análisis de series de tiempo y elaboración de pronósticos

Análisis de series de tiempo y elaboración de pronósticos

CONTENIDO

ESTADÍSTICA EN LA PRÁCTICA: OCCUPATIONAL HEALTH CLINIC DE NEVADA

18.1 PATRONES DE UNA SERIE DE TIEMPOPatrón horizontalPatrón de tendenciaPatrón estacionalPatrones estacional

y de tendenciaComponente cíclicoSelección de un método de

elaboración de pronósticos

18.2 EXACTITUD DEL PRONÓSTICO

18.3 PROMEDIOS MÓVILES Y SUAVIZAMIENTO EXPONENCIALPromedios móvilesPromedios móviles ponderadosSuavizamiento exponencial

18.4 PROYECCIÓN DE LA TENDENCIARegresión de tendencia lineal

Suavizamiento exponencial lineal de Holt

Regresión de tendencia no lineal

18.5 ESTACIONALIDAD Y TENDENCIAEstacionalidad sin tendenciaEstacionalidad y tendenciaModelos basados en datos

mensuales

18.6 DESCOMPOSICIÓN DE SERIES DE TIEMPOCálculo de los índices

estacionalesDesestacionalización de una serie

de tiempoUso de una serie de tiempo

desestacionalizada para identificar tendencias

Ajustes estacionalesModelos basados en datos

mensualesPatrón cíclico

CAPÍTULO 18

Estadística en la práctica 785

La Occupational Health Clinic de Nevada es un centro médico de propiedad privada que se encuentra en Sparks, Nevada, y se especializa en medicina del trabajo. Ha ope-rado en el mismo lugar por más de 20 años, y en el último bienio había registrado una fase de rápido crecimiento. La facturación mensual creció de $57 000 a más de $300 000 en 26 meses, cuando el edificio principal de la clínica se incendió.

La póliza de seguro de la unidad médica cubría la pro-piedad física y el equipo, así como la pérdida de ingresos totales debido a la interrupción de su funcionamiento nor-mal. La reclamación del seguro de propiedad fue un asun-to relativamente sencillo, ya que consistió en determinar el valor de la propiedad física y del equipo que se perdió durante el incendio. Sin embargo, determinar el valor de la pérdida de ingresos durante los siete meses que se tardó en reconstruir el edificio era un tema complejo, que requirió negociaciones entre los propietarios y la compañía de se-guros. No hubo reglas prestablecidas que pudieran ayudar a calcular “lo que hubiera sucedido” con la facturación de la clínica si el incendio no se hubiera producido.

Para estimar la pérdida de ingresos, la clínica utilizó un método de elaboración de pronósticos para proyectar el crecimiento que habrían registrado los ingresos durante el periodo de siete meses de pérdida de negocio. La historia real de la facturación antes del incendio sirvió como base para un modelo de elaboración de pronósticos de tenden-

cia lineal y patrones estacionales como los que se discu-ten en el presente capítulo. Este modelo de elaboración de pronósticos permitió a la clínica establecer una estima-ción precisa de la pérdida, que fue aceptada finalmente por la compañía de seguros.

Una médico de la Occupational Health Clinic de Nevada checa la presión arterial de una paciente. © Bob Pardue–Medical Lifestyle/Alamy.

OCCUPATIONAL HEALTH CLINIC*SPARKS, NEVADA

ESTADÍSTICA en LA PRÁCTICA

* Agradecemos a los autores Bard Betz, director de Operaciones, y a Curtis Brauer, asistente ejecutivo administrativo, de Occupational Health Clinic de Nevada, por proporcionar este artículo para Estadística en la práctica.

El propósito de este capítulo es presentar el análisis de series de tiempo y de elaboración de pronósticos. Suponga que se le ha solicitado preparar los pronósticos trimestrales de ventas de cada uno de los productos de la empresa para el próximo año. Los programas de producción, compra de materias primas, las políticas de inventarios y el monto de las ventas se verán afec-tados por el pronóstico trimestral que proporcione. En consecuencia, un pronóstico defi ciente puede dar lugar a una mala planeación y a incrementar los costos para la empresa. ¿Cómo se debe proceder para obtener un pronóstico trimestral del volumen de ventas? Un buen criterio, intuición y estar concientes de la situación de la economía pueden dar una idea aproximada o “una sensación” de lo que es probable que suceda en el futuro, pero convertir esa sensación en un número que sea utilizado como el prónostico de ventas para el próximo año es difícil.

Los métodos de elaboración de pronósticos se pueden clasifi car como cualitativos o cuanti-tativos. Los primeros implican la necesidad del criterio de expertos para obtener los pronós-ticos. Dichos métodos son apropiados cuando los datos históricos de la variable a pronosticar no apliquen o no estén disponibles. Los métodos cuantitativos se pueden utilizar cuando 1) la información del pasado acerca de la variable que se desea pronosticar esté disponible; 2) la in-formación pueda cuantifi carse, y 3) sea razonable suponer que el patrón del pasado continúe en

Un pronóstico no es más que una predicción de lo que sucederá en el futuro. Los gerentes deben aprender a aceptar que, independientemente de la técnica que se utilice, no podrán tener pronósticos perfectos.

786 Capítulo 18 Análisis de series de tiempo y elaboración de pronósticos

el futuro. En estos casos, los pronósticos se pueden obtener mediante un método de series de tiempo o un método causal. Este capítulo se centrará exclusivamente en los métodos de elabo-ración de pronósticos cuantitativos.

Si los datos históricos se limitan a los valores pasados de la variable que se pronostica, al procedimiento de elaboración de pronósticos se le llama método de series de tiempo, y los datos históricos se refi eren como una serie de tiempo. El objetivo del análisis de la serie de tiempo es descubrir un patrón en los datos históricos o de series de tiempo para después extrapolar el modelo al futuro. El pronóstico se basa únicamente en los valores pasados de la variable o en los errores de pronóstico del pasado.

Los métodos de elaboración de pronósticos causales se basan en el supuesto de que la variable a pronosticar tiene una relación de causa y efecto con una o más variables. En el estu-dio del análisis de regresión de los capítulos 14, 15 y 16 se mostró cómo una o más variables independientes podrían ser utilizadas para pronosticar el valor de una sola variable dependiente. En cuanto a los análisis de regresión como una herramienta de elaboración de pronósticos, se puede observar el valor de la serie de tiempo que se desea pronosticar como la variable depen-diente. Por tanto, si se identifi ca un buen conjunto de variables independientes relacionadas o explicativas, podemos desarrollar una ecuación de regresión y predecir la serie de tiempo. Por ejemplo, las ventas de muchos productos están infl uidas por los gastos de publicidad, por lo que el análisis de regresión sirve para desarrollar una ecuación que muestre cómo las ventas y la publicidad están relacionadas. Una vez que se determina el presupuesto de publicidad para el siguiente periodo, se podría sustituir este valor en la ecuación y obtener una predicción para el volumen de ventas de ese periodo. Observe que si se utiliza un método de series de tiempo para obtener el pronóstico, los gastos de publicidad no serían considerados, es decir, en este método el pronóstico se basa únicamente en las ventas del pasado.

Al tratar el tiempo como variable independiente y la serie de tiempo como una variable dependiente, el análisis de regresión también puede utilizarse como un método de series de tiempo. Para diferenciar la aplicación del análisis de regresión en estos dos casos, se utilizan los términos regresión de corte transversal y regresión de series de tiempo. Por tanto, la regresión de series de tiempo se refi ere al uso del análisis de regresión cuando la variable independiente es el tiempo. Debido a que este capítulo se enfoca en los métodos de series de tiempo, se deja la discusión acerca de la aplicación del análisis de regresión como un método de elaboración de pronósticos causal a textos más avanzados sobre la materia.

18.1 Patrones de una serie de tiempoUna serie de tiempo es una secuencia de observaciones en una variable que se mide en puntos sucesivos en el tiempo o sobre un periodo sucesivo. Las medidas pueden ser tomadas cada hora, día, semana, mes o año, o en cualquier otro intervalo regular.1 El patrón de datos es un factor importante en la comprensión de cómo las series de tiempo se han comportado en el pasado. Si se espera que tal comportamiento continúe en el futuro, se puede utilizar el patrón anterior como guía en la selección de un método de elaboración de pronósticos adecuado.

Para identifi car los datos del patrón subyacente, un primer paso útil es construir una grá-fica de series de tiempo. Ésta es una representación gráfi ca de la relación entre el tiempo y las variables de serie de tiempo: el tiempo está en el eje horizontal y los valores de la serie de tiempo en el eje vertical. Se revisarán algunos tipos comunes de patrones de datos que se pue-den identifi car al examinar una gráfi ca de series de tiempo.

Patrón horizontalUn patrón horizontal se presenta cuando los datos fl uctúan alrededor de una media cons-tante. Para ilustrar una serie de tiempo con un patrón horizontal, observe los datos de la ta-

1 El estudio se limitará a las series de tiempo en las que los valores de las series sean medidos en intervalos iguales. Los casos en los que las observaciones se realizan en intervalos desiguales quedan fuera del alcance de este libro.

TABLA 18.1

Serie de tiempo de las ventas de gasolina

Ventas (miles Semana de galones) 1 17 2 21 3 19 4 23 5 18 6 16 7 20 8 18 9 22 10 20 11 15 12 22

WEB archivoGasoline

18.1 Patrones de una serie de tiempo 787

bla 18.1. Estos datos muestran el número de galones de gasolina vendidos por un distribuidor en Bennington, Vermont, en las últimas 12 semanas. El valor medio o promedio para esta se-rie de tiempo es 19.25 o 19 250 galones por semana. La fi gura 18.1 muestra una gráfi ca de serie de tiempo para estos datos. Observe cómo éstos fl uctúan alrededor de una media muestral de 19 250 galones. Aunque la variabilidad aleatoria está presente, se diría que estos datos siguen un patrón horizontal.

El concepto de series de tiempo estacionarias2 designa una serie de tiempo cuyas propie-dades estadísticas son independientes del tiempo. Esto signifi ca, en particular, que

1. El proceso de generación de los datos tiene una media constante.2. La variabilidad de la serie de tiempo es constante en el tiempo.

Una gráfi ca para una serie de tiempo estacionaria exhibe siempre un patrón horizontal. Pero la sola observación de un patrón horizontal no es evidencia sufi ciente para concluir que la serie de tiempo sea estacionaria. Los libros más avanzados sobre elaboración de pronósticos estudian los procedimientos para determinar si una serie de tiempo es estacionaria y proporcionan méto-dos para transformarla de no estacionaria en estacionaria.

Los cambios en las condiciones de negocios a menudo pueden dar lugar a que una serie de tiempo que tiene un patrón horizontal cambie a un nuevo nivel. Por ejemplo, suponga que un distribuidor fi rma un contrato con el Departamento de Policía de Vermont para proveer de gasolina a los automóviles de la policía local ubicados al sur del estado. Con este nuevo con-trato el distribuidor espera tener un gran incremento en las ventas semanales a partir de la se-mana 13. La tabla 18.2 muestra el número de galones de gasolina que se venden para la serie de tiempo original y para las 10 semanas después de fi rmar el nuevo contrato. La fi gura 18.2 muestra la gráfi ca correspondiente de la serie de tiempo. Observe el aumento en el nivel de la serie de tiempo a partir de la semana 13. Este cambio hace más difícil elegir un método de ela-boración de pronósticos adecuado. La selección de un método que se adapte bien a los cambios en el nivel de una serie de tiempo es una consideración importante en muchas aplicaciones prácticas.

2 Para una definición formal de series de tiempo estacionarias, remítase a G. E. P, Box, G. M. Jenkins y G. C. Reinsell, Time series analysis: forecasting and control (Análisis de series de tiempo: pronóstico y control ), 3a. ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1994, p. 23.

FIGURA 18.1 Gráfica de la serie de tiempo de las ventas de gasolina

Ven

tas

(mile

s de

gal

ones

)

0

20

15

10

5

04 7 9

Semana

25

1 2 3 65 8 10 1211

TABLA 18.2

Serie de tiempo de las ventas de gasolina después de obtener el contrato con la policía de Vermont

Ventas (miles Semana de galones) 1 17 2 21 3 19 4 23 5 18 6 16 7 20 8 18 9 22 10 20 11 15 12 22 13 31 14 34 15 31 16 33 17 28 18 32 19 30 20 29 21 34 22 33

WEB archivoGasolineRevised


Patrón de tendenciaAunque los datos de las series de tiempo presentan fl uctuaciones aleatorias, estas series tam-bién pueden mostrar cambios o movimientos graduales hacia valores relativamente mayores o menores durante un periodo. Si una gráfi ca de series de tiempo muestra este tipo de comporta-miento, se dice que existe un patrón de tendencia. La tendencia, por lo general, es el resultado de factores a largo plazo, como el aumento o disminución de la población o la variación de sus características demográfi cas, la tecnología y/o preferencias de los consumidores, etcétera.

Para ilustrar una serie de tiempo con un patrón de tendencia, considere las series de tiempo de ventas de bicicletas de un fabricante en particular en los últimos 10 años, como se muestra en la tabla 18.3 y la fi gura 18.3. Observe que en el primer año se vendieron 21 600 bicicle-tas, en el segundo 22 900, y así sucesivamente. En el año 10, el último año, se han vendido 31 400 bicicletas. La inspección visual de la gráfi ca de las serires de tiempo permite apreciar al-gunos movimientos ascendentes y descendentes en los últimos 10 años, pero la serie de tiempo también parece tener una tendencia sistemática de aumento o disminución.

La tendencia en la serie de tiempo de las ventas de bicicletas parece ser lineal y creciente con el tiempo, pero a veces una tendencia se puede describir mejor por otros tipos de patrones. Por ejemplo, los datos en la tabla 18.4 y la gráfi ca correspondiente a la serie de tiempo de la fi gura 18.4 muestran las ventas de un medicamento contra el colesterol, dado que la empresa obtuvo la aprobación de la FDA hace 10 años. La serie de tiempo se incrementó de una manera no lineal, es decir, la tasa de variación de los ingresos no aumentó en una cantidad constante de un año a otro. De hecho, los ingresos parecen estar creciendo de manera exponencial. Las rela-ciones exponenciales de este tipo son apropiadas cuando la variación porcentual de un periodo a otro es relativamente constante.

Patrón estacionalLa tendencia de una serie de tiempo se puede identifi car con el análisis de las variaciones mul-tianuales en los datos históricos. Los patrones estacionales son reconocidos al identifi carse los mismos patrones de repetición en periodos sucesivos. Por ejemplo, un fabricante de albercas espera tener pocas ventas en los meses de otoño e invierno, y aumentarlas en los meses de primavera y verano. Los fabricantes de equipos de remoción de nieve y de ropa de invierno,

FIGURA 18.2 Gráfica de series de tiempo de las ventas de gasolina después de obtener el contrato con la policía de Vermont

Ven

ta (

mile

s de

gal

ones

)

0

15

20

25

30

35

10

5

04 7 9

Semana

40

1 2 3 65 8 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2411

TABLA 18.3

Serie de tiempo de las ventas de bicicletas

Año Ventas (miles) 1 21.6 2 22.9 3 25.5 4 21.9 5 23.9 6 27.5 7 31.5 8 29.7 9 28.6 10 31.4

WEB archivoBicycle


FIGURA 18.3 Gráfica de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas

Ven

tas

(mile

s)

0

22

24

26

28

30

32

204 7 9

Año

34

1 2 3 65 8 10 1211

sin embargo, prevén exactamente lo contrario. Como era de esperar, el patrón de una gráfi ca de series de tiempo que tiene un comportamiento repetitivo en un periodo de un año debido a la infl uencia estacional se llama patrón estacional. Aunque por lo general se considera que las va-riaciones estacionales son aquellas que se representan en un lapso de un año, los datos de series de tiempo también pueden presentar patrones estacionales de menos de un año. Por ejemplo, el volumen de tráfi co diario muestra en un día un comportamiento “estacional”, donde los valores máximos se presentan en las horas pico, un fl ujo moderado el resto del día y al comienzo de la noche, y un fl ujo ligero desde la medianoche hasta la madrugada.

Como ejemplo de un patrón estacional, considere el número de sombrillas vendidas en una tienda de ropa en los últimos cinco años. La tabla 18.5 muestra la serie de tiempo con los datos de año (Year), trimestre (Quarter) y ventas (Sales), y la fi gura 18.5 ilustra la gráfi ca correspon-diente. La gráfi ca de una serie de tiempo no indica ninguna tendencia a largo plazo en las ventas. De hecho, a menos que observe cuidadosamente los datos, es posible concluir que éstos siguen un patrón horizontal. Pero una inspección más cercana revela un patrón regular en los datos. Es decir, el primer y tercer trimestre presentan ventas moderadas, el segundo trimestre tiene ventas más altas, y el cuarto trimestre tiende a tener el menor volumen de ventas. Por tanto, se concluye que existe un patrón estacional trimestral.

Patrones de tendencia y estacionalAlgunas series de tiempo son una combinación de un patrón de tendencia y estacional. Por ejemplo, los datos de la tabla 18.6 y la gráfi ca correspondiente de las series de tiempo en la fi gura 18.6 muestran las ventas (Sales) de televisores por trimestre (Quarter ) y año (Year) de un fabricante en particular en los últimos cuatro años. Claramente se presenta una tendencia cre-ciente. Sin embargo, la fi gura 18.6 indica también que las ventas son menores en el segundo trimestre de cada año y que aumentan a partir de los trimestres 3 y 4. Por tanto, se llega a la conclusión de que un patrón estacional también está presente en las ventas de televisores. En estos casos se utiliza un método de elaboración de pronósticos que tiene la capacidad para tratar la tendencia y la estacionalidad.

Patrón cíclicoEl patrón cíclico existe si la gráfi ca de la serie de tiempo muestra una secuencia de puntos que caen de manera alterna por arriba y debajo de la línea de tendencia por más de un año. Muchas

TABLA 18.4

Serie de tiempo de ingresos por medicamentos contra el colesterol ($ millones)

Año Ingresos 1 23.1 2 21.3 3 27.4 4 34.6 5 33.8 6 43.2 7 59.5 8 64.4 9 74.2 10 99.3

WEB archivoCholesterol


series de tiempo económicas suelen mostrar un comportamiento cíclico con observaciones re-gulares que caen por debajo y por encima de la línea de tendencia. A menudo, el patrón cíclico se debe a ciclos multianuales de la economía. Por ejemplo, periodos de infl ación moderada se-guidos por periodos de infl ación rápida pueden dar lugar a que la serie de tiempo alterne hacia arriba y hacia abajo de la línea general de tendencia creciente (por ejemplo, una serie de tiempo sobre el costo de vivienda). Los ciclos económicos son extremadamente difíciles, si no es que

Year Quarter Sales

1 1 125 2 153 3 106 4 88 2 1 118 2 161 3 133 4 102 3 1 138 2 144 3 113 4 80 4 1 109 2 137 3 125 4 109 5 1 130 2 165 3 128 4 96

TABLA 18.5 Serie de tiempo de las ventas de sombrillas

FIGURA 18.4 Gráfica de la serie de tiempo de las ventas de medicamentos contra el colesterol ($ millones)

Ingr

esos

0

20

40

60

80

100

04 7 9

Año

120

1 2 3 65 8 10

WEB archivoUmbrella


imposibles de predecir. Como resultado, los efectos cíclicos a menudo se combinan con efec-tos de tendencia a largo plazo y se conocen como efecto de tendencia-cíclico. Este capítulo no trata de los efectos cíclicos que puedan presentarse en las series de tiempo.

Selección de un método de elaboración de pronósticosEl patrón subyacente en la serie de tiempo es un factor importante en la selección de un método de elaboración de pronósticos. Por tanto, la gráfi ca correspondiente debe ser una de las prime-ras tareas a desarrollar cuando se trate de determinar qué método de elaboración de pronósticos utilizar. Si se observa un patrón horizontal, entonces tenemos que seleccionar un método apro-piado para este tipo de patrón. Del mismo modo, si se observa una tendencia en los datos, en-

TABLA 18.6 Serie de tiempo de las ventas de televisores

Year Quarter Sales (1 000s)

1 1 4.8 2 4.1 3 6.0 4 6.5 2 1 5.8 2 5.2 3 6.8 4 7.4 3 1 6.0 2 5.6 3 7.5 4 7.8 4 1 6.3 2 5.9 3 8.0 4 8.4

FIGURA 18.5 Gráfica de series de tiempo de las ventas de sombrillas

Ven

tas

60

80

100

120

160

140

40

20

0

180

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

1 2 3 4

Año 5

Año/trimestre

WEB archivoTVSales


tonces se debe utilizar un método de elaboración de pronósticos con la capacidad para manejar la tendencia con efectividad. Las siguientes dos secciones ilustran los métodos que se pueden utilizar en situaciones donde el patrón subyacente es horizontal, es decir, no están presentes los efectos de tendencia o estacionales. Después se considerarán los métodos apropiados cuando la tendencia y/o la estacionalidad están presentes en los datos.

18.2 Exactitud del pronósticoEsta sección se inicia con la elaboración de pronósticos de la serie de tiempo de las ventas de gasolina mostradas en la tabla 18.1, utilizando el más simple de todos los métodos de elabora-ción de pronósticos: uno que utiliza el volumen de la última semana de ventas como predictor de la siguiente semana. Por ejemplo, un distribuidor vendió 17 mil galones de gasolina en la sema-na 1; este valor se utiliza como el pronóstico para la semana 2. Después, se utiliza 21, el valor real de las ventas en la semana 2, como el pronóstico para la semana 3, y así sucesivamente. Las pre-dicciones obtenidas para los datos históricos con este método se muestran en la columna Pro-nóstico en la tabla 18.7. Debido a su sencillez, a este enfoque se le denomina a menudo método de elaboración de pronósticos ingenuo.

¿Qué tan exactos son los pronósticos al utilizar el método ingenuo? Para responder esta pre-gunta se presentan varias medidas de exactitud para los pronósticos. Estas medidas se utilizan para determinar qué tan bien un método particular es capaz de reproducir los datos de las series de tiempo que están disponibles. Al seleccionar el enfoque que tiene la mejor exactitud de los datos ya conocidos, se espera que aumente la probabilidad de obtener un mejor pronóstico para periodos futuros.

El concepto clave relacionado con la medida de exactitud del pronóstico es el error de pronóstico, defi nido como

Error de pronóstico � valor real � pronóstico

FIGURA 18.6 Gráfica de la serie de tiempo del conjunto de ventas trimestrales de televisores

Ven

tas

trim

estr

ales

de

tele

viso

res

(100

0s)

9.0

1

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

0.0

1.0

2.0

2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4


Año/trimestre

18.2 Exactitud del pronóstico 793

Por ejemplo, debido a que el distribuidor vendió en realidad 21 mil galones de gasolina en la semana 2 y el pronóstico al utilizar el volumen de ventas en la semana 1 fue de 17 mil galones, el error de pronóstico en la semana 2 es

Error de pronóstico en la semana 2 � 21 � 17 � 4

El hecho de que el error de pronóstico sea positivo, indica que en la semana 2 el método de elaboración de pronósticos subestimó el valor real de las ventas. A continuación utilice 21, el valor real de las ventas en la semana 2, como pronóstico para la semana 3. Ya que el valor real de las ventas en la semana 3 es 19, el error de pronóstico para esta semana es 19 � 21 � �2. En este caso, el error negativo indica que en la semana 3 el pronóstico sobrestimó el valor real. Así, el error de pronóstico puede ser positivo o negativo dependiendo de si es demasiado bajo o demasiado alto. Un resumen completo de los errores de pronóstico para este método ingenuo se muestra en la tabla 18.7, en la columna Error de pronóstico.

