FCFM, Col. Fsica ANTOLOGA

APOYOS BSICOS AL TRABAJO EXPERIMENTAL

Adrin Corona Cruz CAEAC 2007

NDICE1. 2.

Pag. 3 6 7 8 12 13 13 17 17 19 21 22 24 27 28 34 34 35 37 40 41 60 63 64 67 72 75

Introduccin Diseo de Experimentosa. b. c.

Como Probar un Modelo Existente Planeacin de Experimentos Diseo de Experimentos cuando Existe un Modelo Determinacin de Errores y Tratamiento de Datos

3. La medida y sus implicacionesa.

b. Cifras Significativas c. Redondeo4.

Propagacin de Errores Aleatorios a. Determinacin de errores en medidas directas b. Determinacin de errores en medidas indirectas Tipos de Erroresa.

5.

Tratamiento de los Datos

6. 7.

Principio de Mnimos Cuadrados Informe de Trabajoa. b. c. d. e.

Introduccin Bases para una Mala Redaccin Bases para una Buena Redaccin Construccin del Informe Contenidos de un Informe

8. 9.

Anlisis Dimensional Dimensional Analysisa.

Rayleigh's method

b. Buckinghams method Anexo 1 Una aproximacin al trabajo cientfico Las teoras como estructuras Anexo 2 Lectura Estrategias de Estudio y Ayudas Anexas Tipos de Lectura Resmenes2

80 80 84 87

1. Introduccin La finalidad de esta antologa es que la uses durante el curso, con el propsito de introducirte al estudio de la experimentacin, independientemente del rea en la que se realicen los experimentos. Se pretende que este documento satisfaga las necesidades de todos aquellos que se impliquen en cualquier clase de estudio experimental sobre el mudo que nos rodea. La experimentacin tiene una definicin muy amplia: por experimentacin se entiende el proceso completo de identificar una porcin del mundo que nos rodea, obtener informacin de ella e interpretarla. sta definicin cubre una variedad muy grande de actividades: desde la actividad de un bilogo que divide molculas de DNA hasta un fabricante que hace una encuesta para determinar las preferencias individuales de la crema dental. Con frecuencia, todos nos enfrentamos, con el requisito, de por lo menos expresar un juicio sobre la informacin experimental que otros proporcionan, aun cuando no hayamos estado conectados activamente con el proceso de generarla. Por ejemplo; en el trabajo profesional se puede requerir tomar decisiones entre ofertas competitivas de equipos que cumplen con ciertas especificaciones o, como miembros del pblico en general, se puede pedir una opinin sobre temas como los posibles riesgos para la salud que implican las plantas ncleo elctricas, cun seguros son los aditivos en los alimentos, el impacto de la lluvia cida sobre el medio ambiente o la influencia de las polticas monetarias nacionales sobre el desempleo. Lo que todos estos ejemplos tienen en comn es el papel prominente que tiene en ellos la informacin experimental. Esos problemas pblicos nos imponen la responsabilidad de tomar nuestras; propias decisiones, y stas deben de basarse en nuestra evaluacin de la confiabilidad de la informacin experimental. Aun en asuntos menos importantes omos repetidamente afirmaciones como la de que las pruebas cientficas han demostrado que podemos controlar las caries o los dolores de cabeza en un x% utilizando ciertos productos. La eleccin de un nuevo automvil puede depender de la evaluacin que se haga de la exactitud de los valores de consumo de combustible qu se le atribuyen. Todos por igual, los cientficos y los profanos, nos enfrentamos diariamente con el requisito de estar enterados con respecto a la naturaleza de la informacin experimental y las formas en que sta se obtiene para poder ser adecuadamente escpticos con respecto a su confiabilidad. Para regresar a la afirmacin de que un curso de laboratorio en fsica puede proporcionar una introduccin al tema de la experimentacin en general, es natural preguntar cmo puede usarse para ese propsito un laboratorio tpico. La respuesta se encuentra no tanto en los experimentos mismos, como en la actitud con que se abordan. Esto queda claro conforme proceda el estudio de los mtodos experimentales, pero en este punto puede ser til ilustrar la propuesta con unos cuantos ejemplos. Para ofrecer dichos ejemplos se debe hacer notar que todo lo que sea susceptible de experimentacin, se denomina "sistema". Por un sistema se entiende, en general, cualquier entidad definida y aislada que funciona de una manera especfica. Supngase que se puede influir o controlar el sistema, con los mtodos que se tienen para hacerlo como las "entradas". Tambin se supone que el sistema realizar alguna o algunas funciones identificables, y nos referiremos a ellas como las "salidas. Consideremos, por ejemplo, un reactor nuclear. Aqu el sistema tiene controles de entrada y de salidas. Las entradas incluyen la posicin de las barras de control, la cantidad y el tipo de3

combustible, la rapidez de flujo del refrigerante, etc. Las salidas incluyen cantidades como la cantidad de flujo de neutrones, la potencia total producida, la vida til de los elementos de combustible, etc. En est caso la conexin entre las entradas y las salidas es lo suficientemente sencilla (aunque todava no es directamente de uno a uno) para que sea posible un nivel razonable de control. Si nos hacemos la pregunta: cmo se aplica todo esto al curso de laboratorio de fsica? De hecho, no sera mejor atacar los problemas importantes de una buena vez, y empezar a decidir si el contenido de mercurio del pescado hace que no sea seguro comerlo? Sin embargo, lo malo es que estos son problemas en extremo difciles. La evidencia no es fcil de obtener y su interpretacin normalmente es incierta; hasta los mismos expertos estn en desacuerdo, a veces en forma enrgica y pblica. Es casi imposible hacer una contribucin significativa a la solucin de problemas tan complejos sin desarrollar primero nuestras habilidades utilizando situaciones ms sencillas. Para iniciamos en ello, vamos a pensar en algunos de estos sistemas ms sencillos. Un motor de gasolina es un sistema que es sencillo en comparacin con el ejemplo anterior. El sistema incluye el motor, el suministro de combustible, la estructura, la atmsfera circundante, etc. Las entradas pueden ser los controles obvios como el suministro de combustible, la relacin combustible/aire, la sincrona del encendido, etc., y las salidas, como siempre, son los factores cuyo valor lo determina el sistema: el nmero de revoluciones por minuto, la cantidad de calor producido, la eficiencia, la composicin de los gases de escape, etc. Este es todava un sistema un tanto complejo, pero empezamos a ver que pueden existir relaciones relativamente simples entre las entradas y las salidas. Por ejemplo, la relacin de entrada y salida entre la posicin del acelerador y las revoluciones por minuto en un motor de gasolina es lo suficientemente directa y predecible para que la mayora de las personas la observemos todos los das. Sin embargo, notemos que el efecto de esa entrada no est restringido a la nica salida en la que estamos interesados (revoluciones por minuto); otras salidas, como el calor producido, la composicin de los gases de escape y la eficiencia, tambin son alteradas por esa entrada, aunque en general estemos predispuestos para ignorar ese acoplamiento. En este ejemplo empezamos a llegar a la etapa en la que nuestro sistema es lo bastante sencillo para que comencemos a trabajar en la teora de la experimentacin. Avancemos un paso ms y consideremos el ejemplo de un pndulo simple. Ese es tambin un sistema; sin embargo, es un sistema que incluye algunas cosas ms que el hilo, la masa, el soporte y el aire que lo rodea. Ms an, slo tiene dos entradas inmediatamente obvias: la longitud del hilo y las condiciones iniciales segn las cuales empieza el movimiento. Las salidas son tambin reducidas en nmero. Aparte de pequeos efectos secundarios, incluyen slo la frecuencia de oscilacin y la amplitud de las oscilaciones. Por ltimo, la conexin, entre las entradas y las salidas es relativamente directa y reproducible. Alterar la longitud del hilo del pndulo nos dar pocas sorpresas cuando midamos la frecuencia de oscilacin. Aqu, por lo tanto, tenemos un sistema en el qu los principios de experimentacin sern claramente visibles. Si lo usamos para desarrollar la capacidad de controlar sistemas y evaluar sus salidas, desarrollaremos la competencia necesaria para atacar luego problemas ms importantes, pero tambin ms complejos. Esto nos da la clave para por lo menos darle algn uso constructivo al curso de laboratorio de fsica. Hay una razn real para trabajar con un pndulo, pero slo si lo visualizamos en forma adecuada. Si lo vemos slo como4

l pndulo que todos hemos "hecho", nuestra nica reaccin ser de total aburrimiento. Sin embargo, si lo vemos como un sistema, igual que un supermercado, un aeropuerto, un reactor nuclear o la economa nacional, pero que difiere de ellos slo en que es lo bastante sencillo para que lo podamos entender relativamente bien, proporcionar una excelente simulacin de los problemas del mundo real. He aqu la justificacin para apoyarnos en este curso de laboratorio de fsica para ensear experimentacin. Los sistemas que incluye son lo bastante sencillos para que estn cerca de ser comprensibles, y la prctica con ellos nos preparar para proseguir ms adelante con nuestro trabajo real en sistemas importantes y complicados; Sin embargo, debemos tener cuidado con la manera en que practiquemos con estos sistemas sencillos. Obtendremos slo un beneficio muy limitado si nos restringimos a conjuntos de instrucciones que nos dicen cmo hacer experimentos particulares. Si es nuestra intencin proporcionar una base para proceder a cualquier tipo de anlisis de informacin en la ciencia, la tecnologa, los negocios o cualquiera de las ciencias sociales, tendremos que dar una preparacin para una gran variedad de circunstancias experimentales. Como dijimos antes, trataremos de identificar los principios generales de la experimentacin, con la esperanza de que sean vlidos y tiles, sin importar el objeto futuro o el tipo de la experimentacin. Puede ser obvio ahora que evitamos pensar en un experimento como un procedimiento para reproducir cierto resultado "correcto", cualquier desviacin del cual hace que estemos equivocados. En lugar de eso, simplemente evaluamos de manera imparcial las propiedades de nuestro sistema en particular y tomamos los resultados como vengan. Adems, no tiene caso buscar algn procedimiento a seguir: eso no es ms que pedirle a alguien que nos diga cmo hacer el experimento. En la vida real rara vez hay alguien dispuesto a decimos qu hacer o cul debe eje ser nuestro resultado; nuestra utilidad depender de la capacidad para tomar nuestras propias decisiones sobre cmo manejar la situacin. Toma gran cantidad de prctica y experiencia desarrollar la confianza en nuestras propias decisiones sobre la conduccin de cualquier procedimiento experimental, y este curso de laboratorio de fsica no es demasiado pronto para empezar. Pondremos, por lo tanto, mucho nfasis en la planeacin del experimento, porque sta es la etapa en la cual se necesita mucha de la habilidad para experimentar. Es importante evitar la tentacin de considerar la planeacin preliminar como una prdida de tiempo o una distraccin de la tarea que se supone ms importante de hace las mediciones. Se debe contar con tiempo reservado explcitamente para el anlisis y una planeacin adecuada del experimento antes de que se inicie el verdadero proceso de medicin. Adems, es necesario que aprendamos a trabajar dentro del marco de los aparatos disponibles. Toda experimentacin profesional est sujeta a limitaciones sobre los recursos, y gran parte de la habilidad para la experimentacin consiste, en optimizar el rendimiento experimental a partir de esos recursos. Adems, las restricciones en el tiempo simplemente simulan las circunstancias en las que se hace la mayor parte de la experimentacin real. El aparato mismo nunca ser ideal. Sin embargo, esto no debe verse como un defecto sino como un reto. El verdadero trabajo de evaluar resultados experimentales consiste en separar el grano de los resultados tiles de la paja de los errores y la incertidumbre. El experimentador debe aprender a identificar las fuentes de error por si mismo y, de ser posible, eliminarlas o hacer las correcciones que requieran. Sin embargo, aun con el mayor cuidado, siempre habr un residuo irreducible de5

