Investigacin de operaciones213. Quin desarroll el mtodo smplex?a) Thomas Edison.b) Jorge Dantzig.c) B. Pascal.d) Von Neuman.4. Qu importancia tuvieron las computadoras en el desarrollo de la I. O.?a) Poder imprimir las soluciones.b) Presentar en pantalla el resultado.c) Realizar cientos de operaciones por segundo.d) Mandar los resultados por Internet.5. Quines conforman la actividad gerencial de una empresa?a) Grupos interdisciplinarios.b) Los ingenieros.c) Las administradores.d) Los dueos.1.2. La investigacin de operaciones como mtodo para la toma de decisionesActualmente las empresas tienen que resolver dos tipos de problemas bsicos: Problemas administrativos. Se toman decisiones sobre las polticas aseguir,esdecir,decisionesqueafectanalaempresaalargo plazo. Por ejemplo, conviene a la empresa cambiar su sistema de administracin? Qu beneficios obtiene la empresa si cambia su estrategia de mercadotecnia? Para analizar este tipo de problemas existelaadministracindeoperaciones.Estadisciplinaesla encargada de analizar la toma de decisiones desde el punto de vista administrativo.Unidad 122 Problemasoperacionales.Setomandecisionesqueafectanala empresa a corto plazo y tienen mayor impacto en su parte operativa. ste es el tipo de problemas que tienen que resolver los ingenieros. Por ejemplo, cul mtodo de produccin maximiza las ganancias?, cmo disminuireltiempodeproduccin?,culeslaproduccinptima deestasemana?,cuntamateriaprimasolicitarparaunperiodo determinado? Generalmenteestasdecisionessoncomplejasyrepresentanunagran cantidaddedinero,porloqueelingenierodebecontarconuna herramienta que le permita cuantificar las relaciones existentes entre las distintas variables del problema.La I. O. proporciona esta herramienta para la toma de decisiones, ya que podemos construir modelos matemticos que nos indiquen la mejor alternativa desde un punto de vista cuantitativo.En resumen, la toma de decisiones por parte del ingeniero: es un proceso donde el ingeniero que enfrenta un problema, busca, entre una variedad de caminos posibles, el mejor, teniendo siempre presente maximizar los recursos de la empresa.Losmiembrosdelagerenciaenfrentantodoslosdasproblemasde asignacin de recursos, mismos que surgen a partir de que: Las empresas cuentan con recursos limitados.Ejemplo. En una fbrica de muebles, una de sus materias primas es la madera, un recurso limitado y del cual depende la produccin. Existen varias formas de fabricar un producto.Ejemplo. Una empresa tiene una mquina para soldar componentes elctricos en un circuito, sin embargo, esta operacin la pueden hacer los trabajadores. El problema es determinar cul de las dos opciones de produccin resulta ms econmica. Surgen nuevas tecnologas que permiten modificar el mtodo de produccin.Ejemplo.Unhospitalcuentaconunamquinapararevelar radiografas capaz de revelar hasta 25 radiografas por hora. Al Investigacin de operaciones23hospital llega la propaganda sobre una nueva mquina reveladora, la cual tiene la capacidad de revelar hasta 45 radiografas por hora. Debemos decidir si conviene al hospital adquirir la nueva mquina. Los gobiernos dictan leyes ecolgicas ms restrictivas.Ejemplo. La termoelctrica Valle de Mxico utilizaba petrleo para sus calderas, pero debido a los altos ndices de contaminacin del valle de Mxico, se le prohibi utilizar este combustible. Por lo cual se busc entre otros combustibles la mejor opcin. Entraalmercadounnuevoproductocompetidordirectodel nuestro.Ejemplo.Unacompaatelefnicanosehabapreocupado pormejorarsuslneasdetransmisindebidoaquenotena competencia;sinembargo,alllegarstatuvoquebuscarla maneradetenerunamejorcalidaddetransmisinsinelevar costos.Entre muchas otras.Ante todo la gerencia de una empresa debe saber decidir cul es la mejor alternativa de solucin de los problemas que se presentan. Para hacerlo, necesita definir el problema tomando en cuenta todos los factores que intervienen en l, reconociendo las restricciones y evaluando cada una de las alternativas para encontrar aquella que optimice sus recursos.Ejemplo 1Verten de Mxico desea aumentar recursos de sistemas computacionales para el departamento de contabilidad. En la actualidad cuenta con ocho computadoras PC Pentium a 233 Mhz, con 64 MB en RAM y discos duros de 1.2 GB. El ingeniero en sistemas debe tomar una decisin sobre cul de las siguientes opciones es la que ms conviene:a) Aumentar la memoria de 64 a 128 MB, colocar discos duros de 9.7 GB, cambiar de microprocesador a uno con velocidad de 600 Mhz.Unidad 124b) Comprar 8 mquinas nuevas Pentium III, con 128 MB en RAM, discos duros de 16 GB y con una velocidad de 1 200 Mhz.c) Comprar un servidor y conectar las computadoras en red.Parahacerlodebeevaluarlastresopciones,tomandoencuenta elobjetivoquesepersigue:aumentarrecursosdecomputodel departamento.Loquesedebeevaluareselcosto-beneficioque representa cada alternativa presentada. Con esto el ingeniero debe ser capaz de construir un modelo matemtico que le permita cuantificar cada una de las opciones para poder elegir la mejor de ellas. Ejemplo 2Unafbricademedicamentosproducedostiposdepastillas,un analgsico y un antihistamnico. La fbrica opera 48 horas a la semana y emplea a ocho trabajadores de tiempo completo y cuatro de tiempo parcialquegeneran300horasdetrabajoenelreadeproduccin. Despusdelprocesodeproduccin,lasmedicinastienenqueser empaquetadas, en este departamento trabajan seis personas de tiempo completo y dos de tiempo parcial que en total producen 250 horas.Parafabricar1000pastillasdeltipoanalgsicoserequierentres horasdefuerzadetrabajoeneldepartamentodeproduccinyuna en empaquetado; para producir 1 000 pastillas del tipo antihistamnico serequierendoshorasdefuerzadetrabajoeneldepartamentode produccin y 1.5 horas en empaquetado.No se tienen problemas con la materia prima y se pueden vender hasta 10 000 pastillas de analgsicos y 12 000 de antihistamnicos. Se sabe que cada uno de los analgsicos deja una ganancia de $ 0.23 por pastilla, mientras que los antihistamnicos $ 0.13. Cul es la combinacin de pastillas que optimiza la ganancia de la empresa?Investigacin de operaciones25Ejercicio 21. Relaciona las siguientes columnas.a) Resuelve problemas() Administracin de operaciones.de tipo operacional.b) Toma de decisiones.() La I. O. c) Resuelve problemas() El ingeniero.de tipo administrativo.d) Optimiza los recursos () La principal tarea de la gerencia. limitados de la empresa.e) Tomar en cuenta todos los factores que intervienen () Para resolver un problema, la gerencia en un problema.debe... 2. Describe el proceso de toma de decisiones del ingeniero.__________________________________________________________________________________________________________________________________________.1.3. Definiciones de la investigacin de operacionesA continuacin presentamos algunas de las definiciones clsicas de la I. O., segn el rea de aplicacin.La definicin dada por Morse y Kimball, autores de un libro de I. O., es la siguiente:Lainvestigacindeoperacionesesunmtodocientficoparadara los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones relacionadas con las operaciones que estn bajo su control. *Thierauf y Grosse nos dan la siguiente definicin: *Morse, P.M. y G.E. Kimball, Methods of Operations Research, Nueva York: J ohn Wiley & Sons.Unidad 126LaI.O.utilizaelenfoqueplaneado(mtodocientfico)yungrupo interdisciplinarioafinderepresentarlascomplicadasrelaciones funcionales de un sistema para suministrar una base cuantitativa para latomadedecisionesydescubrirnuevosproblemasparasuanlisis cuantitativo. *Estas definiciones reflejan la idea que se tena de la I. O. en sus orgenes.Posteriormente,laI.O.seaplicencampostandiversoscomola economa, la psicologa o la medicina. En matemticas es un rea de investigacin que ha dado resultados en el campo del anlisis numrico.Para tener un panorama general de las aplicaciones que tiene hoy en da la I. O., presentamos tres definiciones contemporneas, la primera, tomada de un libro con un enfoque matemtico, la segunda, de un libro con enfoque administrativo y la ltima con un enfoque de ingeniera: LaI.O.eslaherramientaquenospermiteoptimizarunproblema complejo de decisin o ubicacin. **Esta definicin slo contempla la I. O. como una herramienta matemtica quepermiteresolverproblemasmatemticos(obtenerlosmximosy mnimos de una funcin sujeta o no a restricciones).La I. O. es la ciencia de la administracin; los administradores utilizan las matemticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la solucin de problemas. ***EstadefinicinsloconsideraquelaI.O.seutilizapararesolver problemas de administracin de recursos y limita su uso slo para los administradores.LaI.O.eselconjuntodetcnicasmatemticasycomputacionales queutilizaelingenieroparatomardecisiones,basadasenanlisis cuantitativos, para la solucin de problemas del tipo operacional.* Thierauf, R. J. y R.A. Grosse, Toma de decisiones por medio de investigacin de operaciones, Limusa, Mxico.** Luenberger, David E., Programacin lineal y no lineal, Addisson-Wesley.** Mathur, K. y D. Solow, Investigacin de operaciones, Prentice- Hall.Investigacin de operaciones27Esta ltima definicin deja claro el uso de la I. O. en ingeniera adems de incluir las dos ciencias en la que se apoya esta disciplina.La I. O. se auxilia de algunas otras reas de las matemticas, como: lgebra, lgebra lineal, geometra analtica y teora de grafos. La aportacin ms importante es del lgebra lineal, la cual proporciona la sustentacin terica sobresielproblematienesolucinnica,unainfinidaddesoluciones oningunasolucin.Porotroladolacomputacinesunaherramienta electrnicacapazdeefectuarmillonesdeoperacionesporsegundo, minimizando los errores de clculo cometidos por el ser humano, lo que hace posible que se tengan soluciones reales en tiempos razonables, ya que de otra manera nos tardaramos meses en resolver un problema de I. O. que tuviera ms de 10 variables.Alunircomputacinymatemticasdesarrollamosalgoritmosque permitenresolverproblemasdetomadedecisionesoperacionalesde unamanerarpidayconfiable.Actualmenteexistenvariospaquetes computacionales que nos permiten resolver problemas de: Asignacin de recursos. Redes de distribucin. Programacin lineal. Programacin no lineal. Inventarios. Lneas de espera. Redes.Algunos paquetes son: LINDO, TORA, STORM, QSB.1.4. Metodologa de la investigacin de operacionesLa metodologa de la I. O. est basada en el mtodo cientfico, que plantea como primer paso la observacin de un fenmeno real que necesitamos estudiar. En la I. O. se tiene un problema de tipo operativo para resolver en el cual se identifican las variables, adems de los datos que intervienen en el mismo.Unidad 128Comopropuestadehiptesisseplanteaelmodelomatemticoque identifica y define el problema, el especialista debe proponer soluciones y predecir sus consecuencias. Finalmente se deben verificar mediante experimentacin las hiptesis planteadas. EnlaI.O.utilizamostcnicasmatemticasparaobtenerunamejor solucin. Se verifica si puede ser aplicada ya sea por las limitaciones que la teora propone, o bien, por que la solucin matemtica no se pueda aplicar por ir en contra de las polticas de la empresa.Si tomamos como referencia el mtodo cientfico, la metodologa de la I. O. consiste de los siguientes pasos:1. Formulacin del modelo matemtico.2. Solucin del modelo matemtico.3. Aplicacin del modelo como solucin del problema original.1.4.1. Formulacin del modelo matemticoSepretendequeelingenieroidentifique,comprendaydescribade unamaneraclaraycuantitativaelproblemaoperativoqueenfrenta laempresa,paraquedeestamanerapuedaconstruirunmodelo matemtico. Para hacer lo anterior debemos dividir las variables del problema en dos tipos: Variablescontrolables.Sonvariablesquesepuedencontrolaro medir y es necesario determinar su valor para resolver el problema operativo. Variables no controlables. Son variables que no se pueden controlar ni medir, debido a que su comportamiento es del tipo aleatorio o porque no est en nuestras manos modificarlas. Estas variables no se incluyen en los modelos matemticos de la I. O.Investigacin de operaciones29Ejemplos de variables controlables son:1.Enlaaseguradoranospuedendecirqueelmontomximodela prima aseguradora es de $ 120 000.00 y que no podemos asegurar a ms de 200 000 personas.2.Nosinformanquecomomnimodebemosproducir1000000de tornillos al da, de los cuales slo 0.01% pueden ser defectuosos. 