Una medida sencilla de exactitud de los pronósticos es la media o promedio de errores de pronóstico. La tabla 18.7 muestra que la suma de estos errores para la serie de tiempo de las ventas de gasolina es 5, por lo que la media o promedio del error de pronóstico es 5/11 � 0.45. Observe que aunque la serie de tiempo de gasolina se compone de 12 valores, al calcular la media del error se divide la suma de los errores entre 11, ya que existen solamente 11 errores de pronóstico. Debido a que la media del error de pronóstico es positiva, el método arroja pro-nósticos bajos; es decir, los valores observados tienden a ser mayores que los pronosticados. Debido a que los errores de pronóstico positivos y negativos tienden a compensarse entre sí, es probable que la media del error sea pequeña, así que ésta no es una medida muy útil para la exactitud del pronóstico.

El error absoluto medio, que se denota EAM, es una medida de exactitud del pronóstico que evita el problema de los errores positivos y negativos que se compensan entre sí. Como es de esperar, dado su nombre, EAM es el promedio de los valores absolutos de los errores de pro-nóstico. La tabla 18.7 muestra que la suma de los valores absolutos de los errores de pronóstico es 41; por tanto

EAM � promedio del valor absoluto de los errores de pronóstico � 41

11 � 3.73

Valor de Valor absoluto Error de Valor absoluto la serie Error de del error pronóstico Error del error Semana de tiempo Pronóstico pronóstico de pronóstico cuadrado porcentual porcentual

1 17 2 21 17 4 4 16 19.05 19.05 3 19 21 �2 2 4 �10.53 10.53 4 23 19 4 4 16 17.39 17.39 5 18 23 �5 5 25 �27.78 27.78 6 16 18 �2 2 4 �12.50 12.50 7 20 16 4 4 16 20.00 20.00 8 18 20 �2 2 4 �11.11 11.11 9 22 18 4 4 16 18.18 18.18 10 20 22 �2 2 4 �10.00 10.00 11 15 20 �5 5 25 �33.33 33.33 12 22 15 7 7 49 31.82 31.82

Totales 5 41 179 1.19 211.69

TABLA 18.7 Cálculos y medidas de exactitud de pronósticos utilizando el valor más reciente como pronóstico para el próximo periodo

En el análisis de regresión, un residual se define como la diferencia entre el valor observado y el valor estimado de la variable dependiente. Los errores de pronóstico son análogos a los residuales en el análisis de regresión.


Otra medida que evita el problema de los errores de pronóstico positivos y negativos que se compensan entre sí se obtiene al calcular el promedio de los errores de pronóstico cuadra-dos. Esta medida de exactitud en los pronósticos se llama cuadrado medio debido al error, denotado como CME, o error cuadrático medio. En la tabla 18.7, la suma de los cuadrados de-bido al error es 179: por tanto,

CME � promedio de la suma de los errores de pronóstico cuadrados 179

11 � 16.27

El tamaño del EAM y del CME depende de la escala de los datos. Como resultado, es difícil ha-cer comparaciones de los distintos intervalos de tiempo, como la de un método de pronósticos de ventas mensuales de gasolina con un método de elaboración de pronósticos de ventas sema-nal, o hacer comparaciones de las distintas series de tiempo. Para hacer comparaciones como éstas se debe trabajar con las medidas relativas o porcentuales de los errores. El error por-centual absoluto medio, denotado como EPAM, es una medida de este estilo. Para calcular el EPAM, en primer lugar se debe determinar el error porcentual de cada pronóstico. Por ejemplo, el error porcentual que corresponde al pronóstico de 17 en la semana 2 se calcula dividiendo el error de pronóstico en la semana 2 entre el valor real en la semana 2 y multiplicando el resultado por 100. Para esta semana, el error porcentual se calcula de la siguiente manera.

Error porcentual para la semana 2 � 4

21 (100) � 19.05%

Por tanto, el error de pronóstico para la semana 2 es 19.05% del valor observado en tal semana. Un resumen completo de los errores porcentuales se muestra en la tabla 18.7, en la columna Error porcentual. En la siguiente columna se muestran los valores absolutos de este porcentaje.

La tabla 18.7 indica que la suma de los valores absolutos de los errores porcentuales es 211.69, por lo que

EPAM � promedio del valor absoluto de los errores porcentuales de pronóstico � 211.69

11 � 19.24%

En resumen, al utilizar el método de elaboración de pronósticos ingenuo (la más reciente ob-servación), se obtuvieron las siguientes medidas de exactitud del pronóstico.

EAM � 3.73

CME � 16.27

EPAM � 19.24%

Estas medidas de exactitud miden simplemente qué tan bien el método de elaboración de pro-nósticos es capaz de predecir los valores históricos de las series de tiempo. Ahora, suponga que se desea predecir las ventas para un periodo futuro, como la semana 13. En este caso, el pronós-tico es 22, el valor real de las series de tiempo en la semana 12. ¿Es ésta una estimación exacta de ventas para la semana 13? Desafortunadamente no hay manera de abordar el tema de la exactitud relacionada con el pronóstico para periodos futuros. Pero si se elige un método de ela-boración de pronósticos que funcione bien para los datos históricos, y se piensa que el patrón histórico continuará en el futuro, se deben obtener resultados que, en última instancia, proba-ron ser buenos.

Antes de concluir esta sección, se considerará otro método de elaboración de pronósticos para las series de tiempo en las ventas de gasolina de la tabla 18.1 Suponga que se utiliza el promedio de todos los datos históricos disponibles como pronóstico para el próximo periodo. Comience por elaborar un pronóstico para la semana 2. Ya que existe sólo un valor histórico disponible antes de la semana 2, el pronóstico para ésta es sólo el valor de la serie de tiempo para la semana 1, por lo que el pronóstico es de 17 mil galones de gasolina. Para calcular el pronóstico de la semana 3 se toma el promedio de los valores de ventas en las semanas 1 y 2. Por tanto, el resultado que se obtiene es el que se indica a continuación.

En el análisis de regresión el cuadrado medio debido al error (CME) o error cuadrático medio es la suma de los residuales cuadrados dividida entre sus grados de libertad. En el pronóstico, el CME es el promedio de la suma de los errores de pronóstico cuadrados.

18.2 Exactitud del pronóstico 795

Pronóstico para la semana 3 � 17 � 21

2 � 19

De la misma forma, el pronóstico para la semana 4 indica,

Pronóstico para la semana 4 � 17 � 21 � 19

3 � 19

Los pronósticos obtenidos al utilizar este método para las series de tiempo de las ventas de ga-solina se muestran en la tabla 18.8, en la columna Pronóstico. Con estos resultados se obtuvie-ron los siguientes valores de EAM, CME y EPAM.

EAM � 26.81

11 � 2.44

CME � 89.07

11 � 8.10

EPAM � 141.34

11 � 12.85%

Ahora se puede determinar la exactitud de los dos métodos de elaboración de pronósticos que se han considerado en esta sección mediante la comparación de los valores de EAM, CME y EPAM.


1 17 2 21 17.00 4.00 4.00 16.00 19.05 19.05 3 19 19.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4 23 19.00 4.00 4.00 16.00 17.39 17.39 5 18 20.00 �2.00 2.00 4.00 �11.11 11.11 6 16 19.60 �3.60 3.60 12.96 �22.50 22.50 7 20 19.00 1.00 1.00 1.00 5.00 5.00 8 18 19.14 �1.14 1.14 1.31 �6.35 6.35 9 22 19.00 3.00 3.00 9.00 13.64 13.64 10 20 19.33 0.67 0.67 0.44 3.33 3.33 11 15 19.40 �4.40 4.40 19.36 �29.33 29.33 12 22 19.00 3.00 3.00 9.00 13.64 13.64

Totales 4.53 26.81 89.07 2.76 141.34

TABLA 18.8 Cálculo y medidas de exactitud del pronóstico al utilizar el promedio de todos los datos históricos como pronóstico del próximo periodo

Método ingenuo Promedio de los valores pasados

EAM 3.73 2.44 CME 16.27 8.10 EPAM 19.24% 12.85%


Para cada medida, el promedio de los valores pasados proporciona pronósticos más preci-sos que al utilizar la observación más reciente como pronóstico para el próximo periodo. En ge-neral, si la serie de tiempo subyacente es estacionaria, el promedio de todos los datos históricos siempre proporcionará mejores resultados.

Pero suponga que la serie de tiempo subyacente no es estacionaria. En la sección 18.1 se menciona que las variaciones en las condiciones de negocios suelen dar lugar a una serie de tiempo con un patrón horizontal que cambia a un nuevo nivel. Se estudió una situación en la que el distribuidor de gasolina fi rmó un contrato con la policía del estado de Vermont para pro-veer de combustible a las patrullas de policías del sur del estado. La tabla 18.2 muestra el núme-ro de galones de gasolina que se vendieron para la serie de tiempo original y para las 10 semanas después de fi rmado el nuevo contrato, y la fi gura 18.2 presenta la gráfi ca que corresponde a las series de tiempo. Observe el cambio en el nivel de la semana 13 para la serie de tiempo resul-tante. Cuando ocurre este cambio, le toma tiempo al método de elaboración de pronósticos que utiliza el promedio de todos los datos históricos ajustarse a un nuevo nivel de series de tiempo. Pero en este caso el método ingenuo simple se ajusta muy rápidamente a los cambios en el ni-vel, debido a que utiliza la observación más reciente como pronóstico.

Las medidas de exactitud de los pronósticos son factores importantes en la comparación de distintos métodos de elaboración de pronósticos, pero se debe tener cuidado de no depender demasiado de ellas. El buen criterio y el conocimiento sobre las condiciones de negocios que puedan afectar el pronóstico también deben tomarse en cuenta cuidadosamente en la elección de un método. La exactitud de los pronósticos históricos no es la única consideración, sobre todo si es probable que la serie de tiempo cambie en el futuro.

En la siguiente sección se presentarán métodos más sofi sticados para el desarrollo de los pronósticos de una serie de tiempo que muestren un patrón horizontal. Al utilizar las medidas de exactitud de los pronósticos desarrolladas aquí, se logrará determinar si dichos métodos pro-porcionan más exactitud a los pronósticos que la obtenida utilizando los enfoques sencillos que se ilustran en esta sección. Los métodos que se presentarán también tienen la ventaja de adap-tarse a situaciones donde las series de tiempo cambian a un nuevo nivel. La capacidad de un método de pronósticos para adaptarse rápidamente a estos cambios es una consideración impor-tante, especialmente en situaciones de elaboración de pronósticos a corto plazo.

Ejercicios

Métodos1. Considere los datos de las siguientes series de tiempo.

Semana 1 2 3 4 5 6

Valor 18 13 16 11 17 14

Utilizando el método ingenuo (el valor más reciente) como pronóstico para la semana próxi-ma, calcule las siguientes medidas de exactitud de los pronósticos.a) Error absoluto medio.b) Cuadrado medio debido al error o error cuadrático medio.c) Error porcentual absoluto medio.d) ¿Cuál es el pronóstico para la semana 7?

2. Consulte los datos de las series de tiempo del ejercicio 1. Utilice el promedio de todos los da-tos históricos como pronóstico para el próximo periodo y calcule las siguientes medidas de exactitud de los pronósticos.a) Error absoluto medio.b) Cuadrado medio debido al error o error cuadrático medio.c) Error porcentual absoluto medio.d) ¿Cuál es el pronóstico para la semana 7?

AUTO evaluación

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18.3 Promedios móviles y suavizamiento exponencial 797

El término móvil se utiliza porque cada vez que en la serie de tiempo hay una nueva ob-servación, ésta sustituye a la observación más antigua de la ecuación y se calcula un nuevo promedio. Como resultado, el promedio se modifi ca, o se mueve, conforme se disponga de una nueva observación.

Para ilustrar el método de los promedios móviles, regrese a los datos de las ventas de gaso-lina de la tabla 18.1 y de la fi gura 18.1. La gráfi ca de la fi gura 18.1 indica que la serie de tiempo de las ventas de gasolina tiene un patrón horizontal. Por tanto, se pueden aplicar los métodos de suavizamiento de esta sección.

3. En los ejercicios 1 y 2 se utilizaron distintos métodos de elaboración de pronósticos. ¿Cuál parece dar la mejor exactitud del pronóstico para los datos históricos? Explique.

4. Considere los datos siguientes de series de tiempo.

Mes 1 2 3 4 5 6 7

Valor 24 13 20 12 19 23 15

a) Calcule el valor del CME utilizando el valor más reciente como pronóstico para el periodo próximo. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 8?

b) Calcule el valor del CME al utilizar el promedio de todos los datos disponibles como pro-nóstico para el siguiente periodo. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 8?

c) ¿Qué método parece proveer el mejor pronóstico?

18.3 Promedios móviles y suavizamiento exponencialEn esta sección se estudiarán tres métodos de elaboración de pronósticos que son apropiados para una serie de tiempo de patrón horizontal: promedios móviles, promedios móviles ponde-rados y suavizamiento exponencial. Estos métodos también se adaptan bien a los cambios de nivel de un patrón horizontal como se observó en las series de tiempo de las ventas prolongadas de gasolina (tabla 18.2 y fi gura 18.2). Sin embargo, no funcionan muy bien sin alguna modifi -cación cuando existen efectos importantes de tendencia, cíclicos o estacionales. Debido a que el objetivo de cada uno de estos métodos es “suavizar” las fl uctuaciones aleatorias en las series de tiempo, se les conoce como métodos de suavizamiento. Son fáciles de utilizar y en general proporcionan un alto nivel de exactitud para pronósticos a corto plazo, como el del periodo siguiente.

Promedios móvilesEl método de promedios móviles utiliza el promedio de los valores de los k datos más recien-tes de la serie de tiempo como pronóstico para el próximo periodo. En términos matemáticos, un pronóstico de promedio móvil de orden k es el siguiente.

PRONÓSTICO DE PROMEDIO MÓVIL DE ORDEN k

Ft�1 � a (los k valores más recientes de los datos)

k �

Yt � Yt�1 � . . . � Yt�k�1

k (18.1)

donde

Ft�1 � pronóstico de la serie de tiempo para el periodo t � 1

Yt � valor real de la serie de tiempo en el periodo t

AUTO evaluación


Para utilizar los promedios móviles a efecto de pronosticar las series de tiempo, primero se debe seleccionar el orden, o el número de los valores de las series de tiempo que se incluirán en el promedio móvil. Si sólo los valores más recientes se consideran relevantes, es preferible utilizar un valor pequeño de k. Si existen valores más antiguos que se consideren relevantes, entonces es mejor un valor grande de k. Como se mencionó antes, una serie de tiempo con un patrón horizontal puede cambiar con el tiempo a un nuevo nivel. Un promedio móvil se adap-tará al nuevo nivel y seguirá brindando pronósticos adecuados después de k periodos. Así, un valor menor de k hará un seguimiento más rápido en el cambio en una serie de tiempo, pero los valores mayores serán más efi caces para el suavizamiento de las fl uctuaciones aleatorias en el tiempo. Así que el criterio de negocios basado en el entendimiento del comportamiento de una serie de tiempo es de gran ayuda en la elección de un buen valor de k.

Para ilustrar cómo los promedios móviles pueden utilizarse para pronosticar las ventas de gasolina, se utilizará un promedio móvil de tres semanas (k � 3). Se comienza por calcular el pronóstico de ventas en la semana 4 con la media de los valores de la serie de tiempo en las semanas 1 a 3.

F4 � promedio de las semanas 1 a 3 � 17 � 21 � 19

3 � 19

Por tanto, el pronóstico del promedio móvil de ventas en la semana 4 es 19 o 19 mil galones de gasolina. Debido a que el valor real observado en esta semana es 23, el error de pronóstico en la semana 4 es 23 � 19 � 4.

A continuación se calcula el pronóstico de ventas en la semana 5 al promediar los valores de la serie de tiempo de las semanas 2 a 4.


3 � 21

Por tanto, el pronóstico de las ventas en la semana 5 es 21 y el error relacionado con este indi-cador es 18 � 21 � � 3. Un resumen completo del pronóstico del promedio móvil para las series de tiempo en las tres semanas de ventas de gasolina se proporciona en la tabla 18.9. La fi gura 18.7 muestra la gráfi ca de la serie de tiempo original y el pronóstico del promedio móvil de tres semanas. Observe cómo la gráfi ca de los pronósticos por promedio móvil ha tendido a suavizar las fl uctuaciones aleatorias en la serie de tiempo.


1 17 2 21 3 19 4 23 19 4 4 16 17.39 17.39 5 18 21 �3 3 9 �16.67 16.67 6 16 20 �4 4 16 �25.00 25.00 7 20 19 1 1 1 5.00 5.00 8 18 18 0 0 0 0.00 0.00 9 22 18 4 4 16 18.18 18.18 10 20 20 0 0 0 0.00 0.00 11 15 20 �5 5 25 �33.33 33.33 12 22 19 3 3 9 13.64 13.64

Totales 0 24 92 �20.79 129.21

TABLA 18.9 Resumen de los cálculos del promedio móvil para tres semanas


Para pronosticar las ventas en la semana 13, el siguiente periodo en el futuro, se calcula simplemente el promedio de los valores de la serie de tiempo en las semanas 10, 11 y 12.


3 � 19

Por tanto, el pronóstico para la semana 13 es 19 o 19 mil galones de gasolina.

Exactitud del pronóstico En la sección 18.2 se estudiaron tres medidas de exactitud del pronóstico: EAM, CME y EPAM. Al utilizar los cálculos del promedio móvil de tres semanas de la tabla 18.9, los valores para estas tres medidas de exactitud del pronóstico son

EAM � 24

9 � 2.67

CME � 92

9 � 10.22

EPAM � 129.21

9 � 14.36%

En la sección 18.2 también se mostró que al utilizar las observaciones más recientes como pronóstico para la siguiente semana (un promedio móvil de orden k � 1) dio como resultado los valores de EAM � 3.73, CME � 16.27 y EPAM � 19.24%. Así, en cada caso el método de promedio móvil para las tres semanas proporcionó pronósticos más exactos que el simple uso de la observación más reciente como pronóstico.

Para determinar si con un orden distinto de k se pueden obtener pronósticos más precisos con el promedio móvil, se recomienda el uso del método de prueba y error para determinar el valor de k que minimiza el CME. Para la serie de tiempo de ventas de gasolina se puede mostrar que el valor mínimo del CME corresponde a un promedio móvil de orden k � 6 con CME � 6.79. Si se está dispuesto a asumir que el orden del promedio móvil que es mejor para los datos

FIGURA 18.7 Gráfica de series de tiempo de las ventas de gasolina y pronósticos del promedio móvil a tres semanas

Ven

tas

(mile

s de

gal

ones

)

0

20

15

10

5

04 7 9

Semana

25

1 2 3 65 8 10 1211

Pronóstico del promediomóvil a tres semanas

En situaciones donde es necesario comparar los métodos de elaboración de pronósticos para distintos periodos, son preferibles las medidas relativas como EPAM para comparar un pronóstico de ventas semanales con un pronóstico de ventas mensuales.


históricos también será mejor para los valores futuros de la serie de tiempo, el pronóstico para el promedio móvil más preciso en las ventas de gasolina se puede obtener utilizando un promedio móvil de orden k � 6.

Promedios móviles ponderadosEn el método del promedio móvil, cada observación en los cálculos recibe el mismo peso. Una variante, conocida como promedios móviles ponderados, consiste en seleccionar un pe-so diferente para cada uno de los valores y después calcular el promedio ponderado de los k valores más recientes como pronóstico. En la mayoría de los casos la observación más recien-te recibe el mayor peso, y los pesos se reducen para los datos más antiguos. Utilice la serie de tiempo de las ventas de gasolina para ilustrar el cálculo de un promedio móvil ponderado de tres semanas. Asigne un peso de 3/6 a la observación más reciente, un peso de 2/6 a la segunda observación más reciente, y un peso de 1/6 a la tercera observación más reciente. Utilizando este promedio ponderado, el pronóstico para la semana 4 se calcula como sigue.

Pronóstico para la semana 4 � 1�6(17) � 2�6(21) � 3�6(19) � 19.33

Observe que en el método del promedio móvil ponderado la suma de los pesos es igual a 1.

Exactitud del pronóstico Para utilizar el método de promedios móviles ponderados, pri-mero debe seleccionar la cantidad de valores que se incluirán en el promedio móvil ponderado y después elegir los pesos para cada uno de los valores. En general, si se cree que el pasado re-ciente es un mejor predictor del futuro que el pasado distante, habrá que asignar pesos mayores a las observaciones más recientes. Sin embargo, si la serie de tiempo es muy variable, puede ser mejor elegir pesos aproximadamente iguales para todos los datos. El único requisito en la se-lección de los pesos es que su suma debe ser igual a 1. Para estimar si con una determinada combinación de cantidad de datos y de pesos se obtiene un pronóstico más preciso que con otra combinación, se recomienda utilizar el CME como medida de exactitud del pronóstico. Es decir, si se supone que la combinación que es mejor para el pasado también será mejor para el futuro, se utilizará la combinación del número de valores y pesos que minimice el CME de la serie de tiempo histórica para pronosticar el siguiente valor en la serie de tiempo.

Suavizamiento exponencialEl suavizamiento exponencial también utiliza un promedio ponderado de los valores pasa-dos de la serie de tiempo como pronóstico; es un caso especial del método de promedio móvil ponderado en el que se elige sólo un peso, aquel para la observación más reciente. Los pesos de los valores para los demás datos se calculan automáticamente y son más pequeños conforme las observaciones se vuelven más antiguas. La ecuación de suavizamiento exponencial es la siguiente.

PRONÓSTICO DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL

Ft�1 � αYt � (1 � α)Ft (18.2)

donde

Ft�1 � pronóstico para el periodo t � 1 de la serie de tiempo

Yt � valor real de la serie de tiempo en el periodo t

Ft � pronóstico para el periodo t de la serie de tiempo

α � constante de suavizamiento (0 � α � 1)

Un pronóstico de promedio móvil de orden k � 3 es un caso especial del método de promedios móviles ponderados en el que cada peso es igual a 1/3.

Existen varios procedimientos de suavizamiento exponencial. El método que aquí se presenta se refiere a menudo como suavizamiento exponencial sencillo. En la siguiente sección se muestra cómo un suvizamiento exponencial que utiliza dos constantes de suavizamiento puede ser utilizado para pronosticar una serie de tiempo con tendencia lineal.


La ecuación (18.2) muestra que el pronóstico para el periodo t � 1 es un promedio pon-derado del valor real en el periodo t y del valor pronosticado para el periodo t. El peso dado al valor real en el periodo t es la constante de suavizamiento α, y el peso dado al pronóstico para el periodo t es 1 � α. Resulta que el pronóstico exponencial para cualquier periodo es en realidad un promedio ponderado de todos los valores reales anteriores de la serie de tiempo. Se ilustra lo anterior con una serie de tiempo que sólo implica los datos de tres periodos: Y1, Y2 y Y3.

Para empezar los cálculos, sea F1 el valor real de la serie de tiempo en el periodo 1, es de-cir, F1 � Y1. Por tanto, el pronóstico para el periodo 2 es

F2 � αY1 � (1 � α)F1

� αY1 � (1 � α)Y1

� Y1

Observe que el pronóstico de suavizamiento exponencial para el periodo 2 es igual al valor real de la serie de tiempo en el periodo 1.

El pronóstico para el periodo 3 es

F3 � αY2 � (1 � α)F2 � αY2 � (1 � α)Y1

Por último, al sustituir esta expresión para F3 en la expresión para F4 obtenemos

F4 � αY3 � (1 � α)F3

� αY3 � (1 � α)[αY2 � (1 � α)Y1]

� αY3 � α(1 � α)Y2 � (1 � α)2Y1

Observe ahora que F4 es un promedio ponderado de los tres primeros valores de la serie de tiempo. La suma de los coefi cientes o pesos de Y1, Y2 y Y3 es igual a 1. Con un argumento similar se puede demostrar que, en general, cualquier pronóstico Ft�1 es un promedio ponderado de todos los valores anteriores de la serie de tiempo.

