguntamosCul esla materiaquelesgustams?Losdatosarrojadospor staencuesta, enstegrupoen particular, esincumbenciadelaEstadsticaDescriptiva, yaqueordenamoslosdatos, los analizamos obteniendo sus parmetros como la media, la desviacin, los graficamos y hasta los interpretamos PeroSi queremoshacer conclusionesanivel estatal detodoslosalumnosdelosCBTAsdel estado de Nayarit, ste grupo de 50 encuestados sera una parte de las diferentes muestras quenosserviranparasaber latendenciadetodalapoblacinestudiantil respectoala materia que les gusta mas, y debemos tomar ms muestras de estudiantes de otros CBTAs, por lo cual ya entraramos en el campo de la Estadstica Inferencial y sus datos debern de analizarsedeotramaneramsprofunda, haciendopruebasdehiptesisparaobtenerlas inferencias o conclusiones a futuro.Con tus propias palabras escribe CUAL ES LA DIFERENCIA ENTRE ESTADSTICA DESCRIPTIVA Y ESTADSTICA INFERENCIAL? _______________________________________________________________9____________________________________________________________________________________________________________________________________________Poblacin: Es el conjunto de todos los elementos, medidas, individuos y objetos que tienen una caracterstica en comn, pero en muchas ocasiones debido a limitaciones de tiempo o de recursos no se puede trabajar con la totalidad de la poblacin.Muestra:Es la parte de una poblacin que podemos utilizar para obtener conclusiones de toda una poblacin sin tener que analizar su totalidad.La muestra elegida debe cumplir con ciertos requisitos indispensables: a) Validez. Debe representar a la poblacin, esto es, ha de pertenecer a sta y ser elegida al azar o 67en forma aleatoria, para que todos los elementos de la poblacin tengan la misma probabilidad de ser considerados. b) Confiable. Los resultados que se obtengan deben poder generalizarse a toda la poblacin con cierto grado de precisin. c) Prctica. Debe ser sencilla de llevar acabo. d) Eficiente. Debe proporcionar la mayor informacin con el menor costo. DATOS: Son las medidas, valores o caractersticas susceptibles de ser observadas y contadas. VARIABLES: Esunapropiedadocaractersticadealgnevento, objetoopersona, que puede tener diversos valores en diferentes instantes, segnlas condiciones.Laaltura,el peso, el tiempo de reaccin y la dosis de un medicamento, son ejemplos de variables. Lasvariablessonlasherramientasfundamentalesdelaestadsticayseclasificandela siguiente manera: En las VARIABLES CATEGRICAS los valores pueden ser EXPRESIONES y tambin estas expresiones pueden ser sustituidas por SMBOLOS que nos permiten diferenciar la categora a la que pertenece cada individuo, la cual est determinada por el valor de la variable. Hagamos unos ejemplos: 10Siqueremos saberla forma en que se trasladan los estudiantesdelCBTA-XALISCO para recibirsusclasesgrupales;preguntaremosacadaestudiantedel grupo,si usualmentese trasladan de su casa a la escuela CAMINANDO o EN ALGN VEHICULO, por lo tanto los valores de la variable sern (C) "caminando" o (V) " Vehculo" y se clasifican a los alumnos en stas dos categoras. Otro ejemplo:Si quisiramos conocer la materia que prefieren los estudiantes de una lista de 4 materias en donde se incluyenCienciasSociales, Matemticas, Ciencias Naturalesy Espaol; Eneste caso la materia de preferencia puede tomar cuatro valores: (CS) que es Ciencias Sociales; (M) que es Matemticas, (CN) Ciencias Naturales y (E) ser Espaol. Es claro pues que la variable, materia de preferencia clasifica a los estudiantes en cuatro categoras. Observaquelosvaloresquepuedentomar lasvariablesenlosejemplosanterioresson EXPRESIONESy queestas expresiones hansidosustituidaspor SMBOLOSquenos permiten diferenciar la categora a la que pertenece cada individuo, la cual est determinada por el valor de la variable. Los ejemplos anteriores sonVARIABLESCATEGRICAS NOMINALES. Veamos ahora otros ejemplos de VARIABLES CATEGRICAS:Si deseamos saber siel contenido de la materia de Procesos de Produccin Pecuaria tiene relacin con las prcticas de campo que se realizaron elsemestre pasado y le pedimos la opinin a cada estudiante, los valores que puede tomar la variable pueden ser: "Nunca" (A), "Raras veces" (B), "Algunas veces" (C), Casi siempre" (D) y "Siempre" (E). Observe que esta variable clasifica a cada uno de los estudiantes que contestaron la pregunta, segn la opinin que haya elegido. Otro ejemplo: Si queremos saber cmo se alimentan los estudiantes del CBTA-XALISCO, para relacionarlo conel aprovechamientoescolar, preguntaremoscadasemanaatodoslosestudiantedel grupo, cules alimentos ingirieron durante la semana y clasificamos la variable calidad de la alimentacinde la siguiente manera: MD al alumno que se aliment muy deficientemente, D el de alimentacin deficiente, R el de alimentacin regular, B el de alimentacin buena y MB elde alimentacin muy buena. Con esto todos los estudiantes del grupo, quedarn distribuidos en cinco posibles categoras. Observa que los valores de las variables tambin son EXPRESIONES, sin embargo, entre los valores deestos dos ejemplos ltimos hay UNORDEN. Los ejemplos anterioresSON VARIABLES CATEGRICAS ORDINALES. Si comprendiste, escribe con tus propias palabras: Cundo es variable Categrica nominal?______________________________________________________________________Cundo es una variable Categrica Ordinal? 11______________________________________________________________________12Ahora con las VARIABLES NUMRICAS.En las variables numricas, sus valores no son expresiones sino NUMEROS y es en donde adems tiene sentido efectuar operaciones aritmticas con ellos y compararlos. Si los valores de la variable son NMEROS ENTEROS, se llamar NUMRICA DISCRETA, pero si los valores de la variable pueden tomar CUALQUIER VALOR NUMRICO en algn intervalodenmeros reales (condecimales ofracciones), lavariableserNUMRICA CONTINUA. Hagamos unos ejemplos: Si queremos saber el nmero de hermanos de los alumnos del CBTA-XALISCO. Sern desde ceroenadelanteycomoeslgiconopuedehaber mediohermanootrescuartosde hermano, por lo tanto la variable nmero de hermanos es una variable numrica discreta. Otro ejemplo ser el nmero de preguntas acertadas en un examen de conocimientos; los aos cumplidos de los estudiantes, el nmero de materias que cursan en el quinto semestre, etc.... Ya que son variables numricas que pueden tomar slo valores enteros. Veamos por ltimo los ejemplos de las variables numricas continuas: Si queremos saberla estatura de los alumnos del quinto semestre con una aproximacin a milmetros, tendramosqueutilizar unaregladedosmetrosydivididaencentmetrosy milmetros. Losvaloresposiblesdelavariableserntodoslosnmerospertenecientesa algn intervalo. Otro ejemplo es El peso que tienen las personas que asisten a un evento ser tambin una variable numrica continua, pues podrn pesar kilos, con gramos y hasta miligramos, dependiendo de la precisin que queramos los resultados. Si observas estas variables numricas pueden tomar cualquier valor en algn intervalo. AHORA TE TOCA PRACTICAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:Describelosvaloresquepuedentomarlassiguientesvariablesyescribesi staes, una variable categrica nominal, categrica ordinal, numrica discreta o numrica continua: a) El Gnero (sexo) de cada alumno del grupo de quinto semestre. Variable: __________________________________________b) La cantidad de estudiantes en cada grupo de una escuela:Variable: _________________________________________13c) El Peso de los nios mexicanos de 6 aos. Variable: ________________________________________d) El dao causado a los pulmones de los jvenes que fuman.Variable: _______________________________________ e) Tipo de material con el que se construyen los techos de las viviendas de una localidad.Variable: ________________________________f) El nmero de naranjas producidas por cada naranjo en una huerta.Variable: _______________________________________g) La cantidad de afecto o amor que siente un nio por su mam.Variable: ______________________________________ h) El tiempo de reaccin de una sustancia qumica en el laboratorio.Variable: ______________________________________REDONDEO DE DATOSDadoqueestaremosdandonuestrasrespuestasfinalescondosdecimalesyenciertas ocasiones hasta con cuatro cifras decimales, necesitamos decidir cmo determinar el valor de los ltimos dgitos. Si nuestro resultado final tiene ENTEROS redondearemos a DOS DECIMALESPrimer ejemplocuandoel residuoesmenor que0.5: 34.01350=34.01eslarespuesta potencial y .350el residuo;como.350esmenorque 0.5,el ltimodgitode larespuesta potencial permanece sin cambio y la respuesta final es 34.01Segundo ejemplo cuando elresiduo es mayor que 0.5: 34.01761 34.01 es la respuesta potencial y .761el residuo;como.761esmayorque0.5, al ltimo dgitodelarespuesta potencial debemos sumar 1 al ltimo dgito, por lo que la respuesta correcta es 34.02 Tercer ejemplo cuando el residuo es igual a 0.5 y el ltimo dgito de la respuesta potencial es impar: 43.0750043.07 es la respuesta potencial y .500 el residuo; como es impar el ltimo dgito de la respuesta potencial se AUMENTA 1, por lo que la respuesta correcta es 43.08Cuarto ejemplo cuando el residuo es igual a 0.5 y el ltimo dgito de la respuesta potencial es par: 17.0650017.06 es la respuesta potencial y .500 el residuo; como es par el ltimo dgito de la respuesta potencial NO se aumenta 1, por lo que la respuesta correcta es 17.06 14Si nuestro resultado final tiene puras DECIMALES redondeamos a CUATRO DECIMALESSiguiendo los mismos principios anteriores, si tenemos una cifra de 0.7544762 su respuesta correcta es 0.7545;en cambio si es 0.1136211 la respuesta correcta es 0.1136;si tenemos que0.3463500locorrectoser0.3464; finalmentesi tenemos0.7728500locorrectoser 0.7728.ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE REDONDEO.Redondea las siguientes cifras: 22.666666 =__________________ 0.7654598 = ___________________57.87754 = ____________________ 0.0663597= ___________________3876.2255 = ___________________ 0.3877865 = ___________________99.7156 = _____________________ 0.005329 = _____________________NOTACIN SISTEMATIZADAEn estadstica, por lo general, trabajamos con datos agrupados resultantes de medir una o ms variables. Con gran frecuencia, los datos se obtienen de las muestras y en ocasiones de las poblaciones. Para fines matemticos,generalmente se utilizala letra mayscula X ya veces la Y, para representar la(s) variable(s). As, si estuviramos midiendo la edad de los sujetos, haramosqueXrepresentelavariableedad. Si existenmuchosvaloresdela variable agregamos un subndice al smbolo X. Ilustramos este proceso en la siguiente tabla, la cual contiene las edades de seis sujetos:Nmerode sujetoSmbolodel datoValor del dato,edades1 X1 82 X2 103 X3 74 X4 65 X5 106 X6 12En este ejemplo representamos la variable edad mediante el smbolo X, adems, N representa el nmero total de datos que hay en la distribucin. En este ejemplo, N = 6, Cada unodelosseisdatosrepresentaunvalor especficodeX. Distinguimoslosseisdatos diferentes, al agregar unsubndiceaX,correspondienteal nmerodesujetoquetieneel valor dado. As, el smbolo X1 corresponde al valor del dato 8, X2 al valor del dato 10 hasta el X6 al 12. En general, podemos referirnos a un nico dato de la distribucin X como Xi, donde i puede asumir cualquier valor de 1 a N, segn el dato que queramos designar. En resumen:X o Y representa la variable medida.N representa el nmero total de sujetos o datos.Xi es el i-simo dato, donde i puede variar de 1 a N15CIFRAS SIGNIFICATIVAS:En la estadstica analizamos datos; este anlisis implica muchos clculos matemticos. Con mucha frecuencia tenemos un residuo decimal, por ejemplo, despus de realizar una divisin. Cuandoestoocurre, necesitamosdecidirlacantidaddecifrasdecimalesqueutilizaremos para el residuo.En las ciencias fsicas, por lo general, se utiliza el mismo nmero de cifras significativas que tienen los datos en bruto, Por ejemplo, si medimos el peso de cinco sujetos hasta tres cifras significativas (173,156,162,165,y175libras)yqueremoscalcularel promediode estos pesos, nuestra respuesta debe contener slo tres cifras significativas. As La respuesta de 166.2 se redondea a tres cifras significativas, dando un resultado final de 166 libras. Por varias razones y mas por continuar unatradicin, enel presentecursode estadstica utilizaremos DOScifras decimales redondeadas cuando el resultado tenga ENTEROSyCUATRO cifrasdecimalescuandoNOEXISTANENTEROS, sinimportarlas cifras significativas de los datos en bruto. As cuando se pida que el resultado tenga dos cifras decimales, debemos realizar los clculos intermedios con al menos CUATRO cifras decimales y redondear la respuesta final a dos cifras. CLCULOS Una de las operaciones que se realizan con ms frecuencia en estadstica consiste en sumar todosounapartedelosdatosquepertenecenaunadistribucin. Comonoesprctico escribir sumadetodos los datos cadavez quesenecesite emplear esta operacin, particularmente enlas ecuaciones, seutilizaunaabreviaturasimblica. Laletragriega mayscula sigma ( ) indica la operacin de sumatoria. La frase algebraica utilizada para la sumatoria es: Estaexpresin seleecomo lasumadelavariableXdei=1aN.Lasnotacionesque aparecen arriba y debajo del signo de la sumatoria indican los datos que deben incluirse en la operacin. El trmino que aparece debajo del signo de la sumatoria nos indica el primer dato en esta operacin, y el trmino que se encuentra arriba de dicho signo indica el ltimo dato. As, estafrasesealaquedebemossumar losdatosX, comenzandoconel primeroy concluyendo con el N-simo dato.As. Ecuacin de una sumatoriaAl aplicar la sumatoria a los datos de las edades de la tabla anterior, tenemos que:=8+10+7+6 +10+ 12 = 53Cuando la sumatoria se realiza con todos los datos (de 1 a N), es frecuente que la propia frase de esta operacin se abrevie, omitiendo las notaciones arriba y abajo del signo de la suma, al igual que el subndice i. As. Se abrevia con frecuencia como NiiX1+ + + + NiN iX X X X X13 2 1...+ + + + + NiiX X X X X X X16 5 4 3 2 1NiiX1X166 2 16658315175 165 162 156 173 + + + + .NXX16En el ejemplo anterior, =53Esta expresin indica que la suma de todos los datos X es 53.Observa que no es necesario que la sumatoria se realice de 1 a N, Por ejemplo, podramos querersumarslo el segundo, tercer, cuartoyquintodato. Recuerdaquelanotacin debajo del signo de la sumatoria nos dice dnde comenzar la suma, y el trmino arriba de dicho signo nos dice dnde terminarla. Utilizaramos el smboloPara los datos anteriores, tenemos que:Resolvamos algunos ejemplos:Para los siguientes datos, determine X1= 10,X2 = 12,X3 = 13,X4= 18Por lo tanto:Para los siguientes datos, determineX1=20,X2=24,X3=25, X4=28, X5=30, X6=31 Por lo tanto: Para los siguientes datos, determineX1=20,X2=24,X3=25, X4=28, X5=30, X6=31Por lo tanto: Existen otros dos tipos de sumatorias que veremos con frecuencia en estadstica y son: X2 y (X)2. Aunque se parecen, son distintos y, en general, proporcionan diferentes respuestas.El smbolo X2 (suma de los cuadrados de los datos X) indica que primero debemos elevar el cuadrado de los datos X y luego sumarlos. As:,Elsmbolo (X)2, o (elcuadrado de la suma de los datos X), indica que primero debemos sumar los datos X y luego elevar al cuadrado la suma resultante. As,Laconfusinesmuycomncometerlo, sobretodocuandosecalculanlasdesviaciones estndar, eso lo analizaremos un poco mas adelante. X52 iiX + + + + + + NiiX X X X X15 4 3 233 10 6 7 1031 iiX35 13 12 1031 + + iiX+423iiX : + + + +4280 3 ) 28 25 24 ( 3iiX+42) 3 (iiX + + + + + +4286 ) 3 28 ( ) 3 25 ( ) 3 24 ( ) 3 (iiX+ + + 2 2322212...NX X X X X+ + + 23 2 12) ... ( ) (NX X X X X17ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE CLCULOPrimer ejercicio siX1=3; X2=6; X3=8; X4=2; X5=9;X6=1;X7=5

