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Unidad II. Cinemática

Contenido

• Definiciones

• Diagramas de movimiento

• Marco de referencia

• Magnitudes de la cinemática

• Clasificación del movimiento

• Movimiento rectilíneo uniforme

• Movimiento uniformemente variado

• Movimiento en caída libre

• Movimiento de proyectil

• Movimiento circular uniforme

• Movimiento relativo

Definiciones

• Mecánica: estudia el movimiento de los cuerpos. Se divide en dos ramas: cinemática y dinámica.

• Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos.

• Dinámica: estudia las causas del movimiento de los cuerpos.

• Partícula: cuerpo con masa de dimensiones despreciables. En una problema determinado del estudio del movimiento, las dimensiones (tamaño y forma del cuerpo) de la partícula no son consideradas. Es equivalente a considerar un cuerpo como si su masa estuviese concentrada en un punto.

• Marco de referencia: consiste en un sistema de coordenadas más un reloj para medir el tiempo.

• Trayectoria: camino que recorre la partícula

• Movimiento: es el cambio de la posición (donde está) de una partícula en el tiempo.

Diagramas de movimiento

Cuatro cuadros de un video (30 cuadros por segundo), en una posición fija, de un carro que se acerca a un árbol.

Fuente: Randall D., Knight. Physics for scientists and engineers. 2nd. Ed. ,

Diagrama de movimiento: es un diagrama que muestra la posición de una partícula en el tiempo.

A

Transcurrió el mismo tiempo entre una imagen y la próxima

Diagramas de movimiento

• Analice los siguientes diagramas de movimiento (el número 0, 1, 2,3, … indica la secuencia en que se tomaron los cuadros en el video): ¿Cuál carro se mueve más rápido (cada imagen a igual intervalo)?

Fuente: Randall D., Knight. Physics for scientists and engineers. 2nd. Ed.

Diagramas de movimiento

Partícula en reposo

Partícula imágenes igualmente espaciadas: recorre distancias iguales en tiempos iguales

Partícula que incrementa su distancia entre imágenes: aumenta la rapidez

Partícula que reduce su rapidez

Partícula que reduce rapidez al subir y la aumenta al bajar.

Fuente: Randall D., Knight. Physics for scientists and engineers. 2nd. Ed. ,

Marco de referencia

• Posición: dónde está la partícula. Utilizamos un sistema de coordenadas (x,y), por ejemplo, que seleccionamos, con un origen determinado

• Tiempo: Cuándo está la partícula en esa posición. Utilizamos un reloj. Podemos asignar t=0. segundos a una posición determinada. Los tiempos se miden relativo a un origen.

Marco de referencia

• Marco de referencia: es el objeto en el cual colocamos nuestro sistema de coordenadas, y medimos el tiempo.

El movimiento es relativo

• El movimiento siempre se describe respecto a un marco de referencia. Por ejemplo, en cierto marco de referencia el cuerpo se encuentra en reposo, mientras que en otro marco, se mueve de cierta manera.

Marco de referencia 1

Marco de referencia 2

Marco de referencia

Lanzamiento de una pelota de baloncesto

Magnitudes de la cinemática

• Cantidades escalares• Tiempo

• Distancia

• Rapidez media

• Rapidez instantánea o rapidez

• Cantidades vectoriales• Posición

• Desplazamiento

• Velocidad media

• Velocidad instantánea o velocidad

• Aceleración media

• Aceleración instantánea o aceleración

Variables cinemáticasVariable Definición Tipo de

cantidad

Dimensiones

Distancia, s Longitud de la trayectoria

recorrida

Escalar L

Posición, r Distancia respecto al origen

del sistema de referencia

Vector L

Desplazamiento,

Δr

Cambio de posición (posición

final menos posición inicial)

Vector L

Rapidez, v Distancia recorrida en el

tiempo transcurrido

Escalar L/T

Velocidad, v Desplazamiento en el tiempo

transcurrido

Vector L/T

Aceleración, a Cambio de velocidad en el

tiempo

Vector L/T2

Tiempo, t Duración del movimiento Escalar T

L=longitud T= tiempo

Magnitudes de la cinemática

• Tiempo• Notación: t

• Definición: el tiempo es la duración entre dos eventos medidos en el movimiento de una partícula.