A pesar de que con el suavizamiento exponencial se obtiene un pronóstico que es el prome-dio ponderado de todas las observaciones anteriores, no deben conservarse todos los datos del pasado para calcular el pronóstico del periodo siguiente. De hecho, la ecuación (18.2) muestra que una vez que el valor de la constante de suavizamiento α es elegida, sólo se necesitan dos informaciones para calcular el pronóstico: Yt, el valor real de la serie de tiempo para el perio-do t, y Ft, el pronóstico para el periodo t.

Para ilustrar el método de suavizamiento exponencial, considere de nuevo la serie de tiem-po de los precios de la gasolina presentada en la tabla 18.1 y en la fi gura 18.1. Como ya se explicó, para iniciar los cálculos se establece un pronóstico de suavizamiento exponencial para el periodo 2 igual al valor real de la serie de tiempo en el periodo 1. Por tanto, como Y1 � 17, para empezar con los cálculos del suavizamiento exponencial se pone F2 � 17. Referente a los datos de la serie de tiempo en la tabla 18.1, se encuentra que el valor real de la serie de tiempo en el periodo 2 es Y2 � 21. Por tanto, el error de pronóstico del periodo 2 es 21 � 17 � 4.

Al continuar con los cálculos del suavizamiento mediante una constante de suavización α � 0.2, se obtiene el siguiente pronóstico para el periodo 3:

F3 � 0.2Y2 � 0.8F2 � 0.2(21) � 0.8(17) � 17.8

Una vez que se conoce el valor real de la serie de tiempo en el periodo 3, Y3 � 19, se puede generar un pronóstico para el periodo 4 de la siguiente manera.

F4 � 0.2Y3 � 0.8F3 � 0.2(19) � 0.8(17.8) � 18.04

Al continuar con los cálculos para el suavizamiento exponencial se determinan los valores de los pronósticos semanales que se muestran en la tabla 18.10. Observe que no se ha mostrado

El término suavizamiento exponencial proviene del carácter exponencial del sistema de ponderación de los valores históricos.


Valores de la serie Error de Error de pronóstico Semana de tiempo Pronóstico pronóstico cuadrado

1 17 2 21 17.00 4.00 16.00 3 19 17.80 1.20 1.44 4 23 18.04 4.96 24.60 5 18 19.03 �1.03 1.06 6 16 18.83 �2.83 8.01 7 20 18.26 1.74 3.03 8 18 18.61 �0.61 0.37 9 22 18.49 3.51 12.32 10 20 19.19 0.81 0.66 11 15 19.35 �4.35 18.92 12 22 18.48 3.52 12.39

Totales 10.92 98.80

un pronóstico de suavizamiento exponencial o un error de pronóstico para la semana 1, ya que no se obtuvo ningún pronóstico. Para la semana 12, se tiene que Y12 � 22 y F12 � 18.48. Se puede utilizar esta información para generar un pronóstico sobre la semana 13.

F13 � 0.2Y12 � 0.8F12 � 0.2(22) � 0.8(18.48) � 19.18

Por tanto, el pronóstico de suavizamiento exponencial de la cantidad vendida en la semana 13 es 19.18, o 19 180 galones de gasolina. Con este pronóstico, la empresa, como consecuencia, puede hacer planes y tomar decisiones.

La fi gura 18.8 muestra la gráfi ca de los valores reales y pronosticados de la serie de tiem-po. Observe en especial cómo los pronósticos “suavizan” la irregularidad de las fl uctuaciones de la serie de tiempo.

Exactitud del pronóstico En los cálculos anteriores para el suavizamiento exponencial se utilizó una constante de suavizamiento de α � 0.2. Aunque cualquier valor para α entre 0 y 1 es aceptable, algunos darán mejores pronósticos que otros. Una idea de cómo elegir el mejor valor para α se obtiene al revisar el modelo básico de suavizamiento exponencial de la siguien-te manera.

Ft�1 � αYt � (1 � α)Ft

Ft�1 � αYt � Ft � αFt

Ft�1 � Ft � α(Yt � Ft) (18.3)

Así, el nuevo pronóstico Ft�1 es igual al anterior Ft más un ajuste, el cual es la constante de suavizamiento α multiplicada por el error de pronóstico más reciente Yt � Ft. Es decir, el pro-nóstico para el periodo t � 1 se obtiene al ajustar el pronóstico para el periodo t mediante una fracción del error de pronóstico. Si en la serie de tiempo existe una variabilidad aleatoria considerable, se prefi ere un valor pequeño para la constante de suavizamiento. La razón de esta elección estriba en que gran parte del error de pronóstico se debe a la variabilidad aleatoria, y no se quiere reaccionar de forma exagerada y ajustar los pronósticos muy rápidamente. Para una serie de tiempo con una variabilidad aleatoria relativamente pequeña, los errores de pronóstico tienden más a representar un cambio en el nivel de la serie. Por tanto, los valores mayores para

TABLA 18.10 Resumen de los pronósticos de suavizamiento exponencial y los errores de pronóstico de la serie de tiempo para las ventas de gasolina con α � 0.2 como constante de suavizamiento


la constante de suavizamiento tienen la ventaja de ajustar rápidamente los pronósticos, lo que permite adaptarlos más pronto a las condiciones cambiantes.

El criterio que se utilizará a efecto de determinar el valor adecuado para la constante de suavizamiento α es el mismo que el propuesto para determinar el número de periodos a incluir en el cálculo de los promedios móviles. Es decir, se elige el valor de α que minimice el cuadrado medio debido al error (CME) o error cuadrático medio. Un resumen de los cálculos del CME para el pronóstico de suavizamiento exponencial de las ventas de gasolina con α � 0.2 se muestra en la tabla 18.10. Observe que hay un error cuadrado menos que el número de periodos, porque no se tenía el valor anterior con el que se pudiera obtener un pronóstico para el periodo 1. El valor de la suma de los errores de pronóstico cuadrados es 98.80, por lo que CME � 98.80/11 � 8.98. ¿Habrá un valor de α distinto que proporcione mejores resultados en términos de un valor menor del CME? La forma más sencilla de responder esta pregunta es simplemente probar otros valores para α. Después se comparan los cuadrados medios del error con el valor de 8.98 del CME obtenido mediante una constante de suavizamiento α � 0.2.

Los resultados del suavizamiento exponencial con α � 0.3 se muestran en la tabla 18.11. El valor de la suma de los errores de pronóstico cuadrados es 102.83, por lo que CME � 102.83/11 � 9.35. Observe que con CME � 9.35 para este conjunto de datos reales, una cons-tante de suavizamiento de α � 0.3 resulta en pronósticos menos exactos que si se emplea una constante de suavizamiento de α � 0.2. Por tanto, se preferirá esta constante original de α � 0.2. Al utilizar otros valores de α se puede hallar un “buen” valor para la constante de suaviza-miento. Este valor puede ser utilizado en el modelo de suavizamiento exponencial a efecto de obtener pronósticos para el futuro. En un momento posterior, después de obtener nuevas obser-vaciones de la serie de tiempo, se analizan nuevamente los datos recabados para determinar si la constante de suavizamiento debe ser modifi cada para obtener mejores resultados.

FIGURA 18.8 Series de tiempo real y pronosticada de las ventas de gasolina con constante de suavizamiento α � 0.2

Ven

tas

(mile

s de

gal

ones

)

0

20

15

10

5

4 7 9

Semana

25

1 2 3 65 8 10 1211 13 14

Serie detiempo real

Pronóstico de la seriede tiempo con α � 0.2


Ejercicios

Métodos5. Considere los datos siguientes de serie de tiempo.

Valores de la serie Error de Error de pronóstico Semana de tiempo Pronóstico pronóstico cuadrado

1 17 2 21 17.00 4.00 16.00 3 19 18.20 0.80 0.64 4 23 18.44 4.56 20.79 5 18 19.81 �1.81 3.28 6 16 19.27 �3.27 10.69 7 20 18.29 1.71 2.92 8 18 18.80 �0.80 0.64 9 22 18.56 3.44 11.83 10 20 19.59 0.41 0.17 11 15 19.71 �4.71 22.18 12 22 18.30 3.70 13.69

Totales 8.03 102.83

TABLA 18.11 Resumen de los pronósticos de suavizamiento exponencial y de los errores de pronóstico para las ventas de gasolina con constante de suavizamiento α � 0.3

Semana 1 2 3 4 5 6

Valor 18 13 16 11 17 14

NOTAS Y COMENTARIOS

1. Los paquetes de hoja de cálculo son una ayuda eficaz en la elección de un valor adecuado para α en el suavizamiento exponencial. Con los datos de las series de tiempo y las fórmulas de elabora-ción de pronósticos, en una hoja de cálculo se pue-den probar diferentes valores de α y elegir el que proporciona el error de pronóstico más pequeño utilizando una o más medidas de exactitud de pro-nóstico (EAM, CME o EPAM).

2. Presentamos el promedio móvil y los métodos de suavizamiento exponencial en el contexto de una

serie de tiempo estacionaria. Estos métodos tam-bién pueden utilizarse para pronosticar una serie de tiempo no estacionaria que cambia de nivel pero no muestra una tendencia o estacionalidad. Los pro-medios móviles con valores pequeños de k se pue-den adaptar más rápidamente que los promedios móviles con valores mayores de k. Los modelos de suavizamiento exponencial con constantes de sua-vizamiento más cercanas a 1 se adaptan más rápi-damente que los modelos con valores más pequeños de la constante de suavizamiento.

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Obtenga los pronósticos con un promedio móvil a tres semanas para esta serie de tiempo.

Calcule el CME y un pronóstico para la semana 7.c) Utilice α � 0.2 para calcular los pronósticos de suavizamiento exponencial de la serie de

tiempo. Calcule el CME y dé un pronóstico para la semana 7.

AUTO evaluación


d) Compare el método del promedio móvil a tres semanas con el método de suavizamiento exponencial utilizando α � 0.2. ¿Cuál parece dar un pronóstico más preciso basado en el CME? Explique.

e) Utilice una constante de suavizamiento de α � 0.4 para calcular el pronóstico de suavi-zamiento exponencial. ¿Una constante de suavizamiento de 0.2 o de 0.4 parece propor-cionar pronósticos más precisos basados en el CME? Explique.

6. Considere los datos siguientes de serie de tiempo.

Semana 1 2 3 4 5 6 7

Valor 24 13 20 12 19 23 15

Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?a) Desarrolle el pronóstico de promedio móvil para tres semanas en esta serie de tiempo.

Calcule el CME y proporcione un pronóstico para la semana 8.b) Utilice α � 0.2 para calcular los pronósticos de suavizamiento exponencial de la serie de

tiempo. Calcule el CME y proporcione un pronóstico para la semana 8.c) Compare el método del promedio móvil a tres semanas con el método de suavizamiento

exponencial utilizando α � 0.2. ¿Cuál parece dar pronósticos más precisos basados en el CME?

d) Utilice una constante de suavizamiento de α � 0.4 para calcular los pronósticos de sua-vizamiento exponencial. ¿Una constante de suavizamiento de 0.2 o de 0.4 parece ofrecer pronósticos más precisos basados en el CME? Explique.

7. Regrese a los datos de la serie de tiempo para las ventas de gasolina de la tabla 18.1.a) Calcule los promedios móviles de la serie de tiempo a 4 y 5 semanas.b) Calcule el CME de los pronósticos obtenidos con los promedios móviles de 4 y 5 semanas.c) ¿Cuál parece ser de los datos pasados el mejor número de semanas a utilizar (3, 4 o 5)

para el cálculo del promedio móvil? Recuerde que el CME para el promedio móvil de tres semanas es 10.22.

8. Consulte de nuevo los datos de la serie de tiempo de las ventas de gasolina de la tabla 18.1.a) Utilice 1/2 como el peso de la observación más reciente, 1/3 para la segunda observación

más reciente y 1/6 para la tercera observación más reciente. Calcule un promedio móvil ponderado de las tres semanas para la serie de tiempo.

b) Determine el CME del promedio móvil ponderado del inciso a). ¿Prefiere éste que el promedio móvil no ponderado? Recuerde que el CME del promedio móvil ponderado es 10.22.

c) Suponga que se le permite elegir cualesquiera pesos, siempre y cuando su suma sea 1. ¿Siempre será posible elegir un conjunto de pesos que hagan que el CME sea menor para el promedio móvil ponderado que para un promedio móvil no ponderado? ¿Por qué?

9. Con los datos de la serie de tiempo de las ventas de gasolina de la tabla 18.1, muestre el pro-nóstico de suavizamiento exponencial utilizando α � 0.1.a) Al aplicar la medida de exactitud del CME, ¿preferiría una constante de suavizamiento de

α � 0.1 o α � 0.2 para la serie de tiempo de las ventas de gasolina?b) ¿Los resultados son los mismos si se aplica EAM como medida de exactitud?c) ¿Cuáles son los resultados si se utiliza EPAM?

10. Con una constante de suavizamiento de α � 0.2, la ecuación (18.2) muestra que el pronóstico para la semana 13 de las ventas de gasolina listadas en la tabla 18.1 está dado por F13 � 0.2Y12 � 0.8F12. Sin embargo, el pronóstico para la semana 12 está dado por F12 � 0.2Y11 � 0.8F11. Por tanto, se podrían combinar estos dos resultados para mostrar que el pronóstico sobre la semana 13 se puede escribir como

F13 � 0.2Y12 � 0.8(0.2Y11 � 0.8F11) � 0.2Y12 � 0.16Y11 � 0.64Y11 � 0.64F11

a) Aplique el hecho de que F11 � 0.2Y10 � 0.8F10 (y de manera similar para F10 y F9) y con-tinúe expandiendo la expresión para F13 hasta que ésta se escriba en términos de los datos de los valores pasados Y12, Y11, Y10, Y9 y Y8, y del pronóstico para el periodo 8.

WEB archivoGasoline

WEB archivoGasoline

WEB archivoGasoline


b) Remítase a los coeficientes o pesos de los valores del pasado Y12, Y11, Y10, Y9 y Y8. ¿Qué puede decir acerca de los pesos que el suavizamiento exponencial proporciona a los valo-res pasados al obtener un nuevo pronóstico? Compare estos pesos con los del método del promedio móvil.

Aplicaciones11. Para Hawkins Company, los porcentajes de los embarques mensuales recibidos en los últimos

12 meses son 80, 82, 84, 83, 83, 84, 85, 84, 82, 83, 84 y 83.a) Construya una gráfica para la serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Compare el pronóstico obtenido mediante promedios móviles de tres meses con el pro-

nóstico obtenido por el método de suavizamiento exponencial con α � 0.2. ¿Con cuál se obtienen pronósticos más precisos al utilizar el CME como medida de exactitud?

c) ¿Cuál es el pronóstico para el próximo mes?

12. A continuación se proporcionan las tasas de interés de bonos corporativos triple A de 12 meses consecutivos.

9.5 9.3 9.4 9.6 9.8 9.7 9.8 10.5 9.9 9.7 9.6 9.6

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle promedios móviles de tres y cuatro meses para esta serie de tiempo. ¿Con cuál

de estos promedios móviles se obtiene un pronóstico más exacto basado en el CME? Ex-plique.

c) ¿Cuál es el pronóstico para el promedio móvil del próximo mes?

13. Los valores de los contratos de construcción en Alabama (en millones de dólares) para un pe-riodo de 12 meses son los siguientes.

240 350 230 260 280 320 220 310 240 310 240 230

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Compare el método del promedio móvil a tres meses con el pronóstico de suavizamiento

exponencial utilizando α � 0.2. ¿Con cuál se obtienen pronósticos más precisos basados en el CME?

c) ¿Cuál es el pronóstico para el próximo mes?

14. En la siguiente serie de tiempo se muestran las ventas de un producto en particular en los últi-mos 12 meses.

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice α � 0.3 para calcular los pronósticos de suavizamiento exponencial de la serie de

tiempo.c) Utilice una constante de suavizamiento de α � 0.5 para calcular los pronósticos de sua-

vizamiento exponencial. ¿Cuál de las constantes de suavizamiento, 0.3 o 0.5, parece pro-porcionar pronósticos más precisos basados en el CME?

15. Los datos siguientes son los valores del Commodity Futures Index de 10 semanas: 7.35, 7.40, 7.55, 7.56, 7.60, 7.52, 7.52, 7.70, 7.62 y 7.55.a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Calcule los pronósticos de suavizamiento exponencial para α � 0.2.c) Calcule los pronósticos de suavizamiento exponencial para α � 0.3.d) ¿Cuál de las constantes de suavizamiento exponencial proporciona pronósticos más pre-

cisos basados en el CME? Elabore el pronóstico para la semana 11.

AUTO evaluación

Mes Ventas Mes Ventas

1 105 7 145 2 135 8 140 3 120 9 100 4 105 10 80 5 90 11 100 6 120 12 110

18.4 Proyección de la tendencia 807

El rating de 11.2 puntos en 1997 indica que 11.2% de los hogares estadounidenses se sintonizó para ver a Tiger Woods triunfar en su primer torneo de golf más importante y convertirse en el primer afroestadounidense en ganar el Masters. Tiger Woods lo ganó en 2001 y 2005.a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos? Opine

sobre algunos factores que pueden haber influido en el modelo mostrado en la gráfica de series de tiempo para este periodo.

b) Dado el patrón de la gráfica de series de tiempo desarrollado en el inciso a), ¿cree que los métodos de pronóstico estudiados en esta sección son adecuados para obtener los pronós-ticos para esta serie de tiempo? Explique.

c) ¿Recomendaría utilizar sólo los ratings de Nielsen de 2002-2008 para pronosticar el rating de 2009, o debería usarse toda la serie de tiempo desde 1997 hasta 2008? Explique.

18.4 Proyección de la tendenciaEn esta sección se presentan tres métodos de elaboración de pronósticos que son apropiados para las series de tiempo que exhiben un patrón de tendencia. En primer lugar, se muestra qué tan sencillo es el uso de la regresión lineal para pronosticar la serie de tiempo con tendencia li-neal. Después se ilustra cómo obtener los pronósticos mediante el suavizamiento exponencial lineal de Holt, una extensión del único suavizamiento exponencial que utiliza dos constantes de suavizamiento: la primera se toma en cuenta para el nivel de la serie de tiempo y la segunda para la tendencia lineal de los datos. Por último, se muestra cómo la capacidad de ajuste a una curva en el análisis de regresión permite pronosticar series de tiempo con una tendencia curvi-línea o no lineal.

Regresión de tendencia linealEn la sección 18.1 se utilizaron las ventas de bicicletas manejadas en la tabla 18.3 y en la fi gura 18.3 para ilustrar una serie de tiempo con un patrón de tendencia. Esta serie de tiempos se uti-lizará para ilustrar cómo la regresión lineal simple permite pronosticar una serie de tiempo con tendencia lineal. Los datos de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas se repiten en la tabla 18.12 y en la fi gura 18.9.

Aunque la gráfi ca de serie de tiempo de la fi gura 18.9 muestra algún movimiento ascenden-te y descendente en los últimos 10 años, se podría estar de acuerdo en que la línea de tendencia mostrada en la fi gura 18.10 proporciona una aproximación razonable del movimiento de la serie a largo plazo. Se pueden utilizar los métodos de regresión lineal simple (vea el capítulo 14) a efecto de obtener una tendencia lineal para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas.

16. Las calificaciones (rating) Nielsen (porcentajes de audiencia televisiva de hogares en Estados Unidos) del Torneo Masters Golf de 1997 a 2008 son las siguientes (Golf Magazine, enero de 2009).

TABLA 18.12

Serie de tiempo de las ventas de bicicletas

Año Ventas (en miles) 1 21.6 2 22.9 3 25.5 4 21.9 5 23.9 6 27.5 7 31.5 8 29.7 9 28.6 10 31.4

Year Rating

1997 11.2 1998 8.6 1999 7.9 2000 7.6 2001 10.7 2002 8.1 2003 6.9 2004 6.7 2005 8.0 2006 6.9 2007 7.6 2008 7.3

WEB archivoMasters

WEB archivoBicycle


En el capítulo 14, la ecuación de regresión estimada que describe una relación lineal entre una variable independiente x y una variable dependiente y se expresó como:

y � b0 � b1x

donde y es el valor estimado o predicho de y. Para enfatizar el hecho de que en un pronóstico la variable independiente es el tiempo, se sustituirá x por t, así como y por Tt para hacer patente que se está estimando la tendencia de una serie de tiempo. Por tanto, para calcular la tendencia lineal en una serie de tiempo se utilizará la siguiente ecuación de regresión estimada.

FIGURA 18.9 Gráfica de serie de tiempo para las ventas de bicicletas

Ven

tas

(en

mile

s)

0

32

33

34

27

25

4 7 9

Año1 2 3 65 8 10 11 12

31

30

29

28

26

24

23

22

21

20

FIGURA 18.10 Tendencia representada por una función lineal de la serie de tiempo de ventas de bicicletas

Ven

tas

(en

mile

s)

0

32

33

34

27

25

4 7 9

Año1 2 3 65 8 10 11 12

31

30

29

28

26

24

23

22

21

20


En la ecuación (18.4) la variable tiempo comienza en t � 1 correspondiente a la primera observación de la serie de tiempo (año 1 para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas) y continúa hasta que t � n correspondiente a la observación más reciente (año 10 para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas). Así, t � 1 corresponde al valor de la serie más antigua y t � 10 corresponde al año más reciente.

A continuación se presentan las fórmulas para calcular los coefi cientes de regresión esti-mados b0 y b1 de la ecuación (18.4).

A efecto de calcular la ecuación de tendencia lineal para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas, se comienza por determinar t y Y utilizando la información de la tabla 18.12.

t �

n

at�1

t

n �

55

10 � 5.5

Y �

n

at�1

Yt

n �

264.5

10 � 26.45

ECUACIÓN DE TENDENCIA LINEAL

Tt � b0 � b1t (18.4)

donde

Tt � pronóstico de tendencia lineal en el periodo t

b0 � intersección de la recta de tendencia lineal

b1 � pendiente de la recta de tendencia lineal

t � periodo

CÁLCULO DE LA PENDIENTE Y DE LA INTERSECCIÓN PARA UNA TENDENCIA LINEAL*

b1 �

n

at�1

n

at�1

(t � t )(Yt � Y )

(t � t )2

(18.5)

b0 � Y � b1t (18.6)

donde

Yt � valor de la serie de tiempo en el periodo t

n � número de periodos (número de observaciones)

Y � valor promedio de la serie de tiempo

t � valor promedio de t

*Una fórmula alternativa para b1 es

b1 �

n

�tYt �t�1

n

�t 2 �

t�1

n

�t2

�nt�1

n

�tt�1

n

�Ytt�1

�n

Esta forma de la ecuación (18.5) se recomienda a menudo cuando se utiliza una calculadora para obtener b1.


Con estos valores y la información de la tabla 18.13 se puede calcular la pendiente y la intersección de la tendencia lineal para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas.

b1 �

n

at�1

n

at�1

(t � t )(Yt � Y )

(t � t )2

� 90.75

82.5 � 1.1

b0 � Y � b1t � 26.45 � 1.1(5.5) � 20.4

Por tanto, la ecuación de tendencia lineal es

Tt � 20.4 � 1.1t

La pendiente de 1.1 indica que en los últimos 10 años la empresa experimentó un promedio de crecimiento en las ventas de cerca de 1 100 unidades por año. Si se supone que la tendencia en las ventas de la última década es un buen indicador del futuro, esta ecuación de tendencia puede utilizarse para obtener los pronósticos sobre periodos futuros. Por ejemplo, al sustituir en la ecuación t � 11 se obtiene la proyección de tendencia o el pronóstico para el próximo año T11.

T11 � 20.4 � 1.1(11) � 32.5

Por tanto, al utilizar la proyección de tendencia se podrá pronosticar un valor para las ventas de 32 500 bicicletas para el próximo año.

