movimientos rectilíneos: son los que tienen una trayectoria recta. movimientos curvilíneos: son...

Movimientos rectilíneos: son los que tienen una trayectoria recta.

Movimientos curvilíneos: son los que tienen una trayectoria curva (circular, elíptica, parabólica, etc.).

Tomando como referencia la trayectoria:

Tomando como referencia las componentes intrínsecas de la aceleración:

v

Trayectoria Tipos de movimientos │ │

at an

Movimientos Rectilíneos

M. Rectilíneo Uniforme cte. 0 0

M. RectilíneoUniformemente variado

acelerado aumenta > 0 y cte 0

retardado disminuye < 0 y cte 0

M. Rectilíneo Variado # cte. # cte 0

Movimientos curvilíneos

M. Circular Uniforme cte. 0 # 0 y cte

M. Circular Uniformemente variado

acelerado aumenta > 0 y cte # 0 y cte

retardado disminuye < 0 y cte # 0 y cte

Otros # cte. # cte # 0 , #cte

El vector , tiene dirección constante, pero no necesariamente la misma que y .

Un movimiento es rectilíneo cuando su trayectoria es una línea recta.

Ir - r r F

Fr

Ir

No obstante, para mayor sencillez, se va a tomar el origen de coordenadas sobre la trayectoria y, además, se hace que ésta coincida con uno de los ejes cartesianos.

Entonces las direcciones de , y van a coincidir y, en consecuencia, también coincidirán las direcciones de los vectores y y se pueden manejar las correspondientes ecuaciones vectoriales como ecuaciones escalares.

Ir - r r F

Fr

Ir

Dentro de los movimientos rectilíneos se van a estudiar dos:

v

a

k z(t) j y(t) i (t) x r

Ir - r r F

dtrd

v

cte

t

x v

nt a a dt

vda

t

v

Magnitud Física

Tipo de movimiento

CualquieraRectilíneo uniforme

Rectilíneo uniformemente

variado

Posición xF = xI + v t xF = xI + v t + 0'5 a t2

Desplazamientox = xF- xI

x = v t

x = xF - xI

x = v t + 0'5 a t2

Velocidad vF = vI + a t

Aceleraciónan = 0, at = 0

a = 0

an = 0,

a = at =

Aunque no hay una dirección privilegiada, por convenio internacional se ha adoptado el siguiente criterio de signos:

Posición: se considera positiva si el móvil se encuentra a la derecha del origen y negativa si se encuentra a la izquierda. En movimientos verticales, será positiva si se encuentra por encima del origen y negativa cuando está por debajo del origen.

Desplazamiento: se considera positivo si un móvil se mueve hacia la derecha y negativo si se mueve hacia la izquierda. En los movimientos verticales consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo.

Velocidad: t

x v

tiene siempre el mismo sentido que el desplazamiento, por tanto, se considera positiva si el móvil se mueve hacia la derecha y negativa si se mueve hacia la izquierda.

x = +

x = -

v = +

v = -

Aceleración: depende de dos cosas:

• De que la velocidad esté aumentando o disminuyendo.• De que el cuerpo se desplace en sentido positivo o negativo.

Si el módulo de la velocidad de un móvil aumenta (acelera), la aceleración (tangencial) tiene el mismo sentido y el mismo signo que la velocidad.

Si el módulo de la velocidad de un móvil disminuye (frena), entonces su aceleración (tangencial) tiene el sentido y el signo contrario al de la velocidad.

El convenio que se ha tomado es:

v = + a = +v = - a = -

v = + a = -v = - a = +

Si V > 0

Si V < 0

La gráfica posición-tiempo es una línea recta que corta al eje de ordenadas en xi, y su pendiente se identifica con el módulo de la velocidad.

Gráfica posición-tiempo:

La ecuación del movimiento es: x = xi + v t

El módulo de la velocidad es constante, por lo que la gráfica velocidad-tiempo es una línea recta paralela al eje de abcisas.

Gráfica velocidad-tiempo:

La ecuación: v = cte

La gráfica posición-tiempo es una parábola (con existencia para t > 0), que corta al eje de ordenadas en xi, y su pendiente se identifica con el módulo de la velocidad.

Si el módulo de la velocidad aumenta con el tiempo, la aceleración tiene el mismo signo que la velocidad y si disminuye tiene el signo contrario.

Gráfica posición-tiempo:

La ecuación del movimiento es: x = xi + vi t + 0'5 a t2

La gráfica velocidad-tiempo es una recta (no horizontal) cuya pendiente dependerá del signo de la aceleración.

Gráfica velocidad-tiempo: La ecuación es: v = vi + a tEl módulo de la velocidad varía con el tiempo.

En un caso, a > 0, y la pendiente de la recta es positiva. En el otro caso, a < 0, y la pendiente de la recta es negativa. En ambos casos a = cte (distinta de cero).

El módulo de la aceleración es constante, por lo que la gráfica aceleración-tiempo es una línea recta paralela al eje de abcisas.

