value-at-risk análisis y gestión de riesgo. instrumentos de renta fija – profesor: miguel angel...

Value-at-Risk

Análisis y Gestión de Riesgo

Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 2

Distintos tipos de riesgo

Riesgopaís

Riesgo decrédito

Riesgo de reinversiónRiesgo de

reinversión

Riesgo de iliquidez

Riesgo de tipo de cambio

Riesgo operativo

Riesgo de mercado

Riesgo: algunos aspectos por considerar

Un problema esencial asociado al término es que no se cuenta con una definición única para “riesgo”. Se pueden obtener ventajas relativas al trabajar con distintas técnicas para implementar su medición.

Del diccionario: Contingencia o proximidad de un daño (un “risco”) El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas El monto que una compañía puede perder La variabilidad de los retornos de una inversión La posibilidad de no recibir el pago de una deuda Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato de

seguro

Visión intuitiva del riesgo de mercado

Puntos por considerar: La oscilación de las variables económicas clave. Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o de una

emisión particular. Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y riesgo no

diversificable. Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales).

Consecuencias Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de un

portafolio. Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio.

Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico

Algunas medidas de riesgo simétrico: Desviación estándar y varianza Desviación absoluta respecto a la media

Algunas medidas de riesgo asimétrico: Semidesviación estándar Probabilidades empíricas de pérdida Value-at-Risk

Distribución asimétricahacia ganancias

Resultado esperado

Distribución asimétricahacia pérdidas

Distribución asimétricahacia ganancias

Resultado esperado

Distribución asimétricahacia pérdidas

Ambas tienen el mismo riesgo simétrico

Los indicadores asimétricos identifican la segunda distribución de resultados como más riesgosa que la primera

Definición del Value-at-Risk Presupuestos

Es posible reunir información representativa sobre los posibles resultados de una inversión en el corto plazo.

Datos históricos o supuestos expertos Esta información permite describir el futuro (“comportamiento estable”)

Tres elementos distintivos de la definición El Value-at-Risk incorpora:

Horizonte deinversión

Significanciaestadística

CriterioasimétricoCriterio

asimétrico

Definición del Value-at-Risk

Definición

Es la máxima pérdida esperada

dentro de un horizonte de inversión de “n” días

con una probabilidad de error de “α”%

Horizonte deinversión

Significanciaestadística

CriterioasimétricoCriterio

asimétrico

El VaR resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo dentro de un intervalo de confianza dado.

El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un reporte de la siguiente forma: Se tiene una certeza de X% de que no se perderá más de V dólares en los

siguientes N días V es el VaR de N -días para un nivel de confianza de X%

Según la propuesta del Comité de Basilea el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones) y

según la metodología de RiskMetrics es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones).

Qué es Value at Risk (VaR)

Metodologías VaR alternativas

Las similitudes

Los tres métodos buscan estimar un valor crítico para las pérdidas potenciales.

Las diferencias

Cada método realiza distintos supuestos acerca de qué valores son representativos sobre las futuras pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen estadísticamente.

Método “Analítico”(Delta Normal)

Método “Montecarlo”(Simulaciones)

Método “Histórico”(Histogramas)

VaR Analítico - Delta Normal Supuestos

El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar.

Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica), con media y varianza conocidas.

Sin embargo… ¿Es realmente normal? Problemas de estabilidad de medias y varianzas ¿De dónde procede la información sobre media y varianza? ¿Y los momentos superiores?

A partir de los supuestos sobre la distribución, es posible calcular directamente el percentil de riesgo apropiado.

VaR Analítico - Delta Normal

Posibles valores de la variable aleatoria

01%0% 2%-1%-2%

Probabilidad deocurrencia

μ +1σμ μ +2σ

μ-1σ

μ -2σ

μ -3σ

μ +3σ 68.26%

95.44%99.74%

Con una probabilidad de 95% en una cola … =DISTR.NORM.ESTAND.INV(5%)= -1.6448 Valor crítico: 1.6448 Desviaciones estándar

5% 90% 5%

Generalización

Si llevamos esta generalidad a una distribución normal N() tendríamos que normalizar para calcular qué valor de “x” se superará con una probabilidad de 5%.

zP %565.1

Los dos componentes: la media y la volatilidad

La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso.