Para calcular la exactitud del método de elaboración de pronósticos de la proyección de ten-dencia se utilizará el CME. La tabla 18.14 muestra el cálculo de la suma de los errores cuadrados para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas. Así que para esta serie,

CME �

n

at�1

(Yt � Ft)2

n �

30.7

10 � 3.07

Debido a que el pronóstico de regresión de tendencia lineal utiliza el mismo procedimiento de análisis de regresión que se presentó en el capítulo 14, se pueden utilizar los procedimientos estándar para realizar los cálculos del análisis de regresión con Minitab o Excel. La fi gura 18.11 muestra el resultado obtenido al utilizar el módulo de Minitab del análisis de regresión de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas.

t Yt t � t Yt � Y (t � t)(Yt � Y ) (t � t)2

1 21.6 �4.5 �4.85 21.825 20.25 2 22.9 �3.5 �3.55 12.425 12.25 3 25.5 �2.5 �0.95 2.375 6.25 4 21.9 �1.5 �4.55 6.825 2.25 5 23.9 �0.5 �2.55 1.275 0.25 6 27.5 0.5 1.05 0.525 0.25 7 31.5 1.5 5.05 7.575 2.25 8 29.7 2.5 3.25 8.125 6.25 9 28.6 3.5 2.15 7.525 12.25 10 31.4 4.5 4.95 22.275 20.25

Totales 55 264.5 90.750 82.50

TABLA 18.13 Resumen de los cálculos de la tendencia lineal para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas


En la fi gura 18.11 el valor del CME en la tabla de ANOVA es

CME � suma de cuadrados debido al error

grados de libertad �

30.7

8 � 3.837

Este valor del CME difi ere del valor calculado antes porque la suma de los errores cuadrados se divide entre 8 en vez de 10; por tanto, en el CME el resultado de regresión no es la media de los errores de pronóstico cuadrados. Sin embargo, la mayoría de los paquetes de pronóstico calcu-lan el valor del CME tomando la media de los errores cuadrados. Por tanto, al utilizar los pa-quetes de series de tiempo para desarrollar una ecuación de tendencia, el resultado del valor del CME puede diferir ligeramente del que se obtendría con un método de regresión general. Por ejemplo, en la fi gura 18.12 se muestra la parte gráfi ca del resultado obtenido al utilizar el proce-dimiento de análisis de tendencia de series de tiempo de Minitab. Observe que MSD � 3.07 es el promedio de los errores de pronóstico cuadrados.

Error de pronóstico Año Ventas (en miles) Yt Pronóstico Tt Error de pronóstico cuadrado

1 21.6 21.5 0.1 0.01 2 22.9 22.6 0.3 0.09 3 25.5 23.7 1.8 3.24 4 21.9 24.8 �2.9 8.41 5 23.9 25.9 �2.0 4.00 6 27.5 27.0 0.5 0.25 7 31.5 28.1 3.4 11.56 8 29.7 29.2 0.5 0.25 9 28.6 30.3 �1.7 2.89 10 31.4 31.4 0.0 0.00

Total 30.70

TABLA 18.14 Resumen de los pronósticos de tendencia lineal y de errores de pronóstico para la serie de tiempo de ventas de bicicletas

The regression equation isY = 20.4 + 1.10 t

Predictor Coef SE Coef T pConstant 20.400 1.338 15.24 0.000t 1.1000 0.2157 5.10 0.001

S = 1.95895 R-sq = 76.5% R-sq(adj) = 73.5%

Analysis of Variance

SOURCE DF SS MS F pRegression 1 99.825 99.825 26.01 0.001Residual Error 8 30.700 3.837Total 9 130.525

FIGURA 18.11 Resultado de regresión en Minitab para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas

En los resultados de Minitab del análisis de tendencia MSD es la desviación cuadrada media, es decir, el promedio de los errores de pronóstico cuadrados.


Suavizamiento exponencial lineal de HoltCharles Holt desarrolló una versión de suavizamiento exponencial para pronosticar una serie de tiempo con tendencia lineal. Recuerde que el procedimiento de suavizamiento exponen-cial estudiado en la sección 18.3 utiliza α como constante de suavizamiento para “suavizar” la aleatoriedad o las fl uctuaciones irregulares en una serie de tiempo, y que los pronósticos para el periodo t � 1 se obtienen mediante la ecuación

Ft � 1 � αYt � (1 � α)Ft

Los pronósticos por el método de suavizamiento exponencial lineal de Holt se obtienen me-diante dos constantes de suavizamiento α y �, y tres ecuaciones.

FIGURA 18.12 Resultado del análisis de tendencia lineal en Minitab de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas

Ven

tas

(en

mile

s)

Gráfica del análisis de tendencia para las ventas (en miles)Modelo de tendencia lineal

Yt � 20.40 � 1.10*t

32

4 7 9

Índice1 2 3 65 8 10

30

28

26

24

22

20

VariableActualValor ajustado

Medidas de exactitudMAPE* 5.06814MAD** 1.32000MSD*** 3.07000

* Error porcentual absoluto medio (EPAM) ** Desviación absoluta media *** Desviación cuadrada media

ECUACIONES DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL LINEAL DE HOLT

Lt � αYt � (1 � α)(Lt�1 � bt�1) (18.7)

bt � �(Lt � Lt�1) � (1 � �) bt�1 (18.8)

Ft�k � Lt � bt k (18.9)

donde

Lt � estimación del nivel de la serie de tiempo para el periodo t

bt � estimación de la pendiente de la serie de tiempo para el periodo t

α � constante de suavizamiento para el nivel de la serie de tiempo

El suavizamiento exponencial lineal de Holt suele llamarse suavizamiento exponencial doble.


Aplique el método de Holt a la serie de tiempo de las ventas de bicicletas listadas en la tabla 18.12 y utilice α � 0.1 y � � 0.2. Para empezar con el método se necesitan los valores de L1, la estimación del nivel de la serie de tiempo en el año 1, y b1 la estimación de la pendiente de la serie de tiempo en el año 1. El método utilizado comúnmente consiste en determinar L1 � Y1 y b1 � Y2 � Y1. Al utilizar este procedimiento inicial obtenemos

L1 � Y1 � 21.6

b1 � Y2 � Y1 � 22.9 � 21.6 � 1.3

Mediante la ecuación (18.9) con k � 1, el pronóstico de las ventas en el año 2 es F2 � L1 � b1 � 21.6 � 1.3(1) � 22.9. Después se continúa utilizando las ecuaciones (18.7) a (18.9) para calcular las estimaciones del nivel y la tendencia para el año 2, así como un pronóstico para el año 3.

Primero utilizamos la ecuación (18.7) y la constante de suavizamiento α � 0.1 para calcu-lar la estimación del nivel de la serie de tiempo para el año 2.

L2 � 0.1(22.9) � 0.9(21.6 � 1.3) � 22.9

Observe que 21.6 � 1.3 es el pronóstico de ventas para el año 2. Por tanto, la estimación del nivel de la serie de tiempo en este año obtenida mediante la ecuación (18.7) es simplemente un promedio ponderado del valor observado en el año 2 (con un peso de α � 0.1) y el pronóstico para el año 2 (con un peso de 1 � α � 1 � 0.1 � 0.9). En general, los valores mayores de α dan más peso al valor observado (Yt), mientras que valores menores dan más peso al valor pronosticado (Lt�1 � bt�1).

A continuación utilice la ecuación (18.8) y la constante de suavizamiento � � 0.2 para calcular la pendiente de la serie de tiempo en el año 2.

b2 � 0.2(22.9 � 21.6) � (1 � 0.2)(1.3) � 1.3

La estimación de tal pendiente es un promedio ponderado de la diferencia en el nivel estimado de la serie de tiempo entre el año 2 y el año 1 (con un peso de � � 0.2) y la estimación de la pendiente del año 1 (con un peso de 1 � � � 1 � 0.2 � 0.8). En general, los valores mayo-res de � dan más peso a la diferencia de los niveles estimados, mientras que los valores me-nores se lo conceden a la pendiente estimada del último periodo.

Al utilizar las estimaciones de L2 y b2 recién obtenidas, el pronóstico de ventas para el año 3 se calcula mediante la ecuación (18.9):

F3 � L2 � b2 � 22.9 � 1.3(1) � 24.2

Se realizan otros cálculos en forma similar, los cuales se muestran en la tabla 18.15. La suma de los errores de pronóstico cuadrados es 39.678; por ende, CME � 39.678/9 � 4.41.

¿Con valores diferentes para la constante de suavizamiento α y � se obtienen pronósticos más precisos? Para responder esta pregunta habría que probar diferentes combinaciones de α y � para determinar si se puede encontrar una combinación con la que se obtenga un valor menor del CME de 4.41, el valor obtenido utilizando las constantes de suavizamiento α � 0.1 y � � 0.2. Se puede realizar la búsqueda de buenos valores α y � por ensayo y error o mediante software de estadística más avanzado que tenga la opción de seleccionar un conjunto óptimo de constantes de suavizamiento.

� � constante de suavizamiento para la pendiente de la serie de tiempo

Ft�k � pronóstico para el periodo k en el futuro

k � número de periodos próximos a pronosticar


Nivel Tendencia Pronóstico Error de Error de pronóstico Año Ventas (miles) Yt estimado Lt estimada bt Ft pronóstico cuadrado

1 21.6 21.600 1.300 2 22.9 22.900 1.300 22.900 0.000 0.000 3 25.5 24.330 1.326 24.200 1.300 1.690 4 21.9 25.280 1.251 25.656 �3.756 14.108 5 23.9 26.268 1.198 26.531 �2.631 6.924 6 27.5 27.470 1.199 27.466 0.034 0.001 7 31.5 28.952 1.256 28.669 2.831 8.016 8 29.7 30.157 1.245 30.207 �0.507 0.257 9 28.6 31.122 1.189 31.402 �2.802 7.851 10 31.4 32.220 1.171 32.311 �0.911 0.830

Total 39.678

Observe que las estimaciones, ambas en el año 10, del nivel de la serie de tiempo es L1 � 32.220 y de la pendiente es b1 � 1.171. Si se asume que la tendencia de los últimos 10 años en las ventas es un buen indicador del futuro, la ecuación (18.9) puede utilizarse para desarrollar pronósticos para periodos futuros. Por ejemplo, al sustituir t � 11 en la ecuación (18.9) se ob-tiene la proyección de tendencia para el próximo año o el pronóstico, F11.

F11 � L10 � b10(1) � 32.220 � 1.171 � 33.391

Por tanto, al utilizar el suavizamiento exponencial lineal de Holt se pronostica que el año pró-ximo las ventas serán de 33 391 bicicletas.

Regresión de tendencia no linealPara modelar una tendencia suele utilizarse el modelo de función lineal. Sin embargo, como ya se vio, algunas veces las series de tiempo tienen tendencias curvilíneas o no lineales. Co-mo ejemplo, considere los ingresos anuales en millones de dólares para las ventas de un me-dicamento contra el colesterol en los primeros 10 años. La tabla 18.16 muestra la serie de tiempo y la fi gura 18.13 la gráfi ca correspondiente. Por ejemplo, los ingresos del año 1 fueron de $23.1 millones; los del año 2 de $21.3 millones, y así sucesivamente. La gráfi ca de serie de tiempo indica una tendencia general creciente o a la alza. Pero a diferencia de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas, la tendencia lineal no parece ser apropiada. En cambio, parece reque-rirse una función curvilínea para modelar la tendencia a largo plazo.

Ecuación de tendencia cuadrática Una variedad de funciones no lineales puede utilizar-se para obtener una estimación de la tendencia de la serie de tiempo del colesterol. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación de tendencia cuadrática:

Tt � b0 � b1t � b2t2 (18.10)

Para la serie de tiempo del colesterol, t � 1 corresponde al año 1, t � 2 corresponde al año 2, y así sucesivamente.

El modelo lineal general estudiado en la sección 16.1 puede utilizarse para calcular los va-lores de b0, b1 y b2. Existen dos variables independientes, el año y el año al cuadrado, mientras que la variable dependiente son las ventas en millones de dólares. Así que la primera observa-

TABLA 18.15 Resumen de los cálculos de Holt para el suavizamiento exponencial lineal de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas utilizando α � 0.1 y � � 0.2

TABLA 18.16

Serie de tiempo de las ventas de medicamentos contra el colesterol (millones de $)

Año Ingresos (t) (millones de $) 1 23.1 2 21.3 3 27.4 4 34.6 5 33.8 6 43.2 7 59.5 8 64.4 9 74.2 10 99.3

WEB archivoCholesterol


ción es 1, 1, 23.1; la segunda es 2, 4, 21.3; la tercera es 3, 9, 27.4, y así sucesivamente. La fi gura 18.14 muestra el resultado de Miniab sobre la regresión múltiple para el modelo de tendencia cuadrática; la ecuación de regresión estimada es

Ingresos ($ millones) � 24.2 � 2.11 Year � 0.922 YearSq.

donde

Year (año) � 1, 2, 3, . . . , 10

YearSq (año cuadrado) � 1, 4, 9, . . . , 100

The regression equation isRevenue = 24.2 - 2.11 Year + 0.922 YearSq

Predictor Coef SE Coef T pConstant 24.182 4.676 5.17 0.001Year -2.106 1.953 -1.08 0.317YearSq 0.9216 0.1730 5.33 0.001

S = 3.97578 R-Sq = 98.1% R-Sq(adj) = 97.6%


SOURCE DF SS MS F pRegression 2 5770.1 2885.1 182.52 0.000Residual Error 7 110.6 15.8Total 9 5880.8

FIGURA 18.14 Resultado de Minitab de la regresión de tendencia cuadrática de la serie de tiempo de ventas de bicicletas

FIGURA 18.13 Gráfica de la serie de tiempo de ventas del medicamento contra el colesterol (millones de $)

Ingr

esos

120

4 7 9

Año0 1 2 3 65 8 10

100

80

60

40

20

0


Al utilizar el procedimiento estándar de regresión múltiple se requiere calcular los valores para el año al cuadrado como segunda variable independiente. Se puede utilizar el análisis de tenden-cia para series de tiempo de Minitab alternativamente para obtener los mismos resultados. No se requiere obtener valores para el año al cuadrado y es más fácil de usar. Se recomienda este método en la solución de los ejercicios que involucren tendencias cuadráticas.

Ecuación de tendencia exponencial Otra alternativa que podemos utilizar para modelar el patrón no lineal mostrado por la serie de tiempo del colesterol es ajustar un modelo exponen-cial a los datos. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación de tendencia exponencial.

Tt � b0(b1)t (18.11)

Para entender mejor esta ecuación, suponga que b0 � 20 y b1 � 1.2. Después, para t � 1, T1 � 20(1.2)1 � 24; para t � 2, T2 � 20(1.2)2 � 28.8; y para t � 3, T3 � 20(1.2)3 � 34.56. Observe que Tt no está aumentando por un monto constante como en el caso del modelo de tendencia lineal, sino en un porcentaje constante; el incremento porcentual es de 20%.

En su módulo de serie de tiempo, Minitab tiene la capacidad para calcular una ecuación de tendencia exponencial y puede utilizarse entonces para el pronóstico. Desafortunadamente, Excel no tiene esta capacidad. No obstante, en la sección 16.1 se describe cómo, al tomar loga-ritmos de los términos de la ecuación (18.11), la metodología del modelo general lineal puede utilizarse para calcular la ecuación de tendencia exponencial.

El módulo de la serie de tiempo de Minitab es muy fácil de utilizar para desarrollar una ecuación de tendencia exponencial. No hay necesidad de trabajar con los logaritmos y usar el análisis de regresión para calcularla. En la fi gura 18.15 se muestra la gráfi ca obtenida de la com-putadora con el procedimiento del análisis de tendencia de la serie de tiempo de Minitab que se adapta a una ecuación de tendencia exponencial.

FIGURA 18.15 Resultado del análisis de tendencia de crecimiento exponencial de Minitab de la serie de tiempo de las ventas de medicamentos contra el colesterol

Ingr

esos

Gráfica del análisis de tendencia para los ingresosModelo de la curva de crecimiento

Yt � 16.7098 * (1.1850**t)

110

4 7 9

Índice1 2 3 65 8 10 11

80

90

100

70

60

50

40

30

20

VariableActualValor ajustadoPronósticos

Medidas de exactitudMAPE 7.3919MAD 3.1928MSD 15.0496


Ejercicios

Métodos17. Considere los datos siguientes de serie de tiempo.

t 1 2 3 4 5 6 7

Yt 82 60 44 35 30 29 35

t 1 2 3 4 5

Yt 6 11 9 14 15

t 1 2 3 4 5 6 7

Yt 120 110 100 96 94 92 88

NOTAS Y COMENTARIOS

La regresión de tendencia lineal se basa en determi-nar la ecuación de regresión estimada que minimiza la suma de los errores de pronóstico cuadrados y, por consiguiente, del CME. Por tanto, se esperaría que la regresión de tendencia lineal sea mejor que el suavi-zamiento exponencial lineal de Holt en términos del CME. Por ejemplo, para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas, el valor del CME al utilizar la regresión lineal es 3.07, comparado con el valor de 3.97 que utiliza el suavizamiento exponencial lineal de Holt. La regresión de tendencia lineal también proporcio-na un pronóstico más exacto con la medida EAM de

exactitud del pronóstico. Para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas, la regresión de tendencia lineal resulta con un valor de EAM de 1.32 en comparación con un valor de 1.67 según el método lineal de Holt. Sin embargo, al basarse en el EPAM, el suavizamiento exponencial lineal de Holt (EPAM � 5.07%) es me-jor que la regresión de tendencia lineal (6.42%). Por tanto, para la serie de tiempo de ventas de bicicletas, decidir cuáles son los métodos con los que se obtie-nen pronósticos más exactos depende de qué medida de la exactitud del pronóstico se utilice.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle la ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.c) ¿Cuál es el pronóstico para t � 6?

18. Consulte la serie de tiempo del ejercicio 17. Utilice el método de suavizamiento lineal expo-nencial de Holt con α � 0.3 y � � 0.5 y obtenga un pronóstico para t � 6.

19. Considere la siguiente serie de tiempo.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle la ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.c) ¿Cuál es el pronóstico para t � 8?

20. Considere la siguiente serie de tiempo.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice Minitab o Excel para desarrollar la ecuación de tendencia cuadrática para la serie

de tiempo.c) ¿Cuál es el pronóstico para t � 8?

Aplicaciones

21. Debido a los altos costos de inscripción en las universidades estatales y privadas, las matrículas en los colegios de educación profesional técnica (community colleges) se han incrementado drásticamente en los últimos años. Los siguientes datos muestran la inscripción (en miles) en el Jefferson Community College de 2001 a 2009.

AUTO evaluación

AUTO evaluación


a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle la ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.c) ¿Cuál es el pronóstico para 2010?

22. El Seneca Children’s Fund (SCF) es una organización de caridad local que dirige un campamen-to de verano para niños desprotegidos. El consejo de administración ha trabajado muy duro en los últimos años para reducir la cantidad de gastos generales, un factor importante en la forma en que las organizaciones de caridad son recomendadas por los organismos independientes. Los siguientes datos muestran el porcentaje del total de dinero recaudado que SCF ha invertido en gastos administrativos y en campañas de recaudación de fondos para 2003-2009.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle la ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.c) Pronostique el porcentaje de gastos administrativos para 2010.d) Si SCF puede mantener su actual tendencia en la reducción de gastos administrativos,

¿cuánto tiempo le llevará alcanzar un nivel de 5% o menos?

23. El presidente de una pequeña empresa de manufactura está preocupado por el continuo aumen-to en los costos de fabricación de los últimos años. Las cifras siguientes presentan una serie de tiempo del costo por unidad del producto principal de la empresa en los últimos ocho años.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle la ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.c) ¿En qué porcentaje han aumentado los costos de la empresa cada año?d) Proporcione un cálculo estimado del costo unitario para el próximo año.

24. FRED® (Datos económicos de la Reserva Federal), una base de datos con más de 3 000 series de tiempo económicas de Estados Unidos, contiene datos históricos sobre los tipos de cambio. Los

Año Periodo (t) Inscripción (en miles)

2001 1 6.5 2002 2 8.1 2003 3 8.4 2004 4 10.2 2005 5 12.5 2006 6 13.3 2007 7 13.7 2008 8 17.2 2009 9 18.1

Año Periodo (t) Gasto (%)

2003 1 13.9 2004 2 12.2 2005 3 10.5 2006 4 10.4 2007 5 11.5 2008 6 10.0 2009 7 8.5

Año Costo unitario ($) Año Costo unitario ($)

1 20.00 5 26.60 2 24.50 6 30.00 3 28.20 7 31.00 4 27.50 8 36.00


datos siguientes muestran el tipo de cambio (Rate) por año (Year) y mes (Month) para Estados Unidos y China (página web del Banco de la Reserva Federal de St. Louis). Las unidades para el tipo de cambio son el número de yuanes chinos por un dólar estadounidense.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Existe una tendencia lineal?b) Desarrolle con Minitab o Excel una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.c) Utilice la ecuación de tendencia para pronosticar el tipo de cambio en agosto de 2008.d) ¿Se sentiría usted cómodo utilizando la ecuación de tendencia para pronosticar el tipo de

cambio de diciembre de 2008?

25. En la siguiente serie de tiempo se presentan las ventas de automóviles de B.J. Scott Motors, Inc. de 10 años.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. Comente acerca de la conveniencia de utilizar una tendencia lineal.

b) Utilice Minitab o Excel para desarrollar una ecuación de tendencia cuadrática para pro-nosticar las ventas.

c) Con la ecuación de tendencia del inciso b), pronostique las ventas para el año 11.d) Sugiera una alternativa de una ecuación de tendencia cuadrática para pronosticar las ven-

tas. Explique.

26. Giovanni Food Products prepara y vende pizzas congeladas en las escuelas públicas del este de Estados Unidos. Al utilizar una estrategia de marketing muy agresiva, ha sido capaz de in-crementar sus ingresos anuales en $10 millones en los últimos 10 años. Pero el incremento de la competencia ha disminuido su tasa de crecimiento. A continuación se muestran los ingresos (Revenue) por año (Year) en millones de dólares de la última década.

Año Ventas Año Ventas

1 400 6 260 2 390 7 300 3 320 8 320 4 340 9 340 5 270 10 370

Year Month Rate

2007 October 7.5019 2007 November 7.4210 2007 December 7.3682 2008 January 7.2405 2008 February 7.1644 2008 March 7.0722 2008 April 6.9997 2008 May 6.9725 2008 June 6.8993 2008 July 6.8355

WEB archivoExchangeRate

Year Revenue

1 8.53 2 10.84 3 12.98 4 14.11 5 16.31 6 17.21 7 18.37 8 18.45 9 18.40 10 18.43

WEB archivoPasta


a) Construya una gráfica de series de tiempo. Comente acerca de la conveniencia de utilizar una tendencia lineal.

b) Utilice Minitab o Excel para desarrollar una ecuación de tendencia cuadrática para pro-nosticar los ingresos.

c) Utilizando la ecuación de tendencia desarrollada en el inciso b), pronostique los ingre-sos en el año 11.

27. La revista Forbes clasifica los equipos de la NFL por su valor anual. Los datos siguientes son los valores de Indianapolis Colts de 1998 a 2008 (sitio web de Forbes). Se proporcionan año (Year), periodo (Period) y valor (Value) en millones de $.

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice Minitab o Excel y obtenga una ecuación de tendencia cuadrática para pronosti-

car el valor del equipo.c) Al utilizar Minitab o Excel, obtenga la ecuación de tendencia exponencial para pronos-

ticar el valor del equipo.d) Con Minitab o Excel obtenga la ecuación de tendencia lineal para pronosticar el valor del

equipo.e) ¿Qué ecuación recomendaría utilizar para estimar el valor del equipo en 2009?f ) Utilice el modelo del inciso e) para pronosticar el valor de los Colts en 2009.

