analisis de funciones
TRANSCRIPT
Estudio de Funciones
1º Dominio de Definicion = D f
f (x) =h(x)g(x)
AA f existe si y solo si h(x) ! 0
f(x) = h(x)2nAA f existe si y solo si h(x) $ 0
f(x) = loga h(x)6 @ AA f existe si y solo si h(x) 2 0
f(x) = arcsen h(x)6 @AA f existe si y solo si - 1 # h(x) # 1
f(x) = arccos h(x)6 @ AA f existe si y solo si - 1 # h(x) # 1
f(x) = arctag h(x)6 @AA f existe siempre D f = Dh
f (x) = h(x)6 @g(x) AA f existe si y solo si h(x) 2 0
2º Simetria o periocidad
1º f (- x) = f(x) ( f es una funcion par
2º f (- x) =- f(x)( f es una funcion impar
3º f (x + a) = f(x)( f es una funcion periodica de periodo a
3º Continuidad
a f es continua en a , limx"a
f(x) = f(a) = n d R
b f es continua en a , limx"a+
f (x) = limx"a-
f (x) = f(a) = n d R
la b se utiliza en funciones a trozos, tambien para ver si la funcion
es continua o no en el punto que esta excluido del dominio de definicion
casos de continuidad evitable
1 limx"a
f (x) ! f (a)
2 limx"a
f (x) = n y f(a) no existe
Teorema de BOLZANO
sif a^ h es de distinto signo que f b^ hf x^ h es continua en a,b6 @( ( 7 c d a,b@ 6 tal que f c^ h = 0
4º Derivabilidad
para que una funcion sea derivable en x = a antes tiene que ser continua en x = a
lf a^ h = limx"a x - a
f x^ h - f a^ hó
lf a-^ h = limh"0- h
f a + h^ h - f a^ hlf a+^ h = lim
h"0+ hf a + h^ h - f a^ hZ
[
\
]]]]]]]]]]]]
si lf a+^ h = lf a-^ h & f es derivable en af derivable en a & f continua en a
f continua en a( f derivable en a
en lo ultimo de este resumen de funciones se encuentra la tabla de derivadas
que habra que memorizar muy bien porque seran muy valiosos para los integrales
5º Corte con los ejes
** corte con el eje y
x = 0 , y = f(0)
** corte con el eje x
y = 0, f (x) = 0 se resuelve sacando los valores de x
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
Algunos casos particulares
si y = h(x)n; y = 0, h(x) = 0
si y = loga h(x)6 @ ; y = 0, h(x) = 1
si y = sen h(x)6 @ ; y = 0, h(x) = kr k d Z
si y = cos h(x)6 @ ; y = 0, h(x) =! 2r + 2kr k d Z
si y = tag h(x)6 @ ; y = 0, h(x) =h(x) = kr k d Z
h(x) !! 2r + 2kr k d Z
*si y = arcsen h(x)6 @ ; y = 0, h(x) = 0
si y = arccos h(x)6 @ ; y = 0, h(x) = 1
si y = arctan h(x)6 @ ; y = 0, h(x) = 0
6º Asintotas
*** Asintotas verticales
se fija en los puntos que estan excluidos de D f por ejemplo D f = R - a" ,pues si lim
x"af(x) = 3( x = a es la asintota vertical
se calcula :
limx"a+
f (x) =+3 ; limx"a-
f (x) =+3 asi ver el sentido de la curva respecto a la asintota vertical
(ver imagen de abajo para entenderlo) .
- -
limx"a-
f (x) =+3 limx"a+
f (x) =+3
$ asintota vertical
a eje x
limx"a+
f (x) =-3 ; limx"a-
f (x) =-3 asi ver el sentido de la curva respecto a la asintota vertical
(ver imagen de abajo para entenderlo) .
a eje x
$ asintota vertical
limx"a-
f (x) =-3 limx"a+
f (x) =-3
. .
** Asintota horizontal
se calcula (limx"3
f (x) = a ; a d R)( y = a es la asintota horizontal
** Posicion de la curva respecto a la asintota Horizontal
si limx"+3
(f (x) - a) = b 1 0 & la curva va por debajo de la asintota cuando x "+3
si limx"-3
(f (x) - a) = b 1 0 & la curva va por debajo de la asintota cuando x "-3
(ver imagen de abajo para entenderlo)
Y
limx"-3
(f (x) - a) = b 1 0 limx"+3
(f (x) - a) = b 1 0a
$ asintota Horizontal
X
eje y
eje y
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
si limx"+3
(f (x) - a) = b 2 0 & la curva va por encima de la asintota cuando x "+3
si limx"-3
(f (x) - a) = b 2 0 & la curva va por encima de la asintota cuando x "-3
(ver imagen de abajo para entenderlo)
Y
limx"-3
(f (x) - a) = b 2 0 limx"+3
(f (x) - a) = b 2 0
a$ asintota Horizontal
X
Los puntos de corte entre f x^ hy la asintota horizontal es: calcular f x^ h = a & x = c & c, f c^ h^ hes el punto de corte.** Asintota Oblicua
si a = 3 , es decir limx"3
f (x) = 3 & no hay asintota horizontal asin que habra que estudiar
la asintota oblicua que es de la forma y = mx + n tal quem = lim
x"3 xf(x)
; m ! 0 ; m ! 3
n = limx"3
(f (x) - mx) ; n ! 3
Z
[
\
]]]]]]]]]]
si
n = limx"3
f x^ h - mx6 @ = 3 & la curva tiene una rama parabolica de direccion la recta y = mx
m = limx"3 x
f(x)= 0 & la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje ox
m = limx"3 x
f(x)= 3 & la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
*** Aveces es mejor hallar los puntos de corte entre la curva y la asintota oblicua que se hace de la
seguiente manera:y = mx + n
y = f x^ h' ( f x^ h = mx + n & x = c & c, f c^ h^ h es el punto de corte*** Siempre hay que calcular la posicion de la curva respecto a la asintota oblicua
f x^ h - mx + n^ h 2 0 & la curva esta por encima de la asintota oblicua
o bien
limx"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0 ; limx"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0
limx"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0
X$ asintota oblicua y = mx + n
limx"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0
f x^ h - mx + n^ h 1 0 & la curva esta por debajo de la asintota oblicua
o bien
limx"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0 ; limx"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0
limx"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0
X
asintota oblicua y = mx + n "
limx"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0
Observacion:
** si hay asintota horizontal & no hay oblicua
** si no hay asintota horizontal & puede que haya oblicua
Y
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
7º Monotonia,Puntos criticos
Maximo,Minimo,Creciente y Decreciente
Supongamos que D f = R - b" ,1 hallaremos lf x^ h2 calcular lf x^ h = 0( x = a
3 hacer la tabla donde aparecen todos los valores excluidos de D f y los que anulan lf x^ h_ ix - 3 a b + 3 se coge un nº de los intervalos
lf x^ h 5 0 6 5 y se remplaza en lf x^ hpara ver si esf x^ h 3 f a^ h 4 3 +& f es creciente 3
a, f a^ h^ h maximo -& f es decreciente 4
x - 3 a b + 3
lf x^ h 6 0 5 5
f x^ h 4 f a^ h 3 3
a, f a^ h^ h minimo
** si lo que queremos es hallar sólo los maximos y minimos
1 calcular lf x^ h2 lf x^ h = 0( x = a
3 hallar mf x^ h, luego si** mf a^ h 1 0( a, f a^ h^ hes un maximo** mf a^ h 2 0( a, f a^ h^ hes un minimo** mf a^ h = 0 y nf a^ h ! 0( a, f a^ h^ hes un punto de inflexion
** Ahora si nf a^ h = 0
......asi sucesivof4 a^ h 2 0( a, f a^ h^ hminimof4 a^ h 1 0( a, f a^ h^ hmaximo*
8º Concavidad,Punto inflexion
1 calcular mf x^ h2 hallar los valores que anulen mf x^ h = 0( x = a
3 ponemos la tabla de signos de mf x^ h donde aparecen los valores que anulen mf x^ h y los valores ques D f
* en los intervalos donde mf x^ h 2 0 & f x^ hdirige su concavidad hacia la parte + del eje oy
* en los intervalos donde mf x^ h 1 0 & f x^ hdirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
a, f a^ h^ h es el punto de inflexion donde hay cambio de concavidad^ hx - 3 b a + 3
mf x^ h 5 5 0 6
f x^ h , , f a^ h +
a, f a^ h^ h es el punto de inflexionporque hay cambio de concavidad
** Ecuacion de la recta tangente en x = a
y - f a^ h = lf a^ h x - a^ h A pendiente de la recta es mt = lf a^ h** Ecuacion de la recta Normal en x = a
y - f a^ h =lf a^ h-1
x - a^ h A pendiente de la recta es mn =lf a^ h-1
** Observación: mt .mn =- 1
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
** ** Observación
** nos dan un punto a,b^ h por el que pasa la funcion f x^ h( f a^ h = b
** extremo en x = a( lf a^ h = 0
** extremo en a,b^ h( lf a^ h = 0 y f a^ h = b
** punto de inflexion en x = a( mf a^ h = 0
** punto de inflexion en a,b^ h( mf a^ h = 0 y f a^ h = b
-----------------------------------
Aprended la tabla de derivadas como si fuera 1 + 1 = 2
Tabla de Derivadas
1 y = k cte^ h ( ly = 0
2 y = f x^ h6 @n ( ly = n. f x^ h6 @n-1 . lf x^ h3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h5 y = f x^ h .g x^ h ( ly = lf x^ h .g x^ h + f x^ h . lg x^ h6 y =
g x^ hf x^ h( ly =
g x^ h6 @2lf x^ h .g x^ h - f x^ h . lg x^ h
7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h8 y = f-1 x^ h ( ly =
lf of-1 x^ h1
9 y = logaf x^ h ( ly =f x^ hlf x^ h
Ln a^ h1
10 y = a f x^ h( ly = a f x^ h . lf x^ h .Ln a^ h
11 y = e f x^ h( ly = e f x^ h . lf x^ h
12 y = senf x^ h ( ly = cosf x^ h . lf x^ h13 y = cosf x^ h ( ly =- senf x^ h . lf x^ h14 y = tagf x^ h ( ly =
cos2 f x^ h1lf x^ h = 1 + tag2 f x^ h6 @. lf x^ h
15 y = cotgf x^ h ( ly =sen2 f x^ h-1
lf x^ h =- 1 + cotg2 f x^ h6 @. lf x^ h16 y = arcsenf x^ h ( ly =
1 - f x^ h6 @21
lf x^ h17 y = arcosf x^ h ( ly =
1 - f x^ h6 @2-1
lf x^ h18 y = arctagf x^ h ( ly =
1 + f x^ h6 @21
lf x^ h19 y = arcotgf x^ h ( ly =
1 + f x^ h6 @2-1
lf x^ h20 y = f x^ h6 @g x^ h
A para esta formula se utiliza eLna = a
asi que y = eln f x^ h7 Ag x^ h= eg x^ hLnf x^ h AA solo queda aplicar formulas anteriores
Ahora veremos algunos ejercicios de distinta clase para saber como resolverlos.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =x + 1
x - 2^ h2
2 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = xLnx
y halla el area comprendida
entre f (x) y el eje ox comprendida entre 1 # x # e.
3 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =x - 1x + 1
4 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =4 - x2x
5 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = 2x2 + 4x^ h .e-x y halla el area limitada por la curva
de f(x), el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto de abscisa x = 0
6 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =! x2 - x
7 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x2x
8 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =x2 + 2x + 4
x + 1y halla el area comprendida
entre f (x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2.