Segundo ejercicio si X1=10; X2=7; X3=3; X4=16; X5=2;X6=22;

+51) 12 (iiX +42205iiX73 iiX 8 ) (622iiX +512510 ) (iiX18La Tabla de Distribucin de Datos o Tabla de Distribucin de Frecuencias, adems de ser un instrumento tilpara resumir un conjunto de datos obtenidos en una investigacin, es una herramienta muy importante con que cuenta la estadstica para realizar las observaciones de manera rpida y sencilla. Para construir dicha Tabla realizaremos siete pasos y para tu mejor aprendizaje, desarrollaremos un ejemplo con una variable numrica continua, ya que deseamos conocer el tiempo en minutos que emplearon para estudiar 50 estudiantes del CBTA en la materia de estadstica 1. PASO UNO: TOMAY ORDENACIN DE DATOS: La recopilacin de los datos consiste en asistir al grupo de estudiantes y obtener los valores mediante una pregunta abierta sobre el tiempo en minutos que emplearon para estudiar el tema de estadstica o sidesconfiamos, podemos medir directamente eltiempo durante las asesoras que emplearon cada uno de los alumnos al estudiar estadstica. En resumen para recopilar los datos debemos "asistir" al lugar donde vamos a 'tomar" o "levantar" los datos. Esto puede ser mediante entrevistas, cuestionarios, observaciones o mediciones directas a los individuos o cosas que corresponda nuestra variable. Supongamos que los 50 datos obtenidos en nuestra variable: tiempo de estudio de la materia de estadstica en minutos fueron los siguientes y que corresponden a los 50 estudiantes: 75 60 80 67 81 71 74 63 72 7076 62 82 63 81 66 78 68 80 7467 74 84 70 63 77 68 82 74 7276 64 75 80 69 85 71 79 60 7483 75 67 72 78 64 77 81 76 70La Ordenacin de los datos consiste en colocar los datos tomados en orden creciente(de menor a mayor) o decreciente (de menor a mayor). Nosotros los vamos a ordenar en forma creciente y sobre todo "contando" y "anotando" los que se repitan, que ser la frecuencia.Ordenacin de datos:DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS19DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASTiempo empleado en minutos Conteo Frecuencia60 // 262 / 163 /// 364 // 266 / 167 /// 368 // 269 / 170 /// 371 // 272 /// 374 ///// 575 /// 376 /// 377 // 278 // 279 / 180 /// 381 /// 382 // 283 / 184 / 185 / 1Total 50Es importante que la suma total sea igual al nmero de datos que tomamos en la investigacin. PASO DOS: RANGO. El rango o recorrido es la diferencia que hay entre el dato mayor y el menor. Una vez que se ordenaron los datos en forma creciente obtenemos el rango 85 que es el dato mayor 60 que es el dato menor25ser el rango o recorridoPASO TRES: INTERVALOS DE CLASE. Cuando se tiene un gran nmero de datos, se recomienda distribuirlos en clases o categoras llamadas intervalos de clase o celdas. Para decidir la cantidad de intervalos de clase que se van a utilizar (o nmero de clases) y la amplitud de los intervalos (o ancho del intervalo) se siguen las siguientes operaciones: Primero el NMERO DE CLASES o INTERVALOS se obtienen con la frmula: Q = 1 + 3.322 (log. n) donde n es el nmero de datos y log. Es el logaritmo de dicho nmero. Siguiendo el ejemplo tenemos: 20Q = 1+ 3.322 (og. 50) observa que obtendremos el logaritmo de 50. En una calculadora el logaritmo de 50 es 1.69897... Redondeando su valor ser 1.70 Este valor lo multiplicamos por 3.322 y nos da en la calculadora 5.64... Que redondeado ser 5.64 y finalmente le sumamos 1adichacantidadarrojndonos=6.64Si el nmeroquenosarrojelaformulatienesu primera decimal igual o mayor que .5 se aumenta el entero. As en nuestro ejemplo tenemos que 6.6 seria igual a 7.En resumen y de acuerdo a la formula el nmero de intervalos ser de 7Resulta claro que si lo ancho del intervalo es de 4 y el nmero de intervalos son 7; (4 ) (7) = 28 se cubrir todo el rango que es de 25. Debemos hacer uso de los Lmites reales Inferiores (L.R.I.), quitando 0.5 al dato ms chico que en nuestro caso es de 60 minutos. Por lo tanto ser de 59.5 el L.R.I. Luego a este se le suma lo ancho del intervaloque es de 4resultando 63.5 que es elLmite Real Superior (L.R.S.) por lo que ahora si podemos decir que los dos datos 64 se debern anotarse en el 2do. Intervalo que iniciara en 63.5 hasta 67.5 como lmite real superior. Ahorasi podemosconstruircadaunodelosintervalosconsuslmitesrealesinferioresy limites reales superiores. ADELANTE AYDANOS A COMPLETAR EL SIGUIENTE CUADRO,Recuerda que el ancho de cada intervalo es de 4 y que en total son siete (7) intervalos de acuerdo a las operaciones realizadas anteriormente: INTERVALOS DE CLASELmite Real Inferior Lmite Real Superior59.5 63.563.571.571.579.587.5PASO CUATRO: TAMAO DEL INTERVALO DE CLASE. Con los datos del ejemplo, el dato ms bajo es el 60 y como el ancho del intervalo es de 4, su lmite superior ser de 64. El siguiente intervalo sera 64 ms 4 del ancho del intervalo nos da 68 como limite superior y as sucesivamente. ... 60a 6464a 68Intervalos 68a 7272aetc Observacin Importante: Si te fijas detenidamente en los intervalos y los datos ordenados del cuadro anterior; los dos datos de 64 quedaran comprendidos en el 1er. y 2do. Intervalo, es decir, pueden anotarse en el primero o en el segundo intervalo, tambin los 72 en el 3er o 214to intervalo; pero se sabe que una observacin dada (los 64 y 72) deben colocarse en uno y solamente uno de los intervalos de clase. Ahora para elANCHO DEL INTERVALO: Se divide el rango entre el nmero de intervalos para obtener la anchura de cada intervalo o celda.Rango =25 = 3.57 redondeando ser igual a 4Nmero de intervalos = 7Por lo tanto el ancho del intervalo ser de 4PASO CINCO: MARCA DE CLASE. La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los lmites reales inferiores ms los lmites reales superiores, dividiendo el resultado entre dos. Hagmoslo practicando...Llena los espacios que faltan. Se suma 59.5 + 63.5 =123 = 61.5 2Intervalos de ClaseMARCA DE CLASEL.R. Inferior L.R. Superior59.5 63.5 61.563.5 67.567.5 71.571.5 75.575.5 79.579.5 83.583.5 87.5 85.5 Como voy hacerle aceboman?22PERO SI UNA GRFICA O DIBUJO DICE MAS QUE 100 PALABRASCMO PODEMOS PRESENTAR LOS DATOS DE UNA VARIABLE NUMRICA EN UNA GRFICAS?HISTOGRAMA yPOLGONO DE FRECUENCIAS. Cuando las variables son cuantitativas o numricas sean discretas o continuas la representacin grfica ms comn es el HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS y el POLGONO DE FRECUENCIAS. HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS: Este tipo de grfica consiste en una serie de rectngulos trazados en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. Para realizar el histograma es necesario agrupar los datos en intervalos de clase, con sus lmites reales inferiores y superiores, adems de su frecuencia absoluta. Los rectngulos tienen sus bases sobre el eje horizontal con centros en las marcas de clase y su longitud es igual a la anchura de los intervalos de clase. La altura de cada rectngulo correspondeal valor delafrecuenciaquetengael intervaloquerepresenta. Enstos histogramas los rectngulos se trazan adyacentes entre si. VAMOS A PRACTICARLO PARA APRENDER MEJOR!!!Deacuerdoalosdatos dela"Tabladedistribucindefrecuencias" delejemplo(pag.16), donde analizamos el tiempo que dedican a estudiar la materia de estadstica 50 estudiantes, vamos a construir su Histograma de Frecuencias. 23Histograma:Tiempo en minutos dedicados a estudiarEstadstica por 50 estudiantes 14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 - 0 -59.5 63.5 67.5 71.5 75.5 79.5 83.5 87.561.5 INTERVALOS DE CLASE (con sus L.R.I. y L.R.S.)Si observas en el eje vertical de las "Y", se ubican las frecuencias absolutas, mientras que en el eje horizontal de las "X" se ubican los intervalos de clase en donde cada lmite real superior corresponde al lmite real inferior del siguiente intervalo. Las marcas de clase (61.5) aunque es permitido no escribirse en el histograma, se pueden ubicar ya que corresponde al punto medio de cada intervalo. Como habrs observado, el histograma nos ayuda a mostrar la frecuencia absoluta con que se presentan algunos datos; otra forma de grfica son los14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -0 61.565.5 69.5 73.5 77.5 81.5 85.5 MARCAS DE CLASE (puntos medios)FRECUENCIASFRECUENCIAS24POLGONOS DE FRECUENCIA. Los polgonos de frecuencia tambin se construyen a partir de datos con variables cuantitativas o numricas y se puede realizar a partir de un histograma si se desea.Una vez trazado elhistograma, se localizan los puntos medios o marcas de claseen la parte superior de cada uno de los rectngulos o intervalos de clase. Se trazan segmentos de recta que unen cada punto medio de cada uno de los intervalos. Este polgono se encierra uniendo con el eje horizontal en el punto que corresponde al punto medio de un rectngulo imaginario y adyacente al histograma, esto se hace en los extremos izquierdos y derechos del polgono.VAMOS HACINDOLO CON EL MISMO EJEMPLO!!!En elhistograma se localizan los puntos medios en la parte superior de cada intervalo de clase y en el eje horizontal, se indican las marcas de clase o puntos medios de cada intervalo.Construyamos un polgono....14 - Polgono de Frecuencia: Tiempo en minutos dedicados a estudiar Estadstica por 50 estudiantes 12 -10 -8 -6 -4 -2 -061.565.569.573.5 77.581.5 85.5MARCAS DE CLASE (Puntos medios)Para trazar el polgono de frecuencia unimos con rectas los puntos medios o marcas de clase con su frecuencia absoluta respectiva, en donde estaban la parte alta de los rectngulos del histograma. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Dibuja en sta hoja elHISTOGRAMA y elPOLIGONO DE FRECUENCIAS del ejercicio de la pgina 16. FRECUENCIAS25HISTOGRMA: Estatura de 55 estudiantesPOLGONO DE FRECUENCIAS. Estatura de 55 estudiantesEscribe las conclusiones ms importantes que nos indican las grficas anteriores: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________26PASO SEIS: FRECUENCIA RELATIVA. La Frecuencia Relativa, es la frecuencia que se representa con un Tanto por Ciento ( % ) y se obtiene al dividir la frecuencia de un intervalo de clase entre el total de frecuencias de todas las celdas por cien. La frecuencia Relativa se emplea para mostrar la proporcin o porcentajes de los valores incluidos en los intervalos de clase, por lo que tambin se le llama Distribucin Porcentual. SIGAMOS PRACTICANDO Y APRENDIENDO.Del 1er. y2do Intervalos; Frecuencia Relativa de clase =6 = 0.12 x 100 = 12 % 50 Del 6to intervalo; La Frecuencia Relativa = 9= 0.18 x 100 = 18 % 50 Con todos los datos anteriores, finalmente construyamos nuestraTabla de distribucin de frecuencias de una variable numricaTiempo dedicado a estudiar la materia de estadsticaIntervalos de ClaseL.R.I.L.R.S.Marca de ClaseFrecuenciaAbsolutaFrecuenciaRelativa (%) 59.5-63.5 61.5 6 12 63.5- 67.565.5 6 12 67.5- 71.5 69.5 8 16 71.5- 75.5 73.5 11 22 75.5- 79.5 77.5 8 16 79.5- 83.5 81.5 9 18 83.5- 87.5 85.5 2 4TOTAL = 50 100%PASO SIETE: DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS ACUMULADASAs se llama alnmero de observaciones que pertenecen aun determinado intervalo. Para obtener las frecuencias de cada clase es necesario contabilizar las observaciones, valores o casos pertenecientes a cada intervalo, utilizando el cuadro donde ordenamos los datos que est en la pgina 13. .Sigamos Practicando INTERVALOS DE CLASEMARCA DE CLASEFRECUENCIA ABSOLUTAL.R. Inferior L.R. Superior59.5 63.5 61.5 6 (2+1+3)63.5 67.5 65.567.5 71.5 69.571.5 75.5 73.5 11 (3+5+3)75.5 79.5 77.579.5 83.5 81.583.5 87.5 85.5 2 (1+1)TOTAL =50Conlosdatos anterioresterminamos loscomponentesprincipalesdelcuadro que tambin recibe el nombre de... "TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS" por lo que...Ya podemos obtener algunas CONCLUSIONES de nuestra investigacin. 