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Alonso Fernández Galián
- 1 -
TEMA 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD
Los límites, introducidos por Cauchy en el siglo XIX, son una herramienta técnica que permite
dar rigor a los argumentos que involucran al infinito.
7.1 CONCEPTO DE LÍMITE. EJEMPLOS
Formalmente existen dos tipos de límites: en un punto y en el infinito. Veámoslos por separado.
Límite de una función f en un punto ax . El límite de una función en un punto puede ser es-
tudiado por la izquierda o por la derecha:
• Se denomina límite de f cuando x tiende a ax por la izquierda al número al que se aproxi-
ma la función según tomamos valores de x más próximos a a, pero menores que el propio a. Se
denota por:
)(lim xfax
• Análogamente, se denomina límite de f cuando x tiende a ax por la derecha al número al
que se aproxima la función según tomamos valores de x más próximos a a, pero mayores que a.
Se denota por:
)(lim xfax
Si los límites por la derecha y por la izquierda coinciden, el valor resultante se denomina sim-
plemente límite de la función f en el punto ax :
LxfLxf
Lxf
ax
ax
ax
)(lim)(lim
)(lim
•Ejemplo: Determinar mediante una tabla de valores el límite de 53)( xxf cuando x
tiende a 4 por la derecha:
...001,703,73,710
...001,401,41,45
y
x
de la tabla se deduce:
7)(lim4
xfx
•Ejemplo: Determinar mediante una tabla de valores el límite de la función 1)( 2 xxf
cuando x tiende a 2 por la izquierda:
...996001,49601,461,42
...999,199,19,11
y
x
de la tabla se deduce:
5)(lim2
xfx
Matemáticas I
- 2 -
Analíticamente, el límite en el punto ax se define como sigue:
Lxfax
)(lim
Para cualquier número 0 , existe un número 0 tal que si tomamos
valores de x en el intervalo aa , , entonces Lxf )( .
Límite en el infinito. Se denomina límite de f cuando x tiende al infinito al número L al cual se
aproxima la función a medida que tomamos valores de x cada vez más grandes. Se escribe:
Lxfx
)(lim
Analíticamente, se tiene:
Lxfx
)(lim
Para cualquier número 0 , existe un valor 0x tal que si tomamos valo-
res de x mayores que 0x , entonces Lxf )( .
Gráficamente, el límite de una función
cuando x tiende a indica el comporta-
miento de la función a medida que nos
desplazamos más a la derecha:
La recta 5y es una asíntota horizontal
de la función.
Veamos más ejemplos:
•Ejemplo: Determinar mediante tablas de valores el límite cuando x tiende a 0 de:
xx
xxf
2
3)(
2
(i) El límite por la izquierda es:
...50008,15008,15075,15789,1
...0001,0001,001,01,0
y
x 5,1)(lim
0
xf
x
(ii) El límite por la derecha es:
...4999,14992,14925,14286,1
...0001,0001,001,01,0
y
x 5,1)(lim
0
xf
x
(iii) Como los límites laterales son iguales, concluimos que:
5,1)(lim0
xfx
•Ejemplo: Determinar el límite de la siguiente
función cuando x tiende .
2
5)(
x
xxf
Hacemos una tabla dando a x valores cada vez
más grandes:
...999,4990,4902,4167,4
...10000100010010
y
x
Concluimos que:
5)(lim
xfx
Tema 7: Límites y continuidad
- 3 -
Análogamente podemos considerar límites cuando x tiende a .
•Ejemplo: Determinar el límite de la siguien-
te función cuando x tiende .
2)(
2
x
xxxf
Tabla de valores:
...00,999701,99706,975,7
...10000100010010
y
x
La función crece ilimitadamente. Escribimos:
)(lim xfx
Gráficamente:
•Ejemplo: Determinar el límite de la siguiente función cuando x tiende .