18.5 Estacionalidad y tendenciaEn esta sección se muestra cómo desarrollar pronósticos para una serie de tiempo que tiene un patrón estacional. En la medida en que la estacionalidad existe, se debe incorporar a los mo-delos de elaboración de pronósticos para garantizar un pronóstico exacto. Se comenzará por considerar una serie de tiempo estacional sin tendencia y después se estudiará cómo modelar la estacionalidad con la tendencia.

Estacionalidad sin tendenciaComo ejemplo, considere el número de paraguas vendidos en una tienda de ropa en los últimos cinco años. La tabla 18.17 muestra la serie de tiempo y la fi gura 18.16 la gráfi ca correspondien-te. Esta última no indica una tendencia a largo plazo en las ventas. De hecho, a menos que se observen cuidadosamente los datos, es posible concluir que éstos siguen un patrón horizontal y que un suavizamiento exponencial sencillo podría utilizarse para pronosticar las ventas. Pero una inspección más cercana a la gráfi ca de serie de tiempo revela un patrón en los datos. Es decir, el primer y tercer trimestres registran ventas moderadas, el segundo tiene las ventas más altas, y el cuarto tiende a ser el trimestre más bajo en volumen de ventas. Por tanto, se podría concluir que un patrón estacional trimestral está presente.

En el capítulo 15 se mostró cómo utilizar las variables fi cticias o binarias (dummy) para tra-tar las variables cualitativas independientes en un modelo de regresión múltiple. Se puede utilizar el mismo método para modelar una serie de tiempo con un patrón estacional al tratar la estación

Year Period Value ($millions)

1998 1 227 1999 2 305 2000 3 332 2001 4 367 2002 5 419 2003 6 547 2004 7 609 2005 8 715 2006 9 837 2007 10 911 2008 11 1 076

WEB archivoNFLValue

WEB archivoUmbrella

18.5 Estacionalidad y tendencia 821

como variable categórica. Recuerde que cuando esta variable tiene k niveles, se necesitan k � 1 variables fi cticias. Por tanto, si hay cuatro estaciones, se requieren tres variables fi cticias. Por ejemplo, la serie de tiempo de la temporada de ventas de sombrillas es una variable cualitativa con cuatro niveles: trimestre 1, trimestre 2, trimestre 3 y trimestre 4. Por tanto, para modelar los efectos estacionales en la serie de tiempo de las sombrillas se necesitan 4 � 1 � 3 variables fi cticias. Éstas pueden ser codifi cadas de la siguiente manera.

Qtr 1 � 1 si el trimestre es 1



0 � en otro caso 0 � en otro caso 0 � en otro caso

Usando Y para denotar el valor estimado o pronosticado de las ventas, la forma general de la ecuación de regresión estimada relacionada con el número de sombrillas vendidas con base en el trimestre (Qtr) en que las ventas ocurren es la siguiente:

Y � b0 � b1 Qtr1 � b2 Qtr2 � b3 Qtr3

La tabla 18.18 es la serie de tiempo de las ventas de sombrillas que muestra los valores codifi ca-dos de las variables fi cticias. Al utilizar estos datos y el procedimiento de regresión de Minitab, se obtuvo el resultado de computadora mostrado en la fi gura 18.17. La ecuación de regresión múltiple estimada obtenida es

Ventas � 95.0 � 29.0 Qtr1 � 57.0 Qtr2 � 26.0 Qtr3

Esta ecuación se puede utilizar para pronosticar las ventas trimestrales para el próximo año.

Trimestre 1. Ventas � 95.0 � 29.0(1) � 57.0(0) � 26.0(0) � 124




FIGURA 18.16 Gráfica de la serie de tiempo de ventas de sombrillas

Ven

tas

180

160

4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 21 4

140

100

120

80

60

40

20

0

Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

Año/trimestre

TABLA 18.17

Serie de tiempo de las ventas de sombrillas

Año Trimestre Ventas 1 1 125 2 153 3 106 4 88 2 1 118 2 161 3 133 4 102 3 1 138 2 144 3 113 4 80 4 1 109 2 137 3 125 4 109 5 1 130 2 165 3 128 4 96


Es interesante señalar que se habrían podido obtener los pronósticos trimestrales para el próximo año simplemente calculando el número promedio de sombrillas que se venden cada trimestre, como se muestra en la siguiente tabla.

Con todo, el resultado de regresión mostrado en la fi gura 18.17 proporciona información adicional que puede utilizarse para evaluar la exactitud del pronóstico y determinar la signifi -

Año Trimestre Trim 1 Trim 2 Trim 3 Ventas

1 1 1 0 0 125 2 0 1 0 153 3 0 0 1 106 4 0 0 0 88 2 1 1 0 0 118 2 0 1 0 161 3 0 0 1 133 4 0 0 0 102 3 1 1 0 0 138 2 0 1 0 144 3 0 0 1 113 4 0 0 0 80 4 1 1 0 0 109 2 0 1 0 137 3 0 0 1 125 4 0 0 0 109 5 1 1 0 0 130 2 0 1 0 165 3 0 0 1 128 4 0 0 0 96

TABLA 18.18 Serie de tiempo de ventas de sombrillas con variables ficticias

The regression equation isSales = 95.0 + 29.0 Qtr1 + 57.0 Qtr2 + 26.0 Qtr3

Predictor Coef SE Coef T PConstant 95.000 5.065 18.76 0.000Qtr1 29.000 7.162 4.05 0.001Qtr2 57.000 7.162 7.96 0.000Qtr3 26.000 7.162 3.63 0.002

FIGURA 18.17 Resultado de la regresión de Minitab para la serie de tiempo de ventas de sombrillas

Año Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4

1 125 153 106 88 2 118 161 133 102 3 138 144 113 80 4 109 137 125 109 5 130 165 128 96

Promedio 124 152 121 95


cancia de los resultados. Y para los tipos más complejos de situaciones problemáticas, como tratar con una serie de tiempo que tiene tanto los efectos de tendencia como estacionales, el método de un promedio simple no funcionará.

Estacionalidad y tendenciaAhora ampliaremos el método de regresión para incluir situaciones en las que la serie de tiempo contiene tanto el efecto estacional como una tendencia lineal, y mostraremos cómo pronosticar la serie de tiempo de las ventas trimestrales de televisores presentadas en la sección 18.1. Los datos respectivos se muestran en la tabla 18.19. La gráfi ca de series de tiempo de la fi gura 18.18 indica que las ventas son muy bajas en el segundo trimestre de cada año y que aumentan en los trimestres 3 y 4. Por tanto, se concluye que existe un patrón estacional para las ventas de tele-visores. Pero la serie de tiempo tiene también una tendencia lineal ascendente que tendrá que tomarse en cuenta para obtener pronósticos exactos de las ventas trimestrales. Es fácil manejar y combinar el método de las variables fi cticias por estacionalidad con el método de regresión de la serie de tiempo que se estudió en la sección 18.3 para el manejo de la tendencia lineal.

La forma general de la ecuación de regresión múltiple estimada para modelar tanto los efectos estacionales trimestrales como la tendencia lineal en la serie de tiempo de los televiso-res es la siguiente.

Yt � b0 � b1 Qtr1 � b2 Qtr2 � b3 Qtr3 � b4t

donde

Yt � estimación o pronóstico de ventas en el periodo t

Qtr1 � 1 si el periodo t corresponde al primer trimestre del año; 0 en caso contrario

Qtr2 � 1 si el periodo t corresponde al segundo trimestre del año; 0 en caso contrario

Qtr3 � 1 si el periodo t corresponde al tercer trimestre del año; 0 en caso contrario

t � periodo

FIGURA 18.18 Gráfica de serie de tiempo para el conjunto de ventas de televisores

Ven

tas

trim

estr

ales

de

tele

viso

res

(en

mile

s)

9.0

4 3 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 21 4

7.0

8.0

6.0

5.0

4.0

3.0

2.0


Año/trimestre

TABLA 18.19

Serie de tiempo de las ventas de televisores

VentasAño Trimestre (miles $) 1 1 4.8 2 4.1 3 6.0 4 6.5 2 1 5.8 2 5.2 3 6.8 4 7.4 3 1 6.0 2 5.6 3 7.5 4 7.8 4 1 6.3 2 5.9 3 8.0 4 8.4

WEB archivoTVSales


La tabla 18.20 es la serie de tiempo revisada de las ventas de televisores que incluye los va-lores codifi cados de las variables fi cticias y el periodo t. Al utilizar los datos de la tabla 18.20 y el procedimiento de regresión de Minitab se obtuvo el resultado de computadora que se muestra en la fi gura 18.19. La ecuación de regresión múltiple estimada es

Ventas � 6.07 � 1.36 Qtr1 � 2.03 Qtr2 � 0.304 Qtr3 � 0.146t (18.12)

Ahora se puede utilizar la ecuación (18.12) a efecto de pronosticar las ventas trimestrales para el próximo año, el cual es el año 5 para la serie de tiempo de ventas de televisores; es decir, los periodos 17, 18, 19 y 20.

Pronóstico para el periodo 17 (trimestre 1 en el año 5)

Ventas � 6.07 � 1.36(1) � 2.03(0) � 0.304(0) � 0.146(17) � 7.19


Ventas � 6.07 � 1.36(0) � 2.03(1) � 0.304(0) � 0.146(18) � 6.67

Año Trimestre Trim 1 Trim 2 Trim 3 Periodo Ventas (miles)

1 1 1 0 0 1 4.8 2 0 1 0 2 4.1 3 0 0 1 3 6.0 4 0 0 0 4 6.5 2 1 1 0 0 5 5.8 2 0 1 0 6 5.2 3 0 0 1 7 6.8 4 0 0 0 8 7.4 3 1 1 0 0 9 6.0 2 0 1 0 10 5.6 3 0 0 1 11 7.5 4 0 0 0 12 7.8 4 1 1 0 0 13 6.3 2 0 1 0 14 5.9 3 0 0 1 15 8.0 4 0 0 0 16 8.4

TABLA 18.20 Serie de tiempo de las ventas de televisores con variables ficticias y periodo

The regression equation isSales (1000s) = 6.07 - 1.36 Qtr1 - 2.03 Qtr2 - 0.304 Qtr3 + 0.146 Period

Predictor Coef SE Coef T PConstant 6.0688 0.1625 37.35 0.000Qtr1 -1.3631 0.1575 -8.66 0.000Qtr2 -2.0337 0.1551 -13.11 0.000Qtr3 -0.3044 0.1537 -1.98 0.073Period 0.14562 0.01211 12.02 0.000

FIGURA 18.19 Resultado de regresión de Minitab de la serie de tiempo de ventas de sombrillas



Ventas � 6.07 � 1.36(0) � 2.03(0) � 0.304(1) � 0.146(19) � 8.54


Ventas � 6.07 � 1.36(0) � 2.03(0) � 0.304(0) � 0.146(20) � 8.99

Por tanto, tomando en cuenta los efectos tanto estacionales como de tendencia lineal en las ventas de televisores, las estimaciones de las ventas trimestrales en el año 5 son 7 190, 6 670, 8 540 y 8 990.

Las variables fi cticias en la ecuación de regresión múltiple estimada realmente ofrecen cua-tro ecuaciones de regresión múltiple estimadas, una para cada trimestre. Por ejemplo, si el perio-do t corresponde al trimestre 1, la ecuación estimada para las ventas es

Trimestre 1. Ventas � 6.07 � 1.36(1) � 2.03(0) � 0.304(0) � 0.146t � 4.71 � 0.146t

Del mismo modo, si el periodo t corresponde a los trimestres 2, 3 y 4, las estimaciones para las ventas trimestrales son:




La pendiente de la tendencia lineal para cada ecuación de pronóstico trimestral es 0.146, lo que indica un crecimiento en las ventas de alrededor de 146 televisores por trimestre. La única dife-rencia en las cuatro ecuaciones estriba en que tienen diferentes intersecciones. Por ejemplo, la intersección en la ecuación del trimestre 1 es 4.71 y para el trimestre 4 es 6.07. Por tanto, las ven-tas en el trimestre 1 son 4.71 � 6.07 � �1.36 o 1 360 televisores menos que en el trimestre 4. En otras palabras, el coefi ciente estimada en la regresión para Qtr1 en la ecuación (18.12) pro-porciona una estimación de la diferencia en las ventas entre los trimestres 1 y 4. Interpretaciones similares pueden darse para �2.03, el coefi ciente estimado para la variable fi cticia Qtr2, y para �0.304, el coefi ciente estimado para la variable fi cticia Qtr3.

Modelos basados en datos mensualesEn el ejemplo anterior de las ventas de televisores se mostró cómo utilizar las variables fi cti-cias para tomar en cuenta los efectos estacionales trimestrales de la serie de tiempo. Debido a que hubo cuatro niveles para la variable cualitativa estacional, se requerieron tres variables fi cticias. Sin embargo, numerosas empresas utilizan los pronósticos mensuales más que los tri-mestrales. Para los datos mensuales, la estación es una variable cualitativa con 12 niveles y, por tanto, son obligatorias 12 � 1 � 11 variables fi cticias. Por ejemplo, las 11 variables fi cticias pueden codifi carse de la siguiente manera:

Mes 1 � 1 si es enero

0 en otro caso

Mes 2 � 1 si es febrero

0 en otro caso . . .

Mes 11 � 1 si es noviembre

0 en otro caso

Cuando una variable categórica como la estación tiene k niveles, son necesarias k � 1 variables ficticias.


Fuera de este cambio, el método de regresión múltiple para el manejo de la estacionalidad es el mismo.

Ejercicios

Métodos28. Considere la siguiente serie de tiempo.

Trimestre Año 1 Año 2 Año 3

1 71 68 62 2 49 41 51 3 58 60 53 4 78 81 72


1 4 6 7 2 2 3 6 3 3 5 6 4 5 7 8


1 1 690 1 800 1 850 2 940 900 1 100 3 2 625 2 900 2 930 4 2 500 2 360 2 615

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice las siguientes variables ficticias para desarrollar una ecuación de regresión esti-

mada que tome en cuenta los efectos estacionales en los datos: Qtr1 � 1 si es el trimestre 1, 0 en caso contrario; Qtr2 � 1 si es el trimestre 2, 0 en caso contrario; Qtr 3 � 1 si es el trimestre 3, 0 en caso contrario.

c) Calcule los pronósticos trimestrales para el año siguiente.

29. Considere los datos siguientes de series de tiempo.

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice las siguientes variables ficticias para desarrollar una ecuación de regresión esti-

mada que tome en cuenta cualquier efecto estacional y de tendencia lineal en los datos: Qtr1 � 1 si el trimestre es 1, 0 en caso contrario; Qtr 2 � 1 si el trimestre es 2, 0 en caso contrario; Qtr3 � 1 si el trimestre es 3, 0 en caso contrario.

c) Calcule los pronósticos trimestrales para el próximo año.

Aplicaciones30. Los datos de las ventas trimestrales (número de ejemplares vendidos) para un libro de texto

universitario en los últimos tres años son los siguientes.


mada que tome en cuenta los efectos estacionales de los datos: Qrt � 1 si el trimestre es 1, 0 en caso contrario; Qtr2 � 1 si el trimestre es 2, 0 en caso contrario; Qtr3 � 1 si el trimestre es 3, 0 en caso contrario.

AUTO evaluación


c) Calcule los pronósticos trimestrales para el próximo año.d) Suponga que t � 1 se refiere a la observación del trimestre 1 del año 1; t � 2 a la obser-

vación del trimestre 2 del año 1; . . . y t � 12 a la observación del trimestre 4 del año 3. Utilice las variables ficticias definidas en el inciso b) así como t, para desarrollar una ecuación de regresión estimada que tome en cuenta los efectos estacionales y cualquier tendencia lineal en la serie de tiempo. A partir de los efectos estacionales en los datos y la tendencia lineal, calcule los pronósticos trimestrales para el próximo año.

31. Especialistas en el control de la contaminación del aire en el sur de California monitorean cada hora la cantidad de ozono, dióxido de carbono y dióxido de nitrógeno contenida en el aire. Los datos de serie de tiempo de cada hora presentan estacionalidad, con niveles de contaminantes que muestran patrones que varían cada hora (Hour) durante el día. El 15, 16 y 17 de julio se observaron los siguientes niveles para las 12 horas a partir de las 6:00 a.m. hasta las 6:00 p.m.

15 de julio 25 28 35 50 60 60 40 35 30 25 25 2016 de julio 28 30 35 48 60 65 50 40 35 25 20 2017 de julio 35 42 45 70 72 75 60 45 40 25 25 25

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice las siguientes variables ficticias para obtener una ecuación de regresión estimada

que tome en cuenta los efectos estacionales de los datos.

Hour1 � 1 si la lectura se realizó entre las 6:00 a.m. y las 7:00 a.m.; 0 de otra formaHour2 � 1 si la lectura se realizó entre las 7:00 a.m. y las 8:00 a.m.; 0 de otra forma

.

.

.Hour11 = 1 si la lectura se realizó entre las 4:00 p.m. y las 5:00 p.m.; 0 de otra forma

Note que cuando los valores de las 11 variables ficticias son iguales a 0, la observación corres-ponde a la hora entre las 5:00 p.m. y las 6:00 p.m.c) Utilizando la ecuación de regresión estimada obtenida en el inciso a), calcule estimacio-

nes de los niveles de dióxido de nitrógeno para el 18 de julio.d) Suponga que t � 1 se refiere a la observación en la hora 1 del 15 de julio; t � 2 a la obser-

vación en la hora 2 del 15 de julio, . . . y t � 36 a la observación en la hora 12 del 17 de ju-lio. Utilice las variables ficticias definidas en el inciso b) y t, para desarrollar una ecuación de regresión estimada que tome en cuenta los efectos estacionales y de tendencia lineal de la serie de tiempo. Con base en los efectos estacionales de los datos y la tendencia lineal, calcule las estimaciones de los niveles de dióxido de nitrógeno para el 18 de julio.

32. South Shore Construction edifica muelles y diques permanentes a lo largo de la costa sur de Long Island, en Nueva York. Aunque la empresa ha estado en el negocio sólo cinco años, sus ingresos han aumentado de $308 000 en el primer año de operación hasta $1 084 000 en el año más reciente. Los siguientes datos muestran los ingresos por trimestre (Quarter) en miles de dólares para cada año (Year).


mada que tome en cuenta los efectos estacionales de los datos. Qtr1 � 1 si es el trimes-tre 1, 0 en caso contrario; Qtr2 � 1 si es el trimestre 2, 0 en caso contrario; Qtr3 � 1 si es

Quarter Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

1 20 37 75 92 176 2 100 136 155 202 282 3 175 245 326 384 445 4 13 26 48 82 181

WEB archivoPollution

WEB archivoSouthShore


el trimestre 3, 0 en caso contrario. Con base sólo en los efectos estacionales de los datos, calcule las estimaciones de las ventas trimestrales para el año 6.

c) Suponga que el periodo � 1 se refiere a la observación en el trimestre 1 del año 1; pe-riodo � 2 a la observación del trimestre 2 del año 1; . . . y periodo � 20 a la observación en el trimestre 4 del año 5. Utilice las variables ficticias que se definen en el inciso b) y el periodo para desarrollar una ecuación de regresión estimada que tome en cuenta los efec-tos estacionales y de cualquier tendencia lineal de la serie de tiempo. Con base en ambos efectos, calcule las estimaciones de las ventas trimestrales para el año 6.

33. El consumo de energía eléctrica se mide en kilowatts-hora (kWh). La compañía de servicios local ofrece un programa de interrupción por el cual los clientes comerciales participantes reciben tarifas favorables, pero deberán reducir el consumo si la empresa se los pide. Timko Products ha acordado reducir el consumo los jueves desde las 8:00 p.m. Para determinar los ahorros respectivos, la empresa debe calcular el uso de energía normal de Timko durante este periodo. Los datos de su gasto de energía eléctrica para las 72 horas anteriores se muestran a continuación. Se incluyen los consumos de los días lunes (Monday), martes (Tuesday), miér-coles (Wednesday) y jueves (Thursday) con su respectivo periodo (Time Period).

Time Period Monday Tuesday Wednesday Thursday

12–4 a.m. — 19 281 31 209 27 3304–8 a.m. — 33 195 37 014 32 7158–12 noon — 99 516 119 968 152 46512–4 p.m. 124 299 123 666 156 0334–8 p.m. 113 545 111 717 128 8898–12 midnight 41 300 48 112 73 923

Month Year 1 Year 2 Year 3

January 170 180 195 February 180 205 210 March 205 215 230 April 230 245 280 May 240 265 290


mada que tome en cuenta los efectos estacionales.

Time1 � 1 para el periodo de 12 a 4 a.m.; 0 en caso contrarioTime2 � 1 para el periodo de 4 a 8 a.m.; 0 en caso contrarioTime3 � 1 para el periodo de 8 a 12 del mediodía; 0 en caso contrarioTime4 � 1 para el periodo de 12 a 4 p.m.; 0 en caso contrarioTime5 � 1 para el periodo de 4 a 8 p.m.; 0 en caso contrario

c) Utilice la ecuación de regresión estimada obtenida en el inciso b) para calcular el uso nor-mal de Timko a lo largo del periodo en que el servicio será interrumpido.

d) Suponga que el periodo � 1 se refiere a la observación del lunes en el periodo de 12 a 4 p.m.; el periodo � 2 a la observación del lunes del periodo de 4 a 8 p.m.; . . . y el periodo � 18 a la observación del jueves en el periodo 8 a 12 del mediodía. Utilice las variables ficticias definidas en el inciso b), así como el periodo para desarrollar una ecuación de re-gresión estimada que tome en cuenta los efectos estacionales y de cualquier tendencia lineal de la serie de tiempo.

e) Utilice la ecuación obtenida en el inciso d) para estimar el uso normal de Timko a lo lar-go del periodo en que el servicio estará interrumpido.

34. Los gastos del mantenimiento del césped ($) por mes (Month) para un edificio de apartamentos de seis unidades en el sur de la Florida durante tres años (Year) son los siguientes.

WEB archivoPower

WEB archivoAptExp

18.6 Descomposición de series de tiempo 829

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle una ecuación de regresión estimada que tome en cuenta cualquier efecto de

estacionalidad o de tendencia lineal en los datos. Utilice las siguientes variables ficticias que tomen en cuenta los efectos estacionales: Jan � 1 si es enero, 0 en caso contrario; Feb � 1 si es febrero, 0 en caso contrario; Mar � 1 si es marzo, 0 en caso contrario; . . . Nov � 1 si es noviembre, 0 en caso contrario. Observe que al utilizar este método de co-dificación, cuando las 11 variables ficticias son 0, la observación corresponde a un gasto en diciembre.

c) Calcule los pronósticos mensuales para el siguiente año con base en los efectos tanto de tendencia como estacionales.

18.6 Descomposición de series de tiempoEn esta sección se enfoca la atención en lo que se conoce como descomposición de series de tiempo, la cual se puede utilizar para separar o descomponer una serie de tiempo en su parte de tendencia y estacional y en su componente irregular, aunque este método puede utilizarse para el pronóstico, y su aplicación principal es conseguir una mejor comprensión de la serie de tiempo. Muchas series de tiempo para las empresas y la economía de Estados Unidos son sostenidas y publicadas por agencias gubernamentales como la Ofi cina del Censo y la Ofi cina de Estadísticas Laborales. Estas agencias utilizan la descomposición de series de tiempo para crear series desestacionalizadas.