incertidumbre, y es responsabilidad del experimentador evaluar la precisin del resultado final, cantidad que es tan importante como el resultado mismo. La capacidad de cumplir tales requisitos se puede adquirir solamente por el verdadero contacto con unas condiciones de trabajo realistas, y es una injusticia comn que se comete con los estudiantes de los primeros cursos de laboratorio de fsica, proporcionarles aparatos que estn ajustados con demasiado cuidado, o darles, en otras formas, la impresin de que los experimentos son ideales. Eso es lamentable, porque los fundamentos de la futura destreza estn en la respuesta constructiva a las limitaciones experimentales. En resumen, el uso del tiempo de laboratorio resultar ms fructfero cuando los experimentos se acepten como problemas que deben resolverse por uno mismo. Ciertamente se cometern errores de juicio, pero podemos aprender de manera ms eficiente de la experiencia personal con las consecuencias de nuestras decisiones, que de seguir rgidamente algn procedimiento "correcto" establecido. Lo que aprendemos es ms importante que lo que hacemos. Esto no quiere decir, sin embargo, que debamos mostrar indiferencia complaciente con el resultado del experimento. El desarrollo de nuestras habilidades experimentales slo se lograr si tomamos en serio el reto de obtener el mejor resultado posible de cada experimento. La redaccin de los informes de laboratorio debe enfrentarse con el mismo espritu constructivo. En la vida profesional tiene muy poco caso dedicar tiempo y esfuerzo a un experimento a menos que podamos comunicar en forma conveniente el resultado a los dems. Tenemos la obligacin con nuestros lectores de expresamos de manera clara, si no elegante, s con claridad. Es incorrecto considerar que sa es la responsabilidad de los expertos de la facultad de letras, y redactar informes en un laboratorio cientfico elemental debe de aceptarse como una oportunidad de ejercitarse en la composicin descriptiva. La elaboracin de un informe que degenera en una mera indicacin de que el experimento se realiz es poco menos que una prdida de tiempo y de oportunidades para una prctica necesaria. La redaccin de informes al nivel que se sugiere aqu es casi intil sin una crtica y una revisin adecuadas. Las oportunidades de mejorarla se hacen mucho ms obvias retrospectiva, y esa revisin detallada debe considerarse como una parte indispensable del trabajo en un laboratorio de docencia.Ref. D. C. Baird, Experimentacin, (Una introduccin a la Teora de Mediciones y al Diseo de Experimentos), 2 Edicin 1991, Prentice Hall

2. Diseo de Experimentos Encontramos tal diversidad de modelos y sistemas que no nos debe sorprender el enteramos de que no hay una sola forma de planear los experimentos. Las tcnicas y procedimientos que usemos dependern de las circunstancias, y describiremos procedimientos que son adecuados para una gran cantidad de casos. La relacin no es exhaustiva, pero encontraremos que los principios generales son vlidos en una amplia variedad de circunstancias experimentales. Supondremos desde el principio que, como resultado de la investigacin preliminar, ya conocemos las variables significativas; algunas de ellas estarn bajo nuestro control y pueden servir como variables de entrada; las otras tomarn valores, determinados por el sistema, y sern las variables de salida. En las secciones siguientes supondremos que las variables de entrada se pueden separar y controlarse individualmente; de otra forma, si todas varan a la vez, la interpretacin de los resultados ser mucho ms difcil.6

a. Como Probar un Modelo Existente En esta seccin nos ocuparemos, de situaciones en las cuales ya se dispone de un modelo de algn tipo. Este modelo podra ser una sugerencia de las ms sencillas (tal vez incluso totalmente emprica), como F = kx o V = RI, o podra derivarse de una teora importante y compleja como la teora de la relatividad general de Einstein. Cualquiera que sea la naturaleza del modelo, sus propiedades casi invariablemente tomar la forma de una relacin funcional entre dos o ms variables. Nuestro objetivo principal ser, como siempre, comparar las propiedades del modelo con las del sistema. Slo una vez que, mediante pruebas experimentales, nos hayamos convencido de que, al menos en un cierto intervalo, el sistema y el modelo se corresponden, podemos sentimos motivados a seguir adelante con el clculo de la cantidad que queremos medir. Ntese que nuestra decisin de que l modelo sea satisfactoria o no, debe basarse en el experimento mismo. No vamos, por supuesto, a tratar de tomar una decisin en cuestiones carentes de sentido como: Es el modelo o la teora 'cierto' o 'falso'? 'correcto' o 'incorrecto'?, o cualquier otra parecida. Como ya hemos dicho muchas veces, todos los modelos son imperfectos en principio, y simplemente necesitamos saber si el modelo es "lo bastante bueno" para nuestros propsitos, al nivel de precisin que queremos. Slo nuestro experimento mismo puede proporcionar las bases para tomar esa decisin, y tenemos que tratar de aseguramos, mediante un diseo cuidadoso, de que as sea. Una vez que hemos verificado que nuestro modelo es "suficientemente bueno", podemos proceder a calcular nuestra cantidad desconocida, sin olvidar que, si nuestra situacin cambia y s requiere adems 'precisin mayor, debemos replanteamos la cuestin de si el model es adecuado para nuestro propsito. Casi invariablemente las mejores maneras de probar modelos d sistemas fsicos que implican un tratamiento grfico. En principio queremos dibujar una grfica que ilustre el comportamiento del modelo, y sobreponer en ella los puntos que representan nuestras observaciones del comportamiento del sistema. Para hacerlo en forma sencilla, empero, hay ciertos requisitos que debemos de cumplir. En primer lugar, como una grfica (tal como la consideramos) es un diagrama bidimensional, debemos limitarnos inicialmente a dos variables. En muchos casos esto se satisface automticamente; como ha ocurrido en todos los - ejemplos anteriores. En otros casos, sin embargo, nuestra variable ser funcin dedos (o ms) variables independientes. No podemos graficar tres variables, como coordenadas en una hoja, de papel cuadriculado bidimensional (aunque los diagramas tridimensionales se pueden generar por computadora, y se ven con frecuencia en la literatura cientfica). En consecuencia, para nuestros propsitos, es necesario simplificar el experimento manteniendo una, de las variables de entrada constante mientras estudiamos la dependencia de la variable de salida respecto, de la otra. Podemos modificar entonces la segunda variable con un nuevo valor fijo y repetir el proceso. Con una serie de mediciones como sta, podemos, construir una imagen relativamente completa del comportamiento del sistema. Obsrvese que el xito del proceso depende de nuestra hiptesis fsica de que es posible mantener, una de las variables de entrada constante, independientemente de la variacin de la otra. Si este aislamiento de las variables de entrada no es posible, tendremos problemas; algunas de las tcnicas necesarias se mencionarn en la seccin 5-2(b).7

Para nuestro propsito actual vamos a suponer que tenemos slo una variable de entrada, ya sea porque slo existe una, o porque podemos aislar una manteniendo las otras constantes. Nuestro procedimiento experimental es claro: tenemos que medir la "variacin de la variable de salida con la variable de entrada, y graficarla para hacer la comparacin con la correspondiente grfica del modelo. Sin embargo, como hemos sugerido en la seccin 4-3, hara falta una computadora para dibujarla incluso funciones sencillas no lineales, y las ventajas de dibujar nuestras grficas en forma de lnea recta son tan arrolladoras que slo tomremos en cuenta est planteamiento. b. Planeacin de Experimentos Enumeraremos ahora los pasos reales, prcticos, con los cuales nos preparamos para hacer el experimento. Estos le podrn parecer tediosos a alguien cuya ambicin sea avanzar en el experimento tan rpido como sea posible, y preocuparse despus de qu hacer con los resultados. De hecho, para muchos de los experimentos sencillos que se encuentran comnmente en los laboratorios bsicos, el minucioso cuidado que vamos a recomendar podr parecer ocioso y pedante. Si en un primer laboratorio de fsica olvidamos medir el, dimetro de un alambre al efectuar un experimento de elasticidad, probablemente eso no importe mucho; podemos regresar ms tarde al laboratorio y cumplir con la medicin faltante y, aunque no lo hiciramos, no se acabara el mundo. Pero, si, diez aos ms tarde estamos planeando hacer algn experimento sobre astronoma de rayos x en una nave espacial, y nos damos cuenta hasta que nuestro experimento est en rbita de que hemos olvidado, medir alguna caracterstica esencial del detector, habremos desperdiciado el costoso complejo espacial de alguna organizacin y no seremos precisamente populares. Debemos de adquirir lo ms, pronto posible el hbito de la planeacin meticulosa, y concienzuda de nuestros experimentos, aun si, por ahora; pueda parecer a veces superflua. Los pasos de la planeacin son los que siguen: 1. Identificar el sistema y el modelo Esto puede parecer algo trivial, pero es mejor tener claro desde el principio cul es el tema de nuestro experimento. Por ejemplo, en el experimento del baln que cae, nos vamos a preocupar por la resistencia del aire o no? Si decidimos ignorada, no estamos siendo irresponsables; estamos nicamente definiendo un aspecto de nuestro modelo. Si sa es una buena decisin o no, se aclarar despus con el experimento. Si el comportamiento del sistema resulta estar en correspondencia con el comportamiento del modelo al nivel de precisin que practicamos, podremos sentimos satisfechos de que no tena caso perder el tiempo en efectos pequeos. Si elegimos una opcin insatisfactoria, nuestros resultados experimentales nos indicarn muy pronto la necesidad de reconsiderar el punto. As que, desde el principio, debemos determinar los lmites del sistema y del modelo, y proceder a probar la situacin. 2. Elegir las variables Normalmente alguna magnitud en el experimento se presentar como la eleccin obvia para una variable de salida. Si hay slo una variable de entrada, no hay problema. Si hay varias variables de entrada, debemos tratar de identificar una como la variable independiente principal y variar otras en niveles discretos. 3. Linealizar la ecuacin Las ecuaciones que representan el comportamiento del modelo deben expresarse8