9 Ejercicio:
sea f una función numerica de variable real x definida por f x^ h =1 - x
1 + x
a Estudie la función f y haz la grafica de la función
b Calcule1 - x
dx
2
4
#
c Halla el area de la curva limitada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
10 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 2x2 - 3x + 1^ h
Halla el area comprendida entre f x^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x = 23y x = 4
11 Ejercicio:
Sea f: 2-r
, 23rB 8$ R tal que f x^ h =
1 + senxcosx
** a estudiar la función y representar la grafica.
** b ecuación de la recta tangente y la normal en el punto de abscisa x = 2r
** c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2r
12 Ejercicio:
Sea f: -r,r6 @$ R tal que f x^ h =1 - cosx1 + cosx
Estudiar y graficar la función.
13 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x2 - 2x
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
14 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x2ex
Calcula el Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = e.x
15 Ejercicio:
f: 0, + 36 6$ R / f x^ h =f 0^ h = 0 si x = 0xLnx si x 2 0%
a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 36 6b estudiar la función y construir la fráfica de f
c ecuacion de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
16 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln senx^ h17 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =1 - cosx
cos 2x^ h + sen2x
18 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 3x2 - x - 2
19 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =cx + d si x d -2, 2
-1B 8ax + b si x d 2
-1,1B 8
x2 + x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
a halla los valores de a,b, c y d para que f sea continua en R
¿es derivable para los valores hallados?
b estudia la función con los valores hallados.
Pasos a seguir para la construcción de la curva
1º Dibujar los ejes luego señalizar D f y los puntos de corte con los ejes.
2º Dibujar las asintotas y el sentido de la curva y su posición respecto a la asintotas.
3º señalizar puntos maximos,minimos, y puntos de inflexión.
4º trazar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
1 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =x + 1
x - 2^ h2** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x + 1 ! 0 , x !- 1
luego D f = R - -1" ,** simetria
f -x^ h =-x + 1
-x - 2^ h2!! f x^ h , luego f (x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 (x + 1
x - 2^ h2= 0 ( x - 2^ h2 = 0 ( x = 2
luego 2,0^ h es el punto de corte de la funcion con el eje x
- Eje y ( x = 0 ( y =0 + 1
0 - 2^ h2( y = 4
luego 0,4^ h es el punto de corte de la funcion con el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales
limx"3
f (x) = limx"3 x + 1
x - 2^ h2= lim
x"3 x + 1x2 - 4x + 4a k = lim
x"3 xx2
= limx"3
x =lim
x"-3x =-3
limx"+3
x =+3*como el limite no es un nº real finito ( no hay asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f)
limx"-1
f (x) = limx"-1 x + 1
x - 2^ h2=
limx"-1- x + 1
x - 2^ h2=
0-9 =-3
limx"-1+ x + 1
x - 2^ h2=
0+9 =+3
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
una asintota oblicua es de la forma y = mx + n siendon = lim
x"3f (x) - mx6 @
m = limx"3 x
f(x)Z
[
\
]]]]]]]]]
m = limx"3 x
f(x)= lim
x"3 xx + 1
x - 2^ h2= lim
x"3 x2 + x
x - 2^ h2= lim
x"3 x2 + xx2 - 4x + 4 = lim
x"3 x2x2 = lim
x"31 = 1 = m
n = limx"3
f (x) - mx6 @ = limx"3 x + 1
x - 2^ h2- x; E = lim
x"3 x + 1
x2 - 4x + 4 - x2 - x= lim
x"3 x-5x = -5 = n
luego la asintota oblicua es y = x - 5
Puntos de corte entre la curva y la asintota oblicua
y = x - 5
y =x + 1
x - 2^ h2*(
x + 1
x - 2^ h2= x - 5 , x2 - 4x + 4 = x2 - 4x - 5 , 4 =- 5 A absurdo
esto implica que la curva no corta la asintota oblicua
Posición de la curva respecto a la asintota oblicua
limx"3
f (x) - y6 @ = limx"3 x + 1
x - 2^ h2- x - 5^ h; E = lim
x"3 x + 1x2 - 4x + 4 - x2 + 4x + 5 = lim
x"3 x + 19
= limx"3 x + 1
9 =lim
x"-3 x + 19 = 0-
$ f (x) esta por debajo de la asintota oblicua cuando x "-3
limx"+3 x + 1
9 = 0+$ f (x) esta por encima de la asintota oblicua cuando x "+3
Z
[
\
]]]]]]]]]
** Maximos,Minimos, int ervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) =x + 1
x - 2^ h2( lf x^ h =
x + 1^ h22 x - 2^ h x + 1^ h - x - 2^ h2=
x + 1^ h22 x2 - x - 2^ h - x2 + 4x - 4=
x + 1^ h2x2 + 2x - 8
lf x^ h = 0 & x2 + 2x - 8 = 0 T = 4 - 4.1. -8^ h = 36 & T = 6
x1 =2
-2 - 6 =- 4 ( y =-3
-6^ h2=- 12
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
x2 =2
-2 + 6 = 2 ( y =30= 0
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan lf y los excluidos de D f
x -3 - 4 - 1 2 +3 los signos se hallan cogiendo valores
lf x^ h + 0 - - 0 + al azar de los intervalos
f(x) 3 - 12 4 4 0 3
lf -5^ h =1672 0 A+ ; lf -2^ h =
1
-81 0 A- ; lf 0^ h =- 8 1 0 ; lf 3^ h =
1672 0 A+
punto -4, - 12^ h es un maximo , punto 2,0^ h es un minimo
** Puntos de inf lexión y concavidad.
lf (x) =x + 1^ h2x2 + 2x - 8
( mf x^ h =x + 1^ h42x + 2^ h x + 1^ h2 - 2 x2 + 2x - 8^ h x + 1^ h
=x + 1^ h318
mf x^ h = 0 ,x + 1^ h318 = 0 ( 18 = 0 absurdo , luego no hay ningún valor que anule mf x^ h
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan mf y los excluidos de D f
x -3 - 1 +3
mf x^ h - +
f x^ h + ,
si mf (x) 2 0 & f (x) dirige su concavidad hacia la parte + del eje oy
si mf (x) 1 0 & f (x) dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
2 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = xLnx
y halla el area comprendida
entre f (x) y el eje ox comprendida entre 1 # x # e.
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x 2 0x ! 0$ ( x ! R*
+
Luego D f = R*+
** simetria
f -x^ h =-x
Ln -x^ h!- f(x) asi que f(x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0, xLnx = 0, Lnx = 0, x = 1
luego 1,0^ hes el punto de corte entre la curva y el eje x
- Eje y( x = 0 g D f
luego la funcion f(x) no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales
limx"+3
f (x) = limx"+3 x
Lnx =+3+3
forma indeterminada,aplicando l´hopital
limx"+3
f (x) = limx"+3 1
x1
= limx"+3 x
1 =+31 = 0
+
nos indica que la curva esta encima de la asintota^ hy = 0 es la asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f= 0, + 3@ 6)
limx"0+
f (x) = limx"0+ x
Lnx = limx"0+ x
1Lnx =+3. -3^ h =-3
- Asintotas oblicuas no hay al haber asintota horizontal^ h** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = xLnx
( lf (x) =x2
x1
x - Lnx=
x21 - Lnx
lf (x) = 0,x2
1 - Lnx = 0, 1 - Lnx = 0, Lnx = 1, x = e
x 0 e + 3 lf (1) = 1 2 0 A +
lf (x) + 0 - lf (e2) =e4-11 0 A -
f(x) 3 e1
4
como se observa en la tabla e, e1` j es el punto maximo
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) =x2
1 - Lnx( mf (x) =
x4x-1
x2 - 2x 1 - Lnx^ h=
x4
-x - 2x 1 - Lnx^ h=
x3-3 + 2Lnx
mf (x) =x3
-3 + 2Lnx = 0,- 3 + 2Lnx = 0, Lnx =23, x = e 2
3= e3 y f(e 2
3) =
e 23
Lne 23
=2 e33
luego el punto de inf lexion es ( e3,2 e33
)
x 0 e3 + 3
mf (x) - 0 + asi que e3,2 e33c m es el punto de inflexión
f(x) +
concavaS 2 e3
3,
convexaS
que es donde hay cambio de concavidad.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
** Calculo del Area.
Area = f(x) .dx =1
e
#x
Lnx.dx
1
e
# Integrando por partes
dv =x1
dx & v = Lnx
u = Lnx & du =x1
dx* & Area =x
Lnx.dx
1
e
# = Lnx^ h26 @1e - x
Lnx.dx
1
e
#
Area = Lnx^ h2- Area, 2.Area = Lnx^ h
2
, Area =2
Lnx^ h2; E
1
e
=21 - 08 B =
21
u2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
3 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =x - 1x + 1
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo six - 1 ! 0x - 1x + 1
$ 0*, x ! 1
x - 1x + 1
x - 1x - 1
$ 0), x ! 1
x - 1^ h2x2 - 1$ 0*
, x ! 1x2 - 1 $ 0%
, x ! 1x2$ 1% , x2 = 1 +
x =- 1x = 1$ luego x - 3 - 1 1 + 3
x2$ 1 # 1 $ 1
Por último Df = -3, - 1@ @, 1, + 3@ 6** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0,x - 1x + 1 = 0,
x - 1x + 1 = 0, x + 1 = 0, x =- 1
la curva corta el eje x en el punto -1,0^ h- Eje y( x = 0 g D f lo que significa que la curva no corta el eje de ordenadas.
** Asintotas
- Asintota Horizontal.
limx"3
f (x) = limx"3 x - 1
x + 1 = limx"3 x - 1
x + 1` j = limx"3 x
x= 1_ i = 1
luego la asintota horizontal es y = 1
- Posición de la curva respecto a la asintota horizontal
limx"3
f (x) - y6 @ = limx"3 x - 1
x + 1 - 1: C = limx"3 x - 1
x + 1 - 1a kx - 1x + 1 + 1
x - 1x + 1 + 1
J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
= limx"3
x - 1x + 1 + 1
x - 1x + 1 - 1
J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
limx"3
x - 1x + 1 + 1
x - 12J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW=
limx"-3
x - 1x + 1 + 1
x - 12J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
limx"+3
x - 1x + 1 + 1
x - 12J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
=
limx"-3 2
0-` j8 Blimx"+3 2
0+a k: CZ
[
\
]]]]]]]]]]
= 0- U la curva esta debajo de la asintota0+ U la curva esta encima de la asintota'
- Asintota vertical. se fija en D f " valores del borde de dominio^ hlimx"1+ x - 1