3. El costo por energa elctrica es de $ 1.00 el kilowatt hora y nuestras mquinas consumen 2 watts por hora.Necesitamosdefinirlasvariablescontrolablesylosdatosqueson importantesenelproceso,paraqueconestainformacinpodamos construir un modelo matemtico que represente las relaciones entre las variables y los datos. Ejemplo 3La empresa Patito produce dos tipos de detergente, uno para ropa blanca y otro para ropa de color. El detergente de ropa blanca deja una ganancia de $ 2.00 por litro vendido, mientras que el de ropa de color deja una ganancia de $ 3.00. La empresa slo puede producir 10 litros del de color y15delderopablancaalda.Losvendedorespuedenvendercomo mximo 15 litros de detergente al da sin importar de cul se trate. Cul es la combinacin que maximiza las ganancias de la empresa? Primero hay que identificar las variables.Variables controlables. Sea x la cantidad en litros producida del detergente para ropa blanca. Sea y la cantidad en litros producida del detergente para ropa de color. Ahora escribimos los datos:La ganancia por litro vendido del detergente para ropa blanca $ 2.00.La ganancia por litro vendido del detergente para ropa de color $ 3.00.Unidad 130La cantidad total de litros que puede producir la empresa es 10 litros de ropa de color y 15 de ropa blanca.La cantidad de litros de detergente que se pueden vender al da son 15 litros.Las relaciones entre las variables y los datos son:Queremos cuantificar la ganancia que obtenemos al vender los detergentes. Sabemosqueporcadalitrovendidodeldetergentepararopablanca ganamos $ 2.00, por lo tanto, si vendemos x litros la ganancia por este detergenteesde2x;porcadalitrodedetergentepararopadecolor tenemos una ganancia de $ 3.00, por lo cual, si vendemos y litros de este detergente la ganancia es de 3y. La utilidad total queda determinada por la funcin:f x y x y ( , ) 2 3El objetivo es maximizarla, esto es, encontrar los valores de x y y que hacen que f(x, y) tenga el mximo valor posible. Esto se lograra dando alasvariablesvalorescadavezmsgrandes,sinembargo,estono es posible debido a que nuestro problema tiene limitantes sobre estas variables, por ejemplo, sabemos que la empresa puede producir como mximo10litrosdeldetergentepararopadecolory15delderopa blanca; esto lo podemos representar matemticamente como:yx1015Adems, slo se pueden comercializar 15 litros de detergente al da sin importar de cul se trate, matemticamente se expresa de la siguiente manera:x y 15Por ltimo, sabemos que x y y no pueden ser negativas (no podemos producir una cantidad negativa de detergente), con lo cual obtenemos el siguiente modelo matemtico:Investigacin de operaciones31Maximizarf x y x y ( , ) 2 3sujeto axyx yx y 1510150 , En el ejemplo anterior, el modelo que se obtuvo es de tipo programacin lineal,elcualestformadoporunafuncinobjetivoyunaseriede desigualdadesoigualdadesquetienenlacaractersticadelimitarel valor de las variables controlables.Ejercicio 31. Son las variables del problema que puedo medir.a) Variables no controlables.b) Variables controlables.c) Datos.d) Funcin objetivo.2. Son las variables de tipo aleatorio o que no podemos modificar.a) Variables no controlables.b) Variables controlables.c) Datos.d) Objetivos.3.Cantidadesrelacionadasconnuestroprocesoquenocambiande valor.a) Variables no controlables.b) Variables controlables.c) Funciones.d) Datos.Unidad 1324. Es el nmero de pasos de la metodologa de la I. O. a) 5b) 2c) 3d) 15. El modelo matemtico representa las relaciones entre:a) Las variables controlables y los datos.b) Las variables y los datos.c) Las variables controlables y las variables no controlables.d) Los distintos departamentos de una empresa.1.4.2. Solucin del modelo matemticoLa solucin del problema depende del tipo de modelo que se obtuvo: lineal o no lineal. Sielmodeloeslinealseutilizacomomtododesolucin:el mtodo grfico o el mtodo smplex. Siesunmodelonolinealsinrestriccionespodemosutilizar mtodos de mximo descenso o mtodos de direccin conjugada. Si el modelo es no lineal con restricciones utilizamos mtodos de multiplicadores de Lagrange o mtodos de penalizacin. En este libro estudiaremos modelos de programacin lineal que, como ya mencionamos, se resuelven utilizando: mtodo grfico o bien mtodo smplex.Estemtodoseajustaaproblemasparticulares,comopor ejemplo:problemasdedietas,problemasdeseleccindepersonal, problemas de transporte, problemas de asignacin, problemas de fabricar o comprar. Existe otro tipo de modelos, que incluyen en su formulacin a la teora de probabilidades, estos modelos estn relacionados con la solucin de problemas de redes y del tipo de lneas de espera. En las unidades siguientes estudiaremos cada uno.ComolagranmayoradelosproblemasenI.O.involucraunagran cantidaddeoperaciones,lasolucindelosmodelossellevaacabo mediante el uso de programas de computadora. Investigacin de operaciones33Resolveremos el modelo que se construy en el ejemplo 3.Ejemplo 3 (continuacin 1)El modelo que obtuvimos es:Maximizarf x y x y ( , ) 2 3sujeto axyx yx y 1510150 , Utilizandoelmtodogrfico(Unidad4)seencuentralasiguiente solucin ptima.x =5,y =10Este resultado se interpreta as: debemos producir 5 litros de detergente de ropa blanca y 10 litros de detergente de ropa de color. La ganancia por esta combinacin es de 40 pesos.1.4.3. Validacin, instrumentacin y control de la solucin ptimaUna vez que se obtiene la solucin ptima del modelo matemtico que representa al problema operacional, debemos validarla. Si la solucin no es vlida debemos replantear nuestro modelo. En caso de que la solucin ptima sea aplicable se instrumenta en la planta, pero debemos llevar un control de la misma. A continuacin explicamos a detalle cada una de estas etapas.Unidad 134a) Validacin de la solucin ptimaEn ocasiones las soluciones matemticas no pueden ser aplicadas a la realidad. Tomemos como ejemplo un problema de fsica: se busca determinarel tiempo que tarda en caer un baln desde una altura h.La solucin de este problema involucra una raz cuadrada, la cual hace que algunas veces se obtengan soluciones negativas, pero sabemos que no existen tiempos negativos, por lo tanto, la solucin negativa es desechada por no ser factible de aplicar. Otro problema es que al modelar la cada libre se supone que la friccin del aire es despreciable, lo cual no siempre es vlido; esto se hace con la finalidad de obtener un modelo simple.En la I. O. pasa lo mismo, puede ser que la solucin matemtica no se pueda aplicar debido a polticas de la empresa, del gobierno o de la competencia, lo cual hace que se requiera buscar alternativas, o que la solucin obtenida no sea factible de aplicarse en la realidad, porque propone dejar de producir algn producto o desechar maquinaria. Por lo tanto, una vez que obtenemos la solucin del modelo surge la siguiente pregunta: La solucin ptima es factible de aplicar?Silarespuestaesafirmativaseimplementacomosolucin,encaso contrario se reformula el problema.b) Modificacin del modeloSi la solucin ptima del modelo matemtico no es factible de aplicar, se debe replantear el modelo, desechando o incorporando nuevos datos del problema. Se hace hincapi en que difcilmente se pueden obtener modelos que representen la realidad 100%, generalmente se sacrifican algunasvariablesparaqueelmodelotengasolucin,perotampoco sedebendejaraunladolasvariablesquesonsignificativasenel problema.Investigacin de operaciones35c) Instrumentacin de la solucin ptimaSilasolucinptimaesaplicable,seprocedeainstrumentarlaenla planta, esto es, las variables controlables deben tomar el valor que se obtuvo en la solucin.d) Control de la solucin ptimaUna vez validada e instrumentada la solucin del modelo, debemos tener un control sobre la misma, ya que con el tiempo pueden cambiar algunos datos y se requiere saber si la solucin sigue siendo vlida o se debe replantear el modelo para nuevos valores.Ejemplo 3 (continuacin 2)En el caso de la fbrica de detergente se obtuvo que la solucin ptima es:x =5 y y =10, esto es, producir 5 litros de detergente para ropa blanca y 10 litros de detergente para ropa de color da una ganancia de $ 40.00. Observamos que esta combinacin es factible, ya que cumple con todas las restricciones de nuestro problema:x es menor a 15 litros.y es igual a 10 litros.La suma de x +y es igual a 15.Tanto x como y son positivas.Pero, qu pasa si la empresa adquiere una mquina con la que puede producirhasta12litrosdedetergentepararopadecolor?Eneste caso debemos replantear nuestro modelo, el cual queda de la siguiente forma:Maximizarf x y x y ( , ) 2 3sujeto aUnidad 136xyx yx y 1512150 , Que tiene por solucin:x =3, y =12Esta nueva solucin se interpreta como: debemosproducir3litrosde detergente para ropa blanca y 12 litros de detergente para ropa de color, locualnosdautilidadde$42.00alda,loquemejoralaganancia respecto a la solucin original.Ejercicio 41. El mtodo para resolver problemas lineales es:a) Multiplicadores de Lagrange.b) Mtodo smplex.c) Mtodo de gradiente conjugado.d) Mtodo de mximo descenso.2. Debido a la gran cantidad de operaciones que involucra la solucin de un problema de I. O. stos se tienen que resolver:a) Usando logaritmos.b) En computadoras.c) Por matemticos.d) Analticamente.3. Una vez que se tiene la solucin ptima del problema de I. O. Entonces debemos:a) J ustificar.b) Implementar.c) Modificar.d) Validar.Investigacin de operaciones374. Si la solucin ptima es aplicable, entonces debemos:a) Validar.b) Instrumentar.c) Modificar.d) J ustificar.5. Ya que la solucin ptima se instrument, entonces debemos:a) Validarla.b) Modificarla.c) Controlarla.d) Imprimirla.6. Qu quiere decir instrumentar la solucin ptima?______________________________________________________________________________________________________________________________________.7. Por qu se debe validar la solucin ptima?______________________________________________________________________________________________________________________________________.8. Si la solucin ptima no es aplicable, qu debemos hacer?