ahora en una forma en la que su grfica sea una lnea recta, segn se describe en la seccin 5-2. Como ya se ha mencionado, no hay una eleccin nica y correcta para la forma lineal. Escoger una forma que sirva a, propsitos de manera conveniente y eficaz. Por ejemplo, si la ecuacin incluye alguna cantidad desconocida cuyo valor se va a determinar en el experimento, probablemente sea mejor usar una forma de lnea recta que tome la incgnita como pendiente. Es posible por supuesto, determinar cantidades desconocidas a partir de la ordenada al origen, pero, debido a que las ordenadas al origen pueden estar sujetas a errores que surgen de los defectos del instrumento o de otros errores sistemticos, en general es preferible obtener las incgnitas de las pendientes. Si la ecuacin contiene dos incgnitas, probablemente sea mejor encontrar una forma que permita obtener una incgnita a partir de la pendiente y la otra, de la ordenada al origen. 4. Elegir el alcance de las variables Antes de empezar las mediciones mismas, debemos decidir sobre los intervalos en que esperamos hacerlas. Por lo comn, es mejor planear un intervalo para la variable de entrada de por lo menos un factor de 10. Cuanto mayor sea, mejor, y un alcance menor a menudo puede dar una base insatisfactoria para comparar el comportamiento de los sistemas y los modelos. Obviamente no podernos escoger directamente el intervalo de valores de las variables de salida: el sistema mismo nos dar esos valores. Sin embargo, todava debemos ser cuidadosos. Puede haber lmites de los instrumentos ms all de los cuales puede ocurrir un dao, por ej.: limites elsticos, calentamiento excesivo de resistores de precisin sobrecarga de medidores y otros instrumentos. Hacer mediciones de prueba meticulosas nos permitir determinar el intervalo de variables de entrada que impide que sobrecarguemos cualquier parte del sistema. Este es el momento de considerar cuidadosamente todos los aspectos de las especificaciones de los instrumentos. Por ejemplo, tiene marcada encima la caja de resistencia la corriente mxima permitida para cada escala? Si es as, la incorporamos en la eleccin del alcance de las variables. Si no, vamos a buscar esos valores en el catlogo. En todo caso, debemos asegurarnos de que los lmites se identifiquen y se observen. Ser demasiado tarde cuando el olor de aislante quemado y una columna de humo azul llamen nuestra atencin hacia las fragilidades de los aparatos de medicin fsica, y el costo de su reemplazo. 5. Determinar la precisin del experimento No debemos emprender un experimento sino hasta que tengamos una 'idea general de la precisin que esperamos lograr en el resultado final. Eso no quiere decir que podamos garantizar un nivel de precisin terminal, pero s que debemos tener una cifra como meta que nos gue para elegir nuestros mtodos de medicin. Por ejemplo, la peticin de Medir la aceleracin de la gravedad usando un pndulo", en s misma prcticamente carece de sentido. En respuesta a esta solicitud podramos invertir diez minutos con aparatos burdos y obtener resultado con ms precisin del 10%, o bien, pasar semanas enteras con equipo refinado y costoso y lograr el 0.01%. Slo podemos tener una impresin realista de lo que se espera con un requerimiento como el de "Medir g usando un pndulo simple, con una aproximacin del 2% y tratando de no emplear ms de dos horas en ello. La cifra del 2% nos da una idea general de la clase de mediciones que se nos pide hacer. Deberamos tener un objetivo como se en mente para cada experimento; ello servira como base para proceder a un diseo realista de nuestro experimento.9

Podemos intentar aseguramos de que, por una parte, todas nuestras mediciones sean de suficiente precisin para contribuir con provecho al resultado final, y, por otra, no perder tiempo y esfuerzo haciendo mediciones con una precisin muy por encima de laque se requiere. Para ver cmo puede llevarse a cabo tal diseo, volvamos al ejemplo del pndulo y nuestra expectativa de incertidumbre del 2% en el valor de g. Sabemos que el resultado para g, aunque se obtendr grficamente, en esencia involucra mediciones de f y de T (bajo la forma de T2). Si la incertidumbre en cualquier medida ya sea de f o de T2 excede el 2%, hay pocas probabilidades de que sta contribuya ventajosamente a una determinacin de g con aproximacin del 2%. Supongamos que, como primera aproximacin, elegimos restringir la incertidumbre tanto de f como de T- para que estn incluidas en el 1 %; cules son las implicaciones que esto tiene para las mediciones de f y de T? Nuestro primer paso debe ser, haciendo mediciones de prueba, asegurar la incertidumbre absoluta con la que podemos hacer las mediciones de f y de T. Una vez que hayamos determinado estas incertidumbres, podemos encontrar los lmites de los alcances de las medidas de f y de T que permitirn que la precisin sea aceptable. Vamos a suponer que con los aparatos disponibles, pensamos que podemos medir longitudes con una incertidumbre absoluta de 1 mm. Cul es la longitud para la cual esto da una precisin del l %? 0 .1 = 0.01 l Por tanto: l = 10 cm (l en cm)

As, mientras nuestras longitudes sean mayores de 10 cm la contribucin a la incertidumbre total de l est dentro de lmites aceptables, y hemos identificado un lmite en el alcance aceptable de l. Cules son las implicaciones para T? Si vamos a asignarle una precisin del 1% a T , necesitamos un 0.5% en T. EI periodo de oscilacin se determinar midiendo el tiempo para un nmero especificado de oscilaciones con algn tipo de temporizador o de cronometr. Vamos a suponer que estamos utilizando un cronmetro que (como podemos comprobar intentando la medicin en la prctica), nos permite medir el tiempo, de un cierto nmero de oscilaciones con una aproximacin de 0.2 seg. Ntese que esta cifra de 0.2 seg debe ser la incertidumbre global en todo el proceso de medicin del tiempo, comprendida nuestra apreciacin personal de la posicin del pndulo para apretar el botn, los tiempos de respuesta para reaccionar,"etc.; no es suficiente considerar slo la incertidumbre de la lectura de la manecilla estacionaria del cronmetro. En todo, caso, si tenemos una incertidumbre global en la medicin del tiempo de 0.2 seg podemos calcular la precisin de cualquier intervalo medido, t, como 0.2/t. Esta es la cantidad que deseamos restringir a valores inferiores a 0.5%, por lo que la condicin limitante es:2

0 .2 = 0.005 t Luego; el valor lmite de t est dado por t= 0 .2 = 40 seg 0.005

Esto es, suponiendo que escogemos el nmero de oscilaciones del pndulo de10

manera que siempre estemos midiendo tiempos mayores de 40 seg, podemos esperar que nuestras medidas contribuirn efectivamente a una determinacin, final de g dentro del 2%. Por supuesto que no podemos garantizar que ese plan experimental resultar en un valor de g con una incertidumbre menor del 2%; siempre existe la posibilidad de contribuciones inesperadas a la incertidumbre de un error sistemtico insospechado. Pero, al menos, podemos evitar hacer mediciones que no tengan posibilidad alguna de contribuir provechosamente al resultado final. En esta etapa debemos reflexionar sobre si cada medicin se va a considerar en trminos de un intervalo estimado de incertidumbre, o si las fluctuaciones al azar son lo suficientemente grandes para requerir el uso de mtodos estadsticos. Si este ltimo es el caso, algunas mediciones de prueba nos permitirn hacer una estimacin preliminar de la varianza, con lo que podremos escoger el tamao de muestra que se necesita para lograr la precisin requerida. En esta etapa debemos recordar las advertencias sobre la inexactitud en las muestras pequeas que se dieron en la seccin 3-ll. Pero, adems debemos recordar que los intentos para mejorar la precisin aumentando el tamao de la muestra pueden ser ingratos. La expresin para la desviacin estndar de la media involucra N , de modo que si una muestra de prueba de 10 mediciones sugiere que sea deseable, digamos, un aumento de diez veces en la precisin, del tamao de la muestra tendra que aumentarse en un factor de 100. Un tamao de muestra de 1000 puede no ser factible, y tendramos que buscar algn otro camino hacia el aumento de la precisin. Ya sea que las mediciones sean de naturaleza .estadstica, o que tengan una incertidumbre estimada, sencilla, ser posible decidir en esta etapa si cada medicin en el experimento puede hacerse en forma satisfactoria o no. Si al parecer alguna medida est restringida a una incertidumbre que excede nuestras aspiraciones de diseo, debemos obtener un mtodo ms preciso de medir esa cantidad particular, o: si eso no es posible, reconocer que nuestro lmite anterior para la incertidumbre final del experimento era irrealizable con los aparatos disponibles, y que ser, necesaria la revisin de ese lmite. Asimismo, evaluando la contribucin de cada magnitud del experimento a la incertidumbre final, podremos identificar cualquier medida (o medidas) que contribuyan decisivamente al resultado final, ya sea por su baja precisin intrnseca, o por la forma en que entra en los clculos (p. ej.: alguna cantidad elevada a una potencia alta, o una cantidad que se tiene que obtener como la diferencia de dos valores medidos). Una vez que se identifiquen, se les puede dar una especial atencin a esas medidas para que su incertidumbre se mantenga bajo control al mximo posible Todo el detalle descrito en esta seccin puede parecer que constituye un enfoque innecesariamente exigente para un experimento pequeo y sencillo, pero es conveniente recordar, una vez ms, que nos estamos ejercitando para experimentos de mucho mayor envergadura e importancia, en los que las consecuencias de una falta de planeacin adecuada pueden ser graves y costosas. 6. Elaborar el programa de medicin' Despus de determinar las variables, los alcances y la precisin del experimento, lo ideal es concluir su diseo elaborando un programa de medicin completo y explcito. Este normalmente tomar la forma de una tabla que incluye todas las cantidades por medir en el experimento, y que proporciona tambin espacio para cualquier clculo requerido para dibujar las grficas. Un programa de medicin completo permitir al11