x + 1: C = limx"1+ 0
+
2: C =+3 luego x = 1 es la asintota vertical
- Asintota oblicua. no hay oblicua porque hay asintota horizontal
** Maximos,Minimos,puntos de crecimiento y decrecimiento.
f x^ h =x - 1x + 1
( lf (x) = 21
x - 1x + 1` j 2-1
x - 1^ h2x - 1^ h - x + 1^ h< F =x - 1^ h2-1
x + 1x - 1
# 0 porquex + 1x - 1
$ 0 yx - 1^ h2-1
1 0
luego f(x) es decreciente en todo D f,y como se ve lf (x) no esta definida en x = 1
limx"-1-
lf (x) = limx"-1- x - 1^ h2-1
x + 1x - 1 =
4-1
0--2 =
4-1 +3^ h =-3
esto nos indica que la curva tiene una tangente vertical en el punto -1,0^ hx - 3 - 1 1 + 3
lf (x) - -
f(x) 4 0 4
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
4 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =4 - x2
x
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 4 - x22 0, x2
1 4,- 2 1 x 1 2
luego D f = -2,2@ 6
** simetria
f -x^ h =4 - -x^ h2
-x =4 - x2
-x =- f(x)( f es una función impar
posee una simetria rotacional con respecto al origen de coordinadas^ hasi que es mas que suficiente hacer un estudio en el intervalo 0,26 6
** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0,4 - x2
x = 0, x = 0
luego el 0,0^ h es el punto de corte entre la curva y el eje de las abscisas X
- Eje y( x = 0( y =4 - 02
0 = 0
luego el 0,0^ h es el punto de corte entre la curva y el eje de las ordenadas Y
** Asintotas
- Asintotas horizontales: no hay ( ya que la funcion no esta definida en los 3)
- Asintotas oblicuas: no hay ( ya que la funcion no esta definida en los 3)
- Asintotas vertical (se fija en D f en los bordes , los limites)
como la funcion es impar y el D f se ha reducido a la mitad 0,26 6basta en hallar
limx"2-
f (x) = limx"2- 4 - x2
x =0+2 =+3( x = 2 es asintota vertical
y como la funcion es impar( limx"-2+
f (x) =-3( x =- 2 es asintota vertical
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) =4 - x2
x, f (x) = x. 4 - x2^ h 2
-1( lf x^ h = 4 - x2^ h 2
-1+ x. 2
-1` j 4 - x2^ h 2-3
-2x^ h
, lf x^ h =4 - x2
1 +4 - x2^ h 4 - x2
x2
=4 - x2
11 +
4 - x2^ hx2; E haciendo division de polinomios
x2 4 - x2gx2 - 4 - 1 asi que
4 - x2^ hx2
=- 1 +4 - x2
4
----
4
luego lf x^ h =4 - x2
14 - x2
4 = 4 4 - x2^ h-14 - x2^ h 2
-1
= 4 4 - x2^ h 2-3
=4 - x2^ h3
42 0
( f (x) es creciente en todo el intervalo
- Tabla de valores:
x - 2 2
lf x^ h +
f(x) 3
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) = 4 4 - x2^ h 2-3( mf x^ h = 4. 2
-3` j -2x^ h 4 - x2^ h 2-5
=4 - x2^ h512x
mf x^ h = 0,4 - x2^ h512x = 0, 12x = 0, x = 0( f 0^ h = 0
x - 2 0 2 mf -1^ h =35
-121 0
mf x^ h - 0 + mf 1^ h =35
122 0
f x^ h + 0 ,
en el intervalo -2,0@ @ f (x) dirige su concavidad hacia la parte negativa del eje oy.
en el intervalo 0,26 6 f (x) dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje oy.
el punto 0,0^ h es el punto de inf lexión de la curva
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
5 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = 2x2 + 4x^ h .e-x y halla el area limitada por la curva
de f(x), el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto de abscisa x = 0
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste para 6 x d R, luego D f = R
** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0, 2x2 + 4x^ h .e-x = 0, x 2x + 4^ h = 0,2x + 4 = 0
x = 0$ ,
x =- 2x = 0$
asi que la curva corta el eje x en 0,0^ h y -2,0^ h- Eje y( x = 0( y = 0
asi que la curva corta el eje y en 0,0^ h** Asintotas
- Asintotas horizontales
limx"3
f (x) = limx"3
2x2 + 4x^ h .e-x6 @ =lim
x"-32x2 + 4x^ h .e-x6 @ " B
limx"+3
2x2 + 4x^ h .e-x6 @ " A*A = lim
x"+32x2 + 4x^ h .e-x6 @ =+3.0 F.I (forma indeterminada)
limx"+3
2x2 + 4x^ h .e-x6 @ = limx"+3 ex
2x2 + 4x^ h; E =+3+3
F.I aplicando la regla de l´Hopital queda asi
limx"+3 ex
4x + 4^ h; E =+3+3
F.I aplicando la regla de l´Hopital^ h = limx"+3 ex
48 B = 0+" asintota horizontal en eje x +
y significa que la curva esta encima del ox +
B = limx"-3
2x2 + 4x^ h .e-x6 @ = limx"-3
x2 2 +x4` j.e-x8 B =+3. + 3 =+3 " no hay asintota horizontal en eje x -
- Asintotas vertical (se fija en D f) en los valores excluidos, como no hay( no hay asintota vertical
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = 2x2 + 4x^ h .e-x( lf x^ h = 4x + 4^ h .e-x - 2x2 + 4x^ h .e-x = -2x2 + 4^ h .e-x
lf x^ h = 0, -2x2 + 4^ h .e-x = 0,- 2x2 + 4 = 0,x =- 2 $ f (- 2) = 4 - 4 2^ he 2
x = 2 $ f ( 2) = 4 + 4 2^ he- 2=)
x - 3 - 2 2 + 3 lf -2^ h = -8 + 4^ he2 =- 4e21 0
lf x^ h - 0 + 0 - lf 0^ h = 4 2 0
f x^ h 4 2,35 3 -6,81 4 lf 2^ h =- 4e-21 0
punto - 2,2,35^ h es un minimo , punto 2, - 6,81^ h es un maximo
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) = -2x2 + 4^ h .e-x( mf x^ h =- 4x.e-x - -2x2 + 4^ h .e-x = 2x2 - 4x - 4^ h .e-x
mf x^ h = 0, 2x2 - 4x - 4 = 0, x2 - 2x - 2 = 0,
x =2
2 - 2 3= 1 - 3 .- 0,73$ f 1 - 3^ h c- 3,86
x =2
2 + 2 3= 1 + 3 . 2,73$ f 1 + 3^ h c 1,683
Z
[
\
]]]]]]]]]]
x - 3 1 - 3^ h 1 + 3^ h + 3 mf -1^ h = 2e 2 0
mf x^ h + 0 - 0 + mf 0^ h =- 4 1 0
f x^ h , -3,86 + 1,683 , mf 3^ h = 2e-32 0
asi que los puntos -0,73 ; - 3,86^ h y 2,73 ; 1,683^ h son los puntos de inflexión
ver grafica de abajo
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
Grafica de la función
** area limitada por la curva de f(x), el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Area = 2x2 + 4x^ h .e-x.dx
0
6
# integrando por partesdv = e-x .dx & v =- e-x
u = 2x2 + 4x & du = 4x + 4^ h .dx'
Area = - 2x2 + 4x^ h .e-x6 @06 + 4x + 4^ he-x .dx0
6
# resolviendo otra vez por partesdv = e-x .dx & v =- e-xu = 4x + 4 & du = 4.dx$
= - 2x2 + 4x^ h .e-x6 @06 + - 4x + 4^ h .e-x6 @06 + 4e-x .dx0
6
# = - 2x2 + 4x^ h .e-x6 @06 + - 4x + 4^ h .e-x6 @06 + - 4^ h .e-x6 @06
= -2x2 - 8x - 8^ h .e-x6 @06 = -72 - 48 - 8^ he-6 + 86 @ = 7,68 u2
** Ecuaciones de la tangente y la normal
Ecuacion de la recta tangente en x = a es y - f a^ h = lf a^ h x - a^ hluego en x = 0 es y - f 0^ h = lf 0^ h x - 0^ h y como f 0^ h = 2.02 + 4.0^ h .e-0 = 0 ; lf 0^ h = -2.02 + 4^ h .e-0 = 4
Ecuacion de la recta tangente queda de la seguiente manera y = 4x
Ecuacion de la recta Normal en x = a es y - f a^ h =lf a^ h-1
x - a^ hRemplazando queda de la seguiente forma: 4y + x = 0
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
6 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =! x2 - x
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si x ! 0x
2 - x$ 0)
, x ! 0x
2 - xxx$ 0)
, x ! 0x2
2 - x^ hx$ 0*
, x ! 02 - x^ hx $ 0'
2 - x^ hx (x = 2x = 0$
x - 3 0 2 + 3
x - 0 + 2 + luego D f = 0,2@ @
2 - x^ h + 2 + 0 -
2 - x^ hx - 0 + 0 -
** simetria
! nos indica que la curva es simetrica respecto del eje ox.esto nos permite representar la curva
y =x
2 - xy después hallar su simetrica respecto de ox(como si doblaramos el folio sobre el eje x)
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 , x2 - x = 0 , x
2 - x = 0 , 2 - x = 0 , x = 2
luego f(x) corta el eje x en el punto (2,0)
- Eje y ( x = 0 z D f , luego f (x) no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales no hay porque f(x) no esta definida cuando x " 3
- Asintotas oblicuas no hay porque f(x) no esta definida cuando x " 3
- Asintotas vertical
limx"0+
f (x) = limx"0+ x
2 - x = limx"0+ x
2 - x` j =0+2 =+3
luego x = 0 es la asintota vertical
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) =x
2 - x =x
2 - x` j21 ( lf x^ h =21
x2 - x` j 2
-1
x2
-x - 2 - x^ hc m =x2-1
2 - xx1 0
luego la función f(x) strictamente decreciente en el intervalo 0,2@ 6
lf x^ h no esta definida en x = 2 , limx"2- x2
-12 - x
xa k = limx"2-
-x42 - x^ hxa k = lim
x"2--
x32 - x^ h1c m
= limx"2-
-x32 - x^ h1c m = -
0+1a k =-3( lf 2^ h " 3( la curva tiene una tangente vertical en 2,0^ h
recuerde: pendiente de una recta vertical es 3
pendiente de una recta horizontal es 0
x 0 2
lf x^ h -
f x^ h 4 0
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
lf x^ h =x2-1
2 - xx =- x3 2 - x^ h6 @ 2
-1
( mf x^ h =21
x3 2 - x^ h6 @ 2-3
3x2 2 - x^ h - x36 @ =21
x3 2 - x^ h6 @ 2-3
6x2- 4x36 @
mf x^ h =x3 2 - x^ h6 @33x2- 2x3
mf x^ h = 0 ,x3 2 - x^ h6 @33x2- 2x3
= 0 , 3x2- 2x3 = 0 , x2 3 - 2x^ h = 0 ,
x =23
x = 0 g D f)x 0 2
32 mf x^ h = 1 2 0
mf x^ h + 0 - mf 1,75^ h 1 0
f x^ h , 33
+
convexa concava
el punto 23
, 33c m es el punto de inf lexion ya que hay cambio de concavidad
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
7 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x2x
** Campo de existencia
hay que saber que 6 función de la forma f x^ h6 @g(x) existe Ssi f (x) + domin io de definición de g(x)6 @
asi que x2x esxiste si y sólo si x 2 0 y D(2x) = R : luego D f = R*+
** simetria
no es simetrica ni respecto al origen de cordenadas ni respecto al eje oy(ni impar ni par),por estar definida solo para x 2 0.
** Corte con los ejes recuerda: a = eLna siendo a 2 0
- Eje x( y = 0 + x2x = 0 + eLnx2x= 0 imposible que eLnx
2xsea nula
lo que significa que la ecuacion x2x = 0 no tiene solucion , asi que f(x) no corta el eje x.
- Eje y( x = 0 g D f=R*+( f x^ hno corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas vertical. se fija en D f en los bordes^ h , recuerda: limx"a
a f x^ h = a limx"a
f x^ h
limx"0+
f (x) = limx"0+
x2x = limx"0+
eLnx2x= lim
x"0+e2xLnx = e lim
x"0+2xLnx
sea A = limx"0+
2x.Lnx^ h = 0. -3^ h F.I forma indeterminada.^ h
A = limx"0+
2x.Lnx^ h = 2 limx"0+
x1Lnx =
+3-3
F.I forma indeterminada.^ h aplicando L´hopital.
A = 2 limx"0+
x1Lnx = 2 lim
x"0+
x2-1x1
=
x! 0?- 2 lim
x"0+x =- 2.0 = 0 ; luego lim
x"0+f (x) = e0 = 1 & no hay assintota vertical.
- Asintotas horizontales
limx"+3
f (x) = limx"+3
x2x = +3^ h+3 =+3( no hay asintota horizontal
al no haber la asintota horizontal puede que exista la asintota oblicua
- Asintotas oblicua: es de la forma : y = mx + n siendon = lim
x"3f (x) - mx6 @
m = limx"3 x
f(x)Z
[
\
]]]]]]]]]
limx"+3 x
f(x)= lim
x"+3 xx2x = lim
x"+3x2x-1 = +3^ h+3 =+3( no hay asintota oblicua
nos indica que la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy.