La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo.

Conversión de plazos

Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente modo:

252 diariaanual 252 diariaanual

Período de anulación de riesgo

El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el cálculo de la medida de riesgo.

Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese horizonte temporal.

Rendimiento:

Volatilidad:

Trr diariaperiodo

Tdiariaperiodo

El intervalo de confianza

Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones estándar) a 10 días.

Según la metodología de RiskMetrics[2] es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones estándar) a 1 día.

[1] Banco de Pagos Internacionales, “Amendment to the Capital Accord to Incorporate Markets Risk”, Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de 1996.

[2] Riskmetrics “Technical Document” – JP Morgan 1996

Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001

Data-> 1302 díasMean -> 0.000553448

StandardDeviation -> 0.0112249 Kurtosis -> 6.78236

Skewness -> -0.489853

Asunción de Normalidad

-0.03 -0.02 -0.01 0. 0.01 0.02 0.03Rend

Frecuencia

Data-> 252 díasMean -> -0.0000567592Skewness -> -0.101167Kurtosis -> 3.557397StandardDeviation -> 0.0109072

VaR Montecarlo

Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de

rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar.

Se asume que la distribución es una distribución conocida (no necesariamente normal o simétrica).

Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o bootstrapping.

Sin embargo… ¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya siguiendo un patrón conocido? Problemas de estabilidad de parámetros

VaR Montecarlo Procedimiento

A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos futuros hipotéticos.

Mediante la combinación de dichos retornos, se puede estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un histograma empírico.

Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el percentil de riesgo apropiado.

En síntesis Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan numerosos

“mundos imaginarios” que siguen estas distribuciones. El VaR se calcula comparando dichos escenarios simulados.

Movimiento Browmiano

Cotización del Indice

8000850090009500

10000105001100011500120001250013000

nio Julio

Agosto

Septie

Octubr

Noviem

Diciem

Simulación de Montecarlo

1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros.

2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo.

3) Selección de la serie de variables aleatorias.

4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal.

5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales.

6) Cálculo de la distribución de los precios finales

7) Cálculo del VaR

8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios.

Selección de la serie de variables aleatorias: 10 pasos

{7715.4, 7747.79, 7838.4, 7945.7, 8071., 8061.95, 7968.63, 7996.51, 8014.19, 8008.27, 8225.35}

Simulación: 50 pasos

{8231.28, 8326.23, 7752.63, 7515.54, 7692.93, 7722.12, 7406.46, 8215.77,7733.26, 7708.26, 7667.66, 7987.14, 7659.5, 7724.84, 7505.23, 7607.72, 7960.08, 7215.38, 7663.24, 7633.67, 7740.72, 7823.22, 7952.66, 7272.22, 7703.3, 8171.57, 7435.34, 7850.22, 7851.2, 7836.13, 7618.75, 7606.02, 7762.65, 7480.32, 8018.9, 7843.87, 7689.99, 7695.14, 7600.88, 7699.05, 7423.71, 7759.96, 8210.56, 7269.68, 7564.04, 7829.16, 7473.52, 7795.48, 8258.2, 7581.22}

200 caminos

500 caminos

Histograma: 200

VaR= 7094 - 7703.24=-609.24 puntos de indice

Mean -> 7707.1, StandardDeviation -> 256.394, Skewness -> 0.0282609, Kurtosis -> 2.80355

Histograma:500

VaR=7107.14 - 7707.1=-599.96 puntos de índice

VaR Histórico

Supuestos A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no realiza supuestos

sobre la manera de “suavizar” la distribución de los retornos.

Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento pasado es representativo del futuro cercano.

Procedimiento Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos históricos para

calcular el nivel de pérdidas crítico.

Notar que los patrones de covarianza entre variables se incorporan directamente en el procedimiento.

VaR Histórico – Síntesis del proceso

Valoración delportafolio

Tasas de interésTasas de interés

Tipos de cambioTipos de cambio

Spreads de riesgoSpreads de riesgo

Índices bursátilesÍndices bursátiles

Variables actuales Cambios históricos Valores posibles

Histogramade valoresposibles

¿Qué hay más allá del Value-at-Risk?

