ANÁLISIS DE VARIANZA PARA PRUEBA DE HIPÓTESIS Nos permite analizar si existen diferencias en la distribución de los datos de dos o más grupos independientes

Análisis de varianza

• “ Analiza la variación de una respuesta en dos o más conjuntos de datos”

• El objetivo del ANOVA es identificar las variables independientes más importantes en un estudio estadístico ,y determinar cómo interactúan y afectan la respuesta • Estas variables se denominan factores o vías • Se emplea la varianza de los datos para llevar a

cabo la prueba de hipótesis

Prueba F

• Es una prueba muy útil cuando deseamos analizar los datos de los experimentos en los que se utilizan más de dos grupos o condiciones.

• En las pruebas de los estadísticos t y z , se consideraba que podíamos realizar una comparación entre las diferencias entre las medias de dos grupos, porque considerábamos que todas las demás variables permanecían constantes.

• Esto es, que las varianzas eran iguales y que pertenecían a la misma población

• En estos casos se empleaba la media como estadístico para evaluar la hipótesis nula

Utilidad de la prueba F • 1.-La prueba F se emplea para estimar diferencias entre dos o

más grupos independientes

2.- Empleando diferentes grupos, podemos valorar como cambia la variable dependiente con respecto a los diferentes valores que tome la variable independiente.

• Por ejemplo, en lugar de limitarnos para probar el efecto de un fármaco en una sola dosis y compararlo con un grupo control, podríamos ver el resultado de diferentes dosis aplicadas en grupos diferentes de la población elegidos al azar.

• En general, el objetivo de un experimento es investigar los efectos de las variables, tanto independientes ( experimentales) sobre las observadas ( dependientes)

• EL análisis de varianza nos permite estimar la relación entre una o varias variables nominales independientes, respecto a una variable continua dependiente

• 3.- Porqué no empleamos la distribución t para comparar la diferencia entre las medias de varios grupos ?

• Recordemos que cuando evaluamos una diferencia entre medias de dos grupos, establecemos un nivel de alfa de 0.05, lo que significa que estamos “dispuesto a equivocarnos” en un margen de no mas del 5% de las ocasiones cuando rechazamos Ho

• Si empleáramos t student tendríamos que considerar que el error de tipo I aumentaría de manera acumulativa con cada una de las comparaciones que hiciéramos entre cada grupo, esto es incrementamos la posibilidad de obtener una diferencia únicamente por el azar.

4.- Propiedades de la distribución F

• - La distribución F no es simétrica

• - La forma exacta de la distribución F depende de dos diferentes grados de libertad

• La prueba F se basa en analizar la diferencia entre la varianza que se debe a un factor y la varianza que es inherente a la propia variable

• La hipótesis nula nos dice que no hay diferencia entre las varianzas de los grupos

• La hipótesis alternativa nos dice que si hay diferencia entre las varianzas de los grupos

• La prueba F solo tiene como resultado valores positivos ya que es una razón entre dos varianzas

F = S12

_______

S22

• Si se encuentra una diferencia entre las varianzas obtendremos valores mayores a 1 y dependiendo de ese valor tomaremos la decisión de rechazo o no de la hipótesis nula

• Si el valor de F es cercano a 1 será evidencia a favor de que las varianzas son iguales

• S1 es la variancia de mayor valor

Características de la prueba f

• La distribución f varía según los grados de libertad y por lo tanto su distribución depende de dicha variación, por lo que tendremos una distribución diferente para diferentes valores de la muestra

• La distribución f tiene dos valores para los grados de libertad :

• gl 1 para el numerador = gl1= n1 - 1

• gl 2 para el denominador = gl2= n2 – 1

• Entonces, para la prueba F hay una curva distinta para cada combinación de los grados de libertad gl1 y gl2

ANÁLISIS DE VARIANZA ANÁLISIS DE UN FACTOR O DE UNA VÍA

Nos permite hacer una comparación global que nos indica si existe una diferencia significativa entre las medias de 2 o más grupos El término un factor se utiliza porque los datos muestrales se separan en grupos según una característica o un factor

Características de la prueba f

• Análisis de varianza de un factor para grupos independientes

• Los sujetos se eligen de la población de manera aleatoria

• Por ejemplo elegimos 100 sujetos y dividiremos en 5 grupos

• Se les asigna de manera aleatoria las distintas condiciones

• En este caso cada grupo puede ser evaluado con diferentes niveles de terapia o concentraciones de un fármaco, etc.

• En este caso se analizan los datos de varios grupos independientes, ... con lo que disminuimos la probabilidad de cometer un error de tipo I.