experimentador, durante el transcurso del experimento, concentrarse en la conduccin real, del experimento. Mientras se manipulan aparatos y se hacen mediciones'; normalmente hay bastante qu hacer sin la necesidad continua de decidir qu hacer despus. El programa de medicin ayudar tambin resguardarse de la omisin accidental de alguna medicin significativa, que podra pasarse por alto a resultas de la presin de la misma experimentacin. Como ya hemos observado reiteradamente, toda esta planeacin podr parecer como una bulla excesiva e innecesaria para un experimento sencillo. Sin embargo, estas recomendaciones representan nada menos que el mnimo bsico de preparacin para cualquier experimentacin seria, y no debe perderse oportunidad alguna para la formacin temprana de hbitos cuidadosos de diseo y planeacin de experimentos. Es importante evitar la tentacin de apresurarse a seguir con el experimento, dejando hasta despus la tarea de decidir qu hacer con los resultados; es mucho ms benfico adquirir el hbito de reservar el tiempo necesario para disear y planear el experimento adecuadamente antes de empezar las mediciones en s. c. Diseo de Experimentos cuando Existe un Modelo Esta situacin se presenta cuando, por ejemplo, se observa algn fenmeno tan nuevo que todava no se ha construido un modelo terico, o bien se trata de un sistema que es tan complejo, como un sistema de ingeniera o algn aspecto de la economa, que acaso nunca sea posible construir un modelo terico de l. Si no se tiene un modelo para probarlo, el objetivo al experimentar con el sistema podra tener diversas modalidades. Se puede estar motivado por la simple curiosidad o por una necesidad prctica de informacin sobre el sistema, quizs interesen las posibilidades de construir modelos. Se puede estar buscando una gua para la construccin de un modelo terico, o, si esto resulta muy difcil, desear obtener mediciones que sirvan de base para un modelo puramente emprico del sistema. Los modelos empricos, aun si no se tiene una comprensin terica detallada, son sumamente tiles. Pueden servir para sistematizar lo que pensamos de un sistema complejo, y con frecuencia son esenciales para clculos matemticos sobre el sistema como la, interpolacin, la extrapolacin, el pronstico, etc. Cualquiera que sea nuestra motivacin, probablemente nos gustara encontrar una funcin o grfica que proporcione un ajuste suficientemente bueno para las observaciones. Los mtodos para encontrar funciones adecuadas se describirn, en el captulo 6, y nos restringiremos por el momento al problema de disear el experimento. A falta de un modelo, existente, el diseo del experimento puede ser relativamente directo, especialmente si podemos aislar las variables de entrada de todo que podamos variar una mientras mantenemos fijos los valores de las otras. Nuestro diseo del experimento consistir, simplemente, en medir la variable de salida en intervalos adecuados de las variables de entrada para construir una imagen del comportamiento del sistema tan completa como sea posible. Aun si no contsemos con una teora previa acerca del fenmeno, es sensato aprovechar cualesquier sugerencia disponible sobre funciones que pueda ser adecuada a nuestro sistema, y comprobar esa posibilidad en el comportamiento del mismo. Una forma de obtener esas sugerencias, se presentar en la seccin siguiente.Ref.: D. C. Baird, Experimentacin, (Una introduccin a la Teora de Mediciones y al Diseo de Experimentos), 2 edicin 1991, Prentice Hall 12

3. La Medida y sus Implicaciones Por qu Medir? Las impresiones primarias del mundo que nos rodea las obtenemos a travs de nuestros sentidos. En esta forma adquirimos conocimientos elementales. Es innegable, sin embargo que como instrumentos de observacin nuestros sentidos son limitados y en ocasiones nos conducen a falsas interpretaciones. Esta observacin directa de los procesos naturales nos permite llegar a determinaciones puramente cualitativas que dependen de cada persona y en consecuencia son subjetivas. Conviene recordar que una de las caractersticas del conocimiento cientfico reside en su objetividad, es decir, los hechos existen de manera independiente a cualquier sujeto en particular y al modo como ste los conozca o los imagine. Al extender nuestros sentidos por medio de instrumentos, la observacin se amplia y se profundiza, permitiendo as advertir mayor nmero de hechos y caracterizarlos con ms precisin. La reiteracin de las observaciones y el incremento de su exactitud conducen al establecimiento de relaciones cuantitativas entre los procesos naturales. La determinacin cuantitativa implica la realizacin de mediciones y permite evidenciar conexiones ms profundas y ciertas ordenaciones simples entre los hechos ocurridos que la mera observacin cualitativa imposibilita. Al atribuir un valor numrico a un hecho natural, el observador lo transforma de cualitativo, subjetivo y privado en algo cuantitativo, que es objetivo y comunicable. Las simples sensaciones se convierten en cantidades aceptadas por la generalidad ya que diferentes observadores, en principio, partiendo de los mismos eventos pueden obtener las mismas conclusiones. a. Determinacin de Errores y Tratamiento de Datos. Las medidas experimentales estn afectadas de cierta imprecisin en sus valores debido a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones de nuestros sentidos en el caso de que sean ellos los que deben registrar la informacin. El valor de las magnitudes fsicas se obtiene experimentalmente efectuando una medida; sta puede ser directa sobre la magnitud en cuestin o indirecta, es decir, obtenida por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con la magnitud problema mediante una frmula fsica. As pues, resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparacin con el patrn correspondiente en las medidas directas vienen siempre afectado de imprecisiones inevitables. El problema es establecer los lmites dentro de los cuales se encuentra dicho valor. Incertidumbre en Instrumentos Sencillos. En el caso de aparatos de medida sencillos: regla, transportador, balanza, probeta graduada, manmetro, termmetro de mercurio, el fabricante garantiza que sus instrumentos estn diseados y construidos de tal manera que aunque sufran variaciones accidentales, al hacer una medicin, el aparato introduce una incertidumbre mxima igual a la mitad de la divisin ms pequea de la escala (esta afirmacin hay que tomarla con reservas, como veremos ms adelante). Si al medir la longitud de un objeto con una regla en mm se obtiene 28.4 cm., la incertidumbre ser de 0.05 cm y el resultado se reporta como (28.4+0.05)cm. Hay casos especiales que pueden incluirse: el vernier, ciertamente no es sencillo, pero si permite leer dcimas de milmetro, la incertidumbre ser de media dcima de13

milmetro. Para el cronmetro se puede utilizar la misma regla siempre y cuando se consideren tiempos "pequeos", ya que para tiempos grandes el cronmetro puede introducir errores sistemticos mucho mayores que la mitad de la divisin ms pequea del cronmetro. Incertidumbre en Medidas reproducibles.Cuando al hacer una serie de lecturas de una sola magnitud, se obtienen los mismos resultados, no se puede concluir que la incertidumbre es cero: lo que sucede es que los errores accidentales quedan ocultos, son menores que la incertidumbre asociada al aparato de medicin. De los errores sistemticos no se puede afirmar nada a menos de comparar con instrumentos patrn. Un criterio simple y til puede establecerse en este caso: cuando las medidas son reproducibles, se asigna una incertidumbre igual a la mitad de la divisin ms pequea del instrumento. Si por ejemplo, al medir repetidas veces el volumen de un objeto con una probeta graduada en milmetros se obtiene siempre 48 ml, la incertidumbre (V) ser de 0.5 ml y el resultado se reporta como: 480.5m1. E1 intervalo de incertidumbre va de 47.5 a 48.5 ml y es el doble de la incertidumbre. En ocasiones se presenta la siguiente situacin: La longitud est entre 36 y 37 mm aproximadamente a la mitad. Cmo se reporta?: 36.50.5 mm? 370.5 mm?

Fig. 2.2 Cul es la lectura? En estos casos se justifica apreciar una cifra ms con el objeto de centrar el intervalo de incertidumbre: 36.50.5 mm. Simplemente se asegura as que la longitud est comprendida entre 36 y 37 mm. Nota.- A1 medir la masa de una pesa de cerca de 100 gramos con 20 balanzas distintas (sensibilidad: 1/10 gramo) de laboratorio, se obtienen discrepancias de hasta 3/10 de gramo con respecto a una balanza patrn. E1 reporte completo de experimento se incluye en el apndice. En la imposibilidad de calibrar las balanzas en el momento de usarlas, se sugiere asociar una incertidumbre realista de 0.3 gramos a las lecturas cuyo orden de magnitud sea 10-2 gramos. Indicaciones semejantes relativas a otros aparatos de medicin se darn posteriormente. Incertidumbre en Medidas no Reproducibles. Cuando se hacen repeticiones de una medida y stas resultan en general diferentes, tomando en cuenta que la medida "real no se puede conocer, surgen dos cuestiones interesantes: a) Cul es el valor que se reporta?, es decir: Cul es el valor ms probable? b) Qu incertidumbre se asigna a este resultado? Para resolver el inciso a), aceptamos por el momento que el valor ms representativo es el promedio ( X ) que se calcula como sigue:14

x=

x1 + x2 + ... x n xn

en donde X1, X2,..., Xn son las lecturas particulares y n es . el nmero de repeticiones. En cuanto al apartado b), el tratamiento riguroso de esta cuestin pertenece a la estadstica. En este curso introductorio, usaremos un criterio muy sencillo: es evidente que la incertidumbre debe reflejar la diversidad (dispersin) de valores obtenidos y adems, nos interesa que el intervalo definido capture, en lo posible, el valor verdadero de la medicin. En tal situacin, asignamos como incertidumbre a la desviacin absoluta mxima (dam.), que es simplemente la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturas obtenidas. Ilustramos lo anterior en el siguiente caso: Al medir el tiempo de vaciado del agua contenida en un embudo cuando escurre por el fondo y despus de repetir el experimento cinco veces, en las mismas condiciones, se obtuvieron los siguientes datos: t1 = 35.4 seg. t2 = 30.2 seg. t3 = 33.0 seg. t4 = 29.6 seg. t5 = 32.8 seg. E1 tiempo ms probable ( t ) es: t= t1 + t 2 + t3 + t 4 + t5 = 32.2 seg 5

Los valores extremos son: 35.4 seg. y 29.8 seg. La mayor de las diferencias ocurre con 35.4 seg. 32.2seg - 35.4seg = 3.2 seg. La incertidumbre asociada dam es entonces 3.2 seg. y el resultado se reporta como: t = 32.2 3.2 seg. Una advertencia necesaria: ntese que si el nmero de repeticiones aumenta, la dispersin de datos se har mayor y la dam crecer, lo cual va en contra de la asignacin de incertidumbres en estadstica. Por supuesto, si una de las lecturas difiere considerablemente del resto, seguramente no se trata de un error accidental, sino de una metida de pata. Error absoluto y error relativo El error absoluto en una medida x de determinada magnitud es la diferencia entre dicho valor y el valor verdadero de la medida; se notar por x y, por tanto, su expresin es: x = x x0 donde x0 representa el valor verdadero de la medida. El error absoluto cuantifica la desviacin en trminos absolutos respecto al valor verdadero. No obstante, en ocasiones es ms interesante resaltar la importancia relativa de esa desviacin. Por15

ello, se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero; notndolo por su expresin es:

=

x x0

y suele expresarse porcentualmente sin ms que multiplicar por 100. Expresin del error En Fsica, presentar una medida experimental significa dar el valor de dicha cantidad y expresar cual es su error; no tiene sentido establecer un determinado valor si no se acota debidamente el mismo. As, la expresin correcta de una medida debe ser: x x Dado el significado de cota de imprecisin que tiene el error absoluto, ste siempre se expresa con una nica cifra significativa, es decir, con el primer dgito comenzando por la izquierda distinto de cero; este nmero ser redondeado por exceso en una unidad si la segunda cifra significativa es 5 o mayor de 5. Este convenio de expresin del error encuentra dos excepciones: que la primera cifra significativa sea un 1 o que siendo la primera un 2, la segunda no llega 5; en estos casos, el error vendr dado por las dos primeras cifras significativas, procedindose al redondeo de la segunda en el mismo sentido que ya se ha explicado. Hay que resaltar que el valor de una magnitud debe tener el mismo orden decimal que el error absoluto. Esto es razonable dado que no tendra sentido encontrar el valor de una magnitud con un grado de precisin superior al del error de la medida. As, no podemos medir dcimas de milmetro con una regla cuya sensibilidad es del milmetro. Finalmente, se acepta como criterio que si el valor de una medida es ledo de una tabla u otro lugar, sin indicacin de su error, se tomar como error una unidad del orden de la ltima cifra con que se expresa; por ejemplo, si en una tabla aparece que el valor de una medida es de 0.056 sin ninguna indicacin de error, se conviene en que el mismo es de 0.001. En la siguiente tabla se dan distintos ejemplos. Valores incorrectos3.418 0.123 6.3 0.09 46288 1551 428.351 0.27 0.01683 0.0058

Valores correctos3.4 0.1 6.3 0.1 (4.6 0.2)x104 428.4 0.3 (1.7 0.6)x10-2

16

b. Cifras Significativas. Otra forma elemental de reportar medidas con una cierta estimacin implcita de la incertidumbre. Se usa sistemticamente en el curso. Se llama cifra significativa (c.s.) a cada uno de los dgitos (1,2,...9,0) que resultan de hacer una medicin. Ejemplo: 12.49 cm medido con un vernier, tiene 4 cifras significativas: 1,2,4 y 9. Una medida tiene n cifras significativas, cuando la mxima incertidumbre no es mayor que la mitad de la unidad que representa la ensima cifra significativa. En el ejemplo anterior, implcitamente se est considerando un intervalo de incertidumbre que va de 12.485 cm a 12.495 cm. Si al expresar un resultado no se hace ninguna indicacin de su incertidumbre (dam, % de error, etc.), debe entenderse que se est haciendo uso del criterio anterior. Se ilustran a continuacin, algunas situaciones particulares. a) Cuando las cifras no tienen significado: 2.04763 Kg (con una balanza, sensibilidad 1/10gr) tiene cinco c.s.: 2,0,4,7,6. E1 3, que corresponde a centsimas de gramo, no puede leerse en esta balanza y por consiguiente, no tiene sentido. b) Cifra apreciada: cuando el observador intenta calcular una fraccin de la longitud entre dos marcas sucesivas de una escala y asigna un nmero a la aproximacin. En ocasiones, se justifica y es conveniente, pero la cifra apreciada no es significativa, de acuerdo con nuestra definicin. Un caso muy comn: 10.57 cm (con una regla en mm). El resultado tiene solo 3 c.s., el 7 es cifra apreciada. c) E1 punto decimal: 3.714 m = 37.14 cm = 371 mm en todos los casos hay 4 c.s. La posicin del punto decimal es independiente del nmero de ellas. d) El cero como c.s.: Si el resultado anterior se transforma a km, se obtiene: 0.003714km. El nmero de c.s. sigue siendo 4 (no 7 u 8). El hecho de hacer un cambio de unidades no altera la precisin de esa medida. Si ahora se convierte a micras, obtenemos: 3 714 000 . Los ltimos tres ceros ocupan el lugar de dgitos desconocidos, no deben escribirse. La notacin de potencias de 10 resuelve el problema: 371.4 x 104 . En esta forma se expresa el nmero correcto de c.s. Resumiendo: los ceros a la derecha no deben escribirse, si no tienen significado. Los ceros a la izquierda no son significativos. 0.06010 mm = 60.10 x 10-3mm - 601.0 x 10-4mm = 601.0 x 10 mm tiene 4 c.s. c. Redondeo. Redondear un nmero con decimales significa aproximar los dos ltimos dgitos a la decena ms cercana, suprimiendo la ltima cifra. Casos particulares: a) Si la ltima cifra es menor que cinco, simplemente se suprime 7.83 redondeado da 7.8 12.50 11 " 12.5 b) Si la ltima cifra es mayor que 5, se quita la ltima y la anterior sube una unidad.17

3.14159 redondeado da 3.1416, 3.1416 redondeado da 3.142 6.199 redondeado da 6.20 c) Si la ltima cifra es 5, la anterior sube si es impar y se conserva si es par 0.35 redondeado queda 0.4 7.425 redondeado queda 7.42 Suma y Resta de c.s. En la suma o resta de cantidades que tienen diferente nmero de cifras decimales, el resultado debe expresarse con tantas dcimas como corresponden a la cantidad que menos tenga. Ejemplo: efectuar la siguiente suma: 26.03 + 1.485 0 .9 28.415 La suma debe tener una sola cifra decimal, el resultado correcto ser: 28.4 (redondeado a tres cifras). La operacin puede realizarse redondeando primero los sumandos a un decimal (en este ejemplo). Para la resta, el procedimiento es semejante: 16.2 7.081

9.119 El resultado ser: 9.1 Multiplicacin y Divisin con c.s. En este caso, el resultado no se escribir con ms c.s. que el factor o divisor que menos tenga. Ejemplo: 2.054 1 .2 4108 ____2054______ 2.4648 Ya que la ltima c.s. tiene incertidumbre, al operar con ellas la incertidumbre se propaga. Encerrados en un crculo, estn los dgitos inseguros. E1 resultado se da con una cifra incierta y en consecuencia, el producto tendr slo dos cifras: 2.5 (ya redondeado), que coincide con el nmero de cifras del menor (1.2) Para la divisin la regla sigue siendo vlida. Limitaciones. En los prrafos anteriores habrs notado que los criterios introducidos no se aplican a todos los casos. A lo largo del curso encontrars muchas ms excepciones a las reglas que manejemos. Para proceder con ms rigor tendramos que recurrir a la teora de errores y a la estadstica. Lo hemos intentado hace aos, pero nos hemos convencido18

de que meten un ruido innecesario y no se justifican en el trabajo que hacemos. La experiencia acumulada avala el empleo de estas reglas, en este curso introductorio. Primero porque son sencillas y segundo, por que han probado reiteradamente su utilidad, a pesar de sus limitaciones. Por otro lado encontrars que, en general, an en los casos ms elaborados o teoras ms complicadas, siempre estn presentes las limitaciones. Finalmente. Porqu Manejar Incertidumbres? Parece que complican las cosas innecesariamente, pero podemos decirte que los vas a comprobar: en el uso de incertidumbres descansa una buena parte de la validez del curso. Hasta ahora, cuando hacas un experimento y encontrabas diferencia entre los resultados y los del texto, siempre era fcil echarle la culpa a los aparatos o a los errores cometidos, que por otra parte, nunca se analizan, ni se cuantifican. Creemos y nuestro sentir est fundado que el enfoque del curso har sentir confianza en tus resultados, te ayudar a desterrar el espritu de cuchareo (para qu hago repeticiones?, mejor las invento) y te har sentir que un experimento "si sale". 4. Propagacin de Errores Aleatorios En cualquier experimento se debe predecir la reproducibilidad que se puede esperar en el resultado final que se ha calculado a partir de dos o ms medidas independientes, cada una de las cuales tiene asociada un dado error aleatorio. La forma en la que estos errores aleatorios individuales afecta al resultado final depende del tipo de clculo. 1) Adicin y sustraccin En adiciones y/o sustracciones, la incertidumbre esperada en el resultado se obtiene de la raz cuadrada de los cuadrados de los errores absolutos asociados a cada lectura. Ejemplo:

El resultado aritmtico de 1.76+1.89-0.59 = 3.06. Suponiendo que los errores absolutos en las mediciones son las indicadas entre parntesis en cada caso, la incertidumbre asociada al resultado (e4) ser:2 2 e4 = e12 + e2 + e3

(1)

en este caso: e4 =

(0.03)2 + (0.02)2 + (0.02)2

= 0.04

La incertidumbre absoluta asociada al resultado de la suma algebraica es 0.04, y el resultado puede expresarse como 3.06 0.04. 2) Multiplicacin y Divisin Cuando en el resultado final intervienen multiplicaciones y/o divisiones, se propagan los errores relativos. La incertidumbre en el resultado se calcula como sigue:19

er4 = er12 + er22 + er32 Ejemplo: 1.54( 0.02 ) 3.82( 0.04 ) = 4.78( ??) 1.23( 0.03)

(2)

Los errores absolutos (indicados entre parntesis) debern primero transformarse en relativos (eri), luego se estima er4 segn la ecuacin [13]. er1 = 0.02 = 0.013 1.54 er4 = er2 = 0.04 3.82 = 0.0105 er3 = 0.03 = 0.0244 1.23 = 0.0296

(0.013)2 + (0.0105)2 + (0.0244)2

La incertidumbre absoluta en el dato calculado ser = 0.0296 x 4.78 = 0.141. El resultado final se expresa como 4.8 0.1. Notar que no es conveniente redondear el resultado hasta que los clculos se hayan terminado. Recin en el resultado final debern considerarse las cifras significativas, es decir, conservar slo los dgitos que sean significativos en el resultado obtenido. 3) Operaciones combinadas Como ltimo ejemplo consideremos la siguiente combinacin de operaciones:

[1.76( 0.03) 0.59( 0.02)] = 0.619 ?? 1.89( 0.02 )Se deber evaluar primero la diferencia en el numerador, utilizando las incertidumbres absolutas: 1.76( 0.03) 0.59( 0.02 ) = 1.17 0.036 dado que

(0.03)2 + (0.02)2

= 0.036

Entonces se obtienen las incertidumbres relativas: er1 = 0.036 = 0.031 1.17 er2 = 0.02 = 0.011 1.89 y finalmente, er4 =

(0.031)2 + (0.011)2

= 0.033

la incertidumbre relativa en el resultado es 0.033 La incertidumbre absoluta ser 0.033 x 0.619 = 0.02. El resultado debe expresarse como: 0.62 0.02.Ref.: http://www.quimica.unlp.edu.ar/analitica/capitulo7.pdf

a. Determinacin de errores en medidas directas.