Entender qué sucede en realidad con una serie de tiempo a menudo depende del uso de los datos desestacionalizados. Por ejemplo, podríamos estar interesados en saber si el consumo de energía eléctrica está aumentando en nuestra área. Suponga que se entera de que éste se redujo 3% en septiembre con respecto al mes anterior. Se debe ser cuidadoso al ejercitar el uso de esa información, porque cada vez que una infl uencia estacional está presente, esas comparaciones pueden ser engañosas si los datos no han sido desestacionalizados. El hecho de que el consumo de energía eléctrica se haya reducido 3% entre agosto y septiembre podría ser por el efecto estacional que se relaciona con una disminución en el uso del aire acondicionado y no por una disminución del uso de la energía eléctrica a largo plazo. En efecto, después de ajustar el efecto estacional, se podría incluso determinar que el consumo de energía eléctrica aumentó. Muchas series de tiempo, como las estadísticas de desempleo y las ventas de casas y al detalle (o al me-nudeo), están sujetas a fuertes infl uencias estacionales. Es importante desestacionalizar dichos datos, antes de emitir un juicio acerca de cualquier tendencia a largo plazo.

Los métodos de descomposición de series tiempo asumen que Yt, el valor real de la serie de tiempo en el periodo t, es una función de tres componentes: un componente de tendencia, un componente estacional y un componente irregular o de error. El cómo estos tres componentes se combinan para generar los valores observados de la serie de tiempo depende de si se asume que la relación entre ellos se describe mejor por un modelo aditivo o un modelo multiplicativo.

Un modelo de descomposición aditiva tiene la siguiente forma:

Yt � Tendenciat � Estacionalt � Irregulart (18.13)


June 315 330 390 July 360 400 420 August 290 335 330 September 240 260 290 October 240 270 295 November 230 255 280 December 195 220 250


dondeTendenciat � valor de la tendencia en el periodo t

Estacionalt � valor estacional en el periodo t

Irregulart � valor irregular en el periodo t

En el modelo aditivo, los valores de los tres componentes simplemente se suman para obtener el valor real de las series de tiempo Yt. El componente irregular o de error toma en cuenta la variabilidad de la serie de tiempo que no puede ser explicada por los componentes de tendencia y estacional.

Un modelo aditivo es apropiado en situaciones en las que las fl uctuaciones estacionales no dependen del nivel de la serie de tiempo. El modelo de regresión que incorpora efectos esta-cionales y de tendencia en la sección 18.5 es un modelo aditivo. Éste es apropiado si las fl uc-tuaciones estacionales en el periodo anterior son casi del mismo tamaño que las fl uctuaciones estacionales en periodos posteriores. Sin embargo, si las fl uctuaciones estacionales cambian en el tiempo y son cada vez mayores a medida que aumenta el volumen de ventas debido a una tendencia lineal a largo plazo, entonces se debe utilizar el modelo multiplicativo. Muchas series de tiempo para las empresas y para la economía siguen este patrón.

Un modelo de descomposición multiplicativa toma la siguiente forma:


dondeTendenciat � valor de la tendencia en el periodo t

Estacionalt � índice estacional en el periodo t

Irregulart � índice irregular en el periodo t

En este modelo los componentes de tendencia, estacional e irregular se multiplican para dar el valor de la serie de tiempo. La tendencia se mide en las unidades de producto de la serie que se pronostica. Sin embargo, los componentes estacional e irregular se miden en términos relativos, con valores superiores a 1.00 indicando los efectos por arriba de la tendencia y con valores menores a 1.00 indicando los efectos por debajo de la tendencia.

Debido a que este es el método más utilizado en la práctica, nuestro análisis de descom-posición de las series de tiempo se limitará a mostrar cómo se desarrollan las estimaciones de los componentes de tendencia y estacional de un modelo multiplicativo. A modo de ejemplo, se trabajará con la serie de tiempo de las ventas trimestrales de televisores presentada en la sec-ción 18.5; los datos de las ventas trimestrales se muestran en la tabla 18.19 y la gráfi ca corres-pondiente de la serie de tiempo se presenta en la fi gura 18.18. Después de demostrar cómo se descompone una serie de tiempo con el modelo multiplicativo, se estudiará cómo los índices es-tacionales y el componente de tendencia pueden ser recombinados para elaborar un pronóstico.

Cálculo de los índices estacionalesLa fi gura 18.18 indica que las ventas son más bajas en el segundo trimestre de cada año y au-mentan en los trimestres 3 y 4. Por tanto, se concluye que existe un comportamiento estacional para la serie de tiempo de las ventas de televisores. El procedimiento utilizado para determi-nar la infl uencia estacional de cada trimestre empieza por calcular un promedio móvil para separar los componentes estacional e irregular de los datos, lo que deja una serie de tiempo que contiene sólo la tendencia y cualquier variación aleatoria restante que no fue eliminada por los cálculos del promedio móvil.

Como se trabaja con series trimestrales, se utilizarán cuatro valores en cada promedio mó-vil. El cálculo del promedio móvil de los primeros cuatro trimestres de ventas de televisores es

Primer promedio móvil � 4.8 � 4.1 � 6.0 � 6.5

4 �

21.4

4 � 5.35

El componente irregular corresponde al término de error ε en el modelo de regresión lineal simple estudiado en el capítulo 14.

La Oficina del Censo utiliza un modelo multiplicativo en conjunción con su metodología para desestacionalizar las series de tiempo.


Observe que el cálculo del promedio móvil de los primeros cuatro trimestres da el promedio trimestral de las ventas durante el año 1 de la serie de tiempo. Para continuar con este cálculo se agrega el valor 5.8 correspondiente al primer trimestre del año 2 y se elimina el 4.8 del primer trimestre del año 1. Por tanto, el segundo promedio móvil es

Segundo promedio móvil � 4.1 � 6.0 � 6.5 � 5.8

4 �

22.4

4 � 5.60

De manera similar, el cálculo del tercer promedio móvil es (6.0 � 6.5 � 5.8 � 5.2)/4 � 5.875.Antes de continuar con el cálculo de los promedios móviles de toda la serie de tiempo,

regrese al primero que resultó en un valor de 5.35. Éste es el promedio trimestral del volumen de ventas para el año 1. Al retroceder en su cálculo, parece razonable asociar el valor 5.35 con el “central” del grupo del promedio móvil. Sin embargo, observe que como en cada prome-dio móvil intervienen cuatro trimestres, no hay trimestre central. El valor 5.35 corresponde en realidad al periodo 2.5, la segunda mitad del trimestre 2 y la primera mitad del trimestre 3. De manera similar, al pasar al valor del siguiente promedio móvil, que es 5.60, el trimestre central corresponderá al periodo 3.5, la última mitad del trimestre 3 y la primera mitad del 4.

Los dos valores del promedio móvil que se calculan no corresponden directamente a los trimestres originales de la serie de tiempo. Esta difi cultad se resuelve calculando el promedio de los dos promedios móviles. Ya que el centro del primero es el periodo 2.5 (la mitad de un periodo o trimestre más temprano) y el centro del segundo es el periodo 3.5 (la mitad del perio-do o trimestre más tarde), el promedio de los dos promedios móviles se centra en el trimestre 3, exactamente donde debe estar. Este promedio se conoce como promedio móvil centrado, y para el periodo 3 es (5.35 � 5.60)/2 � 5.475, mientras que para el periodo 4 es (5.60 � 5.875)/2 � 5.738. La tabla 18.21 muestra un resumen completo de los cálculos del promedio móvil y del promedio móvil centrado para los datos de las ventas de televisores.

¿Qué información se obtiene de los promedios móviles centrados de la tabla 18.21 de esta serie de tiempo? La fi gura 18.20 muestra una gráfi ca de los valores reales de la serie de tiempo y de los valores de los promedios móviles centrados. Observe sobre todo cómo estos últimos tien-den a “suavizar” tanto las fl uctuaciones estacionales como las irregulares de la serie de tiempo. Los promedios móviles centrados representan la tendencia en los datos y cualquier variación aleatoria que no se ha eliminado con el uso de los promedios móviles para suavizar los datos.

Antes se demostró que el modelo de descomposición multiplicativa es

Yt � Tendenciat � Estacionalt � Irreglart

Al dividir cada lado de esta ecuación entre el componente de tendencia T1, se puede identifi car el efecto estacional irregular en la serie de tiempo.

Yt

Tendenciat

� Tendenciat � Estacionalt � Irregulart

Tendenciat

� Estacionalt � Irregulart

Por ejemplo, el tercer trimestre del año 1 muestra un valor de tendencia de 5.475 (el promedio móvil centrado). Así 6.0/5.475 � 1.096 es el valor combinado estacional-irregular del compo-nente irregular. En la tabla 18.22 se resumen los valores del componente estacional-irregular de toda la serie de tiempo.

Considere los valores del componente estacional-irregular para el tercer trimestre: 1.096, 1.075 y 1.109. Los valores de la parte estacional-irregular mayores de 1.00 indican efectos por encima de la tendencia estimada, y los valores menores de 1.00 indican efectos por debajo de la tendencia estimada. Así, los tres valores del componente estacional-irregular para el trimestre 3 muestran un efecto por encima del promedio en el tercer trimestre. Ya que año con año las

Los valores del componente irregular estacional son llamados a menudo valores de la serie de tiempo sin tendencia.


fl uctuaciones en los valores estacional-irregulares se deben principalmente al error aleatorio, se pueden promediar los valores calculados para eliminar la infl uencia irregular y obtener una estimación de la infl uencia estacional del tercer trimestre.

Efecto estacional del trimestre 3 � 1.096 � 1.075 � 1.109

3 � 1.09

Al número 1.09 se le conoce como índice estacional para el tercer trimestre. La tabla 18.23 resume los cálculos necesarios para obtener los índices estacionales de la serie de tiempo de las ventas de televisores. Los índices estacionales de los cuatro trimestres son 0.93, 0.84, 1.09 y 1.14.

La interpretación de los índices estacionales en la tabla ofrece una idea sobre el componen-te estacional de las ventas de televisores. El mejor trimestre de ventas es el cuarto, con ventas promedio de 14% por encima de la tendencia estimada. El peor, o más bajo, es el segundo tri-mestre; su índice estacional de 0.84 indica que el promedio de ventas está 16% por debajo de la tendencia estimada. El componente estacional se corresponde claramente con la expectativa intuitiva de que el interés por ver televisión y, por tanto, los patrones de compra de televisores

Promedio móvil de Promedio móvil Año Trimestre Ventas (en miles) cuatro trimestres centrado

1 1 4.8

1 2 4.1 5.350 1 3 6.0 5.475 5.600 1 4 6.5 5.738 5.875 2 1 5.8 5.975 6.075 2 2 5.2 6.188 6.300 2 3 6.8 6.325 6.350 2 4 7.4 6.400 6.450 3 1 6.0 6.538 6.625 3 2 5.6 6.675 6.725 3 3 7.5 6.763 6.800 3 4 7.8 6.838 6.875 4 1 6.3 6.938 7.000 4 2 5.9 7.075 7.150 4 3 8.0

4 4 8.4

TABLA 18.21 Cálculos de los promedios móviles centrados de la serie de tiempo de las ventas de televisores


tienden a alcanzar el punto máximo en el cuarto trimestre debido a la próxima temporada de invierno y a la reducción de las actividades al aire libre. Las bajas ventas del segundo trimestre refl ejan un menor interés por ver televisión debido a las actividades en primavera y antes del verano de los clientes potenciales.

Promedio móvil Valor Año Trimestre Ventas (en miles) centrado estacional-irregular

1 1 4.8 1 2 4.1 1 3 6.0 5.475 1.096 1 4 6.5 5.738 1.133 2 1 5.8 5.975 0.971 2 2 5.2 6.188 0.840 2 3 6.8 6.325 1.075 2 4 7.4 6.400 1.156 3 1 6.0 6.538 0.918 3 2 5.6 6.675 0.839 3 3 7.5 6.763 1.109 3 4 7.8 6.838 1.141 4 1 6.3 6.938 0.908 4 2 5.9 7.075 0.834 4 3 8.0 4 4 8.4

TABLA 18.22 Valores del componente estacional-irregular de la serie de tiempo de las ventas de televisores

FIGURA 18.20 Serie de tiempo de las ventas trimestrales de televisores y su promedio móvil centrado

Ven

tas

trim

estr

ales

de

tele

viso

res

(en

mile

s)

9.0

4 3 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 21 4

7.0

8.0

6.0

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

0.0

Promedio móvilcentrado de laserie de tiempo


Año/trimestre


Algunas veces es necesario un último ajuste para obtener los índices estacionales. Debido a que el modelo multiplicativo requiere que el índice estacional promedio sea igual a 1.00, la suma de los cuatro índices de la tabla 18.23 debe ser igual a 4.00. En otras palabras, los efectos estacionales incluso deben nivelarse a lo largo del año. En el ejemplo visto aquí, el promedio de los índices estacionales es igual a 1.00, y por tanto no es necesario ningún tipo de ajuste. En otros casos puede requerirse un ligero ajuste. Para realizarlo, se multiplica cada índice es-tacional por el número de estaciones, dividido entre la suma de los índices estacionales sin ajustar. Por ejemplo, cuando se tienen datos trimestrales se multiplica cada índice estacional por 4/(suma de los índices estacionales no ajustados). En algunos ejercicios se requerirá hacer este ajuste para obtener el índice estacional adecuado.

Desestacionalización de una serie de tiempoUna serie de tiempo a la que se le han eliminado los efectos estacionales se conoce como serie de tiempo desestacionalizada, y al proceso de uso de los índices estacionales para eliminar los efectos estacionales de una serie de tiempo se le conoce como desestacionalizar la serie de tiempo. Al utilizar un modelo de descomposición multiplicativa se desestacionaliza una se-rie de tiempo dividiendo cada observación entre el índice estacional correspondiente. El mo-delo de descomposición multiplicativa es

Yt � Tendenciat � Estacionalt � Irregulart

Así, cuando se divide cada una de las observaciones de la serie de tiempo (Yt) entre su índice estacional correspondiente, los datos resultantes muestran únicamente la tendencia y la variabi-lidad aleatoria (el componente irregular). La serie de tiempo desestacionalizada para las ventas de televisores se resume en la tabla 18.24. Una gráfi ca de la serie de tiempo desestacionalizada se muestra en la fi gura 18.21.

Uso de una serie de tiempo desestacionalizada para identificar tendenciasLa gráfi ca de la serie de tiempo desestacionalizada para las ventas de televisores que se muestra en la fi gura 18.21 parece tener una tendencia lineal ascendente. Para identifi car esta tendencia, se ajustará una ecuación de tendencia lineal para la serie de tiempo desestacionalizada utilizan-do el mismo método que se muestra en la sección 18.4. La única diferencia estriba en que se ajustará la línea de tendencia a los datos desestacionalizados en lugar de a los datos originales.

Recuerde que para una tendencia lineal la ecuación de regresión estimada puede expresarse como

Tt � b0 � b1t

donde

Tt � pronóstico de tendencia lineal en el periodo t

b0 � intersección de la recta de tendencia lineal

b1 � pendiente de la línea de tendencia

t � periodo

Trimestre Valores estacional-irregular Índice estacional

1 0.971 0.918 0.908 0.93 2 0.840 0.839 0.834 0.84 3 1.096 1.075 1.109 1.09 4 1.133 1.156 1.141 1.14

TABLA 18.23 Cálculo de los índices estacionales de la serie de tiempo de ventas de televisores

Las series de tiempo económicas ajustadas por variaciones estacionales son generalmente reportadas en publicaciones como el Survey of Current Business, The Wall Street Journal y BusinessWeek.


Ventas Índice Ventas Año Trimestre Periodo (en miles) estacional desestacionalizadas

1 1 1 4.8 0.93 5.16 2 2 4.1 0.84 4.88 3 3 6.0 1.09 5.50 4 4 6.5 1.14 5.70 2 1 5 5.8 0.93 6.24 2 6 5.2 0.84 6.19 3 7 6.8 1.09 6.24 4 8 7.4 1.14 6.49 3 1 9 6.0 0.93 6.45 2 10 5.6 0.84 6.67 3 11 7.5 1.09 6.88 4 12 7.8 1.14 6.84 4 1 13 6.3 0.93 6.77 2 14 5.9 0.84 7.02 3 15 8.0 1.09 7.34 4 16 8.4 1.14 7.37

TABLA 18.24 Valores desestacionalizados de la serie de tiempo de ventas de televisores

FIGURA 18.21 Valores desestacionalizados de la serie de tiempo de ventas de televisores

Ven

tas

dese

stac

iona

lizad

as (

en m

iles)

8.0

4 3 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 21 4

7.0

6.0

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

0.0


En la sección 18.4 se obtuvo la fórmula para calcular los valores de b0 y b1. Para ajustar una rec-ta de tendencia lineal a los datos desestacionalizados de la tabla 18.24, el único cambio estriba en que al calcular b0 y b1 se utilizan los valores de la serie de tiempo desestacionalizada en lugar de los valores observados Yt.

La fi gura 18.22 muestra los resultados de computadora obtenidos con el procedimiento de análisis de regresión de Minitab para estimar la línea de tendencia de la serie de tiempo deses-tacionalizada de los televisores. La ecuación de tendencia lineal estimada es

Ventas desestacionalizadas � 5.10 � 0.148 t


Pronóstico para la tendencia Índice Año Trimestre desestacionalizada estacional Pronóstico trimestral

5 1 7 616 0.93 (7 616)(0.93) � 7 083 2 7 764 0.84 (7 764)(0.84) � 6 522 3 7 912 1.09 (7 912)(1.09) � 8 624 4 8 060 1.14 (8 060)(1.14) � 9 188

The regression equation isDeseasonalized Sales = 5.10 + 0.148 Period

Predictor Coef SE Coef T PConstant 5.1050 0.1133 45.07 0.000Period 0.14760 0.01171 12.60 0.000

S = 0.215985 R-Sq = 91.9% R-Sq(adj) = 91.3%


Source DF SS MS F PRegression 1 7.4068 7.4068 158.78 0.000Residual Error 14 0.6531 0.0466Total 15 8.0599

La pendiente de 0.148 indica que en los últimos 16 trimestres la empresa promedió un cre-cimiento desestacionaliza de las ventas de 148 televisores por trimestre. Si se supone que los datos de ventas de los últimos 16 trimestres es un indicador bastante bueno del futuro, esta ecua-ción se puede utilizar para proyectar el patrón de tendencia de los próximos trimestres. Por ejemplo, si en esta ecuación se sustituye t � 17, obtenemos la proyección de la tendencia des-estacionalizada para el siguiente trimestre, T17.

T17 � 5.10 � 0.148 (17) � 7.616

Por tanto, al utilizar los datos desestacionalizados, el pronóstico de tendencia lineal es 7 616 te-levisores para el próximo trimestre (periodo 17). Del mismo modo, los pronósticos de tendencia desestacionalizada para los próximos tres trimestres (periodos 18, 19 y 20) son 7 764, 7 912 y 8 060 televisores, respectivamente.

Ajustes estacionalesEl último paso para obtener un pronóstico cuando existe tanto un patrón de tendencia como un patrón estacional, es usar el índice estacional a efecto de ajustar la proyección de tendencia de-sestacionalizada. Volviendo al ejemplo de las ventas de televisores, tenemos una proyección de la tendencia desestacionalizada para los próximos cuatro trimestres. Ahora es necesario ajustar el pronóstico para el efecto estacional. El índice estacional para el primer trimestre del año 5 (t � 17) es 0.93, por lo que se obtiene el pronóstico trimestral al multiplicar el pronóstico de-sestacionalizado basado en la tendencia (T17 � 7 616) por el índice estacional (0.93). Por tanto, el pronóstico para el siguiente trimestre es 7 616(0.93) � 7 083. En la tabla 18.25 se presentan los pronósticos para los trimestres 17 a 20. El cuarto trimestre, de alto volumen de ventas, tiene un pronóstico de 9 188 unidades, y el segundo trimestre, de volumen bajo de ventas, tiene como pronóstico 6 522 unidades.

FIGURA 18.22 Resultados de regresión de Minitab para la serie desestacionalizada de ventas de televisores

TABLA 18.25 Pronósticos trimestrales para la serie de tiempo de ventas de televisores


Modelos basados en datos mensualesEn el ejemplo anterior de ventas de televisores se utilizaron datos trimestrales para ilustrar el cálculo de los índices estacionales. Sin embargo, muchas empresas prefi eren los pronósticos mensuales. En tales casos, el procedimiento presentado en esta sección se aplica con modifi -caciones menores. Primero, en lugar de un promedio móvil de cuatro trimestres se usa uno de 12 meses; segundo, se calculan los índices estacionales de 12 meses en lugar de índices estacio-nales de cuatro trimestres. Aparte de estos cambios, los procedimientos de cálculo y pronóstico son idénticos.

Patrón cíclicoEn términos matemáticos, el modelo multiplicativo de la ecuación (18.14) se puede ampliar para incluir el componente cíclico.

Yt � Tendenciat � Cíclicot � Estacionalt � Irregulart (18.15)

El componente cíclico, al igual que el estacional, se expresa como un porcentaje de la tenden-cia. Como se mencionó en la sección 18.1, este componente se debe a los ciclos multianuales en la serie de tiempo. Es semejante al componente estacional, pero a lo largo de periodos más prolongados. Sin embargo, debido a la extensión de tiempo involucrado, con frecuencia es difícil obtener sufi cientes datos relevantes para estimar el componente cíclico. Otra difi cultad radica en que estos ciclos suelen tener longitudes variables. Como es tan difícil identifi car y/o separar los efectos cíclicos de los efectos de tendencia a largo plazo, en la práctica estos efec-tos a menudo se combinan y se les llama componente combinado de tendencia-ciclo. Se deja la discusión adicional del tema para libros más especializados sobre métodos de elaboración de pronósticos.


1 4 6 7 2 2 3 6 3 3 5 6 4 5 7 8

NOTAS Y COMENTARIOS

1. Existen varios métodos para calcular los índices estacionales. En esta sección se calculó cada ín-dice estacional promediando los valores estacio-nal-irregular correspondientes. Otro método, y el único utilizado por Minitab, es la mediana de los valores estacional-irregulares, como el índice esta-cional.

2. A menudo se realizan ajustes en el calendario an-tes de desestacionalizar una serie de tiempo. Por ejemplo, si una serie se compone de valores de las ventas mensuales, el valor de las ventas de febrero podrá ser menor que el de cualquier otro mes, sim-

plemente porque hay menos días en febrero. Para tener en cuenta este factor, primero se divide el valor de las ventas de cada mes entre el número de días del mes para obtener un promedio diario. Dado que el número promedio de días en un mes es de aproximadamente 365/12 � 30.4167, en-tonces se multiplican los promedios diarios por 30.4167 para obtener valores ajustados mensual-mente. Para los ejemplos y ejercicios de este ca-pítulo se puede suponer que ya se ha realizado cualquier ajuste necesario al calendario.

Ejercicios

Métodos35. Considere los datos de la siguiente serie de tiempo.

AUTO evaluación


a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Proporcione los valores del promedio móvil de cuatro trimestres y los valores del promedio

móvil centrado para esta serie de tiempo.c) Calcule los índices estacionales y los índices estacionales ajustados para los cuatro tri-

mestres.

36. Remítase al ejercicio 35.a) Desestacionalice la serie de tiempo utilizando los índices estacionales ajustados calcu-

lados en el inciso c) del ejercicio 35.b) Calcule la ecuación de regresión de tendencia lineal para los datos desestacionalizados

utilizando Minitab o Excel.c) Calcule el pronóstico de tendencia desestacionalizada para los trimestres del año 4.d) Utilice los índices estacionales para ajustar los pronósticos de tendencia desestacionali-

zada calculados en el inciso c).

Aplicaciones37. A continuación se presentan los datos de las ventas por trimestre (Quarter) del número de ejem-

plares vendidos para un libro de texto universitario en los últimos tres años (Year 1, 2 y 3).