Análisis y Gestión de Riesgo

¿Por qué el VaR no es suficiente?

Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el VaR tiene características indeseables:

Falta de subaditividad Falta de convexidad

Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no es una medida “coherente” de riesgo.

El VaR únicamente es coherente cuando está basado en distribuciones continuas normalizadas (ya que para una distribución normal el VaR es proporcional a la desviación estándar).

¿Qué es el CVaR?

Definición El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de confianza

dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son mayores que el VaR.

Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más grande o igual que el VaR.

[Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000]

Implicancias Es un promedio de las pérdidas que exceden el VaR. Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el VaR

sino también las pérdidas extremas de la distribución.

Acción de Yahoo

Variance®0.00175868,

StandardDeviation®0.0419366,

SampleRange®0.391606,

MeanDeviation®0.0302709,

MedianDeviation®0.0211623,

QuartileDeviation®0.0220472

VaR -> -4.899%

CVaR-> -7.166%

VaR -> -4.899%

CVaR-> -9.125%

VaR -> -4.899%

CVaR-> -11.29%

Acción de Yahoo (Variantes)

Resumen de las ventajas del CVaR

El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una medida más conservadora, puesto que por definición así lo exige, por lo que el CVAR domina al VAR.

El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre convexa respecto a las posiciones lo que permite la optimización en la posición de una cartera.

El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza.

Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el CVAR.

Sol Meliá

Telefónica

486 observaciones

- 0.1 - 0.05 0. 0.05 0.1

Sol Melia

- 0.05 0. 0.05 0.1

Telefó nica

Skewness®0.555963,

QuartileSkewness® - 0.122494,

KurtosisExcess®1.72

Variance®0.000766605,

QuartileDeviation®0.0169693

Variance®0.000591326,

QuartileDeviation®0.0119259Skewness® - 0.340253,

- 0.1 - 0.05 0. 0.05 0.1

Variance®0.000839184,StandardDeviation®0.0289687,SampleRange®0.208437,MeanDeviation®0.0217709,MedianDeviation®0.0167924,QuartileDeviation®0.0164853

Variance®0.000839184,

QuartileDeviation®0.0164853Skewness®0.235453,

Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH

Valor del portafolio

Evolución del VaR y del CVaR en función a la proporción invertida en Telefónica (w1) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

61.22% Telefónica

38.78% BSCH

CVaR -> 5.190%

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

Telefónica

El VaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH

Evolución del VaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

Sol Meliá

TelefónicaSol Meliá

El CVaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH

Evolución del CVaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

48.94% Sol Meliá46.03% Telefónica5.03% BSCH

CVaR -> 4.530%

Sol Meliá Telefónica

Sol Meliá

Descomposición del VaR (1)

Posición en un activo

Portfolio VaR

Incremental VaR

Marginal VaR

Descomposición del VaR (2)

Beta VaR Busca repartir el riesgo total entre cada una de las inversiones

individuales, usando como coeficiente el índice “beta” entre el rendimiento del activo individual y el rendimiento de la cartera en su totalidad.

C VaRβwVaRβwVaRAk1A

Ejercicios

Cálculo del CVaR y descomposicióndel VaR con CVaR Expert

CVaR Histórico (1)

CVaR Histórico (2)

CVaR Histórico (3)

CVaR Histórico (4)

Siete lecciones importantes

5. Aplicación del Value-at-Risk

Primera lecciónG.I.G.O. (Garbage in… garbage out)

Aspectos por considerar

Cuidado con la forma de calcular rendimientos Un VaR a “n” días debería ser calculado utilizando rendimientos a “n”

días. No es lo mismo calcular un retorno a 1 día y reexpresarlo utilizando el principio de las potencias.

Cuidado con las eliminaciones de datos Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse que todas las variables

consideradas utilicen las mismas fechas de datos. Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar los retornos para que

todos se encuentren en la misma base de tiempo

Segunda lecciónUsar el método más robusto

En un mercado ilíquido y poco profundo, se presentan: Discontinuidades en los rendimientos “Colas anchas” (incertidumbre producida por casos extremos) Histogramas caprichosos

Siempre que sea posible, conviene utilizar el método histórico para procesar la información.

