anlisis de datos en psicologa i

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I

ISBN 978-84-368-2656-2

Con la reciente adaptacin de los planes de estudio al Espacio Europeo de Educacin Superior, con especial acento en la evaluacin continua y en los aspectos prcticos de la enseanza, ha surgido la necesidad de reelaborar los programas, tanto en sus contenidos como en sus mtodos didcticos. Este libro recoge estas adaptaciones referidas a la asignatura Anlisis de datos I del plan de estudios del grado en Psicologa. Tras dos aos de rodaje con estos nue-vos planteamientos y siguiendo un ritmo diferente, el manual de la asignatura necesitaba una actualizacin que permitiera de forma natural su uso en la docencia de las asignaturas ya adaptadas.La forma como se exponen los contenidos, la eliminacin de algunos y la ampliacin de otros, reflejan diferencias sutiles en apariencia, pero muy profundas en cuanto a lo que implican en el currculo acadmico de los estudiantes. Adems, los pro-blemas y ejercicios han sido sustituidos por otros nuevos. La estructura, lenguaje y contextos ilustrativos que se emplean en el manual son los que se utilizan en la docencia, recogiendo las prcticas didcticas que los autores han ido desarrollando a partir de su propia dedicacin a esta disciplina.

Juan Botella, Manuel Suero y Carmen Ximnez son profesores del rea de Metodologa de la Facultad de Psicologa de la Universidad Autnoma de Madrid. Tienen una extensa experiencia en la docen-cia de diversas materias del rea, y especialmente de la asignatura Anlisis de datos I.

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Anlisis de datos en psicologa I

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Juan Botella AusinaManuel Suero Sue

Carmen Ximnez Gmez

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EDICIONES PIRMIDE

JUAN BOTELLA AUSINACATEDRTICO DE LA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE MADRID

EDICIONES PIRMIDE

Anlisis de datosen psicologa I

MANUEL SUERO SUEPROFESOR TITULAR DE LA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE MADRID

CARMEN XIMNEZ GMEZPROFESORA TITULAR DE LA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE MADRID

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COLECCIN PSICOLOGA

Edicin en versin digital

Juan Botella Ausina, Manuel Suero Sue y Carmen Ximnez Gmez, 2012 Primera edicin electrnica publicada por Ediciones Pirmide (Grupo Anaya, S. A.), 2012Para cualquier informacin pueden dirigirse a [email protected] Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 MadridTelfono: 91 393 89 89www.edicionespiramide.esISBN: 978-84-368-2656-2

Est prohibida la reproduccin total o parcial de este libro electrnico, su transmisin, su descarga, su descompilacin, su tratamiento informtico, su almacenamiento o introduc-cin en cualquier sistema de repositorio y recuperacin, en cualquier forma o por cual-quier medio, ya sea electrnico, mecnico, conocido o por inventar, sin el permiso expre-so escrito de los titulares del copyright.

A Tati y Mario.

J. B.

A mis padres Fernando y Ana Mara.

M. S.

A Raquel y Javi.

C. X.

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Prefacio .................................................................................................................. 15

1. Conceptos generales ..................................................................................... 17

1.1. Introduccin ............................................................................................ 171.2. Conceptos generales ................................................................................. 201.3. Medicin .................................................................................................. 23

1.3.1. Las escalas de medida .................................................................. 251.3.2. Las variables: clasifi cacin y notacin.......................................... 31

Problemas y ejercicios ....................................................................................... 35Soluciones de problemas y ejercicios ................................................................. 37Apndice ........................................................................................................... 40

PARTE PRIMERAEstadstica descriptiva con una variable

2. Organizacin y representacin de datos. Medidas de posicin ............. 45

2.1. Introduccin ............................................................................................ 452.2. Distribucin de frecuencias ...................................................................... 452.3. Representaciones grfi cas ......................................................................... 48

2.3.1. Representaciones grfi cas de uso frecuente .................................. 492.3.2. Convenciones sobre las representaciones grfi cas ........................ 512.3.3. Tendenciosidad en las representaciones grfi cas .......................... 522.3.4. Propiedades de las distribuciones de frecuencias .......................... 53

2.4. Medidas de posicin ................................................................................ 572.4.1. Centiles o percentiles .................................................................... 572.4.2. Otras medidas de posicin. Equivalencias .................................... 61


3. Estadsticos univariados: tendencia central, variabilidad, asimetra y curtosis ............................................................................................................ 85

3.1. Medidas de tendencia central ................................................................... 853.1.1. Media aritmtica. Puntuaciones diferenciales .............................. 86

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3.1.2. Mediana ....................................................................................... 883.1.3. Moda ........................................................................................... 893.1.4. Cmo elegir una medida de tendencia central .............................. 90

3.2. Medidas de variacin ............................................................................... 913.2.1. Varianza y desviacin tpica ......................................................... 94

3.3. Dos propiedades de la media y la varianza .............................................. 983.3.1. Media y varianza total a partir de las de varios grupos ............... 983.3.2. Media y varianza de una combinacin lineal de variables ............ 100

3.4. Asimetra ................................................................................................. 1023.5. Curtosis .................................................................................................... 104Problemas y ejercicios ....................................................................................... 106Soluciones de problemas y ejercicios ................................................................. 110Apndice ........................................................................................................... 115

4. Transformacin de puntuaciones. Puntuaciones tpicas y escalas derivadas................................................................................................................ 119

4.1. Introduccin ............................................................................................ 1194.2. Media y varianza de transformaciones lineales ........................................ 1194.3. Puntuaciones tpicas................................................................................. 1214.4. Escalas derivadas ..................................................................................... 125Problemas y ejercicios ....................................................................................... 129Soluciones de problemas y ejercicios ................................................................. 132Apndice ........................................................................................................... 135

PARTE SEGUNDAEstadstica descriptiva con dos variables

5. Correlacin lineal ........................................................................................... 139

5.1. Introduccin ............................................................................................ 1395.2. Representacin grfi ca de una relacin .................................................... 1405.3. Cuantifi cacin de una relacin lineal ....................................................... 141

5.3.1. Propiedades del coefi ciente de correlacin de Pearson ................. 1485.3.2. Valoracin e interpretacin de una correlacin ............................ 1505.3.3. Las matrices de correlaciones y de varianzas y covarianzas ......... 154

Problemas y ejercicios ....................................................................................... 159Soluciones de problemas y ejercicios ................................................................. 162

6. Combinacin lineal de variables .................................................................. 165

6.1. Introduccin ............................................................................................ 1656.2. Suma y resta de dos variables: media y varianza ...................................... 1666.3. Suma de J variables .................................................................................. 1686.4. Combinacin lineal de J variables ............................................................ 169Problemas y ejercicios ....................................................................................... 171Soluciones de problemas y ejercicios ................................................................. 173

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7. Regresin lineal ............................................................................................ 175

7.1. Introduccin ......................................................................................... 175 7.2. Funciones lineales ................................................................................. 176 7.3. Regresin simple ................................................................................... 179

7.3.1. Identifi cacin del modelo: ecuaciones ....................................... 1807.3.2. Valoracin del modelo: coefi ciente de determinacin ............... 1847.3.3. Aplicacin del modelo .............................................................. 1877.3.4. Algunas consideraciones en torno a la regresin ...................... 190

Problemas y ejercicios ...................................................................................... 195Soluciones de problemas y ejercicios ............................................................... 204Apndice.......................................................................................................... 211

8. Organizacin y descripcin de datos con ms de una variable ........... 217

8.1. El caso de dos variables cualitativas ..................................................... 2178.1.1. Organizacin de los datos ......................................................... 2178.1.2. Representaciones grfi cas ......................................................... 2218.1.3. Valoracin de la asociacin: Coefi ciente de contingencia ......... 2248.1.4. Dos variables dicotmicas: Coefi ciente Phi ............................... 225

8.2. El caso de una variable cualitativa y otra cuantitativa .......................... 2278.2.1. Organizacin y representacin de los datos .............................. 2278.2.2. Valoracin de la asociacin: Coefi ciente biserial-puntual ......... 228

8.3. Otros ndices de asociacin para dos variables ..................................... 229 8.4. Descripcin conjunta de tres variables .................................................. 229Problemas y ejercicios ...................................................................................... 231Soluciones de problemas y ejercicios ............................................................... 233Apndice.......................................................................................................... 237

PARTE TERCERAProbabilidad

9. Introduccin a la probabilidad ................................................................... 241

9.1. Introduccin ......................................................................................... 241 9.2. Defi niciones .......................................................................................... 242 9.3. Defi nicin de probabilidad ................................................................... 247

9.3.1. Enfoque clsico o a priori ......................................................... 2489.3.2. Enfoque frecuencialista o a posteriori ....................................... 249

9.4. Probabilidad condicional ...................................................................... 251 9.5. Teoremas bsicos .................................................................................. 253

9.5.1. Teorema de la adicin ............................................................... 2539.5.2. Teorema del producto ............................................................... 254

Problemas y ejercicios ...................................................................................... 257Soluciones de problemas y ejercicios ............................................................... 262

10. Variables aleatorias ...................................................................................... 265

10.1. Introduccin ......................................................................................... 26510.2. Defi nicin y tipos de variables aleatorias .............................................. 265

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10.3. Variables aleatorias discretas ................................................................ 26710.3.1. Funcin de probabilidad y funcin de distribucin ................. 26710.3.2. Valor esperado y varianza ....................................................... 26910.3.3. Relacin entre dos variables aleatorias discretas ..................... 272

