analisis de graficos 1

En cada caso, determine para la función:

⋅ Los intervalos de crecimiento, y decrecimiento.

⋅ Los máximos, los mínimos

⋅ Los intervalos de concavidades

⋅ Los puntos de inflexión

Además realice un gráfico aproximado de la función

1. fx = 2x3 − 9x2 + 12x − 3

f ′

x = 6x2 − 18x + 12

f ′

x = 6x − 1x − 2

f ′

x = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2

valores críticos: x = 1 , x = 2

−∞ 1 1 2 2 + ∞

x − 1 − + +

x − 2 − − +

f ′

x = 6x − 1x − 2 + − +

fx ↗ ↘ ↗

f es estrictamente creciente en −∞ , 1 , en 2 , + ∞

f es estrictamente decreciente en 1 , 2

f1 es valor máximo local (relativo)

f2 es valor mínimo local (relativo)

f ′′

x = 12x − 18

f ′′

x = 62x − 3

f ′′

x = 0 ⇔ x = 32

−∞ 32

32 + ∞

2x − 3 − +

f ′′

x = 62x − 3 − +

fx ∩ ∪

La gráfica de f es cóncava hacia arriba (convexa) en 32 , + ∞

La gráfica de f es cóncava hacia abajo (cóncava) en −∞ , 32

El punto de inflexión es 32 , f

32

Gráfico

2. fx = x − 13 + 2

f ′

x = 3x − 12

f ′

x ≥ 0

f es creciente en IR

No hay valores extremos locales (relativos)

f ′′

x = 6x − 6

f ′′

x = 6x − 1

f ′′

x = 0 ⇔ x = 1

−∞ 1 1 + ∞

x − 1 − +

f ′′

x = 6x − 1 − +

fx ∩ ∪

La gráfica de f es cóncava hacia arriba (convexa) en 1 , + ∞

La gráfica de f es cóncava hacia abajo (cóncava) en −∞ , 1

El punto de inflexión es 1 , f1

Gráfico

3. fx = 6x4 − 8x3

f ′

x = 24x3 − 24x2

f ′

x = 24x2x − 1

f ′

x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1

valores críticos: x = 0 , x = 1

Observación: Si Ud. desea , el valor crítico x = 0 lo puede omitir,

pues x2 ≥ 0 ∀x ∈ IR

−∞ 0 0 1 1 + ∞

x2 + + +

x − 1 − − +

f ′

x = 24x2x − 1 − − +

fx ↘ ↘ ↗

f es estrictamente creciente en 1 , + ∞

f es decreciente en −∞ , 1

f1 es valor mínimo local (relativo)

No hay valor máximo local (relativo)

f ′′

x = 72x2 − 48x

f ′′

x = 24x3x − 2

f ′′

x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 23

−∞ 0 0 23

23 + ∞

x − + +

3x − 2 − − +

f ′′

x = 24x3x − 2 + − +

f ′′

x ∪ ∩ ∪

La gráfica de f es cóncava hacia arriba (convexa) en

−∞ , 0 ∪ 23 , + ∞

La gráfica de f es cóncava hacia abajo (cóncava) en 0 , 23

Puntos de inflexión: 0, f0 y 23 , f

23

Gráfico

4. fx = 8 − x4 − 8x3 − 18x2

f ′

x = −4x3 − 24x2 − 36x

f ′

x = −4xx + 32

f ′

x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −3

valores críticos: x = 0 , x = −3

Observación: Si Ud. desea , el valor crítico x = −3 lo puede omitir,

pues x + 32 ≥ 0 ∀x ∈ IR

−∞ − 3 − 3 0 0 + ∞

x − − +

x + 32 + + +

f ′

x = −4xx + 32 + + −

fx ↗ ↗ ↘

f es creciente en −∞ , 0

f es estrictamente decreciente en 0 , + ∞

No hay valor mínimo local (relativo)

f0 es valor máximo local (relativo)

f ′′

x = −12x2 − 48x − 36

f ′′

x = −12x + 3x + 1

f ′′

x = 0 ⇔ x = −3 ∨ x = −1

−∞ − 3 − 3 − 1 − 1 + ∞

x + 3 − + +

x + 1 − − +

f ′′

x = −12x + 3x + 1 − + −

fx ∩ ∪ ∩


−3 , − 1

La gráfica de f es cóncava hacia abajo (cóncava) en

−∞ , − 3 ∪ −1 , + ∞

Puntos de inflexión: −3, f−3 y −1 , f−1

Gráfico

5. fx = xex

f ′

x = ex + xex

f ′

x = ex1 + x

f ′

x = 0 ⇔ ex1 + x = 0

Como ex > 0 para todo x ∈ IR entonces

1 + x = 0 ⇔ x = −1

valor crítico: x = −1

−∞ − 1 − 1 + ∞

x + 1 − +

f ′

x = ex1 + x − +

fx ↘ ↗

f es estrictamente creciente en −1 , 0

f es estrictamente decreciente en −∞ , − 1

f−1 es valor mínimo local (relativo)

