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Capítulo 5

Análisis de resultados

5.1. Cálculo de las fuerzas sobre el obstáculo.

Una vez conocida la distribución del coe�ciente de presiones sobre extradós e intradós pasamos aobtener el coe�ciente de sustentación CL . Consideremos una sección del ala con cuerda c (y) . El alaestá a un ángulo de ataque α .

Figura 5.1: Fuerzas sobre el ala.

Sea X la dirección medida sobre la cuerda y s la distancia medida desde el borde de ataque a lolargo de la super�cie. Considérese el trozo de ala de la �gura 5.1. La línea ab es perpendicular a lacuerda c. La línea sólida ac es localmente perpendicular al área sombreada. El ángulo entre las líneasab y ac es θ . La fuerza aerodinámica actuando sobre el área sombreada es pds∆y , que actúa en ladirección ac, normal a la super�cie. La componente en la dirección normal a la cuerda es p cos θds∆y. Añadiendo ahora el subíndice u para indicar la presión en extradós y el subíndice l para indicarla presión en intradós, así como un signo menos para considerar que la fuerza es positiva cuando vadirigida hacia arriba, podemos observar que la contribución in�nitesimal (en la rebanada de dimensióndy según y) de la fuerza de presión (por unidad de envergadura) en la dirección normal de la cuerda enextradós es −pu cos θds . La fuerza de presión por unidad de envergadura en esta sección se obtendríaintegrando a lo largo de toda la sección (desde el borde de ataque hasta el borde de salida):

50

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE RESULTADOS 51

∫ bsba−pu cos θds

Esta es la fuerza de presión por unidad de envergadura en la dirección normal actuando en elextradós del ala. Si llamamos N a la fuerza total por unidad de envergadura actuando sobre el aladebida a las fuerzas de presión tenemos:

n =∫ bs

ba

pl cos θds−∫ bs

ba

pu cos θds (5.1)

Figura 5.2: Relación geométrica entre las coordenadas s y X.

Del triángulo in�nitesimal de la �gura 5.2 tenemos la relación geométrica ds cos θ = dX . Entoncespodemos reemplazar la variable de integración s en la ecuación (5.1) por X. Tenemos entonces:

n =∫ c

0pldX −

∫ c0pudX

Sumando y restando p∞ también podemos escribir:

n =∫ c

0(pl − p∞) dX −

∫ c0

(pu − p∞) dX

De�niendo el coe�ciente adimensional:

Cn = n12ρU

2∞c

tenemos que:

Cn = 1c(y)

c∫0

(Cp,l − Cp,u) dX

, donde:

Cp,u = pu−p∞12ρU

2∞

Cp,l = pl−p∞12ρU

2∞

Ahora bien, la sustentación por unidad de envergadura será (ya que la sustentación se de�neperpendicular a la corriente incidente sin perturbar):

l = n cosα− asenα

, donde a es la fuerza axial (según el eje X ) por unidad de envergadura. En forma de coe�cientesadimensionales:

Cl = Cn cosα− Casenα

Considerando el caso de ángulo de ataque pequeño tenemos que:


Cl ≈ Cn

, y por lo tanto:

Cl (y) ≈ 1c (y)

c∫0

(Cp,l (X)− Cp,u (X)) dX (5.2)

En cuanto a las fuerzas globales sobre el obstáculo, la contribución de las fuerzas de viscosidad ala sustentación, o componente perpendicular al movimiento de la fuerza que el �uido ejerce sobre elper�l, es muy pequeña comparada con la de las fuerzas de presión si la capa límite está adherida. Asíque si z es un eje de coordenadas perpendicular a la corriente sin perturbar, la sustentación se expresaen la forma:

L =∫S

−pnzdσ

, donde nz es la proyección según z de la normal al obstáculo y S es la super�cie del obstáculo.Como sabemos, es usual trabajar con el coe�ciente de sustentación:

CL = L12ρU

2∞S

= 1S

b/2∫−b/2

c (y)Cl (y) dy

A la resistencia contribuyen tanto las fuerzas de presión como las de viscosidad:

D =∫SB

[−pnx + (τ̄ ′ · ~n)x] dσ

Para muchos propósitos resulta útil descomponer la resistencia en dos sumandos para considerarseparadamente la contribución de la presión y de las fuerzas viscosas. La contribución de las fuerzasde viscosidad a la resistencia se denomina resistencia de fricción y su expresión matemática es:

Df =∫SB

(τ̄ ′ · ~n)xdσ (5.3)

, donde (τ̄ ′ · ~n)x representa la proyección de los esfuerzos viscosos en la dirección del movimiento.La contribución de las fuerzas de presión a la resistencia viene dada por:

Dp =∫SB

−pnxdσ (5.4)

con nx representando la proyección según x de la normal al obstáculo. Si el obstáculo es tridimen-sional y la fuerza sustentadora que experimenta es distinta de cero, es usual descomponer la resistenciade presión dada por (5.4) en dos términos: la resistencia de forma (que depende sustancialmentede la forma del obstáculo) y un término adicional, denominado resistencia inducida (inducida porla sustentación) debida a la energía cinética asociada a los torbellinos de la estela de un obstáculotridimensional sustentador.