10.4. Variables aleatorias continuas ............................................................... 27510.4.1. Funcin de densidad y funcin de distribucin ....................... 27610.4.2. Valor esperado y varianza ....................................................... 27910.4.3. Relacin entre dos variables aleatorias continuas .................... 27910.4.4. El trabajo aplicado con variables continuas ............................ 280

10.5. Distribuciones de probabilidad ............................................................. 28210.6. Muestreo aleatorio ................................................................................ 282Problemas y ejercicios ...................................................................................... 284Soluciones de problemas y ejercicios ............................................................... 286Apndice.......................................................................................................... 288

11. Modelos de distribucin de probabilidad: variables discretas .............. 289

11.1. Introduccin ......................................................................................... 28911.2. Distribucin uniforme .......................................................................... 29011.3. Distribucin binomial ........................................................................... 29111.4. Distribucin multinomial...................................................................... 296Problemas y ejercicios ...................................................................................... 297Soluciones de problemas y ejercicios ............................................................... 299Apndice.......................................................................................................... 301

12. Modelos de distribucin de probabilidad: variables continuas ............. 303

12.1. Introduccin ......................................................................................... 30312.2. Distribucin rectangular ....................................................................... 30312.3. Distribucin normal ............................................................................. 30412.4. Distribucion c2 de pearson ................................................................... 30812.5. Distribucin T de Student .................................................................... 31412.6. Distribucin F de Snedecor .................................................................. 317


PARTE CUARTAIntroduccin a la inferencia estadstica

13. Distribucin muestral de un estadstico ................................................... 347

13.1. Introduccin ......................................................................................... 34713.2. Muestreo aleatorio simple .................................................................... 34713.3. La distribucin muestral de un estadstico ............................................ 34813.4. Distribucin muestral de la media ........................................................ 349

13.4.1. La variable se distribuye segn el modelo normal ................... 34913.4.2. La variable no se distribuye segn el Modelo Normal ............ 352

13.5. Distribucin muestral de la correlacin ................................................ 354

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13.6. Distribucin muestral de la proporcin ................................................ 35413.6.1. Distribucin muestral de la proporcin con muestras grandes 357

Problemas y ejercicios ....................................................................................... 359Soluciones de problemas y ejercicios ................................................................. 360

14. La lgica del contraste de hiptesis ......................................................... 361

14.1. Introduccin ......................................................................................... 36114.2. Valorando la evidencia ......................................................................... 36114.3. Elementos de un contraste de hiptesis ................................................ 36314.4. Una forma alternativa de decidir .......................................................... 36714.5. Otras cuestiones relacionadas con el CH .............................................. 368

14.5.1. Sobre la expresin estadsticamente signifi cativo ................. 36814.5.2. Es lo mismo no rechazar H0 que aceptarla? ........................... 36914.5.3. Tipos de error en un CH ......................................................... 36914.5.4. Parmetros poblacionales y propensiones ............................... 371


15. Contraste de hiptesis sobre algunos parmetros ................................. 379

15.1. Introduccin ......................................................................................... 37915.2. Contraste de hiptesis sobre la media (m) ............................................. 380

15.2.1. Conocida s .............................................................................. 38015.2.2. Desconocida s......................................................................... 382

15.3. Contraste de hiptesis sobre la correlacin (r) ..................................... 38515.4. Contraste de hiptesis sobre la proporcin (p) ..................................... 38715.5. Contraste de la hiptesis de independencia entre variables categricas .. 390


Apndice final: Tablas estadsticas .................................................................... 403

Referencias bibliogrficas ................................................................................... 433

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Prefacio

Cuando se publica un libro sobre anlisis de datos en psicologa hay dos cosas que parece obligado hacer. La primera es justifi car el por qu de otro libro ms; la segunda es hacer explcitos los agradecimientos a aquellos que han contribuido a que acabe viendo la luz. Comenzaremos por lo primero, dejando los agradeci-mientos para el fi nal de este prefacio.

El objetivo de este libro es servir de manual en la asignatura Anlisis de Da-tosI, que impartimos en el Grado de Psicologa de la Universidad Autnoma de Madrid, ya adaptada a las exigencias del Espacio Europeo de Educacin Superior, ms conocido como Plan Bolonia. Su publicacin se justifi ca por las modifi ca-ciones que se han ido introduciendo en el programa y por las actualizaciones de las estrategias didcticas que se derivan de nuestra experiencia docente.

Aunque pudiera parecer que la materia de una asignatura como sta no es algo que cambie con los aos, lo cierto es que s lo hace. El ndice tiene algunas variaciones respecto al anterior manual de la asignatura, publicado tambin por Pirmide (Botella, Len, San Martn y Barriopedro, 2001). stas tienen que ver con el diferente nfasis que se quiere dar a los distintos procedimientos, pero tambin con la decisin de abordar una iniciacin a la inferencia estadstica. Ejemplo de lo primero son las distribuciones de frecuencias. En los libros de hace treinta aos stas reciban mucha atencin, pues eran la base para muchos clcu-los y para confeccionar representaciones grfi cas. Ello obligaba a tratar tambin la problemtica relacionada con la confeccin de intervalos. Hoy se trabaja con ordenadores y todo esto ha cado en desuso, por lo que su presencia en los ma-nuales ha ido disminuyendo progresivamente.

Respecto a la estadstica inferencial, debemos reconocer que las tcnicas de contraste de hiptesis son difciles de asimilar por muchos estudiantes, probable-mente porque tienen que acostumbrarse a adoptar decisiones en entornos de incertidumbre. Trabajar estos conceptos al fi nal de la asignatura de Anlisis de Datos I, y continuar profundizando en ellos en Anlisis de Datos II, es una bue-na estrategia pedaggica. Los ltimos captulos de este libro han sido ideados para ser empleados en esa primera etapa de asimilacin de conceptos de la esta-dstica inferencial.

Otros cambios tienen que ver con cuestiones estrictamente didcticas. Por ejemplo, las propiedades que implican los efectos de las transformaciones lineales

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sobre estadsticos como la media y la varianza ya no son tratados en conexin con estos estadsticos, de forma separada. Se tratan de forma combinada en un captulo dedicado a las transformaciones y que incluye las puntuaciones tpicas, una forma de exponerlas que hemos encontrado til en nuestras clases.

El libro es el resultado de la experiencia docente de los autores durante mu-chos aos con esta difcil materia. De hecho, en bastantes puntos seguramente se notar que el libro est al servicio de la tarea docente que cada ao afrontamos. La materia es difcil, pero agradecida. En pocas asignaturas es tan evidente la diferencia entre una buena estrategia didctica y una inadecuada. Adems, una de nuestras mayores satisfacciones es ver cmo algunos estudiantes a los que realmente les cuesta el razonamiento con nmeros fi nalmente acaban compren-diendo la lgica que subyace en el pensamiento estadstico. A los estudiantes les ocurre lo mismo, pues su satisfaccin es mayor cuanto mayor ha sido el esfuerzo realizado para superar la asignatura. Por todo esto hemos dedicado grandes es-fuerzos a intentar facilitar el proceso de aprendizaje; muchos de los cambios que se introducen en este libro son el resultado de esos esfuerzos.

No hemos incluido exposiciones relacionadas con el apoyo informtico que damos en el curso. La velocidad a la que aparecen las sucesivas versiones de los programas informticos hace que los manuales que se apoyan en ellos queden pronto obsoletos. Por el contrario, son muy tiles las exposiciones especfi cas que se dirigen a los mdulos bsicos y que pueden ser actualizados a una velocidad diferente que los manuales. Tenemos la suerte de contar con la exposicin que Ximnez y Revuelta (2011) hacen del uso de SPSS, que est especialmente pen-sada para estos mismos estudiantes y abarca todos los procedimientos que se incluyen en el programa completo de la asignatura. Nosotros lo utilizamos como complemento docente del presente manual.

Respecto a los agradecimientos, debemos mencionar en primer lugar a nues-tros estudiantes, principales sufridores de nuestras limitaciones como docentes, pero a la vez fuente inagotable de ideas para mejorar nuestros recursos didcticos y para sealar los puntos negros que necesitan clarifi caciones adicionales. Tam-bin a nuestros compaeros del Departamento en la Universidad Autnoma de Madrid; aunque son muchos los que han contribuido indirectamente a mejorar nuestro trabajo, queremos mencionar explcitamente a los que en algn momen-to de los ltimos aos han colaborado con la docencia en la asignatura: Ludgerio Espinosa, Jess Garrido, Beatriz Gil y Yolanda de Pellegrn.

Madrid, noviembre de 2011.JUAN BOTELLA

MANUEL SUEROCARMEN XIMNEZ

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1.1. INTRODUCCIN

La palabra estadstica evoca las tablas de datos y grfi cas que tan a menudo se encuentran en libros, en medios de comunicacin o en Internet, y que se emplean para comunicar datos econmicos, electorales, demogrfi cos o de cualquier otrotipo. Aunque estos resmenes de datos son, desde luego, el resultado de aplicar tcnicas estadsticas, el campo de esta disciplina es bastante ms amplio de lo que esos ejem-plos sugieren. La estadstica no slo es un conjunto de tcnicas para resumir yco-municar informaciones cuantitativas, sino que sirve tambin, y fundamentalmente, para hacer inferencias, generalizaciones y extrapolaciones de un conjunto relativa-mente pequeo de datos (observados) a un conjunto mayor (no observados). Una de las aplicaciones ms importantes de estas tcnicas es el propio trabajo de adqui-sicin de conocimiento mediante la investigacin cientfi ca, a la que ha proporcio-nado poderosos instrumentos para el anlisis de datos y la toma de decisiones.

