ANÁLISIS ENVOLVENTE DE DATOS: REVISIÓN EN R

FERNANDA VILLARREAL

1 – ADRIAN CASTAÑO

2

1Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur- IIESS-CONICET

2Departamento de Ingeniería, Universidad Nacional del Sur

fvillarreal@uns.edu.ar - roberto.castano@uns.edu.ar

RESUMEN

El Análisis Envolvente de Datos, DEA (Data Envelopment Analysis) es una técnica no-paramétrica de programación matemática aplicable en problemas de evaluación de unidades o sistemas de pro-ducción de bienes o servicios que emplean el mismo tipo de entradas para producir un mismo tipo de salidas.

Si bien en la actualidad existen varios software comerciales utilizados para resolver los diferentes modelos DEA, en este trabajo se presenta la aplicación del modelo DEA BCC utilizando dos paquetes disponibles en el software libre R: “Benchmarking” y “rDEA”.

Palabras Clave: Análisis Envolvente de Datos - Modelos BCC - Benchmarking - rDEA

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1. INTRODUCCIÓN

DEA es una técnica no-paramétrica de Programación Matemática aplicable en problemas de evaluación de unidades o sistemas de producción de bienes o servicios que emplean el mismo tipo de entradas para producir un mismo tipo de salidas. Este método compara la eficiencia relativa de un grupo de unidades de decisión (DMUs) que deben ser homogéneas entre sí. Se basa en el concepto de la frontera de eficiencia, la cual es empírica (se determina en base a los datos disponibles de las entradas y salidas de las unida-des observadas y a ciertas hipótesis que fundamentan y condicionan cada modelo DEA particu-lar) sobre la que se encuentran las unidades potencialmente eficientes (Cooper et al., 2006). Las medidas de eficiencia técnica obtenidas por DEA son medidas radiales, resultantes del co-ciente de distancias euclidianas entre cada DMU y una unidad potencial ubicada en la frontera empírica (Lovell, 1994). Aplicaciones de esta técnica se pueden encontrar en (Jian et al, 2012), (Alberto et al., 2011), (Sarrico et al., 2000), (Ahn et al., 1988), (Rhodes y Southwick, 1993) y (Sarrico et al., 1997), en-tre otros. El objetivo es mostrar además de la última actualización del paquete Benchmarking, paquete presentado en Villarreal y Toscana (2013), otro paquete disponible en R denominado rDEA.

2. EL MÉTODO DEA

Uno de los métodos cuantitativos que pueden emplearse para evaluar la eficiencia relativa de unidades de toma de decisión es la técnica DEA. DEA es una técnica no-paramétrica, determinística, que recurre a la programación matemática y que surge a raíz de la tesis doc-toral de Rhodes. Desde que fuera publicado en la revista European Journal of Operacional Research por Charnes, Cooper y Rhodes en el año 1978 el primer trabajo aplicando DEA, el desarrollo de esta metodología ha crecido en su aplicación. Evalúa la eficiencia relativa de un conjunto de n unidades o sistemas, Sj, de producción de bienes o servicios homogéneos entre sí, en el sentido de que a partir de las mismas entradas produzcan el mismo tipo de re-sultados. Dichos sistemas transforman una serie de “m” entradas en una serie de “s” sali-das. Si m y s son iguales a 1, es decir una única entrada y salida, la eficiencia relativa de ca-da sistema, j, puede evaluarse como la simple relación entre la cantidad de su única salida y la cantidad de su única entrada, es decir:

Cuando se quieren evaluar n sistemas con más de una entrada y más de una salida la ex-presión de la eficiencia debería consignarse como el cociente entre la suma ponderada de las salidas y la suma ponderada de las entradas.

2. 1 Modelo DEA-CCR Los modelos DEA pueden ser clasificados, básicamente, en función de: 1. El tipo de medida de eficiencia que proporcionan: modelos radiales o proporcionales y no

radiales 2. La orientación del modelo: Input orientado, Output orientado o Input-Output orientado (Coll

et al., 2006): Input orientados: busca minimizar los inputs para el nivel dado de los outputs. Una Unidad

no es eficiente si es posible disminuir cualquier Input sin alterar sus Outputs. Output orientados: busca maximizar los niveles de outputs sin requerir más de la cantidad

dada de cualquier input. En este sentido una Unidad no puede ser caracterizada como efi-ciente si es posible incrementar cualquier Output sin incrementar ningún Input y sin dismi-nuir ningún otro Output.