Prueba de hipótesis

• La hipótesis alternativa que se utiliza en este tipo de análisis de varianza es de no direccional ( dos colas) y nos indica que los efectos de la variable independiente en una o más condiciones difieren de los que tienen en al menos una de las demás condiciones.

• La hipótesis nula en cambio, nos indica que el efecto de la variable independiente tienen la misma magnitud en los diferentes grupos y que los datos de cada grupo son muestras aleatorias extraídas de la misma población

• Ello significa que las medias de los diferentes grupos, tienen el mismo valor

• Lo que estamos estimando es la razón de

• F = estimación de la varianza entre los grupos ( SB2)

• estimación de la varianza dentro de los grupos ( SW 2)

• Dado que ( SB2) aumenta con la magnitud del efecto de la

variable independiente, mientras mayor sea la razón F, menos razonable será que se cumpla la hipótesis nula

• La varianza dentro de los grupos también se llama variación debido al error.

F = ( SB2)

( SW

2)

= σ2 + efectos de la variable independiente σ2

• El análisis de varianza considera que la variabilidad total de los datos se deben a dos fuentes

• La variabilidad dentro de los grupos

• La variabilidad entre grupos ( esta aumenta con la magnitud del efecto de la variable independiente) por lo que si F es grande es poco probable que los resultados se deban a la variabilidad dentro de los grupos ( por el azar)

Supuestos

• Las poblaciones tienen distribuciones que son aproximadamente normales

• Las poblaciones tienen la misma varianza ( si los tamaños de las muestras son iguales este punto no es muy critico)

• Las muestras son aleatorias simples

• Las muestras son independientes entre sí

F = ( SB2)

( SW 2)

SB2 = SCB glB

(k -1)

SW2 = SCW

glW

glw

= N-K

Criterios de decisión

• Rechazo Ho

• si Fobt ≥ F critico

• p < ά

Ejercicio

• Un profesor quiere evaluar diferentes métodos de enseñanza en la materia de Psicología Clínica. Para ello decide seleccionar de manera aleatoria a 27 alumnos que cursan la materia y también de manera aleatoria divide en tres grupos de nueve. Después de ello decide presentar los temas del primer parcial y posteriormente se aplica un examen a los tres grupos para evaluar los resultados.

• Considerando un alfa de 0.05,

• Presente su Hipótesis nula y su hipótesis alternativa

• Cuáles son sus conclusiones.

Problema resuelto grupos independientes 1 ( Pagano)

METODO 1 METODO 2 METODO 3

X1 X2 X3

92 86 81

86 93 80

87 97 72

76 81 82

80 94 83

87 89 89

92 98 76

83 90 88

84 91 83

Total 767 Total 819 734

Ejercicio grupos independientes 1

METODO 1 METODO 2 METODO 3

X1 X12 X2 X2

2

X3 X32

92 8464 86 7396 81 6551

86 7396 93 8649 80 6400

87 7569 97 9409 72 5184

76 5776 81 6561 82 6724

80 6400 94 8836 83 6889

87 7569 89 7921 89 7921

92 8464 98 9604 76 5776

83 6889 90 8100 88 7744

84 7056 91 8281 83 6889

Total 767 65583 Total 819 74757 734 60088

EASTERN TWA ALLEG OZARK 94 75 70 68 90 68 73 70 85 77 76 72 80 83 78 65

88 80 74 68 65 65

• Se ha realizado un estudio para saber si existen diferencias entre las calificaciones obtenidas por el servicio que proporcionan algunas aerolíneas. Use un nivel de alfa de 0.01

Tabla ANOVA

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Media cuadratica

F

Compañías 890.69 SCB SST

3 glb

296.90 sb2

8.99

Error 594.41 SCW SSE

18 glw

33.02 sw2

Total 1485.10 SS

21

Grupos independientes

• Usted es un nutriólogo que quiere determinar si existe diferencia en el contenido de azúcar de las tres principales marcas de cereal para el desayuno ( K. N, Q).Para evaluar la cantidad de azúcar que contienen los cereales usted, selecciona una muestra aleatoria de seis paquetes de cada marca y lleva a cabo un examen químico del contenido de azúcar de cada uno.

• Si considera un alfa de 0.05, determine si alguna de las marcas tiene un contenido de azúcar diferente.

• Cuál es su hipótesis nula y plantee la hipótesis alternativa.