Considerar que también existen mecanismos de análisis de riesgo más robustos que el VaR CVaR BetaVaR IncrementalVaR…

Tercera lecciónIdentificar claramente los factores de mercado

¿A qué factores de riesgo está expuesto el valor de la cartera?

Tasas de interés ¿Es plana la curva de retornos? ¿Se desplaza paralelamente o puede girar? ¿Son constantes los spreads de riesgo por categoría?

Tipos de cambio ¿En qué moneda se busca preservar el valor?

Índices bursátiles ¿Es posible asociar el retorno de activos individuales a índices sectoriales, selectivos

o generales?

Cuarta lección Reconocer que habrá información faltante…

…e implementar soluciones consistentes

¿Qué hacer con los activos que no tienen precios de mercado?

Renta fija: valoración teórica cuidadosa Renta variable: uso cuidadoso de índices y sensibilidades Alternativa integral: usar el vector de precios

¿Qué hacer con las tasas de interés? Es necesario construir curvas de retornos para los distintos tipos de

inversiones (nacionales, soberanas, internacionales). Observar la necesidad de realizar interpolaciones y evitar los “andenes”.

Quinta lección Integrar el análisis de riesgo en la plataforma

operativa

El análisis VaR debe ser permanente

Idealmente, la institución debería poder contar con la información actualizada diariamente.

Esto implica un reto a nivel del flujo de datos precisos sobre posiciones y cotizaciones de instrumentos.

El considerable volumen de datos involucrados introduce el riesgo de errores humanos.

Debe buscarse incorporar la generación de reportes de riesgo de modo automatizado.

Sexta lección Calibrar el sistema a las necesidades de la

empresa

Utilizar el VaR ajustado a la media y el VaR relativo ¿Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel esperado? ¿Cuánto representa la pérdida como proporción de la cartera?

Imponer límites a la exposición de riesgo Definir un sistema de alertas en función de las pérdidas

relativas proyectadas.

Poner a prueba su eficacia Utilizar procedimientos de back-testing para corroborar la

capacidad predictiva del sistema y realizar los ajustes necesarios.

Sétima lección Distinguir el propósito de reporte normativo

y el propósito de gestión de riesgo

Los reportes solicitados por la Superintendencia de Banca pueden ser útiles con fines regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la mejor evidencia para dirigir la empresa.

Puntos por considerar: Definir claramente el ámbito de la “cartera” sujeta a riesgo. Acercarse a los usuarios finales de los reportes de riesgo. Explorar la demanda

de información. Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir decisiones informadas. Un mismo reporte no es para todos. Explicitar las “funciones objetivo” de cada área y cada funcionario. Incorporar en la cadena a personal especializado. No perder de vista: “¿Qué hay más allá del VaR?”

Método analítico

V:= vector de flujos W:=vector de proporciones

nwwwww ,...,,' 321

1131221

wwwwR 1

321 ,...,, wwP '2 Pp VVaR

nVVVVV ,...,,' 321

VaR Incremental

El VaR incremental tiene por objeto calcular cuál es el VaR que aporta cada FM al VaR total de la cartera.

Mide cual es la contribución al riesgo de un activo al portafolio de la cartera

),cov(

pMFMF r

VaR Incremental

pMF VaRwVaR 111

321 MFMFMFp VaRVaRVaRVaR

),cov(),cov(),cov( 3322112

pppP rrwrrwrrw

22 ppP wwwp

Análisis Empírico: Medidas Clásicas vs. Medidas Modernas

Características de los Bonos

BONO Número

Fecha de Vencimiento Vto. Años YTM %

TC (semestral) Precio % Precio $

1 15-May-04 0.980822 1.064% 5.250% 104.02% 1,041.882 15-May-04 0.980822 1.072% 7.250% 105.93% 1,061.653 15-May-05 1.980822 1.295% 6.500% 110.08% 1,102.894 15-May-05 1.980822 1.203% 12.000% 120.93% 1,213.195 15-May-06 2.980822 1.618% 2.000% 101.10% 1,011.666 15-May-06 2.980822 1.622% 4.625% 108.67% 1,088.167 15-May-08 4.983562 2.294% 2.625% 101.55% 1,016.328 15-May-08 4.983562 2.297% 5.625% 115.54% 1,157.219 15-Ago-10 7.235616 2.890% 5.750% 118.52% 1,201.19