• Cantidad: escalar

• Unidad SI: segundo (s)

Magnitudes de la cinemática

• Distancia• Notación: s (espacio del latín spatium) , d

• Definición: Distancia es la longitud de la trayectoria que recorre la partícula.

• Cantidad: escalar

• Unidad SI: metro (m)

Magnitudes de la cinemática

• Rapidez media o promedio• Notación: 𝑣𝑚

• Definición: La rapidez media es la distancia recorrida a l largo de cualquier trayectoria dividida entre el tiempo que duró el recorrido.

𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

𝑣𝑚 =∆𝑠

∆𝑡=

𝑠2−𝑠1

𝑡2−𝑡1• Cantidad escalar• Unidad SI: m/s• Gráficamente: es la pendiente de la secante del gráfico distancia-tiempo

[para cualquier trayectoria]

Magnitudes de la cinemática

• Rapidez instantánea o rapidez• Notación: v• Definición. La rapidez instantánea o rapidez es el valor

límite de la rapidez media determinado cuando el intervalo en el que se hace el promedio (Δt) tiende a cero.

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡• Cantidad escalar• Unidad SI: m/s• Gráficamente: es la pendiente de la recta tangente en un

punto de la curva del gráfico distancia-tiempo

Notación

• 𝑡𝑓 = 𝑡2 = 𝑡 tiempo final

• 𝑡𝑖 = 𝑡1 = 𝑡0 tiempo inicial

• 𝑣𝑥 el subíndice indica el eje x respecto al cual se describe el movimiento

• 𝑣𝑦 el subíndice indica el eje y respecto al cual se describe

Magnitudes de la cinemática

• Posición• Notación: x (para una dimensión), 𝑟

• Definición: La posición es el vector con origen el sistema de coordenadas y punta donde está la partícula. En una dimensión, la posición es la coordenada de la partícula.

• Cantidad vectorial

• Unidad SI: m

x

y

0

𝒓

Trayectoria de la partícula

Posición en el tiempo

Gráfico posición- tiempo

La velocidad media entre los dos tiempos es la

pendiente de la línea recta que conecta ambos puntos.

La velocidad

media de 0 a 3 s

es positiva

La velocidad

media de 2 a 3 s

es negativa

Magnitudes de la cinemática

• Desplazamiento• Notación: ∆𝑥 (en una dimensión), ∆ 𝑟 (en dos o tres

dimensiones)

• Definición. El desplazamiento es el cambio de posición.𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1

• Cantidad vectorial

• Unidad SI: m

x

y

0

𝒓𝟏

∆𝑥

∆𝑟

x0

∆𝑟𝑥2

𝑥1

Magnitudes de cinemática

• Velocidad media• Notación:𝑣𝑚

• Definición: la velocidad es el desplazamiento de la partícula dividido por el tiempo transcurrido.

𝑣𝑚 =∆𝑥

∆𝑡• Cantidad vectorial

• Unidad SI: m/s

• Gráficamente: es la pendiente de la recta secante del gráfico posición-tiempo.

Definiciones

• Velocidad instantánea o velocidad: es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.• Cantidad vectorial

• Notación:

• Unidades SI: m/sv

Gráficamente, es la pendiente de tangente a la trayectoria

0lim

t

rv

t

Definiciones

• Aceleración media: es el cambio de velocidad por unidad de tiempo.• Cantidad vectorial

• Notación:

• Unidades SI: m/s2ma

m

va

t

En un gráfico velocidad-tiempo la aceleración

media es la pendiente de la recta secante

Definiciones

• Aceleración instantánea o aceleración: es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. • Cantidad vectorial

• Notación:

• Unidades SI: m/s2

a

0lim

t

va

t

En un gráfico velocidad-tiempo la aceleración es la pendiente

de la recta tangente

Recordar que

• Velocidad y aceleración al ser cantidades vectoriales pueden cambiar si varían en:• Magnitud

• Dirección

• Magnitud y dirección

Un vehículo se mueve a 80 km/h en una trayectoria curvilínea.

