anlisis de armadura por mtodo de nodos y mtodo matricial

2012

CURSO: Mecánica de Sólidos II

MALQUI ALAYO FRANZ KENNEDY

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

CALLAO

10/05/2012

ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL


Mecánica de sólidos II Página 1

INTRODUCCION

Las armaduras de acero o de distintos tipos de material, constituyen un elemento de gran utilidad

dentro del campo de la ingeniería estructural. Su diseño permite distribuir las fuerzas producidas por

diferentes cargas a lo largo de su estructura interna y así poder llevarlas a sus respectivos apoyos unas

ves definidas. Las diferentes clases de armaduras tienen varios tipos de análisis dependiendo de su

diseño y de su función a futuro, en este trabajo de investigación se busca analizar las armaduras por

medio de el método matricial de rigidez y así comparar los resultados con otros métodos utilizados

dentro del campo de la ingeniería.

OBJETIVO

Determinar las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de acción y reacción entre los

elementos o barras que la forman.

Analizar el método matricial para solucionar armaduras.

Desarrollar y explicar paso a paso el proceso de solución de armaduras con el método matricial.

Analizar el método de nudos para solucionar armaduras.

Comparar el método de nudos con el matricial.

FUNDAMENTO TEÓRICO

ARMADURA

Una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad rígida recibe

el nombre de armadura. Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de cubiertas o las grúas.

MÉTODO DE NUDOS

El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante

de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y

cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para

el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes:

(Convención de signo)



Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones

x y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de

fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado

(Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).

El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en

un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las fuerzas que se generan en los

apoyos para hacer que la estructura este en equilibrio.

Las ecuaciones del equilibrio se aplican a los pasadores de las uniones. En cada nudo se consideran las

fuerzas externas aplicadas junto con las

fuerzas de reacción correspondientes a las

fuerzas internas en las barras. Dado que

las fuerzas son concurrentes, no hay que

considerar la suma de momentos sino sólo

la suma de componentes x e y de las

fuerzas.

Estas ecuaciones se aplican en primer lugar

a un nudo que contenga sólo dos

incógnitas y después se van aplicando a los

demás nudos, sucesivamente.

Convencionalmente, se

consideran positivas las fuerzas internas en

las barras cuando salen hacia afuera (tracción) y negativas si van hacia el interior (compresión).

Tipos de apoyos

Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se

encuentran en los extremos o cerca de ellos.

Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones

y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un

problema matemático.

Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está

empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).

Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida

Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas,

bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de

este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden

dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

Fffff figura 1



Apoyo Esquema del apoyo y reacciones Número de

incógnitas

Reacciones formada por una fuerza y un par

Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier

movimiento inmovilizándolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres

incógnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par.

Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su

determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la

respuesta indicará si la suposición fue conecta o no (Beer y Johnston, 1979).

Armaduras Estáticamente Determinadas

Una armadura es una estructura consistente en un número finito de barras conectadas en uniones por

pasadores sin fricción en los cuales pueden aplicarse las fuerzas externas. En la Figura 3.1 se muestra

una unión de armadura típica en la situación ideal, donde un pasador se inserta en los extremos de

barras de ojo. Las barras tienen libertad de girar sobre el pasador.

Fffff figura 2



Cualquier sistema de fuerza externa actuando sobre una armadura bidimensional puede describirse por

las magnitudes numéricas en las dos direcciones de referencia en los nudos, excepto aquellas a lo largo

de las cuales ya hay componentes desconocidas de las reacciones.

Si una armadura es determinante debe cumplir:

Donde: numero de nodos

Numero de miembros

Número de componentes de reacciones

ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS DETERMINADAS POR PROCESAMIENTO

SEMIAUTOMATIZADO

Para automatizas el proceso se debe observar el problema como la solución simultanea de las 2NJ

ecuaciones como NM + NR incógnitas, esto significa que primero deben escribirse todas las ecuaciones

de equilibrio en las juntas, para cada junta de la estructura.

Por convención se considera toda las fuerzas en tención y suponemos fuerzas +X1 y +Y1 que actúa

sobre cada nodo.

Al obtener las ecuaciones debemos plantear las matrices mediante la siguiente formula

Fffff figura 3



EJERCICIO (6.156)

De la armadura calcular las fuerzas internas por el método de nodos y el método matricial semi-

automatizad, además efectuar la comprobación correspondiente

ANÁLISIS POR MÉTODO DE NUDOS

Figura 4

Figura 5



Figura 6

I) Para las fuerzas externas

Aplicamos momento total en “E”

Por equilibrio de fuerzas:

II) Ahora analizamos las fuerzas internas nodo por nodo

NODO (E): hacemos cortes imaginarios

Se cumple por equilibro de fuerzas:



Figura 7

También:

NODOS (F): hacemos cortes imaginarios

Se cumple por equilibrio de fuerzas

También:



Figura 8

Figura 9

NODO (C): hacemos cortes imaginarios


También:

NODO (D): hacemos cortes imaginarios



Figura 10


También:

NODO (A): hacemos cortes imaginarios




Figura 11

También:

Vemos que se Cumple como

NODO (B): hacemos cortes imaginarios


También:



Figura 12

Figura 13

ANÁLISIS POR MÉTODO MATRICIAL

a) Colocamos números a los nodos

b) Veamos si es determinado o indeterminado por la formula

ENTONCES SE PUEDE USAR EL MÉTODO MATRICIAL PARA ARMADURAS DETERMINADAS.