Se de�ne el coe�ciente de resistencia total:

CD = D12ρU

2∞

= Df +Dp12ρU

2∞

= CDf+ CDp


La importancia relativa de los dos términos que contribuyen a la resistencia de un cuerpo bidimen-sional o tridimensional no sustentador (en cuyo caso la resistencia de forma no contiene el términoadicional de resistencia debida a la sustentación) depende de si la capa límite está adherida o noadherida al obstáculo. La resistencia de fricción proporciona la mayor contribución a la resistenciatotal en cuerpos fuselados a ángulos de ataque pequeños en los que la capa límite no se separa, o silo hace, el punto de separación está muy próximo al borde de salida del obstáculo. En efecto, en estecaso la vorticidad generada por la viscosidad está con�nada en la capa límite y la estela que son muydelgadas si el número de Reynolds es grande (su espesor tiende a cero cuando el número de Reynoldstiene a in�nito) y la distribución de presiones sobre el obstáculo originada por la corriente irrotacional,no viscosa, es tal que su proyección en la dirección del movimiento (resistencia de presión) es nula,independientemente de la forma del obstáculo (paradoja de D'Alembert). Para valores �nitos, perograndes, del número de Reynolds, la presencia de la capa límite y estela modi�ca sólo muy ligeramentela distribución de presiones sobre el obstáculo y la fuerza sustentadora sobre el mismo. Por otra parte,la resistencia de forma no será exactamente cero, como indica el resultado de D'Alembert, aunque símucho menor que la resistencia de fricción, que es en este caso la contribución más importante a laresistencia total.

El estado de cargas aerodinámicas no queda de�nido únicamente por la sustentación y la resisten-cias, es preciso conocer el punto de aplicación de estas fuerzas o en su defecto expresar el valor delmomento producido por las fuerzas aerodinámicas en algún punto de referencia. Para calcular el mo-mento de cabeceo sólo consideramos la fuerza perpendicular a la corriente (la sustentación), es decir,despreciamos la contribución de la resistencia al momento de cabeceo. En Aerodinámica los momentosse suelen referir al llamado centro aerodinámico, un punto que en régimen subsónico está situado auna distancia c/4 del borde de ataque del per�l y que tiene la particularidad de que en él el coe�cientede momento es independiente del ángulo de ataque siempre que dicho ángulo de ataque sea pequeño.El momento respecto al centro aerodinámico, mca , está relacionado con el coe�ciente de momento decabeceo del per�l mediante la expresión:

mca = 12ρU

2∞c

2 (y) cmca

, donde el coe�ciente de momento de cabeceo del per�l en el centro aerodinámico es:

Cmca=−1c2 (y)

c∫0

[Cp,l (X)− Cp,u (X)](X − c

4

)dX (5.5)

, donde el coe�ciente es positivo si el momento es de encabritado y negativo si es de picado.

5.2. Comportamiento del potencial de velocidades. Compara-

ción con Teoría Linealizada de Alas en Régimen Subsónico.

Aquí cabe comentar que se ha impuesto una condición de Kutta linealizada. Si recordamos lacondición de Kutta tal y como se impone en la Teoría Linealizada (que es como se ha impuesto aquí alcódigo de paneles tridimensional) se impone que en el borde de salida y en la estela se cumpla (véaseel apartado 2.2.2):

γy (x, y, 0) = 2uA (x, y, z = 0+) = 0

, donde uA indica la componente según x (recordemos que en el apartado 2.2.2 el eje x que sede�nió era paralelo a la corriente incidente sin perturbar) de la velocidad de perturbación del problemaantisimétrico. Por lo que si resolviésemos el problema por métodos exclusivos de la Teoría Linealizada,en el borde de salida y estela esperaríamos una velocidad horizontal total:


vx (x, y, z = 0) = U∞ + uS (x, y, z = 0)

(recuérdese de la tabla 2.1 que en el problema simétrico de perturbación u es continua a travésdel plano z = 0 ). Vemos entonces que la velocidad que se obtendría en borde de salida y estelasería aproximadamente igual a la corriente incidente, ya que uS (x, y, z = 0) � U∞ . Sin embargo, siutilizásemos la expresión del coe�ciente de presiones sin linealizar:

Cp = 1−(|~v|2U∞

)2

e imponemos que el borde de salida sea un punto de remanso (ya que el borde de salida es anguloso,no de retroceso, y por lo tanto para que el campo de velocidades sea unievaluado debe haber un puntode remanso en el borde de salida), tendríamos una velocidad total nula. Seguidamente la velocidad enla estela sí se aproximaría al valor de la corriente incidente sin perturbar. Es por esto que aunque enel borde de salida tengamos esta diferencia de velocidades al imponer la condición de Kutta lineal olineal, al ser sólo un punto las soluciones no diferirán mucho entre sí.