No hay valor máximo local (relativo)

f ′′

x = ex + ex + xex = 2ex + xex

f ′′

x = ex2 + x

f ′′

x = 0 ⇔ x = −2

−∞ − 2 − 2 + ∞

x + 2 − +

f ′′

x = ex2 + x − +

fx ∩ ∪


−2 , + ∞


−∞ , − 2

Punto de inflexión: −2, f−2

Gráfico

6. fx = 2x2x2 − 1

Domf = IR − −1,1

f ′x =4xx2 − 1 − 2x2 ⋅ 2x

x2 − 12

f ′x = −4xx2 − 12

f ′x = 0 ⇒ x = 0

x2 − 12 ≥ 0 para todo x ∈ IR

Si x ∈ −∞ , − 1 ∪ −1 , 0 entonces f ′x > 0

f es estrictamente creciente en −∞ , − 1 , en −1 , 0

Si x ∈ 0 , 1 ∪ 1 , + ∞ entonces f ′x < 0

f es estrictamente decreciente en 0 , 1 , en 1 , + ∞

f0 es valor máximo local y no hay valores mínimos locales.

f ′′

x =−4x2 − 12 + 4x ⋅ 2x2 − 1 ⋅ 2x

x2 − 122

f ′′

x =x2 − 1−4x2 − 1 + 16x2

x2 − 14

f ′′

x = 12x2 + 4x2 − 13

12x2 + 4 > 0 para todo x ∈ IR, por tanto, sólo hay

que conocer los intervalos donde x2 − 1 > 0 y donde

x2 − 1 < 0.

x2 − 1 = x + 1x − 1

−∞ − 1 − 1 1 1 + ∞

x + 1 − + +

x − 1 − − +

x + 1x − 1 + − +

f ′′

x + − +

fx ∪ ∩ ∪


−∞ , − 1 ∪ 1 , + ∞


−1 , 1

No hay puntos de inflexión. (Recuerde que f no está

definida en −1 ni en 1)

Asíntotas verticales: x = −1 y x = 1

Gráfico:

7. fx = x3x2 + 1

Domf = IR

f ′x =3x2x2 + 1 − x3 ⋅ 2x

x2 + 12

f ′x = x4 + 3x2x2 + 12

f ′x =x2x2 + 3x2 + 12

f ′x ≥ 0 para todo x ∈ IR

f es creciente en IR

No hay valores extremos locales.

x4 + 3x2x2 + 12

f ′′

x =4x3 + 6xx2 + 12 − x4 + 3x2 ⋅ 2x2 + 1 ⋅ 2x

x2 + 122

f ′′

x =x2 + 14x3 + 6xx2 + 1 − 4xx4 + 3x2

x2 + 14

f ′′

x = −2x3 + 6xx2 + 13

f ′′

x =−2xx2 − 3x2 + 13

f ′′

x =−2x x − 3 x + 3

x2 + 13

x2 + 1 > 0 para todo x ∈ IR, por tanto, sólo hay

que analizar el signo de x x − 3 x + 3

−∞ − 3 − 3 0 0 3 3 + ∞

x − − + +

x − 3 − − − +

x + 3 − + + +

xx2 − 3 − + − +

−2xx2 − 3 + − + −

f ′′

x + − + −

fx ∪ ∩ ∪ ∩


−∞ , − 3 ∪ 0 , 3


− 3 , 0 ∪ 3 , + ∞

Puntos de inflexión:

− 3 , f − 3 , 0, f0 y 3 , f 3

fx = x3x2 + 1

= x − xx2 + 1

ç

y = x es una asíntota oblicua del gráfico de f.

Gráfico:

En el siguiente gráfico se muestra la asíntota de ecuación y = x

8. fx = x + 3x 23

f ′

x = 1 + 3 ⋅ 23 x23 −1

f ′

x = 1 + 2x− 13

f ′

x = 1 + 2x 13

Valor crítico: x = 0 , f ′

0 no existe.

f ′

x = x 13 + 2x 13

f ′

x = 0 ⇒ x 13 + 2 = 0

x 13 = −2 ⇒ x = −8

Valor crítico: x = −8

−∞ − 8 −8 0 0 + ∞

x 13 + 2 − + +

x 13 − − +

f ′

x = x 13 + 2x 13

+ − +

fx ↗ ↘ ↗

f es estrictamente creciente en −∞ , − 8 y en

0 , + ∞

f es estrictamente decreciente en −8 , 0

f−8 es valor máximo local

f0 es valor mínimo local

f ′

x = 1 + 2x− 13 ⇒ f ′′

x = 2 ⋅ − 13 x− 13 −1

f ′′

x = −23 x

−

43 = −

23x 4

3

f ′′

x < 0 para todo x ∈ IR − 0

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en IR

No hay puntos de inflexión

Gráfico:

analisis de graficos 1

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