En el cuadro 1.1 se describen algunos ejemplos variados de aplicaciones de la estadstica. En ellos se llega a un punto en el que es necesario trabajar con un conjunto de nmeros, a veces muy grande, con el que describir aquello que esta-mos estudiando. Adems, en algunos estudios tambin llega un punto en el que surge la necesidad, o el deseo, de extraer conclusiones, a partir de las observacio-nes hechas, acerca de los casos que no han participado en el estudio, o de obser-vaciones potenciales que no se han hecho. La estadstica proporciona los medios tcnicos para realizar estas dos tareas.

Estas dos grandes funciones de la estadstica (la organizacin y descripcin de datos, por un lado, y la realizacin de inferencias por el otro) refl ejan la propia historia del desarrollo de esta ciencia. La estadstica actual es el producto del encuentro y mutua fecundacin en el siglo XIX de dos ramas distintas del cono-cimiento, la antigua estadstica y el clculo de probabilidades. Etimolgicamente, la palabra estadstica procede de la palabra estado. Ya en la antigedad los romanos y los egipcios hicieron intentos por tener un conocimiento preciso del nmero de sus habitantes y de sus posesiones, es decir, por conocer el estado de sus naciones (de ah la raz del trmino). Para ello hacan censos y recogan datos que posteriormente tenan que resumir de una forma comprensiva para propor-cionar informaciones tiles.

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1Conceptos generales

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CUADRO 1.1

Ejemplos

EJEMPLO 1. La empresa BSX nos encarga un estudio sobre los perfiles de competen-cias de su plantilla de mandos intermedios, con vistas a futuras promociones. Les administramos varios cuestionarios que miden diversas competencias, entre ellas el grado en que demuestran capacidad de liderazgo. Al terminar la correccin de esas pruebas contamos con un conjunto de nmeros a partir de los cuales describiremos las competencias de los miembros de esa plantilla.

EJEMPLO 2. Se trata de un estudio sobre la eficacia de un programa de atencin a los familiares que ejercen el papel de cuidadores de enfermos con dolor crnico. La ab-negada dedicacin de los familiares de un enfermo (con frecuencia el marido, la mu-jer, el padre o la madre) tiene para esos cuidadores un importante coste psicolgico, en trminos de estrs y otros efectos en su calidad de vida. Para estudiarlo reunimos a los familiares de 30 enfermos con dolor crnico que son atendidos en un determi-nado centro (centro A) y aceptan participar en el estudio. Tambin pedimos a los colegas de otro centro en el que no hay un programa de este tipo que colaboren con nosotros en el estudio, como grupo de control (centro B); renen tambin a 30 fami-liares de otros enfermos con dolor crnico que aceptan participar en el estudio. Eva-luamos el nivel de estrs de los 60, pero luego slo los del centro A reciben las sesiones del programa destinado a controlar y reducir el estrs. Valoramos tambin para cada uno el nivel educativo (sin estudios, primarios, secundarios, universitarios) y la inteli-gencia, dado que pueden afectar al grado de comprensin tanto del programa como de la forma en que se aplica. Al final nos encontramos con un conjunto de puntua-ciones de cada uno de los 60 familiares, a partir de las cuales deseamos extraer con-clusiones acerca de la eficacia del programa y de los efectos moduladores que puedan tener el nivel educativo y la inteligencia sobre esa eficacia.

EJEMPLO 3. Se centra en un aspecto de la atencin selectiva. Se presentan al partici-pante tres letras en la pantalla del ordenador y debe responder lo ms rpidamente que pueda a la letra central, presionando una tecla si es una vocal y otra tecla si se trata de una consonante. Es habitual emplear dos condiciones experimentales (a veces se aaden otras): en la condicin de flancos compatibles, las letras que acompaan a la letra central (llamadas flancos) son de la misma categora que la letra central (vo-cales si la central es vocal y consonantes en caso contrario); en la condicin de flancos incompatibles los flancos pertenecen a la categora contraria. El resultado habitual, muchas veces replicado, es que se tarda ms en responder a la letra central si los flan-cos son de la categora contraria (flancos incompatibles) que si son de la misma cate-gora (flancos compatibles). Este resultado se interpreta en el sentido de que los ob-servadores no consiguen que su seleccin atencional se sustraiga completamente a los flancos y no consiguen ignorarlos del todo. Supongamos que queremos probar este efecto con nmeros y las categoras pares/impares. Administramos a una persona 30 ensayos de cada condicin y registramos los tiempos de respuesta. Si nos centramos en la condicin de flancos incompatibles, dispondremos de 30 mediciones de tiempos. No en todos los ensayos el participante tarda lo mismo. Hay una cierta variabilidad en las distintas ejecuciones de la tarea. Para hacernos una idea global de cmo reali-za la tarea nuestro voluntario en cada condicin tenemos que trabajar con los 30 valores procedentes de cada una.

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EJEMPLO 4. Es un sondeo de opinin acerca de lo que la gente pensara si se adop-tasen medidas restrictivas en el consumo de tabaco. La idea es anticiparse a las reac-ciones, de forma que interesa conocer la opinin general a partir de las preguntas realizadas en el sondeo. Sin duda, lo ms preciso sera preguntarles a todos y cada uno de los espaoles por su opinin, pero por razones econmicas esto no sera sen-sato. Decidimos, en consecuencia, seleccionar un grupo de 2.500 espaoles de todas las comunidades autnomas y edades, consultndoles acerca de su opinin (a favor/en contra) sobre esta cuestin.

Sin embargo, las conclusiones extradas se agotaban en el propio conjunto de datos observados; el objetivo consista en hacerse una idea clara de lo que haba, lo cual se contaba y meda. Lo que posibilit el clculo de probabilidades fue el desarrollo de un conjunto de mtodos para extrapolar las conclusiones a entida-des no observadas. Es decir, proporcion la base conceptual para hacer inferencias acerca de potenciales observaciones a partir de unas pocas observaciones reales. Estas tcnicas tuvieron su fundamento en el desarrollo de la curva normal por Gauss, en su aplicacin por Galton a los problemas de herencia, etc. Sin embar-go, los autnticos padres de estas tcnicas fueron Karl Pearson (1857-1936) y Ronald Fisher (1890-1962); sobre la historia de la estadstica en psicologa, vase Cowles (1989) y Walker (1975).

Clsicamente, la estadstica se ha dividido en dos partes: la estadstica descrip-tiva y la estadstica inferencial. Estas dos partes refl ejan, como ya hemos dicho, las dos grandes pocas de su historia, pero tambin pueden refl ejar la profundidad de los anlisis que se realizan o, incluso, las fases de un estudio, puesto que para hacer un estudio inferencial primero hay que hacer un estudio descriptivo de los datos. Es decir, un estudio descriptivo se agota en la descripcin, mientras que uno inferencial comienza por la descripcin y luego aborda la inferencia.

Mientras que la estadstica descriptiva se puede abordar sin conocimientos tc-nicos previos ms all del lgebra elemental, para el estudio de la estadstica infe-rencial es imprescindible adquirir unas nociones bsicas de probabilidad. Por elloes frecuente encontrar que los libros de estadstica aplicada estn organizados, al me-nos, en esos tres bloques. En este libro nosotros nos ocupamos sobre todo de losdos primeros, aunque tambin incluimos una introduccin a la inferencia estadstica, cuyo desarrollo pleno se puede seguir en otras obras (Pardo y San Martn, 2010).

Proponemos la siguiente defi nicin de la estadstica.

La estadstica es la disciplina que se ocupa de la ordenacin y anlisis de datos procedentes de muestras y de la realizacin de inferencias acerca de las poblaciones de las que proceden.

Se puede decir que el sentido vulgar del trmino estadstica al que nos re-feramos al comenzar esta seccin corresponde ms o menos a la estadstica des-

CUADRO 1.1 (continuacin)

Conceptos generales / 19

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criptiva. El otro conjunto de tcnicas estadsticas, que se utilizan para extraer conclusiones de poblaciones a partir de la observacin de unos pocos casos, son las que integran la estadstica inferencial. Por tanto, un trabajo en el que se apli-ca la estadstica podra clasifi carse como exclusivamente descriptivo o como in-ferencial (puesto que, como ya hemos dicho, la inferencia incluye la descripcin). Si, por ejemplo, nos interesa conocer la opinin de un grupo docente de la facul-tad acerca de una serie de cuestiones que afectan a la organizacin del aula, po-demos utilizar una pequea encuesta. Con los datos recogidos podremos calcular promedios, porcentajes, etc., y con estos resmenes numricos podremos transmi-tir la informacin contenida en esos datos brutos utilizando los formatos compac-tos y de gran calidad informativa que nos proporciona la estadstica descriptiva. El estudio se agota en esos mismos datos, por lo que es un estudio descriptivo.

Si, por el contrario, queremos hacernos una idea de las opiniones de los estu-diantes de la universidad sobre esas mismas cuestiones, no podremos preguntar-les a todos. Probablemente utilizaramos la estrategia de seleccionar un grupo de estudiantes, administrarles la encuesta y, a partir de sus resultados, hacernos una idea de cul es el estado de opinin del conjunto de los estudiantes de la univer-sidad. En este caso se trata de hacer inferencias acerca de toda una universidad a partir de los datos observados en una pequea parte de sus estudiantes; es un estudio inferencial. De la misma forma, podemos decir que nuestro ejemplo sobre la capacidad de liderazgo es descriptivo, mientras que los ejemplos sobre el pro-grama para reducir el estrs de cuidadores, el tiempo de respuesta en la tarea de los fl ancos y el sondeo de opinin son inferenciales. En el cuadro 1.4 se seala el carcter descriptivo o inferencial de los trabajos descritos en el cuadro 1.1.