10 15-Feb-13 9.742466 3.306% 3.875% 102.69% 1,028.0511 15-Feb-23 19.747945 4.227% 7.125% 138.50% 1,404.90

Tabla 20.1 Características de los Bonos

08/09/1993 27/03/1994 13/10/1994 01/05/1995 17/11/1995 04/06/1996 21/12/1996

tcm10y

tcm20y

06/12/1999 23/06/2000 09/01/2001 28/07/2001 13/02/2002 01/09/2002 20/03/2003

Fechas

tcm10y

tcm20y

tcm1y tym 2 tcm3y tcm5y tcm7y tcm10y tcm20yMedia 0.294% 0.257% 0.222% 0.165% 0.139% 0.111% 0.061%Desv. Estan. 1.823% 1.969% 2.008% 1.883% 1.861% 1.698% 1.439%Curtosis (exceso) 0.559 0.789 0.976 0.842 0.791 0.567 0.442 Coef. Asimetría 0.535 0.378 0.440 0.342 0.349 0.291 0.315

Estadísticos y gráficos de la evolución de los rendimientos:

SERIE 2000-2003

SERIE 1993-1997

Fuente: Reserva federal

tcm1y tym 2 tcm3y tcm5y tcm7y tcm10y tcm20yMedia -0.028% -0.028% -0.027% -0.023% -0.021% -0.018% -0.014%Desv. Estan. 0.099% 0.120% 0.125% 0.122% 0.115% 0.112% 0.095%Curtosis (exceso) 4.324 3.178 2.535 1.967 1.961 1.651 1.332Coef. Asimetría -1.140 -0.031 0.251 0.591 0.796 0.854 0.808

Medidas Clásicas de Gestión

BONO Número

Fecha de Vencimiento

Duración Macaulay

Duración Modificada Convexidad M-2 Ñ

1 15-May-04 0.96846 -0.9437 1.4488 16.2591 2.01582 15-May-04 0.96392 -0.9302 1.4529 16.2978 2.01803 15-May-05 1.89248 -1.8329 4.7016 9.7507 1.55384 15-May-05 1.82940 -1.7258 4.5993 10.2043 1.58535 15-May-06 2.90829 -2.8795 9.9728 4.5023 1.04596 15-May-06 2.82316 -2.7594 9.6942 5.0015 1.08847 15-May-08 4.70326 -4.6423 25.0177 0.9015 0.14848 15-May-08 4.45058 -4.3288 23.4902 1.7139 0.27479 15-Ago-10 6.12530 -5.9541 43.8626 5.2826 1.0854

10 15-Feb-13 8.25620 -8.0993 77.9711 18.0137 2.016911 15-Feb-23 12.20350 -11.7837 196.3140 99.3028 4.1412

Tabla 20.4 Medidas Clásicas de los bonos

CARTERA (Número) 1er Bono

2do Bono % (1er) Convexidad M-2 Ñ

1 1 9 21.822% 34.607 7.678 1.2882 1 10 44.681% 43.781 17.230 2.0163 1 11 64.116% 71.373 46.058 2.7784 2 9 21.802% 34.616 7.684 1.2895 2 10 44.653% 43.804 17.248 2.0176 2 11 64.090% 71.427 46.105 2.7807 3 9 26.585% 33.452 6.470 1.2108 3 10 51.168% 40.480 13.786 1.7809 3 11 69.862% 62.449 36.740 2.334