Debemos comentar también la diferencia en los argumentos que conducen a la imposición de lacondición de Kutta lineal o no lineal:

En la condición de Kutta lineal la condición γy (x, y, 0) = 2uA (x, y, z = 0+) = 0 se obtiene deimponer que en el borde de salida no puede haber diferencia de presiones. Sin embargo, bajo elcontexto de la Teoría Linealizada la forma en que se impone esta condición (ecuación (2.23), quees la que se impone en el sistema de ecuaciones �nal como condición de Kutta (véase la ecuación(3.23)) implica imponerla también en la estela.

En la condición de Kutta no lineal la condición de que el borde de salida sea un punto de remansose obtiene explícitamente de imponer que el campo de velocidades tiene que ser unievaluado en elborde de salida. Nótese que en este caso no se impone condición ninguna sobre la estela (aunquepara la resolución se haya de suponer una posición de la estela).

En el Método de Paneles tridimensional la velocidad en el borde de salida es tangente al panel de ex-tradós e intradós respectivamente. La proyección sobre la dirección paralela a la corriente sin perturbarserá mucho mayor que en su perpendicular, por lo que esperamos que el módulo de la velocidad en elMétodo de Paneles tridimensional (aunque tangente a cada panel) sea en módulo muy parecida a lacorriente incidente (véase la �gura 5.3).

Figura 5.3: Comportamiento en el borde de salida.


5.2.1. Problema simétrico.

Vamos a presentar aquí a modo ilustrativo la resolución de un problema simétrico. Para ello vamosa escoger por ejemplo un ala con las siguientes características:

Cuerda en la raíz: 1 m.

Cuerda en la punta: 0.5 m.

Envergadura: 6 m.

Flecha en c/4 : 20 grados.

Per�l del ala: NACA 0012.

Ángulo de ataque: 0 grados.

U∞ = 200 (m/s)

Vamos a representar ahora algunas variables tras la resolución del problema en función de la forma enplanta del ala. Para la resolución de este �ujo se malló el ala con 24 paneles en la dirección X y 12paneles en la dirección Y.

Figura 5.4: Velocidad tangente al panel contenida en el plano XZ global.


Figura 5.5: Velocidad tangente al panel contenida en el plano YZ global.

Figura 5.6: Representación parcial del campo de velocidades sobre el ala.


Figura 5.7: Coe�ciente de presiones (con signo contrario).

Vemos que aparecen algunos aspectos que debemos comentar:

Simetría de la solución con respecto al plano Y = 0 .

Nótese la diferencia en orden de magnitud de la velocidad según el eje Y global y el eje X global,digamos que |Vx|

|Vy| > 10 .

Al ser un problema simétrico obtenemos exactamente el mismo �ujo tanto en extradós como enintradós, por lo que la sustentación local (y global) será nula.

Podemos observar cómo la velocidad según el eje Y local va aproximadamente a cero al bordede salida, tal y como se predijo con la Teoría Linealizada, de tal manera que en un problemasimétrico no hay torbellinos en borde de salida y estela.

Tras haber re�nado la malla en la zona próxima al borde de ataque, el código es capaz derepresentar perfectamente el pico de succión que ocurre en el borde de ataque, observándosecomo inicialmente la presión decae para luego incrementarse a ritmo más o menos constante,enfrentándose la corriente a un gradiente adverso de presión.

A continuación mostramos las mismas variables pero en según diversos cortes a lo largo de la enver-gadura. Como la solución es simétrica respecto de Y = 0 mostramos la solución sólo para Y ≥ 0.



5.2.2. Problema no simétrico.

Vamos a presentar aquí un resultado característico de un problema no simétrico. Para ello vamosa escoger por ejemplo un ala con las siguientes características:




Envergadura: 6 m.




U∞ = 200 (m/s)

Vamos a representar ahora algunas variables tras la resolución del problema en función de la forma enplanta del ala. Para la resolución de este �ujo se malló el ala con 24 paneles en la dirección X y 12paneles en la dirección Y.




A continuación vamos a presentar donde podemos apreciar cualitativamente el torbellino en elborde de salida que ocasiona una cortadura en la velocidad según el eje Y. En la siguiente �gura laescala para la componente X de la velocidad y la componente Y de la velocidad no es la misma.


Cabe destacar aquí:


Aparecen torbellinos desprendidos del ala en el problema antisimétrico, tal y como se predijo conlos métodos de la Teoría Linealizada.

El coe�ciente de presiones va aproximadamente a cero (tanto en extradós como en intradós), taly como se discutió anteriormente. o lo que es lo mismo, la velocidad según el eje X global vaaproximadamente a U∞ .

Como se hizo anteriormente, se va a hacer la representación a lo largo de diversos cortes según laenvergadura. Nótese la discontinuidad que se presenta para la velocidad según Y en el borde de salida(véase la �gura 5.17)


5.3. Validación del método.

5.3.1. Per�les simétricos.

En este apartado vamos a comparar los resultados obtenidos con el código desarrollado con resul-tados experimentales extraídos de la referencia [13], donde se dispone de resultados tabulados paraper�les NACA simétricos. En las siguientes �guras se muestra la comparación entre resultados ex-perimentales y los resultados obtenidos por el código. Nótese que al ser los resultados experimentalesreferidos a per�les, en el código se ha hecho la �echa del ala nula, tapper nulo y además un alargamien-to grande (digamos del orden de 10). Después lo que se ha representado ha sido la distribución delcoe�ciente de presiones a lo largo de la cuerda del per�l central del ala. Nótese que la imposición dela condición de Kutta lineal en el Método de Paneles no tiene apenas in�uencia en la distribución depresiones a lo largo de todo el ala, pudiéndose observar que la imposición de la condición de Kutta deforma lineal o no lineal sólo afecta localmente al borde de salida, con lo cual los resultados globalessobre el ala (fuerzas y momentos) casi no se verán afectados.