Cereal K Cereal N Cereal Q

1 7 5

4 5 4

3 3 4

3 6 5

2 4 7

5 7 8

• NCP fabrica impresoras en sus plantas de Atlanta,Dallas y Seattle. Con el fin de medir los conocimientos de los empleados en materia de calidad, se toma una muestra aleatoria de seis empleado de cada planta y se les aplica un examen de conocimientos sobre calidad. Los gerentes de la empresa quieren usar estos datos para probar la hipótesis ( nula) de que la media de las puntuaciones en los exámenes es la misma en las tres plantas. Considere que los datos se distribuyen normalmente y emplee un alfa de 0.05

Atlanta Dallas Seattle

85 71 59

75 75 64

82 73 62

76 74 69

71 69 75

85 82 67

• La encuesta de satisfacción de clientes de restaurantes de Consumer reports se basa en más de 148 000 visitas a diferentes cadenas de restaurantes. Una de las variables es el precio de los alimentos. Una muestra de restaurantes de diversos tipos de comida muestran los siguientes precios en dólares . Utilice un alfa de 0.05 para probar si hay diferencia significativa entre el precio de comida de los diferentes restaurantes.

Italiano Mariscos Carnes

12 16 24

13 18 19

15 17 23

17 26 25

18 23 21

20 15 22

17 19 27

24 18 31

• En la publicidad de cuatro tipos de pinturas, se dice que tienen el mismo tiempo de secado. Para verificarlo, se prueban cinco muestras de cada una de las pinturas. Se registra el tiempo , en minutos, para que el secado sea suficiente para la aplicación de una segunda mano. Con un alfa de 0.05, realice una prueba para determinar si la media de los tiempos de secado es la misma en cada tipo de pintura

TIPO A TIPO B TIPO C TIPO D

128 144 133 150

137 133 143 142

135 142 137 135

124 146 136 140

141 130 131 153

• Un investigador realiza un experimento para determinar si la pérdida del sueño afecta la capacidad para mantener constante la atención, para ello divide de manera aleatoria a 15 individuos en tres grupos de 5 sujetos cada uno. El grupo 1, que duerme de manera normal; el grupo 2, que no duerme durante 24 horas; y el grupo 3, que no duerme durante 48 horas. A los tres se les somete a la misma prueba de percepción auditiva. Los porcentajes de percepciones auditiva se muestran en la siguiente tabla.

• Empleando un alfa de 0.05

• Determine si existe un efecto global por privación de sueño.

Sueño normal sin dormir 24 horas Sin dormir 48 horas

85 60 60

83 58 48

76 76 38

64 52 47

75 63 50

RELACIÓN ENTRE LA PRUEBA T Y EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA GRUPOS INDEPENDIENTES

Hay que considerar que t2 = F

Resolver ejercicio usando prueba t y empleando estadístico F

• Un sociólogo quiere determinar si el lugar de residencia tiene algún efecto en la creación de redes sociales. Para ello pretende determinar quiénes tienen mayores citas en una universidad, si las estudiantes que viven en los dormitorios de la universidad o las que viven en sus casas. Él elige al azar 12 mujeres de los clubes femeninos y 12 de los dormitorios. Los resultados se presentan en la tabla siguiente

Casa Dormitorio

X1 X2

8 9

5 7

6 3

4 4

12 4

7 8

9 7

10 5

5 8

3 6

7 3

5 5

Si emplea un alfa de 0.05

Cuáles serían sus

conclusiones?

TAREAS

METODO 1 METODO 2 METODO 3

74 84 83

78 77 85

73 79 86

73 79 87

72 81 89

TOTAL 370 TOTAL 400 TOTAL 430

Una profesora de psicología que imparte la materia de psicología infantil ha preparado tres exámenes diferentes para el examen final , pero sospecha

que una de las versiones es más difícil que las otras dos. Para ello selecciona al azar a 15 alumnos y los divide, también al azar en tres grupos de 5 cada

uno. Considerando un alfa de 0.05 cuáles serían sus conclusiones?

• Un psicólogo está interesado en evaluar la eficacia de las tres técnicas siguientes para el tratamiento de la depresión leve: Reestructuración cognitiva, entrenamiento de la asertividad y un programa de ejercicios y nutrición. De la lista de espera del CADE, extrae una muestra de 40 estudiantes que sufren depresión leve, y se asigna a 10 de ellos, de manera aleatoria a cada una las tres técnicas y a los 10 restantes a un grupo de control placebo. Después del tratamiento , se mide la depresión mediante la escala de BECK. Una mayor puntuación indica una mayor depresión

• Empleando un alfa de 0.05. Cuáles serían sus conclusiones?

placebo

Restruc. cognitiva

Asertividad Ejercicio nutrición

27 10 16 26

16 8 18 24

18 14 12 17

26 16 15 23

18 18 9 25

28 8 13 22

25 12 17 16

20 14 20 15

24 9 21 18

26 7 19 23

• Un fisiólogo piensa que la hormona X es importante para generar un mayor comportamiento sexual. Para probar su hipótesis el investigador elige una muestra de 40 ratas macho y las asigna al azar a cuatro grupos. Tres grupos son inyectados con la hormona con diferentes concentraciones y a un grupo se les administra solo un placebo. Después de ello se les coloca en un espacio individual junto a una hembra y cuenta el número de apareamientos producidos en un periodo determinado. Empleando un alfa de 0.05 puede determinar sí la hormona X afecta el comportamiento sexual?

• Considere que los datos se distribuyen normalmente

0 mg 1mg 2mg 3mg

5 4 8 13

6 5 10 10

3 6 12 9

4 4 6 12

7 5 6 12

8 7 7 14

6 7 9 9

5 8 8 13

4 4 7 10

8 8 11 12

Concentración de la hormona

5.6 5.8

8.4

11.4

0mg 1mg 2mg 3mg

Título del gráfico

Series1

5.6 5.8

8.4

11.4

0mg 1mg 2mg 3mg

Título del gráfico

Series1

• Investigadores sobre energía solar tomaron a la misma hora de cada día, las lecturas de voltaje de un medidor de un sistema eléctrico solar. Utilice un alfa de 0.05 para probar la aseveración de que la lectura media de voltaje es la misma en los tres diferentes tipos de climas. ¿ Hay suficiente evidencia de que el sistema proporciona diferente energía en los distintos ´tipos de días?

soleados nublados Lluviosos

13.5 12.7 12.1

13 12.5 12.2

13.2 12.6 12.3

13.9 12.7 11.9

13.8 13 11.6

14 13 12.2

• Se quiere investigar si ciertas situaciones producen distintos niveles de tensión. Se sabe que la cantidad de hormona corticosterona en sangre es una buena medida de la tensión que presenta una persona. Se dividió de manera aleatoria a 15 estudiantes en tres grupos de 5 individuos cada uno. Se midió el nivel de corticosterona del grupo 1 después de regresar de vacaciones ; del grupo 2 , después de que éstos asistieron a clases durante una semana; del grupo 3 una semana antes de sus exámenes finales. Considere que las demás variables permanecen constantes y que los resultados muestran los niveles de la hormona en mg/100 ml de sangre.

• ¿Cuáles son sus hipótesis?

• Empleando un alfa de 0.05,¿ cuáles son sus conclusiones?

vacaciones clases Examen

2 10 10

3 8 13

7 7 14

2 5 13

6 10 15

• Un docente quiere saber que estrategia de aprendizaje le produce mejores resultados. Para ello propone tres diferentes estrategias a aplicar en un grupo y decide hacer un experimento para evaluarlas. De un grupo homogéneo selecciona 27 voluntarios y asigna al azar a 9 alumnos en cada una de las condiciones. En La condición él da la clase; en la condición 2 , él da la clase y asigna una lectura complementaria; en la condición 3, da la lectura complementaria y los alumnos presencian una película acerca del tema. Al final aplica un examen sobre el tema a aprender y los resultados se muestran en la tabla siguiente. • S i considera un alfa de 0.05

• ¿cuáles son sus hipótesis?

• ¿Cuáles serían sus conclusiones?

Clase Clase + lectura Lectura + película

92 86 81

86 93 80

87 97 72

76 81 82

80 94 83

87 89 89

92 98 76

83 90 88

84 91 83

ANÁLISIS A POSTERIORI ANOVA DE UN FACTOR

Conceptos

• “la tasa de error por experimento es la probabilidad de cometer uno o más errores de tipo I para todo el conjunto de las comparaciones posibles en un experimento”

• La tasa de error por comparación es la probabilidad de cometer un error de tipo I para cualquiera de las comparaciones posibles

Prueba de DHS Tukey

• La prueba de DHS está diseñada para comparar todas las parejas posibles de medias, al tiempo que el error de tipo I para el conjunto completo de comparaciones se mantiene en alfa

• Para esta prueba se considera el criterio de decisión

• Rechazo Ho si Q obtenido > Q critico

• gl sw2 ( N-k)

Prueba de Newman-Keuls

• Esta prueba es de tipo post hoc y nos permite realizar todas las comparaciones posibles entre la parejas de medias muestrales.

• Esta prueba mantiene la tasa de error por comparación en el nivel alfa

• Para el calculo de los grados de libertad para obtener el valor critico de Q :

• Hay que ordenar de mayor a menor de acuerdo al valor de la media de cada grupo

𝑄 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑠𝑤2

𝑛

• La media mayor de las dos medias que se comparan

• La media menor de las dos medias que se comparan

• Sw2= estimación de la varianza dentro de los grupos

• número de sujetos en cada grupo

ANEXO

MST Media cuadrática de los tratamientos ( variación por la variable) MSE media cuadrática del error ( variación debida al azar)