Una ltima idea que merece la pena destacar en esta introduccin es la dis-tincin entre estadstica terica y estadstica aplicada. La primera se dedica al estudio y desarrollo de mtodos formalmente vlidos (sobre todo para hacer in-ferencias, pero tambin con otros objetivos), mientras que la segunda se dedica a la aplicacin de esos mtodos y modelos de actuacin a disciplinas concretas. Segn Kruskall (1974): ...estadstica aplicada, al menos en principio, es la apli-cacin documentada de mtodos que han sido tericamente investigados, es decir, el salto real despus de estudiar la teora del salto (p. 390).

De los modelos y mtodos que proporciona la estadstica terica y las tcnicas concretas y usos que desarrolla la estadstica aplicada, no todos son utilizados en la misma medida por las distintas ciencias. Por eso, para referirse al conjunto de tcnicas ms utilizadas en cada una a veces se utilizan nombres tales como bio-estadstica, psicoestadstica o socioestadstica. Algunos autores han propuesto para los contenidos de la estadstica aplicada otros trminos, entre los que des-taca el de anlisis de datos (Tukey, 1962), que da nombre a este libro.

1.2. CONCEPTOS GENERALES

Cualquier aplicacin de la estadstica se refi ere a un conjunto de entidades,cono-cido como poblacin, aunque casi siempre se desarrolle utilizando slo una parte de ese conjunto, conocida como muestra; proponemos las siguientes defi niciones:


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Se llama poblacin estadstica al conjunto de todos los elementos que cumplen una o varias caractersticas.

Se llama muestra a cualquier subconjunto de los elementos de una po-blacin.

A los elementos que componen una poblacin se les denomina entidades es-tadsticas o individuos. Pueden ser personas, animales, objetos o, simplemente, nmeros. En nuestro ejemplo 1, sobre la capacidad de liderazgo, son las personas que integran la plantilla de mandos intermedios de la empresa BSX; en el ejemplo 2, de los cuidadores, son todos los potencialmente cuidadores de un enfermo; en el ejemplo 3, sobre la seleccin atencional, seran todas las realizaciones de la ta-rea,en las condiciones de fl ancos compatibles e incompatibles, que potencialmen-te podra realizar la persona que realiza nuestro experimento; en el ejemplo 4, la poblacin del sondeo son todos los ciudadanos espaoles mayores de edad.

Dependiendo del nmero de elementos que la compongan, la poblacin pue-de ser fi nita o infi nita. Los nios que estudian la ESO en la Comunidad de Ma-drid, los nios invidentes espaoles, las empresas de nuevas tecnologas con sede en Tres Cantos o las poblaciones de nuestros ejemplos sobre la capacidad de li-derazgo, el estrs de los cuidadores y el sondeo son casos de poblaciones fi nitas, puesto que en ellas los elementos se podran contar, obteniendo un nmero fi nito. El nmero de lanzamientos posibles de un dado, el conjunto de los nmeros pares o la poblacin de nuestro ejemplo sobre tiempo de respuesta son casos de pobla-ciones infi nitas, puesto que tericamente no tienen un lmite: por muchas obser-vaciones que realicemos, siempre podramos recoger ms.

Muchas poblaciones con las que trabajamos son fi nitas, pero tan numerosas que, a la hora de hacer inferencias acerca de ellas, se pueden considerar infi nitas a efectos prcticos (en este caso estaran la poblaciones de nuestros ejemplos so-bre estrs de cuidadores y sobre sondeos de opinin). En la estadstica hay pro-cedimientos de clculo que varan dependiendo de que la poblacin sea fi nita o infi nita, pero a medida que se va incrementando el tamao de las poblaciones fi nitas el uso de uno u otro procedimiento resulta indiferente; proporcionan re-sultados cada vez ms parecidos. En consecuencia, la mayor parte de las veces trabajaremos con poblaciones infi nitas, ya sea porque lo son de verdad o porque su tamao es tan grande que tomarlas por tales no afecta prcticamente a los resultados.

Cuando un investigador aborda un trabajo emprico, debe defi nir la poblacin correspondiente. La poblacin ha de ser el marco o conjunto de referencia sobre el cual se van a realizar las conclusiones e interpretaciones; stas no pueden ex-ceder ese marco.

El hecho de que las poblaciones sean en general muy numerosas hace que la descripcin de sus propiedades sea inaccesible. De ah que se trabaje fundamen-talmente con muestras.

La muestra nos va a proporcionar unos datos que podemos ordenar, simpli-fi car y describir. Pero uno de los objetivos es el de poder describir la poblacin


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de partida mediante lo que encontremos en la muestra. Siguiendo con nuestros ejemplos del cuadro 1.1, podemos decir que lo que nos interesa no es la efi cacia del programa de reduccin de estrs en los 30 familiares concretos que participan en nuestro estudio del ejemplo 2, ni la forma de responder en los 30 ensayos de tiempo de reaccin aplicados, ni la opinin de los 2.500 encuestados acerca de la pregunta. Lo que nos interesa realmente es extraer conclusiones generales acerca de la efi cacia general de la tcnica, la forma general de responder en la tarea y la opinin de toda la poblacin. Y para poder extraer esas conclusiones lo ms im-portante es que las muestras de observaciones sean representativas. Vemoslo con otro ejemplo. Supongamos que queremos estudiar la estatura de los espaoles; para ello nos situamos en una calle de nuestra ciudad y nos disponemos a pre-guntar a los primeros cien transentes que pasen por aquel punto. Si por una casualidad nos hemos situado cerca de un polideportivo donde se practica el ba-loncesto, al cual suelen dedicarse individuos altos, los datos que recogeremos no sern representativos. Si lo que intentamos es hacernos una idea de cul puede ser la estatura media de los espaoles a partir de la estatura media de los inte-grantes de esa muestra, nuestras conclusiones sern incorrectas.

Existe todo un campo de la metodologa, llamado muestreo, dedicado a es-tudiar procedimientos de extraccin de muestras que maximicen la representati-vidad de las mismas. Slo un adecuado muestreo asegurar la representatividad de la muestra. Remitimos al lector interesado a obras especfi cas sobre muestreo (Azorn y Snchez-Crespo, 1986; Clairin y Brion, 2001).

Habitualmente, uno de los objetivos de cualquier investigacin ser la de al-canzar conclusiones acerca de la poblacin a partir de la informacin obtenida en la muestra. Pero ese objetivo slo se alcanzar plenamente en la medida en que esa informacin se aproveche adecuadamente. Por ello, un primer objetivode la estadstica descriptiva consiste en conseguir resmenes de los datos, con ndices compactos y muy informativos.

Las poblaciones se pueden caracterizar mediante unas constantes denomina-das parmetros. Una de las tareas de la estadstica es hacer conjeturas acerca de esas cantidades. Para ello se utilizan magnitudes anlogas obtenidas en las muestras, que se denominan estadsticos. Podemos establecer las siguientes defi niciones:

Un parmetro es una propiedad descriptiva de una poblacin.Un estadstico es una propiedad descriptiva de una muestra.

Por ejemplo, el estrs medio de la poblacin de cuidadores o el tiempo medio que invertira nuestro participante en todas sus hipotticas realizaciones de la tarea de los fl ancos son ejemplos de parmetros. Como estas cantidades son des-conocidas, haremos conjeturas sobre ellas a partir de cantidades similares obteni-das en las muestras. As, es casi seguro que el estrs medio de los 60 familiares de nuestro estudio antes de comenzar con el programa no es idntico al de la pobla-cin, pero si la muestra seleccionada es realmente representativa, probablemente


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la media muestral (o estadstico) no difi era mucho de la media poblacional (o parmetro).

Los parmetros y estadsticos no slo son medias, sino que pueden ser otro tipo de cantidades, como por ejemplo porcentajes. Ejemplo de ello es nuestro sondeo, en el que el porcentaje de individuos de la poblacin con opinin favo-rable se considera un parmetro. Veamos otro ejemplo tomado de la psicologa. Supongamos que un investigador est estudiando la efi cacia de un mtodo tera-putico para la intervencin en trastornos de alimentacin. Ante la imposibilidad material y la difi cultad econmica que supone utilizar para la experiencia a todas las personas con trastornos de alimentacin, decide tomar a cien personas que acuden a su consulta a lo largo de un ao. Esta muestra es representativa de la poblacin de personas con trastorno de alimentacin. Utiliza el mtodo con cada paciente, y tras el seguimiento correspondiente observa que hay 60 que no rein-ciden. Esto signifi ca que se ha rehabilitado el 60 por 100. El valor 60 es un esta-dstico. Si al cabo de algn tiempo desea replicar la experiencia y toma otra muestra de personas con un trastorno de alimentacin y se recuperan 58, tendre-mos el mismo estadstico en otra muestra. Repitiendo sucesivamente la experien-cia con muestras de cien pacientes con estos trastornos, se encontrar con distin-tos porcentajes. Ninguno de ellos puede considerarse con seguridad el verdadero porcentaje de los que se rehabilitaran en la poblacin con el mtodo en cuestin, pero cada uno de ellos se puede utilizar para hacer conjeturas acerca de ese ver-dadero porcentaje o parmetro.

En la prctica no ser preciso estar repitiendo el estudio; bastar con obtener una nica muestra y, a partir de ella, tratar de estimar el parmetro. Para ello es fundamental que la muestra sea representativa de la poblacin y que el estads-tico calculado rena la informacin necesaria y sufi ciente para que, a partir de l, podamos decir algo acerca de la verdadera efi cacia del tratamiento, el verda-dero porcentaje de los que se recuperarn con ese nuevo mtodo, es decir, el parmetro.