Figura 5.19: Per�l NACA 0006.


Como se puede observar, al tratarse de un problema simétrico tenemos que la solución necesari-amente será simétrica (nótese que el ángulo de ataque es cero). Vemos cómo el código representaperfectamente el comportamiento del �ujo sobre el obstáculo. Hay que hacer notar aquí que al com-pararse el código directamente con resultados experimentales, estamos introduciendo otro error añadidoya que en el método de paneles hemos considerado incompresibilidad y efectos viscosos despreciables.Asímismo, nótese que al ser mayor el espesor del per�l, mayores serán los gradientes adversos de pre-sión que se encuentra el �uido y por tanto más in�uencia tendrá la viscosidad sobre el �ujo real. Deaquí que haya un poco más diferencia entre el código y los resultados experimentales cuando el espesordel per�l es mayor.

Es decir, el grado de acuerdo entre los resultados teóricos, obtenidos suponiendo �uido no viscoso,y los experimentales depende del comportamiento de la capa límite que se desarrolla sobre la super�ciedel obstáculo. En el caso de un cuerpo con geometría fuselada a ángulos de ataque moderadamentebajos, la capa límite está adherida sobre toda o la mayor parte de la super�cie del obstáculo; por elcontrario, cuando el ángulo de ataque es grande o el obstáculo posee forma roma, la capa límite sesepara debido al fuerte crecimiento que experimenta la presión a partir del punto donde alcanza suvalor mínimo, que generalmente está situado en un una posición próxima a la del punto de máximoespesor del obstáculo.

Los experimentos indican que si la capa límite no se separa (o en caso contrario, si lo hace cercadel borde de salida, de modo que la capa límite está adherida sobre la mayor parte de su super�cie), lateoría no viscosa predice muy aproximadamente algunas de las características de la corriente alrededorde obstáculos a muy altos números de Reynolds; por ejemplo, la distribución de presiones sobre elobstáculo o la fuerza sustentadora que éste experimenta.

Aún en los casos en que hay separación de la capa límite existen regiones amplias de la corriente�uida que no están afectadas por la viscosidad. Sin embargo, la aplicación de la teoría ideal para elcálculo del �ujo en estas regiones no tiene éxito por las razones siguientes:

La frontera de la capa límite separada no es conocida y su posición no puede determinarsemediante una teoría no viscosa.

Las regiones no viscosas están afectadas por la no estacionariedad de la estela, que introducefrecuencias de cambio asociadas al desprendimiento de la capa límite, que es un fenómeno esen-cialmente no estacionario.

Cabe destacar también que la imposición de la condición de Kutta lineal (y por lo tanto el coe�cientede presiones va a cero en lugar de a uno) casi no tiene efecto en la distribución de presiones sobreel obstáculo. Podemos comprobar esto comparando cómo para los resultados experimentales tenemoscp = 1 en el borde de salida y para los resultados obtenidos con el Método de Paneles tridimensionaltenemos cp ≈ 0 y sin embargo la distribución de presiones sobre el obstáculo es casi la misma en amboscasos.

5.3.2. Per�les no simétricos.

En este apartado vamos a comparar, tal y como se ha hecho en el apartado 5.3.1, los resultadosobtenidos con el Método de Paneles tridimensional para un ala sin �echa y de alargamiento orden 10con un Método de Paneles bidimensional para el caso de per�les no simétricos1.

1Distribución de presiones obtenidas en el caso bidimensional por el software Javafoil, desarrollado por el Dr. Martin

Hepperle. Braunschweig, Germany. Este software puede encontrarse en el sitio web http://www.mh-aerotools.de/


Figura 5.28: Per�l NACA 1408 a ángulo de ataque cinco grados.

De nuevo podemos observar que la imposición de la condición de Kutta lineal en el Método de Pan-eles tridimensional no afecta notablemente a la distribución de presiones sobre el obstáculo. De hecho,las variables globales dan muy parecidas en ambos métodos. Calculando el coe�ciente de sustentacióndel per�l y el coe�ciente de momento en el centro aerodinámico (negativo cuando es de picado) conlos resultados del Método de Paneles tridimensional tenemos (según las ecuaciones (5.2) y (5.5)):

Cl = 0,5770

Cmca= −0,0155

Se dispone también de algunos resultados tabulados para per�les no simétricos. Por ejemplo, pode-mos encontrar resultados experimentales tabulados para el per�l NACA 4412 en la referencia [16].Para distintos ángulos de ataque tenemos:


Figura 5.29: Per�l NACA 4412 a ángulo de ataque 0 grados.