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = x2x = eLnx2x= e2xLnx( lf x^ h = e2xLnx . 2xLnx^ hl= e2xLnx . 2Lnx + x
2x` j = e2xLnx . 2Lnx + 2^ h = 2x2x . Lnx + 1^ hluego lf x^ h = 2x2x . Lnx + 1^ h , lf x^ h = 0 , 2x2x . Lnx + 1^ h = 0( Lnx + 1 = 0, Lnx =- 1, eLnx = e-1, x = e-1
f (e-1) = e-1^ h2e-1 = e e-2
x 0 e1 + 3 lf 1^ h = 2 2 0
lf x^ h 0 lfe21a k = 2
e21a ke2
2
-2 + 1^ h 1 0
f x^ h e e-2
de 0, e-1@ @ f (x) decrece 4 y de e-1, + 36 6 f (x) creciente 3 y el punto e1, e e
-2` j es el minimo.** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) = 2x2x . Lnx + 1^ h( mf x^ h = 2 Lnx + 1^ h 2x2x Lnx + 1^ h6 @ + 2x2x x1
mf x^ h = 2x2x . x1 + 2 Lnx + 1^ h28 B y como 2x2x 2 0 , x
12 0 , 2 Lnx + 1^ h2 $ 0
luego mf x^ h 2 0( no hay punto de inflexióndirige su concavidad hacia el eje oy%
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
8 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =x2 + 2x + 4
x + 1y halla el area comprendida
entre f (x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2.
** dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x2 + 2x + 4 2 0 , x2 + 2x + 1 - 1 + 4 2 0 , x + 1^ h2 + 3 2 0
el resultado es verdadero para 6 valor de x asi que D f = R
** simetria
f -x^ h !! f x^ h , luego f (x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,x2 + 2x + 4
x + 1 = 0 , x + 1 = 0 , x =- 1 , luego f(x) corta eje x en -1,0^ h
- Eje y ( x = 0 ( y =02 + 2.0 + 4
0 + 1 = 1 , luego f(x) corta eje y en 0,1^ h** Asintotas
- Asintotas horizontales recordad: a2 = a , a =-a si a # 0a si a $ 0$
limx"3
f (x) = limx"3 x2 + 2x + 4
x + 1 = limx"3
x2 1 +x2 +
x24a k
x 1 +x1` j
= limx"3
x 1 +x2 +
x24a k
x 1 +x1` j
limx"3
f (x) = limx"3
x 1 +x2 +
x24a k
x 1 +x1` j
=
limx"-3-x 1 +
x2 +
x24a k
x 1 +x1` j
=- 1
limx"+3
x 1 +x2 +
x24a k
x 1 +x1` j
= 1
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
quiere decir que cuandox 1 0 la asintota horizontal es y =- 1
x 2 0 la asintota horizontal es y = 1%Posición de la curva respecto a la asintota horizontal. saber si f (x) - y^ h es1 ó 2 a cero^ hcuando x 2 0
f(x) - y6 @ =x2 + 2x + 4
x + 1 - 1; E , sabemos que x2 + 2x + 4 = x + 1^ h2 + 3 2 x + 1 & 0 1x + 1^ h2 + 3
x + 11 1
y como estamos trabando en R+& 0 1
x + 1^ h2 + 3
x + 11 1 &
x + 1^ h2 + 3
x + 1 - 1 1 0
luego f(x) - y^ h 1 0 ( la grafica de f x^ h esta por debajo de y = 1 cuando x $ 0
cuando x 1 0
f(x) - y6 @ =x2 + 2x + 4
x + 1 + 1; E , sabemos que x2 + 2x + 4 = x + 1^ h2 + 3 2 x + 1 &- 1 1x + 1^ h2 + 3
x + 11 0,
y como estamos trabando en R-&- 1 1
x + 1^ h2 + 3
x + 11 0 &
x + 1^ h2 + 3
x + 1 + 1 2 0
luego f(x) - y^ h 2 0 ( la grafica de f x^ h esta por encima de y =- 1 cuando x # 0
- Asintotas verticales: no hay al no haber bordes en dominio de definicion
- Asintotas horizontales: no hay porque existe la horizontal
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) =x2 + 2x + 4
x + 1( lf x^ h =
x2 + 2x + 4
x2 + 2x + 4 - x + 1^ h2 x2 + 2x + 4
2 x + 1^ h=
x2 + 2x + 4
x2 + 2x + 4
x2 + 2x + 4 -x2 + 2x + 4
x + 1^ h2
lf x^ h =x2 + 2x + 4^ h x2 + 2x + 4
32 0
asi que la función f x^ h es creciente 3 en todo R y no tiene ni maximo ni minimo.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) =x2 + 2x + 4^ h x2 + 2x + 4
3, x2 + 2x + 4^ h x2 + 2x + 4^ hl= 2x + 2^ h x2 + 2x + 4 + x2 + 2x + 4^ h
2 x2 + 2x + 4
2 x + 1^ h
x2 + 2x + 4^ h x2 + 2x + 4^ hl=x2 + 2x + 4
2 x + 1^ h x2 + 2x + 4^ h+
2 x2 + 2x + 4
2 x + 1^ h x2 + 2x + 4^ h=
23
x2 + 2x + 4
2 x + 1^ h x2 + 2x + 4^ h
( mf x^ h =x2 + 2x + 4^ h2 x2 + 2x + 4^ h
-3.3x2 + 2x + 4
x + 1^ h x2 + 2x + 4^ h=
x2 + 2x + 4^ h2 x2 + 2x + 4
-9 x + 1^ hmf x^ h = 0 , x + 1^ h = 0 , x =- 1 , f -1^ h = 0
x - 3 - 1 + 3
mf x^ h + 0 - f -2^ h 2 0
f x^ h , 0 + f 0^ h 1 0
convexa concava -1,0^ h punto de inflexión.
area comprendida entre f (x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2
A =x2 + 2x + 4
x + 1c m.dx-1
2
# , haciendo cambio variable u = x2 + 2x + 4 ( du = 2x + 2^ h .dx = 2 x + 1^ h .dx & 2du = x + 1^ h
asi que A =u
2duf p
-1
2
# =21
u^ h 2-1
-1
2
# .du =21
2-1 + 1
1u^ h 2
-1+1= G
-1
2=2
12 u^ h2
17 A-1
2= x2 + 2x + 46 @-1
2= 4 + 4 + 4 - 1 - 2 + 46
A = 12 - 3^ h u2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
9 Ejercicio:
sea f una función numerica de variable real x definida por f x^ h =1 - x
1 + x
a Estudie la función f y haz la grafica de la función
b Calcule1 - x
dx
2
4
#
c Halla el area de la curva lim itada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
a estudio de la función y su grafica
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si1 - x ! 0
x $ 0' ,
x ! 1
x $ 0' , x ! 1x $ 0$ , luego D f = R
+ - 1" ,** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0,1 - x
1 + x= 0, 1 + x = 0, x =- 1 absurdo(imposible)
luego la función f x^ h no corta el eje x
- Eje y( x = 0( y =1 - 0
1 + 0= 1
luego 0,1^ h es el punto de corte de la funcion con el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales
limx"+3
f (x) = limx"+31 - x
1 + x= lim
x"+3- x
x= lim
x"+3-1^ h =- 1 & y =- 1 es la a sin tota horizontal
al existir la a sin tota horizontal( no existe la a sin tota oblicua
- Posición de la curva respecto a la Asintotas horizontales. averiguar si f x^ h - y6 @ es2 o1 0^ h1º calculemos f x^ h - y6 @ =
1 - x
1 + x+ 1 =
1 - x
2con la ayuda de la tabla hallaremos su signo
x 0 1 + 3
- x 0 - - 1 -
1 - x 1 + 0 -
1 - x
22 + -
significasi x d 1, + 36 6( f x^ h - y6 @1 0( la curva se encuentra debajo de la asintota y =- 1
si x d 0,16 6( f x^ h - y6 @2 0( la curva se encuentra encima de la asintota y =- 1(- Asintotas vertical (se fija en D f)
limx"1
f (x) = limx"1 1 - x
1 + xd n =limx"1- 1 - x
1 + xd n =0+2 =+3
limx"1+ 1 - x
1 + xd n =0-2 =-3
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
, luego x = 1 a sin tota vertical
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f x^ h =1 - x
1 + x( lf x^ h =
1 - x^ h22 x
11 - x^ h - 1 + x^ h
2 x
-1c m=
1 - x^ h22 x
1 -21 +
2 x
1 +21
=1 - x^ h2
x
1
=x 1 - x^ h21
asi que lf x^ h =x 1 - x^ h21
2 0( la funcion f x^ h es creciente en todo D f
y como se ve que la funcion lf x^ h no esta definida en x = 0 y f 0^ h = 1, calculemos su limite.
limx"0+
lf x^ h = limx"0+ x 1 - x^ h21 =
0+1 =+3( la curva tiene una tan gente vertical en el punto 0,1^ h
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf x^ h =x 1 - x^ h21
, antes de nada hallemos la derivada de x 1 - x^ h2
x 1 - x^ h27 Al=2 x
11 - x^ h2 + x .2. 1 - x^ h .
2 x
-1c m =2 x
11 - x^ h2 - 1 - x^ h = 1 - x^ h
2 x
1 - x^ h- 1< F
= 1 - x^ h2 x
1 - x - 2 x^ h< F =2 x
1 - x^ h 1 - 3 x^ h
( mf x^ h =x 1 - x^ h4
-2 x
1 - x^ h 1 - 3 x^ h=
2.x. x 1 - x^ h4- 1 - x^ h 1 - 3 x^ h
mf x^ h = 0, 1 - x^ h 1 - 3 x^ h = 0(1 - 3 x = 0
1 - x = 0( ,
x =91
x = 1 b D f)
f 91` j =
1 - 91
1 + 91
=1 - 3
1
1 + 31
=
3234
= 2
x 0 91
1 + 3 mf 161` j1 0
mf x^ h - 0 + - mf 41` j2 0
f x^ h 1 + 2 , + mf 4^ h 1 0
concava convexa concava
el punto 91,2` j es el punto de inf lexión
b Calcular1 - x
dx
2
4
# , haciendo cambio de variable x " 4 & t " 2x " 2 & t " 2
x = t2 & dx = 2t.dt*
1 - x
dx
2
4
# =1 - t2t.dt
2
2
# = -2 +1 - t2.dt` j
2
2
# = -2.2
2
# dt - 21 - t-dt` j
2
2
# = -2t6 @ 22- 2 Ln 1 - t6 @ 2
2=- 4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2
c area de la curva limitada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
segun la grafica de arriba la funcion y =- 1 esta encima de la funcion f x^ h asi queArea = A = -1 -
1 - x
1 + xd n2
4
# .dx =1 - x
-1 + x - 1 - xd n2
4
# .dx =1 - x
-2c m2
4
# .dx =- 21 - x
dx
2
4
#
En el apartado anterior1 - x
dx
2
4
# =- 4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2 luego
Area = A =- 2 -4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2^ h . 5,86864 u2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
10 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 2x2 - 3x + 1^ hHalla el area comprendida entre f x^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x =
23
y x = 4
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 2x2 - 3x + 1 2 0 , hallemos las raices de 2x2 - 3x + 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0 , 3= b2 - 4.a.c = 9 - 4.2.1 = 1 & 3 = 1 , luego x =
43 - 1 =
21
43 + 1 = 1*
2x2 - 3x + 1 = 0 + 2 x - 1^ h x -21` j = 0 + x - 1^ h 2x - 1^ h = 0
ponemos la tabla de signos
x - 3 21
1 + 3
x - 1^ h - - 0 +
2x - 1^ h -21 + +
x - 1^ h 2x - 1^ h + 0 - 0 +
luego D f = -3, 21B 8, 1, + 3@ 6
** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0 + Ln 2x2 - 3x + 1^ h = 0 + 2x2 - 3x + 1 = 1 + 2x2 - 3x = 0 + x 2x - 3^ h = 0
+ x 2x - 3^ h = 0 +x =
23
x = 0) luego los puntos de corte con el eje x son 0,0^ h y 23,0` j
- Eje y( x = 0( y = Ln 2.02 - 3.0 + 1^ h = Ln +1^ h = 0
luego el punto de corte con el eje y es 0,0^ h** Asintotas
- Asintotas horizontales
limx"3
f (x) = limx"3
Ln 2x2 - 3x + 1^ h = limx"3
Ln x2^ h =lim
x"-3Ln x2^ h =+3
limx"+3
Ln x2^ h =+3* & no hay a sin tota horizontal
- Asintotas verticales (se fija en D f en los bordes)
limx" 2
1c m-f (x) = lim
x" 21c m-
Ln 2x2 - 3x + 1^ h = Ln0+ =-3
limx"1+
f (x) = limx"1+
Ln 2x2 - 3x + 1^ h = Ln0+ =-3
luego x =21
y x = 1 son las asintotas verticales
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
una asintota oblicua es de la forma y = mx + n siendon = lim
x"3f (x) - mx6 @
m = limx"3 x
f(x)Z
[
\
]]]]]]]]]
m = limx"3 x
f(x)= lim
x"3 xLn 2x2 - 3x + 1^ h
=3
3F.I aplicando l´hopital
m = limx"3 1
2x2 - 3x + 14x - 3
= limx"3 2x2 - 3x + 1
4x - 3 = limx"3 2x2
4x = limx"3 2x
4 = 0
( la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje ox
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = Ln 2x2 - 3x + 1^ h( lf x^ h =2x2 - 3x + 1
4x - 3
lf x^ h = 0 + 4x - 3 = 0 + x =43b D f
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
x - 3 21
43
1 + 3 lf 0^ h 1 0
lf x^ h - - 0 + + lf 2^ h 2 0
f(x) 4 3
Entonces f x^ h decrece 4 en el int ervalo -3, 21B 8 y crece 3 en el int ervalo 1, + 3@ 6