Los parmetros se suelen representar por letras griegas (m, s, p), mientras que los estadsticos se suelen simbolizar por letras latinas (X, S, P). En la primera fase de una investigacin se obtienen los estadsticos y en la segunda se utilizan los valores obtenidos para hacer inferencias acerca de los parmetros.

1.3. MEDICIN

Cuando estudiamos las entidades que conforman una poblacin, nos intere-samos por alguna de las propiedades de sus elementos; esas propiedades adoptan distintas variedades (Amn, 1993):

Una caracterstica es una propiedad o cualidad de un elemento.Una modalidad es cada una de las maneras en que se puede presentar una

caracterstica.


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Si trabajamos con la poblacin espaola, sus elementos tienen las caracters-ticas sexo (que adopta dos modalidades: varn y mujer), estado civil (soltero, casado, viudo...), estatura (cada una de las estaturas diferentes que adoptan los espaoles), inteligencia (cada uno de los posibles valores diferentes que adopta-ran los espaoles en inteligencia, segn el instrumento que utilicemos para eva-luarla), etc.

Por supuesto, la psicologa se centra en aquellas caractersticas que son propias de su objeto de estudio, como la inteligencia, la memoria, la personalidad, etc. En el primero de nuestros ejemplos nos interesbamos por un rasgo de persona-lidad, en el segundo por el nivel de estrs, en el tercero por el tiempo de respues-ta en una tarea y en el cuarto por la opinin. Cada una de estas caractersticas puede mostrar distintas modalidades (en nuestros ejemplos, los grados en que se tiene capacidad de liderazgo, los niveles de estrs, las distintas cantidades de tiem-po y las opiniones sobre una cuestin particular).

Las tcnicas estadsticas no se aplican directamente a las modalidades obser-vadas. Las modalidades se representan por nmeros y la estadstica se aplica a esos nmeros. La medicin no es otra cosa que el proceso de atribuir nmeros alas modalidades de las caractersticas. Los nmeros se asignan a las caracters-ticas siguiendo las reglas que se derivan de algn modelo de medicin; del estudio de los modelos de medicin se ocupa la teora de la medida.

Ya hemos visto que las caractersticas permiten califi car a los elementos. Al-gunos de ellos adoptan la misma modalidad de una caracterstica, mientras que otros adoptan modalidades diferentes. De algunas caractersticas incluso pode-mos decir que unos individuos las exhiben en mayor medida que otros. Es decir, a partir de una caracterstica se puede establecer un sistema relacional emprico (porque se refi ere a entidades y relaciones reales). Igualmente, el sistema numri-co est formado por un conjunto de entidades (nmeros) y unas relaciones entre ellos; es decir, se trata de un sistema relacional numrico.

Asumiremos la siguiente defi nicin de medicin:

Se llama medicin de una caracterstica a la conexin entre un sistema relacional emprico y un sistema relacional numrico, de tal forma que las relaciones entre las entidades se refl ejen en las relaciones entre los nmeros que los simbolizan.

Slo si se consigue el objetivo implicado en esta defi nicin, ocurrir que de las relaciones entre los nmeros se podrn hacer inferencias vlidas acerca de las relaciones entre las entidades.

Esta conexin es lo que Stevens (1946) llamaba schemapiric union. Por ejemplo, las modalidades que adopta la variable estatura son tales que se podra decir que una determinada modalidad es una estatura superior a otra determinada moda-lidad. Pues bien, los nmeros que se atribuyan a esas modalidades en el proceso de medicin deben refl ejar esa superioridad. Por el contrario, lo nico que pode-mos decir al comparar las modalidades de dos individuos en la variable sexo es


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si esas modalidades son la misma o no, pero nada respecto a magnitudes. Los nmeros asignados a las modalidades del sexo deben refl ejar simplemente ese hecho diferencial; de la comparacin de los nmeros no se podr deducir con-clusin alguna distinta a la de si esos individuos tienen o no el mismo sexo. Es habitual asignar los valores 0 y 1 a las modalidades de variables como el sexo, pero se trata de un mero etiquetado, y desde luego que un 1 no implica mssexo que un 0.

1.3.1. Las escalas de medida

Como ya hemos avanzado, la medicin estudia las condiciones de construc-cin de representaciones numricas. Los modelos desarrollados para la medicin se llaman escalas de medida. Aunque no podemos entrar aqu en profundidad en el complejo campo de la medicin (para una exposicin ms detallada vase J-ez, 1989), vamos a exponer las caractersticas fundamentales del sistema de cla-sifi cacin de escalas propuesto por Stevens (1946, 1975) y que es todava la cla-sifi cacin ms utilizada: escalas nominales, ordinales, cuantitativas de intervalo y cuantitativas de razn. Esta clasifi cacin se ilustra en el cuadro 1.2 con ejemplos de cada tipo de escala.

El cientfi co se centra en aquellas caractersticas que considera relevantes para su trabajo de investigacin. Aplica a esas caractersticas un esquema de clasifi -cacin, sin el cual no podra realizar su trabajo de registrar, ordenar y comunicar lo observado. En su forma ms simple y primitiva, un esquema no es ms que una regla que permite organizar las observaciones en clases de equivalencia, de manera que las observaciones que son incluidas en la misma clase son conside-radas como cualitativamente iguales, y las que son incluidas en clases diferentes son consideradas como cualitativamente diferentes. Se utiliza una clase para cada una de las modalidades que adopta la caracterstica que se est estudiando. Las clases han de ser mutuamente exclusivas y exhaustivas, es decir, cada observacin es incluida en una clase y slo en una. Supongamos que tenemos un conjunto de n elementos {e1, e2, ..., en} que tienen una caracterstica cuyo estudio nos inte-resa. Esa caracterstica adopta un nmero k de modalidades distintas; represen-tamos por m (ei) a la modalidad del elemento ei. Asignamos nmeros a los ele-mentos en funcin de la modalidad que presentan en esa caracterstica; representamos por n (ei) al nmero asignado al elemento ei. Establecemos una regla de asignacin de nmeros a los objetos, de tal forma que se cumplan las siguientes condiciones:

Si n (ei) = n (ej), entonces m (ei) = m (ej)

Si n (ei) n (ej), entonces m (ei) m (ej)

Al sencillo tipo de medicin que cumple estas condiciones se le llama escala-miento cualitativo o nominal; al conjunto de clases que la integran se le llama escala nominal.


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En realidad, no hara falta asignar nmeros a las clases formadas en una escala nominal. Puesto que los nmeros asignados no se van a utilizar como tales, sino como simples cdigos de identifi cacin, se podran utilizar otros smbolos, como letras, palabras, etc. Veamos algunos ejemplos de escalas no-minales. El ms sencillo y utilizado para diferenciar a las personas es el sexo. Podramos tomar una muestra representativa y clasifi car a sus elementos segn esta caracterstica, que adopta slo dos modalidades, asignando el valor 1 a los varones y el valor 0 a las mujeres (o al revs, dado que son nmeros arbitrarios). Tras realizar esa operacin tendremos a los elementos de la muestra clasifi ca-dosen dos clases de equivalencia, una por cada modalidad, que son mutuamen-te exclusivas (ninguno de los elementos es incluido simultneamente en ms deuna clase) y exhaustivas (todos los elementos han sido asignados a alguna de las clases utilizadas). Ahora podemos emplear los nmeros utilizados para realizar operaciones estadsticas como las que vamos a exponer en los prximos captulos.

Otros ejemplos de caractersticas que se miden a nivel nominal son el estado civil (soltero, casado, viudo, etc.), la comunidad autnoma de nacimiento (An-daluca, Aragn, etc.), el tipo de sangre (A, B, AB o 0) o la asignatura preferida por los estudiantes de bachillerato (matemticas, biologa, etc.). Ejemplos de la psicologa son los diagnsticos psicopatolgicos (neurosis, psicosis, psicopatas, etctera) o el patrn de apego que muestra un nio (seguro, resistente, evitativo). La clave de estas escalas de medida es que slo refl ejan la igualdad o desigualdad de los elementos en una caracterstica, pero no de posibles ordenaciones, puesto que la caracterstica a la que se refi eren no se tiene en mayor o menor medida, sino que simplemente adopta formas cualitativamente distintas. No se puede de-cir que las mujeres tengan ms sexo que los varones, que los neurticos tengan ms psicopatologa que los psicpatas, que los castellanos tengan ms comunidad de origen que los madrileos, ni tiene sentido extraer conclusiones comparativas de las asignaturas a partir de los cdigos con los que se representan en los impre-sos de matrcula.

Debemos advertir que algunos autores consideran que las escalas nominales no son casos de autntica medicin, puesto que consideran que, para que haya medicin, la caracterstica con la que se est trabajando debe existir en alguna cantidad, y las modalidades que adopte no son ms que las diferentes magnitudes con las que se presenta esa caracterstica. En los tres tipos de escala que vamosa ver a continuacin se da esta circunstancia, de forma que los nmeros asignados a las diferentes modalidades no slo van a refl ejar similitudes o diferencias, sino que van a permitir concluir acerca de las magnitudes relativas con las que se pre-senta la caracterstica.