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Como ya se ha explicado, cuando se realice la medida de cualquier magnitud hay que indicar el error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor verdadero de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimacin del mismo y de su cota de error. Con el fin de alcanzar cierta validez estadstica en los resultados de las medidas es muy conveniente repetir varias veces su determinacin; por convenio, se ha establecido en 3 este nmero mnimo. No obstante, es posible que en alguna ocasin no tenga sentido llevar a cabo estas repeticiones, en cuyo caso se considera que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. En el caso habitual, cuando son 3 las medidas tomadas, pueden presentarse poco o muy dispersas y en funcin de esta dispersin ser conveniente aumentar o no el nmero de determinaciones del valor de la magnitud. Para decidir el nmero determinaciones del valor de una magnitud fsica que se desea medir se sigue el siguiente procedimiento: se realizan las 3 mediciones xi de la magnitud en cuestin y se calcula su valor medio:

x3 =

xi =1

3

i

3

A continuacin se determina su dispersin D, esto es, la diferencia entre los valores extremos de las medidas: D = xmax imo xmin imo Finalmente, se obtiene el tanto por ciento de dispersin, T, que viene dado por: T = 100 D x3

Con estos parmetros se pasa al siguiente cuadro que establece la casustica que puede darse; S representa la sensibilidad del aparato de medida, D6 es la dispersin para seis medidas y N el nmero de medidas necesarias en cada caso. As, por ejemplo, si se ha obtenido que la dispersin es mayor que la sensibilidad y el tanto por ciento de dispersin est comprendido entre el 2% y el 8%, son necesarias 6 medidas; el valor verdadero queda establecido en la media aritmtica de las 6 medidas y su error corresponde al mximo de entre la dispersin de las seis medidas dividido por 4 o la sensibilidad. D D< S T 2% 2 % T 8% D> S 8%T 15% 15 % T T N 3 3 6 15 > 5021

X0

xS S mx {D6/4,S}x =

xN =

xii =1

N

N

(xi =1

N

i

xN )

2

N (N 1)

Si se han realizado 15 o ms medidas, en realidad se est buscando que el conjunto de las mismas sea una distribucin gaussiana o normal, en cuyo caso, el error que se considera corresponde con el error cuadrtico medio () o desviacin standard; el significado de este parmetro puede encontrarse en cualquier volumen de estadstica bsica aunque podemos sintetizarlo de forma cuantitativa como sigue.

En el intervalo: x < x < x + se encuentra el 68,3% de las medidas realizadas en una gran serie de las mismas. De igual forma, es posible demostrar que en el intervalo: x 2 < x < x + 2 se encuentra el 95,4% de las medidas realizadas. Por ltimo, en el intervalo:x 3 < x < x + 3

se encuentra el 99,7% de las medidas realizadas en una gran serie de las mismas. b. Determinacin de errores en medidas indirectas. Como ya se ha indicado, la medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicacin de una frmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha frmula se obtiene tambin el error de la medida. Debe tenerse muy presente que si en la expresin matemtica que relaciona las magnitudes aparecen nmeros irracionales (tales como o e) se deben elegir con un nmero de cifras significativas que no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar. En cualquier caso, esta eleccin determinar el valor del error asignado a dicha constante; en muchas ocasiones, sobre todo cuando se trabaja con calculadora u ordenador, lo ms conveniente es tomar todos los decimales que aparecen para el nmero en cuestin: de esta manera, su error es muy pequeo y puede despreciarse frente a los del resto de las magnitudes que intervengan. El procedimiento para determinar el error de la medida hecha de manera indirecta es el siguiente. Supongamos que la magnitud F es funcin de otras magnitudes fsicas, estando relacionadas con ellas por la expresin genrica: F = f ( x1 , x2 ,..., x N )

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Supongamos, adems, que se han realizado medidas de las variables, x i, y se han determinado su valor y su error. Se obtiene la diferencial total de F en funcin de las diferenciales de las variables xi:N F F F F dF = dx1 + dx2 + ... + dx N = dxi x1 x2 x N i =1 xi

A continuacin se asimilan las diferentes diferenciales a los errores absolutos y adems consideramos que en el clculo del error de F debemos ponernos en el caso ms desfavorable, es decir, el error mayor posible; as, se tomarn los valores absolutos de las derivadas parciales con el fin de tener una suma de trminos positivos. Por tanto, el error en F viene dado por: F = i =1 N

F xi xi

En el caso en el que la funcin considerada sea de la forma: F = xi ii =1 N

con i constantes positivas o negativas, se presenta una notable simplificacin si se procede a tomar logaritmos neperianos antes de llevar a cabo el anlisis anterior. En efecto, si se lleva a cabo esta operacin se tiene que: N N ln F = ln xi i = i ln xi i =1 i =1 de donde, obteniendo su diferencial, se concluye que:N dx dF = i i F xi i =1

Finalmente, asimilando de nuevo los diferenciales totales a los errores absolutos se obtiene: dx dF N = i i F xi i =1 que en funcin del error relativo quedara: F = F i ii =1 N

El siguiente ejemplo sirve para ver de forma prctica las actuaciones descritas hasta aqu. Supongamos que se quiere determinar el volumen de un cilindro; para ello, puesto que este parmetro viene dado por: V = r 2h se proceder a calcular el radio r y la altura h del cuerpo. Supongamos que tales valores son r = 5.00 0.05 y h = 100.0 0.5. Entonces, el volumen vale V =

23

7853.9816.... . Para expresar correctamente este resultado hay que determinar cuanto vale su error; as, se calcula el valor de la diferencial de V: dV = 2 rhdr + r 2 dh y se sustituyen los diferenciales por errores: V = 2 rh r + r 2 h de donde obtenemos que V = 196.34954.... Por tanto, el resultado de la medicin del volumen es V = (7.9 0.2)x103. 5. Tipos de Errores El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen esta en mltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en tres grandes grupos: errores sistemticos, aleatorios y errores accidentales. Los errores debido a equivocaciones: son errores que se dan cuando se hace un mal manejo de la informacin; por ejemplo cuando se rescriben los valores de los datos, provocando confusiones al hacer su anlisis; otro caso se da cuando se realiza una medicin y se hace una mala lectura, es decir, por ejemplo, se escribe 3.45 m, cuando la longitud real es de 3.35 m. Hay otros que resultan ser tan graves que no queda otra alternativa que abandonar el experimento y empezar de nuevo. Como ejemplo puede citarse la avera de un instrumento, el derramamiento accidental de muestra, o descubrir que un reactivo que se supona puro, en realidad estaba contaminado. En lo general este tipo de error se puede evitar relazando el experimento con responsabilidad y cuidado. Los errores sistemticos son aquellos que permanecen constantes a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afectan a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas; se pueden sub-clasificar en errores instrumentales, personales o por la eleccin del mtodo. Los errores instrumentales son los debidos al aparato de medida; por ejemplo, un error de calibrado generara este tipo de imprecisin. Los errores personales se deben a las limitaciones propias del experimentador; as, una persona con algn problema visual puede cometer errores sistemticos en la toma de ciertos datos. El error en la eleccin del mtodo se presenta cuando se lleva a cabo la determinacin de una medida mediante un mtodo que no es idneo para tal fin; por ejemplo, la medida del tiempo de cada de un objeto por mera inspeccin visual. Tambin, se consideran errores sistemticos, aquellos que alteran la medida de una manera constante, por no tomar en cuenta alguna circunstancia que afecta a los resultados siempre en la misma forma. Si se detectan, los errores sistemticos pueden eliminarse. Una manera de encontrarlos es efectuando la misma medicin, con mtodos diferentes. Otras veces se cuantifican por calibracin de -instrumentos al compararlos con patrones de medida. En ocasiones el anlisis grfico tambin los pone de manifiesto. Errores aleatorios (o indeterminados) son el resultado de limitaciones naturales para realizar mediciones fsicas. Siempre que se efecta la lectura de una medicin en un instrumento, los resultados obtenidos (en igualdad de condiciones) no son24

constantes y fluctan alrededor de un valor medio. El origen de tales fluctuaciones no pueden identificarse porque son la resultante de innumerables incertidumbres individuales pequeas e indetectables. Como indica su nombre, el signo de este error podr ser a veces positivo, y a veces negativo. Existe siempre, no puede ser corregido y es el limitante de las determinaciones experimentales. Errores

Equivocaciones

Inherentes

Experimentales

Analticos

Aleatorios

Sistemticos

Algebraicos

Redondeo

Escala

Instrumental

Juicio

Para ilustrar el concepto de errores sistemticos y aleatorios analizaremos el ejemplo de la obtencin del valor de la aceleracin de la gravedad g= 9.78 m/s 2. Cada uno de los estudiantes realizaron el mismo experimento (con los mismos instrumentos, y empleando los mismos aparatos de medida). Los resultados fueron los siguientes: Resultados (g m/s) Estudiante A10.08 10.11 10.09 10.10 10.12

Estudiante B9.68 9.94 9.82 9.60 10.01

Estudiante C9.88 10.04 10.02 9.80 10.21

Estudiante D9.84 9.82 9.82 9.77 9.84

x = 10.10S = 0.016 RSD% = 0.16% r =+1%

x = 9.81S = 0.21 RSD% = 2.1% r =+0.1%

x = 10.01S = 0.17 RSD% = 1.7% r =-1%

x = 9.81S = 0.033 RSD% = 0.33% r =+0.1%

Preciso pero inexacto

Exacto e impreciso

Inexacto e impreciso

Exacto y preciso

Los resultados obtenidos por el estudiante A son todos muy prximos entre s, es decir son repetitivos (RSD= 0.16%). Sin embargo, como ya se discuti, son todos demasiado altos. En este experimento "conocemos" que la respuesta correcta debe ser 9.78 m/s2.25

Resulta evidente que en el experimento desarrollado por el estudiante A han surgido dos tipos de errores: aleatorios, los cuales provocan que los datos individuales flucten alrededor del valor medio (10.10 m/s2) y sistemticos, los cules provocan que todos los resultados sean errneos en el mismo sentido (todos son demasiado altos). Los errores de tipo aleatorio son los que afectan la precisin o repetibilidad o reproducibilidad de un experimento. Los errores sistemticos en cambio inciden en la exactitud del resultado obtenido. La titulacin realizada por el estudiante A deber calificarse de precisa e inexacta. El estudiante B ha obtenido resultados diferentes. El promedio de los cinco datos (9.81 m/s2) es muy prximo al valor verdadero, por lo que puede calificarse como datos exactos (sin errores sistemticos importantes). Pero la dispersin de resultados es grande, lo que indica una precisin insatisfactoria y la presencia de errores aleatorios sustanciales. La comparacin de estos resultados con los obtenidos por el estudiante A demuestra claramente que los errores aleatorios y sistemticos son independientes uno del otro. El trabajo del estudiante C no es ni preciso (intervalo de datos de 10.02 a 10.21 m/s2, desvo estndar relativo: 1.7%) ni exacto (x = 10.01 m/s2). El estudiante D ha logrado a la vez resultados precisos (intervalo de 9.77 a 9.84 m/s2, RSD% = 0.33%) y exactos ( x= 9.81 m/s2). En sntesis, la precisin de un anlisis se puede calcular a partir de repeticiones del mismo. La exactitud demanda el conocimiento del valor verdadero, que nunca se conoce. Exactitud, precisin y sensibilidad. La exactitud es el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. Un aparato es exacto si las medidas realizadas con l son todas muy prximas al valor "verdadero" de la magnitud medida. La precisin es el grado de concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Un aparato es preciso cuando la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sean muy pequeas. La sensibilidad de un aparato es el valor mnimo de la magnitud que es capaz de medir. As, si la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada la balanza no presenta ninguna desviacin. Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la divisin m s pequea de la escala de medida. La exactitud implica normalmente precisin, pero la afirmacin inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sistemticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es ms fcil conocer la precisin de un aparato que su exactitud. Una buena analoga para ilustrar los errores sistemticos y accidentales resulta de considerar los impactos producidos en un papel colocado en el suelo, por un lpiz que se suelta desde cierta altura, tratando de acertar en el centro del blanco. Cada marca26

grabada en el papel corresponde a una de las diferentes lecturas de una misma medicin. Los patrones mostrados en la figura muestran los resultados obtenidos en dos experiencias distintas, en las mismas circunstancias. Es un ejercicio interesante, te sugerimos realizarlo