Quarter Year 1 Year 2 Year 3

1 1 690 1 800 1 850 2 940 900 1 100 3 2 625 2 900 2 930 4 2 500 2 360 2 615


January 170 180 195 February 180 205 210 March 205 215 230 April 230 245 280 May 240 265 290 June 315 330 390 July 360 400 420 August 290 335 330 September 240 260 290 October 240 270 295 November 230 255 280 December 195 220 250

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Para esta serie de tiempo, proporcione los valores del promedio móvil de cuatro trimestres

y del promedio móvil centrado.c) Calcule los índices estacionales y los índices estacionales ajustados de los cuatro tri-

mestres.d) ¿Cuándo obtiene la editorial el mayor índice estacional? ¿Parece razonable este resultado?

Explique.e) Desestacionalice la serie de tiempo.f ) Calcule la ecuación de tendencia lineal para los datos desestacionalizados y pronostique

las ventas utilizando la ecuación de tendencia lineal.g) Modifique los pronósticos de tendencia lineal utilizando los índices estacionales ajustados

calculados en el inciso c).

38. A continuación se presentan los gastos ($) por mes (Month) del mantenimiento de césped a lo largo de tres años (Year 1, 2 y 3) para un edificio de seis departamentos en el sur de Florida.

WEB archivoTextSales

WEB archivoAptExp

Resumen 839

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Identifique los índices estacionales mensuales para los tres años de gastos de manteni-

miento del césped del edificio de apartamentos al sur de Florida. Utilice el cálculo del pro-medio móvil de 12 meses.

c) Desestacionalice la serie de tiempo.d) Calcule la ecuación de tendencia lineal para los datos desestacionalizados.e) Calcule los pronósticos de tendencia desestacionalizada y después ajuste los pronósti-

cos de tendencia usando los índices estacionales para obtener un pronóstico de los gastos mensuales en el año 4.

39. En el sur de California, los especialistas en el control de la contaminación atmosférica monito-rean cada hora la cantidad de ozono, dióxido de carbono y dióxido de nitrógeno en el aire. Los datos para esta serie de tiempo por hora presentan estacionalidad, por lo que los niveles de con-taminación muestran ciertos patrones según la hora del día. Los siguientes niveles de dióxido de nitrógeno se observaron en el centro de la ciudad para 12 horas, de las 6:00 de la mañana a las 6:00 de la tarde, los días 15, 16 y 17 de julio.

Julio 15 25 28 35 50 60 60 40 35 30 25 25 20Julio 16 28 30 35 48 60 65 50 40 35 25 20 20Julio 17 35 42 45 70 72 75 60 45 40 25 25 25

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Identifique los índices estacionales por hora para las 12 lecturas de cada día.c) Desestacionalice la serie de tiempo.d) Utilice Minitab o Excel para calcular la ecuación de tendencia lineal de los datos desesta-

cionalizados.e) Calcule los pronósticos de tendencia desestacionalizada de las 12 horas del 18 de julio y

después ajuste el pronóstico de tendencia con los índices estacionales obtenidos en b).

40. El consumo de energía eléctrica se mide en kilowatts-hora (kWh). La empresa local de ser-vicios públicos ofrece un programa de ahorro en el que los clientes comerciales participantes pagan tarifas muy favorables con la condición de que reduzcan su consumo de energía cuando la entidad pública se los solicite. La empresa Timko Products redujo su consumo a partir del mediodía del jueves. Para evaluar el ahorro de energía, la empresa proveedora de energía tiene que estimar el consumo normal de energía de Timko. El periodo de reducción abarcó desde el mediodía hasta las 8:00 de la noche. Los datos sobre el consumo de energía eléctrica de esta empresa en las 72 horas anteriores son los siguientes, e incluyen los periodos (Time Period) del lunes (Monday), martes (Tuesday), miércoles (Wednesday) y jueves (Thursday).

Time Period Monday Tuesday Wednesday Thursday

12–4 a.m. — 19 281 31 209 27 3304–8 a.m. — 33 195 37 014 32 7158–12 noon — 99 516 119 968 152 46512–4 p.m. 124 299 123 666 156 0334–8 p.m. 113 545 111 717 128 8898–12 midnight 41 300 48 112 73 923

a) ¿Se observa un efecto estacional dentro del periodo de 24 horas?b) Calcule los índices estacionales para los seis periodos de 4 horas.c) Utilice la tendencia ajustada por los índices estacionales para estimar el consumo normal

de Timko en el periodo en que realizó el ahorro.

Resumen

En este capítulo se presentó una introducción a los métodos básicos del análisis de series de tiempo y pronóstico. Primero se indicó que el patrón subyacente en la serie de tiempo a menu-do puede ser identifi cado construyendo una gráfi ca de serie de tiempo. Se distinguen varios tipos de patrón de datos, entre ellos un patrón horizontal, un patrón de tendencia y un patrón

WEB archivoPollution

WEB archivoPower


estacional. Los métodos de elaboración de pronósticos estudiados se basan en que estos patro-nes están presentes en la serie de tiempo.

Se mostró cómo se utilizan los promedios móviles y el suavizamiento exponencial para desarrollar un pronóstico de una serie de tiempo con un patrón horizontal. El método de prome-dios móviles consiste en calcular el promedio de los valores de datos pasados, y después usar ese promedio como pronóstico para el siguiente periodo. En el método de suavizamiento expo-nencial se usa un promedio ponderado de los valores pasados de la serie de tiempo para calcular un pronóstico. Estos métodos también se adaptan bien cuando un patrón horizontal cambia a un nivel diferente y se reanuda un patrón horizontal.

Un factor importante para determinar qué método de elaboración de pronósticos utilizar involucra la exactitud del método. Se estudiaron tres medidas de exactitud de los pronósticos: el error absoluto medio (EAM), el cuadrado medio debido al error (CME), y el error porcentual absoluto medio (EPAM). Cada una de estas medidas está diseñada para determinar qué tan bien un método de elaboración de pronósticos particular es capaz de reproducir los datos disponibles de la serie de tiempo. Al seleccionar un método que tiene la mejor exactitud de los datos ya conocidos, se espera que aumente la probabilidad de obtener mejores pronósticos para periodos futuros.

Para una serie de tiempo que sólo tiene tendencia lineal a largo plazo, se demostró que pue-de utilizarse la regresión simple de la serie de tiempo para hacer proyecciones de su tendencia. También se estudió cómo una extensión del suavizamiento exponencial simple, conocido como suavizamiento exponencial lineal de Holt, se utiliza para pronosticar una serie de tiempo con tendencia lineal a largo plazo. Para una serie de tiempo con una tendencia curvilínea o no lineal, se demostró cómo la regresión múltiple permite ajustar los datos a una ecuación de tendencia cuadrática o a una ecuación de tendencia exponencial.

Para una serie de tiempo con un componente estacional, se demostró cómo utilizar las va-riables fi cticias en un modelo de regresión múltiple a efecto de desarrollar una ecuación de re-gresión estimada con efectos estacionales. Luego se amplió el método de regresión para incluir situaciones en las que la serie de tiempo contiene tanto el efecto estacional como el efecto de ten-dencia lineal, y se mostró cómo combinar el método de la variable fi cticia para el manejo de la estacionalidad con el método de regresión de la serie de tiempo para el manejo de la tenden-cia lineal.

En la última sección del capítulo se vio cómo la descomposición de la serie de tiempo se utiliza para separar o descomponer ésta en sus componentes estacional y de tendencia, para después desestacionalizarla. Se mostró cómo calcular los índices estacionales para un modelo multiplicativo, cómo utilizar los índices estacionales para desestacionalizar una serie de tiempo y cómo utilizar el análisis de regresión con los datos desestacionalizados para estimar el com-ponente de tendencia. El último paso en el desarrollo de un pronóstico cuando existe tanto el componente de tendencia como el estacional es utilizar los índices estacionales para ajustar las proyecciones de tendencia.

Glosario

Constante de suavizamiento Parámetro del modelo de suavizamiento exponencial que pro-porciona el peso atribuido al valor más reciente de la serie de tiempo en el cálculo del valor pronosticado.Cuadrado medio debido al error (CME) o error cuadrático medio Promedio de la suma de los errores de pronóstico cuadrados.Descomposición de una serie de tiempo Método de series de tiempo que se utiliza para sepa-rar o descomponer una serie de tiempo en componentes estacional y de tendencia.Error absoluto medio (EAM) Promedio de los valores absolutos de los errores de pronóstico.Error de pronóstico Diferencia entre el valor real de la serie de tiempo y su pronóstico.Error porcentual absoluto medio (EPAM) Promedio de los valores absolutos de los errores de pronóstico porcentuales.Gráfi ca de serie de tiempo Presentación gráfi ca de las relaciones entre el tiempo y la variable de la serie de tiempo. El tiempo se muestra en el eje horizontal y los valores de una serie de tiempo en el eje vertical.

Fórmulas clave 841

Modelo aditivo En este modelo, el valor real de una serie de tiempo en el periodo t se obtiene al sumar los valores de los componentes de tendencia, estacional e irregular.Modelo multiplicativo En este modelo, el valor real de una serie de tiempo en el periodo t se obtiene al multiplicar los valores de los componentes de tendencia, estacional y el componente irregular.Patrón cíclico Este patrón se presenta si la gráfi ca de una serie de tiempo muestra alternati-vamente una secuencia de puntos por debajo y por arriba de una línea de tendencia que tiene una duración de más de un año.Patrón de tendencia Existe si la gráfi ca de la serie de tiempo presenta cambios o movimien-tos graduales hacia valores relativamente más altos o más bajos durante un largo periodo.Patrón estacional Es aquel patrón que existe si la gráfi ca de la serie de tiempo presenta un patrón de repetición en periodos sucesivos. Éstos se presentan a menudo en intervalos de un año, que es de donde proviene el nombre de patrón estacional.Patrón horizontal Se obtiene cuando los datos fl uctúan alrededor de una media constante.Promedios móviles Método de elaboración de pronósticos que utiliza el promedio de los valores de los k datos más recientes para pronosticar una serie de tiempo del periodo siguiente.Promedios móviles ponderados Método de elaboración de pronósticos que consiste en se-leccionar un peso diferente para los valores de los k datos más recientes de la serie de tiempo y luego calcular el promedio ponderado de los valores. La suma de los pesos debe ser 1.Serie de tiempo Secuencia de observaciones sobre una variable medida en puntos sucesivos en el tiempo o en periodos sucesivos.Serie de tiempo desestacionalizada Serie de tiempo de la cual ha sido eliminado el efecto estacional al dividir cada observación de la serie de tiempo original entre el índice estacional correspondiente.Serie de tiempo estacionaria Serie de tiempo cuyas propiedades estadísticas son indepen-dientes del tiempo. Para una serie de tiempo estacionaria, el proceso de generación de datos tiene una media constante y la variabilidad de la serie de tiempo es constante en el tiempo.Suavizamiento exponencial Método de elaboración de pronósticos que utiliza un promedio ponderado de los valores pasados de la serie de tiempo como un pronóstico; es un caso especial del método de promedios móviles ponderados en el que se selecciona un solo peso, el de la observación más reciente.Suavizamiento exponencial lineal Extensión del suavizamiento exponencial simple que uti-liza dos constantes de suavizamiento para que los pronósticos puedan obtener una serie de tiempo con una tendencia lineal.

Fórmulas clave

Pronóstico de promedio móvil de orden k

Ft�1 � a (los k valores más recientes de los datos)

k �

Yt � Yt�1 � . . . � Yt�k�1

k (18.1)

Pronóstico de suavizamiento exponencial

Ft�1 � αYt � (1 � α)Ft (18.2)

Ecuación de tendencia lineal

Tt � b0 � b1t (18.4)donde

b1 �

n

at�1

n

at�1

(t � t )(Yt � Y )

(t � t )2

(18.5)

b0 � Y � b1t (18.6)


Suavizamiento exponencial lineal de Holt

Lt � αYt � (1 � α)(Lt�1 � bt�1) (18.7)

bt � �(Lt � Lt�1) � (1 � �) bt�1 (18.8)

Ft�k � Lt � bt k (18.9)

Ecuación de tendencia cuadrática

Tt � b0 � b1t � b2t2 (18.10)

Ecuación de tendencia exponencial

Tt � b0(b1)t (18.11)

Modelo de descomposición aditiva


Modelo de descomposición multiplicativa


Ejercicios complementarios

41. La demanda semanal (en algunos casos) de una determinada marca de detergente para lava-vajillas automática en una cadena de tiendas de abarrotes ubicada en Columbus, Ohio, es la siguiente.

Semana Demanda Semana Demanda

1 22 6 24 2 18 7 20 3 23 8 19 4 21 9 18 5 17 10 21

Trimestre Acciones %

1o.–2007 29.8 2o.–2007 31.0 3o.–2007 29.9 4o.–2007 30.1 1o.–2008 32.2 2o.–2008 31.5 3o.–2008 32.0 4o.–2008 31.9 1o.–2009 30.0

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice un promedio móvil de tres semanas y obtenga un pronóstico para la semana 11.c) Utilice el suavizamiento exponencial con una constante de suavizamiento de α � 0.2 para

desarrollar un pronóstico sobre la semana 11.d) ¿Cuál de los dos métodos prefiere usted? ¿Por qué?

42. En la tabla siguiente se presentan los porcentajes invertidos en acciones de un portafolio a lo largo de nueve trimestres de 2007 a 2009.

Ejercicios complementarios 843

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice el suavizamiento exponencial para pronosticar esta serie de tiempo. Considere las

constantes de suavizamiento de α � 0.2, 0.3 y 0.4. ¿Con cuál valor de la constante de suavizamiento se obtienen los pronósticos más exactos?

c) ¿Cuál es el pronóstico del porcentaje de acciones en un portafolio típico para el segundo trimestre de 2009?

43. United Dairies, Inc. es el proveedor de leche de varias compañías de abarrotes en el condado de Dade, Florida. Los directivos de la empresa desean contar con un pronóstico que proporcione la cantidad de litros de leche que se venden por semana. Los datos de ventas de las 12 semanas anteriores son los siguientes.

Semana Ventas Semana Ventas

1 2 750 7 3 300 2 3 100 8 3 100 3 3 250 9 2 950 4 2 800 10 3 000 5 2 900 11 3 200 6 3 050 12 3 150

Año Saldo ($)

2001 2 435 2002 2 593 2003 2 258 2004 2 087 2005 2 294 2006 2 660 2007 3 317 2008 3 462

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice el método de suavizamiento exponencial con α � 0.4 para obtener un pronóstico

de la demanda en la semana 13.

44. Para evitar un cargo mensual por servicio en una cuenta corriente que devenga intereses, el cliente debe mantener un saldo promedio diario mínimo. Se llevó a cabo un estudio en 2008 de 249 bancos y casas de ahorro de las 25 principales áreas metropolitanas de Estados Unidos, en el que se mostró que es necesario mantener un saldo medio de $3 462 para evitar un cargo men-sual por servicio. Con un cargo promedio mensual de $11.97 y una tasa de interés promedio de sólo 0.24%, los clientes con cuenta de cheques que devengan intereses no están recibiendo mucho valor por ofrecer al banco una línea de crédito igual al saldo promedio mensual necesa-rio para evitar el cargo mensual por servicio (página web de Bankrate, 27 de octubre de 2008). La siguiente tabla muestra el saldo promedio mínimo de 2001 a 2008 requerido para evitar un cargo mensual por servicio.

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice Minitab o Excel para obtener una ecuación de tendencia lineal de esta serie de

tiempo. Calcule una estimación del saldo promedio requerido para evitar cargos mensuales por servicio para 2009.

c) Utilizando Minitab o Excel, obtenga una ecuación de tendencia cuadrática de esta serie de tiempo. Calcule un estimado del saldo promedio requerido para evitar cargos mensuales por servicio para 2009.

d) ¿Qué método ofrece pronósticos más precisos para los datos históricos con base en el CME?e) ¿Recomendaría que con estos datos el pronóstico para 2009 se obtuviera a partir de una

ecuación de tendencia lineal o de una ecuación de tendencia cuadrática? Explique.

45. El Garden Avenue Seven vende los discos compactos (CD) de sus interpretaciones musicales. La tabla siguiente presenta las ventas (Sales) en unidades por mes (Month) de los últimos 18 meses. El gerente del grupo desea un método preciso para pronosticar las ventas futuras.


a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice el suavizamiento exponencial con α � 0.3, 0.4 y 0.5. ¿Qué valor de α proporciona

pronósticos más exactos?c) Utilice la proyección de tendencia para ofrecer un pronóstico. ¿Cuál es el valor del CME?d) ¿Qué método de elaboración de pronósticos le recomendaría al gerente? ¿Por qué?

46. Mayfair Department Store se encuentra en Davenport, Iowa, y desea determinar la pérdida de ventas que registró durante los meses de julio y agosto, en los que tuvo que cerrar debido a los daños causados por la inundación del río Mississippi. Los datos de ventas de enero a junio son los siguientes.

Month Sales Month Sales Month Sales

1 293 7 381 13 549 2 283 8 431 14 544 3 322 9 424 15 601 4 355 10 433 16 587 5 346 11 470 17 644 6 379 12 481 18 660

Mes Ventas ($ miles) Mes Ventas ($ miles)

Enero 185.72 Abril 210.36 Febrero 167.84 Mayo 255.57 Marzo 205.11 Junio 261.19

Mes 1 2 3 4 5 6 7

Efectivo requerido ($ miles) 205 212 218 224 230 240 246

Año 1 2 3 4 5

Ventas 12 28 34 50 76

a) Utilice el suavizamiento exponencial, con α � 0.4, a efecto de obtener un pronóstico para julio y agosto (Sugerencia. Use el pronóstico de julio como ventas reales de julio al pro-nosticar agosto.) Exponga un comentario sobre el uso del suavizamiento exponencial para pronosticar más de un periodo en el futuro.

b) Utilice la proyección de tendencia para pronosticar las ventas de julio y agosto.c) La compañía de seguros de Mayfair propuso una liquidación de $240 000 por la pérdida

en julio y agosto. ¿Es esto suficiente? Si no lo es, ¿qué cantidad recomendaría como con-traoferta?

47. Canton Supplies, Inc. es una empresa de servicios que emplea a unas 100 personas. Los geren-tes de Canton Supplies se preocupan por cumplir con las obligaciones mensuales en efectivo y desean obtener un pronóstico de los requerimientos mensuales de efectivo. Debido a un cambio reciente en la política de operación, únicamente se consideraron relevantes los últimos siete meses.

a) Construya una gráfica de serie de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Utilice el método de suavizamiento exponencial lineal de Holt con α � 0.6 y � � 0.4

para pronosticar el efectivo requerido en cada uno de los próximos dos meses.c) Utilice Minitab o Excel para obtener una ecuación de tendencia lineal que pronostique el

efectivo requerido para cada uno de los próximos dos meses.d) ¿Recomendaría el método de suavizamiento exponencial lineal de Holt con α � 0.6 y

� � 0.4, o la ecuación de tendencia lineal a efecto de pronosticar el efectivo requerido para cada uno de los próximos dos meses? Explique.

48. Costello Music Company ha estado en el negocio por cinco años. Durante ese tiempo las ventas aumentaron de 12 pianos en el primer año a 76 en el último año. Fred Costello, propietario de la empresa, desea obtener un pronóstico de ventas de pianos para el próximo año. Los siguientes son los datos históricos.

WEB archivoCDSales

Ejercicios complementarios 845

a) Construya una gráfica de series de tiempo. ¿Qué tipo de patrón existe en los datos?b) Desarrolle una ecuación de tendencia lineal para la serie de tiempo. ¿Cuál es el crecimiento

promedio anual en ventas que la empresa ha registrado por año?c) Pronostique las ventas para los años 6 y 7.

49. Considere el problema de Costello Music Company del ejercicio 48. Los siguientes son los datos de las ventas por trimestre (Quarter 1, 2, 3 y 4) para 5 años (Year), incluyendo el total de ventas anuales (Total Yearly Sales).

Total Yearly Year Quarter 1 Quarter 2 Quarter 3 Quarter 4 Sales

1 6 15 10 4 35 2 10 18 15 7 50 3 14 26 23 12 75 4 19 28 25 18 90 5 22 34 28 21 105 6 24 36 30 20 110 7 28 40 35 27 130

Año 1 2 3 4 5 6 7

Cantidad vendida 35 50 75 90 105 110 130

Total Yearly Year Quarter 1 Quarter 2 Quarter 3 Quarter 4 Sales

1 4 2 1 5 12 2 6 4 4 14 28 3 10 3 5 16 34 4 12 9 7 22 50 5 18 10 13 35 76

a) Utilice las siguientes variables ficticias para obtener una ecuación de regresión estimada que considere los efectos estacionales y de tendencia lineal en los datos: Qtr1 � 1 si el trimestre es 1, 0 en caso contrario; Qtr2 � 1 si el trimestre es 2, 0 en caso contrario, y Qtr3 � 1 si el trimestre es 3, 0 en caso contrario.

b) Calcule los pronósticos trimestrales para el próximo año.

50. Consulte el problema de Costello Music Company del ejercicio 49.a) Utilizando la descomposición de series de tiempo, calcule los índices estacionales para los

cuatro trimestres.b) ¿Cuándo experimenta Costello Music el mayor efecto estacional? ¿Parece razonable este

resultado? Explique.

51. Remítase a la serie de tiempo de la empresa Costello Music del ejercicio 49.a) Desestacionalice los datos y utilice la serie de tiempo desestacionalizada para identificar

la tendencia.b) Utilice los resultados del inciso a) a efecto de obtener un pronóstico trimestral para el

próximo año con base en la tendencia.c) Utilice los índices estacionales obtenidos en el ejercicio 50 para ajustar los pronósticos del

inciso b) con objeto de tomar en cuenta el efecto estacional.

52. Durante los últimos siete años, Hudson Marine ha sido un distribuidor autorizado de radios náuticos C&D. La tabla siguiente presenta el número de radios que se venden por año.

a) Trace una gráfica de serie de tiempo. ¿Existe una tendencia lineal?b) Utilice Minitab o Excel para obtener la ecuación de tendencia lineal de esta serie de tiempo.c) Use la ecuación del inciso b) para obtener un pronóstico de ventas anuales en el año 8.

53. Consulte el problema de Hudson Marine del ejercicio 52. Suponga que los valores de ventas trimestrales para los siete años de datos históricos son los siguientes.

WEB archivoPianoSales

WEB archivoHudsonMarine


a) Utilice las siguientes variables ficticias para obtener una ecuación de regresión estimada en la que se tome en cuenta cualquier estación del año y los efectos de tendencia lineal en los datos: Qtr1 � 1 si es el trimestre 1, 0 en caso contrario; Qtr2 � 1 si es el trimestre 2, 0 en caso contrario; Qtr3 � 1 si es el trimestre 3, 0 en caso contrario.

b) Calcule los pronósticos trimestrales para el próximo año.

54. Consulte el problema de Hudson Marine del ejercicio 53.a) Calcule los valores del promedio móvil centrado de esta serie de tiempo.b) Trace una gráfica de la serie de tiempo que presente tanto el promedio móvil centrado

como la serie de tiempo original. Exponga su opinión acerca de las diferencias entre la gráfica de la serie de tiempo original y la serie de tiempo con promedio móvil centrado.

c) Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres.d) ¿Cuándo experimenta Hudson Marine el mayor efecto estacional? ¿Parece razonable este

resultado? Explique.

55. Continúe con los datos de Hudson Marine del ejercicio 53.a) Desestacionalice los datos y utilice la serie de tiempo desestacionalizada para identificar

la tendencia.b) Utilice los resultados del inciso a) y obtenga un pronóstico trimestral para el año siguiente

con base en la tendencia.c) Utilice los índices estacionales obtenidos en el ejercicio 54 para ajustar los pronósticos

obtenidos en el inciso b) tomando en cuenta el efecto estacional.