Supongamos que contamos de nuevo con un conjunto de elementos (e1, e2, ..., en) que difi eren en una caracterstica que cada uno posee en una cierta cantidad [c (e1), c (e2), ..., c (en)]. De nuevo, el proceso de medicin debe consistir en la apli-cacin de una regla de asignacin de nmeros a las diferentes cantidades, pero ahora de tal forma que los nmeros asignados a los elementos [n (e1), n (e2), ..., n (en)] refl ejen esos distintos grados en los que se presenta la caracterstica. Deesta forma, los nmeros asignados s que nos permitirn alcanzar conclusiones acerca


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de las magnitudes. Sin embargo, a veces lo nico que esos nmeros nos permiten inferir son relaciones del tipo mayor que o menor que. En concreto, a veces la escala con la que estamos trabajando cumple slo, para todo par de elementos, ei y ej, las dos condiciones siguientes:

Si n (ei) = n (ej), entonces c (ei) = c (ej)

Si n (ei) > n (ej), entonces c (ei) > c (ej)

A las escalas de medida que cumplen estas caractersticas se les llama escalas ordinales; tambin se dice que se est haciendo una medicin a nivel ordinal. Es-tas condiciones implican un paso ms all de lo que suponan las escalas nomi-nales. Al igual que en estas ltimas, si dos elementos comparten el mismo nme-ro podemos concluir que presentan la misma modalidad (en este caso tienen la misma cantidad de esa propiedad), pero de dos elementos a los que se han asig-nado nmeros diferentes no slo se puede decir que son diferentes en esa carac-terstica, sino que se pueden establecer relaciones del tipo mayor que o menor que. Se puede decir cul de esos elementos presenta una mayor magnitud en la caracterstica. Dicho de otro modo, los elementos se pueden ordenar; de ah el nombre de la escala.

Un ejemplo tradicionalmente utilizado para ilustrar este tipo de escalas es la medicin de la dureza de los minerales. Supongamos que tomamos cuatro mine-rales (e1, e2, e3 y e4) y tratamos de rayar unos con otros, haciendo todas las com-binaciones posibles. Cuando un mineral raya a otro se dice que el primero es ms duro que el segundo. Dos minerales con distinta dureza no slo son diferentes en esa caracterstica, sino que se puede decir que la poseen en distinta magnitud. El proceso de medicin, o asignacin de nmeros, debe ser tal que refl eje esas dis-tintas magnitudes. Supongamos que e3 ha rayado a todos los dems, mientras que e1 ha rayado a e2 y e4; por ltimo, e4 ha rayado a e2. La ordenacin de los objetos segn su dureza sera la siguiente: e3, e1, e4, e2. Pues bien, en una escala ordinal los nmeros asignados deben respetar esa ordenacin. Por ejemplo, podramos hacer la siguiente asignacin: n (e3) = 4, n (e1) = 3, n (e4) = 2 y n (e2) = 1. La comu-nicacin de esta informacin permite al receptor extraer conclusiones del tipo el mineral 3 tiene una mayor dureza que el mineral 4 o el mineral 2 tiene una menor dureza que el mineral 3.

En psicologa son muchas las caractersticas cuya medicin se considera de nivel ordinal, pues son muchos los casos en los que lo nico que se puede decir es que un individuo es ms extravertido que otro, que un nio es ms hiperactivo que otro o que el aprendizaje es ms rpido con el mtodo A que con el mtodoB. Igualmente, si tomamos las califi caciones como un ndice de los conocimientos de un estudiante, entonces lo nico que podemos decir de un estudiante con so-bresaliente es que tiene mejores conocimientos que otro con notable, y ste que otro con aprobado.

Un ejemplo de escalas ordinales en ciencias sociales es el nivel educativo for-mal alcanzado. Supongamos que asignamos a los individuos los siguientes valo-res: 1, si no tiene estudios; 2, si ha completado los estudios primarios; 3, si ha


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completado la enseanza secundaria; 4, si ha terminado algn estudio universi-tario. Estos nmeros se pueden utilizar para hacer inferencias del tipo igual que o mayor que.

La limitacin de las escalas ordinales es que, aunque nos informan de que un elemento representa la caracterstica en cuestin en una mayor magnitud que otroelemento, no nos dice en cunto ms. Para poder alcanzar conclusiones ms precisas, como la de en cunto ms presenta la caracterstica un elemento sobre otro, hay que contar con una unidad de medida. Pero en ese caso ya estaramos hablando de otros tipos de escala, que expondremos a continuacin.

Supongamos ahora una escala en la que, adems de las dos condiciones ex-presadas para las escalas ordinales se cumple una tercera, segn la cual, para cualquier elemento ei:

n (ei) = a + b c (ei) (siendo b 0)

A este tipo de escala se le llama escala de intervalo. La tercera condicin aa-dida a las exigidas para una escala ordinal impone que el nmero asignado al elemento ei, que representamos por n (ei), sea una funcin lineal (vase el captu-lo 7) de la magnitud real que ese objeto presenta en la caracterstica en cuestin. La clave de esta tercera condicin (que supone una mejora sustancial con respec-to a las escalas ordinales) es que se cuenta con una unidad de medida, sin impor-tar que tanto esta unidad de medida como el origen de la escala sean arbitrarios. Lo cierto es que si se cumple esta tercera condicin podemos alcanzar consecuen-cias acerca de la igualdad o desigualdad de diferencias. Es decir, que para todo cuarteto de elementos, ei, ej, ek, el, se cumplen las siguientes condiciones:

Si n (ei) n (ej) = n (ek) n (el)

entonces c (ei) c (ej) = c (ek) c (el)

y

Si n (ei) n (ej) > n (ek) n (el)

entonces c (ei) c (ej) > c (ek) c (el)

Es decir, que si la diferencia entre los nmeros asignados a dos elementos es igual a la diferencia entre los nmeros asignados a otros dos, entonces tambin son iguales las diferencias de magnitudes entre estos dos pares. Igualmente, una mayor diferencia entre los nmeros asignados implica una mayor diferencia entre las magnitudes representadas.

El ejemplo clsico de este tipo de escalas es el de las temperaturas. Para cons-truir la escala centgrada se enfra el agua hasta la temperatura de congelacin y se pone un cero en la altura que alcanza la columna de mercurio. Despus se ca-lienta el agua hasta el punto de ebullicin, y donde se encuentre la altura de la columna de mercurio se marca un cien. Posteriormente se divide el espacio entre


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esas dos marcas en cien partes iguales, a las que se llaman grados centgrados. Si utilizamos este instrumento para medir la temperatura de los objetos, podemos extraer conclusiones como las siguientes: si los elementos e1 y e2 estn a 25 y 20 grados, respectivamente, mientras que los elementos e3 y e4 estn a 17 y 12 grados, respectivamente, podemos decir que la diferencia de temperaturas entre los obje-tos e1 y e2 es igual a la diferencia de temperaturas entre los elementos e3 y e4. Por otra parte, si los elementos e5 y e6 estn a 10 y 7 grados, respectivamente, enton-ces podemos decir que la diferencia entre los dos primeros pares es mayor que la diferencia entre este ltimo par. En las escalas ordinales no podamos hacer este tipo de afi rmaciones acerca de las diferencias de magnitudes.

La principal limitacin de este tipo de escalas es que, aunque cuenta con una unidad de medida, no tiene un cero absoluto; el nmero cero no representa real-mente la ausencia de esa caracterstica. En el caso de la temperatura en grados centgrados es claro que el valor cero no signifi ca temperatura nula, puesto que se pueden observar temperaturas inferiores (valores negativos).

Efectivamente, el hecho de no contar con un cero absoluto impide alcanzar conclusiones todava ms precisas. La superacin de esta limitacin nos llevar al cuarto tipo de escalas, llamadas escalas de razn. En ellas se sustituye la terce-ra condicin de las escalas de intervalo por otra ms restrictiva. En concreto, se requiere que para todo elemento, ei:

n (ei) = a c (ei) (siendo a > 0)

Esta tercera condicin cumple la funcin de preservar el signifi cado del valor cero, de forma que siempre represente la ausencia de esa caracterstica. Por ejemplo, la medicin de distancias se puede hacer con el sistema mtrico decimal, en metros y centmetros, o con el sistema que se emplea en Estados Unidos, en yardas, pies y pulgadas; en ambos casos, cuando se dice que algo mide cero signifi ca lo mismo. Esto no ocurra con la temperatura, en la que el cero de la escala Farenheit no se corresponde con el cero en la escala centgrada. La consecuencia fundamental de la presencia de un origen absoluto, en lugar de un origen arbitrario, es que, adems de poder alcanzar conclusiones acerca de la igualdad o desigualdad de diferencias, tambin se puede hablar de la igualdad o desigualdad de razones. As, para todo cuarteto de elementos, ei, ej, ek, el, se cumplen las siguientes condiciones:

Si n (ei)n (ej)

= n (ek)n (el)

, entonces c (ei)c (ej)

= c (ek)c (el)

y

Si n (ei)n (ej)

> n (ek)n (el)

, entonces c (ei)c (ej)

> c (ek)c (el)

Dicho en palabras, si al medir distancias decimos que el elemento e1 mide 10 y el elemento e2 mide 5, entonces podemos decir que el elemento e1 mide el doble que el elemento e2, al igual que siempre que el cociente entre dos mediciones de


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distancias nos d igual a 2, signifi car que una mide el doble que la otra. Por otra parte, un mayor cociente entre dos mediciones siempre indicar una mayor razn de las magnitudes de los elementos, en este ejemplo distancias.

Los dos ltimos tipos de escalas, las de intervalo y las de razn, reciben el nombre colectivo de escalas cuantitativas; en concreto, a veces se les llama cuan-titativas de intervalo y cuantitativas de razn, respectivamente.