Fig. 2.1.- Impactos producidos por un lpiz, correspondientes a dos experimentos distintos, en las mismas condiciones. En ambos casos, los centros de los impactos estn sistemticamente desplazados del centro de coordenadas, aunque menos en (b) que en (a). Se ha propuesto -sin aceptarse universalmente- asociar la exactitud con los errores sistemticos. Desde este punto de vista, el patrn (b) es ms exacto que (a). La dispersin de los valores individuales correspondiente a los errores aleatorios es menor en (a) que en (b). La palabra precisin se recomienda como una medida inversa de la dispersin. Con este supuesto, la precisin del patrn (a) es mayor que la de (b).

a Tratamiento de los Datos En muchas ocasiones, los resultados obtenidos de los datos se interpretan mejor con ayuda de una representacin grfica. Adems, este procedimiento muestra una tendencia que permite estimar los valores en otros puntos diferentes a los experimentales o demuestra una determinada relacin matemtica entre las variables representadas. Por ello, conviene exponer el mtodo de ajuste de datos ms frecuente, el de mnimos cuadrados, y resumir las caractersticas que debe tener una buena grfica. Para acabar, es muy posible que a menudo encontremos datos en unas tablas y no se encuentre en ellas el valor exacto en el que estamos interesados; para tal fin, se exponen las reglas de interpolacin bsica en tablas de simple o doble entrada. Construccin de grficas La representacin grfica de los fenmenos fsicos que estudiemos deben ajustarse a 1as siguientes normas de uso general que clarifican y estandarizan los resultados. Se pueden enumerar como sigue: a) Las grficas se harn en papel milimetrado con los ejes bien trazados y en cuyos extremos se indique la magnitud representada en ellos y la unidad en que ha sido medida. El ttulo de la grfica ser claro y vendr indicado en la parte superior. b) La variable independiente del fenmeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en ordenadas. c) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura r pida y sencilla. Para ello se elegirn las escalas con intervalos de medida adecuados.27

d) Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y slo el citado intervalo. e) Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala de forma que queden uniformemente espaciadas. En general, no se sealan los valores correspondientes a las medidas realizadas. f) Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas y rodeado por el denominado rectngulo de error. Este tiene por base la longitud comprendida entre x i - x y xi + x y por altura se extiende desde yi - y hasta yi + y, siendo xi e yi las coordenadas del punto experimental. En el caso de que x o y sean despreciables en comparacin con la escala utilizada el rectngulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, segn el caso. g) Las lneas que aparezcan en las grficas representan la tendencia de los puntos experimentales y se obtienen por medio del mtodo de ajuste correspondiente; por ello, han de ser lneas finas continuas pero nunca quebradas y determinadas por los valores experimentales.Referencia: http://www.ual.es/~aposadas/TeoriaErrores.pdf

6. Principio de Mnimos Cuadrados Todos los procedimientos descritos en las secciones anteriores tienen luna caracterstica en comn: se basan en el discernimiento visual por parte del experimentador. As, aunque los procedimientos se utilicen muy comnmente y con provecho, son vulnerables a la crtica de que, aun cuando se apliquen con mucho esmero, no podemos estar bien seguros de la importancia cuantitativa de los resultados. Sera muy reconfortante que pudiramos emplear algn procedimiento matemtico para identificar la "mejor" lnea para un conjunto de puntos dado, porque entonces nos liberaramos de la inseguridad del juicio personal. Adems, podramos confiar en llegar a saber lo que queremos decir con la "mejor" lnea, y evaluar la precisin de tal eleccin. El procedimiento en cuestin se basa en el principio estadstico de los mnimos cuadrados. Consideraremos ste en su aplicacin restringida para escoger una lnea -recta que se ajuste a los valores medidos (una explicacin ms detallada sobre el principio en general, podr verse en el Apndice 2). Supongamos que tenemos un conjunto de N valores de una variable y, medidos como funcin de la variable x. Debemos restringirnos al caso especial de que toda la incertidumbre se limita a la dimensin y: esto es, los valores de x se conocen exactamente, o al menos, con una precisin tanto mayor que la de los valores de y, como para poder despreciar la incertidumbre en la dimensin x. Si .no se puede satisfacer esta condicin, el tratamiento sencillo que se explica a continuacin no ser vlido. El mtodo puede aplicarse para abarcar el caso de incertidumbre en ambas dimensiones, pero el procedimiento no es sencillo; el lector interesado en .ahondar al respecto encontrar una excelente exposicin en el libro de Wilson citado en la Bibliografa.

28

Figura 6-4 Ajuste de una lnea recta a un conjunto de puntos por el principio de mnimos cuadrados. La pregunta por contestar ahora con nuestro procedimiento matemtico es: cul de todas las lneas en el plano x - y escogemos como la mejor, y qu queremos decir con "la mejor"? El principio de mnimos cuadrados permite hacer est- eleccin con base en las desviaciones de los puntos en direccin vertical a partir de las lneas. Sea AB en la figura 6-4 una candidata a la categora de "mejor" lnea. Consideremos todos los intervalos verticales entre: los puntos y la lnea, de los cuales P2O2 es tpico. Definiremos como mejor lnea aquella que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones como P2O2. Ntese que no tenemos la oportunidad a considerar que un criterio inventado como ste proporcione algn camino automtico a las respuestas "verdaderas" o "correctas". Se trata, simplemente, de una opcin de criterio para optimizar la trayectoria de nuestra lnea entre los puntos. Hay que reconocer, empero, que si ofrece algunas ventajas sobre otras posibilidades, como minimizar la tercera potencia de los intervalos, o la primera, etc. Aunque no hace falta, en general, que nos ocupemos directamente de la justificacin lgica del principio de mnimos cuadrados tal como lo aplicamos, es interesante darse cuenta de cul es la base de su validez propuesta. Se puede probar que el procedimiento de minimizar los cuadrados de las desviaciones da lugar, en muestreos repetidos, a una menor varianza de los parmetros resultantes, como por ejemplo la pendiente, que al usar cualquier otro criterio. En consecuencia, tenemos derecho a confiar ms en los resultados obtenidos usando el principio de mnimos cuadrados, que en el caso de cualquier otro mtodo comparable; de aqu que el uso de este principio est muy difundido. Expresemos ahora el principio de mnimos cuadrados en forma matemtica. Definimos que la mejor lnea es aquella que lleva a su valor mnimo la suma

(P O )i i

2

y deseamos obtener los parmetros, pendiente m y ordenada al origen b, de esa mejor lnea. Sea la ecuacin de la mejor lnea: y = mx + b La magnitud de la desviacin piQi es el intervalo entre un cierto valor medido Yi y29

el valor de y en ese punto, para el valor de x. Este valor y se puede calcular a partir del valor correspondiente de x como mxi + b, de modo que, si le llamamos yi a cada diferencia, tenemos:

yi = yi - (mxi + b)

(6-1)

El criterio de mnimos cuadrados nos permite obtener los valores deseados de m y b, a partir de la condicin

[y (mxi

i

+ b )] = mnimo2

Y escribimos:

[y (mxi

i

+ b )] = M2

Luego, la condicin para que sea un mnimo es M =0 m que: M =0 b (6-2)

Se tienen pues dos ecuaciones con dos incgnitas, a y b; resolviendo se obtiene

2( yi mxi b ) ( xi ) = 02 i =1

N

2( yi =1

N

i

mxi b ) ( 1) = 02

Un breve ejercicio algebraico nos permite entonces obtener los valores de la pendiente y la ordenada al origen de la mejor lnea, que son: m= N ( xi yi ) xi yi N xi2 ( xi ) 22 i i i i i 2 i 2

(6-3)

x y x (x y ) b= N x ( x )i 2 ( yi mxi b ) i =1 N

(6-4)

De estas expresiones es posible encontrar el valor del error en cada parmetro: N 2 ( yi mxi b ) 2 x i =1 1 + b = N N (N 2) 2 (xi x ) i =1

m =

(N 2) (xi x )2i =1

N

Estos pueden utilizarse en combinacin con los valores de m y b para indicar intervalos con el significado normal, es decir que los intervalos de una desviacin estndar nos dan una probabilidad del 68% de encerrar el valor central del universo en cuestin, dos desviaciones estndar 95%, etc. Una ventaja muy importante del mtodo de mnimos cuadrados es que nos proporciona valores estadsticamente significativos de las incertidumbres en la pendiente y la ordenada al origen, que se derivan objetivamente de la dispersin real en los mismos puntos, sin perjuicio de cualquier afirmacin optimista que queramos hacer sobre las incertidumbre de los valores medidos.