pero como lf x^ h ! 0 en D f ( no tiene ni maximo ni minimo
** Puntos de inflexión y concavidad.
f (x) = Ln 2x2 - 3x + 1^ h( lf x^ h =2x2 - 3x + 1
4x - 3( mf x^ h =
2x2 - 3x + 1^ h24 2x2 - 3x + 1^ h - 4x - 3^ h2
( mf x^ h =2x2 - 3x + 1^ h2-8x2 + 12x - 5 =
2x2 - 3x + 1^ h2-4 2x2 - 3x + 1^ h
es + en D f6 7 844444444 44444444- 11 0 en todo el dominio de definición.
esto nos indica que en el1, + 3@ 6 f x^ h dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
-3, 21B 8 f x^ h dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy*
** area comprendida entre f x^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x =23
y x = 4
A = Ln 2x2 - 3x + 1^ h .dx23
4
#dv = dx( v = x
u = Ln 2x2 - 3x + 1^ h( du =2x2 - 3x + 1
4x - 3dx)
A = x.Ln 2x2 - 3x + 1^ h6 @234-
2x2 - 3x + 14x2 - 3x
dx
23
4
# = x.Ln 2x2 - 3x + 1^ h6 @234- 2 +
2x2 - 3x + 13x - 2a k dx
23
4
#
A = x.Ln 2x2 - 3x + 1^ h6 @234- 2 +
2x2 - 3x + 14x - 3 - x + 1a k dx
23
4
# = x.Ln 2x2 - 3x + 1^ h - 2x6 @234-
2x2 - 3x + 14x - 3 - x + 1a k dx
23
4
#
A = x.Ln 2x2 - 3x + 1^ h - 2x - Ln 2x2 - 3x + 1^ h6 @234+
x - 1^ h 2x - 1^ hx - 1a k dx23
4
#
A = x - 1^ h.Ln 2x2 - 3x + 1^ h - 2x6 @
234+
21
2x - 1^ h2.dx
23
4
#
A = x - 1^ h.Ln 2x2 - 3x + 1^ h - 2x +
21Ln 2x - 18 B
23
4. 4,76 u2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
11 Ejercicio:
Sea f: 2-r
, 23rB 8$ R tal que f x^ h =
1 + senxcosx
** a estudiar la función y representar la grafica.
** b ecuación de la recta tangente y la normal en el punto de abscisa x = 2r
** c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2r
a estudio de la función y la representación grafica.
** dominio de definición:
f x^ h esxiste si y sólo si 1 + senx ! 0 asi que 1 + senx = 0 + senx =- 1 = sen 2-r_ i
senx = sen 2-r_ i(
x = r - 2-r_ i+ 2kr
x = 2-r + 2kr* +
x = 23r + 2kr b 2
-r, 23rB 8
x = 2-r + 2kr b 2
-r, 23rB 8
Z
[
\
]]]]]]]]]
k d Z
luego f (x) existe en todo 2-r
, 23rB 8
** Corte con los ejes Recuerda: cosa = cosb +a =- b + 2kra = b + 2kr$ siendo k d Z
- Eje x( y = 0,1 + senxcosx = 0, cosx = 0, cosx = cos 2
r,
x = 2-r + 2kr
x = 2r + 2kr
k d Z*las posibles soluciones dentro de D f son: x = 2
-rb D f x = 2
3rb D f x = 2
rd D f
asi que el punto 2r, 0_ i es el punto de corte entre eje x y f x^ h
- Eje y( x = 0, f 0^ h =1 + sen0cos0 = 1( que el punto 0,1^ h es el punto de corte entre eje y e f x^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales no hay porque x no esta definido para 3, o bien porque no aparece 3 en D f
- Asintotas oblicuas no hay por la misma razón que la anterior.
- Asintotas vertical(se fija en D f en los bordes) Recuerda: limx"a
f x^ h = b significa que cuando x se acerca a a la y se acrca a blim
x" 2-ra k+
f (x) = limx" 2
-ra k+ 1 + senxcosx_ i =
00F.I aplicando l´Hopital
limx" 2
-ra k+f (x) = lim
x" 2-ra k+ cosx
-senx_ i =0+1 =+3 para ver de donde sale 0+ ver grafica de cosx$
entonces x = 2-r
es una asintota vertical
limx" 2
3rc m-f (x) = lim
x" 23rc m- 1 + senx
cosx_ i =00F.I aplicando l´Hopital
limx" 2
3rc m-f (x) = lim
x" 23rc m- cosx
-senx_ i =0-1 =-3 para ver de donde sale 0- ver grafica de cosx$
entonces x = 23r
es una asintota vertical
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Recuerda: -1 # senx # 1
f(x) =1 + senxcosx
( lf x^ h =1 + senx^ h2
-senx 1 + senx^ h - cosx cosx^ h=1 + senx^ h2-senx - 1 =
1 + senx^ h2- 1 + senx^ h
=1 + senx^ h-1
porque x ! 2-r
y como en D f - 1 1 senx 1 1 asi que lf x^ h 1 0( f x^ hes decreciente en todo el intervalo 2-r
, 23rB 8.
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) =1 + senx^ h-1
( mf x^ h =1 + senx^ hcosx
mf x^ h = 0, cosx = 0, cosx = cos 2r,
x =- 2r + 2kr
x = 2r + 2kr* siendo k d Z, x = 2
r + kr siendo k d Z
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
2
las soluciones posibles son: - 2rb D f , 2
rd D f , 2
3rb D f ..........la unica soluciond D f es 2
r
x -2r
2r
23r
mf x^ h + 0 -
f(x) , 0 +
convexa concava y el punto 2r, 0_ i es punto de inflexión.
LA GRAFICA
b Ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2r
Ecuacion de la recta tangente en x = 2res de la forma: R: y - f 2
r_ i = lf 2r_ i x - 2r_ i
y como f 2r_ i = 0 ; lf 2
r_ i =2-1
asi que R: y = 2-1
x - 2r_ i
b Ecuación de la recta normal en el punto de abscisa x = 2r
Ecuacion de la recta Normal en x = 2res de la forma: S: y - f 2
r_ i =lf 2r_ i-1
x - 2r_ i
y como f 2r_ i = 0 ; lf 2
r_ i =2-1
asi que S: y = 2 x - 2r_ i
c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2r
sea A = area = f x^ h0
2r
# .dx =1 + senxcosx
0
2r
# .dx = Ln 1 + senx^ h6 @02r
= Ln2 u2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
12 Ejercicio:
Sea f: -r,r6 @$ R tal que f x^ h =1 - cos x1 + cos x
Estudiar y graficar la función.
** dominio de definición
D f = x/x d -r,r6 @ y 1 - cos x^ h ! 0 y1 - cosx1 + cosx
$ 0$ .
* 1 - cosx ! 0, cos x ! 1 = cos 0, cos x ! cos 0,x !- 0 + 2krx ! 0 + 2kr% , x ! 2kr siendo k d Z
*1 - cosx1 + cosx
$ 0,1 - cosx1 + cosx
1 + cosx1 + cosx
$ 0,1 - cos2x
1 + cos x^ h2$ 0,
sen2x
1 + cosx^ h2$ 0 verdadero siempre.
asi que el D f = -r, 06 6, 0,r@ @
** simetria
f -x^ h =1 - cos -x^ h
1 + cos -x^ h=
1 - cosx1 + cosx = f x^ h( la función f x^ h es par.asi que basta con hacer
un estudio en el intervalo 0,r@ @ sabiendo que una función par es simetrica con respecto al eje y
** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0,1 - cosx1 + cosx = 0( 1 + cosx = 0, cosx =- 1 = cosr,
x =-r + 2krx = r + 2kr$ con k d Z
x = 2k + 1^ hr con k d Z los valores posibles en el D f son r y - r
luego los puntos de corte con el eje x son r, 0^ h y -r, 0^ h- Eje y( x = 0 b D f ( f x^ h no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales: no hay porque 3 b D f
- Asintotas oblicuas: no hay porque 3 b D f
- Asintotas verticales: (se fija en D f en los bordes)
limx"0+
f (x) = limx"0+ 1 - cosx
1 + cosx = limx"0+1 - cosx
1 + cosx =0+2
=+3 $
sale el 0+V
ver de donde6 7 8444 444
luego por ser f x^ h par & limx"0-
f (x) =+3
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.recordad: -1 # cos x # 1
f(x) =1 - cosx1 + cosx =
1 - cosx1 + cosx` j
21
( lf x^ h = 21
1 - cosx1 + cosx` j
- 21
1 - cosx^ h2-senx 1 - cos x^ h - 1 + cos x^ hsenx
=
& lf x^ h =1 + cos x1 - cos x` j
1 - cosx^ h2-senx =-
1 + cosx1 - cosx
1 - cosx^ h4sen2x =-
1 + cosx1 - cosx
1 - cosx^ h41 - cosx^ h 1 + cosx^ h
con x ! r( lf x^ h =-1 - cosx^ h2
1 =-1 - cosx
11 0( f es decreciente
limx"r-
lf x^ h = limx"r-
-1 - cosx
1` j =2-1
luego la función f es derivable a la izquierda de r & lf r^ h = 2-1
Tabla de variación
x 0 r x - r 0 r
lf x^ h - ( lf x^ h - -
f(x) 4 f (x) 4 4
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
Grafica
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
13 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x2 - 2x
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x2 - 2x $ 0 para ello vamos a estudiar su signo.