El cuadro 1.3 resume las caractersticas de cada tipo de escala y algunos ejem-plos prototpicos. Igualmente, en el cuadro 1.4 se indica el tipo de escala de cada variable involucrada en los ejemplos del cuadro 1.1.

CUADRO 1.2

Las escalas de medida

NOMINAL: El sexo de los individuos se clasifica simbolizando con un 0 mujer y con un 1 varn.

M

VV

VM

M

MM

01

0

110 0

0

ORDINAL: La dureza de los elementos se ordena, asignndoles nmeros que representen esa ordenacin. En este ejemplo, representamos la dureza con la oscuridad de su color; el ms oscuro (negro) es el ms duro, y el ms claro (blanco) es el menos duro.

4 1

2 3

INTERVALO: Las cantidades de calor de los elementos, c (ei), se pueden representar (me-dir) por distintos conjuntos de nmeros, siempre y cuando entre ellos se mantenga que la diferencia de temperatura entre, por ejemplo, los elementos 1 y 2, sea la misma que la diferencia entre los elementos 3 y 4, y que ambas diferencias sean mayores que la diferencia entre los objetos 2 y 3. Estas condiciones las cumplen tanto la escala centgrada como la escala Farenheit. Cada una tiene su propia unidad de medida y su propio origen (0).

c e( )i e1 e2 e3 e4

C

F

20 10 30

0 25 50

10

75 100

0 20


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RAZN: Las longitudes, c (ei), tambin se pueden representar por distintos conjuntos de nmeros, siempre y cuando en ellos se mantenga que, por ejemplo, el elemento 2 ten-ga el doble que el elemento 1, y que el cociente entre los nmeros asignados a los elementos 3 y 1 sea mayor que el cociente entre los nmeros asignados a los elemen-tos 2 y l. Estas condiciones se cumplen tanto al medir en metros como al medir en yardas. Aunque cada una tiene su unidad de medida, ambas respetan el cero absolu-to, que coincide en las dos; el valor 0 representa la ausencia de esa caracterstica.

c e( )i e1 e2 e3 e4

Metros

Yardas0 1 3 4

0 1 2

2

4 53

CUADRO 1.3

Resumen de las escalas de medida

Tipo Relaciones Ejemplos

Nominal Relaciones igual que o distinto que Sexo, estado civil, diagnstico clnico

Ordinal Relaciones mayor que o igual que Dureza, nivel socioeconmico, nivel educativo

Intervalo Igualdad o desigualdad de diferencias Temperatura, calendario, inteli-gencia

Razn Igualdad o desigualdad de razones Longitud, peso

1.3.2. Las variables: clasificacin y notacin

Ya hemos visto que en el proceso de medicin se asignan nmeros a los ele-mentos de la muestra segn unas reglas. Pues bien, el conjunto de valores num-ricos atribuidos a las modalidades de una caracterstica constituyen las variables estadsticas:

Una variable es una representacin numrica de una caracterstica.

CUADRO 1.2 (continuacin)


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El trmino variable refl eja el hecho de que los valores atribuidos a las moda-lidades de una caracterstica permiten diferenciar a los elementos, que varan entre s en esa caracterstica. En el caso de la psicologa, sta se centra en el es-tudio de las variables que le son propias y que constituyen su objeto de estudio. Por el contrario, a veces una caracterstica tiene una nica modalidad. Estricta-mente hablando, no se tratara de una caracterstica, ya que todas las entidades estudiadas mostraran necesariamente el mismo valor numrico y se tratara ms bien de una constante.

Las variables se pueden clasifi car de varias formas. Ya hemos visto que, segn el tipo de escala a la que pertenecen las variables, se pueden clasifi car en nomi-nales, ordinales, de intervalo y de razn. En el cuadro 1.3 aparecen algunos ejem-plos de cada tipo.

A su vez, las variables cuantitativas (sean de intervalo o de razn) se pueden clasifi car en discretas y continuas, en funcin del nmero de valores asumibles por ellas.

Una variable discreta es aquella que adopta valores aislados. Por tanto, fi jados dos consecutivos, no puede adoptar ningn valor intermedio. Ejemplos de este tipo de variables son el nmero de hijos, el nmero de piezas dentales que con-servan los internos de una residencia de ancianos, el nmero de libros ledos el pasado verano, el nmero de aciertos en un test, el nmero de asignaturas apro-badas el curso pasado o el nmero de accidentes de carretera durante el pasado fi n de semana. Todas estas variables slo pueden adoptar valores discretos.

En una variable continua ocurre que, entre dos valores cualesquiera, por prxi-mos que sean, siempre es posible observar valores intermedios. Ejemplos de estas variables son la longitud, la duracin de los sucesos o el peso. Por parecidas que sean las longitudes de dos objetos, mientras no midan lo mismo siempre es posi-ble encontrar un objeto con una longitud intermedia entre ambos.

Aunque la distincin entre variables discretas y continuas es importante des-de un punto de vista terico, en la prctica las variables continuas no se pueden representar numricamente como tales. Los instrumentos de medida son impre-cisos y slo permiten atribuir nmeros discretos. La medicin en la prctica su-pone una discretizacin artifi cial de las variables. Cuando decimos que un suceso ha durado 20 segundos, lo que queremos decir es que el nmero de segundos ms cercano a su duracin es 20; es decir, que su duracin est en el intervalo 20 0,5. En este ejemplo el valor 20 recibe el nombre de valor informado. Los valores 19,5 y 20,5 se llaman lmites exactos de la medida, y se obtienen sumando y res-tando al valor informado la mitad de la unidad de medida utilizada, que puede consistir en unidades, dcimas, centsimas, etc.

No hay que confundir los valores discretos con los valores enteros, aunque en muchos casos coincidan, como en los ejemplos que hemos mencionado unas lneas ms arriba. Por el contrario, un ejemplo en el que no se da esta coincidencia sera la proporcin de aciertos en un test de cien preguntas. Si asignamos a cada indi-viduo, como representacin de sus conocimientos, el nmero que se obtiene al dividir el nmero de respuestas correctas por el nmero de preguntas del test, estos valores pueden ser 0, 0,01, 0,02, etc. Entre los valores 0,58 y 0,59, por ejem-plo, no se puede observar ninguno intermedio.


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Otro aspecto que suele ser fuente de confusiones es la idea de que las variables son caractersticas intrnsecas de los individuos u objetos, pero no siempre es as. A veces, las modalidades de las caractersticas son asignadas por el investigador. Por ejemplo, si queremos estudiar la supuesta ventaja del mtodo de enseanza A sobre el B podemos tomar dos grupos escolares y emplear un mtodo en cada grupo. Una variable ser, por supuesto, el aprendizaje mostrado, que nos indica-r qu mtodo es mejor, pero otra variable es en este caso el propio mtodo de enseanza aplicado. Sera una variable nominal con dos modalidades (A y B), pero el que a un individuo se le asocie una u otra depender de la asignacin que haga el investigador, en lugar de ser algo propio del individuo.

CUADRO 1.4

Clasificacin de los ejemplos del cuadro 1.1 y sus variables

Ejemplo Tipo de estudio Variables Tipo de escala

1 Descriptivo Capacidad de liderazgo Intervalo

2 Inferencial GrupoNivel de estrsNivel educativoInteligencia

NominalIntervaloOrdinalIntervalo

3 Inferencial Condicin de flancosTiempo de respuesta

NominalRazn

4 Inferencial Opinin Nominal

Las variables estadsticas se simbolizan por letras maysculas latinas, gene-ralmente con un subndice, para distinguirlas de las constantes (por ejemplo, Ui, Vi, Xi, Yi). El subndice i sirve, adems, para indicar la posicin que ocupa un determinado valor en el conjunto de valores de una variable. Por ejemplo, si la variable Xi (tiempo que tardan 4 personas en responder a una pregunta) adopta los valores 8; 5,2; 3,1 y 4,6, el smbolo X1 representar al valor 8, el X2 al valor 5,2, el X3 al valor 3,1 y el X4 al valor 4,6. El subndice es un nmero que nada tiene que ver con la magnitud del valor al quese est refi riendo, sino simplemen-te al lugar que dicho valor ocupa dentro de una serie de valores. Se suele emplear el smbolo Xi para hacer referencia a los valores en general y XN para el ltimo valor de la serie. En el ejemplo mencionado, tendremos que XN = X4 = 4,6.

Es frecuente que una variable se mida en varios grupos, por lo que para sim-bolizar un valor cualquiera de dicha variable sera preciso utilizar dos subndices, por ejemplo Xij, donde la i se refi ere a un orden de los valores y la j al grupo. As, X23 simbolizar al segundo valor del grupo tercero.

Supongamos que para comprobar el efecto del consumo de una sustancia sobre la forma en que se percibe un estmulo, el investigador organiza tres grupos de individuos. Al primer grupo, formado por tres personas, le da un poco de agua;


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al segundo grupo, con seis personas, le da un miligramo de la sustancia en estu-dio;al tercero, con cuatro personas, le da dos miligramos. stos han sido los re-sultados:

Grupo 1: 3,2; 5; 5,2

Grupo 2: 2,9; 4,5; 3,9; 4,7; 4,3; 3,7

Grupo 3: 8,9; 9; 9,3; 7,2

En tal caso, X12 = 2,9; X22 = 4,5; X43 = 7,2. El smbolo X41 no se refi ere a ningn valor concreto de los observados, dado que en el grupo 1 slo hay tres valores.