10 4 9 26.195% 33.578 6.572 1.21611 4 10 50.666% 40.797 14.057 1.79812 4 11 69.437% 63.192 37.435 2.36613 5 9 34.980% 32.008 5.010 1.07214 5 10 60.887% 36.569 9.787 1.42615 5 11 77.497% 51.905 25.835 1.74216 6 9 34.078% 32.219 5.187 1.08617 6 10 59.933% 37.051 10.215 1.46018 6 11 76.794% 53.002 26.885 1.79719 7 9 79.133% 28.950 1.816 0.34420 7 10 91.648% 29.440 2.331 0.30421 7 11 96.044% 31.795 4.795 0.30622 8 9 67.193% 30.174 2.885 0.54123 8 10 85.563% 31.356 4.067 0.52624 8 11 92.913% 35.738 8.630 0.549

Tabla 20.5 Medidas clásicas de las carteras

CAMBIOS PARALELOS

La cartera con mayor convexidad es la Cartera 6 (con 71.427).

Le sigue la Cartera 3 (con 71.373 de convexidad).

CAMBIOS NO PARALELOS

La Cartera 19 y la Cartera 20 serían las mejores ya que la Cartera 19 minimiza el M-2 y la Cartera 20 minimiza el Ñ.

CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er) Media

Desv. Estan.

Exce. Curt.

Coef. Asime.

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

1 1 9 21.8% 0.270% 3.355% 20.651 -3.754 4.030% 5.249% 7.536%2 1 10 44.7% 0.273% 2.962% 10.648 -2.699 3.524% 4.600% 6.619%3 1 11 64.1% 0.262% 2.989% 12.205 -2.938 3.568% 4.654% 6.691%4 2 9 21.8% 0.270% 3.508% 22.394 -3.984 4.226% 5.501% 7.892%5 2 10 44.7% 0.272% 3.210% 17.693 -3.407 3.842% 5.009% 7.196%6 2 11 64.1% 0.261% 3.216% 18.063 -3.534 3.861% 5.029% 7.221%7 3 9 26.6% 0.270% 3.450% 20.530 -3.719 4.151% 5.405% 7.756%8 3 10 51.2% 0.272% 3.254% 15.937 -3.134 3.990% 5.200% 7.470%9 3 11 69.9% 0.263% 3.367% 18.196 -3.495 5.351% 6.974% 10.020%10 4 9 26.2% 0.269% 3.481% 19.996 -3.658 4.192% 5.457% 7.829%

Principales Carteras 2000-2003

CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er) Media

Desv. Estan.

Exce. Curt.

Coef. Asime.

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

1 1 9 21.8% 0.110% 3.987% 28.782 3.802 4.999% 6.448% 9.165%2 1 10 44.7% 0.116% 3.348% 9.296 2.091 4.174% 5.390% 7.672%3 1 11 64.1% 0.118% 3.378% 12.702 2.345 4.212% 5.439% 7.741%4 2 9 21.8% 0.109% 4.026% 28.042 3.708 5.050% 6.513% 9.257%5 2 10 44.7% 0.115% 3.392% 8.421 1.907 4.233% 5.465% 7.777%6 2 11 64.1% 0.115% 3.421% 12.515 2.213 4.268% 5.511% 7.842%7 3 9 26.6% 0.110% 4.004% 28.900 3.732 5.021% 6.476% 9.205%8 3 10 51.2% 0.116% 3.396% 7.328 1.715 4.335% 5.597% 7.965%9 3 11 69.9% 0.117% 3.515% 15.235 2.393 5.789% 7.476% 10.641%10 4 9 26.2% 0.108% 4.120% 25.877 3.638 5.172% 6.668% 9.476%

Principales Carteras 1993-1997

Asumiendo Normalidad

VaR y CVaR de las Principales Carteras 2000-2003

VaR y CVaR de las Principales Carteras 1993-1997

Distribuciones Reales

CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er)