x2 - 2x = 0 , x x - 2^ h = 0 ( x =20$
x - 3 0 2 + 3
x - 0 + 2 +
x - 2^ h - - 2 - 0 +
x x - 2^ h + 0 - 0 +
luego D f = -3, 0@ @, 2, + 36 6** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 , x2 - 2x = 0 , x x - 2^ h = 0 ( x =20$
asi que la curva corta el eje x en los puntos 0,0^ h y 2,0^ h- Eje y ( x = 0 , f 0^ h = 0 luego la curva corta el eje y en el punto 0,0^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales Recuerda: limx"a
f x^ h = limx"a
f x^ hlimx"3
f (x) = limx"3
x2 - 2x^ h = limx"3
x2^ h =+3( no hay asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f bordes excluidos) como no hay & no hay asintota vertical
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
una asintota oblicua es de la forma y = mx + n siendon = lim
x"3f (x) - mx6 @
m = limx"3 x
f(x)Z
[
\
]]]]]]]]]
m = limx"3 x
f(x)= lim
x"3 xx2 - 2x
= limx"3 x
x 1 -x2
=
limx"+3 x
x 1 -x2
= limx"-3
- 1 -x2a k
limx"+3 x
x 1 -x2
= limx"+3
1 -x2
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
m =lim
x"-3- 1 -
x2a k =- 1 $ cuando x "-3 m =- 1
limx"+3
1 -x2 = 1 $ cuando x "+3 m = 1
Z
[
\
]]]]]]]]]]
n = limx"+3
x2 - 2x - x^ h = limx"+3
x2 - 2x - x^ hx2 - 2x + x^ hx2 - 2x + x^ h= G = lim
x"+3 x. 1 -x2 + 1a k
-2x= G = limx"+3 1 -
x2 + 1a k
-2= G =- 1
n = limx"-3
x2 - 2x + x^ h = limx"-3
x2 - 2x + x^ hx2 - 2x - x^ hx2 - 2x - x^ h= G = lim
x"-3 -x. 1 -x2 + 1a k
-2x= G = limx"-3 1 -
x2 + 1a k
2= G = 1
asi que enOX negativo la asintota oblicua es y =- x + 1
OX positivo la asintota oblicua es y = x - 1%Posición de la curva respecto a la asintota oblicua
OX positivo
limx"+3
f (x) - y6 @ = limx"+3
x2 - 2x^ h - x - 1^ h6 @ = limx"+3
x2 - 2x^ h - x - 1^ h6 @x2 - 2x^ h + x - 1^ h6 @x2 - 2x^ h + x - 1^ h6 @) 3
= limx"+3 x2 - 2x^ h + x - 1^ h6 @
x2 - 2x - x - 1^ h26 @= lim
x"+3x 1 -
x2a k+ x 1 -
x1` j: C
x2 - 2x - x - 1^ h26 @= lim
x"+3x 1 -
x2 + 1 -
x1` ja k: C
-1 =+3-1 = 0-
limx"+3
f (x) - y6 @ = 0-1 0 ( la curva se encuentra por debajo de la asintota oblicua en ox + .
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
OX negativo
limx"-3
f (x) - y6 @ = limx"-3
x2 - 2x^ h - -x + 1^ h6 @ = limx"-3
x2 - 2x^ h - -x + 1^ h6 @x2 - 2x^ h + -x + 1^ h6 @x2 - 2x^ h + -x + 1^ h6 @) 3
= limx"-3 x2 - 2x^ h + -x + 1^ h6 @
x2 - 2x - -x + 1^ h26 @= lim
x"-3 -x 1 -x2a k- x 1 -
x1` j: C
x2 - 2x - -x + 1^ h26 @== lim
x"-3 -x 1 -x2 + 1 -
x1` ja k: C
-1 =+3-1
limx"-3
f (x) - y6 @ = 0-1 0 ( la curva se encuentra por debajo de la asintota oblicua en ox - .
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = x2 - 2x ( lf x^ h =2 x2 - 2x
2x - 2 =x2 - 2x
x - 1como se ve lf x^ h no esta definida ni en x = 0 ni en x = 2
limx"0-
lf x^ h = limx"0- x2 - 2x
x - 1 = limx"0- x x - 2^ h
x - 1 =0+-1 =-3 , f (0) = 0
luego el punto 0,0^ h la curva tiene una recta tangente vertical.
limx"2+
lf x^ h = limx"2+ x2 - 2x
x - 1 = limx"2+ x x - 2^ h
x - 1 =0+1 =+3 , f (2) = 0
luego el punto 2,0^ h la curva tiene una recta tangente vertical.
lf x^ h =x2 - 2x
x - 1 = 0 , x - 1 = 0 , x = 1 b D f luego lf x^ h no se anula en D f
x - 3 0 2 + 3
lf x^ h - + lf -1^ h 1 0
f(x) 4 0 0 3 lf 3^ h 2 0
la función f no tiene nio maximo ni minimo
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
14 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x2 ex
Calcula el Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = e.x
** dominio de definición
f x^ h esxiste siempre ya que las funciones x2 y ex sus dominios es R , luego D f = R
** simetria
f -x^ h = -x^ h2 e-x = x2 e-x!! f x^ h , luego f (x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 , x2 ex = 0 , x2 = 0 , x = 0
asi que la curva corta el eje x en 0,0^ h- Eje y ( x = 0 , y = 02 e0 = 0
luego la curva corta el eje y en 0,0^ h** Asintotas
- Asintotas horizontales
limx"3
f (x) = limx"3
x2ex^ h =lim
x"-3x2ex^ h =+3.0 F.I forma indeterminada^ h
limx"+3
x2ex^ h =+3. + 3 =+3*lim
x"-3x2ex^ h = lim
x"-3 e-xx2a k =
hopital?lim
x"-3 -e-x2x` j =
hopital?lim
x"-3 e-x2` j = 0
asi que para el eje x - negativo^ h la curva tiene una asintota horizontal y = 0
Posición de la curva respecto a la asintota horizontal
x2ex - 0 = x2ex$ 0 verdadero , luego la curva se encuentra por encima de la asintota.
- Asintotas vertical (se fija en D f) no hay.
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
en el eje x negativo no hay asintota oblicua porque hay horizontal;asi que queda por ver
si la hay en la parte del eje x positivo.
m = limx"+3 x
f x^ ha k = limx"+3 x
x2exa k = limx"+3
xex^ h =+3
( la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje oy +
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = x2ex( lf x^ h = 2xex + x2ex = ex x2 + 2x^ h
lf x^ h = 0 , x2 + 2x = 0 , x x + 2^ h = 0 , x =-20$
x - 3 - 2 0 + 3 lf -3^ h = 3e-32 0
lf x^ h + 0 - 0 + lf -1^ h =- e-11 0
f(x) 3e24
4 0 3 lf 1^ h = 3e12 0
creciente decreciente creciente
maximo -2,e24a k minimo 0,0^ h
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf x^ h = ex x2 + 2x^ h( mf x^ h = ex x2 + 2x^ h + ex 2x + 2^ h = ex x2 + 4x + 2^ hmf x^ h = 0 , x2 + 4x + 2 = 0 T = b2 - 4.a.c = 16 - 4.1.2 = 8 & T = 2 2
x =
2a
-b - T=
2
-4 - 2 2=- 2 - 2
2a
-b + T=
2
-4 + 2 2=- 2 + 2
Z
[
\
]]]]]]]]]]
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
x - 3 - 2 - 2 - 2 + 2 + 3 mf -4^ h = 2 2 0
mf x^ h + 0 - 0 + mf -1^ h =- 1 1 0
f(x) , 0,38 + 0,191 , mf 0^ h = 2 2 0
convexa concava convexa
los puntos de inflexión son -2 - 2, 6 + 4 2^ he-2- 2^ hy -2 + 2 , 6 - 4 2^ he-2+ 2_ i
** Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = ex
lo 1º es hallar la intersección de las dos funciones.
x2ex = e.x , x xex - e^ h = 0 ,xex = ex = 0$ ,
x = 1x = 0$ son los limites inferior y superior.
A = funcion arriba - funcion de abajo^ ha
b
# dx = e.x - x2ex^ h .dx0
1
# =2e
x27 A0
1- x2ex
.dx0
1
#
A =2e
x27 A0
1- x2ex
.dx0
1
#dv = ex
.dx & v = exu = x2 & du = 2x.dx%
A =2e
x2 - x2ex7 A0
1+ 2x.ex
.dx0
1
#dv = ex
.dx & v = exu = x & du = dx$
A =2e
x2 - x2ex + 2xex7 A0
1- 2ex
.dx0
1
# =2e
x2 - x2ex + 2xex - 2ex7 A0
1= -
2e + 2_ iu2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
15 Ejercicio:
f: 0, + 36 6$ R / f x^ h =f 0^ h = 0 si x = 0xLnx si x 2 0%
a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 36 6
b estudiar la función y construir la fráfica de f
c ecuacion de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
** a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 36 6
Continuidad:
x.lnx es continua en 0, + 3@ 6
limx"0+
f x^ h = limx"0+
x.Lnx^ h = 0. - 3 F.I
limx"0+
x.Lnx^ h = limx"0+
x1Lnxe o = +3
-3F.I
limx"0+
x1Lnxe o =
aplicando L´Hopital?limx"0+
x2-1x1
=- x
J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO= 0 = f 0^ h( f es continua en x = 0
luego la función f es continua en todo el dominio 0, + 36 6
derivabilidad:
f x^ h = x.Lnx( lf x^ h = Lnx + xx = 1 + Lnx si x ! 0
calculemos la derivabilidad en x = 0
limx"0+ x - 0
f x^ h - f 0^ h= limx"0+ x - 0
x.Lnx - 0 = limx"0+
Lnx =-3 & f no es derivable en x = 0
luego f es derivable en 0, + 3@ 6
b estudio de la función y construir la fráfica de f
** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0, x.Lnx = 0 aqui no puede decir que x = 0 porque Ln0 no existe^ h( Lnx = 0( x = 1
y como sabemos también que f 0^ h = 0 & x = 0 es otra soluciónluego los puntos de corte entre la curva y el x son 0,0^ h y 1,0^ h
- Eje y( x = 0 y f 0^ h = 0( corte entre la curva y el eje y es 0,0^ h .** Asintotas
- Asintotas horizontales
limx"+3
f (x) = limx"+3
x.Lnx =+3( no hay asintota horizontal.
- Asintotas oblicuas
limx"+3 x
f(x)= limx"+3 x
x.Lnx = limx"+3
Lnx =+3 & no hay oblicua
y que la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje y +
- Asintotas verticales se fija en D f en los bordes^ hcomo la función esta definida en 0 asi que no hay asintota vertical
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = x.Lnx( lf x^ h = Lnx + xx = 1 + Lnx siendo x ! 0
lf x^ h = 0, 1 + Lnx = 0, Lnx =- 1, x = e-1 y f e-1^ h = e-1 .Lne-1 =- e-1x 0 e-1 + 3
lf x^ h - 0 +f (x) 0 4 - e-1 3
decreciente creciente
e-1, - e-1^ hMinimo
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
c ecuacion de la recta tangente en x = 1
la ecuación de una recta tangente en x = a es de la forma: r:y - f a^ h = lf a^ h x - a^ hlf x^ h = 1 + Lnx & lf 1^ h = 1 + Ln1 = 1 , f (x) = x.Lnx & f (1) = 1.Ln1 = 0
r: y = x - 1 ecuación de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
para ello lo 1º es sacar puntos de int er sec ción entre el eje de las abscisas y = 0 y la f
si x 2 0( f (x) = 0, x.Lnx = 0, Lnx = 0, x = 1
si x = 0( f (0) = 0 & x = 0
luego lim ite inf erior es 0 y el sup erior es 1
Area = A = función arriba - función de abajo^ h fijandonos en la grafica se concluye que:a
b
#
Area = A = 0 - xLnx^ h0
1
# dx =- xLnx.0
1
# dx pero resulta que la función g x^ h = x.Lnxno esta definida en 0( que la int egral es impropia luego A = lim
a"0xLnx.
a
1
# dx
I = x.Lnx.dx resolviendo por partes#dv = x.dx & v = 2
1x2
u = Lnx & du = x1dx*
I = 21x2 .Lnx - 2
1x.dx =#
21x2 .Lnx - 4
1x2 asi que
Area =- lima"0 2
1x2 .Lnx - 4
1x28 B
a
1=- lim
a"0-41` j -
21a2 .Lna - 4
1a2` j8 B =
41 + lim
a"0 21a2 .Lna - 4
1a2` j
Area = 41 + lim
a"0 2
1a2 .Lna` jF.I6 7 8444444 444444
=41 +
21lima"0
a21Lnae o = 4
1 +21lima"0
a21a1J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO=41 +
21lima"0
a^ h
Area = 41u2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
16 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln senx^ h
** dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si senx 2 0, x d 0 + 2kr,r + 2kr@ 6 siendo k d Z ver figura de abajo
luego D f = x/x d 0 + 2kr,r + 2kr@ 6 con k d Z" ,
** simetria
f x + 2r^ h = Ln sen x + 2r^ h^ h = Ln senx^ h = f x^ h luego la funcion es periodica de periodo 2r.
asi que es mas que suficiente reducir el int ervalo de trabajo a 0,r@ 6ya que f es periodica.