Figura 5.32: Per�l NACA 4412 a ángulo de ataque -2 grados.


Vemos cómo en el caso de problemas antisimétricos, para el coe�ciente de presiones en extradós ycerca del borde de ataque, se puede apreciar una ligera diferencia entre los resultados experimentalesy los obtenidos con el Método de Paneles tridimensional. Este hecho también aparece en el caso deutilizar un Método Potencial bidimensional, como puede encontrarse en la referencia [16] (aquí sepropone una modi�cación a la teoría bidimensional para mostrar un mayor acuerdo con los resultadosexperimentales). En esta referencia se describe cómo la diferencia entre resultados experimentales y losproporcionados por los Métodos Potenciales di�eren más en zonas de bajas presiones (alta velocidad), yademás la diferencia aumenta conforme aumenta el ángulo de ataque. Esto se traduce en una variaciónen parámetros globales como el momento de cabeceo y la sustentación. En la �gura FIGURA podemosencontrar una comparación entre los resultados obtenidos por el Método de Paneles tridimensional yresultados experimentales en función del ángulo de ataque. Véase que la diferencia entre parámetrosglobales del per�l es menor que para los parámetros locales. La tendencia es la misma que se describeen la referencia [16], donde por ejemplo con los método potenciales obtenemos un valor de ∂Cl/∂αmayor que en el caso de los resultados experimentales.

Figura 5.33: Coe�ciente de sustentación y de momento de cabeceo para el per�l NACA 4412 en funcióndel ángulo de ataque.

Esta diferencia entre resultados experimentales y potenciales se debe al hecho de que no se estánconsiderando los efectos viscosos (ya que además las diferencias aumentan al aumentar el ángulo deataque). Es de esperar que si utilizásemos un Método Potencial aplicado sobre la forma del obstáculomodi�cada (por el espesor de la capa límite) obtuviésemos un grado de acuerdo mayor.

5.3.3. Comparación con otras teorías. Método de Vortex Lattice.

5.3.3.1. Ecuación de la super�cie sustentadora.

Sea el eje x paralelo a la corriente sin perturbar, tal y como se de�nió en el apartado 2.2. En estecaso lo que se va a hacer es plantear la ecuación de Green para la velocidad horizontal de perturbación


u en el problema sustentador. Nótese que con el método de Vortex Lattice no estamos interesados encalcular la presión en extradós e intradós por separado, sino su diferencia para calcular la contribucióna la sustentación. De modo que el desarrollo que se va a seguir ahora aplica al problema sustentadorlinealizado, tal y como se describió en el apartado 2.2.1. Aplicando entonces la ecuación de Green ysiguiendo el desarrollo realizado en la referencia [8] se tiene �nalmente:

w(x, y, 0+

)=

12π

∫F.P.

u (x0, y0, 0+)(y − y0)2

1 +x− x0[

(x− x0)2 + (y − y0)2]1/2

dx0dy0 (5.6)

Ahora bien, el resultado obtenido en la ecuación (5.6) puede ser interpretado en términos de her-raduras de torbellinos.

Figura 5.34: Herradura de torbellinos.

Consideremos la herradura de torbellinos de intensidad Γ > 0 representada en la �gura 5.34 en laque el plano que contiene a la herradura coincide con z = 0 . Como ya sabemos, la velocidad verticalinducida por la línea de torbellinos es:

w (x, y, 0+) = Γ4π

[− 1y−y0

(1 + x−x0

[(x−x0)2+(y−y0)2]1/2

)+ 1

y−y0−∆y0

(1 + x−x0

[(x−x0)2+(y−y0−∆y0)2]1/2

)−

− 1x−x0

(y−y0

[(x−x0)2+(y−y0)2]1/2 + y−y0−∆y0

[(x−x0)2+(y−y0−∆y0)2]1/2

)](5.7)

Para simpli�car la escritura, llamamos:

F1 (x0, y0) = 1y−y0

[1 + x−x0

[(x−x0)2+(y−y0)2]1/2

]F2 (x0, y0) = 1

x−x0

[1 + y−y0

[(x−x0)2+(y−y0)2]1/2

], por lo que la ecuación (5.7) queda:

w (x, y, 0) = Γ4π

∂∂y0

(F1 + F2) ∆y0 = Γ4π

1(y−y0)2

[1 + x−x0

[(x−x0)2+(y−y0)2]1/2

]∆y0

, salvo términos de orden (∆y0)2 . Vemos que ahora la interpretación física de la ecuación (5.6) esevidente: la componente w de la velocidad de perturbación sobre el ala se debe a herraduras de torbelli-nos cuyas cabezas están situadas en el ala y cuyas colas se extienden hasta el in�nito paralelamente ala velocidad incidente U∞ .


5.3.3.2. Regla 1/4-3/4.

Vamos a establecer en este apartado dónde colocar la herradura de torbellinos y el punto dondeimponer la condición de contorno. En particular, lo que se hace con esta regla es extrapolar al casotridimensional a partir de resultados bidimensionales.

Placa plana.