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

CVaR 90%

CVaR 95%

CVaR 99%

1 1 9 21.8% 1.313% 2.972% 18.367% 6.401% 10.668% 20.768%2 1 10 44.7% 1.950% 5.766% 13.125% 6.319% 10.335% 15.008%3 1 11 64.1% 1.851% 3.778% 15.185% 6.429% 10.197% 15.675%4 2 9 21.8% 1.671% 2.953% 21.875% 6.482% 10.935% 22.298%5 2 10 44.7% 2.022% 2.891% 16.467% 6.455% 10.652% 19.441%6 2 11 64.1% 1.475% 4.049% 16.211% 6.562% 10.640% 19.254%7 3 9 26.6% 1.666% 3.602% 21.171% 6.503% 10.891% 21.613%8 3 10 51.2% 1.446% 3.546% 14.399% 6.650% 10.800% 18.636%9 3 11 69.9% 1.531% 4.008% 18.210% 6.749% 10.793% 20.265%

10 4 9 26.2% 1.869% 3.785% 21.145% 6.669% 10.911% 21.686%

CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er)

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

CVaR 90%

CVaR 95%

CVaR 99%

1 1 9 21.8% 3.471% 5.039% 8.471% 5.268% 6.423% 9.176%2 1 10 44.7% 3.699% 4.486% 6.099% 4.657% 5.394% 6.481%3 1 11 64.1% 3.026% 4.352% 6.156% 4.742% 5.730% 7.362%4 2 9 21.8% 3.539% 5.564% 8.446% 5.458% 6.653% 9.182%5 2 10 44.7% 3.758% 4.807% 6.725% 5.030% 5.825% 6.787%6 2 11 64.1% 3.021% 4.547% 7.054% 4.994% 6.219% 7.800%7 3 9 26.6% 3.431% 5.477% 9.060% 5.432% 6.703% 9.153%8 3 10 51.2% 3.561% 4.376% 7.094% 5.080% 6.195% 7.186%9 3 11 69.9% 3.215% 4.431% 7.779% 5.104% 6.398% 8.652%

10 4 9 26.2% 3.607% 5.525% 9.305% 5.525% 6.898% 9.430%

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

Perd% CARTERA 1HBono 1 y Bono 9L93- 97

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

CARTERA 1

W1 = 40.35%W9 = 59.65%

CVaR = 5.824%Dm = 4.045Cnx = 26.749M2= 5.28

CARTERA 2

W1 = 45.495%W10 = 54.505%

CVaR = 5.393%Dm = 4.941Cnx = 43.157M2= 18.014

CARTERA 3

W1 = 40.059%W11 = 56.941%

CVaR = 5.443%Dm = 7.366Cnx = 112.407M2= 99.303

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

Perd% CARTERA5HBono 2 y Bono 10L93- 97

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

Perd% CARTERA6HBono 2 y Bono 11L93- 97

CARTERA 4

W2 = 34.932%W9 = 65.058%

CVaR = 6.250%Dm = 4.322Cnx = 29.048M2= 5.286

CARTERA 5

W2 = 43.04%W10 = 56.96%

CVaR = 5.819%Dm = 5.118Cnx = 45.038M2= 18.014

CARTERA 6

W1 = 41.42%W9 = 58.58%

CVaR = 5.869%Dm = 7.548Cnx = 115.603M2= 99.30

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 1993-1997

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

Perd% CARTERA1HBono 1 y Bono 9L00- 03CARTERA 1

W1 = 33.99%W9 = 66.01%

CVaR = 10.386%Dm = 4.373Cvx = 29.447M2= 9.013

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

Perd% CARTERA 2HBono 1 y Bono 10L00- 03 CARTERA 2

W1 = 32.52%W10 = 67.48%

CVaR = 10.302%Dm = 5.886Cvx = 17.443M2= 17.443

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

W1 = 32.17%W11 = 67.83%

CVaR = 9.934%Dm = 8.589Cvx = 133.629M2= 72.589

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

Perd% CARTERA 4HBono 2 y Bono 9L00- 03CARTERA 4

W2 = 33.92%W9 = 57.08%

CVaR = 10.707%Dm = 4.374Cvx = 29.476M2= 4.374

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

W2 =32.51%W10 = 68.49%

CVaR = 10.638%Dm = 5.885Cvx = 53.094M2= 17.456

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

W1 = 40.52%W9 = 59.48%

CVaR = 10.238%Dm = 7.649Cvx = 117.350M2= 65.667

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 2000-2003

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