27EJEMPLO DE ALGUNAS CONCLUSIONESTe recordamosque los 50 datos son del tiempo en minutos dedicado a estudiar estadstica por losestudiantes. Si analizamosdetenidamentesusdatos, podemosver queel mayor nmero de casos (frecuencia absoluta) es 11 y dedican de 71.5 a 75.5 minutos en estudiar (su intervalo) pero adems representan el mayor porcentaje con un 22% del total. Caso contrario, son lo que dedican de 83.5 a 87.5 minutos en estudiar pues nicamente son 2 y representan un 4 % del total. Siobservamos en globalelcuadro, podemos decir que la mayora de los estudiantes (Los intervalos 3,4 y 5) dedican de 67.5 a 79.5 minutos en estudiar y representan el 54 % del total. Analizando otros datos podremos obtener ms conclusiones de nuestro trabajo e ir descubriendoloimportantedenuestrainvestigacin. Masadelanteaprendersarealizar GRFICAS con los datos obtenidos de la tabla de frecuencias. Quedamos pendientes. .. , AHORA REALIZA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE:1)siguiendolossiete pasos paraunavariablenumrica,ordenalosdatosdelasiguiente variableyrealizalasoperacionescorrespondienteshastaobtener completala"tablade distribucin de frecuencias" de las Estaturas de 55 estudiantescon aproximacin de un centmetro. Datos: 154 165 156 160 159 170 151 163 166 166 153160 173 160 161 166 162 153 163 156 170 165159 168 149 163 169 157 162 159 168 155 163161 161 174 160 168 152 169 165 156 166 166162 160 170 163 168 157 165 159 163 160 160Aqu realiza los siete pasos y tus clculos correctamente hasta llenar tu Tabla de distribucin de frecuenciasPaso 1 Ordenacin de datos. Paso 2 Rango... etcTabla de distribucin de frecuencias de una variable numrica______________________________________________________Intervalos de Clase L.R.I. L.R.S.Marca de Clase FrecuenciaAbsolutaFrecuenciaRelativa (%)28TOTAL =PRINCIPALES CONCLUSIONES:1.____________________________________________________________________2.____________________________________________________________________3_____________________________________________________________________29DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADAAhoraestudiemoscomoseconstruyelaDISTRIBUCINDEFRECUENCIAACUMULADAysu grfica LA OJIVA adems de la FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.La frecuencia total de todos los valores menores que el lmite real superior de un determinado intervalo declase, esconocidacomofrecuenciaacumuladaincluyendohastaesteintervalo. Loanterior lo comprenders mejor si nos ayudas a resolver el ejemplo que sigue:Si tomamos los datos obtenidos al medir el tiempo en minutos que emplearon los estudiantes en ir de su casa a la escuela. Se construye la siguiente tabla de distribucin de frecuencias y una columna que corresponde a la distribucin de frecuencia acumulada y otra a la frecuencia relativa acumulada. Concluyen los datos que faltan en la frecuencia acumulada de clase, de tal forma que sumen un total de 243. En la columna de frecuencia acumulada relativa, tambin calcula los espacios que faltan hasta que obtengas el 100%INTERVALO DE CLASEMARCA DE CLASEFRECUENCIAABSOLUTAFRECUENCIARELATIVA%FRECUENCIAACUMULADA FRECUENCIARELATIVA ACUMULADA 9.5 12.5 11 3 6.38% 33/47X 100= 6.38%12.5 15.5 14 4 8.51% 7 (3+4 )7/47X100=14.89%15.5 18.5 17 6 12.77% 13 (7+6)18.5 21.5 20 7 14.89% 20 ()21.5 24.5 23 9 19.15%24.5 27.5 26 8 17.02%27.5 30.5 29 5 10.64%30.5 33.5 32 3 6.38%33.5 36.5 35 2 4.26% 100%T O T A L: 47 100% 243LA OJIVA O POLGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA.Selellamaojivaopolgonodefrecuenciaacumulada, alagrficaquemuestraladistribucinde frecuenciaacumulada. Alconstruirla,los intervalos de clasese disponen en el eje horizontal,y las frecuencias acumuladasserepresentanenel ejevertical. Luegoseunenlos puntos localizados mediante segmentos.Para entender la forma en que se traza una ojiva, considere el ejemplo de los datos obtenidos al registrar el tiempo empleado por los estudiantes para ir de su casa a la escuela. 30Primero se coloca un punto sobre el eje horizontal donde est el 9.5, puesto que no hay observaciones de sta o de inferior magnitud. Luego se traza el siguiente punto en el 12.5 a la altura del 3, esto se puede hacer porque hay 3 registros iguales o menores de 12.5 de esta manera se continan representando el resto de los puntos.Ejemplo: Tomando como base la distribucin de frecuencia acumulada del ejemplo anterior, y el tiempo enminutosqueempleanlosintegrantesdeungrupodeestudiantesdeirdesucasaalaescuela, construyamos la ojiva correspondiente:051015202530354045509.5 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 33.5INTERVALO DE CLASEFRECUENCIA ACUMULADAEn esta pgina transfiere los datos de la tabla de distribucin de frecuencias del ejercicio de lapgina16yenlasdoscolumnasltimasobtnlaFRECUENCIAACUMULADAyla FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA, adems construye su grfica llamada OJIVA. Esto es una ojiva Aceboman? Yo crea que erala carga explosiva de un misil de USA 31TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASINTERVALO DE CLASEMARCA DE CLASEFRECUENCIA ABSOLUTAFRECUENCIAACUMULADA FRECUENCIARELATIVA ACUMULADA 100%T O T A L: 55 227DIBUJA LA OJIVA O POLIGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA 32PROMEDIOSEn estadstica al promedio se le conoce como medida de tendencia central, ya que est localizado hacia el medio o centro de una distribucin, en la que la mayora de los valores tendern a concentrarse. Entre los ms comunes se pueden mencionar: la media aritmtica, la mediana y la modaMedia AritmticaMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMedianaModaLA MEDIA (X).La media aritmtica o simplemente media, es el promedio aritmtico de un conjunto de observaciones y se obtiene al sumar todos los datos y dividir dicha suma entre el total de datos.MEDIA ARITMTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS.Algebraicamentese representa como: X= Donde: X es la media aritmtica de la muestraX1 , X2, X3, ... Xn son los datos de la muestra yn es el total de los datos de la muestra.Ejemplo: En la muestra siguiente la media aritmtica es:X = X =20696 =34.8Obsrvese que la media no necesariamente tiene que ser uno de los valores de la muestra.Una manera ms sencilla de encontrar esta media aritmtica es multiplicando cada dato por su frecuencia y continuar el proceso respectivo, como se ilustra a continuacin:nXn X X X + + + + ... 3 2 12040 38 38 38 36 36 36 36 36 34 34 34 34 34 34 32 32 32 32 30 + + + + + + + + + + + + + + + + + + +M E D I D A S D E T E N D E N C I A C E N T R A L33X =X = X =20696X = 34.8Principales caractersticas de la media aritmtica:1. El clculo de la media aritmtica est basado en todos los valores de un conjunto de datos. El valor de cada elemento en los datos afecta el valor de la media.2. Cuando algunos valores extremos son incluidos en los datos, la media puede llegar a ser menos representativa del conjunto de valores.3. La media tienen dos propiedades matemticas importantes que proporcionan un anlisis matemtico adicional, hacindola ms popular que cualquier otro tipo de promedio.a. La suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales respecto a la media, es cero.b. La suma del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media es mnima. ~LA MEDIANA(X) (Me) ~ La mediana (X) de una muestra de n datos, se localiza en la mitad de la muestrao del conjunto de elementos ordenados de mayor a menor o viceversa. Su caracterstica principal es dividir el conjunto ordenado en 2 grupos iguales; la mitad de los nmeros tendr valores que son menores que la mediana y la otra mitad alcanza valores mayores que sta. MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOSSielnmerodeelementosesimpar, setoma el datocentral;si espar lamediana est dada porel promedio de los datos centrales, pudindose obtener un valor no dado en la muestra.Ejemplo: Cul es la mediana aritmtica de 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 10?Como los nmeros estn ya ordenados, la mediana esMe = 5+6 / 2 = 5.5,Otro ejemplo: 5.1, 6.5, 8.1, 9.1, 10.1, 15.5, Como los nmeros estn ordenados, la mediana es Me = 8.1+9.1 / 2 = 8.6Principales caractersticas de la mediana1. La mediana es un promedio de posicin y por su forma de clculo no es afectada por valores extremos.2. La mediana no est definida algebraicamente como lo est la media aritmtica.20) 40 ( 1 ) 38 ( 3 ) 36 ( 5 ) 34 ( 6 ) 32 ( 4 ) 30 ( 1 + + + + +2040 114 180 204 128 30 + + + + +343. La mediana en algunos casos, no puede ser calculada exactamente como s puede serlo la media. 4. Cuando el nmero de elementos incluidos en una serie de datos es par, la mediana es aproximadamente el punto medio de los elementos centrales en una serie de datos.LA MODA(^X) (Mo)La moda se define como el valor que tiene la mayor frecuencia (o que se repite mas) en un grupo de datos,Hay casos en que la moda no es nica, esto es, puede ser bimodal con dos modas, o trimodal con tres modas. Tambin hay casos en que la moda no existe.MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS.Ejemplo: Cul es la moda de la serie: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 1La Moda es Mo =7 porque es el nmero que ms se repite.Otro ejemplo: 60, 74, 82, 85, 90, 95,La moda no existe.Otro ejemplo: 10,12, 14, 16, 17, 17, 18, 19, 20, 20, 21.La moda es bimodal o sea, Mo = 17 y 20Principales caractersticas de la Moda.1. La moda representa ms elementos que cualquier otro valor dentro de un conjunto de datos.2. La moda no se calcula incluyendo todos los valores y no est definida algebraicamente como si lo est la media.3. La moda no es afectada por valores extremos.4. Paraunadistribucindefrecuencias, lamodanopuedesercalculadaexactamente, comosi puede serlo la media.En resumen, hagamos una comparacin de estas tres medidas de tendencia central.