Considérese el �ujo sobre una placa plana representado por un vórtice y un punto de control (puntodonde evaluar la condición de contorno), tal y como se muestra en la �gura 5.35. Comparando con losresultados obtenidos con la Teoría Linealizada de per�les determinaremos la distancia entre el vórticey el punto de control que produce una sustentación idéntica a la obtenida según la Teoría Linealizada.

Figura 5.35: Placa plana representa por un vórtice y un punto de control.

La velocidad en el punto de control ~vpc debido al vórtice vendrá dada por:

vpc = − Γ2πr

(5.8)

La condición de contorno de velocidad tangencial en la placa plana es:

v = −αU∞ (5.9)

Igualando las ecuaciones (5.8) y (5.9) tenemos que:

− Γ2πr = −αU∞

, y despejando para el ángulo de ataque:

α =Γ

2πrU∞(5.10)

Recordando ahora la fórmula de Kutta-Joukowsky:

l = ρΓU∞ (5.11)

y el resultado de la Teoría Linealizada de per�les (Cl = 2παsn ):

l =12ρU2∞c2πα (5.12)

(ya que en la placa plana la línea de sustentación nula corresponde con la propia cuerda). Igualandoahora las ecuaciones (5.11) y (5.12) y teniendo en cuenta la ecuación (5.10) obtenemos:


r =c

2(5.13)

La ecuación (5.13) de�ne la distancia necesaria entre el vórtice y el punto de control para que elmodelo de un simple vórtice reproduzca el resultado obtenido por la Teoría Linealizada. Nótese queal no tener la placa plana curvatura no obtenemos una ecuación que determine la distancia desde elvórtice al borde de ataque. Intuitivamente, podemos decir que el vórtice debería localizarse en el puntoc/4 , ya que es el centro aerodinámico en la placa plana.

Determinación de la posición del vórtice utilizando un modelo de cuerda parabólica.

Si ahora llamamos a a la distancia entre el borde de ataque y el vórtice y b a la distancia entre elborde de ataque y el punto de control, tenemos que la velocidad inducida en el punto de control porel vórtice es:

vpc = − Γ2π (b− a)

(5.14)

y la condición de contorno es:

v = U∞

(−α+

dzcdx

)(5.15)

Igualando ahora las ecuaciones (5.14) y (5.15) tenemos que:

− Γ2π (b− a)U∞

= −α+dzcdx

(5.16)

Para una cuerda parabólica (tal que zc (x = 0) = 0 , zc (x = c) = 0 y zc (x = c/2) = δ ), es decirzc (x) = 4δ

(xc

)(c− x) , tenemos:

dzc

dx = 4δ[1− 2

(xc

)], por lo que la ecuación (5.16) queda:

− Γ2π (b− a)U∞

= −α+ 4δ[1− 2

(xc

)](5.17)

Utilizando ahora de nuevo los resultados de la Teoría Linealizada tenemos que:

l = 12ρU

2∞c2π (α+ 2δ)

, y como l = ρΓU∞ queda:

Γ = U∞cπ (α+ 2δ) (5.18)

Introduciendo ahora la ecuación (5.18) en (5.17) y particularizando en x = b tenemos que:

−πU∞c(α+2δ)2π(b−a)U∞

= 4δ[1− 2

(bc

)]− α

, o lo que es lo mismo:

−12

(c

b− a

)(α+ 2δ) = 4δ

[1− 2

(b

c

)]− α (5.19)

Para que la ecuación (5.19) se cumpla para cualesquiera valores de α y δ tiene que ser:

− 12

(cb−a

)= −1


−(

cb−a

)= 4

[1− 2

(bc

)], de donde obtenemos a y b, obteniéndose:

(b− a) = c2 (resultado igual al ya obtenido r = c

2 )

a = c4

Vemos entonces que el vórtice se localiza en el punto c/4 , mientras que el punto de control selocaliza en el punto 3c/4 . Esto es lo que se conoce como la regla 1/3-3/4. No es una ley teórica, essimplemente una regla que funciona bien y que es ampliamente utilizada, ya que ha demostrado darbuenos resultados en la práctica. Fue descubierta por Italian Pistolesi.

5.3.3.3. Método clásico de Vortex Lattice.

En este apartado vamos a proceder a la implementación clásica del método de Vortex Lattice. Seutilizará la regla 1/4-3/4, y procederemos como sigue:

Dividimos la forma en planta en un entramado (lattice) de cuadriláteros, en cada uno de loscuales establecemos una herradura de torbellinos.

Colocamos el torbellino ligado de la herradura de torbellinos en la línea de cuerda 1/4 de cadapanel.

Colocamos el punto donde imponemos la condición de contorno en la línea de cuerda 3/4 de cadapanel, en la mitad según la dirección de la envergadura.

Asumimos estela plana como hemos hecho hasta ahora.

Determinamos las intensidades Γn requeridas para satisfacer la condición de contorno de nopenetrabilidad en el obstáculo, resolviendo un sistema de ecuaciones lineal.

La implementación se muestra esquemáticamente en la �gura 5.36.

Figura 5.36: Modelo de herraduras de torbellinos.