______________________________________________________________________________________________________________________________________.1.5. Usos y ventajas de los modelos de investigacin de operacionesLa I. O. ayuda al administrador y al ingeniero en la toma de decisiones, las cuales pueden ser estratgicas u operacionales. Las decisiones operacionales, a diferencia de las estratgicas, se usan repetidamente. Por lo tanto, debemos buscar la manera de ahorrar tiempo y esfuerzo en su formulacin y en los algoritmos para su solucin.Los problemas que se pueden resolver utilizando la I. O. son tan diversos como las tcnicas utilizadas. A continuacin damos un panorama general de los modelos mencionando sus aplicaciones y ventajas.Unidad 138Modelo de programacin linealSecaracterizaporserunmodelodeterminstico,conunafuncin objetivo y una serie de restricciones lineales. Se usa al resolver problemas como: Toma de decisiones en los negocios. Transporte. Asignacin de recursos. Dietas. Produccin.Laprincipalventajaesquesecuentaconelmtodosmplexpara resolverlos,yquesiempreesposiblesabersielproblematieneono solucin, adems de poder realizar un anlisis del tipo qu pasa si se modifica el valor de un dato?Modelo de programacin enteraUninconvenientedelaprogramacinlinealesquepuedeserquela solucinptimanoseaunnmeroentero,porlotanto,nosepuede aplicar. Por ejemplo, si necesitamos saber cuntos obreros contratar y la solucin es 12.3, no es posible aplicarla. Por lo tanto, los problemas en que se necesita que la solucin sea entera se resuelven con una variacin delaprogramacinlineal,lacualrecibeelnombredeprogramacin entera. Los problemas que podemos resolver con este tipo de modelo son: Problemas de costo fijo. Problemas de transporte. Problemas de asignacin de recursos.Los inconvenientes de la programacin entera son que, al aumentar una variable, el nmero de soluciones posibles se duplica, esto es, se tiene un crecimiento exponencial, adems de que al quitar algunas de lassoluciones(lasnoenteras)delproblemaoriginal,yanosepuede garantizar la existencia de la solucin ptima. Por lo tanto, elmtodo smplex no funciona en general al resolver problemas de programacin entera. En su lugar se ocupan algoritmos como:Investigacin de operaciones39 Tcnica de ramificacin y acotamiento. Mtodo de planos cortantes.Programacin no linealCuando la funcin objetivo o las restricciones son no lineales, tenemos un problema de programacin no lineal. Este tipo de modelos se obtienen cuando las relaciones entre las variables y los datos no son lineales, por ejemplo: Problemas de mezcla de productos con elasticidad en los precios. Problema de transporte con descuentos por volumen en los precios del embarque. Seleccin de una cartera de inversiones riesgosas.Algunos de los mtodos para resolver este tipo de problemas son: Mtodo grfico. Mtodo de mximo descenso. Mtodo de multiplicadores de Lagrange. Mtodo de gradiente conjugado.Elinconvenientedeestetipodemodelosesquesusolucinesms complicada y su ejecucin en la computadora es ms difcil y costosa (por el nmero de operaciones-mquina).Modelo de redesEste es un tipo especial de problemas que se pueden resolver utilizando programacin lineal o programacin entera, sin embargo, la forma de obtener el modelo es distinta, ya que generalmente se utilizan grafos* para poder representar de una manera ms sencilla el problema. Algunas de sus aplicaciones son: Problema de la ruta ms corta. Problema de flujo mximo. Problema de flujo de costo mnimo.* Conjunto de vrtices unidos por arcos o aristas. Unidad 140El uso de grafos para plantear los problemas de redes vino acompaado de la teora de grafos, la cual permiti el desarrollo de dos tcnicas para la solucin de este tipo de problemas: PERT (tcnica de evaluacin y revisin de programas). CPM (mtodo de la ruta crtica).Modelos de lneas de esperaCuando la demanda de un servicio es mayor a su oferta, tenemos un problema de lneas de espera o colas, por ejemplo, si es ms rpido el ensamblado de los automviles que pintarlos, entonces los automviles tendrn que esperar a que se desocupe la mquina que aplica la pintura. Este tipo de problemas necesita de la teora de probabilidades para poder ser formulado. Algunos de los mtodos desarrollados para su solucin son: Modelos con distribucin de Poisson. Modelos con distribucin exponencial. Modelos de un canal. Modelos multicanales.Un ejemplo de este tipo de problemas es el siguiente:Enunbancollegandemaneraaleatoria10clientesporhorayen promediocadaclientetarda20minutosenhacersusoperaciones, cuntos cajeros se debe tener disponibles para que la fila no sea mayor a 5 personas?En general las ventajas de utilizar la I. O. en la solucin de problemas operacionales son: Las decisiones son tomadas usando anlisis cuantitativos dejando a un lado las cualitativas. Adems, nos permiten realizar anlisis de sensibilidad, esto es, predicciones de tipo: qu pasa si cambia el valor de uno de nuestros datos? Por ejemplo, si tenemos la opcin de comprar la materia prima a un nuevo distribuidor a un precio ms econmico, cmo afectar a nuestros niveles de produccin? Esta pregunta se resuelve primero de forma terica en el papel y despus se pone en prctica, si es que conviene a los fines de la empresa.Investigacin de operaciones41 Permite tomar decisiones del tipo global; esto es, decisiones que tomenencuentalospuntosdevistadecadaunodelos departamentos de la empresa. ResumenEn esta unidad estudiamos los orgenes, metodologa y usos de la I. O. Definimos que la administracin de operaciones, se encarga de resolver problemas de tipo estratgico, mientras que la I. O. resuelve problemas de tipo operacional. Para estudiar la metodologa de la I. O. se sigue el siguiente esquema:En la unidad 2 aprenderemos a construir modelos matemticos que representen lasrelacionesentrelasvariablescontrolablesylosdatosdeunproblema operacional real.SUnidad 1421.6. Problemas de aplicacin de la investigacin de operacionesAhora presentamos un caso prctico de programacin lineal y su modelo matemtico asociado; no explicamos cmo se obtuvo la solucin. Los procedimientosseestudiarnenlassiguientesunidades.Tambinse enuncia una aplicacin de lnea de espera.Caso prctico: programacin lineal Una empresa de petrleo tiene tres refineras para surtir de gasolina a la ciudad 1. La primera se encuentra en la ciudad M, la segunda en la ciudad N y la tercera en la ciudad Q. De la planta de M se pueden trasportar 15 000 litros de gasolina al da, mientras que de N 20 000 y de Q 35 000. El costo por litro de gasolina transportado de M es de $ 1.50, de N es de $ 2.00 y de Q es de $ 2.20.Si la demanda de gasolina en la ciudad 1 es de 28 000 litros al da, cul es la combinacin que minimiza los costos de transportacin?En este caso el modelo matemtico que se obtiene es:Z x y zx y zxyzx ymn 15 2 22280001500020 00035000. ., , z 0Donde x es la cantidad en litros de gasolina transportados desde M, y es la cantidad transportada desde N y z es la cantidad transportada desde Q.SiparaesteproblemausamoselpaquetecomputacionalLINDO, obtenemos la siguiente solucin:Investigacin de operaciones43Objective function value1) 48 500.0000X =15 000.00Y =13 000.00Z =0Lo cual indica que debemos transportar 15 000 litros desde M y 13 000 desde N, lo que nos cuesta $ 48 500.00. Esta solucin es factible porque cumple con todas las restricciones de nuestro problema, por lo tanto la aplicamos.Si despus de un tiempo el costo de transportar la gasolina desde N se incrementa a $ 2.15 y se restringe a slo 10 000 litros al da, qu pasa con la solucin?El nuevo modelo queda de la siguiente manera: Z x y zx y zxyzx ymn 15 2 22280001500020 00035000. ., , z 0Que tiene por solucin:Objective function value1) 50 600.0000X =15 000.00Y =10 000.00Z =3 000.00Lo cual indica que la nueva combinacin ptima es traer 15 000 litros de M, 10 000 de N y por ltimo 3 000 de Q, y que el costo de esta nueva combinacin es de $ 50 600.00. Unidad 144Aplicacin: lnea de esperaEn una computadora, el sistema operativo es el que se encarga de indicar elordenenqueseresolvernlastareasporelmicroprocesador;por ejemplo en una PC podemos pedirle al sistema que guarde un archivo en el disco duro y que imprima un documento. En este caso el sistema operativo debe formar una lnea de espera, ya que el microprocesador slo puede realizar una tarea en cada ciclo de reloj. Para optimizar el funcionamientodelascomputadoras,seapliclateoradelneasde espera, para indicar al sistema operativo el mximo de tareas que puede aceptar como pendientes, si se sobrepasa este nmero, puede suceder que el sistema se inhiba. Investigacin de operaciones51IntroduccinEn la unidad 1 aprendimos la importancia que tiene la investigacin de operaciones (I. O.) en la toma de decisiones, tanto estratgicas comooperacionales,dondeelingenieroutilizalametodologa de la I. O. para resolver los problemas que se presentan en la industria; tambinpresentamosalgunasaplicacionesconcretas.Encuantoala metodologa,explicamosqueunadelaspartesmsimportantepero compleja,eslaconstruccindelmodelomatemticoquerepresente demaneravlidayeficazelproblemaaresolver.Enestaunidad analizaremos el concepto de modelo, los tipos de modelos y finalmente la construccin de modelos matemticos que representen las relaciones entre las variables y los datos de un problema, as como ejemplos de programacin lineal, redes y lneas de espera.En conclusin, pretendemosqueconestaunidadellectorcomprenda yanalicecadaunodelospasosparalaconstruccindeunmodelo matemticovlido,independientementedeladiversidaddelproblema querepresente,ynoslosememoriceunmodeloparticularparaun caso especfico o individual. 2.1. Definicin de modelo y su clasificacinUnmodeloeslarepresentacinsimplificadadeunfenmenoque conserva las relaciones ms significativas entre las variables y los datos involucrados en el fenmeno para su fcil manipulacin.Un modelo representa parcialmente a la realidad. Si quisiramos construir un modelo que la representara 100%, (si fuera posible) resultara muy costoso, complejo y de difcil manejo; sin embargo, tampoco vamos a construir modelos simplistas que se alejen demasiado de la realidad. Es responsabilidad del ingeniero desarrollar el punto medio entre estos dos extremos.Antes de clasificar los modelos por su tipo, citemos algunos ejemplos.Unidad 252Ejemplo 1En Francia existe un tnel de viento donde se prueban los fuselajes delosavionesparadeterminarsuresistenciaalvientoyalas turbulencias.Seramuycostosoconstruiruntneldevientolo suficientemente grande para probar un avin de dimensiones reales, adems resultara muy costosa la construccin del prototipo. En lugar de hacer esto, se construyen modelos a escala de los aviones que se desean probar. Ejemplo 2Enunaempresasetieneunalneadeproduccinqueconstade12 pasos,siqueremosmostrarestalneadeproduccinaungrupode inversionistas para inducirlos a la compra de acciones de la compaa, sera complicado llevarlos directamente a la lnea de produccin, ya que el ruido y los obreros no permitiran una buena comunicacin; en su lugar podemos construir un diagrama de flujo que represente la lnea de produccin.Ejemplo 3Una compaa que fabrica pasta dental desea saber cuntas personas en Mxico conocen su producto. Una forma de saberlo es preguntarle a cada mexicano, lo que resultara muy costoso para la empresa, en sulugarpodemosutilizarunmodeloestadsticoquenospermita hacerlapreguntasolamenteaungruporeducido(muestra),y