COMPARACIN DE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA.En comparacin con la media y la mediana, la moda es la menos til para la mayora de los problemas estadsticos, ya que no se inclina por un anlisis matemtico, en el mismo sentido que lo hacen las otras dos. Sin embargo, desde un punto de vista puramente descriptivo, la moda es indicativa del valor tpico en trminos del valor que se presenta con mayor frecuencia. La moda es ms til cuando uno o dos valores, o un grupo de stos, ocurren con mayores frecuencias que otros. Por el contrario, cuando la 35mayora o todos los valores se presentan casi con la misma frecuencia, la moda no sirve para describir datos.Comparacin entre la media, mediana y moda para datos no agrupados.Medida Definicin Ventajas LimitacionesMedia AritmticaEs la suma de los valores de cierto nmero de cantidades,dividido entre su nmero.1. Refleja cada valor.2. Tiene propiedades matemticas atractivas.3. Todos los valores afectan su resultado.4 Si se quiere calcular los totales, es mejor usar la media. 1. Puede ser excesivamente influida por los valores extremos.MedianaEs el valor que divide un conjunto de datos previamente ordenados.1. Lamitaddelosvalores son mayores, la otra mitad son menores.2. Es menos sensibleavalores extremos que la media.3. Si se quiere ubicar las condiciones de una variable categrica es mejor usar la mediana.1. Difcil dedeterminar si hay gran cantidad de datos.2. Puede resultar falsa si los datos son irregulares ysi hay lagunas en los valores.ModaEs el valor que ocurre con mayor frecuencia.1. Es la de menor sensibilidad a los valores extremos. 2. Tiene ms valores reunidos en este punto que en cualquier otro.1. No se presta para anlisis matemtico.2. Puede no haber un valor modal para algunos conjuntos de datos.3. Puede tener varias modas.Finalmente, la medida de tendencia central que se debe utilizar depende de la informacin disponible y el objetivo que se desea alcanzar.ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:1) Calcula la media aritmtica, la mediana y la moda de las series de valores siguientes:a) 2, 3, 7, 4, 5, 4, 8.Media Aritmtica =___________________________________________= ________Mediana = _________________________________________________ = ________Moda = ___________________________________________________ = ________b) 1, 9, 9, 4, 3, 5, 2, 7, 6.Media Aritmtica =___________________________________________= ________Mediana = _________________________________________________ = ________36Moda = ___________________________________________________ = ________2) Obtn la mediana y la moda de la siguiente variable categrica.Variable categrica Actividad Econmica de 16 alumnos del 5to. SemestreTrabajo en hogar (TH);Trabajo albail (TA); Trabajo en campo (TC); Trabajo en Tiendas (TT)TH, TH, TC, TA, TC, TA, TT, TT, TC, TH, TC, TA, TT, TC, TC, TA. Ordenacin de los datos; Media aritmtica = No se puede utilizarMediana = _________________ Moda =___________________Ahora analicemos la media, mediana y moda pero conDATOS AGRUPADOS o tambin se llaman de distribucin de frecuencias agrupadas.Empecemos con laMEDIA ARITMTICA PARA DATOS AGRUPADOSSi los datos o valores han sido agrupados en intervalos de clase, entonces se considera que todos los valoresincluidosdentrode undeterminado intervalo son iguales o estn representados por elpunto medio del intervalo o la marca de clase. En este caso se procede a multiplicar cada punto medio por su respectiva frecuencia. Luego se suman estos productos, para finalmente dividir este resultado entre eltotal de datos.Es importante sealar que el valor de la media de la frecuencia agrupada es suficientemente aproximado paratrabajos deestadsticayqueel valor delamedianosersuficientementeaproximadosi la distribucin de frecuencias agrupadas es muy irregular o demasiado asimtrica.La frmula para la media aritmtica en datos agrupados es la siguiente:Donde f = Frecuencias absolutas de los intervalos.X = Marca de clase o punto medio. n = La suma de las frecuencias.MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOSCuando Los datos simples son agrupados en una distribucin de frecuencias, cada uno de los valores pierde su identidad en la tabla, significando que la mediana de los datos simples puede no ser igual a la medianaobtenidadeunadistribucindefrecuencias del mismoconjuntodedatos. Esimportante nX fX) )( (37mencionar, que la mediana de los datos agrupados es una aproximacin de la verdadera mediana. La aproximacin puede ser obtenida mediante el uso de la siguiente frmula:Donde:Me = MedianaLi = Lmite real inferior de la clase que contiene la mediana.n =El nmero de datos o frecuencia total. c = La frecuencia acumulada precisamente hasta la clase anterior a la clase mediana o la suma de las frecuencias de los intervalos por debajo de la mediana.fme = La frecuencia de la clase mediana.i =Tamao del intervalo o amplitud de la clase mediana.MODA PARA DATOS AGRUPADOS.Cuando la moda se calcula a travs de la frmula para datos agrupados, los valores y frecuencia en la clase modal y las frecuencias en las clases inmediatamente antes y despus de la clase modal, son tambin empleadas. Por lo tanto se aplica la siguiente frmula.Donde:Mo= ModaL1 = Lmite real inferior de la clase que contiene la modad1 = Diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua inferior.d2 =diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua superior.i = Tamao del intervalo o amplitud del intervalo de la clase modal.) (2iFmecnLi Me111]1