Vamos a obtener ahora la velocidad inducida por una herradura de torbellinos en un puntocualquiera ~xm para implementarlo numéricamente. Para ello, vamos a derivar la expresión generaly después particularizaremos al caso en el que no hay diedro y el punto ~xm está contenido en el planode la herradura de torbellinos, es decir, (x, y) . La expresión general (véase la �gura 5.37) para lavelocidad en el punto (xm, ym, zm) debida a una herradura de torbellinos situadas en los puntos A((x1n, y1n, z1n) ) y B ((x2n, y2n, z2n) ) es:

~v = ~vAB + ~vA∞ + ~vB∞

Figura 5.37: Herradura de torbellinos discreta.

Velocidad inducida en el punto ~xm = (xm, ym, zm) debida al torbellino del segmento AB.

Utilizando la ley de Biot-Savart que nos proporciona la velocidad inducida por una línea de torbellinosde longitud �nita e intensidad Γ tenemos (véase la �gura 5.38):

~vAB =Γn4π

~r1 ⊗ ~r2

|~r1 ⊗ ~r2|2

[~r0 ·

(~r1

|~r1|− ~r2

|~r2|

)](5.20)


Figura 5.38: Notación para la aplicación de la ley de Biot-Savart.

Si llamamos:

~f1 = ~r1⊗~r2|~r1⊗~r2|2

f2 = ~r0 ·(~r1|~r1| −

~r2|~r2|

), y expresando estas funciones ya en los ejes cartesianos (x, y, z) queda:

~f1 = ~n1d1

, donde:

~n1 = [(ym − y1n) (zm − z2n)− (ym − y2n) (zm − z1n)]~ex−− [(xm − x1n) (zm − z2n)− (xm − x2n) (zm − z1n)]~ey++ [(xm − x1n) (ym − y2n)− (xm − x2n) (ym − y1n)]~ez

d1 = [(ym − y1n) (zm − z2n)− (ym − y2n) (zm − z1n)]2 ++ [(xm − x1n) (zm − z2n)− (xm − x2n) (zm − z1n)]2 ++ [(xm − x1n) (ym − y2n)− (xm − x2n) (ym − y1n)]2

y:

f2 = n2d2− n3

d3

, donde:

n2 = [(x2n − x1n) (xm − x1n) + (y2n − y1n) (ym − y1n) + (z2n − z1n) (zm − z1n)]


n3 = [(x2n − x1n) (xm − x2n) + (y2n − y1n) (ym − y2n) + (z2n − z1n) (zm − z2n)]

d2 =√

(xm − x1n)2 + (ym − y1n)2 + (zm − z1n)2

d3 =√

(xm − x2n)2 + (ym − y2n)2 + (zm − z2n)2

Velocidad inducida en el punto ~xm = (xm, ym, zm) debida a los torbellinos de los segmentos A∞y B∞ .

Para este caso empleamos la misma fórmula pero rede�niendo los puntos extremos del segmento.Manteniendo la notación para los puntos A (1 ) y B (2 ), haciendo el otro extremo del segmento tendera in�nito tenemos:

~vA∞ =Γn4π

[(zm − z1n)~ey + (y1n − ym)~ez

(zm − z1n)2 + (y1n − ym)2

]1 +(xm − x1n)√

(xm − x1n)2 + (ym − y1n)2 + (zm − z1n)2

(5.21)

~vB∞ = −Γn4π

[(zm − z2n)~ey + (y2n − ym)~ez

(zm − z2n)2 + (y2n − ym)2

]1 +(xm − x2n)√

(xm − x2n)2 + (ym − y2n)2 + (zm − z2n)2

(5.22)

Vemos que en las ecuaciones (5.20), (5.21) y (5.22) aparece el factor Γn linealmente, por lo quepodemos escribir en forma mucho más compacta la velocidad inducida por la herradura de torbellinosen el punto ~xm :

~vm = ~CmnΓn

, donde ~Cmn es un vector de dimensión 3 (vector de coe�cientes de in�uencia), es decir:

~Cmn =[(~Cmn

)x,(~Cmn

)y,(~Cmn

)z

]La velocidad inducida en ~xm por la totalidad de las N herraduras de torbellinos representando la

super�cie será:

~vm,ind =N∑n=1

CmnΓn = um,ind~ex + vm,ind~ey + wm,ind~ez

Ahora bien, la solución requiere que la condición de contorno se satisfaga para la velocidad total,que será la suma de la inducida por todas las herraduras de torbellinos más la de la corriente incidente.Como el eje x es paralelo a la corriente incidente sin perturbar tenemos:

~V∞ = V∞~ex

Entonces, la velocidad total en el punto ~xm vendrá dada por:

~vm = (V∞ + um,ind)~ex + vm,ind~ey + wm,ind~ez


Las incógnitas Γn se determinan imponiendo la condición de contorno de no penetrabilidad en elobstáculo, ~V · ~n = 0 . Nótese que la normal a la super�cie F (x, y, z) = 0 viene dada por (aplicando lacondición de contorno en el punto ~xm ):