Un carrusel se mueve a 20 km/h en movimiento circular

Clasificación del movimiento

• Según su naturaleza• Movimiento de traslación: es el movimiento de una

partícula a lo largo de una trayectoria

• Movimiento de rotación: el cuerpo gira respecto a un eje.

• Movimiento de vibración: el cuerpo se mueve en todas las direcciones

El movimiento puede ser:

• Movimiento de traslación:

• Movimiento de rotación:

• Movimiento vibratorio:

Clasificación del movimiento

• Según las dimensiones• Movimiento en una dimensión o movimiento rectilíneo

• Movimiento en dos dimensiones o movimiento en el plano

• Movimiento en tres dimensiones o movimiento en el espacio

Clasificación del movimiento

• Según la trayectoria• Movimiento rectilíneo: trayectoria es una recta

• Movimiento curvilíneo: la trayectoria es una curva.• Movimiento circular: la trayectoria es un círculo

• Movimiento no circular: la trayectoria no es un circulo

Movimiento según la trayectoria

• Movimiento rectilíneo:

• Movimiento curvilíneo• Movimiento circular

Clasificación del movimiento

• Según la aceleración• Aceleración = cero (a=0) : Movimiento rectilíneo

uniforme (MRU)

• Aceleración = constante (magnitud y dirección constantes): Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

• La aceleración tiene la misma dirección que la velocidad

• Movimiento rectilíneo uniformemente retardado• La aceleración tiene dirección opuesta a la velocidad

• Aceleración = variable: Movimiento variado

Movimiento rectilíneo

x

t

x

t

x x

t t

v

t

v

t

v v

t t

t t t t

a a a a

MRU MRUV

Acelerado

MRUV

Retardado

Movimiento

Variado

Gráfico posición-tiempo

Gráfico velocidad-tiempo

Gráfico aceleración-tiempo

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

• Definición. Movimiento con velocidad constante (aceleración es nula) , el desplazamiento es directamente proporcional al tiempo

𝑣 =∆𝑥

∆𝑡= constante

• Gráficos (interpretación de áreas y pendientes)• Posición-tiempo

• Velocidad-tiempo

• Aceleración-tiempo

Gráficos de la cinemática e interpretación geométrica de pendiente y área debajo de la curva

Gráfica posición-tiempo Gráfica velocidad-tiempo Gráfica aceleración-tiempo

Posic

ión

Tiempo,

Pendiente=velocidad

Tiempo, Tiempo,

Velo

cid

ad

Acele

ració

n

Pendiente=Aceleración

Área=desplazamiento

0 00

MRU

Velocidades diferentes Velocidades iguales en posiciones diferentes

)(BMovil

)(AMovil

t

x

o

)(AMovil

)(BMovilP

t

x

o

Representación gráfica de un movimiento uniforme de velocidad ; a partir de una posición diferente de cero.

t

x

o

Movimiento con aceleración constante

• Si la aceleración es constante,

el gráfico es:

a

t

Por tanto, el gráfico

rapidez-tiempo es:

v

t

v

t

Analicemos el caso más general con velocidad inicial distinta de cero y aceleración constante

v

ttfto

vo

vf

Como ya vimos, el área

debajo de este gráfico es

igual a distancia recorrida

Podemos ver la figura

de dos formas:

a) Como un trapecio

b) Como un

rectángulo y un

triángulo

t avv

tt

vva

xxox

xox

t tllamemosy 0, t tomemos, 21

12

vxo

vx

t

vxo

t

t

axt

Analicemos el caso más general de movimiento rectilíneo uniformemente variado MRUV (a=constante)

v

tt2t1

vxo

vx

tavv xxox

a) Como trapecio:

b) Como rectángulo más triángulo:

tvv

x xxo )2

(

2

21

21 )(

tatvx

ttatvx

xxo

xxo

Ecuaciones del MRUVt avv xxox

tvv

x xxo )2

(

2

21 tatvx xxo

Hasta ahora tenemos que:

Busquemos una ecuación que no contenga a t, partiendo de las

dos primeras ecuaciones, despejando a t en la primera y

sustituyendo en la segunda:

x

xox

a

vvt

)(2

)(2

2

))(2

(

22

22

22

xavv

vvxa

a

vvx

a

vvvvx

xxox

xoxx

x

xox

x

xoxxxo

2

21 tatvxx xxoo

2

21 tatvxx xxoo

Ecuación

Ecuaciones del MRUV

t avv xxox

tvv

x xxo )2

(

2

21 tatvx xxo

)(222 xavv xxox

a vf vo t Δx

Por último, la velocidad media vm

2xox

m

vvv

vf

vo

t

vm

(a constante)

[sólo para aceleración constante]

Relación entre aceleración y velocidad

Caso 1. a≠0, v=0La velocidad puede ser cero aunque la aceleración

sea no nula. Por ejemplo, un cuerpo en reposo (v=0) se acelera.

Caso 2. a=0, v≠0Por ejemplo, un cuerpo se mueve con rapidez

constante en línea rectaCaso 3. Desaceleración¿Cómo sabemos que un cuerpo está desacelerando?

En primer lugar, NO necesariamente por el signo negativo de a

Relación entre aceleración y velocidad

Ocurre desaceleración cuando la dirección del vector aceleración es opuesta al vector velocidad. En casocontrario, se dice que acelera.

0

vi=15 m/s vf=5 m/s

2/2

05

/15/5

sm

ss

smsm

tt

vva

if

if

ti=0 s tf=5 s

a=-2 m/s2

Aceleración apunta a la izquierda

0

vf=-5 m/s vf=-15 m/s

2/2

05

)/15(/5

sm

ss

smsm

tt

vva

if

if

ti=0 stf=5 s

a=+2 m/s2

Aceleración apunta a la derecha

Movimiento rectilíneo retardado:

observe que la magnitud de la

velocidad disminuye

𝑣

𝑎

𝑣

𝑎

Movimiento rectilíneo

acelerado:

observe que la magnitude de la

velocidad aumenta

Caída libre• Movimiento bajo el efecto de la aceleración

de la gravedad= 9.8 m/s2

• Todos los cuerpos caen a la misma aceleración sin importar su masa, despreciando el efecto de la resistencia del aire.

• El valor de la g depende de la masa del cuerpo (Tierra, Luna, Sol, etc.) de la altitud, etc.

• El vector aceleración de la gravedad g apunta al centro de la tierra

Caída libre

• Las ecuaciones del movimiento de caída libre son idénticas al MRUV, sustiyendo

si se toma la dirección vertical negativa hacia abajo.

-

+

0

-g

gt vv yoy

tvv

yyyo)

2(

2

21 gttvy yo

)(222 ygvv yoy

y

x

𝑎𝑦 = − 𝑔

Movimiento de proyectiles

• Se compone de dos movimientos independientes:• Un movimiento horizontal: movimiento rectilíneo

uniforme (MRU)

• Un movimiento vertical: movimiento rectlíneouniformemente variado (MRUV) (caída libre)

El movimiento de proyectirl es un movimiento en dos dimensiones cerca de la superficie de la Tierra.

En el lanzamiento horizontal los movimientos horizontal y vertical son independientes

vx

vx

vx

vx

vy

vy

vy

vx

vx

vx

vxvy

vyvy

vy==0

• El movimiento de un proyectil o en el plano tiene una trayectoria parabólica. Alcanza la máxima altura cuando el ángulo es 45 grados.

Fuente: Giancoli vol. 1

Movimiento de proyectil

Ecuaciones del movimiento de proyectil

Fuente: Giancoli

Movimiento circular uniforme

O

θ

r

A

s

B

v

Posición angular θ: Angulo en radianes.