conbaseenlosresultadosinferirelcomportamientoentodala poblacin. Cadaunodelosejemplosanteriores,representauntipodemodelo, elprimeroesunmodelotangibleconstruidoentresdimensiones,el segundoutilizaunesquemaqueesanlogoalalneadeproduccin mientrasqueelltimoesunmodelomatemticopararepresentarla realidad. Investigacin de operaciones53Los modelos se clasifican en:Modelos icnicos.Modelos analgicos.Modelos matemticos.Modelos icnicosEsunarepresentacinaescaladelarealidad,suprimiendoalgunos aspectos para facilitar su manipulacin. Una caracterstica importante de este tipo de modelos, es que se utilizan para analizar fenmenos que se mantienen estticos. Ejemplos:Una maqueta con casas o edificios a escala.Un diagrama de dos cargas elctricas.Una maqueta que simula la superficie lunar.Un mapa de Amrica del Norte. Un modelo a escala de un avin.Un globo terrqueo para trabajo escolar.Modelos analgicosUnmodeloanalgico,esunsistemaquetieneuncomportamiento parecido al problema que se desea estudiar pero con la diferencia que el modelo s se puede manipular. Por ejemplo, para medir la velocidad deunautomvillavelocidadangulardelallantasetransformaen corriente elctrica; aqu la analoga consiste en que la corriente inducida se incrementa en forma proporcional a la velocidad del automvil. La corriente inducida mueve la aguja del velocmetro hacia una posicin dentro de una escala de velocidades. A diferencia de los modelos icnicos, losmodelosanalgicospuedenrepresentarsituacionesdinmicas, ademsdequealutilizarestetipodemodelosincrementamosla capacidad de hacer cambios. Ejemplos:Un diagrama de flujo.Un circuito elctrico.El probar medicinas en animales.Unidad 254Modelos matemticosEstetipodemodelosrepresentanlarealidadmediantesmbolosy cantidadesrelacionadasmatemticamente;porserabstractosnoestn restringidosaunnmeroespecficodedimensiones,yaquepodemos manejartantasvariablescomoqueramos.Unejemplodeestetipode modelo simblico es una ecuacin, la cual puede representar las relaciones entre el tiempo que tarda en caer un cuerpo y el valor de la velocidad inicial, la masa del cuerpo, la friccin del aire, la temperatura, etctera.Ejemplos de modelos matemticos: La ecuacin de la relatividad de Einstein, E =mc2 La segunda ley de Newton, F =ma La funcin de costos de un proceso, C tt( ) = +21000 El modelo de programacin lineal de un problema deoptimizacin. Zmx =10x +50y2x +3y 6x, y >0 Los modelos simblicos tienen muchas ventajas sobre la descripcin de un problema. Algunas de las ventajas son: Unmodelomatemticopuedesermuypreciso.Porejemplo,decir que se desea mejorar un proceso de construccin de tornillos, no nos indica de manera clara a qu se refiere el mejorar el proceso, sin embargo, si escribimos la ecuacin de costo de produccin y decimosquestasequiereminimizar(Zmn= 3x+ 4y),el problema queda bien determinado. Enunmodelosimblicosloseconsideranlasvariablesydatos quesonimportantesparaobtenerlasolucindelproblema. Ejemplo: si se tienen cuatro trabajadores que producen 30 horas detrabajoalda;esprobablequenointereseelnmerode trabajadores,sinonicamenteelnmerodehorasdetrabajo generadas, por tal motivo en el modelo simblico slo aparecer 30 como un dato.Investigacin de operaciones55 Un modelo simblico nos permite utilizar tcnicas matemticas y la computadora para la solucin de los problemas de I. O.En este libro utilizaremos modelos matemticos. Ejercicio 11. Un modelo matemtico es:a) Una ecuacin. b) Un avin a escala.c) Una fotografa.d) Un diagrama de flujo.2. Un ejemplo de un modelo icnico es:a) Una ecuacin. b) Un avin a escala.c) Una frmula qumica.d) Un diagrama de flujo.3. Es una abstraccin simplificada de la realidad:a) Un problema.b) Un experimento.c) Un modelo.d) Una hiptesis.4. Escribe la definicin de modelo____________________________________________________________________________________________________________________________________________.5.Delaclasificacindemodelos,culeseltipodemodeloquese utiliza para resolver problemas en I. O.?______________________________________________________________________.Unidad 2562.2. Construccin de modelos de programacin linealUnavezdefinidoloquerepresentanlosmodelosycmose clasifican, ahora tenemos que aprender a construirlos. En la unidad 1 mencionamos que existen programas computacionales comerciales que nos permiten resolver problemas de I. O., que para ser eficaces, elusuariodebeintroducirlosdatosdelmodeloalacomputadora (en la actualidad, no existen programas computacionales capaces de construir modelos).Construir modelos matemticos es considerado por algunos especialistas un arte, ya que cada persona realiza su interpretacin de la realidad; para hacer un modelo no existe un algoritmo especfico, sino que, se debe utilizar mucha creatividad y una gran cantidad de conocimientos tcnicosafinesconeltemadelproblemaquesetratadesolucionar. Por ejemplo, si queremos obtener el modelo matemtico de un proceso qumico debemos tener conocimientos sobre qumica, para entender las reacciones qumicas que se llevan a cabo durante el proceso, para que de esta manera podamos cuantificarlas mediante smbolos. Al desarrollar un modelo es recomendable empezar con uno muy sencillo, queslotomeencuentapocasvariablesydatos;posteriormentese construyen modelos ms complejos, los cuales consideran ms variables ydatos.Esteprocesosedetienecuandoelingenieroconsidereque el modelo obtenido representa de manera satisfactoria el problema de estudio.Los modelos matemticos que vamos a construir en I. O. son: De programacin lineal. Del problema de transporte. De redes. De lneas de espera.Investigacin de operaciones57Para clasificarlos, utilizamos diferentes criterios como son: El tipo de variables. El tipo de restricciones. El tipo de funcin objetivo. Tipo de distribucin de llegadas y de servicio. Nmero de lneas.UnodelosmodelosmsimportantesenlaI.O.eselmodelode programacin lineal (P. L.), el cual se define como:UnmodelodeP.L.consisteenunafuncinlineal,lacualsedesea optimizar (maximizar o minimizar) sujeta a un conjunto de restricciones lineales. Los modelos de P. L. aparecen en aplicaciones para optimizar Costos de produccin. Ganancias. Costos de transporte. Recursos limitados.Para construir un modelo de P. L. se recomienda:1. Identificar los datos y las variables de decisin.2. Identificar las restricciones.3. Identificar la funcin objetivo.2.2.1. Los datos y las variables de decisinParapoderconstruirmodelos,necesitamosteneridentificadaslas variablesdelproblema,ademsdelosdatosqueintervienenenel mismo.Identificacin de las variables de decisinEl primer paso para la construccin de modelos consiste en identificar las variables controlables o de decisin, esto es, las variables cuyo valor Unidad 258deseamos determinar. El valor de estas variables, una vez determinado, representalasolucindelproblema.Paraidentificarestasvariables, debemoscuestionarnos:quesloquequeremoscuantificar?,qu valores del problema podemos manipular?, cules son los valores de las variables a optimizar?, qu valores, una vez determinados, forman una solucin del problema? Analicemos el siguiente ejemplo para ver cmo se identifican las variables de decisin:Ejemplo 4LaempresaNI NTENsededicaalafabricacindeimpresoras. Producen tres modelos distintos, la impresora de matriz de puntos, lalseryladeinyeccindetinta.Elingenierodeproduccin decidirsobreelnmerodeimpresoras(decadatipo)quedeben fabricar. Para ello debe tomar en cuenta los datos contenidos en la siguiente tabla: Tabla 1Lainformacincontenidaenlatabla1seinterpretadelasiguiente manera: el rengln nos indica el tipo de impresora y la columna nos indica el tipo de dato. Por ejemplo, cada impresora de inyeccin de tinta produce una ganancia de $ 700.00, el costo de una impresora de matriz de puntos es de $ 1 000.00, mientras que el tiempo para fabricar una impresora lser es de 60 minutos.Elingenierosabequeelcapitaldisponibleparaproducirellotede impresoras es de $ 595 000.00 y slo se dispone de 265 horas de fuerza detrabajo.Adems,eldepartamentodeventasleinformaquetodas las impresoras producidas por debajo o igual a la demanda mnima se pueden vender sin ningn problema.Investigacin de operaciones59Lo primero para construir el modelo matemtico de este problema es identificarlasvariablesdedecisin,paraestodebemoscontestarlas siguientes preguntas:1. Qu es lo que queremos cuantificar?Respuesta: Las ganancias producidas por la produccin y venta del lote de impresoras.2. De qu dependen las ganancias?Respuesta: Del nmero de impresoras que se fabriquen y vendan de cada tipo (no confundir con la ganancia unitaria precio-costo).3.Sepuedeoptimizarelnmerodeimpresorasfabricadasdecada modelo? Respuesta: S.4. Si conocemos el nmero ptimo de impresoras que debemos producir decadamodeloparaobtenerlamximaganancia,estresueltoel problema? Respuesta: S.Podemosconcluirquelasvariablesdedecisinsonlacantidadde impresoras de cada modelo que se deben producir.Se le dar un nombre a cada una de las variables de decisin. El nombre debe dar una idea del tipo de variable que representa, adems debe ser de fcil manipulacin. Para el ejemplo podemos utilizar:IM =nmero de impresoras del tipo de matriz de puntos que se deben producir y vender.IT =nmero de impresoras del tipo de inyeccin de tinta que se deben producir y vender.IL =nmero de impresoras lser que se deben producir y vender.Unidad 260Identificacin de los datosUnavezdeterminadaslasvariablesdedecisin,debemosidentificar aquellascantidadesqueintervienenenelproblema.Porejemplo;los costos de fabricacin de cada impresora, la demanda del producto, la fuerzadetrabajodisponible,eltiempodeusodeunamquina,etc. Atodasestascantidadeslesllamaremosdatos;estosdatosquedan determinados al plantearse el problema.Los datos para el ejemplo son:El capital disponible de $ 595 000.00.El total de fuerza de trabajo es 265 horas.Demanda mnima de cada tipo de impresoras.El tiempo de fabricacin de cada tipo de impresora.El costo de cada tipo de impresora.La ganancia de cada tipo de impresora.2.2.2. Las restricciones y la funcin objetivoUna vez que se tienen las variables de decisin y los datos del problema, se formula matemticamente, tanto el objetivo que se persigue, como cada una de las restricciones del problema. Identificacin de la funcin objetivoLa funcin objetivo se llama as ya que su propsito es: Maximizar utilidades. Minimizar costos.Por ejemplo, en una dieta se busca la combinacin ptima de nutrientes que minimice costos, a la vez que se minimiza el contenido de grasa enelmen.Engeneral,lafuncinobjetivodebemedirdemanera cuantitativa el factor a optimizar.Investigacin de operaciones61Recordemos que la I. O. es una herramienta que permite al ingeniero tomar decisiones de tipo operativo. Estas decisiones son tomadas con la premisa de maximizar las utilidades de la empresa, las cuales dependen de los siguientes factores: Costos de produccin. Precio de venta. Volumen de venta.La funcin de utilidades U(x) de una empresa asociada a un producto, la podemos escribir matemticamente como:U x p x C x ( ) ( ) = Donde:x =volumen de venta.p =precio de venta.C(x) =funcin de costos evaluada en x, esto es, nos dice el costo de producir x productos.Si tenemos dos o ms productos, la funcin de utilidad es igual a la suma de las funciones de utilidad de cada uno de los