analisis de sistemas muestreados

Tema 5. Análisis de sistemas muestreados

Daniel Rodríguez RamírezTeodoro Alamo Cantarero

Ingeniería de Control

Contextualización del tema

• Conocimientos que se adquieren en este tema:

– Relacionar la estabilidad de un sistema con el módulo de los polos de su función de transferencia.

– Aplicar el criterio de Jury para determinar la estabilidad de un sistema.– Caracterizar y hallar el error en régimen permanente de un sistema

frente a señales de entrada estandar.– Relacionar de manera cualitativa la posición de los polos del sistema

con su respuesta transitoria.– Conocer como se corresponden puntos y lugares del plano s con sus

equivalentes en el plano z.

Esquema del tema

4.1. Introducción.

4.2. Estabilidad en sistemas de control por computador.

4.3. Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos.

4.4. Errores en régimen permanente.

4.5. Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z.

Introducción

• El análisis de sistemas es un paso previo al diseño que resulta imprescindible.

• En otros cursos se ha hecho lo mismo para sistemas continuos: – condiciones de estabilidad, – métodos para comprobar la estabilidad en bucle cerrado,– errores en régimen permanente, – estudio del efecto de polos y ceros en la respuesta temporal.

• Ahora se verá lo mismo para sistemas muestreados.• Resultados análogos a los de sistemas continuos.• Algunas diferencias cualitativas importantes (polos y ceros).• Además se estudiará la correspondencia en el plano z de algunas regiones

interesantes del plano s:– Amortiguación constante,– Frecuencia constante,– Frecuencia natural constante, etc…

Esquema del tema

4.1. Introducción.





Estabilidad de sistemas discretos

• La función de transferencia en Z de un sistema implica que:

• La señal de entrada U(z) puede ser un cociente de polinomios:

• La salida quedaría entonces como:

• Descomponiendo en fracciones simples:

donde

Parte que depende de Parte que depende de Parte que depende de Parte que depende de

los polos del sistemalos polos del sistemalos polos del sistemalos polos del sistema

Parte que depende de Parte que depende de Parte que depende de Parte que depende de

los polos de la señal de los polos de la señal de los polos de la señal de los polos de la señal de

entradaentradaentradaentrada


• La antitransformada de cada uno de las fracciones simples es de la forma:

• La salida será estable si todos los términos son estables.• La estabilidad de cada término depende del valor del polo pi. Ejemplo:

0 2 4 6 8 100

0.5

1

0 < p < 10 2 4 6 8 10

1

1.5

2

2.5

3

p > 1

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

-1 < p < 00 2 4 6 8 10

-4

-2

0

2

4

p < -1

Las secuencias Las secuencias Las secuencias Las secuencias

que se amortiguan que se amortiguan que se amortiguan que se amortiguan

son aquellas en las son aquellas en las son aquellas en las son aquellas en las

que que que que ----1<p1<p1<p1<piiii < 1< 1< 1< 1

Estabilidad de sistemas discretos• Se comprueba que:

• Los términos tenderán a cero si el módulo de pi es menor que la unidad.

Un sistema descrito por G(z) es estable si y sólo si el módulo

de todos sus polos es menor que uno, es decir si todos los

polos pertenecen estrictamente al círculo unidad.

¿ Es este resultado equivalente al de ¿ Es este resultado equivalente al de ¿ Es este resultado equivalente al de ¿ Es este resultado equivalente al de

estabilidad de sistemas continuos ?estabilidad de sistemas continuos ?estabilidad de sistemas continuos ?estabilidad de sistemas continuos ?


• Tómese un punto en la frontera de la región de estabilidad del plano s:

• Su transformación en el plano z es:

• Por otra parte sea un punto del plano s con parte real distinta de cero:

• Manteniendo σ constante y variando ω z describe un círculo:– De radio mayor que la unidad si σ > 0.– De radio menor que la unidad si σ < 0.

• Finalmente si s=0, se transforma en z=eTm¢ 0=1, es decir en la frontera de estabilidad.

describe el círculo unidaddescribe el círculo unidaddescribe el círculo unidaddescribe el círculo unidad

Los puntos de la región estable (inestable) del plano S se

transforman en puntos de la región estable (inestable)

del plano Z.

El criterio de estabilidad de Jury.• Equivalente en discreto al criterio de Routh-Hurwitz.• Se utiliza para determinar si todas las raices de

están dentro del círculo unidad.• Se basa en la construcción de una tabla:

Las dos primeras filas están formadas

por los coeficientes de A(z)

Se añade una tercera igual a la primera

menos la segunda por α = an/a0.

Se añade otra: coef. de la tercera

(menos el último) en orden inverso.

Quinta linea = Tercera – Cuarta por

El proceso continuaría hasta El proceso continuaría hasta El proceso continuaría hasta El proceso continuaría hasta

obtener una tabla de 2n+1 filasobtener una tabla de 2n+1 filasobtener una tabla de 2n+1 filasobtener una tabla de 2n+1 filas

En general:

Criterio de estabilidad de Jury

Si a0 > 0 entonces A(z) tiene todas las raices estables si y solo si:

Además, si ningún es cero, entonces el número de valores

negativos es igual al número de raices inestables de A(z).

Si todos los para k=1,L,n-1 son positivos, entonces la

condición es equivalente a las condiciones:

Condiciones necesarias para la estabilidad � se pueden usar

antes de formar la tabla.

Ejemplo• Se pretende discutir la estabilidad de un sistema de segundo orden en

función de sus coeficientes:

• Se forma la tabla:

• Las raíces serán estables:

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

a1

a 2

Esquema del tema

4.1. Introducción.





Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos

Polos en el eje realPolos en el eje realPolos en el eje realPolos en el eje real Polos en el eje imaginarioPolos en el eje imaginarioPolos en el eje imaginarioPolos en el eje imaginario

Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos

Polos complejos conjugados Polos complejos conjugados Polos complejos conjugados Polos complejos conjugados

dentro del circulo unidaddentro del circulo unidaddentro del circulo unidaddentro del circulo unidad

Polos complejos conjugados en Polos complejos conjugados en Polos complejos conjugados en Polos complejos conjugados en

el circulo unidad y fuera de elel circulo unidad y fuera de elel circulo unidad y fuera de elel circulo unidad y fuera de el

Esquema del tema

4.1. Introducción.





Errores en régimen permanente

• Para un sistema dado por una función de transferencia G(z) cuya entrada es R(z) y la salida Y(z), el error vendrá dado por:

• Para hallar el error en régimen permanente se aplica el th. del valor final:

• Un caso muy común es que la entrada sea un escalón unitario:

• Por ejemplo, si :

Un sistema de primer orden tiene Un sistema de primer orden tiene Un sistema de primer orden tiene Un sistema de primer orden tiene

erp ante escalón nulo si a+b=1erp ante escalón nulo si a+b=1erp ante escalón nulo si a+b=1erp ante escalón nulo si a+b=1


• Error en régimen permanente de un sistema con función de transferencia G(s) en lazo cerrado:

• El error en régimen permanente será:

• Si R(z) es un escalón unitario:

donde es la ganancia estática de bucle abierto de la planta.

• Para que el error sea cero Kp debe ser infinita $ polo en z = 1, sistema de tipo 1.

Se llama tipo de un sistema al número Se llama tipo de un sistema al número Se llama tipo de un sistema al número Se llama tipo de un sistema al número

de polos en z=1 que tiene dicho sistema.de polos en z=1 que tiene dicho sistema.de polos en z=1 que tiene dicho sistema.de polos en z=1 que tiene dicho sistema.

Errores en régimen permanente• En el caso de que la entrada sea una rampa, :

donde

• Un sistema tipo 0 tiene Kv = 0 � error infinito.• Un sistema tipo 1 tiene Kv distinta de cero y finita � error finito.• Un sistema tipo 2 tiene KV infinita � error cero.• En el caso de que R(z) sea una parábola:

donde

• Los sistemas de tipo 0 y 1 tienen Ka = 0, por lo que el errror es infinito. Los de tipo 2 tienen Ka finita y error finito y los de tipo 3 y superior tienen Kainfinita y error cero.

• En resumen:


Esquema del tema

4.1. Introducción.





Características frecuenciales: correspondencias entre el plano z y el plano s.

• Al ser z un número complejo cumple que:

• Sea la frecuencia de muestreo y sean s_1 y s_2 dos puntos del plano s que difieren en:

• Los puntos en z que le corresponden son:

A puntos del plano s que difieran en múltiplos A puntos del plano s que difieran en múltiplos A puntos del plano s que difieran en múltiplos A puntos del plano s que difieran en múltiplos

de la frecuencia de muestreo en el eje de la frecuencia de muestreo en el eje de la frecuencia de muestreo en el eje de la frecuencia de muestreo en el eje

imaginario le corresponden el mismo lugar en imaginario le corresponden el mismo lugar en imaginario le corresponden el mismo lugar en imaginario le corresponden el mismo lugar en

el plano z. Cualquier punto en el plano z tiene el plano z. Cualquier punto en el plano z tiene el plano z. Cualquier punto en el plano z tiene el plano z. Cualquier punto en el plano z tiene

infinitos equivalentes en el plano s.infinitos equivalentes en el plano s.infinitos equivalentes en el plano s.infinitos equivalentes en el plano s.

Correspondencias entre el plano z y el plano s

Puntos de interes en el plano sPuntos de interes en el plano sPuntos de interes en el plano sPuntos de interes en el plano sPuntos equivalentes Puntos equivalentes Puntos equivalentes Puntos equivalentes

en el plano zen el plano zen el plano zen el plano z

1 :

2:

3:

4:

5:

• Eje imaginario � circulo unidad.• Eje real: s=σ � z=eTσ.

– σ · 0 � z entre 0 y 1.– σ > 0 � z > 1.

• Lugares de atenuación constante:– Corresponden en el plano s a rectas de parte real se transforman en

circunferencias en el plano z.

Correspondencias entre el plano s y el plano z

zs

1 =

1 1


∞=σ

−∞=σ

• Lugares de frecuencia constante:– En el plano s toman la forma de s=σ +jω 1 � recta horizontal con parte

imaginaria jω1.– En el plano z � recta de ángulo ω1T.


• Lugares de amortiguación ζ constante:– En sistemas continuos de segundo orden:– En el plano s los lugares de amortiguación constante son rectas:

– La transformación es:Espiral logaritmicaEspiral logaritmicaEspiral logaritmicaEspiral logaritmica

Correspondencias entre el plano s y el plano z• Lugares de frecuencia natural constante:

– En el plano s son círculos perpendiculares a los de amortiguamiento constante.

– Al ser la transformada z un mapeo conforme, los lugares serán perpendiculares a la espiral logarítmica de los lugares de amortiguamiento constante en el plano z.

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