3. La tipología de los rendimientos a escala: Rendimientos contantes de escala, Rendimien-tos o economías de escala crecientes, Rendimientos de escala decrecientes. Teniendo en cuenta estas orientaciones definidas, una DMU será considerada eficiente si, y solo si, no es posible incrementar las cantidades de Output manteniendo fijas las cantidades de Inputs utilizadas ni es posible disminuir las cantidades de Inputs empleadas sin alterar las cantidades de Outputs obtenidas (Charnes et al., 1981). El modelo DEA-CCR proporciona medidas de eficiencia proporcional, Input u Output orientadas, de rendimientos a escala cons-tantes y deben su nombre a sus autores Charnes, Cooper y Rhodes. El modelo DEA-CCR in-put orientado es un modelo de programación matemática no lineal que plantea una función objetivo que maximiza la eficiencia de una unidad o sistema genérico, Sj para el que se desea determinar los pesos ur y vi de los inputs y outputs considerados. El modelo resul-tante tiene la siguiente estructura de Programación no lineal: Sujeto a: j=1,2,…n ur,vi ≥ ε

2. 2. Modelo DEA-BCC El modelo DEA-BCC es una extensión del modelo DEA-CCR. Su formulación es similar. La di-ferencia en el modelo BCC input orientado en forma fraccional se encuentra en que este mode-lo introduce el supuesto de rendimientos variables a escala (k0).

Sujeto a: El presente modelo busca minimizar los inputs para el nivel dado de los outputs, teniendo en cuenta el supuesto de rendimientos variables a escala. Modelo lineal en su forma envolvente.

Sujeto a

La resolución del modelo dará una solución θ*, s*

+, s*

- . Una unidad evaluada será calificada co-

mo técnicamente eficiente según la definición de Pareto-Koopmans, si y solo si en la solución θ *=1 y todas las holguras son nulas s*

+=0, s*

-=0. En caso contrario la unidad será ineficiente.

La eficiencia en el sentido de Pareto Koopmans nos dice que una unidad es eficiente si y solo si θ*=1 y todas las holguras son cero, gráficamente se puede explicar esta situación. En la Fig. 1 se consideran dos inputs y un outputs, las unidades A, B, C, D son eficientes técnicamente según la condición de eficiencia de Farrel que nos dice que la puntuación de eficiencia tiene que ser θ*=1 (estar sobre la frontera). La unidad E es ineficiente. Sin embargo, solo las unida-des B y C son eficientes técnicamente según la condición de Pareto Koopmans, ya que tanto la unidad A como la D presentan holguras input la primera en el input x2 y la segunda en el input x1, que indicaran en cuanto las unidades A y D deberían reducir el consumo de dichos inputs, permaneciendo aun así en la frontera. Ninguna unidad presenta holgura output (Coll et al., 2006).

θ denota la puntuación de eficiencia λ es el vector(nx1)de pesos o intensidades Y matriz de outputs de orden sxn y0 representa el vector output de la unidad que esta siendo evaluada X es una matriz de Inputs de orden mxn x0 representa el vector Inputs de la unidad que esta siendo evaluada Is

+ vector de holguras output

Is- vector de holguras input

FIGURA 1

3. SOFTWARE R

R es un sistema para análisis estadísticos y gráficos creado por Ross Ihaka y Robert Gentleman a mediados de 1993. El objetivo es mostrar además de la última actualización del paquete Benchmarking, paquete presentado en Villarreal y Toscana (2013), otro paquete disponible en R de-nominado rDEA. La ventaja de poder utilizar este software radica en que R se distribuye gratuitamente y además es un software libre, lo cual significa que se pueden modificar los códigos de programación, según las necesidades de los usuarios de R (Guisande Gonzalez et al., 2011). Los archivos necesarios para instalar R junto con sus instrucciones se encuentran en el siguiente link http://cran.r-project.org/. R es un lenguaje orientado a “objetos”, signi-fica que las variables, datos, funciones, resultados, etc., se guardan en la memoria activa de la computadora en forma de objetos con un nombre específico. El usuario puede modificar o manipular estos objetos con operadores (aritméticos, lógicos, y comparativos) y funciones (que a su vez son objetos). Paquetes a utilizar: “Benchmarking” (Bogetoft y Otto, 2011, 2016) y “rDEA” (Simm y Besstremyannaya, 2016). Para este trabajo se utilizó la última versión del paquete “Benchmarking” con fecha de Julio de 2015 y la última versión del paquete “rDEA”, marzo 2016.

4. APLICACIÓN EN R

Package “rDEA”

5. CONSIDERACIONES FINALES

En este trabajo se mostró la aplicación del modelo básico DEA-BCC input orientado con rendimientos variables. Se trabajó con el paquete Benchmarking y rDEA. El pa-quete Benchmarking no solo resuelve los modelos DEA clásicos sino que también sus variantes más complejas. Trabajar con distintos supuestos respecto a la tecno-logía de producción, usar diferentes medidas de eficiencia y considerar una frontera de producción estocástica son cuestiones que también están disponibles en este pa-quete. El paquete rDEA no solo resuelve los modelos DEA clásicos sino que también incor-pora los conceptos de variables discrecionales y no discrecionales. Los paquetes de R se actualizan cada 3 meses aproximadamente con lo cual esa es otra ventaja de R con respecto a otros paquetes cerrados.

Package “Benchmarking”

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