productos, es decir:U x x x U x U x U xn n( , , ... ) ( ) ( ) ... ( )1 2 1 2= + + +Donde xi es el volumen de venta del i-simo producto.Parapodermaximizarlasutilidadesdelacompaatenemosvarias alternativas: Producirmsunidadesdelproductoquerepresentaunamayor utilidad. Disminuir costos de produccin. Buscar combinaciones de productos de bajo costo de produccin y precio competitivo.Estos factores son los que se deben ver reflejados en la funcin objetivo, la cual debe medir de una manera matemtica los costos o utilidades de producir y vender una combinacin de productos.Unidad 262Para construir la funcin objetivo debemos: Describirelobjetivoqueperseguimosenformaverbal.Parael ejemplodeNINTEN:maximizarlasutilidadesdelaempresa, debidas a la produccin y venta de los tres tipos de impresoras. Escribir el objetivo en trminos de las variables de decisin y de los datos del problema, utilizando operaciones aritmticas. Para la empresa NINTEN las utilidades por producir y vender impresoras de matriz de puntos (IM) es igual al producto de la ganancia unitaria por el total de impresoras producidas y vendidas, es decir:U IM IM1800 ( ) = Demanerasimilarseobtienenlasgananciasparalasimpresorasde inyeccin de tinta (IT) y las del tipo lser (IL).U IT ITU IL IL237001000( )( ) == Finalmente, la utilidad total es la suma de estas tres utilidades:U IM IT IL IM IT IL ( , , ) = + + 800 700 1000 Esta ltima expresin matemtica calcula la utilidad en trminos de las variables de decisin. La funcin objetivo la escribimos como:Zmx =800 700 1000 IM IT IL + + Identificacin de las restriccionesLasrestriccionessonrelacionesmatemticasentrelasvariablesde decisinylaslimitantesdelaempresa.Enelcasodelosmodelos deP.L.estasrestriccionessondesigualdadesoigualdadeslineales. Estasinecuacionesmatemticasincluyenrestriccioneslgicaspara lasvariablesquelascondicionanasersiemprepositivas.Aestas restriccionesquesepresentanalfinaldelmodelolesllamaremos condiciones de no negatividad.Investigacin de operaciones63En las restricciones se deben tomar en cuenta: Lasrestriccionessonlascondicionesquelasvariablesdedecisin deben satisfacer para constituir una solucin aceptable.*Para nuestro ejemplo las restricciones son las siguientes: Restricciones de la empresa. Slo tenemos $ 595 000.00 de capital disponibleparalaproduccindellotedeimpresoras,porlotanto, elcostodeproduccindebesermenoroigualaestacantidad. ElcostodeproducirIMesde1000IM,paralasITesde 1500ITyparalasIL2400IL,porlotanto,elcostode produccin es la suma de las cantidades anteriores, es decir:1000 1500 2 400 IM IT IL + +Pero esta cantidad debe ser menor a 595 000. Esto lo representamos matemticamente como:* Kamlesh Mathur y Daniel Solow, Investigacin de operaciones, Prentice-Hall.Unidad 2641000 1500 2 400 595000 IM IT IL + + sRestriccinfsica.Laempresacuentacon265horasdefuerza de trabajo para la produccin del lote de impresoras. El tiempo de fabricacin de las IM es de 30 IM minutos, para las IT es de40 IT minutos y finalmente para las IL 60 IL minutos. Por lo tanto, el tiempo total de fabricacin del lote en minutos es de:30 40 60 IM IT IL + +Pero este tiempo debe ser a lo ms de 265 horas. Para representarlo matemticamente, primero se convierten 265 horas en minutos (para trabajar con las mismas unidades)26560115900 hrhrmnmin |\

|.|=Con lo cual la restriccin se escribe como:30 40 60 15900 IM IT IL + + sRestriccinexterna. Para asegurarnos que todas las impresoras producidas sean vendidas, la cantidad de IM debe ser menor o igual a 100, las de IT debe ser menor o igual a 80 y las IL deben ser a lo ms 50. Para escribir esto en forma matemtica:IMITILsss1008050Restriccioneslgicasocondicindenonegatividaddelas variables. No podemos producir cantidades negativas de impresoras y en este caso, tampoco podemos producir fracciones de ellas, por tanto, los valores de las variables deben ser enteros positivos:IMITILIM IT IL Z>>>e+000, , Investigacin de operaciones65El modelo matemtico que obtenemos es del tipo de programacin lineal:Funcin objetivoZmx = IM IT IL + + 800 700 1000sujeto a las restricciones:1000 1500 2 400 59500030 40 60 15900100 IM IT ILIM IT ILIM+ + s+ + ssIITILss8050Con condicin de no negatividad:Adems: IMITILIM IT IL>>>e+000, ,ZEjercicio 21. Escribe la definicin de un modelo de programacin lineal.______________________________________________________________________________________________________________________________________.2. Los modelos que vamos a utilizar en I. O. son:a) Modelos icnicos.b) Modelos simblicos o matemticos.c) Modelos crticos.d) Modelos analgicos.Unidad 2663. El modelo de P. L. se utiliza en:a) Modelos de lneas de espera.b) Modelos de inventarios.c) Modelos no lineales.d) Modelos de transporte.4. Una variable de decisin en el ejemplo de NINTEN es:a) El precio de venta de las impresoras.b) El tiempo de fabricacin de cada impresora.c) El nmero de impresoras lser que se debe producir.d) El capital disponible.5. Escribe los pasos del proceso de construccin de los modelos de P. L.Identificacin_____________________________________.Identificacin_____________________________________.Identificacin_____________________________________.6. Relaciona las siguientes columnas.a) Restricciones fsicas. ()Lasvariablesdebenser siempre positivas.b) Restricciones de la empresa. ( ) El precio del producto debe ser menor al de la competencia.c) Restricciones lgicas. ()Elespaciodelalmacnde producto terminado.d) Restriccin externa.( ) El capital disponible.2.3. Construccin de modelos de redes y de lneas de esperaEn la seccin anterior aprendimos a construir modelos simblicos de programacinlineal.Aunqueestemodelosepuedeaplicarenvarios problemas reales de manufactura y transporte, no se puede utilizar para modelar problemas con variables estocsticas, es decir, variables cuyo valor depende del azar. Investigacin de operaciones67Enestelibrovamosaestudiardosmodelosqueutilizanvariables estocsticas: Modelo de redes. Modelo de lneas de espera.El modelo de redes se utiliza para calcular el tiempo de elaboracin de un proyecto.* Si conocemos este tiempo, podemos tratar de disminuirlo cuidando que los costos no se eleven demasiado. El modelo de lneas de espera se utiliza para determinar el nmero de estaciones de servicio, o de personas que deben ser contratadas para dar atencin a clientes, buscandotenerelnmeroptimo,estoes,elnmeroquepermita conservar los costos ms bajos y, adems, disminuir el tiempo de espera de cada uno de los clientes.Modelo de redesLa fabricacin de un bien o servicio se lleva a cabo en varias etapas donde cada una recibe el nombre de proceso. Para tener un control sobre el tiempo en que se produce el bien o servicio, debemos conocer cada uno de los procesos, el tiempo que tarda en llevarse a cabo y el orden que se debe seguir. Por ejemplo, en la fabricacin de una computadora sedebenensamblarcadaunadesuspartes(tarjetamadre,memoria RAM, memoria ROM, bus, disco duro, discos flexibles, puertos, fuente depoder,etc.).Sialgunodeestosprocesosseinterrumpeotarda demasiado, afecta toda la lnea de produccin, por lo tanto, es importante tener un modelo que nos permita conocer los posibles puntos de falla y as poder tomar medidas preventivas. Los modelos de redes tambin miden los tiempos de cada proceso, para que de esta manera se trate de optimizar el tiempo total, al buscar alternativas en la elaboracin del producto (rutas crticas).Para obtener el modelo matemtico de un problema de redes, debemos seguir los siguientes cuatro pasos: Identificar los procesos individuales que componen el proyecto. * Plan que se idea para producir un bien o servicio.Unidad 268 Obtenerelvalordeltiempoprobableenqueserealizacada proceso(siusamoslatcnicaPERT)oestablecerunaestimacin determinstica de este tiempo (si usamos la tcnica CPM). Dibujar un diagrama de red del proyecto que refleje cada uno de los procesos, su interrelacin y sus tiempos estimados. Calcular el tiempo mnimo estimado de terminacin del proyecto.Identificacin de los procesos individuales que componen el proyectoLos procesos* pueden ser sencillos o complejos. Los procesos complejos puedenanalizarsecomoproyectos,loscualesasuveztienenotros procesos intermedios. Porejemplo,elproyectoestadounidensedeponeralhombreenla luna antes de que terminara la dcada de los 60s constaba de varios procesos complejos (construccin de una nave para el viaje, seleccin yentrenamientodelosastronautas,desarrollotecnolgicoparalas comunicaciones, diseo y construccin de pequeas computadoras que se pudieran llevar en las naves, etc.), por lo tanto, cada uno de estos procesosconstituaensmismounproyectoqueasuvezestaba formadopornumerososprocesos.Losprocesostienencaractersticas bien definidas que nos pueden servir para identificarlos, stas son: Los procesos deben tener un comienzo y un final claros.Ejemplo. El proceso de seleccin de los astronautas comienza con la convocatoria para reclutar candidatos y termina con la seleccin de un grupo para formar la tripulacin de la nave. Laterminacindecadaprocesodebesernecesariaparala culminacin del proyecto.Ejemplo. Si no tenemos lista a la tripulacin, no podemos llevar a cabo el proyecto de poner un hombre en la luna. Unprocesodeberepresentarunprogresoenelproyecto. Ejemplo.Encuantosetienelatripulacin,unapartedel proyecto esta concluida. El tamao del proceso est en relacin directa con el control que se tiene sobre el proyecto.Ejemplo.ParaelpresidentedelaNASA,unprocesoesla construccin de computadoras para controlar el vuelo, pero para elingenierodesistemas,unprocesoeslaconstruccindeun *Pasos intermedios para la elaboracin de un bien o servicio.Investigacin de operaciones69compilador para el lenguaje de programacin que se va a utilizar en las computadoras de las naves espaciales. Debe existir una persona o grupo de personas responsables de cada proceso.Ejemplo. El presidente nombr un responsable del proyecto, el cual a su vez nombr responsables de cada uno de los procesos.Obtencin del tiempo probable (PERT)Paraobtenereltiempoprobabledecadaprocesosedeberealizarun anlisis estadstico,* el cual nos va a dar como resultado tres datos: Tiempo probable del proceso: es el tiempo con mayor probabilidad en el que puede llevarse a cabo el proceso.Tiempo pesimista del proceso: es el intervalo de tiempo ms largo en el que puede llevarse a cabo el proceso.Tiempo optimista: es el intervalo de tiempo ms corto en el que puede llevarse a cabo el proceso.Paraobtenereltiempoqueseasignaacadaproceso,seutilizaun promedio ponderado, donde el tiempo probable tiene un peso mayor al de los tiempos extremos:tt t tep o=+ + 46Donde:te =tiempo esperado.tp =tiempo pesimista.t =tiempo probable.to =tiempo optimista.Creacin de la red de proyectosPara comenzar a disear la red de proyectos, primero se realiza una tabla que muestre la relacin de precedencia** de cada uno de los procesos. Por ejemplo, en el proyecto de preparar a los astronautas, el primer proceso *Para ms detalles consultar Spiegel, Estadstica, McGraw-Hill.