[(V∞ + um,ind)~ex + vm,ind~ey + wm,ind~ez] ·[∂F

∂x~ex +

∂F

∂y~ey +

∂F

∂z~ez

]= 0 (5.23)

Llamando:

um,ind =(

N∑n=1

~Cmn

)x

Γn

vm,ind =(

N∑n=1

~Cmn

)y

Γn

wm,ind =(

N∑n=1

~Cmn

)z

Γn

podemos escribir la ecuación (5.23) como:

∂F

∂x

[V∞ +

(N∑n=1

~Cmn

)x

Γn

]+∂F

∂y

(N∑n=1

~Cmn

)y

Γn +∂F

∂z

(N∑n=1

~Cmn

)z

Γn = 0 (5.24)

Ahora bien, como nuestra super�cie F (x, y, z) = 0 vendrá de�nida por z = f (xl, yl) tenemos queF (x, y, z) = z− f (x, y) (teniendo en cuenta que lo que nos interesa es la normal exterior al obstáculo)y por lo tanto:

∂F∂x = −∂f∂x∂F∂y = −∂f∂y

∂F∂z = 1

, por lo que la ecuación (5.24) queda:

N∑n=1

[(~Cmn

)z− ∂f

∂x

(~Cmn

)x− ∂f

∂y

(~Cmn

)y

]Γn = V∞

∂f

∂x= V∞

(dzcdx− α

), m = 1, ..., N

(5.25)La ecuación (5.25) resuelve el problema de Vortex Lattice. Para el caso en que no haya super�cies

verticales tenemos que:

N∑n=1

(~Cmn

)zΓn = V∞

(dzc

dx − α), m = 1, ..., N

5.3.3.4. Comparación de resultados.

Vamos a presentar aquí una comparación de resultados para distintos casos entre el Método dePaneles tridimensional y el Método de Vortex Lattice. En ambos casos se han �jado las siguientescaracterísticas:




Envergadura: 6 m.




U∞ = 200 (m/s)

Tras la resolución del problema de Vortex Lattice lo que tenemos son las circulaciones Γk en cada panel.Si tenemos en cuenta que la sustentación producida por un panel será (véase la �gura FIGURA):

∆L = 12ρU

2∞ (Cp,l − Cp,u) ∆x∆y = ρU∞Γk∆y

Figura 5.39: Dimensiones del panel.

, la diferencia de presiones entre intradós y extradós en función de la circulación hallada en cadapanel será:

Cp,l − Cp,u = 2Γk

U∞∆x


Figura 5.40: cp,intrados−cp,extrados .

Tenemos que hacer notar que el Método de Vortex Lattice:

No proporciona la distribución de presiones de forma separada en extradós e intradós, sólo ladiferencia. Esto hay que tenerlo en cuenta por ejemplo si quisiésemos desarrollar algún método


de líneas para calcular la capa límite, viendo que deberíamos recurrir necesariamente al Métodode Paneles tridimensional.

Como ya se ha comentado, en el Método de Vortex Lattice no se tiene en cuenta el espesor,atribuyéndose el efecto sustentador únicamente a la curvatura y el ángulo de ataque.

Lo que calculamos a través del Método de Vortex Lattice es la velocidad perpendicular al planodel ala y la velocidad según el eje x paralelo a la corriente incidente, no la velocidad según laenvergadura.

Al aplicar el Método de Vortex Lattice se está haciendo la simpli�cación adicional de que alser el ángulo de ataque pequeño el eje X global y el eje x paralelo a la corriente incidente sinperturbar son prácticamente coincidentes. Esto se asumió implícitamente en su formulación, yaque se supuso ala y estela representadas por herraduras de torbellinos rectas y además que lascolas de las herraduras eran convectadas según la dirección de la corriente incidente sin perturbar.Véase la �gura 5.41.

Figura 5.41: Di�cultad del Método de Vortex Lattice. Se resuelve asumiendo ángulos de ataque pe-queños.

Como se ha comentado, el Método de Vortex Lattice no tiene en cuenta el efecto del espesor en lasustentación, ya que en su formulación sólo in�uyen la curvatura y el ángulo de ataque. Para ver siesta aproximación es lo su�cientemente buena vamos a presentar los resultados obtenidos para per�lesNACA con la misma línea de curvatura y distinto espesor con el Método de Paneles tridimensionalcon los resultados obtenidos con el Método de Vortex Lattice (que para todos los per�les serán igualesya que la línea de curvatura es la misma).


Figura 5.42: Per�l NACA 1410 en Método de Paneles tridimensional. Línea de curvatura NACA 1400en Método de Vortex Lattice.


Figura 5.43: Per�l NACA 1412 en Método de Paneles tridimensional. Línea de curvatura NACA 1400en Método de Vortex Lattice.

Vemos cómo efectivamente el Método de Vortex Lattice reproduce bastante bien el efecto exclusi-vamente sustentador. Comparando las �guras 5.40, 5.42 y 5.43 vemos cómo la diferencia de presionesentre intradós y extradós calculada por el Método de Paneles tridimensional no varía apreciablemente


cuando cambia el espesor del per�l (y mantenemos la línea de curvatura).

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