Caso a resolver 1 Pronóstico de ventas de alimentos y bebidasEl Vintage Restaurant, en la isla Captiva, cerca de Fort Myers, Florida, es operado por su pro-pietaria Karen Payne, y acaba de cumplir tres años de funcionamiento. Desde que inauguró su negocio, Karen ha tratado de establecer una reputación para Vintage como un restaurante de alta calidad que se especializa en mariscos frescos. Gracias a sus esfuerzos y los de su personal, el restaurante se ha convertido en uno de los mejores y con mayor crecimiento en la isla.

Para mejorar la planifi cación del crecimiento del restaurante en el futuro, Karen tiene que desarrollar un sistema que le permita pronosticar las ventas mensuales de alimentos y bebidas con hasta un año de anticipación. La tabla 18.26 muestra el valor de las ventas de alimentos y bebidas (en miles de $) para cada mes (Month) de los tres primeros años de funcionamiento: primer año (First Year), segundo año (Second Year) y tercer año (Third Year).

Informe gerencialElabore un análisis de los datos de las ventas de Vintage Restaurant. Prepare un informe para Karen que resuma sus hallazgos, pronósticos y recomendaciones. Incluya lo siguiente.

1. Una gráfi ca de serie de tiempo. Comente acerca del patrón principal en la serie de tiempo.2. Un análisis de la estacionalidad de los datos. Indique el índice estacional para cada

mes y comente sobre las ventas mensuales en las estaciones bajas y altas. ¿Los índices estacionales tienen sentido intuitivo? Comente.

3. Desestacionalice la serie de tiempo. ¿Existe alguna tendencia en la serie de tiempo des-estacionalizada?

4. Utilizando el método de descomposición de una serie de tiempo, pronostique las ventas de enero a diciembre del cuarto año.

5. Utilizando el método de regresión con las variables fi cticias, pronostique las ventas de enero a diciembre del cuarto año.

6. En el apéndice de su informe proporcione tablas con el resumen de sus cálculos y sus gráfi cas.

Suponga que en enero del cuarto año las ventas resultan ser de $295 000. ¿Cuál fue su error de pronóstico? Si el error es grande, a Karen puede confundirle esta diferencia entre el pronóstico y el valor de las ventas reales. ¿Qué puede hacer usted para resolver la incertidumbre del proce-dimiento de elaboración de pronósticos?

Caso a resolver 2 Pronóstico de pérdidas de ventas 847

Month Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

January 1.45 2.31 2.31 2.56February 1.80 1.89 1.99 2.28March 2.03 2.02 2.42 2.69April 1.99 2.23 2.45 2.48May 2.32 2.39 2.57 2.73June 2.20 2.14 2.42 2.37July 2.13 2.27 2.40 2.31August 2.43 2.21 2.50 2.23September 1.71 1.90 1.89 2.09October 1.90 2.13 2.29 2.54November 2.74 2.56 2.83 2.97December 4.20 4.16 4.04 4.35

Caso a resolver 2 Elaboración del pronóstico de pérdidas de ventasCarlson Department Store sufrió graves daños cuando un huracán azotó el 21 de agosto la zona donde se encuentra establecida. La tienda fue cerrada durante cuatro meses (de septiembre a di-ciembre), y Carlson está involucrada en una disputa con su compañía de seguros sobre el monto de las ventas perdidas durante el tiempo en que la tienda permaneció cerrada. Los dos temas clave que deben ser resueltos son: 1) el importe de las ventas que Carlson habría hecho si no hubiese ocurrido el huracán, y 2) si Carlson tiene derecho a alguna compensación por el exceso de ventas debido al aumento de actividad comercial generado en la zona después del huracán. El condado recibió más de $8 000 millones de ayuda federal por desastres y en pagos por seguros. El resultado fue el aumento de las ventas en las grandes tiendas departamentales y en muchos otros negocios.

En la tabla 18.27 se presentan los datos de las ventas de Carlson en los 48 meses anteriores al huracán y en la tabla 18.28 las ventas totales en el mismo periodo de todas las tiendas depar-tamentales del condado, así como las ventas totales en el condado durante los cuatro meses en que Carlson Department Store permaneció cerrada. Los directivos de la tienda le pedirán que analice estos datos y que obtenga una estimación de la pérdida de ventas que sufrió de septiem-bre a diciembre. También se le pedirá que determine si se puede solicitar un pago por las ventas

Month First Year Second Year Third Year

January 242 263 282 February 235 238 255 March 232 247 265 April 178 193 205 May 184 193 210 June 140 149 160 July 145 157 166 August 152 161 174 September 110 122 126 October 130 130 148 November 152 167 173 December 206 230 235

TABLA 18.26 Ventas de alimentos y bebidas del restaurante Vintage ($ miles)

TABLA 18.27 Ventas de Carlson Department Store ($ millones)

WEB archivoVintage

WEB archivoCarlsonSales


extra relacionadas con el huracán. Si este caso se puede resolver, Carlson tiene derecho a una indemnización por el exceso de ventas que hubiera ganado por encima de las ventas normales.

Informe gerencialRedacte un informe para los directivos de Carlson Department Store que resuma sus hallazgos, pronósticos y recomendaciones. Incluya lo siguiente:

1. Una estimación de las ventas que la tienda habría registrado de no haberse producido el huracán.

2. Una estimación de las ventas que habría tenido el condado de no haberse producido el huracán.

3. Una estimación de la pérdida de ventas de Carlson Department Store de septiembre a diciembre.

Además, utilice las ventas reales en las tiendas departamentales del condado desde septiembre hasta diciembre y la estimación del inciso 2) para argumentar a favor o en contra del exceso de ventas relacionadas con el huracán.

Apéndice 18.1 Elaboración de pronósticos con MinitabEn este apéndice se muestra cómo utilizar Minitab para obtener pronósticos mediante los si-guientes métodos: promedios móviles, suavizamiento exponencial, proyección de tendencias, suavizamiento exponencial lineal de Holt y descomposición de una serie de tiempo.

Promedios móvilesPara mostrar cómo utilizar Minitab en la elaboración de pronósticos con el método de prome-dios móviles, se calculará un pronóstico para la serie de tiempo de la venta de gasolina de la ta-bla 18.1 y de la fi gura 18.1. Los datos de las ventas en las 12 semanas se ingresan en la columna 2 de la hoja de cálculo. Los siguientes pasos se utilizan para obtener un pronóstico de promedio móvil de tres semanas para la semana 13.

Paso 1. Seleccione el menú Stat.Paso 2. Elija Time Series.Paso 3. Elija Moving Average.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo de Moving Average aparezca: Introduzca C2 en el cuadro Variable. Introduzca 3 en el cuadro MA length.

Month Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

January 46.80 46.80 43.80 48.00February 48.00 48.60 45.60 51.60March 60.00 59.40 57.60 57.60April 57.60 58.20 53.40 58.20May 61.80 60.60 56.40 60.00June 58.20 55.20 52.80 57.00July 56.40 51.00 54.00 57.60August 63.00 58.80 60.60 61.80September 55.80 57.60 49.80 47.40 69.00October 56.40 53.40 54.60 54.60 75.00November 71.40 71.40 65.40 67.80 85.20December 117.60 114.00 102.00 100.20 121.80

TABLA 18.28 Ventas de las tiendas departamentales en el condado ($ millones)

WEB archivoCountySales

WEB archivoGasoline

Apéndice 18.1 Elaboración de pronósticos con Minitab 849

Seleccione Generate forecasts. Introduzca 1 en el cuadro Number of forecasts. Introduzca 12 en el cuadro Starting from origin. Haga clic en OK.

Las medidas de exactitud de pronóstico para la semana 13 se muestran en la ventana de la sec-ción. En los resultados de Minitab, el error absoluto medio se etiqueta MAD y el cuadrado medio debido al error o error cuadrático medio, MSD.

Suavizamiento exponencialPara mostrar cómo utilizar Minitab con objeto de obtener un pronóstico de suavizamiento ex-ponencial, se recurrirá nuevamente a los datos presentados en la tabla 18.1 y en la fi gura 18.1 a efecto de obtener un pronóstico de las ventas para la semana 13 de la serie de tiempo de las ventas de gasolina. Los datos de las ventas para las 12 semanas se introducen en la columna 2 de la hoja de cálculo. Los siguientes pasos se utilizan para obtener un pronóstico sobre la sema-na 13 mediante una constante de suavizamiento de α � 0.2.

Paso 1. Seleccione el menú Stat.Paso 2. Elija Time Series.Paso 3. Elija Single Exp Smoothing.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo de Single Exponential Smoothing aparezca: Introduzca C2 en el cuadro Variable. Seleccione la opción Use para Weight to Use in Smoothing. Introduzca 0.2 en el cuadro Use. Seleccione Generate forecasts. Introduzca 1 en el cuadro Number of forecasts. Introduzca 12 en el cuadro Starting from origin. Seleccione Options.Paso 5. Cuando el cuadro de diálogo de Single Exponential Smoothing-Options aparezca: Introduzca 1 en el cuadro Use average of first K observations. Haga clic en Ok.Paso 6. Cuando el cuadro de diálogo de Single Exponential Smoothing aparezca: Haga clic en OK.

Las medidas de la exactitud del pronóstico y el pronóstico de suavizamiento exponencial de la semana 13 se muestran en la ventana de la sección. En los resultados de Minitab,* el error abso-luto medio se etiqueta MAD y el cuadrado medio debido al error o error cuadrático medio, MSD.

Proyección de tendenciaPara mostrar cómo Minitab permite obtener pronósticos mediante la proyección de tendencias, se emplea un pronóstico para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas de la tabla 18.3 y de la fi gura 18.3. El número de años se introduce en la columna 1 y los datos de las ventas en la columna 2 de la hoja de cálculo. Con los pasos siguientes se obtiene un pronóstico para el año 11 con la proyección de tendencia.

Paso 1. Seleccione el menú Stat.Paso 2. Elija Time series.Paso 3. Elija Trend Analysis.

* El valor de MSD que proporciona Minitab no es el mismo que el valor del CME que aparece en la sección 18.3. Minitab utiliza 17 como pronóstico para la semana 1, así que para calcular el MSD utiliza los datos de las 12 semanas. En la sección 18.3 se calcula el CME utilizando sólo los datos para la semana 2 a 12 porque no se contaba con los valores del pasado que permitiera obtener un pronóstico para la semana 1.

WEB archivoGasoline

WEB archivoBicycle


Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo Trend Analysis aparezca: Introduzca C2 en el cuadro Variable. Elija Linear como tipo de modelo. Seleccione Generate forecasts. Introduzca 1 en el cuadro Number of forecasts. Introduzca 10 en el cuadro Starting from origin. Haga clic en Ok.

La ecuación para la tendencia lineal, medidas de exactitud del pronóstico y los pronósticos para el año siguiente se muestran en la ventana de la sesión. En los resultados de Minitab, el error absoluto medio se etiqueta MAD y el error cuadrático medio MSD. Para obtener pronósticos de una tendencia cuadrática o una tendencia exponencial, seleccione Quadratic de Exponential growth en vez de Linear en el paso 4.

Suavizamiento exponencial lineal de HoltPara mostrar cómo utilizar Minitab para elaborar pronósticos con el método de suavizamiento exponencial lineal de Holt, se desarrolla nuevamente un pronóstico para la serie de tiempo de las ventas de bicicletas de la tabla 18.3 y la fi gura 18.3. En Minitab, el método de suavizamiento exponencial lineal de Holt se refi ere como suavizamiento exponencial doble (Double Expo-nential Smoothing). El número de años se introduce en la columna 1 y los datos de ventas en la columna 2 de la hoja de cálculo. Los pasos siguientes pueden utilizarse para pronosticar las ventas del año 11 mediante el suavizamiento exponencial lineal de Holt con α � 0.1 y � � 0.2.

Paso 1. Seleccione el menú Stat.Paso 2. Elija Time Series.Paso 3. Elija Double Exp Smoothing.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo Double Exponential Smoothing aparezca: Introduzca C2 en el cuadro Variable. Seleccione la opción Use para Weights to Use in Smoothing. Introduzca 0.1 en el cuadro level. Introduzca 0.2 en el cuadro trend. Seleccione Generate forecasts. Introduzca 1 en el cuadro Number of forecasts. Introduzca 10 en el cuadro Starting from origin. Haga clic en Ok.

Las medidas de exactitud de los pronósticos y los pronósticos de suavizamiento exponencial li-neal de Holt para el año 11 se muestran en la ventana de la sesión. En los resultados de Minitab, el error absoluto medio se etiqueta MAD y el cuadrado medio debido al error o error cuadrático medio, MSD.

Descomposición de una serie de tiempoEl uso de Minitab para pronosticar una serie de tiempo con tendencia y estacionalidad me-diante la descomposición de series de tiempo se muestra desarrollando un pronóstico para la serie de tiempo de las ventas de televisores de la tabla 18.6 y de la fi gura 18.6. En Minitab, el usuario tiene la opción de elegir un modelo de descomposición multiplicativa o aditiva. En la sección 18.6 se ilustra cómo utilizar el método multiplicativo. El número de años se introduce en la columna 1, los valores trimestrales en la columna 2 y los datos de las ventas en la colum-na 3 de la hoja de cálculo. Con los siguientes pasos se obtiene un pronóstico para el siguiente trimestre.

Paso 1. Seleccione el menú Stat.Paso 2. Elija Time Series.Paso 3. Elija Decomposition.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo Decomposition aparezca: Introduzca C3 en el cuadro Variable. Introduzca 4 en el cuadro Season Length.

WEB archivoBicycle

WEB archivoTVSales

Apéndice 18.2 Elaboración de pronósticos con Excel 851

Seleccione Multiplicative para Method Type. Elija Trend plus Seasonal para Model Components. Seleccione Generate forecasts. Introduzca 1 en el cuadro Number of forecasts. Introduzca 16 en el cuadro Starting from origin. Haga clic en OK.

Los índices estacionales,† las medidas de exactitud de los pronósticos y los pronósticos para el próximo trimestre se muestran en la ventana de la sesión. En los resultados de Minitab, el error absoluto medio se etiqueta MAD y el cuadrado medio debido al error o error cuadrático medio, MSD.

Apéndice 18.2 Elaboración de pronósticos con ExcelEn este apéndice se muestra cómo puede utilizarse Excel para elaborar pronósticos con los tres métodos de elaboración de pronósticos: promedios móviles, suavizamiento exponencial y proyección de tendencia.

Promedios móvilesEn la aplicación de Excel para obtener pronósticos mediante el método de promedios móviles se utiliza un pronóstico para la serie de tiempo de las ventas de gasolina de la tabla 18.1 y de la fi gura 18.1. Los datos de las ventas para las 12 semanas se ingresan en las fi las de la 2 a la 13 de la columna B de la hoja de cálculo. Los siguientes pasos pueden utilizarse para elaborar un promedio móvil de tres semanas.

Paso 1. Haga clic en Data de la barra de herramientas.Paso 2. En el grupo Analysis, hag clic en Data Analysis.Paso 3. Elija Moving Average de la lista de Analysis Tools. Haga clic en Ok.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo Moving Average aparezca: Introduzca B2:B13 en el cuadro Input Range. Ingrese 3 en el cuadro Interval. Introduzca C2 en el cuadro Output Range. Haga clic en OK.

Los promedios móviles de tres semanas aparecerán en la columna C de la hoja de cálculo. El pronóstico para la semana 4 aparece al lado del valor de las ventas para la semana 3, y así suce-sivamente. Los pronósticos para el periodo de otra longitud se calculan fácilmente introducien-do un valor diferente en el cuadro Interval.

Suavizamiento exponencialPara el uso de Excel en el suavizamiento exponencial, nuevamente se desarrolla un pronóstico para la serie de tiempo de las ventas de gasolina de la tabla 18.1 y de la fi gura 18.1. Los datos de las ventas de las 12 semanas se introducen en las fi las 2 a la 13 de la hoja de cálculo de la columna B. Los siguientes pasos se utilizan para elaborar pronósticos con una constante de suavizamiento de α � 0.2.

Paso 1. Haga clic en Data de la barra de herramientas.Paso 2. En el grupo Analysis, haga clic en Data Analysis.Paso 3. Elija Exponential Smoothing de la lista de Analysis Tools. Haga clic en OK.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo Exponential Smoothing aparezca: Introduzca B2:B13 en el cuadro Input Range. Introduzca 0.8 en el cuadro Damping factor.

† Los resultados difieren ligeramente de los que se muestran en la tabla 18.12 debido a que Minitab calcula los índices estacionales con la mediana de los valores estacional-irregulares.

WEB archivoGasoline

WEB archivoGasoline


Introduzca C2 en el cuadro de Output Range. Haga clic en OK.

Los pronósticos de suavizamiento exponencial aparecerán en la columna C de la hoja de cálcu-lo. Observe que el valor ingresado en el cuadro de factor de suavización es 1 � α; los pronósti-cos en otras constantes de suavizamiento se pueden calcular fácilmente introduciendo un valor distinto a 1 � α en el cuadro de factor de suavización.

Proyección de tendenciaPara mostrar cómo se utiliza Excel para la proyección de tendencias, se utilizarán los pronós-ticos de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas de la tabla 18.3 y de la fi gura 18.3. Los da-tos, con sus correspondientes etiquetas en la fi la 1, se ingresan en las fi las 1 a la 11 de la columna A y B de la hoja de cálculo. Los siguientes pasos pueden utilizarse para obtener un pronóstico para el año 11 con la proyección de tendencias.

Paso 1. Seleccione una celda vacía en la hoja de cálculo.Paso 2. Seleccione la barra de herramientas Formulas.Paso 3. En el grupo Function Library, haga clic en Insert Function.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo Insert Function aparezca: Elija Statistical en el cuadro Or select a category box. Elija Forecast en el cuadro Select a function. Haga clic en OK.Paso 5. Cuando el cuadro de diálogo de Forecast Arguments aparezca: Introduzca 11 en el cuadro x. Introduzca B2:B11 en el cuadro Known y’s. Introduzca A2:A11 en el cuadro Known x’s. Haga clic en OK.

En este caso el pronóstico para el año 11 es 32.5 y aparecerá en la celda elegida en el paso 1.

Apéndice 18.3 Elaboración de pronósticos con StatToolsEn este apéndice se muestra cómo StatTools se puede utilizar para obtener un pronóstico em-pleando tres métodos de elaboración de pronósticos: los promedios móviles, el suavizamiento exponencial y el suavizamiento exponencial lineal de Holt.

Promedios móvilesPara mostrar cómo StatTools se puede utilizar para obtener pronósticos mediante el método de promedios móviles se empleará un pronóstico para la serie de tiempo de las ventas de gasolina de la tabla 18.1 y de la fi gura 18.1. Inicie usando el Data Set Manager para crear una base de da-tos de StatTools para estos datos utilizando el procedimiento descrito en el apéndice del capítu-lo 1. Con los pasos siguientes se obtendrá el pronóstico del promedio móvil de tres semanas para la semana 13.

Paso 1. Haga clic en la barra de herramientas StatTools.Paso 2. En Analysis Group, haga clic en Time Series and Forecasting.Paso 3. Elija la opción Forecast.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo StatTools-Forecast aparezca: En la sección de Variables seleccione Sales. Elija Forecast Settings. En la sección Method, seleccione Moving Average. En la sección Parameters, introduzca 3 en el cuadro Span. Seleccione Time Scale.

WEB archivoBicycle

WEB archivoGasoline

Apéndice 18.3 Elaboración de pronósticos con StatTools 853

Seleccione None en la sección Seasonal Period. Seleccione Integer en la sección Label Style. Haga clic en OK.

El siguiente resultado se mostrará en una nueva hoja de cálculo: tres medidas de exactitud de los pronósticos, la gráfi ca de la serie de tiempo que muestra los datos originales, los pronósticos y el error de pronóstico, así como una tabla con los pronósticos y los errores de pronóstico. Observe que StatTools utiliza el término “Means Abs Error” para identifi car el valor del EAM, “Root Mean Sq Err” para identifi car la raíz cuadrada del valor del CME y “Mean Abs Per% Err” para el valor del EPAM.

Suavizamiento exponencialPara mostrar cómo se utiliza StatTools en la elaboración de un pronóstico de suavizamiento exponencial, se empleará nuevamente un pronóstico para las ventas de la semana 13 de la serie de tiempo de las ventas de gasolina mostrado en la tabla 18.1 y en la fi gura 18.1. Use el Data Set Manager para crear una base de datos de StatTools mediante el procedimiento descrito en el apéndice del capítulo 1. Para obtener un pronóstico con una constante de suavizamiento de α � 0.2 se efectúan los siguientes pasos.

Paso 1. Haga clic en la barra de herramientas StatTools.Paso 2. En Analysis Group, haga clic en Time Series and Forecasting.Paso 3. Elija la opción Forecast.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo de StatTools-Forecast aparezca: Seleccione Sales en la sección Variables. Elija Forecast Settings. Seleccione Exponential Smoothing (Simple) en la sección Method. Elimine la marca de verificación del cuadro Optimize Parameters. Introduzca 0.2 en el cuadro Level (a) en la sección Parameters. Seleccione la barra de Time Scale. Elija None en la sección Seasonal Period. Seleccione Integer en la sección Label Style. Haga clic en OK.

El siguiente resultado aparecerá en una nueva hoja de cálculo: las tres medidas de exactitud de los pronósticos, las gráfi cas de series de tiempo de las ventas de bicicletas mostrando los datos originales, los pronósticos y el error de pronóstico, así como una tabla que muestre los pronós-ticos y los errores de pronóstico. Observe que StatTools utiliza el término “Mean Abs Err” para identifi car el valor del EAM, “Root Mean Sq Err” para identifi car la raíz cuadrada del valor de CME y “Mean Abs Per% Err” para el valor del EPAM.

Suavizamiento exponencial lineal de HoltPara mostrar cómo utilizar StatTools en una tendencia de proyección, se obtendrá un pronóstico de la serie de tiempo de las ventas de bicicletas de la tabla 18.3 y de la fi gura 18.3 mediante el uso del suavizamiento exponencial lineal de Holt. Comience por utilizar el Data Set Manager para crear una base de datos de StatTools mediante el procedimiento descrito en el apéndice del capítulo 1. Con los siguientes pasos se obtendrá un pronóstico que emplee las constantes de suavizamiento α � 0.1 y � � 0.2.

Paso 1. Haga clic en la barra de herramientas de StatTools.Paso 2. En el Analysis Group, haga clic en Time Series and Forecasting.Paso 3. Elija la opción Forecast.Paso 4. Cuando el cuadro de diálogo de StatTools-Forecast aparezca: Seleccione Sales en la sección Variables. Elija Forecast Settings. En la sección Method, seleccione Exponential Smoothing (Holt’s). Elimine la marca de verificación del cuadro Optimize Parameters.

WEB archivoBicycle

WEB archivoGasoline


En la sección Parameters, introduzca 0.1 en el cuadro Level (a). En la sección Parameters, introduzca 0.2 en el cuadro Trend (b). Seleccione la etiqueta Time Scale. En la sección Seasonal Period, elija None. En la sección Label Style, seleccione Integer. Haga clic en OK.

El siguiente resultado se mostrará en una nueva hoja de cálculo: las tres medidas de exactitud de los pronósticos; las gráfi cas de series de tiempo que muestran los datos originales, los pro-nósticos y los errores de pronóstico, y una tabla con los pronósticos y los errores de pronóstico. Observe que StatTools utiliza el término “Mean Abs Err” para denotar el valor del EAM, “Root Mean Sq Err” para identifi car la raíz cuadrada del CME y “Mean Abs Per% Err” para identifi car el valor del EPAM. El resultado de StatTools difi ere ligeramente de los resultados mostrados en la sección 18.4 debido a que este programa utiliza un método diferente para calcular la estima-ción de la pendiente en el periodo 1. Con bases de datos más grandes, la elección de los valores iniciales no es crítica.

análisis de series de tiempo y elaboración de pronósticos

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