** Precedencia: Antelacin, prioridad de una cosa con respecto a otra en el tiempo o en el espacio (Larousse 2000).Unidad 270es seleccionarlos, posteriormente se empieza con un acondicionamiento fsico, pruebas de manejo de aeronaves, prepararlos para la ingravidez, etc. Por lo tanto, seleccionar a los candidatos es un proceso que precede al proceso de acondicionamiento fsico. Laredqueseconstruyetienelaformadeungrafo,esdecir,esun conjunto de vrtices o nodos (que representamos con un crculo) unidos por arcos o aristas. Un ejemplo de grafo se muestra en la figura 2.1.Figura 2.1.Ahora, para construir la red se dibuja un nodo con el nmero cero, el cual indica el inicio de nuestro proyecto. Tomando como punto de partida este nodo, se dibujan los nodos que no son precedidos por ningn otro; stos se unen con el nodo cero mediante arcos de flecha, los cuales se nombran con la etiqueta del proceso como se muestra en la figura 2.2.Figura 2.2.El nodo uno representa un punto en el tiempo, en el cual el proceso A ya se concluy, por lo tanto, a partir de este punto se dibujan los nodos que representen los procesos que siguen al proceso A. Esto se facilita si observamos la tabla de precedencia, supongamos que el proceso que sigue a A es B como se muestra en la figura 2.3.Investigacin de operaciones71Figura 2.3.Y que al proceso C le sigue el proceso D, si se aaden estos dos procesos, se obtiene el esquema presentado en la figura 2.4.Figura 2.4.Se contina de esta manera hasta representar todos los procesos del proyecto.Finalmente,secolocaelnodoquerepresenteelfinaldel proyecto. Si algunos de los nodos no estn unidos con otros para que la red se cierre, se colocan procesos artificiales, los cuales se representan con una lnea punteada y se les asigna un tiempo nulo. Con esto se obtieneunaredquerepresentalospasosaseguirenlaelaboracin del proyecto. En la figura 2.5., se muestra el ejemplo de una red de proyecto:Figura 2.5.Por ltimo, se colocan los tiempos estimados para cada proceso, con esto se obtieneuna red que representa el proyecto (figura 2.6.), la cual va a permitir posteriormente buscar la ruta crtica, para tratar de optimizar eltiempodeterminacindelproyecto. Esto ltimo se estudiar en la unidad 10.Unidad 272Figura 2.6.Ejemplo 5Parapodergenerarenergaelctricaenunaplantatermoelctrica,se utilizalaenergaqumicaquetieneelcombustleoparacalentarel aguayconvertirlaenvaporsobrecalentado,elcualproporcionala presin necesaria para mover las turbinas, las cuales lo convierten en energa mecnica que es trasmitida al generador elctrico. El proyecto de convertir el agua en vapor para generar energa elctrica, consta de los siguientes procesos: Se extrae agua de los pozos. El agua es desmineralizada. El combustleo es precalentado a 135 C. El combustleo es inyectado a la caldera para su combustin. El agua es bombeada a la caldera, donde pasa por el primer nivel de calentado a 230C. El vapor de agua pasa por el segundo nivel de las calderas, donde se eleva su temperatura a 350 C. El agua pasa por el tercer nivel, donde se convierte en vapor seco y sale con una temperatura de 530 C. El vapor sobrecalentado entra a la turbina. Termina el proyecto.Cadaunadeestastareassellevanacabodemaneraindependiente. Siqueremoscalculareltiempomnimodeterminacindelproyecto, debemos medir el tiempo que se lleva cada proceso. En este caso, como las variaciones de tiempo son muy pequeas, consideramos que su valor esconstanteyanalizamoselprocesocomounmodeloderedestipo CPM.Investigacin de operaciones73En la siguiente tabla mostramos el tiempo de cada proceso:ProcesoEtiquetaTiempo (minutos)Extraccin de aguaA 30DesmineralizacinB 120Primer nivel de calentadoC 65Segundo nivel de calentadoD 50Tercer nivel de calentadoE 25Paso por turbinaF 5Precalentado de combustibleG 35Inyeccin de combustibleH 5A continuacin presentamos la tabla de precedencia.ProcesoProcesos precedentesA. Extraccin de aguaNingunoB. DesmineralizacinAC. Primer nivel de calentadoH, BD. Segundo nivel de calentadoCE. Tercer nivel de calentadoDF. Paso por turbinaEG. Precalentado de combustibleNingunoH. Inyeccin de combustibleGCon esta informacin construimos la red, vase la figura 2.7.Figura 2.7.Unidad 274Modelos de lneas de esperaEn la industria existen varios procesos que se comportan como un sistema de lnea de espera. Una lnea de espera se forma cuando los clientes o productos llegan a una estacin de servicio y tienen que esperar a ser atendidos.Ejemplos: El proceso de reinscripcin en las escuelas. Los clientes que llegan a verificar su automvil. Las llamadas telefnicas que llegan al centro de atencin telefnica de un banco. Los pacientes que llegan para ser atendidos por un dentista. Los trabajos de impresin que llegan a una impresora compartida en red.Este tipo de sistemas tienen una modelacin especial, ya que en ellos aparecen variables y distribuciones probabilsticas. Una lnea de espera se describe mediante los siguientes parmetros:1. El tiempo promedio de llegada de nuestros clientes.2. El tiempo promedio que lleva a las estaciones atender a un cliente.3. El nmero mximo de clientes que pueden esperar en la fila.4. El comportamiento de la fila.5. Nmero de estaciones.Si se conocen estos parmetros, es posible tomar decisiones sobre: Nmerodeestacionesdeservicio.Sisedebeaumentaro disminuir.Estoescrucialparalasempresas,yaquealabrir demasiadas estaciones los costos se elevan, mientras que tener un nmero insuficiente puede ocasionar perdida de clientes. Tipodefila.Esposibleconstruirunafilanica(unifila)donde losclientessedistribuyenalasestacionesdeservicio,obien construir una fila delante de cada una de ellas. En los bancos se utilizan unifilas,mientrasqueenlastiendasdeautoserviciose utilizan multifilas (al igual que en los hospitales). Colocarestacionesespeciales.Sepuedencolocarestaciones deservicioquesloatiendanaclientesquecumplanciertas caractersticas. En los bancos se cuenta con cajas empresariales, enlas Investigacin de operaciones75tiendas de autoservicio se colocan cajas rpidas y en los hospitales se cuenta con el rea de urgencias.Espaciofsicoparalafila. Se debe determinar un espacio fsico para que los clientes se formen, ste depende del nmero mximo declientesquepuedetenerlafilaodelnmeropromediode ellos.Enalgunosbancossecolocansillasparaquelosclientes esperen sentados, mientras que en otras empresas existen almacenes intermedios entre un proceso y otro.Para realizar el modelo simblico de una lnea de espera, se debe conocer cada uno de los siguientes componentes: Poblacindeclientes.Eseltotaldeclientesquepuedenllegar a nuestra estacin de servicio. Esta poblacin puede considerarse infinita(enunsentidoterico),sielnmerodeclienteses demasiado grande. Por lo general es ms sencillo modelar lneas de espera infinitas que finitas. Ejemplos. Un banco considera que su poblacin es infinita, ya que en teora cualquier persona puede entrar a solicitar uno de sus servicios.En una empresa con 15 empleados, la fila que se forma para que les paguen es a lo ms de 15, por lo tanto es finita. Proceso de llegadas. Las llegadas pueden ocurrir con unafrecuenciaconocida(variabledeterminstica)obienpuedenser aleatorias. En el caso de que la llegada de clientes sea probabilstica, se utiliza una funcin de distribucin probabilstica exponencial negativaf t et( ) =1 donde (lambda) es el nmero promedio de llegadas por unidad de tiempo. Esto es, si se quiere saber cul es la probabilidad de que llegue un cliente en la prxima unidad de tiempo. P(tiempo entre llegadas 0 y, en general, el conjunto solucin de esta desigualdad est dada por el plano que se encuentra sobre la recta x+ y =0. Grficamente se representa como la regin sombreada (vase la figura 4.2.):Figura 4.2.En este caso los puntos de la recta no pertenecen al conjunto solucin, ya que estos puntos hacen que se cumpla la igualdad y no la desigualdad. En los modelos de I. O. generalmente se permiten ambos, es decir, la igualdad y la desigualdad. Esto lo denotamos utilizando los smbolos (mayor o igual que). En estos casos la lnea recta pertenece al conjunto solucin y se marca como una lnea continua.Si queremos graficar una desigualdad lineal, se procede como sigue:1. Graficar la igualdad asociada a la restriccin. Con esto obtenemos una lnea recta, la cual divide al plano cartesiano en dos regiones.2. Para saber cul de las dos regiones satisface la desigualdad, tomamos un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad.yxUnidad 41303. Si la desigualdad se cumple, entonces la regin donde tomamos el punto es la regin solucin. Si no satisface la desigualdad entonces la regin solucin es la opuesta a donde tomamos el punto.Ejemplo 2Obtener la grfica de la desigualdad 5x1 + 3x215 es:33Unidad 41342. Para graficar una desigualdad lineal primero se traza la _______________ asociada.3. La grfica de la desigualdad x1 >0 es: a) b)4. La grfica de la desigualdad x2 > 0 es: 5. Obtener la grfica de la desigualdad 3x1 + 6x2 20x2x2x1y1Investigacin de operaciones1354.2. Regin de soluciones factibles en maximizacinEn la seccin anterior aprendimos a graficar desigualdades lineales con dos incgnitas, esto nos va a ayudar a obtener la solucin de problemas deP.L.,loscualesseresuelvenprimeropormtodogrfico;para posteriormente utilizar un mtodo analtico.Un modelo de maximizacin de P. L. de dos dimensiones tiene la forma general:Zmx =f(x1, x2) Sujeto a las restricciones (s. a.):a11x1+a12x2 0, x2 >0 nos limitan al primer cuadrante del plano cartesiano, mientras que la desigualdad x2 s>>Su regin factible ya la calculamos, por lo tanto slo la dibujamos:Ahora debemos graficar la funcin objetivo. La grfica queda entonces de la siguiente forma:Unidad 4152La diferencia es que ahora le damos un valor menor a la funcin objetivo y observamos hacia donde se desplaza. Por ejemplo, con el valor Z =4 graficamos la lnea recta 3x1 +x2=4La recta se desplaza hacia la izquierda, por lo tanto debemos desplazar estarectaparalelamentehastaalcanzarelltimopuntodelaregin factible.Investigacin de operaciones153Deestamanera,lasolucinptimaseencuentraenelvrtice(0,1), donde la funcin objetivo toma el valor Zmn=1.Lanicadiferenciapararesolverunproblemademaximizarode minimizaresladireccinenlaquesedebedesplazarlalneaque representa la funcin objetivo.Ejercicio 4Obtener la regin factible de los siguientes modelos de programacin lineal, adems de la solucin ptima 1.Zmn=4x1 +x2 s.a.: 6 2 122 131 21 22x xx xx+ s+ >sxx1200>>2.Zmn=x1 +4x2s.a.: 6 2 122 231 21 21x xx xx+ s+ >sxx1200>>4.4. Solucin grfica con propiedades especialesAl igual que en los sistemas de ecuaciones lineales, existen tres casos posibles: Que el problema tenga solucin nica. Que el problema no tenga solucin. Que el problema tenga una infinidad de soluciones.Investigacin de operaciones1595. Obtener la solucin del siguiente modelo de programacin lineal.Z x xx xx xx xm x s.a.: = ++ >+ >+ s10 52 104 6 2481 21 21 21 2x x1 20 , >4.5. Anlisis grfico de sensibilidadUna vez que obtuvimos la solucin del modelo de programacin lineal, debemos realizar un anlisis de sensibilidad, debido a que los sistemas con los que se trabaja en la realidad son dinmicos y no estticos. Por ejemplo, cmo se afecta la solucin si cambiamos los coeficientes de la funcin objetivo? o qu pasa si se varan las cantidades limitantes enlasdesigualdades?Estoesimportante,yaquesilaempresatiene capitalparacomprarunamayorcantidaddealgunadelasmaterias primas, debemos decidir en cual nos conviene este aumento. El anlisis de sensibilidad presentado en esta seccin se basa en ideas grficas, un anlisis analtico lo