Gráfica aceleración-tiempo: La ecuación: a = cte

Cuestión 1: Observa la animación y contesta:a) ¿La velocidad es constante o variable? ¿Positiva o negativa?b) ¿Qué dato de la trayectoria lo indica?c) ¿Qué dato de la gráfica-posición tiempo lo indica? ¿Y de la gráfica velocidad-tiempo?d) ¿Cómo es la aceleración?

Un cuerpo lleva un movimiento de caída libre cuando se deja caer (o es lanzado hacia arriba) verticalmente y solo actúa sobre él la fuerza de la gravedad.

Se trata de un caso especial de movimiento rectilíneo uniformemente variado, por tanto las ecuaciones son las mismas, con una diferencia: la aceleración que llevan los cuerpos en caída libre es la aceleración de la gravedad que se representa con la letra g y es, en la Tierra, aproximadamente igual a 9'8 m/s2.

La ecuaciones son:

Posición: yF = yi + vi · t + 0'5 · g · t2

Desplazamiento: y = yF - yi = v · t + 0'5 · g · t2

Velocidad: vF = vi + g · t

Aceleración: g = ± 9'8 m/s2

Se considera g positiva (tiene el mismo sentido que la fuerza de gravedad) cuando el objeto cae y negativa (tiene sentido contrario a la fuerza de gravedad) cuando el objeto se lanza hacia arriba.

El valor de g es algo diferente según estemos al nivel del mar, o en lo alto de una montaña, o si estamos cerca del Ecuador, o cerca de los polos.

Pero como las variaciones son pequeñas, se considera válido tomar siempre el valor g = 9'8 m/s2.

Cuestión 7: Desde lo alto de un edificio se dejan caer Burt Simpson, un elefante y una pluma, ¿Cuál llegará antes al suelo? ¿Por qué?

Hay dos casos posibles:

Sin rozamiento: todos los cuerpos tardan el mismo tiempo en caer desde la misma altitud.

Con rozamiento: tarda menos tiempo en caer, desde la misma altitud, el cuerpo que tenga menos rozamiento con el aire, es decir el más aerodinámico. No depende de la masa.

De acuerdo con la segunda ley de Newton la aceleración de un cuerpo:

Al caer, el elefante experimenta una fuerza de atracción gravitatoria mucho mayor que la pluma (lo que tendría que producir una gran aceleración), pero, por otro lado, cuanto mayor sea la masa de un objeto más inercia presenta, es decir más resistencia a cambiar su estado de reposo o movimiento (menor aceleración).

Es la relación fuerza/masa la que determina la aceleración que adquieren los objetos y, en la Tierra esta relación (g) es la misma para todos los objetos.

mF

a

Si un cuerpo se ve sometido simultáneamente a dos movimientos independientes, el resultado es un movimiento compuesto que es consecuencia de la combinación de los dos primeros.

Principio de independencia de los movimientos: cuando un punto material se ve sometido por causas distintas a dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de que se imagine que los movimientos tengan lugar sucesiva o simultáneamente.

Caso 1: una canoa que navega, con velocidad , por un río a favor de la corriente que tiene velocidad , su desplazamiento respecto a la orilla puede calcularse:

cv

av

a) Como si la canoa bajase por el río durante un tiempo t, estando el agua parada, y a continuación la canoa se parase y el agua la arrastrase durante el mismo tiempo.

ΔtvrΔ cc

ΔtvrΔ aa ac rΔrΔrΔ

b) Como si los dos movimientos tuviesen lugar simultáneamente, bajando la canoa por el río durante el tiempo t, a una velocidad que es igual a la suma de la velocidad de la canoa y la velocidad del agua.

ac vvv

ΔtvrΔ

Caso 2: Tiro oblicuo o parabólico: Salto de un motorista que sale de una rampa con una velocidad inicial, , de una rampa que tiene una inclinación, , respecto a la horizontal.

iv

El motorista describe un movimiento parabólico puede considerarse como el resultado de la composición de dos movimientos:

Movimiento rectilíneo uniforme en dirección horizontal: tras salir de la rampa, no existen fuerzas que actúen sobre el motorista en dirección horizontal, por lo que, en esa dirección no existe aceleración (no se tienen en cuenta las fuerzas de rozamiento del aire). Por tanto:

cte cosαvvv iixx i

i

tcosαvx i

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en dirección vertical: ya que actúa la fuerza de la gravedad que va dirigida hacia abajo y produce una aceleración (-g), por tanto:

j

senαvv iiy

j

)tg0'5-tsenαv(y 2i

j

t)gsenαv(v iFy

ji

)tg0'5-tsenαv( tcosvr 2ii

ji

t)gsenαv( cosvv iiFy

El desplazamiento global:

La velocidad global, en cada instante:

Más ejemplos de tiro parabólico:

Caso 3: Tiro horizontal: se trata de un caso límite del tiro oblicuo, en el que el ángulo de lanzamiento con la horizontal es de 0°.