+ ) (2ifmecnLi Me111]1

+ ) (2 11id ddLi Mo1]1

++ 38A continuacin resolveremos un ejercicio para utilizar las frmulas de la media, la mediana y la moda de datos agrupados.Ejemplo: En la siguiente tabla se resumen los datos de los pesos en kilogramos de 50 estudiantes. Conbaseala siguientetabladedistribucin de frecuencias, calculemos los valoresde lamedia, la mediana y la moda, recordando cmo se conforman las columnas de Intervalos de clase ( I ), Marca de claseopuntomedio(X ), Frecuenciaabsoluta(f), Frecuenciarelativa%(f) ylaFrecuencia acumulada ( F ).Intervalos de clase( I )Marca de clase (X)FrecuenciaAbsoluta( f)Frecuencia relativa ( f )Frecuencia acumulada ( F )30.5 33.5 32 1 .02 133.5 36.5 35 2 .04 336.5 39.5 38 6 .12 939.5 42.541 11 .22 2042.5 45.5 44 16 .32 3645.5 48.5 47 9 .18 4548.5 51.5 50 4 .08 4951.5 54.5 53 1 .02 50TOTAL = 50 1.0 o 100%CALCULO DE LA MEDIA ARITMTICA para datos agrupadosSu frmula esEsta expresin no se puede aplicar directamente, ya que nicamente se cuenta con el dato del denominador, esto esn = 50, pero no se tiene el dato del numerador. Para ello se agrega una columna a la tabla, donde se proporcionan los datos agrupados en intervalos. Esta columna se construye multiplicando el punto medio de cada intervalo por su respectiva frecuencia y cuando se tengan todos los productos, se procede a obtener la suma de ellos. La tabla original ya con la columna Fx y la suma de sta queda de la siguiente manera.I x f f F fx30.5 33.5 32 1 .02 1 3233.5 36.5 35 2 .04 3 7036.5 39.5 38 6 .12 9 22839.5 42.541 11 .22 20 45142.5 45.5 44 16 .32 36 70445.5 48.5 47 9 .18 45 42348.5 51.5 50 4 .08 49 20051.5 54.5 53 1 .02 50 53TOTAL = 50 1 o 100 2161Entonces:_nX fX) )( (50216139X= =43.22 ser el resultado de la media aritmticaMS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:Calcula la media aritmtica de los tres ejercicios siguientes.De la pgina 16Intervalos de Clase L.R.I.L.R.S.Marca de Clase (x )FrecuenciaAbsoluta (f )(f)(x)59.5- 63.5 61.5 663.5- 67.5 65.5 667.5- 71.5 69.5 871.5- 75.5 73.5 1175.5- 79.5 77.5 879.5- 83.5 81.5 983.5- 87.5 85.5 2TOTAL = 50De la pagina 18Intervalos de ClaseL.R.I.L.R.S.Marca deClase (x)FrecuenciaAbsoluta (f)(f)(x)148.5152.5 150.5 3TOTAL = 55De la pgina 23Intervalo de claseL.R.I.L.R.SMarca de clase (x)Frecuenciade clase (f)(f)(x)9.512.5 11 312.5 15.5 14 4T O T A L: 4740CALCULO DE LA MEDIANA para datos agrupados.I x f f F30.5 33.5 32 1 .02 133.5 36.5 35 2 .04 336.5 39.5 38 6 .12 939.5 42.541 11 .22 2042.5 45.5 44 16 .32 3645.5 48.5 47 9 .18 4548.5 51.5 50 4 .08 4951.5 54.5 53 1 .02 50TOTAL = 50 1Si partimos de la definicin, la mediana es el dato central, como hay OCHO INTERVALOS estar entre el cuartoyquintointervalo; entonces, debeestar comprendidaenel intervalo42.545.5, yaque observando la columna F, a este intervalo le corresponde una frecuencia acumulada de 36. Note Usted que si se toma el intervalo inmediato inferior, 39.5 42.5 se observa en la columna F, que hasta esta celda hay 20 VEINTE casos y como se tiene un total de 50 datos, el caso central es el nmero 25. As pues el intervalo donde est la mediana es:42.5 45.5 44 16 32 36Algunos autores efectan el siguiente razonamiento, sin utilizar la frmula, pero si interpolando una relacin proporcional: ANALIZA DETENIDAMENTEn = 50 por lo tanto la media est en 50/2 = 25El L.R.I. de la mediana = 42.5Como 20 casos (1+2+6+11) caen por debajo del L.R.I. de la mediana, necesitamos 5 datos ms, para llegar a 25. Dado que existen 16 casos (frecuencia) en el intervalo y ste tiene 3 de amplitud o ancho, hacemos una regla de tres. 16 es a 3 como 5 es a x16 : 3 :: 5 : xx = ( 3 ) ( 5 )=15=0.937516 16AlL.R.I. le sumamos el resultado Me = 42.5 + 0.9735 = 43.4375Finalmente mediana = 43.44 Kg.Ahora utilicemos la frmula paradeterminar la mediana en datos agrupados:) (2iFmecnLi Me111]1

+ 41Li = Lmite real inferior de la clase que contiene la mediana.n =El nmero de datos o frecuencia total. c = La frecuencia acumulada precisamente hasta la clase anterior a la clase mediana o la suma de las frecuencias de los intervalos por debajo de la mediana.fme = La frecuencia de la clase mediana.i =Tamao del intervalo o amplitud de la clase mediana.39.5--42.5 41 11 .22 20 .40 45142.545.5 44 16 .32 36 .72 704Analizando estos dos intervalos se pueden obtener los siguientes valores:L1 = 42.5 lmite real inferior que contiene la medianan= 50 es el nmero total de frecuencias de donde: 2n25c=20 es la frecuencia acumulada hasta la clase anterior a la clase mediana fme= 16 es la frecuencia de la clase medianai =3 es el tamao del intervalo o amplitud de la clase mediana.Sustituyendo estos datos en la frmula se tiene:Me = 42.5+1]1

1620 25 ( 3 )= 42.5 + 1]1

165 ( 3 )=42.5 +,_

1615= 42.5 +,_

1615Me=42.5 + 0.9375+ = 43.4375Finalmente mediana=43.44 KgMS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:Calcula la MEDIANA de los tres ejercicios que se han presentado.De la pgina 16Intervalos de Clase L.R.I.L.R.S.Marca de Clase (x )FrecuenciaAbsoluta (f )59.5- 63.5 61.5 663.5- 67.5 65.5 64267.5- 71.5 69.5 871.5- 75.5 73.5 1175.5- 79.5 77.5 879.5- 83.5 81.5 983.5- 87.5 85.5 2TOTAL = 50De la pagina 18Intervalos de Clase L.R.I.L.R.S.Marca de Clase (x)FrecuenciaAbsoluta (f)148.5152.5 150.5 3152.5156.5 154.5 7156.5160.5 158.5 13160.5164.5 162.5 12164.5168.5 166.5 13168.5172.5 170.5 5172.5176.5 174.5 2TOTAL = 55De la pgina 23Intervalo de claseL.R.I.L.R.S.Marca De clase (x)Frecuenciade clase (f)9.5 12.5 11 312.5 15.5 14 415.5 18.5 17 618.5 21.5 20 721.5 24.5 23 924.5 27.5 26 827.5 30.5 29 530.5 33.5 32 333.5 36.5 35 2T O T A L: 47CALCULO DE LA MODA para datos agrupados.Para determinar el valor de la moda, habr que observar las columnas f y seleccionar el intervalo que presenta la mayor frecuencia. En este caso, el intervalo que donde est incluida la moda es:42.5 45.5 44 16 .32 36 .72 704La frmula que se utiliza para encontrar el valor de la moda es:43L1 = Lmite real inferior de la clase que contiene la modad1 = Diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua inferior.d2 =diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua superior.i = Tamao del intervalo o amplitud del intervalo de la clase modal.Para determinar los valores de cada trmino en esta expresin, se requiere adems del intervalo donde est localizada la moda, de las celdas inmediata inferior y superior que queda como sigue:39.5-42.5 41 11 .22 20 .40 45142.5-45.5 44 16 .32 36 .72 70445.5-48.5 47 9 .18 45 .90 423A partir de estos intervalos se adquieren los valores requeridos y que son:Li= 42.5d1 = 16 - 11 = 5d2 = 16 9= 7 i = 3Sustituyendoestos datos en la formula se obtiene:Mo =42.5 + 1]1

+7 55( 3 ) Mo =42.5 +,_

125(3)Mo =42.5 + 1215= 42.5 +1.25 =43.75Finalmente la Moda = 43.75MS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:Calcula la MODA de los tres ejercicios que se han presentado.De la pgina 16Intervalos de ClaseL.R.I.L.R.S.Marca deClase (x )FrecuenciaAbsoluta (f )59.5- 63.5 61.5 663.5- 67.5 65.5 667.5- 71.5 69.5 871.5- 75.5 73.5 1175.5- 79.5 77.5 879.5- 83.5 81.5 9) (2 11id ddLi Mo1]1