vamos a llevar a cabo en la unidad 5.Cambio en los coeficientes de la funcin objetivoLos coeficientes de la funcin objetivo representan la utilidad unitaria de cada uno de los productos, o bien el costo unitario. En ambos casos unavariacinenestosdatoshacenquelafuncinobjetivocambie. Para llevar a cabo el anlisis de sensibilidad en este caso, revisemos el siguiente ejemplo.Ejemplo 13Una empresa fabrica bocinas de 3 y 8 de dimetro. Las bocinas de 3dejanunautilidadde$20,mientrasquelasde8de$30.La empresa puede fabricar como mximo 300 bocinas al da, por polticas del departamento de ventas se deben producir al menos 100 bocinas de 3 y como mximo 150 bocinas de 8. Cuntas bocinas de cada tamao se deben producir para maximizar la utilidad?Unidad 4160Las variables de decisin son:x1=nmero de bocinas de tres pulgadas que se deben fabricar.x2=nmero de bocinas de ocho pulgadas que se deben fabricar.El modelo de P. L. asociado a este problema es:Z x xx xxm x s.a.:= ++ s>20 303001001 21 21 xxx21215000s>>Los coeficientes de la funcin objetivo se obtienen de las ganancias que deja cada tipo de bocinas. Aplicando el mtodo grfico, obtenemos la siguiente regin factible.En el punto (150, 150) Zmx tiene un valor de $ 7 500. La pregunta ahora es qu pasa con la solucin si la ganancia de la bocina de 3 aumenta a $ 25? Este cambio hace que la funcin objetivo cambie de coeficientes, sin embargo, no afecta ninguna de las desigualdades, por lo tanto la zona factible se mantiene igual y lo nico que cambia es la inclinacin de la recta que representa la funcin objetivo. Lo que nos interesa saber es si debemos seguir produciendo 150 bocinas de cada tipo, o si este cambio realizado afecta nuestra solucin. Esto depende de qu tanto cambie la inclinacin de la recta. Realicemos un anlisis grfico para determinar el rango en que se puede variar la inclinacin de dicha recta sin cambiar el vrtice solucin.ZmxInvestigacin de operaciones161La ecuacin de la recta asociada a Zmx en el punto solucin es: 20x1 + 30x2=7 500, con una pendiente dem1203023= = . Zmx con la modificacin del coeficiente asociado a la bocina de 3 es: 25x1 +30x2=7 500, con una pendientem2253056= = . Si graficamos ambas rectas obtenemos lo siguiente:La pendiente disminuy, lo que hizo que la recta se desplazara hacia abajo,porloquealdesplazarlanuevamentehaciaarriballegamosal mismo punto ptimo, pero el valor de Zmx ahora es $ 8 250. El vrtice no vari, porque el cambio de la pendiente se mantuvo entre las pendientes de las fronteras del vrtice solucin ptima, esto es, de las rectas x1 +x2=300 con pendiente ma= 1 y la recta x2=150 con pendiente mb=0. Por ejemplo, si la ganancia de las bocinas de 3 se incrementa a $ 35 entonces Zmx toma la forma 35x1 +30x2=9 750 (9 750 porque la evaluamos en el punto (150, 150)), cuya pendiente esm3353076= =que se sale del intervalo [1,0]. Si graficamos esta recta obtenemos:Unidad 4162En la grfica se ve claramente que esta recta giro ms all de la frontera x1 +x2=300, y que, adems, podemos seguir movindola hacia la derecha sin salirnos de la regin factible, y as llegar al vrtice (300, 0) que es nuestra nueva solucin, con un valor de Z =$ 10 500. El punto que escogimos hizo que la pendiente fuera negativa, si cambiamos los coeficientes para que la pendiente sea mayor a cero, esto implicara que una de las bocinas causar prdidas en lugar de utilidades. Realicemos el anlisis, porque en ocasiones esto sucede en la realidad, ya que el introducir un nuevo producto puede reportar prdidas en lugar de ganancias. Por ejemplo, digamos que nuestras bocinas de 3 dejan una prdida de $ 20. Con esto la funcin objetivo toma la forma 20x1 +30x2=4 200 con una pendientem4203023= = . Si graficamos obtenemos:Investigacin de operaciones163La recta gir ms all de la frontera x2=150. En este caso para maximizar la funcin Zmx debemos desplazar la recta hacia arriba, por lo que la solucin pasa a ser el punto (100, 150) con una ganancia de $ 2 500. Podemosdecirentoncesquelasolucinnovaacambiardevrtice, amenosquelapendientesesalgadelintervalo[ma,mb]quesonlas pendientes de las fronteras que se intersectan en dicho vrtice. Cambio en las cantidades limitantesAhorasupongamosquelaempresaquiereproducir400bocinasen lugar de las 300 que originalmente consideramos. Cmo afecta esto la solucin?Unidad 4164staeslaotraposibilidad,cambiarlascantidadeslimitantesdelas desigualdadesymantenerconstantesloscoeficientesdelafuncin objetivo.Vamosaanalizarelcasodondeslovariunadelas restricciones, posteriormente se pude generalizar este anlisis.El cambiar la cantidad lmite de alguna de las desigualdades implica que la regin factible tambin se modifique, sin embargo, la funcin objetivo se mantiene sin cambios, lo importante ahora es determinar nuevamente cmo se afecta el punto ptimo. El cambiar el valor numrico de una ecuacin de la forma x1 +x2=400 no afecta su pendiente, lo que hace esdesplazarlasobrelosejes,moviendosuordenadaalorigen.Esto ocasiona que la regin factible se haga ms grande o ms pequea. En el ejemplo la regin factible toma la forma:En este caso la regin factible aumenta de tamao, el vrtice solucin ptima se desplaza hacia la derecha, lo que hace que la funcin objetivo pueda tomar un valor mayor.Lo que debemos cuidar al variar el lado derecho de las desigualdades es no variarlo de tal manera que resulte una regin no factible.Otra pregunta importante es: En cual de las desigualdades me conviene aumentar o disminuir su cantidad limitante?Estapreguntalavamosacontestarcuandorealicemoselestudio delproblemadual,porelmomentoslodebemostenerpresenteque pequeos incrementos en las cantidades limitantes de las desigualdades implican pequeos aumentos en la regin factible, lo que se traduce en pequeos aumentos de la funcin objetivo Zmx.Para ejemplificacin del anlisis de sensibilidad ver anexo al final del libro.Investigacin de operaciones223IntroduccinEnlaunidad5aprendimosaresolvermodelosdeP.L.porel mtodo smplex y el dual smplex, el resultado obtenido poda ser cualquier nmero real, sin embargo, existen problemas que no aceptan como solucin un nmero real, por ejemplo, pensemos en el problema de seleccin de personal de la unidad 3, en este caso no podemoscolocar1.5empleados.Porestaraznsehandesarrollado algoritmos especiales para la bsqueda de soluciones enteras de modelos de P. L.Podemos suponer que es ms fcil resolver un problema de P. L. entera que uno de P. L. estndar, pero esto en general no es cierto, ya que en laactualidadnoexisteunalgoritmoptimo(desdeelpuntodevista computacional) para su puesta en prctica; por esta razn mostramos dos de los mtodos ms utilizados en la practica:El mtodo de ramifica y acota (Branch and Bound).El algoritmo de corte (Gomory).Los problemas que resuelven corresponden a los llamados modelosde programacin lineal entera (P. L. E.). Estos modelos se clasifican de la siguiente manera:Modelos de P. L. E. puros. Cuando todas las variables de decisin slo tienen sentido si toman valores enteros.ModelosdeP.L.E.mixtos. Cuando algunade las variables de decisin pueden tomar valores reales y slo un subconjunto est restringido a tomar valores enteros.ModelosdeP.L.E.binarios. Cuando las variables de decisin slo pueden tomar dos valores, por ejemplo, verdadero o falso, esto se representa con cero o uno.Empezaremoslaunidaddandounejemplodecadaunodeellosy posteriormente analizaremos los dos mtodos de solucin mencionados. Estos dos mtodos se estudian slo con modelos de P. L. E. que tienen comoobjetivomaximizar; para resolver problemas de minimizacin se sugiere obtener el modelo dual presentado en la unidad 5.Unidad 62246.1. Aplicaciones ilustrativasEn la unidad 3 obtuvimos los modelos de algunos problemas de P. L., sin embargo, no hicimos hincapi en que algunos de ellos eran modelos de P. L. E. En esencia la formulacin de un modelo de P. L. E. sigue los mismos pasos que un modelo de P. L. estndar, la nica diferencia es que algunas de las variables de decisin o todas estn restringidas a tomar slo valores enteros. Veamos algunos ejemplos:Ejemplo 1Problema de costo fijo (ejemplo de modelo puro)Unafbricaproducetrestiposdeherramientas,taladros,mquina caladoraydesarmadorelctrico.Loscostosparaproducircada herramienta estn dados por un costo fijo que es aplicable slo si se produce al menos una unidad, ms un costo por unidad. En la siguiente tabla mostramos los datos correspondientes.Esto es, si producimos 3 taladros el costo es C(3) =100 +3(25) =175, yaqueelcostofijoaplicadesdeunaunidadhastavariasunidades. La empresa tiene que fabricar por lo menos 50 taladros, 80 mquinas caladorasy100desarmadoreselctricos,sinembargoslotieneun capital de $ 20 930. El taladro deja una ganancia de $ 100 por unidad, la mquina caladora $ 50 y el desarmador elctrico $ 20. Cul es la combinacin que optimiza las ganancias? Obtener el modelo de P. L. E. asociado.Investigacin de operaciones225Las variables de decisin son:x1 =nmero de taladros que se van a producir.x2 =nmero de caladoras que se van a producir.x3 =nmero de desarmadores que se van a producir.Hacemos la suposicin de que toda la produccin se vende, ya que el problema no nos proporciona informacin al respecto.La funcin objetivo la podemos escribir como:Zmx =100x1 +50x2 +20x3Las restricciones son:100 +25x1 +80 +20x2 +50 +10x3 50x2 >80x3 >100Por lo tanto el modelo de P. L. E. es:Z x x xx x xm x s. a.: = + ++ + s100 50 2025 20 10 20 7001 2 31 2 3 xxxxi12350801000>>>> iixi=e1 2 3 , , enterosLa ltima restriccin es necesaria ya que no podemos producir fraccin de taladros o fraccin de desarmadores. Este modelo se resuelve en la seccin de problemas resueltos (problema 2).Nota. Aqu es importante el hecho de que las variables no pueden tomar el valor cero, ya que esto cambiara sustancialmente el modelo, debido a que el costo fijo slo es aplicable si se produce al menos una unidad. Unidad 6226Ejemplo 2Problema de produccin (ejemplo de modelo mixto)Unaempresaproducetornillosyclavos.Lostornillossevendenpor cajas de 100 unidades cada una, mientras que los clavos se venden a granel.Laproduccindecada100tornillostieneuncostode$20, mientras que el kg de clavos tiene un costo de $ 10. La empresa tiene un capital disponible de $ 10 000 y desea saber cul es la combinacin que optimiza sus ganancias.El precio de venta por caja de tornillos es de $ 25 mientras que el kg de clavos se vende a $ 20, la empresa debe entregar por lo menos 20 cajas de tornillos. Hallar el modelo de P. L. E. asociado a este problema.Las variables de decisin son las siguientes:x1 = nmero de cajas de tornillos producidas y vendidas.x2 =cantidad producida y vendida de clavos (en kg).Elobjetivoesmaximizarlasgananciasdelaempresa,porlotanto lafuncinobjetivodebecuantificarlasgananciasproducidasporlas diferentes combinaciones de produccin:Zmx =5x1 +10x2La primera restriccin tiene que ver con el capital disponible para la produccin:20x1 +10x2 20Finalmente la condicin de positividad:x1, x2 > 0Investigacin de operaciones227Como los tornillos se venden por caja, entonces la variable x1 slo toma valores enteros, mientras que la variable x2 puede tomar cualquier valor ya que la venta de clavos es a granel, esto es, podemos vender 123.4 kg de clavos.PorlotantoelmodelodeP.L.E.esmixto,yloescribimosa continuacin:Zmx =5x1 +10x2s. a.: 