** Corte con los ejes recordad:sena = senb,
a = r - b + 2kra = b + 2kr
$ siendo k d Z
cosa = cosb,a =- b + 2kra = b + 2kr$ siendo k d Z
- Eje x( y = 0, Ln senx^ h = 0, senx = 1 = sen 2r,
x = r -2r
2r
G
+ 2kr
x =2r + 2kr
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
siendo k d Z
asi que la funcion corta el eje x en .........., x =2
-3r, x =
2r, x =
25r
, x =29r
etc.
como la funcion es periodica y estamos trabajando en 0,r@ 6 este int ervalo lo corta en 2r
.
- Eje y( x = 0 b D f
** Asintotas
- Asintotas horizontales
ya que hemos reducido el D f a 0,r@ 6y como no aparece el 3 & no hay asintotas horizontales.
- Asintotas vertical (se fija en D f " 0,r@ 6 en los bordes)
limx"0+
f (x) = limx"0+
Ln senx^ h = Ln 0+^ h =-3 ver imag^ h.
limx"r-
f (x) = limx"r-
Ln senx^ h = Ln 0+^ h =-3 ver imag^ h.
luego x = 0 y x = r son a sin totas verticales en 0,r@ 6
conclusion x = 2kr y x = r + 2kr = 2k + 1^ hr son las a sin totas verticales en D f .
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
ya que hemos reducido el D f a 0,r@ 6y como no aparece el 3 & no hay asintotas oblicuas.
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = Ln senx^ h( lf x^ h = senx1
cos x =senxcos x = cotgx
lf x^ h = 0, senxcosx = 0, cosx = 0 = cos 2
r,
x =-2r + 2kr
x =2r + 2kr
* siendo k d Z
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
aqui la solucion va dando saltos de r rad. ver imag.
asi que la solución es x =2r
en 0,r@ 6y en el D f x =2r + kr con k d Z
x 0 2r
r
lf x^ h + 0 -f (x) 3 0 4
luego la función crece en 0, 2rA A en D f crece en los int ervalos 2kr, 2
r + 2krA A k d Z
luego la función decrece en 2r,r7 7 en D f decrece en los intervalos 2
r + 2kr,r + 2krA A k d Z
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) = senxcosx
( mf x^ h =sen2x
-sen2x - cos2x =sen2x
-11 0( f es concava
GRAFICA de la función
1º haremos la frafica en el intervalo 0,r@ 6y después la de 2r, 3r@ 6 , la de -2r,r@ 6....etc.
siempre guiandonos por el D f .
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
17 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =1 - cos x
cos 2x^ h + sen2 x
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 1 - cosx ! 0 , cosx ! 1 = cos0 ,x =- 0 + 2krx = 0 + 2kr$ , x = 2kr , k d Z
luego D f = x/x d R - 2kr" ,, siendo k d Z" ,** simetria
f x + 2r^ h =1 - cos x + 2r^ hcos 2x + 4r^ h + sen2 x + 2r^ h
=1 - cosx
cos 2x^ h + sen2 x= f x^ h
asi que la función f es periodica de periodo 2r, luego es suficiente hacer el estudio sobre 0,2r6 @
y como se ve en el dominio de definición 2kr g D f asi que el estudio sera sobre 0,2r@ 6
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,1 - cosx
cos 2x^ h + sen2 x= 0 , cos 2x^ h + sen2 x = 0 , cos2 x - sen2 x + sen2 x = 0
, cos2 x = 0 , cosx = 0 = cos 2r,
x =-2r + 2kr
x =2r + 2kr* , con k d Z
, x =2r + kr
ver imag abajo6 7 8444444 444444
, con k d Z ya que la solución va saltando de r en r.
pero como estamos trabajando en 0,2r@ 6asi que la solucion es x =
23r2r*
- Eje y ( x = 0 b 0,2r@ 6( tampoco pertenece al D f ( no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales y oblicuas$ no hay ya que el intervalo 0,2r@ 6no esta el 3.
- Asintotas vertical (se fija en 0,2r@ 6 en los bordes)
limx"0+
f (x) = limx"0+ 1 - cosx
cos 2x^ h + sen2 x=
0+1 =+3 ver Imag.
limx" 2r^ h-
f (x) = limx" 2r^ h- 1 - cosx
cos 2x^ h + sen2 x=
0+1 =+3
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
recordad: sen2x = 2senx. cos x cos 2x = cos2 x - sen2 x cos2 x + sen2 x = 1
-1 # senx # 1 -1 # cos x # 1
sena = senb ,a = r - b + 2kr
a = b + 2kr$ k d Z
cos a = cos b ,a =- b + 2kra = b + 2kr$ k d Z
----------------------------
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
f (x) =1 - cosx
cos 2x^ h + sen2 x( lf x^ h =
1 - cos x^ h2-2sen2x + 2senx. cos x^ h
-2senx.cosx6 7 844444444444444 44444444444444
1 - cos x^ h - cos 2x + sen2 x^ hcos2x
6 7 8444444444 444444444
.senx
lf x^ h =1 - cosx^ h2-2senx. cos x + 2senx. cos2 x - cos2 x.senx =
1 - cosx^ h2-2senx. cos x + senx. cos2 x
lf x^ h =1 - cos x^ h2
positivo1 2 3444444 444444
senx. cos x -2 + cos x^ hnegativo6 7 8444444 444444
el signo de lf x^ h depende del signo senx. cos x
lf x^ h = 0 , -2 + cosx = 0 " imposiblesenx.cosx = 0% ( senx.cosx = 0 (
cos x = 0 = cos 2r
senx = 0 = sen0)
cosx = cos 2r,
x =-2r + 2kr
x =2r + 2kr 4, x =
2r + kr*
senx = sen0 ,x = r + 2kr
x = 2kr ., x = kr$Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
siendo k d Z
asi que las soluciones en 0,2r@ 6 son 2r
,r, 23r
lf x^ h =1 - cosx^ h2
positivo1 2 3444444 444444
senx.cosx -2 + cosx^ hnegativo6 7 8444444 444444
f 2r_ i = 0 , f r^ h =
21
, f 23r` j = 0
x 0 2r
r 23r
2r
lf x^ h - 0 + 0 - 0 +f (x) 4 0 3 2
14 0
decreciente creciente decreciente
punto minimo 2r
, 0_ i punto maximo r, 21` j$ en 0,2r@ 6
punto minimo 2r + 2kr, 0_ i punto maximo r + 2kr, 2
1` j$ en D f
Gráfica de f x^ h
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
18 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 3x2 - x - 2
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 3x2 - x - 2 ! 0, x - 1^ h 3x + 2^ h ! 0, x !
3-21)
luego D f = R - 1, 3-2$ . , todas las funciones de valor absoluto son en realidad funciones a trozos.
asi que averiguemos esa función: pero antes averiguemos el signo de 3x2 - x - 2 = x - 1^ h 3x + 2^ hx - 3 3
-21 + 3
x - 1^ h - - 0 +3x + 2^ h - 0 + +3x + 2^ h x - 1^ h + 0 - 0 +
por ultimo f x^ h =f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ si x d 3
-2,1B 8= Df2
f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ si x d -3, 3-2B 8, 1, + 3@ 6= Df1
Z
[
\
]]]]]]]]]
** Corte con los ejes se estudia por separado f1 y f2^ h
f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df1 = -3, 3-2B 8, 1, + 3@ 6
- Eje x( y = 0, f1 x^ h = 0, Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = 0, 3x2 - x - 2 = 1, 3x2 - x - 3 = 0
x =
61 - 37
.- 0,85 d Df1
61 + 37
. 1,18 d Df1Z
[
\
]]]]]]]]]]
luego los puntos de corte con el eje x son 61 + 37
,0c my 61 + 37
,0c m- Eje y( x = 0 b Df1( no corta el eje y.
f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df2 = 3-2
,1B 8- Eje x( y = 0, f2 x^ h = 0, Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = 0,- 3x2 + x + 2 = 1,- 3x2 + x + 1 = 0
x =
-6
-1 - 13. 0,76 d Df2
-6
-1 + 13.- 0,434 d Df2
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
luego los puntos de corte con el eje x son -6
-1 + 13,0c my -6
-1 - 13,0c m
- Eje y( x = 0( f 0^ h = Ln2 . 0,693 luego punto de corte con el eje y es 0,Ln2^ h
** Asintotas se estudia por separado f1 y f2^ h
f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df1 = -3, 3-2B 8, 1, + 3@ 6
- Asintotas horizontales
limx"3
f (x) = limx"3
3x2 - x - 26 @ = limx"3
x2 3 - x1 -
x22: C =+3( no hay asintota horizontal.
- Asintotas verticales (se fija en D f1)
limx" 3
-2c m-Ln 3x2 - x - 26 @ = lim
x" 3-2c m-
Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln 0- 3-2 - 1` j8 B = Ln 0+6 @ =-3
limx"1+
Ln 3x2 - x - 26 @ = limx"1+
Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln 5 . 0+6 @ = Ln 0+6 @ =-3
f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df2 = 3-2
,1B 8- Asintotas horizontales
no hay asintota horizontal.por no existir 3 en Df2
- Asintotas verticales (se fija en D f2)
limx" 3
-2c m+Ln -3x2 + x + 26 @ = lim
x" 3-2c m+
Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln -0+ 3-2 - 1` j8 B = Ln 0+6 @ =-3
limx"1-
Ln -3x2 + x + 26 @ = limx"1-
Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln -5 . 0-6 @ = Ln 0+6 @ =-3ver imagen de abajo para ver sentido de la curva respecto a las asintotas verticales.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento. se estudia por separado f1 y f2^ h
*** f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df1 = -3, 3-2B 8, 1, + 3@ 6
f1 (x) = Ln 3x2 - x - 26 @( lf 1 x^ h =3x2 - x - 26x - 1
lf 1 x^ h =3x2 - x - 26x - 1 = 0, 6x - 1 = 0, x = 6
1b D f1
En el intervalo -3, 3-2B 8, 1, + 3@ 6 , 3x2 - x - 2 2 0
estudiemos el signo de 6x - 1^ h6x - 1^ h 2 0 si x d 1, + 3@ 6( lf 1 x^ h 2 0( f1 creciente.