++ 4483.5- 87.5 85.5 2TOTAL = 50De la pagina 18Intervalos de ClaseL.R.I.L.R.S.Marca deClase (x)FrecuenciaAbsoluta (f)148.5152.5 150.5 3152.5156.5 154.5 7156.5160.5 158.5 13160.5164.5 162.5 12164.5168.5 166.5 13168.5172.5 170.5 5172.5176.5 174.5 2TOTAL =55De la pgina 23Intervalo de clase L.R.I.L.R.S.Marca de clase (x)Frecuenciade clase (f)9.5 12.5 11 312.5 15.5 14 415.5 18.5 17 618.5 21.5 20 721.5 24.5 23 924.5 27.5 26 827.5 30.5 29 530.5 33.5 32 333.5 36.5 35 2T O T A L: 47REALIZA LA SIGUIENTE ACTIVIDADDE APRENDIZAJE:Delasedadesde40maestrosdelosC.B.T.as, calculalasMEDIDASDETENDENCIA CENTRAL (MEDIA, MEDIANA Y MODA) Tanto de los datos sin agrupar como agrupados.Edades:36, 53, 35, 28, 30, 36,45, 29, 43, 28,30, 46, 39, 54, 47, 44, 34, 40, 50, 38, 4547, 56, 48, 42, 39, 47, 53, 51, 38, 29,48, 52, 47, 46, 41, 40, 45, 39, 47, 38.CALCULA PRIMERO LA MEDIA ARITMETICA, MEDIANA Y MODA DE LOS DATOS SIN AGRUPAR.Media Aritmtica = _____________________________________________________Ordena los datos:____________________________________________________________________________________________________________________________________________Cual es la Mediana =____________________ Cual es la Moda = ___________________AHORA PARA DATOS AGRUPADOS. Realiza la Tabla de distribucin de frecuencias con los 7 pasos:PASO 1. Ordenacin de datos:EDAD DELOS MAESTROSCONTEO FRECUENCIA46PASO DOS: Rango o recorrido:PASO TRES: Intervalos de Clase: Nmero de intervalos o clases: Ancho del Intervalo o clase:PASO CUATRO: Lmites reales inferiores y lmites reales superiores:PASO CINCO: Marca de ClasePASO SEIS: Frecuencia AbsolutaPASO SIETE: Frecuencia Relativa (%)Realiza tus operaciones en orden y limpieza hasta llenar la tabla de frecuenciasTABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASEdades de los maestros del C.B.T.a.Intervalos de ClaseL.R.I. L.R.SMarca de Clase(X)FrecuenciaAbsoluta (f)Frecuencia Relativa (f)Frecuencia Acumulada (F)(f )(x)47AHORA UTILIZA LAS FORMULAS PARA DATOS AGRUPADOS Y CALCULA..MEDIA ARITMETICA:Resultado Media =__________MEDIANA:Resultado Mediana =_______MODA:Resultado Moda =__________FINALMENTE REALIZA UNA COMPARACIN DE LOS TRES EJERCICIOS ANTERIORES, COMPARANDO SU MEDIA MEDIANA Y MODA DE CADA UNODe la pgina 16Media = ____________Mediana=:___________Moda=_____________Intervalos de ClaseL.R.I.L.R.S.Marca deClase (x )Frecuencia Absoluta (f )59.5- 63.5 61.5 663.5- 67.5 65.5 667.5- 71.5 69.5 871.5- 75.5 73.5 1175.5- 79.5 77.5 879.5- 83.5 81.5 983.5- 87.5 85.5 2TOTAL = 5048De la pagina 18Media = ____________Mediana=:___________Moda=_____________De la pgina 29Media = ____________Mediana=:___________Moda=_____________CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES:La mediana no es ms que uno de muchos fractiles; stos dividen los datos en dos o ms partes, taniguales comoseaposible. Entreellos tambinencontramos loscuartiles, deciles y percentiles, que pretenden dividir los datos en cuatro, diez, y cien partes. Hasta hace poco, los fractiles se manejaban principalmente para distribuciones de conjuntos numerosos de datos.El cuartil se utiliza a fin de conocer los intervalos dentro de los cuales quedan representados proporcionalmentelostrminosdeunadistribucin, paraesto, sedivideladistribucinde frecuencias en 4 partes iguales, cada una contiene IGUAL NMERO DE OBSERVACIONES (el 25% del total).Los puntos de separacin de los valores de X se llaman CUARTILES. El primer cuartil corresponde al 25% y se designa con Q1.Intervalos de Clase L.R.I.L.R.S.Marca de Clase (x)FrecuenciaAbsoluta (f)148.5152.5 150.5 3152.5156.5 154.5 7156.5160.5 158.5 13160.5164.5 162.5 12164.5168.5 166.5 13168.5172.5 170.5 5172.5176.5 174.5 2TOTAL =55Intervalo de clase Marca de clase (x)Frecuenciade clase (f)9.5 12.5 11 312.5 15.5 14 415.5 18.5 17 618.5 21.5 20 721.5 24.5 23 924.5 27.5 26 827.5 30.5 29 530.5 33.5 32 333.5 36.5 35 2T O T A L: 4749 El segundo cuartil se designa con Q2 que representa el valor de 50% y coincide con la mediana. El tercer cuartil es Q3 representa el 75% de las observaciones.Si enlugar dedividir en4partesigualessehacecon10partes, setienen9puntosde divisin, CORRESPONDIENDO A CADA PUNTO UN DECIL, de donde, el primer decil es el valor por debajo del cual est el 10% de las observaciones, para el segundo decil el 20% y as sucesivamente.PRIMER EJEMPLO:Consideremos las siguientes lecturas de temperaturas altas en doce ciudades Europeas en un da de junio:90,75,86,77,85,72,78,79,94,82,74,y 93 grados.Ordenando estas cifras de acuerdo con su tamao, tenemos:72 74 75 77 78 79 82 85 86 90 93 94observa que son 12 datos Para el clculo de los cuartilesdividimos los datos en CUATRO PARTES IGUALES. Para ilustrar dicho procedimiento tenemos la siguiente figura:n = 12Se puede apreciar que las lneas punteadas dividen los datos en cuatro partes iguales. Si determinamosquelospuntoscentralesentre75y77, 79y82, y86y90seanlostres cuartiles, tenemos:Es evidente que Q2= 80.5, tambin es la mediana y se puede verificar con facilidad que se satisfacen las tres propiedades de los cuartiles. Todo lo anterior funcion muy bien porque los doce datos result ser mltiplo de 4. No obstante Qu podemos hacer si fueran 11 datos? Como los siguientes.72 74 75 78 79 82 85 86 90 93 94observa que son 11 datos Una solucin es n = 11, la posicin de la mediana es11+1 = 12 =6o sea el sexto dato2 2La mediana o Q2 ahora es 82. 727475777879 828586 90939476277 751+ Q 5 . 80282 792+ Q 88290 863+ Q 7274757879 828586 90939450n = 11El cuartil inferior (Q1)es la mediana de los cinco valores por debajo de la mediana,esto es, 75. Y el cuartil superior (Q3) es la mediana de los cinco valores por arriba de la mediana, o sea, 90.AHORA TE TOCA REALIZAR LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:Realiza un esquema o dibujo de cada uno de los ejercicios, aun lado de la pgina a) Calcula a mediana (Q2)y los cuartiles (Q1) y(Q3) de las siguientes calificaciones de nueve alumnos en una prueba de matemticas.86, 82, 73, 94,88, 66, 79, 90, y 74b) Calcula los tres cuartiles de las siguientes lecturas de presin de nueve personas despus de haber efectuadoejercicios de esfuerzo; 104, 100,98,111,191,94,103,96,108y99.REGRESIN LINEALLaregresinlinealesunmodeloderegresinmedianteel cual esposibleinferir datos acerca de una poblacin. Se conoce como regresin linealya que usa parmetros lineales (potencia 1).Supuestos del errorParapoder crear unmodeloderegresinlineal, es necesarioquesecumplaconlos supuestos del error:Los errores son independientes. 51Los errores tienen media cero. Los errores tienen varianza constante. Los errores tienen una distribucin normal. Tipos de modelos de regresin linealExisten diferentes tipos de regresin lineal que se clasifican de acuerdo a sus parmetros:Regresin lineal simple. Slo se maneja una variable independiente, por lo que slo cuenta con dos parmetros. Regresin lineal mltiple. Maneja varias variables independientes. Cuenta con varios parmetros. Para calcular los parmetros se cuenta con las siguientes frmulas:

Para calcular los parmetros debe tomarse en cuenta que se est refiriendo a matrices: Ahora estudiemos lasRegresin lineal simpleRegresin lineal mltiple52A menudo escuchamos que en los pases latinoamericanos existe mucha DIFERENCIA entre los ingresos que perciben por ejemplo los polticos y los trabajadores de otra clase social de la poblacin. Esas diferencias tienen sus races en distintos fenmenos sociales, polticos y econmicos; sin embargo, un economista dira el ingreso per cpita en los pases latinoamericanos est ms DISPERSO que el ingreso per cpita de los pases desarrollados.El conceptodeDISPERSINresulta importante en casi todos los estudios,ya que puede darse elcaso de poblaciones con igualvalor central(Media aritmtica, Mediana o Moda), pero una puede estar ms DISPERSA que la otra, es decir, los promediosnos sirven para describir losdatosrepresentadospor latendenciacentral del conjunto. Por lotanto, el promedionolograpor si mismodescribir completamenteaunacoleccindedatos; se necesitan otros valores que nos indiquen el grado en que las observaciones estudiadas se apartanoVARANconrespectoal valor central, esdecir, el GRADODEVARIACINO DISPERSIN.ANALIZACON DETENIMIENTO EL SIGUIENTE EJEMPLOCon los siguientes datos de dos poblaciones, analicemos primeramente susmedias aritmticas:PoblacinA) :1 (7) , 2 (11), 3 (13), 4 (9), 5 (5),6( 3),7( 2),8(1) = 169 =3.3151n = 5115 --13 -- Histograma de los datos de la poblacin A11 --Frecuencia9-- Media aritmtica (promedio) = 3.31 7-- 5-- 3-- 1 -- 12345678M E D I D A S D E D I S P E R S I N53Poblacin B) :1 ( 3 ), 2 ( 9 ), 3 ( 15 ), 4 ( 12 ), 5 ( 9 )=159 =3.31igual que la poblacin A48n = 4815--13--Histograma de los datos de la poblacin B11--Frecuencia 9--7--Media aritmtica (promedio) = 3.315--3--1--12345No obstanteque en las dospoblacionesseobtuvo una media aritmtica igual de3.31;al observar los dos histogramas nos damos cuenta que no son iguales PERO... EN CUL HISTOGRAMA ESTN MS DISPERSOS LOS DATOS? En la poblacin A____________o en la poblacin B_____________Explica porque? ______________________________________________________________________________________________________________________________Por tal motivo las medidas de tendencia central, no dicen nada por s mismas, por lo que se deben calcular las MEDIDAS DE DISPERSIN o LAS VARIACIONES de los datos.Por su clculo las MEDIDAS DE DISPERSIN se dividen en absolutas y relativas, an que existen mas, estudiaremos las siguientes:DISPERSIN ABSOLUTA: Rango o recorridoRango intercuartilico o desviacin cuartilDesviacin MediaVarianza Desviacin EstndarDISPERSIN RELATIVA: Coeficiente de variacin RANGO O RECORRIDO: Como se ha indicado con anterioridad, el rango o recorrido es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de un grupo de datos o sea:RANGO = Dato mayor Dato menorEl rango es una medida de dispersinque no se utiliza mucho, aunque su clculo es muy rpido. Si analizamos el rango de los histogramas anteriores tenemos que; 54En la primera poblacin A su rango es:R = 8 1 = 8 (su rango o recorrido es 8)En la segunda poblacin B se rango es:R = 5 1 = 5 (su rango o recorrido es 5 )Por lo tanto y como 8 > 5, podemos sealar con seguridad que los datos de la primera poblacin A), est ms dispersa o desviados que los datos de la segunda poblacin B).AHORA ESTUDIAREMOS OTRASMEDIDAS DE DISPERSIN PARADATOS NO AGRUPADOSDESVIACIN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIN ESTANDAR O TPICA Y COEFICIENTE DE VARIACIN, que sonmedidas de dispersin que tienen relacin con la media aritmtica, y por sus propiedades algebraicas son las de ms frecuente aplicacin y de mayor importancia. PERO ANTES QUE NADA QUE ES EL DESVO O DESVIACIN?El desvo de cada observacin (o dato) es la DIFERENCIA ENTRE LA OBSERVACIN (o eldato) Y LA MEDIA ARITMTICA. El desvo es un concepto fundamental que nos permitir comprender posteriormente otras medidas de dispersin. Por lo tanto.Desvo (d) = x1 Pero hagamos un ejemploSi el conjunto de datos son: 4, 2, 5, 8, 2, 1, 7, 8, 5, y 7su media aritmtica es = 4.9 Cul es la dispersin de cada dato? Cul es el dato que est mas disperso? Cul es el dato menos disperso?Ordenamos los datos de menor a mayor 1, 2, 2, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8y grafiquemos

124 4.978 9 xx55Segnlafrmulaanterior, desvoesigual al datomenoslamediaaritmticaporlotanto tenemos:La desviacin de cada dato ser:

De acuerdo a los resultados de la tabla Cul es el dato que est ms disperso? Es el nmero 1, porque independientemente de su signo, su valor absoluto es el mas alto y es de 3.9 de desvo.Ahora Cul es el dato menos disperso?. Es el nmero 5 porque est ms cerca de la media aritmtica y tiene un desvo de 0.1.Si observas la tablaanterior enmuy importante obtener primeroel valor de lamedia aritmtica que en nuestro caso fue de 49 / 10 = 4.9 para despus restarle al valor de cada dato, dicha media.Por otro lado, al sumar los resultados NEGATIVOS de los desvos nos arroja un valor de 10.6 y al sumar los resultados POSITIVOS de los desvos tambin nos da un valor de + 10.6 por lo tanto, se comprueba que la diferencia de los desvos negativos y los positivos, nos da cero oen su defecto tiende a ser cero.Ahora resolvamos un problema para utilizar las medidas de dispersinDESVIACIN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIN ESTANDAR O TPICA Y COEFICIENTE DE VARIACINCON D A T O SN OA G R U P A D O S Un constructor, para asegurarse de la calidad de su obra, tom seis muestras de concreto y obtuvo los resultados del cuadro.DatosCalculo del desvod = X1 - desvo =1 1 4.9 = - 3.92 2 4.9 = -2.92 2 4.9 = -2.94 4 4.9 = -0.95 5 4.9 = 0.15 5 4.9 = 0.17 7 4.9 = 2.17 7 4.9 = 2.18 8 4.9 = 3.19 8 4.9 = 3.149/10=4.9-10.6+10.6= 0.0Nmero de muestraDATOS de la resistencia del concreto kg/cm2123456358369363358336341xSuman 10.6Suman + 10.656Alpreguntarle uno de sus colaboradoresCul de todas las muestras del grupo era la ms dispersa? el constructor elabor la siguiente tabla:Finalmente el constructor en base a la tabla y a los clculos realizados le indic a su colaborador: LA MUESTRA NMERO 5 ES LA MS DISPERSA, DEBIDO A QUE OBTUVO EL MAYOR VALOR ABSOLUTO DE DESVO CON-18.17. En estecaso particular, el mayor valor tuvo el signo negativoloque significa quela observacin es menor que el valor de la media. Calculemos ahora laDESVIACIN MEDIA.: La desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos (ignorando el signo) de las desviaciones de cada elemento del conjunto de datos, es decir, hay que restar a la media aritmticacadavalor del conjuntodedatos, ignorandoel signo, y sumamos todas las diferencias para dividirlo entre el nmero total de datos.Suma de los valores absolutosSu formula es Nmero de datosSigamos el mismo ejemplo y AUMENTEMOS UNA COLUMNApara los valores absolutos al cuadro anterior:Nmero de muestraDatos de resistenciaDesvox -Valor absoluto| x -| 123453583693633583363.8314.838.833.83-18.173.8314.838.833.8318.17Nmero de muestraResistenciaKg/cm2desvosd = x1 123456358369363358336341358 354.17 = 3.83369 354.17 = 14.83363 354.17 = 8.83358 354.17 = 3.83336 354.17 = -18.17341 354.17 = - 13.17Suma =2125Diferencia =0.022125/6= Media =354.17xNx xdmNi11xx576 341 -13.17 13.1762125= 354.170.02 Suma = 62.66Desviacin media es igual a...La suma de los valores absolutos entre el nmero de muestrasDesviacin Media ( dm )= 62.66 = 10.44 6Como se ve en el ejemplo anterior, LaDesviacin MediaMIDELADISPERSIN ALREDEDORDELPROMEDIO, mas que la dispersin de ciertos valores, ya que el concepto de desviacin media se origina cuando los desvos se toman en valor absolutos, eliminando as el efecto de que la suma de los desvos (x1 x = 0 ) que es igual a cero (o tiende a cero).Otra forma de hacerlo, es elevar al cuadrado los desvos, por lo que surge la...VARIANZA (S2) : Que es la media aritmtica (promedio) de los cuadrados de los desvos y su frmula es la siguiente: Suma de desvos al cuadrado Nmero de datosSigamos el mismo ejemplo para calcular la varianza ( S2 ):AUMENTAMOS OTRA COLUMNA a la tabla, ahora para los desvos al cuadradoNmero de muestraDatos de resistenciaDesvox -Valor absoluto| x - | Desvos al cuadrado(x -) 21234563583693633583363413.8314.838.833.83-18.17-13.173.8314.838.833.8318.1713.17144.67219.9377.9714.67330.15173.452125/6 = 354.17Se tiende a 0.02Suma= 62.66 Suma = 830.83Calculamos la varianza segn la frmula anterior y tenemos:Varianza (S2) =Suma de desvos al cuadrado= 830.83= 138.47Nmero de datos 6DESVIACIN ESTNDAR o TPICA ( S ): Es la raz cuadrada de la varianza (S2 ) Tambin se puede definir como la raz cuadrada de la media aritmtica de los cuadrados de los desvos.Nx xSNi1212) (xx xNx xS21) (xx58En el mismo ejemplo tendramos lo siguiente:Varianza (S2) fue igual a = 138.47por lo tantoDesviacin Estndar ( S ) = 138.47=11.77Finalmente analicemos la medida de dispersin relativa llamadaCOEFICIENTEDEVARIACIN( C.V):Esel resultadodeladivisindeladesviacin estndar entre la media aritmtica. Estetipodecoeficienteesmuytil paramedir laDISPERSINRELATIVAenbaseala desviacin estndar y la media y sirve bsicamente para comparar muestras distintas en trminos numricos adimensionales, es decir, que mientras las dems medidas de dispersin tienen unidades, el coeficiente de variacin carece de ellas.Su formula es...C. V.=S ( Desviacin Estndar) . X ( Media Aritmtica)En el mismo ejemplo que estamos analizando, el coeficiente de variacin ser:C. V = 11.77. =0.033354.17Tambinsepuedeexpresar enporcentajeal multiplicar por 100estoes, (0.033) (100) = 3.30%C.V. = 3.30 %RANGO INTERCUARTILEl rango intercuartil es el resultado de la diferencia entre el tercer cuartil Q3 y el primero Q1, se expresa:Rango intercuartil Q = Q3 - Q1 Cuando habindose aplicado la media aritmtica se quiere evitar la influencia de los valores extremos, seanalizanicamentelasituacinintermediadeladistribucindefrecuencias aplicando el RANGO INTERCUARTIL.El RANGO SEMIINTERCUARTIL o DESVIACIN CUARTIL, es la mitad del rango intercuartil, se designa con QDRango semiintercuartil QD = Q3- Q1 2Hagamos un ejemplo:Calcular el rango intercuartil y la desviacin cuartil de los siguientes datos. 59n = 12Rango intercuartil Q = Q3 Q1Q =88 76 = 12Rango semiintrecuartil o Desviacin cuartilQD = Q3 Q1 2QD = 12 = 6 2Elrango semiintercuartil(desviacin cuartil) mide la dispersin con mayor precisin que el rango, sin embargo, presenta las limitaciones siguientes:a) Notomaenconsideracintodoslosvaloresdeladistribucindefrecuenciasy puede suceder que los valores menores a Q1o superiores a Q3estn muy compactos o muy dispersos, y el valor de Q sera el mismo.b) No es posible, conociendo nicamente Q, hacer la ubicacin precisa de una observacin dentro de la distribucin de frecuencias.c) Igual que la mediana, no tiene propiedades que permitan su uso en las relaciones matemticas que utiliza la estadsticaPercentiles Percentil, en estadstica, parmetro que indica el porcentaje de individuos de una distribucin que tienen un valor inferior a l. Es una medida de posicin.Por ejemplo, el percentil 80, p80, esunnmeroquesuperaal 80%delosdatosdela distribucin. Los percentiles tambin se llaman centiles. 727475777879 828586 90939476277 751+ Q 5 . 80282 792+ Q 88290 863+ QJa, Ja, Ja, eso est fcil yentendible acebomanJa, Ja,Ja60UN RESUMEN DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIN ESTUDIADAS Y SU USO ADECUADOSIGAMOSPRACTICANDO PARAOBTENER LAS MEDIDAS DE DISPERSIN P A R A D A T O S N O A G R U P A D O S Los siguientes datos son las edades de dos grupos de estudiantes del SAETA-XALISCO, de la generacin Agosto -2001. A cada uno de los grupos le obtendrs las medidas de dispersin siguientes: DESVIOS de cada edad, DESVIACIN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIN ESTNDAR Y COEFICIENTE DE VARIACIN Claro que puedo!!!RANGO ( R )= Es la diferencia del valor mayor menos el valor menor en un conjunto de datos y se emplea de manera muy limitada, ya que es slo una apreciacin de la amplitud de los datos, y presenta poca estabilidad; se usa, casi siempre que se requiera rapidez.RANGOINTERCUARTIL (Q):eselresultadodeladiferenciaentreel tercer cuartil Q3 y el primero Q1. Su utilidad es baja y su valoracin respecto a la cantidad de datos que incluye en su aplicacin en una distribucin normal es del 50 %DESVIACINMEDIA(dm)=Esel promediodelosvaloresabsolutos (ignorando signos) de las desviaciones de cada dato; En sta prueba se pueden calcularlosdesvostantoconlamediaaritmticacomolamediana, segn convenga. Actualmente sta prueba casi no se usa. En una distribucin normal, la cantidad de datos que incluye en su aplicacin es de aproximadamente el 58%. VARIANZA(S2)=Eselpromediodeloscuadradosdelosdesvosyse utiliza en anlisis estadstico avanzado, pero tiene el inconveniente de que sus unidades son las mismas de la variable al cuadrado.DESVIACIN ESTNDAR ( S ) = Es la raz cuadrada de la varianza o del promedio de los cuadrados de los desvos. Es la ms importante de todas las medidas de dispersin ya que incluye ms o menos el 68% de los trminos de una distribucin normal, adems por sus propiedades algebraicas se utiliza con facilidad en el anlisis estadsticoCOEFICIENTE DEVARIACIN( CV) = Es el cociente entre la desviacin estndar y la media aritmtica. Generalmente se utiliza para comparar muestras distintas y saber cul tiene mayor o menor dispersin en sus datos.GRUPO D20 ESTUDIANTES1616181919191920212122222222232729293032 GRUPO F25 ESTUDIANTES15 1515161617171718 18 181819191919202021212122222930 61Edad DesvosValor absolutoDesvos al cuadrado Edad DesvosValor absolutoDesvos al cuadrado16 1516 1518 1519 1619 1619 1719 1720 1721 1821 1822 1822 1822 1922 1923 1927 1929 2029 2030 2132 212122222930En la siguiente pginaREALIZATUSCLCULOSDEACUERDOALASFRMULASCORRESPONDIENTES, HASTA OBTENER SUS RESULTADOS PARA CADA GRUPO.Clculos para el grupo D Clculos para el grupo F 62AHORA CONTESTA CUL DE LOS DOS GRUPOS TIENE SUS DATOS MS DISPERSOS? Respuesta: _______________ Porque?___________________________________________________FINALMENTEOBTENGAMOSLAS MEDIADAS DE DISPERSINP A R AD A T O SA G R U P A DO SOBTENER LA DESVIACIN MEDIA (dm), VARIANZA (S 2 ), DESVIACIN ESTANDAR (S)YCOEFICIENTE DE VARIACIN (C.V.)Completa las siguientes filas de las columnas para que calcules la Desviacin media (dm), la Varianza (S2) la Desviacin estndar o tpica ( S ).RESULTADOS DEL GRUPO DDESVIACIN MEDIA (dm) = ____________________VARIANZA (S2) = ______________________________DESVIACIN ESTNDAR ( S ) = _________________COEFICIENTE DE VARIACIN (CV) = RESULTADOS DEL GRUPO FDESVIACIN MEDIA (dm) = ____________________VARIANZA (S2) = _____________________________DESVIACIN ESTNDAR (S) = _________________COEFICIENTE DE VARIACIN (CV) = ___________63Intervalo clase(estaturas )Marca de clase (X)Frecuencia(alumnos)(f)Frecuencia por marca de clase(f)(X)Valor absoluto del desvoX X 1Frecuencia por desvosf X X 1Desvos al cuadrado21X X Frec. por desvos al cuadradof X X 2121.5 126.5124 2 248 20.62126.513.1.53 46.86131.5136.5 134 8 112.78136.5141.5 23141.5146.5 144 27 0.62146.5151.5 20 383.60151.5156.5 16156.5161.5 159 3 477 14.38 206.78161.5166.5 2Totales n = 104 15041 638.64 6383.92Media aritmtica = 15041/ 104 = 144.625 = 144.62Aqu oaunladodelapgina, realizatusclculosconordenylimpieza; yutilizandolas formulas correspondientes hasta que obtengas la Desviacin media, Varianza y Desviacin estndar.Formula para obtener la desviacin media =