Desplazamiento angular Δθ

Variacíón en el ángulo, se mide en

radianes.

Desplazamiento lineal: s

Variación en la longitud de la circunferencia

recorrida. Se mide en metros.

Velocidad angular ω

Igual al desplazamiento angular entre intervalo

de tiempo. Se mide en radianes/segundo

Velocidad lineal o tangencial v

Igual al desplazamiento lineal entre el

intervalo de tiempo. Se mide en m/s

La partícula tiene una trayectoria

circular con rapidez constante,

La velocidad cambia de dirección en

cada punto del la circunferencia

Período y frecuencia

• Período T: es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa: , t= tiempo, n= número de vueltas o revoluciones o ciclos. Se mide en segundos

𝑇 =𝑡

𝑛• Frecuencia f : es el número de vueltas por unidad

de tiempo. Se mide en Hertz (Hz)=1/s=s-1

𝑓 =𝑛

𝑡

𝑓 =1

𝑇

Movimiento circular uniforme

rv

f

T

rfv

T

rv

t

t

sv

2

2

2

2

f= frecuencia

el número de vueltas, ciclos o

revoluciones por unidad de tiempo

Se mide en 1/s = Hertz Hz

T = período

tiempo que tarda en dar una vuelta,

revolución o ciclo completo

Se mide en s.

v= velocidad tangencial o lineal, m/s

ω= velocidad angular, rad/s

r= radio

π= 3.1415…

θ= desplazamiento angular, radián

s= desplazamiento lineal, m

Movimiento Circular Uniforme

1v

2v

O

θ

vvv 21

r

A

B

r=radio

O=centro

Θ=ángulo

V1=velocidad tangencial en A

V2= velocidad tangencial en B

s= el arco que subtiende la

cuerda AB

θ

1v

2v

12 vvv

Diagrama vectorial

Movimiento Circular Uniforme

r

AB

v

vv

12

r

v

t

AB

t

vv

12

Dividiendo entre Δt y rearreglando términos:

Si consideramos un ángulo muy pequeño,

Entonces la cuerda AB y el arco que subtiende

son prácticamente iguales. Por tanto, AB=Δs

r

vva

r

v

t

s

t

vv

12

r

vac

2

El triangulo OAB es semejante al triángulo del diagrama vectorial, Por tanto:

Aceleración centrípeta,apunta al centro

Movimiento circular uniforme

• Conclusiones:• La velocidad tangencial cambia de dirección pero no de

módulo.

• La aceleración resultante apunta al centro, se llama aceleración centrípeta.

• La aceleración centrípeta es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad e inversamente proporcional al radio

Velocidad relativa

Consideremos a un observador sentado en una estación de autobús.

Su marco de referencia es la Tierra considerada fija. Al pasar un autobús,

una persona dentro del autobús se mueve. Consideremos al autobús otro

marco referencial. La pregunta es cuánto es la velocidad de la persona que se

mueve en el autobús respecto al observador estacionario sentado en la

parada.

Observador

v

Tierra, T

Autobús, A

ΔxPT

ΔxAT

ΔxPA

PT = persona respecto a la Tierra

AT= autobús respecto a la Tierra

PA= persona respecto al autobús

Movimiento relativo

• Todo movimiento es relativo al marco de referencia

Velocidad relativa

ATPAPT

ATPAPT

vvv

xxx

miembros, ambost entre dividiendo

ATPAPT vvv

Para plantear correctamente la relación entre velocidades, es conveniente

Seguir las siguientes reglas (Giancoli, pp 66-67):

1. Identifique cada velocidad empleando dos subíndices. El primer subíndice

se refiere al objeto y el segundo, al marco de referencia respecto al cual

se indica la velocidad.

2. La suma vectorial se plantea de tal modo que el orden de los subíndices sea

Tal que los subíndices interiores adyacentes sean iguales.

Velocidad relativa

ATPAPT vvv

Subíndices internos

Obsérvese la correspondencia entre subíndices.