Figura 1 4

c) Por convención suponemos todas las fuerzas internas (color verde) y las reacciones (color rojo) en

TENSIÓN. Suponemos la presencia de fuerzas en +X y en +Y (color azul) en cada nodo.

d) Planteamos las 12 ecuaciones con las 12 incógnitas.



Veamos el valor de

e) Acomodando matricialmente tenemos

Hacemos un cambio de variable

INGRESAMOS LA MATRIZ [A] AL PROGRAMA MATLAB

1 0 0 0 0 0 0,8 0 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 0 -0,6 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0,8 0 0 0 0

0 0 1 0 -1 0 0 -0,6 0 0 0 0

0 0 0 -1 0 0 -0,8 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 -1 0,6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 -0,8 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0,6 0 0 0 -1



COMO LA MATRIZ [B] =-[A] ENTONCES MULTIPLICAMOS POR -1 EN EL PROGRAMA

Vemos que nos queda:

Ahora calculamos la inversa de [B]

Hacemos otro cambio de variable

-1 0 0 0 0 0 -0,8 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0,6 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -1 0 0 0 -0,8 0 0 0 0

0 0 -1 0 1 0 0 0,6 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0,8 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 1 -0,6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0

0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0 -1 0 -0,6 0 0 0 1



Nos queda

Ingresamos al PROGRAMA MATLAB los valores de {P} sabiendo que son 8 y 8

respectivamente

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0,75 1 0,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 0 0 0

-0,8 0 -0,75 1 0 0 0 1 0 0 0 0

-1,3 0 -1,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1,3 0 -1,25 0 -1,25 0 -1,25 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 1 0 0

-1,5 0 -1,5 1 -0,75 0 -0,75 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0,75 1 0,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 0 0 0

-0,8 0 -0,75 1 0 0 0 1 0 0 0 0

-1,3 0 -1,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1,3 0 -1,25 0 -1,25 0 -1,25 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 1 0 0

-1,5 0 -1,5 1 -0,75 0 -0,75 1 0 0 0 1



Recordar que:

Como en el programa ya está almacenado los valores de [C] y {P} hacemos la operación y obtenemos

NO QUEDA COMO REPUESTA:



VERIFICACIÓN

Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto ( 1 )

Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE

Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (2)

Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE


Por dato

CUMPLE



Por dato

CUMPLE


Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE


Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE


Por dato

CUMPLE



Por dato

CUMPLE

COMPARACIÓN DE RESULTADOS

Método matricial Método de nodos

Signo ( + ) fuerza en tensión y signo ( - ) fuerza en compresión



RECOMENDACIONES

Para el método matricial tenemos que considerar todas la fuerzas en tensión

También para el método matricial tenemos que considerar la numeración de la parte

superior de izquierda a derecha.

Tener cuidado con las operaciones por el método de nudos y sobre todo con los sentidos de

las fuerzas.

Por el método de nudo tener en cuenta el punto de inicio para el análisis de cada nodo.

Verificar si la armadura es determinada o indeterminada antes de hacer el análisis por el

método matricial.

Nos basaremos en la hipótesis de que todos los miembros de una armadura son miembros

de dos fuerzas, es decir, que cada uno se encuentra en equilibrio bajo la acción de dos únicas

fuerzas, aplicadas en sus extremos, que serán iguales, opuestas y colineales.

OBSERVACIONES

Vemos por el método matricial nos salen valores negativo.

Vemos también que por el método matricial hay dos fuerzas que nos sale cero.

Por el método de nodos no nos sale fueras negativas porque estamos asumiendo las fuerzas

en su correcta dirección.

En el método de nudos se inicio por el nodo “E” por tener solo 2 fuerzas incógnitas

previamente hallado las fuerzas externas y 2 ecuaciones.

El método matricial es solo para armaduras determinadas y no fuese utilizaríamos otros

métodos.

Estamos considerando armaduras planas y estáticamente determinada o isostática.

CONCLUSIONES

Los valores negativos obtenidos por el método matricial nos indica que los fuerzas

esto en comprensión.

Los valores positivos de nuestra respuesta nos indica tensión.

Si existe la inversa de la matriz estática -[A], la armadura es estáticamente estable, pero si la

matriz estática -[A] es singular, la armadura es estáticamente inestable.

Losa valores obtenido por el método matricial y el método de nodos son numéricamente

iguales pero no necesaria mente con el mismo signo.

El método matricial es más directo para calcular las fuerzas que actúan en una armadura

determinada.

El método de nudos es más laborioso y estense en comparación con el otro método.

La numeración realizada a cada nodo es la correcta por que en la verificación de los

resultados cumple.

Si tómanos otra numeración el resultado puede divergir de la respuesta deseada.

La consideración de la numeración mencionada en las recomendaciones es muy importante

para armaduras más complejas para no divergir de la respuesta deseada.

Este análisis de las fuerzas internas es muy importante para poder diseñar y saber qué tipo y

que dimensiones debe tener el material que debemos usar.



BIBLIOGRAFÍA

Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Bogotá,

Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.

Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros, Estática. México D.F.,

México:Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.

Nilson, A. H. 1999. Diseño de estructuras de concreto. 12° edición

Hibbeler, R. C. 1997. Análisis estructural. 3º edición.

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