Formula para obtener la varianza = Formula para obtener la desviacin estandar (S) = Formula para obtener el coeficiente de variacin en porcentaje RESULTADOSDesviacin media =_______________Varianza = ____________________Desviacin estndar = ______________Nx x fdmNi11Nx x fSNi1212) (NX x fSNi121) () 100 ( . .XSV C 64ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:Calculalasmedidasdedispersin(desviacinmedia, varianza, desviacinestndary coeficiente de variacin)de los siguientes dos ejercicios.De la pgina 16Intervalos de ClaseMarca de Clase ( x )Frecuencia Absoluta (f ) 59.5 - 63.5 61.5 6 63.5 - 67.565.5 6 67.5 - 71.5 69.5 8 71.5 - 75.5 73.5 11 75.5 - 79.5 77.5 8 79.5 - 83.5 81.5 9 83.5 - 87.5 85.5 2TOTAL = 50De la pagina 18Intervalos de ClaseMarca de Clase (x)Frecuencia Absoluta (f)148.5 152.5150.5 3152.5154.5 7RESULTADOSDesviacin media =_______________Varianza = ____________________Desviacin estndar = 65156.5156.5 160.5158.5 13160.5 164.5162.5 12164.5 168.5166.5 13168.5 172.5170.5 5172.5 176.5174.5 2TOTAL = 55P R O B A B I L I D A DI N T R O D U C C I RESULTADOSDesviacin media =_______________Varianza = ____________________Desviacin estndar = 66El problema central de la estadstica es el manejo del azar y la incertidumbre. Los eventos aleatorios siempre se han considerado como misteriosos. El libro de Job ponder hace mucho tiempo la funcin delintento divino en los acontecimientos alazar y fue, varios siglos ms tarde, que se us el poder de las matemticas para explicar la aleatoriedad. Los orgenes de lasmatemticasdelaprobabilidadseremontanal sigloXV, lasprimerasaplicacionesse relacionan bsicamente a los juegos de azar. Los jugadores ganadores utilizaron el conocimientoprobabilsticoparadesarrollar estrategiasdeapuestasenloteras, casinos, carreras de caballos etc. Los avances cientficos de los siglos que siguieron al Renacimiento, enfatizandolaobservacinylaexperimentacincuidadosa, dieronlugaralateoradela probabilidad para estudiar las leyes de la naturaleza y los problemas de la vida cotidiana. CONCEPTOS BSICOSCon el objeto de familiarizarse con el concepto de la probabilidad comenzaremos por dar una definicin de probabilidad que slo es vlida cuando todos los resultados son igualmente probables.Si haynposibilidades igualmente probables y una de ellas debe ocurrir, entonces la probabilidad de que ocurra algn evento o suceso de k de estas n posibilidades es k / n. Las palabras SUCESO O EVENTO aqu los utilizaremos como sinnimos. Si un experimento se repite muchas veces, digamos n y si el suceso o evento E1 se observa k veces, entonces la probabilidad S del suceso E1 es el cociente de la razn k / n.Probabilidad S =nm de veces que el suceso E 1 ocurri=k .Total de sucesos realizados nLaexperienciajustificaestaigualdad,puesamedidaquensehacemayor, lafrecuencia relativa se aproxima ms a la probabilidad matemtica. Este concepto se utiliza para definir la razn citada comoprobabilidad emprica, algunos autores la citan comoFORMULA BSICA de la probabilidad.Otro concepto importante es que la probabilidad de que suceda un evento es un nmero real entreceroyuno.Entremspequeoseaestenmero,el eventoes menosprobable,y entre ms cercano a uno sea este nmero, el evento es ms probable. Cuando la probabilidad es igual a el evento tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir.Coloquialmente tambin hablamos de probabilidades empleando porcentajes. As la posibilidad de que al tirar el dado el resultado sea 2 o 5 es de 2/6 = 1/3 que sera igual al 33.33 % ya que se dividi 1/3 por 100.Cul es la probabilidad de obtener un nmero impar al lanzar un dado?.S =( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) E =( 1, 3, 5, )p ( E ) =3=1 62La probabilidad es de o 0.5 en porcentaje ser el 50%Cul es la probabilidad de extraer una ficha de domin con 7 puntos de una caja, sin ver?.67S=(6,6), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2), (6,1), (6,0), (5,5), (5,4), (5,3), (5,2), (5,1), (5,0), (4,4), (4,3), (4,2), (4,1), (4,0), (3,3), (3,2),(3,1), (3,0), (2,2), (2,1), (2,0), (1,1), (1,0), (0,0)E={ (6,1), (5,2), (4,3) }p ( E )= 3 =0.1071 en porcentaje ser el 10.71%28MODELOS MATEMTICOS En la teora de probabilidadmatemticase define la probabilidadcon los tres axiomas de Kolmogorov.Axiomas de KolmogorovLa probabilidad de un suceso A es un nmero real entre 0 y 1. . Ocurre un suceso de la muestra de todos los sucesos o espacio de sucesos con probabilidad 1.. la probabilidad del espacio muestral es igual a 1: P(S)=1SiA1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos,disjuntoso de interseccin vaca dos a dos), entonces:. Parapronosticar el triunfador deunaeleccinmunicipal necesitamosal menosconocer quines son los candidatos de los distintos partidos polticos, as como para pronosticar si la seleccin mexicana de ftbol ganar un partido, es necesario saber si en caso de empate el partido se decidir en tiempos extras o por medio de penales. En general, NO ES POSIBLE HACER PREDICCIONES RAZONABLES A MENOS DE QUE CONOZCAMOS LO QUE ES Primer axiomaSegundo axiomaTercer axiomaPERMUTACIONES Y COMBINACIONES68POSIBLE, es decir, es necesario conocerLO QUE ES POSIBLEantes de juzgarLO QUE ES PROBABLE. Por lo tanto estudiaremos someramente cmo determinar en algunos casos lo que es posible.Enel estudiodeloqueesposible hayesencialmente dostiposde problemas.Existeel problema de hacer una lista de todo lo que puede suceder en una situacin determinada y se tiene el problema de determinar cuntas cosas diferentes pueden suceder. El segundo tipo de problema es de especial importancia porque hay muchas situaciones en que no necesitamos una lista completa y por tanto, podemos ahorrarnos una gran cantidad de trabajo. DIAGRAMADE RBOLAunque el primer tipo de problema puede parecer directo y sencillo, existen problemas que ilustran que esto no siempre es el caso; hagamos unos ejercicios para reflexionar.Enunestudiomdicoseclasificaalos pacientes de acuerdo con el tipo de sangre que tengan, ya sea, tipo A; B, ABu Oy tambin de acuerdo con su tipo de presin sangunea, ya sea baja, normalo alta. De cuntas maneras distintas se puede clasificar a un paciente?Este tipo de problemas se puede manejar sistemticamente trazando un DIAGRAMA DE RBOL como el siguiente, donde se puede apreciar que la respuesta es 12. Comenzando por la parte superior, el primer camino a lo largo de las ramas corresponde a un paciente con tipo de sangre A y presin sangunea baja, el segundo camino a un paciente con tipo de sangre A y presin sangunea normal y el duodcimo camino corresponde a un paciente que tiene sangre tipo O y una presin sangunea alta.La respuesta que obtuvimos es de 4 por 3 = 12, especficamente es el producto del nmero de tipos de sangre por el nmero de niveles de presin sangunea.Otroejemplo: Cuntaspalabrasdetresletrassepuedenformar si sedisponedeun alfabeto con dos letras; a y b.? (Nota: Son permisibles palabras como bba)Solucin: Sitenemos 2 letras (a, b)y formamos la palabra con tres letras tendremos 23= 2 x 2 x 2= 8 esto quiere decir que formaremos ocho palabras con tres letras.Para comprender mejor hagamos otro DIAGRAMA DE RBOLLetra Letra letrapalabra Inical central final formadaa .. a a a ab a a baTipo sanguneoPresin sanguneaBAJABAJABAJABAJANORMALNORMALNORMALNORMALALTAALTAALTAABABOALTA69a a b ab b .. a b ba .. b a a ab . b a bba . b b abb . b b b Te toca a ti resolver el siguiente ejercicio utilizando un principio de conteo.Cuntas placas distintas hay con dos letras a la izquierda y tres nmeros a la derecha? Considerando que el alfabeto es de 27 letras castellanas y por supuesto 10 nmerosRealiza aqu tus operaciones.ANIMO TU PUEDESSI OBTUVISTE BIEN EL RESULTADO, HAS DESCUBIERTO UN PRINCIPIO DEL CONTEO QUE ES EL PROCESO DE CONTARSi un primer suceso o evento puede efectuarse de p1maneras diferentes, y si despus de que estesucesoha sido efectuado,unsegundo sucesopuedeefectuarse dep2maneras diferentes, entonces los dos sucesos pueden verificarse siguiendo el orden indicado de p1. p2 maneras diferentes. Analizaconcuidado: Decuantasmanerasdiferentessepuedenseleccionar parejasde diferentes sexo de un grupo de 4 hombres y 6 mujeres?Solucin: Como cada hombre puede ser seleccionado de cuatro maneras diferentes y cada mujer puede ser seleccionada de 6 maneras diferentes; entonces, cadaparejapuedeser escogidade:4( 6) =24maneras diferentes.Si elsuceso o evento incluye ms de dos sucesos diferentes podemos ampliar el principio multiplicativo, de manera que si despus de haber ocurrido los dos primeros sucesos, puede ocurrir un tercero de p3 maneras diferentes, un cuarto de p4 maneras diferentes, y por ltimo unn-simodepnmanerasdiferentes, entonceslossucesospuedenocurrir enel orden siguiente: p1p2 p3 p4 , pn maneras diferente.PLACADE CHIHUAHUA_____ _____ _____ _____ _____ LetrasNmeros70Reflexiona y piensa: Una cafetera ofrece una comida especial que consiste en un emparedado (usando una de ocho carnes distintas y uno de cuatro tipos diferentes de pan), una de cuatro clases distintas de sopa y una de tres bebidas diferentes. De cuntas maneras distintas una persona puede seleccionar una de estas comidas especiales?Solucin: Dado que p1= 8, p2= 4, p3= 4, p4= 3, hay (8)(4)(4)(3) = 384 maneras diferentes en que se puede seleccionar una comida especial.Siguepensandoyanalizando: Unexamendeestadstica, constadequincepreguntasde opcin mltiple, de las cuales cada una tiene cuatro posibles respuestas. De cuntas maneras distintas un estudiante puede marcar una respuesta para cada pregunta?Solucin:puesto que p1=p2=p3== p15= 4,en total hay 4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4= 1,073,741,824diferentes manerasen que un estudiante puede marcar una respuesta para cada pregunta. Ntese que slo en una de las 1,073,741,824 posibilidadestodas las respuestassoncorrectas. Ysi queremossabertodaslasrespuestas incorrectas? ser: 3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3 = 14,348,907todas las respuestas incorrectas.En una calculadora cientfica este tipo de problema se resuelve de la siguiente forma: p15 (o quincepreguntas) tiene4posiblesrespuestas=cuatrorespuestaspor las15preguntas tenemos =415 ponemos 4 y tecleamos X y , ponemos 15 y la tecla = y nos arroja el resultado 1,073,741,824 El principio multiplicativo nos permite en muchos casos calcular el nmero de posibilidades sinnecesidaddelistar todasellasodedesarrollar undiagramaderbol excesivamente grande. ESIMPORTANTETENERENCUENTAQUEPARAAPLICARESTAREGLA, NODEBE HABER RESTRICCIONES EN LAS COMBINACIONE