El motorista describe un movimiento que se puede considera que es el resultado de la composición de dos movimientos:

Movimiento rectilíneo y uniforme en dirección horizontal: la velocidad inicial solo tiene componente x, por tanto:

Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado en dirección vertical: en este caso, el móvil cae, desde el primer momento, bajo la acción de la fuerza de gravedad, partiendo del reposo, porque la velocidad inicial no tiene componente y, por tanto:

cte vvv iixx i

i

tvx i

j

0v iy j 2tg-0'5y j

tgvFy

ji 2

i tg0'5- tvr

ji

tg vv iFy

El desplazamiento global:

La velocidad global, en cada instante:

Es aquel movimiento en el que la trayectoria descrita por el punto móvil es una circunferencia. En este caso se elige como origen de referencia el centro de la circunferencia

r

r

El vector de posición, : es un radiovector, con origen en el centro de la circunferencia, de módulo constante y que cambia de dirección en cada instante.

O

Ejemplos de movimientos circulares:

Pero es más práctico utilizar unas nuevas magnitudes físicas basadas en el ángulo () barrido por el vector que indica la posición del móvil en cada instante ( ), llamadas magnitudes angulares.

Para describir este tipo de movimiento se pueden utilizar las magnitudes: posición ( ), desplazamiento ( ), velocidad ( ), aceleración ( ), que reciben el nombre de magnitudes lineales.

r

a

r

v

r

r

La velocidad angular ( ): es una magnitud vectorial que mide la rapidez de variación del ángulo barrido por el radiovector por unidad de tiempo.

Ángulo barrido por el radiovector (): es una magnitud adimensional y se expresa en radianes.

Es un vector axial, es decir, su dirección es perpendicular al plano que contiene a la trayectoria descrita, su sentido viene dado por el sentido de avance de un sacacorchos, que gire en el sentido en que gire el móvil. Unidad: s-1 o el rad/s.

Velocidad angular instantánea, , es la velocidad angular que lleva el móvil en un punto o momento determinado.

Su módulo:

Velocidad angular media, , se utiliza cuando hay que calcular la velocidad en un intervalo. Su módulo:

m

t

=

t

- = IF

m

dtd

=

La aceleración angular, , es una magnitud vectorial que mide la rapidez de variación de la velocidad angular con el tiempo. Es un vector axial cuyo sentido es el de la velocidad angular. Unidad: rad/s2 o bien s-2.

Aceleración angular instantánea, , es el valor de la aceleración angular en una posición o instante determinado. Su módulo:

Aceleración angular media, , se utiliza cuando hay que calcular la aceleración angular en un intervalo. Su módulo:

t

=

t

-= IF

m

dtd

=

m

Movimiento circular uniforme (M.C.U.): el módulo de su velocidad angular es constante y, por tanto, su aceleración angular es cero.

Movimiento circular uniformemente variado (M.C.U.V.): el módulo de la velocidad angular no es constante.

Dentro de los movimientos con trayectoria circular se van a estudiar dos:

cte t

cte

t

=

T = 2

f = 1

T =

2

Movimiento M.C.U. M.C.U.V. Relación

Ángulo F =I + t F = i + t +0'5 t2

Desplazamiento angular

=F -I = t =F - i = i t +0'5 t2 S = . r

Velocidad angularF = i+ t v = · r

Aceleración angular = 0

Componentes intrínsecas

at = 0

an = 2· r

at = a · r

an = 2 · r

at = a · r

an = 2 · r

Periodo:

Frecuencia:

Se dice que el movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, porque a intervalos iguales de tiempo se repiten los valores del vector de posición, de la velocidad, de la aceleración, etc.).

Periodo, T, es el tiempo empleado por el móvil en describir un giro completo y, por tanto, en repetir los valores de las magnitudes antes mencionadas.

2

= T

2 radianes equivale a dar una vuelta completa, es decir a 360º

Frecuencia, f: es el número de vueltas que el punto móvil da en un segundo. Por consiguiente, la frecuencia será la inversa del periodo (expresado en segundos).

2

= T

1 = f

La unidad de frecuencia en el S.I. es el s-1, también conocido como hertzio (Hz).

Cuestión 8:¿Cuál es el periodo de rotación de la Tierra?

¿Y cuál es su frecuencia?

24 horas = 86400 s

115 s 0'000012s101'286400

1=

T

1 = f

Cuestión 9: ¿Cuál es el periodo del movimiento circular descrito por cada unas de las agujas de este reloj?

El segundero = 1 min = 60 s

El minutero= 1 h = 3600 s

La horaria = 12 h = 43200 s

Cuestión 10: El tambor de una lavadora, en la fase de lavado normal, tiene una frecuencia de giro de unos 20 Hz. ¿Cuál será su velocidad angular?

rad/s 223'3s

rev 23'3

s 60

min 1

min

rev 1400r.p.m. 1400

2

= f

Cuando centrifuga, la velocidad angular puede alcanzar los 1400 r.p.m. ¿Cuál será frecuencia en ese caso?

rad/s 125'63'14 2 20 π 2f =

Hz 23'32

223'3

2 = f

movimientos rectilíneos: son los que tienen una trayectoria recta. movimientos curvilíneos: son...

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