20x1 +10x2 20con x1, x2 > 0 y x1 e Z +Ejemplo 3Problema de produccin (ejemplo de modelo binario)Unaasociacincrediticiadeasistenciapblicadebecolocarcomo mnimo $ 15 000 en crditos personales de $ 1 000 y crditos para tiles escolares por $ 1 500. La asignacin de estos crditos tiene un costo, el cual se divide en dos partes: un costo fijo que se aplica en caso de que se asigne al menos un crdito y otra que depende del nmero de crditos otorgados. En la siguiente tabla presentamos estos costos:Loscostossonabsorbidosporlaasociacin,porlotantodesean minimizarlos.Culeslacombinacinqueminimizadichoscostos? Obtener el modelo de P. L. E. asociado al problema.Las variables de decisin son:x1 = nmero de crditos personales otorgados.x2 = nmero de crditos para tiles otorgados.Unidad 6228El costo por crdito personal est dado por:C xx xx1 11 11500 100 00 0( ) =+ >=El costo por crdito para tiles est dado por:C xx xx2 22 22300 150 00 0( ) =+ >=Una primera idea puede ser escribir la funcin objetivo de la siguiente manera:Zmn =500 +100x1 +300 +150x2Estafuncinobjetivotieneelinconvenientedequesinoseotorgan crditos para tiles, no se incurre en el costo fijo, sin embargo, la funcin objetivo s lo contabiliza. Para solucionar este problema se agregan dos variables artificiales del tipo binario; esto es, variables que slo pueden tomarelvalor0o1.Dichasvariableslasdefinimosdelasiguiente manera:yxx1110 01 0==>yxx2220 01 0==>Estas restricciones las podemos escribir como:x1 oEl modelo anterior representa al problema.Si xi >0 entonces la desigualdad xi 1 21 21 28 5 404 6 2411 21 20,, xx xe>enterosSi resolvemos este problema utilizando el mtodo smplex, obtenemos la solucin ptima:Unidad 6234x1 =4.2857x2 =1.1429con Z =3.1428En este problema ninguna de las variables cumple con la condicin de ser entera, por lo tanto tenemos que redondear los dos valores, obteniendo:x1 =4x2 =1con Z =3Pareciera que sta es la solucin ptima, sin embargo, este punto no est en la regin de soluciones factible. Entonces:Cmodebemosredondearparaquelosvaloresestndentrodela regin factible? Se selecciona la variable a redondear (una a la vez) y se toma el valor del entero prximo mayor y el valor del entero prximo menor, de manera que se plantean dos nuevos modelos de P. L. que se deben resolver.En este ejemplo trabajaremos con x1 =4.2857. Las restricciones que se deben aadir a los sistemas asociados son: x1 5.Tomamos el problema del lado izquierdo, y aumentamos las siguientes restricciones: x2 2, con lo que se generan los siguientes sistemas asociados:Investigacin de operaciones235Continuamos aadiendo al modelo de la derecha una de las siguientes restricciones: x1 4.Por lo tanto la solucin ptima del modelo de P. L. E. es:x1 =3x2 =2con Zmx =1Ejemplo 6Resolver el siguiente modelo de P. L. E.Z x xx xxm x..s. a.: = ++ ss3 455351 21 22xx xx x1 21 20,, e>enterosResolviendopormtodosmplexseobtienelasolucinptima(sin considerar la restriccin de que las variables sean enteras):x1 =2x2 =3.5con Z =20Seleccionamos la variable que no cumple la condicin de ser entera. En estecasoesx2.Escribimoslosenterosprximos(mayorymenor)al valor que obtuvimos de esta variable: 4 y 3.Se plantean dos nuevos modelos de P. L., los cuales se obtienen al agregar una de las siguientes restricciones al modelo de P. L. E. original:x2 4Unidad 6236Los modelos que obtenemos son:Z x xx xxxm x..s. a.: = ++ sss3 455351 21 2223301 21 2enteros x xx x,,e>Problema asociado 1Z x xx xxxm x..s. a.: = ++ ss>3 455351 21 2224401 21 2 enteros x xx x,,e> Problema asociado 2Acontinuacinseresuelvecadaunodeestosmodelosutilizandoel mtodo smplex.La solucin ptima del problema asociado 1 es:x1 =2.5x2 =3Z =19.5Mientras que el problema asociado 2 no tiene solucin, ya que no existe regin de solucin factible.Comoelproblemaasociado1stienesolucinperonoesentera, entonces tomamos la variable x1 cuyo valor es 2.5, tomamos los enteros mayor (3) y menor (2) prximos y escribimos dos modelos asociados aadiendo al problema asociado 1 una de las siguientes desigualdades:x1 3Investigacin de operaciones237Con lo que obtenemos:Z x xx xxxm x..s. a.: = ++ sss3 455351 21 22233211 21 enteros xx xx xse ,,220 >Problema asociado 3Z x xx xxxm x..s. a.: = ++ ss3 455351 21 222 ss>e3311 21 enteros xx xx,, x x20 >Problema asociado 4Resolvemos el problema asociado 3 con el mtodo smplex y se obtiene la solucin ptima:x1 = 2x2 = 3Z =18Resolviendo el problema asociado 4 con el mtodo smplex se obtiene la solucin ptima:x1 =3x2 =2.5Z =19La solucin del problema asociado 3 satisface la condicin de ser entera, pero no sabemos si es ptima, por lo que tenemos que continuar con el mtodo.La solucin del problema asociado 4 presenta la variable x2 con un valor no entero, por lo tanto nuevamente se plantean dos problemas asociados, al aadir al problema asociado 4 una de las siguientes restricciones:Unidad 6238x2 3Obtenemos los problemas asociados:Z x xx xxxm x..s. a.: = ++ ss3 455351 21 222 ss>se332121 2 enterosxxx x ,x x1 20 , > Problema asociado 5Z x xx xxxm x..s. a.: = ++ ss3 455351 21 222 ss>>e333121 2 enteros xxx x ,x x1 20 , > Problema asociado 6Resolvemos cada uno de estos problemas utilizando el mtodo smplex:La solucin ptima del problema asociado 5 es:x1 =2x2 =2Z =14Mientras que el problema asociado 6 tiene la solucin ptima:x1 =2x2 =3Z =18Como ambas soluciones son enteras, se concluye que la solucin ptima es:Investigacin de operaciones239x1 =2x2 =3con Zmx =18Por el llamado mtodo del rbol:Unidad 6240Ejercicio 21. En cada iteracin del mtodo de ramifica y acota, la regin factible se:a) Divide. b) Reduce.c) Corta.d) Aumenta de tamao.2. En el mtodo de ramifica y acota cada variable no entera da origen a:a) Una restriccin nueva.b) Dos restricciones nuevas.c) Ninguna restriccin.d) No se sabe.3. Si el valor de una de las variables de decisin en un modelo de P. L. es x =2.8, entonces debemos agregar las siguientes desigualdades:a) x >3 o x 3 o x >2c) x >3 o x 2 o x Mtodo de GomoryElmtodopresentadoderamificayacotatieneelinconveniente dequeencadapasosetienequeresolverdosnuevosprogramas asociados. Esto hace que el nmero de operaciones sea grande, aunque en ocasiones puede ser que uno de los dos problemas no tenga solucin. En el mtodo que vamos a presentar a continuacin se reduce el tamao delareginfactibleperosindividirla,paraesto,sevaaadiendo una restriccin en cada iteracin. Estas iteraciones cortan la regin factible, de tal manera que la nueva regin debe contener la solucin enteraptimadenuestromodelo,siesqueexiste.Elalgoritmodel mtodo se presenta a continuacin.Paso 1. Se resuelve el modelo sin tomar en cuenta la restriccin de que las variables sean enteras.Paso 2. Si la solucin ptima cumple la condicin de ser entera, sta es la solucin del modelo. Si no, se toma uno de los renglones de la tabla smplex ptima con lado derecho no entero. A este rengln le llamamos rengln fuente.Paso3.Escribimosloscoeficientesdelrenglnfuentecomouna combinacin de un nmero entero y una parte fraccionaria positiva entre cero y uno. Unidad 6242Paso 4. Pasamos todos los coeficientes fraccionarios del lado izquierdo, losenteroslospasamosalladoderecho.Ahorahacemosqueellado izquierdo sea mayor o igual a cero.Paso5.Escribimosestadesigualdadenformadeigualdadalsumar la variable de supervit y la aadimos a nuestra tabla smplex ptima. Resolvemos por el mtodo dual smplex. Regresamos al paso 2.Ejemplo 7Para explicar el mtodo descrito vamos a resolver el siguiente modelo de P. L. E.:Z x xx xx xm x,s. a.: enteros= ++ se22 5 171 21 21 2x x1 20 , >Resolvemos el problema utilizando el mtodo smplex tabular sin tomar en cuenta las restricciones de que las variables sean enteras. La tabla ptima se presenta a continuacin:Paso1.Buscamos el primer rengln asociado a la variable bsica que no cumpla con la condicin de ser entera. En este caso es el rengln asociado a la variable x1. Este rengln representa la ecuacin:x1 +2.5x2 +0.5s1 =8.5Paso2.Seescribecadacoeficienteyconstantefraccionariosdela ecuacin obtenida en el paso 1, como la suma de un entero y una fraccin positiva entre 0 y 1.x1 +2x2 +0.5x2 +0.5s1 =8 +0.5Investigacin de operaciones243Escribimoslaecuacindetalmaneraqueelladoizquierdocontenga solamente trminos con coeficientes fraccionarios y una constante fraccionaria, mientras que del lado derecho slo aparezcan nmeros enteros.0.5x2 +0.5s1 0.5 =8 x1 2x2Paso 3. Hacemos que el lado izquierdo de la igualdad sea mayor o igual a cero.0.5x2 +0.5s1 0.5 >0o0.5x2 +0.5s1 >0.5sta es la nueva restriccin que debemos agregar al modelo.Elnuevomodeloporresolvereselqueobtenemosalescribirlas restricciones de la tabla ptima del mtodo smplex, agregando la ltima restriccin obtenida. La funcin objetivo no cambia:Z x xx x xx xm x. . .. .s. a.: = ++ + =+225 05 8505 051 21 2 32 331 2 31 2 3050>>., ,, , x x xx x x enterass Modelo 2Aqu la variable artificial s1 se renombr como la variable x3.Resolvemos este problema por mtodo smplex y repetimos los pasos 1 a 3.La tabla ptima del mtodo smplex asociado al modelo 2 es:Unidad 6244Donde obtenemos la solucin:x1 =8x2 =0Zmx =16La cual es la solucin ptima entera.Ejemplo 8Utilizando el mtodo de Gomory resolver el siguiente modelo de P. L. E.Z x xx xx xm x s. a.: = ++ s+ s22 5 175 3 161 21 21 2 enterosx xx x1 21 20,,e>Paso 1. Resolvemos el problema utilizando el mtodo smplex y tabular sin tomar en cuenta las restricciones de que las variables sean enteras. La tabla ptima es:Paso 2. La solucin es: x1 =3.20, x2 =0 con Z =6.4. Como la variable x1 no es entera entonces continuamos con el mtodo. Buscamos uno de los renglones asociado a la variable bsica que no cumpla con la condicin de ser entera. En este caso es el rengln asociado a la variable x1. Este rengln representa la ecuacin:x1 +0.60x2 +0.2h2 =3.20Investigacin de operaciones245Paso 3. Escribimos los coeficientes como una combinacin de un nmero entero y una parte fraccionaria entre cero y uno.x1 +0.60x2 +0.2h2 =3 +0.20Paso 4.Pasamos todos los coeficientes fraccionarios al lado izquierdo.0.60x2 +0.2h2 0.20 =3 x10.60x2 +0.2h2 0.20>0Paso5.Escribimosladesigualdadanteriorenformadeigualdadal sumar la variable de supervit y la aadimos a la tabla smplex ptima: 0.60x2 +0.2h2 +h3 = 0.20Resolvemos utilizando el mtodo dual smplex:Regresamos al paso 2.Paso 2. La solucin obtenida es:x x Z1 23131813= = = , , conUnidad 6246La variable x1 ya cumple la condicin de ser entera, pero la variable x2 an no, por lo que volvemos a aplicar el mtodo. Buscamos uno de los renglones asociado a la variable bsica que no cumpla con la condicin de ser entera. En este caso es el rengln asociado a la variable x2. Este rengln representa la ecuacin:x2 +0.33h2 1.67h3 =0.33Paso 3. Escribimos los coeficientes como una combinacin de un nmero entero y una parte fraccionaria entre cero y uno. x2 +0.33h2 2h3 +0.33h3 =0.33Paso 4. Pasamos todos los coeficientes fraccionarios al lado izquierdo.0.33h2 +0.33h3 0.33 = x2 +2h30.33h2 +0.33h3 0.33 >0Paso5.Escribimos esta desigualdad en forma de igualdad al sumar la variable de supervit y la aadimos a la tabla smplex ptima. 0.33h2 0.33h3 +h4 = 0.33Resolvemos utilizando el mtodo dual smplex.Investigacin de operaciones247Regresamos al paso 2.La solucin ptima entera que obtenemos es:x1 =3x2 =0 con Zmx =6Realicemos el siguiente ejemplo para ver qu tipo de obstculos pode