132
93)(
x
xxf
Tabla de valores:
...4999,1495,1451,1182,1
...10000100010010
y
x
Se obtiene:
5,1)(lim
xfx
Gráficamente, el límite de f cuando x tiende a indica el comportamiento de la función
a medida que nos desplazamos más hacia la izquierda en la gráfica:
•Ejemplo: Determinar el límite de la si-
guiente función cuando x tiende .
x
xxf
2
16)(
Tabla de valores:
...0005,3005,305,35,3
...10000100010010
y
x
Concluimos que:
3)(lim
xfx
Gráficamente:
Matemáticas I
- 4 -
7.2 OPERACIONES CON LÍMITES
El cálculo de límites mediante tablas de valores, además de pesado, es poco preciso. Vamos a
dedicar las próximas secciones a estudiar las técnicas algebraicas necesarias para calcular lími-
tes de una manera más práctica.
Nota: Las propiedades siguientes son válidas tanto cuando la variable x tiende a un punto como
cuando tiende al infinito. Así, por brevedad, escribiremos “ ax ” para uno y otro caso.
Límites y operaciones: Los límites conmutan con las operaciones aritméticas. Es decir:
1. El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de las funciones:
gfgfaxaxax
limlimlim
2. El límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las funciones:
gfgfaxaxax
limlimlim
3. El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de las funciones:
gfgfaxaxax
limlimlim
4. El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones:
g
f
g
f
ax
ax
ax
lim
limlim
5. El límite de una potencia con funciones es igual a la potencia de los límites de las funciones:
g
ax
g
ax
axff
lim
limlim
Cálculo de límites: evaluación de la función. Para calcular el límite de una función cuando ax se sustituye x por a y se opera. Para operaciones con 0 y con el infinito tenemos:
1 si ,00
1 si ,00
0
kkk
k
kkk
kk
k
k
para cualquier k ℝ+.
Tema 7: Límites y continuidad
- 5 -
Indeterminaciones. Hay ciertas operaciones con 0 o con infinito cuyo resultado no está definido
de antemano, sino que depende de las funciones concretas que se estén considerando. Son:
00 0100
0
Estas expresiones se denominan indeterminaciones. Posteriormente veremos cómo resolverlas.
Límite de funciones polinómicas cuando x . En las funciones polinómicas se observa que
cuando x toma valores muy grandes el término de mayor grado “domina” sobre el resto. Así:
0 si
0 silim...lim 1
a
aaxdcxbxax n
x
nn
x
Y lo mismo ocurre cuando x , pero teniendo en cuenta si el exponente es par o impar.
Demostración:
n
nnn
x
nn
x ax
dcxbxaxaxdcxbxax
...lim...lim
11
n
x
n
xnn
n
xaxax
ax
d
ax
c
ax
bax
lim0...01lim...1lim
1
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites
en un punto:
(a) 534232lim4
xx
(b) 0
2
3
2lim
3 xx
(c) 4
1
2
1lim
6
xx
(d) 05
0
1
4lim
4
x
x
x
(e) 07
0
7
2lim
2
x
x
(f) 11
1
3
1
3
1lim
00
xx
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites
en el infinito:
(a)
3535lim xx
(b) 01
4
1
4
1lim
xx
(c)
55
3lim
2x
x
(d) 1011
11
1lim
xx
(e)
33lim x
x
(f) 01
2
122lim
x
x
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites:
(a)
325lim 23 xxx
(b)
14lim 3 xxx
(c)
64lim 2 xxx
(d)
32lim 25 xxx
Matemáticas I
- 6 -
7.3 RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
Los límites con expresiones indeterminadas se calculan manipulando adecuadamente la función
hasta que la indeterminación desaparezca. Presentamos a continuación los casos más frecuentes.
Indeterminación del tipo / cuando x . Se resuelve dividiendo el numerador y el deno-
minador entre la mayor potencia de x.
Muchos otros casos de indeterminación pueden reducirse al tipo / mediante algún cálculo.
Las indeterminaciones del tipo en las que x está afectada por una raíz se resuelven multi-
plicando y dividiendo por la expresión conjugada.
•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:
(a) 07
0
007
00
327
13
lim327
13
lim327
13lim
32
3
3
3
3
2
3
2
xx
xx
x
xx
x
x
xx
x
xxx
(b) 2
1
06
3
16
3lim
6
3
lim6
3lim
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
xx
x
xxx
(c)
0
1
00
01
12
31
lim12
3
lim12
3lim
42
3
4
2
4
4
2
4
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
Para introducir un factor dentro del signo radical hay que elevarlo al índice de la raíz:
(d) 21
4
31
14
lim3
14
lim3
14
lim3
14lim
22
22
2
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxxx
Nota: En la práctica la indeterminaciones del tipo / pueden resolverse directamente
comparando los grados del numerador y del denominador.
•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:
(a) 01
0
31
1
lim3
lim3
lim03lim1
x
x
x
xx
x
x
xxx
xxxx
(b)
22
12lim
12
212lim
12
1lim
2222
x
xx
x
xxx
x
xx
xxx
Tema 7: Límites y continuidad
- 7 -
Nota (límites cuando x ): Los límites cuando x tiende se calculan de manera similar
a los límites cuando x tiende a . También pueden calcularse mediante el cambio de variable
tx , que los convierte en límites con t tendiendo a . Por ejemplo:
332
6lim
332
6lim
332
6lim
2
3
2
3
2
3
tt
t
tt
t
xx
x
tt
tx
x
Indeterminación del tipo 0/0 cuando x tiende a un punto. Se resuelven factorizando el numera-
dor y el denominador para simplificar el factor que los anula.
Si x está afectada por una raíz se multiplican el numerador y el denominador por la expresión
conjugada para que aparezca explícitamente el factor que los anula.
•Ejemplo: Calcula el siguiente límite:
xx
xxxxxx
xx 1
11lim1lim
0
1
1
1lim
1
1lim
1
1lim
22
xxxx
xx
xx
xx
xxx
•Ejemplo: Calcula el siguiente límite:
2255516
165lim
1616
165lim
0
0
16
5lim
x
xx
xx
xx
x
x
xxx
216lim5
165lim
55
x
x
xx
xx
•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:
(a) 2
3
4
6
1
3lim
)3)(1(
)3)(3(lim
0
0
32
9lim
332
2
3
x
x
xx
xx
xx
x
xxx
(b)
0
3
2
3lim
)2(
)2(3lim
0
0
44
63lim
22222 xx
x
xx
x
xxx
Otras indeterminaciones pueden reducirse fácilmente al caso anterior:
(c) 2
3
)1)(1(
)2)(1(lim
0
0
)1)(1(
2lim
1
2
1lim
1
2
121
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxx
Matemáticas I
- 8 -
7.4 EL NÚMERO e
Las indeterminaciones del tipo 1 se resuelven a partir de la definición analítica del número e:
...71828,21
1lim
x
x xe
Así, en indeterminaciones del tipo 1 se manipula la expresión para buscar el límite anterior.
Nota: En general, para cualquier función )(xu que tienda a cuando x , se tiene:
exu
xu
x
1
11
)(
11lim
)(
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites:
(a) ex
x
x
1
11lim
(b) 3
33
11lim1
11lim e
xx
x
x
x
x
(c) 525
2525
11
11
1lim11
1lim eexxx
x
x
x
x
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites del tipo 1 :
(a) ex
x
x
1
3
11lim
3
(b) 24
2
42
4
11lim1
4
11lim e
xx
x
x
x
x
x
x
(c) 33
13
1
3
3
11lim1
3
11lim ee
xx
x
x
x
x
Si la base es un cociente de polinomios, la reescribimos en la forma u/11 :
(d)
222
5
1
5
5lim
5
15lim1
5
4lim
x
x
x
x
x
x xx
x
x
x
x
x
eexx
x
x
x
x
x
x
15
2
52
5
11lim
5
11lim
Tema 7: Límites y continuidad
- 9 -
7.5 CONTINUIDAD
Intuitivamente decimos que una función es continua si su gráfica no está rota; es decir, si pode-
mos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.
Definición de continuidad en un punto. Se dice que una función f es continua en el punto
0xx si el límite de la función cuando 0xx coincide con el propio valor de la función:
f es continua en 0xx )()(lim 00
xfxfxx
Si una función no es continua en el punto 0xx se dice que es discontinua en dicho punto.
Tipos de discontinuidad. Si una función es discontinua en el punto 0xx puede ser que la dis-
continuidad sea no evitable o que sea evitable. A su vez, una discontinuidad no evitable puede
ser una discontinuidad de salto finito o una discontinuidad de salto infinito:
• Discontinuidad no evitable de salto finito: Una función presenta una discontinuidad no evita-
ble de salto finito en el punto 0xx si los límites laterales cuando 0xx son distintos:
)(lim)(lim00
xfxfxxxx
• Discontinuidad no evitable de salto infinito: Una función presenta una discontinuidad no evi-
table de salto infinito en el punto 0xx si el límite cuando 0xx es infinito:
)(lim0
xfxx
• Discontinuidad evitable: Una función presenta una discontinuidad evitable en el punto 0xx
si el límite cuando 0xx existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función:
)()(lim 00
xfxfxx
Nota: Si L es el límite cuando 0xx ,
podemos construir la función:
0
0
si
si)()(ˆ
xxL
xxxfxf
que es igual que f cuando 0xx , pe-
ro que es continua en el punto 0xx .
Matemáticas I
- 10 -
7.6 ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Según todo lo anterior, para comprobar si una función es continua en un punto 0xx hay que
ver que los límites laterales coinciden, y que son iguales al valor de la función en dicho punto.
Las funciones elementales. Se sabe que:
Las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio.
En particular, las funciones racionales son continuas en toda la recta real excepto en aquellos
puntos en los que se anula el denominador.
•Ejemplo: Estudia la continuidad de la siguiente función:
86)( 2 xxxf
El dominio de la función es ℝ. Por tanto, la función es continua en toda la recta real.
•Ejemplo: Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
(a) 3
)(
x
xxf
La función es continua en toda la recta real excepto en el punto 3x . Calculemos los lími-
tes laterales en dicho punto:
0
3
3lim
3 x
x
x
0
3
3lim
3 x
x
x
(nota: En los límites laterales de la forma 0/k , el signo del resultado se determina
dando valores por el lado correspondiente).
Por tanto, se trata de una discontinuidad de salto infinito.
(b) 2
2
5)(
xxf
La función es continua en toda la recta real excepto en el punto 2x . Los límites laterales
son:
0
5
2
5lim
22 xx
0
0
2
5lim
22 xx
De nuevo, se trata de una discontinuidad de salto infinito.
[…]
Tema 7: Límites y continuidad
- 11 -
•Ejemplo: Estudia la continuidad de la siguiente función:
xx
xxf
3
62)(
2
La función es continua excepto en los puntos 0x y 3x .
0x Los límites laterales son:
xx
x
x 3
62lim
20
xx
x
x 3
62lim
20
La función presenta una discontinuidad de salto infinito en 0x .
3x Los límites laterales son:
3/22
lim...0
0
3
62lim
32
3
xxx
x
xx 3/2
2lim...
0
0
3
62lim
32
3
xxx
x
xx
La función presenta una discontinuidad evitable en 3x :
[…]
(c) 1
22)(
3
2
x
xxf
La función es continua en toda la recta real excepto en el punto 1x . Los límites laterales
son:
3/4)1(
)1(2lim
)1)(1(
)1)(1(2lim
0
0
1
22lim
21
21
3
2
1
xx
xx
xxx
xxx
x
x
xxx
3/4)1(
)1(2lim
)1)(1(
)1)(1(2lim
0
0
1
22lim
21
21
3
2
1
xx
xx
xxx
xxx
x
x
xxx
Como los límites laterales coinciden, se trata de una discontinuidad evitable.
Matemáticas I
- 12 -
Estudio de la continuidad de una función definida a trozos. En las funciones definidas a trozos
la continuidad depende además de si los trozos “pegan bien”; es decir, de si en los puntos de
unión los límites laterales coinciden.
•Ejemplo: Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
)(a
2 si3
6
2 si63
4
)(
2
xx
xx
x
xf
Debemos analizar el comportamiento de la función en el punto 2x .
Los límites laterales son:
3
4
)2(3
)2)(2(lim
63
4lim
2
2
2
x
xx
x
x
xx
3
4
3
6lim
2
x
x
Como también 3/4)2( f , concluimos que la función es continua.
)(b
1 si22
1 si2)(
2 xxx
xxxg
Debemos analizar el comportamiento de la función en el punto 1x .
Los límites laterales son:
32lim1
xx
122lim 2
1
xx
x
Al no coincidir los límites laterales, no existe un valor límite de la función en 1x :
)(lim1
xgx
Por tanto, la función no es continua en el punto 1x , donde presenta una discontinuidad no
evitable de salto finito.
Veamos las gráficas de las dos funciones:
Tema 7: Límites y continuidad
- 13 -
El límite de una función
1. Calcula los siguientes límites:
(a) 52lim
xx
(b) 234lim xx
(c) 16
1lim
xx (d)
4
1lim
3
x
x
(e) 52
3lim
xx (f) 53lim x
x
(g)
x
x x
13lim (h)
2
7
31lim
x
x
2. Calcula los siguientes límites en un punto:
(a) 23
3lim
x
x
x
(b)
21 1
2lim
x
x
x (c)
2
1lim
2 xx
(d) 4
4lim
4
x
x
x (e)
2
5lim
2 xx (f)
9
2lim
23
xx
3. Calcula los siguientes límites:
(a) x
x2lim
(b)
x
x2lim
(c)
x
x25,0lim
(d)
x
x
4
3lim
(e) x
x
5lim (f) 1
1
2lim
x
x (g) 3
32lim
x
xx (h)
xx 5
1lim
0
4. Calcula:
(a) xxxx
752lim 24
(b) 24lim 3
xxx
(c) 25 122lim
xxx
(d) xxx 5
1lim
3
Resolución de indeterminaciones del tipo /
5. Calcula los siguientes límites cuando x tiende al infinito dividiendo numerador y
denominador entre la mayor potencia de x que aparezca.
(a) 13
45lim
2
x
xx
x (b)
92
87lim
2
2
x
x
x (c)
72
43lim
2
x
x
x
(d) 5
2lim
2
3
xx
x
x (e)
23lim
x
x
x (f)
12
316lim
2
x
x
x
6. Calcula mentalmente los siguientes límites con indeterminaciones del tipo / .
(a) 12
3lim
x
x
x (b)
xx
x
x
2
25lim (c)
5
2lim
2
3
x
xx
x
(d) 42
123lim
5
2
x
xx
x (e)
42
156lim
3
23
xx
xx
x (f)
12
34lim
2
3
x
xx
x
EJERCICIOS DEL TEMA 7
Matemáticas I
- 14 -
7. Calcula:
321
52lim
2
xxx
xx
x
8. Calcula los siguientes límites:
(a)
11
2lim
22
x
x
x
x
x (b)
x
xx
x 2
33
2
13lim
2
9. Calcula los siguientes límites multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
(a) 22lim
xxx
(b)
xxx
x2lim 2
Resolución de indeterminaciones del tipo 0 / 0
10. Comprueba que los siguientes límites presen-tan una indeterminación del tipo 0/0 y
calcúlalos:
(a) xx
x
x 20 2
4lim (b)
63
44lim
2
2
x
xx
x (c)
1lim
2
2
1
x
xx
x
(d) 1
1lim
3
2
1
x
x
x (e)
153
9lim
2
3
x
x
x (f)
6
3lim
2
2
3
xx
xx
x
11. Calcula los siguientes límites en un punto:
(a) 182
93lim
23
x
x
x (b)
42
2 2
2lim
x
xx
x (c)
2
43lim
23
2
x
xx
x (d)
x
x
x
1)1(lim
2
0
12. Calcula los siguientes límites:
(a) 23 )3(2
5lim
x
x
x (b)
4
3
2
4lim
22 xxx
(c) 34
2
0
7lim
xx
x
x (d)
2
12lim
2
xx
x
13. Calcula los siguientes límites:
(a) x
xx
x 3lim
0
(b)
11
2lim
2
x
x
x
Resolución de indeterminaciones del tipo 1
14. Calcula los siguientes límites buscando el número e.
(a)
x
x x
31
1lim
(b)
x
x x
41
1lim
(c)
321
1lim
x
x x (d)
521
lim
x
x x
x
Tema 7: Límites y continuidad
- 15 -
15. Calcula los siguientes límites con indeterminaciones del tipo 1.
(a)
x
x x
5
11lim (b)
x
x x
2
1
11lim
(c)
5
2
11lim
x
x x
(d)
12
3
4lim
x
x x
x (e)
25
2
3lim
x
x x
x (f)
1
42
72lim
x
x x
x
Continuidad
16. Estudia la continuidad de la siguiente función:
2 si,53
2 si,4
63
)(2
xx
xx
x
xf
17. Estudia la continuidad de las siguientes funciones definidas a trozos:
(a)
1 si,/2
1 si,2)(
2
xx
xxxf (b)
0 si,3
0 si,1
3
)(
xx
xx
xf
(c)
2 si,1
20 si,3
0 si,/1
)(2 xx
x
xx
xf (d)
1 si,5
1 si44
55
)(
2
xx
x
xx
x
xf
18. Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua.
1 si,3
1 si,1)(
2 xax
xxxf
19. Indica el tipo de discontinuidad que presentan las siguientes funciones racionales:
(a) 3
1)(
x
xxf (b)
42
4)(
2
x
xxf (c)
2)1(
22)(
x
xxf (d)
9
3)(
2
2
x
xxxf
20. Calcula el valor de a y b sabiendo que la función es continua en toda la recta real.
1 si,2
10 si,
0 si,12
)(
2
x
xbax
xxx
xf
21. Estudia la continuidad de la siguiente función:
1 si,3
1 si,22
78
)(
2
x
xx
xx
xf
Matemáticas I
- 16 -
22. Calcula k de manera que la siguiente función sea continua en toda la recta real:
2 si,
2 si,8
462
)(3
2
xk
xx
xx
xf
23. Calcula a y b sabiendo que la siguiente función es continua en toda la recta real y que
además cumple que f (4) = 7.
0 si,
0 si,1)(
3
xbax
xxxxf
Tema 7: Límites y continuidad
- 17 -
EJERCICIOS PARA ENTREGAR POR ESCRITO
Cálculo de límites cuando x tiende a infinito
A) 1
1lim
3
x
x
x B)
32
126lim
2
2
xx
xx
x
C) x
x
x
3
2lim D) xx
xx3
1lim 2
E)
xxx
x39lim 2 F)
1lim
2
x
xx
x
G) xxxx
6lim H) x
x
3lim
I)
x
x x
x
3
2lim J)
x
x
x 6
2lim
Cálculo de límites cuando x tiende a un punto
K) 1
1lim
31
x
x
x L)
xxx
xx
x 232
2lim
23
3
0
M) 23
23lim
2
3
1
xx
xx
x Ñ)
xxx 5
3lim
25
O)
xxxxx 220
12lim P)
86
12
82lim
2
2
4 xx
x
x
x
x
Q) 2
4lim
4
x
x
x R)
4
2lim
22
x
x
x
S) xx
xx
x
20
22lim T)
2
1
2
11lim
220 xxxx
Cálculo de límites con la indeterminación 1
U)
241
1lim
x
x x
V)
2
11lim
x
x x
W)
1
5
21lim
x
x x
X)
13
3
4lim
x
x x
x
Y)
x
x x
x2
34
24lim
Matemáticas I
- 18 -
Continuidad
Z. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
4 si,2
4
4 si,2
4
)(
xx
xx
x
xf
1 si,/1
11 si,1
22
1 si,3
)(
xx
xx
x
xx
xg
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