6x - 1^ h 1 0 si x d -3, 3-2B 8( lf 1 x^ h 1 0( f1 decreciente.*
*** f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df2 = 3-2
,1B 8f2 (x) = Ln -3x2 + x + 26 @( lf 2 x^ h =
-3x2 + x + 2
-6x + 1
lf 2 x^ h =-3x2 + x + 2
-6x + 1 = 0,- 6x + 1 = 0, x = 61d D f2
En el intervalo 3-2
,1B 8 , - 3x2 + x + 2 2 0 , estudiemos el signo de -6x + 1^ hx 3
-261
1
-6x + 1^ h + 0 -lf 2 x^ h 3 0 4
** Construcción de la Gráfica.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
19 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
cx + d si x d -2,2
-1B 8ax + b si x d
2
-1,1B 8
x2 + x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
a halla los valores de a,b, c y d para que f sea continua en R
¿es derivable para los valores hallados?
b estudia la función con los valores hallados.
a hallar los valores de a,b, c y d para que f sea continua en R
la función f esta formada por polinomios, luego los únicos puntos de posible discontinuidad son los bordes laterales.
- 2-d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2 + x - 2
limx"-2-
f x^ h = limx"-2-
x2 + x - 26 @ = lim
x"-2-x - 1^ h x + 2^ h6 @ = 0
- 2+d -2,
2
-1B 8( f x^ h = cx + d
limx"-2+
f x^ h = limx"-2+
cx + d6 @ =- 2c + d
como la función es continua ( limx"-2+
f x^ h = limx"-2-
f x^ h(- 2c + d = 0 ( d = 2c
1+d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2 + x - 2
limx"1+
f x^ h = limx"1+
x2 + x - 26 @ = lim
x"1+x - 1^ h x + 2^ h6 @ = 0
1-d
2
-1,1B 8( f x^ h = ax + b
limx"1-
f x^ h = limx"1-
ax + b6 @ = a + b
como la función es continua ( limx"1+
f x^ h = limx"1-
f x^ h( a + b = 0 ( a =- b
2
-1 -d -2,
2
-1B 8( f x^ h = cx + d
limx"
2-1-
f x^ h = limx"
2-1-
cx + d6 @ =2
-1c + d
2
-1 +
d2
-1,1B 8( f x^ h = ax + b
limx"
2-1+
f x^ h = limx"
2-1+
ax + b6 @ =2
-1a + b
como f es continua & limx"
2-1+
f x^ h = limx"
2-1-
f x^ h = f2
-1` j =2
-3, luego
2
-1c + d =
2
-1a + b =
2
-3
2
-1c + d =
2
-32
-1a + b =
2
-3a =- b
d = 2cZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
,
d =- 2c =- 1b =- 1
a = 1Z
[
\
]]]]]]]]] , Por último f x^ h =
-x - 2 si x d -2,2
-1B 8x - 1 si x d
2
-1,1B 8
x2 + x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
¿ derivabilidad para los valores hallados?
f x^ h =
-x - 2 si x d -2,2
-1B 8x - 1 si x d
2
-1,1B 8
x2 + x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
( lf x^ h =
-1 si x d -2,2
-1B 81 si x d
2
-1,1B 8
2 x2 + x - 2
2x + 1si x d -3, - 2@ 6, 1, + 3@ 6
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
f es derivable en todo el dominio solo falta averiguar si lo es en los laterales del dominio.
1+d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2 + x - 2
limx"1+ x - 1
f x^ h - f 1^ h= lim
x"1+ x - 1
x2 + x - 2 - 0
= limx"1+ x - 1
x - 1^ h x + 2^ hen 1
+x - 1^ h x + 2^ h 2 0 ( x - 1^ h x + 2^ h = x - 1^ h x + 2^ h asi que
limx"1+ x - 1
x - 1^ h x + 2^ h= lim
x"1+ x - 1^ hx + 2^ h
=0
+
3=+3 & no es derivable en 1 ;pero aún asi calculemos lim en 1
-
1-d
2
-1,1B 8( f x^ h = x - 1
limx"1- x - 1
f x^ h - f 1^ h= lim
x"1- x - 1
x - 1 - 0= lim
x"1-1 = 1 aunque llegara a ser 3 no seria derivable.
- 2-d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2 + x - 2
limx"-2- x + 2
f x^ h - f -2^ h= lim
x"-2- x + 2
x2 + x - 2 - 0
= limx"-2- x + 2
x - 1^ h x + 2^ hen - 2- x - 1^ h x + 2^ h 2 0 ( x - 1^ h x + 2^ h = - x - 1^ h - x + 2^ h asi que
limx"-2- x + 2
x - 1^ h x + 2^ h= lim
x"-2- - x + 2^ h^ h2- x + 2^ h - x - 1^ h
= limx"-2- - x + 2^ h
- x - 1^ h=
0+
3=+3
asi que ya podemos decir que f no es derivable en - 2
2
-1 +
d2
-1,1B 8( f x^ h = x - 1
lf -21 -` j = lim
x"-21 -
x +21
f x^ h - f2
-1` j= lim
x"-21 -
x +21
x - 1 +21
+ 1= lim
x"-21 -
x +21
x +21
= 1
2
-1 -d -2,
2
-1B 8( f x^ h =- x - 2
lf -21 +` j = lim
x"-21 +
x +21
f x^ h - f2
-1` j= lim
x"-21 +
x +21
-x - 2 -21
+ 2= lim
x"-21 +
x +21
-x -21
=- 1
como lf -21 +` j ! lf -
21 -` j( f no es derivable en x =-
21
b estudio la función con los valores hallados.
f x^ h =
f3 x^ h =- x - 2 si x d -2,2
-1B 8f2 x^ h = x - 1 si x d
2
-1,1B 8
f1 x^ h = x2 + x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
** corte con los ejes se estudia por separado - por intervalos^ hen -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = f1 x^ h = x
2 + x - 2
eje x ( y = 0 , x2 + x - 2 = 0 , x
2 + x - 2 = 0 , x - 1^ h x + 2^ h = 0 , x =-2
1$luego 1,0^ hy 2,0^ h son los puntos de corte entre la curva y el eje x
eje y ( x = 0 b -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f1 no corta el eje y
-----------------------
en2
-1,1B 8( f x^ h = f2 x^ h = x - 1
eje x ( y = 0 , x - 1 = 0 , x = 1 ( 1,0^ h punto de corte entre f2 y el eje x.
eje y ( x = 0( f2 0^ h =- 1 ( 0, - 1^ h punto de corte entre f2 y el eje y.
-----------------------
en -2,2
-1B 8( f x^ h = f3 x^ h =- x - 2
eje x ( y = 0 ,- x - 2 = 0 , x =- 2 ( -2,0^ h punto de corte entre f3 y el eje x.
eje y ( x = 0 b -2,2
-1B 8( f3 no corta el eje y.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
** Asintotas se estudia por separado - por intervalos^ hAsintota Horizontal
*** en -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = f1 x^ h = x2 + x - 2
limx"3
f1 x^ h = limx"3
x2 + x - 2 = lim
x"3x 1 +
x1
-x
22=
limx"-3
-x^ h =+3
limx"+3
x^ h =+3* ( no hay a sin tota horizontal.
*** en2
-1,1B 8y en -2,
2
-1B 8 no hay asintota horizontal. por no existir 3
Asintota Vertical
limx"-2-
f x^ h = limx"-2-
f1 x^ h = limx"-2-
x2 + x - 2 = lim
x"-2-x - 1^ h x + 2^ h = 0
limx"-2+
f x^ h = limx"-2+
f3 x^ h = limx"-2+
-x - 2^ h = 0
_
`
a
bbbbbbbbb
& no hay vertical
limx"1+
f x^ h = limx"1+
f1 x^ h = limx"1+
x2 + x - 2 = lim
x"1+x - 1^ h x + 2^ h = 0
limx"1-
f x^ h = limx"1-
f2 x^ h = limx"1-
x - 1^ h = 0
_
`
a
bbbbbbbbb
& no hay vertical
limx"
2-1+
f x^ h = limx"
2-1+
f2 x^ h = limx"
2-1+
x - 1^ h =-23
limx"
2-1-
f x^ h = limx"
2-1-
f3 x^ h = limx"
2-1-
-x - 2^ h =-23
_
`
a
bbbbbbbbbbbbbb
& no hay vertical
** Maximo,minimo,crecimiento,decrecimiento
f x^ h =
-x - 2 si x d -2,2
-1B 8x - 1 si x d
2
-1,1B 8
x2 + x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
( lf x^ h =
lf 3 x^ h =- 1 si x d -2,2
-1B 8lf 2 x^ h = 1 si x d
2
-1,1B 8
lf 1 x^ h =2 x
2 + x - 2
2x + 1si x d -3, - 2@ 6, 1, + 3@ 6
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]
lf 1 x^ h =2 x
2 + x - 2
2x + 1= 0 , 2x + 1 = 0 , x =
2
-1g -3, - 2@ @, 1, + 36 6
como 2 x2 + x - 2 2 0 en -3, - 2@ 6, 1, + 3@ 6 asi que el signo de lf 1 x^ h depende del signo de 2x + 1
En conclusión
lf 1 x^ h 1 0 en -3, - 2@ 6( f decreciente , lf 1 x^ h 2 0 en 1, + 3@ 6( f creciente
lf 2 x^ h 2 0 en2
-1,1B 8( f creciente , lf 3 x^ h 1 0 en -2,
2
-1B 8( f decreciente
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA
20 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = xsenx
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x ! 0 , luego D f = R*
** simetria
f -x^ h =-x^ h
sen -x^ h=
- x^ h-sen x^ h
=x
senx = f x^ h( la función es par,asi que vamos a hacer
un estudio sobre el intervalo 0, + 3@ 6ya que la función es simetrica respecto al eje de ordenadas.
** Corte con los ejes
- Eje x( y = 0, xsenx = 0, senx = 0 = sen0, x = kr siendo k d Z*
- Eje y( x = 0 b D f ( la curva no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales Recordad: no existe limx"3
de senx y cosx pero si que estan acotados -1 # cosx # 1-1 # senx # 1$
limx"+3 x
senx = ??? útilizando el metodo de la guardia civil
sabemos que - 1 # senx # 1 y x d 0, + 3@ 6 luego x-1# x
senx# x
1
x-1# x
senx# x
1( lim
x"+3 x-1# lim
x"+3 xsenx
# limx"+3 x
1( 0 # lim
x"+3 xsenx
# 0
luego podemos confirmar que limx"+3 x
senx = 0 ( y = 0 es la asintota horizontal.
- Asintotas vertical (se fija en D f " ya que f es par nos fijaremos en 0, + 3@ 6)
limx"0+ x
senx =00
F.I aplicando L´Hopital$ limx"0+ x
senx = limx"0+ 1
cosx = 1
y como f es par podemos concluir que limx"0- x
senx = 1
por último f no tiene asintota vertical en x = 0
** Maximos,Minimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f (x) = xsenx
( lf x^ h =x2
x.cosx - senx
lf x^ h = 0,x2
x.cosx - senx = 0, x.cosx - senx = 0, x =cosxsenx = tagx
para resolver la ecuación x = tagx es haciendo la grafica de las dos funciones g x^ h = x y h x^ h = tagx
la solución son los puntos de intersección de las curvas de las funciones g y h
viendo las graficas de h y g se ve que tienen infinitas soluciones,pero siempre
seguiendo una pauta en 2-r
, 2r7 Ahay una solución,en 2
r, 23r8 Bhay una solución
en 23r
, 25r8 Bhay una solución,en 2
5r, 27r8 Bhay una solución, ......asi sucesevamente hasta el 3
se observa que siempre tenemos un intervalo de longitud r lo que nos indica que siempre hay una solución
de la ecuacion en el intervalo 2-r + kr, 2
r + kr7 A siendo k d Z*
Tabla de variación
x 02
3r- b_ i
2
5r- c_ i
2
7r- c_ i..................
lf x^ h - 0 + 0 - 0 + ..........
f (x) 4 3 4 3 ..............
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA