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Sistemas muestreados
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Contenido
Muestreo en los sistemas continuos Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Equivalencia bajo retenedor de orden cero Equivalentes discretos por integracion numerica
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MUESTREO EN LOS SISTEMAS CONTINUOS
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Muestreo de la señales de entrada y salida de sistemas continuos Suponga dado un sistema de tiempo continuo
determinado por la relación de entrada/salida
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y(t)= Gc(p)u(t),
u(t) y(t)
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Muestreo de la señales de entrada y salida de sistemas continuos Si las señales de entrada y de salida del sistema
continuo son muestreadas con una frecuencia de muestreo radial ωs
¿Podemos encontrar una relación de sistemas de tiempo discreto entre las señales muestreadas u(kTs) y y(kTs) ?
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u(kTs) y(kTs)
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DESCRIPCION DE ENTRADA-SALIDA PARA MUESTREO IDEAL
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Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Bajo la condición de señales de banda limitada, se
puede demostrar que
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s d sl
y kT g l u k l T
2s
d s
wg l g lT sinc d
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Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Esto muestra dos cosas importantes:
El sistema de tiempo discreto, en general, no será causal, es decir
En general, no se tendrá una representación de dimension finita
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0dg l para l < 0
kd dk
G z g k z
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Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Es decir, el sistema de tiempo discreto no puede
ser escrito simplemente como una función de transferencia racional
9
0
11
b
b
a a
a
nn
d n nn
b z bG z
z a z a
Una de las razones es que el muestreo y reconstrucción ideal requiere un número infinito de datos para la reconstrucción de
la señal de tiempo continuo.
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EQUIVALENCIA BAJO RETENEDOR DE ORDEN CERO
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Equivalencia bajo retenedor de orden cero En muchas aplicaciones de control por computador
las señales de entrada de tiempo discreto son mantenidas constantes en medio de dos instantes de muestreo, es decir,
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u(t) = u(kTs)
para kTs ≤ t < (k +1)Ts
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Equivalencia bajo retenedor de orden cero Una relación directa entre las señales de entrada y
salida se obtiene por la convolución de u(kTs) con la respuesta al impulso gc(t).
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1
s d dl
y kT g l u k l
1
s
s
lT
d cl Tg l g d
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Equivalencia bajo retenedor de orden cero Con el retenedor de orden cero:
El sistema de tiempo discreto resultante es causal
Se obtiene una representación de dimension finita
13
0
11
b
b
a a
a
nn
d n nn
b z bG z
z a z a
1
d d dl
y k g l u k l
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Considerando un sistema de tiempo continuo
Sistema de tiempo discreto equivalente con retenedor de orden cero, para un período de muestreo Ts,
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c cx t A x t B u t
y t Cx t Du t 1d d d d dx k A x k B u k
d d dy k Cx k Du k
c sA TdA e
0
sc
T Ad cB e d B
Equivalencia bajo retenedor de orden cero en espacio de estados
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EQUIVALENTES DISCRETOS POR INTEGRACION NUMERICA
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Concepto fundamental
La idea fundamental es la siguiente:
Representar H(s) como una ecuacion diferencial
Representar esta ecuacion con una ecuacion de diferencia aproximada
Usaremos el siguiente ejemplo
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( )( )
( )
y s a dyH s ay au
u s s a dt
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Integracion numerica
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0
( ) ( ) ( )t
y t ay au d
0
( )kT T kT
kT Ty kT ay au d ay au d
( ) area de sobre ,y kT T ay au kT T kT
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Integracion numericaTres formas de aproximar el area:
El rectangulo posterior
El rectangulo anterior
Un trapezoide
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kT-T kT
kT-T kT
kT-T kT
Mirando hacia adelante
Mirando hacia atras
Mirando hacia adelante
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Rectangulo posterior
Ecuacion de diferencia
Funcion de transferencia
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1(1 ) ( ) ( )aT y kT T aTu kT T
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )y kT y kT T T ay kT T au kT T
11
1
( )( )
1( ) 1 (1 )F
y z aTz aH z
zu z aT z aT
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Rectangulo anterior
Ecuacion de diferencia
Funcion de transferencia
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2 2 2( ) ( ) ( ) ( )y kT y kT T T ay kT au kT
2 2
1( ) ( ) ( )
1 1
aTy kT y kT T u kT
aT aT
2 ( ) 1( )
1 1( ) (1 )1(1 )
B
U z aT aH z
zE z aT aaT z Tz
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Funciones de transferencia
El rectangulo posterior (Euler)
El rectangulo anterior
Un trapezoide (Tustin)
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( )1F
aH z
za
T
( )1B
aH z
za
Tz
( )2 ( 1)
( 1)
T
aH z
za
T z
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Transformacion s z
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Name Algorithm Characteristics
Euler forward rule x’(t) constant over the period
Eulers backward rule
x’(t) varies linearly over the period
Tustin (Bilinear Transformation)
x’(t) varies linearly over the period
T
1 - z s
1 +z
1 -z
T
2 s
z - 1s
Tz
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Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback
Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class
Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.
University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics.
School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.
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