30

Con esto, hemos logrado reemplazar el uso a veces cuestionable del juicio personal, por un procedimiento matemtico, queda resultados de importancia bien precisada y aceptabilidad universal. Adems, como el nuevo mtodo tiene cierta significacin estadstica, cabe esperar una forma ms precisa para el clculo de incertidumbre. De hecho, el principio de mnimos cuadrados nos permite obtener inmediatamente valores de la desviacin estndar de la pendiente y la ordenada al origen, lo que nos da incertidumbres de significacin estadstica conocida. Adems de los valores de pendiente y ordenada en el origen sera interesante obtener algn factor que cuantificara la bondad del ajuste; esto permitira comparar los resultados de diferentes ajustes; este factor se denomina coeficiente de correlacin lineal "r". La expresin de r es: N xi y i xi y ii =1 N N N

r=

N 2 N N x x i =1 i i =1 i

2

N 2 N 2 N y y i =1 i i =1 i

i =1

i =1

Puede probarse que el valor de r est acotado en valor absoluto entre 0 y 1, siendo tanto mejor el ajuste cuanto ms cercano a la unidad sea r. Como ejemplo de aplicacin del mtodo de mnimos cuadrados supongamos un experimento en el que se mide el alargamiento de un resorte debido a la accin de una pesa; se trata de comprobar la ley de Hooke. Los datos que se han obtenido son mostrados en la segunda y tercera columna: Medida nmero i1 2 3 4 5

x li42.0 48.4 51.3 56.3 58.6

y mi2 4 6 8 10

li21764 2342.56 2631.69 3169.69 3433.96

mi li84 194 308 450 586

N=5

l

i

= 256.6

m

i

= 30

m

2 i

= 13341.9

m l

i i

= 1622

de donde ahora, fcilmente, obtenemos que:

m=

mi l i N mi l ii =1 i =1 i =1 N

N

N

N

mi N mi2 i =1 i =1 N

2

= 0.47463

b=

mi mi li li mi2i =1 i =1 i =1 i =1

N

N

N

N

mi N mi2 i =1 i =1 N N

2

= 18.3579

Adems se tiene que m = 0.04 y b = 2 y r = 0.9876. As pues, concluimos: m = 0.47 0.0431

b=-18 2

Finalmente, con los valores de m y b puede realizarse una representacin grfica; en efecto, basta tomar dos puntos cualesquiera que pertenezcan a la recta para poder dibujarla. El aspecto de la grfica sera, por tanto, como el de la figura. Hay que observar que la desviacin de los datos corresponde al valor obtenido de r.

Ajuste por Mnimos Cuadrados de Funciones no Lineales Los procedimientos empleados; en fa seccin 6-7 para determinar la pendiente y la ordenada al origen de la mejor lnea recta pueden, desde luego, aplicarse, al menos en principio, a funciones no lineales. Podemos expresar una ecuacin anloga a la ecuacin (6-1) para cualquier funcin, y todava aplicar un requisito semejante a la ecuacin (6-2) para expresar la obtencin del mnimo de la cantidad M con respecto a los parmetros del modelo que escogimos. Si las ecuaciones que resultan para los parmetros son fciles .de resolver, podemos proceder a calcular sus valores tal como lo hicimos para las lneas rectas. Con frecuencia, sin embargo, no es fcil: resolver las ecuaciones. En tales casos desistimos de obtener una solucin analtica del problema, y nos atenemos a la computadora para que nos proporcione soluciones aproximadas con base en tcnicas iterativas. Construimos una funcin de prueba, calculamos la suma de las diferencias al cuadrado, y luego variamos la funcin elegida hasta que se encuentre un mnimo para esa suma. La exposicin de estos mtodos basados en computadora puede verse en el texto de Draper y Smith que se cita en la Bibliografa. Con todo, si puede hallarse un mtodo para probar un modelo en forma lineal, la solucin, en efecto, ser ms sencilla. Advirtase bien que, en todos los casos, es responsabilidad del experimentador escoger el tipo de funcin que ha de emplearse; todo lo que el mtodo de mnimos cuadrados puede hacer es proporcionamos, para la funcin escogida, los valores de los parmetros que mejor se ajustan a las observaciones. Precauciones con el Ajuste de Mnimos Cuadrados Los procedimientos matemticos para el ajuste de mnimos cuadrados son completamente imparciales. Al emplear las ecuaciones (6-3) y (6-4) para ajuste lineal, stas harn pasar una lnea recta por cualquier conjunto de puntos, haciendo caso omiso por completo de si una funcin rectilnea es la adecuada. Si, por ejemplo, nuestro experimento nos ha dado un conjunto de observaciones (figura 6-5), que muestra sin lugar a dudas la falla de un modelo lineal, y si, sin mayor cuidado, empleamos el procedimiento de mnimos cuadrados con todo el conjunto de observaciones, obtendremos los parmetros de una lnea, AB que no tiene significacin alguna, ya sea32

para el modelo o para el sistema. Es preciso, pues, poner atencin para evitar el uso irreflexivo del mtodo de mnimos cuadrados. Esta advertencia es tanto ms importante en una poca en la que, como sabemos, todos podemos cargar en el bolsillo maquinitas que nos pueden dar, tocando apenas unas cuantas teclas, los parmetros de mnimos cuadrados para cualquier conjunto de nmeros que queramos insertar. Conviene recordar que, si estamos comparando lneas rectas con nuestro conjunto de mediciones, es porque nosotros mismos resolvimos que era sensato hacerlo. No debemos, por tanto, considerar siquiera el uso de un procedimiento de mnimos cuadrados, en tanto no hayamos representado las observaciones en una grfica y estemos satisfechos, por la inspeccin visual y nuestro juicio personal, de que el ajuste de una recta es adecuado. Adems, quiz sea necesario decidir que algunas de las de las observaciones quedan fuera del alcance del modelo, y que no son apropiadas para incluirlas en la eleccin de la mejor lnea recta. Slo una vez que hayamos considerado cuidadosamente la situacin en la grfica, y que nos hayamos asegurado de que el ajuste de una recta es adecuado en todo o en parte del alcance de las observaciones, estaremos justificados para iniciar el procedimiento de mnimos cuadrados. No hacer caso de esta advertencia puede dar lugar a errores muy graves en la interpretacin del experimento.B

+ + + + +

+

+

+

+ + + +

A

Ref. D. C. Baird, Experimentacin, (Una introduccin a la Teora de Mediciones y al Diseo de Experimentos), 2 edicin 1991, Prentice Hall

33

7. Informe de TrabajoAdrin Corona Cruz

Cierro dos o tres libros de materia cientfica. Y me tuerce los labios honda impresin de repugnancia. ! Dios mo, cmo estn redactados estos libros! !Qu expresiones ms pedestres, qu confusin qu lxicos, qu sintaxis! !Qu barbarie en todo y qu ausencia de buen gusto!. Por excepcin hallamos en una pgina algunas frases bien construidas. Y si en un captulo damos con una pgina elegante y clara, es por azar. Eugenio d'Ors (Xenius) Ensayista espaol (Glosas, 1915). a. Introduccin Aunque existen numerosos libros y artculos donde podemos encontrar consejos prcticos y seguros sobre cmo escribir un informe, conviene ofrecer un breve resumen que puede ser utilizado cmo ltima consulta por quienes se hallan con la necesidad de elaborar un reporte trabajo. Para la redaccin de un informe tcnico o cientfico se requiere, por lo menos, de un previo conocimiento de las tcnicas bsicas de la elaboracin de trabajos de este tipo. Por medio de estos conocimientos, se podr desarrollar, la capacidad de anlisis e introduccin, a la vez que se desenvolver la habilidad para redactar documentos de carcter profesional, (cmo informes de trabajo, artculos, tesis, etc.), con precisin, concisin, orden y claridad. Adems en la elaboracin de este tipo de documentos se puede aprender a observar con atencin, a depurar, recoger ordenar informacin, aplicar las nociones tericas adquiridas e interpretar sistemticamente los hechos de la realidad. El saber redactar es al parecer un paso importante en el adiestramiento de la metodologa de la investigacin; quien emprende una disciplina cientfica y/o acadmica, debe dominar sta tcnica. Debido a que en estas se deben presentar los hechos en perspectiva o ponderar minuciosamente varios argumentos. Podemos definir, al informe, como el documento en el cual se presenta en forma descriptiva, la relacin de una serie de hechos, con el fin de transmitir informacin, como resultados, ideas, conclusiones y en ocasiones recomendaciones. En el trabajo de laboratorio, despus de haberse diseado un experimento cuyo objetivo es verificar un principio, una hiptesis, o un proceso; el informe consistir esencialmente de una descripcin de los fenmenos observados y la interpretacin de ellos, en trminos del conocimiento terico con que cuenta el experimentador. Sin perder de vista que el objetivo principal del informe, consiste en una presentacin completa, sistemtica, objetiva e imparcial y, a la vez, suficientemente abreviada y clara de todos los resultados obtenidos.

34

En este trabajo se trata de proporcionar una lectura indispensable para quin intenta realizar un informe sin los conocimientos mnimos necesarios que se requieren para redactar, y sabiendo que hay poco publicado sobre cmo escribir mal, la primera parte est formada de recomendaciones de este tipo. Para cumplir con el propsito de identificar los aspectos implicados en el informe, se ofrece en la segunda parte, recomendaciones generales de estilo, tiempo y puntuacin. En la ltima seccin se brinda una descripcin de los contenidos comunes al rea de las Ciencias Naturales. b. Bases para una Mala Redaccin Las malas redacciones son tan comunes que cualquier persona instruida debera saber algo acerca de ellas. Muchas personas redactan pobremente, sin saber cmo logran tales resultados. El estudiante promedio encuentra sorprendentemente fcil aprender los trucos esenciales de una mala redaccin, pero para hacerlas congruentes, recordaremos algunos de los principios esenciales. b. 2.1.- Olvidar al Lector Todo escrito empieza con la interaccin, de dos grupos: Usted y los otros. Un poco de oscuridad o tortuosidad al redactar mantendr a los otros a distancia segura; si se acercan pueden ver demasiado. Redacte cmo si escribiera un diario personal, mantenga su mente concentrada en el tema sin pensar en el lector. Usted, el tema y el lector forman un mal tringulo que se debe evitar; tomar en consideracin la probable reaccin del lector es una seria amenaza a la mala redaccin; an ms, requiere de considerable esfuerzo mental. Un argumento lgico es que si Usted escribe suficientemente mal, tendr tan pocos lectores que no merecern esfuerzo alguno. Ya que una buena oracin empieza con el sujeto o con una frase especialmente significativa. El juego del antecedente oculto es un truco comn de la mala redaccin; use un pronombre para referirse a un nombre lejano; el pronombre deber referirse a algo no expresado directamente. Si el ttulo de un informe, por ejemplo, significa algo para usted, suspenda ah el escrito; no lo piense ms; porque si el ttulo desconcierta o desorienta al lector, usted ha ganado el primer asalto. en igual forma, el resto del informe debe escribirlo para usted mismo, no para el lector. Por ejemplo, en un reporte tcnico omita unos cuantos detalles, sobre todo aquellos que la mayor parte de los lectores necesitan saber. Puesto que usted tuvo que describir estas cosas por el camino difcil. ! Porque hacerlas fciles para el lector !. Evite definir los smbolos. Nunca especifique las unidades de los datos que presenta, y por supuesto, ser cuestin de amor propio el dar los valores numricos de las constantes en las frmulas. Con estas omisiones algunos escritos resultarn demasiado cortos, pero puede alargarlos explicando cosas que no necesitan explicacin como; al describir tablas, preste especial atencin a los encabezados que se explican por s mismos. En relacin al estilo, reporte todos los hechos e ideas en un mismo nivel, dndoles el mismo nfasis sin indicaciones sobre la importancia y sin intentar una secuencia lgica. Use frases que contengan m