Con los valores observados haremos con frecuencia operaciones aritmticas para obtener estadsticos o para transformar esos valores. Una de las operaciones ms frecuentes es la de sumar los valores, puesto que en ello se basan muchos estadsticos que iremos exponiendo en los prximos captulos. Tambin la opera-cin de sumar se representa con un smbolo especfi co, el signo del sumatorio, del que exponemos algunas relaciones bsicas en el apndice del presente captulo. El lector no familiarizado con su uso debera estudiar dicho apndice antes de continuar, dado que en los prximos captulos emplearemos con frecuencia las reglas del sumatorio.


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PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Diga a qu tipo de escala de medida pertenecen las siguientes variables:

a) Lugar de la residencia de verano.b) Grado de aceptacin (totalmente de acuerdo; de acuerdo; en desacuerdo;

totalmente en desacuerdo) de la regulacin de la muerte asistida.c) Diagnstico clnico.d) Numero de estmulos visuales detectados.e) Inteligencia medida con el Test de Inteligencia WAIS III para adultos.f ) Distancia tolerada a un estmulo fbico.g) Nivel de adecuacin (adecuado, neutro, inadecuado) de una conducta en

un estadio de ftbol.h) Orientacin teraputica seguida por un psiclogo.i) Gravedad del diagnstico clnico.j) Aos de ejercicio profesional de un psiclogo clnico.k) Sexo del terapeuta.

2. Se est diseando una investigacin acerca del efecto que tiene el cambio de residencia en los adolescentes varones espaoles sobre el rendimiento acadmico y la socializacin al final de su primer ao de estancia. Cules de las siguientes caractersticas seran constantes y cules variables?:

a) Rendimiento acadmico.b) Nacionalidad.c) Sexo.d) Tiempo total en la nueva residencia.e) Edad.f ) Socializacin.

3. Atendiendo a la clasificacin de variables expuesta en este tema, diga a qu tipo pertenecen las siguientes:

a) Nmero de experimentos en los que ha participado un estudiante en un ao acadmico.

b) Tiempo que se tarda en responder a un ensayo de discriminacin de tonos de estmulos auditivos.

c) Proporcin de menores infractores con respecto a la poblacin de me-nores.

d) Adscripcin ideolgica.e) Seleccin de un color (nada adecuado; adecuado; totalmente adecuado)

asociado a una emocin.f ) Nmero de elementos recordados de una lista de palabras.g) Ingresos familiares.h) Estacin del ao en la que se prefi ere tomar las vacaciones.i) Precisin en la biseccin de una recta.


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4. Se est realizando una investigacin que tiene como objetivo estudiar el efec-to del entrenamiento previo en una tarea de recuerdo de una lista de palabras. Se seleccionan dos grupos de participantes. Al grupo 1 se le aplica el entrenamiento y despus la tarea de recuerdo, mientras que el grupo 2 realiza la tarea sin entre-namiento previo. Para cada participante se obtiene el nmero de palabras recor-dadas. Los resultados fueron:

Grupo 1 Grupo 2

Participante Nmero de palabras Nmero de palabras

12345

98769

75654

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Cuntas variables hay en el experimento?b) Atendiendo a la clasifi cacin de variables, diga a qu tipo pertenecen las

variables implicadas en el experimento.c) Utilizando la notacin adecuada, indique el nmero de palabras recorda-

das por el tercer participante del segundo grupo.d) Diga cules son los valores de X12 y X21.

5. Se han medido en una muestra de estudiantes de psicologa las variables ex-traversin (X) y apertura a nuevas experiencias (Y). Atendiendo a los resultados obtenidos, calcule las expresiones que aparecen ms abajo.

X Y

53684

7 2 510 6

a) Xib) Yic) (Xi Yi)d ) Xi Yie) (4 Xi)

f ) (Yi5 )g) (Xi 2)h) (Xi + Yi)i) (Yi)2

j) Yi2

k) (Xi3 2 Yi + 10)


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6. A partir de los valores obtenidos para cinco sujetos en las variables T, X eV, calcule las expresiones que se indican ms abajo.

T X V

49751

52972

24751

a) Vib) 2 Xic) (Ti + 3)d ) Ti Vi Xi

e) (Vi Xi)f ) (Ti)2 y Ti2

g) (Ti + Xi + Vi)h) (3 Xi 4 Vi)

i) (Vi 5)2

j) Ti + 3

k) Xi2

5 (Xi5 )

2

7. Atendiendo al sumatorio, escriba de forma abreviada las siguientes expresio-nes:

a) X1 + X2 + X3 + X4 + X5b) X1 + X2 + X3 + ... + XNc) 7 X1 + 7 X2 + 7 X3 + ... + 7 XNd ) X1 + X2 + X3 + ... + XN + (4 N)e) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 (k N)f ) (X1 + X2 + X3 + ... + XN)2

g) X12 + X22 + X32 + ... + XN2

h) (X1 Y1) + (X2 Y2) + (X3 Y3) + ... + (XN YN)i) (X1 + X2 + X3 + ... + XN) (Y1 + Y2 + Y3 + ... + YN)j) (X1 Y1) + (X2 Y2) + (X3 Y3) + ... + (XN YN)k) (0,5 X1 + Y1 3 U1) + (0,5 X2 + Y2 3 U2) + ... + (0,5 XN + YN 3 UN)

l) X1N

+ X2N

+ X3N

+... + XNN

SOLUCIONES DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. a) Nominal.b) Ordinal.c) Nominal o cualitativa.d ) De razn.


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e) De intervalo.f ) De razn.g) Ordinal.h) Nominal.i) Ordinal.j) De razn.k) Nominal.

2. a) Variable.b) Constante.c) Constante.d ) Constante.e) Variable.f ) Variable.

3. a) Cuantitativa discreta.b) Cuantitativa continua.c) Cuantitativa discreta.d ) Nominal o cualitativa.e) Ordinal.f ) Cuantitativa discreta.g) Cuantitativa discreta.h) Nominal o cualitativa.i) Cuantitativa continua.

4. a) Dos: entrenamiento previo con dos niveles (ausencia, presencia) y el nmero de palabras recordadas.

b) Ausencia Presencia de entrenamiento previo: variable nominal. N-mero de palabras recordadas: cuantitativa discreta.

c) X32 = 6.d ) X12 = 7; X21 = 8.

5. a) Xi = 26.b) Yi = 30.c) (Xi Yi) = 175.d ) Xi Yi = 26 30 = 780.e) (4 Xi) = 4 Xi = 4 26 = 104.

f ) (Yi5 ) = 15

Yi = 15

30 = 6.

g) (Xi 2) = Xi 2 = 26 (5 2) = 16.h) (Xi + Yi) = Xi + Yi = 26 + 30 = 56.i) (Yi)2 = 302 = 900.


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j) Yi2 = 214.

k) (Xi3 2 Yi + 10) = 13

Xi 2 Yi + 10 = 13

26 2 30 +

+ 5 10 = 1,333.

6. a) Vi = 19.b) 2 Xi = 50.c) (Ti + 3) = 41.d ) Ti Vi Xi = 12.350.e) (Vi Xi) = 118.f ) (Ti)2 = 676; Ti2 = 172.g) (Ti + Xi + Vi) = 70.h) (3 Xi 4 Vi) = 1.i) (Vi 5)2 = 30.j) Ti + 3 = 29.

k) Xi2

5 (Xi5 )

2

= 7,6.

7. a) 5

i = 1

Xi.

b) Xic) (7 Xi).d ) (Xi + 4).e) (Xi k).f ) (Xi)2.g) Xi2.h) (Xi Yi).i) Xi Yi.j) (Xi Yi).k) (0,5 Xi + Yi 3 Ui).

l ) XiN

.


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APNDICE

El sumatorio

La operacin que con ms frecuencia se hace en estadstica es sumar un con-junto de valores. Por ello se ha acordado la utilizacin de un signo especial para representarla en las frmulas y demostraciones: . As, cuando se quiere expresar la suma de las N puntuaciones X1, X2, ..., XN, se puede hacer de una forma muy compacta y sencilla de la siguiente forma:

N

i = 1

Xi

La anterior expresin se lee sumatorio de las Xi, comenzando por el primerva-lor y terminando por el ensimo. A veces no se quiere sumar las N puntuaciones,sino slo parte de ellas. En esos casos se especifi ca en los ndices superior e inferior cules son los valores por los que hay que comenzar y terminar la suma. Sin embargo,como en la casi totalidad de las ocasiones el signo se refi ere a la suma de todos los valores, se suelen omitir esos indicadores. A lo largo de este libro utilizaremos la expresin:

Xi

para referirnos a la suma de los N valores observados en X.El trabajo con el sumatorio se simplifi ca bastante si se aplican algunas senci-

llas reglas, de las que vamos a exponer las ms utilizadas:

a) Regla del producto de la constante. Si los valores de una variable se mul-tiplican por una constante, el sumatorio de tales valores queda multipli-cado por dicha constante. Dicho de otra forma, cuando nos encontremos con el sumatorio de una constante por una variable, podemos sacar la constante del sumatorio:

(c Xi) = c X1 + c X2 + ... + c XN =

= c (X1 + X2 + ... + XN) = c Xi

b) Regla del sumatorio de la constante. El sumatorio de una constante es igual a N multiplicado por la constante. Es decir:

c = c + c + ... + c (N veces) = N c

c) Regla de distribucin del sumatorio. El sumatorio de una suma es igual a la suma de los sumatorios. Es decir:

(Vi + Xi + Yi) = (V1 + X1 + Y1) + (V2 + X2 + Y2) + ... +

+ (VN + XN + YN) = (V1 + V2 + ... + VN) + (X1 + X2 + ... + XN) +

+ (Y1 + Y2 + ... + YN) = Vi + Xi + Yi


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anlisis de datos en psicologa i

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